地铁振动预测的周期性有限元_边界元耦合模型

一个无限的周期性结构可以利用 F loquet 变换 来分析。在无限周期域 8 上的任意一点的位置向量
x 则可以表示为: x = x + nL ey , x 是在基本元8 上的
2
t
8t
t
u tdV +
t
位置向量, n 为元数, L 为每个元的长度, ey 为y 轴方 向上的单位向量。 通过把第n 个元和基本元8 之间的 距离 nL 转换成波数 ϑ, 可以定义在8 上的函数 f ( x )
( 1. 北京交通大学土木建筑工程学院, 北京 100044; 2. 天主教鲁汶大学土木工程系, 比利时)
Ξ
摘要: 针对地铁列车运行引起的隧道结构和自由场中的振动响应问题, 提出了一个在频率2波数域内的三维周期性 有限元2边界元耦合的数值模型, 此模型中隧道结构采用有限元法计算, 自由场采用边界元法模拟。 此模型采用 F lo 2
u
sc
(Ω , Ξ) Α , Ξ) m) ( x , ϑ m (ϑ ( 14)
隧道结构的位移可以进行如下插值处理
ut= N
t
ut= Nt7 tΑ t
( 15)
( 4)
式中 N t 为形函数矩阵, u t 为结点位移, 7 t 为结点
482
振 动 工 程 学 报
第 22 卷
模态位移。对方程 ( 12) 中的 v t ( x , ϑ, Ξ) 进行相同的 插值处理, 可以得到频率2波数域内的隧道2自由场 动力相互作用方程 [ K t ( ϑ) - Ξ2M t ( ϑ) + K s ( ϑ, Ξ) ] Α( ϑ, Ξ) = F t ( ϑ, Ξ)
∞
GF u ik ( Ν, x , ϑ, Ξ) = n= - ∞
u i ( Ν, Ξ) =
∫ F ( x , Ξ) h
N
2Π -
∫f
ΠL
ΠL
～
( x , ϑ) exp ( -
jnL ϑ) d ϑ ( 3)
3 控制方程
在频率2波数域内, 在土层基本元8 s 中, N avier 方程可以表示为
s 2 在8 s 中: d iv Ρs ( u s ) = - Θ Ξ us
u s ( x , ϑ, Ξ) =
∑
m= 1
Ξ
内的三维周期性有限元2边界元耦合的数值模型。 此 模型利用有限元法模拟隧道结构, 利用边界元法模 拟自由场。 采用F loquet 变换可以把无限长的隧道及 自由场的网格划分限制在一个基本元内[ 9 ] , 先计算 出这个基本元的动力响应, 然后利用F loquet 逆变换 计算出整个隧道及自由场上的振动响应。 此模型由 于只是在基本元内划分网格, 相对于传统的三维模 型, 其计算效率大大提高。 此数值模型基于以下的三个假设: ( 1) 隧道是直 线隧道, 且隧道结构在其轴线方向上是周期性结构; ( 2 ) 隧道处于水平成层的无限半空间或全空间内; ( 3 ) 所有的变形和应变保持足够小, 以至于隧道2自 由场相互作用问题是线形的, 在频域内叠加原理是 有效的。 图 1 所示为周期性隧道2自由场动力相互作用 系统。无限周期域 8 是一个在隧道轴线方向上的周 期 性结构, 周期为 L , 8 由若干个性质相同的元组 成, 这里可以任意选择其中的一个元作为基本元8 , 顶划线 “⌒ ” 表示基本元中的量, 下同。对于在轴线方 向上具有周期性结构的隧道, 其基本元的长度L 应 取为单个结构的长度; 对于在轴线方向上具有一致 性结构的隧道, 由于一致性结构可以看作是周期为 任意长度的周期性结构, 所以其基本元的长度L 可 以任意选取。8 由隧道域8 t 和土域8 s 组成, 下标 t 和
s 分别代表隧道域和土域中的量, 下同。 8 的边界由3
收稿日期: 2008209227; 修订日期: 2009205204 基金项目: 国家自然科学基金资助项目 ( 50538010, 50848046) ; 中国比利时双边合作项目 (B I L 04 17)
第 5 期
刘卫丰, 等: 地铁振动预测的周期性有限元2边界元耦合模型
( 7) ( 8)
在# tΡ上: t t ( u t ) = f
t
在 2 0 , 2 L 上: u t ( x ) = exp ( - jϑ L ) u t ( x - L ey ) ( 9 )
s t 式中 Θ ,Θ 分别为土层和隧道材料的密度; Ξ 为圆
图 1 周期性隧道2自由场动力相互作用系统示意图
1 概 述
地铁列车运行引起的振动会造成一定的环境影 响, 它可能引起邻近建筑物的开裂, 可能干扰精密仪 器的正常使用, 还可能影响沿线人们的正常生活。 为 了减少地铁列车引起的振动, 人们已经做了许多研 究, 主要是基于理论推导、 测试方法和数值方法。 对 于数值模型, 目前主要是二维或三维有限元模型或 有限元与边界元耦合模型或有限元与无限元耦合模 型, 例如, Chua 采用二维有限元模型分析了隧道2土 层动力相互作用问题[ 1, 2 ] , Ga rd ien 利用三维动力有 限元法研究了隧道中列车运行引起的土中的波动问 题[ 3 ] , Stam o s 利用边界元法分析了镶嵌圆形隧道的 半无限空间的波动问题[ 4, 5 ] , A ndersen、 Jones 等利 用有限元2边界元耦合模型研究了铁路隧道内列车 运行引起的振动问题[ 6, 7 ] , Jones 利用有限元2无限元 耦合二维模型计算了铁路隧道内及周围土体的动力 响应[ 8 ]。 二维模型建模简单, 计算成本小, 但存在一 些的缺点, 它不能很好的模拟三维列车荷载, 也不能 考虑在隧道轴线方向上的波的传播, 虽然传统的三 维模型可以解决这些问题, 但由于计算量过大, 计算 时间过长, 目前三维模型的应用也受到了一定的限 制。 本文利用隧道2自由场动力相互作用系统在隧 道轴线方向上的周期性, 提出了一个在频率2波数域
第 22 卷第 5 期 2009 年 10 月
振 动 工 程 学 报
Jou rna l of V ib ra t ion Eng ineering
Vol . 22 N o. 5 O ct. 2009
地铁振动预测的周期性有限元2边界元耦合模型
刘卫丰1 , 刘维宁1 , Gup ta S 2 , D eg rande G 2
L ) f ( x , ϑ) ( 2) jϑ
～
) 为隧道结构的第m 阶模态, Α 式中 Ω , Ξ) m ( x , ϑ m (ϑ
而 F loquet 逆变换为
f ( x + nL ey ) =
是第m 阶模态坐标。 因为隧道2土层交界面与隧道的 外表面重合, 所以隧道2土层交界面的模态位移即为 隧道模态位移在其外表面上的量, 故隧道2土层交界 面上的位移场可表示为
quet 变换, 利用隧道和自由场在隧道轴线方向上的周期性, 把无限长的隧道及自由场的网格划分限制在一个基本
元内, 这样使动力学数值计算的效率大大提高。 利用此模型计算了在隧道底板上施加固定单位谐振荷载情况下隧 道2自由场相互作用系统的动力响应, 结果表明此模型可应用于地铁列车运行引起的隧道和自由场中的动力响应 预测。 关键词: 地铁; 有限元2边界元耦合模型; 周期性; 隧道2自由场相互作用 中图分类号: U 21113; TB 53 文献标识码: A 文章编号: 100424523 ( 2009) 0520480206
481
在# sΡ上: t s ( u s ) = 0
( 5)
在 2 0 , 2 L 上: u s ( x ) = exp ( - jϑ L ) u s ( x - L ey ) ( 6) 同样, 在隧道基本元8 t 中, N avier 方程可以表示为
t 2 在8 t 中: d iv Ρt ( u t ) = - Θ Ξ u t
4 周期性有限元2边界元耦合
把控制方程 ( 7) 和 ( 8 ) 乘以虚位移 v t ( x , ϑ, Ξ) 的复数共轭, 再利用方程 ( 11) 可以得到下式 Θ v ∫ Ε ( v ) : Ρ( u ) dV - Ξ∫ ∫ v t ( u ( u ) ) dS = ∫ v
8t
t t
2 Floquet 变换
5 固定谐振荷载动力响应
依据上述理论推导, 在M a t lab 的 SD T ( 结构动 力学工具箱) 下编制了计算程序。 利用该程序计算了 在基本元上的隧道底板中点施加固定单位谐振荷载 时在隧道衬砌和自由场中的位移响应, 即频域内的 位移传递函数 h z i ( Ν, x , Ξ) , 顶划线 “^ ” 表示在频 域中的函数, h z i ( Ν, x , Ξ) 表示在振源点 x 的 z 轴方 向上施加单位荷载, 而在隧道和自由场中的任意点 Ν的 i ( i= x 或 y 或 z ) 轴方向上产生的位移。如果能 够得到频域内地铁列车运行时在隧道底板上产生的 荷载 F z ( x , Ξ) , 根据D uham el 积分在频域内的表达 式
频率; Ρ, u , t 分别代表基本元上的应力场、 位移场 和面力场。 在隧道2土层交界面上满足位移连续和面 力平衡 在2 ts 上: u t = u s 在2 ts 上: t t ( u t ) + t s ( u s ) = 0
( 10) ( 11)
部分组成: 自由表面# sΡ、 两侧边界 2 0 , 2 L 。 土与隧道 的交界面为 2 ts , 而动荷载f t 作用在隧道内侧面# tΡ 上。
^ ^ ^ ^
F t ( ϑ, Ξ) = 7
FE t
∫N
T
t
# tΡ
f t dS
式中 K , M 为有限元刚度矩阵和质量矩阵, L 为位移向量向应变向量转化的微分算子矩阵, D 为 弹性矩阵。 土层基本元的刚度矩阵为
K s ( ϑ, Ξ) =
FE t
∫7
2 ts
T
t