高考数学一轮复习课时训练：两条直线的位置关系北师大
北师大版高三数学(理)一轮复习：第9章 第2节 两条直线的位置关系
第二节 两条直线的位置关系[最新考纲] 1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离．1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1,l 2,若其斜率分别为k 1,k 2,则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1,l 2不重合且斜率都不存在时,l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1,l 2的斜率存在,设为k 1,k 2,则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1,B 1,C 1,A 2,B 2,C 2为常数),则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|＝x 2＋y 2. (2)点P(x 0,y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. [常用结论]由一般式方程确定两直线位置关系的方法直线方程l 1与l 2 l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0) l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0) 垂直的充要条件 A 1A 2＋B 1B 2＝0 平行的充分条件 A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) 相交的充分条件A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0)重合的充分条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时,一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直,则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3) 若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交．( ) (4) 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) [答案] (1)× (2)× (3) √ (4)√ 二、教材改编1．已知点(a,2)(a>0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1,则a 等于( ) A. 2 B.2－ 2 C.2－1D.2＋1C [由题意得|a －2＋3|2＝1,即|a ＋1|＝2,又a>0,∴a ＝2－1.]2．已知P(－2,m),Q(m,4),且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0,则m ＝________. 1 [由题意知m －4－2－m ＝1,所以m －4＝－2－m,所以m ＝1.]3．若三条直线y ＝2x,x ＋y ＝3,mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点,则m 的值为________．－9 [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0, 即m×1＋2×2＋5＝0,所以m ＝－9.]4．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行,则它们之间的距离是________． 2 [由两直线平行可知36＝4m,即m ＝8.∴两直线方程分别为3x ＋4y －3＝0和3x ＋4y ＋7＝0, 则它们之间的距离d ＝|7＋3|9＋16＝2.]考点1 两条直线的位置关系解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想” 前思 在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分类讨论 后想 在解题后要检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解1.设a ∈R,则“a＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [当a ＝1时,显然l 1∥l 2, 若l 1∥l 2,则a(a ＋1)－2×1＝0, 所以a ＝1或a ＝－2.所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件．]2．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直,则实数a 的值为( ) A.12 B.32 C.14D.34D [由已知得3(a －1)＋a ＝0,解得a ＝34.]3．已知三条直线l 1：2x －3y ＋1＝0,l 2：4x ＋3y ＋5＝0,l 3：mx －y －1＝0不能构成三角形,则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23D [∵三条直线不能构成一个三角形, ∴①当l 1∥l 3时,m ＝23；②当l 2∥l 3时,m ＝－43；③当l 1,l 2,l 3交于一点时,也不能构成一个三角形,由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，得交点为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13,代入mx －y －1＝0,得m ＝－23.故选D.]直接运用“直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行与垂直的充要条件解题”可有效避免不必要的参数讨论．考点2 两条直线的交点与距离问题(1)求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程．(2)点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 ①求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式．②求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x,y 的系数对应相等．(1)求经过两条直线l 1：x ＋y －4＝0和l 2：x －y ＋2＝0的交点,且与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为________(2)直线l 过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等,则直线l 的方程为________．(1)x ＋2y －7＝0 (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 [(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，∴l 1与l 2的交点坐标为(1,3)．设与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为x ＋2y ＋c ＝0, 则1＋2×3＋c ＝0,∴c ＝－7. ∴所求直线方程为x ＋2y －7＝0.(2)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y －2＝k(x ＋1),即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1, 即|3k －1|＝|－3k －3|,∴k ＝－13,∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1),即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x ＝－1,也符合题意．]1.直线系方程的常见类型(1)过定点P(x 0,y 0)的直线系方程是：y －y 0＝k(x －x 0)(k 是参数,直线系中未包括直线x ＝x 0),也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)； (3)垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；(4)过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R,但不包括l 2)．2．动点到两定点距离相等,一般不直接利用两点间距离公式处理,而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上,从而简化计算．[教师备选例题]1．已知三角形三边所在的直线方程分别为：2x －y ＋4＝0,x ＋y －7＝0,2x －7y －14＝0,求边2x －7y －14＝0上的高所在的直线方程．[解] 设所求高所在的直线方程为2x －y ＋4＋λ(x＋y －7)＝0,即(2＋λ)x＋(λ－1)y ＋(4－7λ)＝0,可得(2＋λ)×2＋(λ－1)×(－7)＝0, 解得λ＝115,所以所求高所在的直线方程为7x ＋2y －19＝0.2．求过直线2x ＋7y －4＝0与7x －21y －1＝0的交点,且和A(－3,1),B(5,7)等距离的直线方程． [解] 设所求直线方程为2x ＋7y －4＋λ(7x－21y －1)＝0, 即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0, 由点A(－3,1),B(5,7)到所求直线等距离,可得 |2＋7λ×－3＋7－21λ×1－4－λ|2＋7λ2＋7－21λ2＝|2＋7λ×5＋7－21λ×7－4－λ|2＋7λ2＋7－21λ2,整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|,解得λ＝2935或λ＝13,所以所求的直线方程为21x －28y －13＝0或x ＝1.1.当0<k<12时,直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k<12,∴x ＝k k －1<0,y ＝2k －1k －1>0,故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．]2．若P,Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点,则|PQ|的最小值为( ) A.95 B.185 C.2910D.295C [因为36＝48≠－125,所以两直线平行,将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即|－24－5|62＋82＝2910,所以|PQ|的最小值为2910.]考点3 对称问题中心对称问题 中心对称问题的解法(1)点关于点：点P(x,y)关于点Q(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a －x ，y′＝2b －y.(2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．过点P(0,1)作直线l,使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P平分,则直线l 的方程为________．x ＋4y －4＝0 [设l 1与l 的交点为A(a,8－2a),则由题意知,点A 关于点P 的对称点B(－a,2a －6)在l 2上,代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0,解得a ＝4,即点A(4,0)在直线l 上,所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.]点关于点的对称问题常常转化为中心对称问题,利用中点坐标公式求解． 若直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2恒过定点( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4,－2)B [直线l 1：y ＝k(x －4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称,故直线l 2恒过定点(0,2)．]轴对称问题 轴对称问题的解法(1)点关于线：点A(a,b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B≠0)的对称点A′(m ,n), 则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.(2)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．(1)已知直线y ＝2x 是△ABC 中角C 的平分线所在的直线,若点A,B 的坐标分别是(－4,2),(3,1),则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2,－4)C ．(2,4)D ．(2,－4)(2)已知入射光线经过点M(－3,4),被直线l ：x －y ＋3＝0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为________．(1)C (2)6x －y －6＝0 [(1)设A(－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x,y),则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3),即3x ＋y －10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －10＝0，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C(2,4)．(2)设点M(－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M′(a ,b),则反射光线所在直线过点M′, 所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1,b ＝0.即M ′(1,0)．又反射光线经过点N(2,6), 所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1,即6x －y －6＝0.]在求对称点时,关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上,即抓住“垂直平分”,由“垂直”列出一个方程,由“平分”列出一个方程,联立求解．1.若将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m ＋n ＝________.345[由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y ＝2x －3,它也是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.]2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0,点A(－1,－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程； (3)直线l 关于点A 对称的直线l′的方程． [解] (1)设A′(x ,y),则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，即A′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l 的对称点必在m′上．设对称点为M′(a ,b),则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，即M′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013. 设m 与l 的交点为N,则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N(4,3)．又m′经过点N(4,3),∴由两点式得直线m′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点,如P(1,1),N(4,3),则P,N 关于点A 的对称点P′,N′均在直线l′上．易知P′(－3,－5),N′(－6,－7),由两点式可得l′的方程为2x －3y －9＝0. 法二：设Q(x,y)为l′上任意一点,则Q(x,y)关于点A(－1,－2)的对称点为Q′(－2－x,－4－y), ∵Q′在直线l 上,∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0, 即2x －3y －9＝0.。
北师大版高三一轮复习9.2两条直线的位置关系 (2)
请做演练巩固提升 3
3.有关距离 (1)两点间的距离 平面上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离 |P1P2|=
(x2 -x1 )2 + (y2 -y1 )2
.
(2)点到直线的距离 平面上一点 P(x0,y0)到一条直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d=
|Ax 0 +By 0 +C | A 2 +B 2
2 m 4 2
方法提炼
1.判定两直线平行的方法: (1)判定两直线的斜率是否存在,若存在,可先化成斜截式,若 k1=k2,且 b1≠b2,则两直线平行;若斜率都不存在,还要判定是否重合. (2)直接用以下方法,可避免对斜率是否存在进行讨论: 设直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0 且 B1C2-B2C1≠0. 2.与直线 Ax+By+C=0 平行的直线方程可设为 Ax+By+m=0(m≠C),这也 是经常采用的解题技巧.
方法提炼
1.在对称问题中,点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称.处理 这种问题关键是抓住垂直与平分两个几何条件,转化为代数关系列方程求 解;线关于线的对称问题,可以转化为点关于直线的对称问题来解决;直线关 于点的对称可转化为点关于点的对称来处理,结合“代入法”求轨迹方程的 思想方法解题也是这类问题的一个通法. 2.求与距离有关的最值问题,一般是通过作图,转化为对称问题加以解 决.
|1+2×1-5| 1+22
=
2 5
=
2 5
5.
3.若直线 ax+y+5=0 与 x-2y+7=0 垂直,则 a 的值为( A A.2 B.
高三北师大文科数学课时作业 第讲 两直线的位置关系 含解析
课时作业(四十三) [第43讲 两直线的位置关系](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．已知直线ax ＋y ＋5＝0与x －2y ＋7＝0垂直，则a 为( )A ．2 B.12C ．－2D ．－122．已知直线l 1经过两点(－2，3)，(－2，－1)，直线l 2经过两点(2，1)，(a ，－5)，且l 1∥l 2，则a ＝( )A ．－2B ．2C ．4D ．33．若点A (3，－4)与点A ′(5，8)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x ＋6y ＋16＝0B ．6x －y －22＝0C ．6x ＋y ＋16＝0D ．x ＋6y －16＝04．长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0，1)，B (1，0)，C (3，2)，则顶点D 的坐标为________．能力提升5．若过点A (4，sin α)和B (5，cos α)的直线与直线x －y ＋c ＝0平行，则|AB |的值为( )A ．6 B. 2C ．2D ．2 26．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝07．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( ) A.1710 B.175C ．8D ．28．入射光线沿直线x ＋2y ＋c ＝0射向直线l ：x ＋y ＝0，被直线l 反射后的光线所在的直线方程为( )A ．2x ＋y ＋c ＝0B ．2x ＋y －c ＝0C ．2x －y ＋c ＝0D ．2x －y －c ＝09．[2012·新余一中模拟] “m ＝3”是“直线(m －1)x ＋2my ＋1＝0与直线(m ＋3)x －(m －1)y ＋3＝0相互垂直”的__________________条件．10．[2012·潍坊阶段检测] 已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y ＝0互相垂直，则ab 的最小值等于________．11．已知直线l 1的倾斜角α1＝40°，直线l 1与l 2的交点为A (2，1)，把直线l 2绕点A 按逆时针方向旋转到和直线l 1重合时所转的最小正角为70°，则直线l 2的方程是____________________．12．(13分)已知正方形的中心为G (－1，0)，一边所在直线的方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线方程．难点突破13．(12分)已知A (3，1)，在直线x －y ＝0和y ＝0上分别有点M 和N 使△AMN 的周长最短，求点M ，N 的坐标．课时作业(四十三)【基础热身】1．A [解析] 由a ×1＋1×(－2)＝0，得a ＝2.2．B [解析] 由题意知直线l 1的倾斜角为90°，而l 1∥l 2，所以直线l 2的倾斜角也为90°，又直线l 2经过两点(2，1)，(a ，－5)，所以a ＝2.故选B.3．D [解析] ∵点A 与A ′关于直线l 对称，∴AA ′的中点在直线l 上，且k AA ′·k l ＝－1.∵AA ′的中点为(4，2)，k AA ′＝6，∴k l ＝－16.∴直线l 的方程为y －2＝－16(x －4)，即x ＋6y －16＝0. 4．(2，3) [解析] 设点D 的坐标为(x ，y )，因为AD ⊥CD ，AD ∥BC ，所以k AD ·k CD ＝－1，且k AD ＝k BC ，所以y －1x －0·y －2x －3＝－1，y －1x －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. 【能力提升】5．B [解析] 由题知sin α－cos α4－5＝1，得cos α－sin α＝1， 则|AB |＝1＋（sin α－cos α）2＝ 2.6．A [解析] 设直线方程为x －2y ＋c ＝0，又经过点(1，0)，故c ＝－1，所求方程为x －2y －1＝0.故选A.7．D [解析] 由题意知63＝m 4≠14－3⇒m ＝8， 直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，则两平行线之间的距离是d ＝|－3－7|32＋42＝2.故选D. 8．B [解析] 在入射光线上取点⎝⎛⎭⎫0，－c 2， 它关于直线l 的对称点为⎝⎛⎭⎫c 2，0，可排除A ，C ；在入射光线上取点(－c ，0)，它关于直线l 的对称点为(0，c )，可排除D.故选B.9．充分不必要 [解析] 两直线垂直可知m ＝3或m ＝1. 10．2 [解析] 由两条直线垂直的条件可得－b 2＋1a ·1b 2＝－1，解得a ＝b 2＋1b2，所以ab ＝b 2＋1b 2·b ＝b 2＋1b ＝b ＋1b. 又因为b >0，故b ＋1b ≥2b ·1b＝2， 当且仅当b ＝1b，即b ＝1时取“＝”号．11．x ＋3y －2－3＝0 [解析] 设直线l 2的倾斜角为α2，如图可得α2＝150°，所以直线l 2的斜率为k ＝tan150°＝－33.又直线l 2经过点A (2，1)，所以直线方程为y －1＝－33(x －2)，即x ＋3y －2－3＝0.12．解：正方形中心G (－1，0)到四边距离均为|－1－5|12＋32＝610. 设正方形中与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y －c 1＝0，则|－1－c 1|10＝610，即|c 1＋1|＝6， 解得c 1＝5或c 1＝－7，故与已知边平行的直线方程为x ＋3y ＋7＝0.设正方形另一组对边所在直线方程为3x －y ＋c 2＝0，则|3×（－1）＋c 2|10＝610，即|c 2－3|＝6， 解得c 2＝9或c 2＝－3.所以正方形另两边所在直线的方程为3x －y ＋9＝0和3x －y －3＝0，综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为x ＋3y ＋7＝0，3x －y ＋9＝0，3x －y －3＝0.【难点突破】13．解：A (3，1)关于y ＝x 1，1)关于y ＝0的对称点为A 2(3，－1)，△AMN 的周长最小值为|A 1A 2|，|A 1A 2|＝25，A 1A 2的方程为2x ＋y －5＝0.A 1A 2与x －y ＝0的交点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －y ＝0⇒M 53，53. A 1A 2与y ＝0的交点为N ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，y ＝0⇒N 52，0.。
2022高三全国统考数学北师大版(理)一轮复习课时规范练46 点与直线、两条直线的位置关系
课时规范练46 点与直线、两条直线的位置关系基础巩固组1.直线l 在直线m :x+y+1=0的上方,且l ∥m ,它们的距离是√2,则直线l 的方程是( )A.x+y-1=0B.x+y+3=0C.x+y+1=0D.x+y+3=0或x+y-1=02.(2020山东济南德润中学月考)已知直线l 1:x ·sin α+y-1=0,直线l 2:x-3y ·cos α+1=0,若l 1⊥l 2,则sin 2α=( ) A.23B.±35C.-35D.353.已知A (1,2),B (3,1)两点到直线l 的距离分别是√2,√5−√2,则满足条件的直线l 共有( ) A.1条 B.2条 C.3条D.4条4.若关于x ,y 的二元一次方程组{mx +4y =m +2,x +my =m 有无穷多组解,则m 的取值为( )A.1B.2C.3D.45.(2020重庆西南大学附中期末)已知直线ax+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行,且ax+by+1=0在y 轴上的截距为13,则a+b 的值为( ) A.-7 B.-1 C.1 D.76.(2020湖南郴州模拟)若两平行直线l 1:x-2y+m=0(m>0)与l 2:2x+ny-6=0之间的距离是√5,则m+n=( )A.0B.1C.-2D.-17.(2020湖北孝昌一中月考)过直线x+y-3=0和2x-y=0的交点,且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程是( )A.4x+2y-3=0B.4x-2y+3=0C.x+2y-3=0D.x-2y+3=0 8.若直线mx-(m+2)y+2=0与3x-my-1=0互相垂直,则点(m ,1)到y 轴的距离为 . 9.直线l 1,l 2分别过点M (1,4),N (3,1),它们分别绕点M 和N 旋转,但必须保持平行,那么它们之间的距离d 的最大值是 .10.设△ABC 的一个顶点是A (-3,1),∠B ,∠C 的平分线所在直线的方程分别为x=0,y=x ,则直线BC 的方程为 .11.若直线l 与直线2x-y-2=0关于直线x+y-4=0对称,则l 的方程是 .综合提升组12.设直线l 1:x-2y+1=0与直线l 2:mx+y+3=0的交点为A ;P ,Q 分别为l 1,l 2上任意两点,点M 为PQ 的中点,若|AM|=12|PQ|,则m 的值为( ) A.2 B.-2 C.3D.-313.若直线l :y=kx-√3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.π6,π3 B.π6,π2 C.π3,π2D.[π6,π2]14.(2020上海大同中学期中)若关于x ,y 的二元一次方程组{mx +9y =m +6,x +my =m 无解,则实数m 的值为 .15.如图,已知△ABC 为等腰直角三角形,其中∠BAC=90°,且AB=2,光线从AB 边的中点P 出发,经BC ,CA 反射后又回到点P (反射点分别为Q ,R ),则光线经过的路径总长PQ+QR+RP= .16.(2020福建福州期末)已知函数f (x )=ax 3+x+1的图像在点(1,f (1))处的切线与直线x+4y=0垂直,则实数a= .创新应用组17.(2020山东青岛模拟)已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m 的取值集合为( ) A.{-43,23}B.{43,-23} C.{-43,23,43}D.{-43,-23,23}18.(2020安徽六安月考)设m ∈R ,过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的直线mx-y-m+3=0交于点P (x ,y ),则|PA|+|PB|的取值范围是( )A.[√5,2√5]B.[√10,2√5]C.[√10,4√5]D.[2√5,4√5]参考答案课时规范练46 点与直线、两条直线的位置关系1.A 因为l ∥m ,且直线l 在m :x+y+1=0上方,所以可设直线l 的方程是x+y+c=0(c<1),因为它们的距离是√2,则√2=√2,∴c=-1,或c=3(舍去),所以直线l 的方程是x+y-1=0,故选A .2.D ∵l 1⊥l 2,∴sin α-3cos α=0,∴tan α=3,∴sin2α=2sin αcos α=2sinαcosαsin 2α+cos 2α=2tanαtan 2α+1=35.3.C 当A ,B 两点位于直线l 的同一侧时,一定存在这样的直线l ,且有两条.又|AB|=√(3-1)2+(1-2)2=√5,而点A 到直线l 与点B 到直线l 的距离之和为√2+√5−√2=√5,所以当A ,B 两点位于直线l 的两侧时,存在一条满足条件的直线.综上可知满足条件的直线共有3条.故选C .4.B 因为关于x ,y 的二元一次方程组{mx +4y =m +2,x +my =m有无穷多组解,所以直线mx+4y=m+2与直线x+my=m 重合,所以m1=4m =m+2m,解得m=2,即m 的取值为2,故选B .5.A 因为直线ax+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行,所以4b=3a.又直线ax+by+1=0在y 轴上的截距为13,所以13b+1=0,解得b=-3.所以a=-4,所以a+b=-7.故选A . 6.C 由题意,得12=-2n ,解得n=-4,即直线l 2:x-2y-3=0,所以两平行直线之间的距离为d=√1+4=√5(m>0),解得m=2,所以m+n=-2.7.D 由题意,得{x +y -3=0,2x -y =0,解得{x =1,y =2,所以两直线的交点坐标为(1,2).直线2x+y-5=0的斜率是-2,故其垂线的斜率是12, 所以所求直线方程是y-2=12(x-1),即x-2y+3=0.8.0或5 当m=0时,mx-(m+2)y+2=-2y+2=0,即y=1,3x-my-1=3x-1=0,即x=13,此时两直线垂直,点(m ,1)到y 轴的距离为0;当m ≠0时,由题意有mm+2·3m =-1,解得m=-5,点(m ,1)到y 轴的距离为5. 9.√13 因为直线l 1,l 2分别过点M (1,4),N (3,1),它们分别绕点M 和N 旋转,且两直线保持平行,因此当两条平行直线l 1,l 2都与MN 垂直时,它们之间的距离d 取得最大值为|MN|=√(1-3)2+(4-1)2=√13.10.y=2x-5 ∵∠B ,∠C 的平分线所在直线分别是x=0,y=x ,∴AB 与BC 关于x=0对称,AC 与BC 关于y=x 对称.A (-3,1)关于x=0的对称点A'(3,1)在直线BC 上,A 关于y=x 的对称点A″(1,-3)也在直线BC 上.由两点式,得出所求直线BC 的方程为y=2x-5. 11.x-2y+2=0 由{2x -y -2=0,x +y -4=0,得{x =2,y =2,即两直线的交点坐标为(2,2),在直线2x-y-2=0上取一点A (1,0),设点A 关于直线x+y-4=0的对称点的坐标为(a ,b ).则{ba -1=1,a+12+b2-4=0,即{a -b -1=0,a +b -7=0,解得{a =4,b =3,即对称点的坐标为(4,3),则l 的方程为y -23-2=x -24-2,整理得x-2y+2=0.12.A 根据题意画出图形,如图所示.直线l 1:x-2y+1=0与直线l 2:mx+y+3=0的交点为A ,M 为PQ 的中点,若|AM|=12|PQ|,则PA ⊥QA ,即l 1⊥l 2,∴1×m+(-2)×1=0,解得m=2.故选A .13.B 联立两直线方程得{y =kx -√3,2x +3y -6=0,可得两直线的交点坐标为3√3+62+3k ,6k -2√32+3k,∵两直线的交点在第一象限,∴{3√3+62+3k>0,6k -2√32+3k>0,不等式组的解集为k>√33,若直线l 的倾斜角为θ,则tan θ>√33,∴θ∈π6,π2,故选B .14.-3 因为关于x ,y 的二元一次方程组{mx +9y =m +6,x +my =m无解,所以直线mx+9y=m+6与直线x+my=m 平行,所以m 2-9=0,解得m=±3.经检验,当m=3时,两直线重合,不符合题意,舍去;当m=-3时,两直线平行,符合题意.故m=-3. 15.√10 以A 为坐标原点,AB ,AC 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,因为△ABC 为等腰直角三角形,其中∠BAC=90°,且AB=2,则l BC :x+y-2=0,点P (1,0),所以点P 关于y 轴的对称点为P 1(-1,0),设点P 关于直线l BC :x+y-2=0的对称点为P 2(x 0,y 0),则y 0x-1=1且x 0+12+y 02-2=0,解得P 2(2,1),则PQ+QR+RP=P 2Q+QR+RP 1=P 1P 2=√10. 16.1 由f (x )=ax 3+x+1,得f'(x )=3ax 2+1,所以f'(1)=3a+1,即f (x )在x=1处的切线的斜率为3a+1,因为f (x )在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直,所以3a+1=4,即a=1.17.D 设三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0分别为直线l 1,l 2,l 3,依照题意易得直线l 1与直线l 2不平行,设交点为P ,因为三条直线不能围成一个三角形,所以l 3与l 1平行,或l 3与l 2平行,或l 1,l 2,l 3交于一点P. (1)两条直线平行,若l 1∥l 3,此时m=23;若l 2∥l 3,此时m=-43. (2)l 1,l 2,l 3交于一点P 时,由{2x -3y +1=0,4x +3y +5=0,解得{x =-1,y =-13,即交点P 的坐标为-1,-13,代入mx-y-1=0,则m=-23.所以实数m 的取值集合为{-43,-23,23}.18.B 由题意可知,动直线x+my=0经过定点A (0,0),动直线mx-y-m+3=0即m (x-1)-y+3=0,经过定点B (1,3),因为动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0的斜率之积为-1,始终垂直,P 又是两条直线的交点,所以PA ⊥PB ,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.设∠ABP=θ,则|PA|=√10sin θ,|PB|=√10cos θ,由|PA|≥0且|PB|≥0,可得θ∈0,π2, 所以|PA|+|PB|=√10(sin θ+cos θ)=2√5sin θ+π4,因为θ∈0,π2,所以θ+π4∈π4,3π4,所以sinθ+π4∈√22,1,所以2√5sinθ+π4∈[√10,2√5].。
高考数学一轮总复习课时规范练39两条直线的位置关系北师大版
课时规范练39两条直线的位置关系基础巩固组1.(2021四川资阳中学月考)若直线l1:(a+2)x+(1-a)y-3=0与l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直，则实数a的值为()A.1B.-1C.±1D.-322.(2021北京昌平模拟)直线x+ay+2=0与直线ax+y+2a2=0平行，则实数a的值为()A.1或-1B.0或-1C.-1D.13.已知直线mx+4y-2=0与直线2x-5y+n=0互相垂直，垂足为点(1，p)，则m+n-p等于()A.24B.20C.4D.04.与直线l:2x-3y+1=0关于y轴对称的直线的方程为()A.2x+3y+1=0B.2x+3y-1=0C.3x-2y+1=0D.3x+2y+1=05.直线l0:4x-y-4=0与l1:x-2y-2=0及l2:4x+3y-12=0所得两交点间的距离为()A.32√17 B.314√17C.914√17 D.3√176.直线l1，l2是分别过A(1，1)，B(0，-1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为()A.x+2y-3=0B.x-2y-3=0C.2x-y-1=0D.2x-y-3=07.三条直线x+y=0，x-y=0，x+ay=3构成三角形，则实数a的取值可以是()A.-1B.1C.-1或1D.58.若a>0，点A(2，a)到直线l:x-2y+3=0距离为√5，则a=.9.已知M(-1，2)，直线l:2x+y-5=0，点M关于直线l的对称点Q的坐标是.综合提升组10.(2021北京高三二模)点P(cos θ，sin θ)到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为()A.[125,17 5]B.[75,12 5]C.[75,17 5]D.[125,24 5]11.等腰直角三角形ABC的直角顶点为点C(3，3)，若点A的坐标为(0，4)，则点B的坐标是()A.(0，0)B.(0，2)C.(4，6)或(2，0)D.(6，4)12.已知直线l1:ax-y+1=0，l2:x+ay+1=0，a∈R，以下结论错误的是()A.不论a为何值，直线l1与直线l2都互相垂直B.当a变化时，直线l1，l2分别过定点A(0，1)，B(-1，0)C.不论a为何值，直线l1与l2都关于直线x+y=0对称D.若直线l1与l2交于点M，则|MO|的最大值为√213.(2021河北高三二模)直线l1:x+ay-2=0(a∈R)与直线l2:y=34x-1平行，则a=，l1与l2的距离为.创新应用组14.已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P，使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”.下列直线是“切割型直线”的有.x;④直线y=2x+1.①直线y=x+1;②直线y=2;③直线y=43课时规范练39 两条直线的位置关系1.C 解析:因为直线l 1:(a+2)x+(1-a )y-3=0与l 2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直，所以(a+2)(a-1)+(1-a )(2a+3)=0，得a 2=1，解得a=±1.故选C .2.C 解析:因为直线x+ay+2=0与直线ax+y+2a 2=0平行，所以{1×1−a ×a =0,1×2a 2-a ×2≠0即{a =±1,a ≠0,a ≠1, 所以a=-1.故选C .3.D 解析:由两直线垂直得2m+4×(-5)=0，解得m=10，所以原直线为10x+4y-2=0.又因为垂足(1，p )同时满足两直线方程，所以代入得{10×1+4p -2=0,2×1−5p +n =0,解得{p =−2,n =−12,所以m+n-p=10-12+2=0.故选D .4.B 解析:设点M (x ，y )是所求直线上的任意一点，则其关于y 轴的对称点M'(-x ，y )在直线l :2x-3y+1=0上，所以-2x-3y+1=0，即2x+3y-1=0.故选B .5.C 解析:由{4x -y -4=0,x -2y -2=0,得{x =67,y =−47,即直线l 0与l 1的交点A 的坐标为(67,-47)，由{4x -y -4=0,4x +3y -12=0,得{x =32,y =2,即直线l 0与l 2的交点B 的坐标为(32,2)， 所以|AB|=√(67-32)2+(-47-2)2=9√1714. 故选C .6.A 解析:当两条平行直线与直线AB 垂直时，两条平行直线间的距离最大.因为k AB =1−(−1)1−0=2，所以k 1=-12，所以直线l 1的方程为y-1=-12(x-1)，即x+2y-3=0.故选A .7.D 解析:由题意可得直线x+y=0与x-y=0都过原点，而无论a 为何值，直线x+ay=3不过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x+ay=3与另两条直线不平行，所以a ≠±1.故选D . 8.5 解析:由点到直线的距离公式可得√5=√5=√5，即|5-2a|=5.又因为a>0，所以a=5.9.(3，4) 解析:设Q (x 0，y 0).因为点M (-1，2)关于直线l 的对称点是点Q ，所以{y 0-2x 0-(-1)×(−2)=−1,2×x 0-12+y 0+22-5=0,解得{x 0=3,y 0=4,即Q (3，4). 10.C 解析:点P 到直线的距离为d=√32+42=|5sin(θ+φ)-12|5，其中sin φ=35，cos φ=45. 由三角函数性质易知，5sin(θ+φ)-12∈[-17，-7]，故d ∈[75,175].故选C .11.C 解析:设B (x ，y ).根据题意可得{k AC k BC =−1,|BC|=|AC|,即{3−43−0·y -3x -3=−1,√(x -3)2+(y -3)2=√(0-3)2+(4−3)2,解得{x =2,y =0或{x =4,y =6,所以B (2，0)或B (4，6). 故选C .12.C 解析:对于A ，因为a ×1+(-1)×a=0恒成立，所以不论a 为何值，直线l 1与l 2互相垂直恒成立，故A 正确;对于B ，易知直线l 1恒过点A (0，1)，直线l 2恒过点B (-1，0)，故B 正确;对于C ，在直线l 1上任取点(x ，ax+1)，其关于直线x+y=0对称的点的坐标为(-ax-1，-x )，代入直线l 2的方程x+ay+1=0，可知左边不恒等于0，故C 不正确;对于D ，由{ax -y +1=0,x +ay +1=0,解得{x =-a -1a 2+1,y =-a+1a 2+1, 所以M -a -1a 2+1,-a+1a 2+1， 所以|MO|=√(-a -1a 2+1) 2+(-a+1a 2+1) 2=√2a 2+1≤√2，所以|MO|的最大值为√2，故D 正确.故选C .13.-4325解析:l2方程可化为3x-4y-4=0.因为l1∥l2，所以13=a-4≠-2-4，解得a=-43，所以直线l1:x-43y-2=0，即3x-4y-6=0，所以它们之间的距离为d=√32+(−4)2=25.14.②③解析:①点M到直线y=x+1的距离d=√2=3√2>4，故该直线上不存在点P，使|PM|=4，该直线不是“切割型直线”;②点M到直线y=2的距离d=2<4，故该直线上存在点P，使|PM|=4，该直线是“切割型直线”;③点M到直线y=43x的距离d=4，故该直线上存在点P，使|PM|=4，该直线是“切割型直线”;④点M到直线y=2x+1的距离d=√5=11√55>4，故该直线上不存在点P，使|PM|=4，该直线不是“切割型直线”.故答案为②③.。
高考数学一轮复习课时分层训练42两条直线的位置关系文北师大版
课时分层训练(四十二)两条直线的位置关系A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点A (1，－2)，B (m,2)且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1 C [因为线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，代入解得m ＝3.] 2．(2016·北京高考)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( )A ．1B ．2C ． 2D ．2 2C [圆心坐标为(－1,0)，所以圆心到直线y ＝x ＋3即x －y ＋3＝0的距离为|－1－0＋3|12＋－12＝22＝ 2.]3．若直线(a ＋1)x ＋2y ＝0与直线x －ay ＝1互相垂直，则实数a 的值等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 C [由⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12×1a ＝－1，得a ＋1＝2a ，故a ＝1.] 4．(2018·安阳模拟)两条平行线l 1，l 2分别过点P (－1,2)，Q (2，－3)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间距离的取值范围是( )【导学号：00090272】A ．(5，＋∞)B ．(0,5]C ．(34，＋∞)D ．(0，34]D [当PQ 与平行线l 1，l 2垂直时，|PQ |为平行线l 1，l 2间的距离的最大值，|PQ |＝－1－22＋[2－－3]2＝34，因此l 1，l 2之间距离的取值范围是(0，34]．] 5．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)B [直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．]二、填空题6．点(2,1)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为________．(0,3) [设对称点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－1x 0－2＝－1，x 0＋22－y 0＋12＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝3，故所求对称点为(0,3)．]7．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为________．x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0 [设直线l 1的方程为x ＋y ＋C ＝0(C ≠－1)，由题意知|C ＋1|2＝2，即|C ＋1|＝2，解得C ＝1或C ＝－3，因此直线l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.] 8．(2018·郑州模拟)已知b >0，直线x －b 2y －1＝0与直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0互相垂直，则ab 的最小值等于________．2 [由题意知b 2＋1－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1，又b >0，则ab ＝b ＋1b≥2(当且仅当b ＝1时等号成立)， ∴ab 的最小值为2.]三、解答题9．求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．[解] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1,2)． 5分∵l 3的斜率为35，∴l 的斜率为－53， 8分则直线l 的方程为y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0. 12分 10．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)．(1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标；(2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．[解] (1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3，2分 ∴直线l 恒过定点(－2,3).5分(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大.7分 又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15， ∴直线l 的斜率k l ＝－5. 10分故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.12分 B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2018·泰安模拟)如图811所示，已知两点A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )图811A ．210B ．6C ．3 3D ．2 5A [易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4,2)，点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2,0)，则光线所经过的路程即A 1(4,2)与A 2(－2,0)两点间的距离．于是|A 1A 2|＝4＋22＋2－02＝210.]2．(2017·洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2的值为________．【导学号：00090273】10 [由题意知P (0,1)，Q (－3,0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，∴M 位于以PQ 为直径的圆上．∵|PQ |＝9＋1＝10，∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝10.]3．若m ＞0，n ＞0，点(－m ，n )关于直线x ＋y －1＝0的对称点在直线x －y ＋2＝0上，求1m ＋1n的最小值．[解] 易知点(－m ，n )关于直线x ＋y －1＝0的对称点为M (1－n,1＋m ).3分 又点M (1－n,1＋m )在直线x －y ＋2＝0上，∴1－n －(1＋m )＋2＝0，即m ＋n ＝2. 6分于是1m ＋1n ＝12(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥1＋12·2n m ·m n ＝2， 10分当且仅当m ＝n ＝1时，上式等号成立． 因此1m ＋1n 的最小值为2. 12分。
高考数学(文)一轮复习备考学案：《两条直线的位置关系》(北师大版)
第二节两条直线的位置关系对应学生用书P1211．两条直线的位置关系斜截式一般式方程y＝k1x＋b1y＝k2x＋b2A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0)A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)相交k1≠k2A1B2－A2B1≠0⎝⎛⎭⎫当A2B2≠0时，记为A1A2≠B1B2垂直k1＝－1k2或k1k2＝－1A1A2＋B1B2＝0⎝⎛⎭⎫当B1B2≠0时，记为A1B1·A2B2＝－1平行k1＝k2且b1≠b2⎩⎪⎨⎪⎧A1B2－A2B1＝0，B2C1－B1C2≠0或⎩⎪⎨⎪⎧A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0⎝⎛⎭⎫当A2B2C2≠0时，记为A1A2＝B1B2≠C1C22．两条直线的交点设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．3．几种距离(1)两点间的距离：平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式d(A，B)＝|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(2)点到直线的距离：点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax1＋By1＋C|A2＋B2.(3)两条平行线间的距离：两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.1．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[试一试]1．(2013·长春调研)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A.1710 B.175 C ．8D ．2解析：选D ∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.2．已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的 ( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0； (2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0. 2．转化思想在对称问题中的应用对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法． [练一练]1．点(2,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是________．解析：设对称点为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －3a －2＝1，a ＋22＋b ＋32＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.答案：(－4，－3)2．(2014·张家口质检)已知直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________．解析：由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案：3x ＋2y －1＝0对应学生用书P122考点一两条直线平行与垂直1．已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8解析：选A ∵l 1∥l 2， ∴k AB ＝4－mm ＋2＝－2.解得m ＝－8. 又∵l 2⊥l 3，∴－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10.2．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选C 当a ＝2时，直线ax ＋2y ＝0即x ＋y ＝0与直线x ＋y ＝1平行；当直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行时，－a2＝－1，a ＝2.综上所述，“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的充要条件，故选C.3．经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．解析：法一 由方程组{x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得{x ＝0，y ＝2，即P (0,2)． ∵l ⊥l 3，∴直线l 的斜率k 1＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二 ∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. ∵l 与l 3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0， ∴λ＝11，∴直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0. 答案：4x ＋3y －6＝0 [类题通法]充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．考点二距离问题[典例] 已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )． ∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为 y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， ∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. [类题通法]1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求． 注意：直线方程为一般式．2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|P A |＝|PB |这一条件的转化处理．[针对训练]与直线7x ＋24y －5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是______________． 解析：设所求直线方程为7x ＋24y ＋m ＝0， 由3＝|m ＋5|72＋242，∴m ＝70或－80.答案：7x ＋4y －80＝0或7x ＋24y ＋70＝0考点三对称问题对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型.归纳起来常见的命题角度有：(1)点关于点对称； (2)点关于线对称； (3)线关于线对称； (4)对称问题的应用.角度一 点关于点的对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， 解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 角度二 点关于线对称2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标． 解：设A ′(x ，y )，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. 角度三 线关于线对称3．在[角度二]的条件下，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． 解：在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度四 对称问题的应用4．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.[类题通法]解决对称问题的方法(1)中心对称①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y . ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.对应学生用书P123[课堂练通考点]1. (2013·银川模拟)已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a 等于( )A ．3B ．1C ．－1D ．3或－1解析：选C 由题意知，l 1∥l 2⇔1a －2＝a 3≠62a ，即a ＝－1.2．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0垂直，则实数a ＝( ) A.23 B ．－1 C ．2D ．－1或2解析：选A 由a ×1＋(a －1)×2＝0 ∴a ＝23.3．(2014·广州模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0 解析：选D 由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0.4. 已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________． 解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15， 解之得，0≤a ≤10， 所以a ∈[0,10]． 答案：[0,10]5．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． 解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0， 即a 2－a －b ＝0.① 又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0② 由①②得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，∴a b ＝1－a ，b ＝a 1－a ，故l 1和l 2的方程可分别表示为： (a －1)x ＋y ＋4(a －1)a ＝0，(a －1)x ＋y ＋a1－a ＝0，又原点到l 1与l 2的距离相等．∴4⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a ， ∴a ＝2或a ＝23，∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1. (2014·成都模拟)若直线(a ＋1)x ＋2y ＝0与直线x －ay ＝1互相垂直，则实数a 的值等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C 由⎝⎛⎭⎫－a ＋12×1a ＝－1，得a ＋1＝2a ，故a ＝1.2．已知平面内两点A (1,2)，B (3,1)到直线l 的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题知满足题意的直线l 在线段AB 两侧各有1条，又因为|AB |＝ 5，所以还有1条为过线段AB 上的一点且与AB 垂直的直线，故共3条．3. 已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为( ) A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：选A ∵l 2，l 1关于y ＝－x 对称， ∴l 2的方程为－x ＝－2y ＋3.即y ＝12x ＋32.∴l 2的斜率为12.4. 已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：选C 由已知k AB ＝2，即4m －1＝2，解得m ＝3.5. 设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x ＋y －7＝0解析：选D 由|P A |＝|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且P A 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3，4)．直线P A ，PB 关于直线x ＝3对称，直线P A 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB 上，∴直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.6. 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴，y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，若折痕所在直线的斜率为k (k ≠0)，则折痕所在直线的方程为________．解析：设将矩形折叠后A 点落在线段CD 上对应的点为G (a,1)(0≤a ≤2)，所以A 与G 关于折痕所在的直线对称，设所求直线的斜率为k ，则有k AG ·k ＝－1，即1a·k ＝－1，得a ＝－k ，故G 点的坐标为(－k,1)(－2≤k <0)，从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫－k 2，12 ，折痕所在直线的方程为y －12＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋k 2，即y ＝kx ＋k 22＋12(－2≤k <0)． 答案：y ＝kx ＋12k 2＋12(－2≤k <0) 7．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79. 答案：－13或－798. (创新题)若实数x ，y 满足x |x |－y |y |＝1，则点(x ，y )到直线y ＝x 的距离的取值范围是________．解析：①当x ≥0且y ≥0时，x |x |－y |y |＝x 2－y 2＝1；②当x ＞0且y ＜0时，x |x |－y |y |＝x 2＋y 2＝1；③当x ＜0且y ＞0时，无意义；④当x ＜0且y ＜0时，x |x |－y |y |＝y 2－x 2＝1.作出图象如图所示，因为直线y ＝x 为两段等轴双曲线的渐近线，四分之一个单位圆上的点到直线y＝x 的距离的最大值为1.∴取值范围为(0,1]．答案：(0,1]9．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )．(1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围；(2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋122＋14，因为a 2≥0，所以b ≤0.又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a，|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2， 当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.10. 已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)．∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－y x ′－x×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝－4x ＋3y －95， ③ y ′＝3x ＋4y ＋35. ④(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7，∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.第Ⅱ组：重点选做题1. 已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)解析：选C 点A 关于直线y ＝2x 对称的点为(4，－2)，且点A 关于y ＝2x 对称的点在BC上，于是BC 所在的直线方程为3x ＋y －10＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，3x ＋y －10＝0，得点C 的坐标为(2,4)． 2．若点(1,1)到直线x cos α＋y sin α＝2的距离为d ，则d 的最大值是________． 解析：依题意有d ＝|cos α＋sin α－2|＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－2. 于是当sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1时，d 取得最大值2＋ 2. 答案：2＋ 2。
最新高考数学一轮复习课时规范练点与直线两条直线的位置关系理北师大版
课时规范练45 点与直线、两条直线的位置关系基础巩固组1.(2018湖北稳派教育二联,3)若直线l1x+ay+6=0与l2(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2之间的距离为()A. B.4C. D.22.直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位长度,所得到的直线为()A.y=-x+B.y=-x+1C.y=3x-3D.y=x+13.直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+b=0垂直,垂足为(1,c),则a+b+c= ()A.-2B.-4C.-6D.-84.三条直线ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10相交于一点,则a的值是()A.-2B.-1C.0D.15.已知平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3,-1),C(2,-3)两点,点D在直线3x-y+1=0上移动,则点B的轨迹方程为()A.3x-y-20=0B.3x-y-10=0C.3x-y-9=0D.3x-y-12=06.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是()A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0D.x+2y-3=07.(2018山东栖霞期末,5)过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是()A.x+2y-5=0B.2x-y-4=0C.x+3y-7=0D.3x+y-5=08.如图所示,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是()A.2B.6C.3D.29.(2018河北廊坊期末,13)若直线mx-(m+2)y+2=0与3x-my-1=0互相垂直,则点(m,1)到y轴的距离为.10.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n= .11.点A(3,-4)与点B(5,8)关于直线l对称,则直线l的方程为.12.已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,则2x+4y的最小值为.综合提升组13.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是()A.[,2]B.[,2]C.[,4]D.[2,4]14.若直线ly=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.15.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-或-B.-或-C.-或-D.-或-16.已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为.创新应用组17.如图,已知直线l1∥l2,点A是l1,l2之间的定点,点A到l1,l2之间的距离分别为3和2,点B是l2上的一动点,作AC⊥AB,且AC与l1交于点C,则△ABC的面积的最小值为.18.在平面直角坐标系xOy中,将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,沿y轴正方向平移5个单位长度,得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度,沿y轴负方向平移2个单位长度,又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2,3)对称,则直线l的方程是.参考答案课时规范练45 点与直线、两条直线的位置关系1.C∵l1∥l2,∴a≠2且a≠0,∴=≠,解得a=-1,∴l1与l2的方程分别为l1x-y+6=0,l2x-y+=0,∴l1与l2之间的距离d==.2.A将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y=-x,再向右平移1个单位长度,所得直线的方程为y=- (x-1),即y=-x+.故选A.3.B∵直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+b=0垂直,∴-×=-1,∴a=10,∴直线ax+4y-2=0方程为5x+2y-1=0.将点(1,c)的坐标代入上式可得5+2c-1=0,解得c=-2.将点(1,-2)的坐标代入方程2x-5y+b=0得2-5×(-2)+b=0,解得b=-12.∴a+b+c=10-12-2=-4.故选B.4.B解方程组得交点坐标为(4,-2),代入ax+2y+8=0,得a=-1.故选B.5.A设AC的中点为O,则O,-2.设B(x,y)关于点O的对称点为(x0,y0),即D(x0,y0),则因为点D在直线3x-y+1=0上,所以3x0-y0+1=0,得点B的轨迹方程为3x-y-20=0.6.D设所求直线上任一点(x,y),则它关于直线x=1的对称点(2-x,y)在直线x-2y+1=0上,即2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0.7.A由题意,过原点和点A(1,2)的直线的斜率k1=2,因为所求直线过点A(1,2)且与原点的距离最大,则所求直线与直线OA是垂直,即所求直线的斜率为k=-,由直线的点斜式方程可得y-2=-(x-1),即x+2y-5=0,故选A.8.A易得AB所在的直线方程为x+y=4,由于点P关于直线AB对称的点为D(4,2),点P关于y轴对称的点为C(-2,0),则光线所经过的路程即D,C两点间的距离.于是|DC|==2.9. 0或5当m=0时,mx-(m+2)y+2=-2y+2=0,即y=1,3x-my-1=3x-1=0,即x=,此时两直线垂直,点(m,1)到y轴的距离为0;当m≠0时,由题意有·=-1,解得m=5,点(m,1)到y轴的距离为5.10. 由题意可知,折痕是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y=2x-3,它也是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是解得故m+n=.11.x+6y-16=0由题意知直线l是线段AB的垂直平分线,AB的中点为(4,2),k AB=6,所以直线l的斜率k=-,所以直线l的方程为y-2=-(x-4),即x+6y-16=0.12.4由题意得,点P在线段AB的垂直平分线上,则易得点P的轨迹方程为x+2y=3,所以2x+4y≥2=2=4,当且仅当x=2y=时等号成立,故2x+4y的最小值为4.13.B由题意可知,动直线x+my=0经过定点A(0,0),动直线mx-y-m+3=0即m(x-1)-y+3=0经过定点B(1,3),∵动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0始终垂直,P又是两条直线的交点,∴PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.由基本不等式可得|PA|2+|PB|2≤(|PA|+|PB|)2≤2(|PA|2+|PB|2),即10≤(|PA|+|PB|)2≤20,可得≤|PA|+|PB|≤2.故选B.14.B联立两直线方程得可得两直线的交点坐标为,,∵两直线的交点在第一象限,∴不等式的解集为k>,设直线l的倾斜角为θ,则tan θ>,∴θ∈,,故选B.15.D如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.所以圆心到直线的距离d==1,解得k=-或k=-.16.(2,4)设点A(-4,2)关于直线y=2x的对称点为(x,y),则解得∴BC所在直线方程为y-1=(x-3),即3x+y-10=0.同理可得点B(3,1)关于直线y=2x的对称点为(-1,3),∴AC所在直线方程为y-2=(x+4),即x-3y+10=0.联立解得则C(2,4).17.6以A为坐标原点,平行于l1的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设B(a,-2),C(b,3).∵AC⊥AB,∴ab-6=0,ab=6,b=.Rt△ABC的面积S=·=·=≥=6(当且仅当a2=4时取等号).18.6x-8y+1=0由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+b,将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,沿y轴正方向平移5个单位长度,得到直线l1y=k(x-3)+5+b,将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度,沿y轴负方向平移2个单位长度,则平移后的直线方程为y=k(x-3-1)+b+5-2,即y=kx+3-4k+b,∴b=3-4k+b,解得k=,∴直线l的方程为y=x+b,直线l1的方程为y=x++b,取直线l上的一点Pm,b+,则点P关于点(2,3)的对称点为4-m,6-b-,∴6-b-= (4-m)+b+,解得b=.∴直线l的方程是y=x+,即6x-8y+1=0.。
北师大版高中数学必修2课时练习-两条直线的位置关系
课时练习(十六) 两条直线的位置关系(建议用时：40分钟)一、选择题1．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( ) A.1a B ．aC ．－1aD ．－1a 或不存在D [若a ＝0，则l 2的斜率不存在；若a ≠0，则l 2的斜率为－1a .] 2．过点(－1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0B [设直线方程为x －2y ＋C ＝0，将(－1,0)代入上式，得C ＝1，所求方程为x －2y ＋1＝0.]3．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形 C [k AB ＝－1－12＋1＝－23，k AC ＝4－11＋1＝32，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∠A 为直角．]4．平行于直线4x ＋3y －3＝0，且不过第一象限的直线的方程是( ) A ．3x ＋4y ＋7＝0 B ．4x ＋3y ＋7＝0 C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0B [平行于直线4x ＋3y －3＝0的直线具有形式4x ＋3y ＋c ＝0，故排除A 、D.但选项C 中直线的截距为正，直线过第一象限，不符合条件，故应选B.]5．直线l 1：(3＋a )x ＋4y ＝5－3a ，和直线l 2：2x ＋(5＋a )y ＝8平行，a 等于( )A ．－7或－1B ．－7C ．7或1D ．－1B [因为两直线平行，所以(3＋a )·(5＋a )＝2×4，解得a ＝－1或－7. 当a ＝－1时，两直线重合，故a ＝－7.] 二、填空题6．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，给出下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD .其中正确的是________．(把正确选项的序号填在横线上)①④ [∵k AB ＝－35，k CD ＝－35，k AC ＝14，k BD ＝－4， ∴AB ∥CD ，AC ⊥BD .]7．与直线3x －2y ＋6＝0平行且纵截距为9的直线l 的方程为________． 3x －2y ＋18＝0 [设直线l 的方程为3x －2y ＋b ＝0，令x ＝0，y ＝b2＝9，得b ＝18，故所求的直线方程为3x －2y ＋18＝0.]8．已知A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为________．0或1 [当m ＝0时，A (0,3)，B (0,4)，C (1,2)，D (1,0)，此时直线AB 与直线CD 的斜率均不存在，满足直线AB 与直线CD 平行；当m ≠0时，由题意，可得k AB ＝m ＋4－32m －m ＝m ＋1m ，k CD ＝2－0m ＋1－1＝2m .∵直线AB 与直线CD 平行，所以m ＋1m ＝2m ，解得m ＝1.综上m ＝0或1.]三、解答题9．已知点M (2,2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标．(1)∠MOP ＝∠OPN (O 是坐标原点)； (2)∠MPN 是直角． [解] 设P (x,0)，(1)∵∠MOP ＝∠OPN ，∴OM ∥NP ，∴k OM ＝k NP . 又k OM ＝2－02－0＝1，k NP ＝0－(－2)x －5＝2x －5(x ≠5)，∴1＝2x －5，∴x ＝7，即P (7,0)． (2)∵∠MPN ＝90°，∴MP ⊥NP ， ∴k MP ·k NP ＝－1.k MP ＝22－x (x ≠2)，k NP ＝2x －5(x ≠5)，∴22－x ×2x －5＝－1，解得x ＝1或x ＝6， 即P (1,0)或(6,0)．10．已知直线l 1过点A (1,1)，B (3，a )，直线l 2过点M (2,2)，N (3＋a,4)． (1)若l 1∥l 2，求a 的值； (2)若l 1⊥l 2，求a 的值． [解] kl 1＝k AB ＝a －13－1＝a －12.(1)若l 1∥l 2，则3＋a ≠2，且kl 2＝k MN ＝4－2(a ＋3)－2＝2a ＋1＝a －12，即a ≠－1且a 2＝5，∴a ＝±5.(2)当a ＋3＝2，即a ＝－1时，l 2无斜率， 此时kl 1＝－1，∴l 1与l 2不垂直； 当a ＋3≠2，即a ≠－1时，kl 2＝2a ＋1，由l 1⊥l 2，得kl 1·kl 2＝a －12·2a ＋1＝－1，即a ＝0.1．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的BC 边上的高所在直线方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y ＋2＝0D ．x －y ＝0B [k BC ＝3－11－3＝－1，∴高所在直线斜率为1，∴方程为y －1＝1×(x ＋1)，即x －y ＋2＝0.]2．两直线的斜率分别是方程x 2＋2 019x －1＝0的两根，那么这两直线的位置关系是( )A ．垂直B ．相交但不垂直C ．平行D ．重合A [设两直线的斜率分别为k 1，k 2， ∵k 1，k 2是方程x 2＋2 019x －1＝0的两根， 利用根与系数的关系得，k 1k 2＝－1， ∴两直线的位置关系是垂直．]3．已知平行四边形ABCD 中，A (1,1)，B (－2,3)，C (0，－4)，则点D 的坐标为________．(3，－6) [设D (x ，y )，由题意可知，AB ∥CD 且AD ∥BC ， ∴k AB ＝k CD 且k AD ＝k BC ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－1－2－1＝y ＋4x ，－4－30＋2＝y －1x －1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－6，∴D 点的坐标为(3，－6)．]4．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)且与直线2x ＋3y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为________．－23 [由题意知两直线的斜率均存在，且直线l 与斜率为－23的直线垂直，则直线l 的斜率为32，于是32＝1－(－1)(－a －2)－(a －2)＝2－2a ＝－1a ，解得a ＝－23.]5．已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )，B (5，－1)，C (4,2)，D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形．[解] (1)当∠A ＝∠D ＝90°时，如图①所示，∵四边形ABCD 为直角梯形，∴AB ∥DC 且AD ⊥AB .易求得m ＝2，n ＝－1.(2)当∠A ＝∠B ＝90°时，如图②所示，∵四边形ABCD 为直角梯形， ∴AD ∥BC 且AB ⊥BC . ∴k AD ＝k BC ，k AB ·k BC ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝－3，n ＋1m －5×(－3)＝－1，解得m ＝165，n ＝－85.综上所述，m ＝2，n ＝－1或m ＝165，n ＝－85.。
适用于新教材2024版高考数学一轮总复习：两条直线的位置关系课件北师大版
自主诊断
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”)
1.当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.( × )
2.若两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( × )
直线方程必须是一般式
|C 1 -C 2 |
线线距
d= 2 2
两条平行直线 Ax+By+C1=0 与
A +B
Ax+By+C2=0(A2+B2≠0)间的距离 应用两平行直线的距离公式
时,直线方程必须是一般式,且
可以转化为点到直线的距离
x,y 的对应系数分别对应相等
常用结论
1.五个关于对称的结论
(1)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).
l1与l2重合⇔k1=k2且b1=b2
l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2
l1:y=k1x+b1
l2:y=k2x+b2
两直线平行时,它们的斜率可能都不存在
l1与l2相交⇔k1≠k2
l1⊥l2⇔ k1k2=-1
当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2
两条直线的方程
位置关系的判定
若 A1,A2,B1,B2,C1,C2 均不为 0,则 l1 与 l2 重合
5 13
A.
26
4 13
B.
13
2 13
C.
13
)
3 13
D.
13
高考数学一轮复习课后限时集训44两条直线的位置关系理含解析北师大版
编 辑：__________________
时 间：__________________
课后限时集训(四十四) 两条直线的位置关系
(建议用时：60分钟)
A组 基础达标
一、选择题
1．已知直线l的倾斜角为 ，直线l1经过P(－2， )，Q(m,0)两点，且直线l与l1垂直，则实数m的值为( )
4．经过两直线l1：2x－3y＋2＝0与l2：3x－4y－2＝0的交点，且平行于直线4x－2y＋7＝0的直线方程是( )
A．x－2y＋9＝0B．4x－2y＋9＝0
C．2x－y－18＝0D．x＋2y＋18＝0
C[由 解得 所以直线l1，l2的交点坐标是(14,10)．设与直线4x－2y＋7＝0平行的直线l的方程为4x－2y＋c＝0(c≠7)．因为直线l过直线l1，l2的交点(14,10)，所以c＝－36.所以直线l的方程为4x－2y－36＝0，即2x－y－18＝0.故选C.]
5．(20xx·运城二模)在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2＝( )
A. B．
C．5D．10
D[由题意知P(0,1)，Q(－3,0)，∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，
∴MP⊥MQ，∴|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝9＋1＝10，故选D．]
(2)因为直线l2过C点且A，B到直线l2的距离相等，
所以直线l2与AB平行或过AB的中点M，因为kAB＝ ＝－1，所以直线l2的方程是y＝－(x－3)＋4，即x＋y－7＝0.
因为AB的中点M的坐标为(0,2)，
高考数学一轮复习课时训练 两条直线的位置关系 北师大版
A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·茂名模拟)直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )．A ．3x ＋2y －1＝0B ．2x －3y ＋5＝0C ．3x ＋2y ＋7＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析 由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案 A2．(2011·湖州模拟)“m ＝2”是“直线2x ＋my ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的( )．A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析 m ＝2时，直线2x ＋my ＝0与直线x ＋y ＝1平行，故充分性成立；反之，直线2x ＋my ＝0与直线x ＋y ＝1平行时，m ＝2，故必要性成立．所以“m ＝2”是“直线2x ＋my ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的充要条件． 答案 A3．(2011·南京调研)与直线3x －4y ＋5＝0，关于x 轴对称的直线方程为( )． A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0. 答案 A4．过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程为( )． A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝0解析 所求直线过点A 且与OA 垂直时满足条件，此时k OA ＝2，故求直线的斜率为－12，所以直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.答案 A5．(2012·西安调研)已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y－2＝0，则实数m 的值是( )． A ．－2 B ．－7 C ．3 D ．1 解析 由已知条件可知线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，把中点坐标代入直线方程，解得m ＝3. 答案 C二、填空题(每小题4分，共12分)6．(★)(2011·江苏南通、扬州、泰州二模)若直线ax －2y ＋2＝0与直线x ＋(a －3)y ＋1＝0平行，则实数a 的值为________．解析 (回顾检验法)由两直线平行的条件得a (a －3)＝－2，解得a ＝1或2，经检验，a ＝2时两直线重合，所以两直线平行时，实数a 的值为1. 答案 1【点评】 本题一定要回顾检验.因为本题用了平行条件A 1B 2－A 2B 1＝0来求a 值，而平行条件中未除掉重合的情况，因此把所求a 值再代入原直线方程检验.)7．(2011·东北三校二模)已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.解析 由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35.答案 358．(2012·舟山模拟)已知1a ＋1b＝1(a ＞0，b ＞0)，点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值为________．解析 点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离为d ＝a ＋2b5＝15(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2b a ＋a b ≥15(3＋22)＝35＋2105，当a 2＝2b 2且a ＋b ＝ab ，即a ＝1＋2，b ＝2＋22时取等号． 答案35＋2105三、解答题(共23分)9．(11分)求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴l 1与l 2交点为(1,2)，设所求直线y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，∵P (0,4)到直线距离为2，∴2＝|－2－k |1＋k 2，∴k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.10．(12分)(2012·合肥月考)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解 (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0.又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0. 故a ＝2，b ＝2.(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a b＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．若三条直线l 1：4x ＋y ＝4，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my ＝4不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个解析 三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－16；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m ＝－1或23，故实数m 的取值最多有4个．答案 C2．(2012·沧州模拟)若曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )．A.722B.922C.1122D.91010解析 由题意得切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k ＝y ′|x ＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l 的方程为y －(－1)＝－1[x －(－1)]，整理得x ＋y ＋2＝0，由点到直线的距离公式得：点P (3,2)到直线l 的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722. 答案 A二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2012·厦门模拟)若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是 ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°其中正确答案的序号是________(写出所有正确答案的序号)． 解析 记直线m 的倾斜角是θ.由题意知直线l 1、l 2间的距离等于22＝ 2.又直线m 被直线l 1、l 2所截得的线段的长是22，因此直线m 与直线l 1的夹角的正弦值等于222＝12，直线m 与直线l 1的夹角是30°，又直线l 1的倾斜角是45°，因此θ＝15°或θ＝75°，故正确答案的序号是①⑤. 答案 ①⑤4．(2012·绍兴模拟)已知0＜k ＜4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为________． 解析 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,4)，直线l 1的纵截距为4－k ，直线l 2的横截距为2k 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(4－k )＋12×4×(2k 2＋2)＝4k 2－k ＋8，故面积最小时，k ＝18.答案 18三、解答题(共22分)5．(10分)(2012·荆州二检)过点P (1,2)的直线l 被两平行线l 1：4x ＋3y ＋1＝0与l 2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB |＝2，求直线l 的方程. 解 设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，解得B ⎝⎛⎭⎪⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4.∵|AB |＝2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫53k ＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5k 3k ＋42＝2， 整理，得7k 2－48k －7＝0， 解得k 1＝7或k 2＝－17.因此，所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0，或7x －y －5＝0.6．(12分)过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程． 解 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， ∴a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.。
【创新设计】高考数学一轮复习 课时作业9.2 两条直线的位置关系 理 北师大版
第2讲 两条直线的位置关系基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是 ( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析 由题意知，直线l 的斜率是－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x＋2y －1＝0. 答案 A2．(2014·济南模拟)已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a ＝( )A ．－1B ．2C ．0或－2D ．－1或2解析 若a ＝0，两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0；当a ≠0时，两直线若平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或2. 答案 D3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( )A ．4 B.21313 C.52613D.72010 解析 把3x ＋y －3＝0化为6x ＋2y －6＝0，则两平行线间的距离d ＝|1－－62＋22＝72010. 答案 D4．(2015·南昌调研)当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0<k <12，所以kk －1<0，2k －1k －1>0，故交点在第二象限． 答案 B5．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析 直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．答案 B 二、填空题6．已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.解析 由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0， 解得a ＝35.答案 357．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9. 答案 －98．(2015·秦皇岛检测)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2，2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析 显然直线l 斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， ∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 答案 2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0 三、解答题9．已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得：(1)l 1与l 2相交；(2)l 1⊥l 2；(3)l 1∥l 2；(4)l 1，l 2重合． 解 (1)由已知1×3≠m (m －2)， 即m 2－2m －3≠0，解得m ≠－1且m ≠3. 故当m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交． (2)当1·(m －2)＋m ·3＝0，即m ＝12时，l 1⊥l 2.(3)当1×3＝m (m －2)且1×2m ≠6×(m －2)或m ×2m ≠3×6，即m ＝－1时，l 1∥l 2. (4)当1×3＝m (m －2)且1×2m ＝6×(m －2)， 即m ＝3时，l 1与l 2重合．10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程． 解 依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC ，l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4,3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．(2014·西安一模)若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析 因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0.欲求m 2＋n 2的最小值可先求m －2＋n －2的最小值，而m －2＋n －2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小为2. 所以m 2＋n 2的最小值为4. 答案 C12.如图所示，已知两点A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．3 3D ．2 5解析 易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4,2)，点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2,0)，则光线所经过的路程即A 1(4,2)与A 2(－2,0)两点间的距离．于是|A 1A 2|＝＋2＋－2＝210.答案 A13．(2014·四川卷)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________． 解析 易知A (0,0)，B (1,3)且两直线互相垂直， 即△APB 为直角三角形，∴|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝|AB |22＝102＝5.答案 514．已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解 (1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋－2＝7510， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72， 又a ＞0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)．若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能． 联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12；(舍去)联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件．。
最新高考数学一轮复习分层训练两条直线的位置关系(1)北师大版
课时分层训练(四十九) 两条直线的位置关系A 组 基础达标一、选择题1．已知点A (1，－2)，B (m,2)且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1 C [因为线段AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，代入解得m ＝3.]2．(2016·北京高考)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( )A ．1B ．2 C. 2 D ．22C [圆心坐标为(－1,0)，所以圆心到直线y ＝x ＋3即x －y ＋3＝0的距离为|－1－0＋3|12＋(－1)2＝22＝ 2.]3．已知直线l 1：mx ＋y －1＝0与直线l 2：(m －2)x ＋my －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的( )【导学号：79140270】A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件A [由l 1⊥l 2，得m (m －2)＋m ＝0，解得m ＝0或m ＝1，所以“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件，故选A.]4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)B [直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．]5．(2017·河南安阳一模)两条平行线l 1、l 2分别过点P (－1,2)，Q (2，－3)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1、l 2之间距离的取值范围是( )A ．(5，＋∞)B ．(0,5]C ．(34，＋∞)D ．(0，34]D [当PQ 与平行线l 1，l 2垂直时，|PQ |为平行线，l 1，l 2间的距离的最大值，为(－1－2)2＋[2－(－3)]2＝34，所以l 1，l 2之间距离的取值范围是(0，34]．故选D.] 二、填空题6．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．2 [由题意知63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，∴直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，∴两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.] 7．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________.【导学号：79140271】⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413 [设A ′(x ，y )， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎪⎫－3313，413.] 8．l 1，l 2是分别经过点A (1,1)，B (0，－1)的两条平行直线，当l 1与l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．x ＋2y －3＝0 [当AB ⊥l 1时，两直线l 1与l 2间的距离最大，由k AB ＝－1－10－1＝2，知l 1的斜率k ＝－12，∴直线l 1的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.] 三、解答题9．已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)当l 1∥l 2时，求a 的值； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．[解] (1)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，最新高考数学一轮复习 分层训练由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1. 综上可知，a ＝－1. 法二：由l 1∥l 2知⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6⇒a ＝－1.(2)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合； 当a ≠1时，l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由l 1⊥l 2， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a＝－1⇒a ＝23.法二：∵l 1⊥l 2，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0， 即a ＋2(a －1)＝0，得a ＝23.]10．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)．(1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程.【导学号：79140272】[解] (1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，∴直线l 恒过定点(－2,3)．(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，∴直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.小学+初中+高中B 组 能力提升11．(2018·广州综合测试(二))已知三条直线2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23 D [设l 1：2x －3y ＋1＝0，l 2：4x ＋3y ＋5＝0，l 3：mx －y －1＝0，易知l 1与l 2交于点A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13，l 3过定点B (0，－1)．因为l 1，l 2，l 3不能构成三角形，所以l 1∥l 3或l 2∥l 3或l 3过点A .当l 1∥l 3时，m ＝23；当l 2∥l 3时，m ＝－43；当l 3过点A 时，m ＝－23，所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23，故选D.]12．过点A (4,1)，B (1,5)，C (－3,2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________.【导学号：79140273】25 [因为k AB ＝5－11－4＝－43，k DC ＝2－(－2)－3－0＝－43.k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝34. 则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形． 又k AD ·k AB ＝－1，即AD ⊥AB ， 故四边形ABCD 为矩形．故S ＝|AB |·|AD |＝(1－4)2＋(5－1)2×(0－4)2＋(－2－1)2＝25.] 13．已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点．(1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．[解] (1)易知l 不可能为l 2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0. ∵点A (5,0)到l 的距离为3， ∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3，则2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或λ＝12，∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.最新高考数学一轮复习 分层训练(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤PA (当l ⊥PA 时等号成立)，∴d max ＝PA ＝(5－2)2＋(0－1)2＝10.。
高考数学(理)复习训练：《两条直线的位置关系》(北师大版)
【A级】基础训练1．(2014·株洲模拟)点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是()A.12B．32C.322D．22解析：由点到直线的距离公式得距离为|1＋1＋1|1＋(－1)2＝322.答案：C2．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点() A．(1，－2) B．(1,2)C．(－1,2) D．(－1，－2)解析：因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b＝－2，即b＝－k－2，于是直线方程化为y＝kx－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)．答案：A3．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于()A．2 B．1C．0 D．－1解析：由题意，知a(a＋2)＝－1，∴a＝－1，选D.答案：D4．(2014·黄石模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()A．(3,0) B．(－3,0)C．(0，－3) D．(0,3)解析：∵点P在y轴上，∴设P(0，y)，又∵kl1＝2，l1∥l2，∴kl2＝y－10－(－1)＝y－1＝2，∴y ＝3，∴P (0,3)．答案：D5．若点(1,1)到直线x cos α＋y sin α＝2的距离为d ，则d 的最大值是________． 解析：d ＝|cos α＋sin α－2|cos 2α＋sin 2α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－2， 所以d 的最大值等于2＋ 2.答案：2＋ 26．(2014·武汉模拟)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，当l 1与l 2相交于点P (m ，－1)时，m ， n 的值分别为________、________.解析：∵m 2－8＋n ＝0,2m －m －1＝0，∴m ＝1，n ＝7.答案：1 77．已知直线l 1经过点A (2，a )，B (a －1,3)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－3，a ＋2)．(1)若l 1∥l 2，求a 的值；(2)若l 1⊥l 2，求a 的值．解：设直线l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2，若a ＝3，则k 1不存在，k 2＝－34，则l 1与l 2既不平行，也不垂直．因此a ≠3，k 1＝a －33－a ＝－1，k 2＝a ＋2－2－3－1＝－a 4.(1)∵l 1∥l 2，∴k 1＝k 2.∴－1＝－a 4.∴a ＝4.(2)∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1.∴(－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＝－1.∴a ＝－4. 8．过点P (－1,2)引一直线，两点A (2,3)，B (－4,5)到该直线的距离相等，求这条直线的方程．解：方法一：当斜率不存在时，过点P (－1,2)的直线方程为：x ＝－1，A (2, 3)到x ＝－1的距离等于3，且B (－4,5)到x ＝－1的距离也等于3，符合题意；当直线的斜率存在时，设斜率为k ，过点P (－1,2)的直线方程为：y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0， 依题设知：|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，解上式得：k ＝－13，所以，所求直线方程为：x ＋3y －5＝0；综上可知，所求直线方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0.方法二：依题设知：符合题意的直线共有两条，一条是过点P (－1,2)与AB 平行的直线，另一条是过点P 及AB 中点的直线．因为A (2,3)，B (－4,5)，所以k AB ＝3－52＋4＝－13，因此，过点P 与AB 平行的直线的方程为：y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0；又因为A (2,3)，B (－4,5)的中点坐标D (－1,4)，所以过点P 及AB 中点的直线方程为x ＝－1；综上可知，所求直线方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0.【B 级】 能力提升1．曲线|x |2－|y |2＝1与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，则m 的取值范围为( )A ．m ＞4或m ＜－4B ．－4＜m ＜4C ．m ＞3或m ＜－3D ．－3＜m ＜3解析：曲线|x |2－|y |3＝1的图像如图所示，与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，则m ＞4或m ＜－4，应选A.答案：A2．(2013·高考全国新课标卷)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12 解析：根据题意画出图形，根据面积相等得出a ，b 的关系式，然后求出b 的取值范围．由题意画出图形，如图(1)．由图可知，直线BC 的方程为x ＋y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b ，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－b a ＋1，a ＋b a ＋1. 可求N (0，b )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ，0. ∵直线y ＝ax ＋b 将△ABC 分割为面积相等的两部分，∴S △BDM ＝12S △ABC .又S △BOC ＝12S △ABC ，∴S △CMN ＝S △ODN ， 即12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－b a ×b ＝12(1－b )×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－b a ＋1. 整理得b 2a ＝(1－b )2a ＋1.∴(1－b )2b 2＝1＋a a ，∴1b －1＝1＋1a ，∴1b ＝1＋1a ＋1，即b ＝11＋1a ＋1，可以看出，当a 增大时，b 也增大．当a →＋∞时，b →12，即b <12.当a →0时，直线y ＝ax ＋b 接近于y ＝b .当y ＝b 时，如图(2)，S △CDM S △ABC＝CN 2CO 2＝(1－b )212＝12. ∴1－b ＝22，∴b ＝1－22.∴b >1－22.由上分析可知1－22<b <12，故选B.答案：B3．(2014·武汉模拟)若点A (3,5)关于直线l ：y ＝kx 的对称点在x 轴上，则k 是( )A.－1±52 B ．±3 C.－1±304D ．－3±345 解析：由题设点A (3,5)关于直线l ：y ＝kx 的对称点为B (x 0,0)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 5－03－x 0＝－1k ，5＋02＝k ×3＋x 02，解得k ＝－3±345. 答案：D4．直线x ＋2y －3＝0与直线ax ＋4y ＋b ＝0关于点A (1,0)对称，则b ＝________. 解析：由题意，点A (1,0)不在直线x ＋2y －3＝0上， 则－12＝－a 4，∴a ＝2，又点A 到两直线的距离相等，∴|b ＋2|＝4，∴b ＝－6或b ＝2，又∵点A 不在直线上，两直线不重合，∴b ＝2.答案：25．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°其中正确答案的序号是________(写出所有正确答案的序号)．解析：如图，由两平行线间距离可得d ＝|1－3|2＝2，故m 与两平行线的夹角都是30°，而两平行线的倾斜角为45°，则m 的倾斜角为75°或15°，故选①⑤.答案：①⑤6．(2014·聊城模拟)若点P 是曲线y ＝x 2上的任意点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________．解析：在曲线y ＝x 2上任取一点P (x 0，y 0)，则P 到直线y ＝x －2的距离为：|x 0－y 0－2|2＝|x 0－x 20－2|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－122－742＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－122＋742， 因此，当x 0＝12时其最小值为728.答案：7287．(创新题)如图，函数f (x )＝x ＋2x 的定义域为(0，＋∞)．设点P 是函数图像上任一点，过点P 分别作直线y ＝x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N .(1)证明：|PM |·|PN |为定值；(2)O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值．解：(1)证明：设P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋2x 0(x 0＞0)． 则|PN |＝x 0，|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 02＝1x 0， 因此|PM |·|PN |＝1.(2)直线PM 的方程为y －x 0－2x 0＝－(x －x 0)， 即y ＝－x ＋2x 0＋2x 0.解方程组得⎩⎨⎧ y ＝x ，y ＝－x ＋2x 0＋2x 0，x ＝y ＝x 0＋22x 0， S 四边形OMPN ＝S △NPO ＋S △OPM＝12|PN ||ON |＋12|PM ||OM |＝12x 0⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋2x 0＋22x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12x 0 ＝2＋12⎝⎛⎭⎪⎫x 20＋1x 20≥1＋2， 当且仅当x 0＝1x 0，即x 0＝1时等号成立， 因此四边形OMPN 的最小值为1＋ 2.。
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A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2012·茂名模拟)直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )．
A ．3x ＋2y －1＝0
B ．2x －3y ＋5＝0
C ．3x ＋2y ＋7＝0
D ．2x －3y ＋8＝0
解析 由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－3
2，由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－3
2(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0. 答案 A
2．(2011·湖州模拟)“m ＝2”是“直线2x ＋my ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的
( )．
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 m ＝2时，直线2x ＋my ＝0与直线x ＋y ＝1平行，故充分性成立；反之，直线2x ＋my ＝0与直线x ＋y ＝1平行时，m ＝2，故必要性成立．所以“m ＝2”是“直线2x ＋my ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的充要条件． 答案 A
3．(2011·南京调研)与直线3x －4y ＋5＝0，关于x 轴对称的直线方程为( )． A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0
D ．－3x ＋4y ＋5＝0
解析 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0. 答案 A
4．过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程为( )．
A ．x ＋2y －5＝0
B ．2x ＋y －4＝0
C ．x ＋3y －7＝0
D ．3x ＋y －5＝0
解析 所求直线过点A 且与OA 垂直时满足条件，此时k OA ＝2，故求直线的斜率为－12，所以直线方程为y －2＝－1
2(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 答案 A
5．(2012·西安调研)已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )． A ．－2 B ．－7 C ．3 D ．1
解析 由已知条件可知线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，把中点
坐标代入直线方程，解得m ＝3. 答案 C
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(★)(2011·江苏南通、扬州、泰州二模)若直线ax －2y ＋2＝0与直线x ＋(a －3)y ＋1＝0平行，则实数a 的值为________．
解析 (回顾检验法)由两直线平行的条件得a (a －3)＝－2，解得a ＝1或2，经检验，a ＝2时两直线重合，所以两直线平行时，实数a 的值为1. 答案 1
【点评】 本题一定要回顾检验.因为本题用了平行条件A 1B 2－A 2B 1＝0来求a 值，而平行条件中未除掉重合的情况，因此把所求a 值再代入原直线方程检验.) 7．(2011·东北三校二模)已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.
解析 由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝3
5. 答案 35
8．(2012·舟山模拟)已知1a ＋1
b ＝1(a ＞0，b ＞0)，点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的
距离的最小值为________．
解析 点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离为d ＝
a ＋2
b 5＝
15(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝
15
⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2b a ＋a b ≥15(3＋22)＝35＋2105，当a 2＝2b 2
且a ＋b ＝ab ，即a ＝1＋
2，b ＝2＋2
2时取等号． 答案 35＋2105
三、解答题(共23分)
9．(11分)求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程．
解 由⎩⎨⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎨⎧
x ＝1，y ＝2.∴l 1与l 2交点为(1,2)，
设所求直线y －2＝k (x －1)，即k x －y ＋2－k ＝0， ∵P (0,4)到直线距离为2，∴2＝
|－2－k |1＋k 2
，∴k ＝0或k ＝
4
3. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.
10．(12分)(2012·合肥月考)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；
(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解 (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0.
又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0. 故a ＝2，b ＝2.
(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a
b ＝1－a .
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，
∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4
b ＝b . 故a ＝2，b ＝－2或a ＝2
3，b ＝2.
B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．若三条直线l 1：4x ＋y ＝4，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my ＝4不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( )． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．6个
解析 三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－1
6；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m ＝－1或2
3，故实数m 的取值最多有4个． 答案 C
2．(2012·沧州模拟)若曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )． A.722 B.922 C.1122 D.91010
解析 由题意得切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k ＝y ′|x ＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l 的方程为y －(－1)＝－1[x －(－1)]，整理得x ＋y ＋2＝0，由点到直线的距离公式得：点P (3,2)到直线l 的距离为|3＋2＋2|12＋12
＝72
2. 答案 A
二、填空题(每小题4分，共8分)
3．(2012·厦门模拟)若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是
①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°
其中正确答案的序号是________(写出所有正确答案的序号)． 解析 记直线m 的倾斜角是θ.由题意知直线l 1、l 2间的距离等于
2
2
＝ 2.又直线m 被直线l 1、l 2所截得的线段的长是22，因此直线m 与直线l 1的夹角的正弦值等于222＝12，直线m 与直线l 1的夹角是30°，又直线l 1的倾斜角是45°，因此θ
＝15°或θ＝75°，故正确答案的序号是①⑤. 答案 ①⑤
4．(2012·绍兴模拟)已知0＜k ＜4，直线l 1：k x －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为________．
解析 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,4)，直线l 1的纵截距为4－k ，直线l 2的横截距为2k 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(4－k )＋1
2×4×(2k 2＋2)＝4k 2－k ＋8，故面积最小时，k ＝1
8. 答案 18
三、解答题(共22分)
5．(10分)(2012·荆州二检)过点P (1,2)的直线l 被两平行线l 1：4x ＋3y ＋1＝0与l 2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB |＝2，求直线l 的方程. 解 设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)， 由⎩⎨⎧
y ＝k x ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0，
解得A ⎝
⎛⎭⎪⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4； 由⎩
⎨⎧
y ＝k x ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫
3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4. ∵|AB |＝2， ∴
⎝ ⎛⎭⎪⎫53k ＋42＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫5k 3k ＋42
＝2，
整理，得7k 2－48k －7＝0， 解得k 1＝7或k 2＝－1
7.
因此，所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0，或7x －y －5＝0.
6．(12分)过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程． 解 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，
则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， ∴a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.。