金山区2005学年度第一学期期末高二数学试题

合集下载

上海市金山中学高二数学上学期期末考试试题

金山中学2015学年度第一学期高二年级数学学科期末考试卷（考试时间：90分钟满分：100分）一、填空题（本大题满分36分，共12小题，每小题满分3分） 1．直线04)2(=+--y m x 的倾斜角为4π，则m 的值是___________. 2．若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥0220y x x y x ，则y x z 2+=的最大值为 .3．设复数z 满足i zz=+-11，则=+|1|z . 4．已知直线0125=++a y x 与圆1)1(22=+-y x 相切，则a 的值为__ ___.5．已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为__ ____.6．若直线l 经过原点，且与直线23+=x y 的夹角为300，则直线l 方程为___________________.7．过点)0,22(且方向向量为()1,k 的直线与双曲线14822=-y x 仅有一个交点，则实数k 的值为__________.8．已知点P 是椭圆1422=+y x 上的在第一象限内的点，又)0,2(A 、)1,0(B ，O 是原点，则四边形OAPB 的面积的最大值是_________.9．若点O 和点F 分别为双曲线1322=-y x 的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则FP OP ⋅的取值范围为__________.10．双曲线)1(122>=-n y nx 的焦点为F 1、F 2，，P 在双曲线上，且满足：22||||21+=+n PF PF ，则21F PF ∆的面积是 .11．若点)0,1(-P 在直线02)(2=+++c y c a ax 上的射影是Q ,则Q 的轨迹方程是 .12．已知点P 在直线012=-+y x 上，点Q 在直线032=++y x 上，PQ 的中点为),(00y x M ，且200+>x y ,则x y 的取值范围是 .二、选择题（本大题满分12分，共4小题，每小题满分3分）13．设R b a ∈、，i 是虚数单位，则“0=ab ”是“复数bi a +为纯虚数的”（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件14．与双曲线1422=-x y 有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（）（A ）112322=-x y （B ）112322=-y x （C ）18222=-x y （D ）18222=-y x 15．设曲线C 的参数方程为θθθ⎩⎨⎧+-=+=sin 31cos 32y x 为参数，直线l 的方程为023=+-y x ，则曲线C 上到直线l 的距离为10107的点的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ） 416. 已知曲线C ：22||||1x x y y a b-=（0a b >>），下列叙述中正确的是（）（A ）垂直于x 轴的直线与曲线C 存在两个交点（B ）直线y kx m =+（,k m R ∈）与曲线C 最多有三个交点（C ）曲线C 关于直线x y -=对称（D ）若),(),,(222111y x P y x P 为曲线C 上任意两点，则有02121<--x x y y三、解答题（本大题满分52分） 17．（本题满分6分）求以抛物线x y 42=的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的标准方程. 18．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）设1z 是方程02562=+-x x 的一个根．（1）求1z ；（2）设i a z +=2（其中i 为虚数单位，R a ∈），若2z 的共轭复数2z 满足5125||231=⋅z z ，求22z .19．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图, 直线y=21x 与抛物线y=81x 2－4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.(1) 求点Q 的坐标；(2) 当P 为抛物线上位于线段AB 下方(含A 、B) 的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值. 20．（本题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南)102arccos(=θθ方向km 300的海面P 处，并以h km /20的速度向西偏北045方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为km 60,并以h km /10的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）椭圆1:2122121=+b y a x E 和椭圆1:2222222=+b y a x E 满足椭圆)0(1212>==m m b b a a ，则称这两个椭圆相似，m 称为其相似比．（1）求经过点)6,2(，且与椭圆12422=+y x 相似的椭圆方程；（2）设过原点的一条射线L 分别与（1）中的两个椭圆交于A 、B 两点（其中点A 在线段OB 上），求||1||OB OA +的最大值和最小值；（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆1)2(2:22221=+y x C 和1)22(4:22222=+y x C 交于A 、B 两点，P 为线段AB 上的一点，若||OA ,||OP ,||OB 成等比数列，则点P 的轨迹方程为12)22(2222=+y x ”。

上海市金山中学高二数学上学期学业水平检测试题(无答案)

金山中学2015学年第一学期高二年级学业水平检测数学试卷（时间90分钟总分100分）一、填空题（每题3分，共36分）1.用数学归纳法证明2)2)(1(432+-=++++n n n 时，第一步取=n ________． 2. 函数()x y -=1arcsin 的定义域是 .3.函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为 .4.若角α的终边落在正比例函数x y 3=的图像上，那么=αtan ______.5.已知3220143223201523n nn nn n n n n n a n ⎧-≤⎪⎪+=⎨-⎪≥⎪+⎩，则=∞→n n a lim _______. 6.若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则 12c c -= ． 7.已知51cos sin =+αα，α是第二象限角，那么=αtan ________． 8. 若212lim =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→n n r r ，则实数r 的取值范围是_________． 9.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是．10.将函数()x f y =的图像沿x 轴向右平移3π个单位，再保持图像上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与x y sin =的图像相同，则()x f y =的解析式是．11. 若53sin +-=m m θ，524cos +-=m m θ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππθ,2，则m 的取值范围是___________． 12..已知函数x x f sin )(=.若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，且12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),2(*∈≥N m m ，则m 的最小值为 .二、选择题（每题3分，共12分）13.ABC ∆中，B b A a cos cos =，则ABC ∆的形状为（）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形14.若数列}{n a 是首项为1，公比为23-a 的无穷等比数列，且}{n a 各项的和为a ，则a 的值是（） A ．1 B ．2 C ．21 D ．45 15.设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2aD ．若10a <，则()()21230a a a a -->16.若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（）A ．6B ．7C ．8D ．9三、解答题（共5题，共52分）17.（本题8分）已知函数x x x y 22sin cos 223cos 3-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π，当x 取何值时，y 取得最大值和函数的对称中心？18. （本题8分，第1小题4分，第2小题4分）已知等差数列}{n a 满足124310,2a a a a +=-=. （1）求}{n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==，问6b 是数列{}n a 的第几项相等？19.（本题10分，第1小题4分，第2小题6分）已知等差数列{}n a 的前三项为,3,4,a a 前n 项和为n S ，2550=k S .（1）求a 及k 的值；（2）求∞→n lim )111(21nS S S +++ 的值.20.（本题12分，第1小题6分，第2小题6分）设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 若()0,1,2A f a ==求ABC ∆面积的最大值.21. （本题14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数3()23x f x x =+，数列{}n a 满足11a =，*1(),n n a f a n N +=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12233445212221n n n n n T a a a a a a a a a a a a -+=-+-++-，求n T 的值.。

高二上数学试题及答案

高二上数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( y = x^2 \)B. \( y = x^3 \)C. \( y = x^2 + 1 \)D. \( y = \frac{1}{x} \)答案：B2. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B等于？A. {1,2,3}B. {2,3}C. {4}D. {1}答案：B3. 计算以下极限：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]A. 0B. 1C. ∞D. -1答案：B4. 以下哪个不等式是正确的？A. \( 2^3 > 3^2 \)B. \( 2^3 < 3^2 \)C. \( 2^3 = 3^2 \)D. \( 2^3 \leq 3^2 \)答案：A5. 已知函数\( f(x) = ax^2 + bx + c \)，且\( f(1) = 2 \)，\( f(-1) = 2 \)，\( f(0) = 1 \)，则a的值为？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A6. 以下哪个选项是复数的共轭？A. \( 3 + 4i \)B. \( 3 - 4i \)C. \( -3 + 4i \)D. \( -3 - 4i \)答案：B7. 计算以下定积分：\[ \int_{0}^{1} x^2 dx \]A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{1}{6} \)D. \( \frac{1}{4} \)答案：A8. 已知向量\( \vec{a} = (2, -1) \)，\( \vec{b} = (1, 3) \)，则\( \vec{a} \cdot \vec{b} \)的值为？A. 5B. -1C. 1D. 3答案：C9. 以下哪个选项是双曲线的标准方程？A. \( x^2 - y^2 = 1 \)B. \( x^2 + y^2 = 1 \)C. \( x^2 - y^2 = -1 \)D. \( x^2 + y^2 = -1 \)答案：A10. 计算以下二项式展开式中\( x^3 \)的系数：\[ (x + 1)^5 \]A. 5B. 10C. 15D. 20答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等差数列的首项为2，公差为3，则第5项为________。

上海市金山中学高二数学上学期期末考试试题文(含解析

上海市金山中学2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题文（含解析）第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、选择题（题型注释）1．在正方体中任取两条棱，则这两条棱为异面直线的概率为（） A ．112 B ．114 C ．116 D ．118 【答案】B. 【解析】试题分析：从正方体的12条棱中，任取两条棱，有6621112212=⨯=C 种不同的方法，因为与已知棱成异面直线的有4条，所以共有242412=⨯对异面直线，则这两条棱为异面直线的概率1146624==P . 考点：古典概型.2．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50),[50,60),[60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A ．588B ．480C ．450D ．120 【答案】B. 【解析】试题分析：由频率分布直方图可知，该模块测试成绩不少于60分的频率为8.010)010.0015.0025.0030.0(=⨯+++，所以该模块测试成绩不少于60分的学生人数为4808.0600=⨯.考点：频率分布直方图.3．.=++-+++-+1)1(4)1(6)1(4)1(234x x x x （） A ．4x B ．4x - C ．1 D ．1-【答案】A. 【解析】试题分析：由4322344464)(b ab b a b a a b a +-+-=-，可得=++-+++-+1)1(4)1(6)1(4)1(234x x x x []441)1(x x =-+.考点：二项式定理. 4．若直线m x y l +-=2:与曲线|4|21:2x y C -=有且仅有三个交点，则m 的取值范围是（）A ．)12,12(+-B ．)2,1(C ．)12,1(+D ．)12,2(+ 【答案】B. 【解析】试题分析：由题意得，曲线C 是由椭圆上半部分1422=+y x 和双曲线1422=-y x 上半部分组成，且双曲线的渐近线方程为x y 21-=，与直线m x y l +-=21:平行；当直线l 过右顶点时，直线l 与曲线C 有两个交点，此时，1=m ；当直线l 与椭圆相切时，直线l 与曲线C有两个交点，此时2=m ；由图像可知，)2,1(∈m 时，直线l 与曲线C 有三个交点.考点：直线与圆锥曲线的位置关系.5．一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（）平方米.A ．32424-πB ．33636-πC ．32436-πD ．33648-π【答案】D. 【解析】试题分析：所求几何体的体积为阴影部分的面积与高的乘积，在OAB ∆中，2,4=-===DE OD OE OA OB ,则32π=∠AOB ,=-=∆OAB S S S 扇形阴影 34316231621321621-=⨯⨯-⨯⨯=ππ,体积33648-==πSh V . 考点：组合体的体积.6．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50),[50,60),[60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A ．588B ．480C ．450D ．120 【答案】B. 【解析】试题分析：由频率分布直方图可知，该模块测试成绩不少于60分的频率为8.010)010.0015.0025.0030.0(=⨯+++，所以该模块测试成绩不少于60分的学生人数为4808.0600=⨯.考点：频率分布直方图. 7．使得*)()13(N n xx x n ∈+的展开式中含有常数项的最小的n 为（）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B. 【解析】试题分析：n xx x )13(+的展开式的通项为k n kn k n k k n knk xC xx x C T 2513)1()3(---+==，令025=-k n ，则)(25N k k n ∈=,所以n 的最小值为5.考点：二项式定理. 8．若直线m x y l +-=2:与曲线|4|21:2x y C -=有且仅有三个交点，则m 的取值范围是（）A ．)12,12(+-B ．)2,1(C ．)12,1(+D ．)12,2(+ 【答案】B. 【解析】试题分析：由题意得，曲线C 是由椭圆上半部分1422=+y x 和双曲线1422=-y x 上半部分组成，且双曲线的渐近线方程为x y 21-=，与直线m x y l +-=21:平行；当直线l 过右顶点时，直线l 与曲线C 有两个交点，此时，1=m ；当直线l 与椭圆相切时，直线l 与曲线C有两个交点，此时2=m ；由图像可知，)2,1(∈m 时，直线l 与曲线C 有三个交点.考点：直线与圆锥曲线的位置关系.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）9．过点)2,1(、)6,3(的直线的斜率为______________．【答案】2. 【解析】试题分析：由斜率公式得：21326=--=k . 考点：直线的斜率公式.10．若i 是虚数单位，复数z 满足5)43(=-z i ,则z 的虚部为_________．【答案】54. 【解析】试题分析：5)43(=-z i Θ，i i i i i i z 545325)43(5)43)(43()43(5435+=+=+-+=-=∴，则z 的虚部为54. 考点：复数的除法.11．正四面体ABC S -的所有棱长都为2，则它的体积为________．【答案】322. 【解析】试题分析:过S 作ABC SH 面⊥，则H 是ABC ∆的中心，连接AH ,则3232221=⨯⨯⨯=∆ABC S ,332233=⨯=AH , 在SAH Rt ∆中，36234422=-=-=AH SA SH , 所以32236233131=⨯⨯=⋅=∆-SH S V ABC ABC S .考点：多面体的体积.12．以)2,1(-为圆心且过原点的圆的方程为_____________．【答案】5)2()1(22=++-y x . 【解析】试题分析：由题意，得所求圆的半径541=+=r ，则所求圆的标准方程为5)2()1(22=++-y x .考点：圆的标准方程.13．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________．【答案】π5. 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是一个侧放的圆柱，底面半径为1，高为5；则该几何体的体积ππ52===h r Sh V .考点：三视图、圆柱的体积.14．已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为________．【答案】2. 【解析】试题分析：设圆锥的底面半径和高为r ，则其母线长r l 2=；所以圆锥的侧面积22r rl S ππ==侧，底面面积2r S π=，则它的侧面积与底面积的比为2. 考点：圆锥的侧面积公式.15．正方体1111D C B A ABCD -中，二面角111C D A B --的大小为__________．【答案】4π. 【解析】试题分析：二面角111C D A B --,即半平面1111D C B A 与CB D A 11所成的图形，交线为11D A ,易知1111111,D A B A D A B A ⊥⊥,所以11B BA ∠是二面角111C D A B --的平面角，且411π=∠B BA ，即二面角111C D A B --的大小为4π.考点：二面角的平面角.16．双曲线1422=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于_________．【答案】552. 【解析】试题分析：双曲线1422=-y x 的顶点为)0,2(，渐近线方程为0422=-y x ，即02=±y x ；则顶点到其渐近线的距离为552412=+=d . 考点：双曲线的性质、点到直线的距离公式.17．已知球的半径为1，A 、B 是球面上两点，线段AB 的长度为3，则A 、B 两点的球面距离为 ________．【答案】32π. 【解析】试题分析：设球心为O,连接OB OA ,,则OAB ∆是等腰三角形，且3,1===AB OB OA , 则32π=∠AOB ,所以A 、B 两点的球面距离为32132ππθ=⨯==R l . 考点：两点的球面距离.18．在长方体1111D C B A ABCD -中，已知36,91==BC AA ，N 为BC 的中点，则直线11C D 与平面N B A 11的距离是___________．【答案】9.【解析】试题分析：过1C 作N B H C 11⊥，因为1111111,B BCC H C B BCC B A 面面⊂⊥，所以111B A H C ⊥，则N B A H C 111面⊥，H C 1的长度即为直线11C D 与平面N B A 11的距离；在N BB Rt 1∆中，33933tan 1==∠N BB ，23cos 1==∠N BB ；在H B C Rt 11∆中，3611=C B ，23cos sin 111=∠=∠N BB H B C ， 923361=⨯=H C ，即直线11C D 与平面N B A 11的距离为9.考点：直线到平面的距离.19．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________(用数字作答)．【答案】590. 【解析】试题分析：骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法可分以下几类：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有20151433=C C C 种； 1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有60153413=C C C 种； 1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有120351413=C C C 种； 2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有90152423=C C C 种； 1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有180252413=C C C 种； 2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有120251423=C C C 种；由分类加法计数原理得，共有590120180901206020=+++++种. 考点：组合.20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B两点.若 AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为_________________．【答案】191822=+y x . 【解析】试题分析：设),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x by a x ，两式相减，得0))(())((2212122121=+-++-b y y y y a x x x x ，又因为AB 的中点为)1,1(-，且斜率211310=-+=k ，所以222b a =，又92222==-=b b a c Θ，所以E 的方程为191822=+y x . 考点：点差法.21．设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--,032,042,02y y x y x 则y x z -=2的最大值为____________.【答案】211.【解析】试题分析：：画出不等式组表示的可行域和目标函数基准直线x y 2=（如图）；设z y x =-2，则z x y -=2，当直线z x y -=2经过A 点时，z -最小，即y x -2最大；联立⎪⎩⎪⎨⎧=--=223y x y ，得)23,27(A ,此时211)2(max =+y x .考点：简单的线性规划.22．在棱长为1的正方体盒子里有一只苍蝇，苍蝇为了缓解它的无聊，决定要考察这个盒子的每一个角，它从一个角出发并回到原处，并且每个角恰好经过一次，为了从一个角到另一个角，它或直线飞行，或者直线爬行，苍蝇的路径最长是____________．（苍蝇的体积不计）【答案】)23(4+.【解析】试题分析：根据题意，苍蝇需要8次完成，有两种方法：方法一：每次都到达相邻顶点，需经过8条棱，总路径长为8；方法二：每次到达不相邻的顶点，需爬行4次（面对角线），飞行4次（体对角线），总路径长是)23(4+；又8)23(4>+Θ，所以苍蝇的路径最长是)23(4+.考点：正方体的面对角线与体对角线.23．过点)2,1(、)6,3(的直线的斜率为______________．【答案】2. 【解析】试题分析：由斜率公式得：21326=--=k .考点：直线的斜率公式.24．若i 是虚数单位，复数z 满足5)43(=-z i ,则z 的虚部为_________．【答案】54. 【解析】试题分析：5)43(=-z i Θ，i i i i i i z 545325)43(5)43)(43()43(5435+=+=+-+=-=∴，则z 的虚部为54. 考点：复数的除法.25．正四面体ABC S -的所有棱长都为2，则它的体积为________．【答案】322. 【解析】试题分析:过S 作ABC SH 面⊥，则H 是ABC ∆的中心，连接AH ,则3232221=⨯⨯⨯=∆ABC S ,332233=⨯=AH , 在SAH Rt ∆中，36234422=-=-=AH SA SH , 所以32236233131=⨯⨯=⋅=∆-SH S V ABC ABC S .考点：多面体的体积.26．以)2,1(-为圆心且过原点的圆的方程为_____________．【答案】5)2()1(22=++-y x . 【解析】试题分析：由题意，得所求圆的半径541=+=r ，则所求圆的标准方程为5)2()1(22=++-y x .考点：圆的标准方程.27．从一副52张扑克牌中第一张抽到“Q ”，重新放回，第二张抽到一张有人头的牌，则这两个事件都发生的概率为________．【答案】1693. 【解析】试题分析：从一副52张扑克牌中第一张抽到“Q ”，记为事件A,则131524)(==A P ;重新放回，第二张抽到一张有人头的牌,记为事件B,则1335212)(==B P ;且事件A 与事件B 相互独立；则则这两个事件都发生的概率为1693133131)()()(=⨯==B P A P AB P . 考点：古典概型.28．已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为________．【答案】2. 【解析】试题分析：设圆锥的底面半径和高为r ，则其母线长r l 2=；所以圆锥的侧面积22r rl S ππ==侧，底面面积2r S π=，则它的侧面积与底面积的比为2.考点：圆锥的侧面积公式.29．正方体1111D C B A ABCD -中，二面角111C D A B --的大小为__________．【答案】4π. 【解析】试题分析：二面角111C D A B --,即半平面1111D C B A 与CB D A 11所成的图形，交线为11D A ,易知1111111,D A B A D A B A ⊥⊥,所以11B BA ∠是二面角111C D A B --的平面角，且411π=∠B BA ，即二面角111C D A B --的大小为4π.考点：二面角的平面角.30．双曲线1422=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于_________．【答案】552. 【解析】试题分析：双曲线1422=-y x 的顶点为)0,2(，渐近线方程为0422=-y x ，即02=±y x ；则顶点到其渐近线的距离为552412=+=d . 考点：双曲线的性质、点到直线的距离公式.31．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为9,11,10,,y x .已知这组数据的平均数为10，方差为2，则=-||y x __________．【答案】4.【解析】试题分析：由题意，得[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+-+-+-=++++2)109()1011()1010()10()10(5110)91110(5122222y x y x ，化简，得⎩⎨⎧=-+-=+8)10()10(2022y x y x ，解得⎩⎨⎧==128y x 或⎩⎨⎧==812y x ，则4=-y x . 考点：均值、方差公式.32．在长方体1111D C B A ABCD -中，已知36,91==BC AA ，N 为BC 的中点，则直线11C D 与平面N B A 11的距离是___________．【解析】试题分析：过1C 作N B H C 11⊥，因为1111111,B BCC H C B BCC B A 面面⊂⊥，所以111B A H C ⊥，则N B A H C 111面⊥，H C 1的长度即为直线11C D 与平面N B A 11的距离；在N BB Rt 1∆中，33933tan 1==∠N BB ，23cos 1==∠N BB ；在H B C Rt 11∆中，3611=C B ，23cos sin 111=∠=∠N BB H B C ， 923361=⨯=H C ，即直线11C D 与平面N B A 11的距离为9.考点：直线到平面的距离.33．棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的8个顶点都在球面O 的表面上，E 、F 分别是棱1AA 、1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为________．【答案】2. 【解析】试题分析：因为棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的8个顶点都在球面O 的表面上，所以该球的半径23=r ，球心O 到直线EF 的距离21=d ，则直线EF 被球O 截得的线段长为241432222=-=-=d r l . 考点：多面体与球的组合体.34．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________．(用数字作答) 【答案】590. 【解析】试题分析：骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法可分以下几类：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有20151433=C C C 种； 1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有60153413=C C C 种； 1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有120351413=C C C 种； 2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有90152423=C C C 种； 1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有180252413=C C C 种； 2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有120251423=C C C 种；由分类加法计数原理得，共有590120180901206020=+++++种. 考点：组合.35．在棱长为1的正方体盒子里有一只苍蝇，苍蝇为了缓解它的无聊，决定要考察这个盒子的每一个角，它从一个角出发并回到原处，并且每个角恰好经过一次，为了从一个角到另一个角，它或直线飞行，或者直线爬行，苍蝇的路径最长是____________．（苍蝇的体积不计）【答案】)23(4+.【解析】试题分析：根据题意，苍蝇需要8次完成，有两种方法：方法一：每次都到达相邻顶点，需经过8条棱，总路径长为8；方法二：每次到达不相邻的顶点，需爬行4次（面对角线），飞行4次（体对角线），总路径长是)23(4+；又8)23(4>+Θ，所以苍蝇的路径最长是)23(4+.考点：正方体的面对角线与体对角线.36．设焦点是)5,0(1-F 、)5,0(2F 的双曲线C 在第一象限内的部分记为曲线T ，若点ΛΛ),,(),,2(),,1(2211n n y n P y P y P 都在曲线T 上，记点),(n n y n P 到直线02:=+-k y x l 的距离为),2,1(Λ=n d n ,又已知5lim =∞→n n d ，则常数=k ___________．【答案】5±. 【解析】试题分析：因为双曲线的焦点为)5,0(),5,0(21F F -,所以双曲线的标准方程可设为)0,0(12222>>=-b a bx a y ，且522=+b a ；因为双曲线上的点),(n n y n P 到直线02:=+-k y x l 的距离为),2,1(Λ=n d n 存在极限，所以直线l 与双曲线的渐近线x ba y =平行，即2=ba，所以渐近线方程为02=-y x ；又因为5lim =∞→n n d ，所以直线l 与双曲线的渐近线02=-y x 的距离为55=k ，即5±=k .考点：双曲线的几何性质.三、解答题（题型注释）37．求8)3(x x +的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数. 【答案】811120,70．【解析】试题分析：解题思路：利用二项式定理的通项公式写出5T ，再求出二项式系数与系数.规律总结：涉及求二项展开式的二项式系数或系数或特定项时，往往先写出二项式的通项公式，再进行求解. 注意点：要正确区分二项式系数与系数：二项式系数仅是一个组合数，系数是未知数的系数.试题解析：4485)32)((xx C T =，所以二项式系数为7048=C ，系数为811120. 考点：二项式定理.38．求半径为10，且与直线07034=-+y x 相切于)10,10(的圆的方程. 【答案】100)16()18(22=-+-y x 或100)4()2(22=-+-y x 【解析】试题分析：解题思路：设出所求圆的圆心坐标，根据题意可得⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=--,100)10()10(,43101022b a a b ，进而求出圆的标准方程.规律总结：直线圆的位置关系，主要涉及直线与圆相切、相交、相离，在解决直线圆的位置关系时，要注意结合初中平面几何中的直线与圆的知识.试题解析：设圆心为),(b a ，则由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=--,100)10()10(,43101022b a a b解得⎩⎨⎧==16,18b a 或⎩⎨⎧==4,2b a所以所求圆的方程为100)16()18(22=-+-y x 或100)4()2(22=-+-y x 考点：直线与圆的位置关系.39．已知椭圆13422=+y x 上存在两点A 、B 关于直线m x y +=4对称，求m 的取值范围. 【答案】.1313213132≤≤-m ．【解析】试题分析：解题思路：利用直线AB 与直线m x y +=4垂直，设出直线AB 的方程，联立直线与椭圆方程，消去y ，整理成关于x 的一元二次方程，利用中点公式和判别式求出m 的范围. 规律总结：涉及直线与椭圆的位置关系问题，往往采用“设而不求”的方法进行求解.. 试题解析：设直线AB 方程为b xy +-=4，联立 ⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,4,124322b xy y x 得,0481681322=-+-b bx x 从而,138bx x B A =+ ,13242)(41bb x x y y B A B A =++-=+则B A ,中点是)1312,134(bb ，则,013121344=+-⋅m b b 解得.134b m -=由0481681322=-+-b bx x 有实数解得,0)4816(526422≥--=∆b b 即.4132≤b 于是.413)413(2≤-m 则m 的取值范围是.1313213132≤≤-m . 考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.对称问题.40．如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中, 侧棱⊥A A 1底面ABCD ，AD AB DC AB ⊥,//，1==CD AD ，21==AB AA ，E 为棱1AA 的中点.(1)证明：CE C B ⊥11；(2)求异面直线E C 1与AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）证明见解析；（2）.33arccos．【解析】试题分析：解题思路：（1）利用勾股定理证明垂直；（2）作出平行线，构造异面直线所成的角，再利用三角形进行求角.规律总结：对于空间几何体中的垂直、平行关系的判定，要牢牢记住并灵活进行转化，线线关系是关键；涉及空间中的求角问题，往往利用角的定义作出辅助线，转化为平面中的线线角.试题解析：（1）证明：连结BE .在BEC ∆中，,5,3,2===BE CE BC 即222BE CE BC =+，所以,CE BC ⊥又因为BC C B //11，所以CE C B ⊥11；解：取1DD 的中点为F ，连结F C EF 1,.又因为E 为1AA 中点，则.//EF AD 所以EF C 1∠即为异面直线E C 1与AD 所成角. 在EF C 1∆中，1,2,311===EF F C E C ，所以EF C 1∆为直角三角形，33cos 1=∠EF C .所以异面直线E C 1与AD 所成角为.33arccos考点：1.直线的垂直关系的证明；2.直线与平面所成的角的求法.41．下图是利用计算机作图软件在直角坐标平面xOy 上绘制的一列抛物线和一列直线，在焦点为n F 的抛物线列x p y C n n 4:2=中，n p 是首项和公比都为)10(<<p p 的等比数列，过n F 作斜率2的直线n l 与n C 相交于n A 和n B （n A 在x 轴的上方，n B 在x 轴的下方）. 证明：n OA 的斜率是定值；求1A 、2A 、Λ、n A 、Λ所在直线的方程；记n n OB A ∆的面积为n S ，证明：数列}{n S 是等比数列，并求所有这些三角形的面积的和.【答案】（1）51+-=n OA k ；（2）x y )51(+-=；（3）22152p p -．【解析】试题分析：解题思路：（1）联立直线与抛物线方程，整理成关于1x ，1y 的方程，进而求出n OA 的斜率；（2）利用直线的点斜式方程写出直线方程即可；（3）联立直线与抛物线方程，求弦长与点到直线的距离，进而求三角形的面积.规律总结：锥曲线的问题一般都有这样的特点：第一小题是基本的求方程问题，一般简单的利用定义和性质即可；后面几个小题一般来说综合性较强，用到的内容较多，大多数需要整体把握问题并且一般来说计算量很大，学生遇到这种问题就很棘手，有放弃的想法,所以处理这类问题一定要有耐心..试题解析：（1）由已知得n n p p =，抛物线焦点)0,(n n p F ，抛物线方程为x p y n42=，直线n l 的方程为).(2np x y -=于是，抛物线n C 与直线n l 在x 轴上方的交点),(11y x A n 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,411121nnp x y x p y 则有,042211121=-+x y x y而直线n OA 的斜率为11x y k n OA =，则,042112=-+OA OA k k 解得,51±-=n OA k 又,0>k 点n A 在第一象限，则51+-=n OA k ；直线方程为x y )51(+-=；由⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,42nn p x y x p y 得,04222=--n n p y p y 则n p AB 10||=，而O 到直线n l 的距离为52n p ，于是n n OB A ∆的面积nn pS 252=，所以数列}{n S 是以252p 为首项，2p 为公比的等比数列.由于10<<p ，所以所有三角形面积和为22152pp -. 考点：1.直线的方程；2.直线与抛物线的位置关系.42．求8)32(x x +的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数. 【答案】811120,70．【解析】试题分析：解题思路：利用二项式定理的通项公式写出5T ，再求出二项式系数与系数.规律总结：涉及求二项展开式的二项式系数或系数或特定项时，往往先写出二项式的通项公式，再进行求解. 注意点：要正确区分二项式系数与系数：二项式系数仅是一个组合数，系数是未知数的系数.试题解析：4485)32)((xx C T =，所以二项式系数为7048=C ，系数为811120. 考点：二项式定理.43．某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者从装有3个红球、1个蓝球、6个白球的袋中任意摸出4个球.根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望()E X .【答案】（1）21；（2）分布列见解析，314)(=X E ．【解析】试题分析：解题思路：(1)利用超几何分布的概率公式求解即可；（2）写出获奖金额X 的所有可能取值，利用古典概型的概率公式求出各自概率，列出表格，即得分布列，再利用期望公式求其期望. 规律总结：以图表给出的统计题目一般难度不大，主要考查频率直方图、茎叶图、频率分布表给出；抽样方法要注意各自的特点；古典概型是一种重要的概率模型，其关键是正确列举基本事件.试题解析：（1）214103713=C C C ；321020035503510420)(=⋅+⋅+⋅+⋅=X E . 考点：1.超几何分布；2.古典概型；3.随机变量的分布列与期望.44．已知椭圆13422=+y x 上存在两点A 、B 关于直线m x y +=4对称，求m 的取值范围. 【答案】.1313213132≤≤-m ．【解析】试题分析：解题思路：利用直线AB 与直线m x y +=4垂直，设出直线AB 的方程，联立直线与椭圆方程，消去y ，整理成关于x 的一元二次方程，利用中点公式和判别式求出m 的范围. 规律总结：涉及直线与椭圆的位置关系问题，往往采用“设而不求”的方法进行求解.. 试题解析：设直线AB 方程为b x y +-=4，联立 ⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,4,124322b x y y x 得,0481681322=-+-b bx x 从而,138b x x B A =+ ,13242)(41b b x x y y B A B A =++-=+则B A ,中点是)1312,134(b b ，则,013121344=+-⋅m b b 解得.134b m -= 由0481681322=-+-b bx x 有实数解得,0)4816(526422≥--=∆b b 即.4132≤b 于是.413)413(2≤-m 则m 的取值范围是.1313213132≤≤-m . 考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.对称问题.45．如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中, 侧棱⊥A A 1底面ABCD ，AD AB DC AB ⊥,//，1==CD AD ，21==AB AA ，E 为棱1AA 的中点.(1) 证明：CE C B ⊥11；(2) 设点M 在线段E C 1上, 且直线AM 与平面11A ADD 所成角的正弦值为62, 求线段AM 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）2=AM ．【解析】试题分析：解题思路：根据题意建立空间直角坐标系，写点的坐标与有关向量，利用直线的方向向量的数量积为0证明两直线垂直；利用线面角的公式列出关于AM 的方程即可.规律总结：证明平行或垂直问题，一般有两个思路:①利用一个判定与性质进行证明；②转化为空间向量的平行与垂直进行证明；求角或距离问题，往往利用空间向量进行求解. 试题解析：以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得)1,0,1(),2,0,0(),0,0,0(C B A ，).0,1,0(),1,2,1(),2,2,0(11E C B证明：)1,1,1(),1,0,1(11--=-=→→CE C B ，于是，所以CE C B ⊥11；解：).0,1,1(),0,1,0(1==→→EC AE 设,10),,,(1≤≤==→→λλλλλEC EM 有 ),1,(λλλ+=+=→→→EM AE AM .可取)2,0,0(=→AB 为平面11A ADD 的一个法向量. 设θ为直线AM 与平面11A ADD 所成角，则 .1232|||||||,cos |sin 2++=⋅⋅==→→→→→→λλλθAB AM AB AM AB AM 于是,6212322=++λλλ解得.31=λ所以.2=AM . 考点：1.直线的垂直关系的证明；2.直线与平面所成的角的求法.46．下图是利用计算机作图软件在直角坐标平面xOy 上绘制的一列抛物线和一列直线，在焦点为n F 的抛物线列x p y C n n 4:2=中，n p 是首项和公比都为)10(<<p p 的等比数列，过n F 作斜率2的直线n l 与n C 相交于n A 和n B （n A 在x 轴的上方，n B 在x 轴的下方）. 证明：n OA 的斜率是定值；求1A 、2A 、Λ、n A 、Λ所在直线的方程；记n n OB A ∆的面积为n S ，证明：数列}{n S 是等比数列，并求所有这些三角形的面积的和.【答案】（1）51+-=nOA k ；（2）x y )51(+-=；（3）22152p p -．【解析】试题分析：解题思路：（1）联立直线与抛物线方程，整理成关于1x ，1y 的方程，进而求出n OA 的斜率；（2）利用直线的点斜式方程写出直线方程即可；（3）联立直线与抛物线方程，求弦长与点到直线的距离，进而求三角形的面积.规律总结：锥曲线的问题一般都有这样的特点：第一小题是基本的求方程问题，一般简单的利用定义和性质即可；后面几个小题一般来说综合性较强，用到的内容较多，大多数需要整体把握问题并且一般来说计算量很大，学生遇到这种问题就很棘手，有放弃的想法,所以处理这类问题一定要有耐心..试题解析：（1）由已知得n n p p =，抛物线焦点)0,(n n p F ，抛物线方程为x p y n42=，直线n l 的方程为).(2n p x y -=于是，抛物线n C 与直线n l 在x 轴上方的交点),(11y x A n 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,411121n n p x y x p y 则有,042211121=-+x y x y 而直线n OA 的斜率为11x y k n OA =，则,042112=-+OA OA k k 解得,51±-=n OA k 又,0>k 点n A 在第一象限，则51+-=n OA k ；直线方程为x y )51(+-=；由⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,42n n p x y x p y 得,04222=--n n p y p y 则n p AB 10||=，而O 到直线n l 的距离为52np ，于是n n OB A ∆的面积n n p S 252=，所以数列}{n S 是以252p 为首项，2p 为公比的等比数列.由于10<<p ，所以所有三角形面积和为22152p p -. 考点：1.直线的方程；2.直线与抛物线的位置关系.。

上海市金山中学-学年高二(上)期末数学试卷(解析版)

2015－20１6学年上海市金山中学高二（上)期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分，共12小题,每小题满分3６分）1.直线x﹣（m﹣2)ｙ＋4＝0的倾斜角为，则m的值是．2.若实数ｘ，y满足不等式组,则z=ｘ+2y的最大值为.３.若复数z满足,则|z＋１|的值为．4．已知直线5x+1２y+a=0与圆（x﹣1)2+y２=1相切,则ａ的值为.5．已知方程表示椭圆,则k的取值范围为.６.若直线l经过原点，且与直线的夹角为30°,则直线l方程为．７．过点（2,0）且方向向量为(k,1)的直线与双曲线﹣＝1仅有一个交点,则实数k 的值为.８.已知点P是椭圆上的在第一象限内的点,又A（２，0)、Ｂ（0，1),O是原点,则四边形OAPB的面积的最大值是．9.若点O和点Ｆ分别为双曲线﹣ｙ2=1的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点,则•的取值范围为.10.双曲线﹣y2＝1(n＞1)的两个焦点为F１，F2,P在双曲线上，且满足|PF1｜+|PF２｜=２,则△PF1F２的面积为．11.若点P（﹣１,0)在直线2ax+（a+c）y+２c＝0上的射影是Q,则Ｑ的轨迹方程是.12．已知点P在直线ｘ＋2ｙ﹣１＝0上,点Q在直线x+2y+3=0上，PＱ中点为Ｎ(x０，y0)，且y０>x0+2,则的取值范围为.二、选择题（本大题满分１2分,共４小题，每小题满分12分）1３.设ａ、b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数的”（）Ａ．充分不必要条件ﻩＢ．必要不充分条件C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件1４.与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（2,2）的双曲线标准方程为( ）A．B． C. D.15.设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的方程为x﹣3y+2=0，则曲线C 上到直线ｌ距离为的点的个数为( )Ａ．1 B.2ﻩC．3 D.41６．已知曲线Ｃ:﹣=1（ａ＞b>0)，下列叙述中正确的是()A．垂直于x轴的直线与曲线C存在两个交点B．直线ｙ＝ｋx+m(ｋ，m∈Ｒ)与曲线C最多有三个交点Ｃ.曲线C关于直线y=﹣x对称)为曲线C上任意两点,则有＜0D.若P1(ｘ1，y1）,P2（x2，y２三、解答题（本大题满分52分）17．求以抛物线y2=４x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的标准方程.18.设ｚ1是方程x2﹣6x+2５＝0的一个根.（1）求ｚ1;(2)设z2=ａ+i（其中i为虚数单位，a∈Ｒ）,若z2的共轭复数满足，求.１9.如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣4交于Ａ、B两点,线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点.(1）求点Q的坐标；（2)当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时,求△OPＱ面积的最大值．20．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图）的东偏南方向３00km 的海面Ｐ处，并以20km ／h 的速度向西偏北45°方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60ｋｍ，并以10ｋm/h 的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?21.椭圆E １： +＝１和椭圆E ２： +=１满足==m(ｍ＞０），则称这两个椭圆相似,m 称为其相似比．（１）求经过点(2,）,且与椭圆＋=1相似的椭圆方程;(２）设过原点的一条射线L 分别与（1）中的两个椭圆交于A 、B 两点（其中点A 在线段ＯB 上）,求的最大值和最小值;（3)对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆C1：+=1和C2：+=1交于A、B两点,P为线段AＢ上的一点,若|OＡ|,|OP|,｜ＯB|成等比数列,则点P的轨迹方程为+＝1”.请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，不必证明.201５-2016学年上海市金山中学高二(上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分３6分,共１２小题,每小题满分３6分)1.直线x﹣（m﹣2)y+4=0的倾斜角为，则m的值是3．【考点】直线的倾斜角.【分析】由直线的倾斜角求出斜率，再由斜率列式求得m值．【解答】解:∵直线ｘ﹣(m﹣2）y+4=0的倾斜角为，∴该直线的斜率为ｔan，即，解得：m=３．故答案为：3．２．若实数x,y满足不等式组,则z=ｘ+2y的最大值为６．【考点】简单线性规划.【分析】作出题中不等式组对应的平面区域如图,将直线ｌ：ｚ=x+2y进行平移，并观察它在轴上截距的变化,可得当l经过区域的右上顶点Ａ时，z达到最大值.由此求出A点坐标，不难得到本题的答案．【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如右图,是位于△ABO及其内部的阴影部分.将直线l:z＝x+2ｙ进行平移，可知越向上平移，z的值越大,当l经过区域的右上顶点A时,z 达到最大值由解得Ａ(2，2）∴z ma=F（2,2)＝２+２×2＝6ｘ故答案为:6３．若复数z满足，则｜ｚ+1|的值为．【考点】复数求模；复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知条件求出复数z，并利用复数代数形式的除法法则化简为1﹣i,由此求得ｚ+1的值及|z+１｜的值．【解答】解:∵复数z满足,解得ｚ＝＝=＝﹣i，∴z+1=1﹣i，∴｜z+1|==，故答案为.4.已知直线５x+12y+a=0与圆(ｘ﹣1)2+y２=１相切,则a的值为8或﹣1８.【考点】圆的切线方程.【分析】写出圆的圆心坐标和半径，利用圆心到切线的距离等于圆的半径得答案.【解答】解:圆（ｘ﹣1）２+y2＝1的圆心为(１，0)，半径为1，∵直线5x+12y+a=0与圆(x﹣1）2+ｙ２=１相切,∴,解得:ａ=8或ａ＝﹣1８．故答案为：a=8或a=﹣18.5．已知方程表示椭圆,则ｋ的取值范围为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】根据题意,方程表示椭圆,则x２,y2项的系数均为正数且不相等列出不等关系，解可得答案.【解答】解:∵方程表示椭圆，则⇒解得k∈故答案为:．６．若直线l经过原点,且与直线的夹角为30°，则直线l方程为x=０或y=ｘ.【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】可得已知直线的倾斜角为为60°,进而所求直线l的倾斜角为30°或9０°，可得直线l 的方程.【解答】解:∵直线的斜率为，∴倾斜角为6０°,∴所求直线l的倾斜角为30°或90°,当直线l的倾斜角为90°时，直线的方程为ｘ=0；直线l的倾斜角为30°时，直线的方程为y=x．故答案为：x=0或y=x．7.过点(2,0)且方向向量为（k，1)的直线与双曲线﹣=１仅有一个交点,则实数ｋ的值为0或±．【考点】双曲线的简单性质.【分析】先根据直线的方程可知直线恒过(２，０）点,进而可推断出要使直线与双曲只有一个公共点，需直线与双曲线相切或与渐近线平行，进而根据双曲线方程求得其渐近线方程,求得k的值.【解答】解:依题意可知直线ｌ恒过（2，０)点，即双曲线的右顶点,双曲线的渐近线方程为y=±x,要使直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线相切,即垂直于ｘ轴,即有k=0;当直线与渐近线平行，即有=±,即k=±，此时直线与双曲线仅有一个交点．故答案为：0或±.8．已知点P是椭圆上的在第一象限内的点，又A(2，0）、Ｂ（0，1)，O是原点,则四边形OＡＰＢ的面积的最大值是．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用三角函数来解答这道题，椭圆方程上里面的自变量x，ｙ可以表示为x＝2cosa y＝sinａ本题中要求第一象限，这样就应该有０<a＜π,设Ｐ为（２cｏsａ，sｉna）这样四边形OAPB的面积就可以表示为两个三角形ＯＡP和OPB面积之和，对于三角形OAP有面积Ｓ１＝sina 对于三角形OBP有面积Ｓ２=cｏｓａ这样四边形的面积Ｓ=Ｓ1＋S2=sｉna+ｃｏsa也就相当于求解sina+ｃosa的最大值，0<a＜π,sina+cosa=sin（a+）这样其最大值就应该为，并且当且仅当a=时成立．【解答】解：由于点P是椭圆上的在第一象限内的点，设Ｐ为（２cｏsa,sｉｎa)即x=2cosa y=sina (0＜a＜π），这样四边形ＯAPB的面积就可以表示为两个三角形OAP和OPB面积之和，对于三角形OAP有面积S1=sinａ对于三角形ＯBP有面积S2=coｓa∴四边形的面积S=S1+S２=siｎa+cosa=ｓin(a+)其最大值就应该为,并且当且仅当a=时成立.所以,面积最大值.故答案为:.9.若点O和点Ｆ分别为双曲线﹣y２=１的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则•的取值范围为[3+2，+∞）.【考点】双曲线的简单性质.【分析】求得双曲线的焦点F,设出点Ｐ,代入双曲线方程求得纵坐标的表达式，根据P，F,O 的坐标表示•,进而利用二次函数的性质求得其最小值，则可得•的取值范围．【解答】解:设P(m，n）,由F（﹣２，0），O（0，0）,则•=（m,ｎ）•(m+２，n）=m2+2ｍ+ｎ2．由点Ｐ为双曲线右支上的任意一点,可得﹣ｎ2=1（m≥）,即ｎ2=﹣1,则ｍ2＋2m+ｎ2=m２＋2ｍ+﹣1=m2+2m﹣1＝（m＋)2﹣,由m≥＞﹣,可得函数在[，+∞）上单调递增，即有ｍ2+2m+ｎ２≥3+２，则•的取值范围为[3+2,+∞）.故答案为:[3＋2，+∞).10．双曲线﹣ｙ２=１(n＞１）的两个焦点为F1,F2，P在双曲线上,且满足|ＰF1｜＋|ＰＦ2｜=2，则△PF１F２的面积为1.【考点】双曲线的应用．【分析】令|PＦ1|=x,|PF2|=ｙ，根据题设条件和双曲线定义可得关于x和y的方程组,解x和y,进而可求得x2+y2，结果正好等于|F1F2|2,根据勾股定理可知△PＦ1Ｆ2为直角三角形，进而根据三角形面积公式求得答案.【解答】解:令|ＰＦ1|=x，|ＰF２｜=y,依题意可知解得ｘ=+,ｙ=﹣，∴ｘ２＋y２=（2+）2＋（２﹣)２=4n+4∵|F1F２|=2∴|F1Ｆ２|2=４ｎ+4∴x2+y２|Ｆ1F２|2∴△PＦ1F2为直角三角形∴△PF１Ｆ2的面积为xy=（２+)(﹣）=1故答案为：1．1１.若点Ｐ（﹣１，0)在直线２aｘ+(ａ+ｃ)ｙ+2c=0上的射影是Q，则Q的轨迹方程是x２+（y+1)2=２.【考点】轨迹方程.【分析】直线２ａｘ+(a+c)y+２ｃ＝0恒过定点Ｍ（１，﹣2）,PQ垂直直线2ax+(a+ｃ)ｙ+2c=0,故△PQM为直角三角形,Q的轨迹是以PM为直径的圆.【解答】解:直线2ａｘ+（a+ｃ）ｙ+2ｃ=0恒过定点M（1，﹣2）∵点P(﹣1,0)在直线２ａx＋(ａ＋c）y+2c=０上的射影是Q∴PQ⊥直线l故△PQM为直角三角形，Ｑ的轨迹是以PM为直径的圆．∴Q的轨迹方程是x２+(y+1）２=２.故答案为：x2+(y+1）2=2.12.已知点Ｐ在直线x＋2y﹣1＝0上，点Q在直线x＋２y+3＝0上,ＰＱ中点为N（x，y0），０>ｘ0+2，则的取值范围为．且y０【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【分析】首先由直线x+2y﹣1=0与直线x+2y+3＝０是平行线，得出PQ的中点N（x0，y0)满足的直线方程；再根据y0＞ｘ0+2对应的平面区域进一步限定Ｍ的范围；最后结合的几何意义求出其范围.【解答】解:根据题意作图如下因为PQ中点为N,则点N的坐标满足方程x+2y+1=0，又y0＞ｘ0+2，则点N在直线ｙ=ｘ+２的左上部，且由得N(,），则k ON=﹣，并且直线ｘ+２y＋1＝０的斜率k＝﹣，而可视为点N与原点O连线的斜率,故﹣＜<﹣.二、选择题(本大题满分12分,共４小题,每小题满分１２分)13.设ａ、b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+ｂｉ为纯虚数的”（)A．充分不必要条件ﻩB．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】结合纯虚数的概念，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解:若复数a+ｂi为纯虚数,则a=0，b≠０,∴“ａb=０”是“复数ａ＋bi为纯虚数的”必要不充分条件．故选：B．14．与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（2,2)的双曲线标准方程为（)Ａ．ﻩＢ.ﻩC．ﻩD．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意设出与双曲线有共同的渐近线的方程为,把点（2，2)代入求出λ，则答案可求．【解答】解：设所求的双曲线方程为，∵所求双曲线过点(2,2）,则，即λ=﹣3,∴所求双曲线方程为.故选:B.1５.设曲线Ｃ的参数方程为(θ为参数),直线l的方程为x﹣3ｙ+2=0,则曲线C 上到直线l距离为的点的个数为( ）A．1 B．2 C.３ﻩD．4【考点】参数方程化成普通方程．【分析】将参数方程化为普通方程,求出圆心和半径，再求圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系，观察即可得到点的个数.【解答】解：曲线Ｃ的参数方程为（θ为参数），化为普通方程为圆C:(ｘ﹣2)2+(y﹣1）2＝9,圆心为(2,1),半径为3．则圆心到直线的距离d==.则直线与圆相交,则由3﹣>，故在直线x﹣3y+2=０的上方和下方各有两个，共4个.故选D．16.已知曲线C：﹣＝1(a>b＞0），下列叙述中正确的是（）A.垂直于ｘ轴的直线与曲线C存在两个交点B.直线y＝kx+ｍ(k,ｍ∈R)与曲线C最多有三个交点Ｃ.曲线C关于直线y=﹣x对称D.若P1（x1,ｙ1),P2（x2,y2)为曲线Ｃ上任意两点,则有＜0【考点】曲线与方程．【分析】对x，y的符号进行讨论,得出曲线的图象,根据椭圆与双曲线的性质进行判断. 【解答】解:当x>0,y>0时,曲线C的方程为，渐近线方程为y=．当ｘ＜0，y＞0时,曲线Ｃ方程为﹣,方程无解.当x<0，y<0时，曲线C方程为，渐近线方程为ｙ＝.当x＞0,y＜0时,曲线C方程为．作出曲线C的图象如图所示：显然y是关于x的函数,故Ａ错误．由图象可知当直线y=kx+m经过点（a,０）且k＞时,直线与曲线Ｃ有三个交点．∵a≠b，∴曲线Ｃ不关于直线ｙ=﹣x对称，故C错误．由图象可知y=f（x）为增函数，∴ｋ=>0,故Ｄ错误．综上,故选B．三、解答题(本大题满分52分）17．求以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的标准方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的性质和圆的标准方程即可求出.【解答】解:抛物线的焦点Ｆ(1，0），因为圆过原点，所以半径R=1所以所求的圆的标准方程为(x﹣１）2+ｙ2=1.1８.设ｚ1是方程ｘ２﹣６x＋2５＝0的一个根．(1）求ｚ1;(2)设z2=a＋ｉ（其中ｉ为虚数单位，a∈R），若ｚ2的共轭复数满足，求．【考点】复数代数形式的乘除运算；函数的零点；复数求模.【分析】(1）直接利用实系数一元二次方程的求根公式求解;(2）由ｚ＝a+i得其共轭复数，把ｚ1及代入，整理后求解a的值，２代入z2=a＋i后求解．【解答】解（1)∵△=62﹣4×２５=﹣6４,∴，即z1=3﹣4i或ｚ1=3+4ｉ；（2）由ｚ2=a+i,得.当z1＝3﹣4i时,则=|(3﹣4ｉ）3•（a﹣i)|=,得|(﹣117﹣44i)(ａ﹣i)|＝，整理得:，∴a=±2.当z1=3+4ｉ时,则=|(3＋4i)3•（a﹣i）|=,得|（﹣117+４4i）(a﹣ｉ)|=,整理得：，∴a＝±2.综上：当a=﹣2时，;当a=2时，．１9.如图，直线y=x与抛物线y＝x２﹣４交于A、Ｂ两点，线段ＡB的垂直平分线与直线ｙ=﹣5交于Q点.（1)求点Q的坐标；（2）当Ｐ为抛物线上位于线段AB下方(含Ａ、B）的动点时,求△ＯPＱ面积的最大值．【考点】抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题.【分析】(１）把直线方程抛物线方程联立求得交点Ａ，B的坐标,则AB中点M的坐标可得，利用AB的斜率推断出AＢ垂直平分线的斜率,进而求得AＢ垂直平分线的方程，把y=﹣5代入求得Q的坐标.（2)设出Ｐ的坐标,利用P到直线0Q的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得Q Ｏ的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形ＯＰQ，利用x的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值.【解答】解：(１）解方程组得或即Ａ(﹣4,﹣2)，B(8,４)，从而AB的中点为M(2,1),═,直线AＢ的垂直平分线方程ｙ﹣1=﹣2（x﹣２）．由ｋＡB令y=﹣5,得ｘ＝５，∴Q(5，﹣5）．（2)直线ＯQ的方程为ｘ+ｙ＝0，设P(ｘ,ｘ２﹣４）．∵点P到直线OQ的距离d==．,∴S△OPＱ=|OＱ｜d＝∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，∴﹣4≤x<4﹣４或4﹣4＜ｘ≤8．∵函数y=x2+8x﹣３2在区间[﹣4，8]上单调递增,∴当x＝８时,△OPQ的面积取到最大值3０.20．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图)的东偏南方向３00ｋm的海面Ｐ处,并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km，并以10km/ｈ的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?【考点】圆方程的综合应用.【分析】建立坐标系：以O为原点,正东方向为ｘ轴正向.设在时刻：t（h）台风中心P（ｘ,y)的坐标进而可知此时台风侵袭的区域,根据题意可知其中r(ｔ）＝1０t+60，若在t时,该城市O受到台风的侵袭，则有(0﹣x)２+(0﹣y）2≤（10t＋6０）2,进而可得关于ｔ的一元二次不等式，求得ｔ的范围，答案可得．【解答】解：如图建立坐标系:以Ｏ为原点,正东方向为ｘ轴正向．在时刻:t（h)台风中心Ｐ(ｘ,y)的坐标为令（x′,y′）是台风边缘线上一点，则此时台风侵袭的区域是（x′﹣x）2＋（ｙ′﹣ｙ）2≤［ｒ（t）］2,其中r（t)=1０t+60，若在t时，该城市受到台风的侵袭,则有（0﹣ｘ)2+(0﹣y）2≤（１0t+６0）２，即，即t2﹣３6t＋２88≤０,解得１2≤t≤２４．答:1２小时后该城市开始受到台风侵袭．：+=1和椭圆E2：＋=1满足==ｍ(m＞0）,则称这两２１.椭圆E１个椭圆相似,m称为其相似比．(1)求经过点(2,）,且与椭圆+=１相似的椭圆方程;(2)设过原点的一条射线L分别与(１）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB 上），求的最大值和最小值;(３）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆C1：+=１和C：+＝1交于A、B两点，Ｐ为线段AＢ上的一点，若｜OＡ|,|OＰ|,|O ２Ｂ|成等比数列，则点Ｐ的轨迹方程为+=１”.请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题,不必证明.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)直接根据定义得到,解得a，b，即可得到与已知椭圆相似的椭圆方程；(２）先对射线与y轴重合时求出结论;再对射线不与坐标轴重合时，由椭圆的对称性，仅考查Ａ、B在第一象限的情形,联立直线与两个椭圆方程分别求出线段的长度，再结合函数的单调性即可求出的最大值和最小值;（整理过程需小心避免出错).（3）分析出命题的基本条件为：椭圆、a=２,ｂ=、m=２、等比,类比着写：①双曲线或抛物线;②a,ｂ或ｐ; ③相似比为m；④等比.【解答】解:(1）设所求的椭圆方程为+=1，则有,解得,∴所要求的椭圆方程为+=1;(2）①当射线与y轴重合时，｜OA|+=+=;②当射线不与y轴重合时，由椭圆的对称性,我们仅考察A、Ｂ在第一象限的情形．设其方程为y＝ｋｘ(k≥0，x＞０),设A(ｘ1，y1），Ｂ（x2，y2），由解得，所以；由解得所以；=+，令，，=()在上是增函数，∴,即,由①②知，|OA｜＋的最大值为,的最小值为．(3）过原点的一条射线分别与两条双曲线C1:﹣＝1和C2:﹣=1（ｍ>0)交于A、B两点，Ｐ为线段ＡB上的一点，若|OＡ｜、｜OP|、|OB|成等比数列，则点P的轨迹方程为﹣＝１；或过原点的一条射线分别与两条抛物线C1：y2=2px(p>０)和C2：y2=2mｐx(m>0）相交于异于原点的A、B两点，Ｐ为线段AB上的一点,若|OＡ|、｜OP|、｜OB|成等比数列,则点P的轨迹方程为y2=2px.ﻬ201６年5月１1日。

上海市金山中学2019-2020学年上学期高二数学期末考试卷附答案详析

上海市金山中学2019-2020学年高二上学期期末考数学试卷一、单选题1．下列参数（t 为参数）方程中，与2214yx +=表示同一曲线的是（）A ．2x ty t=⎧⎨=⎩B ．||2x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩C ．cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩D ．tan 2sec x ty t=⎧⎨=⎩2．已知两条直线1l 与2l 不重合，则“1l 与2l 的斜率相等”是“1l 与2l 的平行”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若曲线C 上所有点的坐标都满足方程0(),F x y =，则（） A ．方程0(),F x y =是曲线C 的方程B ．坐标满足方程0(),F x y =的点都在曲线C 上 C ．曲线C 是方程0(),F x y =所表示的曲线D ．点的坐标满足方程0(),F x y =是点在曲线C 上的必要条件4．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点A ，B 在抛物线C 上，过线段AB 的中点M 作抛物线C的准线的垂线，垂足为N ，若90AFB ∠=︒，则||||AB MN 的最小值为（）A ．1B ．2 C ．2 D ．6二、填空题 5．直线l ：34y x =+的倾斜角的大小为______.6．抛物线24y x =的焦点坐标是______．7．已知向量,i j r r 为相互垂直的单位向量，34a i j =+rr r ，34b i j =-r r r ，则a b⋅=r r______.8．已知线性方程组的增广矩阵为11334a --⎛⎫⎪⎝⎭，若该线性方程组的解为12-⎛⎫⎪⎝⎭，则实数a =________9．已知直线30x y +=与直线10kx y -+=的夹角为60o ，则实数k = . 10．若原点到直线l ：80ax y ++=的距离为4，则a 的值是______.11．已知三点P 、1P 、2P 在一条直线上，点1(0,6)P -，2(4,0)P ，且1212PP PP =-u u u u r u u u r，则点P 的坐标为______. 12．平面内直线1l 上有两个不同点到直线2l 的距离相等，则两直线的位置关系是______.13．已知变量,x y 满足约束条件242300x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则目标函数z x y =+的最小值为__________．14．已知过点(2,1)P 有且仅有一条直线与圆C ：2222210x y ax ay a a +++++-=相切，则a =______.15．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，||||CA CB CA CB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上运动，且点C 位于第一象限，则点C 到原点O 的距离的最大值是______.16．已知椭圆22194x y +=的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一动点，若AB 是以点P 为圆心，1为半径的圆的一条直径，则1122F A F B F A F B⋅+⋅u u u r u u u r u u u u r u u u u r的取值范围是______.三、解答题17．已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为(2,1)A 、(5,3)B 、(1,5)C -. （1）求ABC ∆的边BC 上的高；（2）求ABC ∆的面积.18．已知关于x 、y 的二元一次方程组42mx y n x ny m+=+⎧⎨+=⎩.（）（1）记方程组（）的系数矩阵为A ，且矩阵41n B m --⎛⎫= ⎪-⎝⎭，若1001A B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求实数m 、n 的值.（2）若方程组（）无解或者有无穷多解，求三阶行列式4325026D n m -=的值.19．如图，某海面上有O 、A 、B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45︒方向距O 岛402千米处，B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处.以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C 经过O 、A 、B 三点.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东45︒行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？20．已知向量()1,3a =r ，()1,3b =-r.（1）若a λb +r r 与a b λ-r r垂直，求实数λ的值；（2）若对任意的实数m ，都有ma nb a b +≥+r r r r，求实数n 的取值范围；（3）设非零向量(,)c xa yb x y R =+∈r r r，求x cr 的最大值.21．已知椭圆C ：2221tan y x α+=，其中04πα<<，点A 是椭圆C 的右顶点，射线l ：(0)y x x =≥与椭圆C 的交点为B . （1）求点B 的坐标；（2）设椭圆C 的长半轴、短半轴的长分别为a 、b ，当ba 的值在区间30,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭中变化时，求α的取值范围；（3）在（2）的条件下，以A 为焦点，(,0)D m 为顶点且开口方向向左的抛物线过点B ，求实数m 的取值范围.解析上海市金山中学2019-2020学年高二上学期期末考数学试卷一、单选题1．下列参数（t 为参数）方程中，与2214yx +=表示同一曲线的是（）A ．2x ty t=⎧⎨=⎩B ．||2x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩C ．cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩D ．tan 2sec x ty t=⎧⎨=⎩【答案】C【解析】将参数方程化为普通方程，逐一将各参数方程中的参数t 消去即可得解. 【详解】解：对于选项A ，参数方程2x ty t=⎧⎨=⎩化为普通方程为2y x =，即A 不合题意；对于选项B ，参数方程2x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩化为普通方程为22y x =，即B 不合题意；对于选项C ，参数方程cos 2sin x t y t=⎧⎨=⎩化为普通方程为2214y x +=，即C 符合题意；对于选项D ，参数方程tan 2sec x t y t =⎧⎨=⎩化为普通方程为2214y x -=，即D 不合题意，即与2214y x +=表示同一曲线的是cos 2sin x t y t=⎧⎨=⎩，故选：C. 【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，重点考查了运算能力，属中档题.2．已知两条直线1l 与2l 不重合，则“1l 与2l 的斜率相等”是“1l 与2l 的平行”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“1l 与2l 的平行”则有“1l 与2l 的斜率相等”或“1l 与2l 的斜率均不存在”两种情况，再判断即可得解. 【详解】解：因为两条直线1l 与2l 不重合，由“1l 与2l 的斜率相等”可得“1l 与2l 的平行”；由“1l 与2l 的平行”则可得“1l 与2l 的斜率相等”或“1l 与2l 的斜率均不存在”，即“1l 与2l 的斜率相等”是“1l 与2l 的平行”的充分不必要条件，故选：A. 【点睛】本题考查了两直线平行的充分必要条件，重点考查了直线的斜率，属基础题. 3．若曲线C 上所有点的坐标都满足方程0(),F x y =，则（） A ．方程0(),F x y =是曲线C 的方程B ．坐标满足方程0(),F x y =的点都在曲线C 上 C ．曲线C 是方程0(),F x y =所表示的曲线D ．点的坐标满足方程0(),F x y =是点在曲线C 上的必要条件【答案】D【解析】由曲线C 上所有点的坐标都满足方程0(),F x y =，但方程0(),F x y =的解对应的点不一定在曲线C 上，逐一判断各选项即可得解. 【详解】解：由曲线C 上所有点的坐标都满足方程0(),F x y =，则可得曲线C 上所有点的坐标都满足方程0(),F x y =，但方程0(),F x y =的解对应的点不一定在曲线C 上，即点的坐标满足方程0(),F x y =是点在曲线C 上的必要条件，故选：D. 【点睛】本题考查了曲线与方程，重点考查了充分必要条件，属基础题.4．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点A ，B 在抛物线C 上，过线段AB 的中点M 作抛物线C的准线的垂线，垂足为N ，若90AFB ∠=︒，则||||AB MN 的最小值为（）A ．1B ．2 C ．2D ．6【答案】B 【解析】设AF m =，BF n =，由抛物线的定义可得112AA BB MN +=再根据勾股定理及不等式求出2||AB 数值，代入22||||AB MN 化简即得答案．【详解】设AF m =，BF n =，过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，由抛物线的定义可得1AA m =，1BB n =，因为M 为线段AB 的中点，所以112AA BB MN +==2m n+，又90AFB ∠=︒，所以222||AB m n =+，所以()()()2222224||241||m n AB mn MN m n m n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，又()24m n mn +≥，所以()2212mnm n ≤+，当且仅当m n =时取等号，所以22||1412||2AB MN ⎛⎫≥⨯-= ⎪⎝⎭，即2AB MN ≥，所以AB MN 的最小值为2，故选B ．【点睛】本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，勾股定理的应用等知识，属于中档题．二、填空题 5．直线l ：34y x =+的倾斜角的大小为______.【答案】3π；【解析】由直线的斜率与倾斜角的关系可得tan 3θ=，再求倾斜角即可.【详解】解：设直线的倾斜角为θ，由直线l 的方程为：34y x =+可得tan 3θ=，又[)0,θπ∈，所以3πθ=，故答案为：3π. 【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题. 6．抛物线24y x =的焦点坐标是______．【答案】(1,0)【解析】抛物线24y x =的焦点在x 轴上，且2,12pp =∴=，所以抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，故答案为()1,0.7．已知向量,i j r r 为相互垂直的单位向量，34a i j =+r r r ，34b i j =-r r r，则a b ⋅=r r ______.【答案】－7；【解析】由已知可得1,0i j i j ==⋅=r r r r，再结合向量的运算即可得解.【详解】解：因为向量,i j r r为相互垂直的单位向量，则1,0i j i j ==⋅=r r r r，又34a i j =+r r r ，34b i j =-r r r ，则a b ⋅=r r 22(34)(34)9167i j i j i j +⋅-=-=-r r v v v v ，故答案为：7-. 【点睛】本题考查了向量的运算，重点考查了向量的数量积，属基础题. 8．已知线性方程组的增广矩阵为11334a --⎛⎫ ⎪⎝⎭，若该线性方程组的解为12-⎛⎫⎪⎝⎭，则实数a =________【答案】2 【解析】由已知得334x y ax y -=-⎧⎨+=⎩，把x ＝﹣1，y ＝2，能求出a 的值．【详解】∵线性方程组的增广矩阵为11334a --⎛⎫ ⎪⎝⎭，该线性方程组的解为12-⎛⎫⎪⎝⎭，∵334x y ax y -=-⎧⎨+=⎩，把x ＝﹣1，y ＝2，代入得﹣a +6＝4，解得a ＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的性质的合理运用． 9．已知直线30x y +=与直线10kx y -+=的夹角为60o ，则实数k = . 【答案】0,3-【解析】直接利用夹角公式求解即可. 【详解】因为直线30x y +=与直线10kx y -+=的夹角为60o ，且直线30x y +=与直线10kx y -+=的斜率分别为3-与k ，1212tan 13313k k k k k kθ-∴=+-∴=+解得0,3k k ==- 故答案为：0,3- 【点睛】本题主要考查直线夹角公式的应用，属于基础题.10．若原点到直线l ：80ax y ++=的距离为4，则a 的值是______. 【答案】3±；【解析】由点到直线的距离公式得22841a =+，再求解即可.【详解】解：由点到直线的距离公式可得：22841d a ==+，解得3a =±，故答案为：3±. 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属基础题.11．已知三点P 、1P 、2P 在一条直线上，点1(0,6)P -，2(4,0)P ，且1212PP PP =-u u u u r u u u r，则点P 的坐标为______. 【答案】(2,3)-；【解析】先设点(,)P x y ，再结合向量相等的坐标表示求解即可. 【详解】解：设点(,)P x y ，由1(0,6)P -，2(4,0)P ，则12(4,6)PP =u u u u v ，1(,6)PP x y =---u u u v，又1212PP PP =-u u u u v u u u v ，则42()62(6)x y =-⨯-⎧⎨=-⨯--⎩ ，解得23x y =⎧⎨=-⎩，即(2,3)P -，故答案为：(2,3)-. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，重点考查了向量相等的坐标表示，属基础题.12．平面内直线1l 上有两个不同点到直线2l 的距离相等，则两直线的位置关系是______. 【答案】平行或相交或重合；【解析】由平面内两直线的位置关系可得：平面内直线1l 上有两个不同点到直线2l 的距离相等，则这两直线平行或相交或重合，得解. 【详解】解：平面内直线1l 上有两个不同点到直线2l 的距离相等，由平面中两直线的位置关系可得这两直线平行或相交或重合，故答案为：平行或相交或重合. 【点睛】本题考查了平面内两直线的位置关系，属基础题.13．已知变量,x y 满足约束条件242300x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则目标函数z x y =+的最小值为__________．【答案】73【解析】分析：作出不等式对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可求解．详解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z x y =+，得y x z =-+表示，斜率为-1纵截距为z 的一组平行直线，平移直线y x z =-+，当直线y x z =-+经过点B 时，直线y x z =-+的截距最小，此时z 最小，由2423x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得2533B（，），此时257333min z =+= ．故答案为73. 点睛：本题主要考查线性规划的基本应用，利用z 的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．14．已知过点(2,1)P 有且仅有一条直线与圆C ：2222210x y ax ay a a +++++-=相切，则a =______. 【答案】－1；【解析】由2222210x y ax ay a a +++++-=为圆的方程可得222(2)4(21)0a a a a +-+->，又过点(2,1)P 有且仅有一条直线与圆C ：2222210x y ax ay a a +++++-=相切，则点(2,1)P 在圆上，联立即可得解. 【详解】解：过点(2,1)P 有且仅有一条直线与圆C ：2222210x y ax ay a a +++++-=相切，则点(2,1)P 在圆上，则222214210a a a a +++++-=，解得2a =-或1a =-，又2222210x y ax ay a a +++++-=为圆的方程，则222(2)4(21)0a a a a +-+->，即223a -<<，即1a =-，故答案为：1-. 【点睛】本题考查了圆的方程及圆的切线问题，属基础题.15．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，||||CA CB CA CB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上运动，且点C 位于第一象限，则点C 到原点O 的距离的最大值是______. 【答案】5；【解析】由向量数量积的运算可得0CA CB ⋅=u u u r u u u r，由点的轨迹可得点,C O 在以AB 为直径的圆周上运动，再求解即可. 【详解】解：由||||CA CB CA CB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则0CA CB ⋅=u u u r u u u r ，即2ACB π∠=,又点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上运动，即2AOB π∠=，则点,C O 在以AB 为直径的圆周上运动，又22345AB =+=,则5CO ≤，当且仅当CO 为直径时取等号，即点C 到原点O 的距离的最大值是5，故答案为：5 . 【点睛】本题考查了向量数量积的运算，重点考查了点的轨迹方程，属中档题.16．已知椭圆22194x y +=的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一动点，若AB 是以点P 为圆心，1为半径的圆的一条直径，则1122F A F B F A F B⋅+⋅u u u r u u u r u u u u r u u u u r的取值范围是______. 【答案】[]16,26.【解析】由向量的线性运算可得22221122121222F A F B F A F B PF PF PF PF ⋅+⋅=+-=+-u u u v u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u u v ，结合椭圆的定义可得22212122(3)16PF PF PF +-=-+，然后由椭圆的几何性质可得135,35PF ⎡⎤∈-+⎣⎦，再结合二次函数值域的求法即可得解. 【详解】解：由已知条件可得1PA PB ==u u u r u u u r 且PA PB =-u u u r u u u r ,则221111111()()()1F A F B F P PA F P PB F P FP PA PB PA PB FP ⋅=+⋅+=+⋅++⋅=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v , 同理22F A F B ⋅u u u u r u u u u r 221FP =-u u u v ，则22221122121222F A F B F A F B PF PF PF PF ⋅+⋅=+-=+-u u u v u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u u v , 由椭圆的定义可得126PF PF +=，则22222121112(6)22(3)16PF PF PF PF PF +-=+--=-+,由椭圆的几何性质可得135,35PF ⎡⎤∈-+⎣⎦，即[]212(3)1616,26PF -+∈，即1122F A F B F A F B⋅+⋅u u u v u u u v u u u u v u u u u v的取值范围是[]16,26，故答案为：[]16,26.【点睛】本题考查了向量的线性运算，重点考查了椭圆的定义及几何性质，属中档题.三、解答题17．已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为(2,1)A 、(5,3)B 、(1,5)C -. （1）求ABC ∆的边BC 上的高；（2）求ABC ∆的面积. 【答案】（1）91010（2）9 【解析】（1）先由点斜式方程的求法，求出直线BC 的方程，再结合点到直线的距离公式求解即可；（2）由两点的距离公式求出BC ，再结合（1）及三角形面积公式即可得解.【详解】解：（1）由3515(1)3BC k -==---，得直线BC 的方程为13(5)3y x -=--，即3140x y +-=，从而，点A 到直线BC 的距离2|23114|9910101013d +⨯-===-，即ABC ∆的边BC 上的高为91010；（2）由22(51)(35)210BC =++-=，得1191021092210S BC d =⋅=⨯⨯=，即ABC ∆的面积为9. 【点睛】本题考查了直线的点斜式方程的求法，重点考查了两点的距离公式及三角形的面积的求法，属基础题. 18．已知关于x 、y 的二元一次方程组42mx y n x ny m +=+⎧⎨+=⎩.（）（1）记方程组（）的系数矩阵为A ，且矩阵41n B m --⎛⎫= ⎪-⎝⎭，若1001A B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求实数m 、n 的值.（2）若方程组（）无解或者有无穷多解，求三阶行列式4325026D n m -=的值.【答案】（1）1m n =⎧⎨=⎩（2）88【解析】（1）先求出方程组（）的系数矩阵41m A n ⎛⎫=⎪⎝⎭，再结合1001A B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解即可；（2）由方程组（）无解或者有无穷多解，得401m n=，则4mn =，又43250544(302)26026nD n mn m m -==⋅=-，再代入运算即可得解.【详解】解：（1）由41m A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得00m nA B m n -⎛⎫+= ⎪+⎝⎭.故11m n m n -=⎧⎨+=⎩，解得10m n =⎧⎨=⎩，即1,0==m n ；（2）由方程组（）无解或者有无穷多解，得401m n=，则4mn =，从而，43250544(302)8826026nD n mn m m -==⋅=-=.【点睛】本题考查了矩阵的运算，重点考查了运算能力，属中档题.19．如图，某海面上有O 、A 、B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45︒方向距O 岛402千米处，B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处.以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C 经过O 、A 、B 三点.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东45︒行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【答案】（1）2220600x y x y +--=（2）该船有触礁的危险【解析】（1）由圆过点O 、A 、B ，设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，再将点O 、A 、B 的坐标代入运算即可得解；（2）由题意可得该船航行方向为直线l ：202030x y -+-=，再结合点到直线的距离公式可得圆心C 到直线l 的距离22|103020203|106101011d -+-==<+，得解.【详解】解：（1）如图所示，(40,40)A 、(20,0)B ，设过O 、A 、B 三点的圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，得：222040404040020200F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩，解得20D =-，60E =-，0F=，故所以圆C 的方程为2220600x y x y +--=，圆心为(10,30)C ，半径1010r =，（2）该船初始位置为点D ，则()20,203D--，且该船航线所在直线l 的斜率为1，故该船航行方向为直线l ：202030x y -+-=，由于圆心C 到直线l 的距离22|103020203|106101011d -+-==<+，故该船有触礁的危险. 【点睛】本题考查了圆的方程的求法，重点考查了点到直线的距离公式，属中档题.20．已知向量()1,3a =r ，()1,3b =-r.（1）若a λb +r r 与a b λ-r r垂直，求实数λ的值；（2）若对任意的实数m ，都有ma nb a b +≥+r r r r，求实数n 的取值范围；（3）设非零向量(,)c xa yb x y R =+∈r r r，求x cr 的最大值.【答案】（1）1λ=±（2）2n ≤-或2n ≥（3）33【解析】（1）由向量垂直的坐标运算即可得解；（2）由向量模的运算可得2230m mn m ++-≥对任意实数m 都成立，再结合判别式()22430n n ∆=--≤求解即可；（3）由向量模的运算可得2222222224442x x x c x xy y x a xya b y b ⎛⎫== ⎪ ⎪+++⋅+⎝⎭r r r r v ，再分别讨论当0x =时，当0x ≠时，求解即可.【详解】解：（1）由向量()1,3a =r ，()1,3b =-r.则2a b ==r r由a b λ+r v 与a b λ-r r 垂直，得()()0a b a b λλ+⋅-=r r v v ，即2220a b λ-=r v，从而2440λ-=，解得1λ=±；（2）由ma nb a b +≥+r r v v ，将222222m a mna b n b a b +⋅+≥+r r r v v v ，即2244412m mn n ++≥，从而2230m mn m ++-≥对任意实数m 都成立，于是()22430n n ∆=--≤，解得2n ≤-或2n ≥；（3）当0x =时，0xc=v ；当0x ≠时，2222222224442x x x c x xy y x a xya b y b ⎛⎫== ⎪ ⎪+++⋅+⎝⎭r r r r v 22111444432y y y x x x ==⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当12y x =-时，||||x c r 有最大值33，综上可得||||x c r 有最大值33.【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算，重点考查了向量模的运算，属中档题.21．已知椭圆C ：2221tan y x α+=，其中04πα<<，点A 是椭圆C 的右顶点，射线l ：(0)y x x =≥与椭圆C 的交点为B . （1）求点B 的坐标；（2）设椭圆C 的长半轴、短半轴的长分别为a 、b ，当ba 的值在区间30,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭中变化时，求α的取值范围；（3）在（2）的条件下，以A 为焦点，(,0)D m 为顶点且开口方向向左的抛物线过点B ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(sin , sin )B αα（2）06πα<<（3）3214m +<<【解析】（1）联立方程组2221tan y x y x α⎧+=⎪⎨⎪=⎩，再求解即可；（2）由椭圆的几何性质可得1a =，tan b α=，再解不等式0430tan 3παα⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩即可；（3）先求出抛物线的方程为24(1)()y m x m =---，由点(sin ,sin )B αα在抛物线上可得2sin 4(1)(sin )m m αα=---，再令sin t α=，则2()4(1)4(1)f t t m t m m =--+-∵，其中102t <<，则问题可转化为抛物线∵在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上与椭圆有一个交点的充要条件是：(0)0102f f <⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，再求解即可.【详解】解：（1）解方程组2221tan y x y x α⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得sin x y α==，所以(sin , sin )B αα；（2）因为04πα<<，0tan 1α<<，所以椭圆的焦点在x 轴上，1a =，tan b α=，由条件04303b a πα⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，得：0430tan 3παα⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，所以06πα<<；（3）由题意得：1m >，且抛物线焦点A 与顶点D 的距离为1m -，设抛物线方程为：22()y p x m =--，那么2(1)p m =-，故抛物线的方程为24(1)()y m x m =---，因为点(sin ,sin )B αα在抛物线上，所以2sin4(1)(sin )m m αα=---，2sin 4(1)sin 4(1)0m m m αα--+-=，设sin tα=，因为06πα<<，所以102t <<，令2()4(1)4(1)f t t m t m m =--+-∵，其中102t <<，抛物线∵开口向上，其对称轴2(1)0t m =-<，抛物线∵在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上与椭圆有一个交点的充要条件是：(0)0102f f <⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，即24(1)074604m m m m -<⎧⎪⎨-+<⎪⎩，所以0? 1323244m m m ⎧⎪⎨-+<<⎪⎩或，所以m 的取值范围是3214m +<<. 【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，重点考查了运算能力，属综合性较强的题型.。

上海市2018-2019学年金山中学-高二期末数学期末试卷

金山区2018学年第一学期期末考试高二数学试卷考生注意：1.答题前，和=务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码.2.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分.3.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. (19金山高二期末1)若线性方程组的增广矩阵为123321⎛⎫⎪⎝⎭，则其对应的线性方程组是_________. 答案：x+2y=3 3x+2y=12. (19金山高二期末2)已知关于x y 、的方程组421mx y x y +=⎧⎨+=⎩有唯一解，则实数m 的取值范围是_________. 答案：m ≠43. (19金山高二期末3)若直线1x =的倾斜角为θ，则θ=_________. 答案：90°4. (19金山高二期末4)若行列式201010111m =，则m 的值是_________.答案：0.55. (19金山高二期末5)过点()1,0且与直线220x y --=垂直的直线方程是_________. 答案：2x+y=26. (19金山高二期末6)己知12F F 、是椭圆22+12516x y =的两个焦点，过点1F 的直线与椭圆交于A B 、两点。

则2ABF ∆的周长为_________. 答案：207. (19金山高二期末7)己知点()1,1)3,3(A B -、两点，点()5,C a 在直线AB 上，则实数a 的值为_________. 答案：78. (19金山高二期末8)若约束条件为24,23,0,0.x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则目标函数f x y =+的最小值是_________. 答案：7/39. (19金山高二期末9)己知圆C 一条直径的两个理点分别是()()1,2 1,4A B -，，则圆C 的标准方程为_________. 答案：x^2+（y-3）^2=210. (19金山高二期末10)设抛物线28y x =的焦点为F ，P 在此抛物线上且5PF =，则点P 的坐标为_________.答案：（3，2根号6）或者（3，-2根号6）11. (19金山高二期末11)对于两条平行直线与圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”，已知直线1:330l mx y m +++=，直线()2:220l x m y +-+=与圆()222210x x y b b -+=->的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围是_________. 答案：（根号2,3根号2÷2）∪（3根号2÷2,+∞）12. (19金山高二期末12)已知实数x y 、满足()2221x y +-=，则1yω+=是_________. 答案：[1,2]二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。

2019-2020学年上海市金山中学高二上学期期末考试数学试卷及答案

2019-2020学年上海市金山中学高二上学期期末考试数学试卷及答案一、单选题1．下列参数（t 为参数）方程中，与2214yx +=表示同一曲线的是（）A ．2x t y t=⎧⎨=⎩B ．x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩C ．cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩D ．tan 2sec x t y t=⎧⎨=⎩2．已知两条直线1l 与2l 不重合，则“1l 与2l 的斜率相等”是“1l 与2l 的平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若曲线C 上所有点的坐标都满足方程0(),F x y =，则（）A ．方程0(),F x y =是曲线C 的方程B ．坐标满足方程0(),F x y =的点都在曲线C 上C ．曲线C 是方程0(),F x y =所表示的曲线D ．点的坐标满足方程0(),F x y =是点在曲线C 上的必要条件4．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点A ，B 在抛物线C 上，过线段AB 的中点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，若90AFB ∠=︒，则||||AB MN 的最小值为（）A ．1BC ．2D ．二、填空题5．直线l ：4y =+的倾斜角的大小为______.6．抛物线24y x =的焦点坐标是______．7．已知向量,i j 为相互垂直的单位向量，34a i j =+ ，34b i j =-，则a b ⋅= ______.8．已知线性方程组的增广矩阵为11334a --⎛⎫ ⎪⎝⎭，若该线性方程组的解为12-⎛⎫⎪⎝⎭，则实数a =________90y +=与直线10kx y -+=的夹角为60 ，则实数k =.10．若原点到直线l ：80ax y ++=的距离为4，则a 的值是______.11．已知三点P 、1P 、2P 在一条直线上，点1(0,6)P -，2(4,0)P ，且1212PP PP =-，则点P 的坐标为______.12．平面内直线1l 上有两个不同点到直线2l 的距离相等，则两直线的位置关系是______.13．已知变量,x y 满足约束条件242300x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则目标函数z x y =+的最小值为__________．14．已知过点(2,1)P 有且仅有一条直线与圆C ：2222210x y ax ay a a +++++-=相切，则a =______.15．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，||||CA CB CA CB +=-，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上运动，且点C 位于第一象限，则点C 到原点O 的距离的最大值是______.16．已知椭圆22194x y +=的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一动点，若AB 是以点P为圆心，1为半径的圆的一条直径，则1122F A F B F A F B ⋅+⋅的取值范围是______.三、解答题17．已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为(2,1)A 、(5,3)B 、(1,5)C -.（1）求ABC ∆的边BC 上的高；（2）求ABC ∆的面积.18．已知关于x 、y 的二元一次方程组42mx y n x ny m +=+⎧⎨+=⎩.（）（1）记方程组（）的系数矩阵为A ，且矩阵41n B m --⎛⎫= ⎪-⎝⎭，若1001A B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求实数m 、n 的值.（2）若方程组（）无解或者有无穷多解，求三阶行列式4325026D n m -=的值.19．如图，某海面上有O 、A 、B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45︒方向距O 岛千米处，B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处.以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C 经过O 、A 、B 三点.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东45︒行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？20．已知向量(a = ，(b =-.（1）若a λb + 与a b λ-垂直，求实数λ的值；（2）若对任意的实数m ，都有ma nb a b +≥+，求实数n 的取值范围；（3）设非零向量(,)c xa yb x y R =+∈，求x c的最大值.21．已知椭圆C ：2221tan y x α+=，其中04πα<<，点A 是椭圆C 的右顶点，射线l ：(0)y x x =≥与椭圆C 的交点为B .（1）求点B 的坐标；（2）设椭圆C 的长半轴、短半轴的长分别为a 、b ，当ba 的值在区间30,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭中变化时，求α的取值范围；（3）在（2）的条件下，以A 为焦点，(,0)D m 为顶点且开口方向向左的抛物线过点B ，求实数m 的取值范围.数学试题参考答案1-4CADB5．3π；6．(1,0)；7．－7；8．2；9．0,10．11．(2,3)-；12．平行或相交或重合；13．73；14．－1；15．5；16．[]16,26.17．解：（1）由3515(1)3BC k -==---，得直线BC 的方程为13(5)3y x -=--，即3140x y +-=，从而，点A 到直线BC的距离91010d =，即ABC ∆的边BC上的高为10；（2）由BC ==，得1192210S BC d =⋅=⨯=，即ABC ∆的面积为9.18．解：（1）由41m A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得00m nA B m n -⎛⎫+= ⎪+⎝⎭.故11m n m n -=⎧⎨+=⎩，解得10m n =⎧⎨=⎩，即1,0==m n ；（2）由方程组（）无解或者有无穷多解，得401m n=，则4mn =，从而，43250544(302)8826026nD n mn m m -==⋅=-=.19．解：（1）如图所示，(40,40)A 、(20,0)B ，设过O 、A 、B 三点的圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，得：222040404040020200F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩，解得20D =-，60E =-，0F =，故所以圆C 的方程为2220600x y x y +--=，圆心为(10,30)C，半径r =，（2）该船初始位置为点D，则(20,D --，且该船航线所在直线l 的斜率为1，故该船航行方向为直线l：200x y -+-=，由于圆心C 到直线l的距离d =，故该船有触礁的危险.20．解：（1）由向量(a =，(b =-.则2a b ==r r 由a b λ+ 与a b λ- 垂直，得()()0a b a b λλ+⋅-= ，即2220a b λ-= ，从而2440λ-=，解得1λ=±；（2）由ma nb a b +≥+ ，将222222m a mna b n b a b +⋅+≥+ ，即2244412m mn n ++≥，从而2230m mn m ++-≥对任意实数m 都成立，于是()22430n n ∆=--≤，解得2n ≤-或2n ≥；（3）当0x =时，0xc= ；当0x ≠时，2222222224442x x x c x xy y x a xya b y b ⎛⎫== ⎪ ⎪+++⋅+⎝⎭ 22111444432y yy x xx ==⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当12y x =-时，||||x c有最大值3，综上可得||||x c有最大值3.21．解：（1）解方程组2221tan y x y x α⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得sin x y α==，所以(sin , sin )B αα；（2）因为04πα<<，0tan 1α<<，所以椭圆的焦点在x 轴上，1a =，tan b α=，由条件04303b a πα⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，得：0430tan 3παα⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，所以06πα<<；（3）由题意得：1m >，且抛物线焦点A 与顶点D 的距离为1m -，设抛物线方程为：22()y p x m =--，那么2(1)p m =-，故抛物线的方程为24(1)()y m x m =---，因为点(sin ,sin )B αα在抛物线上，所以2sin 4(1)(sin )m m αα=---，2sin 4(1)sin 4(1)0m m m αα--+-=，设sin t α=，因为06πα<<，所以102t <<，令2()4(1)4(1)f t t m t m m =--+-①，其中102t <<，抛物线①开口向上，其对称轴2(1)0t m =-<，抛物线①在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上与椭圆有一个交点的充要条件是：(0)0102f f <⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，即24(1)074604m m m m -<⎧⎪⎨-+<⎪⎩，所以0 1323244m m m ⎧⎪⎨+<<⎪⎩或，所以m的取值范围是314m +<<。

06上海金山区期末调研试卷及答案-2

金山区2005学年第一学期高二化学期末试卷（参考答案及评分标准）一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题2分，共40分。

）二、填空题（方程式2分，其余除有说明外每格1分，共40分。

下同。

）21、第五主族，N P As Sb Bi ，N ；增大，减弱，减弱。

22、3、10、3、1、5（2分）（标电子转移略。

2分）铁，1.806╳1023（2分） 23、①，②，⑤ 24、（1）A ，(2)B （各2分） 25、＋ HNO ＋ H 2O水浴；受热均匀，温度易控制；作催化剂；水浴中；易产生副反应，硝酸分解。

26、Mg 2+ Al 3+ H +；Mg 2+ Al 3+ H +；AlO 2- OH - Na ＋；AlO 2- OH -；Mg 2+ Al 3+ H + Cl －27、（1）②2NO ＋ O 2 2NO 2③3NO 2＋ H 2O 2HNO 3＋NO④3O 3（2）硝酸进入土壤生成硝酸盐被植物吸收，提供氮肥。

（其他合理答案也给分，2分）三、实验题（14分）28、NH 3 NO CO 2，HCl O 2 NO 2 （各3分） 29、（1）＋ Br ＋ HBr（2）吸收苯与溴蒸汽，浅黄色沉淀，AgNO 3 ＋ HBr AgBr ↓ ＋ HNO 3 （3）无色油状，溴苯。

四、计算题（6分） 30、（1）88%（0.88）（3分）（2）31.76吨（3分）五、附加题（每格2分）31、（1）0.4；0.1。

（2）C(Na +)>C(OH -)>C(AlO 2-)>C(H +)（3）200 ；150。

2 Br。

高二数学期末考试[上学期]

弥勒一中2004－2005学年上学期期末考试高二数学试卷（考试时间：120分钟；考试形式：闭卷）注意事项：本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷选择题，请用2B 铅笔填涂在机读卡上；第Ⅱ卷为非选择题，请用黑色笔答在答题卡上。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列命题中,是真命题的是（）(A) 若a ＞b ,则c a -＞c b - (B) 若a ＞b ,则 c a ＞cb (C) 若ac ＞bc ,则a ＞b (D) 若a ＜b ,则2ac ＜2bc2. 不等式12-x ＜2的解集是（）(A) { x │x ＞21-} (B) { x │21-＜x ＜23} (C) { x │x ＜23} (D) { x │x ＜21-或x ＞23} 3. 不等式12--x x ≤0的解集是（） (A) { x │x ≤2} (B) { x │1＜x ≤2}(C) { x │1≤x ≤2} (D) { x │1≤x ＜2} 4. 点P 在直线04=-+y x 上,O 为坐标原点,则OP 的最小值是（）(A) 2 (B) 6 (C) 22 (D) 105. 直线l 将圆04222=--+y x y x 平分,且与直线02=+y x 垂直,则直线l 的方程为（）(A) x y 2= (B) 22-=x y (C) 2321+-=x y (D) 2321+=x y6. 若直线l 与直线012=-+y x 的夹角为045,则直线l 的斜率为（） (A) -31或3- (B) 31或3- (C) -31或3 (D) 31或3 7. 若椭圆116222=+by x 过点)3,2(-,则其焦距为（） (A) 52 (B) 32 (C) 54 (D) 348. 过点)1,0(作直线，使它与抛物线x y 42=仅有一个公共点，则这样的直线共有（）(A) 1 条 (B) 2条 (C) 3 条 (D) 0条9. 若A 是定直线l 外的一定点,则过A 且与l 相切的圆的圆心轨迹是（）(A)圆 (B)椭圆(C)双曲线一支 (D)抛物线10.已知原点为顶点,x 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线 01142=+-y x 上,则此抛物线的方程是（）(A) x y 222-= (B) x y 222=(C) x y 112-= (D) x y 112=11.双曲线14222=-y x 的渐近线方程为（） (A) 02=±y x (B) 02=±y x (C) 02=±y x (D) 02=±y x12. P 是长轴在x 轴上的椭圆12222=+by a x 上的点，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ( )(A) 1 (B) 2a (C) 2b (D) 2c第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

上海市金山中学高二数学10月月考试题

上海市金山中学2017-2018学年高二数学10月月考试题（时间120分钟满分150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1．不等式21≥-xx 的解集为。

2．如果行列式12334152--=aD 中元素1的代数余子式为5，则=a 。

3．已知=(1,2)，=(x,1)，且2+与-2平行，则x= 。

4．直线5=x 与直线062=-+y x 的夹角为。

5．已知a =(3,1-），b =(1,3-),则向量a 在b 方向上的投影为。

6．等比数列}{n a 的公比0q >,若2a =1，216n n n a a a +++=，则}{n a 的前10项和=10S 。

7．若扇形的圆心角弧度数为2，其所对的弦长也是2，则此扇形的弧长是。

8．若一条直线过点(－2,－1），且在两坐标轴上的截距相等，则此直线方程为。

9．如图，四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，)7,6,5,4,3,2,1(=i P i 是小正方形的其余顶点，则i ⋅的不同值的个数为。

10．若关于x 的方程09222=-+⋅+a a x x有实根，则实数a 的取值范围为。

11. 在平行四边形ABCD 中，3=⋅=⋅，则线段AC 的长为_______。

12．已知函数21()()log 3xf x x =-，正实数a b c 、、成公差为正数的等差数列，满足：()()()0f a f b f c <，且实数d 是方程()0f x =的一个解。

给出下列四个不等式：① d a <；②d b >；③d c <；④d c >，其中有可能成立的不等式的个数是。

P 5P 7P 3BP 6P 1P 2AP 4二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．下列命题正确的个数是（）（1）单位向量都相等；（2）若与是非零平行向量，与是平行向量，则与是平行向量。

2022-2023学年上海市金山中学高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市金山中学高二上学期期末数学试题一、填空题1．已知复数12i z =-（i 是虚数单位），则z 的虚部为______．【答案】2【分析】根据共轭复数的定义和虚部的定义即可求解. 【详解】12i z =-，所以12z i =+，所以则z 的虚部为：2. 故答案为：2.2．直线2y =与直线21y x =-的夹角大小等于_________. 【答案】arctan 2【分析】求出两直线的倾斜角，从而得到夹角的大小. 【详解】21y x =-的斜率为2，倾斜角为arctan 2θ=，2y =的斜率为0，倾斜角为0α=，故两直线的夹角为arctan 2θα-=故答案为：arctan 2 3．函数12y x -的定义域为______．【答案】[)()1,22,⋃+∞【分析】由被开方数大于等于0、对数的真数大于0及分母不为0，列不等式组即可求解.【详解】由解析式可得20log 020x x x >⎧⎪≥⎨⎪-≠⎩，解得012x x x >⎧⎪≥⎨⎪≠⎩，可得[)()1,22,x ∈⋃+∞.故答案为:[)()1,22,⋃+∞.4．函数cos y x x =-的最大值为______．【答案】2【分析】由两角差的正弦公式化简函数式，然后由正弦函数性质得最大值．【详解】cos y x x-1cos )2sin()23x x x π=-=-，所以232x k πππ-=+，即52,Z 6x k k ππ=+∈时，max 2y =．故答案为：2.5．已知集合(){},20A x y x ay =-+=，(){},440B x y ax y =-+=，若A B ⋂=∅，则实数a 的值为______．【答案】2-【分析】根据交集和空集的定义以及方程的联立即可求解.【详解】联立20440x ay ax y -+=⎧⎨-+=⎩，解得22484244a x a a y a -+⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，若A B ⋂=∅，则240a -=，所以2a =±.①当 2a =时，两个集合的条件都变为220x y -+=，因此交集不为空集.②当 2a =-时，两个集合的条件都变为220x y ++=和220x y +-=，所以交集为空集. 故答案为：2-.6．已知函数()y f x =的图象关于原点对称，且x ＞0时，()22f x x x =+，则()2f -=______．【答案】8-【分析】根据奇函数的性质即可求解.【详解】因为函数()y f x =的图象关于原点对称，所以()y f x =为奇函数，所以()()f x f x -=-，x ＞0时，()22f x x x =+，所以()222228f =+⨯=，所以()2(2)8f f -=-=-. 故答案为：8-.7．直线l 过点()4,0-且与圆22(1)(2)9x y ++-=相切，那么直线l 的方程为__________. 【答案】4x =或512200x y ++=【分析】当直线l 的斜率k 不存在时，直线l 的方程为4x =-，与圆相切，成立；当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为40kx y k -+=，圆心()12C -，到直线l 的距离3d ==，求出斜率k ，由此能出直线l 的方程．【详解】直线l 过点()4,0-且与圆22(1)(2)9x y ++-=相切， ∴圆22(1)(2)9x y ++-=的圆心()1,2C -，半径3r =，当直线l 的斜率k 不存在时，直线l 的方程为4x =-，与圆相切，成立；当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为()4y k x =+，即40kx y k -+=，圆心()1,2C -到直线l 的距离3d ==，解得512k =-，∴直线l 的方程为550123x y ---=，即512200x y ++=．综上，直线l 的方程为4x =-或512200x y ++=．故答案为：4x =-或512200x y ++=．8．已知空间中三点()0,2,3A ，()2,1,6B -，()1,1,5C -，则以向量AB 、AC 为一组邻边的平行四边形的面积为______．【答案】【分析】根据空间中两点间的距离公式，判断出三角形ABC 为等边三角形即可进一步求解.【详解】22AB =21AC =23BC ==所以ABC 为等边三角形，所以2ABCS=平行四边形的面积为2ABCS =故答案为：9．已知椭圆C ：22221x y a b +=的面积公式为πS ab =，若抛物线24y x =上到焦点的距离为2的一点P在椭圆C ：22221x y a b+=上，则该椭圆面积的最小值为______．【答案】4π【分析】设()00,P x y ，根据抛物线的定义可求0x ，代入抛物线方程可得20y ，代入椭圆方程可得22141a b +=，利用基本不等式可得4ab ≥，根据椭圆面积公式即可求解. 【详解】抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，准线方程为=1x -，设()00,P x y ，由题意可得012PF x =+=，解得01PF x ==.所以20414y =⨯=.因为()00,P x y 在22221x y a b+=上，所以2200221x y a b+=，即22141a b +=.所以22221414412a b a b ab=+≥⋅=，可得4ab ≥，当且仅当222,8a b ==时取等号. 所以π4πS ab =≥，即该椭圆面积的最小值为4π. 故答案为:4π.10．已知矩形ABCD P ，是矩形内一点，5AP =且P 到AB 的距离为2．若将矩形ABCD 绕AD 顺时针旋转3π，则线段AP 扫过的区域面积为__________．55π 【分析】由题可得线段AP 扫过的区域为圆锥的16侧面，再根据圆锥侧面积公式求解即可【详解】线段AP 2521-为半径，532ππ即16，故 115π66S S rl ==⋅=侧；故答案为：5π611．已知圆M ：22x (y 1)1+-=，圆N ：22x (y 1) 1.++=直线12l l ，分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于A ，B 两点，2l 与圆N 相交于C ，D 两点，点P 是椭圆22x y 194+=上任意一点，则PA PB PC PD⋅+⋅的最小值为______．【答案】8【分析】由题意可知，2PA PB PM 1⋅=-，2PC PD PN 1⋅=-，结合P 为椭圆22x y 194+=上的点，可用P 的坐标表示，然后结合椭圆的性质即可求解【详解】由题意可得，()M 0,1，()N 0,1-，M N r r 1==，()()()22PA PB PM MA PM MB PM PM MA MB MA MB PM 1⋅=+⋅+=+⋅++⋅=-， ()()()22PC PD PN NC PN ND PN PN NC ND NC ND PN 1⋅=+⋅+=+⋅++⋅=-，P 为椭圆22x y 194+=上的点， ()2222210x PA PB PC PD PM PN 22x y89∴⋅+⋅=+-=+=+由题意可知，3x 3-≤≤， 210x 88189∴≤+≤，故答案为8．【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算及求椭圆中最值问题，属于知识的简单综合应用． 12．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，ABDC ，AD AB ⊥，2DC =，1AD AB ==，直线PA 与平面ABCD 成45︒角.设四面体PBCD 外接球的圆心为O ，则球的体积为__________.5555π【分析】先证明出△PCD 和△PBC 均为直角三角形，得到O 点位置，可求得外接球的半径，可求其体积．【详解】在底面ABCD 上，//AB DC ，AD ⊥AB ，DC ＝2，AD ＝AB ＝1，所以∠ADB ＝∠ABD ＝45°，所以112BD =+=，在△BCD 上，2,2,45BD DC CDB ︒==∠=，由余弦定理可得：222cos452BC CD BD CD BD ︒=+-⋅=，所以222CD BD CB =+，所以∠CBD ＝90°．所以BD ⊥CB ．又因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥BC ．又PD ∩BD ＝D ，PD ⊂面PBD ， BD ⊂面PBD 所以BC ⊥面PBD ，所以BC ⊥PB ．则△PCD 和△PBC 均为直角三角形，当O 点为PC 中点时，OP ＝OD ＝OB ＝OC ，此时O 为四面体PBCD 的外接球的球心．∵直线P A 与平面ABCD 成45°角．PD ⊥平面ABCD ，则∠P AD ＝45°，∴PD ＝AD ＝1，又225,PC CD PD =+， ∴四面体PBCD 5，所以四面体PBCD 外接球的体积为34555π(3V ==． 55．二、单选题13．已知集合21A x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}1,0,3-D ．{}1,3-【答案】C【分析】解不等式可得集合A ，再根据集合的运算即可求解. 【详解】因为{}2102A x x x x ⎧⎫=≥=<≤⎨⎬⎩⎭,所以{0A x x =≤或}2x >.因为{}1,0,1,2,3B =-，所以{}1,0,3A B ⋂=-. 故选:C.14．已知直线():0l y kx m m =+<过双曲线222:12x y C a -=的左焦点()12,0F -，且与C 的渐近线平行，则l 的倾斜角为（）A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π4【答案】D【分析】由双曲线焦点坐标求出双曲线的标准方程，然后写出双曲线的渐近线，然后分析所求直线所过的点可知它和双曲线的那一条渐近线平行即可. 【详解】由双曲线方程为：22212x y a -=，所以22b =，由左焦点为()12,0F -，所以2c =，由222+=a b c ，所以222422a c b =-=-=，所以该双曲线的标准方程为：22122x y -=，所以渐近线方程为：y x =±，直线():0l y kx m m =+<恒过点()0,m ，且0m <，且过()12,0F -，所以直线l 与渐近线y x =-平行，故1k =-，设直线l 的倾斜角为θ，则tan 1θ=-，又0πθ≤<，所以3π4θ=，故选：D.15．一间民房的屋项有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；⑤四向倾斜.记三种盖法是屋项面积分别为1P 、2P 、3P ，若屋顶倾斜面与水平面所成的角都是θ，则（）A ．321P P P >>B ．321P P P >=C ．321P P P =>D ．321P P P ==【答案】D【分析】因为三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角都相等，且三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积均相等，由面积射影公式S 影=S 侧cos θ⋅，知屋顶面积1P 、2P 、3P ，均相等．【详解】∵三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角都是θ，三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积都相同，射影面积可设为S ，则由面积射影公式，得：123P cos S P cos S P cos S θθθ⋅=⋅=⋅=，，， ∴321P P P ==．故选:D ．【点睛】本题是二面角知识在实际生活中的应用，由面积射影公式S 影=S 侧cos θ⋅，容易得出结论，是基础题．16．已知平面直角坐标系中的直线12:l y x =、2:2=-l y x .设到1l 、2l 距离之和为12c 的点的轨迹是曲线1C ，到1l 、2l 距离平方和为22c 的点的轨迹是曲线2C ，其中12,0c c >.则1C 、2C 公共点的个数不可能为（） A ．0个 B ．4个 C ．8个 D ．12个【答案】D【分析】由题意结合点到直线距离公式，整理等式，可判断曲线1C 为矩形，曲线2C 为椭圆，则由图形的对称性即可得到结果.【详解】由题意，直线1l 与直线2l 相互垂直，设曲线1C 上的点为(),x y 122255x y x y c -++=，即12225x y x y c -++=，则当20x y ->，20x y +>时，15x =；当20x y ->，20x y +<时，1y =；当20-<x y ，20x y +>时，1y =；当20-<x y ，20x y +<时，1x =，所以曲线1C 是以11⎫⎪⎪⎝⎭、11,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、11,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、11,⎫⎪⎪⎝⎭为顶点的矩形，设曲线2C 上的点为(),x y ''，满足2222c +=，即222544y x c ''+=，所以2C 是椭圆222544y x c +=，所以二者公共点的个数只可能是0、4、8个，故选：D三、解答题17．已知数列{}n a 为等比数列，且为严格增数列，2410a a +=，2416a a ⋅=，22log 6n n b a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； (2)求数列{}n b 的前n 项和n T 的最小值．【答案】(1)12n n a -=，21n n S =-；(2)12-.【分析】（1）根据题意可求242,8a a ==，从而可求公比，根据等比数列的通项公式即可求数列{}n a 的通项公式.根据等比数列的求和公式即可求n S ；（2）根据对数的运算可得28n b n =-，可得数列{}n b 为等差数列，分析数列{}n b 的正负项，根据等差数列的求和公式即可求n T 的最小值．【详解】（1）因为{}n a 为严格增数列，2410a a +=，2416a a ⋅=，所以242,8a a ==.所以2424a q a ==，解得2q 或2q =-（舍）.所以2212222n n n n a a q ---==⨯=.又11a =，所以122112nn n S -==--. （2）由（1）得12n n a -=，所以()22log 621628n n b a n n =-=--=-.所以数列{}n b 为等差数列，首项为16b =-，公差为2，当13n ≤≤时，0n b <；当4n =时，0n b =；当5n ≥时，0n b >. 所以n T 的最小值为3432632122T T ⨯==-⨯+⨯=-. 18．如图，已知点P 在圆柱OO 1的底面圆O 上，AB 为圆O 的直径，圆柱OO 1的表面积为24π，OA ＝2，∠AOP ＝120°．(1)求三棱锥A 1﹣APB 的体积．(2)求异面直线A 1B 与OP 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【答案】83(2)2【分析】（1）根据表面积得到14AA =，计算23ABP S =△.（2）L 为1AA 的中点，连接,LO LP ，证明1LO A B ∥，在OPL △中，计算各条边长，再利用余弦定理计算夹角得到答案.【详解】（1）2r OA ==，2112π2π8π4π24πS r r AA AA =+⋅=+⋅=，故14AA =.120AOP ∠=︒，则30BAP ∠=︒，4sin 6023AP =︒=4sin302BP =︒=，112322322ABP S AP BP =⨯⨯=⨯=△11118323433A B BP A AP V S AA -=⋅=⨯=△（2）如图所示：L 为1AA 的中点，连接,LO LP ，L 为1AA 的中点，O 为AB 中点，则1LO A B ∥，22111442222LO A B ==+=，2OP =，()22222234LP LA AP =+=+=，在OPL △中，22248162cos 242222OP OL PL POL OP OL +-+-∠===-⋅⨯⨯. 故异面直线A 1B 与OP 所成角的大小为2arccos4.19．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左右焦点分别为1F ，2F ，其中()22,0F ，O 为原点．椭圆上任意一点到1F ，2F 距离之和为3 （1）求椭圆的标准方程及离心率；（2）过点()0,2P 的斜率为2的直线l 交椭圆于A 、B 两点．求的OAB 面积．【答案】（1）2213x y +=6（263【分析】（1）根据题意和椭圆的定义可知,a c ，再根据222b a c =-，即可求出b ，由此即可求出椭圆的方程和离心率；（2）求出直线l 的方程，将其与椭圆方程联立，设()()1122,,,A x y B x y ，求出1212x x x x +，，根据弦长公式求出AB 的长度，再根据点到直线的距离公式求出点O 到直线AB 的距离，再根据面积公式即可求出结果.【详解】（1）由题意，2,223c a ==，2223,1a b a c ∴==-=，所以椭圆的标准方程为2213x y +=，离心率为6e ；（2）直线l 的方程为22y x =+，代入椭圆方程得2132490x x ++= 设()()1122,,,A x y B x y ，则121224*********x x x x ∆=>+=-=，， ∴()221212126312545AB x x x x x =+-=+-=，又∵点O 到直线AB 的距离222512d ==+ 112636352213135OABSd AB ∴=⨯⨯=⨯⨯⨯=即OAB 的面积为6313. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了圆锥曲线中弦长公式()222121212114AB k x x k x x x x =+-=+⨯+-的应用.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，π2∠=∠=ABC BAD ，2PA AD ==，1AB BC ==.(1)证明：AB PD ⊥；(2)线段CP 上是否存在一点M ，使得直线AM 垂直平面PCD ，若存在，求出线段AM 的长，若不存在，说明理由；(3)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长. 【答案】(1)证明见解析. (2)存在，线段AM 23325【分析】（1）通过定义法证明线面垂直，即可证出两线垂直.（2）通过建立空间直角坐标系，表达坐标点，进而根据线面垂直的性质，证明直线AM 与CD 和PD 都垂直，求出点M 的坐标，进而求出线段AM 的长.（3）通过向量关系表达出BQ ，再表达出CQ ，列出直线CQ 与DP 所成的角的表达式，求出最值和最值成立的条件，进而求出线段BQ 的长. 【详解】（1）由题意，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，AB ABCD ⊂面,AD ABCD ⊂面，∴PA AB ⊥，PA AD ⊥在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，π2∠=∠=ABC BAD ∵AD ADP ⊂面，AP ADP ⊂面 ∴AB ADP ⊥面 ∵PD ADP ⊂面 ∴AB PD ⊥（2）由题意及（1）得，存在一点M ，使得直线AM 垂直平面PCD ，在四棱锥P ABCD -中，2PA AD ==，1AB BC == 作出空间直角坐标系如下图所示：由几何知识得，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，()002P ,,， ∴()1,1,2PC =-，()1,1,0CD =-，()0,2,2PD =-，设()111,,M x y z ，则()111,,2PM x y z =-, ∴1112112x y z t -===- ∴(),,22M t t t -+， (),,22AM t t t =-+ 若AM ⊥面PCD()00022220AM CD t t AM PD t t ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+--+=⎪⎩解得：23t = ∴222,,333M ⎛⎫⎪⎝⎭222222200033333AM ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）由题意及（1）（2）得，()0,2,2DP =-，()0,1,0CB =-，()1,0,2BP =-设()(),0,201BQ BP λλλλ==-≤≤ ∴(),1,2CQ CB BQ λλ=+=--，1cos ,10CQ DP CQ DP CQ DP⋅==设12λμ+=，13μ≤≤，∴22229cos ,101520999CQ DP μ==≤⎛⎫-+⎪⎝⎭当且仅当95μ=即2=5λ时，cos ,CQ DP 最大，为，在cos y x =中，π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，∴cos ,CQ DP 最大时，直线CQ 与DP 所成的角最小，∵BP =∴25BQ BP ==∴当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ . 21．已知0p >，函数00x y x ⎧≥⎪=<的图象为曲线Γ.A 、B 是Γ上的两点，A 在第一象限，B 在第二象限.设点()11,0F 、2,02pF ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)若B 到2F 和到直线2x =的距离相等，求p 的值；(2)已知12//F A F B ，证明：OA OB ⋅为定值，并求出此定值（用p 表示）；(3)设2p =，且直线OA 、OB 的斜率之和为1-.求原点O 到直线AB 距离的取值范围.【答案】(1)4p = (2)证明见解析，32p (3)04<<d【分析】（1）根据函数表达式可设(B x 2x =-，整理即可求解；（2）设(1,A x ，(2B x ，则可得到1F A ，2F B ，由平行关系可得0=，整理即可证明；（3）设直线OA 、OB 的斜率分别为k 、1k --（0k >），代入函数表达式可得A ，B 的坐标，即可得到直线AB 的表达式，利用点到直线距离公式，进而求解.【详解】（1）设(B x （0x <）2x -.而22222p p x px x ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0x <知，22p x x -=-，故4p =.（2）设(1,A x ，(2B x （1>0x ，20x <），则(111,F A x =-，222p F B x ⎛=+⎝，故由12//F A F B ，得(1212p x x ⎫-+⎪⎭，即0=，0，故122p x x =-，所以1232OA OB x x p ⋅=+=为定值.（3）由题，设直线OA 、OB 的斜率分别为k 、1k --（0k >），则244,A k k ⎛⎫⎪⎝⎭，()244,11B k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，故直线AB 的方程为22244221k k y x k k k k +⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭，设20u k k =+>，则()()21840ux u y k -+++=，所以O 到直线AB 距离为d当0u >时，()22541511,4141u u u u u ++=+∈+∞++，故04<<d .。

上海市金山中学高二数学10月学习水平检查试题

上海市金山中学2016-2017学年高二数学10月学习水平检查试题（考试时间：120分钟满分：150分）一、填空题（每题4分，共56分）1．已知实数02=+-C B A ，则直线0=++C By Ax 必过定点。

2．已知i 、j 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，j i a 2+=，j i x b +=，且a b 2+与-a 2b 平行，则=x 。

3．直线5=x 与直线062=-+y x 的夹角为。

4．已知a =(3,1-），b =(1,3-),则向量a 在b 方向上的投影为。

5．已知定点A （0，1），点B 在直线013=--y x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为___ ___。

6．若一条直线过点(－2,－1），且在两坐标轴上的截距相等，则此直线方程为。

7．已知a ϖ的单位向量为0a u u r ,23(-=)21，若a ϖ的起点坐标为(1,-2)，模为34，则a ϖ的终点坐标是。

8．若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r，且c a ⊥r r ，则向量a r 与b r 的夹角为。

9．经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A(3,－2），B(－1,6)等距离的直线方程是。

10．若x a y =和)0(>+=a a x y 的图像有两个交点，则a 的取值范围是。

11．设三条直线01232,01832,06232=+-=+-=++y mx y m x y x 围成直角三角形，则实数m的值为。

12．若直线m 被两平行线01:1=+-y x l 与03:2=+-y x l 所截得的线段的长为22，则直线m 的倾斜角可以是：①15o②30o③45o④060 ⑤75o，其中正确答案的序号是。

（写出所有正确答案的序号） 13．如图，点C B A ,,是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点，若n m +=,则n m +的取值范围为。

2020-2021学年上海市金山区高二上学期期末数学试题(解析版)

2020-2021学年上海市金山区高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线l 的参数方程是12()2x tt R y t =+⎧∈⎨=-⎩．则l 的方向向量d 可以是（）．A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(2,1)-D ．(1,2)-【答案】C【分析】消参法求出直线的普通方程，找出斜率，再根据向量()1，k 为直线l 的一个方向向量，再验证与()1，k 共线的向量即可得出答案. 【详解】由122502x t x y y t=+⎧⇒+-=⎨=-⎩，即直线方程为1522y x =-+，斜率为12k =-，所以向量()111,2，k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为直线l 的一个方向向量.所以与向量11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭共线的向量(非零向量）均为直线l 的方向向量.经验证1(2,1)21,2⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以(2,1)-与11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭共线所以(2,1)-也为直线l 的一个方向向量. 故选：C【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，求直线的方向向量，属于基础题. 2．已知命题α：“双曲线的方程为222x y a -=（0a >）”和命题β：“双曲线的两条渐近线夹角为2π”，则α是β的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】A【分析】根据等轴双曲线渐近线的夹角关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若双曲线的方程为x 2﹣y 2＝a 2（a ＞0），则双曲线为等轴双曲线，则双曲线的渐近线为y ＝±x ，双曲线渐近线的夹角为2π，即充分性成立，双曲线y 2﹣x 2＝1的渐近线为y ＝±x ，满足双曲线渐近线的夹角为2π，但双曲线的方程为x 2﹣y 2＝a 2（a ＞0）不成立，即必要性不成立，即α是β的充分不必要条件，故选A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件判断，结合等轴双曲线的渐近线的夹角关系是解决本题的关键．3．设P 是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则A ．0PA PB += B ．0PC PA += C ．0PB PC +=D ．0++=PA PB PC【答案】B 【详解】移项得.故选B4．如图，已知线段AB 上有一动点D （D 异于A B 、）,线段CD AB ⊥,且满足2CD AD BD λ=⋅（λ是大于0且不等于1的常数），则点C 的运动轨迹为 A ．圆的一部分 B ．椭圆的一部分 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分【答案】B【详解】以线段AB 所在的直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，设(,)C x y 是运动轨迹上任一点，且2AB a =，则(,0),(,0)A a B a -，所以22CD y =，22()()AD BD x a a x x a λλλλ⋅=+-=-+，所以222y x a λλ=-+，即222x y a λλ+=，即22221x y a aλ+=且x a ≠±，所以点C 的运动轨迹为椭圆的一部分，故选B ．点睛：本题考查轨迹方程的求解问题，对于求轨迹方程的常用方法有：(1)直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系0(),F x y =；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．(4)代入(相关点)法：动点(,)P x y 依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而运动，常利用代入法求动点(,)P x y 的轨迹方程．二、填空题5．若向量()1,3a =，则a =___________. 10【分析】根据向量模的公式直接求向量的模.【详解】因为向量()1,3a =，所以213a =+=.6．若行列式2031m =，则m =___________.【答案】6【分析】利用行列式计算法则可得出关于实数m 的等式，即可求得实数m 的值. 【详解】26031m m =-=，故6m =.故答案为：6.7．已知点()2,2P --、()2,2Q 的直线倾斜角大小为___________. 【答案】4π 【分析】求出直线PQ 的斜率，结合直线倾斜角的取值范围可求得直线PQ 的倾斜角. 【详解】直线PQ 的斜率为22122PQ k --==--，设直线PQ 的倾斜角为α，0απ≤<，因此，4πα=. 故答案为：4π. 8．线性方程组2123x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为___________.【答案】121213-⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据增广矩阵的定义可直接写出答案.【详解】由增广矩阵的定义知：线性方程组2123x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为121213-⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：121213-⎛⎫⎪⎝⎭.9．已知直线1:21l x my +=与2:31l y x =-，若两直线平行，则m 的值为___________. 【答案】23-【分析】根据两直线平行的条件可直接求出m 的值.【详解】把直线1:21l x my +=与2:31l y x =-化为一般式方程为：直线1:210l x my +-=，2:310l x y --=，因为直线1l 与2l 平行，所以()()()213021310m ⎧⨯--=⎪⎨⨯--⨯-≠⎪⎩ ，解得23m =-. 故答案为：23-.10．若直线l 的一个法向量()1,2n =，且经过点()3,5P -，则直线l 的一般式方程为___________.【答案】270x y ++=【分析】利用直线的点法式方程可得直线l 的一般方程.【详解】由已知条件可知，直线l 的点法式方程为()()3250x y -++=，故直线l 的一般方程为270x y ++=. 故答案为：270x y ++=.11．焦点在x 轴上，焦距为6，且经过点的双曲线的标准方程为_______.【答案】22154x y -=【分析】利用已知条件求出c ，a ，然后求解b ，即可得到双曲线方程．【详解】焦点在x 轴上，焦距为6，c ＝3，且经过点)可得a =所以2954b =-=.双曲线的标准方程为：22154x y -=．故答案为22154x y -=．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 12．不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积为___________.【答案】43【分析】画出不等式组所表示的可行域即可求平面区域的面积.【详解】画出不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域如图，易知40,3A ⎛⎫⎪⎝⎭，由3434x y x y +=⎧⎨+=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1B ，所以平面区域的面积为14441233S ⎛⎫=⨯-⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：43.13．已知1F 、2F 是椭圆22:13627x y C +=的两个焦点，点P 为椭圆C 上的点，1||8PF =，若M为线段1PF 的中点，则线段OM 的长为________ 【答案】2【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义转化求解即可．【详解】F 1、F 2是椭圆2213627x y C +=：的两个焦点，可得F 1（﹣3，0），F 2（3，0）．a ＝6．点P 为椭圆C 上的点，|PF 1|＝8，则|PF 2|＝4，M 为线段PF 1的中点，则线段OM 的长为：12|PF 2|＝2．故答案为2．【点睛】本题考查椭圆的的定义及简单性质的应用，是基本知识的考查．14．设焦点为1F ､2F 的椭圆()222103x y a a+=>上的一点P 也在抛物线294y x =上，抛物线焦点为3F ，若32516PF =，则12PF F △的周长为___________. 【答案】6【分析】根据抛物线的焦半径公式求出点P 的横坐标，然后代入抛物线方程求出点P 的纵坐标；把点P 的坐标代入椭圆方程求a 的值，从而求12PF F △的周长. 【详解】设()00,P x y ，则09251616x +=，所以01x =，代入抛物线方程，得032y =±，不妨设点P 的坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭，代入椭圆方程，得24a =，所以12PF F △的周长为22426a c +=+=. 故答案为：6.15．在平面直角坐标系中，已知()2,1a =，O 是坐标原点，M 是曲线24x y +=上的动点，则a OM ⋅的取值范围是___________. 【答案】[]4,4-【分析】画出曲线24x y +=表示的图象，再结合线性规划的知识可求解.【详解】当0,0x y ≥≥时，曲线为24x y +=；当0,0x y <≥时，曲线为24x y -+=；当0,0x y <<时，曲线为24x y --=；当0,0x y ≥<时，曲线为24x y -=，所以曲线24x y +=所表示的图象为如图所示的菱形ABCD ，设(),M x y ，则2a OM x y ⋅=+，令2z x y =+，则2y x z =-+，所以当直线2y x z =-+与AB 重合时，z 的值最大，最大为4；当直线2y x z =-+与CD 重合时，z 的值最小，最大为4-. 所以a OM ⋅的取值范围是[]4,4-. 故答案为：[]4,4-.16．点P 在圆()221:29C x y +-=上移动，点Q 在椭圆2244x y +=上移动，则PQ 的最大值为___________.【答案】13+【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P ，Q 两点间的最大距离．【详解】解：设椭圆x 2+4y 2＝4上任意一点Q 的坐标为（x ，y ），则x 2+4y 2＝4．点Q 到圆心（0，2）的距离为 d ==故当y 23=-时，d =|PQ |的最大值为13，故答案为：13．三、解答题17．已知向量()3,1a =-，()1,2b =-. （1）求向量a 、b 的夹角的大小；（2）确定实数k 的值，使()()2a kb a b +⊥+. 【答案】（1）34π；（2）3k =. 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算求出cos ,a b <>，结合向量夹角的取值范围可求得向量a 、b 的夹角的大小；（2）求出向量a kb +、2a b +的坐标，由已知条件可得()()20a kb a b +⋅+=，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于实数k 的等式，由此可求得实数k 的值.【详解】（1）由平面向量数量积的坐标运算可得5cos ,10a b a b a b⋅-<>===⨯⋅，因为0,a b π≤<>≤，故3,4a b π<>=；（2）()()()3,11,23,21a kb k k k +=-+-=--，()()()223,11,25,0a b +=-+-=，因为()()2a kb a b +⊥+，故()()()2530a kb a b k +⋅+=-=，解得3k =. 18．已知圆22:46120C x y x y +--+=. （1）求圆心C 的坐标以及半径长；（2）求过点()A 3,5的圆C 的切线方程.【答案】（1）圆心()2,3C ，半径长为1；（2）3x =或34110x y -+=. 【分析】（1）将圆C 的方程化为标准方程，可得出圆心C 的坐标及半径长；（2）对所求切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线斜率不存在时，可得出所求切线方程为3x =，验证即可；在所求切线斜率存在时，可设所求切线方程为53y k x ，利用圆心到切线的距离等于半径求出k 的值.综合可得出所求切线的方程.【详解】（1）圆C 的标准方程为22231x y ，圆心为()2,3C ，半径长为1；（2）()()2232531-+->，则点A 在圆C 外.①若所求切线的斜率不存在时，则切线的方程为3x =，圆心C 到直线3x =的距离为1，合乎题意；②若所求切线的斜率存在，设所求切线的方程为53y k x ，即350kx y k ，1==，解得34k =，此时，所求切线的方程为()3543x y -=-，即34110x y -+=. 综上所述，过点()A 3,5的圆C 的切线方程为3x =或34110x y -+=.19．神舟飞船是中国自行研制的航天器，从神舟一号到神舟十一号，都按照预定轨道完成巡天飞行.其中神舟五号的轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆，选取坐标系如图所示，椭圆中心在坐标原点，近地点A 距地面200千米，远地点B 距地面350千米，已知地球半径6371R =千米. （1）求飞船飞行的椭圆轨道方程；（2）神舟五号飞船在椭圆轨道运行14圈，历时21小时23分.若椭圆周长的一个近似公式为()24L b a b π=+-(a b ，分别为椭圆的长半轴与短半轴的长)，请问：神舟五号飞船平均飞行速度每秒多少千米？(结果精确到0.01千米/秒，π取3.14)【答案】（1）2214416931644163691x y +=；（2）7.59【分析】(1)先设出椭圆的标准方程，根据椭圆的定义可求得a c -和a c +的值，进而求得a 和c ，进而根据222b a c =-求得2b ，椭圆的方程可得．(2)把从15日9时到16日6时的时间减去开始的时间，再减去最后多计的时间，可得飞船巡天飞行的时间，进而可算出平均速度．【详解】解：(1)设椭圆的方程为22221x y a b +=由题设条件得：解得6646a =，75c =所以244169316a =，222()()6721657144163691b a c a c a c =-=+-=⨯=所以椭圆的方程为2214416931644163691x y += (2)历时21小时23分，得飞船巡天飞行的时间是213600236076980⨯+⨯=（秒)，所以总飞行距离为：()141426645.5846645.58584302.916646L π⨯=+-≈⎡⎤⎣⎦，平均速度是7.5975698843020.91≈（千米/秒）所以飞船巡天飞行的平均速度是7.59/km s ．20．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点. （1）求焦点F 的坐标及其准线方程；（2）若弦长6AB =，求此时直线l 的斜率；（3）设抛物线C 上的点S T 、在其准线上的射影分别为11S T 、，若11S T F △的面积是STF △的面积的两倍，如图所示.求线段ST 中点M 的轨迹方程.【答案】（1）焦点F 的坐标为(1,0)，准线方程为1x =-；（2）直线AB 的斜率为（3）轨迹方程为224y x =-．【分析】（1）根据抛物线的方程写出焦点坐标和准线方程；（2）设直线AB 的方程为1x my =+，联立直线和抛物线方程，利用弦长公式即得解；（3）设ST 交x 轴于H ，根据三角形的面积关系可知(2,0)H ，根据直线ST 的斜率列方程化简得出ST 的中点的轨迹．【详解】（1）因为抛物线2:4C y x =，所以焦点F 的坐标为(1,0)，准线方程为1x =-；（2）设直线AB 的方程为1x my =+，联立直线和抛物线方程得241y x x my ⎧=⎨=+⎩，所以2440y my --=，所以6m =∴=，所以直线AB 的斜率为（3）设1(S x ，1)y ，2(T x ，2)y ，准线方程为1x =-，11111212||||2S T FSS T y y =⨯⨯=-，设直线ST 与x 轴交点为H ，121||||2STF S FH y y ∆∴=-， △11S T F 的面积是STF △的面积的两倍，||1FH ∴=， 2H x ∴=，即(2,0)H ．设ST 中点为(,)M x y ，则122y y y +=，由2114y x =，2224y x =得2212124()y y x x -=-，即121212()()4()y y y y x x +-=-，当12x x =时，线段ST 中点M 就是点(2,0)H ；当12x x ≠时，∴12121242y y x x y y y -==-+，又12122y y yx x x -=--， ∴22y x y=-，即224y x =-． ST ∴中点M 的轨迹方程为()2242y x x =-≠．显然点(2,0)在曲线224y x =-上，所以综合得ST 中点M 的轨迹方程为224y x =-．21．已知双曲线22:13y C x -=，直线l 交双曲线于,A B 两点.（1）求双曲线C 的顶点到其渐近线的距离；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于,A B 的一点，且直线,PA PB 的斜率,PA PB k k 均存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎样转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1（2）证明见解析；（3）存在点()1,0M -，使得0MA MB ⋅=. 【分析】（1）由双曲线方程可得顶点坐标和渐近线方程，由点到直线距离公式可求得结果；（2）设()00,A x y ，()00,B x y --，(),P x y ，表示出22220PA PBy y k k x x -⋅=-，将,P A 代入双曲线方程，两式作差整理可得定值；（3）当直线l 斜率存在时，设():2l y k x =-，与双曲线方程联立得到韦达定理的形式，利用向量坐标运算可表示出0MA MB ⋅=，由此可构造方程组求得1m =-，得到()1,0M -；当直线l 斜率不存在时，可知()1,0M -满足0MA MB ⋅=；综合两种情况可得结果. 【详解】（1）由双曲线方程可知其顶点坐标为()1,0±，渐近线方程为y =；由双曲线对称性知：双曲线顶点到任一渐近线的距离相等，取y =，顶点()1,0，∴所求距离d =，即双曲线C（2）由双曲线对称性知：,A B 关于原点对称，设()00,A x y ，()00,B x y --，(),P x y ，2200022000PA PBy y y y y y k k x x x x x x -+-∴⋅=⋅=-+-； ,P A 均为双曲线上的点，2222001313y x y x ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得：2222003y y x x --=， 220223y y x x -∴=-，即PA PB k k ⋅为定值3；（3）由双曲线方程知：()12,0F ；当直线l 斜率存在时，设():2l y k x =-，由()22213y k x y x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩得：()222223034430k k x k x k -≠--++=，，则()23610k ∆=+>；设()11,A x y ，()22,B x y ，则212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，()11,MA x m y =-，()22,MB x m y =-，()()()()()2212121212121224MA MB x m x m y y x x m x x m k x x x x ∴⋅=--+=-+++-++()()()22221212124k x x k m x x k m =+-++++()()()()()22222222222243142453140333k k k k m m m k m k mk k k +++----=-++==---；2245010m m m ⎧--=∴⎨-=⎩，解得：1m =-，()1,0M ∴-；当直线l 斜率不存在时，()2,3A ，()2,3B -，此时()1,0M -使得0MA MB ⋅=；综上所述：存在点()1,0M -，使得0MA MB ⋅=.【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线综合应用中的定值问题和存在定点满足某条件的问题的求解，解决此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与双曲线方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量所满足的方程，化简整理所得方程；④根据等量关系恒成立或化简消元的思想确定定点坐标.。

2021-2022学年上海市金山区高二(上)期末数学试卷(附详解)

2021-2022学年上海市金山区高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|−1<x≤4}，B={−1,1,3,5}，则A∪B=()A. {0,4}B. {1,3}C. {−1,1,2,3,4,5}D. {−1,0,1,2,3,4,5}2.命题“∀α>β，sinα>sinβ”的否定为()A. ∀α>β，sinα≤sinβB. ∀α≤β，sinα>sinβC. ∃α>β，sinα≤sinβD. ∃α≤β，sinα≤sinβ3.某学校大门口有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景，有一天因停电导致钟表慢10分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是()A. −π3B. −π6C. π6D. π34.若a∈R，则“a3>1”是“a2>1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.函数f(x)=x2−1|x|的图象大致为()A. B.C. D.A. a <b <cB. c <a <bC. c <b <aD. b <a <c7. 已知x >0，y >0，且x +4y =1，则x+yxy 的最小值为( )A. 4B. 9C. 10D. 128. 已知关于x 的方程lg 2x +algx +b =0的两个实数根分别是x 1、x 2，若x 1⋅x 2=100，则b 的取值范围为( )A. [2,100]B. (−∞,1]C. [1,100]D. [0,2]9. 某家大型超市近10天的日客流量(单位：千人次)分别为：3.4、3.6、5.6、1.8、3.7、4.0、2.5、2.8、4.4、3.6.下列图形中不利于描述这些数据的是( )A. 散点图B. 条形图C. 茎叶图D. 扇形图10. 设α、β是两个不同的平面，l 是一条直线，则以下命题正确的是( )A. 若l//α，α//β，则l ⊂βB. 若l//α，α⊥β，则l ⊥βC. 若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂βD. 若l ⊥α，α//β，则l ⊥β11. 由小到大排列的一组数据：x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，其中每个数据都小于−2，则样本2，−x 1，x 2，x 3，−x 4，x 5的中位数可以表示为( )A.x 2+x 32B.x 2−x 12C.2+x 52D.x 3−x 4212. 概率论起源于赌博问题．法国著名数学家布莱尔⋅帕斯卡遇到两个赌徒向他提出的赌金分配问题：甲、乙两赌徒约定先赢满5局者，可获得全部赌金700法郎，当甲赢了4局，乙嬴了3局，不再赌下去时，赌金如何分配？假设每局两人输赢的概率各占一半，每局输赢相互独立，那么赌金分配比较合理的是( )A. 甲525法郎，乙175法郎B. 甲500法郎，乙200法郎C. 甲400法郎，乙300法郎D. 甲350法郎，乙350法郎二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）13. 定义集合A 的真子集的非空真子集为集合A 的孙集，设集合A ={0,1,2,3}，则A 的孙集可以是( )A. {0}B. {1,2,3}C. {1,2}D. {0,3}14. 设函数f(x)={1−x,x ≤a,2x ,x >a,若f(1)=2f(0)，则实数a 可以为( )A. −1B. 0C. 1D. 215. 已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(m,1−m)，若m >0，则下列各式一定为正值的是( )16.已知函数f(x)=|2x−1|，实数a，b满足f(a)=f(b)(a<b)，则下列结论正确的有()A. 2a+2b>2B. ∃a，b，使0<a+b<1C. 2a+2b=2D. a+b<0三、单空题（本大题共16小题，共74.0分）17.函数y=a x+2(a>0，且a≠1)的图象经过的定点坐标是______．18.已知幂函数f(x)=mx n+k的图象过点(116,14)，则m−2n+3k=______．19.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么tmin后物体的温度θ(单位：℃)可由公式θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt(k为正常数)求得．若k=12ln2，将55℃的物体放在15℃的空气中冷却，则物体冷却到35℃所需要的时间为______min．20.已知函数f(x)=log2(ax2−ax+4)．(1)若f(x)在[12,2)上单调递减，则实数a的取值范围是______；(2)若f(x)的值域是R，则实数a的取值范围是______．21.必然事件的概率是______．22.半径为1的球的体积为．23.已知向量a⃗=(2,1,3)，向量b⃗ =(4,m,6)，若a⃗//b⃗ ，则实数m的值为______．24.教育部门对某校学生的阅读素养进行调研，在该校随机抽取了100名学生进行百分制检测，现将所得的成绩按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，并根据所得数据作出了频率分布直方图(如图所示)，则成绩在[70,80)这组的学生人数是______．25.在空间直角坐标系O−xyz中，已知向量a⃗=(1,0,3)，则a⃗在x轴上的投影向量为26. 将边长为2的正方形ABCD 绕其一边AB 所在的直线旋转一周，所得的圆柱体积为______．27. 生活中有这样的经验：三脚架在不平的地面上也可以稳固地支撑一部照相机．这个经验用我们所学的数学公理可以表述为______．28. 有一组数据x 1、x 2、⋯，x n ，其平均数为3，方差为2，则新的数据x 1−1，x 2−1，⋯，x n −1的方差为______．29. 一道数学难题，在半小时内，甲能独立解决的概率是12，乙能独立解决的概率是13，两人试图独立地在半小时内解决它，则至少有一人能解决该问题的概率为______． 30. 某甲、乙两人练习跳绳，每人练习10组，每组不间断跳绳计数的茎叶图如图，则下面结论中所有正确的序号是______． ①甲比乙的极差大； ②乙的中位数是18； ③甲的平均数比乙的大； ④乙的众数是21．31. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，P i (i =1,2,…,8)是上底面上其余的八个点，则集合{y|y =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i =1,2,3,…,8}中的元素个数为______．32. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该几何四、解答题（本大题共11小题，共148.0分）33.已知集合A={x|2−b<ax≤3b−2}，B={x|−12<x≤2}(a≠0)．(1)若a=1，b=3，求A∩(∁R B)；(2)集合A，B能否相等？若能，求出a，b值；若不能，请说明理由．34.已知2cosα+sinαsinα−cosα=4．(1)求tanα的值；(2)若π<α<2π，求cos(4π−α)⋅sin(α−π2)⋅cos(α+3π2)sin(π2+α)⋅sin(−α)的值．35.为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围(斜线部分)均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米．(1)若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；(2)若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值．36.已知函数f(x)=x2−2(a+1)x+4a．(1)若a=1，解不等式f(x)>0；2(2)解关于x的不等式f(x)<0．37.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x∈(−∞,0)时，f(x)=−(x−1)2．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(a⋅2−x)+f(−2−2x)<0对任意x恒成立，求实数a的取值范围．38.已知函数f(x)=lnx−m．,1)内存在零点，求实数m的取值范围；(1)若函数g(x)=f(x)+ex在区间(1e(2)若关于x的方程f(e x+1)=x有实数根，求实数m的取值范围．239.同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数．(1)试表示“出现两个1点”这个事件相应的样本空间的子集；(2)求“出现两个1点”的概率；(3)求“点数之和为7”的概率．40.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，P，Q分别是棱BC与B1C1的中点．(1)求以A1，D1，P，Q为顶点的四面体的体积；(2)求异面直线D1P和A1Q所成的角的大小．41.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．(1)试判断直线BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由；(2)求证：直线BD1⊥平面AB1C.42.如图，在直棱柱ABC−A1B1C1中，已知AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，点D、E、F分别是A1B1、CC1、BC的中点．(1)求异面直线AE与DF所成的角的大小；(2)求点A到平面DEF的距离；(3)在棱AA1上是否存在一点M，使得直线ME与平面DEF所成的角的大小是45°？若存在，请指出点M的位置，若不存在，请说明理由．43.如图，P−ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱PA、PB、PC上的点，截面DEF//底面ABC，且棱台DEF−ABC与棱锥P−ABC的棱长和相等．(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)(1)求证：P−ABC为正四面体；PA，求二面角D−BC−A的大小；(2)若PD=12(3)设棱台DEF−ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台DEF−ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x∈N|−1<x≤4}={0,1,2,3,4}，B={−1,1,3,5}，∴A∪B={−1,0,1,2,3,4,5}．故选：D．求出集合A，利用并集的定义能求出A∪B即可．本题考查集合的运算，考查并集的定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃α>β，sinα≤sinβ，故选：C．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.【答案】A．【解析】解：由题意分针需要顺时针旋转60°，即弧度数为−π3故选：A．由题意分针需要顺时针旋转60°，结合角度与弧度的转化及角的概念可求．本题主要考查了角度与弧度的相互转化，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：“a3>1”⇔a>1⇒“a2>1”，反之不成立，例如取a=−2，因此“a3>1”是“a2>1”的充分不必要条件，利用不等式与函数的单调性即可判断出结论．本题考查了不等式与函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：函数f(x)为偶函数，故选项A ，B 错误；又f(12)=14−2<0，故选项C 错误，选项D 正确．故选：D ．利用奇偶性判断选项A ，B ，由特殊值的正负判断选项C ，D ．本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：∵a =0.5−1.2=21.2>2，0<b =0.40.5<1，c =log 0.41.2<0， ∴c <b <a ，故选：C ．结合对数函数以及指数函数的单调性分别判断a ，b ，c 的范围，进而可比较大小．本题主要考查了利用对数函数以及指数函数的单调性比较函数值大小，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：因为x >0，y >0，且x +4y =1，则x+y xy =1x +1y =x+4y x +x+4y y =5+4y x +x y ≥5+2√4y x ⋅x y =9，当且仅当4y x =x y 且x +4y =1，即y =16，x =13时取等号，此时x+y xy 取最小值9．故选：B ．由已知利用乘1法，结合基本不等式即可直接求解．本题主要考查了利用乘1法配凑基本不等式的应用条件，还考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：设t=lgx，则原方程化为t2+at+b=0，其两个根为t1=lgx1，t2=lgx2，由根与系数的关系可得t1+t2=−a=lgx1+lgx2=lg(x1x2)=lg100=2，所以a=−2，因为t2−2t+b=0有两个实数根，所以Δ=4−4b≥0，解得b≤1，即b的取值范围为(−∞,1]．故选：B．令t=lgx，则原方程化为t2+at+b=0，利用根与系数的关系、对数的运算性质可求得a=−2，再由方程t2−2t+b=0有两个实数根，可得△≥0，即可求解b的取值范围．本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查转化思想与运算求解能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：茎叶图、条形图、扇形图均能将数据描述出来，并且能够体现出数据的变化趋势；散点图表示因变量随自变量而变化的大致趋势，故用来描述该超市近10天的日客流量不是很合适．故选：A．根据数据的特征以及各统计图表的特征分析即可得解．本题主要考查了茎叶图、条形图、扇形图以及散点图的性质与应用，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：α、β是两个不同的平面，l是一条直线，对于A，若l//α，α//β，则l⊂β或l//β，故A错误；对于B，若l//α，α⊥β，则l与β相交、平行或l⊂β，故B错误；对于C，若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l//β，故C错误；对于D，若l⊥α，α//β，则由线面垂直的判定定理得l⊥β，故D正确．故选：D．对于A，l⊂β或l//β；对于B，l与β相交、平行或l⊂β；对于C，l⊂β或l//β；对于D，由线面垂直的判定定理得l⊥β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查判断求解能力，是中档题．11.【答案】C【解析】【分析】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．要明确定义．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数．根据这个定义求出．【解答】解：因为x1<x2<x3<x4<x5<−2，题目中数据共有六个，排序后为x2<x3<x5< 2<−x4<−x1，故中位数是按从小到大排列后第三，第四两个数的平均数作为中位数，故这组数据的中位数是2+x52．故选：C．12.【答案】A【解析】解：由题意得：甲赢得700法郎的概率为P1=12+12×12=34，乙赢得700法郎的概率为P2=12×12=14，∴这700法郎应该分配给甲：700×34=525法郎，分配乙：700×14=175法郎．故选：A．利用相互独立事件概率乘法公式分别求出甲赢得700法郎的概率和乙赢得700法郎的概率，由此能求出结果．本题考查概率的求法及应用，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】ACD【解析】解：由题意可得A的孙集必须要比集合A的真子集少1个元素，对于A：{0}⊊{0,1}⊊A，故A对，对于B：{1,2,3}⊊{0,1,2,3}，而{0,1,2,3}不是A的真子集，故B错，对于C：{1,2}⊊{0,1,2}⊊A，故C对，对于D：{0,3}⊊{0,1,3}⊊A，故D对，故选：ACD．由题意可得A的孙集必须要比集合A的真子集少1个元素，根据这个即可判断得到答案．本题考查集合的“孙集”的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意真子集定义的合理运用．14.【答案】AB【解析】解：若a<0，则f(1)=0，f(1)=2，f(1)=2f(0)成立，若0≤a<1，则f(0)=1，f(1)=2，f(1)=2f(0)成立，若a≥1，则f(0)=1，f(1)=0，f(1)=2f(0)不成立，综上所述，实数a的取值范围为(−∞,1)．故选：AB．分a<0，0≤a<1，a≥1三种情况讨论，验证f(1)=2f(0)是否成立，即可求解实数a的取值范围．本题主要考查分段函数的应用，考查分类讨论的思想，属于基础题．15.【答案】BD【解析】解：根据题意，角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边上的一点为P(m,1−m)，则r=|OP|=√m2+(1−m)2，若m>0时，cosα=mr>0恒成立，故B符合题意；sinα=1−mr，当m≥1时，sinα≤0，sinα−cosα<0，故A，C不符合题意；sinα+cosα=mr +1−mr=1r>0恒成立，故D符合题意．故选：BD．根据题意，由任意角三角函数的定义求出sinα、cosα的值，由此分析选项中式子的符号，即可得答案．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．16.【答案】CD【解析】解：函数f(x)=|2x−1|，作图如下：∵f(a)=f(b)=m(a<b)，∴1−2a=2b−1，∴2a+2b=2，故A错误，C正确；又a<b，∴2=2a+2b>2√2a⋅2b=2√2a+b，即2a+b<1=20，∴a+b<0，故B错误，D正确，故选：CD．作出函数f(x)=|2x−1|的图象，由f(a)=f(b)=m(a<b)，分析可得到答案．本题考查了绝对值函数、指数函数的图象与性质，考查基本不等式的应用，考查作图能力与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】(−2,1)【解析】解：令x +2=0，解得x =−2，此时y =a 0=1，故得(−2,1)此点与底数a 的取值无关，故函数y =a x+2(a >0，且a ≠1)的图象必经过定点(−2,1)，故答案为：(−2,1)．由指数函数的定义可知，当指数为0时，指数式的值为1，故令指数x +2=0，解得x =−2，y =1本题考点是指数型函数，考查指数型函数过定点的问题．解决此类题通常是令指数为0取得定点的坐标．属于指数函数性质考查题．18.【答案】0【解析】解：∵f(x)是幂函数，∴m =1，k =0，即f(x)=x n ，∵f(x)的图象过点(116,14)，∴(116)n =14，解得n =12，故m −2n +3k =1−2×12+0=0．故答案为：0．根据幂函数的性质，先求出f(x)=x n ，再结合点(116,14)，即可求解．本题主要考查幂函数的应用，考查计算能力，属于基础题．19.【答案】2【解析】解：将k =12ln2，θ1=55°C ，θ0=15°C ，代入θ=θ0+(θ1−θ0)e −kt ， 35=15+(55−15)e−ln22t ，即e −ln22t =12，所以−ln22t =ln 12=−ln2，解得t =2．故答案为：2．根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．20.【答案】[−2,0) [16,+∞)【解析】解：(1)∵f(x)在[12,2)上单调递减，∴t =ax 2−ax +4在[12,2)上单调递减且大于0恒成立，则{a <04a −2a +4≥0，解得−2≤a <0． ∴实数a 的取值范围是[−2,0)；(2)若f(x)的值域是R ，则t =ax 2−ax +4可以取到大于0的所有实数，则{a >0(−a)2−16a ≥0，解得a ≥16． ∴实数a 的取值范围是[16,+∞)．故答案为：(1)[−2,0)；(2)[16,+∞)．(1)问题转化为t =ax 2−ax +4在[12,2)上单调递减且大于0恒成立，进一步转化为关于a 的不等式组求解；(2)问题转化为t =ax 2−ax +4可以取到大于0的所有实数，进一步转化为关于a 的不等式组求解．本题考查复合函数的值域及单调性的求法，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】1【解析】解：根据题意，必然事件是一定会发生的事件，其概率P =1，故答案为：1．根据题意，由必然事件的定义，分析可得答案．本题考查概率的性质，注意必然事件的定义，属于基础题．22.【答案】43π【解析】【分析】本题考查球的体积公式的应用，是基础题．直接利用球的体积公式求解即可．【解答】解：半径为1的球的体积为4π3×13=43π．故答案为43π．23.【答案】2【解析】解：根据题意，向量a⃗=(2,1,3)，向量b⃗ =(4,m,6)，若a⃗//b⃗ ，设b⃗ =k a⃗，即(4,m,6)=k(2,1,3)=(2k,k,3k)，则有{4=2km=2k6=3k，解可得k=2，m=k=2，故答案为：2．根据题意，设b⃗ =k a⃗，即(4,m,6)=k(2,1,3)=(2k,k,3k)，由此得到关系m、k的方程，解可得答案．本题考查空间向量共线的表示，涉及向量的坐标表示，属于基础题．24.【答案】20【解析】解：由频率分布直方图的面积和为1，∴(0.005+0.025+0.030+a+0.010+0.010)×10=1，∴a=0.02，所以成绩在[70,80)这组的学生的频率为0.02×10=0.2，所以成绩在[70,80)这组的学生的人数为100×0.2=20(人)．故答案为：20．由频率分布直方图的面积和为1，求出a，进一步求得成绩在[70,80)这组的学生的频率和人数即可．本题考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．25.【答案】(1,0,0)⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗=(1,0,3)，则A(1,0,3)，【解析】解：根据题意，设OA则点A在轴上的投影为A′，其坐标为(1,0,0)，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其坐标为(1,0,0)，则a⃗在x轴上的投影向量为OA′故答案为：(1,0,0)．⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗=(1,0,3)，可得A的坐标，进而可得点A在轴上的投影的坐标，计根据题意，设OA算可得答案．本题考查空间向量的定义，注意投影向量的定义，属于基础题．26.【答案】8π【解析】解：根据题意，将边长为2的正方形ABCD绕其一边AB所在的直线旋转一周，所得圆柱的底面半径和高均为2，则圆柱的体积V=π×22×2=8π．故答案为：8π．根据题意，分析所得圆柱的底面半径和高，由圆柱的体积公式计算可得答案．本题考查圆柱的体积计算公式，注意分析圆柱的高和底面半径，属于基础题．27.【答案】不在同一直线上的三点确定一个平面【解析】解：三脚架在不平的地面上也可以稳固地支撑一部照相机．这个经验用我们所学的数学公理可以表述为不在同一直线上的三点确定一个平面．故答案是：不在同一直线上的三点确定一个平面．根据平面的确定方法进行分析解答．本题主要考查了类比推理．公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．28.【答案】2【解析】解：有一组数据x1、x2、⋯，x n，其平均数为3，方差为2，则新的数据x1−1，x2−1，⋯，x n−1的方差为2．故答案为：2．利用方差的性质、计算公式直接求解．本题考查方差的求法，考查方差的定义、计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．29.【答案】23【解析】解：一道数学难题，在半小时内，甲能独立解决的概率是12，乙能独立解决的概率是13，两人试图独立地在半小时内解决它，则至少有一人能解决该问题的概率为：P =1−(1−12)(1−13)=23．故答案为：23．利用相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式直接求解．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．30.【答案】①③④【解析】解：对于①，甲的极差为37−8=29，乙的极差为23−9=14， ∴甲比乙的极差大，故①正确；对于②，乙的中位数是18+192=18.5，故②错误；对于③，甲的平均数为：110(8+12+13+20+22+24+25+26+27+37)=21.4，乙的平均数为：110(9+11+13+14+18+19+20+21+21+23)=16.9，∴甲的平均数比乙的大，故③正确；对于④，乙的众数是21，故④正确．故答案为：①③④．分别求出甲的极差和乙的极差，判断①；求出乙的中位数，判断②；求出甲的平均数和乙的平均数，判断③；求出乙的众数，判断④．本题考查命题真假的判断，考查极差、中位数、平均数、众数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．31.【答案】1【解析】解：AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=1，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (i =1,2,…,8)的不同值的个数为1，即集合{y|y =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i =1,2,3,…,8}中的元素个数为1．故答案为：1．根据向量的垂直和向量的数量积即可求出．本题主要考查空间向量的线性运算与数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题．32.【答案】√3π3【解析】解：圆锥底面周长为12×2π×2=2π，所以圆锥的底面半径r =1，圆锥的高ℎ=√22−12=√3，所以圆锥的体积为V =13sℎ=13×π×12×√3=√3π3，由祖暅原理，该几何体的体积为√3π3．故答案为：√3π3．由圆锥底面周长可求得圆锥的底面半径r =1，圆锥的高ℎ=√3，利用圆锥的体积公式和祖暅原理，即可求得其体积．本题考查几何体体积的求解，考查祖暅原理及其应用等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．33.【答案】解：(1)a =1，b =3时，A ={x|−1<x ≤7}，B ={x|−12<x ≤2}，∁R B ={x|x ≤−12或x >2}，A ∩(∁R B)={x|−1<x ≤−12或2<x ≤7}， (2)集合A ，B 能相等，利用如下：因为a ≠0，若a >0，则B ={x|−a2<ax ≤2a}，由A =B 可得，{3b −2=2a2−b =−a 2，解得a =8，b =6，若a <0，B ={x|2a ≤ax <−a2}，A ={x|2−b <ax ≤3b −2}，此时不可能相等，综上，a =8，b =6．【解析】(1)把a =1，b =3代入后，结合集合的交集与补集运算即可求解； (2)结合集合相等的条件，比较集合中不等式的端点即可求解．本题主要考查了集合的交集与补集运算，还考查了集合相等条件的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．34.【答案】解：(1)由于2cosα+sinαsinα−cosα=4，整理得2+tanαtanα−1=4，故tanα=2；(2)由于tanα=2，所以cosα=√5 所以cos(4π−α)⋅sin(α−π2)⋅cos(α+3π2)sin(π2+α)⋅sin(−α)=cosα⋅(−cosα)⋅sinαcosα⋅sin(−α)=cosα=−√55．【解析】(1)直接利用同角三角函数的值的应用求出结果； (2)利用三角函数的诱导公式和三角函数的值的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，同角三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．35.【答案】解：(1)设草坪的宽为x 米，长为y 米，因为块绿草坪的面积均为400平方米，所以y =400x，因为矩形草坪的长比宽至少多9米，则y =400x≥x +9，即x 2+9x −400≤0，解得0<x ≤16，所以草坪宽的最大值为16米； (2)设整个绿化面积为S 平方米，由题意可得，S=(2x+6)(y+4)=(2x+6)(400x +4)=8(x+300x)+824≥8×2√x⋅300x+824=160√3+824，当且仅当x=10√3时取等号，所以整个绿化面积的最小值为160√3+824平方米．【解析】(1)设草坪的宽为x米，长为y米，由题意得到y=400x≥x+9，求出x的取值范围，即可得到答案；(2)由题意，表示出整个绿化面积，然后利用基本不等式求解最值即可．本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．36.【答案】解：(1)当a=12时，不等式f(x)>0可化为x2−3x+2>0，由x2−3x+2=0，得x=1，x=2．因为抛物线f(x)=x2−3x+2开口向上，且其两个零点为x=1，x=2，所以不等式f(x)>0的解集为(−∞,1)∪(2,+∞)．(2)对于二次函数f(x)=x2−2(a+1)x+4a，其对应的二次方程为x2−2(a+1)x+ 4a=0，计算判别式Δ=4(a+1)2−16a=4(a−1)2≥0，其两根为x=2，x=2a．当2a>2，即a>1时，不等式f(x)<0的解集为(2,2a)；当2a=2，即a=1时，不等式f(x)<0的解集为⌀；当2a<2，即a<1时，不等式f(x)<0的解集为(2a,2)；综上，a>1时，不等式f(x)<0的解集为(2,2a)；a=1时，不等式无解；a<1时，不等式f(x)<0的解集为(2a,2)．【解析】(1)a=12时不等式可化为x2−3x+2>0，求出解集即可．(2)写出二次函数对应的二次方程，计算判别式Δ，判断方程根的情况，从而求出不等式的解集．本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法与应用问题，是中档题．37.【答案】解：(1)∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(−x)=−f(x)，f(0)=0；又x ∈(−∞,0)时，f(x)=−(x −1)2， ∴当x ∈(0,+∞)时，−x ∈(−∞,0)，∴f(x)=−f(−x)=−[−(−x −1)2]=(x +1)2， ∴f(x)={−(x −1)2,x <00,x =0(x +1)2,x >0；(2)f(a ⋅2−x )+f(−2−2x )<0⇔f(a ⋅2−x )<−f(−2−2x )=f(2+2x )，由图知f(x)为R 上为增函数，∴a ⋅2−x <2+2x 对任意x ∈R 恒成立，即a <2x+1+22x 对任意x ∈R 恒成立，即a <(2x+1+22x )min ，∵2x+1+22x =(2x +1)2−1>0， ∴a ≤0，即a ∈(−∞,0]．【解析】(1)函数f(x)是定义在R 上的奇函数⇒f(−x)=−f(x)，f(0)=0；又x <0时，f(x)=−(x −1)2，可得x >0时的解析式，从而可得f(x)的解析式；(2)易知奇函数f(x)为R 上的增函数，则f(a ⋅2−x )+f(−2−2x )<0对任意x ∈R 恒成立⇔a ⋅2−x <2+2x 对任意x ∈R 恒成立，分离参数a ，利用配方法可求得实数a 的取值范围．本题主要考查函数恒成立问题，考查函数解析式的求法及函数奇偶性与单调性的综合应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．38.【答案】解：(1)∵g(x)=f(x)+ex=lnx−m+ex在区间(1e,1)内存在零点，∴lnx−m+ex=0，即方程m=lnx+ex在区间(1e,1)内有根⇔y=m与ℎ(x)=lnx+ex在区间(1e,1)内有交点，∵ℎ(x)=lnx+ex在区间(1e ,1)上单调递增，且ℎ(1e)=−1+1=0，ℎ(1)=e，∴m=ℎ(x)∈(0,e)；(2)方程f(e x+1)=x2有实数根⇔ln(e x+1)−m=x2有实数根⇔ln e x+1e m=lne x2有实数根⇔e x2+e−x2=e m有实数根，∵e x2+e−x2≥2(当且仅当x=0时取等号)，∴e m≥2，∴m≥ln2，∴实数m的取值范围为[ln2,+∞)．【解析】(1)依题意，得方程m=lnx+ex在区间(1e,1)内有根⇔y=m与ℎ(x)=lnx+ex在区间(1e ,1)内有交点，利用ℎ(x)的单调递增性质可求得ℎ(x)在区间(1e,1)内的值域，从而可得实数m的取值范围；(2)方程f(e x+1)=x2有实数根⇔e x2+e−x2=e m有实数根，利用基本不等式可求得e m= e x2+e−x2≥2，再两边取自然对数可得实数m的取值范围．本题考查了函数零点的判定与应用，考查等价转化思想与分离参数法、构造法及基本不等式法的综合应用，考查推理能力与运算能力，属于中档题．39.【答案】解：“同时抛掷两颗骰子”的样本空间是：Ω={(i,j)|i=1，2，…，6；j=1，2，…，6}，其中i、j分别是抛掷第一颗与第二颗骰子所得的点数．(1)将“出现两个1点”这个事件用A表示，则事件A就是子集{(1,1)}．(2)样本空间Ω一共有6×6=36个基本事件，它们是等可能的，从而“出现两个1点”的概率为P(A)=136．(3)将“点数之和为7”这个事件用B表示，则B={(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)}，事件B共有6个基本事件，从而“点数之和为7”的概率为P(B)=636=16．【解析】“同时抛掷两颗骰子”的样本空间是：Ω={(i,j)|i=1，2，…，6；j=1，2，…，6}，其中i、j分别是抛掷第一颗与第二颗骰子所得的点数．(1)将“出现两个1点”这个事件用A表示，利用列举法能求出子集．(2)样本空间Ω一共有6×6=36个基本事件，它们是等可能的，由此能求出“出现两个1点”的概率．(3)将“点数之和为7”这个事件用B表示，利用列举法求出事件B共有6个基本事件，从而能求出“点数之和为7”的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．40.【答案】解：(1)根据题意，连接PA1、PD1、PQ，以A1，D1，P，Q为顶点的四面体即三棱锥P−A1D1Q，底面△A1D1Q的面积S=12×4×4=8，高PQ=4，则其体积V=13S⋅PQ=323；(2)连接PA，AD1，PA//A1Q，则∠D1PA就是异面直线D1P和A1Q所成的角，△APD1中，AP=√16+4=2√5，AD1=√16+16=4√2，|D1P|=√16+16+4=6，则cos∠D1PA=AP2+PD12−AD122×AP×PD1=2×2√5×6=√55，故∠D1PA=arccos√55；即异面直线D1P和A1Q所成的角的大小为arccos√55．【解析】(1)根据题意，以A1，D1，P，Q为顶点的四面体即三棱锥P−A1D1Q，由棱锥体积公式计算可得答案；(2)根据题意，连接PA，AD1，PA//A1Q，易得∠D1PA就是异面直线D1P和A1Q所成的角，进而由余弦定理求出∠D1PA的余弦值，即可得答案．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

金山区2005学年度第一学期期末高二数学试题
(满分：100分，完卷时间：90分钟)
一、填空题：(每小题4分，满分40分)
1、两条异面直线所成角的范围是。

2、直线y=3x+1的倾斜角为。

3、设集合M = {正方体}，N = {直四棱柱}，P = {正四棱柱}，Q = {直平行六面体}，则四
个集合间的包含关系是。

4、点A(3, –4)关于点M(–4, 3)的对称点B的坐标是。

5、长方体共顶点的三条棱长分别是2、3、6，则长方体的体对角线长为_____。

6、已知a=2i-j，b=-3i+4j，则b
a⋅= 。

7、已知AB={4, –3}，那么与AB同向的单位向量0a=_______。

8、直线l过点(1, 3)，且与直线2x–3y+1=0平行，则直线l的方程为________。

9、直线l1：(a–2)x+(a+1)y+4=0与l2：(a+1)x+ay–9=0互相垂直，则a的值是。

10、如果二面角α–l–β的平面角是锐角，空间一点P到平面α、β和棱l的距离分别为
4
,2
2和2
4，则二面角α–l–β的大小为。

二、选择题：(每小题3分，满分15分)
11、在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，真命题是( )
(A)若l⊂β且α⊥β，则l⊥α(B)若l⊥β且α∥β，则l⊥α
(C)若l⊥β且α⊥β，则l∥α(D)若α∩β=m且l∥m，则l∥α
12、如果直线y=ax+2与直线y=3x–b关于直线y=x对称，那么a、b的值分别是( )
(A)1
3，6 (B)1
3
，–6 (C)3，–2 (D)3，6
13、a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a–1)y=a–7平行且不重合的( )
(A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C )充要条件 (D )既非充分也非必要条件 14、设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0=⋅，0=⋅，0=⋅，
则△BCD 是 ( ) (A )钝角三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)不确定
15、已知定点P (2,1)，分别在y=x 及x 轴上各取一点B 与C ，使∆BPC 的周长最小，则最
小值为 ( ) (A )
10 (B) 2+2 (C)3+5 (D) 不存在
三、解答题：(共有5小题，满分45分，请写出必要的求解或证明过程)
16 、(满分8分)已知矩形ABCD 的两个顶点分别是A (–1, 3)、B (–2,4)，若它的对角线的交点在x 轴上，求另外两个顶点的坐标。

17、(满分8分) 若,2||,3||==与夹角为
3
π
，m 3,53-=+=，(1) 求⋅的值；(2)试问m 为何值时，c 与d 互相垂直。

18、(满分8分) 已知四边形ABCD 、BEFG 都是正方形，且A 、B 、E 在同一条直线上，用坐标法证明：AG ⊥CE 。

19、(满分9分) 已知向量a ={1, 2}，b ={x ,1}，且b a 2+与b a -2平行，(1) 求向量b ； (2) 已知点A (3 ,–1)，向量与2+垂直，求直线AB 的一般式方程。

B
E
F
20、(满分12分) 在正方体ABCD–A1B1C1D1中，E为棱BC的中点。

(1) 在棱BB1上是否存在一点M，使D1M⊥平面B1AE？为什么？；(2) 在正方体表面ABB1A1上是否存在一点
N，使D1N⊥平面B1AE？为什么？
金山区2005学年度第一学期期末高二数学试题评分标准
一、填空题(每小题4分，满分40分)
1、0o <θ≤90o
2、60o
3、M ⊂P ⊂Q ⊂N
4、(–11, 10)
5、11
6、–10
7、{
54, –5
3
} 8、2x –3y+7=0 9、–1或1 10、15o 或75o 二、选择题(每小题3分，满分15分) 11、B 12、A 13、C 14、C 15、A 三、解答题
16、设C (x 1, y 1)、D (x 2, y 2)，由于AC 、BD 的交点在x 轴上，即：AC 、BD 的中点在x 轴上，
所以3+y 1=0，4+y 2=0，所以y 1= –3，y 2= –4，……………………………………3分又AB ⊥BC ，所以k AB k BC = –1，k AB =–1，
所以k BC = 1，–3–4=x 1+2，x 1= –9，…………………………………………………5分同理可得，x 2= –8，…………………………………………………………………6分所以C (–9, –3)、D (–8, –4)。

…………………………………………………………8分 17、解：(1)由已知得：32
1
233
cos
||||=⨯
⨯=⨯⨯=⋅π
b a b a ，……………………3分 (2)又)3()53(m -⋅+=⋅
m m ⋅-+-=)95(||15||322…………………………………………5分
=27m –60+3(5m –9)=0…………………………………………………………7分解得 14
29
=
m …………………………………………………………………8分 18、证明：分别以AB 、AD 所在的直线为x 轴和y 轴，如图建立直角坐标系。

………2分
设AB=a ，BE=b ，
则A (0,0)，G (a ,b )，E (a+b ,0)，C (a ,a )…4分 k AG =
a b ，k EC = –b
a
，…………………………………6分因为k AG .k EC = –1，所以AG ⊥CE 。

………………8分注意：本题如果用向量方法来证，相应给分。

19、解：(1) 因为：={1, 2}，={x ,1}，
所以2+={1+2x , 4}，-2={2–x , 3}……………………………………………2分又：2+∥-2，所以：
34221=-+x x ，即：2
1
=x ，故={21,1}…………4分 (2) 设B (x , y )，则}1,3{+-=y x ；………………………………………………6分
由与b a 2+垂直得：
04)1(2)3(=⨯++⨯-y x 。

…………………………………………………………8分
所以直线AB 的一般式方程为：x+2y –1=0……………………………………………9分 20、解：不妨设正方体的棱长为a ，则
),0,0(),0,,2
(),,,(),0,0,(11a D a a
E a a a B a A ………………………………………2分
又：},,0{},0,,2
{},,,{11a a AB a a
a z a a D =-
=-=……………………5分假设BB 1上存在一点),,(z a a M ，使⊥M D 1平面B 1AE 成立，则必有：⊥M D 1AE ；⊥M D 1AB 1
所以：⎪⎩
⎪⎨⎧=-⨯+=+-⨯0)(0)2
(22
a z a a a a a ，此时方程组无解，…………………………………7分故不存在点M ，使⊥M D 1平面B 1AE 。

……………………………………………8分 (2) 假设正方体表面ABB 1A 1上存在一点),,(z y a N ，使⊥N D 1平面B 1AE 成立。

则必有⊥N D 1AE ；⊥N D 1AB 1成立。

由于},,{1a z y a D -=……………9分
所以：⎪⎩⎪⎨⎧=-⨯+⨯=⨯+-⨯0)(0)2
(a z a y a y a a a 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==22
a z a y ，……………………………………11分即存在点)2
,2,
(a
a a N ，也即正方体表面ABB 1A 1上存在一点N 恰是正方形ABB 1A 1的中心，使⊥N D 1平面B 1AE 成立。

……………………………………………………12分。