高三人教版数学(理)一轮复习课时作业：第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3-5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式练习 文-人教
3-5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式练习 文[A 组·基础达标练]1．化简cos15°cos45°－cos75°sin45°的值为( ) A.12B.32 C ．－12D ．－32答案 A解析 cos15°cos45°－cos75°sin45°＝cos15°cos45°－sin15°·sin45°＝cos(15°＋45°)＝cos60°＝12.2．[2015·某某中学二调]3cos10°－1sin170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 答案 D 解析3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin 10°－30°12sin20°＝－2sin20°12sin20°＝－4，故选D.3．[2016·某某四校联考]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值是( )A.12B.23 C ．－12D ．1答案 C解析 由已知得cos α＝12，sin α＝－32，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 4．[2016·某某期末]tan π12－1tan π12等于( )A ．4B ．－4C ．23D ．－2 3 答案 D解析 ∵tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝tan π3－tanπ41＋tan π3·ta nπ4＝3－11＋3＝2－3，∴tan π12－1tan π12＝2－3－12－3＝－2 3.5．[2015·某某监测]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235C.45D ．－45 答案 D解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435⇒sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒32sin α＋12cos α＝45，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝－45.6．[2015·某某一模]已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( )A ．－12B.12C ．－13D.2327答案 D解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)．∵cos α＝13，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－79，∴sin2α＝1－cos 22α＝429，而α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝223， ∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327. 7．[2016·某某检测]在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4 答案 A解析 由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.8．[2016·日照一模]函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝－π12D ．x ＝－π24答案 A解析 对函数进行化简可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3cos ⎝⎛x ＋π2⎭⎪⎫－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3· sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3＋x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6， 则由4x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π12，k ∈Z . 当k ＝0时，x ＝π12.故选A.9．化简：sin50°(1＋3tan10°)＝________. 答案 1 解析sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3·sin10°cos10°＝sin50°×cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°＋32sin10°cos10°＝2sin50°·cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.10．[2015·某某摸底]已知tan(3π－α)＝－12，tan(β－α)＝－13，则tan β＝________.答案 17解析 依题意得tan α＝12，又tan(β－α)＝－13，∴tan β＝tan[(β－α)＋α]＝tan β－α＋tan α1－tan β－α·tan α＝17.11．[2014·某某高考]已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.12．[2015·某某模拟]已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω>0，m >0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝65，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8的值．解 (1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)， ∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2. 由题意知函数f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，∴ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin2x ＋2cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝65， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－45，∴sin θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos π4－cos ( θ＋π4 )sin π4＝7210，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝2cos2θ＝2(1－2sin 2θ)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝⎛⎭⎪⎫72102＝－4825. [B 组·能力提升练]1．设a ＝12cos6°－32sin6°，b ＝2tan13°1＋tan 213°，c ＝1－cos50°2，则有() A ．a >b >c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．a <c <b 答案 D 解析 a ＝12cos6°－32sin6°＝sin24°，b ＝2tan13°1＋tan 213°＝sin26°，c ＝1－cos50°2＝sin25°，所以b >c >a ，故选D. 2．设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________． 答案17250解析 因为α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，cos2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝725， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2425×22－725×22＝17250. 3．[2016·某某八校联考]如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2·cos α2－32的值为________．答案513解析 由题意得|OB |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，∴sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513，3cos 2α2－sin α2cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513.4．[2015·某某二模]已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4，函数f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求f (2B )的取值X 围．解 f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12. (1)由f (x )＝1，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6－1＝－12.(2)由余弦定理及a cos C ＋c2＝b ，可得b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝π3，∴B ＋C ＝2π3.又∵△ABC 是锐角三角形，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2， ∴π3<B ＋π6<2π3，又f (2B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋12，∴1＋32<f (2B )≤32.∴f (2B )的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1＋32，32.。
2021年高考数学一轮复习 3.5 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课时作业 理(含解析)新人教A版
2021年高考数学一轮复习 3.5 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课时作业 理（含解析）新人教A 版一、选择题1．若sin α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋54π＝( )A ．－210 B.210 C ．－7210 D.7210解析：由sin α＝－35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，0得cos α＝45， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋5π4＝cos 5π4cos α－sin 5π4sin α＝－22⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋35＝－7210. 答案：C2．(xx·山东卷)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35B.45C.74D.34解析：由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.又sin 2θ＝378，故cos 2θ＝－18.故sinθ＝1－cos 2θ2＝34. 答案：D3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( )A.2941 B.129 C.141D ．1 解析：tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6·ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝1，故选D.答案：D4．(xx·辽宁五校第二次模拟) 1－2sinπ＋θsin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( )其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π( )A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ解析：1－2sinπ＋θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝|sin θ－cos θ|，又因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin θ>cos θ，故选A. 答案：A5．(xx·云南昆明高三调研)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝35，则sin 2x 的值为( )A ．－725 B.725 C.925 D.1625解析：依题意得22(sin x －cos x )＝35，12(sin x －cos x )2＝925，1－sin 2x ＝1825，sin 2x ＝725，选B. 答案：B6．(xx·潍坊市模拟)已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，满足tan(α＋β)＝4tan β，则tan α的最大值是( )A.14B.34C.34 2D.32解析：tan α＝tan(α＋β－β)＝tan α＋β－tan β1＋tan α＋βtan β＝3tan β1＋4tan 2β＝31tan β＋4tan ββ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan β>0，1tan β＋4tan β≥24＝4，当且仅当tan β＝12时分母取最小值，tan α取最大值34.答案：B 二、填空题7．(xx·浙江五校第二次联考)已知α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，sinα＝33，则sin 2α＝________.解析：α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，sin α＝33，cos α＝－63，sin 2α＝2sin α·cos α＝－223. 答案：－2238．tan 15°＋tan 30°＋tan 15°·tan 30°的值是________． 解析：由tan(15°＋30°)＝tan 15°＋tan 30°1－tan 15°tan 30°可得结果．答案：19．(xx·湖北七市联考)若tan θ＝12，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14π，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋14π＝________. 解析：由θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4及tan θ＝12可求得sin θ＝55，cos θ＝255.sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝7210. 答案：7210三、解答题10．(xx·江西南昌调研)已知α∈(0，π)且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35.求cos α. 解：因为α∈(0，π)，所以α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，又0<cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝35<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，所以α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝45， cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6cosπ6－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝35×32－45×12＝33－410. 11．已知α为第二象限的角，sin α＝35，β为第三象限的角，tan β＝43.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求cos(2α－β)的值． 解：(1)因为α为第二象限的角， sin α＝35，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34.又tan β＝43， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝724.(2)因为β为第三象限的角，tan β＝43，所以sin β＝－45，cos β＝－35.又sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝1－2sin 2α＝725， 所以cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝35.12．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45.又2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos 2α＝1－sin 22α＝35，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.(2)∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos(β－π4)＝45，于是sin 2⎝⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425. 又sin 2⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos 2β，∴cos 2β＝－2425. 又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin 2β＝725.又cos 2α＝1＋cos 2α2＝45，∴cos α＝25，sin α＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4. ∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55×725＝－11525. [热点预测] 13.如图，圆O 的内接“五角星”与原O 交于A i (i ＝1,2,3,4,5)点，记弧A i A i ＋1在圆O 中所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3,4)，弧A 5A 1所对的圆心角为α5，则cos 3α1cos(α3＋α5)－sin 3α2sin 2α4等于( )A ．－12B ．－32C ．1D ．0(2)(xx·成都市高中毕业班第一次诊断性检测)已知角α，β，γ构成公差为π3的等差数列．若cos β＝－23，则cos α＋cos γ＝________.解析：(1)如图可知五边形A 1A 2A 3A 4A 5是一个正五边形，所以可知α1＝α2＝…＝α5＝72°，故cos 3α1cos(α3＋α5)－sin 3α2sin 2α4＝cos(5×72°)＝cos 360°＝1(2)α＝β－π3，γ＝β＋π3，∴cos α＋cos γ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π3＝2cosβcos π3＝－23.答案：(1)C (2)－2325088 6200 戀 20623 508F 傏33934 848E 蒎 \225004 61AC 憬35804 8BDC 诜35358 8A1E 訞31339 7A6B 穫k33487 82CF 苏.36697 8F59 轙。
2018高三数学(理)高考总复习课件：第三章 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
2cos2θ－1 cos 2θ π ＝ π ＝ cos4 ＋θ sin4－θ
π 3 2cos4 －θ＝ ． 2
π sin2 －2θ π sin4 －θ
＝
π sin 24－θ π sin4 －θ
2
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α± cos α＝
π . 2sinα± 4
[题体验]
1． 已知
π 1 π ＋ α sin 2 ＝ ， － <α<0， 则 2 2 π cosα－3的值是(
考点二
三角函数公式的逆用与变形应用
[典例引领]
1．(2017· 河北名师俱乐部模拟)已知 2cos2θ－1 14 ＝－ ，则 ＝ 4 π cos4＋θ 2 A． 3 4 B． 3
π θ∈0，4 ，且
sin θ－cos θ ( )
3 C． 4
3 D． 2
π 14 7 解析： 由 sin θ － cos θ ＝－ 得 sin 4 －θ ＝ ，∵ θ ∈ 4 4 π 3 π π π 0， ，∴0< －θ< ，∴cos －θ＝ ． 4 4 4 4 4
＝
答案：D
sin 110° sin 20° 2．计算 2 的值为 2 cos 155° －sin 155° 1 A．－ 2
解析：
( 3 D．－ 2
)
1 B． 2
3 C． 2
π α∈2 ，π， sin
2 5 所以 cos α＝－ 1－sin α＝－ ． 5
2
5 4 2 5 sin 2α＝2sin αcos α＝2× ×－ ＝－ ， 5 5 5
高三数学一轮复习 第3章第5课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式精品课件
已知 α∈0，π2，tan α＝12，求 tan 2α 和 sin2α＋π3的值．
解析：
tan 2α＝1－2tatnanα2α＝12－×21122＝43.
∵α∈0，π2，2α∈(0，π)，tan 2α＝43＞0，
∴2α∈0，2π，
∴sin 2α＝45，cos 2α＝35，
∴sin2α＋π3＝sin 2α·cos
＝2csoisn
1100°°－sin
cos 10°·1
10°
2sin 10°
＝2csoisn
1100°°－2cos
10°＝cos
10°－2sin 2si0° 2sin 10°
cos ＝
10°－212cos 10°－ 2sin 10°
3 2 sin
10°＝
解析： (1)方法一：∵cosβ－π4＝cosπ4cos β＋sinπ4sin β
＝
2 2 cos
β＋
2 2 sin
β＝13，
∴cos β＋sin β＝ 32，∴1＋sin 2β＝29，
∴sin 2β＝－79.
方法二：sin 2β＝cosπ2－2β ＝2cos2β－π4－1＝－79. (2)∵0＜α＜2π＜β＜π， ∴π4＜β－4π＜34π，2π＜α＋β＜32π， ∴sinβ－π4＞0，cos(α＋β)＜0.
• tan(α±β)＝ • 其变形为： • tan α＋tan β＝
tan α±tan β 1∓tan αtan β.
.
tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)
；
• tan α－tan β＝ tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)
；
• tan αtan β＝
1－tatnanα＋α＋taβnβ
一轮复习课件 第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考情分析
1.会用向量的数量积推导出 两角差的余弦公式．
1.从考查内容看，利用两角和 与差的正弦、余弦、正切公式
2.能利用两角差的余弦公式 进行三角函数式的化简、求值
导出两角差的正弦、正切公 式．
是高考的重点，公式的逆用、
3.能利用两角差的余弦公式 导出两角和的正弦、余弦、
变形应用是高考的热点． 2.从考查题型看，三种题型都 可能出现，常将公式变形与三
辅助角公式中，当 φ 为特殊角，即|ab|的值为 1 或
3或
3 3
时要熟练掌握，对 φ 是非特殊角的情况，只要求会求最值即
可．
【活学活用】 2．已知函数 f(x)＝ 3sin 2x－2sin2x. (1)求函数 f(x)的最大值； (2)求函数 f(x)的零点的集合． 解：(1)f(x)＝ 3sin 2x－(1－cos 2x)＝2sin2x＋π6－1， 所以，当 2x＋π6＝2kπ＋π2，k∈Z，
三角函数式化简要遵循的“三看”原则 (1) 一 看 “ 角 ” ． 这 是 最 重 要 的 一 点 ， 通 过 角 之 间 的 关 系，把角进行合理拆分与拼凑，从而正确使用公式． (2)二看“函数名称”．看函数名称之间的差异，从而确 定使用的公式． (3)三看“结构特征”．分析结构特征，可以帮助我们找 到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
答案：7102
5．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α＝______.
解析：∵2α＝(α＋β)＋(α－β)， ∴tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝1t－antaαn＋αβ＋＋βttaannαα－－ββ＝1－3＋3×5 5＝－814＝－47. 答案：－47
【考向探寻】 利用公式化简三角函数式．
近年届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第五节两角和与差的正、余弦和正切公式课时作业(202
2019届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第五节两角和与差的正、余弦和正切公式课时作业编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第五节两角和与差的正、余弦和正切公式课时作业）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第五节两角和与差的正、余弦和正切公式课时作业A组——基础对点练1．设sin（π－θ）＝错误!,则cos 2θ＝（）A．±错误!B。
错误!C．－错误!D．－错误!解析：因为sin（π－θ)＝sin θ＝错误!，所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝错误!,故选B.答案：B2．计算错误!的值为( ）A．－错误!B．错误!C.错误!D．－错误!解析:错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：B3．若tan α＝13，tan（α＋β）＝错误!，则tan β＝（)A.错误!B．错误!C.错误!D．错误!解析：tan(α＋β）＝错误!＝错误!＝错误!,解得tan β＝错误!.答案：A4．（2018·西安质量检测）sin 45°cos 15°＋cos 225°·sin 165°＝（）A．1 B．错误!C。
错误!D．－错误!解析:sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°cos 15°＋（－cos 45°)·sin 15°＝sin(45°－15°）＝sin 30°＝错误!.答案：B5．已知cos错误!＝－错误!，则sin错误!的值为( )A 。
课时作业——两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式(高三一轮复习)
数字 N
— 5—
4．tan 10°＋tan 50°＋ 3tan 10°tan 50°的值为( B )
3 A. 3
解析 ∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝1t－ant1a0n°1＋0°ttaann5500°°＝ 3，∴tan 10°＋tan 50°＝ 3
2 2.
数字 N
10．已知 sinx＋2π＝13，x∈0，π2. (1)求 tan 2x 的值；
(2)求 2cos2(x＋π)＋cosπ2－2x的值．
解 (1)由题意得，sinx＋π2＝cos x＝13，
又 x∈0，2π，则 sin x＝ 1－132＝232，
则 tan x＝2
2，tan
2x＝1－2tatnanx2x＝－4
β＝－ 42，sin 2β＝－492，cos 2β＝79.又 3sin(α＋2β)＝3sin αcos 2β＋3cos αsin 2β＝3×79
×sin
α＋3×－4
9
2×cos
α＝73sin
α－4
3
2 cos
α＝sin
α，所以
sin
α＝
2cos α，tan α＝
2.
所以
tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝1＋2－2×4242＝
α＋cos
α 的值．
— 13 —
数字 N
解
(1)因为
tanα＋π4＝1t－antαan＋αttaann
π 4π＝2，所以 4
tan
α＝13，
又因为 α∈－4π，π4，所以 α∈0，π4，
又csoins αα＝13， sin2α＋cos2α＝1，
2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业： 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、选择题
1．sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝(B)
A．1B.
C. D．－
解析：sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝sin45°·cos15°＋(－cos45°)sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30°＝ .
2．已知 <α<π，3sin2α＝2cosα，则cos(α－π)等于(C)
A. B.
C. D.
解析：由3sin2α＝2cosα，得sinα＝ .因为 <α<π，所以cos(α－π)＝－cosα＝ ＝ .
3．设tan ＝ ，则tan ＝(C)
A．－2 B．2
C．－4 D．4
解析：∵tan ＝
＝ ＝ ，∴tanα＝ ，
∴tan ＝ ＝－4.
4．(2019·成都诊断性检测)已知tanα＝ ，α∈(0，π)，则cos(α＋ )的值为(A)
(2)若－ <α<0，则2α＋ ∈(－ ， )，∴f(α)＝sin(2α＋ )＋ ＝ ，∴sin(2α＋ )＝ ，
∴2α＋ ∈(0， )，∴cos(2α＋ )＝ ＝ ，∴sin2α＝sin(2α＋ － )＝sin(2α＋ )cos －cos(2α＋ )sin ＝ · － · ＝ .
16．(2019·洛阳市高三统考)已知函数f(x)＝ －k在(0，＋∞)上有两个不同的零点α，β(α<β)，则下列结论正确的是(D)
14．(2019·河北、河南两省重点中学联考)已知atanα＋b＝(a－btanα)tanβ，且α＋ 与β的终边相同，则 的值为(B)
A. B.
C. D.
解析：已知等式可化为atanα＋b＝atanβ－btanα·tanβ，即b(1＋tanα·tanβ)＝a·(tanβ－tanα)，∴ ＝ ＝tan(β－α)，又∵α＋ 与β的终边相同，即β＝2kπ＋α＋ (k∈Z)，∴tan(β－α)＝tan ＝tan ＝ ，即 ＝ ，故选B.
第三章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第三章 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.2cos10°－sin20°sin70°的值是 ( )A.12B.32C. 3D. 2 解析：原式＝2cos(30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3.答案：C2.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是 ( ) A ．4cos4－2sin4 B ．2sin4 C ．2sin4－4cos4 D ．－2sin4 解析：原式＝4cos 24＋2(sin4－cos4)2＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|， ∵5π4＜4＜3π2，∴cos4＜0，sin4＜cos4. ∴原式＝－2cos4＋2(cos4－sin4)＝－2sin4. 答案：D3．(2010·辽宁模拟)已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.解析：∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，∴tan β＝1－tan α1＋tan α＝tan(π4－α)．又∵α、β均为锐角，∴β＝π4－α，即α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tan π4＝1.答案：14.sin(π4－x )＝35，则sin2x 的值为 ( )A.725 B.1425 C.1625 D.1925解析：∵sin(π4－x )＝35∴22cos x －22sin x ＝22(cos x －sin x )＝35. ∴cos x －sin x ＝325. ∴(cos x －sin x )2＝1－sin2x ＝1825， ∴sin2x ＝725. 答案：A5．已知α为钝角，且sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋5π12)的值为 ( ) A.22＋36 B.22－36 C ．－22＋36 D.－22＋36解析：∵α为钝角，且sin(α＋π12)＝13， ∴cos(α＋π12)＝－223， ∴cos(α＋5π12)＝cos[(α＋π12)＋π3]＝cos(α＋π12)cos π3－sin(α＋π12)sin π3＝(－223)·12－13·32＝－22＋36. 答案：C6．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值．解：(1)法一：因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 所以x －π4⎝⎛⎭⎫π4，π2，sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin[⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4]＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x －π4)sin π4＝7210×22＋210×22＝45. 法二：由题设得22cos x ＋22sin x ＝210即cos x ＋sin x ＝15.又sin 2x ＋cos 2x ＝1，从而25sin 2x －5sin x －12＝0， 解得sin x ＝45或sin x ＝－35.因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35.sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.7.已知A 、B ( ) A.5π4 B.7π4 C.5π4或7π4 D.9π4解析：由已知可得cos A ＝－255，cos B ＝－31010，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝22， 又∵π2A ＜π，π2＜B ＜π，∴π＜A ＋B ＜2π，∴A ＋B ＝7π4.答案：B8．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 等于 ( ) A ．30° B ．150° C ．30°或150° D ．60°或120°解析：已知两式两边分别平方相加，得25＋24(sin A cos B ＋cos A sin B )＝25＋24sin(A ＋B )＝37， ∴sin(A ＋B )＝sin C ＝12，∴C ＝30°或150°.当C ＝150°时，A ＋B ＝30°，此时3sin A ＋4cos B ＜3sin30°＋4cos0°＝112，这与3sin A ＋4cos B ＝6相矛盾，∴C ＝30°. 答案：A9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，cos α＝210，cos β＝255.因α为锐角，故sin α ＞0，从而sin α＝1－cos 2α＝7210，同理可得sin β＝55.因此tan α＝7，tan β＝12. 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×123.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－(－3)×12＝－1.又0＜α＜π2，0＜β＜π20＜α＋2β＜3π2，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝3π4.10.(2010·晋城模拟)已知向量a ＝(sin(α＋π6),1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于 ( ) A ．－34 B ．－14 C.34 D.14解析：a ·b ＝4sin(α＋π6)＋4cos α－ 3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin(α＋π3)－3＝0，∴sin(α＋π3)＝14.∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14. 答案：B11．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值为________．解析：∵cos(α－π6)＋sin α＝32cos α＋32sin α＝453，∴12cos α＋32sin α＝45， ∴sin(α＋7π6)＝－sin(α＋π6)＝－(32sin α＋12cos α) ＝－45答案：－4512．(文)已知点M (1＋cos2x,1)，N (1，3sin2x ＋a )(x ∈R ，a ∈R ，a 是常数)，设y ＝OM ON(O 为坐标原点)．(1)求y 关于x 的函数关系式y ＝f (x )，并求f (x )的最小正周期；(2)若x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为4，求a 的值，并求f (x )在[0，π2]上的最小值．解：(1)依题意得：O M ＝(1＋cos2x,1)，O N＝(1，3sin2x ＋a )， ∴y ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋1＋a .∴f (x )的最小正周期为π.(2)若x ∈[0，π2]，则(2x ＋π6)∈[π6，7π6，∴－12sin(2x ＋π6)≤1，此时y max ＝2＋1＋a ＝4，∴a ＝1， y min ＝－1＋1＋1＝1.(理)已知α、β为锐角，向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(12，－12)．(1)若a·b ＝22，a·c ＝3－14，求角2β－α的值； (2)若a ＝b ＋c ，求tan α的值． 解：(1)∵a·b ＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝cos(α－β)＝22， ① a·c ＝(cos α，sin α)·(12，－12)＝12cos α－12sin α＝3－14， ② 又∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴－π2α－β＜π2由①得α－β＝±π4，由②得α＝π6.由α、β为锐角，∴β＝5π12.从而2β－α＝23π.(2)由a ＝b ＋c 可得⎩⎨⎧cos β＝cos α－12， ③sin β＝sin α＋12， ④③2＋④2得cos α－sin α＝12，∴2sin αcos α＝34.又∵2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝34， ∴3tan 2α－8tan α＋3＝0. 又∵α为锐角，∴tan α＞0， ∴tan α＝8±82－4×3×36＝8±286 ＝4±73.。
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦与正切公式课件理
(2)将三角变换与代数变换密切结合：三角变换主要是 灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分解、 通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如，sin4x ＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－12sin22x.
第八页，共45页。
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意 的．( √ ) (2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sinα＋sinβ 成 立．( √ ) (3)在锐角△ABC 中，sinAsinB 和 cosAcosB 大小关系不 确定．( × ) (4)公式 tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ可以变形为 tanα＋tanβ ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角 α，β 都成立．( × )
第二十页，共45页。
冲关针对训练
已知锐角 α，β 满足 sinα＝ 55，cosβ＝31010，则 α＋β
等于( )
3π A. 4
B.π4或34π
π C.4
D．2kπ＋π4(k∈Z)
第二十一页，共45页。
解析 由 sinα＝ 55，cosβ＝31010，且 α，β 为锐角，可
知 cosα＝255，sinβ＝ 1100，
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数 g(x)＝f(x)－m 在0，π2上有两个不同的零点 x1，x2，求实数 m 的取值范围，并计算 tan(x1＋x2)的值．
本题采用转化法、数形结合思想．
第二十三页，cosx＋ 3， 化简可得 f(x)＝2sinxcosx－2 3cos2x＋ 3 ＝sin2x－2 312＋21cos2x＋ 3 ＝sin2x－ 3cos2x ＝2sin2x－π3.
2022届高考一轮复习第3章三角函数解三角形第5节两角和与差的正弦余弦和正切公式
(2)和差角公式变形：
sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，
cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，
tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)．
(3)倍角公式变形：降幂公式．
[拓展]
1±sin α＝sin
α2±cos
α22，1＋cos α＝2cos2
2．三角函数求值有三类 (1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值， 解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． (2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔 细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合 公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解． (3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的 范围，确定角．
[例 2]
(1)化简：2tan2（coπ4s－4xx－）2scions22（x＋x＋12 π4）＝________．
[解析]
原式＝2ta2nco（s2π4x－（xc）os2cxo－s2（1）π4－＋x12）
＝
－4cos2xsin2x＋1
4sin（π4－x）cos（π4－x）
＝2si1n－（sπ2i－n222xx）
[破题技法] 1.应用三角公式化简求值的策略 (1)使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例 如两角和、差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”． (2)使用公式求值时，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)使用公式求值时，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用，用特殊角 来表示非特殊角等．
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习试题：3.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式Word版含答案
三角函数的求值与化简 (1)和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式． (2)二倍角的三角函数公式①能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式．②利用两角和的公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．公式的变形 公式T (α±β)的变形：(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)． (2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． 易误提醒1．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． 2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． [自测练习]1．化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为( ) A.12 B.32C ．－12D ．－32解析：cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°＝cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°＝cos(15°＋45°)＝cos 60°＝12. 答案：A2．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是( ) A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－1. 答案：C3．(2015·浙江金华十校联考)已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝17，则tan α＝________. 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4－11＋tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－34. 答案：－34知识点二 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin_αcos_α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.2．公式C 2α的变形 (1)sin 2α＝12(1－cos 2α)．(2)cos 2α＝12(1＋cos 2α)．3.公式的逆用(1)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2. (2)sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4.必备方法 二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos 2 α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．[自测练习]4．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13 B ．－23 C.13 D.23解析：∵cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22 ＝1＋sin 2α2，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝23. 答案：D5．已知α为第二象限角，cos α＝－35，则tan 2α的值为( )A.2425B.247 C ．－247 D ．－2425 解析：因为α为第二象限角， 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45， 所以tan α＝sin αcos α＝－43，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2·⎝⎛⎭⎫－431－⎝⎛⎭⎫－432＝247.答案：B考点一 给角求值|1．(2015·高考全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32B.32 C ．－12 D.12解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝12.答案：D2.2cos 10°sin 70°－tan 20°＝( ) A. 3 B.3－12 C ．1 D.32解析：利用三角函数公式求解.2cos 10°sin 70°－tan 20°＝2cos 10°cos 20°－sin 20°cos 20°＝2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°＝2⎝⎛⎭⎫32cos 20°＋12sin 20°－sin 20°cos 20°＝3，故选A.答案：A求解给角求值问题的三个注意点(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分． (2)观察名，尽可能使函数统一名称． (3)观察结构，利用公式，整体化简．考点二 给值求值问题|(1)(2015·高考重庆卷)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17B.16C.57D.56[解析] tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋tan β1－13tan β＝12，解得tan β＝17.[答案] A(2)(2016·贵阳一模)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13 D ．－79[解析] 法一：∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝79， ∴cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－79.法二：∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13， ∴cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α－1＝29－1＝－79. [答案] D三角函数的给值求值，问题中把待求角用已知角表示的三个策略： (1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系． (3)在求值的过程中“拼凑角”对求值往往起到“峰回路转”的效果．通过适当地拆角、凑角来利用所给条件．常见的变角技巧有α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β，α＝(α－β)＋β，π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α，15°＝45°－30°等．1．若锐角α满足2sin α＋23cos α＝3，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋2π3的值是( ) A ．－37 B ．－377C ．37D.377解析：本题考查三角恒等变换．由2sin α＋23cos α＝3化简得4⎝⎛⎭⎫12sin α＋32cos α＝3，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝34. 由22<34<32且α是锐角得2π3<α＋π3<3π4， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－1－⎝⎛⎭⎫342＝－74， 从而tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－37， 由二倍角公式得tan 2⎝⎛⎭⎫α＋π3＝2×⎝⎛⎭⎫－371－⎝⎛⎭⎫－372＝37，故选C. 答案：C考点三 给值求角|(2015·成都一诊)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4[解析] 因为α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π，又sin 2α＝55，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，故cos 2α＝－255.又β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，所以β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，故cos(β－α)＝－31010. 所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2α·cos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22，且α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4. [答案] A“给值求角”求解的三个步骤(1)求角的某一三角函数值． (2)讨论角的范围．(3)根据角的范围写出要求的角．2．(2015·兰州检测)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，又tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4 B.π3 C.π2D.3π4解析：由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B tan C＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.答案：A6.忽视角的范围导致三角函数求值失误【典例】 已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为______． [解析] ∵0<β<π2<α<π，∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β2<π，∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53， sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.[答案] －239729[易误点评] (1)由0<β<π2<α<π易错求出α－β2，α2－β的范围导致失误．(2)不会将α＋β2表示为⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β导致不会． [防范措施] (1)对于给值求值问题变角后一定要注意结合已知角的范围压缩为新求问题中角的范围，否则会多解．(2)牢记变角求值在给值求值中的应用这一方法．[跟踪练习] 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，试求角β的值．解：由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437.由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝3314， 由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋ sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.又0<β<π2，所以β＝π3.A 组 考点能力演练1．已知sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－513，则sin 2x 的值为( ) A.50169 B.119169 C ．－50169D ．－119169解析：法一：由sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－513，可得sin x ＋cos x ＝－5213，所以(sin x ＋cos x )2＝1＋sin 2x ＝50169，所以sin 2x ＝－119169. 法二：sin 2x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－1＝－119169，故选D. 答案：D2．若点P (cos θ，sin θ)在直线x ＋2y ＝0上，则cos 2θ＋sin 2θ＝( ) A ．－15B ．－12C.15D.12解析：由已知条件可得cos θ＋2sin θ＝0，解得tan θ＝－12，∴cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＋2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1－tan 2θ＋2tan θtan 2θ＋1＝－15，故选A.答案：A3．(2015·云南一检)cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9＝( ) A ．－18B ．－116C.116D.18解析：cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9＝cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18.答案：A4．(2015·青岛一模)设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40° cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，d ＝12(cos 80°－2cos 250°＋1)，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( ) A ．a >b >d >c B ．b >a >d >c C ．a >c >b >dD ．c >a >b >d解析：a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝sin 40°×cos 127°＋cos 40°sin 127°＝sin(40°＋127°)＝sin 167°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝cos 239°－sin 239°cos 239°cos 239°＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°，d ＝12(cos 80°－2cos 250°＋1)＝12cos 80°－12cos 100°＝cos 80°＝sin 10°，故a >c >b >d ，选C.答案：C5．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( )A ．α<π4<βB ．β<π4<αC.π4<α<β D.π4<β<α 解析：∵α为锐角，sin α－cos α＝16，∴α>π4.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α.答案：B6．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tan αtan β＝________.解析：∵cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝15，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35，∴cos αcosβ＝cos (α－β)＋cos (α＋β)2＝25，sin αsin β＝cos (α－β)－cos (α＋β)2＝15，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝12.答案：127．已知sin α＋cos α＝12，则cos 4α＝________.解析：由sin α＋cos α＝12，得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，∴sin 2α＝－34，∴cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－342＝－18. 答案：－188．(2015·珠海一模)已知tan(α＋β)＝25，tan β＝13，则tan(α－β)的值为________．解析：∵tan(α＋β)＝25，tan β＝13，∴tan α＝tan[(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)·tan β＝25－131＋25×13＝117，tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝117－131＋117×13＝－726.答案：－7269．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，求tan 2α和sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值． 解：∵tan α＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43，且sin αcos α＝12，即cos α＝2sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5sin 2α＝1，而α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝55，cos α＝255. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×255＝45，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝45－15＝35， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 10．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos 2β＝－79，sin(α＋β)＝79. (1)求cos β的值；(2)求sin α的值．解：(1)cos 2β＝1＋cos 2β2＝1＋⎝⎛⎭⎫－792＝19， 又∵β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos β＝－13. (2)由(1)知sin β＝1－cos 2β＝ 1－⎝⎛⎭⎫－132＝223. 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得(α＋β)∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2. cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1－⎝⎛⎭⎫792＝－429. sin α＝sin(α＋β－β)＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝79×⎝⎛⎭⎫－13－⎝⎛⎭⎫－429×223＝13. B 组 高考题型专练1．(2015·高考重庆卷)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α－3π10＋π2sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sin π5cos π5cos π5＋sin π52·sin π5cos π5cos π5－sin π5＝3sin π5sin π5＝3，故选C. 答案：C2．(2015·高考四川卷)sin 15°＋sin 75°的值是________．解析：sin 15°＋sin 75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin 45°cos 30°＝62. 答案：62 3．(2015·高考江苏卷)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________． 解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17＋21－27＝3. 答案：34．(2014·高考江苏卷)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 解：(1)由题意cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫552＝－255， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)得sin 2α＝2sin αcos α＝－45，cos 2α＝2cos 2α－1＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－33＋410. 5．(2014·高考广东卷)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ. 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫5π12＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋π3＝A sin 3π4＝322， ∴A ＝322·2＝3. (2)f (θ)－f (－θ)＝3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎫－θ＋π3 ＝3⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫sin θcos π3＋cos θsin π3－⎝⎛ －sin θcos π3＋ ⎦⎤ ⎭⎫cos θsin π3＝6sin θcos π3＝3sin θ＝3，所以sin θ＝33.又因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝63， 所以f ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝3cos θ＝ 6.。
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第5节两角和与差的正弦余弦和正切公式课件
sin α＝－2(舍去)或 sin α＝14.∵α 为锐角，∴cos α＝
415，∴sinα＋π3＝14×12＋
15 4
× 23＝1＋83 5，故选 A.]
☞角度 3 给值求角
已知 sin α＝ 55，sin(α－β)＝－ 1100，α，β 均为锐角，则角 β 等于( )
5π
π
A.12
1100＝
2 2.
∴β＝π4.]
[规律方法] 1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察 非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角 的三角函数求解．
2．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函 数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
＝2sin c5o0s°·1c0o°s 50°＝scions11000°°＝ccooss 1100°°＝1.]
☞角度 2 给值求值
(1)若 cosπ4－α＝35，则 sin 2α＝(
)
7
1
A.25
B.5
C．－15
D．－275
(2)(2017·浙江金华十校联考)已知 α 为锐角，且 7sin α＝2cos 2α，则 sinα＋π3
∴T＝22π＝π.
法二：∵f(x)＝( 3sin x＋cos x)( 3cos x－sin x) ＝3sin xcos x＋ 3cos2x－ 3sin2x－sin xcos x ＝sin 2x＋ 3cos 2x ＝2sin2x＋π3， ∴T＝22π＝π.故选 B. (2)f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x ＝sin xcos φ＋cos xsin φ－2sin φcos x ＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x－φ)． ∴f(x)max＝1.]
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦与正切公式习题课件理
在△ABC 中，根据余弦定理， 得 a2＝b2＋c2－2bccosπ3＝(b＋c)2－3bc. 由 b＋c＝2，知 bc≤b＋2 c2＝1，即 a2≥1. ∴当且仅当 b＝c＝1 时，取等号． 又由 b＋c>a 得 a<2.所以 a 的取值范围是[1,2)．
第三十三页，共43页。
得 cosα＋β2＝5 93，故选 C.
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7．(2018·长春模拟)已知 tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝12，
则ssiinn22αβ的值为( )
1 A.3
B．－13
C．3
D．－3
第十页，共43页。
解析 ssiinn22αβ＝ssiinn[[αα＋＋ββ＋－αα－－ββ]] ＝ssiinnαα＋＋ββccoossαα－－ββ＋－ccoossαα＋＋ββssiinnαα－－ββ ＝ttaannαα＋＋ββ＋－ttaannαα－－ββ＝13.故选 A.
解析 cos130°－sin1170°＝cos130°－sin110°
＝ 3ssiinn1100°°c－osc1o0s°10°＝ 2sin110°－30°＝－12sin20°＝ －
2sin20°
2sin20°
4. 故选 D.
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6．若 0<α<π2，－π2<β<0，cosπ4＋α＝13，cosπ4 － β2＝ 33，
第十六页，共43页。
10．(2018·河北模拟)已知 θ∈0，π4，且 sinθ－cosθ＝－
414，则2ccoossπ42θ＋－θ1 等于(
)
2433 A.3 B.3 C.4 D.2
第十七页，共43页。
解析 由 sinθ－cosθ＝－ 414，得 sinπ4－θ＝ 47， ∵θ∈0，π4，∴π4－θ∈0，π4， ∴cosπ4－θ＝34， ∴2ccoossπ42θ＋－θ1 ＝sicnoπ4s－2θθ＝ssiinnπ2π4－－2θθ ＝sisnin2π4π4－－θθ＝2cosπ4－θ＝32.故选 D.
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 课时作
课时作业20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan2α＝( ) A.247B.2425C ．－2425D ．－247解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34.∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247.答案：D2．(2016·新课标全国卷Ⅲ)若tan θ＝－13，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－15C.15D.45解析：由tan θ＝－13，得sin θ＝－1010，cos θ＝31010或sin θ＝1010，cos θ＝－31010，所以cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝45，故选D.答案：D3．已知cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，α，β都是锐角，则cos β＝( )A ．－6365B ．－3365C.3365D.6365解析：∵α，β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－513<0，∴π2<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝1213，sin α＝45.又cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－513×35＋1213×45＝3365.答案：C4．(2017·广东汕头质量检测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－2π3的值是( ) A.79 B.13 C ．－13D ．－79解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－2π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79，故选D.答案：D5．已知α、β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β等于( ) A.π4B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π4解析：由α、β都为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝22，所以α＋β＝π4.故选A. 答案：A6．(2017·河北石家庄质检)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )A ．[－2，1]B ．[－1，2]C ．[－1,1]D ．[1，2]解析：∵sin αcos β－cos αsin β＝1⇒sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，∴α－β＝π2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，⇒π2≤α≤π，∴sin(2α－β)＋sin(α－2β) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π) ＝sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤54π， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，即取值范围是[－1,1]，故选C. 答案：C 二、填空题7．sin15°＋sin75°的值是________．解析：sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝2sin(15°＋45°)＝2×32＝62. 答案：628．(2017·吉林东北师大附中等三校联考)函数f (x )＝cos2x －2sin x 的值域为________．解析：f (x )＝cos2x －2sin x ＝1－2sin 2x －2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋32，又sin x ∈[－1,1]，∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32，函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.答案：[－3，32]9．(2017·河北衡水中学一调)若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α的值为________．解析：∵tan α＋1tan α＝103，∴(tan α－3)(3tan α－1)＝0，∴tan α＝3或13.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴tan α>1，∴tan α＝3，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α＝22sin2α＋22cos2α＋2＋cos2α2＝22(sin2α＋2cos2α＋1)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan α1＋tan 2α＋21－tan 2α1＋tan 2α＋1 ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫610－1610＋1＝0. 答案：010．(2017·广东广州五校联考)函数f (x )＝4cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1(x ∈R )的最大值为________．解析：∵f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f (x )max ＝2. 答案：2 三、解答题11．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值；(2)若sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24. 解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝⎝⎛⎭⎪⎫322＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x ＝12＋12(sin2x ＋cos2x )＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π4＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α.又因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－45，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12×35－32×45＝10＋32－4620.12．已知0<α<π2<β<π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45. (1)求sin2β的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．解：(1)解法1：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin π4sin β＝22cos β＋22sin β＝13， ∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin2β＝29， ∴sin2β＝－79.解法2：sin2β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2β ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4－1＝－79.(2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<34π，π2<α＋β<3π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－35×13＋45×223＝82－315.1．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4解析：由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.答案：A2．(2017·成都一诊)若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B.9π4 C.5π4或7π4D.5π4或9π4解析：因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，又sin2α＝55，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，故cos2α＝－255.又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，所以β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4， 故cos(β－α)＝－31010.所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)] ＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α) ＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22， 且α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4.答案：A3．(2016·新课标全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析：解法1：因为sin(θ＋π4)＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin(θ＋π4)＝35，因为θ为第四象限角，所以－π2＋2k π<θ<2k π，k ∈Z ，所以－3π4＋2k π<θ－π4<2k π－π4，k ∈Z ，所以sin(θ－π4)＝－1－352＝－45，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝θ－π4θ－π4＝－43.解法2：因为θ是第四象限角，且sin(θ＋π4)＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos(θ＋π4)＝45，所以tan(θ－π4)＝θ－π4θ－π4＝－cos[π2＋θ－π4sin[π2＋θ－π4＝－θ＋π4θ＋π4＝－43.答案：－434．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π12(ω>0)的最小正周期T ＝4π. (1)求ω；(2)设x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，求|f (x 1)－f (x 2)|的最大值． 解：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π12 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋7π12， ∵函数f (x )的最小正周期T ＝4π，且ω>0，∴ω＝12.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋7π12，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，12x ＋7π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，56π，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. ∴当x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (x )max －f (x )min ＝1－12＝12.。
2018届高三数学理一轮复习课后作业第3章 第5节 两角和
课时作业 A 组 基础对点练1．(2017·西安质检)sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B ．12 C.32D ．－12解析：sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°cos 15°＋(－cos 45°)·sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12. 答案：B2．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A ．－356 B ．－16 C ．－3518D ．－1718解析：∵3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∴3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，易知sin α≠cos α，故cos α＋sin α＝26，1＋sin 2α＝118，sin 2α＝－1718，故选D. 答案：D3．(2017·贵阳监测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin(α＋7π6)的值是( )A ．－235 B ．235 C.45D ．－45解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435⇒sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435⇒32sin α＋32cosα＝435⇒32sin α＋12cos α＝45，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝－45.答案：D4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则cos 2α＝( )A ．1B ．－1 C.12D ．0解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32cos α，∴tan α＝sin αcos α＝－1，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0.答案：D5．在△ABC 中，若3(tan B ＋tan C )＝tan B ·tan C －1，则sin 2A ＝( ) A ．－12 B ．12 C ．－32D ．32解析：由两角和的正切公式知tan B ＋tan C ＝tan(B ＋C )(1－tan B ·tan C )，所以3(tan B ＋tan C )＝tan B ·tan C －1＝3tan(B ＋C )(1－tan B ·tan C )，所以tan(B ＋C )＝－33，所以tan A ＝33，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6，所以sin 2A ＝32，故选D. 答案：D6．(2017·开封模拟)设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1－tan 213°，c ＝1－cos 50°2，则( ) A ．c ＜b ＜a B ．a ＜b ＜c C ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a解析：∵a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b ＝tan 26°，c ＝sin 25°，∴a ＜c ＜b . 答案：C7．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α为第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7B ．17C ．－7D ．－17解析：法一：sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，即sin αcos βsin β－cos αsin 2β－cos αcos 2β－sin αsin βcos β＝45，即cos α＝－45.又α为第二象限角，∴tan α＝－34，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17，故选B.法二：sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，即－cos(α－β＋β)＝－cos α＝45，即cosα＝－45.又α为第二象限角，∴tan α＝－34，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17，故选B. 答案：B8．(2017·贵阳模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( )A.79 B ．13 C ．－13D ．－79解析：法一：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝79，∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－79. 法二：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1 ＝29－1＝－79. 答案：D9．已知5sin 2α＝6cos α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α2＝( )A ．－23 B ．13 C.35D ．23解析：由题意知，10sin αcos α＝6cos α， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin α＝35，cos α＝45， tan α2＝sin α2cos α2＝2sin 2α22sin α2cos α2＝1－cos αsin α＝1－4535＝13.答案：B10．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2＜α＜0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( ) A ．－255 B ．－3510 C ．－31010D ．255解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12， 得tan α＝－13.又－π2＜α＜0， 所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255. 答案：A11．(2016·高考四川卷)cos 2π8－sin 2π8＝________. 解析：逆用二倍角公式化简求值． cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22. 答案：2212．已知cos(θ＋π4)＝－13，θ为锐角，则sin 2θ＝________，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝________.解析：由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－13⇒22(cos θ－sin θ)＝－13，即12()1－2sin θcos θ＝19，所以sin 2θ＝79，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝169，因为θ为锐角，所以sin θ＋cos θ＝43，所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝(cos θ＋sin θ)·(cos θ－sin θ)＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－429，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin 2θcos π3＋cos 2θsin π3＝79×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－429×32＝7－4618.答案：797－461813．已知0＜θ＜π，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝17，则sin θ＋cos θ＝________.解析：∵sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，0＜θ＜π，∴π4＜θ＋π4＜5π4，又tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝17，∴π＜θ＋π4＜5π4，根据同角三角函数的基本关系得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－210，∴sin θ＋cos θ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＝－15.答案：－1514．(2017·衡水调研)已知sin α－sin β＝63，cos α－cos β＝33，则|cos α－β2|＝________.解析：由题意得sin α－sin β＝63①，cos α－cos β＝33②，①2＋②2得， 2－2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1， 即cos(α－β)＝12，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1＋cos (α－β)2＝34， ∴|cos α－β2|＝32. 答案：32B 组 能力提速练1．已知θ∈(0，π)，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan 2θ＝( )A.43 B ．34 C ．－247D ．247解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，得22(sin θ－cos θ)＝210，所以sin θ－cos θ＝15.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－cos θ＝15，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝45，cos θ＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－35，cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－35cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－247，故选C. 答案：C2．已知tan(α＋β)＝25，tan β＝13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为________．解析：∵tan(α＋β)＝25，tan β＝13，∴tan α＝tan[(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)·tan β＝25－131＋25·13＝117，tan⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝1＋1171－117＝98. 答案：983．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜β＜α＜π2，(1)求tan 2α的值； (2)求β的值．解析：(1)∵cos α＝17，0＜α＜π2， ∴sin α＝437， ∴tan α＝43， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－48＝－8347. (2)∵0＜β＜α＜π2， ∴0＜α－β＜π2，∴sin(α－β)＝3314， ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.4．(2017·东营模拟)已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．解析：(1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45.cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以，f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35. (2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤5π4.∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12，所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12.。
高三人教版数学(理)一轮复习课时作业：第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
课时作业一、选择题1．(2014·成都模拟)下列各式中，值为32的是( )A ．2sin 15°cos 15°B ．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215°B [cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32.故选B.] 2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的值是( )A ．－233 B ．±233 C ．－1D ．±1C [cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝－1.]3．(2014·昆明调研)已知sin(x －π4)＝35，则sin 2x 的值为( )A ．－725 B.725 C.925D.1625B [依题意得22(sin x －cos x )＝35， 12(sin x －cos x )2＝925，1－sin 2x ＝1825，sin 2x ＝725，选B.]4．(2014·厦门质检)已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝17，则tan α等于( )A ．－65 B ．－1 C ．－34D.65C [由题tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－tan π41＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4tan π4＝17－11＋17×1＝－34，故选C.] 5．(2014·合肥模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235 C.45D ．－45D [由条件知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12 sin α＋sin α＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.]6．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( )A ．－53B ．－59C.59D.53A [将sin α＋cos α＝33两边平方，可得1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝53.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0， 所以－sin α＋cos α＝－153，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)·(cos α＋sin α)＝－53.] 二、填空题7．(2014·珠海模拟)若sin(π－α)＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin 2α－cos 2α2的值等于__________．解析 ∵sin(π－α)＝45，∴sin α＝45. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝35.∴sin 2α－cos 2α2＝2sin αcos α－1＋cos α2＝2×45×35－1＋352＝425. 答案 4258．(2014·温州模拟)若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝__________． 解析 由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，∴tan α＝2.∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2， ∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan （β－α）－tan α1＋tan （β－α）tan α＝－2－21＋（－2）×2＝43. 答案 439．(2014·烟台模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________．解析 依题设及三角函数的定义得： cos β＝－13，sin(α＋β)＝45.又∵0<β<π，∴π2<β<π，π2<α＋β<π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－35. ∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋45×223＝3＋8215.答案3＋8215三、解答题10．(2014·亳州质检)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，tan β＝12.(1)求tan 2α的值； (2)求sin （α＋β）－2sin αcos β2sin αsin β＋cos （α＋β）的值．解析 (1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，∴tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝2.∴1＋tan α1－tan α＝2.∴tan α＝13.∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝231－19＝34. (2)sin （α＋β）－2sin αcos β2sin αsin β＋cos （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β ＝cos αsin β－sin αcos βcos αcos β＋sin αsin β＝sin （β－α）cos （β－α） ＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝12－131＋12×13＝17. 11．已知：0<α<π2<β<π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝45.sin(α＋β)＝45.(1)求sin 2β的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．解析 (1)解法一：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin π4sin β＝22cos β＋22sin β＝13，∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin 2β＝29，∴sin 2β＝－79. 解法二：sin 2β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4－1＝－79. (2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<34π，π2<α＋β<3π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0.∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－35×13＋45×223＝82－315.12．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－x 2，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (α)＝2105，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．解析 (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－x 2＝sin x 2＋cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4，故f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.(2)由f (α)＝2105，得sin α2＋cos α2＝2105， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22＝⎝⎛⎭⎪⎫21052， 即1＋sin α＝85， 解得sin α＝35， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α＝1－sin 2α＝ 1－925＝45，故tan α＝sin αcos α＝34，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝34＋11－34＝7.。
2016届高考理科数学一轮复习课时作业第3章第5节两角和与差的正弦、余弦和正切公式(新课标)
课时作业(二十二)两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值是( ) A.1318 B ．1322 C.322D ．16答案：C解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝α＋β－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋α＋β⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝25－141＋25×14＝322.故应选C.2．设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )A ．－79B ．－19C.19 D ．79答案：A解析：sin 2θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－79.故应选A.3．设f (sin α·cos α)＝sin 2α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15的值为( ) A ．－25B ．－15C ．15D ．25答案：D解析：令sin α·cos α＝15，则sin 2α＝2sin αcos α＝25，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝25. 故应选D.4．(2013·重庆)4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B ．2＋32C ． 3D ．22－1答案：C解析：4cos 50°－tan 40°＝4cos 50°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°·cos 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2cos 10°－sin 40°cos 40°＝2cos 10°－＋cos 40°＝32cos 10°－32sin 10°cos 40°＝3－cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝ 3.5．(2015·淄博质检)已知sin θ＋cos θ＝22(0＜θ＜π)，则cos 2θ的值为( ) A ．±32B ．－32C ．32 D ．－12答案：B解析：又sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，∵0<θ<π，∴π4<θ＋π4<5π4，θ＋π4＝5π6⇒θ＝7π12⇒2θ＝7π6，所以cos 2θ＝cos 7π6＝－32，故应选B. 6．对于集合{}a 1，a 2，…，a n 和常数a 0，定义：ω＝ sin2a 1－a 0＋sin 2a 2－a 0＋…＋sin 2a n －a 0n为集合{}a 1，a 2，…，a n 相对a 0的“正弦方差”，则集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”为( ) A.12 B ．13C.14 D ．与a o 有关的一个值答案：A解析：集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差” ω＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－a 03＝cos 2a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－a 03＝cos 2a 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos a 0＋32sin a 02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos a 0－32sin a 023＝cos 2a 0＋12cos 2a 0＋32sin 2a 03＝322a 0＋cos 2a 03＝12. 故应选A. 二、填空题7．(2015·云南昆明一模)若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tan αtan β＝________.答案：12解析：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝15，①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35.②由①②解得cos αcos β＝25，sin αsin β＝15，则tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝12.8．(2015·唐山模拟)已知：0°<α<90°，0°<α＋β<90°，3sin β＝sin(2α＋β)，则tan β的最大值是________．答案：24解析：由3sin β＝sin(2α＋β)，得 3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)，化简得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α， ∴tan(α＋β)＝2tan α， ∴tan β＝tan(α＋β－α)＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝tan α1＋2tan 2α＝11tan α＋2tan α.由题意知，tan α>0， ∴1tan α＋2tan α≥22，且仅当1tan α＝2tan α，即tan α＝22时等号成立， ∴tan β的最大值为122＝24.9．(2015·烟台模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________.答案：3＋8215解析：依题设及三角的函数的定义得：cos β＝－13，sin(α＋β)＝45.又∵0＜β＜π，∴π2＜β＜π，π2＜α＋β＜π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋45×223＝3＋8215.10．若tan θ＝12，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝________.答案：7210解析：tan θ＝sin θcos θ＝12，即cos θ＝2sin θ，而cos 2θ＋sin 2θ＝1，且cos θ>0，sin θ>0， 计算可得cos θ＝255，sin θ＝55，则sin 2θ＝2sin θcos θ＝45，cos 2θ＝1－2sin 2θ＝35，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝7210. 三、解答题11．(2014·广东)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ. 解：(1)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝A sin 2π3＝A sin π3＝32A ＝32，∴A ＝ 3.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，故f (θ)＋f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ＋π4＝32， ∴3⎣⎢⎡⎦⎥⎤22θ＋cos θ＋22θ－sin θ＝32， ∴6cos θ＝32，∴cos θ＝64.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. 12．如图所示，以Ox 为始边作角α与β(0＜β＜α＜π)，它们终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45.(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP ⊥OQ ，求α＋β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β.解：(1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αα＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825.(2)∵OP ⊥OQ ，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2.∴sin β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos α＝35， cos β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝sin α＝45. ∴α＋β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝sin αcos β＋cos αsin βcos β－sin β＝45×45－35×3545－35＝72515＝75.13．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.解：(1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＋π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：∵cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45.∴cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加得2cos βcos α＝0.∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫222－2＝0.。
《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业：第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
课时作业一、选择题1．(2014·成都模拟)下列各式中，值为32的是( )A ．2sin 15°cos 15°B ．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215°B [cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32.故选B.] 2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的值是( )A ．－233 B ．±233 C ．－1D ．±1C [cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝－1.]3．(2014·昆明调研)已知sin(x －π4)＝35，则sin 2x 的值为( )A ．－725 B.725 C.925D.1625B [依题意得22(sin x －cos x )＝35， 12(sin x －cos x )2＝925，1－sin 2x ＝1825，sin 2x ＝725，选B.]4．(2014·厦门质检)已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝17，则tan α等于( )A ．－65 B ．－1 C ．－34D.65C [由题tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－tan π41＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4tan π4＝17－11＋17×1＝－34，故选C.] 5．(2014·合肥模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235 C.45D ．－45 D [由条件知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12 sin α＋sin α＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.]6．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( )A ．－53B ．－59C.59D.53A [将sin α＋cos α＝33两边平方，可得1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝53.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0， 所以－sin α＋cos α＝－153，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)·(cos α＋sin α)＝－53.] 二、填空题7．(2014·珠海模拟)若sin(π－α)＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin 2α－cos 2α2的值等于__________．解析 ∵sin(π－α)＝45，∴sin α＝45. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝35.∴sin 2α－cos 2α2＝2sin αcos α－1＋cos α2＝2×45×35－1＋352＝425. 答案 4258．(2014·温州模拟)若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝__________． 解析 由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，∴tan α＝2.∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2， ∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan （β－α）－tan α1＋tan （β－α）tan α＝－2－21＋（－2）×2＝43. 答案 439．(2014·烟台模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________．解析 依题设及三角函数的定义得： cos β＝－13，sin(α＋β)＝45.又∵0<β<π，∴π2<β<π，π2<α＋β<π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－35. ∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋45×223＝3＋8215.答案3＋8215三、解答题10．(2014·亳州质检)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，tan β＝12.(1)求tan 2α的值； (2)求sin （α＋β）－2sin αcos β2sin αsin β＋cos （α＋β）的值．解析 (1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，∴tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝2.∴1＋tan α1－tan α＝2.∴tan α＝13.∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝231－19＝34. (2)sin （α＋β）－2sin αcos β2sin αsin β＋cos （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β ＝cos αsin β－sin αcos βcos αcos β＋sin αsin β＝sin （β－α）cos （β－α） ＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝12－131＋12×13＝17. 11．已知：0<α<π2<β<π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝45.sin(α＋β)＝45.(1)求sin 2β的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．解析 (1)解法一：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin π4sin β＝22cos β＋22sin β＝13，∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin 2β＝29，∴sin 2β＝－79. 解法二：sin 2β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4－1＝－79. (2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<34π，π2<α＋β<3π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0.∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－35×13＋45×223＝82－315.12．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－x 2，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (α)＝2105，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．解析 (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－x 2＝sin x 2＋cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4，故f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.(2)由f (α)＝2105，得sin α2＋cos α2＝2105， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22＝⎝⎛⎭⎪⎫21052， 即1＋sin α＝85， 解得sin α＝35， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α＝1－sin 2α＝ 1－925＝45，故tan α＝sin αcos α＝34，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝34＋11－34＝7.。
(全国通用)近年高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公
（全国通用）2018高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第5节两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时分层训练文新人教A版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用）2018高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第5节两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时分层训练文新人教A版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课时分层训练(二十一)两角和与差的正弦、余弦和正切公式A组基础达标（建议用时:30分钟)一、选择题1．已知sin 2α＝错误!，则cos2错误!等于( ）【导学号：31222125】A。
错误!B。
错误!C。
错误!D。
错误!A ［因为cos2错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!,故选A。
］2.错误!等于( ）A．－错误! B.错误!C。
错误!D．1C ［原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.]3．(2017·杭州二次质检）函数f（x）＝3sin 错误!cos 错误!＋4cos2错误!（x∈R)的最大值等于（)A．5 B。
错误!C。
错误!D．2B [由题意知f(x）＝错误!sin x＋4×错误!＝错误!sin x＋2cos x＋2≤错误!＋2＝错误!，故选B.］4．(2016·福建师大附中月考）若sin错误!＝错误!，则cos错误!＝（）A．－错误!B．－错误!C。
错误! D.错误!A ［cos错误!＝cos错误!＝－cos错误!＝－错误!＝－错误!＝－错误!。
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课时作业
一、选择题
1．(2014·成都模拟)下列各式中，值为3
2的是
( )
A ．2sin 15°cos 15°
B ．cos 215°－sin 215°
C ．2sin 215°－1
D ．sin 215°＋cos 215°
B [cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝3
2.故选B.] 2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫
x －π3的值是
( )
A ．－23
3 B ．±233 C ．－1
D ．±1
C [cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x
＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋1
2sin x
＝3cos ⎝
⎛⎭⎪⎫
x －π6＝－1.]
3．(2014·昆明调研)已知sin(x －π4)＝3
5，则sin 2x 的值为
( )
A ．－725 B.725 C.925
D.1625
B [依题意得22(sin x －cos x )＝3
5， 12(sin x －cos x )2
＝925，
1－sin 2x ＝1825，sin 2x ＝7
25，选B.]
4．(2014·厦门质检)已知tan ⎝
⎛
⎭⎪⎫α＋π4＝17，则tan α等于
( )
A ．－6
5 B ．－1 C ．－34
D.65
C [由题tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛
⎭⎪⎫α＋π4－π4
＝tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4－tan π41＋tan ⎝
⎛
⎭⎪⎫α＋π4tan π4＝17－11＋17×1
＝－
34，故选C.] 5．(2014·合肥模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋sin α＝435，则sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫α＋7π6的值是
( )
A ．－23
5 B.235 C.45
D ．－45
D [由条件知cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6－α＋sin α
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12 sin α＋sin α＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋1
2cos α
＝3sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π6＝435.
∴sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫α＋π6＝45.
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π＝－sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π6
＝－4
5.]
6．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝3
3，则cos 2α＝
( )
A ．－5
3
B ．－5
9
C.59
D.53
A [将sin α＋cos α＝33两边平方，可得1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－2
3，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝5
3.
因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0， 所以－sin α＋cos α＝－15
3，
所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)·(cos α＋sin α)＝－5
3.] 二、填空题
7．(2014·珠海模拟)若sin(π－α)＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin 2α－cos 2α2的值等于
__________．
解析 ∵sin(π－α)＝45，∴sin α＝4
5. 又∵α∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝35.
∴sin 2α－cos 2α
2＝2sin αcos α－1＋cos α
2
＝2×45×35－1＋35
2＝4
25. 答案 4
25
8．(2014·温州模拟)若sin α＋cos α
sin α－cos α
＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝
__________． 解析 由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1
tan α－1
＝3，
∴tan α＝2.
∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2， ∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝
tan （β－α）－tan α1＋tan （β－α）tan α＝－2－2
1＋（－2）×2
＝43. 答案 4
3
9．(2014·烟台模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－1
3，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是4
5，则cos α＝________．
解析 依题设及三角函数的定义得： cos β＝－13，sin(α＋β)＝4
5.
又∵0<β<π，∴π2<β<π，π2<α＋β<π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－3
5. ∴cos α＝cos[(α＋β)－β]
＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋45×223＝3＋8215.
答案
3＋8215
三、解答题
10．(2014·亳州质检)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＋α＝2，tan β＝12.
(1)求tan 2α的值； (2)求
sin （α＋β）－2sin αcos β
2sin αsin β＋cos （α＋β）
的值．
解析 (1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＋α＝2，
∴tan π
4＋tan α1－tan π
4tan α＝2.
∴
1＋tan α
1－tan α
＝2.
∴tan α＝1
3.
∴tan 2α＝2tan α
1－tan 2α
＝
23
1－19＝34. (2)sin （α＋β）－2sin αcos β2sin αsin β＋cos （α＋β）
＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β ＝cos αsin β－sin αcos βcos αcos β＋sin αsin β＝sin （β－α）cos （β－α） ＝tan(β－α)＝tan β－tan α
1＋tan βtan α
＝12－131＋12×13
＝
17. 11．已知：0<α<π2<β<π，cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫β－π4＝45.sin(α＋β)＝45.
(1)求sin 2β的值； (2)求cos ⎝
⎛
⎭⎪⎫α＋π4的值．
解析 (1)解法一：∵cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin π4sin β＝22cos β＋22
sin β＝1
3，
∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin 2β＝29，∴sin 2β＝－7
9. 解法二：sin 2β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4－1＝－79. (2)∵0<α<π
2<β<π，
∴π4<β－π4<34π，π2<α＋β<3π2，∴sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0.
∵cos ⎝
⎛
⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45，
∴sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35.
∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛
⎭⎪⎫β－π4
＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫β－π4
＝－35×13＋45×223＝82－3
15.
12．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫π－x 2，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)若f (α)＝2105，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求tan ⎝
⎛
⎭⎪⎫α＋π4的值．
解析 (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫π－x 2＝sin x 2＋cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4，
故f (x )的最小正周期T ＝2π
12
＝4π.
(2)由f (α)＝210
5，得sin α2＋cos α2＝2105， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α
2＋cos α22＝⎝
⎛⎭⎪⎫21052， 即1＋sin α＝8
5， 解得sin α＝3
5， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，
则cos α＝1－sin 2α＝ 1－925＝45，
故tan α＝
sin αcos α＝3
4
，
所以tan ⎝
⎛
⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π
4
1－tan αtan π4＝
34＋11－34＝7.。