数学竞赛专题讲座---面积问题与面积方法-初中三年级数学试题练习、期中期末试卷-初中数学试卷
初中数学竞赛专题：面积问题与面积方法(1)
初中数学竞赛专题:面积问题与面积方法（1）15.1.1★如图,（b ）、（c ）、（d ）、（e ）中直线AP 与直线BC 交于点D ,则:（a ）中有ABDACDS BD CD S =△△；（b ）、（c ）、（d ）、（e ）中有ABPACPS BD CD S =△△. (a)CD BADP A CBP D CB A PD BAPCDBA(e)(d)(c)(b)解析 只要作相应的高,并运用比例即可.15.1.2★若ABC △中有一点P ,延长AP 、BP 、CP ,分别交对边于点D 、E 、F ,则1PD PE PFDA EB FC++=. CDBPEFA解析 如图,易证BPC ABC S PD DA S =△△,APC ABC S PE EB S =△△,APBABCS PF FC S =△△,三式相加即得结论.15.1.3★求证:若点A 、B 、C 、D 是一直线上依次的任意四个不同点,点P 是直线外一点,则有sin sin sin sin APC BPD AC BDBPC APD BC AD∠⋅∠⋅=∠⋅∠⋅. 解析 如图,PDC B Asin sin APC BPC S AC PA PC APCBC S PB PC BPC⋅⋅∠==⋅⋅∠△△ sin sin PA APCPB BPC∠=∠,sin sin PBD APD S BD BP BPDAD S AP APD∠==∠△△, 两式相乘,即得结论.评注 这个定理叫交比定理,在这里作为例子是为了强调交比（即上述比值）是一个重要的不变量,交比为2时,四点称为调和点列,此时AB CD BC AD ⋅=⋅,这种情形在几何中十分常见.15.1.4★★如图,设BD p CD =,CE q AE =,AFr BF=,试用p 、q 、r 表示PQR ABC S S △△. BDRPCEQFA解析 用面积比或梅氏定理得出,1(1)DQ QA r p =+,于是1AQC ACD ABC AQ rS S S AD r pr==++△△△以及ABRS △与BPC S △的表达式,最后算得2(1)(1)(1)(1)PQR ABCS pqr S r pr p pq q qr -=++++++△△. 15.1.5★★ 已知E 为ABC △的角平分线AD 上任一点,AB 、AC 延长线上分别有点M 、N ,CM BE ∥,BN CE ∥,求证:BM CN =.解析 如图,连结ME 、NE .E 至AB 、AC 距离相等,即sin sin BE ABE CE ACE ⋅∠=⋅∠,由CM BE ∥,BN CE ∥,有BME BEC ECN S S S ==△△△,故1sin 2BM BE ABE ⋅⋅∠=1sin 2CN CE ACE ⋅⋅∠,于是BM CN =. NMDCBEA15.1.6★★在ABCD 的两边AD 和CD 上各取一点F 和E ,使得AE CF =,AE 与CF 交于P ,求证:BP 是APC ∠的平分线. 解析 如图,易知12ABE ABCDBCF S SS ==△△,又AE CF =,故B 至AE 的距离与B 至CF 距离相等,于是BP 平分APC ∠.CBEPD FA15.1.7★★已知ABC △的边BC 、CA 、AB 上分别有点D 、E 、F ,且AD 、BE 、CF 共点,求证:14DEF ABC S S △△≤. 解析 如图,设1BF k AF =,2AE k EC =,3CDk BD=,则由塞瓦定理知1231k k k =. CD B EFA又知原式等价于证明34AFE BFD EDC ABC S S S S ++△△△△≥,而212(1)(1)AFE ABC S k AF AES AB AC k k =⋅=++△△,同理,113(1)(1)BFD ABC S k S k k =++△△,323(1)(1)EDC ABC S k S k k =++△△,于是问题变为证明 1231223311233(1)(1)(1)4k k k k k k k k k k k k ++++++++≥,去分母、考虑1231k k k =并移项整理得上式等价于1231231116k k k k k k +++++≥.这显然成立,取等号仅当1231k k k ===,此时D 、E 、F 为各边中点. 15.1.8★在凸四边形ABCD 中,17AB =,7BC =,22DA =,90ABC ∠=︒,135BCD ∠=︒,求四边形ABCD 的面积.解析 如图,22AC ,故本题只有一解（否则D ∠可能为钝角）.今延长AB 、DC 交于E ,则BCE △为等腰直角三角形,24AE =.又作AF ED ⊥,则AF EF ==.135°ECB FDA4923914422AEF BCE ABCF S S S =-=-=△△四边形.又14DF ,故AFD S =△于是2392ABCF S =+四边形15.1.9★★锐角ABC △中,60BAC ∠=︒,向外作正ABD △与正ACE △,设CD 与AB 交于点F ,BE 与AC 交于点G ,CD 又与BE 交于点P ,求证:BPC AFPG S S =△四边形.GP BFDAE解析 结论转化为AFC BGC S S =△△,两边同时除以ABC S △,转化成线段之比,即求证AF CGAB AC=,上式又等价为AF CGBF AG=. 这是成立的,因为左式AC CEBD AB===右式,此处用到了AB CE ∥与AC BD ∥.15.1.10★在等腰ABC △中,12AB AC ==,E 、F 分别在两腰AB 、AC 上,8AE AF ==,BF 与CE 相交于点D ,四边形AEDF 的面积为8,求ABC △的面积. 解析 如图,连结EF ,设DEF S x =△.易知EF BC ∥,82123EF ED DFBC CD BD====, 于是32BED FDC S S x ==△△,94BDC S x =△,254EBCF S x =梯形, CBDFEA455AEF EBCF S S x ==△梯形,又8AEF S x =-△,故43x =, 255154ABC S x x =+=△. 15.1.11★设AD 、BE 、CF 为锐角ABC △的三条高,若EF 平分ABC △的三条高,若EF 平分ABC △的面积,求证:2222DE EF FD BC ++=.解析 如图,由条件知12AEF ABC S S =△△,由于AFE △∽ACB △,cos AF AEA AC AB==, ECDBFA故21cos 2A =,45A ∠=︒.又由相似知45FDB A EDC ∠=∠=∠=︒,故90FDE ∠=︒,22222DE EF FD EF ++=.又AEF △∽ABC △,得EF AE BC AB ==,于是222EF BC =,结论证毕. 15.1.12★★★设I 是ABC △内心,I 在AB 、BC 、CA 上的身影分别是L 、M 、N ,MI 延长后,交LN 于T ,AT 延长后与BC 交于Q ,求证:BQ CQ =.解析 如图,连结TB 、TC ,本题等价于证明ATB ATC S S =△△.IBQ MCNLT A而1sin 2ATB S AB LT ALN =⋅⋅∠△,1sin 2ATC S AC NT ANL =⋅⋅∠△,由AL AN =知ALN ANL ∠=∠,于是只需证明AB LT AC NT ⋅=⋅. 由sin sin sin sin LIT NIT S LT LI TIL B ACNT S NI TIN C AB⋅∠====⋅∠△△, 结论得证.15.1.13★★★已知:锐角三角形ABC ,向外作正方形ABDE 、ACFG ,BF 、CD 交于J ,求证:AJ BC ⊥. 解析1 如图（1）,作AH BC ⊥,我们证明AH 、BF 、CD 共点.(1)C H BJ S T FGA DE由于AD =,AF =,45DAC A BAF ∠=︒+∠=∠,故DAC BAF S S =△△,而DBC S =△11sin(90)cos 22BD BC B AB BC B ⋅⋅+︒=⋅⋅,1cos 2BCF S AC BC C =⋅⋅△. 设CD 、AB 交于S ,BF 、AC 交于T .于是cos cos 1cos cos DAC BAF S AS BH CT AC C AB BSB HC AT S AB B AC C⋅⋅==△△, 故结论成立.解析2 如图（2）,设AH 是高,在HA 延长线上分别找点K 、K ',使BK CD ⊥,CK BF '⊥.易知DBC△≌BAK △,AK BC =,同理AK BC '=.KBC △的三条高在KA 、CD 、BF 直线上.因此KA 、CD 、BF 三线共点.(2)KK'EDAGF S J BH C15.1.14★★★求证:存在一个面积为1的四边形ABCD ,使形内任何一点P ,PAB S △、PBC S △、PCD S △、PDA S △至少有一个是无理数.解析 如图,作梯形ABCD ,AD BC ∥,AD a ==2BC a =-,AD 与BC 的距离为1.则1ABCD S =梯形.CFB P DEA设P 是内部任一点,则PAD S △与BPC S △中至少有一个是无理数. 否则,若APD S △与BPC S △均为有理数,设分别为12m 、12n ,则12m m a a+=-,整理得一个关于a 的二次方程,系数可以是整数.,矛盾. 因此APD S △与BPC S △中至少有一个是无理数. 15.1.15★★设ABCD 中,90ABC θ∠=︒≤,点P 为其内部任一点,求证:22222cot ABCDPB PD PA PC S θ+--=⋅.解析 此题用坐标法能使解题思路看起来更加清晰.x如图,设P （x ,y ）、B （0,0）、C （m ,0）、A （s ,t ）,则D （m s +,t ）,于是2222PB PD PA PC +--22222222()()()()()x y x m s y t x s y t x m y =++--+-------- 222()m s m s =+--22cos ms BC AB θ==⋅⋅⋅2cot ABCDSθ=⋅.15.1.16★★四边形ABCD 的两条对角线垂直且交于点O ,OM 、ON 分别与AB 、AD 垂直,延长MO 、NO ,分别与CD 、BC 交于点P 、Q ,求证:PQ BD ∥.CPQON AMDB解析 显然可将待证式改为BQ DPCQ CP=. 由于sin sin BOQ COQ S BQ BO BOQCQ S CO COQ⋅∠==⋅∠△△ sin sin BO DONCO NOA⋅∠=⋅∠sin sin BO OAD BO DOCO ADO AO CO⋅∠⋅==⋅∠⋅. 同理,DPCP也是此式. 于是结论成立.15.1.17★★已知凸五边形ABCDE 满足AB BC =,CD DE =,150ABC ∠=︒,30CDE ∠=︒,2BD =,求五边形ABCDE 的面积.解析 如图,作点C 关于BD 的对称点K ,于是AB KB =,ED KD =,分别作ABK ∠和KDE ∠的角平分线,设交于点M ,则MB 、MD 分别垂直平分AK 、EK ,则点M 是AKE △的外心.DEMKA B C又由于1752MBD ABC ∠=∠=︒,1152MDB CDE ∠=∠=︒,因此 90BMD ∠=︒.又由于AK MD ∥,EK BM ∥,因此AK KE ⊥,点M 为Rt AKE △斜边AE 的中点. 由ABM △≌KBM △,MKD △≌MED △,以及BCD △≌BKD △得2BMD ABCDE S S =△五边形.为求BMD S △,只需注意15MDB ∠=︒,2BD =,因此作点B 关于MD 的对称点B '（图中未画出）,有BMD △≌B MD '△,于是2BMD BDB ABCDE S S S '==△△五边形122sin302=⨯⨯⨯︒ 1=.15.1.18★★凸四边形ABCD 中,E 、F 分别在AB 、BC 上,DE 、DF 将AC 三等分,且14ADE CDF ABCD S S S ==△△五边形,求证:AB CD =.解析 如图,连结BD 、BP 、BQ .F B EP AO Q CD由ADE CDF S S =△△,APD CQD S S =△△（这是因为AP QC =）知:APE CQF S S =△△.由于AP CQ =,故AC EF ∥.因此AE CFEB FB=,亦即ADE DCF DEB DFB S S S S =△△△△.由ADE DCF S S =△△知, DEB DFB S S =△△.而14ADE DCF ABCD S S S ==△△,故ADE DCF DEB DFB S S S S ===△△△△,因而E 、F 为AB 、BC 中点.由此可得QF 、PE 分别为CPB △、AQB △的中位线,即QF PB ∥,PE QB ∥.因此四边形DQBP 为平行四边形,所以OP OQ =,OD OB =,而AP CQ =,故OA OC =,由此得四边形ABCD 为平行四边形,故AB CD =.15.1.19★★★I 为ABC △的内心,1B 、1C 分别为AB 、AC 的中点.AB 与1C I 延长线交于2B ,AC 延长线与1B I 延长线交于2C （如图）,22AB C ABC S S =△△,求A ∠.C C 1C 2B 1B 2IAB解析 设AC b =,AB c =,2AB c '=,2AC b '=,BC a =,内切圆半径为r . 由22sin sin 22ABC AB C bc b c A S S A ''===△△得 bc b c ''=.而1212()22B C A ABC AB AC b rS S a b c AB AC b '⋅=⋅=⋅++⋅△△.又1212212224B C A AIB AIC rr r r S S S AC AB b c '=+=⋅+⋅=⋅+⋅△△△.所以()22c b b a b c b''+=++⋅, 即()bc a b c b '=-+⋅.同理,对12AC B △用同样的方法可得:()bc a b c c '=+-⋅.两式相乘,利用bc b c ''=得:2222bc a b c bc =--+,即 222222cos a b c bc b c bc A =+-=+-.所以1cos 2A =,60A =︒. 15.1.20★★已知CE 、BD 为直角三角形ABC （90A ∠=︒）的角平分线,交于F ,求BCDE BCFS S 四边形△.解析 设AB c =,AC b =,BC a =.由内角平分线性质,有AE b EB a =,故AE bc a b=+, FBEA DCbc AE a b =+,acBE c AE a b=-=+, 于是122()CBE abcS BE b a b =⋅⋅=+△. 而CF a a b FE BE c+==,故 CF a bCE a b c +=++, 2()BCF BCE a b abcS S a b c a b c +=⋅=++++△△. 同前面类似的算法可得:bcAD a c=+,故 1122BCDE bc bcS bc a c a b =-⋅⋅++四边形 ()2()()abc a b c a b a c ++=++.利用222a b c =+,2()()()BCDE BCFS a b c S a b a c ++=++四边形△ 2222222a b c ab bc caa ab ac bc +++++=+++ 2222222a ab ac bc a ab ac bc+++==+++.15.1.21★★点P 为正三角形ABC 内一点,PA a =,PB b =,PC c =,试用a 、b 、c 表示ABC S △. 解析 分别把APC △、APB △、CPB △绕点A 、B 、C 顺时针旋转60︒,得A '、B '、C '三点,则APA '△、BPB '△、CPC '△是边长分别为a 、b 、c 的正三角形,而A BP '△、PB C '△与AC P '△是边长各为a 、b 、c 的全等三角形,最终得222)ABC S a b c =+++△此处1()2p a b c =++. CC'PB'BA'A15.1.22★在凸四边形ABCD 中有一点P ,满足ADP BPC ABP DPC S S S S ⋅=⋅△△△△,求证:点P 在该四边形的对角线上.解析 显然P 在对角线上时,上述结论成立.今用反证法,若点P 不在对角线上时,如图,不妨设AC 与BD 交于点O ,又不妨设点P 位于BOC △的内部.此时,BO 与AP 有一交点,记为E .PCBEO DA由题设得BPC APB DPC APD S S BES S DE==△△△△, 于是由面积比知点E 、P 、C 共线.这样一来,点A 、C 均在EP 直线上,点P 就在AC 上,与假设矛盾.15.1.23★★自ABC △的顶点引两条射线交边BC 于X 、Y ,使BAX CAY ∠=∠,求证:22BX BY AB CX CY AC⋅=⋅.又,反之如何？解析 如图,由BAX CAY ∠=∠,得CYXBF E AABX ACY S BX AB AXCY S AC AY⋅==⋅△△. 又BAY XAC ∠=∠,故ABY ACX S BY AB AYCX S AC AX⋅==⋅△△. 两式相乘,即得22BX BY AB CX CY AC ⋅=⋅. 反之,若22BX BY AB CX CY AC ⋅=⋅,作AXY △外接圆,分别交AB 、AC 于E 、F .则BE BA BX BY ⋅=⋅,CF CA CX CY ⋅=⋅,代入得BE ABCF AC=,得EF BC ∥,但X 、Y 、F 、E 共圆,故四边形EXYF 为等腰梯形,圆周角EAX ∠和FAY ∠所对弧相等,由于其和小于180BAC ∠<︒,故EAX FAY ∠=∠.15.1.24★★★已知正三角形ABC 内一点P ,到BC 、CA 、AB 的射影分别是D 、E 、F ,求证:AF BD CE BF AE CD ++=++；AFP △、BPD △和CPE △和面积和等于ABC △的一半.解析 如图,易知22PA PB AF BF AB --=,22PB PC BD CD BC--=,22PC PA CE AE CA--=, 三式相加即得结论AF BD CE BF AE CD ++=++.又过P 作MN BC ∥,QR AB ∥,ST AC ∥.M 、T 在AB 上,Q 、S 在BC 上,N 、R 在AC 上.易知TPM △、PQS △和PNR △均为正三角形,四边形ATPR 、MPQB 、SCNP 均为平行四边形,记1APR APT S S S ==△△,2TPF MPF S S S ==△,3PMB PQB S S S ==△△,4PQD PSD S S S ==△△,5PSC PCN S S S ==△△,6PNE PRE S S S ==△△,则123456AFP BPD CPE S S S S S S S S S ++=+++++△△△12ABC S =△. 15.1.25★★已知:凸五边形ABCDE 中,AE BD ∥,CE AB ∥,P 、Q 分别是BE 、CD 中点,R 在BE 上,AR PQ ∥,求证:BCR DER S S =△△.解析 如图,设BC 中点为S ,连结PS 、QS .则PS AB ∥,SQ AE ∥,SPQ BAR ∠=∠,SQP RAE ∠=∠.DQCO S ERP B A设BD 、CE 交于O ,则AB OE =,AE BO =,sin sin sin sin BR AE BAR OE SPQ OE SQRE AE EAR OB SQP OB SP∠∠===⋅=∠∠ BDE BCE S OE BD OB CE S ⋅=⋅△△,故BCE BDE BR S RE S ⋅=⋅△△,BCR BCE BDE DER BR RES S S S BE BE===△△△△.15.1.26★凸四边形ABCD 中,对角线相交于E ,M 、N 分别为AB 、CD 的中点,连结MN ,交AC 于G ,交BD 于F ,K 、S 分别为AD 、BC 中点,KS 分别与AC 、BD 交于P 、Q ,求证:EGQ EPF S S =△△.解析 如图（图中点P 、Q 未画出）,连结MK 、NK ,则12MK BD ==∥,12NK AC ==∥,故EFG △∽MKN △,且EF BD EG AC =,同理EQ BDEP AC=,于是在EGQ △与EPF △中,FEP ∠与GEQ ∠互补,EF EP EG EQ ⋅=⋅,于是EGQ EPF S S =△△.S15.1.27★★ 已知P 为ABC △内一点,PAB PBC PCA α∠=∠=∠=,求证:222cot 4ABCa b c S α++=△. 解析 如图,由余弦定理222222cos 4cot ABP PB PA c PA c PA c S α=+-⋅⋅=+-⋅△,同理2224cot BPC PC PB a S α=+-⋅△,2224cot APC PA PC b S α=+-⋅△,三式相加,得αααPCBA22204cot ()ABP BPC APC a b c S S S α=++-⋅⋅++△△△,此即222cot 4ABCa b c S α++=△ 15.1.28★ABC △中,AH 是高,45BAC ∠=︒,2BH =,3CH =,求ABC S △.解析 设AH h =.分两种情况讨论,一种B 、C 在H 两侧,另一种B 、C 在H 同侧.B 、C 在H 两侧时,5BC =,于是由面积,sin455AB AC h ⋅⋅︒=,即5h ,得4237360h h -+=,得1h =或6.1h =时,45BAC BAH ∠>∠>︒,不合要求；故6h =,156152ABC S =⨯⨯=△.B 、C 在H 同侧时,1BC =,同样由面积公式,sin45AB AC h ⋅⋅︒=,即h =,得4211360h h ++=,无解. 15.1.29★★★设矩形ABCD 的边BC 、CD 上分别有点E 、F ,满足AEF △是正三角形,求证:ECF ABE AFD S S S =+△△△.解析 如图,设AEF △边长为a .EFC θ∠=.PF D QCERAB取Q ,使2QAF FAD ∠=∠,2QAE EAB ∠=∠,AQ a =,连结AQ 、EQ 、FQ ,AQ 与EF 交于R ,延长EC 至P,EC CP=,连结FP,则211sin sin 244EFC S EF FP EFP a θ=⋅⋅∠=△.又易知1111sin 2224ABE AFD AEQ AFQ AEQF S S S S S AQ EF ARE +=+==⋅⋅∠=△△△△四边形21sin 4a ARE ∠.于是只要证明sin sin2ARE θ∠=即可. 事实上,602(90)12021202()120ARE QAF FAD AFC θ∠=∠+︒=∠+︒-︒=∠-︒=+60︒-︒2θ=.于是结论成立.15.1.30★★★已知正三角形ABC 边长为1,Q 在BC 上,4BQ CQ =,P 在AQ 上,120BPC ∠=︒,求AP 的长.解析 如图,作PD 、PE 、PF 分别与BC 、CA 、AB 垂直,设PE x =,由ABPACPS S =△△ 4BQCQ=,得4PF x =. CQ D R BP EFA又由条件,知60ABP PBC PCB ∠=︒-∠=∠,同理,ACP PBC ∠=∠,故sin sin sin sin PF ABP BCP PDPD CBP ACP PE∠∠===∠∠, 于是2PD x =.由1(24)2ABC ABP BCP CAP S S S S x x x ==++=++△△△△,得x =,又AR =,AR BC ⊥,故25117AP PQ x AQ AQ AR =-=-=. 由于1AB AC ==,45BQ =,15CQ =,故2242112525AQ AB BQ CQ =-⋅=-=,于是577AP AQ ==.（见题9.2.3.）15.1.31★用正弦定理证明三角形面积公式2212sin sin sin (sin 2sin 2sin 2)42abc S R A B C R A B C R ===++△. 这里a 、b 、c 为ABC △的三边长,R 为ABC △的外接圆半径.解析 11sin 2224c abcS ab C ab R R==⋅=△. 又2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =,代入得22sin sin sin S R A B C =△.又找到ABC △外心O ,则ABC OAB OBC OCA S S S S =++△△△△21(sin 2sin 2sin 2)2R A B C =++. 评注 最后的结果中,OAB S △、OBC S △、OCA S △可能取负值,但不影响结论. 15.1.32★★★已知ABCD ,M 、N 分别在AD 、AB 上,1MDC S S =△,2AMN S S =△,CBN S △3S =,试用1S 、2S 、3S 表示CMN S △.解析 如图（a ）作PMQ CD ⊥,P 、Q 在直线AB 、CD 上,设ABCDSS =,又设PM h =,MQ h '=,AN a =,BN b =,则22S ah =,32()S b h h '=+,12()S a b h '=+,B(a)MD QCN A P因此22S h a =,3222S S h b a'=-,于是有 321()SS a b S ba ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,展开得33221ab S S S S S b a+--=.记a x b=,则233212()0S x S S S x S +---=,解得3x =.所以3123()()2(1)S a b h h S x S S S '=++=+=++因为123S S S S >++,故根号前应取“+”号,于是解析2 如图（b ）,延长CM 、BA 交于K ,连结AC ,设12ABC ACD ABCDS S S S ===△△,则3ACN S S S =-△,于是有213AMN ACM ACN ACD S S S S S KM AM S S S KC AD S S-=====-△△△△.解出S ,以下同解析1.(b)BCN DM A K15.1.33★已知ABC △面积为1,D 、E 分别在边BC 上,且5BCBD CE ==,F 、M 在边AB 上,FD ME AC ∥∥,N 、G 在边AC 上,EG DN AB ∥∥,若ME 、ND 交于P ,求PFG S △. 解析 如图,由于45AF CD AB BC ==,45AG AC =,故FG BC ∥,且45FG BC =. SC EKDBGF PNM A又作PK BC ⊥,交FG 于S ,则PS 为PFG △的高. 设A 至BC 距离为h ,则由PDE △∽ABC △,知35PK DE h BC ==.又15CG CA =,故5h SK =,于是25PS h =.所以11428822552525PFG ABC S FG PS BC h S =⋅=⋅⋅⋅==△△. 15.1.34★已知ABC △的三边长分别为a 、b 、c ,面积为S ；A B C '''△的三边长分别为a '、b '、c ',面积为S ',且a a '>,b b '>,c c '>,则S 与S '的大小关系一定是（ ） A.S S '> B.S S '< C.S S '=D.不确定解析 构造ABC △与A B C '''△如下: （1）作ABC △∽A B C '''△,显然21S a S a ⎛⎫=> ⎪''⎝⎭, 即S S '>.（2）设a b =20c =,10a b c '''===,则1c h =,10S =,10010S '=>,即有S S '<.（3）设a b =20c =,a b ''==10c '=,则10S =,2c h '=,10S '=,即有S S '=. 因此,S 与S '的大小关系不能确定.应选（D ）.15.1.35★★用长为1、4、4、5的线段为边作梯形,求这个梯形的面积.解析 （1）当梯形的上底为1,下底为5时,两腰长均为4,得等腰梯形（如图（a ）所示）.CE BDA(b)(a)C F E B DA作AE BC ⊥交BC 于E ,DF BC ⊥交BC 于F ,易知1EF =,且2BE FC ==.由勾股定理可得AE ==所以1()2ABCD S AD BC AE =+⋅梯形1(15)2=+⋅（2）当梯形的上底为1,下底为4时,两腰分别为5和4,得直角梯形（如图（b ）所示）. 过A 作AE DC ∥交BC 于E ,易知1CE =,4AE DC ==,从而3BE =.根据勾股定理的逆定理可知,90AEB ∠=︒.所以1(14)4102ABCD S =+⋅=梯形.（3）若用长为1的线段作梯形的腰,则无法完成符合条件的梯形.15.1.36★★在直角三角形ABC 中,60B ∠=︒,90C ∠=︒,1AB =,分别以AB 、BC 、CA 为边长向外作等边三角形ABR △、BCP △、CAQ △,连结QR 交AB 于点T ,求PRT △的面积.T AQCPB R解析 由题设得12BC =,AC =90QAT ∠=︒,150QCP ∠=︒,P 、B 、R 三点共线.因为1122AQT S AT AQ AT AC =⋅=⋅=△,而ART ARB S AT S AB =△△,所以ART S AT =△.即AQT ART S S =△△,从而QT RT =.于是12PRT PQR S S =△△1()2ABC ABR BCP CAQ CPQ AQR S S S S S S =++++-△△△△△△12==15.1.37★设点E 、F 、G 、H 分别在面积为1的四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上,且AE BF CG DHk EB FC GD HA====（k 是正数）,求四边形EFGH 的面积. 解析 如图,连续AC 、BD .易知H AEFC GDDHG ACD S DH DGS DA DC⋅=⋅△△ 2111(1)k kk k k =⋅=+++. 因此2(1)DHG DAC kS S k =+△△. 同理2(1)BEF BAC kS S k =+△△. 所以2()(1)DHG BEF DAC BAC kS S S S k +=++△△△ 22(1)(1)ABCDk kS k k ==++四边形. 同理可证 2(1)AEH CFG kS S k +=+△△.所以EFGH S 四边形()AEH BEF CFG DHG ABCD S S S S S =-+++△△△△四边形222211(1)(1)k k k k +=-=++. 15.1.38★如图,在ABC △中,DE AB FG ∥∥,且FG 到DE 、AB 的距离之比为1:2.若ABC △的面积为32,CDE △的面积为2,求CFG △的面积S .BA GFE D C解析 由DE AB FG ∥∥知,CDE △∽CAB △∽CFG △,所以14CDCA==. 又由题设知12FD FA =,所以 13FD AD =, 11313344FD AD AC AC ==⨯=,故 FD DC =,于是21124CDE CFG S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△,8CFG S =△. 15.1.39★★★凸四边形ABCD 中,点N 在边CD 上BN 与AC 交于点M ,若AM CNAC CD=,且1ABC S =△,3ABD S =△,4BCD S =△,求证:点M 、N 分别为AC 与CD 的中点.解析 如图,由于BCD ABC S S >△△,延长CB 、DA 交于Q .PB MS CNDRAQ设ABQ S x =△,则34ABQ QBD ABCBCD S S QB x x S BC S +====△△△△,故1x =,CB BQ =. 又作MR CD ∥,R 在AD 上,连结RN 、RC ,RC 与MN 交于S ,则CN AM ARCD AC AD==,故AC RN ∥,四边形MRNC 为平行四边形,S 为RC 的中点.于是BS 为CQR △的中位线,故MN 为ACD △之中位线,故M 、N 分别为AC 、CD 的中点. 15.1.40★★已知,90ABC ∠=︒,D 在AC 上,且AB BD ADBC BD CD+=+,求证:2ABC BD S =△. 解析 如图,设AD a =,CD b =,C θ∠=,则由条件知AB CD BD CD AD BC ⋅+⋅=⋅θBCb DaAAD BD +⋅,此即()()cos ()sin b a BD a a b b a b θθ-=⋅+-+,于是2222()()(cos sin )b a BD a b a b θθ-=+- 22222()(cos sin 2cos sin )a b a b ab θθθθ=++-,注意cos a θ即D 至AB 距离,sin b θ即D 至BC 距离,故有22222cos sin a b BD θθ+=,代入上式,有2222[()()]2()cos sin a b a b BD ab a b θθ+--=+,即2211()cos sin 22ABC BD a b AB BC S θθ=+⋅=⋅=△.15.1.41★★点K 、M 分别是凸四边形ABCD 的边AB 、CD 的中点,点L 、N 分别在BC 、AD 上使四边形KLMN 为平行四边形,证明:2ABCDABCD S S =四边形.解析 如图,2KLMNKML SS =△.NN'A K BLL'CMD当AD BC ∥时,MK 为中位线,于是22KML h S MK =⋅△,h 为AD 至BC 距离,此正是12ABCD S 四边形,于是2KLMNABCD S S =四边形.若AD 与BC 不平行,设AD 、BC 中点分别为N '、L ',四边形N KL M ''亦为平行四边形,NL 、N L ''的中点都是KM 之中点,若N 与N '不重合,则L 与L '也不重合（否则LN 、LN '的中点不是同一点）,因此N L ''与NL 相互平分,NN LL ''∥,即AD BC ∥,与AD 、BC 不平行矛盾.所以L 、N 是BC 、AD 的中点,此时易证2KLMNABCD S S =四边形.15.1.42★★已知ABCD 中,E 、F 分别在BC 、CD 上,P 、Q 、R 分别为AE 、EF 、AF 的中点,求证:BP 、CQ 、DR 三线共点.解析 如图,设BP 、DR 延长后交于O ,如能证明OC 平分EF ,则BP 、CQ 、DR 即共点.CEBPQF O R DA易知12AOD BOC ABCDAOB COD S S SS S +==+△△△△,又BOE AOB S S =△,AOD DOF S S =△△, 于是,1122BOC ABCDBOE AOD ABCDAOB DOF FOC S SS S SS S S =--=--=△△△△△△,故结论成立.。
(中考类)初中数学竞赛讲座精讲与练习题之精讲篇(一)
基础知识1．面积公式由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式．它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用．设△ABC ，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，a h 为a 的高，R 、r 分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，)(21c b a p ++=．则△ABC 的面积有如下公式：（1）a ABC ah S 21=∆；（2）A bc S ABCsin 21=∆ （3）))()((c p b p a p p S ABC ---=∆（4）pr c b a r S ABC =++=∆)(21（5）Rabc S ABC 4=∆（6）C B A R S ABC sin sin sin 22=∆（7）)sin(2sin sin 2C B CB a S ABC +=∆ （8）)(21a cb r S a ABC -+=∆ （9）)2sin 2sin 2(sin 212C B A R S ABC++=∆ 2．面积定理（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和； （2）两个全等形的面积相等；（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；（5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；（6）共边比例定理：若△PAB 和△QAB 的公共边AB 所在直线与直线PQ 交于M ，则QM PM S S Q AB PAB ::=∆∆；（7）共角比例定理：在△ABC 和△C B A '''中，若A A '∠=∠或︒='∠+∠180A A ，则C A B A ACAB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆． 3．张角定理：如图，由P 点出发的三条射线PC PB PA ,,，设α=∠APC ，β=∠CPB ，︒<+=∠180βαAPB ，则C B A ,,三点共线的充要条件是：PCPA PB )sin(sin sin βαβα+=+．例题分析例1．梯形ABCD 的对角线BD AC ,相交于O ，且m S AOB =∆，n S COD =∆，求ABCD S 例2．在凸五边形ABCDE 中，设1=====∆∆∆∆∆EAB D EA CD E BCD ABC S S S S S ，求此五边形的面积．例3．G 是△ABC 内一点，连结CG BG AG ,,并延长与AB CA BC ,,分别交于F E D ,,，△AGF 、△BGF 、△BGD 的面积分别为40，30，35，求△ABC 的面积．例4．R Q P ,,分别是△ABC 的边BC AB ,和CA 上的点，且1====RC QR PQ BP ，求△ABC 的面积的最大值．例5．过△ABC 内一点引三边的平行线DE ∥BC ，FG ∥CA ，HI ∥AB ，点I H G F E D ,,,,,都在△ABC 的边上，1S 表示六边形DGHEFI 的面积，2S 表示 △ABC的面积．求证：2132S S ≥．例6．在直角△ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，过△ABD 的内心与△ACD 的内心的直线分别交边AB 和AC 于K 和L ，△ABC 和△AKL 的面积分别记为S 和T ．求证：T S 2≥．例7．锐角三角形ABC 中，角A 等分线与三角形的外接圆交于一点1A ，点1B 、1C 与此类似，直线1AA 与B 、C 两角的外角平分线将于一点0A ，点0B 、0C 与此类似．求证：（1）三角形000C B A 的面积是六边形111CB BA AC 的面积的二倍； （2）三角形000C B A 的面积至少是三角形ABC 的四倍．例8．在△ABC 中，R Q P ,,将其周长三等分，且Q P ,在边AB 上，求证：92>∆∆ABCPQR S S ． 例9．在锐角△ABC 的边BC 边上有两点E 、F ，满足CAF BAE ∠=∠，作AB FM ⊥，AC FM ⊥（N M ,是垂足），延长AE 交△ABC 的外接圆于点D ，证明四边形AMDN 与△ABC 的面积相等． 三．面积的等积变换等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证（解）题．例10．凸六边形ABCDEF 内接于⊙O ，且13+===DC BC AB ，1===FA EF DE ，求此六边形的面积．例11．已知ABC ∆的三边c b a >>，现在AC 上取AB B A ='，在BA 延长线上截取BC C B ='，在CB 上截取CA A C ='，求证：C B A ABC S S '''∆∆>．例12．C B A '''∆在ABC ∆内，且ABC ∆∽C B A '''∆，求征：ABC AB C CA B BC A S S S S ∆'∆'∆'∆=++ 例13．在ABC ∆的三边AB CA BC ,,上分别取点F E D ,,，使EA CE DC BD 3,3==，FB AF 3=，连CF BE AD ,,相交得三角形PQR ，已知三角形ABC 的面积为13，求三角形PQR 的面积．例14．E 为圆内接四边形ABCD 的AB 边的中点，AD EF ⊥于F ，BC EH ⊥于H ，CD EG ⊥于G ，求证：EF 平分FH ．例15．已知边长为,,,c b a 的ABC ∆，过其内心I 任作一直线分别交AC AB ,于N M ,点，求证：bca IN MI +≤． 例16．正△PQR ≅正△R Q P '''，1a AB =，1b BC =，2a CD =，2b DE =，3a EF =，3b FA =．求证：232221232221b b b a a a ++=++．例17．在正ABC ∆内任取一点O ，设O 点关于三边AB CA BC ,,的对称点分别为C B A ''',,，则C C B B A A ''',,相交于一点P ．例18．已知CE AC ,是正六边形ABCDEF 的两条对角线，点N M ,分别内分ACCE ，且使k CECNAC AM ==，如果N M B ,,三点共线，试求k 的值． 例19．设在凸四边形ABCD 中，直线CD 以AB 为直径的圆相切，求证：当且仅当BC ∥AD 时，直线AB 与以CD 为直径的圆相切．训练题1．设ABC ∆的面积为102cm ，F E D ,,分别是CA BC AB ,,边上的点，且,3,2cm DB cm AD ==若DBEF ABE S S =∆，求ABE ∆的面积．2．过ABC ∆内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将ABC ∆分成六部份，其中，三部份为三角形，其面积为321,,S S S ，求三角形ABC ∆的面积．3．在ABC ∆的三边CA BC AB ,,上分别取不与端点重合的三点L K M ,,，求证：AML ∆，CLK BKM ∆∆,中至少有一个的面积不大于ABC ∆的面积的41．4．锐角ABC ∆的顶角A 的平分线交BC 边于L ，又交三角形的外接圆于N ，过L 作AB 和AC 边的垂线LK 和LM ,垂足是M K ,，求证：四边形AKNM 的面积等于ABC ∆的 面积．5．在等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上取一点D ，使BC DC 31=，作ADBE ⊥交AC 于E ，求证：EC AE =．6．三条直线n m l ,,互相平行，n l ,在m 的两侧，且m l ,间的距离为2，n m ,间的距离为1，若正ABC ∆的三个顶点分别在n m l ,,上，求正ABC ∆的边长． 7．已知321P P P ∆及其内任一点P ，直线P P i 分别交对边于i Q （3,2,1=i ），证明：在332211,,PQ P P PQ P P PQ P P 这三个值中，至少有一个不大于2，并且至少有一个不小于2．8．点D 和E 分别在ABC ∆的边AB 和BC 上，点K 和M 将线段DE 分为三等分，直线BK 和BM 分别与边AC 相交于点T 和P ，证明：AC TP 31≤．9．已知P 是ABC ∆内一点，延长CP BP AP ,,分别交对边于C B A ''',,，其中x AP =，w C P B P A P z CP y BP ='='='==,,，且3,23==++w z y x ，求xyz 之值． 10．过点P 作四条射线与直线l l ',分别交于D C B A ,,,和D C B A '''',,,，求证：CB D A DC B A BC AD CD AB ''⋅''''⋅''=⋅⋅． 11．四边形ABCD 的两对对边的延长线分别交L K ,，过L K ,作直线与对角线BD AC ,的延长线分别F G ,，求证：KGLGKFLF=． 12．G 为ABC ∆的重心，过G 作直线交AC AB ,于F E ,，求证：GF EG 2≤．同余式与不定方程同余式和不定方程是数论中古老而富有魅力的内容.考虑数学竞赛的需要,下面介绍有关的基本内容.1. 同余式及其应用定义:设a、b、m为整数（m＞0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余.记为或一切整数n可以按照某个自然数m作为除数的余数进行分类，即n=pm+r （r=0，1，…，m-1），恰好m个数类.于是同余的概念可理解为,若对n1、n2，有n1=q1m+r，n2=q2m+r，那么n1、n2对模m的同余，即它们用m除所得的余数相等.利用整数的剩余类表示,可以证明同余式的下述简单性质:(1) 若,则m|(b-a).反过来,若m|(b-a),则;(2) 如果a=km+b(k为整数),则;(3) 每个整数恰与0,1,…，m-1，这m个整数中的某一个对模m 同余；(4) 同余关系是一种等价关系：①反身性；②对称性，则，反之亦然.③传递性，，则；（5）如果，，则①；②特别地应用同余式的上述性质，可以解决许多有关整数的问题.例1（1898年匈牙利奥林匹克竞赛题）求使2n+1能被3整除的一切自然数n.解∵∴则2n+1∴当n为奇数时，2n+1能被3整除；当n为偶数时，2n+1不能被3整除.例2 求2999最后两位数码.解考虑用100除2999所得的余数.∵∴又∴∴∴2999的最后两位数字为88.例3 求证31980+41981能被5整除.证明∵∴∴∴2．不定方程不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解.(1) 不定方程解的判定如果方程的两端对同一个模m(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解.例4 证明方程2x2-5y2=7无整数解.证明∵2x2=5y2+7，显然y为奇数.①若x为偶数，则∴∵方程两边对同一整数8的余数不等，∴x不能为偶数.②若x为奇数，则但5y2+7∴x不能为奇数.因则原方程无整数解.说明:用整数的整除性来判定方程有无整数解,是我们解答这类问题的常用方法.例5 (第14届美国数学邀请赛题)不存在整数x,y使方程①证明如果有整数x，y使方程①成立，则=知（2x+3y2）+5能被17整除.设2x+3y=17n+a，其中a是0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8中的某个数，但是这时（2x+3y）2+5=（17n）2+34na+（a2+5）=a2+5（mod17），而a2+5被17整除得的余数分别是5，6，9，14，4，13，7，3，1，即在任何情况下（2x+3y）2+5都不能被17整除，这与它能被17整除矛盾.故不存在整数x，y使①成立.例7 （第33届美国数学竞赛题）满足方程x2+y2=x3的正整数对（x，y）的个数是（）.（A）0 （B）1（C）2（D）无限个（E）上述结论都不对解由x2+y2=x3得y2=x2（x-1），所以只要x-1为自然数的平方，则方程必有正整数解.令x-1=k2(k为自然数),则为方程的一组通解.由于自然数有无限多个,故满足方程的正整数对(x,y)有无限多个,应选(D).说明:可用写出方程的一组通解的方法,判定方程有无数个解.(2) 不定方程的解法不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路.例6 求方程的整数解.解(配方法)原方程配方得(x-2y)2+y2=132.在勾股数中,最大的一个为13的只有一组即5,12,13,因此有8对整数的平方和等于132即(5,12),(12,5),(-5,-12),(-12,-5),(5-,12),(12,-5),(-5,12),(-12,5).故原方程组的解只能是下面的八个方程组的解解得例7 (原民主德国1982年中学生竞赛题)已知两个自然数b和c及素数a满足方程a2+b2=c2.证明:这时有a＜b及b+1=c.证明（因式分解法）∵a2+b2=c2，∴a2=（c-b）（c+b），又∵a为素数，∴c-b=1，且c+b=a2.于是得c=b+1及a2=b+c=2b+1＜3b，即＜.而a≣3,∴≢1，∴＜1.∴a＜b.例9（第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程的正整数（a，b，c）的组数是（）.（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （E）4解（质因数分解法）由方程ac+bc=23得（a+b）c=23=1³23.∵a，b，c为正整数，∴c=1且a+b=23.将c和a=23-b代入方程ab+bc=44得(23-b)b+b=44,即(b-2)(b-22)=0,∴b1=2,b2=22.从而得a1=21,a2=1.故满足联立方程的正整数组(a,b,c)有两个,即(21,2,1)和(1,22,1),应选(C).例10求不定方程2(x+y)=xy+7的整数解.解由(y-2)x=2y-7,得分离整数部分得由x为整数知y-2是3的因数,∴y-2=±1，±3，∴x=3，5，±1.∴方程整数解为例11 求方程x+y=x2-xy+y2的整数解.解（不等式法）方程有整数解必须△=（y+1）2-4（y2-y）≣0，解得≢y≢.满足这个不等式的整数只有y=0，1，2.当y=0时，由原方程可得x=0或x=1；当y=1时，由原方程可得x=2或0；当y=2时，由原方程可得x=1或2.所以方程有整数解最后我们来看两个分式和根式不定方程的例子.例12 求满足方程且使y是最大的正整数解（x，y）.解将原方程变形得由此式可知，只有12-x是正的且最小时，y才能取大值.又12-x应是144的约数，所以，12-x=1，x=11，这时y=132.故满足题设的方程的正整数解为（x，y）=（11，132）.例13（第35届美国中学生数学竞赛题）满足0＜x＜y及的不同的整数对（x，y）的个数是（）.（A）0 （B）1 （C）3 （D）4 （E）7解法1 根据题意知，0＜x＜1984，由得当且仅当1984x是完全平方数时，y是整数.而1984=26²31，故当且仅当x具有31t2形式时，1984x是完全平方数.∵x＜1984，∵1≢t≢7.当t=1，2，3时，得整数对分别为（31，1519）、（124，1116）和（279，775）.当t＞3时y≢x不合题意，因此不同的整数对的个数是3，故应选（C）.解法2 ∵1984=∴由此可知：x必须具有31t2形式，y 必须具有31k2形式，并且t+k=8（t，k均为正整数）.因为0＜x＜y，所以t＜k.当t=1，k=7时得（31，1519）；t=2，k=6时得（124，1116）；当t=3，k=5时得（279，775）.因此不同整数对的个数为3.练习二十1. 选择题(1)方程x2-y2=105的正整数解有( ).（A）一组（B）二组（C）三组（D）四组(2)在0,1,2,…，50这51个整数中，能同时被2，3，4整除的有（）.（A） 3个（B）4个（C）5个（D）6个2．填空题（1）的个位数分别为_________及_________.(2)满足不等式104≢A≢105的整数A的个数是x³104+1，则x的值________.(3) 已知整数y被7除余数为5,那么y3被7除时余数为________.(4) (全俄第14届中学生数学竞赛试题)求出任何一组满足方程x2-51y2=1的自然数解x和y_________.3.(第26届国际数学竞赛预选题)求三个正整数x、y、z满足.4．（1985年上海数学竞赛题）在数列4，8，17，77，97，106，125，238中相邻若干个数之和是3的倍数，而不是9的倍数的数组共有多少组？5．求的整数解.6．求证可被37整除.7．（全俄1986年数学竞赛题）求满足条件的整数x，y的所有可能的值.8．（1985年上海初中数学竞赛题）已知直角三角形的两直角边长分别为l厘米、m厘米，斜边长为n厘米，且l，m，n均为正整数，l为质数.证明：2（l+m+n）是完全平方数.9.(1988年全国初中数学竞赛题)如果p、q、、都是整数，并且p＞1，q＞1，试求p+q的值.练习二十1.D.C.2.(1)9及1. (2)9. (3)4.(4)原方程可变形为x2=(7y+1)2+2y(y-7),令y=7可得x=50.3.不妨设x≢y≢z,则,故x≢3.又有故x≣2.若x=2,则,故y≢6.又有,故y≣4.若y=4,则z=20.若y=5,则z=10.若y=6,则z无整数解.若x=3,类似可以确定3≢y≢4,y=3或4,z 都不能是整数.4.可仿例2解.5.先求出,然后将方程变形为y=5+x-2要使y为整数,5x-1应是完全平方数,…,解得6.8888≡8(mod37),∴88882222≡82(mod37).7777≡7(mod37),77773333≡73(mod37),88882222+77773333≡(82+73)(mod37),而82+73=407,37|407,∴37|N.7.简解:原方程变形为3x2-(3y+7)x+3y2-7y=0由关于x的二次方程有解的条件△≣0及y为整数可得0≢y≢5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程仅有两组解(4,5)、(5,4).8.∵l2+m2=n2,∴l2=(n+m)(n-m).∵l为质数,且n+m＞n-m＞0,∴n+m=l2,n-m=1.于是l2=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l2-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l2+2l+1=(l+1)2.即2(l+m+1)是完全平方数.9.易知p≠q,不妨设p＞q.令=n,则m＞n由此可得不定方程(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.几何解题途径的探求方法一．充分地展开想象想象力，就是人们平常说的形象思维或直觉思维能力。
竞赛讲座——简单的面积问题
竞赛讲座——简单的面积问题几何起源于对图形的面积的测量，面积是平面几何中一个重要的概念，求图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一．平面几何图形形状不同，繁简不一，计算图形的面积有以下常用方法：1．和差法把图形面积用常见图形面积的和差表示，通过常规图形面积公式计算．2．运动法有时直接求图形面积有困难，可通过平移、旋转、割补等方式，将图形中的部分图形运动起来，把图形转化为容易观察或解决的形状，就可在动中求解．3．等积变形法即找出与所求图形面积相等或有关联的特殊图形，通过代换转化求图形的面积．例题【例1】(1)如图a，边长为3cm，与5cm的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是cm2(π取3)．( “希望杯”邀请赛试题)(2)如果图b中4个圆的半径都为a，那么阴影部分的面积为．(江苏省竞赛题)思路点拨通过连结或补形，把图形进行分割和重新组合，变不规则图形为规则图形．(1)连AC、BF．S是由ABCD围成阴影面积的6倍．(2)连AD，BC，CD，则阴影注：促使面积比与对应线段比之间的相互转化．是求图形面积的一个常用技巧，解题的关键是加强对图形结构的分析，寻找，共高或共底的三角形．【例2】如图，梯形ABCD被对角线分为4个小三角形，已知ΔAOB和ΔBOC的面积分别为25cm2和35cm2，那么梯形的面积是m2．A．144 B．140 C．160 D．无法确定( “五羊杯”邀请赛试题)思路点拨图形隐含多对面积相等的三角形，要求梯形的面积只需求ΔDOC的面积，解题的关键是通过线段的比把三角形面积联系起来．【例3】根据图中绘出的小三角形面积的数据，求△ABC的面积．(新加坡数学竞赛题) 思路点拨设S△AGE＝x，S△BFG=y，建立关x，y的方程组，通过代数化解题．【例4】如图，△ABC的面积为1，D、E为AC的三等分点，F、G为BC的三等分点．求：(1)四边形PECF的面积；(2)四边形PFGN的面积．思路点拨(1)连CP，设S△FCF=x，S△FCE=y，可建立关于x，y的方程组，解题的关键是把相关图形的面积用于x，y的代数式表示，并利用等分点导出隐含图形的面积；(2)连NC，仿(1)，先求出△BNC的面积，再得出△BNG面积，进而可求四边形PFGN的面积．注：求一些关系复杂的图形面积，代数化是一个重要技巧，利用代数化，能清晰明朗地表示图形面积之间的关系，从而可以化解或降低问题的难度．【例5】在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，在2×2方格纸中，以格点连线为边作面积为2的多边形．请尽可能多地找出答案，在寻找答案的过程中你能发现什么规律吗?思路点拨本例是一道开放式探索性问题，若没有规律性的认识，则难免遗漏或重复，适当的方法是：选择一些图形作基本图形，再通过基本图形的组合尽可能多地找出解答．学力训练1．如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，图中阴影部分为红色．若每个小长方形的面积都是1，则红色的面积是．(山西省中考题)2．如图，4个半径为lcm的圆相靠着放在一个正方形内，则阴影部分的面积是cm2(精确到0．01)．3．如图，在长方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，若ABDF 的面积为6平方厘米，则长方形ABCD 的面积是 平方厘米．4．如图，若长方形APHM 、BNHP 、CQHN 的面积分别为7、4、6，则阴影部分的面积 是 ．(“五羊杯”竞赛题)5．如图，一个大长方形被两条线段AB 、CD 分成四个小长方形，如果其中图形I 、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8，6，5，那么阴影部分的面积为( )． A ．29B ．27C ．310D ．815 (江苏省竞赛题)6．如图．正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形(阴影部分)的面积为( )．A ．22a a -πB ．222a a -π C ．2221a a -π D ．2241a a π-（广东省中考题)7．如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别在三边上，F 是AC 的中点，AD 、BE 、CF 交于一点G ，BD ＝2DC ， S △GEC ＝3，S △GDC ＝4，则△ABC 的面积是( )．A ．25B ．30C ．35D ．40(2002年湖北省荆州市中考题)8．如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，AE 、DE 、BF 、AF 把正方形分成8小块，各小块的面积分别为S 1、S 2、…S 8，试比较S 3与S 2+S 7+S 8的大小，并说明理由．(江苏省竞赛题)9．将△ABC 分成面积相等的5部分，并指出面积相等的是哪5部分(只在图上保留分割痕迹和必要的标注，不写作法)．10．2002年8月，在北京召开了国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，则每个直角三角形的两条边的立方和等于 ．11．如图，在长方形ABCD 中，DM ：MC=2：1，AN ＝a ，NB ＝b ，DN 是以A 为圆心，a 为半径的一段圆弧，NK 是以B 为圆心，b 为半径的一段圆弧，则阴影部分的面积S 阴= ．(广西竞赛题)12．如图，ABCD 是平行四边形，E 在AB 上，F 在AD 上，S △BCE =2S △CDF ＝41S ABCD =1，则S △CEF = ．( “希望杯”邀请赛试题)13．如图，三角形ABC 的面积为1，BD ：DC ＝2：1，E 是AC 的中点，AD 与BE 相交于点P ，那么四边形PDCE 的面积为 ．(江苏省竞赛题)14．如图，点E 、F 分别是长方形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF ，CE ，设AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCD S S 长方形四边形=（ ）．(全国数学竞赛题)A ．65 B ．54 C ．43 D ．3215．如图，凸四边形AB(0中，对角线AC 、BD 相交于O 点，若三角形AOD 的面积是2， 三角形OOD 的面积是l ，三角形COB 的面积是4，则四边形ABCD 的面积是( )．A ．16 D ．15 C ．14 D ．13 ( “希望杯”邀请赛试题) 16． 如图，S △ABC ＝1，若S △BDE ＝S △DEC =S △ACE ，则S △ADE ( )． A ．51 B ．61 C ．71 D ．81 17．己如，△ABC 的面积为1，分别延长AB 、BC 、CA 到D 、E 、F ，使AB=BD ，BC=CE ，CA ＝AF ，连DE 、EF 、FD ，求△DEF 的面积．18．如图，已知长方形的面积是36平方厘米，在边AB、AD上分别取点E、F，使得AE=3EB，DF＝2AF，DE与CF的交点为O，求△FOD的面积．(第1l届“希望杯”邀请赛试题) 19．有一个正方形的花坛，现要将它分成面积相同的8块，分别种上不同颜色的花．(1)如果要求这样分成的8块的形状也相同，请你画出几种设计方案；(2)为了画出更多的设计方案，你能从中找出，—些规律吗?(3)如果要8块中的每4块形状相同，应如何设计?试尽可能精确地画出你的创意．20．如图，已知四边形ABCD面积为S，E、F为AB的三等分点，M、N为DC的三等分点．试用S的代数式表示四边形EFNM的面积．参考答案。
初中数学竞赛专题培训(22)：面积问题与面积方法
word格式-可编辑-感谢下载支持初中数学竞赛专题培训第二十二讲面积问题与面积方法几何学的产生，源于人们测量土地面积的需要．面积不仅是几何学研究的一个重要内容，而且也是用来研究几何学的一个有力工具．下面，我们把常用的一些面积公式和定理列举如下．(1)三角形的面积(i)三角形的面积公式b＋c)是半周长，r是△ABC的内切圆半径．(ii)等底等高的两个三角形面积相等．(iii)两个等底三角形的面积之比等于高之比；两个等高三角形的面积之比等于底边之比；两个三角形面积之比等于底、高乘积之比．(iv)相似三角形的面积之比等于相似比的平方．(2)梯形的面积梯形的面积等于上、下底之和与高的乘积的一半．(3)扇形面积其中r为半径，l为弧长，θ为弧l所对的圆心角的度数，α是弧度数．1．有关图形面积的计算和证明解因为CD⊥AB，AC=CB，且△ABD内接于半圆，由此可得所以，阴影部分AEFBDA的面积是例2已知凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为S1=5，S2=10，S3=6．求△ABO 的面积(图2-128)．解首先，我们证明△ABC与△ACD的面积比等于BO与DO的比．过B，D分别作AC的垂线，垂足为E，F．于是Rt△BEO由题设设S△AOB=S，则所以例3 如图2-129，AD，BE，CF交于△ABC内的一点P，并将△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．分析如果能把未知的两个小三角形的面积求出，那么△ABC 的面积即可得知．根据例1，这两个面积是不难求出的．解设未知的两个小三角形的面积为x和y，则即又即①÷②得再由②得x=56．因此S△ABC＝84＋70＋56＋35＋40＋30=315．例4 如图2-130，通过△ABC内部一点Q引平行于三角形三边的直线，这些直线分三角形为六个部分，已知三个平形四边形部分的面积为S1，S2，S3，求△ABC的面积．解为方便起见，设S△QDG=S′1，S△QIE=S′2，S△QFH=S′3，则所以同理可得从①，②，③中可以解得所以word格式-可编辑-感谢下载支持例5在一个面积为1的正方形中构造一个如图2-131所示的正方形：将单位正方形的每一条边n等分，然后将每个顶点和它相对的顶点最接近的分点连接起来．如果小正方形(图中阴影部分)的面积恰解如图2-131，过F作BC的平行线交BG于H，则∠GHF=∠CED，∠FGH=∠DCE=90°，故n2-n-90=0，所以n=10．2．利用面积解题有的平面几何问题，虽然没有直接涉及到面积，然而若灵活地运用面积知识去解答，往往会出奇制胜，事半功倍．例6 在△ABC内部或边界上任取一点P，记P到三边a，b，c 的距离依次为x，y，z．求证：ax+by+cz是一个常数．证如图2-132，连结PA， PB，PC，把△ABC分成三个小三角形，则S△ABC＝S△PAB＋S△PCB＋S△PCA所以 ax＋by＋cz=2S△ABC，即ax＋by＋cz为常数．说明若△ABC为等边三角形，则此即正三角形内一点到三边的距离和为常数，此常数是正三角形的高．例7如图2-133，设P是△ABC内任一点，AD，BE，CF是过点P且分别交边BC，CA，AB于D，E，F．求证：证首先，同例2类似，容易证明说明本例的结论很重要，在处理三角形内三条线交于一点的问题时，常常可以用这一结论去解决．例8如图2-134，已知D，E，F分别是锐角三角形ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD，BE，CF相交于点P，AP=BP=CP=6，设PD=x，PE=y，PF=z，若xy＋yz+zx=28，求xyz的值．解由上题知去分母整理得3(xy+yz＋zx)＋36(x+y＋z)＋324=xyz+6(xy＋yz＋zx)+36(x+y＋z)＋216，所以 xyz=108-3(xy＋yz＋zx)=24．练习二十二1．填空：________．(2)一个三角形的三边长都是整数，周长为8，则这个三角形的面积是________．(3)四边形ABCD中，∠A=30°，∠B=∠D=90°，AB=AD，AC=1，则四边形ABCD的面积是______．(4)梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于O．若S△ABO=p2，S△CDO=q2，则S ABCD=____．△ABC=40．若BE，CD相交于F，则S△DEF=______．2．E，F分别在矩形ABCD的边BC和CD上，若△CEF，△ABE，△ADF的面积分别是3，4，5，求△AEF的面积．3．已知点P，Q，R分别在△ABC的边AB，BC，CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，求△ABC的面积的最大值．4．在凸五边形ABCDE中，S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△DEA=S△EAB=1，CE与AD相交于F，求S△CFD．5．在直角三角形ABC中，∠A=90°，AD，AE分别是高和角平分线，且△ABE，△AED的面积分别为S1=30，S2=6，求△ADC的面积S．6．设P是△ABC内一点，AD，BE，CF过点P并且交边BC，CA，AB于点D，E，F．求证：7．已知△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，AM为BC 边上的中线，与DE相交于N，求证：DN=NE．。
竞赛讲座 07面积问题和面积方法
竞赛讲座07--面积问题和面积方法基础知识1．面积公式由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式．它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用．设△ABC ，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，a h 为a 的高，R 、r 分别为△ABC 外接圆、内切圆的半径，)(21c b a p ++=．则△ABC 的面积有如下公式： （1）a ABC ah S 21=∆； （2）A bc S ABC sin 21=∆ （3）))()((c p b p a p p S ABC ---=∆ （4）pr c b a r S ABC =++=∆)(21 （5）Rabc S ABC 4=∆ （6）C B A R S ABC sin sin sin 22=∆（7）)sin(2sin sin 2C B C B a S ABC +=∆ （8）)(21a c b r S a ABC -+=∆ （9）)2sin 2sin 2(sin 212C B A R S ABC ++=∆ 2．面积定理（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和；（2）两个全等形的面积相等；（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；（5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；（6）共边比例定理：若△PAB 和△QAB 的公共边AB 所在直线与直线PQ 交于M ，则QM PM S S QAB PAB ::=∆∆；（7）共角比例定理：在△ABC 和△C B A '''中，若A A '∠=∠或︒='∠+∠180A A ，则CA B A AC AB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆． 3．张角定理：如图，由P 点出发的三条射线PC PB PA ,,，设α=∠APC ，β=∠CPB ，︒<+=∠180βαAPB ，则C B A ,,三点共线的充要条件是：PCPA PB )sin(sin sin βαβα+=+． 例题分析例1．梯形ABCD 的对角线BD AC ,相交于O ，且m S AOB =∆，n S COD =∆，求ABCD S 例2．在凸五边形ABCDE 中，设1=====∆∆∆∆∆EAB DEA CDE BCD ABC S S S S S ，求此五边形的面积．例3．G 是△ABC 内一点，连结CG BG AG ,,并延长与AB CA BC ,,分别交于F E D ,,，△AGF 、△BGF 、△BGD 的面积分别为40，30，35，求△ABC 的面积．例4．R Q P ,,分别是△ABC 的边BC AB ,和CA 上的点，且1====RC QR PQ BP ，求△ABC 的面积的最大值．例5．过△ABC 内一点引三边的平行线DE ∥BC ，FG ∥CA ，HI ∥AB ，点I H G F E D ,,,,,都在△ABC 的边上，1S 表示六边形DGHEFI 的面积，2S 表示 △ABC 的面积．求证：2132S S ≥． 例6．在直角△ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，过△ABD 的内心与△ACD 的内心的直线分别交边AB 和AC 于K 和L ，△ABC 和△AKL 的面积分别记为S 和T ．求证：T S 2≥．例7．锐角三角形ABC 中，角A 等分线与三角形的外接圆交于一点1A ，点1B 、1C 与此类似，直线1AA 与B 、C 两角的外角平分线将于一点0A ，点0B 、0C 与此类似．求证：（1）三角形000C B A 的面积是六边形111CB BA AC 的面积的二倍；（2）三角形000C B A 的面积至少是三角形ABC 的四倍．例8．在△ABC 中，R Q P ,,将其周长三等分，且Q P ,在边AB 上，求证：92>∆∆ABC PQRS S ． 例9．在锐角△ABC 的边BC 边上有两点E 、F ，满足CAF BAE ∠=∠，作AB FM ⊥，AC FM ⊥（N M ,是垂足），延长AE 交△ABC 的外接圆于点D ，证明四边形AMDN 与△ABC 的面积相等．三．面积的等积变换等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证（解）题．例10．凸六边形ABCDEF 内接于⊙O ，且13+===DC BC AB ，1===FA EF DE ，求此六边形的面积．例11．已知ABC ∆的三边c b a >>，现在AC 上取AB B A ='，在BA 延长线上截取BC C B ='，在CB 上截取CA A C ='，求证：C B A ABC S S '''∆∆>．例12．C B A '''∆在ABC ∆内，且ABC ∆∽C B A '''∆，求征：ABC AB C CA B BC A S S S S ∆'∆'∆'∆=++ 例13．在ABC ∆的三边AB CA BC ,,上分别取点F E D ,,，使EA CE DC BD 3,3==，FB AF 3=，连CF BE AD ,,相交得三角形PQR ，已知三角形ABC 的面积为13，求三角形PQR 的面积．例14．E 为圆内接四边形ABCD 的AB 边的中点，AD EF ⊥于F ，BC EH ⊥于H ，CD EG ⊥于G ，求证：EF 平分FH ．例15．已知边长为,,,c b a 的ABC ∆，过其内心I 任作一直线分别交AC AB ,于N M ,点，求证：bc a IN MI +≤． 例16．正△PQR ≅正△R Q P '''，1a AB =，1b BC =，2a CD =，2b DE =， 3a EF =，3b FA =．求证：232221232221b b b a a a ++=++．例17．在正ABC ∆内任取一点O ，设O 点关于三边AB CA BC ,,的对称点分别为C B A ''',,，则C C B B A A ''',,相交于一点P ．例18．已知CE AC ,是正六边形ABCDEF 的两条对角线，点N M ,分别内分ACCE ，且使k CECN AC AM ==，如果N M B ,,三点共线，试求k 的值． 例19．设在凸四边形ABCD 中，直线CD 以AB 为直径的圆相切，求证：当且仅当BC ∥AD 时，直线AB 与以CD 为直径的圆相切． 训练题1．设A B C ∆的面积为102cm ，F E D ,,分别是CA BC AB ,,边上的点，且,3,2cm DB cm AD ==若DBEF ABE S S =∆，求ABE ∆的面积．2．过ABC ∆内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将ABC ∆分成六部份，其中，三部份为三角形，其面积为321,,S S S ，求三角形ABC ∆的面积．3．在ABC ∆的三边CA BC AB ,,上分别取不与端点重合的三点L K M ,,，求证：AML ∆，CLK BKM ∆∆,中至少有一个的面积不大于ABC ∆的面积的41． 4．锐角ABC ∆的顶角A 的平分线交BC 边于L ，又交三角形的外接圆于N ，过L 作AB 和AC 边的垂线LK 和LM ,垂足是M K ,，求证：四边形AKNM 的面积等于ABC ∆的 面积． 5．在等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上取一点D ，使BC DC 31=，作AD BE ⊥交AC 于E ，求证：EC AE =．6．三条直线n m l ,,互相平行，n l ,在m 的两侧，且m l ,间的距离为2，n m ,间的距离为1，若正ABC ∆的三个顶点分别在n m l ,,上，求正ABC ∆的边长．7．已知321P P P ∆及其内任一点P ，直线P P i 分别交对边于i Q （3,2,1=i ），证明：在332211,,PQ P P PQ P P PQ P P 这三个值中，至少有一个不大于2，并且至少有一个不小于2． 8．点D 和E 分别在ABC ∆的边AB 和BC 上，点K 和M 将线段DE 分为三等分，直线BK 和BM 分别与边AC 相交于点T 和P ，证明：AC TP 31≤． 9．已知P 是ABC ∆内一点，延长CP BP AP ,,分别交对边于C B A ''',,，其中x AP =，w C P B P A P z CP y BP ='='='==,,，且3,23==++w z y x ，求xyz 之值．10．过点P 作四条射线与直线l l ',分别交于D C B A ,,,和D C B A '''',,,，求证：C BD A D C B A BC AD CD AB ''⋅''''⋅''=⋅⋅． 11．四边形ABCD 的两对对边的延长线分别交L K ,，过L K ,作直线与对角线BD AC ,的延长线分别F G ,，求证：KGLG KF LF =． 12．G 为ABC ∆的重心，过G 作直线交AC AB ,于F E ,，求证：GF EG 2≤．。
(完整版)初中数学培优竞赛讲座第23讲__简单的面积问题
第二十三讲简单的面积问题几何起源于对图形的面积的测量，面积是平面几何中一个重要的概念，求图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一．平面几何图形形状不同，繁简不一，计算图形的面积有以下常用方法：1．和差法把图形面积用常见图形面积的和差表示，通过常规图形面积公式计算．2．运动法有时直接求图形面积有困难，可通过平移、旋转、割补等方式，将图形中的部分图形运动起来，把图形转化为容易观察或解决的形状，就可在动中求解．3．等积变形法即找出与所求图形面积相等或有关联的特殊图形，通过代换转化求图形的面积．例题【例1】(1)如图a，边长为3cm，与5cm的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是cm2(π取3)．( “希望杯”邀请赛试题)(2)如果图b中4个圆的半径都为a，那么阴影部分的面积为．(江苏省竞赛题)思路点拨通过连结或补形，把图形进行分割和重新组合，变不规则图形为规则图形．(1)连AC、BF．S是由ABCD围成阴影面积的6倍．(2)连AD，BC，CD，则阴影注：促使面积比与对应线段比之间的相互转化．是求图形面积的一个常用技巧，解题的关键是加强对图形结构的分析，寻找，共高或共底的三角形．【例2】如图，梯形ABCD被对角线分为4个小三角形，已知ΔAOB和ΔBOC的面积分别为25cm2和35cm2，那么梯形的面积是m2．A．144 B．140 C．160 D．无法确定( “五羊杯”邀请赛试题)思路点拨图形隐含多对面积相等的三角形，要求梯形的面积只需求ΔDOC的面积，解题的关键是通过线段的比把三角形面积联系起来．【例3】根据图中绘出的小三角形面积的数据，求△ABC的面积．(新加坡数学竞赛题) 思路点拨设S△AGE＝x，S△BFG=y，建立关x，y的方程组，通过代数化解题．【例4】如图，△ABC的面积为1，D、E为AC的三等分点，F、G为BC的三等分点．求：(1)四边形PECF的面积；(2)四边形PFGN的面积．思路点拨(1)连CP ，设S △FCF =x ，S △FCE =y ，可建立关于x ，y 的方程组，解题的关键是把相关图形的面积用于x ，y 的代数式表示，并利用等分点导出隐含图形的面积；(2)连NC ，仿(1)，先求出△BNC 的面积，再得出△BNG 面积，进而可求四边形PFGN 的面积．注：求一些关系复杂的图形面积，代数化是一个重要技巧，利用代数化，能清晰明朗地表示图形面积之间的关系，从而可以化解或降低问题的难度．【例5】在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，在2×2方格纸中，以格点连线为边作面积为2的多边形．请尽可能多地找出答案，在寻找答案的过程中你能发现什么规律吗?思路点拨本例是一道开放式探索性问题，若没有规律性的认识，则难免遗漏或重复，适当的方法是：选择一些图形作基本图形，再通过基本图形的组合尽可能多地找出解答．学力训练1．如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，图中阴影部分为红色．若每个小长方形的面积都是1，则红色的面积是．(山西省中考题)2．如图，4个半径为lcm 的圆相靠着放在一个正方形内，则阴影部分的面积是cm 2(精确到0．01)．3．如图，在长方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，若ABDF 的面积为6平方厘米，则长方形ABCD 的面积是平方厘米．4．如图，若长方形APHM 、BNHP 、CQHN 的面积分别为7、4、6，则阴影部分的面积是．(“五羊杯”竞赛题)5．如图，一个大长方形被两条线段AB 、CD 分成四个小长方形，如果其中图形I 、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8，6，5，那么阴影部分的面积为( )．(江苏省竞赛题) A ．29B ．27C ．310D ．8156．如图．正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形(阴影部分)的面积为()．A ．22aaB ．222aa C ．2221aaD ．2241aa（广东省中考题)7．如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别在三边上，F 是AC 的中点，AD 、BE 、CF 交于一点G ，BD ＝2DC ，S △GEC ＝3，S △GDC ＝4，则△ABC 的面积是()．(2002年湖北省荆州市中考题)A ．25B ．30C ．35D ．408．如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，AE 、DE 、BF 、AF 把正方形分成8小块，各小块的面积分别为S 1、S 2、…S 8，试比较S 3与S 2+S 7+S 8的大小，并说明理由．(江苏省竞赛题)9．将△ABC 分成面积相等的5部分，并指出面积相等的是哪5部分(只在图上保留分割痕迹和必要的标注，不写作法)．10．2002年8月，在北京召开了国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，则每个直角三角形的两条边的立方和等于．11．如图，在长方形ABCD 中，DM ：MC=2：1，AN ＝a ，NB ＝b ，DN 是以A 为圆心，a 为半径的一段圆弧，NK 是以B 为圆心，b 为半径的一段圆弧，则阴影部分的面积S 阴=．(广西竞赛题)12．如图，ABCD 是平行四边形，E 在AB 上，F 在AD 上，S △BCE =2S △CDF ＝41S ABCD =1，则S △CEF =．( “希望杯”邀请赛试题)13．如图，三角形ABC 的面积为1，BD ：DC ＝2：1，E 是AC 的中点，AD 与BE 相交于点P ，那么四边形PDCE 的面积为．(江苏省竞赛题)14．如图，点E 、F 分别是长方形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF ，CE ，设AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCD S S 长方形四边形=（）．(全国数学竞赛题)A ．65B ．54C ．43D ．3215．如图，凸四边形AB(0中，对角线AC 、BD 相交于O 点，若三角形AOD 的面积是2，三角形OOD 的面积是l ，三角形COB 的面积是4，则四边形ABCD 的面积是()．A ．16D ．15C ．14D ．13( “希望杯”邀请赛试题)16．如图，S △ABC ＝1，若S △BDE ＝S △DEC =S △ACE ，则S △ADE ( )．A ．51B ．61C ．71D ．8117．己如，△ABC 的面积为1，分别延长AB 、BC 、CA 到D 、E 、F ，使AB=BD ，BC=CE ，CA ＝AF ，连DE 、EF 、FD ，求△DEF 的面积．18．如图，已知长方形的面积是36平方厘米，在边AB 、AD 上分别取点E 、F ，使得AE=3EB ，DF ＝2AF ，DE 与CF 的交点为O ，求△FOD 的面积．(第1l 届“希望杯”邀请赛试题)19．有一个正方形的花坛，现要将它分成面积相同的8块，分别种上不同颜色的花．(1)如果要求这样分成的8块的形状也相同，请你画出几种设计方案；(2)为了画出更多的设计方案，你能从中找出，—些规律吗?(3)如果要8块中的每4块形状相同，应如何设计?试尽可能精确地画出你的创意．20．如图，已知四边形ABCD 面积为S ，E 、F 为AB 的三等分点，M 、N 为DC 的三等分点．试用S 的代数式表示四边形EFNM 的面积．参考答案。
初中数学竞赛专题选讲-面积法
初中数学竞赛专题选讲面积法一、内容提要1. 因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换。
运用面积公式及有关面积性质定理解答几何题是常用的方法，简称面积法。
2. 面积公式（略）3. 两个三角形的面积比定理① 等高（底）的两个三角形的面积比，等于它们对应的底（高）的比 ② 有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的乘积的比③ 相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方④ 有公共边的两个三角形面积的比等于它们的第三顶点连线被公共边分成的两条线段的比（内分比或外分比）。
如图△ABC 和△ADC 有公共边第三顶点连线BD 被公共边AC内分或外分于点M ，则MDBM S ADC ABC ＝△△S外分定理④是以公共边为底，面积的比等于它们的对应高的比换成对应线段的比二、例题例1. 求证有一个30度角的菱形，边长是两条对角线的比例中项已知：菱形ABCD 中， ∠DAC ＝ 求证：AB 2＝AC ×BD证明：作高DE ，∵∠DAE ＝30∴DE ＝21AD ＝21AB S 菱形ABCD ＝AB ×DE ＝21AB 2S 菱形ABCD ＝AC ×BD ， ∴AB 2＝AC ×BDDC B C A C例2. 求证：等边三角形内任一点到各边的距离的和是一个定值已知：△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ，D 是形内任一点，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，DG ⊥AB ，E ，F ，G 是垂足求证：DE ＋DF ＋DG 是一个定值证明：连结DA ，DB ，DC ，设边长为a,S △ABC ＝S △DBC ＋S △DCA ＋S △DAB21ah a ＝21a （DE ＋DF ＋DG ） ∴DE ＋DF ＋DG ＝h a∵等边三角形的高h a 是一个定值， ∴DE ＋DF ＋DG 是一个定值本题可推广到任意正n 边形,其定值是边心距的n 倍例3. 已知：△ABC 中，31===CA CF BC BE AB AD 求：ABCDEF S △△S 的值 解：∵△ADF 和△ABC 有公共角A∴ABC ADF S △△S ＝AC AB AF AD ⋅⋅＝AC AB AC 32AB 31⋅⋅＝92， 同理92S ABC BED ＝△△S ， ABC CFE S S △△＝92， ∴ABC DEF S △△S ＝31 （本题可推广到：当m AB AD 1=，n BC BE 1=，=CA CF p 1时， ABCDEF S △△S ＝mnp np mp mn p n m mnp ---+++） 例4. 如图Rt △ABC 被斜边上的高CD 和直角平分线CE 分成3个三角形，已知其中两个面积的值标在图中，求第三个三角形的面积x 。
初中数学竞赛 知识点和真题 第22讲 面积问题和面积法
A第22讲 面积问题和面积法可以用一次的想法是一个诀窍，如果它可以用两次以上，那它就成为一种方法了. ——G.波利亚知识方法扫描面积问题指用面积公式计算常规的平面图形的面积，且能用割补法和等积变形求较复杂图形的面积。
面积法通指运用面积关系求解一些几何题甚至代数问题。
1．要熟练掌握平面图形的面积公式，特别是三角形的面积公式，如① S=12ah a ； ② S=12absinC ； ③S=1pr ； ④ ；⑤ S=4abc R。
以上各式中，三角形三边为a ，b ，c ；h a 是BC 边上的高；p=12(a+b+c)是半周长，R 和r 分别是外接圆和内切圆半径。
2．掌握面积与线段之间的下列重要的关系：① 高（或底）相等的两个三角形的面积之比，等于底（或高）的比； ② 有一个角相等的两个三角形的面积之比，等于夹这个角的两边乘积之比；③相似三角形的面积之比，等于相似比的平方。
3．凡涉及三角形的高、垂线或角的平分线的问题，都可以尝试用面积法。
线段比与面积比的转化，是常用的技巧经典例题解析例1（2004竞赛试题）设点E 、F 、G 、H 分别在面积为1边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上，且EB AE＝FC BF ＝GD CG ＝HADH ＝k (k 是正数），求四边形EFGH 的面积。
解 连结AC ，过点G 作GP ∥AC 交DH 于点P ，有DCDG DA DP =. 由已知k HA DH GD CG ==，则1+=k k DA DH .于是有11+==k DC DG DA DP ，从而k DPDH S S DPG DHG ==∆∆. 又由于△DPG ∽△DAC ，我们有2)1(1+=∆∆k S S DAC DPG ，故2)1(+=∆∆k k S S D A CDHG 因此 D A C D H G S k k S ∆∆+=2)1(. ① 同理 B A C B E F S k k S ∆∆+=2)1(. ② ①+②得：222)1()1()()1(+=+=++=+∆∆∆∆k k S k k S S k k S S ABCD BAC DAC BEF DHG . 连结BD ，同理可证2)1(+=+∆∆k k S S CFG AEH . 所以()EFGH ABCD AEH BEF CFG DHG S S S S S S ∆∆∆∆=-+++222211(1)(1)k k k k +=-=++。
三年级数学奥数讲座面积计算
三年级数学奥数讲座面积计算三年级面积计算专题简析：我们已经学会了计算长方形、正方形的面积，知道长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。
利用这些知识我们能解决许多有关面积的问题。
在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生搬硬套公式往往不能奏效，可以添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧。
因此，敏锐的观察力和灵活的思维在解题中十分重要。
例题1 把一张长为4米，宽为3米的长方形木板，剪成一个面积最大的正方形。
这个正方形木板的面积是多少平方米？思路导航：要使剪成的正方形面积最大，就要使它的边长最长（如图），那么只能选原来的长方形宽为边长，即正方形的边长是3米。
4米3米正方形的面积：3×3=9米。
练习一例题4 有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米。
如果把它们按下图叠放，这个图形的面积是多少？思路导航：如果两个长方形没有叠放，那么它们的面积就是8×3×2=48平方厘米，现在两个长方形重叠了一部分，重叠部分是个边长3厘米的正方形，面积是3×3=9平方厘米，因此，这个图形的面积是48－9=39平方厘米。
练 习四1．两张边长8厘米的正方形纸，一部分叠在一起放在桌上（如下图），桌面被盖住的面积是多少？8884482．求下图中阴影部分的面积。
（单位：分米）3．一个长方形与一个正方形部分重合（如下图），求没有重合的阴影部分面积相差多少？（单位：厘米）例题5 一个长方形若长增加2厘米，面积就增加10平方厘米，若宽减少3厘米，面积就减少18平方厘米。
求原来长方形的面积。
3厘米2厘米从图上可以看出，长增加2厘米，面积就增加10平方厘米，说明原来长方形的宽是10÷2=5厘为；宽减少3厘米，面积就减少18平方厘米，说明原来长方形的长是18÷3=6厘米。
所以，原来长方形的面积是：6×5=30平方厘米。
练习五1．一个长方形，若长减少5厘米，面积就减少50平方厘米，若宽增加7厘米，面积就增加28平方厘米。
初中数学竞赛教程及练习之面积法附答案
面积法一、内容提翼.因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换。
运用面积公式及有关面积性质定理解答儿何题是常用的方法，简称面积法。
.面积公式（略）两个三角形的面积比定理.等高（底）的两个三角形的面积比，等于它们对应的底（高）的比.有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的乘积的比.相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方.有公共边的两个三角形面积的比等于它们的第三顶点连线被公共边分成的两条线段的比（内分比或外分比K a A如图△ABC和AADC有公共边AC,氽M内分BD o第三顶点连线BD被公共边AC/l\/\内分或外分于点M,//X.则』空十尸汶4。
‘△ADC MD定理④是以公共边为底，面积的比等于它们的对应高的比换成对应线段的比二、例题.求证有一个30度角的菱形，边长是两条对角线的比例中项已知：菱形ABCD中，ZDAC=30°求证：ab2=acxbd证明：作高DE,VZDAE=30°.•.de=L ad=L ab S22S菱形abcd=ACXBD./.AB2=ACXBD.求证：等边三角形内任一点到各边的距离的和是一个定值已知：AABC中，AB=BC=AC,D是形内任一点,DE±BC.DF_LAC,DG±AB,E, F.G是垂足求证：DE+DF+DG是一个定值证明：连结DA,DB.DC,设边长为a,‘△abc=S mbc+S adca+S adabC lah a=-J-a(DE+DF+DG)22.•.DE+DF+DGf...等边三角形的高h,是一个定值，...DE+DF+DG是一个定值本题可推广到任意正n边形，其定值是边心距的n倍f aAD BE CF 1已知：AABC 中，——=——=——=-AB BC CA 3求：萨虬的值'△ABCBE （本题可推广到:1—,---=—，m BC n 竺=顼CA p'△DEh mn P + "1 + 〃 + p - mn - nip - np )S A abc mnP如图RtAABC 被斜边上的高CD 和直角平分线CE 分成3个三角形，已知其中两个面积的值标在图中，求第三个三角形的面积X 。
三年级数学奥数讲座面积计算
数学奥数讲座，面积计算尊敬的老师、亲爱的同学们：大家好！我是今天的讲座主讲人，我将为大家带来有关面积计算的数学奥数内容。
希望通过这次讲座，能够让大家对面积的计算方法有更深入的理解，提高自己在数学方面的能力。
首先，我们先来回顾一下面积的概念。
大家知道，面积是一个物体表面所占据的空间，用来表示物体的大小。
在数学中，面积通常用单位平方来衡量，比如平方米（㎡）、平方分米（㎡dm2）、平方厘米（㎡cm2）等。
接下来，我们将介绍一些常见的图形的面积计算方法，使大家能够更好地应用在实际问题中。
首先，我们来讲解矩形的面积计算。
矩形的面积等于它的长乘以宽，即面积等于长×宽。
例如，如果一个矩形的长为8米，宽为5米，那么它的面积就是8×5=40（㎡）。
大家可以通过实际测量长和宽，或者通过已知的数据来计算矩形的面积。
其次，我们来讲解三角形的面积计算。
对于一个三角形，我们可以使用下述公式来计算其面积：面积=底×高÷2、其中，底表示三角形底边的长度，高表示从底边到与底边垂直的顶点的线段的长度。
例如，如果一个三角形的底长为6米，高为4米，那么它的面积就是6×4÷2=12（㎡）。
同样，我们可以通过实际测量得到三角形的底和高，或者通过已知的数据进行计算。
在计算多边形的面积时，我们通常采用分解法。
我们可以将多边形分解成若干个矩形和三角形，然后分别计算每个小图形的面积，最后将它们的面积相加，就能得到整个多边形的面积。
例如，在计算一个梯形的面积时，我们可以将其分解成一个矩形和两个三角形，然后计算出每个小图形的面积，最后相加。
这样，我们就能得到整个梯形的面积。
最后，我想强调面积计算的重要性。
面积是数学中一个基本的概念，它与我们的日常生活息息相关。
无论是做几何题还是应用计算面积解决实际问题，在数学学习和应用中，面积都起着重要的作用。
因此，我们要努力掌握面积计算的各种方法，做到灵活运用。
数学竞赛专题讲座1-初中三年级数学试题练习、期中期末试卷-初中数学试卷
数学竞赛专题讲座1-初中三年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数
学试卷-试卷下载
数学竞赛讲座1
用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体（如图1）。
大正方体内的对角线，，，所穿过的小正方体都是红色玻璃小正方体，其他部分都是无色透明玻璃小正方体。
小红正方体共用了401个。
问：无色透明小正方体用了多少个？
这是第七届“华杯赛”的试题。
解析：，，，四条对角线都穿过在正中央的那个小正方体，除此而外，每两条对角线没有穿过相同的小正方体。
所以每条对角线穿过
个小正方体。
这就表明大正方体的每条边由101个小正方体组成。
因此大正方体由个小正方体组成，其中无色透明的小正方体有
=-401
=
个，即用了个无色透明的小正方体。
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2020初中数学竞赛 初三集训 面积问题和面积方法专题(含答案)
2020初中数学竞赛 初三集训 面积问题与面积方法专题（含答案）1. 已知凸四边形ABCD 的边AD 、BC 上各有一点Q 、P ，满足AQ CPQD BP=，AP 与BQ 交于M ，CQ 与DP 交于N ，求证：AMB DNC QMPN S S S =+△△四边形. 解析 如图，问题可转化为求证BQC APB PDC S S S =+△△△.下证此式： 记AQ CP QD BPμ==，则由定比分点，在 111BQC ABC BCD S S S μμμ=+++△△△APB CDP S S =+△△.2. 已知：ABC △中，AD 是角平分线，E 、F 分别在AB 、AC 上，且EDB FDC BAC ∠=∠=∠，求证：BE CF =，并用ABC △三边表示AEDF ABC SS 四边形△.解析 如图，由DBE △∽ABC △∽DFC △，得BDBE BC AB =⋅， CDCF BC AC=⋅. 于是1BE BD AC CF CD AB =⋅=，故BE CF =.又设ABC △的对应边长为a 、b 、c ，则acBD b c=+，2a BE b c =+，2BED ABC ABC BE BD a S S S AB BC b c ⋅⎛⎫=⋅= ⎪⋅+⎝⎭△△△，同理2CDF ABC a S S b c ⎛⎫= ⎪+⎝⎭△△，故222()2()AEDF ABC S b c a S b c +-=+四边形△.CPBNMDQA CDBFEA3. 已知ABC △，10AB AC ==，E 、D 在AC 上，4BD DE ==，ABE DBC ∠=∠，求ABC S △. 解析 如图，设ABE DBC θ∠=∠=，EBD BED α∠=∠=，则A αθ∠=-.由三角形内角和，2(2)180αθθα-++=︒，得60αθ+=︒.1104sin602ABD S =⨯⨯⨯︒=△，AD == 由ABC ABD S AC S AD=△△，得ABC S △.4. 已知ABC △，60BAC ∠=︒，2AB AC = .点P 在ABC △内，使得PA ，5PB =，2PC =，求ABC △的面积.解析 如图，作ABQ △∽ACP △，由于2AB AC =，故相似比为2，于是2AQ AP ==24BQ CP ==. QAP QAB BAP ∠=∠+∠60PAC BAP BAC =∠+∠=∠=︒，结合:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是3PQ ==.所以22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒.于是222()28AB PQ AP BQ =++=+故1sin602ABC S AB AC =⋅︒△2AB ==5. 已知矩形ABCD ，E 、F 分别在BC 、CD 上，4AE =，3EF =，5AF =，若ABE S =△ ECF ADF S S +△△，求矩形ABCD 的面积. θθαDE ACBPAQ解析 如图，易知90AEF ∠=︒，ABE △∽ECF △.设AB x =，BE y =，则34CE x =，34CF y =，34DF x y =-，34AD y x =+由条件，知 33334444xy x y y x x y ⎛⎫⎛⎫=⋅++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，展开得x y ==BC14ABCD S =矩形.6. 一个凸四边形的边长依次为a 、b 、c 、d ，两条对角线相交所成的锐角为θ，求该四边形的面积（用a 、b 、c 、d 和θ表示）.解析 如图，不妨设AB a =，BC b =，CD c =，DA d =，AC 与BD 交于O ，AOD θ∠=（90<︒），则由四边形的“余弦定理”（见题13.1.7）：2222cos 2a c b dAC BDθ+--=⋅⋅，于是222211sin ()tan 24ABCD S AC BD a c b d θθ=⋅⋅=+--四边形. 一般地，有22221|()tan |4S a b c d θ=-+-四边形，当θ=90︒时，四边形面积不定.7. 若一正方形的两个相邻顶点在一三角形的某条边上，另两个顶点分别在另两条边上，则称这个正方形是该边上的内接正方形，现有一不等边三角形ABC ，AB 、AC 边上的内接正方形边长都是3，求11AB AC+. 解析 如图，四边形MNPQ 是正方形，边长为x ，BC a =，AD 为高，设为a h ，则1a x x AP PC a h AC AC +=+=. 现在回到原题，设ABC △三对应边长为a 、b 、c ，对应高为a h 、b h 、c h ，对于AB 、ACB E CFD AOθd ac bCDB A边上的正方形，有33331c bc h b h +==+. 考虑到2c ABC b ch S bh ==△，故有c b c h b h +=+，而sin b h c A =，sin c h b A =，代入，有()(1sin )0b c A --=，而由题设b c ≠，故sin 1A =，90A ∠=︒ .易知331222ABC AB AC S AB AC +==⋅△，故 1113AB AC +=. 8. ABC △中，D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 上，若AFE S △、BFD S △、DEF S △、EDCS △分别为1、2、3、4，求AFAB.解析 如图，设AF x AB =，BD y BC =，CEz CA =.则0x <，y ，1z <，1(1)10AEF ABC S x z S -==△△，同理，1(1)5y x -=，2(1)5y z -=.于是1110z x =-，15(1)y x =-，故112115(1)105x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，解得x . 由01y <<，得45x <，由01z <<，得110x >均符合要求.评注 读者可考虑何时AFAB具有唯一解.9. 梯形ABCD 中，AD BC ∥，12AD BC =，M 在AB 上，32AM BM =，N 在CD 上，若MN 把梯形分成两部分的面积之比为3:1，求CNND的值.解析 如图，由于未讲清部分是3，哪部分是1，故本题可能有两解. CN D M B PQACDB EFA不妨设3AMD S =△，则4CBM S =△，15ABCD S =梯形，8MCD S =△.又设MNC S x =△，MND S y =△.于是有（1）8,43;3x y x y +=⎧⎪+⎨=⎪+⎩或（2）8,41.33x y x y +=⎧⎪+⎨=⎪+⎩由（1）解得29,43;4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由（2）得负解，舍.故293CN ND =. 10. ABC △中，90B ∠=︒，AD 是A ∠的平分线，点E 、F 分别在AB 、AC 上，EF 交AD于点G ，若4AE =，8EB =，12AF =，25FC =，求四边形CDGF 的面积.解析 易知12AB =，37AC =，35BC =.连结DF ，由AB AF =，得DF BD =，DF AC ⊥，连结ED .由ABC ABD ACD S S S =+△△△，得607AB BC BD DF AB AC ⋅===+，故175027DFC S FC DF =⋅=△，BED S =△ 124027BE BD ⋅=，7207ABDF S AB BD =⋅=四边形. 又84037AEF ABC AE AF S S AB AC =⋅⋅=△△，720240840118807737259DEF BED AEF ABDF S S S S =--=--=△△△四边形，由角平分线性质，知34DFG EFD S GF S EF ==△△，于是8910750366602597259GDF CFD CDGF S S S =+=+=△△四边形. 11. ABC △中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且45AD BD =，23AE CE =，P 为DE 中点，Q 为CD 与BE 之交点，延长PQ 交BC 于R ，求BRRC.解析 如图，由梅氏定理1AB DQ CE DB CQ EA ⋅⋅=，即1027DQ CQ =，又1AC EQ BD CE QB DA ⋅⋅=，即1225EQ QB =. MCBxyN D AE GB D FA设DQP CQR α∠==∠，EQP BQR β∠==∠ .由DPQ EPQ S S =△△，得sin sin DQ DQ αβ=，即sin sin EQDQαβ=，于是sin 125sin 162BQR CQR S BR BQ BQ DQ RC S CQ EQ CQ βα⋅====⋅△△. 12. 在ABC △的边AB 上取点X ，AC 上取点Y ，使AX XB λ=，AYYCμ=，再在线段XY 上取点Z ，使XZ ZY γ=，今延长AZ 交BC 于D ，用λ、μ、γ表示BDCD. 解析 如图，连结BZ 、CZ ，则sin sin ABZ ACZ S BD AB XZ AXY AB AYCD S AC YZ AYX AC AXγ⋅⋅∠===.⋅⋅⋅∠△△.又11AB BX AX AX λλ+=+=，11AC YC AY AY μμ+=+=，故(1)(1)BD CD λμγλμ+=+. 13. 设正方形ABCD 面积是1，AB 、BC 上分别有点E 、F ，且2EBAE =，2BF CF =，又设DE 、DB 分别交AF 于G 、H ，求四边形GHBE 的面积.解析 如图，延长AF 、DC 交于P ，则2AF FP =.而1192123GD DP GE AE +===， 211133AEG AED S S ==△△.又2125315BHF ABF HF S S AF ==⨯=△△，故CRBQP EDA CD B ZYX A C PFH BEG DAABF AEG BHF GHBE S S S S =--△△△四边形1212831533165=--=. 14. 已知ABC △中，AD 、AE 分别是角平分线和中线.CF 垂直陈AD 于G ，交AB 于F ，交AE 于H ，求证：HD AC ∥. 解析 如图，连结FE 、GE .易知FG GC =，BE EC =，故GE AB ∥.于是，EGC FGE AGE S S S ==△△△.因此，AGE EGC AGC AGC S S ED HEDC S S AH===△△△△，所以HD AC ∥. 15. 如图，已知点A 、B 、C 、D 共圆，且AB BC AD CD ==+，BAD α∠=，AC d =，求证：ABC S △只与α、d 有关.解析 延长AD 至点M ，使DM DC =，设AD x =，CD y =，易知ABC △∽CDM △，于是22()CDMABC y S S x y =+△△，又由ACM CDM S AM x yS DM y+==△△，因此22()ABC CDMACM x y x yS S S y y++==△△△. 由于180ACM BCD α∠=∠=︒-，又CM yd x y =+，故dy CM x y =+， 21sin sin 22()ACM d yS AC CM ACM x y α=⋅⋅∠=+△， 所以21sin 2ABC S d α=△.H GCDE BFAMDCAB。
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数学竞赛专题讲座---面积问题与面积方法-初中三年级数学试题练习、期中期末试卷、测验
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面积问题与面积方法
姓名：
例1 已知△ABC中三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为ha=4，hb=5，hc=3．求a△b△c．
例2
如图1－51，ABCD的面积为64平方厘米(cm2)，E，F分别为AB，AD的中点，求△CEF的面积．
例4 用面积方法证明：三角形两边中点连线平行于第三边．
例5 如图1－54．在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上的一点，且AD△DC=2△3，BD与CE交于F，S△ABC=40，求SAEFD．
例6 如图1-55所示．E，F分别是ABCD的边AD，AB上的点，且BE=DF，BE与DF交于O．求证：C点到BE的距离等于它到DF的距离．
练习：
1．如图1－56所示．在△ABC中，EF△BC，且AE△EB=m，求证：AF△FC=m．
2．如图1－57所示．在梯形ABCD中，AB△CD．若△DCE的面积是△DCB的面积的四分之一，问：△DCE的面积是△ABD的面积的几分之几？
3．如图1－58所示．已知P为△ABC内一点，AP，BP，CP分别与对边交于D，E，F，把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．
4．如图1－59所示．P为△ABC内任意一点，三边a，b，c的高分别为ha，hb，hc，且P到a，b，c的距离分别为ta，tb，tc．
5．如图1－60所示．在梯形ABCD中，两腰BA，CD的延长线相交于O，OE△DB，OF△AC且分别交直线BC于E，F．求证：BE=CF．
6．如图1－61所示．P是△ABC的AC边的中点，PQ△AC交AB延长线于Q，BR△AC于R．求证：
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