2012北京一模解答题整理3.随机变量
北京市西城区2012届高三第一次模拟考试理科数学试题
北京市西城区2012年高三一模试卷数 学（理科） 2012.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U =R ，集合1{|1}A x x=≥，则U A =ð（ ） （A ）(0,1) （B ）(0,1]（C ）(,0](1,)-∞+∞ （D ）(,0)[1,)-∞+∞2．执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的 值为（ ） （A ）2 （B ）5 （C ）11 （D ）233．若实数x ，y 满足条件0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则2x y -的最大值为（ ）（A ）9 （B ）3 （C ）0 （D ）3-4．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为3． 其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ） （A）2 （B）2 （C ）28cm（D ）24cm5．已知函数44()sin cos f x x x ωω=-的最小正周期是π，那么正数ω=（ ）（A ）2（B ）1（C ）12（D ）146．若2log 3a =，3log 2b =，4log 6c =，则下列结论正确的是（ ） （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）c b a << （D ）b c a <<7．设等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为n S ．若对*n ∀∈N ，有23n n S S <，则q 的取值范围是（ ） （A ）(0,1] （B ）(0,2)（C ）[1,2)（D）8．已知集合230123{|333}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1,2}(0,1,2,3)k a k ∈=，且30a ≠.则A 中所有元素之和等于（ ） （A ）3240（B ）3120（C ）2997（D ）2889第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),，[1415),， [1516),，[1617),，[1718],，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．10．6(2)x -的展开式中，3x 的系数是_____．（用数字作答）11. 如图，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC于点M．若OC =1OM =，则MN =_____．12. 在极坐标系中，极点到直线:l πsin()4ρθ+=_____．ABCOMN13. 已知函数12,0,(),20,x x c f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 其中0c >．那么()f x 的零点是_____；若()f x 的值域是1[,2]4-，则c 的取值范围是_____．14. 在直角坐标系xOy 中，动点A ，B分别在射线(0)y x x =≥和(0)y x =≥上运动，且△OAB 的面积为1．则点A ，B 的横坐标之积为_____；△OAB 周长的最小值是_____．三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）在△ABC 中，已知sin()sin sin()A B B A B +=+-． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若||7BC =，20=⋅，求||AB AC +．16.（本小题满分13分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.（Ⅰ）求甲以4比1获胜的概率；（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率； （Ⅲ）求比赛局数的分布列.17．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， ︒=∠=∠60DBF DAB ，且FA FC =． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求证：FC ∥平面EAD ； （Ⅲ）求二面角B FC A --的余弦值．18.（本小题满分13分）已知函数()e (1)axaf x a x=⋅++，其中1-≥a .（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间. 19.（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，定点(2,0)M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且12MB MB ⊥.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由. 20.（本小题满分13分）对于数列12:,,,(,1,2,,)n n i A a a a a i n ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列n A 变换成数 列12:,,,n n B b b b ，其中1||(1,2,,1)i i i b a a i n +=-=-，且1||n n b a a =-，这种“T 变换”记作()n n B T A =.继续对数列n B 进行“T 变换”，得到数列n C ，…，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（Ⅰ）试问3:4,2,8A 和4:1,4,2,9A 经过不断的“T 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T 变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）求3123:,,A a a a 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件； （Ⅲ）证明：41234:,,,A a a a a 一定能经过有限次“T 变换”后结束．北京市西城区2012年高三一模试卷数学（理科）参考答案及评分标准2012.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.C；2. D；3. A；4.A；5. B；6. D；7. A；8. D .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.；11.1；9.54；10.16012 13.1-和0，(0,4]； 14.2，2(1. 注：13题、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：原式可化为 B A B A B A B sin cos 2)sin()sin(sin =--+=． ………………3分因为(0,π)B ∈， 所以 0sin >B ， 所以 21cos =A ． ………………5分因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =． ………………6分（Ⅱ）解：由余弦定理，得 222||||||2||||cos BC AB AC AB AC A =+-⋅．………………8分因为 ||7BC =，||||cos 20AB AC AB AC A ⋅=⋅=，所以 22||||89AB AC +=． ………………10分因为 222||||||2129AB AC AB AC AB AC +=++⋅=， ………………12分所以 ||129AB AC += ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是21． ………………1分记“甲以4比1获胜”为事件A ， 则334341111()C ()()2228P A -==． ………………4分（Ⅱ）解：记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B . 因为，乙以4比2获胜的概率为3353151115C ()()22232P -==， ………………6分乙以4比3获胜的概率为3363261115C ()()22232P -==， ………………7分所以 125()16P B P P =+=． ………………8分（Ⅲ）解：设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4,5,6,7．44411(4)2C ()28P X ===， ………………9分334341111(5)2C ()()2224P X -===， ………………10分335251115(6)2C ()()22216P X -==⋅=， ………………11分336361115(7)2C ()()22216P X -==⋅=． ………………12分比赛局数的分布列为：X 4 5 6 7 P18 14 516 516………………13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：设AC 与BD 相交于点O ，连结FO ．因为 四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥， 且O 为AC 中点． ………………1分又 FC FA =，所以 AC FO ⊥． ………3分 因为 O BD FO = ，所以 ⊥AC 平面BDEF ． ………………4分 （Ⅱ）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以AD //BC ，DE //BF ，所以平面FBC//平面EAD ． ………………7分又⊂FC 平面FBC ， 所以FC// 平面EAD ． ………………8分（Ⅲ）解：因为四边形BDEF 为菱形，且︒=∠60DBF ，所以△DBF 为等边三角形．因为O 为BD 中点，所以BD FO ⊥，故FO ⊥平面ABCD ．由OF OB OA ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -． ………………9分设2=AB ．因为四边形ABCD 为菱形，︒=∠60DAB ，则2=BD ，所以1OB =，OA OF ==所以 )3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O -．所以(3,0,CF =，(3,1,0)CB =．设平面BFC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.CF CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+=+．03,033y x z x 取1=x ，得)1,3,1(--=n ． ………………12分易知平面AFC 的法向量为(0,1,0)=v ． ………………13分由二面角B FC A --是锐角，得cos ,⋅〈〉==n v n v n v． 所以二面角B FC A --的余弦值为515． ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1a =时，1()e (2)x f x x =⋅+，211()e (2)xf x x x '=⋅+-． ………………2分由于(1)3e f =，(1)2e f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是2e e 0x y -+=． ………………4分（Ⅱ）解：2(1)[(1)1]()e axx a x f x a x++-'=，0x ≠． ………………6分① 当1-=a 时，令()0f x '=，解得 1x =-．)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-；单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞． (8)分当1a ≠-时，令()0f x '=，解得 1x =-，或11x a =+． ② 当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+；单调递增区间为(-，1(0,)1a +． ………………10分 ③ 当0=a 时，()f x 为常值函数，不存在单调区间． ………………11分④ 当0a >时，)(x f 的单调递减区间为(1,0)-，1(0,)1a +；单调递增区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+． ………………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由 222222519a b b e a a-===-， 得 23b a =. ………………2分依题意△12MB B 是等腰直角三角形，从而2b =，故3a =. ………………4分所以椭圆C的方程是22194x y +=. ………………5分 （Ⅱ）解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为2x my =+.将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立， 消去x得22(49)16200m y my ++-=. ………………7分所以 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+. ………………8分若PF 平分APB ∠，则直线PA ，PB 的倾斜角互补， 所以0=+PB PA k k . ………………9分设(,0)P a ，则有12120y yx a x a+=--. 将 112x my =+，222x my =+代入上式， 整理得1212122(2)()0(2)(2)my y a y y my a my a +-+=+-+-，所以 12122(2)()0my y a y y +-+=. ………………12分将 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+代入上式， 整理得 (29)0a m -+⋅=. ………………13分由于上式对任意实数m 都成立，所以 92a =. 综上，存在定点9(,0)2P ，使PM 平分APB ∠. ………………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：数列3:4,2,8A 不能结束，各数列依次为2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形． ………………2分数列4:1,4,2,9A 能结束，各数列依次为3,2,7,8；1,5,1,5；4,4,4,4；0,0,0,0． ………………3分（Ⅱ）解：3A 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是123a a a ==．………………4分若123a a a ==，则经过一次“T 变换”就得到数列0,0,0，从而结束． ……………5分当数列3A 经过有限次“T 变换”后能够结束时，先证命题“若数列3()T A 为常数列，则3A 为常数列”．当123a a a ≥≥时，数列3122313():,,T A a a a a a a ---．由数列3()T A 为常数列得122313a a a a a a -=-=-，解得123a a a ==，从而数列3A 也为常数列．其它情形同理，得证．在数列3A 经过有限次“T 变换”后结束时，得到数列0,0,0(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列3A 也为常数列． ………………8分所以，数列3A 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是123a a a ==． （Ⅲ）证明：先证明引理：“数列()n T A 的最大项一定不大于数列n A 的最大项，其中3n ≥”．证明：记数列n A 中最大项为max()n A ，则0max()i n a A ≤≤．令()n n B T A =，i p q b a a =-，其中p q a a ≥．因为0q a ≥， 所以max()i p n b a A ≤≤，故max()max()n n B A ≤，证毕． ………………9分现将数列4A 分为两类．第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，44max()max()1B A ≤-．第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时44max()max()B A =． 下面证明第二类数列4A 经过有限次“T 变换”，一定可以得到第一类数列． 不妨令数列4A 的第一项为0，第二项a 最大(0a >)．（其它情形同理） ① 当数列4A 中只有一项为0时，若4:0,,,A a b c (,,0a b a c bc >>≠)，则4():,,||,T A a a b b c c--，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若4:0,,,(,0)A a a b a b b >≠，则4():,0,T A a a b b -；4(()):,,|2|,T T A a a b a b a b ---此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若4:0,,,A a b a (,0a b b >≠)，则4():,,,T A a a b a b b--，此数列各项均不为0，为第一类数列；若4:0,,,A a a a ，则4():,0,0,T A a a ；4(()):,0,,0T T A a a ；4((())):,,,T T T A a a a a ， 此数列各项均不为0，为第一类数列．② 当数列4A 中有两项为0时，若4:0,,0,A a b (0a b ≥>)，则4():,,,T A a a b b ，此数列各项均不为0，为第一类数列；若4:0,,,0A a b (0a b ≥>)，则():,,,0T A a a b b -，(()):,|2|,,T T A b a b b a -，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．③ 当数列4A 中有三项为0时，只能是4:0,,0,0A a ，则():,,0,0T A a a ， (()):0,,0,T T A a a ，((())):,,,T T T A a a a a ，此数列各项均不为0，为第一类数列．总之，第二类数列4A 至多经过3次“T 变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历3次“T 变换”，数列的最大项又开始减少．又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“T变换”后，数列的最大项一定会为0，此时数列的各项均为0，从而结束．………………13分薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。
2012北京市各区中考数学一模试卷及答案试题试卷_1 (2)
顺义区2012届初三第一次统一练习 数学学科参考答案及评分细则二、填空题（本题共16分，每小题4分，）9．4；10．25()x x y -； 11．11.4； 12， 2)π+，π． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13()12cos303-︒+--1213⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭……………………………………………… 4分 113=+ 43= …………………………………………………………………… 5分 14．解： 221x y x y +=⎧⎨-=⎩①②①+②，得 33x =．1x =． …………………………………………………… 2分 把1x =代入①，得 12y +=．1y =． ………………………………………………………… 4分 ∴原方程组的解为 1,1.x y =⎧⎨=⎩ ………………………………………………… 5分15．证明：∵AB=AC ，∴B C ∠=∠． …………………………………………………………… 1分 在△ABD 和△ACE 中，,,,AB AC B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABD ≌△ACE ．……………………………………………………… 3分 ∴ AD=AE ． ……………………………………………………………… 4分∴∠ADE =∠AED ． ……………………………………………………… 5分16．解：6931x x x x -⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2693x x x x x -+-=÷ …………………………………………………… 2分 2(3)3x xx x -=-3x =- ……………………………………………………………………… 4分当2012x =时，原式=201232009-=．…………………………………… 5分17．解：（1）∵点(4,)A m 在反比例函数4y x=（0x >）的图象上， ∴414m ==． …………………………………………………………… 1分 ∴(4,1)A ．将(4,1)A 代入一次函数y x b =-+中，得 5b =．∴一次函数的解析式为5y x =-+． …………………………………… 2分（2）由题意，得 (0,5)B ， ∴5OB =．设P 点的横坐标为P x ．∵OBP △的面积为5， ∴1552p x ⨯=．…………………………………………………………… 3分 ∴2P x =±．∴点P 的坐标为（2，3）或（-2，7）． ………………………………… 5分 18．解：设A 户型的每户窗户改造费用为x 元，则B 户型的每户窗户改造费用为(500)x -元． ……………………………… 1分 根据题意，列方程得5400004800005x x =-． 解得 4500x =．经检验，4500x =是原方程的解，且符合题意．…………………………… 4分 ∴5004000x -=．答：A 户型的每户窗户改造费用为4500元，B 户型的每户窗户改造费用为4000 元．…………………………………… 5分MF EDCBAFE DCO BA四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）∵在□ABCD 中，∠B=60°，AB=4，∠ACB=45°，∴∠D=60°，CD=AB=4，AD ∥BC ． ……………………………… 1分 ∴∠DAC=45°． 过点C 作CM ⊥AD 于M ， 在Rt △CDM 中，sin 4sin 6023CM CD D ==︒=cos 4cos602DM CD D ==︒=．………………………………… 2分在Rt △ACM中，∵∠MAC=45°， ∴AM CM==∴2AD AM DM =+=．…………………………………… 3分∵EF ⊥AD ，CM ⊥AD ， ∴EF ∥CM ．∴12EF CM ==在Rt △AEF 中，AF EF ==4分∴22DF AD AF =-=-=．……………………… 5分20．（1）证明：连结OD ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°． ……………………………………………………… 1分 ∵∠A=30°， ∴∠ABD=60°．∴∠BDC =1302ABD ∠=︒． ∵OD=OB ，∴△ODB 是等边三角形． ∴∠ODB=60°．∴∠ODC=∠ODB+∠BDC =90°． 即OD ⊥DC ．∴CD 是⊙O 的切线．…………………………………………………… 2分（2）解：∵OF ∥AD ，∠ADB=90°，∴OF ⊥BD ，∠BOE=∠A =30°． ……………………………………… 3分∴112DE BE BD ===． 在Rt △OEB中，OB=2BE=2，OE ==．………… 4分 ∵OD=OB=2，∠C=∠ABD -∠BDC =30°，∠DOF=30°， ∴CD =tan 30DF OD =︒=∴CF CD DF =-== ……………………………5分21．解：（1）此次共调查了100名学生． …………………………………………………1分（2）填表：…………………………………………………3分（3）补全统计图如下：到校方式条形统计图 到校方式扇形统计图．…………………………………………………………………………5分22．解：（1）四边形DFCE 的面积S = 6 ，△DBF 的面积1S = 6 ，△ADE 的面积2S = 32 ． …………………………………… 3分（2）2S = 214S S （用含S 、1S 的代数式表示）． ………… 4分 （3）□DEFG 的面积为12． ………………………………………… 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）△=244(1)(3)k k k --+=2244812k k k --+=812k -+ ……………………………………………………………… 1分∵方程有两个不相等的实数根， ∴10,0.k -≠⎧⎨∆>⎩ 即 10,8120.k k -≠⎧⎨-+>⎩∴k 的取值范围是32k <且1k ≠． …………………………………… 3分 （2）当方程有两个相等的实数根时，△=812k -+=0．∴32k =． ………………………………………………………………… 4分 ∴关于y 的方程为2(6)10y a y a +-++=．∴2'(6)4(1)a a ∆=--+2123644a a a =-+--21632a a =-+2(8)32a =--．由a 为正整数，当2(8)32a --是完全平方数时，方程才有可能有整数根． 设22(8)32a m --=（其中m 为整数），32p q =（p 、q 均为整数）， ∴22(8)32a m --=．即(8)(8)32a m a m -+--=．不妨设8,8.a m p a m q -+=⎧⎨--=⎩两式相加，得 162p q a ++=．∵(8)a m -+与(8)a m --的奇偶性相同，∴32可分解为216⨯，48⨯，(2)(16)-⨯-，(4)(8)-⨯-， ∴18p q +=或12或18-或12-．∴17a =或14或1-（不合题意，舍去）或2．当17a =时，方程的两根为1172y -±=，即12y =-，29y =-．…… 5分 当14a =时，方程的两根为822y -±=，即13y =-，25y =-．…… 6分当2a =时， 方程的两根为422y ±=，即13y =，21y =． ………… 7分24．解：（1）∵抛物线y =mx 2+2mx +n 经过点A （-4，0）和点B （0，3），∴1680,3.m m n n -+=⎧⎨=⎩ ∴3,83.m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩． ∴抛物线的解析式为：233384y x x =--+．………………………… 2分 （2）令3y =，得2333384x x --+=，得10x =，22x =-， ∵抛物线向右平移后仍经过点B ，∴抛物线向右平移2个单位．……… 3分∵233384y x x =--+ 233(21)388x x =-++++2327(1)88x =-++． ………… 4分∴平移后的抛物线解析式为2327(1)88y x =--+． …………………… 5分（3）由抛物线向右平移2个单位，得'(2,0)A -，'(2,3)B ．∴四边形AA ’B ’B 为平行四边形，其面积'236AA OB ==⨯=．设P 点的纵坐标为P y ，由'OA P △的面积=6， ∴1'62P OA y =，即1262P y ⨯= ∴6P y =， 6P y =±．………………………………………………… 6分当6P y =时，方程2327(1)688x --+=无实根， 当6P y =-时，方程2327(1)688x --+=-的解为16x =，24x =-．∴点P 的坐标为(6,6)-或(4,6)--．……………………………… 7分25．解：（1）完成画图如图2，由BAC ∠的度数为 60°，点E 落在 AB 的中点处 ，容易得出BE 与DE 之间的数量关系 为 BE=DE ；…………… 3分（2）完成画图如图3．猜想：BE DE =．证明：取AB 的中点F ，连结EF ．∵90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，∴160∠=︒，12CF AF AB ==． ∴△ACF 是等边三角形．∴AC AF =． ① …… 4分∵△ADE 是等边三角形，∴260∠=︒， AD AE =． ②∴12∠=∠． ∴12BAD BAD ∠+∠=∠+∠．即CAD FAE ∠=∠．③ ………………………………………… 5分 由①②③得 △ACD ≌△AFE （SAS ）． …………………………… 6分 ∴90ACD AFE ∠=∠=︒． ∵F 是AB 的中点，∴EF 是AB 的垂直平分线．∴BE=AE . ……………………………………………………… 7分 ∵△ADE 是等边三角形， ∴DE=AE .∴BE DE =． …………………………………………………… 8分EAB C (D )图221F EDB C A图3。
北京西城区2012年高三一模数学试题及答案(文)
北京市西城区2012年高三一模试卷数学〔文科〕第Ⅰ卷〔选择题 共40分〕一、选择题共8小题，每题5分，共40分. 在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =<，那么A B =〔 〕〔A 〕(2,2)- 〔B 〕(1,2)-〔C 〕(1,2)〔D 〕(1,4)2．执行如下图的程序框图，假设输入3x =，则输出y 的 值为〔 〕 〔A 〕5 〔B 〕7 〔C 〕15 〔D 〕313．假设2log 3a =，3log 2b =，41log 3c =，则以下结论正确的选项是〔 〕 〔A 〕a c b << 〔B 〕c a b << 〔C 〕b c a << 〔D 〕c b a <<4．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则复数12z z 对应的点位于〔 〕 〔A 〕第一象限 〔B 〕第二象限 〔C 〕第三象限 〔D 〕第四象限5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm ，其三视图 中的俯视图如下图，则其左视图的面积是〔 〕 〔A 〕243cm 〔B 〕223cm 〔C 〕28cm〔D 〕24cm6．假设实数x ，y 满足条件0,10,01,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则|3|x y -的最大值为〔 〕〔A 〕6 〔B 〕5〔C 〕4〔D 〕37．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．则“10a >”是“32S S >”的〔 〕 〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充要条件 〔D 〕既不充分又不必要条件8．已知集合230123{|222}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1}k a ∈(0,1,2,3)k =，且30a ≠.则A 中所有元素之和是〔 〕〔A 〕120〔B 〕112〔C 〕92〔D 〕84第Ⅱ卷〔非选择题 共110分〕 二、填空题共6小题，每题5分，共30分.9. 已知向量(1,2)=a ，(,2)λ=-b .假设,90︒〈-〉=a b a ，则实数λ=_____.10. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),，[1415),， [1516),，[1617),，[1718],，得到如下图的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．11. 函数22sin 3cos y x x =+的最小正周期为_____．12. 圆22430x y x +-+=的圆心到直线30x y -=的距离是_____.13. 已知函数122,09,(),20.x x f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 则()f x 的零点是_____；()f x 的值域是_____．14. 如图，已知抛物线2y x =及两点11(0,)A y 和22(0,)A y ，其中120y y >>.过1A ，2A 分别作y 轴的垂线，交抛物线于1B ，2B 两点，直线12B B 与y 轴交于点33(0,)A y ，此时就称1A ，2A 确定了3A .依此类推，可由2A ，3A 确定4A ，.记(0,)n n A y ，1,2,3,n =.给出以下三个结论： ① 数列{}n y 是递减数列； ② 对*n ∀∈N ，0n y >；③ 假设14y =，23y =，则523y =. 其中，所有正确结论的序号是_____．三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.〔本小题总分值13分〕在△ABC 中，已知2sin cos sin()B A A C =+． 〔Ⅰ〕求角A ；〔Ⅱ〕假设2BC =，△ABC 的面积是3，求AB ．16.〔本小题总分值13分〕某校高一年级开设研究性学习课程，〔1〕班和〔2〕班报名参加的人数分别是18和27．现用分层抽样的方法，从中抽取假设干名学生组成研究性学习小组，已知从〔2〕班抽取了3名同学．〔Ⅰ〕求研究性学习小组的人数；〔Ⅱ〕规划在研究性学习的中、后期各安排1次交流活动，每次随机抽取小组中1名同学发言．求2次发言的学生恰好来自不同班级的概率．17．〔本小题总分值14分〕如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ．〔Ⅰ〕求证：NC ∥平面MFD ； 〔Ⅱ〕假设3EC =，求证：FC ND ⊥； 〔Ⅲ〕求四面体NFEC 体积的最大值．ADF18.〔本小题总分值14分〕已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为63，一个焦点为(22,0)F ．〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕设直线5:2l y kx =-交椭圆C 于A ，B 两点，假设点A ，B 都在以点(0,3)M 为圆心的圆上，求k 的值．19.〔本小题总分值13分〕如图，抛物线29y x =-+与x 轴交于两点,A B ，点,C D 在抛物线上〔点C 在第一象限〕，CD ∥AB ．记||2CD x =，梯形ABCD 面积为S ．〔Ⅰ〕求面积S 以x 为自变量的函数式； 〔Ⅱ〕假设||||CD k AB ≤，其中k 为常数，且01k <<，求S 的最大值．20.〔本小题总分值13分〕对于数列123:,,(,1,2,3)i A a a a a i ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ，其中1||(1,2)i i i b a a i +=-=，且331||b a a =-.这种“T 变换”记作()B T A =.继续对数列B 进行“T 变换”，得到数列123:,,C c c c ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．〔Ⅰ〕试问:2,6,4A 经过不断的“T 变换”能否结束？假设能，请依次写出经过“T 变换”得到的各数列；假设不能，说明理由；〔Ⅱ〕设123:,,A a a a ，()B T A =．假设:,2,()B b a a b ≥，且B 的各项之和为2012．〔ⅰ〕求a ，b ；〔ⅱ〕假设数列B 再经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小，求k 的最小值，并说明理由．北京市西城区2012年高三一模试卷数学〔文科〕参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.1. C ；2. D ；3. D ；4. B ；5. A ；6. B ；7. C ；8. C .二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9. 9； 10. 54； 11. π； 12. 1； 13. 1-和0，1[,3]4-； 14. ① ② ③. 注：13题第一问2分，第二问3分; 14题少选1个序号给2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.假设考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解：由πA B C ++=，得sin()sin(π)sin A C B B +=-=． ………………3分所以原式化为B A B sin cos sin 2=． ………………4分因为(0,π)B ∈，所以 0sin >B ， 所以 21cos =A ． ………………6分因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =． ………………7分 〔Ⅱ〕解：由余弦定理，得 222222cos BC AB AC AB AC A AB AC AB AC =+-⋅⋅=+-⋅． ………………9分因为 2BC =，1πsin 23AB AC ⋅⋅= 所以 228AB AC +=． ………………11分因为 4AB AC ⋅=， 所以 2AB =. ………………13分16.〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解：设从〔1〕班抽取的人数为m ，依题意得 27318=m ，所以2m =， 研究性学习小组的人数为35m +=． ………………5分 〔Ⅱ〕设研究性学习小组中〔1〕班的2人为12,a a ，〔2〕班的3人为123,,b b b ．2次交流活动中，每次随机抽取1名同学发言的基本领件为：11(,)a a ，),(21a a ，),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12a a ，22(,)a a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ， ),(11a b ，),(21a b ，11(,)b b ，),(21b b ，),(31b b ， ),(12a b ，),(22a b ，21(,)b b ，22(,)b b ，),(32b b ，),(13a b ，),(23a b ，31(,)b b ，),(23b b ，33(,)b b ，共25种． ………………9分2次发言的学生恰好来自不同班级的基本领件为：),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(11a b ，),(21a b ，),(12a b ，),(22a b ，),(13a b ，),(23a b ，共12种． ………………12分所以2次发言的学生恰好来自不同班级的概率为1225P =． ………………13分17.〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕证明：因为四边形MNEF ，EFDC 都是矩形， 所以 MN ∥EF ∥CD ，MN EF CD ==． 所以 四边形MNCD 是平行四边形，……………2分 所以 NC ∥MD ， ………………3分 因为 NC ⊄平面MFD ，所以 NC ∥平面MFD ． ………………4分 〔Ⅱ〕证明：连接ED ，设EDFC O =．因为平面⊥MNEF 平面ECDF ，且EF NE ⊥，所以 ⊥NE 平面ECDF ， ………………5分所以 FC NE ⊥． ………………6分又 EC CD =， 所以四边形ECDF 为正方形，所以 FC ED ⊥． ………………7分所以 ⊥FC 平面NED ， ………………8分所以 FC ND ⊥． ………………9分〔Ⅲ〕解：设x NE =，则x EC -=4，其中04x <<．由〔Ⅰ〕得⊥NE 平面FEC ， 所以四面体NFEC 的体积为11(4)32NFEC EFC V S NE x x ∆=⋅=-． ………………11分所以 21(4)[]222NFEC x x V +-≤=． ………………13分当且仅当x x -=4，即2=x 时，四面体NFEC 的体积最大． ………………14分18.〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕解：设椭圆的半焦距为c ，则c = ………………1分由c e a ==， 得 a =， 从而2224b a c =-=． ………………4分所以，椭圆C 的方程为141222=+y x ． ………………5分〔Ⅱ〕解：设),(),,(2211y x B y x A ．将直线l 的方程代入椭圆C 的方程，消去y 得 224(13)60270k x kx +-+=． ………………7分由22360016(13)270k k ∆=-+⨯>，得2316k >，且1221513k x x k+=+． …………9分设线段AB 的中点为D ，则21526D k x k =+，255226D Dy kx k -=-=+． ……………10分由点A ，B 都在以点(0,3)为圆心的圆上，得1MD k k ⋅=-， ………………11分即22532611526k k k k++⋅=--+， 解得 229k =，符合题意． ………………13分所以3k =±． ………………14分19.〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解：依题意，点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为29C y x =-+． ………………1分点B 的横坐标B x 满足方程290B x -+=，解得3B x =，舍去3B x =-． ……………2分所以2211(||||)(223)(9)(3)(9)22C S CD AB y x x x x =+⋅=+⨯-+=+-+． ………4分由点C 在第一象限，得03x <<．所以S 关于x 的函数式为 2(3)(9)S x x =+-+，03x <<． ………………5分〔Ⅱ〕解：由 03,,3x x k <<⎧⎪⎨≤⎪⎩ 及01k <<，得03x k <≤． ………………6分记2()(3)(9),03f x x x x k =+-+<≤，则2()3693(1)(3)f x x x x x '=--+=--+． ………………8分令()0f x '=，得1x =． ………………9分① 假设13k <，即11k <<时，()f x '与()f x 的变化情况如下：所以，当1x =时，()f x 取得最大值，且最大值为(1)32f =． ………………11分② 假设13k ≥，即103k <≤时，()0f x '>恒成立， 所以，()f x 的最大值为2(3)27(1)(1)f k k k =+-． ………………13分综上，113k ≤<时，S 的最大值为32；103k <<时，S 的最大值为227(1)(1)k k +-．20.〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解：数列:2,6,4A 不能结束，各数列依次为4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2；…．以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形． ………………3分〔Ⅱ〕解：〔ⅰ〕因为B 的各项之和为2012，且a b ≥， 所以a 为B 的最大项， 所以13||a a -最大，即123a a a ≥≥，或321a a a ≥≥． ………………5分当123a a a ≥≥时，可得122313,2,.b a a a a a a a =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩由22012a b ++=，得132()2012a a -=，即1006a =，故1004b =．……………7分当321a a a ≥≥时，同理可得 1006a =，1004b =． ………………8分〔ⅱ〕方法一：由:B ,2,2b b +，则B 经过6次“T 变换”得到的数列分别为：2,,2b b -；2,2,4b b --；4,2,6b b --；6,8,2b b --；2,10,8b b --；12,2,10b b --．由此可见，经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“,2,2b b +”的数列，与数列B“结构”完全相同，但最大项减少12．因为1006128310=⨯+，所以，数列B 经过683498⨯=次“T 变换”后得到的数列为8,2,10．接下来经过“T 变换”后得到的数列分别为：6,8,2；2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2，……从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．所以经过4984502+=次“T 变换”得到的数列各项和最小，k 的最小值为502． ………………13分方法二：假设一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B “结构相同”．假设数列B 的三项为2,,2(2)x x x +≥，则无论其顺序如何，经过“T 变换”得到的数列的三项为,2,2x x -(不考虑顺序) ．所以与B 结构相同的数列经过“T 变换”得到的数列也与B 结构相同，除2外其余各项减少2，各项和减少4．因此，数列:1004,2,1006B 经过502次“T 变换”一定得到各项为2,0,2 (不考虑顺序) 的数列．通过列举，不难发现各项为0,2,2的数列，无论顺序如何，经过“T 变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．所以，至少通过502次“T 变换”，得到的数列各项和最小，故k 的最小值为502． ………………13分学习文档仅供参考。
2012西城数学一模答案
北京市西城区2012年初三一模试卷数学答案及评分标准 2012. 5一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACBCBDBC二、填空题（本题共16分，每小题4分）9101112x ≥-2()223b a -13 13+-或（各2分）4，4（各2分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式=32133321++⨯- …………………………………………………………4分=323+．…………………………………………………………………… 5分14．解：由①得2->x ．……………………………………………………………………1分由②得x ≤37． ……………………………………………………………………3分∴ 原不等式组的解集是-2< x ≤37．………………………………………………4分∴ 它的非负整数解为0，1，2．………………………………………………… 5分 15.（1）证明：如图1.∵ ∠ABC=90º，D 为AB 延长线上一点，∴ ∠A BE=∠CBD=90º . …………………………………………………1分 在△ABE 和△CBD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,BD BE CBD ABE CB AB∴ △ABE ≌△CBD. …………………… 2分（2）解：∵ AB=CB ，∠ABC=90º，∴ ∠CAB =45°. …….…………………… 3分 又∵ ∠CAE=30º，∴ ∠BAE =15°. ……………………………………………………………4分∵ △ABE ≌△CBD ，∴ ∠BCD =∠BAE =15°. ……………………………………………………5分16. 解：原式=()()()()2a ab a b a b ba ab ++-⋅- =()22b b a +. ..….….….….….……………………3分①② 图1⎪⎩⎪⎨⎧-+<-2115)1(3x x x ，≥2x -4，∵ 2a +b =0，∴ a b 2-=. ……………………………………………………………………… 4分 ∴ 原式=22224)2()(aaa a =--.∵ a 不为0，∴ 原式=41. (5)分17. 解：（1）∵ 反比例函数 的图象经过点),2(m A ，[来源:] ∴ 2m k =，且m ＞0.∵ AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1，∴ 1212m ⋅⋅=.解得 1=m . ........................................................................ 1分 ∴ 点A 的坐标为)1,2(. (2)分∴ 22km ==. (3)分（2）点C 的坐标为(0,3)或(0,-1). (5)分18．解：设甲工厂每天能加工x 件新产品，则乙工厂每天能加工1.5x 件新产品. 依题意得 105.112001200+=xx. ……………………………………………………2分解得40=x . …………………………………………………………………… 3分 经检验，40=x 是原方程的解，并且符合题意． …………………………… 4分[来源:学科网ZXXK]∴ 605.1=x .答: 甲工厂每天能加工40件新产品, 乙工厂每天能加工60件新产品. ……………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）2，50；…………………………………2分 （2）5040%20⨯=，C 组的户数为20. … 3分补图见图2． …………………………4分 （3）∵ 500(28%8%)180⨯+=，∴ 根据以上信息估计，全社区捐款不少于300元的户数是180．[来源:学科网] ……………………………… 5分20．解：（1）∵ 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，60C ∠=︒，∴ 90ABC ∠=︒，180120AD C C ∠=︒-∠=︒． 在Rt △ABD 中，∵90A ∠=︒，15ABD ∠=︒，)0(>=k xk y 图2捐款户数分组统计图1∴ 75AD B ∠=︒．∴ 45BD C AD C AD B ∠=∠-∠=︒．…… 2分 （2）作BE C D ⊥于点E ，D F BC ⊥于点F ．（如图3）在Rt △BCE 中，∵ BC=2，60C ∠=︒，∴ sin 3BE BC C =⋅=，cos 1C E BC C =⋅=． ∵ 45BD C ∠=︒， ∴ 3DE BE ==．∴ 31CD DE CE =+=+． …………………………………………… 3分 ∵ BC D F C D BE ⋅=⋅， ∴ (31)33322C D B E D F B C⋅+⋅+===． …………………………… 4分∵ AD ∥BC ，90A ∠=︒，D F BC ⊥，∴ 332AB D F +==． …………………………………………………… 5分21．解：（1）作O F BD ⊥于点F ，连结OD ．（如图4） ∵ ∠BAD=60°，∴ ∠BOD=2∠BAD =120°．……………1分 又∵OB =OD ，∴ 30O BD∠=︒．……………………… 2分∵ AC 为⊙O 的直径，AC=4， ∴ OB= OD= 2．在Rt △BOF 中，∵∠OFB =90°， OB=2，︒=∠30OBF ， ∴ 130sin 2sin =︒=∠⋅=OBF OB OF ，即点O 到BD 的距离等于1. ………………………………………… 3分（2）∵ OB= OD ，O F BD ⊥于点F ，∴ BF=DF ．由DE=2BE ，设BE=2x ，则DE=4x ，BD=6x ，EF=x ，BF=3x ． ∵ cos 303BF OB =⋅︒=，∴ 33x =， EF=33．在Rt △OEF 中，90O FE ∠=︒， ∵ tan 3O F O ED EF∠==，∴ 60O ED ∠=︒，1cos 2O ED ∠=． …………………………………… 4分∴ 30BO E O ED O BD ∠=∠-∠=︒． ∴ 90D O C D O B BO E ∠=∠-∠=︒． ∴ 45C ∠=︒．∴ 222CD OC ==． ………………………………………………… 5分22．解：（1）135°；………………………………………………………………………… 2分图3FEA DBC图4FE DAOCB（2）120°；………………………………………………………………………… 3分27 ． ……………………………………………………………………… 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）∵ 关于x 的一元二次方程2 10x px q +++=的一个实数根为 2，∴ 22 210p q +++=．…………………………………………………… 1分 整理，得 25q p =--． …………………………………………………… 2分 （2）∵ 222244(25)820(4)4p q p p p p p ∆=-=++=++=++， 无论p 取任何实数，都有2(4)p +≥0，∴ 无论p 取任何实数，都有 2(4)40p ++>．∴ 0∆>． ………………………………………………………………… 3分∴ 抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点．………………………… 4分（3）∵ 抛物线21y x px q =++与抛物线221y x px q =+++的对称轴相同，都为直线2p x =-，且开口大小相同，抛物线221y x px q =+++可由抛物线21y x px q =++沿y 轴方向向上平移一个单位得到，（如图5所示，省略了x 轴、y 轴） ∴ EF ∥MN ，EF =MN =1．∴ 四边形FEMN 是平行四边形． ………………5分 由题意得 22FEMN p S EF =⨯-=四边形．解得4p =±．………………………………………7分24．证明：（1）如图6．∵ 点B 关于直线CH 的对称点为D ，CH ⊥AB 于点H ，直线DE 交直线CH 于点F ， ∴ BF=DF ，DH=BH ．…………………1分 ∴ ∠1=∠2．又∵ ∠EDA =∠A ，∠EDA =∠1， ∴ ∠A ＝∠2．∴ BF ∥AC ．……………………………………………………………… 2分 （2）取FD 的中点N ，连结HM 、HN . ∵ H 是BD 的中点，N 是FD 的中点，∴ HN ∥BF ． 由（1）得BF ∥AC ， ∴ HN ∥AC ，即HN ∥EM ． ∵ 在Rt △ACH 中，∠AHC =90°，AC 边的中点为M ，图6图5y 2y 1FE N M∴ 12H MAC AM==．∴ ∠A ＝∠3． ∴ ∠EDA =∠3． ∴ NE ∥HM ．∴ 四边形ENHM 是平行四边形．……………………………………… 3分 ∴ HN=EM ．∵ 在Rt △DFH 中，∠DHF =90°，DF 的中点为N ， ∴ 12H ND F=，即2D F H N =．∴ 2DF EM =． ………………………………………………………… 4分 （3）当AB =BC 时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE相等的线段是EF 和CE ． （只猜想结论不给分） 证明：连结CD ．（如图8）∵ 点B 关于直线CH 的对称点为D ，CH ⊥AB 于点H ，∴ BC=CD ，∠ABC ＝∠5． ∵ AB ＝BC ，∴ 1802ABC A ∠=︒-∠，AB ＝CD ．①∵ ∠EDA =∠A ，∴ 61802A ∠=︒-∠，AE =DE ．② ∴ ∠ABC ＝∠6=∠5． ∵ ∠BDE 是△ADE 的外角， ∴ 6BD E A ∠=∠+∠． ∵ 45BD E ∠=∠+∠， ∴ ∠A ＝∠4．③由①，②，③得 △ABE ≌△DCE ．………………………………………5分 ∴ BE = CE ． ……………………………………………………………… 6分由（1）中BF=DF 得 ∠CFE=∠BFC ．由（1）中所得BF ∥AC 可得 ∠BFC=∠ECF ． ∴ ∠CFE=∠ECF ． ∴ EF=CE ．∴ BE=EF ． ……………………………………………………………… 7分 ∴ BE =EF =CE ．（阅卷说明：在第3问中，若仅证出BE =EF 或BE =CE 只得2分）图825．解：（1）∵ 2244(2)y ax ax a c a x c =-++=-+，∴ 抛物线的对称轴为直线2x =．∵ 抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于 点A 、点B ，点A 的坐标为(1,0)，∴ 点B 的坐标为(3,0)，OB ＝3．…………… 1分 可得该抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =--． ∵ OB =OC ，抛物线与y 轴的正半轴交于点C ， ∴ OC =3，点C 的坐标为(0,3)．将点C 的坐标代入该解析式，解得a =1．……2分∴ 此抛物线的解析式为243y x x =-+．（如图9）…………………… 3分（2）作△ABC 的外接圆☉E ，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为点F ，设☉E 与抛物线的对称轴位于x 轴上方的部分的交点为点1P ，点1P 关于x 轴的对称点为点2P ，点1P 、点2P 均为所求点.（如图10）可知圆心E 必在AB 边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线2x =上．∵ 1AP B ∠、A C B ∠都是弧AB 所对的圆周角，∴ ACB B AP ∠=∠1，且射线FE 上的其它点P 都不满足ACB APB ∠=∠． 由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．可得圆心E 也在BC 边的垂直平分线即直线y x =上．∴ 点E 的坐标为(2,2)E ．………………………………………………… 4分∴ 由勾股定理得 5EA =．∴ 15EP EA ==．∴ 点1P 的坐标为1(2,25)P +．…………………………………………… 5分 由对称性得点2P 的坐标为2(2,25)P --． ……………………………… 6分 ∴符合题意的点P 的坐标为1(2,25)P +、2(2,25)P --. （3）∵ 点B 、D 的坐标分别为(3,0)B 、(2,1)D -，可得直线BD 的解析式为3y x =-，直线BD 与x 轴所夹的锐角为45°．[来源:学科网]∵ 点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，（如图11） 若设A A '与∠AQB 的平分线的交点为M ，则有 QA QA '=，AM A M '=，AA QM '⊥，Q ，B ，A '三点在一条直线上． ∵ 2Q A Q B -=，∴ .2''=-=-=QB QA QB QA BA作A N '⊥x 轴于点N ．∵ 点Q 在线段BD 上， Q ，B ，A '三点在一条直线上， ∴ sin 451A N B A ''=⋅︒=，cos 451B N B A '=⋅︒=． ∴ 点A '的坐标为(4,1)A '． ∵ 点Q 在线段BD 上，图9xyO 1DCBA∴ 设点Q 的坐标为(,3)Q x x -，其中23x <<． ∵ QA QA '=，∴ 由勾股定理得 2222(1)(3)(4)(31)x x x x -+-=-+--． 解得114x =．经检验，114x =在23x <<的范围内．∴ 点Q 的坐标为111(,)44Q -． …………………………………………… 7分 此时1115()2(1)2244Q AA A AB Q AB A Q S S S AB y y '''∆∆∆=+=⋅⋅+=⨯⨯+=．… 8分图10xy O 1FP 2EP 1DCBA图11xyO QMA'DB AN。
2012年北京市海淀区高考数学一模试卷(理科)(附答案解析)
2012年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{x|x >1}，B ＝{x|x <m}，且A ∪B ＝R ，那么m 的值可以是（ ） A.−1 B.0 C.1 D.22. 在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝a 3a 5，则a 7＝（ ） A.116B.18C.14D.123. 在极坐标系中，过点(2,3π2)且平行于极轴的直线的极坐标方程是（ ）A.ρsin θ=−2B.ρcos θ=−2C.ρsin θ=2D.ρcos θ=24. 已知向量a →=(1, x)，b →=(−1, x)，若2a →−b →与b →垂直，则|a →|=( )A.√2B.√3C.2D.45. 执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（ ）A.4B.5C.6D.76. 从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（ ） A.12 B.24C.36D.487. 已知函数f(x)={−x 2+ax ，x ≤1，ax −1,x >1， 若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f(x 1)=f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.a <2 B.a >2C.−2<a <2D.a >2或a <−28. 在正方体ABCD −A′B′C′D′中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 与AC′所成的角为45∘的点P 的个数为（ ）A.0B.3C.4D.6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.复数a+2i1−i 在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数a =________．过双曲线x 29−y 216=1的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是________．若tan α=12，则cos (2α+π2)＝________．设某商品的需求函数为Q ＝100−5P ，其中Q ，P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP 大于1（其中EQ EP=−Q ′QP ，Q ′是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是________．如图，以△ABC 的边AB 为直径的半圆交AC 于点D ，交BC 于点E ，EF ⊥AB 于点F ，AF =3BF ，BE =2EC =2，那么∠CDE =________，CD =________．已知函数f(x)={1,x ∈Q0,x ∈C R Q 则(I)f （f(x)）=________；（II ）给出下列三个命题： ①函数f(x)是偶函数；②存在x i ∈R(i =1, 2, 3)，使得以点（x i , f(x i )）(i =1, 2, 3)为顶点的三角形是等腰直角三角形； ③存在x i ∈R(i =1, 2, 3, 4)，使得以点（x i , f(x i )）(i =1, 2, 3, 4)为顶点的四边形为菱形． 其中，所有真命题的序号是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列． （1）若b =√13，a =3，求c 的值；（2）设t =sin A sin C ，求t 的最大值．在四棱锥P −ABCD 中，AB // CD ，AB ⊥AD ，AB =4,AD =2√2,CD =2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝4． (Ⅰ)设平面PAB ∩平面PCD ＝m ，求证：CD // m ； (Ⅱ)求证：BD ⊥平面PAC ；(Ⅲ)设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC 所成角的正弦值为√33，求PQPB的值．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0, 100]，样本数据分组为[0, 20),[20, 40),[40, 60),[60, 80),[80, 100]．（1）求直方图中x 的值；（2）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；（3）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）已知函数f(x)=e −kx (x 2+x −1k )(k <0)． （1）求f(x)的单调区间；（2）是否存在实数k ，使得函数f(x)的极大值等于3e −2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为F 1(−1, 0)，P 为椭圆G 的上顶点，且∠PF 1O ＝45∘．(Ⅰ)求椭圆G 的标准方程；(Ⅱ)已知直线l 1:y ＝kx +m 1与椭圆G 交于A ，B 两点，直线l 2:y ＝kx +m 2(m 1≠m 2)与椭圆G 交于C ，D 两点，且|AB|＝|CD|，如图所示． (ⅰ)证明：m 1+m 2＝0；(ⅱ)求四边形ABCD 的面积S 的最大值．对于集合M ，定义函数f M (x)={−1,x ∈M1,x ∉M. 对于两个集合M ，N ，定义集合M △N ＝{x|f M (x)⋅f N (x)＝−1}．已知A ＝{2, 4, 6, 8, 10}，B ＝{1, 2, 4, 8, 16}．(Ⅰ)写出f A (1)和f B (1)的值，并用列举法写出集合A △B ；(Ⅱ)用Card(M)表示有限集合M 所含元素的个数，求Card(X △A)+Card(X △B)的最小值； (Ⅲ)有多少个集合对(P, Q)，满足P ，Q ⊆A ∪B ，且(P △A)△(Q △B)＝A △B ？参考答案与试题解析2012年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【考点】并集及其运算【解析】根据题意，做出集合A，由并集的定义分析可得，若A∪B＝R，必有m<1，分析选项，即可得答案．【解答】根据题意，若集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x<m}，且A∪B＝R，必有m>1，分析选项可得，D符合；2.【答案】B【考点】等比数列的性质【解析】由等比数列的性质可知，a4＝a3a5=a42可求a4，然后由a1⋅a7=a42可求【解答】由等比数列的性质可知，a4＝a3a5=a42∵a4≠0∴a4＝1∵a1＝8∴a1⋅a7=a42=1∴a7=183.【答案】A【考点】圆的极坐标方程【解析】如图所示，在Rt△OPQ中，利用直角三角形的边角关系及诱导公式可得ρ=2cos(θ−3π2)=2−sinθ，即可．【解答】解：如图所示，在Rt△OPQ中，ρ=2cos(θ−3π2)=2−sinθ，可化为ρsinθ=−2．故选A．4.【答案】C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量数量积【解析】根据向量的坐标运算先求出2a→−b→，然后根据向量垂直的条件列式求出x的值，最后运用求模公式求|a→|．【解答】解∵a→=(1,x)，b→=(−1,x)，∴2a→−b→=2(1,x)−(−1,x)=(3, x)，由(2a→−b→)⊥b→⇒3×(−1)+x2=0，解得x=−√3，或x=√3，∴a→=(1,−√3)或a→=(1,√3)，∴|a→|=√12+(−√3)2=2，或|a→|=√12+(√3)2=2．故选C．5.【答案】B【考点】循环结构的应用【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出k的值．【解答】解：第一次循环：n=3×5+1=16，k=0+1=1，继续循环；第二次循环：n=162=8，k=1+1=2，继续循环；第三次循环：n=82=4，k=2+1=3，继续循环；第四次循环：n=42=2，k=3+1=4，继续循环；第五次循环：n=22=1，k=4+1=5，结束循环．输出k=5．故选B ．6.【答案】 D【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】先分类：(1)不选甲，有A 43种选法；(2)选甲，共C 21⋅A 42种，相加可得． 【解答】解：(1)若不选甲，则有A 43=24种选法；(2)若选甲，则先从令两个位置中选一个给甲，再从其余的4人中选2人排列，共有C 21⋅A 42=24种， 由分类计数原理可得总的方法种数为24+24=48， 故选D 7. 【答案】 A【考点】全称命题与特称命题分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f(x 1)=f(x 2)成立，则说明f(x)在R 上不单调，分a =0及a ≠0两种情况分布求解即可. 【解答】解：若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f(x 1)=f(x 2)成立，则说明f(x)在R 上不单调.①当a =0时，f(x)={−x 2，x ≤1,−1,x >1,，其图象如图所示，满足题意;②当a <0时，函数y =−x 2+ax 的对称轴x =a2<0，其图象如图所示，满足题意;③当a >0时，函数y =−x 2+ax 的对称轴x =a2>0，其图象如图所示， 要使得f(x)在R 上不单调,则只要二次函数的对称轴x =a2<1, ∴ a <2.综上可得，a <2.故选A. 8.【答案】 B【考点】异面直线及其所成的角 【解析】通过建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角即可找出所有满足条件的点P 的个数． 【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设棱长AB =1，B(1, 0, 1)，C(1, 1, 1)．①在Rt △AA′C 中，tan ∠AA′C =|AC||AA ′|=√2，因此∠AA′C≠45∘．同理A′B′，A′D′与A′C 所成的角都为arctan √2≠45∘．故当点P 位于（分别与上述棱平行）棱BB′，BA ，BC 上时，与A′C 所成的角都为arctan √2≠45∘，不满足条件. ②当点P 位于棱AD 上时，设P(0, y, 1)，(0≤y ≤1)，则BP →=(−1, y, 0)，A ′C →=(1, 1, 1)． 若满足BP 与AC′所成的角为45∘，则√22=|cos <BP →,A ′C →>|=|BP →⋅A ′C →||BP →||A ′C →|=|−1+y|√1+y 2√3，化为y 2+4y +1=0，无正数解，舍去.同理，当点P 位于棱B′C 上时，也不符合条件.③当点P 位于棱A′D′上时，设P(0, y, 0)，(0≤y ≤1)， 则BP →=(−1, y, −1)，A ′C →=(1, 1, 1)． 若满足BP 与AC ′所成的角为45∘，则√22=|cos <BP →,A ′C →>|=|BP →⋅A ′C →||BP →||A ′C →|=√2+y 2⋅√3，化为y 2+8y −2＝0，∵ 0≤y ≤1，解得y ＝3√2−4，满足条件，此时点P(0,3√2−4,0)．④同理可求得棱A′B′上一点P(√3−1,0,0)，棱A′A 上一点P(0,0,√3−1)． 而其它棱上没有满足条件的点P ．综上可知：满足条件的点P 有且只有3个． 故选B .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. 【答案】 2【考点】复数代数形式的乘除运算 复数的基本概念【解析】由题意，可先对所给的进行化简，由复数的除法规则，将复数化简成代数形式，再由题设条件其在复平面上对应的点在虚轴上，令实部为零即可得到参数的方程，从而解出参数的值 【解答】 解：复数a+2i 1−i=(a+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=a−2+(a+2)i2又复数a+2i 1−i在复平面内所对应的点在虚轴上所以a −2=0，即a =2 故答案为2 【答案】4x −3y −20=0 【考点】 双曲线的特性 【解析】根据双曲线方程，可得右焦点的坐标为F(5, 0)，且经过一、三象限的渐近线斜率为k =43．由平行直线的斜率相等，可得所求的直线方程的点斜式，再化成一般式即可． 【解答】解：∵ 双曲线的方程为x 29−y 216=1∴ a 2=9，b 2=16，得c =√a 2+b 2=5 因此，该双曲线右焦点的坐标为F(5, 0) ∵ 双曲线x 29−y 216=1的渐近线方程为y =±43x∴ 双曲线经过一、三象限的渐近线斜率为k =43∴ 经过双曲线右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是y =43(x −5) 化为一般式，得4x −3y −20=0． 故答案为：4x −3y −20=0 【答案】 −45【考点】同角三角函数间的基本关系二倍角的三角函数【解析】利用同角三角函数的基本关系，诱导公式，二倍角公式化简cos(2α+π2)为−2tanα1+tan2α，把tanα=12代入运算求得结果．【解答】∵tanα=12，∴cos(2α+π2)＝−sin2α＝−2sinαcosα=−2sinαcosαcos2α+sin2α=−2tanα1+tan2α=−45，【答案】(10, 20)【考点】函数最值的应用【解析】利用Q＝100−5P，弹性EQEP大于1，建立不等式，解不等式即可得到结论．【解答】∵Q＝100−5P，弹性EQEP大于1∴EQEP =−Q′QP=5P100−5P>1∴(P−10)(P−20)<0∴10<P<20【答案】60∘,3√1313【考点】与圆有关的比例线段【解析】如图所示，设圆心为点O，半径为R，连接OE，AE．利用已知AF=3FB，AF+FB=2R，可得FB=12R，又EF⊥AB，可得OE=EB，即△OEB为等边三角形，从而利用圆内接四边形的性质即可得出∠CDE的大小；也可求出AE．进而求出AC，再利用割线定理即可得出CD．【解答】解：如图所示，设圆心为点O，半径为R，连接OE，AE．由AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90∘，∴AE⊥CE．∵AF=3FB，AF+FB=2R，∴FB=12R，又EF⊥AB，∴OE=EB，即△OEB为等边三角形．∴∠ABE=60∘．∴∠CDE=∠ABE=60∘；∴AE=BE tan60∘=2 √3．在Rt△ACE，AC=√AE2+CE2=√(2√3)2+12=√13．由割线定理可得：CD⋅CA=CE⋅CB，∴CD=√13=3√1313．故答案为60∘；3√1313．【答案】1，①③．【考点】命题的真假判断与应用函数解析式的求解及常用方法【解析】（I）对x分类：x∈Q和x∈C R Q，再由解析式求出f（f(x)）的值；（II）①对x分类：x∈Q和x∈C R Q，分别判断出f(−x)=f(x)，再由偶函数的定义判断出①正确；②由解析式做出大致图象：根据图象和等腰直角三角形的性质，进行判断即可；③取两个自变量是有理数，使得另外两个无理数差与两个有理数的差相等，即可得出此四边形为平行四边形．【解答】解：(I)由题意知，f(x)={1,x∈Q0,x∈C R Q，当x∈Q时，f(x)=1∈Q，则f（f(x)）=1，当x∈C R Q时，f(x)=0∈Q，则f（f(x)）=1，综上得，f（f(x)）=1；（II）①当x∈Q时，则−x∈Q，故f(−x)=1=f(x)，当x∈C R Q时，则−x∈C R Q，故f(−x)=0=f(x)，∴函数f(x)是偶函数，①正确；②根据f(x)={1,x∈Q0,x∈C R Q，做出函数的大致图象：假设存在等腰直角三角形ABC，则斜边AB只能在x轴上或在直线y=1上，且斜边上的高始终是1，不妨假设A，B在x轴上，如图故斜边AB=2，故点A、B 的坐标不可能是无理数，否则O点不再是中点，故不存在另外，当AB在y=1上，C在x轴时，由于AB=2，则C的坐标应是有理数，故假设不成立，即不存在符合题意的等腰直角三角形，②错误；③根据②做出的图形知，取两个自变量是有理数，使得另外两个无理数差与两个有理数的差相等，即可画出平行四边形，且是对角线相互垂直，可以做出以点（x i, f(x i)）(i=1, 2, 3, 4)为顶点的四边形为菱形，③正确．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【答案】解：（1）因为A，B，C成等差数列，所以2B=A+C．因为A+B+C=π，所以B=π3．因为b=√13，a=3，b2=a2+c2−2ac cos B，所以c2−3c−4=0，解得c=4，或c=−1（舍去）．（2）因为A+C=23π，所以，t=sin A sin(2π3−A)=sin A(√32cos A+12sin A)=√34sin2A+12(1−cos2A2)=14+12sin(2A−π6)．因为0<A<2π3，所以，−π6<2A−π6<7π6．所以当2A−π6=π2，即A=π3时，t有最大值34．【考点】余弦定理等差数列的通项公式求两角和与差的正弦【解析】（1）由A，B，C成等差数列求得B的值，再由余弦定理求得c的值．（2）因为A+C=23π，利用两角和差的正弦公式化简函数t的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得t的最大值．【解答】解：（1）因为A，B，C成等差数列，所以2B=A+C．因为A+B+C=π，所以B=π3．因为b=√13，a=3，b2=a2+c2−2ac cos B，所以c2−3c−4=0，解得c=4，或c=−1（舍去）．（2）因为A+C=23π，所以，t=sin A sin(2π3−A)=sin A(√32cos A+12sin A)=√34sin2A+12(1−cos2A2)=14+12sin(2A−π6)．因为0<A<2π3，所以，−π6<2A−π6<7π6．所以当2A−π6=π2，即A=π3时，t有最大值34．【答案】（1）如图所示，过点B作BM // PA，并且取BM＝PA，连接PM，CM．∴四边形PABM为平行四边形，∴PM // AB，∵AB // CD，∴PM // CD，即PM为平面PAB∩平面PCD＝m，m // CD．（2）在Rt△BAD和Rt△ADC中，由勾股定理可得BD=√42+(2√2)2=2√6，AC=√22+(2√2)2=2√3．∵AB // DC，∴ODOB=OCOA=24=12，∴OD=13BD=2√63，OC=13AC=2√33．∴OD2+OC2=(2√63)2+(2√33)2=4＝CD2，∴OC⊥OD，即BD⊥AC；∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．(Ⅲ)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0, 0, 0)，B(4, 0, 0)，D(0, 2√2, 0)，C(2, 2√2, 0)，P(0, 0, 4)．∴PB→=(4,0,−4)，设PQ→=λPB→，则Q(4λ, 0, 4−4λ)，∴QC→=(2−4λ,2√2,4λ−4)．BD→=(−4,2√2,0)，由（2）可知BD→为平面PAC的法向量．∴cos<BD→,QC→>=BD→⋅QC→|BD→||QC→|=2√6√(2−4λ)2+(2√2)2+(4λ−4)2，∵直线QC与平面PAC所成角的正弦值为√33，∴√33=2√6√(2−4λ)2+8+(4λ−4)2，化为12λ＝7，解得λ=712．∴PQPB=712．【考点】直线与平面垂直 直线与平面所成的角【解析】(Ⅰ)利用平行四边形的性质和平行线的传递性即可找出两个平面的交线并且证明结论； (Ⅱ)利用已知条件先证明BD ⊥AC ，再利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明； (Ⅲ)通过结论空间直角坐标系，利用法向量与斜线所成的角即可找出Q 点的位置． 【解答】（1）如图所示，过点B 作BM // PA ，并且取BM ＝PA ，连接PM ，CM ． ∴ 四边形PABM 为平行四边形，∴ PM // AB ，∵ AB // CD ，∴ PM // CD ，即PM 为平面PAB ∩平面PCD ＝m ，m // CD ． （2）在Rt △BAD 和Rt △ADC 中，由勾股定理可得 BD =√42+(2√2)2=2√6，AC =√22+(2√2)2=2√3． ∵ AB // DC ，∴ OD OB=OC OA=24=12，∴ OD =13BD =2√63，OC =13AC =2√33． ∴ OD 2+OC 2=(2√63)2+(2√33)2=4＝CD 2，∴ OC ⊥OD ，即BD ⊥AC ；∵ PA ⊥底面ABCD ，∴ PA ⊥BD ． ∵ PA ∩AC ＝A ，∴ BD ⊥平面PAC ．(Ⅲ)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0, 0, 0)， B(4, 0, 0)，D(0, 2√2, 0)，C(2, 2√2, 0)，P(0, 0, 4)． ∴ PB →=(4,0,−4)，设PQ →=λPB →，则Q(4λ, 0, 4−4λ)，∴ QC →=(2−4λ,2√2,4λ−4)． BD →=(−4,2√2,0)，由（2）可知BD →为平面PAC 的法向量．∴ cos <BD →,QC →>=BD →⋅QC →|BD →||QC →|=2√6√(2−4λ)2+(2√2)2+(4λ−4)2，∵ 直线QC 与平面PAC 所成角的正弦值为√33， ∴√33=2√6√(2−4λ)2+8+(4λ−4)2，化为12λ＝7，解得λ=712． ∴ PQPB =712．【答案】 解：（1）由直方图可得：20×x +0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1． 所以 x =0.0125．（2）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003×2×20=0.12， 因为600×0.12=72，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿． （3）X 的可能取值为0，1，2，3，4．由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14，P(X =0)=(34)4=81256，P(X =1)=C 41(14)(34)3=2764，P(X =2)=C 42(14)2(34)2=27128， P(X =3)=C 43(14)3(34)=364，P(X =4)=(14)4=1256． 所以X 的分布列为：EX =0×81256+1×2764+2×27128+3×364+4×1256=1．（或EX =4×14=1） 所以X 的数学期望为1． 【考点】离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出x 值．（2）再求出小矩形的面积即上学所需时间不少于1小时组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数即可．（3）求出随机变量X 可取得值，利用古典概型概率公式求出随机变量取各值时的概率，列出分布列，利用随机变量的期望公式求出期望．【解答】 解：（1）由直方图可得：20×x +0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1． 所以 x =0.0125．（2）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003×2×20=0.12， 因为600×0.12=72，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿． （3）X 的可能取值为0，1，2，3，4．由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14，P(X =0)=(34)4=81256，P(X =1)=C 41(14)(34)3=2764，P(X =2)=C 42(14)2(34)2=27128， P(X =3)=C 43(14)3(34)=364，P(X =4)=(14)4=1256．所以X 的分布列为：EX =0×81256+1×2764+2×27128+3×364+4×1256=1．（或EX =4×14=1）所以X 的数学期望为1． 【答案】 解：（1）f(x)的定义域为R ，f′(x)=−ke −kx (x 2+x −1k )+e −kx (2x +1)=e −kx [−kx 2+(2−k)x +2]，即 f ′(x)=−e −kx (kx −2)(x +1)(k <0)．令f ′(x)=0，解得：x =−1或x =2k ．①当k =−2时，f ′(x)=2e 2x (x +1)2≥0， 故f(x)的单调递增区间是(−∞, +∞)；②当−2<k <0时，f(x)，f ′(x)随x 的变化情况如下：所以，函数f(x)的单调递增区间是(−∞,2k )和(−1, +∞)，单调递减区间是(2k ，−1)． ③当k <−2时，f(x)，f ′(x)随x 的变化情况如下：所以，函数f(x)的单调递增区间是(−∞, −1)和(2k ，+∞)，单调递减区间是(−1,2k )．综上，当k =−2时，f(x)的单调递增区间是(−∞, +∞)；当−2<k <0时，f(x)的单调递增区间是(−∞,2k )和(−1, +∞)，单调递减区间是(2k ，−1)；当k <−2时，f(x)的单调递增区间是(−∞, −1)和(2k ，+∞)，单调递减区间是(−1,2k )． （2） ①当k =−2时，f(x)无极大值．②当−2<k <0时，f(x)的极大值为f(2k )=e −2(4k 2+1k )， 令e −2(4k 2+1k )=3e −2，即4k 2+1k =3，解得 k =−1或k =43（舍）． ③当k <−2时，f(x)的极大值为f(−1)=−e kk ． 因为 e k <e −2，0<−1k <12，所以 −e k k<12e −2．因为 12e −2<3e −2，所以 f(x)的极大值不可能等于3e −2，综上所述，当k=−1时，f(x)的极大值等于3e−2．【考点】利用导数研究函数的单调性函数在某点取得极值的条件【解析】（1）求出f′(x)）=−e−kx(kx−2)(x+1)(k<0)，令f′(x)=0，解得：x=−1或x=2k ．按两根−1，2k的大小关系分三种情况讨论即可；（2）由（1）分情况求出函数f(x)的极大值，令其为3e−2，然后解k即可，注意k的取值范围；【解答】解：（1）f(x)的定义域为R，f′(x)=−ke−kx(x2+x−1k)+e−kx(2x+1)=e−kx[−kx2+(2−k)x+2]，即f′(x)=−e−kx(kx−2)(x+ 1)(k<0)．令f′(x)=0，解得：x=−1或x=2k．①当k=−2时，f′(x)=2e2x(x+1)2≥0，故f(x)的单调递增区间是(−∞, +∞)；②当−2<k<0时，f(x)，f′(x)随x的变化情况如下：所以，函数f(x)的单调递增区间是(−∞,2k )和(−1, +∞)，单调递减区间是(2k，−1)．③当k<−2时，f(x)，f′(x)随x的变化情况如下：所以，函数f(x)的单调递增区间是(−∞, −1)和(2k ，+∞)，单调递减区间是(−1,2k)．综上，当k=−2时，f(x)的单调递增区间是(−∞, +∞)；当−2<k<0时，f(x)的单调递增区间是(−∞,2k)和(−1, +∞)，单调递减区间是(2k，−1)；当k<−2时，f(x)的单调递增区间是(−∞, −1)和(2k ，+∞)，单调递减区间是(−1,2k)．（2）①当k=−2时，f(x)无极大值．②当−2<k<0时，f(x)的极大值为f(2k )=e−2(4k2+1k)，令e−2(4k2+1k)=3e−2，即4k2+1k=3，解得k=−1或k=43（舍）．③当k<−2时，f(x)的极大值为f(−1)=−e kk．因为e k<e−2，0<−1k<12，所以−ekk<12e−2．因为12e−2<3e−2，所以f(x)的极大值不可能等于3e−2，综上所述，当k=−1时，f(x)的极大值等于3e−2．【答案】（1）设椭圆G的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)．因为F1(−1, 0)，∠PF1O＝45∘，所以b＝c＝1．所以，a2＝b2+c2＝2．所以，椭圆G的标准方程为x22+y2=1．（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，D(x4, y4)．(ⅰ)证明：由{y=kx+m1x22+y2=1.消去y得：(1+2k2)x2+4km1x+2m12−2=0．则△=8(2k2−m12+1)>0，{x1+x2=−4km11+2k2x1x2=2m12−21+2k2.⋯所以|AB|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2√(−4km11+2k2)2−4⋅2m12−21+2k2=2√2√1+k2√2k2−m12+11+2k2．同理|CD|=2√2√1+k2√2k2−m22+11+2k2．因为|AB|＝|CD|，所以2√2√12√2k2−m12+11+2k2=2√2√1+k2√2k2−m22+11+2k2．因为m1≠m2，所以m1+m2＝0．(ⅱ)由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则d=12√1+k2．因为m1+m2＝0，所以d=1√1+k2．所以S=|AB|⋅d=2√2√1+k2√2k2−m12+11+2k21√1+k2=4√2√(2k2−m12+1)m121+2k2≤4√22121221+2k2=2√2．（或S=4√2√(2k2+1)m12−m14(1+2k2)2=4√2√−(m121+2k2−12)2+14≤2√2）所以当2k2+1=2m12时，四边形ABCD的面积S取得最大值为2√2．【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】(Ⅰ)根据F 1(−1, 0)，∠PF 1O ＝45∘，可得b ＝c ＝1，从而a 2＝b 2+c 2＝2，故可得椭圆G 的标准方程； (Ⅱ)设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，C(x 3, y 3)，D(x 4, y 4)．(ⅰ)直线l 1:y ＝kx +m 1与椭圆G 联立，利用韦达定理，可求AB ，CD 的长，利用|AB|＝|CD|，可得结论； (ⅱ)求出两平行线AB ，CD 间的距离为d ，则 d =12√1+k 2，表示出四边形ABCD 的面积S ，利用基本不等式，即可求得四边形ABCD 的面积S 取得最大值． 【解答】（1）设椭圆G 的标准方程为x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)．因为F 1(−1, 0)，∠PF 1O ＝45∘，所以b ＝c ＝1． 所以，a 2＝b 2+c 2＝2． 所以，椭圆G 的标准方程为x 22+y 2=1．（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，C(x 3, y 3)，D(x 4, y 4)． (ⅰ)证明：由{y =kx +m 1x 22+y 2=1.消去y 得：(1+2k 2)x 2+4km 1x +2m 12−2=0．则△=8(2k 2−m 12+1)>0，{x 1+x 2=−4km11+2k 2x 1x 2=2m 12−21+2k 2. ⋯ 所以 |AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√(−4km 11+2k 2)2−4⋅2m 12−21+2k 2=2√2√1+k 2√2k 2−m 12+11+2k 2．同理 |CD|=2√2√12√2k 2−m 22+11+2k 2．因为|AB|＝|CD|， 所以 2√2√1+k 2√2k 2−m 12+11+2k 2=2√2√1+k 2√2k 2−m 22+11+2k 2．因为 m 1≠m 2，所以m 1+m 2＝0．(ⅱ)由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线AB ，CD 间的距离为d ，则 d =122．因为 m 1+m 2＝0，所以 d =1√1+k 2．所以 S =|AB|⋅d =2√2√1+k 2√2k 2−m 12+11+2k 212=4√2√(2k 2−m 12+1)m 121+2k 2≤4√22121221+2k 2=2√2．（或S =4√2√(2k 2+1)m 12−m 14(1+2k 2)2=4√2√−(m 121+2k 2−12)2+14≤2√2）所以 当2k 2+1=2m 12时，四边形ABCD 的面积S 取得最大值为2√2．【答案】（1）结合所给定义知，f A (1)＝1，f B (1)＝−1，A △B ＝{1, 6, 10, 16}． （2）根据题意可知：对于集合C ，X ，①若a ∈C 且a ∉X ，则Card(C △(X ∪{a})＝Card(C △X)−1； ②若a ∉C 且a ∉X ，则Card(C △(X ∪{a})＝Card(C △X)+1．所以 要使Card(X △A)+Card(X △B)的值最小，2，4，8一定属于集合X ；1，6，10，16是否属于X 不影响Card(X △A)+Card(X △B)的值，但集合X 不能含有A ∪B 之外的元素． 所以 当X 为集合{1, 6, 10, 16}的子集与集合{2, 4, 8}的并集时，Card(X △A)+Card(X △B)取到最小值4． 所以Card(X △A)+Card(X △B)的最小值 (Ⅲ)因为 A △B ＝{x|f A (x)⋅f B (x)＝−1}， 所以 A △B ＝B △A ．由定义可知：f A△B (x)＝f A (x)⋅f B (x)．所以 对任意元素x ，f （A△B ）△C (x)＝f A△B (x)⋅f C (x)＝f A (x)⋅f B (x)⋅f C (x)， f A△（B△C ）(x)＝f A (x)⋅f B△C (x)＝f A (x)⋅f B (x)⋅f C (x)． 所以 f （A△B ）△C (x)＝f A△（B△C ）(x)．所以 (A △B)△C ＝A △(B △C)．由 (P △A)△(Q △B)＝A △B 知：(P △Q)△(A △B)＝A △B ． 所以 (P △Q)△(A △B)△(A △B)＝(A △B)△(A △B)． 所以 P △Q △⌀＝⌀．所以 P △Q ＝⌀，即P ＝Q ． 因为 P ，Q ⊆A ∪B ，所以 满足题意的集合对(P, Q)的个数为27＝128． 【考点】集合的包含关系判断及应用 集合中元素个数的最值【解析】(Ⅰ)根据定义直接得答案；(Ⅱ)对于已知集合E 、F ，①若a ∈E 且a ∉F ，则Card(E △(F ∪{a})＝Card(E △F)−1；②若a ∉E 且a ∉F ，则Card(E △(F ∪{a})＝Card(E △F)+1，据此结论找出满足条件的集合，从而求出Card(X △A)+Card(X △B)的最小值．(Ⅲ)由P ，Q ⊆A ∪B ，且(P △A)△(Q △B)＝A △B 求出集合P ，Q 所满足的条件，进而确定集合对(P, Q)的个数． 【解答】（1）结合所给定义知，f A (1)＝1，f B (1)＝−1，A △B ＝{1, 6, 10, 16}． （2）根据题意可知：对于集合C ，X ，①若a ∈C 且a ∉X ，则Card(C △(X ∪{a})＝Card(C △X)−1； ②若a ∉C 且a ∉X ，则Card(C △(X ∪{a})＝Card(C △X)+1．所以 要使Card(X △A)+Card(X △B)的值最小，2，4，8一定属于集合X ；1，6，10，16是否属于X 不影响Card(X △A)+Card(X △B)的值，但集合X 不能含有A ∪B 之外的元素． 所以 当X 为集合{1, 6, 10, 16}的子集与集合{2, 4, 8}的并集时，Card(X △A)+Card(X △B)取到最小值4． 所以Card(X △A)+Card(X △B)的最小值 (Ⅲ)因为 A △B ＝{x|f A (x)⋅f B (x)＝−1}， 所以 A △B ＝B △A ．由定义可知：f A△B (x)＝f A (x)⋅f B (x)．所以 对任意元素x ，f （A△B ）△C (x)＝f A△B (x)⋅f C (x)＝f A (x)⋅f B (x)⋅f C (x)， f A△（B△C ）(x)＝f A (x)⋅f B△C (x)＝f A (x)⋅f B (x)⋅f C (x)．所以f（A△B）△C (x)＝fA△（B△C）(x)．所以(A△B)△C＝A△(B△C)．由(P△A)△(Q△B)＝A△B知：(P△Q)△(A△B)＝A△B．所以(P△Q)△(A△B)△(A△B)＝(A△B)△(A△B)．所以P△Q△⌀＝⌀．所以P△Q＝⌀，即P＝Q．因为P，Q⊆A∪B，所以满足题意的集合对(P, Q)的个数为27＝128．。
2012北京各区一模数学理试题分类解析-统计、概率、随机变量.
8 4 4 6 4 7m 9 35 4 5 5 10 7 9乙甲2012北京各区一模数学理试题分类解析（14）--统计、概率、随机变量及其分布 第一部分 统计、概率 1．9.（2012年西城一模理9）某年级120名学生在一次百米测试中， 成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),，[1415),，[1516),，[1617),，[1718],，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．答案：54.11．（2012年东城一模理11）在如图所示的茎叶图中，乙组数据的 中位数是 ；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个 最小数后，两组数据的平均数中较大的一组是 组． 答案：84； 乙。
11．（2012年门头沟一模理11）某单位招聘员工，从400名报名者中选出200名参加笔试， 再按笔试成绩择优取40名参加面试，随机抽查了20名笔试者，统计他们的成绩如下：由此预测参加面试所画的分数线是 ． 答案：80。
13.（2012年石景山一模理13）如图，圆222:O x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是 ．答案：34π。
10．（2012年密云一模理10）样本容量为1000的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图，计算x 的值为 ，样本数据落在[)6,14内的频数为 ．答案：0.09，680。
10第二部分 随机变量及其分布17.（2012年海淀一模理17）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]. （Ⅰ）求直方图中x 的值； （Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率） 解：（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.所以 0.0125x =. （Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.0032200.12⨯⨯=，因为6000.1272⨯=，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿. （Ⅲ）X 的可能取值为0，1，2，3，4.由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14，4381(0)4256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭,3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭,22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,411(4)4256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭.所以的分布列为：812727310123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（或1414EX =⨯=） 所以X 的数学期望为1.16.（2012年西城一模理16）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.（Ⅰ）求甲以4比1获胜的概率；（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；Ⅲ求比赛局数的分布列.解：（Ⅰ）由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是21．记“甲以4比1获胜”为事件A ， 则334341111()C ()()2228P A -==．（Ⅱ）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B . 因为，乙以4比2获胜的概率为3353151115C ()()22232P -==，乙以4比3获胜的概率为3363261115C ()()22232P -==，所以125()16P B P P =+=．（Ⅲ）设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4,5,6,7．44411(4)2C ()28P X ===，334341111(5)2C ()()2224P X -===，335251115(6)2C ()()22216P X -==⋅=，336361115(7)2C ()()22216P X -==⋅=．比赛局数的分布列为：X 45 6 7 P1814 516 51616．（2012年东城一模理16）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元，若是二等品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元，若是二等品，则亏损2万元.两种产品生产的质量相互独立.（Ⅰ）设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为X （单位：万元），求X 的分布列；（Ⅱ）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.解：（Ⅰ）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，3-.(10)P X =0.80.90.72=⨯=， (5)0.20.90.18P X ==⨯= ， (2)0.80.10.08P X ==⨯=， (3)0.20.10.02P X =-=⨯=. 由此得的分布列为：（Ⅱ）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件. 由题设知4(4)10n n --≥，解得145n ≥，又n *∈N 且4n ≤，得3n =，或4n =. 所求概率为33440.80.20.80.8192P C =⨯⨯+=.（或写成512625）答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192.17. （2012年丰台一模理17）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）请根据图中所给数据，求出a 的值；（Ⅱ）从成绩在[50,70)内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在[60,70)内的概率；（Ⅲ）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50,70)内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X 表示所选学生成绩在[60,70)内的人数，求X 的分布列和数学期望．解：(Ⅰ)根据频率分布直方图中的数据，可得1(0.0050.00750.02250.035)100.10.070.0310a -+++⨯==-=， 所以 0.03a =． ……2分（Ⅱ）学生成绩在[50,60)内的共有40×0.05=2人，在[60,70)内的共有40×0.225=9人，成绩在[50,70)内的学生共有11人． …4分设“从成绩在[50,70)的学生中随机选3名，且他们的成绩都在[60,70)内”为事件A ， 则3931128()55C P A C ==． ……7分所以选取的3名学生成绩都在[60,70)内的概率为2855．（Ⅲ）依题意，X 的可能取值是1，2，3． …8分21293113(1)55C C P X C ===；122931124(2)55C C P X C ===；28(3)()55P X P A ===． …10分所以X324282712355555511E ξ=⨯+⨯+⨯=． …13分16.（2012年朝阳一模理16）某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀.（Ⅰ）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整（II ）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；（Ⅲ）在（II ）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X ，求X 的分布列与数学期望.解：（Ⅰ）依题意，0.0451000200,0.025*******a b =⨯⨯==⨯⨯=. ……4分 （Ⅱ）设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则350300*********x++=，解得：x=30，即其中成绩为优秀的学生人数为30名. …7分（Ⅲ）依题意，X 的取值为0，1，2，2102403(0)52C P X C===，1110302405(1)13C C P X C ===，23024029(2)52C P X C ===，所以X 的分布列为352930125213522EX =⨯+⨯+⨯=，所以X 的数学期望为32. 13分16.（2012年东城11校联考理16）某中学选派40名同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如表所示：（1）从这40人中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率；（2）从40人中任选两名学生，用X 表示这两人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布 列及数学期望EX .解：（1）这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率为494419134012011515=-=C C C C P . ……5分(2)由题意知X =0,1,222251520240111151515202401152024061(0);15675(1);1565(2).39C C C P X C C C C C P X C C C P X C ++===+======则随机变量X 的分布列：012.156********X EX =⨯+⨯+⨯=所以的数学期望……13分16.（2012年石景山一模理16）甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为31，乙每次投中的概率为21，每人分别进行三次投篮．（Ⅰ）记甲投中的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ；（Ⅱ）求乙至多投中2次的概率；（Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率．解：（Ⅰ）ξ的可能取值为：0，1，2，3． …1分;27832)0(303=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ;943231)1(213=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ;923231)2(223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛==C P ξ.27131)3(333=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξξ的分布列如下表：……4分127139229412780=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． 5分 （Ⅱ）乙至多投中2次的概率为87211333=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C ． ……8分（Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A ，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B 1， 乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B 2，则2121,,B B B B A =为互斥事件． ……10分=+=)()()(21B P B P A P 61819483278=⨯+⨯．所以乙恰好比甲多投中2次的概率为61． …13分16.（2012年房山一模16）今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：高一年级 高二年级 高三年级 10人6人4人（I ）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；（II ）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.解：（I ）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件A ，则()3815320210110==C C C A P答：若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为3815. ……4分（II ）解法1：ξ的所有取值为0，1，2，3，4.由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为31.所以 …6分()8116323104004=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ;()8132323113114=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ;()2788124323122224==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ;()818323131334=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ;()811323140444=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ. 11分随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 4P81168132 278 818 811 …12分 所以3481148183812428132181160=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE …13分解法2：由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为31. …5分则随机变量ξ服从参数为4，31的二项分布，即ξ～)31,4(B .……7分 随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 4P8116 8132 278 818 811 所以34314=⨯==np E ξ ……13分17．（2012年密云一模理17）在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56、45、34、13，且各轮问题能否正确回答互不影响．（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列和期望． 解：设事件(1,2,3,4)iA i =表示“该选手能正确回答第i 轮问题”，由已知12345431(),(),(),()6543P A P A P A P A ====（Ⅰ）设事件B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”， 则331212()()()()()P B P A A A P A P A P A ==543116546⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．…3分（Ⅱ）设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则123112()()P C P A A A A A A =++1231121515431()()()(1)6656542P A P A A P A A A =++=+⨯+⨯⨯-=；…7分（Ⅲ）X 的可能取值为1，2，3，411(1)()6P X P A ===，21541(2)()(1)656P X P A A ===⨯-=，3125431(3)()(1)6546P X P A A A ===⨯⨯-=，1235431(4)()6542P X P A A A ===⨯⨯=，所以，的分布列为1111()123436662E X =⨯+⨯+⨯+⨯=17．（2012年门头沟一模理17）将编号为1，2，3，4的四个材质和大小都相同的球，随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子放一个球，ξ表示球的编号与所放入盒子的编号正好相同的个数．（Ⅰ）求1号球恰好落入1号盒子的概率；（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望ξE ．解：（Ⅰ） 设事件A 表示 “1号球恰好落入1号盒子”，33441()4A P A A ==所以1号球恰好落入1号盒子的概率为14……5分（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，4 ……6分44333(0)8P A ξ⨯=== 44421(1)3P A ξ⨯===22441(2)4C P A ξ===4411(4)24P A ξ===（每个1分）……10分所以ξ的分布列为……11分数学期望31110124183424E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ……13分。
【数学理】2012年北京市各区一模试题分类解析(3)：导数及其应用
三、导数及其应用12.（2012年海淀一模理12）设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP大于1（其中'EQ Q P EP Q =-，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 . 答案：(10,20)。
18.（2012年海淀一模理18）已知函数21()e()(0)kxf x x x k k-=+-<.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得函数()f x 的极大值等于23e -？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R . 221'()e()e (21)e [(2)2]kxkx kx f x k x x x kx k x k---=-+-++=-+-+，即 '()e(2)(1)(0)kxf x kx x k -=--+<.令'()0f x =，解得：1x =-或2x k=. 当2k =-时，22'()2e (1)0xf x x =+≥，故()f x 的单调递增区间是(,)-? . 当20k -<<时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间是2(,)k -∞和(1,)-+∞，单调递减区间是2(,1)k-. 当2k <-时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞-和(,)k+∞，单调递减区间是(1,)k-. （Ⅱ）当1k =-时，()f x 的极大值等于23e -. 理由如下：当2k =-时，()f x 无极大值.当20k -<<时，()f x 的极大值为22241()e ()f kk k-=+， 令22241e ()3e k k--+=，即2413,k k += 解得 1k =-或43k =（舍）.当2k <-时，()f x 的极大值为e (1)kf k-=-.因为 2e e k-<，1102k <-<， 所以 2e 1e 2k k --<. 因为221e 3e 2--<，所以 ()f x 的极大值不可能等于23e -. 综上所述，当1k =-时，()f x 的极大值等于23e -.18.（2012年西城一模理18）已知函数()e (1)axaf x a x=⋅++，其中1-≥a .（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间.解：（Ⅰ）当1a =时，1()e (2)x f x x =⋅+，211()e (2)xf x x x '=⋅+-．由于(1)3e f =，(1)2e f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是2e e 0x y -+=． （Ⅱ）2(1)[(1)1]()e axx a x f x a x++-'=，0x ≠． ① 当1-=a 时，令()0f x '=，解得 1x =-．)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-；单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞．当1a ≠-时，令()0f x '=，解得 1x =-，或11x a =+． ② 当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+；单调递增区间为(1,0)-，1(0,)1a +． ③ 当0=a 时，()f x 为常值函数，不存在单调区间． ④ 当0a >时，)(x f 的单调递减区间为(1,0)-，1(0,)1a +；单调递增区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+．18．（2012年东城一模理18）已知函数221()2e 3e ln 2f x x x x b =+--在0(,0)x 处的切线斜率为零．（Ⅰ）求0x 和b 的值；（Ⅱ）求证：在定义域内()0f x ≥恒成立；(Ⅲ) 若函数()()aF x f x x'=+有最小值m ，且2e m >，求实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）23e ()2e f x x x'=+-.由题意有0()0f x '=即2003e 2e 0x x +-=，解得0e x =或03e x =-（舍去）． 得(e)0f =即2221e 2e 3e ln e 02b +--=，解得21e 2b =-． 证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知2221e ()2e 3e ln (0)22f x x x x x =+-+>，()f x '23e (e)(3e)2e (0)x x x x x x-+=+-=>． 在区间(0,e)上，有()0f x '<；在区间(e,)+∞上，有()0f x '>． 故()f x 在(0,e)单调递减，在(e,)+∞单调递增， 于是函数()f x 在(0,)+∞上的最小值是(e)0f =． 故当0x >时，有()0f x ≥恒成立．解：(Ⅲ) 23e ()()2e a a F x f x x x x-'=+=++(0)x >．当23e a >时，则23e ()2e 2e a F x x x-=++≥，当且仅当x =时等号成立，故()F x 的最小值2e m =2e >，符合题意；当23e a =时，函数()2e F x x =+在区间(0,)+∞上是增函数，不存在最小值，不合题意；当23e a <时，函数23e ()2e a F x x x-=++在区间(0,)+∞上是增函数，不存在最小值，不合题意．综上，实数a 的取值范围2(3e ,)+∞．18. （2012年丰台一模理18）已知函数2()(2)ln f x ax a x x =-++．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；（Ⅱ）当a>0时，函数f(x)在区间[1，e]上的最小值为-2，求a 的取值范围；（Ⅲ）若对任意12,(0,)x x ∈+∞，12x x <，且1122()+2()+2f x x f x x <恒成立，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）当1a =时，2()3ln f x x x x =-+，1()23f x x x'=-+． …1分 因为(1)0f '=，(1)2f =-， …2分 所以切线方程为 2y =-． ……3分（Ⅱ）函数2()(2)ln f x ax a x x =-++的定义域为(0,)+∞．当a>0时，212(2)1()2(2)ax a x f x ax a x x -++'=-++=(0)x >，4分令()0f x '=，即22(2)1(21)(1)()0ax a x x ax f x x x-++--'===，所以12x =或1x a=． …5分 当101a<≤，即1a ≥时，()f x 在[1,]e 上单调递增， 所以()f x 在[1,e]上的最小值是(1)2f =-； …6分 当11e a <<时，()f x 在[1,e]上的最小值是1()(1)2f f a<=-，不合题意； 当1e a≥时，()f x 在(1,)e 上单调递减， 所以()f x 在[1,e]上的最小值是()(1)2f e f <=-，不合题意． …7分 综上可得 1a ≥． ……8分（Ⅲ）设()()2g x f x x =+，则2()ln g x ax ax x =-+， ……9分只要()g x 在(0,)+∞上单调递增即可．而2121()2ax ax g x ax a x x-+'=-+=， ……10分当0a =时，1()0g x x'=>，此时()g x 在(0,)+∞单调递增； …11分 当0a ≠时，只需()0g x '≥在(0,)+∞恒成立，因为(0,)x ∈+∞，只要22+10ax ax -≥， 则需要0a >，对于函数22+1y ax ax =-，过定点(0,1)，对称轴104x =>，只需280a a ∆=-≤， 即08a <≤． …12分综上可得 08a ≤≤． …13分18.（2012年朝阳一模理18）设函数2e (),1axf x a x R =∈+.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数)(x f 单调区间.解：因为2e (),1ax f x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+. （Ⅰ）当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+,所以(0)1,f = (0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax ax ax x af x ax x a x x -+'==-+++， …5分 （1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减.…6分 （2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……7分①当01a <<时，此时0∆>.由()0f x '>得1x a <,或1x a >；由()0f x '<得11x a a-+<<.所以函数()f x 单调递增区间是(-∞和)+∞,单调递减区间. ……9分②当1a ≥时，此时0∆≤.所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. …10分 ③当10a -<<时，此时0∆>.由()0f x '>x <<；由()0f x '<得1x a +<,或1x a>.所以当10a -<<时,函数()f x 单调递减区间是1(,a +-∞和1()a +∞,单调递增区间11(a a +.……12分④当1a ≤-时, 此时0∆≤，()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞.18.（2012年东城11校联考理18）已知函数：)(ln )1()(R a x ax a x x f ∈-+-= ,x x xe e x x g -+=221)(（1） 当[]e x ,1∈时，求)(x f 的最小值；（2）当1<a 时，若存在[]21,e e x ∈,使得对任意的[]()()212,0,2x g x f x <-∈恒成立，求a 的取值范围.解 ：（1）)(x f 的定义域为),0(+∞, )())(1()(2'R a x a x x x f ∈--=当1≤a 时，[]()()x f x f e x .0,,1'≥∈为增函数，()()a f x f -==11m in当e a <<1时，[]()()x f x fa x .0,,1'≤∈为减函数，[]()()x f x f e a x .0,,'≥∈为增函数，()()()1ln 1min -+-==a a a a f x f当e a ≥时，[]()()x f x fe x .0,,1'≤∈为减函数，()()()eaa e e f x f -+-==1min ∴综上 当1≤a 时，()=m inx f a -1当e a <<1 时 ，()()1ln 1m in -+-=a a a x f 当e a ≥时，()()eaa e x f -+-=1m in ……6分(2) 若存在[]21,ee x ∈,使得对任意的[]()()212,0,2x g x f x <-∈恒成立，即 m in2m in 1)()(x g x f <当1<a 时，由（1）可知，[]21,ee x ∈, ()xf 为增函数，∴()()()ea a e e f x f -+-==1min1，()x x x x e x e xe e x x g -=--+=1)(',当[]0,22-∈x 时()x g x g ,0)('≤为减函数，(),10)(m in 2==g x g∴,1)1(<-+-eaa e 122+->e e e a∴)1,12(2+-∈e ee a ………13分18.（2012年石景山一模理18）已知函数2()2ln f x x a x =+.（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数2()()g x f x x=+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）2222'()2a x a f x x x x+=+= …1分 由已知'(2)1f =，解得3a =-. ……3分（II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.（1）当0a ≥时, '()0f x >，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞； 5分（2）当0a <时'()f x =.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下：由上表可知，函数()f x 的单调递减区间是；单调递增区间是)+∞. ……8分 （II ）由22()2ln g x x a x x =++得222'()2ag x x x x=-++，……9分 由已知函数()g x 为[1,2]上的单调减函数，则'()0g x ≤在[1,2]上恒成立，即22220ax x x -++≤在[1,2]上恒成立. 即21a x x ≤-在[1,2]上恒成立. …11分令21()h x x x =-，在[1,2]上2211'()2(2)0h x x x x x=--=-+<，所以()h x 在[1,2]为减函数. min 7()(2)2h x h ==-,所以72a ≤-. …14分18.（2012年房山一模18）已知函数mx x x f -+=)1ln()(．（I ）当1m =时，求函数)(x f 的单调递减区间；（II ）求函数)(x f 的极值；（III ）若函数()f x 在区间20,1e ⎡⎤-⎣⎦上恰有两个零点，求m 的取值范围．解：（I ）依题意，函数()f x 的定义域为()+∞-,1， 当1m =时，()ln(1)f x x x =+-，∴1()11f x x'=-+ ………2分 由()0f x '<得1101x -<+，即01xx-<+解得0x >或1x <-， 又 1x >-，0x ∴>∴()f x 的单调递减区间为(0,)+∞． ………4分（II ）m xx f -+='11)(，)1(->x （1）0≤m 时，0)(≥'x f 恒成立)(x f 在),1(∞+-上单调递增，无极值. ……6分（2）0>m 时，由于111->-m所以)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛--11,1m 上单调递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-,11m 上单调递减， 从而1ln )11()(--=-=m m mf x f 极大值． …9分 （III ）由（II ）问显然可知，当0≤m 时，()f x 在区间20,1e ⎡⎤-⎣⎦上为增函数，∴在区间20,1e ⎡⎤-⎣⎦不可能恰有两个零点． ………10分当0>m 时，由（II ）问知()=f x 极大值1(1)f m-， 又(0)0f =，0∴为()f x 的一个零点． ……11分∴若()f x 在20,1e ⎡⎤-⎣⎦恰有两个零点，只需22(1)01011f e e m ⎧-≤⎪⎨<-<-⎪⎩ 即222(1)011m e m e⎧--≤⎪⎨<<⎪⎩2211m e ∴≤<- ………13分 （注明：如有其它解法，酌情给分）18．（2012年密云一模理18）已知函数()2axf x x e=．（I ）当1a =时，求()f x 在()(1,1)f 处的切线方程；（II ）求函数()f x 的单调区间；（III ）若()f x 在(1,)+∞单调递增，求a 范围.解：（I ）当 1a =时，()2xf x x e =，()2222'()'()'2(2)x x x x x f x x e x e xe x e x x e =+=+=+()'13f e =，()1f e =，故切线方程为3(1)y e e x -=-，即320ex y e --= …4分 （II ）()222'()'()'2(2)ax ax ax ax ax f x x e x e xe ax e x ax e =+=+=+ …5分（1）当0a =时，()'2f x x =，当0x >时，()'0f x >，当0x <时，()'0f x <， 单调增区间为(0,)+∞，单调减区间为(,0)-∞ …6分当0a ≠时，令()'0f x =，得10x =或22x a =-…7分 （2）当0a >时，20a >-， 当2x a <-时，()'0f x >，当20x a-<<时，()'0f x <，当0x >时，()'0f x >， 单调增区间为2(,)a -∞-，(0,)+∞，单调减区间为2(,0)a- …9分 （3）当a<0时，0<a 2-，当x>a 2-时，f '(x)<0，当0<x<a2-时，f '(x)>0，当x<0时，f '(x)<0， ∴f(x)的单调增区间是(0, a 2-)，单调减区间是(-∞,0)，(a 2-,+∞) …11分 综上：当0a =时，单调增区间为(0,)+∞，单调减区间为(,0)-∞当0a >时，单调增区间为2(,)a -∞-，(0,)+∞，单调减区间为2(,0)a -当0a <时，f(x)的单调增区间是(0, a 2-)，单调减区间是(-∞,0)，(a2-,+∞) （III ）由（II ）知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞单调递增，满足条件； 12分 当0a <时，单调增区间为(0, a2-)与f(x)在(1,+∞)单调递增不符…13分 综上：a ≥0 …14分18．（2012年门头沟一模理18）已知函数1()ln 1a f x x ax x -=-+-．（Ⅰ）当102a <≤时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2()24g x x bx =-+，当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，当2[1,2]x ∈时，12()()f x g x ≥恒成立，求实数b 的取值范围．解：（Ⅰ）2/2211(1)()a ax x a f x a x x x --+--=--= …2分 2[(1)](1)(0)ax a x x x ---=->令/()0f x = 得121,1a x x a-== ………3分 当12a =时，()0f x '≤，函数()f x 在(0,)+∞上单减 ……4分 当102a <<时，11a a->， 在(0,1)和1(,)a a-+∞上，有()0f x '<，函数()f x 单减， 在1(1,)a a-上， ()0f x '>，函数()f x 单增 ……6分 （Ⅱ）当14a =时，13a a -=，13()ln 144f x x x x =-+- 由（Ⅰ）知，函数()f x 在(0,1)上是单减，在(1,2)上单增 所以函数()f x 在(0,2)的最小值为1(1)2f =-…………8分 若对任意1(0,2)x ∈，当2[1,2]x ∈时，12()()f xg x ≥恒成立， 只需当[1,2]x ∈时，max 1()2g x ≤-即可 所以1(1)21(2)2g g ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，…………11分 代入解得 114b ≥ 所以实数b 的取值范围是11[,)4+∞． ……13分。
2012年北京市西城区高考数学一模试卷(理科)(附答案解析)
2012年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集U=R，集合A={x|1x≥1}，则∁U A()A.(0, 1)B.(0, 1]C.(−∞, 0]∪(1, +∞)D.(−∞, 0)∪[1, +∞)2. 执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A.2B.5C.11D.233. 若实数x，y满足条件{x+y≥0x−y+3≥00≤x≤3，则z=2x−y的最大值为（）A.9B.3C.0D.−34. 已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）A.4√3cm2B.2√3cm2C.8cm2D.4cm25. 已知函数f(x)＝sin4ωx−cos4ωx的最小正周期是π，那么正数ω＝（）A.2B.1C.12D.146. 若a=log23，b=log32，c=log46，则下列结论正确的是（）A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a 7. 设等比数列{a n}的各项均为正数，公比为q，前n项和为S n．若对∀n∈N∗，有S2n<3S n，则q的取值范围是（）A.(0, 1]B.(0, 2)C.[1, 2)D.(0,√2)8. 已知集合A＝{x|x＝a0+a1×3+a2×32+a3×33}，其中a k∈{0, 1, 2}(k＝0, 1, 2, 3)，且a3≠0．则A中所有元素之和等于（）A.3240B.3120C.2997D.2889二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13, 14),[14, 15),[15, 16),[16, 17),[17, 18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16, 18]的学生人数是________．(x−2)6的展开式中x3的系数是________．（用数字作答）如图，AC为⊙O的直径，OB⊥AC，弦BN交AC于点M．若OC=√3，OM=1，则MN=________．在极坐标系中，极点到直线l:ρsin(θ+π4)=√2的距离是________．已知函数f(x)={x12,0≤x≤cx2+x,−2≤x<0其中c>0．那么f(x)的零点是________；若f(x)的值域是[−14,2]，则c的取值范围是________．在直角坐标系xOy 中，动点A ，B 分别在射线y =√33x(x ≥0)和y =−√3x(x ≥0)上运动，且△OAB 的面积为1．则点A ，B 的横坐标之积为________；△OAB 周长的最小值是________． 三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.在△ABC 中，已知sin (A +B)=sin B +sin (A −B)． （1）求角A ；（2）若|BC →|=7，AB →⋅AC →=20，求|AB →+AC →|．乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同． （1）求甲以4比1获胜的概率；（2）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；（3）求比赛局数的分布列．如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB =∠DBF =60∘，且FA =FC ．(1)求证：AC ⊥平面BDEF ；(2)求证：FC // 平面EAD ；(3)求二面角A −FC −B 的余弦值．已知函数f(x)=e ax ⋅(ax +a +1)，其中a ≥−1．(1)当a =1时，求曲线y =f(x)在点(1, f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√53，定点M(2, 0)，椭圆短轴的端点是B 1，B 2，且MB 1⊥MB 2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ，B 两点．试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分∠APB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．对于数列A n :a 1，a 2，…，a n (a i ∈N, i =1, 2,…,n)，定义“T 变换”：T 将数列A n 变换成数列B n :b 1，b 2，…，b n ，其中b i =|a i −a i+1|(i =1, 2,…,n −1)，且b n =|a n −a 1|，这种“T 变换”记作B n =T(A n )．继续对数列B n 进行“T 变换”，得到数列C n ，…，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（1）试问A 3:4，2，8和A 4:1，4，2，9经过不断的“T 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T 变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（2）求A 3:a 1，a 2，a 3经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件；（3）证明：A 4:a 1，a 2，a 3，a 4一定能经过有限次“T 变换”后结束．参考答案与试题解析2012年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】C【考点】补集及其运算【解析】求出集合A的不等式的解集，然后求出集合A在R上的补集即可．【解答】解：∵全集U=R．集合A={x|1x≥1}={x|0<x≤1}，∴∁U A={x|x≤0, 或x>1}．故选C．2.【答案】D【考点】循环结构的应用【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：x y是否继续循环循环前25是第一圈511是第二圈1123否故输出y的值为23．故选D．3.【答案】A【考点】简单线性规划【解析】画出不等式表示的平面区域，z=2x−y的几何意义是直线y=2x−z的纵截距的相反数，根据图形可得结论．【解答】解：画出不等式表示的平面区域z=2x−y的几何意义是直线y=2x−z的纵截距的相反数，由{x=3x+y=0可得交点坐标为(3, −3)，根据图形可知在点(3, −3)处，z=2x−y取得最大值，最大值为9故选A．4.【答案】A【考点】简单空间图形的三视图【解析】正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，故左视图是长方形，长为2√3，宽为2，由此能求出左视图的面积．【解答】解：∵正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，∴左视图是长方形，长为√4+4−2×4×cos120∘=2√3，宽为2，∴左视图的面积是2√3×2=4√3(cm2)，故选A．5.【答案】B【考点】二倍角的三角函数【解析】利用平方差公式化简函数y＝sin4ωx−cos4ωx，再利用二倍角公式化为一个角的一个三角函数的形式，根据周期求出ω．【解答】y＝sin4ωx−cos4ωx＝sin2ωx−cos2ωx＝−cos2ωx因为T＝π，所以ω＝16.【答案】D【考点】不等式比较两数大小【解析】根据a=lg3lg2>1，b=lg2lg3<1，c=lg6lg4=lg3+lg22lg2<lg3+lg32lg2=a，从而得出结论．【解答】解：∵a=log23=lg3lg2>1，b=log32=lg2lg3<1，c=log46=lg6lg4=lg3+lg22lg2<lg3+lg32lg2=lg3lg2，故有b<c<a，故选D．7.【答案】A【考点】数列的求和【解析】当q=1时，S2n<3S n成立容易检验，当q≠1时，由S2n<3S n恒成立可得a1(1−q2n)1−q <3a1(1−q n)1−q，讨论整理可求q的范围．【解答】解：当q=1时，S2n<3S n成立当q≠1时，由S2n<3S n恒成立∴a1(1−q2n)1−q <3a1(1−q n)1−q∵q>1，显然不恒成立，则q2n−3q n+2<0，解得q n<1（q n>2舍去），∵等比数列{a n}的各项均为正数，∴q>0，∴0<q<1综上可得0<q≤1故选A8.【答案】D【考点】集合的确定性、互异性、无序性数列的求和【解析】由题意可知a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法，利用数列求和即可求得A中所有元素之和．【解答】由题意可知，a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法，由分步计数原理可得共有3×3×3×2种方法，∴当a0取0，1，2时，a1，a2各有3种取法，a3有2种取法，共有3×3×2＝18种方法，即集合A中含有a0项的所有数的和为(0+1+2)×18；同理可得集合A中含有a1项的所有数的和为(3×0+3×1+3×2)×18；集合A中含有a2项的所有数的和为(32×0+32×1+32×2)×18；集合A中含有a3项的所有数的和为(33×1+33×2)×27；由分类计数原理得集合A中所有元素之和：S＝(0+1+2)×18+(3×0+3×1+3×2)×18+(32×0+32×1+32×2)×18+(33×1+33×2)×27＝18(3+9+27)+81×27＝702+2187＝2889．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.【答案】54【考点】分布和频率分布表频率分布直方图【解析】根据从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3及它们的面积之和为1，做出成绩在[16, 18]的频率，从而得出成绩在[16, 18]的学生人数．【解答】因从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，且它们的面积之和为1，∴最后两个小矩形的面积和为6+320×1=920，即成绩在[16, 18]的频率为920，由频率分布直方图知，成绩在[16, 18]的人数为120×920=54（人）【答案】−160【考点】二项式定理及相关概念【解析】根据题意，由二项式定理可得(x−2)6的展开式的通项，令x的系数为3，可得r＝3，将r＝3代入通项，计算可得T4＝−160x3，即可得答案．【解答】根据题意，(x−2)6的展开式的通项为T r+1＝C6r x6−r(−2)r＝(−1)r⋅2r⋅C6r x6−r，令6−r＝3可得r＝3，此时T4＝(−1)3⋅23⋅C63x3＝−160x3，即x3的系数是−160；【答案】1【考点】与圆有关的比例线段【解析】根据题设条件，先由勾股定理求出BM，再由相交弦定理求MN．【解答】解：∵AC为⊙O的直径，OB⊥AC，弦BN交AC于点M．OC=√3，OM=1，∴OB=√3，BM=√3+1=2，设MN=x，∵CM⋅AM=BM⋅MN，∴(√3+1)(√3−1)=2x，∴x=1，即MN=1．故答案为：1．【答案】√2【考点】圆的极坐标方程【解析】利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，得出直线直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：直线方程ρsin(θ+π4)=√2，即为ρ(√22cosθ+√22sinθ)=√2，化为普通方程为x+y−2=0，极点的直角坐标为(0, 0)，根据点到直线的距离公式求得d=√2=√2故答案为：√2；【答案】−1和0,0<c≤4【考点】函数的值域及其求法函数的零点【解析】分x为正数和负数两种情况讨论，分别解方程即可得到么f(x)的零点．根据二次函数的图象与性质，求出当x∈[−2, 0)时，函数f(x)的值域恰好是[−14,2]，所以当0≤x≤c时，f(x)=x12的最大值不超过2，由此建立不等式，可解出实数c的取值范围．【解答】当x≥0时，令x 12=0，得x＝0；当x<0时，令x2+x＝0，得x＝−1（舍零）∴f(x)的零点是−1和0∵函数y＝x2+x在区间[−2, −12)上是减函数，在区间(−12, 0)上是增函数∴当x∈[−2, 0)时，函数f(x)最小值为f(−12)=−14，最大值是f(−2)＝2∵当0≤x≤c时，f(x)=x12是增函数且值域为[0, √c]∴当f(x)的值域是[−14,2]，√c≤2，即0<c≤4【答案】√32,2(1+√2)【考点】基本不等式在最值问题中的应用直线的点斜式方程【解析】根据题意，OA、OB的斜率之积为−1，得OA⊥OB．设A(x1, √33x1)，B(x2, −√3x2)，算出|OA|=2√33x1，|OB|=2x2，结合三角形面积为1列式，化简即得x1x2=√32．再由基本不等式算出△OAB周长|OA|+|OB|+|AB|≥2+2√2，当且仅当2√33x1=2x2=√2时，△OAB周长取最小值2(1+√2)．【解答】解：∵y =√33x的斜率k1=√33，y=−√3x的斜率k2=−√3∴k1⋅k2=−1，可得OA⊥OB设A(x1, √33x 1)，B(x2, −√3x2)∴|OA|=√x12+13x12=2√33x1，|OB|=√x22+3x22=2x2，可得△OAB的面积为S=12|OA|×|OB|=12×2√33x1×2x2=1解之，得x1x2=√32∵|AB|2=|OA|2+|OB|2=43x12+4x22∴|AB|=√(43x12+4x22)≥×2√33x12=√8√33x12=√8√33×√32=2又∵|OA|+|OB|=2√33x1+2x2≥2√2√33x1×2x2=2√4√33x1x2=2√4√33×√32=2√2∴△OAB周长|OA|+|OB|+|AB|≥2+2√2=2(1+√2)当且仅当2√33x1=2x2=√2，即x1=√62，x2=√22时，△OAB周长取最小值2(1+√2)故答案为：√32，2(1+√2)三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.【答案】解：（1）原式可化为：sin B=sin(A+B)−sin(A−B)=sin A cos B+cos A sin B−sin A cos B+cos A sin B=2cos A sin B，…∵ B ∈(0, π)，∴ sin B >0， ∴ cos A =12，…又A ∈(0, π)，∴ A =π3；…（2）由余弦定理，得|BC →|2=|AB →|2+|AC →|2−2|AB →|⋅|AC →|⋅cos A ，… ∵ |BC →|=7，AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|⋅cos A =20， ∴ |AB →|2+|AC →|2=89，…∵ |AB →+AC →|2=|AB →|2+|AC →|2+2AB →⋅AC →=89+40=129，…∴ |AB →+AC →|=√129．… 【考点】求两角和与差的正弦 向量的模平面向量数量积的性质及其运算律【解析】（1）将已知等式移项变形并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后根据sin B 不为0，得出cos A 的值，由A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式|BC →|2=|AB →|2+|AC →|2−2|AB →|⋅|AC →|⋅cos A ，将已知条件利用平面向量的数量积运算法则化简后代入求出|AB →|2+|AC →|2的值，把所求式子平方并利用完全平方公式展开，将各自的值代入开方即可求出值．【解答】 解：（1）原式可化为：sin B =sin (A +B)−sin (A −B)=sin A cos B +cos A sin B −sin A cos B +cos A sin B =2cos A sin B ，… ∵ B ∈(0, π)，∴ sin B >0， ∴ cos A =12，…又A ∈(0, π)，∴ A =π3；…（2）由余弦定理，得|BC →|2=|AB →|2+|AC →|2−2|AB →|⋅|AC →|⋅cos A ，… ∵ |BC →|=7，AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|⋅cos A =20， ∴ |AB →|2+|AC →|2=89，…∵ |AB →+AC →|2=|AB →|2+|AC →|2+2AB →⋅AC →=89+40=129，…∴ |AB →+AC →|=√129．… 【答案】解：（1）由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12． … 记“甲以4比1获胜”为事件A ，则P(A)=C 43(12)3(12)4−312=18． …（2）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B ．因为，乙以4比2获胜的概率为P 1=C 53(12)3(12)5−312=532，…乙以4比3获胜的概率为P 2=C 63(12)3(12)6−312=532，…所以 P(B)=P 1+P 2=516． …（3）设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4，5，6，7．P(X =4)=2C 44(12)4=18，… P(X =5)=2C 43(12)3(12)4−312=14，…P(X =6)=2C 53(12)3⋅(12)5−3⋅12=516，…P(X =7)=2C 63(12)3(12)6−3⋅12=516． …比赛局数的分布列为：【考点】离散型随机变量及其分布列 互斥事件的概率加法公式 相互独立事件的概率乘法公式【解析】（1）先由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率，甲以4比1获胜，根据独立重复试验公式公式，列出算式，得到结果．（2）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B ．B 包括乙以4:2获胜和乙以4:3获胜，根据独立重复试验公式列出算式，得到结果．（3）比赛结束时比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4，5，6，7，根据独立重复试验公式计算出各自的概率即可得到分布列． 【解答】解：（1）由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12． … 记“甲以4比1获胜”为事件A ，则P(A)=C 43(12)3(12)4−312=18． …（2）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B ．因为，乙以4比2获胜的概率为P 1=C 53(12)3(12)5−312=532，… 乙以4比3获胜的概率为P 2=C 63(12)3(12)6−312=532，…所以 P(B)=P 1+P 2=516． …（3）设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4，5，6，7．P(X =4)=2C 44(12)4=18，…P(X =5)=2C 43(12)3(12)4−312=14，…P(X =6)=2C 53(12)3⋅(12)5−3⋅12=516，…P(X =7)=2C 63(12)3(12)6−3⋅12=516． …比赛局数的分布列为：(1)证明：设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，且O 为AC 中点． 又 FA =FC ，所以 AC ⊥FO ．因为 FO ∩BD =O ，BD ⊂平面BDEF ， 所以 AC ⊥平面BDEF ．(2)证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， 所以AD // BC ，DE // BF ， 因为AD ∩DE =D ，BC ∩BF =B , 所以 平面FBC // 平面EAD ． 又FC ⊂平面FBC ， 所以FC // 平面EAD ;(3)解：因为四边形BDEF 为菱形，且∠DBF =60∘， 所以△DBF 为等边三角形． 因为O 为BD 中点，所以FO ⊥BD ，故FO ⊥平面ABCD ．由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ．设AB =2．因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60∘， 则BD =2，所以OB =1，OA =OF =√3．所以 O(0,0,0),A(√3，0，0)，B(0,1,0)，C(−√3,0,0)，F(0,0,√3)． 所以 CF →=(√3,0,√3)，CB →=(√3,1,0)．设平面BFC 的法向量为n →=(x, y, z)， 则有{√3x +√3z =0√3x +y =0，取x =1，得n →=(1,−√3,−1)．∵ 平面AFC 的法向量为v →=(0, 1, 0)． 由二面角A −FC −B 是锐角，得 |cos <n →，v →>|=|n →⋅v→|n →||v →||=√155． 所以二面角A −FC −B 的余弦值为√155． 【考点】直线与平面垂直的判定 直线与平面平行的判定 用空间向量求平面间的夹角【解析】（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，且O 为AC 中点．由FA =FC ，知AC ⊥FO ．由此能够证明AC ⊥平面BDEF ．（2）因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以AD // BC ，DE // BF ，平面FBC // 平面EAD ．由此能够证明FC // 平面EAD ．（3）因为四边形BDEF 为菱形，且∠DBF =60∘，所以△DBF 为等边三角形．因为O 为BD 中点，所以FO ⊥BD ，故FO ⊥平面ABCD ．由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立空间直角坐标系O −xyz ．设AB =2．因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60∘，则BD =2，所以 CF →=(√3,0,√3)，CB →=(√3,1,0)．求得平面BFC 的法向量为n →=(1,−√3,−1)，平面AFC 的法向量为v →=(0, 1, 0)．由此能求出二面角A −FC −B 的余弦值． 【解答】(1)证明：设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，且O 为AC 中点． 又 FA =FC ，所以 AC ⊥FO ．因为 FO ∩BD =O ，BD ⊂平面BDEF ， 所以 AC ⊥平面BDEF ．(2)证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， 所以AD // BC ，DE // BF ， 因为AD ∩DE =D ，BC ∩BF =B , 所以 平面FBC // 平面EAD ． 又FC ⊂平面FBC ， 所以FC // 平面EAD ;(3)解：因为四边形BDEF 为菱形，且∠DBF =60∘， 所以△DBF 为等边三角形． 因为O 为BD 中点， 所以FO ⊥BD ， 故FO ⊥平面ABCD ．由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ．设AB =2．因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60∘， 则BD =2，所以OB =1，OA =OF =√3．所以O(0,0,0),A(√3，0，0)，B(0,1,0)，C(−√3,0,0)，F(0,0,√3)． 所以 CF →=(√3,0,√3)，CB →=(√3,1,0)． 设平面BFC 的法向量为n →=(x, y, z)， 则有{√3x +√3z =0√3x +y =0，取x =1，得n →=(1,−√3,−1)．∵ 平面AFC 的法向量为v →=(0, 1, 0)．由二面角A −FC −B 是锐角，得 |cos <n →，v →>|=|n →⋅v→|n →||v →||=√155． 所以二面角A −FC −B 的余弦值为√155． 【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=e x ⋅(1x+2)，f ′(x)=e x ⋅(1x +2−1x 2)．由于f(1)=3e ，f ′(1)=2e ，所以曲线y =f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是2ex −y +e =0． (2)f ′(x)=ae ax(x+1)[(a+1)x−1]x 2，x ≠0．①当a =−1时，令f ′(x)=0，解得x =−1，所以f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，单调递增区间为(−1, 0)，(0, +∞)； 当a ≠−1时，令f ′(x)=0，解得x =−1或x =1a+1.②当−1<a <0时，f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)， 单调递增区间为(−1, 0)，(0,1a+1)；③当a =0时，f(x)为常值函数，不存在单调区间； ④当a >0时，f(x)的单调递减区间为(−1, 0)，(0,1a+1)， 单调递增区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的单调性【解析】（1）先求导数f ′(x)，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x =0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．（2）对字母a 进行分类讨论，再令f ′(x)大于0，解不等式，可得函数的单调增区间，令导数小于0，可得函数的单调减区间． 【解答】解：(1)当a =1时，f(x)=e x ⋅(1x +2)， f ′(x)=e x ⋅(1x +2−1x 2)．由于f(1)=3e ，f ′(1)=2e ，所以曲线y =f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是2ex −y +e =0． (2)f ′(x)=ae ax(x+1)[(a+1)x−1]x 2，x ≠0．①当a =−1时，令f ′(x)=0，解得x =−1，所以f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，单调递增区间为(−1, 0)，(0, +∞)； 当a ≠−1时，令f ′(x)=0，解得x =−1或x =1a+1.②当−1<a <0时，f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)， 单调递增区间为(−1, 0)，(0,1a+1)；③当a =0时，f(x)为常值函数，不存在单调区间； ④当a >0时，f(x)的单调递减区间为(−1, 0)，(0,1a+1)， 单调递增区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)． 【答案】解：（1）由 59=e 2=a 2−b 2a 2=1−b 2a 2，得 ba =23．…依题意△MB 1B 2是等腰直角三角形，从而b =2，故a =3．… 所以椭圆C 的方程是x 29+y 24=1．…（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，直线AB 的方程为x =my +2．将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得 (4m 2+9)y 2+16my −20=0．… 所以 y 1+y 2=−16m 4m +9，y 1y 2=−204m +9．…若PM 平分∠APB ，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以k PA +k PB =0．… 设P(a, 0)，则有 y 1x1−a+y 2x 2−a=0．将 x 1=my 1+2，x 2=my 2+2代入上式，整理得 2my 1y 2+(2−a)(y 1+y 2)(my 1+2−a)(my2+2−a)=0，所以 2my 1y 2+(2−a)(y 1+y 2)=0．…将 y 1+y 2=−16m4m 2+9，y 1y 2=−204m 2+9代入上式，整理得 (−2a +9)⋅m =0．… 由于上式对任意实数m 都成立，所以 a =92．综上，存在定点P(92，0)，使PM 平分∠APB ．…【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 【解析】（1）利用离心率为√53，可得b a=23，由椭圆短轴的端点是B 1，B 2，且MB 1⊥MB 2，可得△MB 1B 2是等腰直角三角形，由此可求椭圆C 的方程；（2）设线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，利用韦达定理，结合PM 平分∠APB ，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，建立方程，即可求得结论．【解答】解：（1）由 59=e 2=a 2−b 2a 2=1−b 2a 2，得b a =23．…依题意△MB 1B 2是等腰直角三角形，从而b =2，故a =3．… 所以椭圆C 的方程是x 29+y 24=1．…（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，直线AB 的方程为x =my +2．将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得 (4m 2+9)y 2+16my −20=0．…所以 y 1+y 2=−16m 4m 2+9，y 1y 2=−204m 2+9．…若PM 平分∠APB ，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以k PA +k PB =0．… 设P(a, 0)，则有 y 1x1−a+y 2x2−a=0．将 x 1=my 1+2，x 2=my 2+2代入上式，整理得2my 1y 2+(2−a)(y 1+y 2)(my 1+2−a)(my 2+2−a)=0，所以 2my 1y 2+(2−a)(y 1+y 2)=0．…将 y 1+y 2=−16m4m +9，y 1y 2=−204m +9代入上式，整理得 (−2a +9)⋅m =0．… 由于上式对任意实数m 都成立，所以 a =92． 综上，存在定点P(92，0)，使PM 平分∠APB ．…【答案】（1）解：数列A 3:4，2，8不能结束，各数列依次为2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形． …数列A 4:1，4，2，9能结束，各数列依次为3，2，7，8；1，5，1，5；4，4，4，4；0，0，0，0．… （2）解：A 3经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是a 1=a 2=a 3．… 若a 1=a 2=a 3，则经过一次“T 变换”就得到数列0，0，0，从而结束． …当数列A 3经过有限次“T 变换”后能够结束时，先证命题“若数列T(A 3)为常数列，则A 3为常数列”． 当a 1≥a 2≥a 3时，数列T(A 3)：a 1−a 2，a 2−a 3，a 1−a 3．由数列T(A 3)为常数列得a 1−a 2=a 2−a 3=a 1−a 3，解得a 1=a 2=a 3，从而数列A 3也为常数列． 其它情形同理，得证．在数列A 3经过有限次“T 变换”后结束时，得到数列0，0，0（常数列），由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列A 3也为常数列． …所以，数列A 3经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是a 1=a 2=a 3．（3）证明：先证明引理：“数列T(A n )的最大项一定不大于数列A n 的最大项，其中n ≥3”． 证明：记数列A n 中最大项为max (A n )，则0≤a i ≤max (A n )． 令B n =T(A n )，b i =a p −a q ，其中a p ≥a q ． 因为a q ≥0，所以b i ≤a p ≤max (A n )，故max (B n )≤max (A n )，证毕． … 现将数列A 4分为两类．第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，max (B 4)≤max (A 4)−1．第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时max (B 4)=max (A 4)． 下面证明第二类数列A 4经过有限次“T 变换”，一定可以得到第一类数列．不妨令数列A4的第一项为0，第二项a最大(a>0)．（其它情形同理）①当数列A4中只有一项为0时，若A4:0，a，b，c(a>b, a>c, bc≠0)，则T(A4)：a，a−b，|b−c|，c，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若A4:0，a，a，b(a>b, b≠0)，则T(A4)：a，0，a−b，b；T（T(A4)）：a，a−b，|a−2b|，a−b此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若A4:0，a，b，a(a>b, b≠0)，则T(A4)：a，a−b，a−b，b，此数列各项均不为0，为第一类数列；若A4:0，a，a，a，则T(A4)：a，0，0，a；T（T(A4)）：a，0，a，0；T（T（T(A4)））：a，a，a，a，此数列各项均不为0，为第一类数列．②当数列A4中有两项为0时，若A4:0，a，0，b(a≥b>0)，则T(A4)：a，a，b，b，此数列各项均不为0，为第一类数列；若A4:0，a，b，0(a≥b>0)，则T(A)：a，a−b，b，0，T（T(A)）：b，|a−2b|，b，a，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．③当数列A4中有三项为0时，只能是A4:0，a，0，0，则T(A)：a，a，0，0，T（T(A)）：0，a，0，a，T（T（T(A)））：a，a，a，a，此数列各项均不为0，为第一类数列．总之，第二类数列A4至多经过3次“T变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历3次“T变换”，数列的最大项又开始减少．又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“T变换”后，数列的最大项一定会为0，此时数列的各项均为0，从而结束．…【考点】数列的应用【解析】（1）根据新定义，可得数列A3:4，2，8不能结束，数列A4:1，4，2，9能结束，并可写出各数列；（2）A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1=a2=a3，先证明a1=a2=a3，则经过一次“T变换”就得到数列0，0，0，从而结束，再证明命题“若数列T(A3)为常数列，则A3为常数列”，即可得解；（3）先证明引理：“数列T(A n)的最大项一定不大于数列A n的最大项，其中n≥3”，再分类讨论：第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，max(B4)≤max(A4)−1．第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时max(B4)=max(A4)．证明第二类数列A4经过有限次“T变换”，一定可以得到第一类数列．【解答】（1）解：数列A3:4，2，8不能结束，各数列依次为2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形．…数列A4:1，4，2，9能结束，各数列依次为3，2，7，8；1，5，1，5；4，4，4，4；0，0，0，0．…（2）解：A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1=a2=a3．…若a1=a2=a3，则经过一次“T变换”就得到数列0，0，0，从而结束．…当数列A3经过有限次“T变换”后能够结束时，先证命题“若数列T(A3)为常数列，则A3为常数列”．当a1≥a2≥a3时，数列T(A3)：a1−a2，a2−a3，a1−a3．由数列T(A3)为常数列得a1−a2=a2−a3=a1−a3，解得a1=a2=a3，从而数列A3也为常数列．其它情形同理，得证．在数列A3经过有限次“T变换”后结束时，得到数列0，0，0（常数列），由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列A3也为常数列．…所以，数列A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1=a2=a3．（3）证明：先证明引理：“数列T(A n)的最大项一定不大于数列A n的最大项，其中n≥3”．证明：记数列A n中最大项为max(A n)，则0≤a i≤max(A n)．令B n=T(A n)，b i=a p−a q，其中a p≥a q．因为a q≥0，所以b i≤a p≤max(A n)，故max(B n)≤max(A n)，证毕．…现将数列A4分为两类．第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，max(B4)≤max(A4)−1．第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时max(B4)=max(A4)．下面证明第二类数列A4经过有限次“T变换”，一定可以得到第一类数列．不妨令数列A4的第一项为0，第二项a最大(a>0)．（其它情形同理）①当数列A4中只有一项为0时，若A4:0，a，b，c(a>b, a>c, bc≠0)，则T(A4)：a，a−b，|b−c|，c，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若A4:0，a，a，b(a>b, b≠0)，则T(A4)：a，0，a−b，b；T（T(A4)）：a，a−b，|a−2b|，a−b此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若A4:0，a，b，a(a>b, b≠0)，则T(A4)：a，a−b，a−b，b，此数列各项均不为0，为第一类数列；若A4:0，a，a，a，则T(A4)：a，0，0，a；T（T(A4)）：a，0，a，0；T（T（T(A4)））：a，a，a，a，此数列各项均不为0，为第一类数列．②当数列A4中有两项为0时，若A4:0，a，0，b(a≥b>0)，则T(A4)：a，a，b，b，此数列各项均不为0，为第一类数列；若A4:0，a，b，0(a≥b>0)，则T(A)：a，a−b，b，0，T（T(A)）：b，|a−2b|，b，a，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．③当数列A4中有三项为0时，只能是A4:0，a，0，0，则T(A)：a，a，0，0，T（T(A)）：0，a，0，a，T （T（T(A)））：a，a，a，a，此数列各项均不为0，为第一类数列．总之，第二类数列A4至多经过3次“T变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历3次“T变换”，数列的最大项又开始减少．又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“T变换”后，数列的最大项一定会为0，此时数列的各项均为0，从而结束．…。
2012年北京市各区一模试题分类解析(数学理)(14)：统计、概率、随机变量及其分布.pdf
8A Unit 3 A day out第课时 Integrated skills (新授课) 【教学目标】 1.学会如何从海报中得到有用信息。
2.听取细节，提炼信息。
3.学会如何向他人提出建议。
【学习过程】 一、课堂学习研讨 （约25分钟）1. final 1) n. 决赛 期终考试 进入了决赛 in the final 他期末考试没通过。
He _______ / _______ ________ the _______ / (____ ___) 2) adj. 最后的，最终的 (强调最终完成或最终结局) 这是最后的结果。
This is the _______ ________. 3) finally adv.=at last=in the end 最后，终于 2. cheer cheers cheering cheer1) vi. 欢呼 喝彩 cheer for …为……欢呼 cheer up 高兴起来，振作起来咱们为自己喝彩！______ cheer for ________. 这封信使他高兴起来了。
This letter _________ ________ _______. 比赛期间，我们一直为双方加油。
_______ the match, we ________ ________ ________ both teams. 2) n. 欢呼 喝彩 高兴 Cheers! 祝福！干杯！祝健康！ 3) cheerful adj. 令人愉快的；兴高采烈的；开朗的 . 4. have /take a rest=rest 休息 5 . take place 举行，发生 (sth作主语) The Olympic Games ________ ________ every four years. 比赛将在哪里举行？Where _________ the match _________ ________? 区别：take place 常用于已计划、安排或人们积极参与的事情发生。
北京市西城区2012年初三一模数学
北京市西城区2012年初三一模试卷数 学 2012. 5考生须知 1．本试卷共5页，共五道大题，25道小题，满分120分。
考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．6-的相反数是A ．6B ．6-C ．16- D ．162．国家体育场“鸟巢”建筑面积达258 000平方米，258 000用科学记数法表示应为 A ．2.58×103 B ．25.8×104 C ．2.58×105 D ．258×103 3．正五边形各内角的度数为A ．72°B ．108°C ．120°D ．144° 4．抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后，正面都朝上的概率是A ．21B ．31C ．41D ．515．如图，过O ⊙上一点C 作O ⊙的切线，交O ⊙直径AB 的 延长线于点D . 若∠D =40°，则∠A 的度数为 A ．20° B ．25° C ．30° D ．40°6．某班体育委员统计了全班45名同学一周的 体育锻炼时间(单位：小时)，并绘制了如图 所示的折线统计图，下列说法中错误．．的是 A ．众数是9 B ．中位数是9 C ．平均数是9D ．锻炼时间不低于9小时的有14人7．由n 个相同的小正方体堆成的几何体，其主视图、俯视图如下所示，则n 的最大值是A ．16B ．18C ．19D ．208．对于实数c 、d ，我们可用min{ c ，d }表示c 、d 两数中较小的数，如min{3，1-}=1-.若关于x 的函数y = min{22x ，2()a x t -}的图象关于直线3x =对称，则a 、t 的值可能是A ．3，6B ．2，6-C ．2，6D ．2-，6二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．函数2+=x y 中，自变量x 的取值范围是 ．10．分解因式：2212123b ab a +-= ．11．如图，正方形ABCD 的面积为3，点E 是DC 边上一点，DE =1，将线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上，落点记为F ， 则FC 的长为 .12．如图，直角三角形纸片ABC 中，∠ACB =90°，AC=8，BC =6．折叠该纸片使点B 与点C 重合，折痕与AB 、BC 的交点分别 为D 、E . (1) DE 的长为 ；(2) 将折叠后的图形沿直线 AE 剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：12)21(30tan 3201+-+︒--．14．解不等式组 并求它的所有的非负整数解.15．如图，在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90º，D 为AB 延长线 上一点，点E 在BC 边上，且BE=BD ，连结AE 、DE 、DC . (1) 求证：△ABE ≌△CBD ； (2) 若∠CAE=30º，求∠BCD 的度数. 16．已知20a b +=，其中a 不为0，求22222b a ab a bab a --÷+的值.)0(>=k ky ⎪⎩⎪⎨⎧-+<-21 15)1(3x x x ，≥2x -4，17. 平面直角坐标系xOy 中，反比例函数 的图象经过点),2(m A ，过点A 作 AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1.(1) 求m 和k 的值； (2) 若过点A 的直线与y 轴交于点C ，且∠ACO =45°，直接写出点C 的坐标.18. 列方程（组）解应用题：为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场. 现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 为了让更多的失学儿童重返校园，某社区组织“献爱心手拉手”捐款活动. 对社区部分捐款户数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）. 已知A 、B 两组捐款户数的比为1 : 5.请结合以上信息解答下列问题.(1) a= ，本次调查样本的容量是 ； (2) 先求出C 组的户数，再补全“捐款户数分组统计图1”；(3) 若该社区有500户住户，请根据以上信息估计，全社区捐款不少于300元的户数是多少？20．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，BC=2，15ABD ∠=︒，60C ∠=︒． (1) 求∠BDC 的度数；捐款户数分组统计表 组别 捐款额（x ）元 户数 A 1≤x <100 a B 100≤x <200 10 C 200≤x <300 D 300≤x <400 Ex ≥400捐款户数分组统计图1捐款户数分组统计图2(2) 求AB 的长．21．如图，AC 为⊙O 的直径，AC=4，B 、D 分别在AC两侧的圆上，∠BAD=60°，BD 与AC 的交点为E ． (1) 求点O 到BD 的距离及∠OBD 的度数； (2) 若DE=2BE ，求cos OED ∠的值和CD 的长．22. 阅读下列材料：问题：如图1，在正方形ABCD 内有一点P ，P A =5，PB =2，PC =1，求∠BPC 的度数．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到了△BP ′A （如图2），然后连结PP ′．请你参考小明同学的思路，解决下列问题： (1) 图2中∠BPC 的度数为 ；(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF 内有一点P ，且P A =132，PB =4，PC =2，则∠BPC 的度数为 ，正六边形ABCDEF 的边长为 ．图1 图2 图3五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知关于x 的一元二次方程210x px q +++=的一个实数根为 2． (1) 用含p 的代数式表示q ；(2) 求证：抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点；(3) 设抛物线21y x px q =++的顶点为M ，与 y 轴的交点为E ，抛物线221y x px q =+++ 顶点为N ，与y 轴的交点为F ，若四边形FEMN 的面积等于2，求p 的值．24．已知：在如图1所示的锐角三角形ABC 中，CH ⊥AB 于点H ，点B 关于直线CH 的对称点为D ，AC 边上一点E 满足∠EDA =∠A ，直线DE 交直线CH 于点F ． (1) 求证：BF ∥AC ；(2) 若AC 边的中点为M ，求证：2DF EM =；(3) 当AB =BC 时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE 相等的线段，并证明你的结论．图1 图225．平面直角坐标系xOy 中，抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，与y轴的正半轴交于点C ，点 A 的坐标为(1, 0)，OB =OC ，抛物线的顶点为D ． (1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB =∠ACB ，求点P 的坐标；(3) Q 为线段BD 上一点，点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，若2=-QB QA ，求点Q 的坐标和此时△QAA '的面积．北京市西城区2012年初三一模试卷数学答案及评分标准 2012. 5一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACBCBDBC二、填空题（本题共16分，每小题4分）9 10 1112 x ≥-2()223b a -13 13+-或（各2分）4，4（各2分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式=32133321++⨯- …………………………………………………………4分=323+．…………………………………………………………………… 5分14．解：由①得2->x ．……………………………………………………………………1分由②得x ≤37． ……………………………………………………………………3分∴ 原不等式组的解集是-2< x ≤37．………………………………………………4分 ∴ 它的非负整数解为0，1，2．………………………………………………… 5分 15.（1）证明：如图1.∵ ∠ABC=90º，D 为AB 延长线上一点，∴ ∠ABE=∠CBD=90º . …………………………………………………1分 在△ABE 和△CBD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,BD BE CBD ABE CB AB∴ △ABE ≌△CBD. …………………… 2分 （2）解：∵ AB=CB ，∠ABC=90º，∴ ∠CAB =45°. …….…………………… 3分 又∵ ∠CAE=30º，∴ ∠BAE =15°. ……………………………………………………………4分∵ △ABE ≌△CBD ，∴ ∠BCD =∠BAE =15°. ……………………………………………………5分①② 图1⎪⎩⎪⎨⎧-+<-2115)1(3x x x ，≥2x -4，16. 解：原式=()()()()2a ab a b a b b a a b ++-⋅- =()22b b a +. ..….….….….….……………………3分 ∵ 2a +b =0，∴ a b 2-=. ……………………………………………………………………… 4分∴ 原式=22224)2()(a a a a =--.∵ a 不为0， ∴ 原式=41. ..….….….….……………………………………………………… 5分 17. 解：（1）∵ 反比例函数 的图象经过点),2(m A ，∴ 2m k =，且m ＞0.∵ AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1，∴1212m ⋅⋅=. 解得 1=m . ……………………………………………………………… 1分 ∴ 点A 的坐标为)1,2(. ………………………………………………… 2分 ∴ 22k m ==. …………………………………………………………… 3分 （2）点C 的坐标为(0,3)或(0,-1). ……………………………………………… 5分 18．解：设甲工厂每天能加工x 件新产品，则乙工厂每天能加工1.5x 件新产品.依题意得 105.112001200+=x x . ……………………………………………………2分解得40=x . …………………………………………………………………… 3分 经检验，40=x 是原方程的解，并且符合题意． …………………………… 4分∴ 605.1=x .答: 甲工厂每天能加工40件新产品, 乙工厂每天能加工60件新产品. ……………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）2，50；…………………………………2分 （2）5040%20⨯=，C 组的户数为20. … 3分补图见图2． …………………………4分 （3）∵ 500(28%8%)180⨯+=，∴ 根据以上信息估计，全社区捐款不少 于300元的户数是180．)0(>=k x ky 图2捐款户数分组统计图1……………………………… 5分20．解：（1）∵ 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，60C ∠=︒，∴ 90ABC ∠=︒，180120ADC C ∠=︒-∠=︒． 在Rt △ABD 中，∵90A ∠=︒，15ABD ∠=︒， ∴ 75ADB ∠=︒．∴ 45BDC ADC ADB ∠=∠-∠=︒．…… 2分 （2）作BE CD ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．（如图3）在Rt △BCE 中，∵ BC=2，60C ∠=︒， ∴ sin 3BE BC C =⋅=，cos 1CE BC C =⋅=． ∵ 45BDC ∠=︒， ∴ 3DE BE ==．∴ 31CD DE CE =+=+． …………………………………………… 3分 ∵ BC DF CD BE ⋅=⋅， ∴ (31)33322CD BE DF BC ⋅+⋅+===． …………………………… 4分 ∵ AD ∥BC ，90A ∠=︒，DF BC ⊥，∴ 332AB DF +==． …………………………………………………… 5分 21．解：（1）作OF BD ⊥于点F ，连结OD ．（如图4） ∵ ∠BAD=60°，∴ ∠BOD=2∠BAD =120°．……………1分 又∵OB =OD ，∴ 30OBD ∠=︒．……………………… 2分∵ AC 为⊙O 的直径，AC=4， ∴ OB= OD= 2．在Rt △BOF 中，∵∠OFB =90°， OB=2，︒=∠30OBF ， ∴ 130sin 2sin =︒=∠⋅=OBF OB OF ，即点O 到BD 的距离等于1. ………………………………………… 3分（2）∵ OB= OD ，OF BD ⊥于点F ，∴ BF=DF ．由DE=2BE ，设BE=2x ，则DE=4x ，BD=6x ，EF=x ，BF=3x ． ∵ cos303BF OB =⋅︒=，∴ 33x =， EF=33． 在Rt △OEF 中，90OFE ∠=︒，图3FEADBC 图4FE DAOCB∵ tan 3OFOED EF∠==， ∴ 60OED ∠=︒，1cos 2OED ∠=． …………………………………… 4分 ∴ 30BOE OED OBD ∠=∠-∠=︒． ∴ 90DOC DOB BOE ∠=∠-∠=︒． ∴ 45C ∠=︒．∴ 222CD OC ==． ………………………………………………… 5分 22．解：（1）135°；………………………………………………………………………… 2分（2）120°；………………………………………………………………………… 3分27 ． ……………………………………………………………………… 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）∵ 关于x 的一元二次方程2 10x px q +++=的一个实数根为 2，∴ 22 210p q +++=．…………………………………………………… 1分 整理，得 25q p =--． …………………………………………………… 2分 （2）∵ 222244(25)820(4)4p q p p p p p ∆=-=++=++=++， 无论p 取任何实数，都有2(4)p +≥0，∴ 无论p 取任何实数，都有 2(4)40p ++>．∴ 0∆>． ………………………………………………………………… 3分∴ 抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点．………………………… 4分（3）∵ 抛物线21y x px q =++与抛物线221y x px q =+++的对称轴相同，都为直线2px =-，且开口大小相同，抛物线221y x px q =+++可由抛物线21y x px q =++沿y 轴方向向上平移一个单位得到， （如图5所示，省略了x 轴、y 轴） ∴ EF ∥MN ，EF =MN =1．∴ 四边形FEMN 是平行四边形． ………………5分由题意得 22FEMN pS EF =⨯-=四边形．解得4p =±．………………………………………7分24．证明：（1）如图6．∵ 点B 关于直线CH 的对称点为D ，CH ⊥AB 于点H ，直线DE 交直线CH 于点F ，图5y 2y 1F EN M∴ BF=DF ，DH=BH ．…………………1分 ∴ ∠1=∠2．又∵ ∠EDA =∠A ，∠EDA =∠1， ∴ ∠A ＝∠2．∴ BF ∥AC ．……………………………………………………………… 2分 （2）取FD 的中点N ，连结HM 、HN . ∵ H 是BD 的中点，N 是FD 的中点，∴ HN ∥BF ． 由（1）得BF ∥AC ， ∴ HN ∥AC ，即HN ∥EM ． ∵ 在Rt △ACH 中，∠AHC =90°， AC 边的中点为M ， ∴ 12HM AC AM ==．∴ ∠A ＝∠3． ∴ ∠EDA =∠3． ∴ NE ∥HM ．∴ 四边形ENHM 是平行四边形．……………………………………… 3分 ∴ HN=EM ．∵ 在Rt △DFH 中，∠DHF =90°，DF 的中点为N ， ∴ 12HN DF =，即2DF HN =．∴ 2DF EM =． ………………………………………………………… 4分 （3）当AB =BC 时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE 相等的线段是EF 和CE ． （只猜想结论不给分） 证明：连结CD ．（如图8）∵ 点B 关于直线CH 的对称点为D ，CH ⊥AB 于点H ，∴ BC=CD ，∠ABC ＝∠5． ∵ AB ＝BC ，∴ 1802ABC A ∠=︒-∠， AB ＝CD ．① ∵ ∠EDA =∠A ，∴ 61802A ∠=︒-∠，AE =DE ．② ∴ ∠ABC ＝∠6=∠5． ∵ ∠BDE 是△ADE 的外角，图7图82012北京市西城区初三一模 数学试卷试卷与答案 第11页（共12页）∴ 6BDE A ∠=∠+∠．∵ 45BDE ∠=∠+∠，∴ ∠A ＝∠4．③由①，②，③得 △ABE ≌△DCE ．………………………………………5分 ∴ BE = CE ． ……………………………………………………………… 6分 由（1）中BF=DF 得 ∠CFE=∠BFC ．由（1）中所得BF ∥AC 可得 ∠BFC=∠ECF ．∴ ∠CFE=∠ECF ．∴ EF=CE ．∴ BE=EF ． ……………………………………………………………… 7分 ∴ BE =EF =CE ．（阅卷说明：在第3问中，若仅证出BE =EF 或BE =CE 只得2分）25．解：（1）∵ 2244(2)y ax ax a c a x c =-++=-+，∴ 抛物线的对称轴为直线2x =．∵ 抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于 点A 、点B ，点A 的坐标为(1,0)，∴ 点B 的坐标为(3,0)，OB ＝3．…………… 1分可得该抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =--．∵ OB =OC ，抛物线与y 轴的正半轴交于点C ，∴ OC =3，点C 的坐标为(0,3)．将点C 的坐标代入该解析式，解得a =1．……2分 ∴ 此抛物线的解析式为243y x x =-+．（如图9）…………………… 3分（2）作△ABC 的外接圆☉E ，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为点F ，设☉E 与抛物线的对称轴位于x 轴上方的部分的交点为点1P ，点1P 关于x 轴的对称点为点2P ，点1P 、点2P 均为所求点.（如图10）可知圆心E 必在AB 边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线2x =上．∵ 1APB ∠、ACB ∠都是弧AB 所对的圆周角， ∴ ACB B AP ∠=∠1，且射线FE 上的其它点P 都不满足ACB APB ∠=∠． 由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．图9x y O 1D CB A2012北京市西城区初三一模 数学试卷试卷与答案 第12页（共12页） 可得圆心E 也在BC 边的垂直平分线即直线y x =上．∴ 点E 的坐标为(2,2)E ．………………………………………………… 4分∴ 由勾股定理得 5EA =．∴ 15EP EA ==．∴ 点1P 的坐标为1(2,25)P +．…………………………………………… 5分由对称性得点2P 的坐标为2(2,25)P --．……………………………… 6分 ∴符合题意的点P 的坐标为1(2,25)P +、2(2,25)P --.（3）∵ 点B 、D 的坐标分别为(3,0)B 、(2,1)D -，可得直线BD 的解析式为3y x =-，直线BD 与x 轴所夹的锐角为45°．∵ 点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，（如图11）若设AA '与∠AQB 的平分线的交点为M ，则有 QA QA '=，AM A M '=，AA QM '⊥，Q ，B ，A '三点在一条直线上．∵ 2QA QB -=，∴ .2''=-=-=QB QA QB QA BA作A N '⊥x 轴于点N ．∵ 点Q 在线段BD 上， Q ，B ，A '三点在一条直线上，∴ sin 451A N BA ''=⋅︒=，cos451BN BA '=⋅︒=．∴ 点A '的坐标为(4,1)A '．∵ 点Q 在线段BD 上，∴ 设点Q 的坐标为(,3)Q x x -，其中23x <<．∵ QA QA '=，∴ 由勾股定理得 2222(1)(3)(4)(31)x x x x -+-=-+--．解得114x =． 经检验，114x =在23x <<的范围内． ∴ 点Q 的坐标为111(,)44Q -． …………………………………………… 7分 此时1115()2(1)2244QAA A AB QAB A Q S S S AB y y '''∆∆∆=+=⋅⋅+=⨯⨯+=．… 8分x yO 1F EP 1D C B A xyO Q MA'D B A N。
2012年北京市各区一模试题分类解析(数学文)(12)：统计、概率、随机变量及其分布.pdf
7B Unit 1 Dream Homes第课时 (新授课) 主备人：审核人：班级：__________姓名：_______ 1.运用方位介词辨别和表达事物的具体位置。
2.掌握基数词和序数词的用法。
3.正确运用基数词和序数词谈论时间、日期、金额和结果。
【学习重点、难点】 1.方位介词next to,opposite,above的运用。
2.基数词4056，6425200的表达和读法。
3.序数词first,second,third,fifth,ninth,twelfth,twentieth,thirty-eighth等的写法。
一、课前预习导学（约5 分钟） （一）、 课本P13/ A请你看一看Daniel的教室, 用正确的介词来描述他们的位置.Hi, I am Daniel .This is my classroom.. I sit _______ Millie. Sandy sits _____ Kitty and me . Amy sits _______ _______ _____ Sandy and _____ Millie and Simon .Thereis a big desk ____ the front _____ our classroom .It is ______ our teachers .You can see some chalk _______ the desk .The door is ________the windows . （二）、自学课本P14，用英文表示下列数字 1） 40__________ 2）55 __________ 3）90 ____________ 4）100___________ 5）145 _____________________________ 6）1，000 _______________ 7）25 ,000___________________ 8）4，056_______________________________________________ 9）23，813_____________________________________________ 10) 6，425，200_________________________________________ （三）、写出P16/C1的基数词和序数词形式. 二、课堂学习研讨（约 25 分钟） 1.above, over, on above →(反) below表示位置高于某物在其上方，并不表示正上方。
2012北京中考通州一模数学(含答案)
通州区初三年级模拟考试数学试卷2012年5月一、选择题（每题只有一个正确答案，共8个小题，每小题4分，共32分） 1．2-的绝对值是（ ） A ．2±B ．2C ．12D ．12-2．北京交通一卡通已经覆盖了全市的地面公交、轨道交通和部分出租车及停车场．据北京市交通委透露，北京市政交通一卡通卡发卡量目前已经超过280 000 000张，用科学记数法表示280 000 000正确是（ ） A ．2.8×107B ．2.8×108C ．2.8×109D ．0.28×10103．一名射击运动员在某次训练中连续打靶8次，命中的环数分别是7，8，9，9，10，10，8，8，这组数据的众数与中位数分别为（ ） A ．9与8B ．8与9C ．8与8.5D ．8.5与94．某地区准备修建一座高AB ＝6m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地 面BC 的夹角∠ACB 的余弦值为45，则坡面AC 的长度为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．125．甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s （米）与时间t （分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是（ ） A ．甲队率先到达终点 B ．甲队比乙队多走了200米路程 C ．乙队比甲队少用0.2分钟D ．比赛中两队从出发到2.2秒时间段， 乙队的速度比甲队的速度快26．一只蚂蚁要在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个 岔路口都会随机地选择一条路径，则它获得食物的概率是（ ） A ．12 B ．13C ．14D ．167．如图，BD 是⊙O 的弦，点C 在BD 上，以BC 为边作 等边三角形△ABC ，点A 在圆内，且AC 恰好经过点O ，其中BC =12，OA =8，则BD 的长为（ ） A ．20 B ．19 C ．18D ．168．如图，在平行四边形ABCD 中，AC = 4，BD = 6，P 是 BD 上的任一点，过P 作EF ∥AC ，与平行四边形的两 条边分别交于点E ，F ．设BP=x ，EF=y ，则能大致反 映y 与x 之间关系的图象为（ ）A B C D 二、填空题（共4道小题，每题4分，共16分） 9．分解因式：24ax a -= . 10．若分式224x x -+的值为0，则x 的值为 .11．已知一圆锥的底面半径是1，母线长是4，则圆锥侧面展开图的面积是 .12．已知如图，△ABC 和△DCE 都是等边三角形，若△ABC 的边长为1，则△BAE 的面积是 .四边形ABCD 和四边形BEFG 都是正方形，若正方形ABCD 的边长为4，则△F AC 的面积是 . ……如果两个正多边形ABCDE …和BPKGY …是正n (n ≥3)边形，正多边形ABCDE …的边长是2a ，则△KCA 的面积是 .（结果用含有a 、n 的代数式表示）201205通州一模 第 3 页 共 18 页三、解答题：（13题-16题每题5分，共20分）13．计算：()2012sin 45 3.143π---︒+-⎛⎫⎪⎝⎭14．解不等式组251345x x +>-⎧⎨⎩≤，并写出它的整数解.15．如图，在△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，BAC DAE ∠=∠，求证：△ABD ≌△ACE .B16．已知0132=++a a ，求4)(2)12(22+--+a a a的值.E4四、解答题：（共6道小题，每题5分，共30分）17．2012年3月30日，对于北京球迷来说是一个美妙的夜晚:在篮球比赛中，北京篮球队战胜了广东篮球队，最终夺得了男篮总冠军；在足球比赛中，北京国安队战胜了天津泰达队.据统计两场比赛大约共有60000人到达现场观看比赛，其中观看足球比赛的人数比观看篮球比赛的人数的2倍还多6000人，求观看篮球和足球比赛的观众大约各有多少人？18．已知如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =α，将△ABC 以点B 为中心，沿逆时针方向旋转α度（0°＜α＜90°），得到△BDE ，点B 、A 、E 恰好在同一条直线上，连结CE .（1）则四边形DBCE 是_______形（填写：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形） （2）若AB=AC =1，BC DBCE 的面积.19．如图，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=(0)x >的图象交于()1,3A ，(3,)B a 两点． （1）求12k k 、的值； （2）求△ABO 的面积.201205通州一模 第 5 页 共 18 页20．如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 边的中点O 为圆心，线段OA 的长为半径作圆，分别交BC 、AC 边于点D 、E ，DF ⊥AC 于点F ，延长FD 交AB 延长线于点G . （1）求证：FD 是⊙O 的切线.（2）若BC =AD =4，求tan GDB 的值．21．为了使初三学生在中考中取得好成绩，我区组织了初三中考复习电视讲座，并且就初三学生对中考复习电视讲座了解程度随机抽取．．．．了部分学生进行问卷调查，并根据收集的信息进行了统计，绘制了下面尚不完整的统计图.根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）我区参加随机抽取．．．．问卷调查的学生有________名； （2）补全条形统计图；（3）我区今年初三有近5000名初三学生，请你根据调查的数据计算一下，我区大约有多少名初三学生对中考电视讲座达到基本了解以上（含基本了解）程度？（4）为了让更多的学生更好的了解该讲座，使中考复习电视讲座发挥其应有的作用，我区举办了两期专栏宣传之后又进行了一次调查，结果发现每期专栏宣传使学生达到基本了解程度以上（含基本了解）的平均增长率是50%，请你求出两期专栏宣传之后学生对此电视讲座达到基本了解以上程度（含基本了解）的人数.622．小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图，已知在直线l 的同侧有A 、B 两点，请你在直线l 上确定一点P ，使得P A+PB 的值最小.小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的作法是这样的：①作点A 关于直线l 的对称点A′. ②连结A′B ，交直线l 于点P . 则点P 为所求.请你参考小明的作法解决下列问题：（1）如图1，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，BC =6，BC边上的高为4，请你在BC 边上确定一点P ，使得△PDE 的周长最小. ①在图1中作出点P .（三角板、刻度尺作图，保留作图 痕迹，不写作法） ②请直接写出△PDE 周长的最小值 .（2）如图2在矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，G 为边AD 的中点，若E 、F 为边AB 上的两个动点，点E 在点F 左侧，且EF =1，当四边形CGEF 的周长最小时，请你在图2中确定点E 、F 的位置.（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形CGEF 周长的最小值 .五、解答题（共3道小题，23、24题每题7分，25题8分，共22分） 23．已知二次函数2248y x ax a =-+-+（1）求证：无论a 为任何实数，二次函数的图象与x 轴总有两个交点.（2）当x ≥2时，函数值y 随x 的增大而减小，求a 的取值范围.（3）以二次函数2248y x ax a =-+-+图象的顶点A 为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形AMN （M ，N 两点在二次函数的图象上），请问：△AMN 的面积是与a 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.l AB图１B图1图2201205通州一模 第 7 页 共 18 页24．已知：如图，二次函数y =a (x +1)2－4的图象与x 轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ，点C 是二次函数 y =a (x +1)2－4的图象的顶点，CD. （1）求a 的值.（2）点M 在二次函数y =a (x +1)2－4图象的对称轴上，且∠AMC =∠BDO ，求点M 的坐标．（3）将二次函数y =a (x +1)2－4的图象向下平移k （k ＞0）个单位，平移后的图象与直线CD 分别交于E 、F 两点（点F 在点E 左侧），设平移后的二次函数的图象的顶点为C 1，与y 轴的交点为D 1，是否存在实数k ，使得CF ⊥FC 1，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．25．已知四边形ABCD，点E是射线BC上的一个动点（点E不与B、C 两点重合），线段BE的垂直平分线交射线AC于点P，联结DP，PE.（1）若四边形ABCD是正方形，猜想PD与PE的关系，并证明你的结论.（2）若四边形ABCD是矩形，（1）中的PD与PE的关系还成立吗？（填：成立或不成立）.（3）若四边形ABCD是矩形，AB=6，cos∠ACD=35，设AP=x，△PCE的面积为y,当AP>12AC时，求y与x之间的函数关系式.8201205通州一模 第 9 页 共 18 页2012年初三数学中考模拟试卷答案2012．5一、选择题：（每题4分，共32分）1. B2. B3. C4. C.5. C6. B.7. A.8. A 二、填空题：（每题4分，共16分）9.)12)(12(+-x x a ；10. 2.；11.π4；12.43，8，na ︒360sin22或（nn n n a )2(90cos )2(90sin42-︒⨯-︒⋅） 三、解答题：（每题5分，4道小题，共20分） 13.解：()82114.345sin 23102+-+︒-⎪⎭⎫ ⎝⎛--π 原式= 2129++- ..... ............................................................(4分) = 10 .................................................................(5分)14. 解：解不等式152>+x得：2->x ；…………………………………………………..(2分) 解不等式543≤-x得：3≤x ……………………………………………………….(4分) ∴32≤<-x ，∴满足不等式组的整数解为1-，0，1，2，3.................................................................(5分)15. 解：D AE B A C ∠=∠..........................................................................(3分) ∴D A B EAC ∠=∠ .....................................................................(4分) 在AEC ∆和ADB ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AC AB EAC DAB AE AD10∴AEC ∆≌ADB ∆(SAS ) .............................................................(5分)16．解：4)(2)12(22+--+a a a42214422++-++=a a a a ................................................(1分)5622++=a a .....................................................(2分) ()5322++=a a .....................................................(3分)0132=++a a∴132-=+a a.....................................................(4分)∴原式=3 .....................................................(5分)四、解答题：（每题5分，5道小题，共25分）17．解：设现场观看篮球比赛的观众大约有x 人，现场观看足球比赛的观众大约有y人， ........... (1分)根据题意得：⎩⎨⎧=-=+6000260000x y y x ....................................................(3分)解得：⎩⎨⎧==4200018000y x ..........................................(4分)答：现场观看篮球比赛的观众大约有18000人，现场观看足球比赛的观众大约有42000人......................(5分)18. (1)是 梯 形..............................................(1分)(2)过点A 做BC AF ⊥于点F ，过点D 做BC DH ⊥于点H ..............................................(2分) AC AB = =123==∴FC BF∴23cos =α201205通州一模 第 11 页 共 18 页︒=∠30ABC ,︒=∠∴60DBC ..............................................(3分)将ABC ∆以点B 为旋转中心逆时针旋转α度角（︒<<︒900α），得到BDE ∆ A B C ∆∴≌DBE ∆ 1==∴DE BD 23sin =⋅∠=∴BD DBH DH ..............................................(4分) DBCE 梯形S ∴43323)3(121+=+=..............................................(5分)19. 解: （1） 反比例函数2k y x=(0)x >的图象过()3,1A ),3(a B 两点． 3312=⨯=∴k ,133==a ..............................................(1分) ∴)1,3(B ......................... ..................(2分) 一次函数b x k y +=1的图象过()3,1A ，)1,3(B 两点 梯形S ∴⎩⎨⎧=+=+13311b k b k 解得:4,11=-=b k ..............................................(3分) （2）设一次函数4+-=x y 与y 轴交于C 点则C 点坐标为)4,0( ..............................................(4分)63421=⨯⨯=∴∆BOC S ， 21421=⨯⨯=∴∆AOCS 426=-=-=∴∆∆∆AO C BO C ABO S S S ..............................................(5分) 20．证明：（1）连接OD ..............................................(1分)AC AB =A B C C ∠=∠∴ OD OB = ABC ODB ∠=∠∴C12 ODB C ∠=∠∴ ..............................................(2分) AC OD //∴ AC DF ⊥ OD DF ⊥∴于点D∴FD 是O ⊙的切线. ..............................................(3分)（2）AB 为⊙O 的直径 BC AD ⊥∴AC AB =，4==AD BC2==∴BD CD21tan =∠∴CAD ..............................................(4分) OD DF ⊥ ，BC AD ⊥︒=∠+∠=∠+∠∴90C CDF C CAD CAD CDF ∠=∠∴ CAD CDF GDB ∠=∠=∠21tan =∠∴GDB ..............................................(5分) 21.解： (1)全区参加随机抽取问卷调查的学生有_500__名；.........(1分)(2)补全条形统计图；.........................................(3分)(3)我区有近5000名初三学生，那么有2000名学生对中考复习电视讲座达到基本了解以上（含基本了解）程度. ..................................(4分)(4)通过两期专栏宣传后，全区初三学生对中考复习电视讲座达到基本了解以上（含基本了解）程度有：4500%)501(20002=+人 ...........................(5分)201205通州一模 第 13 页 共 18 页22. 解：(1) 8=∆PDE C .............................................(1分).............................................(2分)（2）如图，作G 关于AB 的对称点M ， 在CD 上截取CH =1，然后连接HM 交AB 于E ， 接着在EB 上截取EF =1，那么E 、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小．∴GEFC 四边形C =GE +EF +FC +CG=6+310.............................................(3分).............................................(5分)23. 解：（1） 16)2(43216422+-=+-=∆a a a无论a 为何实数16)2(42+-=∆a 0> …………………………(1分) ∴抛物线与x 轴总有两个交点……………………………………(2分) （2）8422+-+-=a ax x y84)(22+-+--=a a a x y ……………………………………(3分) ∴由题意得，2≤a （只写<或=其一，不给分） ……………(4分)（3）解法一：以二次函数8422+-+-=a ax x y 图象的顶点A 为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形AMN （M ，N 两点在二次函数的图象上）， 这个正三角形的面积只与二次函数图形的开口大小有关。
2012年北京市朝阳区高考数学一模试卷(理科)(附答案解析)
2012年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 复数10i1−2i =( ) A.−4+2i B.4−2iC.2−4iD.2+4i2. 已知平面向量a →，b →满足a →⋅(a →+b →)=3，且|a →|=2，|b →|=1，则向量a →与b →的夹角为（ ） A.π6 B.π3C.2π3D.5π63. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −1(n ∈N ∗)，则a 5＝（ ） A.−16 B.16 C.31 D.324. 已知平面α，直线a ，b ，l ，且a ⊂α，b ⊂α，则“l ⊥a 且l ⊥b ”是“l ⊥α”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定．技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（ ） A.16 B.24 C.32 D.486. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，f(x +2)=f(x)．当0≤x ≤1时，f(x)=x 2，若直线y =x +a 与函数y =f(x)的图象在[0, 2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是( ) A.0 B.0或−12C.−14或−12D.0或−147. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件．从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的x%的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年 增加了70⋅x%1−x%元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是（ ） A.2B.6.5C.8.8D.108. 已知点集A ={(x, y)|x 2+y 2−4x −8y +16≤0}，B ={(x, y)|y ≥|x −m|+4, m 是常数}，点集A 所表示的平面区域与点集B 所表示的平面区域的边界的交点为M ，N ．若点D(m, 4)在点集A 所表示的平面区域内（不在边界上），则△DMN 的面积的最大值是（ ） A.1 B.2 C.2√2 D.4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.已知双曲线的方程为x 23−y 2=1，则此双曲线的离心率为________，其焦点到渐近线的距离为________．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．执行如图所示的程序框图，若输入k 的值是4，则输出S 的值是________．在极坐标系中，曲线ρ=2√3sin θ和ρcos θ＝1相交于点A ，B ，则线段AB 的中点E 到极点的距离是________．已知函数f(x)={(12)x+34,x≥2log2x,0<x<2若函数g(x)＝f(x)−k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________．已知△ABC中，∠C=90∘，AC=3，BC=4．一个圆心为M，半径为14的圆在△ABC内，沿着△ABC的边滚动一周回到原位．在滚动过程中，圆M至少与△ABC的一边相切，则点M到△ABC顶点的最短距离是________，点M的运动轨迹的周长是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上.已知函数f(x)=cos(x−π4)．（1）若f(α)=7√210，求sin2α的值；（2）设g(x)=f(x)⋅f(x+π2)，求函数g(x)在区间[−π6，π3]上的最大值和最小值．某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀．(Ⅰ)下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a，b的值；(Ⅲ)在(Ⅱ)中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的分布列与数学期望．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD＝90∘，EB⊥平面ABCD，EF // AB，AB＝2，EB=√3,EF=1，BC=√13，且M是BD的中点．(Ⅰ)求证：EM // 平面ADF；(Ⅱ)求二面角D−AF−B的大小；(Ⅲ)在线段EB上是否存在一点P，使得CP与AF所成的角为30∘？若存在，求出BP的长度；若不存在，请说明理由．设函数f(x)=e axx2+1,a∈R．(Ⅰ)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程；(Ⅱ)求函数f(x)单调区间．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(−√2,0)，F2(√2,0)．点M(1, 0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)已知点N的坐标为(3, 2)，点P的坐标为(m, n)(m≠3)．过点M任作直线l与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为k1，k2，k3，若k1+k3＝2k2，试求m，n满足的关系式．已知各项均为非负整数的数列A0:a0，a1，…，a n(n∈N∗)，满足a0=0，a1+...+a n=n．若存在最小的正整数k，使得a k=k(k≥1)，则可定义变换T，变换T将数列A0变为T(A0)：a0+1，a1+1，…，a k−1+1，0，a k+1，…，a n．设A i+1=T(A i)，i=0，1，2…．（1）若数列A0:0，1，1，3，0，0，试写出数列A5；若数列A4:4，0，0，0，0，试写出数列A0；（2）证明存在数列A0，经过有限次T变换，可将数列A0变为数列n,0,0,…,0⏟n个；（3）若数列A0经过有限次T变换，可变为数列n,0,0,…,0⏟n个．设S m=a m+a m+1+...+a n，m=1，2，…，n，求证a m=S m−[S mm+1](m+1)，其中[S mm+1]表示不超过S mm+1的最大整数．参考答案与试题解析2012年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.【答案】 A【考点】 复数的运算 【解析】两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i 的幂运算性质求出结果． 【解答】复数10i1−2i =10i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−20+10i5=−4+2i ，2.【答案】 C【考点】数量积表示两个向量的夹角 平面向量数量积的运算 【解析】根据向量数量积的性质，得到a →2=|a|→2=4，代入已知等式得a →⋅b →=−1．设a →与b →的夹角为α，结合向量数量积的定义和|a|→=2，|b|→=1，算出cos α=−12，最后根据两个向量夹角的范围，可得a →与b →夹角的大小． 【解答】解：∵ |a|→=2，∴ a →2=4 又∵ a →⋅(a →+b →)=3，∴ a →2+a →⋅b →=4+a →⋅b →=3，得a →⋅b →=−1， 设a →与b →的夹角为α，则a →⋅b →=|a|→|b|→cos α=−1，即2×1×cos α=−1，得cos α=−12 ∵ α∈[0, π]， ∴ α=2π3故选C 3. 【答案】B【考点】数列的概念及简单表示法 【解析】先根据a 1＝S 1，a n ＝S n −S n−1(n ≥2)求出数列{a n }的通项公式，再将n ＝5代入可求出所求． 【解答】当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1−1，∴ a 1＝1．当n >1时，S n ＝2a n −1，∴ S n−1＝2a n−1−1， ∴ S n −S n−1＝2a n −2a n−1， ∴ a n ＝2a n −2a n−1， ∴ a n ＝2a n−1， ∴ a nan−1=2，∴ {a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴ a n ＝2n−1，n ∈N ∗． ∴ a 5＝25−1＝16． 4.【答案】 B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 充分条件、必要条件、充要条件【解析】题目给出了平面内的两条直线a 、b ，根据平面外的直线l 与a 、b 垂直，断定直线l 和平面的位置关系，a ⊂α，b ⊂α，直线a 、b 的位置关系不唯一． 【解答】a ⊂α，b ⊂α，直线a 、b 的位置关系可能平行，也可能相交．若a 与b 相交，则由l ⊥a 且l ⊥b 能得到l ⊥α，否则不一定，所以，“l ⊥a 且l ⊥b ”是“l ⊥α”的不充分条件；反之，根据线面垂直的定义，若l ⊥α，则l 垂直于平面α内的所有直线，所以“l ⊥a 且l ⊥b ”是“l ⊥α”的必要条件． 所以，“l ⊥a 且l ⊥b ”是“l ⊥α”的必要不充分条件． 5. 【答案】 C【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】根据题意，分析可得若恰好3次就结束测试，必有前2次测试中测出1件次品，第3次测出第2件次品，先分析第3次测出次品情况数目，再分析前2次测试，即一次正品、1次次品的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案． 【解答】根据题意，若恰好3次就结束测试，则前2次测试中测出1件次品，第3次测出第2件次品，第3次测试的是次品，而共有2件次品，则有C 21＝2种情况，前2次测试，即一次正品、1次次品，有C 81×A 22＝16种情况， 则恰好3次就结束测试共有2×16＝32种情况， 6.【答案】 D【考点】根的存在性及根的个数判断 函数奇偶性的性质【解析】先作出函数f(x)在[0, 2]上的图象，再分类讨论，通过数形结合与方程思想的应用即可解决问题． 【解答】解：∵ f(x)是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤1时，f(x)=x 2， ∴ 当−1≤x ≤0时，0≤−x ≤1，f(−x)=(−x)2=x 2=f(x)， 又f(x +2)=f(x)，∴ f(x)是周期为2的函数.又直线y =x +a 与函数y =f(x)的图象在[0, 2]内恰有两个不同的公共点，其图象如下：当a =0时，直线y =x +a 变为直线l 1，其方程为：y =x ，显然，l 1与函数y =f(x)的图象在[0, 2]内恰有两个不同的公共点；当a ≠0时，直线y =x +a 与函数y =f(x)的图象在[0, 2]内恰有两个不同的公共点，由图可知，直线y =x +a 与函数y =f(x)相切，切点的横坐标x 0∈[0, 1]． 由{y =x +a,y =x 2,得：x 2−x −a =0，由Δ=1+4a =0，得a =−14，此时，x 0=x =12∈[0, 1]． 综上所述，a =−14或0. 故选D ． 7. 【答案】 D【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】先确定商场该年对该商品征收的总管理费的函数解析式，再根据第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，建立不等式，即可求得x 的最大值． 【解答】解：依题意，第二年该商品年销售量为(11.8−x)万件，年销售收入为(70+70⋅x%1−x%)(11.8−x)万元，则商场该年对该商品征收的总管理费为(70+70⋅x%1−x%)(11.8−x)x%（万元）．故所求函数为：y =7100−x(118−10x)x(x >0)．令7100−x (118−10x)x ≥14，化简得x 2−12x +20≤0，即(x −2)(x −10)≤0，解得2≤x ≤10． ∴ x 的最大值是10故选D ． 8. 【答案】 B【考点】求线性目标函数的最值 【解析】先确定点D 在直线y =4上，集合A 表示的平面区域是图中圆O′的内部，集合B 表示的平面区域是图中直角的内部，由此可得结论． 【解答】解：由题意，点D 在直线y =4上，集合A 表示的平面区域是图中圆O′的内部，集合B 表示的平面区域是图中直角的内部当D 运动到O′时，△DMN 的面积的最大值，此时三角形是一个直角边为2的等腰直角三角形， 所以面积为2故选B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.【答案】2√33,1 【考点】 双曲线的特性 【解析】由双曲线的方程为x 23−y 2=1，可得a =√3，b =1，c =2，由此求得离心率以及焦点到渐近线的距离． 【解答】解：由双曲线的方程为x 23−y 2=1，可得a =√3，b =1，c =2，则此双曲线的离心率为ca =√3=2√33．故渐近线方程为y =√3，即x ±√3y =0，焦点为(±2, 0)，故一个焦点(2, 0)到渐近线x−√3y=0的距离等于√1+3=1，故答案为2√33，1．【答案】32【考点】由三视图求体积【解析】由已知中的三视图，我们可以判断出几何体的形状，进而求出几何体的底面面积和高后，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】由已知中的三视图可得几何体是一个三棱锥且棱锥的底面是一个以(2+1)＝3为底，以1为高的三角形棱锥的高为3故棱锥的体积V=13⋅12(2+1)⋅1⋅3=32【答案】3【考点】程序框图【解析】由图知运算规则是求和，共进行3次循环，由此可得结论．【解答】解：由图知运算规则是求和：S=11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=34．故答案为：34.【答案】2【考点】圆的极坐标方程极坐标刻画点的位置【解析】先将曲线ρ=2√3sinθ方程的两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再将ρcosθ＝1也化成极坐标方程，后利用直角坐标方程进行求解即可．【解答】将曲线ρ=2√3sinθ和p cosθ＝1都化为直角坐标方程为x2+y2−2√3y＝0和x＝1，将x＝1代入x2+y2−2√3y＝0，得：y2−2√3y+1＝0，设其两个实根分别为y1，y2，则线段AB的中点E的纵坐标y=y1+y22=2√32=√3，∴线段AB的中点E(1, √3)到极点的距离是2．【答案】(34, 1)【考点】分段函数的应用【解析】由题意可得函数f(x)的图象与直线y＝k有二个不同的交点，结合图象求出实数k的取值范围．【解答】由题意可得函数f(x)的图象与直线y＝k有二个不同的交点，如图所示：故实数k的取值范围是(34, 1)，故答案为：(34, 1)．【答案】√24,9【考点】轨迹方程【解析】由题意，当圆与AC，BC都相切时，M到C的距离最小；设点M的运动轨迹的周长为C，则点M的运动轨迹是一直角三角形，且与△ABC相似，由此可得结论．【解答】解：由题意，当圆与AC，BC都相切时，M到C的距离最小，因为圆的半径为14，∠C=90∘，所以MC=√24设点M的运动轨迹的周长为C，则点M的运动轨迹是一直角三角形，且与△ABC相似，如图，sin∠B=sin∠B1DE=14B1D=35∴B1D=512，∴B1C1=113−14−512=3∴C12=34，∴C=9故答案为：√24，9．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上.【答案】解：（1）∵ f(α)=cos (α−π4)=7√210， ∴√22(cos α+sin α)=7√210，得 cos α+sin α=75．两边平方得，sin 2α+2sin αcos α+cos 2α=4925， 即1+sin 2α=4925，可得sin 2α=2425．…（2）g(x)=f(x)⋅f(x +π2)=cos (x −π4)⋅cos (x +π4) =√22(cos x +sin x)⋅√22(cos x −sin x) =12(cos 2x −sin 2x)=12cos 2x ．… 当x ∈[−π6，π3]时，2x ∈[−π3，2π3]．所以，当x =0时，g(x)的最大值为12；当x =π3时，g(x)的最小值为−14． 即函数g(x)在区间[−π6，π3]上的最大值为g(0)=12，最小值为g(π3)=−14．… 【考点】求二倍角的正弦两角和与差的余弦公式 三角函数的最值 【解析】（1）根据函数f(x)表达式，结合两角差的余弦公式化简整理，得cos α+sin α=75．再将两边平方，结合同角三角函数平方关系和二倍角的正弦公式，可得sin 2α的值；（2）将f(x)表达式代入，利用两角和与差的余弦公式展开，并用二倍角的余弦公式化简整理，得g(x)=12cos 2x ．最后结合余弦函数的图象与性质，可得到函数g(x)在区间[−π6，π3]上的最大值和最小值． 【解答】解：（1）∵ f(α)=cos (α−π4)=7√210， ∴√22(cos α+sin α)=7√210，得 cos α+sin α=75．两边平方得，sin 2α+2sin αcos α+cos 2α=4925， 即1+sin 2α=4925，可得sin 2α=2425．…（2）g(x)=f(x)⋅f(x +π2)=cos (x −π4)⋅cos (x +π4) =√22(cos x +sin x)⋅√22(cos x −sin x) =12(cos 2x −sin 2x)=12cos 2x ．…当x ∈[−π6，π3]时，2x ∈[−π3，2π3]．所以，当x =0时，g(x)的最大值为12；当x =π3时，g(x)的最小值为−14． 即函数g(x)在区间[−π6，π3]上的最大值为g(0)=12，最小值为g(π3)=−14．… 【答案】（本小题满分1（1）依题意，a ＝0.04×5×1000＝200，b ＝0.02×5×1000＝100． （2）设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则x 40=350+300+1001000，解得：x ＝30，即其中成绩为优秀的学生人数为30名．(Ⅲ)依题意，X 的取值为0，1，2，P(X =0)=C 102C 402=352，P(X =1)=C 101C301C 402=513，P(X =2)=C 302C 402=2952，所以X 的分布列为EX =0×352+1×513+2×2952=32，所以X 的数学期望为32．【考点】频率分布直方图离散型随机变量的期望与方差 【解析】（I ）根据频数＝频率×样本容量，频率=×组距，可求出a 与b 的值；(Ⅱ)设其中成绩为优秀的学生人数为x ，根据40人中优秀的比例等于1000人中优秀的比例，建立等式，解之即可；(Ⅲ)X 的取值为0，1，2，然后利用排列组合的知识求出相应的概率，最后利用数学期望公式解之即可． 【解答】（本小题满分1（1）依题意，a ＝0.04×5×1000＝200，b ＝0.02×5×1000＝100． （2）设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则x 40=350+300+1001000，解得：x ＝30，即其中成绩为优秀的学生人数为30名． (Ⅲ)依题意，X 的取值为0，1，2，P(X =0)=C 102C 402=352，P(X =1)=C 101C301C 402=513，P(X =2)=C 302C 402=2952，所以X 的分布列为EX =0×352+1×513+2×2952=32，所以X 的数学期望为32． 【答案】（1）证明：取AD 的中点N ，连接MN ，NF ．在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以MN ∥AB,MN =12AB ，又因为EF ∥AB,EF =12AB ，所以MN // EF 且MN ＝EF ．所以四边形MNFE 为平行四边形， 所以EM // FN ．又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ， 故EM // 平面ADF ．解法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB ⊥BD ，故以B 为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系B −xyz ．由已知可得 B(0, 0, 0)，A(0, 2, 0)，D(3, 0, 0)，C(3,−2,0),E(0,0,√3),F(0,1,√3),M(32,0,0)(1)EM →=(32,0,−√3),AD →=(3,−2,0)，AF →=(0,−1,√3)．设平面ADF 的一个法向量是n →=(x, y, z)．由{n →⋅AD →=0n →⋅AF →=0 得{3x −2y =0−y +√3z =0 令y ＝3，则n →=(2,3,√3)．又因为EM →⋅n →=(32,0,−√3)⋅(2,3,√3)=3+0−3=0，所以EM →⊥n →，又EM ⊄平面ADF ，所以EM // 平面ADF ． （2）由(Ⅰ)可知平面ADF 的一个法向量是n →=(2,3,√3)． 因为EB ⊥平面ABD ，所以EB ⊥BD ． 又因为AB ⊥BD ，所以BD ⊥平面EBAF ． 故BD →=(3,0,0)是平面EBAF 的一个法向量． 所以cos <BD →,n →>=BD →⋅n→|BD →|⋅|n →|=12，又二面角D −AF −B 为锐角，故二面角D −AF −B 的大小为60∘．(Ⅲ)假设在线段EB 上存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30∘． 不妨设P(0, 0, t)(0≤t ≤√3)，则PC →=(3,−2,−t),AF →=(0,−1,√3)． 所以cos <PC →,AF →>=|PC →⋅AF →||PC →|⋅|AF →|=√3t|2√t 2+13， 由题意得√3t 2√t 2+13=√32，化简得−4√3t =35，解得t =4√3<0．所以在线段EB 上不存在点P ，使得CP 与AF 所成的角为30∘． 【考点】异面直线及其所成的角 直线与平面平行 二面角的平面角及求法【解析】(Ⅰ)证明EM // 平面ADF ，利用线面平行的判定，证明EM 平行于平面ADF 中一条直线即可；也可建立如空间直角坐标系，求出平面ADF 的一个法向量，证明EM →⊥n →；(Ⅱ)平面ADF 的一个法向量是n →=(2,3,√3)，BD →=(3,0,0)是平面EBAF 的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角D −AF −B 的大小；(Ⅲ)假设在线段EB 上存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30∘，不妨设P(0, 0, t)(0≤t ≤√3)，则PC →=(3,−2,−t),AF →=(0,−1,√3)，利用向量的夹角公式，求出t 的值，即可得到结论． 【解答】（1）证明：取AD 的中点N ，连接MN ，NF ．在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以MN ∥AB,MN =12AB ，又因为EF ∥AB,EF =12AB ，所以MN // EF 且MN ＝EF ．所以四边形MNFE 为平行四边形， 所以EM // FN ．又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ， 故EM // 平面ADF ．解法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB ⊥BD ，故以B 为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系B −xyz ． 由已知可得 B(0, 0, 0)，A(0, 2, 0)，D(3, 0, 0)，C(3,−2,0),E(0,0,√3),F(0,1,√3),M(32,0,0)(1)EM →=(32,0,−√3),AD →=(3,−2,0)，AF →=(0,−1,√3)．设平面ADF 的一个法向量是n →=(x, y, z)． 由{n →⋅AD →=0n →⋅AF →=0 得{3x −2y =0−y +√3z =0 令y ＝3，则n →=(2,3,√3)．又因为EM →⋅n →=(32,0,−√3)⋅(2,3,√3)=3+0−3=0，所以EM →⊥n →，又EM ⊄平面ADF ，所以EM // 平面ADF ． （2）由(Ⅰ)可知平面ADF 的一个法向量是n →=(2,3,√3)． 因为EB ⊥平面ABD ，所以EB ⊥BD ． 又因为AB ⊥BD ，所以BD ⊥平面EBAF ． 故BD →=(3,0,0)是平面EBAF 的一个法向量． 所以cos <BD →,n →>=BD →⋅n→|BD →|⋅|n →|=12，又二面角D −AF −B 为锐角，故二面角D −AF −B 的大小为60∘．(Ⅲ)假设在线段EB 上存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30∘． 不妨设P(0, 0, t)(0≤t ≤√3)，则PC →=(3,−2,−t),AF →=(0,−1,√3)． 所以cos <PC →,AF →>=|PC →⋅AF →||PC →|⋅|AF →|=√3t|2√t 2+13， 由题意得√3t 2√t 2+13=√32，化简得−4√3t =35，解得t =4√3<0．所以在线段EB 上不存在点P ，使得CP 与AF 所成的角为30∘．【答案】因为f(x)=e axx 2+1，所以f ′(x)=e ax (ax 2−2x+a)(x 2+1)2．（1）当a ＝1时，f(x)=e xx 2+1，f ′(x)=e x (x 2−2x+1)(x 2+1)2，所以f(0)＝1，f ′(0)＝1．所以曲线y ＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程为x −y +1＝0． （2）因为f ′(x)=e ax (ax 2−2x+a)(x 2+1)2=e ax (x 2+1)2(ax 2−2x +a)，（1）当a ＝0时，由f ′(x)>0得x <0；由f ′(x)<0得x >0．所以函数f(x)在区间(−∞, 0)单调递增，在区间(0, +∞)单调递减．（2）当a ≠0时，设g(x)＝ax 2−2x +a ，方程g(x)＝ax 2−2x +a ＝0的判别式△＝4−4a 2＝4(1−a)(1+a)，①当0<a <1时，此时△>0． 由f ′(x)>0得x <1−√1−a 2a，或x >1+√1−a 2a；由f ′(x)<0得1−√1−a 2a<x <1+√1−a 2a．所以函数f(x)单调递增区间是(−∞,1−√1−a 2a)和(1+√1−a 2a,+∞)，单调递减区间(1−√1−a 2a,1+√1−a 2a)．②当a ≥1时，此时△≤0．所以f ′(x)≥0，所以函数f(x)单调递增区间是(−∞, +∞)． ③当−1<a <0时，此时△>0．由f ′(x)>0得1+√1−a 2a<x <1−√1−a 2a；由f ′(x)<0得x <1+√1−a 2a，或x >1−√1−a 2a．所以当−1<a <0时，函数f(x)单调递减区间是(−∞,1+√1−a 2a)和(1−√1−a 2a,+∞)， 单调递增区间(1+√1−a 2a,1−√1−a 2a)．④当a ≤−1时，此时△≤0，f ′(x)≤0，所以函数f(x)单调递减区间是(−∞, +∞)． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的单调性【解析】（I ）先求导数f ′(x)，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x ＝0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．(II)对字母a 进行分类讨论，再令f ′(x)大于0，解不等式，可得函数的单调增区间，令导数小于0，可得函数的单调减区间． 【解答】因为f(x)=e axx 2+1，所以f ′(x)=e ax (ax 2−2x+a)(x 2+1)2．（1）当a ＝1时，f(x)=e xx 2+1，f ′(x)=e x (x 2−2x+1)(x 2+1)2，所以f(0)＝1，f ′(0)＝1．所以曲线y ＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程为x −y +1＝0． （2）因为f ′(x)=e ax (ax 2−2x+a)(x 2+1)2=e ax(x 2+1)2(ax 2−2x +a)，（1）当a ＝0时，由f ′(x)>0得x <0；由f ′(x)<0得x >0．所以函数f(x)在区间(−∞, 0)单调递增，在区间(0, +∞)单调递减．（2）当a ≠0时，设g(x)＝ax 2−2x +a ，方程g(x)＝ax 2−2x +a ＝0的判别式△＝4−4a 2＝4(1−a)(1+a)，①当0<a <1时，此时△>0． 由f ′(x)>0得x <1−√1−a 2a，或x >1+√1−a 2a；由f ′(x)<0得1−√1−a 2a<x <1+√1−a 2a．所以函数f(x)单调递增区间是(−∞,1−√1−a 2a)和(1+√1−a 2a,+∞)，单调递减区间(1−√1−a 2a,1+√1−a 2a)．②当a ≥1时，此时△≤0．所以f ′(x)≥0， 所以函数f(x)单调递增区间是(−∞, +∞)． ③当−1<a <0时，此时△>0． 由f ′(x)>0得1+√1−a 2a<x <1−√1−a 2a；由f ′(x)<0得x <1+√1−a 2a，或x >1−√1−a 2a．所以当−1<a <0时，函数f(x)单调递减区间是(−∞,1+√1−a 2a)和(1−√1−a 2a,+∞)，单调递增区间(1+√1−a 2a,1−√1−a 2a)．④当a ≤−1时，此时△≤0，f ′(x)≤0，所以函数f(x)单调递减区间是(−∞, +∞)． 【答案】（1）依题意，c =√2，b ＝1，所以a =2+c 2=√3． 故椭圆C 的方程为x 23+y 2=1． （2）①当直线l 的斜率不存在时，由{x =1x 23+y 2=1解得x =1,y =±√63． 不妨设A(1,√63)，B(1,−√63)， 因为k 1+k 3=2−√632+2+√632=2，又k 1+k 3＝2k 2，所以k 2＝1，所以m ，n 的关系式为n−2m−3=1，即m −n −1＝0． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x −1)．将y ＝k(x −1)代入x 23+y 2=1整理化简得，(3k 2+1)x 2−6k 2x +3k 2−3＝0．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=6k 23k 2+1，x 1x 2=3k 2−33k 2+1． 又y 1＝k(x 1−1)，y 2＝k(x 2−1)． 所以k 1+k 3=2−y 13−x 1+2−y23−x 2=(2−y 1)(3−x 2)+(2−y 2)(3−x 1)(3−x 1)(3−x 2)=[2−k(x 1−1)](3−x 2)+[2−k(x 2−1)](3−x 1)x 1x 2−3(x 1+x 2)+9=2kx 1x 2−(4k+2)(x 1+x 2)+6k+12x 1x 2−3(x 1+x 2)+9=2k×3k 2−33k 2+1−(4k+2)×6k 23k 2+1+6k+123k 2−33k 2+1−3×6k 23k 2+1+9=2(12k 2+6)12k 2+6=2．所以2k 2＝2，所以k 2=n−2m−3=1，所以m ，n 的关系式为m −n −1＝0． 综上所述，m ，n 的关系式为m −n −1＝0．【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程【解析】(Ⅰ)依题意，c =√2，b ＝1，求出a 的值，即可得到椭圆C 的方程；(Ⅱ)①当直线l 的斜率不存在时，将直线x ＝1与椭圆方程联立，求得A ，B 的坐标，利用k 1+k 3＝2k 2，可得m ，n 满足的关系式；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程代入x 23+y 2=1整理化简，利用韦达定理及k 1+k 3＝2k 2，可得k 2的值从而可得m ，n 满足的关系式． 【解答】（1）依题意，c =√2，b ＝1，所以a =√b 2+c 2=√3．故椭圆C 的方程为x 23+y 2=1． （2）①当直线l 的斜率不存在时，由{x =1x 23+y 2=1解得x =1,y =±√63． 不妨设A(1,√63)，B(1,−√63)， 因为k 1+k 3=2−√632+2+√632=2，又k 1+k 3＝2k 2，所以k 2＝1，所以m ，n 的关系式为n−2m−3=1，即m −n −1＝0． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x −1)．将y ＝k(x −1)代入x 23+y 2=1整理化简得，(3k 2+1)x 2−6k 2x +3k 2−3＝0． 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=6k 23k 2+1，x 1x 2=3k 2−33k 2+1．又y 1＝k(x 1−1)，y 2＝k(x 2−1)． 所以k 1+k 3=2−y 13−x 1+2−y 23−x 2=(2−y 1)(3−x 2)+(2−y 2)(3−x 1)(3−x 1)(3−x 2)=[2−k(x 1−1)](3−x 2)+[2−k(x 2−1)](3−x 1)x 1x 2−3(x 1+x 2)+9=2kx 1x 2−(4k+2)(x 1+x 2)+6k+12x 1x 2−3(x 1+x 2)+9=2k×3k 2−33k 2+1−(4k+2)×6k 23k 2+1+6k+123k 2−33k 2+1−3×6k 23k 2+1+9=2(12k 2+6)12k 2+6=2．所以2k 2＝2，所以k 2=n−2m−3=1，所以m ，n 的关系式为m −n −1＝0．综上所述，m ，n 的关系式为m −n −1＝0．【答案】（1）解：若A 0:0，1，1，3，0，0，则A 1:1，0，1，3，0，0；A 2:2，1，2，0，0，0； A 3:3，0，2，0，0，0；A 4:4，1，0，0，0，0； A 5:5，0，0，0，0，0．若A 4:4，0，0，0，0，则 A 3:3，1，0，0，0； A 2:2，0，2，0，0； A 1:1，1，2，0，0； A 0:0，0，1，3，0．．…．…（2）证明：若数列A 0:a 0，a 1，…，a n 满足a k =0及a i >0(0≤i ≤k −1)，则定义变换T −1，变换T −1将数列A 0变为数列T −1(A 0)：a 0−1，a 1−1，…，a k−1−1，k ，a k+1，…，a n ．可得T −1和T 是互逆变换． 对于数列n ，0，0，…，0连续实施变换T−1（一直不能再作T−1变换为止）得n ，0，0，…，0→T −1n −1，1，0，…，0→T −1 n −2，0，2，0，…，0→T −1 n −3，1，2，0，…，0→T −1 ...→T −1 a 0，a 1，…，a n ，则必有a 0=0（若a 0≠0，则还可作变换T −1）．反过来对a 0，a 1，…，a n 作有限次变换T ，即可还原为数列n ，0，0，…，0，因此存在数列A 0满足条件．… （3）证明：显然a i ≤i(i =1, 2,…,n)，这是由于若对某个i 0，a i 0>i 0，则由变换的定义可知，a i 0通过变换，不能变为0．由变换T 的定义可知数列A 0每经过一次变换，S k 的值或者不变，或者减少k ，由于数列A 0经有限次变换T ，变为数列n ，0，…，0时，有S m =0，m =1，2，…，n ， 所以S m =mt m （t m 为整数），于是S m =a m +S m+1=a m +(m +1)t m+1，0≤a m ≤m ，所以a m 为S m 除以m +1后所得的余数，即a m =S m −[Sm m+1](m +1)．…【考点】综合法与分析法 【解析】（1）根据新定义，首项分别取1，2，3，4，5，从而可写出其余各项；（2）若数列A 0:a 0，a 1，…，a n 满足a k =0及a i >0(0≤i ≤k −1)，则定义变换T −1，变换T −1将数列A 0变为数列T −1(A 0)：a 0−1，a 1−1，…，a k−1−1，k ，a k+1，…，a n ．可验证数列A 0满足条件；（3）显然a i ≤i(i =1, 2,…,n)，由变换T 的定义可知数列A 0每经过一次变换，S k 的值或者不变，或者减少k ，由于数列A 0经有限次变换T ，变为数列n ，0，…，0时，有S m =0，m =1，2，…，n ，从而可得S m =a m +S m+1=a m +(m +1)t m+1，0≤a m ≤m ，由此可得结论．【解答】（1）解：若A 0:0，1，1，3，0，0，则A 1:1，0，1，3，0，0；A 2:2，1，2，0，0，0； A 3:3，0，2，0，0，0；A 4:4，1，0，0，0，0； A 5:5，0，0，0，0，0．若A 4:4，0，0，0，0，则 A 3:3，1，0，0，0； A 2:2，0，2，0，0； A 1:1，1，2，0，0； A 0:0，0，1，3，0．．…．…（2）证明：若数列A 0:a 0，a 1，…，a n 满足a k =0及a i >0(0≤i ≤k −1)，则定义变换T −1，变换T −1将数列A 0变为数列T −1(A 0)：a 0−1，a 1−1，…，a k−1−1，k ，a k+1，…，a n ．可得T −1和T 是互逆变换．对于数列n ，0，0，…，0连续实施变换T−1（一直不能再作T−1变换为止）得n ，0，0，…，0→T −1n −1，1，0，…，0→T −1 n −2，0，2，0，…，0→T −1 n −3，1，2，0，…，0→T −1 ...→T −1 a 0，a 1，…，a n ，则必有a 0=0（若a 0≠0，则还可作变换T −1）．反过来对a 0，a 1，…，a n 作有限次变换T ，即可还原为数列n ，0，0，…，0，因此存在数列A 0满足条件．… （3）证明：显然a i ≤i(i =1, 2,…,n)，这是由于若对某个i 0，a i 0>i 0，则由变换的定义可知，a i 0通过变换，不能变为0．由变换T 的定义可知数列A 0每经过一次变换，S k 的值或者不变，或者减少k ，由于数列A 0经有限次变换T ，变为数列n ，0，…，0时，有S m =0，m =1，2，…，n ， 所以S m =mt m （t m 为整数），于是S m =a m +S m+1=a m +(m +1)t m+1，0≤a m ≤m ， 所以a m 为S m 除以m +1后所得的余数，即a m =S m −[S m m+1](m +1)．…。
2012年北京市海淀一模数学(理科)试题带详细解答
海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理科）2012.04一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}1A x x =>，{}B x x m =<，且A B =R ，那么m 的值可以是 （A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2 很明显，m>1即可，答案为D（2）在等比数列{}n a 中，14358a a a a ==，，则7a =（A ）116（B ）18 （C ）14 （D ）12224354417471,1,1,8a a a a a a a a a ======，答案为B（3）在极坐标系中，过点3(2,)2π且平行于极轴的直线的极坐标方程是 （A ）sin 2ρθ=- （B ）cos 2ρθ=- （C ）sin 2ρθ= （D ）cos 2ρθ=0,2,x y A 答案选==-（4）已知向量=(1)=(1)x x ，a b ，，-，若2-a b 与b 垂直，则=a （A（B（C ）2 （D ）42222022(1)(1),3,||2,ab b x x x a C答案为=-=-+-+==（5）执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）716,1;8,2;4,3;2,4;1,n k n k n k n k n k B答案为==========（6）从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（A ）12 （B ）24 （C ）36 （D ）483254601248,A A D 答案为-=-=（7）已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩ 若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（A ）2a < （B ）2a > （C ）22a -<< （D ）2a >或2a <-11 (220)a a or A a 不单调即可答案为ìïï³ï<íïï<ïî （8）在正方体''''ABCD A B C D -中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 与'AC 所成的角为45°的点P 的个数为（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）6BC 所成角>45’,BC ’<45’，即CC ’间有一个点，同理B ’C ’间有一个点；A ’D ’间有一个点，答案为B,3个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）复数2i1i a +-在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数a = .2,211a i a ==- （10）过双曲线221916x y -=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 44,:(5),4320033k l y x x y ==---= . （11）若1tan 2α=，则cos(2)απ2+= .2222sin cos 2tan 4cos(2)sin 22sin cos tan 15a a a a a a a a π+=-=-=-=-++（12）设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需A'B'C'D'ABCD求弹性EQ EP 大于1（其中'EQ Q P EP Q=-，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 5'5,1,10,(10,20)1005pQ p p p故=->> - .（13）如图，以ABC ∆的边AB 为直径的半圆交AC 于点D ，交BC 于点E ，EF AB ^于点F ，3AF BF =，22BE EC ==，那么CDE Ð= ，CD =.22,3,3,60',133,BF x AF x EF AF BF x EF CDE EBF AE AC CD ACCD 则===?=??==??=（14）已知函数1,,()0,,x f x x ìÎïï=íïÎïîR Q Q ð则 （ⅰ）(())f f x = (),[()]1f x Q f f x ∈=故 ； （ⅱ）给出下列三个命题： ② 数()f x 是偶函数；对 ②存在(1,2,3)i x i?R ，使得以点(,())(1,2,3)i i x f x i =为顶点的三角形是等腰直角三角形； 若为等腰直角，高为1，斜边为2.则3顶点坐标之差为有理数，矛盾。
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随机变量
1. (2012海淀17)（本小题满分13分）
某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].
（Ⅰ）求直方图中x的值；
学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以
申请住宿；
（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上
学所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列
和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分
钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）
2.2012朝阳16. （本小题满分13分）
某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及
其以上为优秀.
绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；
（Ⅲ）在（II）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参
加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的
分布列与数学期望.
今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：
（I）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；
（II）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
4.2012丰台17．（本小题共13分）
某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示。
（I）请根据图中所给数据，求出a的值；
（Ⅱ）从成绩在[50，70）内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在[60，70）内的概率；
（Ⅲ）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50，70）内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X表示所选学生成绩在[ 60，70）内的人数，求X的分布列和数学期望．
甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为3
1，乙每次投中的概
率为
2
1，每人分别进行三次投篮．
（Ⅰ）记甲投中的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ； （Ⅱ）求乙至多投中2次的概率； （Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率．
6.2012西城16.（本小题满分13分）
乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.
（Ⅰ）求甲以4比1获胜的概率；
（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率； （Ⅲ）求比赛局数的分布列.
7.（2012东城（16）（本小题共13分）
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元，若是二等品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元，若是二等品，则亏损2万元.两种产品生产的质量相互独立.
（Ⅰ）设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为X （单位：万元），求X 的分布列； （Ⅱ）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。