数列、极限、数学归纳法2

数列、极限、数学归纳法
1．等差数列d a a d a +-,,的通项公式是（ ）
（A ）()d n a a n 1-+=； （B ）()d n a a n 2-+=； （C ）nd a a n +=； （D ）()d n a a n 3-+=
2．若非零实数c b a 、、成等比数列，那么函数c bx ax y ++=2与x 轴的交点的个数是（ ）
（A ）2； （B ）1； （C ）0； （D ）无法确定
3．一个等比数列的第三、四项分别为4和8，那么它的第一、五项分别是（ ） （A ）1，12； （B ）2，12； （C ）2，16； （D ）1，16
4．若c b a 、、成等比数列，m 是b a 、的等差中项，n 是c b 、的等差中项，则
n
c m a +等于（ ）
（A ）4； （B ）3； （C ）2； （D ）1
5．首项为24的等差数列，从第十项起开始为负数，则公差d 的取值范围是（ ） （A ）38-
<d ； （B ）3->d ； （C ）383-≤<-d ； （D ）3
83-<≤-d 6．某人从1993年孩子上初中起每年的9月1日到银行新存入a 元一年定期，若年利率保
持不变，且每年到期存款均自动转存为新的一年定期，到孩子上大学的1999年9月1日将所有存款及利息取回，他可取回的钱数（元）为（ ） （A ）()6
1r a +； （B ）()
7
1r a +； （C ）()51r a +； （D ）()()[]r r r
a +-+117
7．已知{}n a 是等差数列，则正确的是（ ）
（A ）5463a a a a ⋅<⋅；（B ）5463a a a a ⋅≤⋅；（C ）5463a a a a ⋅>⋅；（D ）5463a a a a ⋅≥⋅ 8．在等差数列{}n a 中，已知19,1074==a a ，则12a 的值是（ ） （A ）34； （B ）37； （C ）31； （D ）33
9．在等差数列{}n a 中，14,241==a a ，那么前6项和6S 等于（ ）
（A ）36； （B ）72； （C ）78； （D ）144 10．在数列{}n a 中，甲：b kn a n +=（b k 、为常数），乙：{}n a 是等差数列，则甲是乙的（ ）条件
（A ）充要； （B ）充分； （C ）必要； （D ）既不充分也不必要
11．无穷等比数列的前n 项和为n
n S ⎪⎭
⎫
⎝⎛-=211，则所有项的和为（ ）
（A ）2
1-； （B ）1； （C ）21
； （D ）任意实数
12．设{}n a 与{}n b 都是公差不为零的等差数列，且21
lim =∞→n
n n b a ，则n n n na b b b 321lim +++∞→ 等
于（ ）
（A ）
41； （B ）31； （C ）2
1
； （D ）1 13．若{}n a 是等比数列，31=a ，公比3
1
=q ，前n 项和为n S ，则n n S ∞→lim 等于（ ）
（A ）29； （B ）49； （C ）41
； （D ）4
14．等比数列{}n a 中，70,1002-==m m S S （m 是给定自然数）
，则m S 3等于（ ）
（A ）-240； （B ）184； （C ）219； （D ）49
15．数列{}n a 中，12+=n n S ，则⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+++++∞→14
332211111lim n n n a a a a a a a a 等于（ ） （A ）31； （B ）125； （C ）6
5； （D ）23
16．已知3>a ，则1133lim ++∞→+-n n n
n n a a 的值等于（ ）
（A ）0； （B ）31； （C ）a ； （D ）a
1
-
17．若b b a b a n n n
n n -=-+--∞→1
1
lim ，则正实数（常数）b a 、的关系是（ ） （A ）b a >； （B ）b a =； （C ）b a <； （D ）b a 、大小不能确定 18．当∞→n 时，n a 的极限不存在的是（ ）
（A ）n n a n 1+=； （B ）n
n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21； （C ）()n n a 1-=； （D ）7-=n a
19．若914141414lim 2=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-++-+-+-∞→a a a a a a a n n ，则实数a 的值为（ ） （A ）35； （B ）31； （C ）35或31； （D ）3
1-
20．已知等差数列{}n a 的公差m S d a d 10,,0201=≠≠，则m 等于（ ）
（A ）155a a +； （B ）1022a a +； （C ）d
a +20； （D ）912a a +
21．设122,62,32===c b a ，则数列c b a 、、（ ）
（A ）是等差数列，但不是等比数列； （B ）是等比数列，但不是等差数列； （C ）既是等差数列，又是等比数列； （D ）既不是等差数列，又不是等比数列 22．已知100个连续整数的和为100S ，且1350013400100<<S ，则此连续整数中最小的一个是（ ）
（A ）84； （B ）85； （C ）86； （D ）87
23．在等比数列{}n a 中，11=a ，公比R q ∈，且1≠q ，若54321a a a a a a m =，则m 等于（ ）
（A ）9； （B ）10； （C ）11； （D ）12
24．在A B C ∆中，三内角A 、B 、C 所对的边分别是c b a 、、，且C B A s i n lg sin lg sin lg 、、成等差数列，那么直线a A y A x =+sin sin 2
与直线c C y B x =+sin sin 2
的位置关系是
（ ）
（A ）平行； （B ）垂直； （C ）重合； （D ）相交不垂直 25．等差数列{}n a 中，公差2,0≥<n d ，则有（ ）
（A ）1na S n ≥； （B ）1na S n ≤； （C ）1na S na n n <<； （D ）n n na S na <<1 26．一个等差数列的首项为4，它的第1项、第7项、第10项成等比数列，这个等差数列的一个通项公式为（ ）
（A ）()1314--
n 或4；（B ）()1314-+n ；（C ）()1314-+n 或4；（D ）()1314--n 27．若87
23lim =+∞→n
n n a a ，且n a 存在极限，则n n a ∞→lim 为（ ）
（A ）
87； （B ）4； （C ）1； （D ）7
8 28．无穷等比数列{}n a 各项和为3，第二项为3
4
-，则此数列奇数项的和为（ ）
（A ）3； （B ）2
9-； （C ）29
； （D ）16
29．()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+++++∞→!1!43!32!21lim n n n 等于（ ） （A ）1； （B ）21； （C ）0； （D ）3
1
30．已知数列通项()n
n ctgx a 1-=，n n a ∞
→lim 存在，则x 的取值范围是（ ）
（A ）⎥⎦⎤⎢⎣
⎡2,
2πarcctg ； （B ）Z k k arcctg k ∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡
++,2,2πππ； （C ）Z k k arcctg k ∈⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
++,22,22πππ；（D ）[)Z k k arcctg k ∈++,,2πππ
31．一个无穷等比数列的公比1<q ，首项为1，且每一项都等于它以后各项和的k 倍，则k 的范围是（ ） （A ）0≥k ；（B ）2-≤k ；（C ）0>k 或2-<k ；（D ）02<<-k
32．设n n n A 2124323
2
3132313231-++-+-=- ，则n n A ∞→lim 的值为（ ）
（A ）81； （B ）4
1； （C ）0； （D ）21-
33．若()n
n x 21lim -∞
→存在，则x 的取值范围是（ ）
（A ）10<<x ； （B ）10<≤x ； （C ）10≤≤x ； （D ）1≥x 或0<x 34．下列式子中正确的是（ ）
（A ）19.0≈。

； （B ）19.0<。

； （C ）19.0=。

； （D ）19.01.0=+。

35．等比数列{}n a 中，如果2
1
lim =
∞→n n S ，则1a 的取值范围是（ ）
（A ）111<<-a ；（B ）101<<a ；（C ）2101<<a ；（D ）2101<<a 或12
1
1<<a
36．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞
→n n 11411311211lim 的值是（ ）
（A ）2
1
； （B ）31； （C ）0； （D ）1
37．已知0lim =∞
→n n a ，且有()[]623lim =-∞
→n n a n ，则()n n na ∞
→lim 的值为（ ）
（A ）2； （B ）
21； （C ）3
2
； （D ）不一定存在 38．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知1443243666===-n n S S S 、、，
（n>6）则n 等于（ ）
（A ）15； （B ）16； （C ）17； （D ）18 39．(
)[]
=+-+∞
→n n n a n
n 12lim _____________
40．若21532lim 2=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--++∞→n bn an n ，则a =__________,b =___________ 41．给出下列命题：
（1）常数列既是等差数列又是等比数列；
（2）等差数列中，若公差0<d ，则数列必是递减数列； （3）等比数列中，若公比1>q ,则数列必是递增数列； （4）14142lim =⎪⎭
⎫
⎝⎛-+∞→n n n n ；
（5）首项为1a 、公比为q 的等比数列的前n 项和为()
q
q a S n
n --=111
其中正确命题的序号是____________________
42．52是数列： ,13,,11,22,5,2-n 的第____________项 43．等比数列： ,54,,,2,--c b a 的通项公式n a =___________
44．一个等差数列的第六项是5，第三项与第八项的和为6，那么此数列的前九项的和是 ____________________
45．等比数列{}n a 中,6,2654321=++=++a a a a ,则该数列的前九项的和是__________
46．在等差数列{}n a 中,
12142--=
n n a a n n ,则n n S S
2=___________ 47．从无穷等比数列 ,3
1
,,271,
91,31n 中选出某些项构成一个无穷等比数列，如果新数列各项和为26
3
,则它的公比为______________
48．在等差数列{}n a 中，若010=a ，则不等式：+++=++++321321a a a a a a a n ),19(19N n n a n ∈<+- 成立。

类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b 中若19=b ，则
有等式________________________________________成立 49．已知在等差数列{}n a 中，()n n a n a a a a 1212321-=++++- ，请写出在等比数列{}n b 中相应的性质________________________________________________. 50．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”。

设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列{}n a 的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第____________组。

（写出所有符合要求的组号）
①1S 与2S ；②2a 与3S ；③1a 与n a ；④q 与n a
其中n 为大于1的整数，n S 为{}n a 前n 项和
51．无穷等比数列{}n a 的首项11a =，其公比q 为实常数，且1q <，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且各项和为S ，数列{}n S 的前n 项和为n T （1）求n T （将n T 写成关于q 的表达式）；
（2）求()nS T n n -∞
→lim （写成关于q 的表达式）
52．在等差数列{}n a 中， 30,240,245===-m m a T a ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足()1112,42n n n n b S b S pb n --==+-≥，若lim n n S m →∞
=，求实数p 的值
53．已知函数2
()31f x x bx =++是偶函数，()5g x x c =+是奇函数，正数数列{}n a 满足：
()21111,()1n n n n n a f a a g a a a ++=+-⋅+=
（1）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求；lim n n S →∞
；
（2）若()12()n n n b f a g a +=-，求数列{}n b 中的项的最大值和最小值 54．已知{}n a 、{}n b 是两个数列，点()()121,2,2,,,n n n n M A a B n n -⎛⎫
⎪⎝
⎭为直角坐标平面上的点
（1）对n N ∈，若点n n M A B 、、在一直线上，求数列{}n a 的通项公式 （2）若数列{}n b 满足：1122332123log n n
n n
a b a b a b a b C a a a a ++++=
++++ ，其中{}n C 是38C =，公
比为4的等比数列，求证：点列()()()121,2,,n b b n b 、、、在同一直线上，并求出此直线方程
55．已知等差数列{}n a 的首项01≠a ，公差0≠d ，由{}n a 中的部分项组成的数列：
、、、、n b b b a a a 21为等比数列，其中5,2,1321===b b b
（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S
56．数列{}n a 中，2,841==a a ，且满足：()N n a a a n n n ∈=+-++0212 （1）求n a ；
（2）设n n a a a a S ++++= 321，求n S
（3）设()
()n n n n b b b b T N n a n b ++++=∈-= 321,121
，是否存在最大的整数m 使得
对任意N n ∈均有32m
T n >总成立?若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由
57．已知函数⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈=1,21),(21,0),()(21x x f x x f x f ，其中,1212)(21+⎪⎭⎫ ⎝⎛
--=x x f 22)(2+-=x x f
（1）作出)(x f y =的图象；
（2）设⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈=1,21),(2x x f y 的反函数为)(,),(,1),(1121-====n n a g a a g a a x g y ，
求n a 及n n a ∞
→lim ；
（3）若01010)(),(,2
1,0x x f x f x x ==⎪⎭
⎫⎢⎣⎡∈，求0x
58．是否存在一个实数的等比数列{}n a ，同时满足以下两个条件：
（1）43,a a 是方程0932
42
=+
-x x 的两根； （2）至少存在一个自然数m 使得329
4,,12
1++-m m m a a a 依次成等差数列，若存在，写出这
个数列的通项公式，若不存在，请说明理由
59．设函数,34)(2
+-=x x x f 已知在等差数列{}n a 中)(,2
1
),1(321x f a a x f a =-
=-= （1）求数列{}n a 的通项；
（2）求26852a a a a ++++ 的值
60．已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令n n n a a b lg ⋅=，
()N n ∈
（1）求数列{}n b 的前n 项和n S ；
（2）当{}n b 中的每一项总小于它后面的项时，求a 的范围 61．已知函数x b a x f ⋅=)(的图像过点⎪⎭
⎫ ⎝⎛
41,4A 和()1,5B ， （1）求函数)(x f 的解析式；
（2）记)(log 2n f a n =，n 是正整数，n S 为数列{}n a 的前n 项和，解关于n 的不等式 0≤⋅n n S a ；
（3）（文）对于（2）中的n a 和n S ，整数96是否为数列{}n n S a ⋅中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由
（理）对于（2）中的n a 和n S ，整数4
10是否为数列{}n n S a ⋅中的项？若是，则求出相应
的项数；若不是，请说明理由 62．（04理）设()()()()()N n n y x p y x p y x p y x p n n n ∈≥,3,,,,,,,,333222111 是二次曲线C 上的点，且2
2
332
222
11,,,,n
n OP a OP a OP a OP a ==== 构成了一个公差为
()0≠d d 的等差数列，其中O 为坐标原点，记n S 为数列{}n a 的前n 项和
（1）若C 的方程为3,125
1002
2==+n y x ，点()0,101P 且2553=S ，求点3P 的坐标；（只需写出一个）
（2）若C 的方程为()0122
22>>=+b a b
y a x ，点()0,1a P ，对于给定的自然数n ，当公差d
变化时，求n S 的最小值；
（3）请选出一条除椭圆外的二次曲线C 及C 上一点1P ，对于给定的自然数n ，写出符合条件的点n P P P P ,,,,321 存在的充要条件，并说明理由
63．（04文）设()()()()()N n n y x p y x p y x p y x p n n n ∈≥,3,,,,,,,,333222111 是二次曲线C 上的点，且2
2
332
222
11,,,,n
n OP a OP a OP a OP a ==== 构成了一个公差为
()0≠d d 的等差数列，其中O 为坐标原点，记n S 为数列{}n a 的前n 项和
（1）若C 的方程为3,19
22
==-n y x ，点()0,31P 且1623=S ，求点3P 的坐标；（只需写出一个）
（2）若C 的方程为()022
≠=p px y ，点()0,01P ，对于给定的自然数n ，证明：
()()()()n n p x p x p x p x ++++,,,,232221 成等差数列；
（3）若C 的方程为()0122
22>>=+b a b
y a x ，点()0,1a P ，对于给定的自然数n ，当公差d
变化时，求n S 的最小值；
答案
1． B ； 2．C ； 3．D ； 4．C ； 5．D ；6．D ； 7．B ； 8．A ； 9．B ； 10．A ； 11．B 12．B ；13．A ；14．C ；15．A ；16．D ；17．C ；18C ．19．B ； 20．D ；21．A ； 22．B 23．C ；24．C ；25．C ；26．A ；27．B ；28．C ；29．A ；30．B ；31．C ；32．A ；33．B 34．C ；35．D ；36．C ；37．A ；38．D
39．
2
1
； 40．9,0==b a ； 41．（2）； 42．7； 43．232-⨯-=n n a ； 44．9； 45．26；46．4； 47．27
1； 48．n n b b b b b b b b -=17321321 ； 49．1
212321--=n n n b b b b b
50．①②； 51．（1）()
()2
111q q q q n T n
n ----=；（2）()
21q q --； 52．513； 53． （1）3；（2）243374314；；54．（1）n a n 2=；（2）43-=x y ； 55． （1）()
132
11
+=-n n b ；（2）()
1234
1-+=
n S n
n ； 56．（1）n a n 210-=；（2）⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+-=5
,4095
,922
n n n n n n S n ；（3）7=m ；
57．（2）32
lim ,21132=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞→n n n
n a a ；（3）41；
58．存在，1
23
1-⋅n ； 59． （1）21n a n -=或23-=n a n ；（2）2117-或299
；
60．（1）()()[]
n
n a na n a a a S -+--=111lg 2
；（2）()+∞⎪⎭
⎫ ⎝⎛,121,0 61．（1）54)(-=x x f ；（2）9,8,67,5=n ；（3）（文）不是；（理）不是
62．()
()
()；：）；（）；（0,0,,132210,152)1(122
22223>=-+=d a P b
y a x C b a n S P n ()0,0,212
P px y C =：，0>d ；()()()1
40,0,0,021222-≤<≠=+-n a d P a a y a x C ：
63．()
()
2
0133,103)1(22223b a n S d n a b P n +=<≤--；）；（。