专题课堂(六) 线段、角的计算
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题06 多边形角的计算
专题06 多边形角的计算专题解读】在几何学习中，我们常常要研究一些变化过程中的不变量．比如，随着多边形边数的变化，其内角和在变化，而外角和则始终保持不变．因此，在分析与解决有关多边形的角的计算题时，我们往往以图形的确定性分析为抓手，从基本图形的演变入手，在“变”与“不变”中探索规律．在解决问题的具体过程中，常常化多边形问题为三角形问题．此外，我们还可设立未知数表达相关的量，最终建立方程求解问题．思维索引】例1．如图，从四边形ABCD 的纸片中只剪一刀，剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图，并在图形下方写上剩余部分多边形的内角和．DCBA例2．在△ABC 中，∠C ＝90°，点D ，E 分别是边AC ，BC 上的点，点F 是一动点．设∠FDA ＝α，∠FEB ＝β，∠DFE ＝n ．（1）如图1，若点F 在线段AB 上，且n ＝50°，则α＋β＝；（2）如图2，若点F 在斜边BA 的延长线上运动（CE ＞CD ），请直接写出n 、a 、β之间的关系；（3）若点F 运动到△ABC 形外（只需研究图3情形），则n 、a 、β之间有何关系？并说明理由．图1ABCD E图2FEDC BA图3例3．如图：线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，我们把这个图形称为“8字型”．根据三角形内角和容易得到：∠A ＋∠D ＝∠C ＋∠B ．（1）利用“8字型”：如图（1）：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝； （2）构造“8字型”：如图（2）：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝；（3）发现“8字型”：如图（3）：BE 、CD 相交于点A ，CF 为∠BCD 的平分线，EF 为∠BED 的平分线．①图中共有个“8字型”；②若∠B ：∠D ：∠F ＝4：6：x ，求x 的值．OABCD图1ABC DEF图2GABC DEF图3GFE D CBA素养提升1．如图是一个长方形和两个等边三角形，若∠3＝50°，则∠1＋∠2的值是 ( )A ．90°B ．100°C ．130°D ．180°第1题图321第2题图ACB 12第5题图ABC DE第6题图ABCDEFO2．如图，在△ABC 中，∠C ＝50°，按图中虚线将∠C 剪去后，∠1＋∠2等于 ( )A ．230°B ．210°C ．130°D ．310°3．将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是 ( ) A ．360°B ．540°C ．720°D ．900°4．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为( )A ．7B ．7或8C ．8或9D ．7或8或95．如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 为 ( )A ．360°B ．300°C ．220°D ．180°6．如图，已知∠BOF ＝120°，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝ ．7．如图的七边形ABCDEFG 中，AB 、ED 的延长线相交于O 点．若图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝220°，则∠BOD 的度数为．第7题图AB C DEFGO4321 第8题图B'A'HABC EFG第9题图AB CDEF第10题图A 2A 1OBA8．将六边形ABCDEF 沿直线GH 折叠，使A 、B 落在六边形CDEFGH 内部，若∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝510°，则∠A ′KF ＋∠B ′JC ＝．9．如图，在同一平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则∠AEB ＋∠CED －∠BEC ＝．10．如图，已知∠AOB ＝7°，一条光线从点A 出发后射向OB 边．若光线与OB 边垂直，则光线沿原路返回到点A ，此时∠A ＝90°－7°＝83°．当∠A ＜83°时，光线射到OB 边上的点A 1后，经OB 反射到线段AO 上的点A 2，易知∠BA 1A ＝∠A 2AO ．若A 1A 2⊥AO ，光线又会沿A 2→A 1→A 原路返回到点A ，此时∠A ＝76°．若光线从A 点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A ，则锐角∠A 的最小值是．11．已知，在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝40°，∠E ＋∠F ＝100°，将△DEF 如图1和图2摆放，使得∠D 的两条边分别经过点B 和点C ．（1）当将△DEF 如图1摆放时，则∠ABD ＋∠ACD ＝．（2）当将△DEF 如图2摆放时，请求出∠ABD ＋∠ACD 的度数，并说明理由．（3）能否将△DEF 摆放到某个位置时，使得BD 与CD 同时平分∠ABC 和∠ACB ，请说出理由．ABCDEF图1AB EFDC图212．（1）在图甲中，猜想：∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＋∠A 2＋∠B 2＋∠C 2＝ ，并说明理由．（2）如果把图甲称为2环三角形，它的内角和为∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＋∠A 2＋∠B 2＋∠C 2；把图乙成为2环四边形，它的内角和为∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＋∠D 1＋∠A 2＋∠B 2＋∠C 2＋∠D 2；把图丙成为2环五边形，它的内角和为∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＋∠D 1＋∠E 1＋∠A 2＋∠B 2＋∠C 2＋∠D 2＋∠E 2．请你猜一猜，2环n 边形的内角和是多少？（只要直接写出结论）图甲A 2A 1B 2B 1C 2C 1图乙A 2A 1B 2B 1C 2C 1D 2D 1E 2E 1C 2D 1D 2C 1B 1B 2A 1A 2图丙E 2E 11D 2C 1C 2B 1B 2A 1A 2图丁F 1F 213．（1）如图1，AD 与BC 相交于E ，连接AB 、CD ，若AF 、CF 分别平分∠BAD 、∠BCD ，∠ABC ＝36°，∠ADC ＝16°，试求∠F 的度数；（2）如图2，直线AF 平分∠NAD ，CF 平分∠MCB ，若∠ABC ＝36°，∠ADC ＝16°，试求∠F 的度数； （3）在图3中，直线AF 平分∠NAD ，CF 平分∠MCB ，猜想∠F 与∠B 、∠D 的关系，直接写出结论，无需说明理由；（4）在图4中，AF 平分∠BAD ，CF 平分∠MCB ，猜想∠F 与∠B 、∠D 的关系，直接写出结论，无需说明理由．图1FE DCBAN MA BDE F图2图3F A NMC ED BBDEC MAF图414．（1）如图1，已知直线PQ 与直线EF 交于点N ，则∠PME 、∠P 、∠MEF 、∠PNE 之间有何数量关系？并说明理由；（2）根据（1）的结论求图2中∠P ＋∠F ＋∠Q ＋∠M ＋∠N ＋∠E 的度数． 拓展延伸一：如图3，若平面内有点12345678,,,,,,,P P P P P P P P ，连接132435PP P P P P 、、、465768P P P P P P 、、、7182P P P P 、，求68123457PP P P P P P P ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数是多少？拓展延伸二：若平面内有n 个点1234n P P P P P ⋯⋯、、、、、，且将这个点围成的多边形是凸多边形，连接132435112n n PP P P P P P P P P -⋯⋯、、、、、，则12341n n P P P P P P -∠+∠+∠+∠+⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠+∠+的度数是多少？（请用含n 的代数式表示）图1NMFEQP图2TFEMQP图3P 8P 7P 6P 54P 3P 2P 1专题06多边形角的计算思维索引】例1．180°；360°；540°；例2．(1)140°； (2)β－α－n ＝90°； (3)α＋n －β＝90°． 例3．(1)360° (2)540° (3)①6个； ②x ＝5． 素养提升】1．B ； 2．A ； 3．D ； 4．D ； 5．D ； 6．240°； 7．40°； 8．60°； 9．24°； 10．6°； 11．(1)240°； (2)40°； (3)不能； 12．(1)360°； (2)360°(n 一2)；13．(1)26°； (2)26°； (3)∠F ＝180°－12 (∠B ＋∠D )； (4)∠F ＝90°＋12 (∠B ＋∠D )；14．(1)∠PME ＝∠P ＋∠MEF ＋∠PNE ； (2)∠P ＋∠F ＋∠Q ＋∠M ＋∠N ＋∠E ＝360°； 拓展延伸一：∠P 1＋∠P 2＋∠P 3＋∠P 4＋∠P 5＋∠P 6＋∠P 7＋∠P 8＝720°． 拓展延伸二：∠P 1＋∠P 2＋∠P 3＋∠P 4＋…＋∠P n －1＋∠P n ＝(n －4)180°．。
线段与角的概念和计算
线段与角的概念和计算一、线段的概念线段是几何学中的基本概念之一，它是指由两个端点确定的具有有限长度的直线部分。
在平面几何中，线段用两个大写字母表示，如AB、CD等。
线段的长度通常用小写字母表示，如|AB|表示线段AB的长度。
二、角的概念角是点和其两条射线组成的图形，通常用希腊字母表示，如∠ABC，其中B为角的顶点，而A、C分别为角的两个边。
角度可以用度数（°）或弧度（rad）表示，度数是人们最常用的度量单位。
三、线段的计算1. 线段的长度线段的长度可以通过两个端点的坐标计算得出。
设线段AB的两个端点坐标分别为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则线段AB的长度可以通过以下公式计算：|AB| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)2. 线段的中点线段的中点是指线段的中心位置，在平面几何中也是一个重要的概念。
设线段AB的两个端点坐标分别为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则线段AB的中点坐标可以通过以下公式计算：M((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)四、角的计算1. 角度角度是人们常用的度量单位，一周等于360°。
当需要计算角度时，可以利用以下公式来进行计算：角度 = 弧长 / 半径2. 弧度弧度是另一种常用的角度单位，它是圆周上弧长等于半径的一部分。
当需要计算弧度时，可以利用以下公式来进行计算：弧度 = 弧长 / 半径3. 弧度与角度的转换弧度与角度之间可以通过以下公式进行转换：角度 = 弧度× 180° / π弧度 = 角度× π / 180°五、实例应用为了更好地理解线段与角的概念和计算方法，以下通过一个实例进行说明。
假设有一条线段AB，其中A(-2, 3)和B(4, -1)分别为线段的两个端点坐标。
我们首先可以计算线段AB的长度：|AB| = √((4 - (-2))² + ((-1) - 3)²)= √(6² + (-4)²)= √(36 + 16)= √52≈ 7.211然后我们可以计算线段AB的中点坐标：M(((-2) + 4)/2, (3 + (-1))/2)≈ M(1, 1)接下来我们可以计算角ADC的度数。
线段与角计算中的思想方法
在运用方程思想、整体思想时，通常需要将某些量设为未知数，再用含 未知数的式子表示其它的未知量，然后用方程或代数式解决问题.
⑶将图1中的三角板OCD绕点O旋转到图3的位置，求∠MON.
C
解：由角平分线定义得∠1＝ 60 3 ，∠2＝ 45 3 ，
2
2
O 3 2N 1
M
A
∴∠MON＝∠1＋∠2－∠3
＝ 60 3 45 3 3
D
2
2
B
＝105 23 3
2
＝105 ∠3－3 2
= 105 ＝52.5° 2
课堂小结
A
B
M
N
解：依题意，设 AM＝2x，那么 BM＝3x，AB＝5x.
由 AN：NB＝4：1，得 AN＝ 4 AB＝4x，BN＝ 1 AB＝x，
5
5
即有 4x－2x＝8，解得 x＝4.
所以 AM＝2x＝2×4＝8cm
则 AM、BN 的长分别为 8cm、4cm.
典例精解
类型二：分类讨论思想在线段或角的计算中的应用
ON平分∠COB
⑴∠MON＝
;
⑵将图1中的三角板OCD绕点O旋转到图2的位置，求∠MON;
⑶将图1中的三角板OCD绕点O旋转到图3的位置，求∠MON.
C
C
C
O
O
O
N
N
N
D
M A
M
B
A
D
B D
M A
B
将一副三角板如图所示摆放，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，OM平分∠AOB ⑴∠MON＝ 52.5°;
典例精解
初一线段和角的专题训练
初2014级（七上）数学 线段和角的专题训练出题人：邹竹班级 姓名 学号一、知识要点1．有关线段长度的计算计算线段的长度是本章的计算题之一，是初中阶段求线段长度入门知识，也是中考必考知识点，因此，应重点掌握，解这类题目，线段的和、差、倍、分是基础，通常利用线段中点的定义，比例、方程综合解决这类题目. 2．基本结论一，如图，①若AD=BC ，则AC=DB ；②若AC=DB ，则AD=CB ；③AD+BC=AB+CD 3．基本结论二，如图，若M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则12MN AB =4.角同线段一样，都是今后所学知识的基础，是中考命题的必考内容，有关角计算是本章两大计算问题之一.角的计算通常离不开如下知识点，周角、平角，直角，角的平分线，角的和、差、倍、分，以及方程、比例等.解决这类问题，通常是在认真审题的基础上，将有关知识融为一体来解题.5.若OE 、OD 分别是∠AOC 、∠COB 的角平分线，则12EOD AOB ∠=∠（如图）6.如图，若AO ⊥BO ，CO ⊥DO ，则∠BOC+∠AOD=180°，∠AOC=∠BOD （如图）二、训练题1、如图4-2-10在直线l 上按指定方向依次取点A 、B 、C 、D,且使AB ：BC ：CD=2：3：4，若AB 的中点M 与CD 的中点N 的距离是15cm ，求线段AB 的长.lABCD··N M图4-2-10O BC A D2、 如图4-2-8，将线段AB 延长至C ，使BC=2AB ，AB 的中点为D ，E 、F 是BC 上的点，且BE ：EF=1：2，EF ：FC=2：5，AC=60cm ，求DE 、DF 的长.A B C D E F图4-2-83、 在直线l 上有A 、B 、C 三个点，已知AB=4cm ，BC=3cm ，若O 是线段AC 的中点，求线段OB 的长度.4、已知线段AC 和BC 在同一直线上，如果AC=5cm ，BC=3cm ，求线段AC 和线段BC 的中点间的距离.5、如图4-2-10在直线l 上按指定方向依次取点A 、B 、C 、D,且使AB ：BC ：CD=2：3：4，若AB 的中点M 与CD 的中点N 的距离是15cm ，求线段AB 的长.lAC··N M图4-2-106、 如图4-4-2，∠AOB=90 ,OM 平分∠AOC,ON 平分∠BOC ，求∠MON 的度数.OAMBNC 图4-4-27、 如图4-6-9，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC. （1）求∠MON 的度数；（2）若（1）中，∠AOB=α，其它条件不变，求∠MON 的度数； （3）若（1）中，∠BOC=β（β为锐角），其它条件不变，求∠MON 的度数； （4）从（1）（2）（3）中你能得到什么结论？8、如图4-6-11，已知AO ⊥OC ，DO ⊥OB ，∠AOD ：∠BOC=11：7. 求∠COD 的度数．OCBAD图4-6-11A B C OMN9、在如图4-6-1所示的方格纸中分别过点A、C画出与线段AB垂直的线段并用符号记出它们.10、.如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q是AM的中点，则MN：PQ等于（）A Q P M NB CA、1B、2C、3D、411、一条直线上距离相等地立有10根标杆，一名学生匀速地从第1杆向第10杆行走，当他走到第6杆时用了6.6秒，则当他走到第10杆时所用时间是( )（A）11秒（B）13.2 秒（C）11.88秒（D）9.9秒12．直线l上有10个点A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10，A1A2=A2A3=A3A4=…=A9A10，则以这些点为端点的线段共有（）条；将所有这些线段的中点用红点标出，则可得（）个红点。
人教版四年级上册数学《线段、直线、 射线、角》优质课说课稿
人教版四年级上册数学《线段、直线、射线、角》优质课说课稿一. 教材分析人教版四年级上册数学《线段、直线、射线、角》这一章节，是在学生已经掌握了平面图形的知识基础上进行教授的。
本章主要介绍了线段、直线、射线和角的概念及其特性。
通过这一章节的学习，使学生能够理解和掌握线段、直线、射线的概念，以及它们的特点和运用；同时，让学生了解和认识角的概念，能够对各种角进行分类和识别。
二. 学情分析四年级的学生已经具备了一定的观察和思考能力，对于平面图形有一定的认识。
但是，对于线段、直线、射线和角的概念及其特性，学生还是初次接触，需要通过实例和操作来理解和掌握。
此外，学生对于抽象概念的理解还有一定的困难，需要通过具体的事物和实例来进行辅助。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握线段、直线、射线的概念及其特点，能够正确地画出线段、直线和射线；让学生了解和认识角的概念，能够对各种角进行分类和识别。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的观察能力、动手能力和思考能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的抽象思维能力，使学生感受数学与生活的紧密联系。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生理解和掌握线段、直线、射线的概念及其特点，能够正确地画出线段、直线和射线；让学生了解和认识角的概念，能够对各种角进行分类和识别。
2.教学难点：让学生理解和掌握射线和直线的无限延伸特点，以及角的概念。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用观察、操作、思考、交流等教学方法，引导学生主动参与，积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、挂图等教学手段，直观地展示线段、直线、射线和角的概念及其特点。
六. 说教学过程1.导入：通过生活实例引入线段、直线、射线和角的概念，激发学生的学习兴趣。
2.新课讲解：（1）线段：引导学生观察线段的特征，讲解线段的定义和性质。
（2）直线：让学生通过多媒体课件直观地感受直线的特点，讲解直线的定义和性质。
线段与角的计算
5.已知线段AB=4，BC=3，且点C在直线AB上， 点M是AB的中点.求线段 CM的长。
答案： CM=5或CM=1
14
三、规律探索
1、典例分析
例1．观察图中的图 形,并阅读图形下面的 相关文字:
两条直线相交, 最多有1个交点.
三条直线相交, 最多有3个交点.
像这样,6条直线相交, 最多有
四条直线相交, 最多有6个交点.
的距离是（ D ）
A．8 cm
B、2㎝
C．8cm或2 cm
D．不能确定
3、将一张长方形纸片，按图中的方式折叠，
BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为 90 度。
13
4. 如图，直线AB、CD相交与点O，OE是∠AOD 的平分线，∠AOC=26°.
求∠AOE的度数。
答案：∠AOE =770
DE
BO
A
C
=∠DOB+_∠__A_O_B__
B C
O
A
图3
C
D
B
O
图4
A
4
5.1+2+3+4+…+n= n (n 1) ______2_
（n为正整数）
5
问题1：已知线段AB＝5cm，C为线段AB上一点，且BC
＝3cm，则线段AC＝
cm。
• 答案：2cm，（说明：C的位置唯一确定）
问题2：已知线段AB＝5cm，C为直线AB上一点，且BC
18
六、课后作业：
1.如图，B、C是线段AD上任意两点，M是AB 的中点，N是CD的中点，若MN=a,BC=b.则线 段AD的长是（ ）
A、2（a－b） B、2a－b C、a+b D、a－b
七年级数学上册专题训练 线段或角的计算
专题训练 线段或角的计算一、线段的和或差的计算1.如图，C 是线段AB 上的一点，M 是线段AC 的中点，若AB ＝8 cm ，BC ＝2 cm ，则MC 的长度为（ ）A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.6 cm 2.平坦的草地上有A ，B ，C 三个球，A 球距B 球3 m ，A 球距C 球1 m ，则B 球与C 球相距（ ）A.4 mB.3 mC.2 mD.无法确定3.如图已知线段AD ＝16 cm ，线段AC ＝BD ＝10 cm ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF 长为 cm .4.如图，C ，D 是线段AB 上的两点，已知BC ＝14AB ，AD ＝13AB ，AB ＝12 cm ，则DC ＝ cm.5.过点P 作直线l 的垂线PO ，垂足为O ，连接PA ，PB ；比较线段PO ，PA ，PB 的长短，并按从小到大的顺序排列 .6.如图，已知线段AB ＝6 cm ，延长AB 至点C ，使BC ＝13AB ，若点D 为线段AC 的中点，求线段BD 的长.7.已知线段AB ＝6 cm ，在直线AB 上画点C ，使BC ＝4 cm ，若M ，N 分别是AB ，BC 的中点.（1）求点M ，N 之间的距离；（2）若AB ＝a cm ，BC ＝b cm ，其他条件不变，此时M ，N 间的距离是多少？ （3）分析（1）（2）的解答过程，从中你发现了什么规律？二、角的和或差的计算8.已知∠α＝75°，则∠α的补角的度数是（ ）A.15°B.25°C.105°D.125° 9.上午10：00时，钟表上分针与时针所夹角的度数为（ ）A.45°B.60°C.75°D.90° 10.一个角的余角比它的补角的12少20°，则这个角为（ ）A.30°B.40°C.60°D.75°11.如图，已知∠AOC ＝90°，∠COB ＝50°，OD 平分∠AOB ，则∠COD 的度数为______.第11题图 第12题图12.如图，∠AOB ＝160°，OC 平分∠AOB ，OD 为∠BOC 内任一射线，OE 平分∠BOD ，且∠BOE ＝30°，则∠COD ＝ .13.如图，已知∠AOB ＝m 度，OA 1平分∠AOB ，OA 2平分∠AOA 1，OA 3平分∠AOA 2，OA 4平分∠AOA 3，…，OA n 平分∠AOA n －1，则∠AOA n 的度数为 度.14.如图，OC 为∠AOB 的内部任一条射线，OD ，OE 分别是∠AOC ，∠BOC 的平分线.若∠AOB ＝80°，求∠DOE 的度数.15.如图，选择适当的方向击打白球，可以使白球反弹后将红球撞入袋中，此时∠1＝∠2.如果红球与洞口连线和台球桌面边缘夹角∠3＝30°，那么∠1应等于多少度，才能保证红球能直接入袋？16.如图，已知小明家（A ）在商场（O ）的南偏东60°方向，小华家（B ）在商场的东北方向.（1）若王亮家（C）在商场的北偏西19°20′的方向，试问：∠AOB和∠AOC的度数分别是多少？（2）若∠BOC＝67°20′，试说明王亮家（C）在商场的什么方向上？17.把一副三角板的直角顶点O重叠在一起.（1）如图1，当OB平分∠COD时，则∠AOD和∠BOC的和是多少度？（2）如图2，当OB不平分∠COD时，则∠AOD和∠BOC的和是多少度？18.将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，若∠AEM′＝120°，则∠BCN′的度数为多少？。
思想方法专题：线段与角计算中的思想方法(4类热点题型讲练)(解析版)--初中数学北师大版7年级上册
第03讲思想方法专题：线段与角计算中的思想方法(4类热点题型讲练)目录【考点一分类讨论思想在线段的计算中的应用】 (1)【考点二分类讨论思想在角的计算中的应用】 (3)【考点三整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】 (9)【考点四整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】 (13)【考点一分类讨论思想在线段的计算中的应用】【考点二分类讨论思想在角的计算中的应用】OP 平分BOC ∠，AOB ∠12AOP AOB BOC ∴∠=∠-∠当如图所示时：OP 平分BOC ∠，AOB ∠12AOP AOB BOC ∴∠=∠+∠故答案为：70︒或90︒.【点睛】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义，利用分类讨论解决问题是解题的关键．18AOB ∠=︒ ，AOC ∠54AOC ∴∠=︒，BOC AOC AOB ∴∠=∠-∠=②如图，当OB 在AOC ∠18AOB ∠=︒ ，AOC ∠54AOC ∴∠=︒，BOC AOC AOB ∴∠=∠+∠=综上可知，BOC ∠的度数为故答案为：36︒或72︒．∵80AOB ∠=︒，OC 平分∴12AOC BOC AOB ∠=∠=∠∵射线OM 与OC 所形成的角度是∴10COM ∠=︒，∴AOM AOC COM ∠=∠-∠如图2，∵80AOB ∠=︒，OC 平分∴12AOC BOC ∠=∠=∠∵射线OM 与OC 所形成的角度是∴10COM ∠=︒，∴AOM AOC COM ∠=∠+∠综上可知AOM ∠的度数是当23AOC AOB ∠=∠时，如图：∵40AOC ∠=︒，23AOC AOB ∠=∠，∴60AOB ∠=︒，故答案为：20︒或10︒．【点睛】本题主要考查了角的三等分线和角平分线，解题的关键是掌握角的三等分线有两条．4．（2023秋·黑龙江大庆·六年级统考开学考试）如图，长方形纸片CB 上，连接PM ，PN ．将A 落在直线PM 上的点A '处，得折痕【答案】75︒或105︒【分析】分两种情形：如图折变换的性质可知EPN ∠∵30MPN ∠=︒，∴180DPN APM ∠+∠=︒-由翻折变换的性质可知∴11502EPN FPM ∠+∠=⨯∴EPF MPN EPN ∠=∠+∠当点N 在点M 的下方时，设则180150x y MPN +=︒-∠=由翻折变换的性质可知12DPE ∠=【考点三整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】①若4AC BC ==，则线段MN 的长度是，=，∵点M、N分别是线段AC，BC的中点，AC a BC ∵点M、N分别是线段AC，BC的中点，（2）设AB a=，C是线段AB上任意一点（不与点①如图2，当M，N分别是AC，BC的中点时，②如图3，若M，N分别是AC，BC的三等分点，即【考点四整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）已知：如图，OC 在AOB ∠的内部，OM 平分()180AOB AOB ON ∠︒∠<，平分BOC ∠．(1)当9060AOC BOC ∠=∠=︒︒，时，MON ∠=___________︒；(2)当8060AOC BOC ∠︒∠=︒=，时，MON ∠=___________︒；(3)当8050AOC BOC ∠︒∠=︒=，时，MON ∠=___________︒；(4)猜想：不论AOC ∠和BOC ∠的度数是多少，MON ∠的度数总等于________的度数的一半．【答案】(1)45(2)40(3)40(1)如图1，若40AOM ∠=︒，求CON ∠的度数；(2)在图1中，若AOM α∠=，直接写出CON ∠的度数（用含(3)将图1中的直角三角板OMN 绕顶点O 顺时针旋转至图2的位置，数．【答案】(1)20°(2)1α∠=CON（2）因为O 为直线AB 上一点，且AOM α∠=，MON ∠=所以180BOM α∠=︒-，90BON α∠=︒-因为射线OC 平分MOB∠所以119022BOC BOM α∠=∠=-°因为C O N B O C B O N∠=∠-∠(1)一个角的平分线(2)如图2，若MPN ∠新知）．(3)如图3，若∠的结果）．【答案】(1)是(2)30°，20°或40(3)12α或13α或【分析】（1）根据答；(2)根据“巧分线”(3)根据“巧分线【详解】（1）解：如图∴2AOB AOC ∠=∠∴根据巧分线定义可得故答案为：是．（2）解：如图3：②当22NPQ ∠∠=③当32MPQ ∠∠=【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解题的关键．3．（2023秋·河南安阳90,COD OM ∠=︒平分(1)如图1，当50AOC ∠=︒时，DOM ∠=__________；(2)如图2，当110AOC ∠=︒时，DOM ∠=__________；(3)如图3，当()150180AOC ∠αα=︒<<︒时，求DOM ∠的度数，借助图3计算；(4)由（1），（2），（3）问可知，当()0180AOC ββ∠=︒<<︒时，请直接写出无需说明理由）（2）解：如图2，∵AOC ∠∴40BOC ∠=︒，∵OM 平分BOC ∠，∴1202COM BOC ∠=∠=︒（3）解：∵(AOC ∠α=∴150BOC α∠=-︒，∵OM 平分BOC ∠，∴1122COM BOC ∠=∠=（4）解：当060β︒<<︒时，如图∵AOC β∠=，150AOB ∠=∴150BOC β∠=︒-，∵OM 平分BOC ∠，∴1752COM BOC ∠=∠=︒当60150β︒<<︒时，如图2，∵AOC β∠=，150AOB ∠=︒，∴150BOC β∠=︒-，∵OM 平分BOC ∠，∴117522COM BOC β∠=∠=︒-，。
华师版九年级数学下册作业课件 第26章 二次函数 专题课堂(六) 二次函数与几何图形综合——难点突破
专题课堂(六) 二次函数与几何图形综合——难点突破
类型一 二次函数与角度问题 1．(原创题)如图，直线 y＝12 x＋2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B.抛物线 y＝－12 x2＋bx＋c 经过 A，B 两点，与 x 轴交于另一点 C. (1)求抛物线的表达式；
(2)在直线 AB 上方抛物线上取点 D，使得∠DBA＝2∠BAC，求点 D 的坐标．
＋8＝－2(m＋32 )2＋225 ，∴当 m＝－32 时，S 最大＝225 ，此时 yD＝－43 ×(－32 －1)×(－
3 2
＋3)＝5，∴D(－32
，5)
(3)设 P(－1，n)，∵以 A，C，P，Q 为顶点的四边形是以 AC 为对角线的菱形，
∴PA＝PC，即 PA2＝PC2，∴(－1＋3)2＋n2＝1＋(n－4)2，∴n＝183 ，∴P(－1，183 )， ∵xP＋xQ＝xA＋xC，yP＋yQ＝yA＋yC，∴xQ＝－3－(－1)＝－2，yQ＝4－183 ＝189 ，∴Q(－ 2，189 )
(3)由 y＝－x2＋3x＋4 得抛物线对称轴为直线 x＝32
，设
3 Q(2
，t)，则
3 P(2
，t＋1)，
M(0，t＋1)，N(32 ，0)，∵B(4，0)，C(0，4)，∴BN＝52 ，QN＝t，PM＝32 ，CM＝|t
－3|，∵∠CMP＝∠QNB＝90°，∴△CPM 和△QBN 相似，只需CQMN ＝PBMN 或CBMN ＝
(2)如图，作 DF⊥AB 于点 F，交 AC 于点 E，∴D(m，－43 m2－83 m＋4)，E(m，
－43 m＋4)，∴DE＝－43 m2－83 m＋4－(43 m＋4)＝－43 m2－4m，∴S△ADC＝12 DE·OA
2024年人教版七年级上册数学期末复习专项突破10线段、角的计算的四种常见类型
所以 AE ＝ AB ＝1.5 x ， CF ＝ CD ＝2 x .
所以 EF ＝ AC － AE － CF ＝2.5 x .
因为 EF ＝20，所以2.5 x ＝20，解得 x ＝8.
所以 AB ＝24， CD ＝32.
1
2
3
4
5
6
7
8
类型4角平分线在计算中的应用
DE 的长；
1
2
3
4
5
6
7
8
解：(1)因为 AB ＝10 cm， AC ＝4 cm，
所以 BC ＝ AB － AC ＝6(cm).
因为点 D ， E 分别是线段 AC 和 BC 的中点，
所以 CE ＝ CB ＝3
cm， DC ＝ AC ＝2
所以 DE ＝ DC ＋ CE ＝2＋3＝5(cm).
1
2
3
4
5
6
7
8
(1)如图①，当∠ COD 的边 OD 在∠ AOB 内部时，若
∠ COE ＝40°，求∠ BOD 的度数；
1
2
3
4
5
6
7
8
解：(1)因为∠ COD ＝90°，∠ COE ＝40°，
所以∠ DOE ＝∠ COD －∠ COE ＝90°－40°＝50°.
因为 OE 平分∠ AOD ，
如图②，当点 P 在点 B 右侧时，
②
根据题意可得，2 t ＋2＝2(2 t －6)，解得 t ＝7.
综上， t 的值为 或7.
1
2
平面几何中的线段与角度计算
平面几何中的线段与角度计算在平面几何学中，线段和角度是两个基本的概念。
线段是一个有两个端点的直线部分，它可以通过测量长度来确定。
而角度是由两条交叉的线段形成的空间区域，用于描述物体之间的方位关系。
在本文中，我们将讨论线段的计算和测量，以及角度的计算方法。
一、线段的计算和测量方法1. 直尺法直尺法是一种常用的线段计算和测量方法。
首先，我们需要一把直尺，将其边与线段的一端对齐，然后沿着直尺的边缘延伸，直到达到线段的另一端。
通过读取直尺上的刻度，我们可以得到线段的长度。
2. 钢尺法钢尺法也是一种常用的线段计算和测量方法。
与直尺法类似，我们需要一把刻有刻度的钢尺。
将钢尺的一端对齐线段的一端，然后延伸钢尺直到达到线段的另一端。
通过读取钢尺上的刻度，我们可以得到线段的长度。
相比直尺法，钢尺法的精度更高。
3. 割线法割线法是一种通过几何原理计算线段长度的方法。
首先，我们需要一块刻有刻度的长直板。
将直板上的一条边与线段的一端对齐，并用手指按住与线段相切的另一条边。
然后，将直板沿着手指的位置移动，直到与线段的另一端相切。
通过读取直板上的刻度，我们可以得到线段的长度。
二、角度的计算方法1. 量角器法量角器是一种用于测量和计算角度的工具。
将量角器的一个端点对齐于角的顶点，然后将量角器的另一条边与角的一条边对齐。
通过读取量角器上的刻度，我们可以得到角的度数。
2. 三角函数法三角函数是一种用于计算角度的数学工具。
在平面几何中，常用的三角函数有正弦、余弦和正切等。
通过使用三角函数的定义和性质，我们可以计算某些特定角度的值。
3. 直观估计法在某些情况下，我们可以通过直观估计的方式得到角度的近似值。
例如，对于钝角或锐角，我们可以根据视觉判断来估计其大致值。
这种方法通常用于大致的角度计算，不适用于精确的测量。
结论通过直尺法、钢尺法和割线法，我们可以计算和测量线段的长度。
而借助量角器法、三角函数法和直观估计法，我们可以计算角度的大小。
线段及角的计算
线段及角的计算【例1】如图，B、C两点把线段AD分成2∶3∶4的三部分，M是AD的中点，CD＝8，求MC的长．DBA【解法指导】由AB∶BC∶CD＝2∶3∶4，可设AB＝2x，CD＝3x，CD＝4x，由CD＝4x＝8，而求得x的值，进而求出MC的长．解：设AB＝2x，由AB∶BC∶CD＝2∶3∶4，得CD＝4x，CD＝3x，AD＝（2＋3＋4）x＝9x，∵CD＝8，∴x＝2，∴AD＝9x＝18，∵M是AD的中点，∴MC＝MD－CD＝12AD－CD＝12×18－8＝1【变式题组】01．（河北）如图，长度为12cm的线段AB的中点为M，C点将线段MB分MC∶CB＝1∶2，则线段AC的长度为（）A．2cm B．8cm C．6cm D．4cm02．（随州）已知线段AB＝16cm，点C在线段AB上，且BC＝13AC，M为BC的中点，则AM的长为________.03．（黄冈）已知线段AB＝12cm，直线AB上有一点C，且BC＝6cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长．【例2】已知：线段AB＝10cm，M为AB的中点，在AB所在直线上有一点P，N为AP的中点，若MN＝1.5cm，求AP的长．【解法指导】题中已说明P在AB所在直线上，即说明P点可能在线段AB 上，也可能在AB的延长线上（不可能在BA的延长线上），故应分类讨论．解：⑴如图①，当点P在线段AB上时，点N在点M的左侧，则AP＝2AN＝2（AM－MN）＝2（12AB－MN）＝2×（5－1.5）＝7（cm）；①⑵当点P在线段AB的延长线上时，N点在M点的右侧如图②，则AP＝2AN＝2（AM＋MN）＝2（12AB＋MN）＝2×（5＋1.5）＝13（cm）；BA②A N M所以AP 的长为7cm 或13cm 【变式题组】01．（昆明）已知A 、B 、C 为直线l 上的三点，线段AB ＝9cm ，BC ＝1cm ，那么A 、C 两点间的距离是（ ） A ．8cm B ．9cm C ．10cm D ．8cm 或10cm02．（十堰）如图C 、D 是线段AB 上两点，若CB ＝4cm ，DB ＝7cm ，且D 是AC 的中点，则AC 的长等于（ ）A ．3cmB ．6cmC ．11cmD ．14cm4、如图，已知点C 为AB 上一点，AC ＝18cm, CB ＝32AC ，D 、E 分别为AC 、AB 的中点.求DE 的长.3．（佛山实验区）A 车站到B 车站之间还有3个车站，那么从A 车站到B 车站方向发出的车辆，一共有多少种不同的车票（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【例3】如图⑴，一只昆虫要从正方体的一个顶点A 爬行相距它最远的另一个顶点B ，哪条路径最短？说明理由．图（2）图（1）A【解法指导】解答此类题的方法是将立方体展开，再根据两点之间，线段量短．解：将立方体展开成如图⑵，由两点之间线段最短知线段AB 即为最短路线． 【变式题组】1、如图，某人从A 点出发，先至B 点处牵牛，再E D C BA将牛带到河边喝水，请问他怎样走路程最短？ 请你在图中作出最短路线.河【例4】摄制组从A 市到B 市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C 市吃饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C 市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A 、B 两市相距多少千米？【解法指导】条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以可以画出线段表示各段路程，借助图形思考它们之间的关系．解：设小镇为D ，傍晚汽车在E 休息，则AD ＝12DC ，EB ＝12CE ，AD ＋EB＝12DE ＝200， ∴AB ＝AD ＋EB ＋DE ＝200＋400＝600． 答：A 、B 两市相距600千米． 【变式题组】01．（哈尔滨）已知点O 在直线AB 上，且线段OA 的长度为4cm ，线段OB 的长度为6cm ，E 、F 分别为线段OA 、OB 的中点，则线段EF 的长度为____cm ． 02．（银川）AB 、AC 是同一条直线上的两条线段，M 是线段AB 的中点，N 是线段AC 的中点，线段BC 与MN 的大小有什么关系？请说明理由．03．（河南）如图，线段AB ＝4，点O 是线段AB 上一点，C 、D 分别是线段OA 、OB 的中点，小明据此很轻松地求得CD ＝2，但他在反思的过程突发奇想：若点O 运动到AB 的延长线上，原有的结论“CD ＝2”是否仍成立？请帮小明画出图形并说明理由．3．（2017秋•阜宁县期末）如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使∠BOC=112°．将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；（2）将图1中的三角板绕点O按每秒4°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为多少？（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．变式训练01.如图①点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放（∠MON=90°）（1）将如图①中的三角板绕O点旋转一定角度得到如图②，使边OM恰好平分∠BOC，问ON是否平分∠AOC？请说明理由．（2）将如图①中的三角板绕O点旋转一定角度得到如图③，使边ON在∠BOC 的内部，如果∠BOC=60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系，请说明理由．演练巩固01．当AB＝5cm，BC＝3cm时，A、C两点间的距离是（）A．无法确定B．2cm C．8cm D．7cm 02．下列说法正确的是（）A．延长直线AB B．延长线段AB C．延长射线ABD．延长线段AB03．若PA＋PB＝AB，则（）A．P点一定在线段AB上B．P点一定在线段AB外C．P点一定在AB的延长线上D．P点一定在线段BA的延长线上04．（内江）已知点C是线段AB上的一点，下列说法中不能说明点C是线段AB的中点是（）A．AC＝BC B．AC＝12AB C．AC＋BC＝ABD．2AC＝AB05．如图，已知线段AD＞BC，则线段AC与BD的关系是（）A．AC＞BD B．AC＝BD C．AC＜BDD．不能确定06．（黄冈）某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，那么它有位置应在（）A．A区B．B区C．C区D．A、B 两区之间07．（广州）线段AB＝4cm，在直线AB上截取BC＝1cm，则AC＝________.08．（云南）延长线段AB到点C，使BC＝13AB，D为AC的中点，且DC＝6cm，则AB的长是________cm．09．在直线l上任取一点A，截取AB＝16cm，再截取AC＝40cm，求AB的中点D与AC的中点E的距离．Q PNM CBA10．线段AB 上有两点M 、N ，点M 将AB 分成2∶3两部分，点N 将AB 分成4∶1两部分，且MN＝3cm ，求AM 、NB 的长．11．如图，C 是线段AB 上一点，D 是线段BC 的中点，已知图中所有线段长度之和为23，线段AC 与线段CB 的长度都是正整数，则线段AC 的长度是多少？12．如图B 、C 两点把线段AD 分成2∶3∶4的三部分，M 是AD 的中点，CD＝8，求MC 的长．ABD13、如图，已知B 是线段AC 上的一点，M 是线段AB 的中点，N 是线段AC 的中点，P 是NA 的中点，Q 为MA 的中点，求MN ﹕PQ 的值。
2021-2022学年北师大版七年级数学上册线段的有关计算含答案
几何专题复习：线段的有关计算1、如图，点B，D在线段AC上，BD＝AB，AB＝CD，线段AB、CD的中点E、F之间的距离是20，求线段AC的长．2、如图，点C在线段AB上，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点．①若AC＝8，BC＝3，求DE；②若DE＝5，求AB．3、如图，AB＝12，点C是AB的中点，点D在AB所在直线上，且AD：DB＝5：7，请画出示意图，并求CD的长．4、（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC＝6cm，BC＝4cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的的长度；（2）对于（1）题，如果将“点C在线段AB上”改写成“点C在线段AB延长线上”，其他条件不变，画出图形并求线段MN的长度．5、如图，已知线段AB＝8．（1）按要求作图：反向延长线段AB至C，使得BC＝3AB．（2）在（1）的条件下，取BC的中点D，求AD的长，6、如图，已知B、C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM＝6cm，求CM和AD的长．7、如图所示，把一根细线绳对折成两条重合的线段AB，点P在线段AB上，且AP：BP＝2：3．（1）若细线绳的长度是100cm，求图中线段AP的长；（2）从点P处把细线绳剪断后展开，细线绳变成三段，若三段中最长的一段为60cm，求原来细线绳的长．8、角与线段的计算（1）如图1，已知AC＝6，D为AB中点，E为CB中点，求DE；（2）如图2，已知∠AOC：∠COD＝5：11，∠AOB：∠BOD＝5：7，若∠COB＝10°，求∠AOD．9、把线段AB延长到D，使BD＝AB，再延长线段BA到C，使CB＝3AB．（1）请根据题意将下列图形补充完整，并求出CD是AB的多少倍．（2）补充完后图中共有几条线段？若图中所有线段长度和为87，求线段AB 的长度．（3）若AB＝4cm，点E、F分别是线段AC、CD的中点，动点M从点A出发，沿直线CD以2cm/秒的速度向右运动，当点F是线段EM的中点时，求点M运动的时间t的值．10、把线段AB延长到D，使BD＝AB，再延长线段BA到C，使CA＝AB．（1）请补充图形并求出CD是AB的几倍？（2）补充完后的图中共有几条线段？若图中所有线段长度和为46，求线段AB的长度．（3）若AB＝6cm，点E、F分别是线段AC，CD的中点，当线段AB以2cm/秒的速度向右运动t秒，是否存在点F是线段BE的中点，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．11、已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，（1）如图1，若AB＝6cm，BC＝4cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度：（2）如图2，若BD＝AB＝CD，E为线段AB的中点，EC＝12cm，求线段AC 的长度．12、点C在线段AB上，BC＝2AC．（1）如图1，P、Q两点同时从C、B出发，分别以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动．①在P还未到达A点时，的值为；②当Q在P右侧时（点Q与C不重合），取PQ中点M，CQ的中点N，求的值；（2）若D是直线AB上一点，且|AD﹣BD|＝CD，则的值为或或或．13、如图1，点A，B，C，D为直线l上从左到右顺次的4个点．（1）①直线l上以A，B，C，D为端点的线段共有条；②若AC＝5cm，BD＝6cm，BC＝1cm，点P为直线l上一点，则PA+PD的最小值为cm；（2）若点A在直线l上向左运动，线段BD在直线l上向右运动，M，N分别为AC，BD的中点（如图2），请指出在此过程中线段AD，BC，MN有何数量关系并说明理由；（3）若C是AD的一个三等分点，DC＞AC，且AD＝9cm，E，F两点同时从C，D出发，分别以2cm/s，1cm/s的速度沿直线l向左运动，Q为EF的中点，设运动时间为t，当AQ+AE+AF＝AD时，请直接写出t的值．14、已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动．①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，求AD的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式＝，则＝．15、如图1，已知点A、C、F、E、B为直线l上的点，且AB＝12，CE＝6，F为AE的中点．（1）如图1，若CF＝2，则BE＝，若BE＝mCF，则m＝．（2）当点E沿直线l移动到图2位置时，（1）中BE与CF的数量关系是否仍然成立？请说明理由．（3）如图3，在（2）的条件下，在线段BE上有一点D，BD＝7，且DF＝3DE，则AF＝．16、如图，线段AB＝15，点A在点B的左边．（1）点C在直线AB上，AC＝2BC，则AC＝．（2）点D在线段AB上，AD＝6．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线AB向右运动，点Q为AP的中点，设运动时间为t秒，①当t为何值时，DQ＝2？②动点R从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向左运动，若P、R两点同时出发，相遇后分别保持原来运动方向不变，速度都增加2个单位长度每秒．在整个运动过程中，当PR+2BP+4DQ＝17时，t＝．参考答案1、如图，点B，D在线段AC上，BD＝AB，AB＝CD，线段AB、CD的中点E、F之间的距离是20，求线段AC的长．【解答】解：设BD＝x，则AB＝3x，CD＝4x，∵线段AB、CD的中点分别是E、F，∴BE＝AB＝1.5x，DF＝2x，∵EF＝20，∴1.5x+2x﹣x＝20，解得：x＝8，∴AE+EF+CF＝1.5x+20+2x＝12+20+16＝48．2、如图，点C在线段AB上，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点．①若AC＝8，BC＝3，求DE；②若DE＝5，求AB．【解答】解：（1）∵D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，∴CD＝AC＝＝4，CE＝＝＝，∴DE＝CD+CE＝4＝；（2）∵DE＝CD+CE，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，∴AC＝2CD，BC＝2CE，∴AB＝AC+BC＝2CD+2CE＝2（CD+CE）＝2DE＝2×5＝10．3、如图，AB＝12，点C是AB的中点，点D在AB所在直线上，且AD：DB＝5：7，请画出示意图，并求CD的长．【解答】解：如图，当D在A的右侧，∵AB＝12，点C是AB的中点，∴AC＝BC＝AB＝6，∵AD：DB＝5：7，∴AD＝×AB＝5，∴CD＝AC﹣AD＝1；当D在A的左侧，∵AB＝12，点C是AB的中点，∴AC＝BC＝AB＝6，∵AD′：D′B＝5：7，∴AD′＝5××AB＝30，∴CD′＝AC+AD′＝6+30＝36．（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC＝6cm，BC＝4cm，点M、N分别是AC、4、BC的中点，求线段MN的的长度；（2）对于（1）题，如果将“点C在线段AB上”改写成“点C在线段AB延长线上”，其他条件不变，画出图形并求线段MN的长度．【解答】解：（1）∵AC＝6cm，点M是AC的中点，∴MC＝3cm；∵BC＝4cm，点N是BC的中点，∴CN＝2cm；∴MC+CN＝5cm．∴线段MN的的长为5cm；（2）如图所示：∵AC＝6cm，点M是AC的中点，∴MC＝3cm；∵BC＝4cm，点N是BC的中点，∴CN＝2cm；∴MN＝MC﹣CN＝3﹣2＝1cm．5、如图，已知线段AB＝8．（1）按要求作图：反向延长线段AB至C，使得BC＝3AB．（2）在（1）的条件下，取BC的中点D，求AD的长，【解答】解：如图，（1）反向延长线段AB至C，使得BC＝3AB．（2）在（1）的条件下，AB＝8，BC＝3AB＝24，∵D是BC的中点，∴CD＝BD＝BC＝12，∴AD＝BD﹣AB＝12﹣8＝4．答：AD的长为4．6、如图，已知B、C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM＝6cm，求CM和AD的长．【解答】解：∵B、C两点把线段AD分成2：5：3三部分，∴AB＝AD，CD＝AD．∵M为AD的中点，∴AM＝．∵BM＝AM﹣AB，∴＝6．解得：AD＝20cm．∴CD＝cm．∵M为AD的中点，∴MD＝＝10cm．∴CM＝MD﹣CD＝10﹣6＝4cm．7、如图所示，把一根细线绳对折成两条重合的线段AB，点P在线段AB上，且AP：BP＝2：3．（1）若细线绳的长度是100cm，求图中线段AP的长；（2）从点P处把细线绳剪断后展开，细线绳变成三段，若三段中最长的一段为60cm，求原来细线绳的长．【解答】解：（1）∵AB＝100＝50，AP：BP＝2：3，∴AP＝20；（2）∵AP：BP＝2：3，∴设AP＝2x，BP＝3x，若一根绳子沿B点对折成线段AB，则剪断后的三段绳子中分别为2x，2x，6x，∴6x＝60，解得x＝10，∴绳子的原长＝2x+2x+6x＝10x＝100（cm）；若一根绳子沿A点对折成线段AB，则剪断后的三段绳子中分别为4x，3x，3x，∴4x＝60，解得x＝15，∴绳子的原长＝4x+3x+3x＝10x＝150（cm）；综上所述，绳子的原长为100cm或150cm．故答案为100cm或150cm．8、角与线段的计算（1）如图1，已知AC＝6，D为AB中点，E为CB中点，求DE；（2）如图2，已知∠AOC：∠COD＝5：11，∠AOB：∠BOD＝5：7，若∠COB＝10°，求∠AOD．【解答】（1）解：设AD＝x，CE＝y，∵D为AB中点，∴AD＝DB＝x，∵E为BC中点，∴CE＝EB＝y，∵AC＝6，∴AC＝AB﹣CB，即6＝2x﹣2y，∴x﹣y＝3，则DE＝DB﹣EB＝x﹣y＝3．（2）解：设∠AOC＝5x°，∵∠AOC：∠COD＝5：11，∴∠COD＝11x°，则∠AOD＝∠AOC+∠COD＝5x+11x＝16x°，∵∠AOB：∠BOD＝5：7，∴＝＝°，∵∠COB＝10°，∴∠COB＝∠AOB﹣∠AOC，即，解得x＝6，则∠AOD＝16×6＝96°．9、把线段AB延长到D，使BD＝AB，再延长线段BA到C，使CB＝3AB．（1）请根据题意将下列图形补充完整，并求出CD是AB的多少倍．（2）补充完后图中共有几条线段？若图中所有线段长度和为87，求线段AB 的长度．（3）若AB＝4cm，点E、F分别是线段AC、CD的中点，动点M从点A出发，沿直线CD以2cm/秒的速度向右运动，当点F是线段EM的中点时，求点M运动的时间t的值．【解答】解：（1）如图，∵BD＝AB，CB＝3AB，∴CD＝CB+BD＝3AB+AB＝AB，∴CD是AB的倍；（2）图中共有6条线段，∵AC+BC+CD+AB+AD+BD＝2AB+3AB+4.5AB+AB+2.5AB+1.5AB＝14.5AB＝87，∴AB＝6；（3）如图，当AB＝4cm时，BC＝12cm，CD＝18cm，AC＝12﹣4＝8（cm），∵点E、F分别是线段AC、CD的中点，∴CF＝18÷2＝9（cm），CE＝AE＝8÷2＝4（cm），∴EF＝9﹣4＝5（cm），AF＝5﹣4＝1（cm）．∵FM＝EF＝5（cm），∴2t﹣1＝5，解得t＝3．10、把线段AB延长到D，使BD＝AB，再延长线段BA到C，使CA＝AB．（1）请补充图形并求出CD是AB的几倍？（2）补充完后的图中共有几条线段？若图中所有线段长度和为46，求线段AB的长度．（3）若AB＝6cm，点E、F分别是线段AC，CD的中点，当线段AB以2cm/秒的速度向右运动t秒，是否存在点F是线段BE的中点，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图，∵BD＝AB，CA＝AB，∴CD＝AC+AB+BC＝AB+AB+AB＝AB，∴CD是AB的3.5倍；（2）图中共有6条线段，∵AC+BC+CD+AB+AD+BD＝AB+2AB+3.5AB+AB+2.5AB+1.5AB＝11.5AB＝46，∴AB＝4；（3）假设存在点F是线段BE的中点，如图，由题意得，AC＝6+2t，∵点E、F分别是线段AC，CD的中点，∴AE＝CE＝AC＝3+t，CF＝DF＝CD＝AB＝，∴EF＝CF﹣CE＝﹣t，∵CB＝AC+AB＝6+2t+6＝12+2t，∴BF＝BC﹣CE﹣EF＝+2t，当EF＝BF时，即﹣t＝+2t，解得：t＝2，∴存在点F是线段BE的中点，t的值为2．11、已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，（1）如图1，若AB＝6cm，BC＝4cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度：（2）如图2，若BD＝AB＝CD，E为线段AB的中点，EC＝12cm，求线段AC 的长度．【解答】解：（1）如图1所示：∵AC＝AB+BC，AB＝6cm，BC＝4cm∴AC＝6+4＝10cm又∵D为线段AC的中点∴DC＝AC＝×10＝5cm∴DB＝DC﹣BC＝6﹣5＝1cm（2）如图2所示：设BD＝xcm∵BD＝AB＝CD∴AB＝4BD＝4xcm，CD＝3BD＝3xcm，又∵DC＝DB+BC，∴BC＝3x﹣x＝2x，又∵AC＝AB+BC，∴AC＝4x+2x＝6xcm，∵E为线段AB的中点∴BE＝AB＝×4x＝2xcm又∵EC＝BE+BC，∴EC＝2x+2x＝4xcm又∵EC＝12cm∴4x＝12，解得：x＝3，∴AC＝6x＝6×3＝18cm．12、点C在线段AB上，BC＝2AC．（1）如图1，P、Q两点同时从C、B出发，分别以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动．①在P还未到达A点时，的值为；②当Q在P右侧时（点Q与C不重合），取PQ中点M，CQ的中点N，求的值；（2）若D是直线AB上一点，且|AD﹣BD|＝CD，则的值为或或或．【解答】解：（1）①AP＝AC﹣PC，CQ＝CB﹣QB，∵BC＝2AC，P、Q速度分别为1cm/s、2cm/s，∴QB＝2PC，∴CQ＝2AC﹣2PC＝2AP，∴＝．故答案为．②MN＝MQ﹣NQ＝PQ﹣CQ＝（PQ﹣CQ）＝PC ∵PC＝QB，∴MN＝×QB＝QB，∴＝；（2）∵BC＝2AC．设AC＝x，则BC＝2x，∴AB＝3x，①当D在A点左侧时，|AD﹣BD|＝BD﹣AD＝AB＝CD，∴CD＝6x，∴＝＝；②当D在AC之间时，|AD﹣BD|＝BD﹣AD＝CD，∴2x+CD﹣x+CD＝CD，x＝﹣CD（不成立），③当D在BC之间时，|AD﹣BD|＝AD﹣BD＝CD，∴x+CD﹣2x+CD＝CD，CD＝x，∴＝＝；|AD﹣BD|＝BD﹣AD＝CD，∴2x﹣CD﹣x﹣CD＝CD，CD＝x，∴；④当D在B的右侧时，|AD﹣BD|＝AB＝CD，∴CD＝6x，∴＝＝．综上所述，的值为或或或；故答案为或或或；13、如图1，点A，B，C，D为直线l上从左到右顺次的4个点．（1）①直线l上以A，B，C，D为端点的线段共有 6 条；②若AC＝5cm，BD＝6cm，BC＝1cm，点P为直线l上一点，则PA+PD的最小值为10 cm；（2）若点A在直线l上向左运动，线段BD在直线l上向右运动，M，N分别为AC，BD的中点（如图2），请指出在此过程中线段AD，BC，MN有何数量关系并说明理由；（3）若C是AD的一个三等分点，DC＞AC，且AD＝9cm，E，F两点同时从C，D出发，分别以2cm/s，1cm/s的速度沿直线l向左运动，Q为EF的中点，设运动时间为t，当AQ+AE+AF＝AD时，请直接写出t的值．【解答】解：（1）①线段有：AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6条；故答案为：6；②∵AC＝5cm，BD＝6cm，BC＝1cm，∴AD＝AC+BD﹣BC＝5+6﹣1＝10∵当点P位于线段AD上时，PA+PD的值最小∴PA+PD的最小值为10cm故答案为：10；（2）当点B在点C左边时，AD﹣BC＝2MN；当点B在点C右边时，AD+BC＝2MN．理由：当点B在点C左边，如图AD+BC＝AC+BD＝2MC+2BN＝2（MC+BN）＝2（MN+BC），AD﹣BC＝2MN，当点B不在点C左边时，如图，AD﹣BC＝AC+BD＝2MC+2BN＝2（MC+BN）＝2（MN﹣BC），AD+BC＝2MN，（3）∵C是AD的一个三等分点，DC＞AC，且AD＝9cm，∴AC＝3cm，设A点为数轴AD上的原点，向右为正方向，由题意得，E点表示的数为：3﹣2t，F表示的数为：9﹣t，∵Q是EF的中点，∴Q点表示的数为：（3﹣2t+9﹣t）＝6﹣t，∵AQ+AE+AF＝AD，∴|6﹣t|+|3﹣2t|+|9﹣t|＝，化简得，|12﹣3t|+|6﹣4t|+|18﹣2t|＝27，当0＜t≤1.5时，有12﹣3t+6﹣4t+18﹣2t＝27，得t＝1；当1.5＜t≤4时，有12﹣3t+4t﹣6+18﹣2t＝27，得t＝﹣3＜0（舍去）；当4＜t≤9时，有﹣12+3t﹣6+4t+18﹣2t＝27，得t＝5.4；当t≥9时，有﹣12+3t﹣6+4t﹣18+2t＝27，得t＝7＜9（舍去）；故t＝1或5.4．14、已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动．①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，求AD的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式＝，则＝或．【解答】解：（1）AC＝2BC，AB＝18，DE＝8，∴BC＝6，AC＝12，①如图，∵E为BC中点，∴CE＝3，∴CD＝5，∴AD＝AB﹣DB＝18﹣11＝7；②如图，Ⅰ、当点E在点F的左侧，∵CE+EF＝3，BC＝6，∴点F是BC的中点，∴CF＝BF＝3，∴AF＝AB﹣BF＝18﹣3＝15，∴AD＝AF＝5；Ⅱ、当点E在点F的右侧，∵AC＝12，CE+EF＝CF＝3，∴AF＝AC﹣CF＝9，∴AF＝3AD＝9，∴AD＝3．综上所述：AD的长为3或5；（2）∵AC＝2BC，AB＝2DE，满足关系式＝，Ⅰ、当点E在点C右侧时，如图，设CE＝x，DC＝y，则DE＝x+y，∴AB＝2（x+y）AC＝AB＝（x+y）∴AD＝AC﹣DC＝x+yBC＝AB＝（x+y）∴BE＝BC﹣CE＝y﹣x∴AD+EC＝x+y∵2（AD+EC）＝3BE∴2（x+y）＝3（y﹣x）解得，17x＝4y，∴＝＝＝．Ⅱ、当点E在点A左侧时，如图，设CE＝x，DC＝y，则DE＝y﹣x，∴AB＝2（y﹣x）AC＝AB＝（y﹣x）∴AD＝DC﹣AC＝x﹣yBC＝AB＝（y﹣x）∴BE＝BC+CE＝y+x∴AD+EC＝x﹣y∵2（AD+EC）＝3BE∴2（x﹣y）＝3（y+x）解得，11x＝8y，∴＝＝．点D在C点右侧，及点D在B点右侧，无解，不符合题意；当DE在线段AC内部时，如图，设CE＝x，DC＝y，则DE＝y﹣x，∴AB＝2（y﹣x），AC＝AB＝（y﹣x），∴AD＝AC﹣DC＝y﹣x，BC＝AB＝（y﹣x），∴BE＝BC+CE＝y+x，∴AD+EC＝﹣x+y，∵2（AD+EC）＝3BE∴2（﹣x+y）＝3（y+x），解得，﹣5x＝4y（不符合题意，舍去），∴＝＝＜，不符合题意，舍去．故答案为或．15、如图1，已知点A、C、F、E、B为直线l上的点，且AB＝12，CE＝6，F为AE的中点．（1）如图1，若CF＝2，则BE＝ 4 ，若BE＝mCF，则m＝ 2 ．（2）当点E沿直线l移动到图2位置时，（1）中BE与CF的数量关系是否仍然成立？请说明理由．（3）如图3，在（2）的条件下，在线段BE上有一点D，BD＝7，且DF＝3DE，则AF＝ 1 ．【解答】解：（1）∵CE＝6，CF＝2，∴EF＝CE﹣CF＝6﹣2＝4，∵F为AE的中点，∴AE＝2EF＝2×4＝8，∴BE＝AB﹣AE＝12﹣8＝4，设CF＝a，则BE＝am，∵CE＝6，CF＝a，∴EF＝CE﹣CF＝6﹣a，∵F为AE的中点，∴AE＝2EF＝12﹣2a，∴BE＝AB﹣AE＝12﹣12+2a＝am，∴m＝2；（2）（1）中BE＝2CF仍然成立．理由如下：∵F为AE的中点，∴AE＝2EF，∴BE＝AB﹣AE，＝12﹣2EF，＝12﹣2（CE﹣CF），＝12﹣2（6﹣CF），＝2CF；（3）存在，DF＝3DE．理由如下：设DE＝x，则DF＝3x，∴EF＝2x，CF＝6﹣2x，BE＝x+7，由（2）知：BE＝2CF，∴x+7＝2（6﹣2x），解得x＝1，∴AF＝EF＝2．故答案是：4；2；2．16、如图，线段AB＝15，点A在点B的左边．（1）点C在直线AB上，AC＝2BC，则AC＝10或30 ．（2）点D在线段AB上，AD＝6．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线AB向右运动，点Q为AP的中点，设运动时间为t秒，①当t为何值时，DQ＝2？②动点R从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向左运动，若P、R两点同时出发，相遇后分别保持原来运动方向不变，速度都增加2个单位长度每秒．在整个运动过程中，当PR+2BP+4DQ＝17时，t＝2或4 ．【解答】解：（1）点C在线段AB上，∵AC＝2BC，AB＝15，∴AC＝15×＝10；点C在线段AB的延长线上，∵AC＝2BC，AB＝15，∴AC＝15×＝30．故AC＝10或30．故答案为：10或30；（2）①点Q在点D的左侧，依题意有（6+2t）＝6﹣2，解得t＝1；点Q在点D的右侧，依题意有（6+2t）＝6+2，解得t＝5．故当t为1或5时，DQ＝2；②PR＝，BP＝，DQ＝，当t≤3时，依题意有9﹣3t+2（9﹣2t）+4（3﹣t）＝17，解得t＝2；当3＜t＜时，依题意有7（t﹣3）+2（﹣4t+15）+4×2（t﹣3）＝17，解得t＝（舍去）；当t≥时，依题意有7（t﹣3）+2（4t﹣15）+4×2（t﹣3）＝17，解得t＝4．故t＝2或4．故答案为：2或4．。
线段与角度知识点总结
线段与角度知识点总结在数学中，线段和角度是基本的几何概念，它们对于解决各种几何问题和实际应用非常重要。
本文将对线段与角度的相关知识点进行总结，包括定义、性质、测量、运算等方面，以帮助读者更好地理解和掌握这些重要的几何概念。
一、线段的基本概念1.1 线段的定义线段是由两个端点及它们之间的所有点组成的有限部分。
其中，端点是线段的起点和终点，线段上的所有点都位于这两个端点之间。
线段通常用字母表示，如线段AB，其中A和B分别为线段的两个端点。
1.2 线段的性质线段具有以下几个基本性质：(1) 长度：线段的长度是用来衡量线段的大小的重要指标，通常用线段两个端点的距离来表示。
在直角坐标系中，线段的长度可以通过两个端点的坐标计算得到。
(2) 延长性：线段可以延长成无穷大，即线段的长度是可变的。
(3) 独一性：直线上的任意两点确定唯一的一条线段。
(4) 有序性：线段的两个端点是有序的，即线段AB和线段BA是不同的。
1.3 线段的运算在线段的运算中，常涉及到线段的加法、减法、乘法和除法等操作。
这些运算通常都是建立在线段长度的概念上的，可以通过比较线段长度来进行计算。
二、角度的基本概念2.1 角度的定义角度是由两条射线共同起点构成的几何图形，通常用度（°）来表示。
其中，两条射线称为角的两边，它们的公共起点称为角的顶点。
角度通常用字母来表示，如∠ABC，其中B为角的顶点，而A和C分别为角的两边。
2.2 角度的性质角度具有以下几个基本性质：(1) 角度的度数：角度的度数是用来衡量角度大小的重要指标，通常用角的两边在单位圆上所对应的弧长来表示。
在直角坐标系中，角度的度数可以通过两条射线的方向和长度计算得到。
(2) 有向性：角度有方向性，即角度的起始边和终止边是有序的。
(3) 直角度：度数为90°的角称为直角，它是最基本的角度单位之一。
(4) 余角：与角度相加为90°的角称为余角，即两个角的度数之和为90°。
专题6.14 角平分线中角的计算(提高篇)-2020-2021学年七年级数学上册基础知识专项讲练
专题6.14 角平分中角的计算（提高篇）（专项练习）一、解答题1．已知直线AB 过点O ，∠COD ＝90°，OE 是∠BOC 的平分线．（1）操作发现：①如图1，若∠AOC ＝40°，则∠DOE ＝②如图1，若∠AOC ＝α，则∠DOE ＝ （用含α的代数式表示）（2）操作探究：将图1中的∠COD 绕顶点O 顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，②中的结论是否成立？试说明理由．（3）拓展应用：将图2中的∠COD 绕顶点O 逆时针旋转到图3的位置，其他条件不变，若∠AOC ＝α，求∠DOE 的度数，（用含α的代数式表示）2．已知OC 是AOB ∠内部的一条射线，M ，N 分别为OA ，OC 上的点，线段OM ，ON 同时分别以30/s ︒，10/s ︒的速度绕点O 逆时针转动，设转动时间为s t ．（1）如图（1），若120AOB ∠=︒，OM ，ON 逆时针转动到OM '，ON '处． ①若OM ，ON 的转动时间t 为2，则BON COM ''∠+∠=________；②若OM '平分AOC ∠，ON '平分BOC ∠，求M ON ''∠的值． （2）如图（2），若4AOB BOC ∠=∠，当OM ，ON 分别在AOC ∠，BOC ∠内部转动时，请猜想COM ∠与BON ∠的数量关系，并说明理由．3．问题情境:以直线AB 上一点0为端点作射线OM ON 、，将一个直角三角形的直角顶点放在0处(90COD ∠=︒)．()1如图1，直角三角板COD 的边OD 放在射线OB 上，OM 平分,AOC ON ∠和OB 重合，则MON ∠=_ ；()2直角三角板COD 绕点O 旋转到如图2的位置，OM 平分,AOC ON ∠平分BOD ∠，求MON ∠的度数．()3直角三角板COD 绕点O 旋转到如图3的位置，OM 平分,AOC ON ∠平分BOD ∠，猜想MON ∠的度数，并说明理由．4．已知AOB α∠=，过点O 作90BOC ∠=°．（1）若30α=︒，求AOC ∠的度数；（2）已知射线OE 平分AOC ∠，射线OF 平分BOC ∠．①若50α=︒，求EOF ∠的度数；②若90180α︒<<︒，则EOF ∠的度数为 （直接填写用含α的式子表示的结果） 5．如图，90,60AOB COD AOC ∠=∠=︒∠=︒，射线ON 以10度/秒的速度从OD 出发绕点O 顺时针转动到OA 时停止，同时射线OM 以25度/秒的速度从OA 出发绕点O 逆时针转动到OD 时停止，设转动时间为t 秒．(1)当OM ON 、重合时，求t 的值；(2)当ON 平分BOD ∠时，试通过计算说明OM 平分AOD ∠；(3)当t 为何值时，MON ∠与AOD ∠互补？6．已知射线OC 在AOB ∠的内部，射线OE 平分AOC ∠，射线OF 平分COB ∠．（1）如图1，若120,32AOB AOC ∠=︒∠=︒，则EOF ∠=__________度；（2）若,AOB AOC αβ∠=∠=，①如图2，若射线OC 在AOB ∠的内部绕点O 旋转，求EOF ∠的度数；②若射线OC 在AOB ∠的外部绕点O 旋转（旋转中AOC ∠、BOC ∠均是指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究EOF ∠的大小，直接写出EOF ∠的度数．7．已知：AOD 160∠=︒，OB 、OM 、ON ，是AOD ∠ 内的射线．（1）如图 1，若 OM 平分 AOB ∠， ON 平分BOD ∠．当射线OB 绕点O 在AOD ∠ 内旋转时，MON ∠= 度．（2）OC 也是AOD ∠内的射线，如图2，若BOC 20∠=︒ ，OM 平分AOC ∠，ON 平分BOD ∠，当射线OB 绕点O 在AOC ∠内旋转时，求MON ∠的大小．（3）在（2）的条件下，当射线OB 从边OA 开始绕O 点以每秒2︒的速度逆时针旋转t 秒，如图3，若AOM DON 23∠∠=：：，求t 的值． 8．(1)如图1，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ．填空：∠MON= ；(2)如图2，∠AOB=90°，∠BOC=x ，仍然分别作∠AOC 、∠BOC 的平分线OM 、ON ，能否求出∠MON 的度数？若能，求出其值；若不能，说明理由．(3)如图3，若∠AOB=α，∠BOC=β(α、β均为锐角，且α＞β)，仍然分别作∠AOC 、∠BOC 的平分线OM 、ON ，能否求出∠MON 的度数．若能，求∠MON 的度数．(4)从(1)、(2)、(3)的结果中，你发现了什么规律？9．已知：∠AOD=150°，OB ，OM ，ON 是∠AOD 内的射线．（1）如图1，若OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOD ．当射线OB 绕点O 在∠AOD 内旋转时，∠MON= °；（2）OC 也是∠AOD 内的射线，如图2，若∠BOC=m°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ， 求∠MON 的大小（用含m 的式子表示）；（3）在（2）的条件下，若m=20,∠AOB=10°，当∠BOC 在∠AOD 内部绕O 点以每秒2°的速度逆时针旋转t 秒，如图3，若3∠AOM=2∠DON 时，求t 的值．10．如图，OM 是AOC ∠的平分线，ON 是BOC ∠的平分线．（1）如图①，当AOB ∠是直角，60BOC ∠=︒时，NOC ∠=__________，MOC ∠=__________，MON ∠=__________；（2）如图②，当AOB α∠=，60BOC ∠=︒时，猜想：MON ∠的度数与α的数量关系，并说明理由；（3）如图③，当AOB α∠=，BOC β∠=（β为锐角）时，猜想：MON ∠的度数与α，β有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由．11．已知：OB 、OC 、OM 、ON 是∠AOD 内的射线．(1)如图1，若∠AOD =156°，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOD ，∠BOD =96°，则∠MON 的度数为 ．(2)如图2，若∠AOD =m °，∠NOC =23°，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOD ，求∠COM 的度数(用m 的式子表示)；(3)如图3，若∠AOD =156°，∠BOC =22°，∠AOB =30°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ，当∠BOC 在∠AOD 内绕着点O 以2°/秒的速度逆时针旋转t 秒时，∠AOM 和∠DON 中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，求t 的值．12． 直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，点A 在射线OP 上运动，点B 在射线OM 上运动．（1）如图1，已知AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠AEB 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值； （2）如图2，延长BA 至G ，已知∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线及其延长线相交于E 、F ，则∠EAF=______°；在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO 的度数．13．已知O 为直线AB 上的一点，射线OA 表示正北方向，90COE ∠=︒，射线OF 平分AOE ∠．（1）如图1，若110BOE ∠=︒，求COF ∠的度数．（2）若将COE ∠绕点O 旋转至图2的位置，试判断COF ∠和∠BOE 之间的数量关系，并证明你的结果．（3）若将COE ∠绕点O 旋转至图3的位置，求满足：4320COF BOE ∠-∠=︒时EOF ∠的度数．14．操作与探究：已知：点O 为直线AB 上一点，∠COD ＝90°，射线OE 平分∠AOD ． （1）如图①所示，若∠COE ＝20°，则∠BOD ＝ °．（2）若将∠COD 绕点O 旋转至图②的位置，试判断∠BOD 和∠COE 的数量关系，并说明理由；（3）若将∠COD 绕点O 旋转至图③的位置，继续探究∠BOD 和∠COE 的数量关系，请直接写出∠BOD 和∠COE 之间的数量关系： ．15．已知点O 是直线AB 上一点，60COE ∠=︒，OF 是AOE ∠的平分线．（1）当点C ，E 在直线AB 的同侧，且OF 在COE ∠的内部时（如图1所示 ）， 设2BOE COF α∠-∠=，求α的大小；（2）当点C 与点,E F 在直线AB 的两旁（如图2所示），（1）中的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由；（3）将图2 中的射线OF 绕点O 顺时针旋转()0180m m ︒<<，得到射线OD ，设AOC n ∠=︒，若3454n BOD ⎛⎫∠=-︒ ⎪⎝⎭，则DOE ∠的度数是 （用含n 的式子表示）16．点O 在直线AF 上，射线OB OC OD OE 、、、在直线AF 的上方，且40,70AOB AOC ∠=︒∠=︒(1)如图1，OE 在COF ∠内部，且OD 平分∠BOE①若COD ∠=20︒，则EOF ∠= ．②若EOF ∠=30，则COD ∠= ．③若COD ∠=n ︒，则EOF ∠= °(用含n 的式子表示)(2)当OE 在BOC ∠内部，且OD 平分∠BOE 时，请画出图形；此时，COD ∠与EOF ∠有怎样的数量关系？请说明理由．17．如图，160AOB ∠=︒，OC 为其内部一条射线．（1）若OE 平分AOC ∠，OF 平分BOC ∠.求EOF ∠的度数；（2）若100AOC ∠=，射线OM 从OA 起绕着O 点顺时针旋转，旋转的速度是20︒每秒钟，设旋转的时间为t ，试求当AOM ∠+MOC ∠+MOB ∠200=时t 的值．18．如图1， 点, O M 在直线AB 上，3060AOC MON ∠=︒∠=︒， ，将．MON ∠绕着点O 以10/s ︒的速度逆时针旋转，设旋转时间为 0()36ts t ≤≤．(1)如图2，当OC 平分AON ∠时，t =______s ； 图中MON ∠的补角有: ______；(2)如图3，当09t <<时，OD 平分BOM ∠， OF 平分CON ∠，求DOF ∠的度数；(3)在MON ∠绕着点O 逆时针旋转的过程中，当t =______s 时， AON COM ∠=∠．19．点O 在直线AD 上，在直线AD 的同侧，作射线OB OC OM ，，平分AOC ∠．（1）如图1，若40AOB ∠=，60COD ∠=，直接写出BOC ∠的度数为 ，BOM ∠的度数为 ；（2）如图2，若12BOM COD ∠=∠，求BOC ∠的度数； （3）若AOC ∠和AOB ∠互为余角且304560AOC ∠≠，，，ON 平分BOD ∠，试画出图形探究BOM ∠与CON ∠之间的数量关系，并说明理由．参考答案1．（1）20°，12α；（2）成立，理由见详解；（3）180°－12α．【分析】（1）如图1，根据平角的定义和∠COD＝90°，得∠AOC＋∠BOD＝90°，从而∠BOD＝50°，OE是∠BOC的平分线，可得∠BOE＝70°，由角的和差得∠DOE＝20°；同理可得：∠DOE＝12α；（2）如图2，根据平角的定义得：∠BOC＝180°－α，由角平分线定义得：∠EOC＝12∠BOC＝90°－12α，根据角的差可得（1）中的结论还成立；（3）同理可得：∠DOE＝∠COD＋∠COE＝180°－12α．【详解】解：（1）如图1，∵∠COD＝90°，∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∵∠AOC＝40°，∴∠BOD＝50°，∴∠BOC＝∠COD＋∠BOD＝90°＋50°＝140°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝12∠BOC＝70°，∴∠DOE＝∠BOE－∠BOD＝20°，②如图1，由（1）知：∠AOC＋∠BOD＝90°，∵∠AOC＝α，∴∠BOD ＝90°﹣α，∴∠BOC ＝∠COD ＋∠BOD ＝90°＋90°﹣α＝180°﹣α，∵OE 平分∠BOC ，∴∠BOE ＝12∠BOC ＝90°﹣12α， ∴∠DOE ＝∠BOE ﹣∠BOD ＝90°﹣12α﹣（90°﹣α）＝12α， （2）（1）中的结论还成立，理由是：如图2，∵∠AOC ＋∠BOC ＝180°，∠AOC ＝α，∴∠BOC ＝180°﹣α，∵OE 平分∠BOC ，∴∠EOC ＝12∠BOC ＝90°﹣12α， ∵∠COD ＝90°，∴∠DOE ＝∠COD ﹣∠COE ＝90°﹣（90°﹣12α）＝12α； （3）如图3，∵∠AOC ＋∠BOC ＝180°，∠AOC ＝α，∴∠BOC ＝180°﹣α，∵OE 平分∠BOC ，∴∠EOC ＝12∠BOC ＝90°﹣12α， ∵∠COD ＝90°，∴∠DOE ＝∠COD ＋∠COE ＝90°＋（90°﹣12α）＝180°﹣12α． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键．2．（1）①40゜；②60゜；（2）3COM BON ∠=∠，理由见解析．【分析】（1）①先求出∠AOM′、CON′，再表示出∠BON′、∠COM′，然后相加并根据∠AOB=120°计算即可得解；②先由角平分线求出∠AOM′=∠COM′=12∠AOC ，∠BON′=∠CON′=12∠BOC ，再求出∠COM′+∠CON′=12∠AOB=12×120°=60°，即∠M′ON′=60°；（2）设旋转时间为t ，表示出∠CON 、∠AOM ，然后列方程求解得到∠BON 、∠COM 的关系，再整理即可得解．【详解】（1）∵线段OM 、ON 分别以30°/s 、10°/s 的速度绕点O 逆时针旋转2s ，∴∠AOM′=2×30°=60°，∠CON′=2×10°=20°，∴∠BON′=∠BOC -20°，∠COM′=∠AOC -60°，∴∠BON′+∠COM′=∠BOC -20°+∠AOC -60°=∠AOB -80°，∵∠AOB=120°，∴∠BON′+∠COM′=120°-80°=40°；故答案为：40°；②∵OM′平分∠AOC ，ON′平分∠BOC ，∴∠AOM′=∠COM′=12∠AOC ，∠BON′=∠CON′=12∠BOC ， ∴∠COM′+∠CON′=12∠AOC+12∠BOC=12∠AOB=12×120°=60°， 即∠MON=60°；（2）∠COM=3∠BON ，理由如下：设∠BOC=x ，则∠AOB=4x ，∠AOC=3x ，∵旋转t 秒后，∠AOM=30t ，∠CON=10t ，∴∠COM=3x -30t=3（x -10t ），∠NOB=x -10t ，∴∠COM=3∠BON ．【点睛】本题考查了角的计算，读懂题目信息，准确识图并表示出相关的角度，然后列出方程是解题的关键．3．（1）135MON ∠=；（2）MON ∠的度数是135︒；（3）MON ∠的度数是135︒，理由详见解析【分析】（1）根据题意结合角平分线性质由∠MON=∠MOC+∠COD 求出即可；（2）由题意利用角平分线性质由∠MON=∠MOC+∠DON+∠COD 求出即可；（3）根据题意猜想∠MON 的度数是135°，根据给定条件进行等量替换由∠MON=∠MOC+∠BON+∠COB 说明理由即可．【详解】解：（1）∵∠COD=90°，OM 平分∠AOC ，ON 和OB 重合，∴∠MOC=12∠AOC=12（∠AOB -∠COD ）=45°， ∴∠MON=∠MOC+∠COD=45°+90°=135°，故答案为：135；（2）OM 平分,AOC ON ∠平分BOD ∠，12MOC AOC ∴∠=∠，12DON BOD ∠=∠， 90COD ∠=︒ 1122MOC DON AOC BOD ∴∠+∠=∠+∠ )12(AOC BOD =∠+∠ 1()2AOB COD =∠-∠ () 1801290=︒-︒ 45=4590135MON MOC DON COD ∠=∠+∠+∠=︒+︒=∴︒即MON ∠的度数是135︒；（3）猜想MON ∠的度数是135︒，理由是: OM 平分,AOC ON ∠平分BOD ∠，12MOC AOC ∴∠=∠，12BON BOD ∠=∠， 90COD ∠=︒ 1122MOC BON AOC BOD ∴∠+∠=∠+∠ )12(AOC BOD =∠+∠ )12(AOB COB BOD =∠-∠+∠ ()12AOB COD BOD BOD =∠-∠-∠+∠⎡⎤⎣⎦ []12AOB COD BOD BOD =∠-∠+∠+∠1180902BOD BOD ⎡⎤=-+∠+∠⎣⎦ 45BOD =+∠MON MOC BON COB ∠=∠+∠+∠∴45BOD COB =︒+∠+∠45COD =︒+∠135=即MON ∠的度数是135︒．【点睛】本题考查角平分线定义和角的计算，熟练掌握并根据图形和已知求出各个角的度数是解题的关键．4．（1）60︒或120︒；（2）①25︒；②12α或11802α︒-【分析】（1）分两种情况：当射线OA 、OC 在射线OB 同侧时，当射线OA 、OC 在射线OB 两侧时，分别求出∠AOC 的度数，即可；（2）①分两种情况：当射线OA 、OC 在射线OB 同侧时，当射线OA 、OC 在射线OB 两侧时，分别求出EOF ∠的度数，即可；②分两种情况：当射线OC 在∠AOB 内部时，当射线OC 在∠AOB 外部时，分别用α表示出EOF ∠的度数，即可．【详解】（1）当射线OA 、OC 在射线OB 同侧时，如图1所示，∵90BOC ∠=°，30AOB ∠=︒，∴903060AOC BOC AOB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，当射线OA 、OC 在射线OB 两侧时，如图2所示，∵90BOC ∠=°，30AOB ∠=︒，∴9030120AOC BOC AOB ∠=∠+∠=︒+︒=︒．综上可得，AOC ∠的度数为60︒或120︒；（2）①当射线OA 、OC 在射线OB 同侧时，如图3所示，∵射线OE 平分AOC ∠， ∴11()22COE AOC BOC AOB ∠=∠=∠-∠， ∵90BOC ∠=°，50AOB ∠=︒，∴()19050202COE ︒-︒∠==︒， ∵射线OF 平分BOC ∠， ∴11904522COF BOC ∠=∠==︒⨯︒， ∴452025EOF COF COE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．当射线OA 、OC 在射线OB 两侧时，如图4所示，∵射线OE 平分AOC ∠， ∴11()22COE AOC BOC AOB ∠=∠=∠+∠， ∵90BOC ∠=°，50AOB ∠=︒， ∴()19050702COE ︒+︒∠==︒， ∵射线OF 平分BOC ∠， ∴11904522COF BOC ∠=∠==︒⨯︒， ∴704525EOF COE COF ∠=∠-∠=︒-︒=︒，综上可得，EOF ∠的度数为25︒；②当射线OC 在∠AOB 内部时，如图5，∵射线OE 平分AOC ∠， ∴12COE AOC ∠=∠， ∵射线OF 平分BOC ∠， ∴12COF BOC ∠=∠， ∵AOB α∠=， ∴11112222EOF COF COE BOC AOC AOB α∠=∠+∠=∠+∠=∠=． 当射线OC 在∠AOB 外部时，如图6，∵射线OE 平分AOC ∠， ∴11(360)22COE AOC BOC AOB ∠=∠=︒-∠-∠， ∵90BOC ∠=°，AOB α∠=， ∴()12702COE α∠=︒-， ∵射线OF 平分BOC ∠，∴11904522COF BOC ∠=∠==︒⨯︒， ∴()112704518022EOF COE COF αα︒∠=∠+∠=-+︒=︒-， 综上所述：EOF ∠的度数为：12α或11802α︒-． 故答案是：12α或11802α︒-．【点睛】本题主要考查角的平分线的定义以及角度的运算，画出示意图，根据角的和差倍分运算以及角平分线的定义，分类进行计算，是解题的关键．5．（1）307t =；（2）见解析；（3）247t =或367t = 【分析】（1）根据题意10,25150DON t AOM t AOD ∠=∠=∠=︒， ,当OM ON 、重合时，+DON AOM AOD ∠∠=∠，计算即可；（2）根据题意可得=60BOD AOC ∠∠=︒，由ON 平分BOD ∠可计算出3t =，故25375AOM ∠=⨯=︒,即可说明OM 平分AOD ∠；（3）根据题意可得30MON ∠=︒分两种情况说明，当OM ON 、重合之前和OM ON 、重合之后分别计算即可．【详解】由题意：10,25DON t AOM t ∠=∠=()190,60COD AOC ∠=∠=150AOD COD AOC ∴∠=∠+∠=当,ON OM 重合时，DON AOM AOD ∠+∠=∠1025150t t ∴+= 解得：307t = ()290AOB COD ∠=∠=90AOC BOC BOD BOC ∴∠+∠=∠+∠=60BOD AOC ∴∠=∠= ON 平分BOD ∠1302DON BOD ∴∠=∠=∴30103t =÷= ∴1253752AOM AOD ∠=⨯==∠ OM ∴平分AOD ∠()3150,180AOD AOD MON ∠=∠+∠=30MON ∴∠=当OM 与ON 重合前150DON MON AOM ∠+∠+∠=103025150t t ++=解得：247t = 当OM 与ON 重合后150DON AOM MON ∠+∠-∠=102530150t t +-=解得：367 t=∴当247t=或367t=时，MON∠与AOD∠互补【点睛】本题考查的是角的综合题，一元一次方程的解法，旋转的性质，有一定的难度，分情况讨论是难点．6．（1）60；（2）①∠EOF=12α；②当射线OE，OF只有1条在∠AOB外部时，∠EOF=12α；当射线OE，OF都在∠AOB外部时，∠EOF=180°-12α．【分析】（1）先求出∠BOC度数，根据角平分线定义求出∠EOC和∠FOC的度数，求和即可得出答案；（2）①根据角平分线定义得出∠COE=12∠AOC，∠COF=12∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠FOC=12∠AOB，代入求出即可；②分两种情况：当射线OE，OF只有1条在∠AOB外部时，根据角平分线定义得出∠COE=1 2∠AOC，∠COF=12∠BOC，求出∠EOF=∠FOC-∠COE=12∠AOB；当射线OE，OF都在∠AOB外部时，根据角平分线定义得出∠EOF=12∠AOC，∠COF=12∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠COF=12（360°-∠AOB），代入求出即可．【详解】解：（1）∵∠AOB=120°，∠AOC=32°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=88°，∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，∴∠EOC=12∠AOC=16°，∠FOC=12∠BOC=44°，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=16°+44°=60°．故答案为：60；（2）①∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，∴∠EOC=12∠AOC，∠FOC=12∠BOC，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=12∠AOB=12α；②分以下两种情况：当射线OE，OF只有1条在∠AOB外部时，如图3①，∠EOF=∠FOC-∠COE=12∠BOC-12∠AOC=12（∠BOC-∠AOC）=12∠AOB=12α．当射线OE，OF都在∠AOB外部时，如图3②，∠EOF=∠EOC+∠COF=12∠AOC+12∠BOC=12（∠AOC+∠BOC）=12（360°-∠AOB）=180°-12α．综上所述，当射线OE，OF只有1条在∠AOB外面时，∠EOF=12α；当射线OE，OF都在∠AOB外部时，∠EOF=180°-12α．【点睛】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用．7．（1）80；（2）70°；（3）26【分析】（1）根据角平分线的定义进行角的计算即可；（2）依据OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，即可得到∠MOC=12∠AOC，∠BON=12∠BOD，再根据∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC进行计算即可；（3）依据∠AOM=12（10°+2t+20°），∠DON=12（160°-10°-2t ），∠AOM ：∠DON=2：3，即可得到3（30°+2t ）=2（150°-2t ），进而得出t 的值．【详解】解：（1）∵∠AOD=160°，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOD ，∴∠MOB=12∠AOB ，∠BON=12∠BOD ， ∴∠MON=∠MOB+∠BON=12∠AOB+12∠BOD=12（∠AOB+∠BOD ）=12∠AOD=80°， 故答案为：80；（2）∵OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ，∴∠MOC=12∠AOC ，∠BON=12∠BOD ， ∴∠MON=∠MOC+∠BON -∠BOC =12∠AOC+12∠BOD -∠BOC =12（∠AOC+∠BOD ）-∠BOC =12×180-20 =70°；（3）∵∠AOM=12（2t+20°），∠DON=12（160°-2t ）， 又∠AOM ：∠DON=2：3，∴3（20°+2t ）=2（160°-2t ）解得，t=26．答：t 为26秒．【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的计算，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，解决本题的关键是理解动点运动情况．8．（1）45°；（2）能，45MON ∠=︒；（3）能，MON 2α∠=；（4）MON 2α∠=【分析】（1）根据题意可知，∠AOC=120°，由OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ；推出∠MOC=∠AOC=60°，∠CON=12∠BOC=15°，由图形可知，∠MON=∠MOC -∠CON ，即可求出∠MON=45°； （2）根据（1）的求解思路，先利用角平分线的定义表示出∠MOC 与∠NOC 的度数，然后相减即可得到∠MON 的度数；（3）用α、β表示∠MOC ，∠NOC ，根据∠MON=∠MOC -∠NOC 得解．（4）由（1）、（2）、（3）的结果中，∠MON 的度数与∠BCO 无关，∠MON=2a ． 【详解】（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°，∵OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，∴∠MOC=∠AOC=60°，∠CON= 12∠BOC=15°， ∴∠MON=∠MOC -∠CON=60°-15°=45°；（2）能．∵∠AOB=90°，∠BOC=x ，∴∠AOC=90°+x ，∵OM 、ON 分别平分∠AOC ，∠BOC ，∴∠MOC=12∠AOC= 12（90°+x °）=45°+ 12x ， ∴∠CON= 12∠BOC= 12x ， ∴∠MON=∠MOC -∠CON=45°+ 12x - 12x=45°． （3）∵∠AOB=α，∠BOC=β，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β，∵OM 平分∠AOC ，∴∠MOC= 12∠AOC= 12（α+β）， ∵ON 平分∠BOC ，∴∠NOC= 12∠BOC= 2β， ∴∠MON=∠MOC -∠NOC= 12（α+β）-2β=2α．（4）规律：∠MON 的度数与∠BCO 无关，∠MON=2α．理由如下： ∵∠AOB=α，∠BOC=β，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β，∵OM 平分∠AOC ，∴∠MOC=12∠AOC=12（α+β）， ∵ON 平分∠BOC ， ∴∠NOC=12∠BOC=2β， ∴∠MON=∠MOC -∠NOC=12（α+β）-2β=2α． 【点睛】本题考查角的和差、角平分线定义，利用∠MON=∠MOC ﹣∠NOC 是解题的关键. 9．（1）75;（2）（75-12m)°；（3）t 为19秒． 【分析】 （1）根据角平分线的定义，以及角度和的关系，可得∠MON=12∠AOD 即可得出； （2）根据角平分线的定义，得出∠MOC=12∠AOC ，∠BON=12∠BOD ，利用角度和与差的关系，得出∠MON=∠MOC+∠BON ﹣∠BOC ，角度代换即可得出结果；（3）由题意知，∠AOM=12（10+2t+20°），∠DON=12（150﹣10﹣2t ）°，根据3∠AOM=2∠DON ，列出方程求解即可．【详解】解：（1）∵OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOD ，∴∠MOB=12∠AOB ，∠BON=12∠BOD ， ∴∠MON=∠MOB+∠BON ， =12∠AOB+12∠BOD ， =12∠AOD ， =12×150°， =75°，故答案为：75；（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC=12∠AOC，∠BON=12∠BOD，∠MON=∠MOC+∠BON﹣∠BOC=12∠AOC+12∠BOD﹣∠BOC=12（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC=12（∠AOB+∠BOC+∠BOD）﹣∠BOC=12（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC=12×（150°+m°）﹣m°=(75-12 m)°，故答案为：(75-12 m)°；（3）∵∠AOM=12∠AOC=12（10+2t+20°）=（15+t）°，∠DON=12∠BOD=12（150﹣10﹣2t）°=（70-t）°，又∵3∠AOM=2∠DON，∴3（15+t）=2（70﹣t），得t=19．答：t为19秒，故答案为：19秒．【点睛】本题考查了角平分线的定义，角度的和差关系式，一元一次方程的列式求解，掌握角平分线的定义是解题的关键．10．(1) 30°，75°，45°；(2) ∠MON=12α，理由见解析；(3) ∠MON=12α，与β无关，理由见解析【分析】(1)因为ON平分∠BOC，OM是∠AOC的平分线，根据角平分线的性质即可得出∠NOC=1 2∠BOC，∠AOM=∠MOC=12∠AOC，再结合已知条件即可求解；(2) ∠MON=12α，根据题目已知条件可以得到∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC，代入题目条件即可得出结果；(3) ∠MON=12α，与β无关，根据题目已知条件表示出∠AOC，再利用角平分线的性质即可得出结果．【详解】解：(1)∵ON平分∠BOC，∴∠NOC=12∠BOC=12×60°=30°，∵OM是∠AOC的平分线，∴∠AOM=∠MOC=12∠AOC，∵∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+60°=150°，∴∠MOC=75°，∴∠MON=∠MOC-∠NOC=75°-30°=45°，故答案为：30°，75°，45°(2)∠MON=12α．∵∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+60°，OM是∠AOC的平分线，∴∠MOC=12∠AOC=12（α+60°）=12α+30°，∵ON平分∠BOC，∴∠NOC=12∠BOC=12×60°=30°，∴∠MON=∠MOC-∠NOC=12α+30°-30°=12α；(3)∠MON=12α，与β无关．∵∠AOB=α，∠BOC=β，∴∠AOC=α+β，∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC=12∠AOC=12（α+β），∠NOC=12∠BOC=12β，∴∠MON=∠MOC-∠NOC=12（α+β）-12β=12α．【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质和与角有关的计算，掌握角平分线的性质和与角有关的计算是解题的关键．11．(1)78°；(2)1232m︒-︒；(3) 当1003t=或113时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍【分析】（1）由OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，得∠BOM=30°，∠BON=48°，进而即可求解；（2）由角平分线的定义得∠BOM=12∠AOB，∠BON=12∠BOD，进而得∠MON=12m︒，即可求解；（3）由题意得：∠AOM═(26+t)°，∠DON=(63﹣t)°，根据∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，列出关于t的方程，即可求解．【详解】∴1∴∵∠AOD=156°，∠BOD=96°，∴∠AOB=156°﹣96°=60°，∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∴∠BOM=30°，∠BON=48°，∴∠MON=∠BOM+∠BON=78°；∴2∴∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∴∠BOM=12∠AOB，∠BON=12∠BOD，∵∠MON=∠BOM+∠BON=12(∠AOB+∠BOD)=12∠AOD=12m︒，∴1232COM MON CON m=-=︒-︒∠∠∠；∴3∴∵∠BOC在∠AOD内绕点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒，∴∠AOC=(52+2t)°，∠BOD=(126﹣2t)°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠AOM═(26+t)°，∠DON=(63﹣t)°，当∠AOM=2∠DON时，26+t=2(63﹣t)，则1003t=；当∠DON=2∠AOM时，63﹣t=2(26+t)，则t=11 3．故当1003t=或113时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，【点睛】本题主要考查角的和差倍分运算，掌握角平分线的定义以及角的和差倍分关系，是解题的关键．12．（1）∠AEB的大小不变，为135°；（2）90；∠ABO为60°或45°．【分析】（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线得出∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；（2）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．【详解】解：（1）∠AEB的大小不变，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，∴∠BAE+∠ABE=12(∠OAB+∠ABO)=12×90°=45°，∴∠AEB=135°；（2）∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，∴∠EAO=12∠BAO，∠F AO=12∠GAO，∴∠EAF =12(∠BAO +∠GAO )=12×180°=90°． 故答案为：90；∵∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E ，∴∠EAO =12∠BAO ，∠EOQ =12∠BOQ ， ∴∠E =∠EOQ -∠EAO =12(∠BOQ -∠BAO )=12∠ABO ， 即∠ABO =2∠E ，在△AEF 中，∵有一个角是另一个角的3倍，故分四种情况讨论：①∠EAF =3∠E ，∠E =30°，则∠ABO =60°；②∠EAF =3∠F ，∠E =60°，∠ABO =120°(舍去)；③∠F =3∠E ，∠E =22.5°，∠ABO =45°；④∠E =3∠F ，∠E =67.5°，∠ABO =135°(舍去)．∴∠ABO 为60°或45°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形外角性质以及角平分线的定义的运用，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．13．（1）55︒；（2）12COF BOE ∠=∠；（3）20︒． 【分析】（1）由图可以知道AOE ∠、∠BOE 互为邻补角，由已知即可求出70AOE ∠=︒．注意到OF 平分AOE ∠，则可求出35FOE ∠=︒，再由90COF FOE ∠+∠=︒,即可求出COF ∠． （2）设BOE α∠=，则180AOE α∠=︒-，求出FOE ∠，代入COF COE FOE ∠=∠-∠即可（3）可先设2AOE β∠=，则EOF β∠=，由图可知90COF β∠=︒+，1802BOE β∠=︒-，分别代入4320COF BOE ∠-∠=︒即可求解．【详解】解：（1）∵110BOE ∠=︒，180BOE AOE ∠+∠=︒，∴70AOE ∠=︒ OF 平分AOE ∠，11703522FOE AOF AOE ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒903555COF COE FOE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒（2）12COF BOE ∠=∠，理由如下： 设BOE α∠=，则180AOE α∠=︒-，11(180)22EOF AOE α∠=∠=︒-， 1190(180)22COF αα∴∠=︒-︒-=， 12COF BOE ∴∠=∠． （3）设2AOE β∠=，则EOF β∠=，90COF β∴∠=︒+，1802BOE β∠=︒-，∵4320COF BOE ∠-∠=︒，∴()()4903180220ββ︒+-︒-=︒20β∴=︒．即20EOF ∠=︒．【点睛】此题考查旋转与角平分线的计算，能理解角平分线定义和角与角之间的关系是解此题的关键． 14．（1）40°；（2）∠BOD=2∠COE ，理由见详解；（3）∠BOD+2∠COE=360°，理由见详解【分析】（1）由互余得∠DOE 的度数，进而由角平分线得出∠AOE 的度数，即可得出∠BOD 的度数；（2）由互余及角平分线得∠DOE=90°-∠COE=∠AOE ，∠AOC=∠AOE -∠COE=90°-2∠COE ，最后根据∠BOD=180°-∠AOC -∠COD 可得；（3）由互余得∠DOE=∠COE -90°，由角平分线得∠AOD=2∠DOE=2∠COE -180°，最后根据∠BOD=180°-∠AOD 可得．【详解】解：（1）920700DOE ︒-︒=∠=︒∵射线OE 平分∠AOD∴7021420AOD DOE =︒⨯=∠=∠︒∴18014040BOD ∠=︒-︒=︒；（2）BOD 2COE ∠=∠，理由如下：∵∠COD ＝90°∴∠DOE=∠COE -90°∵射线OE 平分∠AOD∴∠AOC=∠AOE -∠COE=90°-2∠COE∵A ，O ，B 在同一直线上∴∠BOD=180°-∠AOC -∠COD=180°-(90°-2∠COE)- 90°即：∠BOD=2∠COE ；（3）∠BOD+2∠COE=360°，理由如下：∵∠COD ＝90°∴∠DOE=∠COE -90°∵射线OE 平分∠AOD∴∠AOD=2∠DOE=2∠COE -180°∴∠BOD=180°-∠AOD=360°-2∠COE即：∠BOD+2∠COE=360°．【点睛】本题考查的知识点有角平分线的定义、角的计算、余角的定义等，掌握以上知识点是解此题的关键．15．（1）60α=︒ ；（2）（1）中的结论不变，即60α=︒，理由见解析；（3）7754n ⎛⎫+︒ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）设AOC β∠=，表达出∠BOE ，∠COF 的大小，再根据2BOE COF α∠-∠=列出方程求解即可；（2）类比（1）的求法，表达出∠BOE ，∠COF ，列出方程求解即可；（3）对于旋转后OD 的位置分两种情况讨论，通过角的运算，表达出∠DOE 的度数，再根据题意，排除射线OD 在∠BOE 外部的情况．【详解】解：（1）设AOC β∠=，则180(60)120BOE ββ∠=︒-︒+=︒-111(60)30222COF AOE AOC βββ∠=∠-∠=︒+-=︒- ∴12(120)2(30)602BOE COF ββ∠-∠=︒--︒-=︒，即60α=︒ （2）（1）中的结论不变，即60α=︒180BOE AOE ∠=︒-∠1602COF COE EOF AOE ∠=∠-∠=︒-∠ 260BOE COF ∴∠-∠=︒（3）7(75)4n +︒ 分为两种情况：①如图3，射线OD 在∠BOE 的内部，则∠DOE=180°-∴BOD -∴AOE ()3718045607544n n n ⎛⎫⎛⎫=︒--︒--︒=+︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ②如图4，射线OD 在∠BOE 的外部，则 DOE BOE BOD ∠=∠+∠(180)AOE BOD =︒-∠+∠[180(60)]n BOD =︒--︒+∠345(120)4n n ⎛⎫-︒ ⎪⎝+︒⎭=+ 1(165)4n =+︒ 此时111(165)(60)(195)424FOD DOE FOE n n n ∠=∠+∠=+︒+-︒=-︒ ∵∠AOC <∠COE即n <60°， ∴1(195)1804n -︒>︒， 又∵0180m <<∴射线OD 不可能在∠BOE 的外部综上所述：DOE ∠的度数为7(75)4n +︒．【点睛】本题考查了基本几何图形中的角度的运算，前两问难度不大，根据角度运算即可求出，对于第三问，难在对射线OD的位置进行分类讨论，解题的关键是灵活对角进行加减运算．16．（1）①40°；②25°；③（80-2n）；（2）作图见详解；∠EOF=80°+2∠COD.【分析】（1）①由题意利用角平分线的定义和邻补角相加等于180°进行分析即可；②根据题意设∠COD=x°，并利用角平分线的定义和邻补角相加等于180答题即可；③根据题意可知需要利用角平分线的定义和邻补角相加等于180°来进行分析；（2）根据题意画出新图形，并由题意用代数式分别表示∠COD与∠EOF，进而得出数量关系式.【详解】解：（1）①∵∠AOB=40°，∠AOC=70°∴∠BOC=30°∵∠COD=20°∴∠BOD=∠BOC+∠COD=50°∵OD平分∠BOE∴∠DOE=∠BOD=50°∴∠EOF=180°-∠AOB-∠DOE-∠BOD=40°.②设∠COD=x°，则由上题可知：∠BOD=∠DOE=30°+x°∴∠EOF=180°-（∠AOC+∠COD+∠DOE）=30°∴∠COD=25°③由上题可知：∠BOD=∠DOE=30°+n°∴∠EOF=180°-（∠AOC+∠COD+∠DOE）=180°-（70°+n°+30°+n°）=80°-2n°故答案为①40°；②25°；③（80-2n ）．（2）作图如下：∠COD 与∠EOF 的数量关系是：∠EOF=80°+2∠COD ，理由如下：∵∠AOC=70°∴∠COF=110°∴∠EOF=∠EOC+110°∵∠COD=∠EOC+∠DOE ，①∠DOE=230EOC ︒-∠， ∴∠COD=15°+ 12∠EOC ，② ∴由①②得：∠EOF=80°+2∠COD.答：∠COD 与∠EOF 的数量关系是：∠EOF=80°+2∠COD ．【点睛】本题考查角的相关计算，熟练掌握并理由角平分线的定义和邻补角相加等于180°进行分析计算是解题的关键.17．（1）80EOF ∠=；（2）3t s =或7t s =，【解析】【分析】（1）根据角平分线定义和角的和差计算即可；（2）分四种情况讨论：①当OM 在∠AOC 内部时，②当OM 在∠BOC 内部时，③当OM 在∠AOB 外部，靠近射线OB 时，④当OM 在∠AOB 外部，靠近射线OA 时．分别列方程求解即可．【详解】（1）∵OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ，∴∠1=12∠AOC ，∠2=12∠BOC ，∴∠EOF=∠1+∠2=12∠AOC+12∠BOC=12(∠AOC+∠BOC)=12∠AOB．∵∠AOB=160°，∴∠EOF=80°．（2）分四种情况讨论：①当OM在∠AOC内部时，如图1．∵∠AOC=100°，∠AOB=160°，∴∠MOB=∠AOB-∠AOM=160°-20t．∵∠AOM+∠MOC+∠MOB=∠AOC+∠MOB=200°，∴100°+160°-20t=200°，∴t=3．②当OM在∠BOC内部时，如图2．∵∠AOC=100°，∠AOB=160°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=160°-100°=60°．∵∠AOM+∠MOC+∠MOB=∠AOM+∠COB=200°，∴2060200t+=，∴t=7．③当OM 在∠AOB 外部，靠近射线OB 时，如图3，∵∠AOB =160°，∠AOC =100°，∴∠BOC =160°-100°=60°．∵∠AOM =20t ，∴∠MOB =∠AOM -∠AOB =20160t ︒-︒，∠MOC =20100t ︒-︒．∵∠AOM +∠MOC +∠MOB =200°，∴202010020160200t t t ︒+︒-︒+︒-︒=︒，解得：t =233． ∵∠AOB =160°，∴OM 转到OB 时，所用时间t =160°÷20°=8． ∵233＜8， ∴此时OM 在∠BOC 内部，不合题意，舍去．④当OM 在∠AOB 外部，靠近射线OA 时，如图4，∵∠AOB =160°，∠AOC =100°，∴∠BOC =160°-100°=60°．∵36020AOM t ∠=︒-︒，∴∠MOC =∠AOM +∠AOC =36020100t ︒-︒+︒=46020t ︒-︒，∠MOB =∠AOM +∠AOB =36020160t ︒-︒+︒=52020t ︒-︒．∵∠AOM +∠MOC +∠MOB =200°，∴()()()360204602052020200t t t ︒-︒+︒-︒+︒-︒=︒，解得：t =19．当t =19时，20t =380°＞360°，则OM 转到了∠AOC 的内部，不合题意，舍去． 综上所述：t =3s 或t =7s ．【点睛】本题考查了角的和差和一元一次方程的应用．用含t 的式子表示出对应的角是解答本题的关键．18．（1）6t s =； 图中MON ∠的补角有: AOM ∠和BON ∠；（2）105︒；（3）当13.5t =或31.5s 时， AON COM ∠=∠【分析】（1）根据角平分线的性质求出∠AON 的度数，进而求出∠BON 和∠BOM 的度数，再根据“时间=路程÷速度”，即可得出答案；根据补角的定义即可得出答案；（2）先设出∠BOM 和∠CON 的度数，再根据角平分线的定义求出∠NOF 和∠DOM 的度数，即可得出答案；（3）分情况进行讨论，①当ON 位于直线AB 上方，OM 位于∠BOC 中时；②当ON 位于直线AB 下方，OM 位于∠AOC 中时；③OM 和ON 均位于直线AB 下方时；④当ON 位于直线AB 上方，OM 位于直线AB 下方时；分别求出每种情况下∠AON 和∠COM 的度数，再令∠AON=∠COM ，解方程即可得出答案.【详解】解：（1）当OC 平分∠AON 时，∠AON=2∠AOC=60°∴∠BON=120°又∠MON=60°∴∠BOM=∠BON -∠MON=60°∴t=60÷10=6(s)；图中MON ∠的补角有：AOM ∠和BON ∠；（2） ∵运动时间为t 秒，运动速度为10/s ︒，则() 10901060BOM t CON t MON ∠=︒∠=-︒∠=︒，，又∵OD 平分BOM ∠，OF 平分CON ∠ ∴152DOM BOM t ∠=∠=︒， ()()11901045522NOF CON t t ∠=∠=-︒=-︒ ∴()516045 51105DOF DOM MON NOF ∠=∠+∠+∠=++-︒=︒∴当09t <<时，DOF ∠的度数为105︒（3）①当ON 位于直线AB 上方，OM 位于∠BOC 中时∠AON=(120-10t)°，∠COM=(150-10t)°又∠AON=∠COM ，即(120-10t)°=(150-10t)°，无解；②当ON 位于直线AB 下方，OM 位于∠AOC 中时∠COM=(150-10t)°，∠AON=(10t -120)°又∠AON=∠COM ，即(150-10t)°=(10t -120)°，解得t=13.5；③OM 和ON 均位于直线AB 下方时∠COM=(10t -150)°，∠AON=(10t -120)°又∠AON=∠COM ，即(10t -150)°=(10t -120)°，无解；④当ON 位于直线AB 上方，OM 位于直线AB 下方时∠COM=(10t -150)°，∠AON=(480-10t)°又∠AON=∠COM ，即(10t -150)°=(480-10t)°，解得t=31.5；∴当13.5t =或31.5s 时， AON COM ∠=∠【点睛】本题考查的是角的计算，难度较高，根据∠MON 的运动轨迹求出相关角的度数是解决本题的关键.19．（1）80°，20°；（2）90°；（3）当030AOB <∠<时，45BOM CON ∠+∠=；当3090AOB <∠<，45CON BOM ∠-∠=，理由见解析【分析】（1）利用平角的定义、角平分线的定义和角的和差即可得出结论（2）设AOM COM x ∠=∠=，再根据已知12BOM COD ∠=∠得出∠BOM=90°-x ， 再利用BOC BOM COM ∠=∠+∠即可得出结论 （3）分030AOB <∠<，3090AOB <∠<两种情况加以讨论【详解】解：（1）∵∠AOB=40°，∠COD=60°∴∠BOC=180°-∠AOB -∠COD=80°,∠AOC=180°-∠COD =120°∵OM 平分∠AOC∴∠AOM=60°∴∠BOM=∠AOM -∠AOB =20°故答案为：80°，20°（2）∵OM 平分∠AOC∴设AOM COM x ∠=∠=，则1802COD x ∠=- ∵12BOM COD ∠=∠ ∴()11802902BOM x x ∠=-=- ∴9090BOC BOM COM x x ∠=∠+∠=-+=（3）当030AOB <∠<时，即OB 在OM 下方时设AOB x ∠=∴90AOC x ∠=-∴1452 AOM x ∠=-∴13454522 BOM x x x ∠=--=-∴119022 DOA DOB x ∠==-.∴13909022 CON DOC DON x x x ∠=∠-∠=+-+=∴45BOM CON∠+∠=∴当3090AOB<∠<，即OB在OM上方时设AOB x∠=∴90AOC x∠=-∴1452 AOM x ∠=-∴3452 BOM x∠=-∴1809090DOC x x ∠=-+=+，∴ON平分BOD∠，∴119022 DON BOD x ∠=∠=-∴32 CON x ∠=∴45CON BOM∠-∠=【点睛】本题考查角的相关计算，难度适中，涉及角平分线的定义和邻补角相加等于180°的知识点；同时，里面的小题从易到难，体现了分类讨论的数学思想．20．38°【分析】如下图，设∠MCD=x°，∠MAD=y°，利用△MAE和△MFC内角和得到关于x、y和∠M 的方程，可求解出∠M．【详解】如下图，设∠MCD=x°，∠MAD=y°∵AM、CM平分∴BAD和∴BCD∴∠BAF=y°，∠MCF=x°∴∴B=34°，∠D=42°∴在△ABF中，∠BFA=180°－34°－y°=146°－y°在△CED中，∠CED=180°－42°－x°=138°－x°∴∠CFM=∴AFB=146°－y°，∠AEM=∴CED=138°－x°∴在△AME中，y°+∴M+138°－x°=180°在△FMC中，x°+146°－y°+∴M=180°约掉x、y得，∠M=38°故答案为：38°【点睛】本题考查角度的推导，解题关键是采取方程思想，利用三角形内角和为180°得出关于x、y 和∠M的方程．。
华师版八年级数学下册优秀作业课件 第17章 函数及其图象 专题课堂(六) 一次函数与反比例函数综合
3．(2021·济南)反比例函数 y＝kx (k≠0)图象的两个分支分别位于第一、三象限， 则一次函数 y＝kx－k 的图象大致是( D )
数学 八年级下册 华师版
第十七章 函数及其图像
专题课堂(六) 一次函数与反比例函数综合
1．(2021·淮安)如图，正比例函数 y＝k1x 和反比例函数 y＝kx2 的图象相交于 A，B 两点，若点 A 的坐标是(3，2)，则点 B 的坐标是__(－__3_，__－__2_)____．
2．(2021·益阳)如图，已知点A是一次函数y＝2x－4的图象与x轴的交点， 将点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上． (1)求点A的坐标； (2)求该反比例函数的表达式．
9．(2021·乐山)通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间 的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状 态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示，当0≤x ＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)当 x 为何值时，y1＞0? (3)当 x 为何值时，y1＜y2？请直接写出 x 的取值范围．
解：(1)一次函数的表达式为 y1＝x＋2.反比例函数的表达式为 y2＝8x (2)由 y1＞0，得 x＋2＞0，解得 x＞－2，∴当 x＞－2 时，y1＞0 (3)x＜－4 或 0＜x＜2
∴k＝xy＝12 (2)∵l⊥y 轴，∴OB＝OA＝ OM2＋AM2 ＝5，∴B(5，0). 设直线 AB 的表达式为 y＝kx＋b，把 A(4，3)，B(5，0)代入， 可得 k＝－3，b＝15，∴直线 AB 的表达式为 y＝－3x＋15
专题03 线段与角的画法(考点串讲)-六年级数学下学期期末考点大串讲(沪教版)
解：(1)当OB平分∠COD时，有∠BOC＝∠BOD＝45°，于是∠AOC＝90°
－45°＝45°，所以∠AOD＋∠BOC＝∠AOC＋∠COD＋∠BOC＝45°＋90°
＋45°＝180°；
(2)当OB不平分∠COD时，有∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝90°，∠COD＝
六年级沪教版数学下册期末考点大串讲
串讲03 线段与角的画法
目
录
Байду номын сангаас
01
考点透视
四大常考点：知识梳理+考点分类训练
02
题型剖析
二类重难点题型典例剖析
03
易错易混
4大易错易混分分析
04
押题预测
4道期末真题对应考点练
考点透视
线段与角的画法
考点 1 直线、射线、线段的性质
1．如图，某同学的家在 A 处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店 B，
2
2
1
1
FD＝ CD＝ ×2＝1(cm)．所以EF＝AD－AE－FD＝6－1－1＝4(cm)．
2
2
2
4．如图，已知 P 是线段 AB 上一点，AP＝ AB，C、D 两点从 A、P 同时出
3
发，分别以每秒 2 cm，每秒 1 cm 的速度沿 AB 方向运动，当点 D 到达终点
B 时，点 C 也停止运动，设 AB＝a(cm)，点 C、D 的运动时间为 t(s)．
2
1
1
＝ ∠DOB．∵∠AOB＝160°，∠COD＝40°，∴∠EOC＋∠DOF＝ (∠AOC
2
2
1
＋∠DOB)＝ (∠AOB－∠COD)＝60°.∴∠EOF＝∠EOC＋∠DOF＋∠
四年级数学线和角教案
教案一：线和角的认识与性质一、教学目标：1.理解线段的概念，会用公式计算线段的长度。
2.了解角的基本概念，能够分辨角的大小。
3.学会使用量角器和直尺测量和作图。
二、教学重点：1.线段的长度计算。
2.角的测量和作图。
三、教学难点：1.如何使用量角器和直尺测量和作图。
2.如何理解并应用线段和角的性质。
四、教学准备：1.量角器、直尺、直角尺。
2.相关练习册和课本。
五、教学过程：Step 1 引入新知识1.让学生回顾一下线段的定义和长度的计算方法。
并通过实例引导学生计算线段的长度。
Step 2 角的概念和分类1.准备一些线段，指导学生如何作出角。
并引导学生回忆角的概念。
2.让学生分辨不同类型的角，并分类讨论。
3.给学生展示一些图形，鼓励他们用手势或用语言形容各种角的大小。
Step 3 角的测量和作图1.介绍量角器的使用方法，并指导学生如何使用量角器测量角的大小。
2.介绍直尺的使用方法，并指导学生如何用直尺作图。
Step 4 角的性质1.教师通过提示和提问，指导学生总结角的性质。
2.引导学生在找图中的各种角，并根据已学的性质判断其大小和关系。
Step 5 拓展探究1.引导学生思考线段和角在生活中的应用，并让学生发现和总结线段和角在建筑、航海等方面的应用。
2.小组合作，通过讨论和解决问题，巩固所学知识。
六、课堂小结：通过本节课的学习，我们了解了线段的概念，掌握了线段的长度计算方法；学会了角的测量和作图方法，并了解了角的性质。
同时，我们发现了线段和角在实际生活中的应用。
教案二：线和角的应用一、教学目标：1.回顾和巩固线段的计算和角的测量方法。
2.学会应用线段和角的知识解决实际问题。
二、教学重点：1.线段计算和角的测量方法的回顾。
2.线段和角的应用。
三、教学难点：1.如何将线段和角的知识应用到实际问题中。
2.如何运用线段和角的知识解决复杂问题。
四、教学准备：1.实际生活中的例子。
2.相关练习题。
五、教学过程：Step 1 复习知识点1.回顾线段的计算方法，让学生通过实例计算线段的长度。
初中三年数学重点考点梳理(分册整理)帮你理清思路,满分干货!
初中三年数学重点考点梳理(分册整理)帮你理清思路，满分干
货!
（一）线段、角的计算与证明问题
中考简答题一般分为两三部分。
第一部分基本是简单题和中级题，旨在考察基础。
第二部分第二部分往往是开始拉分的难题。
（二）列方程（组）解决应用问题
中考中，方程是初中数学最重要的部分，所以也是中考的必考内容。
从近几年的中考来看，结合时事的考试比较多，所以考生需要有一些真实的生活经历。
（三）阅读理解问题
阅读理解是中考的一个亮点。
阅读理解往往是给一个材料或者介绍一个超类的知识或者给出某个题目的解答，然后给出问题的条件。
（四）多种函数交叉综合问题
初中接触的函数主要有一次函数、二次函数和反比例函数。
这类题目本身并不太难，很少作为压轴题目出现。
一般以中级题目出现，测试学生对函数的掌握程度。
（五）动态几何
从历年中考来看，动态几何经常作为期末题目出现，得分率也是最低的。
动态几何一般分为两类，一类是代数综合，在坐标系中，运动的直线一般是用多个函数求解的。
另一个是几何综合题，在梯形、矩形、三角形中设置动点，测试学生的综合分析能力。
（六）图形位置关系
在中学数学中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形和正方形及其关系。
中考时会包含在函数、坐标系、几何的题中，其中最重要的是三角形的各种问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
34°
(2)在图①中，设∠COE＝α，∠BOD＝β，请探究α与β之间的数量关 系；
(3)在已知条件不变的前提下，当∠COD绕点O逆时针转动到如图②
的位置时，(2)中α与β的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由 ；若不成立，直接写出α与β的数量关系．
解：(2)因为∠COE与∠EOD互余，所以∠DOE＝90°－∠COE＝
【对应训练】 8．如图，点E，O，A在同一条直线上，OC平分∠AOD，且 ∠2∶∠3∶∠4＝1∶2∶4，求∠1的度数．
解：因为OC平分∠AOD，所以∠1＝∠2.因为∠2∶∠3∶∠4＝ 1∶2∶4，所以设∠1＝∠2＝x°，则∠3＝2x°，∠4＝4x°.又因为∠1 ＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，所以x＋x＋2x＋4x＝180，解得x＝22.5，则 ∠1的度数是22.5°
90°－α.因为OE平分∠AOD，所以∠AOD＝2∠DOE＝2(90°－α)．因 为∠AOB＝150°，∠BOD＝β，所以2(90°－α)＋β＝150°，整理得2α
－β＝30° (3)不成立．理由：因为∠COE与∠EOD互余，所以∠DOE
＝90°－∠COE＝90°－α.因为OE平分∠AOD，所以∠AOD＝ 2∠DOE＝2(90°－α)．因为∠AOB＝150°，∠BOD＝β，所以2(90°
【对应训练】
1．平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为m个，最多为n
个，则m＋n的值为( B ) A．12 B．16
C．20 D．以上都不对
点拨：m＝1，n＝1＋2＋3＋4＋5＝15 2．平面上有任意四点，经过其中两点画一条直线，共可画( D)
A．1条 B．6条
C．6条或4条 D．1条或4条或6条
第4章
几何图形初步
专题课堂(六) 线段、角的计算
一、几何计数问题 类型：(1)直线分平面与交点个数的计数； (2)平面内过点作直线条数的计数； (3)线段条数的计数； (4)角的个数的计数．
【例1】请你先画出草图，再回答下列问题： (1)平面内2条直线，可以把平面分成几部分？ (2)平面内3条直线，可以把平面分成几部分？ (3)平面内4条直线，最多可以把平面分成多少部分？ (4)平面内100条直线，最多可以把平面分成多少部分？ 分析：(1)(2)(3)根据题意画图即可；(4)根据(1)(2)(3)的数值得出规律， 再根据规律解题．
9．如图，已知∠AOB 内部有顺次的四条射线 OE，OC，OD，OF，且 OE 平分∠AOC，OF 平分∠DOB. (1)若∠AOB＝160°，∠COD＝40°，求∠EOF 的度数； (2)若∠AOB＝α，∠COD＝β，求∠EOF 的度数．
1 1 解：(1)∠EOF＝ (∠AOB －∠COD) ＋∠COD ＝ (160 °－40 °)＋40 ° 2 2 ＝100° 1 1 1 (2)∠EOF＝ (∠AOB－∠COD)＋∠COD＝ (α－β)＋β＝ (α＋β) 2 2 2
－α)－150°＝β，整理得2α＋β＝30°
1 1 b，所以 AC＋BD＝a－b，所以 MC＋DN＝ (AC＋DB)＝ (a－b)，所以 2 2 1 1 MN＝MC＋DN＋CD＝ (a－b)＋b＝ (a＋b) 2 2
三、角的相关计算
类型：(1)求钟面上的角的度数；
(2)角平分线与方程结合求角的度数； (3)与角平分线相关的规律探究．
【例 3】(1)4 点 15 分，时针与分针的夹角是多少度？ (2)从 12 点整开始，至少再过多少时间，分针与时针再一次重合？ 分析：(1)4 点时，分针与时针的夹角为 120°，15 分钟后，时针转了 15×0.5 °，分针转了 15×6°，根据图形可求出夹角的度数；(2)设至少再过 x 分钟分针 与时针再一次重合，则分针比时针至少多转一圈，可列方程 x· 0.5°＋360°＝x·6 °，然后解方程即可． 解：(1)4 点 15 分，时针与分针的夹角＝120°－15×6°＋15×0.5°＝37.5° (2)设至少要再过 x 分钟，分针与时针再一次重合，根据题意得 0.5x＋360＝6x，解 得 x＝ 720 720 ，所以从 12 点整开始，至少再过 分钟，分针与时针再一次重合 11 11
7．如图，已知点 C，D 为线段 AB 上顺次两点，M，N 分别是 AC， BD 的中点． (1)若 AB＝24，CD＝10，求 MN 的长； (2)若 AB＝a，CD＝b，请用含 a，b 的代数式表示出 MN 的长． 1 解：(1)由 AB＝24，CD＝10 得出 AC＋BD＝14，所以 (AC＋BD) 2 ＝MC＋DN＝7，所以 MN＝MC＋DN＋CD＝17 (2)因为 AB＝a，CD＝
3．如图，AB是一段火车行驶路线图，图中字母所表示的7个点表示7 个车站，在这段路线上往返行车，需印制车票( A．21种 B．42种 C．6种 D．12种 B)
4．如图，∠AOB内有四条射线OC，OD，OE，OF，则图中共有 __ __个角． 15
二、线段的和、差、倍、分的计算
类型：(1)直接根据条件计算，求出线段的长度；
(2)运用方程思想求线段的长度； (3)运用分类讨论思想求线段的长度；
(4)运用整体思想求线段的长度．
【例 2】线段 AB，BC 均在直线 l 上，若 AB＝12 cm，AC＝4 cm，M，N 分 别是 AB，AC 的中点，求 MN 的长． 分析：本题没有给出图形，在画图时应考虑线段 AB，BC 在直线 l 上有两种 可能，再根据题意正确地画出图形帮助解题．
解： (1)如图：
可以把平面分 7 部分 多可以把平面分成 11 部分
(3)如图：
最
(4)设 n 表示直线条数，an 表示最多可以把平
面分成的部分数，可以发现：当 n＝1 时，a1＝1＋1；当 n＝2 时，a2＝a1 ＋2；当 n＝3 时，a3＝a2＋3；当 n＝4 时，a4＝a3＋4……当 n＝100 时，an 100×（100＋1） ＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋100＝1＋ ＝5051，即 100 条直线 2 最多将平面分成 5051 个部分
1 解： 分两种情况讨论： 如图①， 当点 C 在线段 AB 上时， MN＝MA－NA＝ AB 2 1 － AC＝6－2＝4(cm)； 如图②， 当点 C 在线段 AB 的延长线上时， NM＝MA＋NA 2 1 1 ＝ AB＋ AC＝6＋2＝8(cm)．故 AC 的长为 4 cm 或 8 cm 2 2
10．如图①，已知∠AOB＝150°，∠COE与∠EOD互余，OE平分
∠AOD.
(1)在图①中，若∠COE＝32°，则∠DOE＝______ 58° ，∠BOD＝ _______ 34° ；
点拨：因为∠COE与∠EOD互余，所以∠DOE＝90°－∠COE＝
90°－32°＝58°.因为OE平分∠AOD，所以∠AOD＝2∠DOE＝ 2×58°＝116°，所以∠BOD＝∠AOB－∠AOD＝150°－116°＝
【对应训练】 5．长度为12 cm的线段AB的中点为M，C点将线段MB分成MC∶CB ＝1∶2，则线段AC的长度为_________. 8 cm
6．如图，点C，D为线段AB的三等分点，点E为线段AC的中点，若 ED＝9，求线段AB的长度．
解：设CE＝x，则CD＝AC＝BD＝2x，AB＝6x，由题意得x＋2x＝9 ，解得x＝3，所以AB＝3×6＝18