中旋转因子的映象
因子分析的一般原理概述
因子分析的一般原理概述简才永因子分析是处理多变量数据的一种统计方法，它可以揭示多变量之间的关系，其主要目的是从众多的可观测得变量中概括和综合出少数几个因子，用较少的因子变量来最大程度地概括和解释原有的观测信息，从而建立起简洁的概念系统，揭示出事物之间本质的联系。
一、因子分析的种类（一）、R型因子分析与Q型因子分析这是最常用的两种因子分析类型。
R型因子分析，是针对变量所做的因子分析，其基本思想是通过对变量的相关系数矩阵内部结构的研究，找出能够控制所有变量的少数几个随机变量去描述多个随机变量之间的相关关系。
然后再根据相关性的大小把变量分组，使同组内的变量之间的相关性较高，不同组变量之间的相关性较低。
Q型因子分析，是针对样品所做的因子分析。
它的思路与R因子分析相同，只是出发点不同而已。
它在计算中是从样品的相似系数矩阵出发，而R 型因子分析在计算中是从样品的相关系数矩阵出发的。
（二）、探索性因子分析与验证性因子分析探索性因子分析（EFA），主要适用于在没有任何前提预设假定下，研究者用它来对观察变量因子结构的寻找、对因子的内容以及变量的分类。
通过共变关系的分解，进而找出最低限度的主要成分，让你后进一步探讨这些主成分或共同因子与个别变量之间的关系，找出观察变量与其对应因子之间的强度，即所谓的因子负荷值，以说明因子与所属的观察变量的关系，决定因子的内容，为因子取一个合适的名字。
验证性因子分析（CFA），要求研究者对研究对象潜在变量的内容与性质，在测量之初就必须有非常明确的说明，或有具体的理论基础，并已先期决定相对应的观测变量的组成模式，进行因子分析的目的是为了检验这一先前提出的因子结构的适合性。
这种方法也可以应用于理论框架的检验，它在结构方程模型中占据相当重要的地位，有着重要的应用价值，也是近年来心理测量中相当重要的内容。
二、因子分析基本思想、模型与条件（一）、因子与共变结构因子分析的基本假设是那些不可观测的“因子”隐含在许多现实可观察的事物背后，虽然难以直接测量，但是可以从复杂的外在现象中计算、估计或抽取得到。
因子分析中的因子旋转角度选择原则解析(七)
因子分析是一种常用的多变量统计分析方法，通过分析变量之间的相关性，找出共同的因子，并将原始变量降维到更少的因子上。
因子旋转是因子分析中的一个重要步骤，它能够使得因子更符合实际问题的解释需求。
在因子旋转中，选择合适的旋转角度是至关重要的，因为它直接影响了旋转后的因子解释性和解释效果。
一、因子分析中的因子旋转角度选择原则解析在进行因子旋转时，常用的旋转角度有正交旋转和斜交旋转两种。
正交旋转是指保持因子之间的垂直性，如方差最大旋转法（VARIMAX）、最小残差旋转法（QUARTIMAX）等；斜交旋转则是在因子之间允许有一定程度的相关性，如等相关旋转法（PROMAX）、斜交旋转法（OBLIMIN）等。
在选择旋转角度时，需要结合具体的研究目的和实际情况来进行。
首先，需要考虑因子之间的相关性。
如果因子之间存在较强的相关性，那么斜交旋转可能更适合，因为它能够更好地反映实际的因子结构。
而如果因子之间的相关性较弱，或者研究者更希望得到相互独立的因子解释，那么正交旋转可能更为合适。
其次，需要考虑因子的解释性和解释效果。
在因子旋转后，我们希望每个因子能够更清晰地解释一些原始变量，而且每个原始变量最好只属于一个因子。
因此，选择旋转角度时需要考虑到旋转后因子的解释性，使得因子的解释更加直观和合理。
另外，还需要考虑到因子旋转的简单性和稳定性。
正交旋转通常会使得因子之间的相关性较低，因子更加独立，而斜交旋转则可以允许因子之间一定程度的相关性。
在实际应用中，需要根据具体问题来选择旋转角度，使得因子结构更加合理和稳定。
总之，因子分析中的因子旋转角度选择原则需要综合考虑因子之间的相关性、解释性和解释效果、简单性和稳定性等因素。
在选择旋转角度时，需要根据具体的研究目的和实际情况来进行合理的选择，以获得更加准确和可信的因子结构解释。
旋转反演对称操作旋转轴镜面对称中心映轴
4.1.3 对称中心(i)与反演操作( iˆ )
分子中若存在一点, 将每个原子都向这一点 引连线并延长到反方向 等距离处而使分子复原, 这 一 点 就 是 对 称 中 心 i, 这种操作就是反演。分 子中最多可能存在一个 对称中心。
）
n
映轴 S（n 反轴 I n ）
两个或多个对称操
作的结果，等效于某个 对称操作。例如，先作 二重旋转，再对垂直于 该轴的镜面作反映，结 果等于对轴与镜面的交 点作反演。
[1] 引用夏少武、李奇、李炳瑞等老师的部分教学资料，
对称操作：不改变图形中任何两点的距离而 能使图形复原的操作叫做对称操作；
对称元素：对称操作据以进行的几何要素叫 做对称元素；
对称图形: 能被一个以上的对称操作（其中 包括不动操作)复原的图形叫做对称图形。
分子中的对称操作共有四类，与此相 应的对称元素也有四类。它们的符号差别 仅仅是对称操作符号头顶上多一个Λ 形的 抑扬符^，就像算符那样。在不会引起误 解的场合，抑扬符^常常省略。
4.1.4 旋转反映( Sˆn )和象转轴(Sn)
旋转反映或旋转反演都是复合操作，旋转反映 是先绕一条轴线旋转，继而针对垂直于该轴的镜面进 行反映，结果复原；而旋转反演是先绕一条轴线旋转， 继而对轴线上的一点进行反演，结果复原。相应的对 称元素分别称为映轴Sn和反轴In 。旋转反映(或旋转 反演)的两步操作顺序可以反过来。
除旋转外, 下面介绍的反映和反演都 是容易想象却难以实际进行的操作，也称 为第二类对称操作；相应的镜面和对称中 心都是第二类对称元素。包含着第二类对 称操作的复合操作——旋转反映或旋转反 演也是第二类对称操作，相应的对称元素 ——映轴Sn和反轴In也是第二类对称元素。
因子分析中的因子旋转角度选择技巧(九)
因子分析是一种常用的多元统计方法，用于发现变量之间的潜在结构和关联性。
在因子分析中，因子旋转是一个非常重要的步骤，它可以帮助我们更好地解释因子的含义和提高因子分析结果的解释性。
在选择因子旋转角度时，需要考虑到数据的特点和分析的目的，下面将介绍一些因子分析中的因子旋转角度选择技巧。
首先，需要说明的是因子旋转的目的是为了简化因子载荷矩阵，使得每个因子只与少数变量相关联，从而更好地理解和解释因子。
旋转角度的选择会影响到旋转后的因子载荷矩阵，因此选择合适的旋转角度非常重要。
一种常用的因子旋转方法是正交旋转和斜交旋转。
正交旋转是指旋转后的因子之间是相互独立的，常用的方法有方差最大化法和最小残差法；而斜交旋转则允许旋转后的因子之间存在相关性，常用的方法有极大似然旋转和最大似然旋转等。
在因子旋转角度选择时，可以考虑以下几点：一、根据因子分析的目的选择旋转角度在实际应用中，因子分析的目的各不相同，有些研究可能更关注因子的解释性，而有些研究可能更关注因子之间的相关性。
因此，在选择旋转角度时需要根据具体的研究目的来进行选择。
如果更关注因子的解释性，可以选择正交旋转方法，如方差最大化法；如果更关注因子之间的相关性，可以选择斜交旋转方法，如极大似然旋转。
二、考虑数据的特点选择旋转角度在选择旋转角度时，还需要考虑数据的特点，如变量之间的相关性和共线性等。
如果变量之间存在很强的相关性，可以选择正交旋转方法来降低因子之间的相关性；如果变量之间存在较强的共线性，可以选择斜交旋转方法来允许因子之间存在相关性。
三、结合因子分析结果进行角度选择最后，在选择旋转角度时，还需要结合因子分析结果进行选择。
可以通过观察旋转后的因子载荷矩阵，选择能够更好地解释因子的旋转角度。
通过比较不同旋转角度下的因子载荷矩阵，可以选择能够更好地符合实际情况的旋转角度。
总之，因子旋转角度的选择是因子分析中的一个重要环节，选择合适的旋转角度可以帮助我们更好地理解和解释因子。
因子分析中的因子旋转算法比较(Ⅲ)
因子分析是一种常用的统计方法，用于研究多个变量之间的关系。
在因子分析中，因子旋转算法是一个非常重要的环节，它可以通过旋转因子载荷矩阵，使得因子的解释更加直观和可解释。
本文将对因子分析中的因子旋转算法进行比较分析，探讨不同的算法在实际应用中的优劣势，以及如何选择合适的因子旋转算法。
初级因子旋转算法在因子分析中，最简单的因子旋转算法是正交旋转和斜交旋转。
正交旋转是通过使得旋转后的因子之间相互垂直，来简化因子载荷矩阵。
常见的正交旋转方法有方差最大旋转（Varimax）和等距旋转（Quartimax），它们都是通过最大化某种准则来选择旋转角度，使得旋转后的因子载荷矩阵更加简单和解释性强。
而斜交旋转则是通过使得旋转后的因子之间可以有一定的相关性，来更好地解释原始数据的结构。
常见的斜交旋转方法有极小残差旋转（Promin）和斜交旋转（Oblimin）。
高级因子旋转算法除了初级的正交和斜交旋转算法之外，还有一些更加复杂和高级的因子旋转算法。
其中，最为流行的是最大似然旋转（MLE）和最小残差旋转（MINRES）。
这些算法在选择旋转角度时，考虑了更多的统计性质和数学性质，因此能够更好地满足实际数据的特征，提高因子分析的解释性和预测性。
因子旋转算法比较在比较不同的因子旋转算法时，需要考虑的因素有很多。
首先是算法本身的复杂度和计算效率。
一些高级的因子旋转算法可能需要更多的计算资源和时间，对于大规模数据处理可能不太适用。
其次是算法的稳健性和鲁棒性。
一些算法可能对数据的分布和特征更为敏感，而另一些算法则能够更好地适应不同类型的数据。
最后是算法的解释性和可解释性。
因子旋转算法的最终目的是使得因子载荷矩阵更加简单和直观，因此算法的解释性和可解释性是非常重要的。
如何选择合适的因子旋转算法在实际应用中，如何选择合适的因子旋转算法是一个关键问题。
首先需要考虑数据的特点和规模。
对于小规模数据和简单结构的数据，初级的正交和斜交旋转算法可能已经足够。
因子分析中的因子旋转角度选择方法
因子分析是一种常用的数据分析方法，它通过识别数据中的潜在因子结构来帮助研究者理解变量之间的关系。
在进行因子分析时，一个重要的步骤是因子旋转，因为通过旋转可以更清晰地解释因子之间的关系。
因子旋转角度选择方法在因子分析中具有重要意义，本文将讨论几种常用的因子旋转角度选择方法。
首先，我们来介绍因子旋转的基本概念。
因子旋转是指在因子分析的基础上，对因子载荷矩阵进行旋转变换，将因子载荷矩阵中的因子载荷分散到不同的因子上，以便更好地解释因子结构。
常见的因子旋转方法包括正交旋转和斜交旋转。
正交旋转是指在旋转后各因子之间仍然保持正交关系，而斜交旋转则没有这个要求。
在因子旋转时，我们需要选择一个旋转角度，下面将介绍几种常用的因子旋转角度选择方法。
一、最大方差法最大方差法是一种常用的因子旋转角度选择方法，它的基本思想是在因子旋转后，希望每个因子能够解释的方差尽可能大，从而更好地解释数据的结构。
在最大方差法中，通常会选择旋转角度使得旋转后的因子载荷矩阵的每一列（每个因子）的方差最大化。
通过最大方差法选择旋转角度，可以使得旋转后的因子结构更加清晰，更有利于解释数据的特点。
二、最小偏差法最小偏差法是另一种常用的因子旋转角度选择方法，它的基本思想是在因子旋转后，希望每个因子与原始因子载荷矩阵的偏差尽可能小，从而更好地保持数据的结构不变。
在最小偏差法中，通常会选择旋转角度使得旋转后的因子载荷矩阵与原始因子载荷矩阵的偏差（残差平方和）最小化。
通过最小偏差法选择旋转角度，可以使得旋转后的因子结构更加贴近原始数据的结构。
三、极大似然法极大似然法是一种基于统计学原理的因子旋转角度选择方法，它的基本思想是在因子旋转后，希望旋转后的因子载荷矩阵能够最大程度地符合观测数据的分布特点。
在极大似然法中，通常会通过估计因子载荷矩阵在给定模型下的似然函数，然后选择使得似然函数最大化的旋转角度。
通过极大似然法选择旋转角度，可以使得旋转后的因子结构更加符合数据的实际分布特点。
因子分析中的因子旋转角度选择方法(Ⅲ)
因子分析（Factor Analysis）是一种常用的数据降维和变量提取方法，它可以帮助研究者发现观察变量之间的内在结构和关联关系。
在因子分析中，因子旋转是一个十分重要的步骤，它可以帮助我们更好地理解因子结构和解释因子载荷。
在进行因子旋转时，选择合适的旋转角度方法至关重要。
本文将介绍因子分析中的因子旋转角度选择方法，以及不同旋转角度方法的优缺点。
一、直接旋转法直接旋转法是因子分析中最简单的一种旋转方法，它将因子载荷矩阵直接旋转至目标方向，旋转后的因子载荷矩阵将成为旋转后的因子模式。
直接旋转法包括正交旋转和斜交旋转两种形式。
在进行直接旋转时，研究者需要根据实际情况选择旋转角度，常用的旋转角度包括45度、90度和135度。
直接旋转法的优点是操作简单，易于理解和解释；但其缺点是可能导致因子载荷矩阵的复杂性增加，不利于解释因子结构。
二、变换旋转法变换旋转法是一种较为灵活的因子旋转方法，它可以通过对因子载荷矩阵进行线性变换，从而得到旋转后的因子载荷矩阵。
变换旋转法包括变换矩阵法和最大方差法两种形式。
在进行变换旋转时，研究者需要选择适当的变换矩阵或最大方差方向，以实现因子载荷矩阵的旋转。
变换旋转法的优点是可以根据实际情况选择最优的旋转角度，有利于提取具有实际意义的因子结构；但其缺点是需要研究者具有较强的数学基础和专业知识。
三、极大似然旋转法极大似然旋转法是一种基于极大似然估计原理的因子旋转方法，它可以通过最大化似然函数，从而得到最优的因子旋转角度。
极大似然旋转法在因子分析中应用较为广泛，它可以有效地提取简单且具有实际意义的因子结构。
在进行极大似然旋转时，研究者需要根据样本数据的特点选择适当的最大似然估计方法，以实现因子载荷矩阵的最优旋转。
极大似然旋转法的优点是能够得到具有统计显著性的因子结构，有利于进行因子解释和理论检验；但其缺点是需要满足一定的假设条件，不适用于所有实际情况。
四、综合选择旋转方法在实际研究中，由于数据的复杂性和多样性，常常需要综合选择不同的因子旋转方法。
因子分析中的因子旋转角度选择方法(六)
因子分析中的因子旋转角度选择方法因子分析是一种常用的统计方法，用于揭示数据背后的潜在结构和关联关系。
在因子分析中，因子旋转是一个重要的步骤，它可以帮助研究者更好地理解数据中的因子结构。
在选择因子旋转角度时，不同的方法会产生不同的结果，因此选择合适的旋转角度方法至关重要。
本文将介绍因子分析中的因子旋转角度选择方法，并探讨它们的优缺点。
旋转角度的选择方法在因子分析中，常见的因子旋转角度选择方法包括正交旋转和斜交旋转。
正交旋转是指旋转后的因子之间保持正交，常见的正交旋转方法包括方差最大旋转和最小倾斜旋转。
而斜交旋转则是指允许旋转后的因子之间出现相关性，常见的斜交旋转方法包括极大似然旋转和最小残差旋转。
正交旋转方法方差最大旋转是一种常用的正交旋转方法，它的基本思想是使得旋转后的因子的方差尽可能大。
方差最大旋转可以帮助研究者更清晰地理解因子之间的关系，但其缺点是可能会导致因子不够简洁和解释性不强。
最小倾斜旋转是另一种常用的正交旋转方法，它的基本思想是使得旋转后的因子的相关系数尽可能小。
最小倾斜旋转可以帮助研究者更清晰地理解因子之间的独立性，但其缺点是可能会导致因子之间的关系不够清晰。
斜交旋转方法极大似然旋转是一种常用的斜交旋转方法，它的基本思想是在保持因子之间正交的同时，尽可能最大化似然函数。
极大似然旋转可以帮助研究者更好地拟合实际数据，但其缺点是可能会导致因子之间的关系不够清晰。
最小残差旋转是另一种常用的斜交旋转方法，它的基本思想是在保持因子之间正交的同时，尽可能最小化残差。
最小残差旋转可以帮助研究者更好地拟合实际数据，但其缺点是可能会导致因子之间的关系不够清晰。
因子旋转角度选择方法的比较在选择因子旋转角度方法时，研究者应该根据实际情况和研究目的来选择合适的方法。
如果研究者更关心因子之间的独立性和清晰性，那么可以选择正交旋转方法；如果研究者更关心因子的拟合度和解释性，那么可以选择斜交旋转方法。
在实际应用中，研究者还可以结合不同的旋转方法，进行综合分析和比较，以选择最合适的旋转角度方法。
因子分析中的因子旋转角度选择方法(四)
因子分析是一种常用的统计分析方法，用于研究变量之间的相关性和结构。
在因子分析中，因子旋转是一个非常重要的步骤，它可以使得因子载荷矩阵更具解释性和可解释性。
因此，选择合适的因子旋转角度方法对于因子分析结果的解释至关重要。
首先，我们需要了解因子旋转的基本概念。
在因子分析中，旋转是指将因子载荷矩阵进行旋转变换，以便更清晰地解释各个因子的含义。
常见的因子旋转方法包括方差最大旋转、最小残差旋转、极大似然旋转等。
这些方法各有特点，需要根据具体情况选择合适的方法。
其次，我们需要考虑选择因子旋转角度的方法。
在因子分析中，通常会根据Kaiser准则和平行分析等方法来确定最终保留的因子数。
对于每个因子，我们可以选择不同的角度来进行旋转，以期获得更好的解释性。
常见的因子旋转角度选择方法包括正交旋转和斜交旋转。
正交旋转是一种常用的因子旋转角度选择方法，它可以将旋转后的因子之间保持正交关系，即相互独立。
在正交旋转方法中，常用的有变换矩阵法、最大方差法等。
这些方法可以使得旋转后的因子更具有清晰的解释性，有助于解释因子之间的关系。
斜交旋转是另一种常见的因子旋转角度选择方法，它可以使得旋转后的因子之间可以有一定的相关性。
在斜交旋转方法中，常用的有奇异值分解法、极大似然法等。
这些方法可以使得旋转后的因子更具有解释性，有助于解释因子之间的相关性和结构。
除了正交旋转和斜交旋转之外，还有一些特殊的因子旋转角度选择方法，如斜交旋转与正交旋转的混合方法、联合最大似然与正交旋转等。
这些方法可以根据具体情况来选择，以期获得更好的因子分析结果。
在选择因子旋转角度的方法时，需要考虑多个因素。
首先，需要考虑因子之间的相关性和结构，以确定是否需要使用斜交旋转方法。
其次，需要考虑因子载荷矩阵的解释性和可解释性，以确定是否需要使用正交旋转方法。
最后，需要考虑因子旋转的稳定性和可靠性，以确定所选择的因子旋转角度方法是否适用于具体的数据。
综上所述，因子分析中的因子旋转角度选择方法是一个非常重要的问题。
因子分析中的因子旋转角度选择技巧(六)
因子分析是一种常用的统计方法，用于探索观测变量之间的潜在结构。
在因子分析中，我们通常会面临一个重要的问题，就是因子旋转的选择。
因子旋转是一种对因子载荷矩阵进行线性变换的方法，旨在使得每个因子的载荷更加清晰和易于解释。
本文将探讨因子分析中的因子旋转角度选择技巧，希望能够给读者提供一些有用的指导。
首先，我们需要明确因子旋转的主要目的。
因子旋转的主要目的是简化因子载荷矩阵，使得因子之间的关系更加清晰和易于解释。
在因子分析中，通常会得到多个旋转后的因子载荷矩阵，我们需要选择一个最合适的旋转角度，以便得到最符合实际情况的结果。
在选择因子旋转角度时，我们可以考虑以下几个技巧。
首先，我们可以通过观察旋转后的因子载荷矩阵，来寻找最合适的旋转角度。
通常情况下，我们希望旋转后的因子载荷矩阵能够表现出清晰的因子结构，即每个因子上的变量之间存在较高的载荷，而其他因子上的载荷较低。
因此，我们可以通过观察因子载荷矩阵的结构，来判断哪个旋转角度更符合我们的期望。
其次，我们可以借助一些常用的指标来评估不同旋转角度的效果。
例如，我们可以计算旋转后的因子载荷矩阵的简洁度指标，比如简单结构、最大可区分性等指标，以评估不同旋转角度下的因子结构清晰度。
通过比较不同旋转角度下的简洁度指标，我们可以选择一个最合适的旋转角度。
此外，我们还可以考虑使用一些专门的因子旋转方法，比如方差最大化旋转、最小倾斜旋转等。
这些方法可以帮助我们更加准确地选择旋转角度，以获得更清晰和稳定的因子结构。
在选择因子旋转角度时，我们可以根据具体情况选择合适的旋转方法，以确保获得最优的结果。
总之，因子分析中的因子旋转角度选择技巧是一个复杂而重要的问题。
在选择旋转角度时，我们可以通过观察因子载荷矩阵、使用简洁度指标、借助专门的旋转方法等多种途径来进行评估和选择。
希望这些技巧能够帮助读者更好地选择合适的因子旋转角度，从而获得更加准确和清晰的因子结构。
因子旋转方法及其应用技巧(Ⅲ)
因子旋转方法及其应用技巧因子旋转是因子分析中的一个重要步骤，它可以帮助研究者更好地理解因素结构。
在本文中，我们将探讨因子旋转的方法以及一些应用技巧。
一、因子旋转方法1. 正交旋转正交旋转是最常见的一种因子旋转方法，它通过旋转因子载荷矩阵，使得旋转后的因子之间保持正交。
常见的正交旋转方法包括Varimax、Quartimax等。
Varimax旋转旨在最大化因子载荷矩阵的方差，使得每个因子上的载荷值尽可能接近0或1，从而更容易解释因子。
Quartimax旋转则旨在最大化每个变量在因子上的载荷值的平方和，使得每个因子上只有少数变量有显著的载荷，从而更容易解释变量。
2. 斜交旋转与正交旋转不同，斜交旋转允许旋转后的因子之间存在相关性。
这样可以更好地适应真实的数据结构，因为在实际情况下，因子之间往往是存在一定相关性的。
常见的斜交旋转方法包括Promax、Oblimin等。
Promax旋转是一种基于最大斜交法则的斜交旋转方法，它试图最大化因子之间的相关性。
Oblimin旋转则是一种基于最小残差法则的斜交旋转方法，它试图最小化旋转后残差的平方和。
二、因子旋转的应用技巧1. 确定旋转方法在进行因子旋转之前，需要根据实际情况来选择旋转方法。
如果研究者假设因子之间不存在相关性，可以选择正交旋转方法；如果研究者认为因子之间可能存在相关性，可以选择斜交旋转方法。
在选择旋转方法时，还需要考虑旋转后因子载荷矩阵的解释性和可解释性。
2. 考虑旋转次数在进行因子旋转时，通常需要进行多次旋转才能找到最优的旋转结果。
因此，研究者需要考虑旋转的次数。
一般来说，可以从较小的旋转次数开始，逐渐增加旋转次数，直到旋转结果基本稳定为止。
3. 结合因子旋转和因子提取因子旋转和因子提取是因子分析中的两个重要步骤，它们通常是相互影响的。
因此，研究者在进行因子旋转时，还需要考虑旋转前的因子提取方法。
一般来说，如果采用的是主成分分析法进行因子提取，可以选择正交旋转方法；如果采用的是最大似然法进行因子提取，可以选择斜交旋转方法。
因子分析中的因子旋转角度解释方法(十)
因子分析（Factor Analysis）是一种常用的数据降维方法，通过发现数据中隐藏的关联因子，帮助研究者理解数据背后的结构和规律。
在进行因子分析时，因子旋转角度的解释方法是一个重要的问题。
一、因子分析简介因子分析是一种多变量统计分析方法，旨在通过发现隐藏在数据中的共性因子来降低数据维度。
它的基本原理是通过统计数据之间的相关性来确定共性因子，从而找出数据中的潜在结构。
在因子分析中，我们通常会得到一些因子载荷矩阵，用来表示原始变量与因子之间的关系。
但是，由于因子载荷矩阵的旋转和解释并不直接，因此需要采取一定的方法来解释因子旋转角度。
二、因子旋转角度的解释方法1. 直观解释法直观解释法是一种直观地解释因子旋转角度的方法。
在这种方法中，研究者会根据因子旋转后的载荷矩阵，观察每个因子载荷的大小和方向，并根据其在原始变量上的解释程度来确定因子的含义。
这种方法优点是直观易懂，但缺点是主观性较大，容易受到研究者个人经验和认知的影响。
2. 方差最大化法方差最大化法是一种根据因子旋转后的载荷矩阵，选择最大方差的因子作为解释因子的方法。
在这种方法中，研究者会计算每个因子对于原始变量的方差贡献率，然后选择贡献率最大的因子作为解释因子。
这种方法的优点是客观性较强，但缺点是可能忽略了其他因子的重要性。
3. 因子负荷阈值法因子负荷阈值法是一种根据因子旋转后的载荷矩阵，设定一个阈值来确定因子的解释方法。
在这种方法中，研究者会设定一个合理的阈值，只有当因子载荷超过这个阈值时才被认为是解释因子。
这种方法的优点是简单易行，但缺点是阈值的选择可能会影响解释结果的客观性。
三、因子旋转角度解释方法的选择在进行因子分析时，选择合适的因子旋转角度解释方法非常重要。
不同的解释方法可能会导致不同的解释结果，因此需要根据具体研究问题和数据特点来选择合适的方法。
在实际应用中，可以结合多种解释方法来综合解释因子旋转角度，以提高解释结果的客观性和准确性。
因子旋转方法及其应用技巧(六)
因子旋转方法及其应用技巧因子旋转方法是因子分析中的重要技术，它可以帮助研究者更好地理解和解释因子分析的结果。
在实际研究中，因子旋转方法的选择和应用技巧对结果的解释和解释的准确性有着重要的影响。
本文将从因子旋转的基本概念和原理入手，介绍因子旋转方法的常见类型和应用技巧，帮助读者更好地掌握因子旋转方法。
一、因子旋转的基本概念和原理因子旋转是指通过线性变换的方法，旋转因子载荷矩阵，使得旋转后的因子载荷矩阵更易于解释。
在因子分析中，通常会得到多个未旋转的因子载荷矩阵，这些因子载荷矩阵往往难以解释和解释。
因此，需要通过因子旋转的方法，将这些因子载荷矩阵旋转成更易于解释和解释的形式。
因子旋转的原理是通过最小化某种准则函数，如最大方差法、最小残差法等，来选择最优的旋转角度，使得旋转后的因子载荷矩阵更具有解释性。
因子旋转方法主要分为正交旋转和斜交旋转两大类，其中正交旋转包括方差最大法和最小残差法，斜交旋转包括极大似然法和最小偏差法等。
二、因子旋转方法的常见类型1. 方差最大法方差最大法是一种正交旋转方法，它的原理是使得旋转后的因子载荷矩阵在每一列上的方差最大化。
这样可以使得因子载荷矩阵的解释性更强，更符合实际情况。
方差最大法是因子旋转方法中最常用的一种，也是最经典的一种。
2. 极大似然法极大似然法是一种斜交旋转方法，它的原理是通过最大化似然函数来选择最优的旋转角度，使得旋转后的因子载荷矩阵更符合实际观测数据的分布。
极大似然法在因子旋转方法中有着重要的地位，它对于实际数据的拟合效果较好。
3. 最小残差法最小残差法是一种正交旋转方法，它的原理是通过最小化残差来选择最优的旋转角度，使得旋转后的因子载荷矩阵与原始因子载荷矩阵的差异最小。
最小残差法对于因子载荷矩阵的差异性进行了量化，能够更好地反映旋转后的因子载荷矩阵与原始因子载荷矩阵的接近程度。
三、因子旋转方法的应用技巧1. 根据研究目的选择合适的因子旋转方法在实际研究中，因子旋转方法的选择应该根据研究目的来确定。
因子分析中的因子旋转角度选择方法(七)
因子分析是一种用于探索变量之间关系的统计方法，它可以帮助研究者发现变量之间的潜在结构。
在因子分析中，因子旋转是一个非常重要的步骤，它可以帮助研究者更好地理解因子结构和解释因子载荷。
在因子旋转过程中，选择合适的旋转角度对于解释因子结构和提高因子解释力有着非常重要的意义。
本文将探讨因子分析中的因子旋转角度选择方法。
在因子分析中，因子旋转的目的是为了让因子载荷矩阵变得更加简单和易于解释。
因子旋转可以让因子载荷矩阵中的元素分布更加集中，这样可以更清晰地发现变量之间的关系。
常见的因子旋转方法包括方差最大旋转、极大似然旋转和斜交旋转等。
在选择因子旋转角度时，通常有几种常用的方法。
一种常用的方法是根据理论知识和实际情况来选择因子旋转角度。
在进行因子旋转时，研究者可以根据自己对研究对象的理解和领域知识来选择合适的旋转角度。
通过对研究对象的特点和实际情况的深入了解，研究者可以更好地判断哪种旋转角度可以更好地解释因子结构和提高因子解释力。
另一种常用的方法是根据因子载荷矩阵的特点来选择因子旋转角度。
在因子分析的结果中，因子载荷矩阵的特点可以为研究者提供一些线索，帮助他们选择合适的旋转角度。
例如，如果因子载荷矩阵呈现出明显的聚集特点，研究者可以选择斜交旋转来使得因子载荷更加分散。
如果因子载荷矩阵呈现出明显的旋转不变性，研究者可以选择方差最大旋转来使得因子载荷更加稳定。
此外，还有一种常用的方法是通过旋转角度的敏感性分析来选择合适的旋转角度。
在进行因子旋转时，研究者可以尝试不同的旋转角度，然后通过敏感性分析来比较不同旋转角度的效果。
通过比较不同旋转角度下的因子载荷矩阵，研究者可以找到最能够解释因子结构和提高因子解释力的旋转角度。
综上所述，因子分析中的因子旋转角度选择方法是一个非常重要的问题。
选择合适的旋转角度可以帮助研究者更好地理解因子结构和提高因子解释力。
在选择因子旋转角度时，研究者可以根据理论知识和实际情况、因子载荷矩阵的特点以及旋转角度的敏感性分析来进行选择。
因子旋转的原理及方法教案
因子旋转的原理及方法教案因子旋转是因子分析中的一种技术，用于解释因子分析的结果，提高因子解释和解释力度。
因子旋转的主要目的是调整和优化因子的位置和方向，使得解释力度更强，因子之间的关系更清晰。
本文将介绍因子旋转的原理和方法。
一、因子旋转的原理因子旋转的原理基于以下两个假设：1. 因子之间是有关联的，旋转可以调整因子之间的相关系数，使之更加有意义。
2. 因子旋转可以使因子的解释力度更高。
基于这两个假设，因子旋转的原理是通过旋转矩阵来调整因子之间的相关系数和解释力度，提高因子的解释力。
二、因子旋转的方法1. 方差最大旋转：方差最大旋转（varimax rotation）是最常用的因子旋转方法之一。
其基本思想是通过调整旋转矩阵，使得每个因子的方差最大化，从而获得更简单和易解释的因子解。
方差最大旋转可以用以下步骤实施：（1）计算原始因子矩阵的协方差矩阵。
（2）对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。
（3）根据特征向量构造旋转矩阵。
（4）将原始因子矩阵和旋转矩阵相乘，得到旋转后的因子矩阵。
（5）重复以上步骤，直到因子的方差最大化。
2. 直角旋转：直角旋转（orthogonal rotation）是一种旋转方法，其基本思想是调整旋转矩阵，使得因子之间相互独立，减少因子之间的共同性，从而提高解释力度。
直角旋转方法包括变换旋转、斜交旋转等。
3. 倾斜旋转：倾斜旋转（oblique rotation）是一种允许因子之间存在相关关系的旋转方法，适用于因子之间存在某种理论上的相关关系的情况。
其基本思想是通过调整旋转矩阵，使得因子之间的相关系数更加合理。
三、因子旋转的步骤因子旋转的步骤包括以下几个方面：1. 数据准备：收集样本数据，计算相关系数矩阵，进行因子分析，并进行因子提取。
2. 因子旋转准备：确定旋转的目标和结构。
选择适当的旋转方法和标准，如方差最大旋转或直角旋转。
选择旋转的最大次数和收敛标准。
3. 进行因子旋转：根据选择的旋转方法，计算旋转矩阵，并应用于因子矩阵。
旋转因子wn运算规则
旋转因子wn运算规则旋转因子wn是一个复数，可以用e^(i*2π/n)表示，其中n为正整数。
旋转因子wn是一个在复平面上的向量，它的长度为1，表示旋转角度为2π/n。
旋转因子wn的运算规则如下：1. 相乘规则：若wn1和wn2分别表示两个旋转因子，则wn1*wn2表示将wn2对应的向量绕原点旋转一个角度为2π/n的角度得到的新的向量。
证明：设wn1 = e^(i*2π/n1)，wn2 = e^(i*2π/n2)，则wn1*wn2= e^(i*2π/n1) * e^(i*2π/n2) = e^(i*2π*(1/n1 + 1/n2)) = e^(i*2π*(n1 + n2)/(n1 * n2))。
由欧拉公式可知，e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)，代入上面的式子得到wn1*wn2= cos(2π*(n1 + n2)/(n1 * n2)) + i*sin(2π*(n1 + n2)/(n1 * n2))。
根据三角函数的性质可知，cos(x) = cos(x + 2π)和sin(x) = sin(x + 2π)，因此cos(2π*(n1 + n2)/(n1 * n2)) = cos(2π*(n1 + n2)/(n1 * n2) + 2πk)和sin(2π*(n1 + n2)/(n1 * n2)) = sin(2π*(n1 + n2)/(n1 * n2) + 2πk)，其中k为任意整数。
可以发现，wn1*wn2旋转的角度为2π((n1 + n2)/(n1 * n2) + k)，因此根据旋转向量的性质，wn1*wn2相当于将向量wn2绕原点旋转一个角度为2π((n1 + n2)/(n1 * n2) + k)。
2. 乘方规则：若wn表示一个旋转因子，则wn^m表示将wn对应的向量绕原点旋转一个角度为2πm/n的角度得到的新的向量。
证明：设wn = e^(i*2π/n)，则wn^m = (e^(i*2π/n))^m = e^(i*2π/n * m) = e^(i*2πm/n)。
空间几何的旋转与镜像
空间几何的旋转与镜像空间几何是研究三维空间内物体和几何关系的学科。
在空间几何中，旋转和镜像是两个常见且重要的概念。
本文将讨论空间几何中的旋转和镜像，并探讨它们在数学和实际应用中的重要性。
一、旋转旋转是指物体绕某个轴或点进行旋转运动。
在空间几何中，旋转可以分为二维旋转和三维旋转。
二维旋转是物体在平面内绕某个点或直线旋转，而三维旋转是物体在三维空间内绕某个轴旋转。
在二维旋转中，我们可以通过旋转矩阵来描述一个点绕某个中心点旋转的过程。
旋转矩阵是一个2×2的矩阵，通过乘以原坐标点的向量，我们可以得到新的坐标点。
例如，对于一个点P(x, y)绕原点旋转角度θ，我们可以通过以下公式来计算旋转后的坐标点P'：P'(x', y') = (x * cosθ - y * sinθ, x * sinθ + y * cosθ)在三维空间中，旋转可以由旋转矩阵或四元数来描述。
旋转矩阵是一个3×3的矩阵，而四元数是一种特殊的复数形式。
它们都可以描述物体绕某个轴旋转的过程，并计算出旋转后的坐标点。
旋转在几何学中有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，旋转可以用于模拟物体的运动和变换。
它可以让物体在三维空间内沿特定轴进行旋转，从而实现模拟真实世界中的物体运动效果。
此外，在空间几何中，旋转还可以用于求解旋转对称的问题，例如刚体的平衡和空间曲线的描述等。
二、镜像镜像是指物体相对于某个平面反射的过程。
在空间几何中，镜像可以分为对称镜像和轴向镜像。
对称镜像是物体相对于某个平面对称，而轴向镜像是物体绕某个轴进行镜像。
对称镜像是空间几何中常见的镜像方式。
例如，在平面几何中，我们可以通过绘制镜像线来找到物体的对称镜像。
在三维空间中，我们可以通过计算物体各点关于镜像平面的对称点来得到物体的对称镜像。
轴向镜像是指物体绕某个轴进行镜像的过程。
例如，平行于坐标轴的轴向镜像是空间几何中常见的一种镜像方式。
因子旋转的原理是什么意思
因子旋转的原理是什么意思因子旋转是统计学中一种常用的数据处理方法，也是一种变换数据结构的技术，常用于因子分析、主成分分析等多元统计方法中。
其基本原理是通过旋转因子矩阵，调整因子的位置和关系，以便更好地解释变量之间的关系。
因子旋转的目的是找到一种最优的因子结构，使得每个因子能够解释尽可能多的变量方差。
在因子分析中，经过因子提取后得到的原始因子矩阵是非旋转的，每个因子代表一个抽象的概念或者构念，且通常是相互相关的。
然而，为了更好地解释数据的结构，需要对因子进行旋转。
因子旋转主要有两个目标：简化解释和增强解释。
简化解释指的是通过因子旋转，减少每个变量对应的因子载荷矩阵中的非零元素，使得每个因子只与少数几个变量相关，从而减小因子的复杂性；增强解释指的是通过旋转因子，使得因子之间的关系更加清晰和有意义，以更好地解释变量之间的关系。
通常，因子旋转有两种类型：正交旋转和斜交旋转。
正交旋转是指旋转后的因子之间仍然保持互不相关的性质，常用的正交旋转方法有方差最大化法、最大似然法和奇异值分解法等；斜交旋转是指旋转后的因子之间可能出现相关性，常用的斜交旋转方法有极大似然估计法和极大似然估计法配奇异值分解法等。
旋转因子的实现通常有两种方式：旋转因子得分和旋转后的因子载荷矩阵。
旋转因子得分是指将旋转后的因子载荷矩阵应用于原始数据，得到每个观察值在旋转后的因子上的得分，以便进一步分析；旋转后的因子载荷矩阵是在旋转后，每个变量对应的因子载荷值的变化情况，通常用于解释因子之间的关系和变量的解释度。
因子旋转的基本思想是通过调整因子矩阵中的元素，使得旋转后的因子更容易解释和理解，且更符合实际情况。
因子旋转的主要步骤包括选择旋转方法、计算旋转因子的载荷矩阵、进行因子旋转、重新计算旋转后的因子载荷矩阵和因子得分。
因子旋转的过程中需要注意一些问题，如旋转的目标、选择旋转方法的依据、选择合适的旋转角度等。
总之，因子旋转是一种统计学中常用的数据处理方法，通过调整因子的位置和关系，以便更好地解释变量之间的关系。
因子旋转方法及其应用技巧(四)
因子旋转方法及其应用技巧一、因子旋转方法的概念和意义因子旋转方法是多元统计分析中常用的一种技术，用于解释因子分析中得到的因子载荷矩阵。
因子分析是一种数据降维技术，用于发现潜在的变量结构。
当因子分析得到的因子载荷矩阵不够清晰和解释性强时，就需要利用因子旋转方法来优化因子结构，使得因子更易解释和理解。
因此，因子旋转方法在心理学、教育学、经济学等领域得到了广泛的应用。
二、因子旋转方法的常见类型常见的因子旋转方法包括方差最大旋转、极大似然旋转、最大斜交旋转等。
方差最大旋转是最常用的一种旋转方法，它使得因子载荷矩阵中的每个因子在旋转后尽可能解释更多的变量方差。
极大似然旋转是一种基于统计假设的旋转方法，它假设观测的数据符合正态分布，然后通过最大似然估计法来旋转因子载荷矩阵。
最大斜交旋转则是一种比较特殊的旋转方法，旋转后因子之间是相互正交的，适用于需要保持因子之间相互独立性的情况。
三、因子旋转方法的应用技巧在应用因子旋转方法时，需要注意的一些技巧和注意事项。
首先是选择合适的旋转方法，不同的数据结构和因子分析模型可能适合不同的旋转方法，需要根据具体情况来选择。
其次是要注意因子数目的确定，因子旋转方法往往需要事先确定旋转前的因子数目，这就需要通过实际情况和领域知识来判断。
再者是要注意旋转后的因子解释，因为因子旋转方法的目的是提高因子的解释性，所以在旋转后需要对因子进行重新解释和命名，使得因子更贴近实际和更易理解。
四、因子旋转方法的实例分析以心理学中的因子分析为例，假设我们对一个人格测验数据进行了因子分析，得到了一个初始的因子载荷矩阵。
然而，初始的因子载荷矩阵可能并不够清晰，因此需要利用因子旋转方法来优化因子结构。
我们可以选择方差最大旋转方法，通过旋转使得因子的解释更加清晰和容易理解。
在选择旋转方法后，需要根据实际情况来确定旋转的因子数目，并进行旋转。
最后，需要重新解释和命名旋转后的因子，以便更好地理解和使用这些因子。
关于图像旋转以及旋转后对应像素的位置
关于图像旋转以及旋转后对应像素的位置⼀、⾸先来说⼀下关于像素旋转⼀定⾓度后的对应位置：（1）旋转中⼼为左上⾓原点：旋转有⼀个绕什么转的问题。
我们先来看最简单的，绕第⼀个像素转，则旋转的情况会像这样：令旋转前有旋转a⾓度后有以矩阵形式表⽰为（2）旋转中⼼为图像中⼼：当图⽚较⼤时，计算会很慢。
主要是判断和计算太多了这⾥只讨论图像处理，程序的优化暂时放⼀边运⾏结果如下：我们能看到，旋转后的图像有很多“蜂窝煤”。
主要是点转换后要取整。
导致原图中有些点映射到同⼀个点，⽽⽣成的图中有些点在原图中没有点映射到它。
所以出现了很多“蜂窝煤”。
果然理论还只是理论啊下⾯我们来看看更通常⼀点的做法：以图像的中⼼为圆⼼进⾏旋转。
这⾥涉及到⼀个坐标系的转换问题。
看下图：在矩阵中我们的坐标系通常是AB和AC⽅向的，⽽传统的笛卡尔直⾓坐标系是DE和DF⽅向的。
令图像表⽰为M×N的矩阵，对于点A⽽⾔，两坐标系中的坐标分别是(0，0)和(-N/2,M/2)矩阵中点(x',y')转换为笛卡尔坐标系(x,y)的转换关系为：逆变换为于是我们得到图像以中⼼旋转的思路将矩阵坐标上点（原谅我这样称呼它）转换为笛卡尔坐标系将该点旋转a度。
旋转公式前⾯已经给出了将旋转后的点再转换为矩阵坐标于是得到最后结果python中numpy有矩阵运算能⼒，但这⾥我们直接进⾏数值计算就可以了。
⽤⽅程表⽰如下：⼆、关于图像旋转：M = cv2.getRotationMatrix2D(crop_center, (a * (-1)), 1.0) #顺时针旋转tar_img = cv2.warpAffine(crop_img, M, (crop_width, crop_height)) #旋转后的图⽚如上，⾸先使⽤getRotationMatrix2D获取旋转矩阵，然后再使⽤warpAffine利⽤这个矩阵进⾏旋转；总结：计算像素旋转的核⼼算法其实就是像平⾯坐标系和笛卡尔坐标系之间的转换，因为直接旋转像平⾯坐标系不太好计算旋转之后的像素的位置，但是基于笛卡尔坐标系下计算像素旋转后的位置却很容易，因此这⾥引⼊了笛卡尔坐标系作为⼀个辅助坐标系，这种思想很重要的！⽐如在摄影测量学中，为了建⽴像平⾯上的点和对应的⼤地坐标下的点的对应关系，引⼊了像空坐标系，像辅坐标系，这样⼀来通过像平⾯坐标系-》像空坐标系-》像辅坐标系-》⼤地坐标系，就建⽴了对应关系。
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并行FFT 中旋转因子的映象黄海 谷同祥 迟学斌(中国科学院计算机网络信息中心超级计算中心 北京100080hhai@)摘 要 由于要不断地满足计算密集型应用、数据密集型应用和网络密集型应用对高速并行计算的广泛需求，因而这有力地推动了当代计算技术的迅速发展，尤其是高性能计算和超级计算。
而将并行FFT 中的旋转因子如何在并行计算机上进行有效地映象，降低计算时间和存储空间的复杂性，从而使运算更加简单和高效，本文将着重讨论这个问题。
关键词 FFT 旋转因子 并行 映象 分治 超立方 完备1引言由于要不断地满足日益增长的计算密集型应用、数据密集型应用和网络密集型应用对高速并行计算的广泛需求，于是产生了和传统的理论科学和实验科学平行的计算科学，它不仅能进行大规模的科学计算，而且将某些实验条件不够的科学实验搬到计算机上进行模拟。
因此，它有力地推动了当代计算技术的迅速发展，尤其是高性能计算和超级计算。
而FFT 在这一领域内扮演着重要的角色。
它已成功地运用在：化学频谱分析、红外光谱转换、医学断层诊断、卫星遥感成像、水雷的非触发引信、雷达、第四代移动通信的主要硬件架构、热传导、数字通信、天气预报、核聚变和核裂变、空间科学、天文学、地质学、编码理论、量子物理和概率论等研究领域。
而并行FFT 也在近年来取得了长足的进展：网格结构的并行FFT 算法、蝶式结构的并行FFT 算法、立方结构和超立方结构的FFT 并行算法相继出现。
但如何将并行FFT 中的旋转因子有效地映象到并行计算机上，既能降低通信开销，又能高度并行化，成为并行计算中的一个较为活跃的领域，因为它的成功研究将为其它研究领域开创了一个崭新的局面。
本文将对旋转因子的映象如何在并行FFT 中高效地运用作一阐述。
2 相关知识傅立叶变换可以追溯到高斯时代，但在1965年Cooley 和Tukey 研究出来的计算离散傅立叶变换（DFT）的快速傅立叶变换（FFT）的这一算法，成为数值代数计算领域的一道分水岭，使计算量由原来的()2n O 降低为()n n O log 。
我们将在本节将这些知识作一个简单的阐述，以期望读者能保持阅读的连续性。
2.1 离散傅立叶变换计算点离散傅立叶变换（DFT），对一给定的输入数组n ()110,,−⋅⋅⋅n x x x ，经过离散傅立叶变换后，得到一组输出(110,,,−)⋅⋅⋅n y y y ，可用如下公式表示：,10,10−≤≤=∑−=n j x y n k k jk j ω其中，ω是1的n 次单位元根，也就是通常我们所说的旋转因子，1,/2−==i e n i πω。
2.2 快速傅立叶变换快速傅立叶变换利用分治法的原理，将进行分解：n n 21n n =，同时也将进行分解，，因而，快速傅立叶变换可用如下式子表达：k j ,221121,k n k k n j j j +=+=[][]2222221111111010221121k j n n k k j n n k k j n k n k x n j j y −−=−−=−∑∑ +=+ωωω，将计算量由原来的()2n O 降低为O 。
这就是著名的Cooley －Tukey 算法。
()n n log2.3 并行傅立叶变换由于要满足日益增长的计算密集型应用、数据密集型应用和网络密集型应用对高速并行计算的广泛需求，加之高性能的超级计算机和网络信道的加宽，串行FFT 计算显得越来越软弱，因此并行FFT 的一些算法相继出现，现作简单介绍。
2.3.1网格结构的并行FFT也就是在（必须是一个完全平方数，n ）个处理器上同时进行傅立叶变换，将个处理器先进行编号，n n k k 22×=1n 10,,,−⋅⋅⋅n p p p ，然后将这个个处理器排成一个n n n ×的二维方阵，排列时按照处理器行主元的方式进行排列。
如有9个处理器，你应该排成如下形式。
0p1p 2p 3p4p 5p 6p 7p8p并行网格结构处理器分布图此种算法假如输入数组()110,,,−⋅⋅⋅n x x x )k p 开始时已经存于各个处理器上，也就是保存，计算完成时，保存k p (1,,1,0−⋅⋅⋅=n k x k ()1,,1,0−⋅⋅⋅=n k y k 。
2.3.2蝶式结构的并行FFT这种算法的蝶式结构类似于串行计算的蝶式结构。
如果一个n 的蝶式网络有个结点，将这些结点分成k2=(12+k k )1+k 行，每行有个结点，现假设n ()h j ,表示第j 行和第列的坐标，k ,k 0,10j n h ≤≤−≤≤而符号()m h j =,exp 表示旋转因子的指数，也就是如果表示成：h h k a j j a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=−121，那么有000⋅11⋅⋅⋅⋅⋅=−a a m j j a ，而)就是旋转因子，也可以理解为保留在处理器(j exp h ,ω()h j p ,中的系数。
3 旋转因子的映象随着对网格计算研究的日趋激烈，并行FFT 的研究越来越看好。
在美国拟建的TeraGrid 中，关于FFT 的两个软件包FFTW 和UHFFT 被放在显要的位置。
如何改进现有的并行FFT 算法和设计一些新的FFT 并行算法，又一度成为数值代数领域里面津津乐道的话题，研发者们首先想到的是改进现有的算法。
本节就对旋转因子如何在并行机或机群上进行映象作一阐述。
它有直接映象和经过置换处理再映象两大类。
对一个大规模或超大规模的傅立叶变换来说，无论是在共享式存储或分布式存储的并行机器上，旋转因子映象得合理，可以大大减少存储空间和降低通信开销，大大提高加速比。
现都假设在4个处理器上并行计算32点傅立叶变换，旋转因子的映象方法。
由于这种映象方式不受并行处理器的拓扑结构的限制，相对来说，上节介绍的几种并行拓扑结构的FFT 都能使用以下这种方法，理论推证和数值实验我将在后续文章中列出。
3.1 直接映象直接映象不经过中间处理器的置换处理（相当于对旋转因子的预计算），由于旋转因子完全受蝶式计算中数据元素的支配，因而，它要求每一个处理器要能识别出属于局部计算的旋转因子，它们对不同的处理器是不同的，直接映象里面又因为旋转因子是连续分块还是循环分块两种方法，它们都是按频率抽取（DIF）的。
3.1.1 旋转因子连续分块映象如果按照旋转因子的自然顺序，这就是我们的连续分块映象，这虽然是较为容易地想到，但他们的映象也得有所讲究，才能使并行最优，旋转因子的映象不能跨越处理器，更进一步地减少通信的开销。
映象步骤如下：1、 将旋转因子，，，，，，，映象给第三个处理器，将，，，，，，， 映象给第四个处理器； 032ω932ω132ω1032ω232ωω332ω1232ω432ωω532ωω632ωω732ω832ω11321332143215322、 将旋转因子，，，，，，，映象给第二和第四个处理器。
032ω232ω432ω632ω832ω1032ω1232ω1432ω3、将旋转因子，，，映象给每一个处理器。
032ω432ω832ω1232ω4、将旋转因子，映象给每一个处理器。
032ω832ω5、 将旋转因子映象给每一个处理器。
1032=ω当然，他们前一步计算的值传递给下一步。
3.1.2 旋转因子循环分块映象如果不按输入数据的自然顺序进行进行映象，也就是采用块循环映象的方式进行映象。
可按照如下步骤进行映象：1、 将旋转因子，，，映象给第一个处理器；将，，，映象给第二个处理器；将，，，映象给第三个处理器；将，，，映象给第四个处理器。
032ω432ω832ω2321232ω632132ω532ωω932ωω1332ω1132ωωω1032ω1432ω3327321532ω2、 将，映象给第一个处理器；将，映象给第二个处理器；将，映象给第三个处理器；将，映象给第四个处理器。
032ω832ω232ω1032ω432ω1232ω632ω1432ω3、 将旋转因子映象给第一个处理器；将旋转因子映象给第二个处理器；将旋转因子映象给第三个处理器；将旋转因子映象给第四个处理器。
032ω432ω832ω1232ω4、 将旋转因子映象给第三个处理器；将映象给第四个处理器。
032ω832ω5、 将旋转因子映象给第二个和第四个处理器。
1032=ω3.2 经过中间置换处理的映象经过中间置换处理的旋转因子的映象，和线性方程组的系数矩阵经过预处理相似。
使算法更加优化，时空复杂性降低，很有推选的必要。
它也按如下步骤进行：1、 将旋转因子，，，映象给第一个处理器；将，，，映象给第二个处理器；将，ω，ω，ω映象给第三个处理器；将，，，映象给第四个处理器。
032ωω132ω232ω332ω432832ω932ω1032ω1232ω1132ω1332ωω5326327321432ω15322、 将旋转因子，，，映象给第一个和第二个处理器；将，，， 映象给第三个和第四个处理器。
032ω232ω432ω632ω832ω1032ω1232ω1432ω3、将旋转因子，，，映象给每一个处理器。
032ω432ω832ω1232ω4、将旋转因子，映象给每一个处理器。
032ω832ω5、将旋转因子映象给每一个处理器。
1032=ω 4 结论当然，这种映象方案是否对所有大规模和超大规模的傅立叶变换是否完备，即使有大量的数值实验，也只能证实，不能证伪。
或许就32点傅立叶变换在4个处理器上进行计算来说，旋转因子还有更好的映象方案。
我也将继续从理论算法和数值实验两个方面去考证和改进。
5 参考文献1. Daniel A. Reed, Francine Berman, The TeraGrid: Cyber infrastructure for 21st CenturyScience and Engineering, NSF 01-51 program Solicitation for Distributed Terascale Facility For the period September 1,2001-september 30,20042. Mateo Frigo, Steven G .Johnson, The Fastest Fourier Transform in the West, MassachusettsInstitute of Technology , September 11,1997, 3. Mateo Frigo, Steven G .Johnson, FFTW User’s Manual for version 2.1.3,7 November1999,4. Mateo Frigo, A Fast Fourier Transform Compiler, MIT Laboratory for Computer Science 545Technology Square NE43-203 Cambridge, MA 02139. 5. J.R.Johnson and R.W.Johnson, Challenges of Computing the Fast Fourier Transform, June18,19976. ALAN EDELMAN, PETER McCORQUODALE, AND SIVEN TOLEDO, THE FUTUREFAST FOURIER TRANSFORM? SIAM PUT .vol.20.no.3.pp.1094-11147. Thomas H.Cormen, David M.Nicol, Performing Out-of-Core FFTs on Parallel Disk Systems,Dartmouth College Department of Computer Science8. Eleanor Chu, Alan George, INSIDE the FFT Black Box, Serial and Parallel Fast FourierTransform Algorithms, CRC Press , 20009. 陈国良.并行计算 －结构.算法.编程。