1-3 圆周运动

1 – 3 圆周运动
物理学教程 （第二版）
轨道是一个圆的质点运动称为圆周运动.
v2
v B 1 A s R

O
极坐标系中

x
A t t t B
角位置 角位移
沿逆时针转动,角位移取正值
角速度
第一章 质点运动学
沿顺时针转动,角位移取负值 d 单位：rad/s lim t 0 t dt
物理学教程 （第二版）
a r v
v ( t t )
v
C
v (t )
d
v (t )
d
A
R A

x
(v ) (v ) n a lim lim t 0 t 0 t t
a an a
v (v ) (v )n
v dv aτ lim t 0 t dt
切向加速度,方向沿轨道切向,反映速度大小变化.
dv d ( R ) aτ R dt dt
第一章 质点运动学
v ( t t )
1 – 3 圆周运动
v (t )
v ( t t )
( v )
v (t )
2 v ( bt ) dv an b （ 2） a t r r dt 2 4 b t 2 2 12 12 a ( a a ) b ( 1 ) （ 3） t n 2 r 2 4 at b t 1 2 tan ( 2 1)
ds d 1 2 ( bt ) bt dt dt 2 2
d
物理学教程 （第二版）
(v )n
B
O
d
R A

x
( v ) ( v )n a lim lim a an t 0 t t 0 t
( v ) n v
AB R
t 0 AB s
v R
( v n ) vs v s v 2 an lim lim lim t 0 t 0 Rt t R t 0 t R
t 3s
vB 2192km h 1
vA
在点 B 的加速度
r a n
B

o
a

at
vB
a 与法向之间夹角
a
2 at
2 an
109m s
为
2
at arctan 12.4 an
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动
物理学教程 （第二版）
3m s t 3m s
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动
物理学教程 （第二版）
at 3m s
s t
2
ds 2 v (3m s )t dt
t 2
2）在上述时间内，质点所经过的路程.
0 ds 0 vdt 0 (3m s
s (1.5m s )t
第一章 质点运动学
1 x2 g y 2 2 v0
( x 0)
o
v0
x

an
a
y
g
1 – 3 圆周运动 (2)子弹在t时刻的速度， 切向加速度和法向加速度。
物理学教程 （第二版）
o
v0
x

vx v0 , v y gt
v v 0 i gtj
an
a
y
2 2 2
g
v v x v y v0 g t
（C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零， 因此法向加速度必为零； （D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；
（E）若物体的加速度 匀变速率运动 .
第一章 质点运动学
a
为恒矢量，它一定作
1 – 3 圆周运动
物理学教程 （第二版）
讨论 例 质点作半径为R的变速圆周运动的加 速度大小为：
dv （ 1） dt
2 2
)tdt
t 1s, s 1.5m
1 2 s a t t 1 .5 m 2
第一章 质点运动学
an e t o a r
at
1 – 3 圆周运动
物理学教程 （第二版）
练习2： 一质点沿半径为R的圆周运动, 在t = 0时经
过P点, 此后它的速率v按v =A+B t (A、B为正 的已知常量)变化。 1）质点沿圆周运动一周再经过P点时的切向
d dt
加速转动 方向一致 减速转动 方向相反
v r
第一章 质点运动学
dv d dr r dt dt dt
变速圆周运动的加速度:
v ( t t )
B
O
v r
1 – 3 圆周运动
A
g
30
v
g 解： ⑴ at g cos60 2

v an
第一章 质点运动学
2
3 g ⑵ an g cos30 2

2 3v v 3g an
2
2
[思考] 轨道最高点处的曲率半径？
1 – 3 圆周运动
物理学教程 （第二版）
例3：一质点从静止出发沿半径 r 3m 的圆周运 动，切向加速度 at 3m/s 2 求： 1） t ? 时，
一般圆周运动
d dt
0

t
0
0 dt
0
t
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动 线量 角量 速度、加速度 角速度、角加速度
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线量与角量关系:
s R d v lim lim R R t 0 t t 0 t dt
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动
v ( t t )
( v )
v (t )
d
( v ) ( v )n a lim lim a an t 0 t t 0 t
物理学教程 （第二版）
(v )τ的数值为:
v(t t ) v(t ) v
物理学教程 （第二版）
r a n
at
o
a
vB
dv at dt
分离变量有
v
vB
A
dv at dt
0
t
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动 已知：v A 1940km h
1
物理学教程 （第二版）
A
AB 3.5km vB v A vB t 2 at 23.3m s d v a d t t vA 0 t 2 vB 2 a 106 m s 在点 B 的法向加速度 n r

a nO
dv aτ dt
an
v
2

为曲线上点的曲率半径.
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动 利用自然坐标, 一切运 动可以根据切向、法向加速 度来分类： an= 0 an= 0 an 0 an 0 at= 0 at 0 at = 0 at 0 匀速直线运动 变速直线运动
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a
an

at
匀速曲线运动 a 与at的夹角 an 变速曲线运动 tan at
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动
物理学教程 （第二版）
讨论
对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种 是正确的： （A）切向加速度必不为零； （B）法向加速度必不为零（拐点处除外）；
at an ;
v
2）在上述时间内，质点所经过的路程.
dv 2 3m s 解： a t dt
t 2
0 dv 0 (3m s
2 2
4 2
)dt
4 2
v (3m s )t
2
an e t o a r
an a t
t 1s
at
an v r (3m s )t
1 – 3 圆周运动 角加速度 匀速圆周运动
d d 2 lim 2 单位：rad/s2 t 0 t dt dt
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是恒量

0
d dt

d dt
0
t
0 t
匀角加速圆周运动
是恒量
2
0 t 0 0 t 1 t 2 2 02 2 ( 0 )
加速度at=
,
2）法向加速度an=
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动 例4 如图一超音速歼击机在高空 A 时的水平速率 为 1940 km/h , 沿近似于圆弧的曲线俯冲到点 B ,其速率 为 2192 km/h , 所经历的时间为 3s , 设圆弧 AB 的半径 约为 3.5km , 且飞机从 A 到 B 的俯冲过程可视为匀变 速率圆周运动 , 若不计重力加速度的影响, 求 (1) 飞机 在点 B 的加速度; (2)飞机由点A 到点B 所经历的路程 . 解（1）因飞机作匀变速率 A vA 运动所以 at 和 为常量 . B
2 d v v （ 3） dt R
第一章 质点运动学
（ 2）
v2 R
dv 2 v 2 2 （ 4） ( ) ( ) dt R
1 – 3 圆周运动
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例1 设有一个质点作半径为 r 的圆周运动. 质点沿圆 周运动所经历的路程与时间的关系为 s = bt2/2, 并设b 为一常量, 求（1）此质点在某一时刻的速率; （2）法向加速度和切向加速度的大小;（3）总加速度. 解：（1） v