古典概型计算原则及错解透视
古典概率题错解辨析
古典概率题错解辨析在古典概型的学习中，大家都能熟记公式，但是在具体解题时，往往解错了也不知道错在哪里。
本节对常见的几种错解类型进行一些辨析。
１ 基本事件的非等可能性所造成的错解在解古典概率题，应用概率公式时，一定要先检查一下其中的基本事件是否等可能性．否则，会造成一些意想不到的错误．例1 掷4枚硬币，试求事件A ＝｛至少出现2个正面｝的概率。
错解 掷4枚硬币，所有可能出现正面的个数为0个，1个，2个，3个，4个共5种结果，故样本空间中的基本事件总数为5．事件A 包含3个基本事件．故其概率为P(A)=30.65=． 错因分析 这个结论是错误的．因为如果我们将4枚硬币从1至4编号，并将它们出现的正面或反面记录在一个4维向量中，则出0个正面的事件包含｛反、反、反、反｝1个基本事件，而出现1个正面的事件包含｛正、反、反、反｝，｛反、正、反、反｝，｛反、反、正、反｝，｛反、反、反、正｝4个基本事件，即出现０个正面和出现１个正面的机会是不均等的，不能利用古典概率计算公式来做．事实上，我们有本题解题中没有注意到这5种结果的非等可能性，从而造成了错解．本题的正解是234444012344444411()16C C C P A C C C C C ++==++++． ２ 事件的基本事件数与基本事件总数不属同一样本空间所造成的错解在同一个古典概率题中，只要保持基本事件的等可能性，样本空间可以有不同的取法，但计算时，基本事件数和基本事件总数一定要在同一个样本空间中考虑，否则就会产生错解．例２ 将大小相同的6个白球、6个黑球从袋中一个接一个地取出5球，试求所取的5个球中恰有4个白球的概率．错解 设事件A ＝｛所取的5球中恰有4个白球｝．由于5个球的取法与先后顺序有关，所以样本空间中共有512P 个基本事件．另外，由于题中关心所取的5个球中有几个白球，而并不关心这几个白球是在哪几次取出的，其与顺序无关，事件Ａ包含了4166C C 个基本事件．于是事件A 的概率为4166512()C C P A P =． 错因分析 这是一个错解．因为512P 是考虑取球顺序的样本空间的基本事件总数，而4166C C 是不考虑取球顺序的样本空间中事件A 包含的基本事件数，它们不属于同一个样本空间，从而导致错解．本题的正确解是4166512()C C P A C =或者415665512()C C P P A P =． ３ 基本事件重复使用所造成的错解例３ ５只球随机地落入４只盒子中，试求４只盒子都不空的概率．错解 设事件Ａ＝｛４只盒子都不空｝．每只球有４种进盒方法，５只球就有54种不同的落入方法．这是基本事件总数．为了计算Ａ包含的基本事件数，现分两步来实现：第一步：从５只球中任取４只球，将它们每盒一球地排入４只盒子中，这样就保证了盒子都不会空．有45P 种方法；第二步：让余下的一只球随机地进入４个盒中的任一盒，有４种方法．由乘法原理知事件Ａ包含454P ⋅个基本事件，故得455415()432P P A ==．错因分析 这个错貌似有理，很能迷惑人．现用①②③④⑤表示５只不同的球，按错解的思路来演示如下：第一步取①②③④这四个球，依次放入４个盒子中；第二步将余下的⑤号球放入第４个盒子．再看另一种落入的方法，第一步取①②③⑤这四个球依次放入４个盒子中；第二步将余下的④号球放入第４个盒子．结果表明，这两种落入的结果是完全一致的，是同一基本事件．如图所示而在错解中被重复计算成两个不同的基本事件，故导致出错．正确的解法为2554!15()464C P A ==．４ 组合中混杂排列所造成的错解⑤④这类错解在初学者中犯得最多，因此特地把它从基本事件重复使用这一类错解中分离出来，另列一类，以引起初学者的重视．例４ 袋中有红、黄、白三种颜色的球各2个，从中任取4个球，试求恰得2个红球和2个其它不同颜色的球的概率．错解 设事件A ＝｛所取的4个球中恰有2个红球和2个其它不同颜色的球｝．样本空间的基本事件总数是46C 。
古典概型中几种常用解题方法(华德银)
古典概型中几种常用解题方法华德银 沭阳如东中学“古典概型”在概率论中有很重要的地位，一方面，因为它比较简单，许多概念既直观又容易理解，另一方面，它又概括了许多实际问题，有很广泛的应用。
近几年在高考中每年都会考察一个填空题. 1、古典概型的定义判断一个试验是否是古典概型，在于该试验是否具有古典概型的两个特征：(1)有限性，所有的基本事件只有有限个，即在一次试验中，可能出现的结果只有有限个. (2)等可能性，每个基本事件的发生都是等可能的． 2、古典概型的计算公式如果一次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是n1．如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为P(A)=nm ． 3、解决古典概型的常用方法根据古典概型的计算公式，求事件A 发生的概率，关键是求出基本事件的总数以及事件A 所含的基本事件个数。
为此，弄清随机试验的全部基本事件是什么以及所讨论的事件A 包含了哪些基本事件是非常重要的。
下面根据实验的步骤数总结古典概型解题方法. （1） 枚举法对于一步实验，或虽多步实验但基本事件总数较少时,我们都可以通过枚举的方法把所有的基本事件全部列举出来,然后在其中找到所求事件A 含有的基本事件,在根据公式求出事件A 的概率.例1 (2012江苏卷,T6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 .分析:本题为一步实验，故可以直接枚举出所有基本事件. 解：这10个数为1，-3,9，-27,81，-52，62，-72，82，-92，故基本事件的总数为10个，“小于8”所含的基本事件的个数为6，故所求事件的概率为53106=。
例2.（2010山东卷Ｔ19）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求2n m <+的概率.分析：本题第(1)问是一步实验直接枚举就可以了,第二(2)虽是两步步实验但基本事件较少故仍然可以通过枚举法来求概率,当然也可以用后面介绍的列表法来处理.解（1）从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有（1，2），（1，3），（1，4），(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个.从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有(1,2)，(1,3)两个.因此所求事件的概率2163P ==. （2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(),m n 有()1,1()1,2()1,3()1,4()2,1()2,2()2,3()2,4()3,1()3,2()3,3()3,4()4,1()4,2()4,3()4,4共16个,又满足2m n +≤的事件的概率为1316P =.故满足2n m <+的事件的概率为1313111616P -=-= (2) 列表法当实验是两步实验,而且每一步的结果较少时也可以用枚举法,但当每一步的实验结果较多时,列表法就比较有优势了例 3 ：同桌两人玩游戏掷骰子游戏，每人掷一次骰子并计算两次点数之和的奇偶性来决定胜负，甲选定奇数，乙选定偶数，这个游戏规则对双方是否公平？分析：本题为两步实验，但每一步有6种选择，故基本事件较多，此时可以利用列表法来列举各个基本事件.解：所有可能的情况如下表：通过表格可以得到“和为偶数”的概率为1836 ＝12 ，“和为奇数”的概率为1836 ＝12 ，因此这个游戏规则对双方是公平的.变题：如果游戏规则该为：和为3的倍数甲胜，和为4的倍数乙胜，哪一个人胜的机会大？为什么？ 答案：和为3的倍数的概率＝13 ，和为4的倍数的概率＝14所以甲获胜的可能性大．例4某市长途客运站每天6：30－7：30开往某县的三辆班车，票价相同，但车的舒适程度不同．小张和小王因事需在这一时段乘车去该县，但不知道三辆车开来的顺序．两人采用不同的乘车方案：小张决定无论如何乘坐开来的第一辆车，而小王则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况．若第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；若第二辆车不如第一辆车，他就上第三辆车．若按这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等，请你思考并回答下列问题： （1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种可能？（2）请列表分析哪种方案乘坐优等车的可能性大？为什么？ 解：（1）三辆车按开来的先后顺序为：优、中、差；优、差、中；中、优、差；中、差、优；差、优、中；差、中、优，共6种可能．（2）根据三辆车开来的先后顺序，小张和小王乘车所有可能的情况如下表：由表格可知：小张乘坐优等车的概率是3，而小王乘坐优等车的概率是2．所以小王的乘车方案乘坐优等车的可能性大．通过列表的方法可以使得两步实验的基本事件能清晰的展示，再求概率就比较容易了． (3) 树形图法当实验是三步实验,甚至是更多步实验时,枚举和列表法就不是太好用了,此时树形图可以让基本事件清晰地展示出来.例5 若同时抛三枚硬币，则出现“一正两反”的概率为 ．分析：本题是三步实验但基本事件较少故仍然可以通过枚举法来求概率．但是怎样保证枚举时不重不漏呢?树形图可以帮助我们做到这一点. 解：本次试验的基本事件可以用树形图表示如下即抛三枚硬币出现的结果有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)共有8个基本事件，其中“一正两反”包含的结果有：(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)共3个基本事件，故所求概率为83. 例6 口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球，试计算第二个人摸到白球的概率.分析:本题是四步实验,可以用树形图来表示所有基本事件.解 用A 表示事件“第二个人摸到白球”．记2个白球编号分别为1,2；2个黑球编号分别为3,4.于是4个人按顺序依次摸球，从袋中摸出一球的所有可能结果用树状图直观地表示出来(如图所示) 从树状图可以看出，试验的所有可能结果数为24.由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，因此这24种结果的出现是等可能的，此试验属于古典概型．在这24种结果中，第二个人摸到白球的结果有12种，因此“第二个人摸到白球”的概率P (A )＝1224＝12.四 、总结以上举的几个例子，总结了古典概型的概率求解方法。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是概率论中最基本的概率模型之一，它涉及到对已知的随机试验的多种可能结果和其对应概率的求解。
在高中数学必修三中，古典概型的解题技巧是学生必须掌握的一部分内容。
下面将介绍几种常见的古典概型解题技巧。
1. 直接计数法直接计数法是指通过对试验结果的数量进行计数，从而求解概率。
该方法一般适用于试验结果较少且容易确定的情况。
有5个小球，其中2个红色，3个蓝色，求从中任意抽取2个小球，抽到两个红色小球的概率。
按照直接计数法，我们可以将这个问题转化为从5个小球中抽取2个小球的问题，同时我们知道其中2个小球是红色的。
我们可以计算红色小球和非红色小球的组合数，然后除以所有小球的组合数来求解概率。
2. 互补事件法互补事件法是指通过求解事件的互补事件概率来求解事件的概率。
互补事件是指与事件A互补的事件，即事件A不发生的事件。
对于互补事件，其概率加上事件的概率必然等于1。
有一个盒子中有3个红球和2个蓝球，从中任意抽取一个球，求抽到一个红球的概率。
按照互补事件法，我们可以将该事件的互补事件定义为抽到一个蓝球的事件。
我们可以先求解抽到一个蓝球的概率，然后用1减去该概率来求解抽到一个红球的概率。
3. 排列组合法排列组合法是指通过排列组合的知识来求解概率。
它适用于试验结果较多且不易直接计数的情况。
有8个字母a，b，c，d，e，f，g，h，从中任意抽取3个字母，求抽取的三个字母都是元音字母的概率。
按照排列组合法，我们可以先计算所有情况的数量，即从8个字母中任意抽取3个字母的组合数，然后计算抽取的三个字母都是元音字母的情况数量，并将其除以所有情况的数量来求解概率。
4. 事件的分解法通过掌握以上几种古典概型解题技巧，可以帮助高中数学学生更好地理解和应用古典概型，在解决实际问题时能够灵活运用这些技巧，提高解题能力。
高三数学解题方法谈：“古典概型”求解三注意
用心 爱心 专心 “古典概型”求解三注意解古典概型问题时，要首先验证它的两个特点：（1）有限性：做一次试验，可能出现的结果为有限个，即只有有限个不同的基本事件．（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是相等的．虽然计算公式()m P A n=比较简单，但是这类问题的解法多样，技巧性强，下面说一下在解题中需要注意的几个问题．一、试验必须具有古典概型的两大特征———有限性和等可能性例1 掷两枚均匀的硬币，求出现一正一反的概率．解：这个试验的基本事件（所有可能结果）共有4种：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），事件A “出现一正一反”的所有可能结果为：（正，反），（反，正），∴21()42P A ==． 评注：均匀硬币在抛掷过程中出现正、反面的概率是相等的，并且试验结果是有限个．二、计算基本事件的数目时，须做到不重不漏例2 从1，2，3，4，5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：（1）A ={三个数字中不含1和5}；（2）B ={三个数字中含1或5}．解：这个试验的所有可能结果为：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种．（1）事件A 为（2，3，4），故1()10P A =． （2）事件B 的所有可能结果为：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共9种．故9()10P B =． 评注：如果计算某事件容易重复或遗漏，可利用其对立事件求解．三、利用事件间的关系例3 有3个完全相同的小球a b c ，，，随机放入甲、乙两个盒子中，求两个盒子都不空的概率．解：a b c ，，三个小球随机放入甲、乙两个盒子的基本事件为： 甲盒 a b c ，， a b ，a a c ，bc ， b c 空 乙盒 空 c b c ， b a c a ， a b ， a b c ，，两个盒子都不空的对立事件是至少有一个盒子为空，所包含事件：甲盒子a b c ，，，乙盒子空；甲盒子空，乙盒子a b c ，，，共两个，故23184P =-=． 评注：在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式12312()()()()n n P A A A A P A P A P A =+++求得，或采用正难则反的原则，转化为求其对立事件，再用公式()1()P A P A =-求得．。
高考数学冲刺古典概型考点全面解析
高考数学冲刺古典概型考点全面解析高考对于每一位学子来说，都是人生中的一次重要挑战。
而数学作为其中的关键学科，更是备受关注。
在数学的众多考点中，古典概型是一个不容忽视的重要部分。
在高考冲刺阶段，对古典概型进行全面且深入的复习，对于提高数学成绩具有重要意义。
一、古典概型的基本概念古典概型是一种概率模型，具有两个重要特征：有限性和等可能性。
有限性指的是试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；等可能性则表示每个基本事件出现的可能性相等。
例如，掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数就是一个古典概型问题。
因为骰子的点数只有 1、2、3、4、5、6 这六种可能，且每种点数出现的可能性相同。
二、古典概型的概率计算公式在古典概型中，事件 A 的概率可以通过以下公式计算：P(A) ＝事件 A 包含的基本事件个数／试验中所有可能的基本事件个数例如，从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出一个球，求取出红球的概率。
这里试验中所有可能的基本事件个数为 5（3 个红球和2 个白球），取出红球的基本事件个数为 3，所以取出红球的概率为3/5。
三、古典概型的常见题型1、摸球问题这是古典概型中常见的一类问题。
例如，一个袋子里装有 5 个红球和 3 个白球，从中随机摸出 2 个球，求摸出一红一白的概率。
解决这类问题时，首先要确定总的基本事件个数，即从 8 个球中选2 个的组合数。
然后计算摸出一红一白的基本事件个数，可以分两步考虑，先选一个红球，再选一个白球，两者相乘即为摸出一红一白的基本事件个数。
2、掷骰子问题掷骰子问题常常会与其他条件相结合。
比如，同时掷两枚质地均匀的骰子，求点数之和大于 8 的概率。
对于这种问题，需要列出所有可能的基本事件，然后找出点数之和大于 8 的基本事件个数，最后计算概率。
3、抽样问题抽样问题可以分为有放回抽样和无放回抽样。
例如，从 10 件产品中抽取 3 件，有放回抽样和无放回抽样时，抽到特定产品的概率是不同的。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧高中数学必修三中的古典概型是概率论中的重要内容之一，也是考试中的常见题型，解题技巧的掌握对于我们正确解题非常重要。
下面将介绍几种解题技巧。
一、排列与组合排列与组合是古典概型中常见的几个基本概念，掌握好它们对于解题非常有帮助。
1. 排列：将若干个不同的元素按照一定的顺序排列成一列，这个过程称为排列。
例如：从字母A、B、C中任取三个字母，按顺序排列，共有3的阶乘种。
2. 组合：从n个不同元素中任取m个，不考虑顺序，这个过程称为组合。
例如：从字母A、B、C中任取两个字母，不考虑顺序，共有3个组合。
二、古典概型的解题步骤古典概型的解题步骤可以分为以下几个步骤：1. 明确问题与假设条件：首先要明确问题的描述和假设条件，理解题意非常重要。
例如：某班有男生10名，女生8名，从中随机选出两名学生，求出两名学生都是男生的概率。
2. 确定事件：根据问题的描述和假设条件，确定所求事件。
例如：确定所求事件为“从10个男生中选出两个男生”，记为A事件。
3. 确定样本空间：确定样本空间，即实验的所有可能结果的集合。
例如：由于是从10个男生中选出两个男生，所以样本空间为所有可能的组合数，记为S={C(10,2)}。
4. 确定事件A发生的可能数：确定事件A发生的可能数，即满足所求事件的有利组合数。
例如：由于是从10个男生中选出两个男生，所以有利组合数为C(10,2)。
5. 求解所求事件的概率：根据概率的定义，求解所求事件的概率。
例如：所求事件的概率为P(A)=有利组合数/样本空间。
1. 从n个人中随机选出m个人的概率。
解题思路：根据排列与组合的知识，所求事件的概率为C(n,m)/C(n,m)。
3. 从一扑克牌中随机取出一张牌，结果是红桃的概率。
解题思路：所求事件的概率为红桃的数量/总的牌的数量。
四、注意事项在解题过程中，要注意以下几个问题：1. 明确问题的假设条件，理解题意非常重要。
2. 注意样本空间的确定，样本空间是实验中所有可能结果的集合。
古典概型知识点总结
例 2 盒中有 6 只灯泡，其中 2 只次品， 4 只正品，有放回地从中任取 2 次，每次只取 1 只，试求下列事件的概率： (1)取到的 2 只都是次品； (2)取到的 2 只中正品、次品各 1 只；(3)取到的 2 只中至少有 1 只正品．
2
同取法．
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高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是高中数学必修三中的一个重要内容，通常包括排列、组合和分组的相关知识。
在解题过程中，我们可以采用一些技巧来辅助理解和解决问题。
1. 计数原则在解决排列和组合问题时，经常会用到计数原则。
计数原则是指如果一个实验有m种可能的结果，第二个实验有n种可能的结果，则这两个实验连在一起共有m*n种可能的结果。
在古典概型中，我们可以利用计数原则来简化复杂的问题，将问题逐步分解为几个简单的实验，然后再将它们的结果相乘得到最终的结果。
2. 排列的解题技巧排列是指从n个不同元素中取出r个元素，按一定的顺序排成一列的不同排列数。
在解决排列问题时，我们可以先确定有多少种选择元素的方式，然后再确定这些选择的元素有多少种排列方式。
对于排成一排的问题，我们可以先确定有多少种不同的元素可以选择，然后再确定这些元素可以排列的方式，最后相乘得到总的排列数。
3. 组合的解题技巧组合是指从n个不同的元素中取出r个元素的不同组合数。
在解决组合问题时，我们可以利用减法原则来简化问题。
减法原则指的是，如果一个实验包含有m种结果，并且有n种结果不合法，那么合法的结果数等于m-n。
在组合问题中，我们可以先确定有多少种选择元素的方式，然后再确定其中有多少种不合法的选择方式，最后用减法原则得到合法的结果数。
4. 分组的解题技巧分组是指将n个不同的元素分成r组的不同分组方式。
在解决分组问题时，我们可以利用排列和组合的知识来辅助理解。
分组问题可以看成是先将n个元素排成一列，然后再在这些元素之间加上r-1个隔板，最后将其中的分组方式看成是在这些元素和隔板中选择r-1个位置，并且将这些位置放上隔板。
这样就可以用组合数来求出分组的方式。
5. 确定权重在古典概型的问题中，有时候我们需要确定每个元素的权重，并且根据权重来求出最终的结果。
确定权重通常可以通过分情况讨论、排列组合的知识和实际问题的特点来得到。
通过确定权重，我们可以简化问题，并且找到最优的解决方式。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧概率论是数学中的一个重要分支，而“古典概型”是其中的基础概念之一。
在高中课程中，学生需要学习古典概型的概念、基本公式及其在实际问题中的应用。
本文将介绍一些古典概型的解题技巧，供学生参考。
一、古典概型的定义和公式古典概型是指试验所有可能的结果都是等可能发生的概率问题。
具体来说，古典概型要求试验的结果具有以下两个特点：1.试验的所有结果都是确定的；2.试验的每个结果发生的可能性相等。
对于一个具有n个等可能结果的试验，其中发生某一事件A的可能性为：P(A)=m/n其中m为事件A包含的有利结果数。
这个公式是古典概型的基础公式。
二、解题技巧1.画出样本空间对于一个古典概型问题，首要任务是确定样本空间。
样本空间是指试验中可能发生的所有结果的集合。
一个简单的技巧是画出样本空间的图形。
例如，在一次抛硬币的试验中，样本空间为{正面，反面}，可以通过画出一张抛硬币的图像来形象地表示出来。
2.确定事件A一旦确定了样本空间，就需要确定事件A。
事件A是指样本空间中发生某种结果的集合。
它通常是通过一些自然语言描述的。
在确定事件A时，需要明确其含义，确定其范围和有价值的信息。
3.计算概率一旦确定了事件A和样本空间，就可以使用古典概型的基础公式计算概率。
需要包括以下步骤：2.计算事件A的有利结果数；例如，在一次掷骰子的试验中，样本空间为{1，2，3，4，5，6}，事件A是小于等于4的结果，有利结果数为4，因此：4.注意问题描述的精确性在解题过程中，需要注意问题描述的精确性。
有些问题并不是古典概型问题，而是其他概率问题，如条件概率、贝叶斯公式等。
因此，在解题时需要仔细阅读问题，理解问题所涉及的概念和知识点。
5.利用公式简化计算根据古典概型的基础公式，可以利用数学计算和逻辑推理来简化计算，例如通过分式的化简和比例的运用等。
同时，需要注意计算中的精度和舍入误差。
6.灵活应用法则古典概型涉及到的概率基本概念和公式被广泛应用于各个领域和实际问题中。
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是概率论中最基本的一种概型，适用于试验的结果只有有限个、且每个结果发生的概率相等的情形。
在高中数学必修三中，我们学习了古典概型的基本概念和计算方法。
本文将介绍几种在解古典概型问题时常用的技巧。
一、加法原理在一些试验中，我们需要统计的实验结果并不是唯一的，而是可以通过不同的方法得到。
此时，可以使用加法原理求解。
加法原理的基本思想是：如果两个事件A、B互不干扰，即A事件的发生与B事件的发生无关，那么A、B两事件至少发生一个的概率等于两事件的概率之和，即P(A或B)=P(A)+P(B)。
例如，有6只红球和4只蓝球，从中任取一球，求取到的是红球或蓝球的概率。
此题实验结果可以是取到红球或蓝球，因此可以使用加法原理求解：P(红球或蓝球)=P(红球)+P(蓝球)=6/10+4/10=1。
需要注意的是，加法原理只适用于互不干扰的事件，如果A事件的发生与B事件的发生相关，则需要使用另外一种原理进行计算。
在一些试验中，我们需要统计若干个事件共同出现的概率。
此时，可以使用乘法原理进行计算。
乘法原理的基本思想是：如果试验中包含m个步骤，每个步骤有n1,n2,...,nm种不同的可能结果，且每个步骤的结果与其他步骤的结果无关，那么所有步骤的结果组合起来的总方案数为n1×n2×...×nm。
例如，从4个人中任选3位代表参加会议，求选出的代表组合中，甲、乙两人都参加的概率。
此题实验结果包括三个步骤：第一步，任选一名代表；第二步，从剩下的人中任选一名代表；第三步，从剩下的人中任选一名代表。
每个步骤的结果都对下一个步骤的结果没有影响，因此可以使用乘法原理求解：P(甲、乙都参加)=选甲的概率×选乙的概率×选第三人的概率=1/4×1/3×2/2=1/6。
三、排列组合在一些试验中，我们需要计算的实验结果具有一定的排列顺序或组合顺序，此时需要使用排列组合知识。
古典概型知识点总结
古典概型知识点总结在概率论中，古典概型是一个基础且重要的概念。
它为我们理解和解决许多概率问题提供了简单而直观的方法。
接下来，让我们一起深入探讨古典概型的相关知识点。
一、古典概型的定义古典概型是指试验中所有可能出现的基本事件是有限的，并且每个基本事件出现的可能性相等的概率模型。
例如，掷一枚均匀的硬币，出现正面和反面就是两个基本事件，且它们出现的可能性相等，这就是一个古典概型的例子。
二、古典概型的概率计算公式如果一个古典概型中，一共有 n 个基本事件，事件 A 包含的基本事件数为 m，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
这个公式是古典概型计算概率的核心，通过确定基本事件总数和事件 A 包含的基本事件数，就可以计算出事件 A 的概率。
三、古典概型的特点1、有限性：试验中所有可能出现的基本事件是有限的。
2、等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。
这两个特点是判断一个概率模型是否为古典概型的关键。
四、计算古典概型概率的步骤1、确定试验的基本事件总数 n 。
2、确定所求事件 A 包含的基本事件数 m 。
3、代入公式 P(A) ＝ m ／ n 计算概率。
例如，一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
基本事件总数 n ＝ 8 （5 个红球＋ 3 个白球），事件“取出红球”包含的基本事件数 m ＝ 5 ，所以取出红球的概率 P ＝5 ／ 8 。
五、古典概型的常见题型1、摸球问题比如，一个袋子里有若干个不同颜色的球，从中摸出特定颜色球的概率。
2、掷骰子问题计算掷出特定点数或特定点数组合的概率。
3、抽奖问题在抽奖活动中，计算中奖的概率。
4、排列组合问题与古典概型的结合通过排列组合的方法确定基本事件总数和事件包含的基本事件数。
六、古典概型的应用1、决策分析在面临不确定性的决策时，可以通过计算不同结果的概率来辅助决策。
2、风险评估评估某些事件发生的可能性和风险程度。
求解古典概型常见错误剖析
求解古典概型常见错误剖析古典概型是概率论的基础之一，常被用于解决问题，但是在求解的过程中常常出现一些错误或者不严谨的地方，下面就对这些常见错误进行剖析和说明。
1.未考虑概率的加法原理在使用古典概型解决问题的时候，有时我们需要计算事件的概率，此时会出现一些容易犯的错误。
最常见的错误就是未考虑概率的加法原理。
概率的加法原理指的是：当两个事件没有交集时，它们同时发生的概率等于这两个事件发生的概率之和。
例如，一张扑克牌从52张扑克牌中任选一张牌，这个事件的概率是1/52。
如果现在想要求在两次抽牌中至少有一次抽到黑桃A的概率，应该用“1-不出黑桃A的概率”计算。
此时，不出黑桃A的概率为51/52，因此，至少有一次抽到黑桃A的概率为1-（51/52）×（51/52）=0.039，而不能简单地将1/52相加，得出0.038。
2.过度依赖对称性在一些有对称性的问题中，过度地依赖于对称性，容易导致错误的结果。
古典概型中常有对称性问题，如“在一张扑克牌中抽取两张牌，求两张牌的花色不同的概率”。
这个问题中，我们可能会觉得花色不同的情况只有两种：黑红、黑梅，因此概率为2/52。
但实际上，这个问题有更多种花色不同的情况，如红黑、红梅、红方、黑方、梅方等等，总共有C(4,2)×C(13,1)×C(13,1)=1326种情况，因此概率为1326/2,652=0.5。
3.未考虑再次选取的影响在一些问题中，一次选取后必须再次选取，其结果会对后续的选取有影响，但是我们常常会忽略这个因素。
例如，在一副52张扑克牌中，抽取4张牌，求其中3张牌是红桃的概率。
我们可能会认为，红桃共有13张，所以3张牌是红桃的概率为C(13,3)/C(52,4)=0.003，但实际上这个结果是不正确的。
因为要求3张牌是红桃，意味着第四张牌不能是红桃，而4张牌中第四张牌出现的概率为39/48。
因此，正确的计算方法是：C(13,3)×C(39,1)/C(52,4)=0.042。
《古典概型》 知识清单
《古典概型》知识清单一、什么是古典概型古典概型是概率论中最基本的概率模型之一。
它具有两个重要特征：1、试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。
2、每个基本事件出现的可能性相等。
例如，掷一枚质地均匀的硬币，结果只有正面和反面两种可能，且出现正面和反面的机会相等；掷一个质地均匀的骰子，出现 1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点的可能性相同，这些都是古典概型的例子。
二、古典概型的概率公式如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，即基本事件总数为 n，而事件 A 包含的基本事件数为 m，那么事件 A 发生的概率为：P(A) ＝ m ／ n例如，在掷骰子的试验中，掷出奇数点的概率是多少？因为掷骰子出现的基本事件有 6 个，而奇数点有 3 个（1 点、3 点、5 点），所以掷出奇数点的概率 P ＝ 3 ／ 6 ＝ 1 ／ 2 。
三、古典概型的计算步骤1、确定试验的基本事件总数 n 。
这需要我们清晰地知道试验可能出现的所有结果。
比如，从装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机取出一个球，基本事件总数就是 8 ，因为总共有 8 个球。
2、确定事件 A 包含的基本事件数 m 。
仍以上面的例子为例，如果事件 A 是取出一个红球，那么 A 包含的基本事件数就是 5 。
3、代入概率公式计算 P(A) 。
即 P(A) ＝ m ／ n ，算出事件 A 发生的概率。
四、古典概型的常见题型1、摸球问题例如，一个袋子里有 3 个红球和 2 个白球，从中随机摸出 2 个球，求摸出的 2 个球都是红球的概率。
首先，计算基本事件总数，从 5 个球中摸出 2 个球的组合数为 C(5, 2) ＝ 10 。
然后，计算事件“摸出的 2 个球都是红球”包含的基本事件数，从 3 个红球中摸出 2 个球的组合数为 C(3, 2) ＝ 3 。
所以，摸出的 2 个球都是红球的概率为 3 ／ 10 。
2、掷骰子问题如，同时掷两个骰子，求点数之和为 7 的概率。
古典概型c公式和a公式古典概型解题步骤关键等可能事件的两个特征条件
一、古典概型解题步骤（1）阅读题目，搜集信息；（2）判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；（3）求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；（4）用公式求出概率并下结论。
二、求古典概型的概率的关键：1.求古典概型的概率的关键是如何确定基本事件总数及事件A包含的基本事件的个数。
2.古典概型c计算方法：c(n,m)=n!/[(nm)!*m!]，这是概率公式中的组合公式，等于从n开始连续递减的m个自然数的积除以从1开始连续递增的m个自然数的积。
三、基本事件的定义：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件。
四、古典概型：如果一个随机试验满足：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件的发生都是等可能的；那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型．古典概型的概率：如果一次试验的等可能事件有n个，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是；如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为。
五、古典概型的特点有限性（所有可能出现的基本事件只有有限个）等可能性（每个基本事件出现的可能性相等）六、基本事件的特点（1）任何两个基本事件是互斥的。
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。
七、古典概型的C与A1.C表示组合方法的数量。
比如C（3,2）表示从3个物体中选出2个,总共的方法是3种,分别是甲乙、甲丙、乙丙.（3个物体是不相同的情况下）2.A表示排列方法的数量。
比如n个不同的物体,要取出m个（m<=n）进行排列,方法就是A（n,m）种，也可以这样想,排列放第一个有n种选择,第二个有n1种选择,第三个有n2种选择,·····,第m个有n+1m种选择,所以总共的排列方法是n （n1）（n2）···（n+1m）,也等于A（n,m）。
古典概型问题的求解技巧
高考数学复习点拨：古典概型问题的求解技巧古典概型问题的求解技巧山东尹征曹贤波解决古典概型问题的关键是分清基本事件总数n与事件A中包含的结果数m，而这往往会遇到计算搭配个数的困难.因此，学习中有必要掌握一定的求解技巧.一、直接列举把事件所有发生的结果逐一列举出来，然后再进行求解.例1 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两个，求下列事件的概率.（1）取出的两球都是白球；（2）取出的两球一个是白球，另一个是红球.分析：首先直接列举出任取两球的基本事件的总数，然后分别列举求出两个事件分别含有的基本事件数，再利用概率公式求解.解：设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取两个的所有可能结果如下：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15个.（1）从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的方法数，即是从4个白球中任取两个的方法数，共有6个，即为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.∴取出的两个球全是白球的概率为：；（2）从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个为白球，其取法包括（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），共８个. ∴取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为：．二、巧用图表由于古典概型问题中基本事件个数有限，故通过图表可以形象，直观地解决这类问题.例2 一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求摸出2个黑球的概率. 分析：运用集合中的Ｖenn图直观分析.解：如图所示，所有结果组成的集合U含有6个元素，故共有6种不同的结果.Ｕ的子集A有3个元素，故摸出2个黑球有3种不同的结果. 因此，摸出2个黑球的概率是：．三、逆向思维对于较复杂的古典概型问题，若直接求解有困难时，可利用逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.例3 同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率. 分析：直接求解，运算较繁，而利用对立事件求概率则很简捷.解：至少有一个5点或6点的对立事件是：没有5点或6点.因为没有5点或6点的结果共有16个，而抛掷两枚骰子的结果共有36个，所以没有5点或6点的概率为：．至少有一个5点或6点的概率为．四、活用对称性例4 有A，B，C，D，E共5人站成一排，A在B的右边（A，B可以不相邻）的概率是多少？解析：由于A，B不相邻，A在B的右边和B在A的右边的总数是相等的，且A在B的右边的排法数与B在A的右边的排法数组成所有基本事件总数，所以A在B的右边的概率是．。
人教版高中数学必修3如何合理的运用古典概型概率的计算公式解题
如何合理的运用古典概型概率的计算公式解题古典概型是高考考查的重点和热点之一，考查的主要内容是事件发生概率的求解，但是正确、合理的运用古典概型概率的计算公解题是关键。
一、对古典概型概率计算公的两点解读1.()nm A P =是求古典概型的概率的基本公式．求P(A)时，要首先判断是否是古典概型．若是，则应按以下步骤计算：(1)算出基本事件的总个数n ;(2)算出事件A 中包含的基本事件的个数m ;(3)算出事件A 的概率，即()n m A P =． 可见在运用公式计算时，关键在于求出n m ,．在求n 时，应注意这n 种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错．例如，先后抛掷两枚均匀的硬币，共出现“正，正”，“正，反”，“反，正”，“反，反”这四种等可能的结果．如果认为只有“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”这三种结果，那么显然这三种结果不是等可能的．在求m 时，可利用列举法或者结合图形采取列举的方法，数出事件A 发生的结果数．2.求古典概型概率的计算公式为()nm A P =．根据这个公式计算概率时，关键在于求出n m ,，因此，首先要正确理解基本事件与事件A 的相互关系．特别要强调指出，一个基本事件是某一次试验出现的结果，千万不可以把几次试验的结果混为一个结果．二、运用古典概型概率的计算公时的易错点和易忽略点导析古典概型的易错点和易忽略点是对题意理解不清，搞错对象，以致于出错.例1 有1号、2号、3号3个信箱和A 、B 、C 、D 4个信封，若4封信可以任意投入信箱，投完为止，其中A 信封恰好投入1号或2号信箱的概率是多少?错解：每封信投人1号信箱的机会均等，而且所有结果数为4，故A 信封投入l 号或2号信箱的概率为214141=+. 错解分析：应该考虑A 信封投入各个信箱的概率，而错解考虑成了四封信投入某一倌箱的概率．正确解法：由于每封信可以任意投入信箱，对于A 信封投入各个信箱的可能性是相等的，一共有3种不同的结果．投入1号信箱或2号信箱有2种结果，所以所求概率为32. 三、利用古典概型的计算公式时应注意两点例2 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。
看清问题实质方能正确的解决问题(剖析古典概率常见错误).
看清问题实质方能正确的解决问题（剖析古典概率常见错误）初学古典概率效果由于没有掌握古典概率的两个重要特征，以及对概念、性质掌握模糊，经常出现下面的错误，下面就详细剖析。
一．分不清有序、无序发生错误例1、从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任选两台，求两种品牌都完全的概率。
错解：从5台中任取2台，一切结果有5×4＝20〔种〕，记事情A 为〝一台为甲型另一台为乙型〞，甲型从3台中取1台，乙型从2台中取1台，故事情A 所包括的基身手情数为3×2＝6，所以.103206)(==A P 剖析：下面的解法由于没能分清有序还是无序，招致出现重复计数，所以出现了重复计算错误，其实，从5台中任取2台，按顺序〔x ，y 〕记载结果，x 有5种能够，y 有4种能够，但〔x ，y 〕和〔y ，x 〕是相反的，所以实验的一切结果应是5×4÷2＝10〔种〕。
正解：从5台中任取2台，一切结果有10245=⨯〔种〕，记事情A 为〝一台为甲型另一台为乙型〞，甲型从3台中取1台，乙型从2台中取1台，故其包括的基身手情有3×2＝6〔种〕，所以.53)(=A P 例2、从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为【 】A 、21 B 、.31 C 、32 D 、1 错解：P 〔甲〕＝.3162= 应选B. 剖析：基身手情总数求错，这是错把选出的两团体看成有序形成的，行将一切的基身手情看作6个，以为〔甲、乙〕与〔乙，甲〕是基身手情中的两种，理想上，〔甲、乙〕之间没有顺序，故这里的一切基身手情为〔甲、乙〕、〔甲，丙〕、〔乙、丙〕，此处不分顺序。
正解：由下面剖析知，基身手情共3个，甲被选中的事情有2个，依等能够性事情的概率的求法知，甲被选中的概率为P 〔甲〕＝32，应选C. 二．放回与不放回例3. 一个盒子里有点数区分为1，2，3，4的4张牌，有放回的延续抽取两次，求〝两张牌点数之和不小于6的概率〞。
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＜反 二
／正
／
反
分 房 问题 ． 班级 学 生过 生 １问 题 便 属 于 这 一 类 型 ； 三类 如 ３ 第
是组数问题 ． 即从 ｍ 个 自然 数 中抽 取 少 数 几 个 数 组 成 符 合 条件 的 多位 数 问 题 。 于 上 述 三 种类 型 的古 典 概 型 ， ｎ与 对 求 ｋ时通 常 的解 法 是 这 样 ： 球 问题 一 般 用 组 合 数 ， 分 房 问 抽 而 题 与组 数 问题 都 是 用 排 列 数 。 然 ． 当 同一 个 问 题 用 组合 数 求 出 的 ｎ及 ｋ与用 排 列 数 计 算 的 结果 一 般 是 不 一 致 的 ．但 它 们 的 比值 必 定 是 相 同 的。 ２ 准确 性 。 、 在求 解 古 典 概 型 问 题 时 ， 当审 明题 意并 明 晰
ＰＡ＝ ／ （）ｋｎ
由于 古 典 概 型 的 计算 公 式 相 对 简 单 ．可 能 会 使 初 学 者 对 于 它 的学 习重 视 不 够 ， 会 不 透 。 之 有 的概 率 统 计 教 材 领 加 对 于 如 何 掌 握 古 典概 型未 能充 分 地 说 明 ．这 些 教 材 仅 仅 在 介 绍 了古 典 概 型 的定 义式 之 后 只是 列 举 了几 个 例 题 一 带 而 过． 致使 目前 的古 典 概 型 的 教 学 效 果不 尽 理 想 。 文 结 合 教 本
相 对 简 单 时 ， 用 公 式 ＰＡ ＝ 一 （） 计 算 ＰＡ ， 件 许 可 常 （）１ ＰＡ来 （） 当条
时 ． 以改 换 用 二项 分 布 或 其 它概 型 进 行 分 析 处 理 ， 可 以使 计 算 简捷 。 等 。 由此 可见 。 教 师 在 讲 授 古 典 概 型 问 题 求 解 等 当 方 法 时 ． 当地 向学 生说 明 多题 一 解 与 一 题 多解 ． 对 于 启 适 这
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古典概 型计算原 则及错解透 视
文 ／游 玲 杰 吴 绍 兵
摘 要 ： 文 根 据 教 学 实践 ， 出 了 求解 古 典 概 型 问题 本 提 的 计 算 原 则 并 针 对 一 道 典 型 的错 解 案 例 作 出 了形 成 性 分
析。
迪 学 生 思维 ． 高 分 析 问题 与 解 决 问 题 的 能 力是 有 益 的。 提
例 １一 枚 硬 币连 掷 ３次 ． 既 出 现 正 面 又 出现 反 面 的 ： 求 概 率 分 析 问题 ． 立 样 本 空 间 建 第１ 次 第 ２次 第 ３次
学实践 ． 浅谈 古 典 概 型 的教 学 体 会 。 以作 为 抛砖 引 玉与 教 学 同行 商 讨
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教 学 中应 当 向学 生 强 调 ： 准 确 地 计 算 ｎ与 ｋ 关 键 在 要 ， 于 如何 根据 问题 的条 件 区 分 两 个 不 同 的 基本 事件 ，只有 这 样 才 能 计 算 出该 随机 试 验 中所 有 不 同 基 本 事 件 总 数 以 及 事
一
／
正
正
、
古 典概 型计算 原 则
为 了正 确 地 求 解 古 典 概 型 问题 ． 遵循 以下 原 则 ： 应 １ 一 致 性 。 于 古 典 概 型 问 题所 建 立 的样 本 空 间 ， 计 、 对 在 算 ｎ与 ｋ时 ． 求 都 用 排 列 数 ， 者 都 用 组 合 数 ， 者 必 须 要 或 二 保 持 一 致 多表 面 上 提 法 不 同 的古 典 概 型 问题 ， 际上 可 许 实 以 大致 归 并 为 三 类 ． 一 类 都 具 有 典 型 的 意 义 ： 一 类 是 抽 每 第 球 问题 ． 产 品质 量 的抽 样 检 查 就 属 于 这 种 类 型 ： 二 类 是 如 第
ＰＡ ＝ （＜ ＜ ）Ｐｘ＝ ）Ｐｘ ２ （）ＰＯ ｘ ３ （ １ （＝ ） ＝ ＋
正 反 ＼
＼ ＼
— —
＼
设 Ａ 表 不 第 ｉ 出现 正 面 ，＝ 、 ３ ｉ 次 ｉ １ ２、
Ａ： 反 面 都 有 正
样 本 空 间 与 有 利 事 件 Ａ 的构 成 之 后 ．针 对 问题 的类 型 ． 要
求 准确 无 误 地 计 算 出 ｎ与 ｋ 具 体 说应 做 到 以下 几 点 ： ． ｆ１ ｎ与 ｋ既 不 重 复 又 不遗 漏 ， １求 ｆ１ ２ 书写 的求 概 率 的 事 件 与 问 题 的要 求 应 完 全 一 致 ，
件 Ａ所 包 含 的 基 本事 件 数 。 ３ 技 巧 性 。 典 概 型 的求 概 公 式 虽 然 简 单 ， 是 怎 样 简 、 古 但 便 地计 算 有 时却 是 富 有 技 巧 性 的 。 如 ： 例 建立 的样 本 空 间 应 当 尽 可 能 地 简 明 直 观 ．当 事 件 Ａ 的构 成 较 为 复 杂 而 事 件Ａ
古 典 概 型 是 概率 统计 初 学 者 最 早 遇 到 的 问 题 ．也 是 最 简 单 的一 类 试 验 模 型 。 它有 两个 特 点 ： 是 基本 事 件 总 数 有 一 限． 二是 各 个 基 本 事 件 出 现 的 可能 性 相 等 。 古 典 概 型 中 如 在 果 事 件 Ａ是 由 全 部 ｎ个 基 本 事 件 中 的 某 ｋ个 基 本 事 件 组 成 的 ， 概 率 ＰＡ可 以 如 下 计 算 ： 则 ｆ１