2015年人教a版高考数学(理)一轮课件：3.2导数的应用(一)单调性、极值问题
新教材人教A版必修第一册 3.2.1 第1课时 函数的单调性 课件(48张)
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7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
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2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数 f(x)＝x 的图象如图 1 所示，从左至右图象是上升的还是下降 的：________. (2)已知函数 y＝f(x)的图象如图 2 所示，则该函数的单调递增区间是 ________，单调递减区间是________．
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答案
金版点睛 定义法证明单调性的步骤
判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格 按照单调性的定义操作．
利用定义法判断函数的单调性的步骤为：
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注意：对单调递增的判断，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，也可以用一个 不等式来替代：
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3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如 y＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单 调递增， y＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如 y＝x2 在定义域(－∞，＋∞) 上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单 调递增(减)．如函数 y＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减， 但是在整个定义域上不具有单调性．
2015届高考数学(理科)一轮总复习课件：2-11 导数在函数研究中的应用(人教A版)
f′(0)＝0，但x＝0不是极值点；又如f(x)＝|x|，x＝0是它的极小值点，但
f′(0)不存在．
菜 单
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抓主干 考 点 解 密
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3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3处取得极值，则a＝(
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(2)证明：当m≤2， x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)， 故只需证明当m＝2时，f(x)>0. 1 当m＝2时，函数f′(x)＝ ex－ 在 (－2，＋∞)上单调递增． x＋2 又f′(－1)<0，f′(0)>0，故f′(x)＝0在 (－2，＋∞)上有唯一实根 x0，且 x0∈ (－1,0)． 当 x∈(－2， x0)时，f′(x)<0，当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0，从而 当 x＝x0时，f(x)取得最小值． 1 由f′(x0)＝0得 ex0＝ ，ln(x0＋2)＝－x0， x0＋ 2 x0＋12 1 故f(x)≥f(x0)＝ ＋x ＝ >0. x0＋ 2 0 x0＋ 2 综上，当m≤2时，f(x)>0.
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解析：(1)f′(x)＝x2－ax＋b，
f0＝1 c＝1 由题意得 ，即 . f′0＝0 b＝0
(2)由 (1)得，f′(x)＝x2－ax＝ x(x－a)(a>0)， 当 x∈(－∞，0)时，f′(x)>0， 当 x∈(0，a)时，f′(x)<0， 当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.所以函数f(x)的单调递增区间为 (－∞， 0)， (a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)． (3)g′(x)＝x2－ax＋2， 依题意，存在x∈(－ 2，－1)，使不等式g′(x)＝ x2－ax＋2<0成立， 2 即 x∈(－2，－1)时，a<x＋ ≤－ 2 2， x 所以满足要求的a的取值范围是(－∞，－2 2)．
2015年高考数学(理)一轮总复习课件：第四章+平面向量与复数 第2节 平面向量的基本定理及坐标运算
变式训练 3 (1)(2013·皖南八校高三第三次联考)已知向
量 a＝(－1,2)，b＝(2,0)、c＝(1，－1)，若向量(λa＋b)∥c，
则实数 λ 为( )
A．－2
B．－1
C．－13
D．－23
(2)若平面向量 a，b 满足|a＋b|＝1，a＋b 平行于 x 轴，
－3)＝－ 3×(－1， 3)，故向量 c 可以是(－1， 3)
【答案】 D
第二十二页，编辑于星期五：十一点 五十七分。
考向 3 平面向量共线的坐标表示
【例 3】 (1)已知向量O→A＝(3，－4)，O→B＝(6，－3)，O→C
＝(m，m＋1)，若A→B∥O→C，则实数 m 的值为( )
A．－32
4．(2013·辽宁高考)已知点 A(1,3)，B(4，－1)，则与向量
A→B同方向的单位向量为( )
A.35，－45
B.45，－35
C.－35，45
D.－45，35
【解析】 A→B＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量 e
＝|AA→→BB|＝15(3，－4)＝35，－45. 【答案】 A
第二十九页，编辑于星期五：十一点 五十七分。
三个结论 1.若 a 与 b 不共线，λa＋μb＝0，则 λ＝μ＝0. 2．已知O→A＝λO→B＋μO→C(λ，μ 为常数)，则 A，B，C 三 点共线的充要条件是 λ＋μ＝1. 3．平面向量的基底中一定不含零向量．
B．－14
1 C.2
3 D.2
(2)(2012·重庆高考改编)设 x，y∈R，向量 a＝(x,1)，b＝
(1，y)，c＝(2，－4)，且 a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝________.
2015届高考人教A版数学总复习配套课件：3.3 导数的综合应用
x＋a x
思维启迪 解析 思维升华
(1)函数 f(x)的定义域为(0，
(a∈R)，g(x)＝1x. (1)求 f(x)的单调区间与极值；
＋∞)， f′(x)＝1－lnx2x＋a. 令 f′(x)＝0，得 x＝e1－a，
(2)若函数 f(x)的图象与函数 当 x∈(0，e1－a)时，f′(x)>0，
g(x)的图象在区间(0，e2]上有 f(x)是增函数； 公共点，求实数 a 的取值范围． 当 x∈(e1 － a ， ＋ ∞) 时 ，
)上为增函数，
＝3a2ln
x＋b，其中 a>0.设两
1
在(e 3 ，＋∞)上为减函数，
曲线 y＝f(x)，y＝g(x)有公共
点，且在该点处的切线相同． (1)用 a 表示 b，并求 b 的最大
于是 h(t)在(0，＋∞)上的最 大值为 h(e13)＝32e23 ，
值； (2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
故函数 F(x)在区间(0，e2－a]
(a∈R)，g(x)＝1x.
上是增函数，
(1)求 f(x)的单调区间与极值； 在区间[e2－a，＋∞)上是减函
数．
(2)若函数 f(x)的图象与函数 ①当 e2－a<e2，即 a>0 时，
g(x)的图象在区间(0，e2]上有 函数 F(x)在区间(0，e2－a]上
数学 R A（理）
§3.3 导数的综合应用
第三章 导数及其应用
第一页，编辑于星期五：九点 五十三分。
基础知识·自主学习 要点梳理
知识回顾 理清教材
1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题 的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系 式 y＝f(x)； (2)求函数的导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和 f′(x)＝0 的点的函数值的 大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答．
2015届高考数学(理)一轮专题复习特训：函数(人教A版)
2015届高考数学（理）一轮专题复习特训：函数一、选择题1、(2014山东理)(3)函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为（ ）A. )21,0(B. ),2(+∞C. ),2()21,0(+∞D. ),2[]21,0(+∞答案：C2、(2014山东理)(8)已知函数()21,().f x x g x kx =-+=若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A.1(0,)2B.1(,1)2 C.(1,2) D.(2,)+∞答案：B3、（2013山东理）3．已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x =+，则(1)f -=(A) 2- (B) 0 (C) 1 (D) 2 答案：3．A4、（2011山东理数5）对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要答案：B5、（2011山东理数10）10．已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为A ．6B ．7C ．8D ．9 答案：B错误！未指定书签。
6．（山东省临沂一中2014届高三9月月考数学（理科）试题）函数1()1f x n x =+的定义域为 （ ）A ．(,4][2,)-∞-+∞B ．(4,0)(0,1)-⋃C ．[4,0)(0,1]-D ．[4,0)(0,1]-⋃【答案】D 7．（山东省日照市第一中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知函数9()4(1)1f x x x x =-+>-+,当x=a 时,()f x 取得最小值,则在直角坐标系中,函数11()()x g x a +=的大致图象为【答案】B9941+511y x x x x =-+=+-++,因为1x >-,所以910,01x x +>>+,所以由均值不等式得91+5511y x x =+-≥=+,当且仅当911x x +=+,即2(1)9x +=,所以13,2x x +==时取等号,所以2a =,所以1111()()()2x x g x a ++==,又1111(),11()()222,1x x x x g x x +++⎧≥-⎪==⎨⎪<-⎩,所以选 B ．8错误！未指定书签。
2015届高考人教A版数学总复习配套课件：3.1 导数的概念及运算
(3)复合函数的求导，要正 确分析函数的复合层次， 通过设中间变量，确定复 合过程，然后求导．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第二十二页，编辑于星期五：九点 五十三分。
题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 求下列函数的导数． (1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (2)y＝sin 2x(1－2cos24x)； (3)y＝ln(x2＋1)．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第十八页，编辑于星期五：九点 五十三分。
题型分类·深度剖析
题型二
导数的运算
【例 2】 求下列函数的导数： (1)y＝ex·ln x；
思维启迪 解析
(3)y＝sin2(2x＋π3)
思维升华
(2)y＝xx2＋x1＋x13； (3)y＝sin22x＋π3；
(4)y＝ln(2x＋5)．
解析 (1)方法一 ∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝3x2＋12x＋11.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第二十三页，编辑于星期五：九点 五十三分。
题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 求下列函数的导数． (1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (2)y＝sin 2x(1－2cos24x)； (3)y＝ln(x2＋1)．
方法二 y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝3x2＋12x＋11.
基础知识
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2015年高考数学总复习(人教A版,理科)配套教案：第三章 导数及其应用 3.1
§3.1 导数的概念及运算1． 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx .2． 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3． 函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′.4． 基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝__0__f (x )＝x α (α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0) f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a >0，且a ≠1) f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝ 1x5． (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 6． (理)复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( × ) (5)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x . ( × ) (6)(理)函数y ＝x 3的导数是y ′＝3x 2.( × )2． (2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.答案 2解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)， ∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1t ＋1，∴f ′(1)＝2.3．(2013·广元模拟)已知曲线y＝x3在点(a，b)处的切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则a的值是() A．－1 B．±1 C．1 D．±3答案 B解析由y＝x3知y′＝3x2，∴切线斜率k＝y′|x＝a＝3a2.又切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，∴3a2·(－13)＝－1，∴即a2＝1，a＝±1，故选B.4．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()答案 D解析由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D. 5．(理)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________．答案1 3解析y′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k＝－2，∴切线方程为y ＝－2x ＋2，该直线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形如图所示， 其中直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点为A (23，23)，所以三角形的面积S ＝12×1×23＝13.题型一 利用定义求函数的导数例1 利用导数的定义求函数f (x )＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线与曲线f (x )＝x 3的交点．思维启迪 掌握导数的定义，理解导数的几何意义是解决本题的关键． 解 f ′(x 0)＝lim x →x 0f (x )－f (x 0)x －x 0＝lim x →x 0x 3－x 30x －x 0＝lim x →x 0 (x 2＋xx 0＋x 20)＝3x 20.曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为y －x 30＝3x 20·(x －x 0)， 即y ＝3x 20x －2x 30，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3，y ＝3x 20x －2x 30，得(x －x 0)2(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0.若x 0≠0，则交点坐标为(x 0，x 30)，(－2x 0，－8x 30)；若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)．思维升华 求函数f (x )的导数步骤： (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)计算平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1；(3)计算导数f ′(x )＝lim Δx →0ΔyΔx.(1)函数y ＝x ＋1x 在[x ，x ＋Δx ]上的平均变化率ΔyΔx＝________；该函数在x ＝1处的导数是________．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )h的值为( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．0答案 (1)1－1x (x ＋Δx ) 0 (2)B解析 (1)∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －x －1x＝Δx ＋1x ＋Δx －1x ＝Δx ＋－Δx x (x ＋Δx ).∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx ).y ′|x ＝1＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝0. (2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h＝2×lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h ＝2f ′(x 0)． 题型二 导数的运算 例2 求下列函数的导数：(1)y ＝e x ·ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)(理)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3； (4)(理)y ＝ln(2x ＋5)．思维启迪 求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导． 解 (1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x (ln x ＋1x)．(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(3)(理)y ＝sin 2(2x ＋π3)＝12－12cos(4x ＋23π) 故设y ＝12－12cos uu ＝4x ＋23π，则y x ′＝y u ′·u x ′＝12sin u ·4＝2sin u ＝2sin(4x ＋23π)．(4)(理)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ， 因此y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. 思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)(理)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．求下列函数的导数． (1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (2)y ＝sin x 2(1－2cos 2x4)；(3)(理)y ＝ln(x 2＋1)．解 (1)方法一 ∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.方法二 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝3x 2＋12x ＋11.(2)∵y ＝sin x 2(－cos x 2)＝－12sin x ，∴y ′＝(－12sin x )′＝－12(sin x )′＝－12cos x .(3)(理)y ′＝ln(x 2＋1)′＝1x 2＋1·(x 2＋1)′＝2xx 2＋1.题型三 导数的几何意义例3 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．思维启迪 由导数的几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点． 解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1， 又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0. 思维升华 导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x－3相切，求实数a 、b 、c 的值． 解 ∵y ′＝2ax ＋b ，∴抛物线在点Q (2，－1)处的切线斜率为 k ＝y ′|x ＝2＝4a ＋b . ∴4a ＋b ＝1.①又∵点P (1,1)、Q (2，－1)在抛物线上，∴a ＋b ＋c ＝1，② 4a ＋2b ＋c ＝－1.③联立①②③解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.∴实数a 、b 、c 的值分别为3、－11、9.一审条件挖隐含典例：(12分)设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直． (1)求a ，b 之间的关系； (2)求ab 的最大值．审题路线图C 1与C 2有交点↓(可设C 1与C 2的交点为(x 0，y 0)) 过交点的两切线互相垂直 ↓(切线垂直隐含着斜率间的关系) 两切线的斜率互为负倒数 ↓(导数的几何意义) 利用导数求两切线的斜率： k 1＝2x 0－2，k 2＝－2x 0＋a ↓(等价转换)(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1① ↓(交点(x 0，y 0)适合解析式)⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，即2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0 ② ↓(注意隐含条件方程①②同解) a ＋b ＝52↓(消元)ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516 当a ＝54时，ab 最大且最大值为2516.规范解答解 (1)对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，[1分] 对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，[2分] 设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两切线互相垂直． ∴(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1， 即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0① 又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0② 由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.[6分](2)由(1)知：b ＝52－a ，∴ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516.[9分] ∴当a ＝54时，(ab )最大值＝2516.[12分]温馨提醒 审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切入点是两条曲线有交点P (x 0，y 0)，交点处的切线互相垂直，通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程.方法与技巧1． f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2． 对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误． 失误与防范1． 利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．(理)复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导．2． 求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3． 曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1． 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( )A ．e 2B ．eC.ln 22D ．ln 2答案 B解析 由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 2． 若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0答案 B解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2.3． 若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0 答案 A解析 切线l 的斜率k ＝4，设y ＝x 4的切点的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝4x 30＝4，∴x 0＝1，∴切点为(1,1)，即y －1＝4(x －1)，整理得l 的方程为4x －y －3＝0.4． 曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为( ) A.112B.16C.13D.12 答案 B解析 求导得y ′＝3x 2，所以y ′＝3x 2|x ＝1＝3，所以曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，结合图象易知所围成的三角形是直角三角形，三个交点的坐标分别是(23，0)，(1,0)，(1,1)， 于是三角形的面积为12×(1－23)×1＝16，故选B. 5． 已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 015(x )等于( ) A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x答案 A 解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 015(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x ，故选A.二、填空题6． 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝________.答案 6解析 对f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)求导，得f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)．令x ＝2，得f ′(2)＝－12.再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝6.7． 已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．答案 x －y －2＝0解析 根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.8． 若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，x ＋1x －a ＝0，∴a ＝x ＋1x≥2. 三、解答题9． 求下列函数的导数．(1)y ＝x n lg x ；(2)y ＝1x ＋2x 2＋1x3； (3)y ＝sin x xn ； (4)(理)y ＝log a sin x (a >0且a ≠1)．解 (1)y ′＝nx n －1lg x ＋x n ·1x ln 10＝x n －1(n lg x ＋1ln 10)．(2)y ′＝(1x )′＋(2x 2)′＋(1x 3)′ ＝(x －1)′＋(2x －2)′＋(x －3)′＝－x －2－4x －3－3x －4＝－1x 2－4x 3－3x 4. (3)y ′＝(sin x x n )′＝x n (sin x )′－(x n )′sin x x 2n＝x n cos x －nx n －1sin x x 2n＝x cos x －n sin x x n ＋1. (4)(理)令y ＝log a u ，u ＝sin x ，y ′＝1u log a e·cos x ＝1tan x ·log a e ＝log a e tan x. 10．已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)1． 在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3答案 A解析 依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y ′<1得3≤x 2<103， 显然满足该不等式的整数x 不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A. 2． 若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的大致图象是 ( )答案 A解析 ∵f (x )＝x 2＋bx ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24＋c ， 由f (x )的图象的顶点在第四象限得－b 2>0，∴b <0. 又f ′(x )＝2x ＋b ，斜率为正，纵截距为负，故选A.3． 已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________．答案 278解析 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ，①所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t )．②将点(1,0)代入②式得，－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解之得，t ＝0或t ＝32. 分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ， 由题意得它们互为相反数得a ＝278. 4． 设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2， 于是⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0， 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.5． 设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限． (1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，② ①代入②得x 21＋(k －92)x 1＋4＝0. ∵P 为切点，∴Δ＝(k －92)2－16＝0得k ＝172或k ＝12. 当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17. 当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1. ∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12. (2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0. 设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，即2x 2＝9，∴x 2＝92，y 2＝－4. ∴Q 点的坐标为(92，－4)．。
人教a版高考数学(理)一轮课件：2.2函数的单调性及值域
3.函数的最值
前提 条件 结论 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 ①存在 x0∈I,使得 f(x0)=M ; ②对于任意 x∈I,都有 f(x)≤M M 为最大值 ①存在 x0∈I,使得 f(x0)=M ; ②对于任意 x∈I,都有 f(x)≥M M 为最小值
1.函数 y=1-
(1)求实数 a 的值,并证明 f(x)的图象关于原点对称; (2)证明函数 f(x)在(0,1)上是减函数.
a 5
【解】(1)因为函数 f(x)=x+ 的图象过点 A 2, 所以 =2+ ,解得 a=1.
5 2 a 2 1 x
a x
5 2
,
于是 f(x)=x+ ,因为函数 f(x)的定义域为{x|x≠0}, 且 f(-x)=-x+ =-f(x), 所以函数 f(x)为奇函数. 从而 f(x)的图象关于原点对称. (2)证明:设 x1,x2 是(0,1)上的任意两个实数,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- =x1-x2+ =(x1-x2)
1 ( x-1
) B.在(-1,+∞)上单调递减 D.在(1,+∞)上单调递减
A.在(-1,+∞)上单调递增 C.在(1,+∞)上单调递增 【答案】C
1 x
【解析】数形结合,y=- 的图象向右平移一个单位,再向上平移一个单位得 y=11 的图象,故在区间(1,+∞)上单调递增. x-1
2.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的只有( A.y=- x C.y=lo������1x
)
B.k<
1 2 1 2
C.k>-
2015高考数学一轮课件：3.2 导数的应用(一)
∴a≥ex 在 x∈(－2,3)上恒成立． 又∵－2<x<3，∴e－2<ex<e3，只需 a≥e3. 当 a＝e3 时，f′(x)＝ex－e3 在 x∈(－2,3)上，f′(x)<0，即 f(x)在(－2,3) 上为减函数，∴a≥e3.
当 极1－值a点2<0，时求，af的′取(x)值＝范0 围有．两个根 x1＝a－ a2－1，x2＝a＋ a2－1.
由题意，知 2<a－ a2－1<3，
①
或 2<a＋ a2－1<3，
②
①无解，②的解为54<a<53，因此 a 的取值范围为(54，53)．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第二十一页，编辑于星期五：十三点 十七分。
极值点，求 a 的取值范围．
点是不是函数的极值点． (2)本题的易错点为不对 1－a2 进
行讨论，致使解答不全面．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第二十二页，编辑于星期五：十三点 十七分。
题型分类·深度剖析
变式训练 2 (2011·安徽)设 f(x)＝1＋exax2，其中 a 为正实数． (1)当 a＝43时，求 f(x)的极值点；
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第四页，编辑于星期五：十三点 十七分。
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
(3)设函数 f(x)在[a，b]上连续，在(a， 2．f′(x)>0 在(a，b)上成立
b)内可导，求 f(x)在[a，b]上的最大值和 是 f(x)在(a，b)上单调递
2015高考数学一轮精品课件：3.2 导数在函数单调性、极值中的应用
考点一
考点二
考点三
第十一页，编辑于星期五：十三点 五分。
第三章
3.2
导数在函数单调性、极值中的应用
考纲要求
梳理自测
探究突破
探究突破
巩固提升
解:(1)由函数 f(x)的图象过点(-1,-6),得 m-n=-3.①
由 f(x)=x3+mx2+nx-2,得 f'(x)=3x2+2mx+n,则 g(x)=f'(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.
导数在函数单调性、极值中的应用
考纲要求
梳理自测
梳理自测
探究突破
巩固提升
基础自测
1.函数 y=xsin x+cos x 在(π,3π)内的单调增区间为(
A. π,
C.
3π
2
5π
,3π
2
B.
)
3π 5π
,
2 2
D.(π,2π)
关闭
∵y=xsin x+cos x,
∴y'=xcos x.
当 x∈(π,3π)时,要使 y'=xcos x>0,只要 cos x>0,
+1
递增,且 f'(0)=0,因此当 x∈(-1,0)时,f'(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.所以 f(x)在
(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
考点一
考点二
考点三
第十七页，编辑于星期五：十三点 五分。
第三章
3.2
导数在函数单调性、极值中的应用
考纲要求
2015年高考数学(理)一轮通关PPT课件：导数的应用(1)_OK
函数 f(x)无极值；当 a>0 时，由 f′(x)＝0，解得 x＝a.又当 x∈(0，a)时，f′(x)<0；
当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数 f(x)在 x＝a 处取得极小值，且极小值为 f(a)＝a－
aln a，无极大值．
综上，当 a≤0 时，函数 f(x)无极值；当 a>0 时，函数 f(x)在 x＝a 处取得极小值 a－aln a，
④当 x>2 时，1－x<0.∵(1－x)f′(x)<0，∴f′(x)>0，即 f(x)在(2，＋∞)上是增函数．
综上：f(－2)为极大值，f(2)为极小值．
【答案】D
3
高频考点全通关——利用导数研究函数的极值问题
闯关二：典题针对讲解——已知极值求参数
[例 2] (2014·郑州模拟)若 a>0，b>0，且函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2 在
xx 立，∴函数 f(x)在(0，＋∞)单调递减，∴f(x)在(0，＋∞)上没有极值点；
②当 a>0 时，令 f′(x)<0 得 0<x<1a，令 f′(x)>0 得 x>1a，
∴f(x)在
0，1 a
上单调递减，在
1，＋∞ a
上单调递增，即
f(x)在
x＝1a处有极小值．
综上所述，当 a≤0 时 f(x)在(0，＋∞)上没有极值点；
【答案】D 4
高频考点全通关——利用导数研究函数的极值问题
闯关二：典题针对讲解——已知曲线求切线倾斜角的取值范围
[例 3] (2013·福建高考)已知函数 f(x)＝x－aln x(a∈R)．
①当 a＝2 时，求曲线 y＝f(x)在点 A(1，f(1))处的切线方程；
2015届高考数学(理)一轮精品复习课件3.3导数在函数最值及生活实际中的应用(人教版)
C.3 4������
D.2 3 ������
关闭
设底面边长为 x,则高为 h= 43������������2,∴表面积 S(x)= 43x2×2+x· 43������������2×3= 23x2+4 ���3��� V,
令 S'(x)= 3x-4 3V·���1���2=0,得 x=3 4������,∴S(x)在(3 4������,+∞)上是单调递增的,
当 t(1-3ln t)<0,即 t>e3时,h'(t)<0.
1
1
故 h(t)在(0,e3)上为增函数,在(e3,+∞)上为减函数,
于是
h(t)在(0,+∞)上的最大值为
h(e13)=32
2
e3,即
b
的最大值为3
2
2
e3.
考点一 考点二 考点三
答案
-14-
考点二 利用导数研究函数的零点或方程的根
【例 2】 已知函数 f(x)=ex(ax2-2x-2),a∈R 且 a≠0. (1)若曲线 y=f(x)在点 P(2,f(2))处的切线垂直于 y 轴,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 y=kx 与 y=f(x)的图象存在三个交点,求 k 的取值
3.3 导数在函数最值 及生活实际中的应用
-2-
1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 2.会利用导数解决生活中的优化问题. 3.会利用导数研究函数的零点、方程的根及不等式证明类问题.
-3-
1.函数的最大值与最小值 (1)函数的最大值与最小值:在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x),在[a,b]上
2015高考数学配套课件：3-2 导数的应用(一)——单调性
课前自助餐
授人以渔
自助餐
课时作业
第二十页，编辑于星期五：十五点 七分。
高考调研
新课标版 ·高三数学（文）
(2)f(x)＝(x－1)ex－x2，f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝xex－2x＝ x(ex－2)，
令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝ln2. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表：
课前自助餐
授人以渔
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课时作业
第十八页，编辑于星期五：十五点 七分。
高考调研
新课标版 ·高三数学（文）
探究 1 (1)求函数的单调区间注意先求定义域． (2)使 f′(x)>0 的区间为 f(x)的增区间， 使 f′(x)<0 的区间为 f(x)的减区间．
思考题 1 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝(x－1)2－ln(x－1)2； (2)(2013·广东)f(x)＝(x－1)ex－x2.
课前自助餐
授人以渔
自助餐
课时作业
第二十八页，编辑于星期五：十五点 七分。
高考调研
新课标版 ·高三数学（文）
②当 a<0 时，因为 x>0， 由 f′(x)>0，得(x－a)(x＋2a)>0，解得 x>－2a； 由 f′(x)<0，得(x－a)(x＋2a)<0，解得 0<x<－2a. 所以函数 f(x)在(0，－2a)上单调递减，在(－2a，＋∞)上单 调递增． 【答案】 (1)a＝－1 或 a＝32 (2)a>0 时，增区间(a，＋∞)，减区间(0，a)；a<0 时，增区 间(－2a，＋∞)，减区间(0，－2a)
授人以渔
自助餐
课时作业
2015高考数学一轮配套课件：专题讲练二 导数在研究函数中的应用 课件(共39张PPT)
高考总复习 数学
因为 f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex ＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex， 所以[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0 对 x∈(－1,1)都成立． 因为 ex>0，所以－x2＋(a－2)x＋a≥0 对 x∈(－1,1)都成立． 即 a≥xx2＋＋21x＝x＋x＋121－1＝(x＋1)－x＋1 1对 x∈(－1,1)都成立． 令 y＝(x＋1)－x＋1 1，则 y′＝1＋x＋112>0.
第二十页，编辑于星期五：十四点 十二分。
高考总复习 数学
【解】 (1)f′(x)＝4x3＋3ax2＋4x＝x(4x2＋3ax＋4)． 当 a＝－130时，f′(x)＝x(4x2－10x＋4)＝2x(2x－1)(x－2)． 令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝12，x3＝2. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
第十五页，编辑于星期五：十四点 十二分。
高考总复习 数学
针对训练 2．已知函数 f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且 a＝f′23.
(1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间； (3)设函数 g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数 g(x)在 x∈[－3,2]上单调 递增，求实数 c 的取值范围．
第二页，编辑于星期五：十四点 十二分。
高考总复习 数学
1．利用导数证明不等式，就是把不等式恒成立的问题，通过 构造函数，转化为利用导数求函数最值的问题．应用这种方 法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目证明目 标的要求，构造出相应的函数关系式．
2．在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的 交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数 的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极 (最)值的应用．