高中数学讲义课件：二项式定理
高中数学《二项式定理》课件
03
二项式定理的证明
数学归纳法的应用
数学归纳法是一种证明数学命题的重 要方法，尤其在证明二项式定理时， 它能够通过有限步骤来证明无限递推 关系。
然后，通过假设当$n=k$时二项式定 理成立，推导出当$n=k+1$时二项 式定理也成立。
在二项式定理的证明中，数学归纳法 首先证明基础步骤，即当$n=0$或 $n=1$时，二项式定理成立。
二项式定理的推导
二项式定理推导思路
通过组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为组合数的形式，从而推导出二项式定理的 展开式。
二项式定理的推导过程
根据组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为C(n, k)的形式，其中k表示二项式中某一 项的次数。通过计算，可以得到二项式定理的展开式为C(n, 0) + C(n, 1)x + C(n, 2)x^2 + ... + C(n, n)x^n。
C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同元素中取出m个元素和取出n-m个元素的 组合数相等。
组合数的性质2
C(n+1, m) = C(n, m-1) + C(n, m)，即从n+1个不同元素中取出m个元素的组 合数等于从n个不同元素中取出m-1个元素的组合数加上从n个不同元素中取出 m个元素的组合数。
详细描述
二项式定理的应用场景非常广泛。在多项式的展开中，二项式定理可以用来求解形如$(x+y)^n$的多项式的展开 结果。在组合数学中，二项式定理可以用来计算组合数和排列数等。在概率论中，二项式定理可以用来计算事件 的概率和期望值等。此外，二项式定理在统计学、物理、工程等领域也有广泛的应用。
02
二项式定理的推导过程
人教版高中数学选修2-3二项式定理 (共16张PPT)教育课件
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
口
罗
不
–■
① 项： a 3
a 2b ab 2 b 3
a3kbk
人教版高中数学选择性必修3《二项式定理》第1课时课件
(a b)(a b)(a b)(a b)
b4 (a b)(a b)(a b)(a b)
探 探究3 仿照上述过程，推导 (a b)4 的展开式.
究 (a b)4 (a b)(a b)(a b)(a b)
归 ① 项： a4 a3b a2b2 ab3 b4 a4-kbk (k=0,1,2,3,4)
猜想：
(a b)n C0nan C1na b n1 1 Cnk ankbk Cnnbn (n N ).
探 究
探究4 分析 (a b)n的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)(a b)(a b) (a b)
归 纳
n个
① 项： an a b n1 1 ankbk bn an-kbk (k=0,1,2,…,n)
分析 a2b (a b)(a b)(a b)
(a b)(a b)(a b) C13 (a b)(a b)(a b)
探 探究2 推导 (a b)3的展开式.
究 (a b)3 (a b)(a b)(a b)
归 ① 项： a3 a2b ab2 b3 纳 ② 系数：1 C13 C32
纳 ② 系数：1
C13
C32
C
3 3
a3-kbk ,其中k=0,1,2,3
探 探究2 推导 (a b)3的展开式. 究 (a b)3 (a b)(a b)(a b)
归 ① 项： a3 a2b ab2 b3
纳 ② 系数：C130 C13
C32
C
3 3
a3-kbk ,其中k=0,1,2,3 C3k ,其中k=0,1,2,3
探 究
探究3 仿照上述过程，推导 (a b)4 的展开式.
(a b)4 (a b)(a b)(a b)(a b)
高中数学课件第十一章(理)第3节《二项式定理》
[自主体验]
若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋
a3(x－2)3，则向量m＝(a0，a2)与向量n＝(－3,4)所成角的余
弦值是
()
A．0
B.
C.
D．1
解析：x3＝[2＋(x－2)]3，a0＝23＝8，a2＝ 2＝6. 故m＝(8,6)，m·n＝0. 答案：A
1．(2009·浙江高考)在二项式(x2－
B．5
C.
D．1
()
解析：∵含x2的项为 ( )2＝ x2 ， ∴x2的系数为 . 答案：C
2．二项式(a＋2b)n展开式中的第二项的系数是8，则它的
第三项的二项式系数为
()
A．24
B．18
C．16
D．6
解析：∵Tr＋1＝
(2b)r，
∴T2＝ an－1(2b)＝2 an－1b，
∴2 ＝8，∴n＝4，
[考题印证]
(2009·北京高考)若(1＋ )5＝a＋b
则a＋b＝
A．45
B．55
C．70
D．80
(a，b为有理数)， ()
【解析】 由二项式定理得：
(1＋ )5＝1＋
＋ ·( )2＋ ·( )3＋ ·
( )4＋ ·( )5＝1＋5 ＋20＋20 ＋20＋4
＝41＋29 ，
∴a＝41，b＝29，a＋b＝70. 【答案】 C
已知( ＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展 开式的二项式系数和大992，求(2x－ )2n的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项.
解：根据二项式系数的性质，列方程求解n.系数绝对值最大 问题需要列不等式组求解． 由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0. ∴2n＝32，解得n＝5. (1)由二项式系数的性质知，(2x－ )10的展开式中第6项的 二项式系数最大． 即T6＝ ·(2x)5·(－ )5＝－8 064.
二项式定理及应用ppt课件
4．已知二项式(x－1x)n的展开式中含x3的项 是第4项，则n的值为________．
【解析】 ∵通项公式Tr＋1＝Crn(－1)rxn－2r， 又∵第4项为含x3的项， ∴当r＝3时，n－2r＝3，∴n＝9.
• 【答案】 9
5．若(x2＋
1 ax
)6的二项展开式中x3的系数为
联立①②得
a1＋a3＋…＋a99＝(2－
3)100－(2＋ 2
3)100 .
(3)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋… ＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋
a99)] ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3 ＋…＋a98－a99＋a100) ＝(2－ 3)100(2＋ 3)100＝1.
52，则a＝________(用数字作答)．
【解析】 Tr＋1＝Cr6a－rx12－3r， 当12－3r＝3时，r＝3，∴C63a－3＝52，∴a＝2.
• 【答案】 2
求特定的项或特定项的系数
已知在(3 x－ 1 )n的展开式中，第6 3
2x 项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
(4)方法一：∵展开式中，a0，a2， a4，…，a100大于零，而a1，a3，…，a99小 于零，
∴原式＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋
a100 ＝(2＋ 3)100.
方法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|， 即(2＋ 3x)100展开式中各项的系数和， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝(2＋ 3)100.
• 【思路点拨】 本题给出二项式及其二项展开式求各系
《二项式定理》ppt课件
A.15
������ ������������
B.20������
-
������ ������
C.15
������
2
D.20
������ ������������
【解析】T3=������������ ������ ( ������) ( ) =15,故选 C.
4
������
2
10 (x- ������y) 的展开式中第 5 项的系数是( A ). A.840 B.-840 C.210 D.-210
二项展开式的通项和二项式系数 n 在二项式定理中,右边的多项式叫作(a+b) 的二 项展开式,展开式的第 r+1 项为 n-r r Tr+1=������������ a b (r=0,1,2…n),其中的系数 ������ 二项式系数 ������������ . ������ (r=0,1,2…n)叫作
������
������
n
于 37,求展开式中的第 5 项的系数.
������ ������ 【解析】由������������ ������ +������������ +������������ =37 得 1+n+ n(n-1)=37, ������ ������
得 n=8.
������������ 4 ������������ 4 ������ ������ 又∵T5=������������ ������(2x) = x ,∴该项的系数为 . ������ ������ ������
������ ������ b) +������������ (4a) (b) + ������ (4a) (b) + ������ ������ ������ ������ (4a) (1 3 2 2 3 1
2025届高中数学一轮复习课件《二项式定理》ppt
高考一轮总复习•数学
第6页
二 二项式系数的性质 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__相__等_____．
2．增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项_________取得最大值；当 n 是奇数时，
高考一轮总复习•数学
第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( ) (2)通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 中的 a 和 b 不能互换．( √ ) (3)(a＋b)n 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．(√ ) (4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.( )
或者其他量.
高考一轮总复习•数学
第19页
对点练 1(1)在2x－mx 6 的展开式中，若常数项为－20，则实数 m 的值为(
)
A．12
B．－12
C．－2
D．2
(2)(2024·湖北部分重点中学第二次联考)用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中
个位小于百位且百位小于万位的五位数有 n 个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n
(3)(3
3－2)7 的展开式的通项
Tk＋1＝Ck7·(3
7－k
3)7－k·(－2)k＝Ck7·3 3
·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，
高考一轮总复习•数学
第17页
要使第 k＋1 项为有理数，则7－3 k∈Z，则 k 可取 有理项的求法．
高中数学二项式定理ppt课件
0 2 4 6 8 10 练习5 n N , 化简求值：Cn Cn Cn Cn Cn Cn ....
练习6 n N , 化简求值：C +C C +C ....
0 n 3 n 6 n 9 n
小结：
(1) f ( x, y) ( x y)n
n r r n r 练习4 求证：C2 C C 2 n nr n r 0
n
求多项式 (3x x 2 x 1)
4 3 102
(3x 4) (7 x 5x 3)
4 3
67
展开式中各项系数之和。
令 f ( x) (3 x 4 x 3 2 x 1)102 (3x 4) 4 (7 x 3 5 x 3) 67 a0 a1 x a2 x 2 ... a? x ?
例1：
1 k 求值： ( k )Cn k=0 2
1 0 1 1 1 2 1 2 n 1 n 即：C ( ) Cn ( ) Cn ( ) ... Cn ( ) 2 2 2 2
0 n
0 n 0 1 n1 1 2 n 2 2 n 0 n f ( x, y) ( x y)n Cn x y Cn x y Cn x y ... Cn x y
n
二项式定理
0 n 0 1 n1 1 2 n 2 2 n 0 n f ( x, y) ( x y)n Cn x y Cn x y Cn x y ... Cn x y
r n r r Tr 1 Cn x y
二项式系数 C
r n
?
注：与项的系数之区别
f ( x, y) ( x y)n
二项式定理课件(公开课)
b4 都 不 取 b 取 一 个 b 取 两 个 b 取 三 个 b 取 四 个 b
系数
C0 4
C1 4
2 C4
C3 4
C4 4
(a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
归纳提高 将(a + b) n展开的结果又是怎样呢？ 发现规律 (a b)( a b) (a b) n 对于（a+b） =
问题一： 的展开式共 有多少项？为什么？每一项是怎么构成的？
共 2 2 2 8 项
问题二 :
若 ， 式中又是什么？ ，则展开
(a+b)3 = C30a3 + C31a2b + C32ab2 + C33 b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
问题三：
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？ 问题：
1 4 例1：展开（1＋ ) x
x 系数和第六项的系数.
例二：展开 (2 x
1
) ，并求x 1) 解: ( 2 x x x 1 6 1 5 2 4 3 [(2 x) C6 (2 x) C6 (2 x) x 3 3 4 2 5 1 6 0 C6 (2 x) C6 (2 x) C6 (2 x) C6 (2 x) ]
n个
的展开式中an-rbr的系数是在n个括号中，恰有r 个括号中取b(其余括号中取a)的组合数 Cnr.那 么，我们能不能写出(a+b)n的展开式？ 引出定理，总结特征 (a+b)n = Cn0an + Cn1an-1b + Cn2an-2b2 +
高中数学同步教学课件 二项式定理
类型3 求展开式中的特定项 [探究问题]
1．如何求x＋1x4展开式中的常数项？ [提示] 利用二项展开式的通项 Cr4x4－r·x1r＝Cr4x4－2r 求解，
令 4－2r＝0，则 r＝2，所以x＋1x4展开式中的常数项为 C24＝4×2 3＝6.
2．(a＋b)(c＋d)展开式中的每一项是如何得到的？ [提示] (a＋b)(c＋d)展开式中的各项都是由 a＋b 中的 每一项分别乘以 c＋d 中的每一项再把积相加而得到．
D．28
【解析】Tr＋1＝Cr8·2x8－r·－31xr＝(－1)r·Cr8·128－r·x8－43r，
当 8－43r＝0，即 r＝6 时，T7＝(－1)6·C68·122＝7.
3．(1－x)10 的展开式中第 7 项为________． 【解析】T7＝C610(－x)6＝210x6. 【答案】210x6
(2)令10－3 2r＝2，得 r＝12(10－6)＝2，
∴所求的系数为 C210(－3)2＝405.
10－3 2r∈Z， (3)由题意得，0≤r≤10，
r∈Z.
令10－3 2r＝k(k∈Z)，
则 10－2r＝3k，即 r＝5－23k.
∵r∈Z，∴k 应为偶数， k＝2,0，－2，即 r＝2,5,8， 所以第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项， 它们分别为 405x2，－61 236,295 245x－2.
由题意可知－－2 22Cn 3n＝12，即 n2－3n－4＝0， 又 n∈N＋，解得 n＝4. 设(x－ 2)4 的展开式中含 x2 的项为第 k＋1 项， 则 Tk＋1＝Ck4·x4－k·(－ 2)k(k＝0,1,2,3,4) 根据题意可知 4－k＝2，解得 k＝2. 所以(x－ 2)4 的展开式中含 x2 的项为 T3＝C24·x2·(－ 2)2＝12x2.
二项式定理课件-完美版
变式: 若(2x＋ )4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是( A )
A．1
B．－1 C．0
D．2
【规律小结】
对二项式展开式中系数、系数和问题，常用赋值法， 一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0 得常数项，令x＝1可得所有项系数和，令x＝－1可得奇数 次项系数之和与偶数次项系数之和的差，而当二项展开式 中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和．
考点三 二项式定理的灵活应用
例4
求
1 x
1 x2
10的展开式的常数项。
变式：（1）求（x2+x+1)13展开式中x5的系数； （2）求（2x-1)6(3+x)5展开式中x3的系数.
考点四 整除或余数问题
例5 求9192除以100的余数
变式题 7777－7 被 19 除所得的余数是________．
数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式组并 求解此不等式组求得．
考点二 二项式定课理展堂开互式的动应讲用练
利用二项展开式可以解决如整除、近似计算、不 等式证明、含有组合数的恒等式证明，以及二项式系 数性质的证明等问题．
例3 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
(2)求展开式中含 的项；
(3)求展开式中所有的有理项；
(4)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．
【规律小结】 课堂互动讲练
1．根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二 项式系数最大，n为偶数时中间一项的二项式系数最大．
高中数学二项式定理公开课精品PPT课件
1．二项式定理 公式(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnran－rbr＋…＋Cnn－1abn－ 1＋Cnnbn所表示的规律叫作二项式定理． 2．(1)(a＋b)n的二项展开式中共有n＋1项； (2)二项式系数：Cnk(k∈N)； (3)二项展开式的通项公式：Tk＋1＝Cnkan－kbk(其中0≤k≤n， k∈N，n∈N*)它是展开式的第k＋1项．
3 2x2
)0＋C51(2x)4(－
3 2x2
)＋C52(2x)3(－
3 2x2
)2＋C53(2x)2(－
3 2x2
)3＋C54(2x)(－
3 2x2
)4＋C55(－
3 2x2
)5＝32x5－120x2
＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.
例4 已知在(3 x－ 3 )n的展开式中，第6项为常数项． 3 x
(1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
【思路】 解答本题可先借助通项公式，利用第6项为常数项 求n，然后再根据通项公式即可求得(2)，(3)．
【解析】 (1)通项公式为 Tk＋1＝Cnkxn－3 k(－3)kx－k3＝Cnk(－3)kxn－32k. ∵第6项为常数项，∴k＝5时有n－32k＝0，即n＝10. (2)令n－32k＝2，得k＝12(n－6)＝2. ∴所求的系数为C102(－3)2＝405.
【答案】 C
探究3 (1)求二项展开式的特定项的常见题型： ①求第k项，Tk＝Cnk－1an－k＋1bk－1； ②求含xk的项(或xpyq的项)； ③求常数项； ④求有理项． (2)求二项展开式的特定项的常用方法： ①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
高中数学人教A版选修二项式定理PPT精品课件1
展开中含x项的系数是 C54×25 + 1×C5424 = 240
4
1
C41
1 x
C42
Hale Waihona Puke 1 x2 C43
1 x
3
C44
1 x
4
1
4 x
6 x2
4 x3
1 x4
例2 (1)求 (1 2x)7 的展开式的第4项
280x3
求 (1 2x)7的展开式的第4项的二项式系数
C73 35
求 (1 2x)7的展开式的第4项的系数
280 分析：T31 C73 173 (2x)3 35 8x3 280x3
1 )r x
(1)r
Cr 9
x92r
根据题意，得 ：9 2r 3 r 3,
x3的系数是(1)r C93＝－84.
练习
1.在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) (x-5)的展开式中含x4项
的系数是 ( A )
A. -15 B. 85 C. -120 D. 274
2、化简: (x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1.
原式
C40
(
x
1)4
C 41 (
x
1)3
C42
(
x
1)2
C43
高中数学《二项式定理》ppt课件
1
2
n
2、指数规律 各项的次数均为n；字母 a 的次数由n降 到0，字母 b 的次数由0升到n. 3、项数规律 二项展开式共有n+1项
应用解析：
例１ 展开 例２
1 4 (1 ) x
展开 (2 x
1 x
)6
小结
1、牢记定理的内容及相关概念； 2、掌握数学中研究问题的思想和方 法——从特殊到一般。
作业
１．P109习题２．⑴⑵ 2．思考题（ 用二项式定理解答）： 如果今天是星期六，那么再过890天是 星期几？
4
4 系数为： 4 有４个取b，
C
(a b) 的展开式怎么写呢？
n
可以对b分类： 不取b，得Cn aⁿ
0
取1个b，得Cn a b 取2个b，得Cn a b²
…………
2 n-2
1
n-1
取 r个 b，得Cn a b …………
取n-1个b，得Cn ab 取n个b，得Cn bⁿ
n n-1-1
r n n r r
说明 ：
（1）、猜证法是数学中常用方法，本定理是由不完全 归纳法得出，需加以证明。其证明因目前知识所限， 留待以后完成，目前，只要求同学熟记并会应用。 （2）、二项式定理是个恒等式，定理中字母a、b可表 示数或式，其中 n N (3) 1、系数规律
Cn、Cn、Cn、…、Cn
没有大胆的猜想，就不能 有伟大的发现和发明。 ------牛顿
(a+b)² =a² +2ab+b² 0 1 2 = C2 a² + C2 ab+C2 b² (a+b)³ =a³ +3a² b+3ab² +b³ 1 0 3 2 =C3a³ + C3 a² b+C3 ab² +C3 b³
1.5.2二项式定理PPT优秀课件
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
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21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
系数依次是：C 0 n,C 1 n,C n 2, ,C n n
还可从函数角度看，C
r n
可看成是以r为自变量的函
数 f (r) ,其定义域是：0,1,2, ,n
当 n6时，其图象是右
图中的7个孤立点．
21.05.2019
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二项式系数的性质
n
系数 C
2 n
取得最大值；
n 1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 C n 2 、
n 1
C
2 n
相等，且同时取得最大值。
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二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令 ab1，则：
C 0 n C 1 n C n 2 C n n 2 n
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
高中数学完整讲义——二项式定理1.二项展开式1求展开式中的指定项
求睁开式中的指定项知识内容1．二项式定理⑴二项式定理an0 n 1 n 1 2 n 2 2n nN b C n a C n a b C n a b... C n b n这个公式表示的定理叫做二项式定理．⑵二项式系数、二项式的通项0 n1n 1 2 n 2 2n nrn C n r 0, 1, 2, ..., n叫做二C n a C n a b C n a b ...C n b 叫做 a b的二项睁开式，此中的系数项式系数，式中的C n r a n r b r叫做二项睁开式的通项，用T r 1表示，即通项为睁开式的第r 1 项：T r 1C n r a n r b r．⑶二项式睁开式的各项幂指数二项式 a b nn 1 项，各项的幂指数情况是的睁开式项数为①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母 a 的按降幂摆列，从第一项开始，次数由n 逐项减 1 直到零，字母b按升幂摆列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n ．⑷几点注意①通项 T rr n r r是 a bn1 项，这里 r0, 1, 2,..., n ．1C n a b的睁开式的第 ran1项和nr a r是有区其他，应用二项式定理时，其②二项式b的 r b a 的睁开式的第r 1项 C n r b n中的 a 和b是不可以随意互换的．③注意二项式系数（C n r）与睁开式中对应项的系数不必定相等，二项式系数必定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是n这个标准形式下而言的，如 a bna b的二项睁开式的通项公式是r r n r rb 当作 b 代入二项式定理）这与T r 1r n r rT r 11C n a b （只须把C n a b 是不一样的，在这里对应项的C n r r二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是 1 C n r，一个是 C n r，可看出，二项式系数与项的系思想的挖掘能力的飞腾1数是不一样的观点．⑤设 a 1, b x ，则得公式：n...C n r x r... x n．1 x1 C n1 x C n2 x2⑥通项是 T r 1C n r a n r b r r0, 1, 2, ..., n 中含有 T r 1, a , b , n , r 五个元素，只需知道此中四个即可求第五个元素．⑦当 n 不是很大， x 比较小时能够用睁开式的前几项求(1x)n的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：关于 n 是较小的正整数时，能够直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也能够直接用杨辉三角计算．杨辉三角有以下规律：“左、右两边斜行各数都是 1．其他各数都等于它肩上两个数字的和．”⑵二项式系数的性质：an睁开式的二项式系数是：012n，从函数的角度看r能够当作是r 为自变量的函数b C n, C n , C n , ..., C n C nf r，其定义域是： 0, 1, 2,3, ...,n．当n6时， f r 的图象为下列图：这样我们利用“杨辉三角”和n 6 时f r的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．①对称性：与首末两头“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式C n m C n n m获得．②增减性与最大值假如二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；假如二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等而且最大．因为睁开式各项的二项式系数按序是C n01, C n1n, C n2n n 1，1 1 22思想的挖掘能力的飞腾C n3n n1n2，．．．，1 23C n k 1n n 12n2... n k 2 ，C n k n n 1 n 2 ... n k2n k 1，．．．，1 3 ....k112 3...k 1 kC n n 1 ．此中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小 1 的数（如n, n1, n 2,... ），分母是乘以逐次增大的数（如1， 2， 3，）．因为，一个自然数乘以一个大于 1 的数则变大，而乘以一个小于 1 的数则变小，进而当k 挨次取1，2，3，等值时，r的值转变为不递加而递减了．又因为C n与首末两头“等距离”的两项的式系数相等，因此二项式系数增大到某一项时就渐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当 n 是偶数时，n1是奇数，睁开式共有 n 1 项，因此睁开式有中间一项，而且这一项的二项式系数n最大，最大为C n2．当 n 是奇数时，n 1 是偶数，睁开式共有n 1项，因此有中间两项．n 1n1这两项的二项式系数相等而且最大，最大为C n2C n2．③二项式系数的和为012r...n n．2n，即C n C n C n ...C n C n2④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即024135n1C n C n C n ...C n C n C n... 2．常有题型有：求睁开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．典例剖析16【例1】 2的睁开式中的第四项是．x3x y 6【例 2】的睁开式中，x3的系数等于____．y x35【例 3】 1 2 x13 x 的睁开式中 x 的系数是A ．4B ．2C． 2 D ．4思想的挖掘能力的飞腾3a 9【例 4】若 x的睁开式中 x3的系数是84 ，则a．xa 5【例 5】 x( x R ) 睁开式中 x3的系数为10，则实数 a 等于xA ．1B ．1C．1D． 2 2【例 6】若 (1 2 x)n a0a1 x a2 x2L a n x n，则 a2的值是（）A．84B．84C．280D．280【例 7】862项的系数是（）( x2 y) 的睁开式中x yA．56 B ．56C．28D．28【例8】若5a4 x4a1x a0，则 a2的值为（3x 1a5 x5）A ．270B． 270 x2C． 90D． 90 x2【例 9】(1x )6 (1x)4的睁开式中x 的系数是_______（用数字作答）．【例 10】在 (x2 4 x 2)5的睁开式中，x 的系数为_______（用数字作答）．4思想的挖掘能力的飞腾【例 11】在 ( x24x 2)5的睁开式中，x2的系数为 _______（用数字作答）．【例 12】在 ( x24x 2)5的睁开式中，x3的系数为 _______（用数字作答）．294睁开式中含 x2项系数．【例 13】求 ( x3x 1) (2 x1)【例 14】在 (1 x) (1 x)2L(1 x)6的睁开式中，x2项的系数是．（用数字作答）【例 15】 ( x 1) (x 1)2( x 1)3( x 1)4(x 1)5的睁开式中x2的系数等于 ________．（用数字作答）1 )9睁开式中x9的系数是_______（用数字作答）．【例 16】 (x22x【例 17】在 ( x 1)(x 1)8的睁开式中x5的系数是（）思想的挖掘能力的飞腾5A ．-14B． 14C． -28 D ． 28【例 18】在 (x1)(x2)( x 3)( x4)( x 5) 的睁开式中，含x4的项的系数是（）A ．15B．85C．120 D ．274【例 19】在 (1 x)5(1 x) 6(1 x)7(1 x)8(1 x)9的睁开式中，含x3 项的系数是（用数字作答）【例 20】求 (1 x x2 ) 6睁开式中x5的系数．【例 21】 (1x )6 (1x)4的睁开式中x 的系数是_______（用数字作答）．【例 22】在 (x2 4 x 2)5的睁开式中，x 的系数为_______（用数字作答）．【例 23】在 (x2 4 x 2)5的睁开式中，x2的系数为 _______（用数字作答）．6思想的挖掘能力的飞腾【例 24】在 ( x 24x 2)5的睁开式中，3的系数为 _______（用数字作答）．x【例 25】求 ( x23x 1)9 (2 x 1)4睁开式中含x2项系数．【例 26】在 (1 x) (1 x)2L(1 x)6的睁开式中，x2项的系数是．（用数字作答）【例 27】 ( x 1) (x 1)2( x 1)3( x 1)4(x 1)5的睁开式中x2的系数等于 ________．（用数字作答）【例 28】 (x21)9睁开式中 x9的系数是 _______（用数字作答）．2x思想的挖掘能力的飞腾7【例 29】在 (x 1)(x 1)8的睁开式中x5的系数是（）A ．-14B． 14C． -28 D ． 28【例 30】在 (x1)(x2)( x 3)( x 4)( x5) 的睁开式中，含x4的项的系数是（）（ A ）15（B） 85（ C）120（ D ）274【例 31】在 (1 x)5(1 x)6(1 x)7(1 x)8(1 x)9 的睁开式中，含x3项的系数是（用数字作答）【例 32】求 (1 x x2 ) 6睁开式中x5的系数．15【例 33】在二项式 x2的睁开式中，含x4的项的系数是（）xA． 10B． 10C． 5 D ． 5【例 34】 (1 2 x)3 (1 x)4的睁开式中x 的系数是______，x2的系数为______．8思想的挖掘能力的飞腾【例 35】 11(1x)4的睁开中含 x2的项的系数为（）xA ．4B ． 6C． 10D．1264【例 36】 1x 1x 的睁开式中x的系数是（）A ．4B ． 3C． 3 D ． 4【例 37】求 1 x 3 1x 10睁开式中 x5的系数；【例 38】在二项式 x215的睁开式中，含x4的项的系数是（）xA． 10B． 10C． 5D． 5【例 39】 (x 2)6的睁开式中x3 的系数是（）A． 20B． 40C． 80D． 160【例 40】在 (1x)4的睁开式中，x 的系数为（用数字作答）思想的挖掘能力的飞腾9【例 41】在 (1 x)3313_____ （用数字作答）1x3 x 的睁开式中，x的系数为9【例 42】 x1的二项睁开式中含x3的项的系数为（）xA ．36B．84C．36D．84【例 43】若 (x216的二项睁开式中3的系数为5．（用数字作答）ax)x, 则a2【例 44】设常数 a2143的系数为3，则 a ＝_____．0 ， (axx)睁开式中 x2【例 45】已知 (1 kx2 )6（ k 是正整数）的睁开式中，x8的系数小于120，则 k．10思想的挖掘能力的飞腾【例 46】已知 ( xcos1)5 的睁开式中 x 2 的系数与 ( x 5 )4 的睁开式中 x 3 的系数相等4cos．1 10【例 47】的二项睁开式的第 6 项的系数为（）xxA ． 210B ． 252C ． 210D ． 252【例 48】若 ( x 21 )6 的二项睁开式中 x 3 的系数为 5 , 则 a __________．（用数字作答）ax2【例 49】 若 ( x 2n 1 与 (mx 2 n0) 的睁开式中含 xn的系数相等，则实数 m 的取值范围m)1) (n N * ，m是（）A ． 1，22 ， C ． (，0)D ． (0， )(B ． [1)2 331 6【例 50】已知 a0πsin x cos x dx ，则二项式 a x睁开式中含 x 2 项的系数是．x【例 51】在 ( ax7的睁开式中，x 3 的系数是 x 2 的系数与 x 4 的系数的等差中项，若实数a 1 ，那么1) a _______ ．【例 52】已知 (1 kx2 )6（ k 是正整数）的睁开式中，x8的系数小于 120 ，则 k ______．【例 53】 ( x y y x)4的睁开式中x3 y3的系数为．【例 54】若 (1 x)n的睁开式中，x3的系数是x的系数的 7 倍，求n；【例 55】 ( x y)10的睁开式中，x7 y3的系数与x3 y7的系数之和等于__________ ．【例 56】已知a为实数， ( x a)10睁开式中 x7的系数是15 ，则a_______．121n【例 57】二项式的睁开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数．x x4x19【例 58】求 x的二项睁开式中含x3的项的二项式系数与系数．x1n【例 59】若 x的睁开式中前三项的系数成等差数列，则睁开式中x4项的系数为 _______．2x【例 60】令 a n为 f n (x)(1 x)n 1的睁开式中含x n 1项的系数，则数列{1} 的前 2009 项和为______．a n【例 61】在 (ax 1)7 (a 1) 的睁开式中，x3的系数是 x2的系数与 x4的系数的等差中项，求 a 的值．【例 62】已知 1 ax 52L a5 x5，则 b．1 10 x bx【例 63】在 1 x n的系数分别为 a ，b ，假如a3 ，那么 b 的值为（）睁开式中， x3与 x2bA．70B．60C．55D．40【例 64】若 (ax 1)5的睁开式中x3的系数是80 ，则实数a的值是_______．142143【例 65】设常数 a0 ， ax睁开式中 x3 的系数为，则 a．x21n12项的系数与含14项的系数之比为【例 66】若 2x睁开式中含 5 ，则n等于（）x x xA ． 4B．6C．8D．10【例 67】设 a n为 f n (x) (1 x)n 1的睁开式中含n 1项的系数，则数列1x的前 n 项和为_____a n1n【例 68】已知 x睁开式的第二项与第三项的系数比是1: 2 ，则n ________．2x【例 69】在 (1 x2 ) 20的睁开式中，假如第4r 项和第 r 2 项的二项式系数相等，则第4r 项为 ______【例 70】若在二项式 ( x 1)10的睁开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是_____ ．【例 71】已知 (2 x lg x lg21)n睁开式中最后三项的系数的和是方程lg( y272 y 72) 0 的正数解，它的中间项是 1042lg2，求 x 的值．【例 72】设数列 { a n } 是等比数列，3m1，公比是14的睁开式的第二项．1C2m3 m2q( x2 )aΑ4x⑴用 n，x 表示通项a n与前n项和S n；⑵若 A C1 S C2S L C n S 用n ，x 表示 An n 1n 2n n n 16。