概率论第十六讲中心极限定理
中心极限定理
中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorems）什么是中心极限定理大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。
而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。
它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。
因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。
中心极限定理的表现形式中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：（一）辛钦中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。
（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理设μn是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n无限大时，频率设μn / n趋于服从参数为的正态分布。
即：该定理是辛钦中心极限定理的特例。
在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。
（三）李亚普洛夫中心极限定理设是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差：。
记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，，则对任意的x有：该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。
（四）林德贝尔格定理设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x，有。
中心极限定理
中心极限定理第一篇：中心极限定理中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorems）什么是中心极限定理大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。
而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。
它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。
因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。
中心极限定理的表现形式中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：（一）辛钦中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。
（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理设μn是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n无限大时，频率设μn / n趋于服从参数为的正态分布。
即：该定理是辛钦中心极限定理的特例。
在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。
（三）李亚普洛夫中心极限定理设差：是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方。
记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，则对任意的x有：该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。
中心极限定理课件
X ~ b( 200, 0.6),
X ~ b( 200, 0.6),
现在的问题是: 现在的问题是: 求满足 P { X ≤ N } ≥ 0.999 的最小 的 N. 由定理 2
X − np 近似服从 N (0, 1), 这里 np(1 − p ) np = 120, np(1 − p ) =0 个, 已知该型号 的螺丝钉的重量是一个随机变量, 期望值是100g, 的螺丝钉的重量是一个随机变量, 标准差是10g, 求一盒螺丝钉的重量超过 10.2kg 的概率. 的概率 个螺丝钉的重量, 解 设 X i 为第 i 个螺丝钉的重量, i = 1,2,L,100, 且它们之间独立同分布, 于是一盒螺丝钉的重量 且它们之间独立同分布, 为X=
棣莫佛—拉普拉斯定理是林德伯格 拉普拉斯定理是林德伯格—勒维定理 注： 棣莫佛 拉普拉斯定理是林德伯格 勒维定理 它是历史上最早的中心极限定理. 它是历史上最早的中心极限定理 的一个重要特例， 的一个重要特例，
下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近 下面的图形表明 正态分布是二项分布的逼近. 正态分布是二项分布的逼近
E ( X i ) = µ , D( X i ) = σ 2 , i = 1,2,L, n,L
则
n ∑ X i − nµ x 1 −t2 i =1 lim P ≤ x = ∫ e 2 dt. −∞ n →∞ σ n 2π
注：定理表明 当 n 充分大时， n 个具有期望和方 定理表明: 充分大时， 差的独立同分布的随机变量之的近似服从正态分布. 差的独立同分布的随机变量之的近似服从正态分布 虽然在一般情况下， 虽然在一般情况下，我们很难求出 X 1+ X 2 + L + X n
中心极限定理公式解释
中心极限定理：是指概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。
这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。
它是概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景。
在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。
中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。
最早的中心极限定理是讨论重点，伯努利试验中，事件A出现的次数渐近于正态分布的问题。
中心极限定理的内涵和应用
中心极限定理的涵和应用在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。
中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。
这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。
故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的涵及其在生活实践中的应用。
一、独立同分布下的中心极限定理及其应用在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1：定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记nn XY ni in σμ-=∑=1则对任意实数y ，有{}⎰∞--∞→=Φ=≤yt n n t y y Y P .d e π21)(lim 22（1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。
由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。
为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ϕ，则n Y 的特征函数为nY n t t n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)()(σϕϕ又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0ϕ'=0，2)0(σϕ-=''。
于是，特征函数)(t ϕ有展开式)(211)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σϕϕϕϕ从而有=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+∞→+∞→nn Y n n t o nt t n )(21lim )(lim 22ϕ22t e -而22t e-正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。
这个中心极限定理是由林德贝格和勒维分别独立的在1920年获得的，定理告诉我们，对于独立同分布的随机变量序列，其共同分布可以是离散分布，也可以是连续分布，可以是正态分布，也可以是非正态分布，只要其共同分布的方差存在，且不为零，就可以使用该定理的结论。
概率论中心极限定理
例2 ：某餐厅每天接待400名顾客, 设每位顾的 消费额(元)服从(20, 100)上的均匀分布, 且顾客 的消费额是相互独立的. 试求: (1)该餐厅每天的平均营业额; (2)该餐厅每天的营业额在平均营业额760元 的概率.
解 设Xi为第i位顾客的消费额, Xi ~U20, 100. 所以 EXi 60, DXi 16003.
i1 n
i1
的分布函数Fn(x),对xR,一致地有
n
Xi n
lnim Fn
(
x)
limP(
n
i1
n
x)
x
1
t2
e 2 dtΦ(x).
2
（证略）
定理（说明）
n
Xi n
x
ln i mFn(x)ln i mP{i1 n
x}(x)
1 et2/2dt
2
即，n 充分大时，有
n
~ 可化为
X i n 近似地
2 (1 .6)4 1 5 0 .90
这表明:该餐厅每天的营业额在23240到24760 之间的概率近似为0.90.
例3： 某人钓鱼平均每次钓到2kg, 方差2.25kg2. 问: 至少钓多少次鱼, 才能使总重量不少200kg 的概率为0.95?
解 设此人共钓n次, 各次钓到的鱼 的重量为随机变量Xi , 则 EXi 2, DXi 2.25.
3 实际应用中当n很大时,
1 如果p很小而np不太大时, 采用泊松近似; 2 如果 np 5 和 n1 p 5 同时成立时,
采用正态近似.
下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.
例4 设某保险公司有10000人投保,每人每年交保费12元,投保人每 年的死亡率为0.006.若投保人死亡,则公司付给死亡人家属1000元, 求(1)保险公司没有利润的概率;(2)每年利润不少于60000元的概率.
概率论与数理统计§中心极限定理
• 引言 • 中心极限定理的基本概念 • 中心极限定理的证明 • 中心极限定理的应用 • 中心极限定理的扩展与推广 • 案例分析与实践应用 • 总结与展望
01
引言
主题简介
中心极限定理是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了在独立同分布的随机 变量序列下，无论这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布将趋近于正 态分布。
03
中心极限定理的证明
证明方法概述
方法一：基于特征函数的 证明
方法二：基于概率密度函 数的证明
ABCD
通过对特征函数的性质进 行分析，利用泰勒展开和 收敛性质，证明中心极限 定理。
通过分析概率密度函数的 性质，利用大数定律和收 敛定理，证明中心极限定 理。
重要极限公式
公式一： $lim_{{n to infty}} frac{S_n}{sqrt{n}} = N(0,1)$
中心极限定理的应用范围广泛，不仅限于金融、保险、医学等领域，还涉来研究的展望
01
随着大数据时代的到来，中心极限定理在处理大规模数据和复杂 随机现象方面的应用价值将更加凸显。未来研究可以进一步探索 如何优化中心极限定理的应用，提高其在实际问题中的适用性和 准确性。
02
随着数学和其他学科的交叉融合，中心极限定理与其他理 论或方法的结合应用将成为一个重要的研究方向。例如， 如何将中心极限定理与机器学习、人工智能等新兴技术相 结合，以解决更加复杂和具体的问题。
03
中心极限定理的理论基础和证明方法仍有进一步完善的空 间。未来研究可以深入探讨中心极限定理的数学原理，发 现新的证明方法和技巧，推动概率论与数理统计理论的进 一步发展。
07
总结与展望
高考数学中的概率统计中的中心极限定理
高考数学中的概率统计中的中心极限定理概率统计是高考数学中非常重要的一部分，它与我们日常生活息息相关。
而中心极限定理则是概率统计中非常重要的一个定理，这个定理集成了众多科学家的智慧，为我们提供了一个可靠的方法来研究随机事件的概率与分布。
一、中心极限定理的概念中心极限定理是指在一定条件下，对于一个总体随机变量X，由n个相互独立的随机变量X1、X2、…、Xn所组成的样本平均值所满足的一些统计规律。
简单来说，中心极限定理是在满足一些条件的情况下，样本的均值会服从于一个特定的分布。
二、中心极限定理的条件中心极限定理并不是所有情况下都适用的，它需要满足一些特定的条件，这些条件包括：（1）总体分布必须存在方差；（2）样本数量n足够大；（3）样本的选取必须是独立的。
三、中心极限定理的应用中心极限定理在实际生活中的应用非常广泛，特别是在大数据分析领域中，中心极限定理被广泛地应用于数据的分布与统计分析。
以投掷一颗骰子为例，假设我们将骰子投掷10000次，那么我们可以通过中心极限定理来研究投掷结果所服从的分布规律。
根据中心极限定理，当选取的样本数量够大时，样本的平均值将在正态分布之间波动。
这个例子中，我们可以通过投掷骰子的结果来观察到中心极限定理在实际应用中的作用。
当我们投掷骰子的数量越来越多，投掷结果的分布也会越来越接近正态分布，这是中心极限定理的一个典型表现。
四、中心极限定理的意义中心极限定理是概率论中的一项重要成果，它为我们研究随机事件的概率分布提供了一个可靠的方法。
中心极限定理不仅限于数学领域，它在生物学、物理学、社会学等领域中的应用也是非常广泛的。
总之，中心极限定理是高考数学概率统计中非常重要的一个定理。
了解中心极限定理的概念、条件及应用，对我们在概率统计的学习和实践中都有着重要的作用。
中心极限定理课件
期值来检验总体的假设。
在金融数学中的应用
1 2
资产收益率分估投资组合的风险。
风险评估
中心极限定理可以用来评估投资组合的风险，通 过计算资产收益率的方差和相关性。
3
资本资产定价模型（CAPM）
中心极限定理是资本资产定价模型的基础，用于 评估资产的预期收益率和风险。
详细描述
当独立同分布的随机变量数量趋于无 穷时，这些随机变量的平均值的分布 趋近于正态分布，不论这些随机变量 的分布本身是什么。
弱收敛和依概率收敛
总结词
这是中心极限定理的两种收敛方式，弱收敛强调的是分布函数之间的收敛，而依概率收敛则关注事件发生的概率 。
详细描述
弱收敛是指当独立同分布的随机变量数量趋于无穷时，这些随机变量的平均值的分布函数趋近于正态分布函数。 依概率收敛则是指当独立同分布的随机变量数量趋于无穷时，这些随机变量的平均值以概率1趋近于某个常数。
05 中心极限定理的扩展和展 望
中心极限定理的推广和改进
推广到多元分布
将中心极限定理从一元分布推广到多元分布，研究多维随机变量 的分布性质。
考虑非独立随机变量
研究非独立随机变量的中心极限定理，探索它们之间的依赖关系对 极限分布的影响。
考虑不同收敛速度
研究不同收敛速度下的中心极限定理，以更准确地描述随机变量的 分布特性。
资产配置。
人口统计学
中心极限定理用于研究人口增长、 人口普查数据的分布等，帮助科学 家了解人口变化的规律。
生物学和医学
中心极限定理用于研究生物变异、 遗传基因频率的变化以及医学中的 临床试验和流行病学调查等。
02 中心极限定理的数学表述
独立同分布的中心极限定理
总结词
华东理工大学 概率论课件 16C41中心极限定理22
n
n
1
x t2
e 2 dt
2
其中 x 是任意实数。
推 论 ： 如 果 随 机 变 量 1,2 ,,n , 独 立，服从相 同分
布，且 Ei ， Di 2 ， i 1,2,,n,，
则 n 充分大时，有下面的近似公式：
n
i n
P ( z1 i1 n z2 ) ( z2 ) ( z1)
np(1 p)
np(1 p)
说明： 当p值接近0或1时，用Poisso（ n 泊松）分布近似较精确。
例2. 某厂有400台同类机器，每台机器发生故障的概率都是 0.02，假设各台机器工作是相互独立的，试分别用二项 分布、近似的泊松分布和近似的正态分布计算最多有2 台机器发生故障的概率。
解：设发生故障的机器台数，则 ~ B(n, p), n 400, p 0.02
其中，z1,z2 是任何实数。
例 2 计算机进行加法计算时，把每个加数取为最接近 于它的整数来计算。设所有的取整误差是相互独 立的随机变量，并且都在区间[-0.5,0.5]上服从均 匀分布，求 300 个数相加时误差总和的绝对值小 于 10 的概率。
解：设 i 表示第 i 个加数的取整误差，则 i 在区间 [-0.5,0.5]上服从均匀分布，并且有
300
1 12
2)
(2) (2) 2 (2) 1
2 0.9772 1 0.9544
300 个数相加时误差总和的绝对值小于 10 的概率 为 0.9544。
德莫威尔-拉普拉斯定理：设在独立试验序列中，事件
A 在各次试验中发生的概率为 p(0 p 1) ，随
机变量n 表示事件A 在n次试验中发生的次数，
说明：(1)当n充分大时，服从二项分布B ( n , p ) 的随
中心极限定理(27页PPT)
§5.2 中心极限定理
一. 中心极限定理的定义与意义
定义5.2.1 设随机变量X, X1, X2, …的分布函 数分别为F( x ),F1( x ), F2( x ), …, 若极限式
lim
n
Fn
(
x)
F
(
x
)
在F( x )的每一个连续点上都成立，称随机变 量序列{Xk}, k = 1,2,…依分布收敛于X .
中心极限定理
二. 中心极限定理
定理5.2.1（林德伯格—列维定理、独立
同分布中心极限定理）
设{ Xk }, k =1,2…为相互独立, 具有相同分
布的随机变量序列, 且E( Xk ) = m, D( Xk ) = s2,
则{ Xk }满足中心极限定理，即 有
n
lim
P
k
1
X
k
nm
x
Φ( x)
100
X Xi
i 1
电子科技大学
中心极限定理
并且随机变量 X1, X2, ···, X100 独立同分布,
具有分布律:
P{ X i
k}
1 (2)k1, 33
k 1,2,
因 1
E( X i ) 1 3, 3
2
D( X i )
3
(
1 3
)2
6
i = 1, 2, ···, 100;
根据林德伯格—列维定理, 所求概率
电子科技大学
中心极限定理
100
P{280 Xi 300}
i 1
(0) (0.8165)
0.5 1 (0.8165) 0.293
电子科技大学
中心极限定理
中心极限定理
中心极限定理中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了一类独立同分布随机变量之和的极限分布特征。
本文将介绍中心极限定理的概念、数学表达式以及应用场景，并探讨其原理和证明过程。
一、中心极限定理的概念中心极限定理是概率论的核心内容之一，它表明在一定条件下，当独立同分布随机变量的数量趋于无穷大时，它们的和的分布趋近于正态分布。
这意味着即使原始随机变量不服从正态分布，其和的分布仍然接近正态分布。
二、中心极限定理的数学表达式中心极限定理可以用数学公式表示为：若X₁, X₂, ..., Xₙ是n个独立同分布的随机变量，且具有相同的数学期望μ和方差σ²，则当n趋于无穷大时，这n个随机变量之和的标准化变量（即减去期望值再除以标准差）Zₙ=(X₁+X₂+...+Xₙ-nμ)/(√(nσ²))的极限分布为标准正态分布，即Zₙ服从N(0,1)分布。
三、中心极限定理的应用场景中心极限定理在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在统计学中，当样本容量足够大时，可以利用中心极限定理来近似计算样本均值的抽样分布。
此外，在概率论和数理统计中，中心极限定理也被应用于估计参数的置信区间、假设检验等问题中。
四、中心极限定理的原理和证明过程中心极限定理的原理主要基于独立性和同分布的假设，并借助于大数定律和特征函数的性质进行证明。
具体证明过程较为复杂，可参考相关数学教材和概率论专业资料。
总结：中心极限定理是概率论中一项重要的结果，它描述了独立同分布随机变量和的极限分布接近于正态分布的性质。
中心极限定理在统计学和概率论的研究与应用中具有广泛的意义，并在实际问题中发挥着重要的作用。
理解中心极限定理的概念、数学表达式和应用场景，对于深入研究概率论和统计学具有重要意义。
概率论-第十六讲--中心极限定理
2
20 600
1
2
0.8165
1
0.5878
例3 检验员逐个检查某产品,每查一个需 用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次， 再用去10秒钟. 若产品需重复检查的概率 为 0.5, 求检验员在 8 小时内检查的产品多 于1900个的概率.
解 若在 8 小时内检查的产品多于1900个, 即检查1900个产品所用的时间小于 8 小时.
5000 6 5000 6
2 60 1 0.9624
5000 6
比较几个近似计算的结果
二项分布(精确结果) P X 1 0.01 0.9590
6000 6
中心极限定理
P
X 6000
1 6
0.01
0.9624
Poisson 分布
P
X 6000
1 6
0.01
0.9379
20.747 1 0.494.
第12周 问 题
一本书有 1 000 000 个印刷符号, 排版时每个符号被排错的概率为千分 之一. 校对时, 每个排版错误被改正的 概率为0.99. 求在校对后错误不多于 15 个的概率.
设 Y n ~ B( n , p) , 0 < p < 1, n = 1,2,…
则对任一实数 x，有
lim P Yn np x n np(1 p)
1
x t2
e 2 dt
2
即对任意的 a < b,
lim P a Yn np b
n
np(1 p)
1
b t2
e 2 dt
2 a
则n →∞，有
lim
n
PZn
z
r演示中心极限定理
r演示中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorem，简称CLT）是统计学中一个十分重要的定理，它解决了许多实际问题中的统计推断问题，并且在概率论和数理统计中发挥着重要的作用。
CLT是指，在一定条件下，一组具有独立同分布的随机变量的和的分布会趋向于一个正态分布。
简单来说，当我们有很多相互独立的随机变量时，它们的和就会逐渐趋向于正态分布，不管这些随机变量的分布是什么样的。
这个定理的重要之处在于，正态分布在统计学中非常常见，因此我们可以利用正态分布的一些性质进行统计推断和估计。
为了更好地理解中心极限定理，下面将从定义、条件和证明三个方面进行详细介绍。
首先，CLT的定义是：设X1, X2, ..., Xn是具有相同分布、相互独立的随机变量序列，它们的数学期望为μ，方差为σ^2。
当n趋向于无穷大时，随机变量的和(Sn)除以根号n的极限分布为标准正态分布。
CLT成立的条件一般有三个：独立性、有限方差和相同分布。
其中，"独立性"要求各个随机变量之间相互独立；"有限方差"意味着各个随机变量的方差存在且有限；"相同分布"要求各个随机变量具有相同的概率分布。
证明CLT的方法很多，其中最常见的是使用特征函数的方法。
特征函数是一个随机变量的概率密度函数的傅里叶变换，它包含了该随机变量的所有信息，可以用来描述随机变量的性质。
对于一组相互独立的随机变量序列X1, X2, ..., Xn，它们的特征函数的乘积就是它们和的特征函数，而特征函数的乘积的傅里叶变换又可以通过连乘的形式简化为指数函数。
通过对指数函数的函数展开，我们可以得到和的特征函数的近似形式，从而得出和的分布趋近于正态分布的结论。
中心极限定理在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在调查一个群体时，我们可能只能获得一部分人的数据，但我们希望通过这些数据来对整个群体的情况进行推断。
CLT告诉我们，只要样本足够大且满足一定条件，样本的均值就会接近总体的均值，并且服从正态分布。
概率论-中心极限定理
100
∑
数，则利用中心极限定理可得 P{i=1Xi ≤ 55} 的近似值为
∑ 解：X
为
0-1
分布，则
E(X)
=
1 2
，D(X)
=
1 4
，由中心极限定理可得
¯
X
∼
1
N( 2 ,
1
4 /n)
，故
100
P{i= 1Xi
≤
55}
=
¯
P{X
≤
0.55}
=
0.55 − 0.5
1
Φ( 2 /10 )
=
Φ(1)
。
Processing math: 100%
=
Φ(x)
n
1∑
nk=1Xk − µ
¯
X−µ
对标准化变量进行变形，即 Yn = σ/√n = σ/√n ，也即均值为 µ 、方差为 σ2 > 0 的 n 个随机变量的算术平均值在样本足够大时，近似服 从 N(µ, σ2/n) 。
应用
例一
1
（2020考研数学一）设 X1, X2, . . . , Xn 为来自总体 X 的简单随机样本，其中 P{X = 0} = P{X = 1} = 2 ，Φ(x) 表示标准正态分布函
对标准化变量进行变形即yn1nk1nxk?nx??????nyn1nk1nxk?nx??n也即均值为方差为2020的nn个随机变量的算术平均值在样本足够大时近似服从n2nn2n
概率论 -中心极限定理 概率论 - 中心极限定理
目录
定理内容
定理一（独立同分布的中心极限定理）：设随机变量 X1, X2, . . . , Xn, . . . 相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差： E(Xk) = µ ，
中心极限定理简答题
中心极限定理简答题：
中心极限定理是一种在概率论和统计学中广泛应用的定理，它描述了在大量独立同分布的随机变量中，这些随机变量的平均值的分布近似于正态分布。
中心极限定理的基本思想是，当随机变量的数量足够大时，这些随机变量的平均值的分布将趋近于正态分布，无论这些随机变量本身的分布是什么。
这个定理在许多领域都有广泛的应用，例如金融、生物、医学等。
中心极限定理的数学表述如下：如果有一组独立的随机变量，每个随机变量都有有限的期望和方差，并且这组随机变量的数量足够大，那么这组随机变量的平均值的分布将趋近于正态分布。
中心极限定理的原理
中心极限定理的原理一、中心极限定理的概述中心极限定理(Central Limit Theorem，简称CLT)是概率论中的一个重要定理，它指出了任何形态的原始分布几乎都能够在足够大的样本量下，由样本均值组成的新分布近似服从正态分布的情况。
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值服从的分布接近正态分布，这是概率论中的一个重要定理。
二、中心极限定理的原理中心极限定理的原理是：当随机变量符合某种分布，其均值为μ，方差为σ2，样本数量足够大时，样本均值（也就是样本平均数）服从正态分布 N（μ，σ2/n）。
即样本均值的分布接近正态分布，样本均值的分布间的差异性越小，样本数量越大，样本均值之间的差异越小，最终样本均值的分布越接近正态分布。
三、中心极限定理的应用中心极限定理的应用非常广泛，在统计学、金融学等多个领域都有着重要的应用。
1.在生存分析方面，中心极限定理常用于估计参数的抽样分布，如果抽样分布不满足正态分布，可以利用中心极限定理近似估计抽样分布。
2.在模拟方面，中心极限定理用于生成正态分布的数据，即通过对大量的随机变量进行累加或累积，然后将其分布转换为正态分布，可以解决各种问题。
3.在金融领域，一般所谓的波动是基于正态分布，而中心极限定理是用来产生正态分布的，因此金融应用中的中心极限定理，可以用来模拟金融市场变化，用以预测金融市场的走势。
四、总结中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它指出了任何形态的原始分布几乎都能够在足够大的样本量下，由样本均值组成的新分布近似服从正态分布的情况，原理是当随机变量符合某种分布，其均值为μ，方差为σ2，样本数量足够大时，样本均值服从正态分布 N（μ，σ2/n）。
中心极限定理的应用广泛，在统计学、金融学等多个领域都有着重要的应用。
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1
x t2
e 2 dt
2
林德伯格定理的意义:
被研究的随机变量可以被表示为，
许多相互独立随机变量的和,其中, 每一个随机变量对于总和只起微小的作用,
则这个总和服从
或近似服从正态分布.
定 林德伯格-列维中心极限定理
理
(Lindberg-levi)
二
[ 独立同分布的中心极限定理 ]
定 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 理 (De Moivre-Laplace) 三 [ 二项分布以正态分布为极限分布 ]
系、对随机现象谁也不能起突出影响，而
均匀地起到微小作用的随机因素共同作用
(即这些因素的叠加)的结果.
若联系于此随机现象的随机变量为X ，
则它可被看成为许多相互独立的起微小作
用的因素Xk的总和
或近似服从正态分布.
，而这个X总k 和服从
k
对此现象还 可举个有趣 的例子——
高尔顿钉板 试验—— 加 以说明.
作业 P.138 习题四
19
20
22
23
*补充作业
设某农贸市场某种商品每日的价格的变化是个相互独
立且均值为0, 方差为 2 = 2的随机变量 Yn，并满足
X n X n1 Yn (n 1)
其中Xn是第n天该商品的价格.如果今天的价格为100，求1
8天后该商品的价格在 96 与 104 之间的概率.
解 若在 8 小时内检查的产品多于1900个, 即检查1900个产品所用的时间小于 8 小时.
设 X 为检查1900 个产品所用的时间(秒)
设 Xk 为检查第 k 个产品所用的时间(单位：秒), k =
1,2,…,1900
Xk 10
20
P 0.5
0.5
E( X k ) 15, D( X k ) 25
则 X ~ B( 6000 , 1/
由德莫6佛)—拉普拉斯中心极限定理,
有
X
近似
~
N
1000,
5000 6
P
X 6000
1 6
0.01
P
X
1000
60
1060 1000 940 1000
5000 6 5000 6
60 60
5000 6 5000 6
2 60 1 0.9624
X1, X 2 ,, X1900 相互独立同分布,
E(X ) 190015 28500 D(X ) 1900 25 47500
近似
X ~ N (28500,47500)
1900
X Xk
k 1
P(101900 X 36008) p(19000 X 28800)
28800 28500 19000 28500 47500 47500
记 Yn k1 n
则Yn为
n
X k 的标准化随机变量.
k 1
lim
n
PYn
x
( x)
即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标
准正态随机变量的分布函数
n
Yn 近~似N (0,1)
X k nYn n 近似服从
k 1
N (n, n 2 )
中心极限定理的意义
在第二章曾讲过有许多随机现象服从 正态分布 是由于许多彼次没有什么相依关
定理 1 独立同分布的中心极限定理
设随机变量序列
X1, X 2 ,, X n ,
独立同一分布, 且有期望和方差：
E( X k ) , D( X k ) 2 0 , k 1,2,
则对于任意实数 x ,
n
Xk
n
lim P k1
x
n (x)
2
n
注
X k n
第十六讲 中心极限定理
教学目的： 1.介绍中心极限定理的思想； 2.应用，着重讲解用正态分布计算其它分布的方法；
教学内容： 第四章，§ 4.5
中心极限定理：概率论中有关随机变量 的和的极限分布是正态分布的系列定理。
设随机变量序列
X1, X2, , Xn,
相互独立, 且有期望和方差：
E(
X
i
)
n
i
,
X 解 设
表示今天该商品的价格,
0
为18
X 18
天后该商品的价格, 则
18
X18 X17 Y18 X16 Y17 Y18 X 0 Yi
18
i1
得 P(96 X18 104) P(4 Yi 4)
4
1 18
4 i1
P(
36
36
Yi
i1
) 36
(2 / 3) (2 / 3) 2(2 / 3) 1
反查标准正态函数分布表，得
3.09 99.9%
令 解得
a 120
r
3.09
48
a (3.09 48 120)r 141r (千瓦)
例5 设有一批种子，其中良种占1/6. 试估计在任选的6000粒种子中，良种 比例与 1/6 比较上下不超过1%的概率.
解 设 X 表示6000粒种子中的良种数 ,
5000 6
比较几个近似计算的结果
二项分布(精确结果) 中心极限定理
P X 1 0.01 0.9590
6000 6
P
X 6000
1 6
0.01
0.9624
Poisson 分布
P
X 6000
1 6
0.01
0.9379
Chebyshev 不等式
P
X 6000
1 6
0.01
0.7685
则 X ~ B(200,0.6) ,
由 , 德莫佛—拉普拉斯中心极限定理 有
X ~ N (120, 48) (近似)
问题转化为求 a , 使 P(0 rX a) 99.9%
P(0 rX a) a / r 120 0 120 48 48
a / r 120 (17.32) 48 0
(1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率.
例2 售报员在报摊上卖报, 已知每个过路
人在报摊上买报的概率为1/3. 令X 是出售
了100份报时过路人的数目，求
P (280 X 320).
解 令Xi 为售出了第 i – 1 份报纸后到售出 第i 份报纸时的过路人数, i = 1,2,…,100
1.376 43.589
0.9162
例4 某车间有200台车床，每台独立工作，
开工率为0.6. 开工时每台耗电量为 r 千瓦.
问供 电所至少要供给这个车间多少电力, 才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会因 供电不足而影响生产？
解 设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力，
X 为开工的车床数 ,
P(280 X 320) 320603000 280603000
2
20 600
1
2
0.8165
1
0.5878
例3 检验员逐个检查某产品,每查一个需 用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次， 再用去10秒钟. 若产品需重复检查的概率 为 0.5, 求检验员在 8 小时内检查的产品多 于1900个的概率.
D( X i
)
n
i2
0
,
i
1, 2,
n
n
令 Yn X i 则 E(Yn ) i D(Yn ) i2
i 1
i 1
i 1
Zn
Yn
E(Yn ) D(Yn )
Yn
E(Yn ) sn
,E(Zn )
0
D(Zn ) 1
定理1 林德伯格（Lindberg）定理
设相互独立随机变量
X1, X 2 ,, X n ,
满足林德伯格条件，即
0, 有
1
lim
n
sn2
n i1
|xi|Sn (x ui )2 fi (x)dx 0
其中， fi ( x) 是随机变量
X i 的概率密度
则n →∞，有
lim
n
PZn
z
1
2
x
e
t2
2 dt
(x)
n
( Xi i )
lim P i1
z
n
sn
其中， z 是任何实数
20.747 1 0.494.
第12周 问 题
一本书有 1 000 000 个印刷符号, 排版时每个符号被排错的概率为千分 之一. 校对时, 每个排版错误被改正的 概率为0.99. 求在校对后错误不多 于15 个的概率.
•• • •• • •• •
N (0, n)
n — 钉子层数
3 0 3
定理2 德莫佛—拉普拉斯中心极限定理 （DeMoivre-Laplace ）
设 Y n ~ B( n , p) , 0 < p < 1, n = 1,2,…
则对任一实数 x，有
lim P Yn np x n np(1 p)
即对任意的 a < b,
1
x t2
e 2 dt
2
lim P a Yn np b 1
b t2
e 2 dt
n
np(1 p) 2 a
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)
中心极限定理的应用
例1 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次 轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学 期望为 2 , 均方差为1.5. 若各次轰击命中 的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击
P(Xi k) p1 p k1 , p1/3 k 1,2,
(几何分布)
E( X i )