2020九年级数学上册 第四章 相似三角形 4.5 相似三角形的性质及其应用(第2课时)同步测试
浙教版数学九年级上册4.5《相似三角形的性质及应用》说课稿
浙教版数学九年级上册4.5《相似三角形的性质及应用》说课稿一. 教材分析《相似三角形的性质及应用》是浙教版数学九年级上册第四章第五节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了相似三角形的定义、性质的基础上，进一步探讨相似三角形的性质及应用。
通过本节的学习，使学生能够理解和掌握相似三角形的性质，并能够运用相似三角形的性质解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对相似三角形的定义和性质有一定的了解。
但是，学生对相似三角形的性质及应用的理解和运用还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、思考、交流等方式，进一步理解和掌握相似三角形的性质，并能够运用相似三角形的性质解决实际问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解和掌握相似三角形的性质，能够运用相似三角形的性质解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、交流等方式，培养学生的观察能力、思考能力和交流能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和毅力，使学生体验到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：相似三角形的性质及应用。
2.教学难点：相似三角形的性质的推导和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等，引导学生通过观察、思考、交流等方式，理解和掌握相似三角形的性质。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具，帮助学生直观地理解和掌握相似三角形的性质。
六. 说教学过程1.导入：通过复习相似三角形的定义和性质，引导学生进入本节内容的学习。
2.探究：提出问题，引导学生观察、思考、交流，探究相似三角形的性质。
3.讲解：讲解相似三角形的性质及应用，引导学生理解和掌握相似三角形的性质。
4.练习：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学的内容。
5.总结：对本节内容进行总结，强调相似三角形的性质及应用。
七. 说板书设计板书设计如下：相似三角形的性质及应用•对应边成比例•对应角相等•解决实际问题•证明相似三角形八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、作业完成情况和练习成绩来进行。
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A
求证: CΔ ABC
C = k Δ A/B/C/
SΔ ABC
2
S = k Δ A/B/C/
证明：∵△ABC∽△A/B/C/且相似比为k
B
A/
B/
C/
C
AB A/B/
=
BC B/C/
=
AC A/C/
=k
∴AB=kA/B/，BC=kB/C/，AC=kA/C/
Hale Waihona Puke ∴ CΔ ABC = AB + BC + AC CΔ A/B/C/ A B/ / + B/C/ + A C/ /
1 2
6
4
1 2
3
2
4、两个相似三角形的周长之比与相似比
有什么关系？面积之比与相似比有什么
关系？
B/
C/
D/
验一验：
相似三角形的周长比等于相似比， 面积比等于相似比的平方
是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？
相似三角形的周长比等于相似比; 相似三角形的面积比等于相似比的平方
已知:Δ ABC∽Δ A/B/C/，相似比为k,
（3）如果三角形的面积扩大到原来的100倍， 那么三角形的边长扩大到原来的 10 倍.
30m D
18m
A E
B
C
如图，已知DE//BC,AB=30m,BD=18m, Δ ABC的周长为80m，面积为100m2, 求Δ ADE的周长和面积
例:如图,是某市部分街道图，比例尺为1：100 000；请估计三条
“每个平淡无奇的生命中，都蕴藏着一座丰富的金矿，肯挖掘，哪怕仅仅是微乎其 微的一丝优点的暗示，沿着它也会挖出令自己都惊讶不已的宝藏。” 一个穷困潦倒的青年，流浪到巴黎，期望父亲的朋友能帮自己找一份谋生的差事。
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4.5 相似三角形的性质及其应用一、选择题（共10小题；共50分）1. 如图，身高为 1.6 m的某学生想测量学校旗杆的高，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2.0 m，BC=8.0 m，则旗杆的高度是( )A. 6.4 mB. 7.0 mC. 8.0 mD. 9.0 m2. 两个相似多边形，一组对应边的长分别是 2 cm和 3 cm，如果它们的面积之和是78 cm2，那么较大的多边形面积为( )A. 44.8 cm2B. 49.92 cm2C. 52 cm2D. 54 cm23. 如图是幻灯机的工作原理图，其中幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离为20 cm，幻灯片与屏幕间的距离为1.8 m，幻灯片上的图案的高度是8 cm，屏幕上图案的高度应为( )A. 72 cmB. 7.2 mC. 80 cmD. 8 m4. 某块面积为4000 m2的多边形草坪，在某市政建设规划设计图纸上的面积为250 cm2，这块草坪某条边的长度是40 m，则它在设计图纸上的长度是( )A. 4 cmB. 5 cmC. 10 cmD. 40 cm5. 如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，测得BD=10 m，然后又在垂直AB的直线上取点C，并量得BC=30 m．如果DE=20 m，则河宽AD为( )m C. 10 m D. 30 mA. 20 mB. 2036. 如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为( )A. 4B. 4√2C. 6D. 4√37. 如图所示，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20 m，EC=10 m，CD=20 m，则河的宽度AB等于( )A. 60 mB. 40 mC. 30 mD. 20 m8. 某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9:4，其中一块草坪的周长是36 m，则另一块草坪的周长是( )A. 24 mB. 54 mC. 24 m或54 mD. 36 m或54 m9. 如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是 1.6 m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为 2 m 和1 m，那么塔高AB为( )．A. 24mB. 22mC. 20mD. 18m10. 如图，以M(−5,0)为圆心，4为半径的圆与x轴交于A，B两点，P是⊙M上异于A，B的一动点，直线PA，PB分别交y轴于C，D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E，F，则EF 的长( )．A. 等于4√2B. 等于4√3C. 等于6D. 随P点二、填空题（共10小题；共50分）11. 利用影长测量物体的高度，通常利用“相似三角形对应边”的原理解决，在同一时刻物高与影长的比．12. 同一时刻阳光下，哥哥的身高是 1.68 m，在地面上的影子长是 2.1 m，同一时刻测得弟弟的影子长是1.8 m，则弟弟的身高是m．13. 已知两个三角形相似，它们的一组对应边分别是3和4，那么它们对应高的比等于．14. 如图，为测量电视塔AB的高度（包括台阶高），小亮在他与电视塔之间竖立一根 5 m高的标杆（即CE），当他距标杆 2 m时（即点D处），塔尖A、标杆的顶端E与小亮的眼睛F恰好在一条直线上．已知小亮的眼睛距地面的高度是 1.6 m，标杆与电视塔之间的距离是108 m，则电视塔的高度是 m．15. 为了测量校园内水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底(B)8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树(AB)的高度约为米（精确到0.1米）．16. 如图，小明用长为 3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的顶端C、A与O点在一条直线上，则根据图中数据可得旗杆AB的高为 m．17. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P，则点P 与Q的坐标分别为，．18. （1）如图，斜坡长OA=30 m，若沿斜坡向上走 5 m时上升了 1 m，则到达坡顶点A时上升了 m；（2）在某一时刻，测得一根高为 1.8 m的竹竿的影长为 3 m，同时得—幢高楼的影长为90 m，这幢高楼的高度是 m．19. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有个．20. 如图，某校有一呈梯形状的运动场，现只测量出△CDE的面积为m，△ABE的面积为n，则梯形状运动场的面积为．三、解答题（共5小题；共65分）21. 已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3:4，则△ABC与△DEF的面积之比为A. 4:3B. 3:4C. 16:9D. 9:1622. 如图，为了测量山脚B，C之间的距离，选定一点O，量得OB=120步，OC=80步，在BO的延长线上取点D，使OD=60步，在CO的延长线上取点A，使OA=40步，量得AD=68步．你知道B、C之间相距多少步吗?23. 如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．24. 如图，为了估算河的宽度，可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直．在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，求河的宽度PQ．25. 已知四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．Ⅰ如图，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：DECF =ADDC；Ⅱ如图，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得DECF= ADDC成立?并证明你的结论；Ⅲ如图，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90∘，DE⊥CF，请直接写出DECF的值．答案第一部分1. C2. D3. C4. C5. A6. B7. B8. C9. A 10. C第二部分11. 成比例；相等12. 1.4413. 3:414. 188.615. 5.616. 9．17. (2,4−2√2)、(√2,√2)18. （1）6；（2）54 .19. 320. m+n+2√mn第三部分21. D 22. ∵OAOC =ODOB=12，∠AOD=∠BOC．∴△AOD∽△COB．∴OAOC =ADBC．又AD=68，∴BC=136．答：B，C之间相距136步．23. 在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，∴DEAB =DFAC=12．又∠D=∠A，∴△DEF∼△ABC，相似比为12．∴△DEF的周长为12×24=12，面积为(12)2×48=12．24. ∵∠PQR=∠PST=90∘，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST．∴PQPS =QRST，即PQPQ+QS =QRST，PQPQ+45=6090，PQ×90=(PQ+45)×60．解得PQ=90．因此河的宽度PQ为90 m．25. （1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90∘．∴∠DCF+∠CFD=90∘．∵DE⊥CF，∴∠ADE+∠CFD=90∘．∴∠ADE=∠DCF．∴△ADE∽△DCF．∴DFCF =ADDC．（2）当∠B+∠EGC=180∘时，DECF=ADDC成立．证明：在AD的延长线上取点M，使CM=CF，则∠CMF=∠CFM，∵AB∥CD，∴∠A=∠CDM．∵∠B+∠EGC=180∘，∴∠AED=∠FCB．∵AD∥BC，∴∠FCB=∠CFM．∴∠CMF=∠AED．∴△ADE∽△DCM．∴DECM =ADDC，即DECF=ADDC．（3）DECF=2524．初中数学试卷。
2024年浙教版数学九年级上册4.5《相似三角形的性质及应用》教学设计
2024年浙教版数学九年级上册4.5《相似三角形的性质及应用》教学设计一. 教材分析《相似三角形的性质及应用》是浙教版数学九年级上册第4.5节的内容。
本节主要介绍相似三角形的性质，包括相似三角形的对应边成比例、对应角相等以及相似比的概念。
同时，通过实际例题让学生了解相似三角形在实际问题中的应用。
本节内容是学生学习几何知识的重要环节，为后续学习相似多边形、三角函数等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本知识，具备一定的逻辑思维能力。
但是，对于相似三角形的性质及应用，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要关注学生的认知水平，注重引导，激发学生的学习兴趣，提高学生的动手操作能力和解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例、对应角相等。
2.学会运用相似三角形的性质解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.培养学生的观察能力、动手操作能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.相似三角形的性质及其证明。
2.相似三角形在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究相似三角形的性质。
2.利用多媒体辅助教学，展示相似三角形的动态变化，增强学生的直观感受。
3.运用实例分析法，让学生了解相似三角形在实际问题中的应用。
4.小组讨论，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.教学课件。
3.练习题及答案。
4.三角板、直尺等绘图工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示两组三角形，让学生观察并判断它们是否相似。
通过直观的展示，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍相似三角形的定义及其性质，包括对应边成比例、对应角相等。
通过示例和证明，让学生理解和掌握相似三角形的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组进行动手操作，利用三角板、直尺等工具，绘制一组相似三角形，并验证它们的性质。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
九年级数学上册4.5相似三角形的性质及应用教案浙教版(new)
《相似三角形的性质及其应用》教学目标1、能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题。
2、进一步检验数学的应用价值。
重点与难点1、本节教学的重点是运用相似三角形的性质解决简单的实际问题.2、由于学生缺乏一定的生活经验，让他们设计测量树高的方案有一定的难度，所以例题中的方案设计是本节教学的难点。
知识要点1、若物体的高度和宽度不能被直接测量，则一般思路是根据题意和所求,建立相关的相似三角形的模型，然后根据相似三角形的性质以及比例关系可求得.2、在同一时刻两个物体的高度和它的影长是成比例的.重要方法1、在测量物体的高时,物体与水平面是垂直的。
2、在测量宽度时，可采用下面的方法。
教学过程一、复习提问 我们已经学习相似三角形的性质有哪些？1、相似三角形对应角相等。
∵△A ′B ′C ′∽△ABC ∴ ∠A = ∠A ′ ， ∠B = ∠B ′ ∠C = ∠C ′A B C D EA B C D E2、相似三角形对应边成比例.∵△ABC∽△ABC∴错误!＝错误!＝错误!3、相似三角形的周长之比等于相似比；4、相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
5、相似三角形对应边上的高线之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比。
思考：你能够将上面生活中的问题转化为数学问题吗？二、例题讲解1、校园里有一棵大铁树，要测量树的高度，你有什么方法?把一小镜子放在离树(AB）8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2。
8m,观察者目高CD=1。
6m。
这时树高多少？你能解决这个问题吗？DCAB CA′B′C′长为2。
40m 的标杆CD 直立在地面上，量出树的影长为2。
80m,标杆的影长为1。
47m.这时树高多少？你能解决这个问题吗?分别根据上述两种不同方法求出树高（精确到0.1m ）请你自己写出求解过程，并与同伴探讨，还有其他测量树高的方法吗？2、如图,屋架跨度的一半OP =5m ，高度OQ =2. 25 m.现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度 AC =1. 20m ，AB 在水平位置.求AB 的长度。
相似三角形的性质及其应用
相似三角形的性质及其应用
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
接下来分享相似三角形的性质和应用，供大家参考。
相似三角形的性质
1. 相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2. 相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。
3. 相似三角形周长的比等于相似比。
4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。
由 4 可得：相似比等于面积比的算术平方根。
5. 相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方
6. 若a/b =b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中项
7. a/b=c/d等同于ad=bc.
8. 不必是在同一平面内的三角形里。
应用
1.求物高，求距离。
2.设x的方程思想=等式如下：
面积公式
勾股定理
全等三角形或相似三角形
三角函数
3.步骤
看实际问题（给定）
提取关键信息
画相应图形（建立数学模型）
找出等量关系（设X求解）
4.默认已知的条件：
太阳光是平行光线
同一时刻，甲物高/乙物高=甲影长/乙影长。
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4．5 相似三角形的性质及其应用1．两个相似三角形的对应高线之比为1∶2，那么它们的对应中线之比为(A)A．1∶2 B．1∶3C．1∶4 D．1∶82．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为1∶2，则△ABC与△DEF对应角平分线之比为(B) A．2∶1 B．1∶2C．1∶4 D．4∶1(第3题)3．如图，已知点D是△ABC的重心，则下列结论不正确的是(B)A．AD＝2DEB．AE＝2DEC．BE＝CED．AE＝3DE4．如果两个相似三角形的对应角平分线之比是2∶3，那么它们的对应高线之比是2∶3．5. 已知两个相似三角形的相似比是1∶4，那么它们的对应高线之比是__1∶4__．6. 若两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为70°和60°，则另一个三角形的最大内角和最小内角分别是70°，50°．7. 若一个三角形三边之比为3∶5∶7，一个与之相似的三角形最长边的长为21 cm，则其余两边长的和为24cm.8．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，点P由点B出发沿BA方向向终点A匀速运动，速度为1 cm/s；同时点Q由点A出发沿AC方向向终点C匀速运动，速度为2 cm/s.连结PQ，设点P，Q运动的时间为t(s)(0＜t＜2)，当以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似时，求t的值．(第8题)【解】 在Rt△ACB 中， ∵AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝5.由题意，得BP ＝t ，AQ ＝2t ，∴AP ＝5－t . ∵∠A ＝∠A ，∴分两种情况： ①若△APQ ∽△ABC, 则AQ AC ＝AP AB ，即2t 4＝5－t 5， 解得t ＝107.②若△AQP ∽△ABC ， 则AQ AB ＝AP AC ，即2t 5＝5－t 4， 解得t ＝2513.∴当以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似时，t 的值为107或2513.9．已知△ABC 与△DEF 相似，且∠A ＝∠E ，AB ＝4，BC ＝5，AC ＝6，EF ＝12，则DF ＝10或15． 【解】 ∵∠A ＝∠E ，AB ＝4，BC ＝5，AC ＝6，EF ＝12，△ABC 与△DEF 相似， ∴EF AB ＝DF CB 或BC DF ＝AC EF， 即124＝DF 5或5DF ＝612， 解得DF ＝15或10.(第10题)10．如图，点G 是等边△ABC 的重心，过点G 作BC 的平行线，分别交AB ，AC 于点D ，E ，点M 在BC 边上．如果以点B ，D ，M 为顶点的三角形与以点C ，E ，M 为顶点的三角形相似(但不全等)，那么S △BDM ∶S △CEM2或2【解】 ∵点G 是等边△ABC 的重心，DE ∥BC ， ∴AB ＝BC ＝AC ，∠B ＝∠C ＝60°，BD AB ＝CE AC ＝13， ∴BD ＝13AB ，CE ＝13AC ，∴BD ＝CE .当△BDM ∽△CME 时， 则有BD CM ＝BMCE.设BD ＝a ，CM ＝x ，则CE ＝a ，BC ＝3a ，BM ＝3a －x .∴a x ＝3a －x a ，解得x ＝3±52a . 当CM ＝3－52a 时，BM ＝3＋52a ，∴S △BDM ∶S △CEM ＝BM ∶CM ＝7＋3 52.当CM ＝3＋52a 时，BM ＝3－52a ，∴S △BDM ∶S △CEM ＝BM ∶CM ＝7－3 52.当△BDM ∽△CEM 时， 则有BD CE ＝BM CM ＝DMEM＝1，此时△BDM ≌△CEM ，与题意不符．综上所述，S △BDM ∶S △CEM ＝7＋3 52或7－3 52.11．已知在△ABC 中，∠C ＝90°，点G 是△ABC 的重心，AB ＝8.(1)求线段GC 的长；(2)过点G 的直线MN ∥AB ，交AC 于点M ，交BC 于点N ，求MN 的长．,(第11题))【解】 (1)延长CG 交AB 于点D. ∵点G 是△ABC 的重心， ∴CD 为AB 边上的中线，CG ＝23CD.又∵∠C＝90°，∴CD ＝12AB ＝4，∴CG ＝23CD ＝83.(2)∵MN ∥AB ， ∴△CMN ∽△CAB ， ∴MN AB ＝MC AC . 同理，可证△CMG ∽△CAD ， ∴MC AC ＝CG CD ， ∴MN AB ＝CG CD ＝23， ∴MN ＝23AB ＝163.(第12题)12．已知△ABC(如图所示)． (1)在图中作出△ABC 的重心O ；(2)设BC ，AC ，AB 边的中点分别为M ，N ，G ，度量OM 和OA ，ON 与OB ，OG 与OC ，根据度量的结果，猜想三角形的重心到三角形顶点的距离与到对边中点的距离之间有何关系，并证明．【解】 (1)用尺规作图作出△ABC 三边的中线AM ，BN ，CG ，设它们的交点为O ，则O 为△ABC 的重心(作图略)．(2)通过度量发现：OA ＝2OM ，OB ＝2ON ，OC ＝2OG.猜想：三角形的重心到三角形顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍．(第12题解)证明：如解图所示，分别取OB ，OC 的中点K ，H ，连结KH ，HN ，NG ，GK ，如解图． ∵G ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴GN 平行且等于12BC ，同理，KH 平行且等于12BC ，∴GN 平行且等于KH.∴四边形KHNG 是平行四边形， ∴OK ＝ON. ∵BK ＝OK ， ∴OB ＝2ON.同理，OA ＝2OM ，OC ＝2OG.13．我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：(1)若O 是△ABC 的重心(如图①)，连结AO 并延长交BC 于点D ，求证：AO AD ＝23；(2)若AD 是△ABC 的一条中线(如图②)，O 是AD 上一点，且满足AO AD ＝23，那么O 是△ABC 的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；(3)若O 是△ABC 的重心，过点O 的一条直线分别与AB ，AC 交于点G ，H(均不与△ABC 的顶点重合)(如图③)，S 四边形BCHG ，S △AGH 分别表示四边形BCHG 和△AGH 的面积，求S 四边形BCHGS △AGH的最大值．(第13题)(第13题解①)【解】 (1)连结CO 并延长，交AB 于点E ，如解图①. ∵点O 是△ABC 的重心，∴CE 是AB 边上的中线，点E 是AB 的中点． ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥AC ，且DE ＝12AC.∴△AOC ∽△DOE ， ∴AO DO ＝ACDE＝2，∴AO ＝2DO.(第13题解②)∵AD ＝AO ＋DO ＝3DO ， ∴AO AD ＝23. (2)点O 是△ABC 的重心．证明如下：过点C 作△ABC 的中线CE 交AB 于点E ，交AD 于点Q ，则点Q 为△ABC 的重心，如解图②.由(1)知AQ AD ＝23，又∵AO AD ＝23，∴点Q 与点O 重合， ∴点O 是△ABC 的重心．(第13题解③)(3)连结DG ，如解图③. 设S △GOD ＝S.由(1)知AO AD ＝23，即OA ＝2OD ，∴S △AOG ＝2S ，S △AGD ＝S △GOD ＋S △AGO ＝3S. 不妨设AG ＝1，BG ＝x. ∵S △BGD S △AGD ＝x1，S △AGD ＝3S ， ∴S △BGD ＝3xS.∴S △ABD ＝S △AGD ＋S △BGD ＝3S ＋3xS ＝(3x ＋3)S ， ∴S △ABC ＝2S △ABD ＝(6x ＋6)S.设OH ＝k·OG，由S △AGO ＝2S ，得S △AOH ＝2kS ， ∴S △AGH ＝S △AGO ＋S △AOH ＝(2k ＋2)S.∴S 四边形BCHG ＝S △ABC －S △AGH ＝(6x ＋6)S －(2k ＋2)S ＝(6x －2k ＋4)S. ∴S 四边形BCHG S △AGH ＝（6x －2k ＋4）S （2k ＋2）S ＝3x －k ＋2k ＋1.① 过点O 作OF∥BC 交AC 于点F ，过点G 作GE∥BC 交AC 于点E ，如解图③，则OF∥GE. ∵O F∥BC， ∴OF CD ＝AO AD ＝23， ∴OF ＝23CD ＝13BC.∵GE ∥BC ，∴GE BC ＝AG AB ＝1x ＋1， ∴GE ＝BCx ＋1；∴OF GE ＝13BC BC x ＋1＝x ＋13. ∵OF ∥GE ， ∴OH GH ＝OF GE ＝x ＋13， ∴OH OG ＝OH GH －OH ＝x ＋12－x， ∴k ＝x ＋12－x.将k ＝x ＋12－x代入①式，得S 四边形BCHG S △AGH ＝3x －k ＋2k ＋1＝3x －x ＋12－x ＋2x ＋12－x＋1＝－x 2＋x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋54， ∴当x ＝12(即BG ＝12AG)时，S 四边形BCHG S △AGH 有最大值，最大值为54.初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。
(完整word版)九年级数学相似三角形的性质及应用(教师版)知识点+典型例题+详细答案(良心出品必属
相似三角形的性质及应用【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1 •相似三角形的对应角相等，对应边的比相等2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比3. 相似三角形周长的比等于相似比JP CA则匚m厂•AB+BC^CA kA'B^^^+k^A1由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方曲BC CA.詡,「，则分别作出「二'与沁丁的高1 1BC AD k BC k ADS亠和」l ,则石注二屮27 =k2S AABZ丄BC AD2要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的•要点二、相似三角形的应用1. 测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2. 测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC BD CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2 .如乙图所示，可先测AC DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB 的长.要点诠释：1 •比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺=图上距离/实际距离；2•太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线•在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比；3 •视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）；4•仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角.【典型例题】类型一、相似三角形的性质△ ABB A DEF若厶ABC的边长分别为5cm 6cm 7cm,而4。
4.5 相似三角形的性质及其应用九年级上册数学浙教版
知识点1 相似三角形对应线段的性质 重难点
1.根据相似三角形的定义可知，我们可得到相似三角形的两个基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
2.相似三角形对应线段的性质:相似三角形对应高线的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比，即相似三角形对应线段的比等于相似比.
测量数据
观测者的眼睛与地面的距离 ,标杆的高度 ,观测者与标杆之间的距离 ,观测者与旗杆之间的距离 .
注意：观测者的眼睛（点 ）、标杆的顶端（点 ）和旗杆的顶端（点 ）必须要“三点共线”,标杆与地面要垂直,同时旗杆底部必须可到达
典例4 如图,小华在水平地面上放置了一小块平面镜 来测量铁塔 的高度,已知当镜子与铁塔底部的距离 、镜子与小华的距离 时,小华刚好从镜子中看到铁塔的顶端 .若小华的眼睛距离地面的高度 ,试估计铁塔 的高度.
图形
推理
结论
周长之比
.
周长之比等于相似比.
面积之比
.
面积之比等于相似比的平方.
典例3 （2023·丽水期末）已知 ，且 与 的周长比为 ，则 与 的面积比为__.
[解析] ，且周长比为 ， 与 的相似比为 ， 与 的面积比为 .
解题通法相似三角形性质的应用技巧相似三角形的相似比、各对应线段的比、周长比及面积比之间是可以互相转化的,即相似比 对应高线的比 对离等于____ .转动时，叶片外端离地面的最大高度等于___________ .
[解析] 如图，过点 作 ， 的平行线，交 于点 ，过点 作水平线 交 于点 ，过点 作 ，垂足为 ，连结 并延长至点 ，使得 .
由题意可知，点 是 的中点. ， , 点 是
的中点. ， ， .
北师大版九年级数学第四章相似三角形的性质及应用
相似三角形的性质及应用【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点进阶：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.要点进阶：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．要点二、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点进阶：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3. 相似三角形周长的比等于相似比.∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABCA B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点进阶：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.【典型例题】类型一、相似三角形的应用例1. 在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上。
4.5相似三角形的性质及其应用第一节课件(1)
A A'
计算：
D' E' F'
B
BC 相似比 k _____ C B' C' 2 B' C ' 测量： AD _______, AD _______, 2 发扬 A' D ' ______; A' D ' 合作 AE _______, AE _______, 精神 2 A' E ' ______; A' E ' AF _______, AF _______, 2 A' F ' ______. A' F ' 观察这些数据，你会有怎样的猜想呢？
小试牛刀
3．若△ABC∽△A’B’C’,由图中已知条 件，可知这两个三角形对应中线AD，A’D’ 的比是 .3：2
A A'
9
B D
C B'
6
D' C'
D
小结：
相似三角形的对应高、对应中线、
你今天学到了什么知识？ 对应角平分线的比都等于相似比.
（2）令你最感困惑是什么？
（3）你对自己或同学的表现满意 吗？对自己或同学说一说
D E F
1、如图，△ABC∽△A’B’C’ ，△ABC与
△A’B’C’的相似比是 ，AD与
A’D’是对应角平分线，求AD与A’D’ 的比。
A
1 2
A'
3' 4'
B
D
C
B'
D'
C'
A
12
B
D
C
B'
3' 4'
九年级数学上册第4章相似三角形4.5相似三角形的性质及其应用
∴ △ASR∽△ABC.
Q
C (两角分别相等的两个三角形相似)
（2）∵ △ASR∽△ABC.
∴
A
AE SR AD BC
S 40cm E
R
x
B
PD
Q
60cm
(相似三角形对应高的比等于相似比)
设正方形PQRS的边长为xcm,
C
则AE=(40-x)cm,
40 x
x .
40
60
解得,x=24.
C' D'
明。
结论：相似三角形对应中线的比等于相似比.
相似三角形的性质：
定理：相似三角形对应高的比, 对应角平分线的比， 对应中线的比都等于相似比.
议一议
如图,已知△ABC∽△A’B’C’，△ABC与△A’B’C’ 相似比为k.点E在BC上，点D’,E’在B’C’边上.
1
1
(1)若AD∠BAD=3 ∠BAC, ∠B’A’D3’=
则A' D ' 等于多少？
A
∠B’A’C’,
A’
B
D
B’
D’
C’
C
新课学习
(2）若BE= 1BC，B’E’= 1 B’C’,则 AE等于多少?
3
3
A'E '
A
A’
B
E
C
B’
E’
C’
（3）若∠BAD= 1 ∠BAC, ∠B’A’D’= 1 ∠B’A’C’呢？
n
n
（4）若BE=
1 n
BC，B’E’=
1 n
如图, AD是△ABC的高, 点P,Q在BC边上，点S、R分别在AB、AC上. BC=60cm，高AD=40cm，四边形PQRS是正方形
2020年秋九年级数学上册第四章相似三角形4.5相似三角形的性质及其应用①课件新版浙教版
教学目标：
1.掌握相似三角形的“对应角相等，对应边成比例”的性 质.
2.会用上述性质解决有关的几何论证和计算问题.
3.了解三角形的重心概念和重心分每一条中线成1:2的两条 线段的性质.
重难点：
●本节教学的重点是相似三角形的基本性质：“对应角相 等，对应边成比例”的应用.
2
2
•且△EGF∽△BDF. GF EG EG 1 ， DF BD CD 2
GF 1 DF 1 AD.
2
6
AG 2. GF
5.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点， △ADE∽△ACB，相似比为AD：AC＝2：3.△ABC 的角平分线AF 交DE 于点G，交BC于点F.求AG与GF的比.
●例2的证明需添辅助线，是本节教学的难点.
在10倍的放大镜下看到的 三角形与原三角形相比，三角
形的边长、周长、角、面积这 些量中，哪些被放大10倍？
根据相似三角形的定义，我们可得到相似三角
形的两个基本性质：相似三角形的对应角相等，对 应边成比例.它们的应用非常广泛.
例1 如图4 - 24，△A' B'C'∽△ABC，相似比为B'C' k.
△A' B' D'∽△ABD（有两个角对应相等的两个三角形相似），
A' D' A' B' B'C' k. AD AB BC
例2 已知：如图4 - 25，BD，CE是△ABC的两条中线，P是它们的交点.
求证：DP EP 1 . BP CP 2
证明 如图4-25，连结DE.
∵ BD,CE是△ABC的两条中线，
2020浙教版数学九年级上册相似三角形的性质及其应用
4.4相似三角形的性质及其应用（1）导学案学习目标：1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程.2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质.3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题.学习重点：本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质学习难点：相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，是本节教学的难点.教学过程：课前回顾：如图：已知三角形ABC相似于三角形A，B，C，（1）试求出三角形ABC与三角形A，B，C，的相似比。
（2）试求出三角形ABC与三角形A，B，C，的周长与面积。
（3）试判断三角形ABC与三角形A，B，C，的周长比、面积比与相似比间的关系。
二、自主学习1（1）阅读P113-114做一做之前部分并完成做一做，（2）已知两个三角形相似，请完成下列表格相似比 2周长比13面积比10000完成课内练习三、自主学习2：自学书本例题。
完成课本作业题部分4.5.6四、拓展练习1.若两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的对应高线的比是，对应中线的比是，对应角平分线的比是，周长比是，面积比是。
2.两个等边三角形的面积比是3∶4，则它们的边长比是，周长比是。
3.如图，在三角形ABC中，点D，E，F，M分别在三角形三边上，且四边形DEFM是正方形，若S三角形ADE=1，S正方形DEFM=4，求三角形ABC的面积。
寻疑：质疑：解疑：附件1：律师事务所反盗版维权声明附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）学校名录参见：/Info.aspx?InfoID=85353。
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4.5 相似三角形的性质及其应用(第2课时)
1．相似三角形的周长之比等于________． 2．相似三角形的面积之比等于____________．
A 组 基础训练
1．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶4 C ．1∶5 D ．1∶16 2．顺次连结三角形各边中点所得的三角形与原三角形的周长之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶4 C ．2∶1 D ．4∶1
3．(内江中考)如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连结AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ∶S △ABF ＝4∶25，则DE∶EC ＝( )
A ．2∶5
B ．2∶3
C ．3∶5
D ．3∶2
第3题图
2．如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 的面积的一半，若AB ＝2，则此三角形移动的距离AA′是( )
第4题图
A.2－1
B.
22 C ．1 D.12
5．若两个相似三角形的相似比为2∶3，则它们的周长之比为________，面积之比为________． 6．地图上为1cm 2
的面积实际面积为400m 2
，则该地图的比例尺为________．
7．如图，⊙O 的两弦AB ，CD 交于点P ，连结AC ，BD ，得S △ACP ∶S △DBP ＝16∶9，则AC∶BD ＝________．
第7题图
3．(酒泉中考)如图，D，E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE∶S△CDE＝1∶3，则S△DOE∶S△AOC 的值为________．
第8题图
9．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2BD.
(1)若△ADE的周长为6，求△ABC的周长；
(2)若S梯形BCED＝20，求S△ADE.
第9题图
10．已知两个相似三角形的一对对应边长分别是35cm和14cm.
(1)已知它们的周长相差60cm，求这两个三角形的周长；
(2)已知它们的面积相差588cm2，求这两个三角形的面积．
B组自主提高
11.如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，已知AB ＝4，AD ＝2，∠DAC ＝∠B ，若△ABD 的面积为a ，则△ACD 的面积为( )
第11题图
A ．a B.12a C.13a D.2
3
a
12．如图，Rt △ABO 与反比例函数y ＝－16
x (x ＜0)的图象交于点D ，且OD ＝2AD ，过D 作DC⊥x 轴于点C ，则
S 四边形ABCD ＝________．
第12题图
13．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB.已知△ADE 和△EFC 的面积分别为4cm 2
和9cm 2
，求△ABC 的面积．
第13题图
C 组 综合运用
14．如图，已知在△ABC 中，D 是BC 的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于F. (1)求证：△ABC∽△FCD ；
(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求△ABC 的边BC 上的高AM 及ED 的长．
第14题图
4．5 相似三角形的性质及其应用(第2课时)
【课堂笔记】
1．相似比 2.相似比的平方 【课时训练】 1－4.AABA 5.2∶3 4∶9 6.1∶2000 7.4∶3 8．1∶16
9. (1)∵DE∥BC，∴△ADE ∽△ABC ，∴
C △ADE C △ABC ＝A
D AB .∵AD ＝2BD ，∴AD AB ＝23，又∵C △AD
E ＝6，∴6C △ABC ＝2
3
，∴C △ABC
＝9； (2)S △ADE S △ABC ＝(AD AB )2＝49，∴S △ADE S △ADE ＋20＝4
9
，∴S △ADE ＝16.
10. (1)∵相似三角形的对应边长分别是35cm 和14cm ，∴这两个三角形的相似比为5∶2，∴这两个三角形的周长比为5∶2.∵它们的周长相差60cm ，设较大的三角形的周长为5x cm ，较小的三角形的周长为2x cm ，∴5x －2x ＝60，∴x ＝20，∴5x ＝5×20＝100(cm )，2x ＝2×20＝40(cm )，∴较大的三角形的周长为100cm ，较小的三角形的周长为40cm ； (2)∵这两个三角形的相似比为5∶2，∴这两个三角形的面积比为25∶4.∵它们的面积相差588cm 2
，设较大的三角形的面积为25x cm 2
，较小的三角形的面积为4x cm 2
，∴(25－4)x ＝588，∴x ＝28，∴25x ＝25×28＝700(cm 2
)，4x ＝4×28＝112(cm 2
)，∴较大的三角形的面积为700cm 2
，较小的三角形的面积为112cm 2
.
11. C 12. 10
13. ∵DE∥BC，EF ∥AB ，∴∠AED ＝∠C，∠A ＝∠FEC，∴△ADE ∽△EFC ，∴S △ADE S △EFC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE EC 2＝49，∴AE EC ＝23，∴
AE AC ＝25，∵△ADE∽△ABC，∴S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AC 2＝425
，∴S △ABC ＝25cm 2
. 14. (1)证明：∵AD＝AC ，∴∠ADC ＝∠ACD.∵D 是BC 边上的中点，DE ⊥BC ，∴EB ＝EC ，∴∠EBC ＝∠ECB.∴△ABC∽△FCD； (2)∵△ABC∽△FCD，BC ＝2CD ，∴S △FCD S △ABC ＝(CD CB )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.∵S △FCD ＝5，∴S △ABC ＝20.又
∵S △ABC ＝12×BC ×AM ，BC ＝10，∴AM ＝4.又DM ＝CM ＝12CD ，DE ∥AM ，∴DE ∶AM ＝BD∶BM＝23，∴DE ＝8
3
.。