4.4.3 第1课时 直线的参数方程的应用
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直线的参数方程及应用一、直线的参数方程1.定义：若α为直线l 的倾斜角，则称(cos ,sin )e =rαα为直线l 的(一个)方向向量.2.求证：若,P Q 为直线l 上任意两点，(cos ,sin )e =rαα为l 的方向向量,则有//PQ e u u u r r .证明：3.设直线l 过点000(,)M x y 的倾斜角为α，求它的一个参数方程. 归纳小结二、弦长公式、线段中点参数值 例1 已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于,A B 两点，求线段AB 的长和点(1,2)M -到,A B 两点的距离之积.例2 经过点(2,1)M 作直线l ，交椭圆221164x y +=于,A B 两点.如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程.练习1.设直线l 经过点0(1,5)M ，倾斜角为π.（1）求直线l 的参数方程；（2）求直线l 和直线0x y --=的交点到点0M 的距离；（3）求直线l 和圆2216x y +=的两个交点到点0M 的距离的和与积.2.已知经过点(2,0)P ，斜率为43的直线l 和抛物线22y x =相交于,A B 两点，设线段AB 的中点为M .求点M 的坐标.3.经过点(2,1)M 作直线l 交双曲线221x y -=于,A B 两点，如果点M 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程.4.经过抛物线22(0)y px p =>外的一点(2,4)A --且倾斜角为45︒的直线l 与抛物线分别相交于12,M M .如果1||AM ，12||M M ，2||AM 成等比数列，求p 的值.5.已知曲线14cos ,:3sin .x t C y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数),曲线28cos ,:3sin .x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．（1）化1C 、2C 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线；（2）若1C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2.x t C y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值. 解：练习：1.直线l 的方程为12,2 3.x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），则l 上任一点到点(1,2)的距离是A .tB .||t C|t D|t2.直线sin 203,cos 20.x t y t =-+⎧⎨=⎩o o（t 为参数）的倾斜角是 A .20o B .70o C .110o D .160o 3.已知直线00cos ,sin .x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）上的点A 、B 所对应的参数分别为1t 、2t ，点P 分AB 所成的比为λ，则点所对应的参数是A .122t t + B .121t t λ++ C .121t t λλ++ D .211t t λλ++ 4.直线3490x y --=与圆2cos ,2sin .x y θθ=⎧⎨=⎩的位置关系是A .相交但直线不过圆心B .相交且直线过圆心C .相切D .相离5.下列参数方程都表示过点0(1,5)M ，斜率为2的直线，其中有一个方程的参数的绝对值表示动点M 和0M 的距离，这个参数方程是A .1,52.x t y t =+⎧⎨=+⎩ B.1,5.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C.1,5x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩D .11,25.x t y t ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩6.直线3cos ,2sin .x a y a θθ=+⎧⎨=-+⎩（a 为参数）与直线2sin ,3cos .x b y b θθ=--⎧⎨=-⎩（b 是参数）的位置关系为 CA .关于y 轴对称B .关于原点对称C .关于直线y x =对称D .互相垂直 7.曲线C 的参数方程为2cos ,sin .x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，02θπ≤≤），则yx 的取值范围是A.[B.(,)-∞+∞U C.[D.(,)-∞+∞U 8. 参数方程2cos ,2sin .x y θθ=-⎧⎨=⎩（22ππθ-≤≤）所表示的曲线是 .9.直线2,3.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）上到点(2,3)M -M 下方的点的坐标是 .10.点(1,5)-与两直线1,5x t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t是参数）及0x y --=的交点的距离是 .11.两圆32cos ,42sin .x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ是参数）与3cos ,3sin .x y θθ=⎧⎨=⎩（θ是参数）的位置关系是 .12.已知直线l 经过点(1,0)P ，倾斜角为6πα=.（1）写出直线l 的参数方程；（2）设直线l 与椭圆2244x y +=相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积. B.化一般参数方程00,.x x at y y bt =+⎧⎨=+⎩为标准参数方程【巩固与应用】例 将下列直线的一般参数方程化成标准参数方程形式:(1) 42,3.x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数) (2)4,3.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) (3)00,.x x at y y bt =+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)结果(1) 43x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t '为参数) (2) 4,3.x y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩(2t t '=为参数) (3)令00cos ,sin x x t y y t =+⋅⎧⎨=+⋅⎩ϕλϕλ则cos ,sin .a b ⋅=⎧⎨⋅=⎩ϕλϕλ于是22222(cos )(sin )a b ⋅+⋅==+ϕλϕλλ,取λ则cos ϕ,sin ϕ,t ',于是得直线的标准参数方程为00x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t '为参数).例求直线14,:3.x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)与直线2:20l x y +-=的交点到定点(4,3)的距离 题型三：参数方程00,.x x at y y bt =+⎧⎨=+⎩中参数t 具有几何意义的条件【巩固与应用】例4 求直线l ：12,2.x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)被曲线cos ,.x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）所截得的弦长.编排本题意图：通过两种解法说明“非标准参数方程中，只要参数t 系数平方和为1，则参数t 就有几何意义”这个事实.解一：消参得直线与椭圆的普通方程分别为：y 2213y x +=，联立消元，整理得 20x x -=，于是两交点为(0,A ，(1,0)B ，故||2AB =.解二：椭圆的普通方程为：2213y x +=，将直线参数方程代入并整理得，2680t t -+=，解得12t =或24t =，故12|||||24|2AB t t =-=-=．。
直线的参数方程的应用
直线的参数方程的应用一、几何学应用1.直线的参数方程的可视化表示直线参数方程可以帮助我们直观地理解直线的特点和性质，例如直线在平面上的位置、方向、长度等。
通过改变参数的取值，可以观察到直线的移动、旋转、延长等变化，进而更直观地了解几何图形的特征。
2.直线的交点设有两条直线的参数方程分别为：L1:x=x1+a1t,y=y1+b1t,z=z1+c1tL2:x=x2+a2s,y=y2+b2s,z=z2+c2s我们可以通过求解参数方程的参数，找到这两条直线的交点。
通过求解方程组，可以得到唯一的交点坐标。
3.直线的方位角和倾斜角直线参数方程中的参数可以用来表示直线的方位角和倾斜角。
方位角是指直线与坐标轴的夹角，可以通过直线的参数方程中的系数进行计算。
倾斜角是指直线与xy平面的夹角，可以通过直线的参数方程中的系数进行计算。
二、物理学应用1.运动学中的直线运动在物理学中，直线运动是指质点或物体在直线上的运动轨迹。
直线的参数方程可以用来描述其中一时刻的位置。
例如，设有直线运动的质点在t时刻的位置为(x(t),y(t),z(t))，则可以表示成参数方程形式：x(t) = x0 + vxty(t) = y0 + vytz(t) = z0 + vzt其中，(x0, y0, z0)表示质点的初始位置，(vx, vy, vz)表示质点在x、y、z方向上的速度分量。
2.力学中的直线运动在力学中，直线运动还涉及质点或物体在直线上的加速度、力和运动的规律。
通过直线的参数方程，可以计算质点或物体在不同时刻的速度和加速度，并进一步得出运动的规律。
例如，设有质点在t时刻的位置为(x(t),y(t),z(t))，则可以通过参数方程求导得到速度和加速度：vx(t) = dx/dtvy(t) = dy/dtvz(t) = dz/dt3.光学中的直线传播在光学中，直线传播是指光线沿着直线路径传播的现象。
直线的参数方程可以用于描述光线在空间中的传播路径。
直线的参数方程及其应用学案
直线的参数方程及其应用学案一、直线的参数方程定义：直线是平面上的一种图形，可以用直线上的一个点和方向来唯一确定。
通过参数方程，可以将直线的方程转化为参数的形式。
x = x0 + aty = y0 + bt其中(x0,y0)为直线上的一个点，a和b为直线的方向向量。
二、直线参数方程的应用：1.直线的点线距离：直线的一般方程为Ax+By+C=0，点(x0,y0)到直线的距离为：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)利用直线的参数方程，可以将点线距离公式转化为参数的形式：d=，(a,b)×(x0-x,y0-y)，/√(a^2+b^2)其中，(a,b)为直线的方向向量，(x,y)为直线上的点坐标。
2.直线的夹角：直线的夹角是指两条直线之间的夹角，可以通过直线的方向向量来求解。
直线的方向向量为(a,b)和(c,d)，夹角θ的余弦公式为：cosθ = (a * c + b * d) / (√(a^2 + b^2) * √(c^2 + d^2))3.直线的平行与垂直关系：两条直线平行或垂直的条件为，它们的方向向量成比例或互相垂直。
假设直线的方向向量分别为(a,b)和(c,d)，则有以下判断条件：-平行关系：a*d-b*c=0；-垂直关系：a*c+b*d=0。
4.直线的位置关系：两条直线的位置关系可以通过它们的方向向量和一个公共点来判断。
-相交关系：两条直线的方向向量不成比例，且它们通过一个公共点；-重合关系：两条直线的方向向量成比例，且它们通过无穷多个公共点；-平行关系：两条直线的方向向量成比例，且它们不通过任何公共点。
三、直线参数方程的解题步骤：1.根据已知条件确定直线的方向向量(a,b)；2.根据直线上的一个点(x0,y0)和方向向量(a,b)，写出直线的参数方程；3.根据具体的问题要求，进行参数的取值范围限制；4.根据参数方程求解具体的点坐标，或利用参数方程进行相关计算。
四、直线参数方程的例题分析：例题1：已知直线L1的一个点为A(2,3)，方向向量为(1,-2)，求直线L1与直线L2：x=3t+1,y=2t-1的夹角。
直线参数方程的应用
由题意得,离心率为 e 2 , 焦参数为 p 2
1050
Fx Q
建立如图所示的极坐标系，则双曲线的极坐标方程为
2
1 2 cos
故 | FP | | FQ |
2
2
1 2 cos1050 1 2 cos1050
4
1 2 cos2 1050
4 cos 2100
8 3 3
(7)(2007年重庆)过双曲线 x2 y 2 4的右焦点F作倾斜角
M始(x0 , y0 )
M 0 (x0 , y0 )
M终 (x, y) M (x, y)
x
二、直线参数方程的应用：
(t为参数)
1.求直线上某一个点的坐标：
2.求直线上某线段中点的坐标：
3.求直线上两点间的距离：
4.求直线的方程：
注：若l 上两点M1,M2对应的参数分别为t1,t2.则
① | M1 M2 || t1 t2 |
y x
求极坐标方程常用的方法
公式法 方程法
直接法 间接法
1.公式法：知型巧用公式法 建系设式求系数 2.方程法： 未知型状方程法 建系设需列方程 ①直接法：一般地，与正余弦定理有关 ②间接法：先求出普通方程，再转成为极坐标方程
特殊直线的极坐标方程
图
l
θ0
O
x
像
l
(a,0)
Ox
l
(a, )
Ox
l
(a, )
A.
30 3
B.6
C.12
法3：参数方程+设而不求
D.7 3
由题意得AB：x
3 4
y
t 2
3t 2 (t为参数)
F B
A
高三教学视导数学直线参数方程运用
高三教学视导数学直线参数方程运用高三是人生的重要阶段，在这一年，学生们要准备迎接高考，而数学则是高考中的一门重要科目。
在高三教学中，视导数学直线参数方程的运用是一个重要的内容，因为掌握了参数方程，能够更好地解决与直线相关的各种问题。
下面就来分步骤地阐述一下高三教学视导数学直线参数方程运用。
第一步：理解直线参数方程的含义直线参数方程是通过给定直线上的一个点和一个指向线的方向向量来定义的。
因此，在学习直线参数方程的求解方法之前，我们首先需要了解直线参数方程的含义。
只有当我们理解了直线参数方程的含义，才能更好地掌握如何使用它来解决问题。
第二步：掌握直线参数方程的求解方法掌握直线参数方程的求解方法也是非常重要的。
首先，我们需要确定直线上的一个点和一个指向线的方向向量，然后将这些数据带入到直线参数方程中，即可得到直线的参数方程。
这个过程需要严谨的思维和正确的方法，只有正确求解出直线的参数方程，才能更好地应用到解决问题中。
第三步：应用直线参数方程解决相关问题掌握了直线参数方程的求解方法后，我们需要将其应用到解决与直线相关的各种问题中。
例如，我们可以应用直线参数方程来求解直线与其他物体的交点、直线的斜率、直线的长度等问题。
由于直线参数方程是直线相关问题的基础，因此，我们需要仔细思考并灵活应用直线参数方程来解决与直线相关的各种问题。
第四步：加强实践操作，巩固知识点在学习了直线参数方程的相关知识之后，我们需要进行实践操作来巩固知识点。
只有在实践过程中不断地掌握和运用知识，我们才能更好地掌握直线参数方程的相关内容。
因此，我们需要多做相关练习并在做题时注重思考，将所学内容融会贯通，这样才能真正地运用到实际问题中。
综上所述，高三教学视导数学直线参数方程运用是非常重要的，并且需要分步骤进行，从理解直线参数方程的含义开始，再到掌握直线参数方程的求解方法，再到应用直线参数方程解决相关问题，最终要加强实践操作，巩固知识点。
只有这样，我们才能更好地掌握这一知识点，为高考做好充分准备。
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用x = x0 + aty = y0 + bt其中(x0,y0)是直线上的一个固定点，a和b是表示直线方向的参数。
参数t的取值范围根据实际问题的情况来确定，可以是实数、整数或者其他范围。
1.直线与平面的交点在三维空间中，直线与平面的交点可以通过参数方程求解。
假设平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，直线的参数方程为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct将直线的参数方程代入平面的方程，可以得到一个关于参数t的二次方程：A(x0+at) + B(y0+bt) + C(z0+ct) + D = 0通过求解这个二次方程，可以得到直线与平面的交点坐标。
2.直线的斜率直线的斜率是表示直线的倾斜程度的一个重要指标，可以通过直线的参数方程求得。
考虑直线上两个点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，它们对应的参数分别为t1和t2、直线的斜率可以表示为：m=(y2-y1)/(x2-x1)=(y0+b*t2-y0-b*t1)/(x0+a*t2-x0-a*t1)=b/a因此，直线的斜率可以通过参数a和b的比值得到。
当a=0时，直线是垂直于x轴的；当b=0时，直线是垂直于y轴的。
3.直线的长度直线的长度可以通过参数方程和积分来求解。
考虑直线上两个点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，它们对应的参数分别为t1和t2、直线的长度可以表示为：L = ∫√((dx/dt)²+(dy/dt)²) dt (t=t1到t2)其中 dx/dt 和 dy/dt 分别是直线参数方程关于 t 的导数。
将直线的参数方程代入到上式中，化简可得：L = ∫√(a²+b²) dt (t=t1到t2)=√(a²+b²)*(t2-t1)因此，直线的长度可以通过直线参数方程中的参数a和b计算得到。
4.直线的切线和法线y = y0 + (dy/dt) * (t-t0)其中 dy/dt 是直线参数方程关于 t 的导数。
直线的参数方程及其应用举例
直线的参数方程及其应用举例直线是平面几何中的基本概念，它是由一点和一条在同一平面上延伸的无限长的路径所组成。
直线有多种表示方法，其中最常用的是参数方程。
直线的参数方程是将直线上的每个点都表示为一个参数的函数形式。
在世界上各个领域中，直线的参数方程都有重要的应用。
x=x₀+t*ay=y₀+t*b其中(x₀,y₀)是直线上的一点，(a,b)是直线的方向向量，t是参数。
1.几何图形构造：参数方程可以方便地绘制直线图形。
通过给定直线上的一点和方向向量，可以确定直线上的所有点并将其绘制出来。
这在计算机图形学中特别有用，用于构造直线段、射线、线段平移等各种图形。
2.线性插值：参数方程在计算机图形学中还可以实现线性插值的功能。
给定直线上的两个点A和B，可以用参数方程插值得到该直线上任意一点P的坐标。
这在图形渲染中常用于平滑曲线的生成和运动轨迹的计算。
3.射影变换：参数方程也被广泛应用于计算机视觉和计算几何中的射影变换。
在相机成像过程中，直线在二维图像上可能不再是直线，而是一个曲线。
通过参数方程将直线的三维参数化表示映射到二维图像上，可以更好地理解和分析图像中的直线形状和位置。
4.道路规划：在交通规划和导航系统中，直线的参数方程可以用于模拟道路和路径。
给定起点和终点的坐标，可以使用参数方程计算出这条道路上的其中一点的坐标。
这对于路径规划、导航引导和交通仿真都是非常有用的。
5.物理运动：参数方程也广泛用于物理运动的描述和模拟。
例如，在物理学中，直线的参数方程可以用来描述自由落体运动、斜抛运动等。
在工程领域，直线的参数方程用于描述机械装置的运动轨迹、机器人的路径规划等。
除了上述应用外，直线的参数方程还在数学的数值计算、曲线拟合、信号处理、经济学的需求曲线分析等领域中发挥着重要作用。
总结起来，直线的参数方程是一个非常有用的数学工具，广泛应用于几何图形构造、线性插值、射影变换、道路规划、物理运动等众多领域中。
参数方程的使用能够简化问题的表述、计算和分析，为解决实际问题提供了便利。
直线的参数方程及其应用(不错哦,放心用)11页word
直线的参数方程及应用目标点击：1．掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义；2．熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；3．利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题； 基础知识点击：1、直线参数方程的标准式(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=221t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<02、直线参数方程的一般式过点P 0(00,y x )，斜率为ab k =的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程：一、直线的参数方程问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时，P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数，又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α xQ P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α即⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t|① 当t>0时，点P 在点P 0的上方；② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合；③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方；特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线⎧+=0t x x ④当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合；⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一 对应关系？我们把直线l 看作是实数轴， 以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系.问题3：P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2问题4：若P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，P 1、P 2 参数分别为t 1、t 2 ，则t 1、t 2之间有何关系？ 根据直线l 参数方程t 的几何意义，P 1P ＝t 1，P 2P ＝t 2，∵P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，∴|P 1P |＝|P 2P |P 1P ＝－P 2P ，即t 1＝－t 2, t 1t 2<0一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上的点， 所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3，P 3为P 1、P 2 则t 3＝221t t + （∵P 1P 3＝－P 2P 3, 根据直线l 参数方程t 的几何意义， ∴P 1P 3= t 3－t 1, P 2P 3= t 3－t 2, ∴t 3－t 1=－(t 3－t 2,) ） 基础知识点拨：1、参数方程与普通方程的互化x x例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明∣t ∣的几何意义.解：令y=0,得x ＝1，∴直线1l 过定点(1,0). k ＝－31=－33 设倾斜角为α，tg α=－33,α= π65, cos α =－23, sin α=21 1l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 21231 （t 为参数）t 是直线1l 上定点M 0（1，0）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的数量.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-(2) 21(1)231t y t x (1)、(2)两式平方相加,得222)1(t y x =+-∣t ∣＝22)1(y x +-∣t ∣是定点M 0（1，0）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长.点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.例2：化直线2l 的参数方程⎩⎨⎧+=+-= t313y t x （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角，说明∣t ∣的几何意义.解：原方程组变形为⎩⎨⎧=-=+ (2) t 31(1) 3y t x (1)代入(2)消去参数t ，得)3(31+=-x y (点斜式) 可见k=3, tg α=3,倾斜角α=3π 普通方程为 01333=++-y x(1)、(2)两式平方相加,得2224)1()3(t y x =-++∴∣t ∣=2)1()3(22-++y x ∣t ∣是定点M 0（3，1）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长的一半. 点拨：注意在例1、例2中，参数t 的几何意义是不同的，直线1l 的参数方程 为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 21231即⎪⎩⎪⎨⎧=+=ππ65sin 65cos 1t y t x 是直线方程的标准形式，(-23)2+(21)2=1, t 的几何意义是有向线段M M 0的数量.直线2l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-= t 313y t x 是非标准的形式，12＋(3)2=4≠1，此时t 的几何意义是有向线段M M 0的数量的一半. 你会区分直线参数方程的标准形式？例3：已知直线l 过点M 0（1，3），倾斜角为3π，判断方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 233211（t 为参数）和方程⎩⎨⎧+=+= t331y t x （t 为参数）是否为直线l 的参数方程？如果是直线l 的参数方程，指出方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义.解：由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线l 的的普通方程 0333=+--y x ，所以，以上两个方程都是直线l 的参数方程，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 233211 cos α =21, sin α=23，是标准形式，参数t 是有向线段M M 0的数量.，而方程⎩⎨⎧+=+= t331y t x 是非标准形式，参数t 不具有上述的几何意义.点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题.问题5：直线的参数方程⎩⎨⎧+=+= t 331y t x 能否化为标准形式？ 是可以的，只需作参数t 的代换.(构造勾股数，实现标准化)⎩⎨⎧+=+= t 331y t x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=))3(1()3(13 3))3(1()3(11122222222t y t x 令t '=t 22)3(1+ 得到直线l 参数方程的标准形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+='+=t 233211y t x t '的几何意义是有向线段M M 0的数量.2、直线非标准参数方程的标准化一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，.⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数）， 斜率为a b tg k ==α (1)当22b a +＝1时，则t 的几何意义是有向线段M M 0的数量.(2) 当22b a +≠1时，则t 不具有上述的几何意义.⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=)()(2222022220t b a b a b y y t b a b a a x x 令t '=t b a 22+ 则可得到标准式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'++='++=t b a b y y t b a a x x 220220 t '的几何意义是有向线段M M 0的数量. 例4：写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为43π的直线l 的标准参数方程，并且 求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标. 解：直线l 的标准参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=ππ43sin 343cos 2t y t x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 223222（t 为参数）（1） 设直线l 上与已知点M 0相距为2的点为M 点，且M 点对应的参数为t,则| M 0M |＝|t| =2, ∴t=±2 将t 的值代入(1)式当t=2时，M 点在 M 0点的上方，其坐标为（－2－2，3＋2）； 当t=-2时，M 点在 M 0点的下方，其坐标为（－2＋2，3－2）.点拨：若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦， 而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求M 点的坐标较 容易.例5：直线⎩⎨⎧-=+=οο20cos 420sin 3t y t x （t 为参数）的倾斜角 . 解法1：消参数t,的34--x y ＝－ctg20°=tg110°解法2：化为标准形式： ⎩⎨⎧-+=-+=οο110sin )(4110cos )(3t y t t x （－t 为参数） ∴此直线的倾斜角为110°基础知识测试1：1、 求过点(6,7),倾斜角的余弦值是23的直线l 的标准参数方程. 2、 直线l 的方程：⎩⎨⎧+=-=οο25cos 225sin 1t y t x （t 为参数），那么直线l 的倾斜角( ) A 65° B 25° C 155° D 115°3、 直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=t y t x 521511（t 为参数）的斜率和倾斜角分别是( ) A) －2和arctg(－2) B) －21和arctg(－21) C) －2和π－arctg2 D) －21和π－arctg 21 4、 已知直线⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）上的点A 、B 所对应的参数分别为t 1,t 2，点P分线段BA 所成的比为λ（λ≠－1），则P 所对应的参数是 . 5、直线l 的方程： ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数）A 、B 是直线l 上的两个点，分别对应参数值t 1、t 2，那么|AB|等于( )A ∣t 1－t 2∣B 22b a +∣t 1－t 2∣ C2221b a t t +- D ∣t 1∣+∣t 2∣ 6、 已知直线l ：⎩⎨⎧+-=+= t 351y tx (t 为参数)与直线m ：032=--y x 交于P 点，求点M(1,－5)到点P 的距离.二、直线参数方程的应用例6：已知直线l 过点P （2，0），斜率为34和抛物线x y 22=相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M,求： (1)P 、M 两点间的距离|PM|； (2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB|解：(1)∵直线l 过点P （2，0），斜率为34,3 cos α =53, sin α=54∴直线l 的标准参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=t y t x 54532（t 为参数）* ∵直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程x y 22=中， 整理得 8t 2－15t －50＝0 Δ=152+4×8×50>0,设这个二次方程的两个根为t 1、t 2,由韦达定理得 t 1＋t 2＝815, t 1t 2＝425- ，由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得| PM |＝221t t + ＝1615∵中点M 所对应的参数为t M =1615,将此值代入直线的标准参数方程*， M 点的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧=•==•+=4316155416411615532y x 即 M （1641，43） (3) |AB|＝∣t 2－t 1∣＝ 222114)(t t t t -+＝7385 点拨：利用直线l 的标准参数方程中参数t 的几何意义，在解决诸如直线l 上两点间的距离、直线l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线l 的普通方程来解决显得比较灵活和简捷. 例7：已知直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3π， (1)求直线l 与直线l '：32-=x y 的交点Q 与P 点的距离| PQ |；(2)求直线l 和圆22y x +＝16的两个交点A ，B 与P 点的距离之积. 解：(1)∵直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3π,∴直线l 的标准参数方 程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=3sin 333cos 1ππt y t x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 2333211（t 为参数）代入直线l '：32-=x y 得032)2333()211(=-+--+t t 整理，解得t=4+23 t=4+23即为直线l 与直线l '的交点Q 所对应的参数值，根据参数t 的几 何意义可知：|t |=| PQ |,∴| PQ |=4+23.(2) 把直线l 的标准参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 2333211（t 为参数）代入圆的方程22y x +＝16，得16)2333()211(22=+-++t t ,整理得：t 2－8t+12=0， Δ=82-4×12>0,设此二次方程的两个根为t 1、t 2 则t 1t 2=12根据参数t 的几何意义，t 1、t 2 分别为直线和圆22y x +＝16的两个交点A, B 所对应的参数值，则|t 1|=| PA |,|t 2|=| PB |,所以| PA |·| PB |=|t 1 t 2|=12点拨：利用直线标准参数方程中的参数t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便.例8：设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与x 轴平行，开口向右， 直线y=2x +7被抛物线截得的线段长是410，求抛物线方程. 解：由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2.设抛物线顶点坐标为（a ，2）方程为(y ―2)2=2P(x －a ) (P>0) ①∵点B (－1,－2)在抛物线上，∴(―2―2)2=2P(－1－a )a P=－8－P 代入① 得(y ―2)2=2P x ＋2P+16 ②将直线方程y=2x +7化为标准的参数方程tg α=2, α为锐角，cos α =51, sin α=52 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 525511（t 为参数） ③ ∵直线与抛物线相交于A ，B, ∴将③代入②并化简得： 75212542--+t P t ＝0 ，由Δ=355)6(42+-P >0,可设方程的两根为t 1、t 2， 又∵|AB|=∣t 2－t 1∣＝222114)(t t t t -+＝410 4354]4)212(5[2⨯+-P =(410)2 化简，得(6－P)2=100 ∴ P=16 或P=-4(舍去) 所求的抛物线方程为(y ―2)2=32x ＋48点拨：(1)（对称性） 由两点A(－1,6)和B(－1,－2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含P 一个未知量，由弦长AB 的值求得P ）.(2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。
浅谈直线的参数方程及其应用
浅谈直线的参数方程及其应用直线是平面上最简单和基本的几何图形之一，其参数方程是直线方程的一种表示方法。
直线的参数方程的一般形式为:x = x0 + aty = y0 + bt其中(x0,y0)是直线上一点的坐标，a和b是与直线方向有关的常数，而t是一个自变量。
这种表示方法的优势在于可以方便地描述直线上的所有点，而不仅仅是端点。
在直线的参数方程中，t的取值范围可以是实数集合中的任意一个数字，因而可以由t的变化来确定了直线上的所有点。
例如，当t取值为0时，参数方程中的x和y分别等于(x0,y0)，即直线上的一点；当t取值为1时，参数方程中的x和y分别等于(x0+a,y0+b)，即直线上的另一个点。
直线的参数方程有广泛的应用，下面我们来介绍其中的几个重要应用。
1.直线的插值和曲线绘制:直线的参数方程可以方便地实现直线的插值和曲线绘制。
通过选取不同的a和b值，可以确定直线上的一系列点，从而连接这些点可以得到平滑的曲线。
2.直线的运动轨迹:在物理学和运动学中，许多物体的运动轨迹可以用直线的参数方程来表示。
通过设定不同的初始位置和速度，可以得到物体在不同时刻的位置，从而得到物体的运动轨迹。
3.直线的几何关系:直线的参数方程可以方便地用来研究直线之间的几何关系。
通过比较直线的参数方程的系数a和b，可以得到它们的斜率和截距，从而判断直线是否平行或垂直，以及它们的相对位置。
4.直线的交点和相交角:直线的参数方程也可以用来求解直线的交点和计算直线的相交角。
通过将两条直线的参数方程联立方程组，可以求解得到它们的交点坐标。
而通过计算直线参数方程中斜率的差值，我们可以得到直线的相交角。
5.直线的最小二乘法拟合:最小二乘法是一种常用的数学方法，用于拟合一组散点数据。
直线的参数方程可以用来构建最小二乘法拟合的模型，通过调整参数a和b的值，可以找到最佳拟合直线，从而可以预测和估计其他点的位置。
总之，直线的参数方程在几何学、物理学、运动学等领域中都有广泛的应用。
直线的参数方程及其应用举例
直线的参数方程及其应用举例一条直线的参数方程由以下形式给出：x = x₀ + aty = y₀ + bt其中，(x₀,y₀)是直线上的一点，a和b是常数，t是参数。
在这个参数方程中，通过改变参数t的值，我们可以得到直线上的每一个点的坐标。
例如，考虑一个小车在直线上做匀速运动的例子。
假设小车的初始位置为(x₀,y₀)，它向右移动，速度为v。
那么小车的位置可以用参数方程来描述：x = x₀ + vty=y₀对于给定的t值，我们可以根据这个参数方程计算小车在其中一时刻的位置。
通过改变参数t的值，我们可以得到小车在线上的每一个点的坐标。
这个参数方程可以帮助我们分析小车的运动过程，比如计算其中一点的速度、加速度等。
x = r*cos(θ)y = r*sin(θ)其中，r是点到原点的距离。
这个参数方程描述了点在以原点为中心的圆上运动的轨迹。
通过改变参数θ的值，我们可以得到圆上的每一个点的坐标。
这个参数方程可以帮助我们分析旋转体的运动规律，比如计算旋转角速度、加速度等。
此外，直线的参数方程还可以用于表示平面内的曲线。
例如，椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中，a和b分别是椭圆主轴和副轴的长度，t是参数。
通过改变参数t的值，我们可以得到椭圆上的每一个点的坐标。
这个参数方程描述了椭圆的形状和位置。
总结起来，直线的参数方程在几何学和物理学中有广泛的应用。
它可以用于描述物体的运动轨迹、旋转体的轨迹以及平面内的曲线等。
直线的参数方程可以帮助我们分析和理解各种物理现象和几何问题，从而推导出更多的结论和结果。
直线的参数方程及其应用
直线的参数方程及其应用x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中(x0,y0,z0)是直线上的一点，a、b、c是直线的方向向量的分量，t是参数。
这样，通过调整参数t的值，就可以得到直线上的所有点。
一、几何中直线的参数方程的应用：1.直线的方向向量：2.直线的长度：直线的长度可以通过参数方程中的两点之间的距离公式来计算。
假设起始点为(x0,y0,z0)，终止点为(x1,y1,z1)，直线的长度为L，则公式为L=√((x1-x0)^2+(y1-y0)^2+(z1-z0)^2)3.直线与平面的交点：如果有一个平面的参数方程a1x + b1y + c1z + d1 = 0，直线的参数方程为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct。
将直线的参数方程代入平面方程，解方程组可以求得直线与平面的交点坐标。
二、物理中直线的参数方程的应用：1.运动学中的直线运动：物体在直线上进行匀速直线运动时，可以通过参数方程来描述物体的位置。
其中(t)表示时间，直线的方向向量(a,b,c)表示物体的运动方向和速度。
2.振动运动的直线模型：在物理的振动运动中，例如简谐振动，可以使用直线的参数方程来表示振动的轨迹。
参数t可以表示时间，(x0,y0,z0)表示振动的平衡位置，(a,b,c)表示振动的幅度和方向。
三、计算机图形学中直线的参数方程的应用：1.直线的绘制：在计算机图形学中，直线常常使用参数方程来绘制。
通过给定起点和终点的坐标，使用参数方程可以描绘出直线的轨迹。
2.直线的旋转：在计算机图形学的3D建模中，直线可以经过旋转来创建复杂的几何体。
旋转直线可以使用参数方程中的旋转矩阵来实现。
3.直线的相交：在计算机图形学中，判断两条直线是否相交是一个常见的需求。
可以通过比较两条直线的参数方程来判断它们是否相交。
4.直线的裁剪：在计算机图形学中，通过直线的参数方程可以实现直线的裁剪。
直线参数方程的应用
π
6
3 交与点 M，求M0M ，
x = 2 + 1 t 2 （t 为参数） 例 2. 求直线 被双曲线 x 2 − y 2 = 1 截得的弦长. 截得的弦长. y = 3 t 2
四、例题解析 例题解析 例1 ，倾斜角为 已知直线 L 过点 M0（−4，0） 倾斜角为 ， ） ， (1)求直线 L 的参数方程 求直线 (2)若 L 上一点 M 满足M0M=2，求点 M 的坐标 若 满足 ， (3)若 L 与直线 y=x + 4 若
M（ −4 +
3 ，1 ） 3 ，− 1 ）
M（ − 4 − M（ − 4 −
3 ，1 ）或
3 ，− 1 ）
3 y= ( x + 4) （3）解一 由 3 y = x + 4 3
得交点 M（−4 (
3 +1),
−4）
∴| M M |= ( −4 3 − 4 + 4) 2 + (−4 − 0) 2 = 8 0
七 、课后作业
x2 y2 + = 1 于两点 A B .如果 1.经过点 M (1, 2) 作直线 l ，交椭圆 8 6
点 M 恰好为线段 AB 的中点，求直线 l 的方程. 2. 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ = 2sin θ ，直线 l 的参数方程是
x = − 3 t + 2, 5 为参数） （ t 为参数 ） ． y = 4 t 5
2 2
的距离；若 a +b ≠1，则动点 M 到定点 M0 的距离是
a2 + b2
｜t｜.
热身训练： 二 、热身训练：
x = 2 + t sin 20 0 1 直线 (t 为参数 经过定点(2, 为参数), 0 y = −1 − t cos 20
苏教版4-4_4.3直线的参数方程及应用
y y0
sin
x x0
cos
t.
整理，得到
x y
x0 y0
t t
cos sin
(t是参数)
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程.
解： 在直线上任取一点M(x,y),则
M0M （x, y) (x0 y0) (x x0, y y0 ) 设e是直线l的单位方向向量，则
解: M0M te M0M te y
又 e是单位向量， e 1
M
M0M t e t
所以,直线参数这方就程是中t参的几何 数t的绝对值等于意直义线,要上牢记 动点M到定点M0的距离.
|t|=|M0M|
M0
e
O
x
建构数学
直线的参数方程(标准式）
直
线
的
参
数
方
程xy
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程.
即，x x0 t cos, y y0 t sin
y
所以，该直线的参数方程为
e
x y
x0 y0
t t
cos（t为参数） sin
M(x,y) M0(x0,y0)
O
x
由M0M te,你能得到直线l的参数方程中 参数t的几何意义吗？
此时，若t 0，则 M0 M 的方向向上； 若t 0，则 M0 M 的方向向下； 若t 0，则 M 点与 M0 重合.
并且，直线参数方程中参数t 的绝对值等于直线上动点M到 定点M0的距离.
直线参数方程的应用
直线参数方程的应用直线是平面几何中最基本的图形之一，具有广泛的应用。
直线参数方程是表示直线的一种常用方法，它通过参数化的方式，将直线上的每一个点表示为一个参数关于坐标的函数。
直线参数方程的应用范围广泛，涉及到建模、计算、曲线运动等多个领域。
下面将介绍一些直线参数方程的应用。
1.绘制直线图形直线参数方程可以用于绘制各种直线图形，如图形学中的线段、射线等。
通过给定直线的起点和终点，可以根据参数方程计算出每一个点的坐标，然后将这些点连起来，就可以得到一条直线。
绘制直线图形在计算机图形学、几何学等领域有广泛的应用，如绘制曲线、图形变换等。
2.直线的交点计算3.直线的切线计算直线参数方程可以用于计算曲线在其中一点的切线。
给定曲线的参数方程，通过对参数进行微分，求解导数，可以得到曲线在其中一点的切线的斜率，然后根据切线方程的形式，可以计算出切线的方程。
直线的切线计算在微积分、物理学、工程学等领域有广泛的应用，如计算物体运动轨迹、求解函数的导数等。
4.直线的方向向量计算直线参数方程可以表示直线的方向向量。
给定直线的参数方程，可以通过计算参数的变化量，得到直线上两个点的连线向量，从而得到直线的方向向量。
直线的方向向量计算在几何学、物理学、机器学习等领域有广泛的应用，如计算导航路径、计算梯度向量等。
5.表示平面内直线的垂线、平行线直线参数方程可以用于表示平面内直线的垂线、平行线。
给定直线的参数方程，可以通过求解两条直线的参数之间的关系，判断它们是否垂直或平行。
垂线、平行线的计算在几何学、物理学、工程学等领域有广泛的应用，如计算平行导线的电阻、计算直线的交点等。
6.参数方程与一般方程的转化直线的参数方程与一般方程之间可以相互转化。
给定直线的参数方程，可以通过计算参数表达式，得到直线的一般方程。
同样地，给定直线的一般方程，可以通过求解参数方程的参数，得到直线的参数方程。
参数方程与一般方程的转化在几何学、代数学等领域有广泛的应用，如计算函数的参数表示、计算曲线的方程等。
4.4.3 第1课时 直线的参数方程的应用
4.4.3 第1课时直线的参数方程的应用倾斜角为75°.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 求直线的参数方程已知直线l 过(3,4)，且它的倾斜角θ＝120°.(1)写出直线l 的参数方程；(2)求直线l 与直线x －y ＋1＝0的交点．【自主解答】 (1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos 120°，y ＝4＋t sin 120°(t 为参数)， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3－12t ，y ＝4＋32t (t 为参数)． (2)把⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3－12t ，y ＝4＋32t 代入x －y ＋1＝0，得3－12t －4－32t ＋1＝0，得t ＝0. 把t ＝0代入⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3－12t ，y ＝4＋32t 得两直线的交点为(3,4)．[再练一题]1．已知两点A (1,3)，B (3,1)和直线l ：y ＝x ，求过点A 、B 的直线的参数方程，并求它与直线l 的交点M 分AB 的比．【导学号：98990032】【解】 设直线AB 上动点P (x ，y )，选取参数λ＝AP PB ， 则直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋3λ1＋λ，y ＝3＋λ1＋λ(λ为参数，λ≠－1)．① 把①代入y ＝x ，得1＋3λ1＋λ＝3＋λ1＋λ，得λ＝1，所以M 分AB 的比：AM MB ＝1. 直线参数方程的应用求直线⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝3t(t 为参数)被双曲线x 2－y 2＝1截得的弦长． 【思路探究】 先求出直线和双曲线的交点坐标，再用两点间的距离公式，或者用直线参数方程中参数的几何意义求弦长．【自主解答】 令t ＝112＋(3)2t ′，即t ′＝2t ，则直线的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋t ′cos θ，y ＝t ′sin θ(其中sin θ＝32，cos θ＝12)， 将⎩⎨⎧ x ＝2＋t ′cos θ，y ＝t ′sin θ代入双曲线方程，得 t ′2－4t ′－6＝0，所以弦长＝|t 1′－t 2′|＝(t 1′＋t 2′)2－4t 1′t 2′＝42＋4×6＝210.方程⎩⎨⎧ x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt中t 的几何意义为定点P 0(x 0，y 0)到动点P (x ，y )的有向线段的数量，有两个原则：其一为a 2＋b 2＝1，其二为b ≥0.这是因为α为直线的倾斜角时，必有sin 2α＋cos 2α＝1及sin α≥0.不满足上述原则时，则必须通过换元的方法进行转化后，才能利用直线参数方程的几何意义解决问题．[再练一题]2．(湖南高考)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎨⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎨⎧ x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________． 【解析】 由⎩⎨⎧ x ＝2s ＋1，y ＝s 消去参数s ，得x ＝2y ＋1. 由⎩⎨⎧ x ＝at ，y ＝2t －1消去参数t ，得2x ＝ay ＋a . ∵l 1∥l 2，∴2a ＝12，∴a ＝4. 【答案】 4[真题链接赏析](教材第57页习题4.4第6题)运用4.4.2小节中例3的结论：(1)求经过点P (1，－5)，倾斜角是π3的直线的参数方程； (2)求(1)中的直线与直线x －y －23＝0的交点到点P 的距离．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【命题意图】 本题考查参数方程与普通方程的互化以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查转化、分析问题的能力和运算能力．【解】 因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎨⎧ y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1. 1．直线⎩⎨⎧x ＝－2＋t cos 50°，y ＝3－t sin 40°(t 为参数)的倾斜角α＝________. 【解析】 根据tan α＝－sin 40°cos 50°＝－1，因此倾斜角为135°. 【答案】 135°2．曲线⎩⎨⎧x ＝－2＋5t ，y ＝1－2t(t 为参数)与坐标轴的交点是________． 【导学号：98990033】【解析】 当x ＝－2＋5t ＝0时，解得t ＝25，可得y ＝1－2t ＝15， 当y ＝1－2t ＝0时，解得t ＝12， 可得x ＝－2＋5t ＝12， ∴曲线与坐标轴的交点坐标为(0，15)，(12，0)． 【答案】 (0，15)，(12，0) 3．点(－3,0)到直线⎩⎨⎧ x ＝2t ，y ＝22t(t 为参数)的距离为________． 【解析】 直线⎩⎨⎧ x ＝2t ，y ＝22t 化为普通方程为x －22y ＝0. ∴点(－3,0)到直线的距离为|－3－0|1＋(－22)2＝1. 【答案】 14．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．【答案】 14 我还有这些不足：(1)_____________________________________________________(2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________(2)_____________________________________________________。
数学新人教选修参数方程的应用直线的参数方程-精选文档
3 5 3 5 4 2
（ 1 ）如何写出直线 l的参数方程？
①
（ 2 ）如何求出交点 A ， B 所对应的参数 t ， t ? 1 2
①
（ 3 ） AB 、 MA MB 与 t ， t 有什么关系？ 1 2
（ 1 ） M M t t 1 2 1 2
t1 t2 （ 2 ）t 2
或向右（ l的倾斜角为 0 ）的单位方向向量（单 位长度
设直线 l 的倾斜角为 ，定点 M 、动点 M 的坐 0 分别为 ( x , y ) 、 ( x , y ) 0 0
( 1 ) 如何利用 写 倾出 斜直 l 角 的 线 单位方 e向 ？ 向
( 2 ) 如何 e 和 用 M 的坐标表示直 一线 点 M 的 上 坐 任 0
到定 M 的 点 距离 M M 与 。 e 同 当 向 t 取 时 正 ， 数 M M 与 ； e 异 当 向 0 0 0
三、例题讲解
x y 1 0 2 如果在学习直线的参数方程之前 ,你会怎样 解 ： 由 得 x ： x 1 0 (*) 2 y x
由韦达定理得： x x 1 ， x x 1 1 2 1 2 2 2 AB 1 k ( x x ) 4 x x 2 5 10 1 2 1 2
பைடு நூலகம்
四、课堂练习
四、课堂小结
本节课我们主要学习了 直线的参数方程的推 及其简单 学习后要把握以下几个 知识点：
（ 1 ）直线的参数方程与普 通方程 y y tan ( x x ) 的联 0 0
（ 2 ）直线的参数方程与向 量知识的联系；
（ 3 ）参数 t的几何意义；
（ 4 ）应用： t 表 用 示 参 点 数 的坐 两 标 点 、 间 直 的 线 距
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用直线的参数方程及应用基础知识点击：1、直线参数方程的标准式(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是+=+=ααs i nc o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221tt +,∣P 0P 3∣=221t t +(4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程的一般式过点P 0(00,y x )，斜率为abk =的直线的参数方程是+=+=bt y y atx x 00 （t 为参数）点击直线参数方程：一、直线的参数方程问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l+=+=ααs i n c o s 00t y y t x x是所求的直线l 的参数方程∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：0y )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方；② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合；③当t<0时，点P 在点P 0的下方；特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=00y tx x④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧；⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合；⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧；问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣问题4：一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3， P 3为P 1、P 2的中点则t 3＝221t t +基础知识点拨：1、参数方程与普通方程的互化例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t ∣的几何意义.点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.例2：化直线2l 的参数方程?+=+-= t 313y tx （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角，说明∣t ∣的几何意义.点拨：注意在例1、例2中，参数t 的几何意义是不同的，直线1l 的参数方程你会区分直线参数方程的标准形式？例3：已知直线l 过点M 0（1，3），倾斜角为3π，判断方程+=+=t y t x 233211（t为参数）和方程?+=+= t 331y t x （t 为参数）是否为直线l 的参数方程？如果是直线l 的参数方程，指出方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义.点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题.xy ,)xx问题5：直线的参数方程+=+= t331y tx 能否化为标准形式？是可以的，只需作参数t 的代换.(构造勾股数，实现标准化)2、直线非标准参数方程的标准化一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，.例4：写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为43π的直线l 的标准参数方程，并且求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标.点拨：若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求M 点的坐标较容易.例5：直线-=+=20cos 420sin 3t y t x （t 为参数）的倾斜角 .基础知识测试1：1、求过点(6,7),倾斜角的余弦值是23的直线l 的标准参数方程.2、直线l 的方程：?+=-=25cos 225sin 1t y t x （t 为参数），那么直线l 的倾斜角( ) A 65°B 25°C 155°D 115°3、直线+-=-=t y t x 521511（t 为参数）的斜率和倾斜角分别是( )A) －2和arctg(－2) B) －21和arctg(－21)C) －2和π－arctg2 D) －21和π－arctg 214、已知直线?+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）上的点A 、B 所对应的参数分别为t 1,t 2，点P 分线段BA 所成的比为λ（λ≠－1），则P 所对应的参数是 .5、直线l 的方程： +=+=bty y atx x 00 （t 为参数）A 、B 是直线l 上的两个点，分别对应参数值t 1、t 2，那么|AB|等于( )A ∣t 1－t 2∣B 22b a +∣t 1－t 2∣ C 2221ba t t +- D ∣t 1∣+∣t 2∣6、已知直线l ：+-=+= t351y tx (t 为参数)与直线m ：032=--y x 交于P 点，求点M(1,－5)到点P 的距离.二、直线参数方程的应用例6：已知直线l 过点P （2，0），斜率为34和抛物线x y 22=相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M,求：(1)P 、M 两点间的距离|PM|； (2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB|点拨：利用直线l 的标准参数方程中参数t l 上两点间的距离、直线l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线l 的普通方程来解决显得比较灵活和简捷.x例7：已知直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3π，(1)求直线l 与直线l '：32-=x y 的交点Q 与P 点的距离| PQ |；(2)求直线l 和圆22y x +＝16的两个交点A ，B 与P 点的距离之积.点拨：利用直线标准参数方程中的参数t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便.例8：设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与x 轴平行，开口向右，直线y=2x +7被抛物线截得的线段长是410，求抛物线方程.点拨：(1)（对称性）由两点A(－1,6)和B(－1,－2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含P 一个未知量，由弦长AB 的值求得P ）.(2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。
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阶段一阶段二
阶
段
三
学
业
分
层
测
评
4.4.3参数方程的应用
第1课时直线的参数方程的应用
1．写出直线的参数方程．
2．通过直线的参数方程的应用，感受参数的意义及其作用．
[基础·初探]
直线的参数方程
直线参数方程的常见形式：过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为±的直线的参数方程
为
x ＝
，
y ＝
(l 为参数)．其中参数l 的几何意义是有向线段P 0P 的数量，
|l |表示P 0P 的长度．
x 0＋l cos ± y 0＋l sin ±
[思考·探究]
1．怎样理解参数l的几何意义？
【提示】参数l的几何意义是P0到直线上任意一点P(x，y)的有向线段P0P 的数量．当点P在点P0的上方或右方时，l取正值，反之，l取负值；当点P与P0重合时，l＝0.
2．如何由直线的参数方程求直线的倾斜角？ 【提示】
如果直线的参数方程是
x ＝x 0＋t cos ¸，
y ＝y 0＋t sin ¸
(t 为参数)的形式，由方程
直接可得出倾斜角，即方程中的角¸，例如，直线的参数方程为
x ＝1＋t cos 15°，
y ＝1＋t sin 15°，
则直线的倾斜角为15°.
如果不是上述形式，例如直线
x ＝1＋t sin 15°，
y ＝1＋t cos 15°
(t 为参数)的倾斜角就不能直
接判断了．第一种方法：把参数方程改写为
x －1＝t sin 15°，
y －1＝t cos 15°，
消去t ，
有y －1＝1
tan 15°(x －1)，即y －1＝tan 75°(x －1)，故倾斜角为75°.第二种方法：
把原方程化为参数方程和标准形式，即
x ＝1＋t cos 75°，
y ＝1＋t sin 75°，
可以看出直线的倾斜角
为75°.
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________
求直线的参数方程
已知直线l过(3,4)，且它的倾斜角¸＝120°.
(1)写出直线l的参数方程；
(2)求直线l与直线x－y＋1＝0的交点．
【自主解答】 (1)直线l 的参数方程为
x ＝3＋t cos 120°，y ＝4＋t sin 120°
(t 为参数)，
即
x ＝3－12t ，y ＝4＋32t
(t 为参数)．
(2)把
x ＝3－12t ，y ＝4＋32t
代入x －y ＋1＝0，
得3－12t －4－3
2t ＋1＝0，得t ＝0. 把t ＝0代入
x ＝3－12t ，
y ＝4＋32t 得两直线的交点为(3,4)．
[再练一题]
1．已知两点A (1,3)，B (3,1)和直线l ：y ＝x ，求过点A 、B 的直线的参数方程，并求它与直线l 的交点M 分AB 的比．
【导学号：98990032】 【解】 设直线AB 上动点P (x ，y )，选取参数»＝AP PB ，
则直线AB 的参数方程为 x ＝1＋3 »1＋»，y ＝3＋»1＋»( »为参数，»≠－1)．①
把①代入y ＝x ，得1＋3 »1＋»＝3＋»1＋»
，得»＝1，所以M 分AB 的比：AM MB ＝1.
直线参数方程的应用
求直线 x ＝2＋t ，y ＝3t (t 为参数)被双曲线x 2－y 2
＝1截得的弦长． 【思路探究】 先求出直线和双曲线的交点坐标，再用两点间的距离公式，或者用直线参数方程中参数的几何意义求弦长．
【自主解答】 令t ＝112＋ 3
2t ′，即t ′＝2t ，则直线的参数方程为 x ＝2＋t ′cos ¸，y ＝t ′sin ¸(其中sin ¸＝32，cos ¸＝12)，
将 x ＝2＋t ′cos ¸，y ＝t ′sin ¸代入双曲线方程，得
t ′2
－4t ′－6＝0，
所以弦长＝|t 1′－t 2′|＝ t 1′＋t 2′ 2－4t 1′t 2′＝42＋4×6＝210.
方程 x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt 中t 的几何意义为定点P 0(x 0，y 0)到动点P (x ，y )的有向线段
的数量，有两个原则：其一为a 2＋b 2＝1，其二为b ≥0.这是因为±为直线的倾斜角
时，必有sin 2±＋cos 2
±＝1及sin ±≥0.不满足上述原则时，则必须通过换元的方法进行转化后，才能利用直线参数方程的几何意义解决问题．
[再练一题]
2．在平面直角坐标系xOy 中，若直线
l 1： x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2： x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________．
【解析】 由 x ＝2s ＋1，y ＝s 消去参数s ，得x ＝2y ＋1.
由 x ＝at ，y ＝2t －1消去参数t ，得2x ＝ay ＋a .
∵l 1∥l 2，∴2a ＝12，∴a ＝4.
【答案】 4
[真题链接赏析]
(教材第57页习题4.4第6题)运用4.4.2小节中例3的结论：
(1)求经过点P(1，－5)，倾斜角是À
3的直线的参数方程；
(2)求(1)中的直线与直线x－y－23＝0的交点到点P的距离．
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为 x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为 x ＝2tan 2¸，y ＝2tan ¸(¸为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通
方程，并求出它们的公共点的坐标．
【命题意图】 本题考查参数方程与普通方程的互化以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查转化、分析问题的能力和运算能力．
【解】 因为直线l 的参数方程为 x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.
同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .
联立方程组 y ＝2 x －1 ，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2,2)，
12，－1.
1．直线 x ＝－2＋t cos 50°，y ＝3－t sin 40°(t 为参数)的倾斜角±＝________.
【解析】 根据tan ±＝－sin 40°cos 50°＝－1，因此倾斜角为135°.
【答案】 135°
2．曲线 x ＝－2＋5t ，y ＝1－2t (t 为参数)与坐标轴的交点是________．
【导学号：98990033】
【解析】 当x ＝－2＋5t ＝0时，解得t ＝25，可得y ＝1－2t ＝15，
当y ＝1－2t ＝0时，
解得t ＝12，
可得x ＝－2＋5t ＝12，
∴曲线与坐标轴的交点坐标为(0，15)，(12，0)．
【答案】 (0，15)，(12，0)
3．点(－3,0)到直线
x ＝2t ，y ＝22t (t 为参数)的距离为________． 【解析】 直线
x ＝2t ，y ＝22t 化为普通方程为x －22y ＝0. ∴点(－3,0)到直线的距离为|－3－0|1＋ －22 2＝1. 【答案】 1
4．直线 x ＝2－12t ，
y ＝－1＋12t (t 为参数)被圆x 2＋y 2
＝4截得的弦长为________． 【答案】 14
学业分层测评(十一)
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