2019高考数学(文)通用版二轮精准提分练习：第二篇+第11练+数列+Word版含解析
2019年【浙江】高考数学(文)二轮：中档大题规范练数列(含答案)
高考数学精品复习资料2019.5中档大题规范练——数列1． (20xx·四川)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．解 设该数列的公差为d ，前n 项和为S n ，由已知，可得 2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )． 所以，a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0， 解得a 1＝4，d ＝0，或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以，数列{a n }的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n2.2． (20xx·天津)已知首项为32的等比数列{a n }不是．．递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)， 且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712. 综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56.所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.3． (20xx·湖南)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和．解 (1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 21，即a 1＝a 21.因为a 1≠0，所以a 1＝1.令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2. 当n ≥2时，由2a n －1＝S n,2a n －1－1＝S n －1 两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1. 于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列． 因此，a n ＝2n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1.记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ，于是B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1.① 2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .②①－②得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n .从而B n ＝1＋(n －1)·2n .4． 已知f (x )＝－4＋1x 2，点P n ⎝⎛⎭⎫a n ，－1a n ＋1在曲线y ＝f (x )上且a 1＝1，a n >0(n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a 2n ·a 2n ＋1}的前n 项和为S n ，若对于任意的n ∈N *，存在正整数t ，使得S n <t 2－t －12恒成立，求最小正整数t 的值． (1)证明 ∵－1a n ＋1＝－4＋1a 2n ，∴1a 2n ＋1－1a 2n＝4.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 是以1为首项，4为公差的等差数列． ∴1a 2n＝4n －3. ∵a n >0，∴a n ＝ 14n －3.(2)解 令b n ＝a 2n ·a 2n ＋1＝1(4n －3)(4n ＋1)＝14⎝⎛⎭⎫14n －3－14n ＋1. ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝14(1－15＋15－19＋…＋14n －3－14n ＋1) ＝14⎝⎛⎭⎫1－14n ＋1<14，对于任意的n ∈N *使得S n <t 2－t －12恒成立，∴只要14≤t 2－t －12，∴t ≥32或t ≤－12，∴存在最小的正整数t ＝2符合题意．5． 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *，都有a n >0，S n ＝a 31＋a 32＋…＋a 3n .(1)求a 1，a 2的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)当n ＝1时，有a 1＝S 1＝a 31， 由于a n >0，所以a 1＝1.当n ＝2时，有S 2＝a 31＋a 32，即a 1＋a 2＝a 31＋a 32，将a 1＝1代入上式，由于a n >0，所以a 2＝2.(2)由S n ＝a 31＋a 32＋…＋a 3n ，得a 31＋a 32＋…＋a 3n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2，① 则有a 31＋a 32＋…＋a 3n ＋a 3n ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1)2，②②－①，得a 3n ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1)2－(a 1＋a 2＋…＋a n )2＝a n ＋1[2(a 1＋a 2＋…＋a n )＋a n ＋1]． 因为a n >0，所以a 2n ＋1＝2(a 1＋a 2＋…＋a n )＋a n ＋1，③ 同理，得a 2n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋a n (n ≥2)，④③－④，得a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋1＋a n ，整理，得a n ＋1－a n ＝1.由于a 2－a 1＝1，故当n ≥1时，都有a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，其通项公式为a n ＝n .6． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝S n －12S n －1＋1(n ≥2)，a 1＝2.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求a n 的表达式．(1)证明 方法一 由S n ＝S n －12S n －1＋1，得1S n ＝2S n －1＋1S n －1＝1S n －1＋2，∴1S n －1S n －1＝2， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1即12为首项，以2为公差的等差数列．方法二 ∵当n ≥2时，1S n －1S n －1＝2S n －1＋1S n －1－1S n －1＝2S n －1S n －1＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1即12为首项，以2为公差的等差数列．(2)解 由(1)知1S n ＝12＋(n －1)×2＝2n －32，∴S n ＝12n －32，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －32－12n －72＝－2⎝⎛⎭⎫2n －32⎝⎛⎭⎫2n －72； 当n ＝1时，a 1＝2不适合a n . 故a n＝⎩⎨⎧2(n ＝1)－2⎝⎛⎭⎫2n －32⎝⎛⎭⎫2n －72 (n ≥2).。
2019数学(文)通用版二轮精准提分练习第二篇 第18练 概率与统计的综合问题
第18练概率与统计的综合问题［中档大题规范练][明晰考情]1。
命题角度:概率与统计知识的交汇处是高考命题的考点。
2.题目难度：中档难度。
考点一古典概型与几何概型要点重组(1）古典概型的两个特征①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件发生的可能性相等.(2)几何概型将古典概型的有限性推广到无限性，几何概型的测度包括长度、面积、角度、体积等。
1.已知A，B两个盒子中分别装有标记为1,2,3,4的大小相同的四个小球，甲从A盒中等可能地取出1个球，乙从B盒中等可能地取出1个球。
(1）用有序数对（i，j)表示事件“甲抽到标号为i的小球，乙抽到标号为j的小球”，试写出所有可能的事件；(2）甲、乙两人玩游戏，约定规则：若甲抽到的小球的标号比乙大，则甲胜；反之，则乙胜。
你认为此游戏是否公平？请说明理由。
解（1）甲、乙两人抽到的小球的所有情况有（1,1)，（1,2）,(1，3)，(1,4)，(2，1)，（2,2），(2，3），(2,4）,（3，1),（3，2),（3，3）,(3，4)，（4,1)，（4，2）,（4，3)，（4,4），共16种不同的情况。
(2)甲抽到的小球的标号比乙大，有（2,1）,(3，1)，（3，2)，(4,1)，(4,2)，(4,3），共6种情况,故甲胜的概率P 1＝错误!＝错误!，乙胜的概率为P 2＝1－错误!＝错误!。
因为错误!≠错误!，所以此游戏不公平。
2.已知集合A ＝［－2,2］,B ＝[－1，1],设M ＝｛(x ，y )｜x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素（x ，y ).（1)求以（x ,y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率;(2）求以(x ,y ）为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于错误!的概率. 解 （1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8。
因为圆x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为P 1＝错误!＝错误!。
2019年高考数学(文)二轮复习对点练：专题二函数与导数专题对点练7Word版含答案
专题对点练7导数与不等式及参数范围1.已知函数f(x)= x2+(1-a)x-a ln x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a<0,若对∀x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范围.2.设函数f(x)=(1-x2)e x.(1)求f(x)的单调区间;(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.3.(2018北京,文19)设函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]e x.(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a;(2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.4.已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a<0时,证明f(x)≤--2.专题对点练7答案1.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x+1-a-,若a≤0,则f'(x)>0,此时f(x)在(0,+∞)内单调递增;若a>0,则由f'(x)=0得x=a,当0<x<a时,f'(x)<0,当x>a时,f'(x)>0,此时f(x)在(0,a)内单调递减,在(a,+∞)内单调递增.(2)不妨设x1≤x2,而a<0,由(1)知,f(x)在(0,+∞)内单调递增,∴f(x1)≤f(x2),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|⇔4x1-f(x1)≥4x2-f(x2),令g(x)=4x-f(x),则g(x)在(0,+∞)内单调递减,∵g'(x)=4-f'(x)=4--x+3+a,∴g'(x)= -x+3+a≤0对∀x∈(0,+∞)恒成立,∴a≤对∀x∈(0,+∞)恒成立,∴a≤.又=x+1+-5≥2-5=-1,当且仅当x+1=,即x=1时,等号成立.∴a≤-1,故a的取值范围为(-∞,-1].2.解(1)f'(x)=(1-2x-x2)e x.令f'(x)=0得x=-1-,x=-1+.当x∈(-∞,-1-)时,f'(x)<0;当x∈(-1-,-1+)时,f'(x)>0;当x∈(-1+,+∞)时,f'(x)<0.所以f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)内单调递减,在(-1-,-1+)内单调递增.(2)f(x)=(1+x)(1-x)e x.当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)e x,h'(x)=-x e x<0(x>0),因此h(x)在[0,+∞)内单调递减,而h(0)=1,故h(x)≤1,所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1.当0<a<1时,设函数g(x)=e x-x-1,g'(x)=e x-1>0(x>0),所以g(x)在[0,+∞)内单调递增,而g(0)=0,故e x≥x+1.当0<x<1时,f(x)>(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=,则x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)>ax0+1.当a≤0时,取x0=,则x0∈(0,1),f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1.综上,a的取值范围是[1,+∞).3.解(1)因为f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]e x,所以f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]e x.所以f'(2)=(2a-1)e2.由题设知f'(2)=0,即 (2a-1)e2=0,解得a=.(2)(方法一)由(1)得f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]e x=(ax-1)(x-1)e x.若a>1,则当x∈时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在x=1处取得极小值.若a≤1,则当x∈(0,1)时,ax-1≤x-1<0,所以f'(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(1,+∞).(方法二)由(1)得f'(x)=(ax-1)(x-1)e x.当a=0时,令f'(x)=0,得x=1.f'(x),f(x)随x∴f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.当a>0时,令f'(x)=0,得x1=,x2=1.①当x1=x2,即a=1时,f'(x)=(x-1)2e x≥0,∴f(x)在R上单调递增,∴f(x)无极值,不合题意.②当x1>x2,即0∴f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.③当x1<x2,即a>∴f(x)在x=1处取得极小值,即a>1满足题意.当a<0时,令f'(x)=0,得x1=,x2=1.f'(x),f(x)随x∴f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.综上所述,a的取值范围为(1,+∞).4.(1)解f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= +2ax+2a+1=.若a≥0,则当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)单调递增.若a<0,则当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x) <0.故f(x)在单调递增,在单调递减.(2)证明由(1)知,当a<0时,f(x)在x=-取得最大值,最大值为f=ln-1-.所以f(x)≤--2等价于ln-1-≤--2,即ln+1≤0.设g(x)=ln x-x+1,则g'(x)= -1.当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0.所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.所以当x>0时,g(x)≤0.从而当a<0时,ln+1≤0,即f(x)≤--2.。
2019高考数学(理)通用版二轮精准提分练：解答题滚动练1(A) Word版含解析
解答题滚动练解答题滚动练1(A)1.如图，正三角形ABC 的边长为2，D ，E ，F 分别在三边AB ，BC 和CA 上，且D 为AB 的中点，∠EDF ＝90°，∠BDE ＝θ(0°<θ<90°).(1)当tan ∠DEF ＝32时，求θ的大小； (2)求△DEF 的面积S 的最小值及使得S 取最小值时θ的值.解 (1)在△BDE 中，由正弦定理得DE ＝BD sin 60°sin (120°－θ)＝32sin (60°＋θ)， 在△ADF 中，由正弦定理得DF ＝AD sin 60°sin (30°＋θ)＝32sin (30°＋θ). 由tan ∠DEF ＝32，得sin (60°＋θ)sin (30°＋θ)＝32， 整理得tan θ＝3，所以θ＝60°.(2)S ＝12DE ·DF ＝38sin (60°＋θ)sin (30°＋θ)＝32(3cos θ＋sin θ)(cos θ＋3sin θ) ＝32[3(cos 2θ＋sin 2θ)＋4sin θcos θ]＝32(3＋2sin 2θ). 当θ＝45°时，S 取最小值32(3＋2)＝6－332. 2.(2018·四川省南充高级中学考前模拟)已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由某电视台举办的知识类答题闯关活动，活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率依次是56，45，34，23，女生闯过一至四关的概率依次是45，34，23，12. (1)求男生闯过四关的概率；(2)设ξ表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量ξ的分布列和期望.解 (1)记男生四关都闯过为事件A ，则P (A )＝56×45×34×23＝13. (2)记女生四关都闯过为事件B ，则P (B )＝45×34×23×12＝15， 因为P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫452＝64225，P (ξ＝1)＝C 12×13×23×⎝⎛⎭⎫452＋C 12×15×45×⎝⎛⎭⎫232＝96225， P (ξ＝2)＝C 22×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫452＋C 22×⎝⎛⎭⎫152×⎝⎛⎭⎫232＋C 12×13×23×C 12×15×45＝52225， P (ξ＝3)＝C 12×13×23×⎝⎛⎭⎫152＋C 12×15×45×⎝⎛⎭⎫132＝12225， P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫152＝1225，所以ξ的分布列如下：E (ξ)＝0×64225＋1×96225＋2×52225＋3×12225＋4×1225＝240225＝1615. 3.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2n ＋3a n ＋2(t ∈R ).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1－b n ＝a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12b n ＋7n 的前n 项和T n . 解 (1)因为a 1＝S 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2n ＋3a n ＋2， 所以(t ＋1)S 1＝a 21＋3a 1＋2，所以t ＝5.所以6S n ＝a 2n ＋3a n ＋2.①当n ≥2时，有6S n －1＝a 2n －1＋3a n －1＋2，②①－②得6a n ＝a 2n ＋3a n －a 2n －1－3a n －1，所以(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0，因为a n >0，所以a n －a n －1＝3，。
2019届高考数学(文科)名师指导(原创题、押题练、练中提能)【专题3】数列【3】及答案
2019年高考数学文科第二伦专题：数列、等差数列﹑等比数列(名师推荐)
1．在数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a ＋a ＋…＋a 等于( )2122n A ．(2n －1)2 B. 2n －1 23C ．4n －1 D.4n －13【解析】设S n 为{a n }的前n 项和，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，当n ≥2时，S n －1＝2n －1－1，a n ＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1，a ＝4n －1，当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，所以2n a ＋a ＋…＋a ＝＝.2122n 1－4n1－44n －13【答案】D2．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，a 3,2a 2成等差数列，则＝( )12a 9＋a 10a 7＋a 8A ．1＋B ．1－22C ．3＋2D ．3－222【答案】C3．设等比数列{a n }的前6项和S 6＝6，且1－为a 1，a 3的等差中项，则a 7＋a 8＋a 9＝( )a 22A ．－2B ．8C ．10D ．14【解析】依题意得a 1＋a 3＝2－a 2，即S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝2，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即数列2,4，S 9－6成等比数列，于是有S 9－S 6＝8，即a 7＋a 8＋a 9＝8，选B.【答案】B4．已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝，若b 10b 11＝2，则a 21＝( )an ＋1an A ．29B ．210C ．211D ．212【解析】由b n ＝，且a 1＝2，得an ＋1an b 1＝＝，a 2＝2b 1；b 2＝，a 3＝a 2b 2＝2b 1b 2；b 3＝，a 4＝a 3b 3＝2b 1b 2b 3；…；a n ＝2b 1b 2b 3…b n －1，∴a 21a 2a 1a 22a 3a 2a 4a 3＝2b 1b 2b 3…b 20，又{b n }为等比数列，∴a 21＝2(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝2(b 10b 11)10＝211.【答案】C5．已知S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则等于( )a 2＋a 3a 1A ．4 B ．6C ．8D ．10【解析】设数列{a n }的公差为d ，则S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d ，故(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，整理得d ＝2a 1，所以＝＝＝8，选C.a 2＋a 3a 12a 1＋3d a 18a 1a 1＝＝12 2n －1 a1＋a2n －112 2n －1 b1＋b2n －1 A2n －1B2n －1＝＝7 2n －1 ＋45 2n －1 ＋314n ＋382n ＋2＝＝7＋ (n ∈N *)，7n ＋19n ＋112n ＋1故n ＝1,2,3,5,11时，为整数.an bn 即正整数n 的个数是5.【答案】D12.已知S n 是各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，a 7＝64，a 1a 5＋a 3＝20，则S 5等于( )A.31B.63C.16D.127【答案】A13.在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A.n (3n －1)B.n (n ＋3)2C.n (n ＋1)D.n (3n ＋1)2【答案】C【解析】依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝＝n (n ＋1).n (2＋2n )214.数列{a n }满足a 1＝0，－＝1(n ≥2，n ∈N *)，则a 2 019等于( )11－an 11－an －1A. B. C. D.12 01912 018 2 0182 019 2 0172 018【答案】C【解析】∵数列{a n }满足a 1＝0，－＝1(n ≥2，n ∈N *)，11－an 11－an －1∴＝1，11－a 1∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，{11－an }∴＝1＋(n －1)＝n ，11－an ∴＝2 019，解得a 2 019＝.11－a 2 019 2 0182 01915.已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有＋＋…＋<t ，则t 的取值范围1a 11a 21an 为( )A. B.(13，＋∞)[13，＋∞)C. D.(23，＋∞)[23，＋∞)【答案】D16.在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n ＞1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15等于( )A.210B.211C.224D.225【答案】B【解析】当n ＞1时，S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，∴a n ＋1＝a n ＋2，n ≥2，∴a n ＋1－a n ＝2，n ≥2.∴数列{a n }从第二项开始组成公差为2的等差数列，∴S 15＝a 1＋(a 2＋…＋a 15)＝1＋×14＝211.2＋28217.设{a n }是任意等差数列，它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )A.2X ＋Z ＝3YB.4X ＋Z ＝4YC.2X ＋3Z ＝7YD.8X ＋Z ＝6Y【答案】D【解析】根据等差数列的性质X ，Y －X ，S 3n －Y ，Z －S 3n 成等差数列，∴S 3n ＝3Y －3X ，又2(S 3n －Y )＝(Y －X )＋(Z －S 3n )，∴4Y －6X ＝Y －X ＋Z －3Y ＋3X ，∴8X ＋Z ＝6Y .【答案】324.设{a n }是公比为q 的等比数列，|q|>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.【答案】.－925.公差不为0的等差数列{a n }的部分项ak 1，ak 2，ak 3，…构成等比数列，且k 1＝1，k 2＝2，k 3＝6，则k 4＝________.答案 22【解析】根据题意可知等差数列的a 1，a 2，a 6项成等比数列，设等差数列的公差为d ，则有(a 1＋d)2＝a 1(a 1＋5d)，解得d ＝3a 1，故a 2＝4a 1，a 6＝16a 1⇒ak 4＝a 1＋(n －1)·(3a 1)＝64a 1，解得n ＝22，即k 4＝22.26.设函数f(x)＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a n x n －1，f(0)＝，数列{a n }满足f(1)＝n 2a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通12项公式为________.答案 a n ＝1n n ＋1【解析】由f(0)＝，得a 1＝，1212由f(1)＝n 2a n (n ∈N *)，得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2a n .当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1，整理得＝，an an －1n －1n ＋1所以a n ＝a 1×××…×a2a1a3a2an an －1＝××××…×＝，12132435n －1n ＋11n n ＋1 显然a 1＝也符合.12即{a n }的通项公式为a n ＝.1n n ＋1 27.若f(n)为n 2＋1(n ∈N *)的各位数字之和，如62＋1＝37，f(6)＝3＋7＝10，f 1(n)＝f(n)，f 2(n)＝f(f 1(n))，…，f k ＋1(n)＝f(f k (n))，k ∈N *，则f 2016(4)＝________.【答案】528.数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋5，则a n ＝__________.1212212312n 【答案】a n ＝Error!【解析】∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n ＋5.①1212212n ∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2(n －1)＋5.②1212212n －1由①－②得a n ＝2，∴a n ＝2n ＋1 (n≥2).12n 又∵a 1＝2＋5，∴a 1＝14.12解得a ＝5.所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d ，10，18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去).故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝.54所以b n ＝b 1·q n －1＝·2n －1＝5·2n －3，54即数列{b n }的通项公式b n ＝5·2n －3.33．在公差不为零的等差数列{a n }中，已知a 1＝1，且a 1，a 2，a 5依次成等比数列．数列{b n }满足b n ＋1＝2b n －1，且b 1＝3.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列的前n 项和为S n ，试比较S n 与1－的大小．{2an ·an ＋1}1bn 【解析】(1)设数列{a n }的公差为d .因为a 1＝1，且a 1，a 2，a 5依次成等比数列，所以a ＝a 1·a 5，即(1＋d )2＝1·(1＋4d )，2所以d 2－2d ＝0，解得d ＝2(d ＝0不合要求，舍去)．所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.因为b n ＋1＝2b n －1，所以b n ＋1－1＝2(b n －1)．所以{b n －1}是首项为b 1－1＝2，公比为2的等比数列．所以b n －1＝2×2n －1＝2n .所以b n ＝2n ＋1.(2)因为＝＝－，2an ·an ＋12 2n －1 2n ＋1 12n －112n ＋1所以S n ＝＋＋…＋＝1－，(11－13)(13－15)(12n －1－12n ＋1)12n ＋1于是S n －＝1－－1＋＝－＝.(1－1bn )12n ＋112n ＋112n ＋112n ＋12n －2n 2n ＋1 2n ＋1 所以当n ＝1,2时，2n ＝2n ，S n ＝1－；1bn 当n ≥3时，2n <2n ，S n <1－.1bn 34．已知函数f(x)＝(a ＋2cos2x)cos(2x ＋θ)为奇函数，且f π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若fα4＝－25，α∈π2，π，求sinα＋π3的值．35．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a－c＝66b，sin B＝6sin C.(1)求cos A的值；(2)求cos2A－π6的值．解：(1)在△ABC中，由bsin B＝csin C，及sin B＝6sin C，可得b＝6c.由a－c＝66b，得a＝2c.所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝6c2＋c2－4c226c2＝64.(2)在△ABC中，由cos A＝64，可得sin A＝104.于是cos 2A＝2cos2A－1＝－14，sin 2A＝2sin A•cos A＝154.所以cos2A－π6＝cos 2A•cosπ6＋sin 2A•sinπ6＝15－38.36．如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1, CD＝3，cos B＝33.(1)求△ACD的面积；(2)若BC＝23，求AB的长．解：(1)因为∠D＝2∠B，cos B＝33，所以cos D＝cos 2B＝2cos2B－1＝－13.因为D∈(0，π)，所以sin D＝1－cos2D＝223.因为AD＝1，CD＝3，所以△ACD的面积S＝12AD•CD•sin D＝12×1×3×223＝2.(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD•DC•cos D＝12，所以AC＝23.因为BC＝23，ACsin B＝ABsin∠ACB，所以23sin B ＝ABsin π－2B ＝ABsin 2B ＝AB2sin Bcos B ＝AB233sin B ，所以AB ＝4.37.对于正项数列{a n }，定义H n ＝为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋nan H n ＝，则数列{a n }的通项公式为________.2n ＋2【答案】a n ＝(n ∈N *)2n ＋12n。
2019高考数学(文)通用版二轮精准提分练习：第2篇 第11练 数列
第11练 数 列[小题提速练][明晰考情] 1.命题角度：考查等差数列、等比数列基本量的计算，考查数列的通项及求和.2.题目难度：选择题中等偏下，填空题中档难度.考点一 等差数列与等比数列要点重组 (1)在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(2)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列.(3)在等差数列{a n }中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等差数列.(4)在等比数列中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q .(5)在等比数列中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(n 为偶数且q ＝－1除外).1.(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( ) A.－12 B.－10 C.10 D.12答案 B解+析 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3⎣⎡⎦⎤3a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式， 解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10. 故选B.2.已知S n 是各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，a 7＝64，a 1a 5＋a 3＝20，则S 5等于( ) A.31 B.63 C.16 D.127 答案 A解+析 设公比为q (q >0)，∵a 1a 5＋a 3＝20， ∴a 23＋a 3－20＝0，即(a 3＋5)(a 3－4)＝0， ∵a 3>0，∴a 3＝4，∵a 7＝a 3q 4＝64，∴q ＝2，a 1＝1. ∴S 5＝1－251－2＝31，故选A.3.在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A.n (3n －1) B.n (n ＋3)2C.n (n ＋1)D.n (3n ＋1)2答案 C解+析 依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1).4.设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________. 答案 －9解+析 由题意知，数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23，19,37,82}中，说明{a n }有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由于{a n }中连续四项至少有一项为负，∴q <0，又∵|q |>1，∴{a n }的连续四项为－24,36，－54,81，∴q ＝36－24＝－32，∴6q ＝－9.考点二 数列的通项与求和方法技巧 (1)已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解.(2)利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S n ，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求通项时，要注意检验n ＝1的情况.5.数列{a n }满足a 1＝0，11－a n －11－a n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)，则a 2019等于( )A.12019B.12018C.20182019D.20172018 答案 C解+析 ∵数列{a n }满足a 1＝0，11－a n －11－a n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)，∴11－a 1＝1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 是首项为1，公差为1的等差数列，∴11－a n＝1＋(n －1)＝n ， ∴11－a 2019＝2019，解得a 2019＝20182019.6.已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <t ，则t 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫13，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫13，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫23，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫23，＋∞答案 D解+析 ∵数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)， ∴当n ＝1时，a 1＝2；当n ≥2时，a 1a 2a 3…a n －1＝2(n －1)2，可得a n ＝22n －1，n ≥2，当n ＝1时，a 1＝2满足上式，∴1a n ＝122n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等比数列，首项为12，公比为14. ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝12⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝23⎝⎛⎭⎫1－14n <23. ∵对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <t ，∴t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫23，＋∞. 7.(2018·全国Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 答案 －63解+析 ∵S n ＝2a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2).当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1.∴数列{a n }是首项a 1＝－1，公比q ＝2的等比数列， ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－1(1－2n )1－2＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63.8.已知数列{a n }满足a 1＝3a 2＝1，a n －1a n ＋1a n －1＋2a n ＋1＝a n 3(n ≥2)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ＝________.答案 2n ＋1－2－n解+析 依题意，3a n －1a n ＋1＝a n a n －1＋2a n a n ＋1， 即2a n －1a n ＋1－2a n a n ＋1＝a n a n －1－a n －1a n ＋1， 故1a n ＋1－1a n ＝2⎝⎛⎭⎫1a n －1a n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1－1a n 是以2为首项，2为公比的等比数列，故1a n ＋1－1a n ＝2n ，由累加法可得1a n －1a 1＝2n －2，故1a n ＝2n －1，故S n ＝2n ＋1－2－n .考点三 数列的综合应用方法技巧 (1)以函数为背景的数列问题、可以利用函数的性质等确定数列的通项a n 、前n 项和S n 的关系.(2)和不等式有关的数列问题，可以利用不等式的性质、基本不等式、函数的单调性等求最值来解决.9.(2018·黑龙江大庆一中模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax 的图象在点A (0，f (0))处的切线l 与直线2x －y ＋2＝0平行，若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )的前n 项和为S n ，则S 20的值为( )A.325462B.1920C.119256D.20102011答案 A解+析 因为f (x )＝x 2＋ax ，所以f ′(x )＝2x ＋a ，又函数f (x )＝x 2＋ax 的图象在点A (0，f (0))处的切线l 与直线2x －y ＋2＝0平行，所以f ′(0)＝a ＝2，所以f (x )＝x 2＋2x ，所以1f (n )＝1n 2＋2n ＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2， 所以S 20＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫120－122＝12×⎝⎛⎭⎫1＋12－121－122＝325462. 10.(2017·全国Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( ) A.440B.330C.220D.110 答案 A解+析 设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推.则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n (1＋n )2.由题意知，N >100，令n (1＋n )2>100，∴n ≥14且n ∈N *，即N 出现在第13组之后.第n 组的各项和为1－2n 1－2＝2n －1，前n 组所有项的和为2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n .设N 是第n ＋1组的第k 项，若要使前N 项和为2的整数幂，则N －n (1＋n )2项的和即第n ＋1组的前k 项的和2k －1应与－2－n 互为相反数，即2k －1＝2＋n (k ∈N *，n ≥14)，k ＝log 2(n ＋3)，∴n 最小为29，此时k ＝5，则N ＝29×(1＋29)2＋5＝440.故选A.11.设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________. 答案 64解+析 由已知a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝a 1q ＋a 3q ＝5， 两式相除得a 1＋a 3q (a 1＋a 3)＝105，解得q ＝12，a 1＝8，方法一 ∴a 2＝4，a 3＝2，a 4＝1，∴a 1a 2a 3＝a 1a 2a 3a 4， ∴a 1a 2…a n 的最大值为64.方法二 由a 1a 2…a n ＝8n·⎝⎛⎭⎫121＋2＋…＋(n －1)＝27222n n+-，抛物线f (n )＝－n 22＋7n2的对称轴为n ＝－722×⎝⎛⎭⎫－12＝72， 又n ∈N *，所以当n ＝3或4时，a 1a 2…a n 取最大值26＝64.12.已知函数f (x )＝3|x ＋5|－2|x ＋2|，数列{a n }满足a 1<－2，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *.若要使数列{a n }成等差数列，则a 1的取值集合为______________. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－11，－112，－194解+析 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋11，x ≥－2，5x ＋19，－5<x <－2，－x －11，x ≤－5，所以若数列{a n }成等差数列，则当a 1为直线y ＝x ＋11与直线y ＝－x －11的交点的横坐标，即a 1＝－11时，数列{a n }是以－11为首项，11为公差的等差数列；当f (a 1)＝a 1，即5a 1＋19＝a 1或－a 1－11＝a 1，即a 1＝－194或a 1＝－112时，数列{a n }是以0为公差的等差数列，因此a 1的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－11，－112，－194.1.在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n ＞1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15等于( ) A.210B.211C.224D.225答案 B解+析 当n ＞1时，S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2， ∴a n ＋1＝a n ＋2，n ≥2， ∴a n ＋1－a n ＝2，n ≥2.∴数列{a n }从第二项开始组成公差为2的等差数列， ∴S 15＝a 1＋(a 2＋…＋a 15)＝1＋2＋282×14＝211.2.已知数列{a n }满足：a n ＋1＝a n (1－2a n ＋1)，a 1＝1，数列{b n }满足：b n ＝a n ·a n ＋1，则数列{b n }的前2017项的和S 2017＝________. 答案20174035解+析 由a n ＋1＝a n (1－2a n ＋1)， 可得1a n ＋1－1a n＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为2的等差数列，故1a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，所以a n ＝12n －1. 又b n ＝a n ·a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，所以S 2017＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋14033－14035 ＝12×40344035＝20174035. 3.已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn 的最小值为________.答案212解+析 由题意，得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝4，…，a n －a n －1＝2(n －1)，n ≥2， 累加整理可得a n ＝n 2－n ＋33，n ≥2， 当n ＝1时，a 1＝33也满足， ∴a n n ＝n ＋33n－1(n ∈N *). 由函数f (x )＝x ＋33x －1(x ＞0)的单调性可知，a nn的最小值为f (5)，f (6)中较小的一个. 又f (6)＝212，f (5)＝535，∴⎝⎛⎭⎫a n n min＝212. 解题秘籍 (1)利用a n ＝S n －S n －1寻找数列的关系，一定要注意n ≥2这个条件. (2)数列的最值问题可以利用基本不等式或函数的性质求解，但要考虑最值取到的条件.1.等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前6项和为( ) A.－24 B.－3 C.3 D.8答案 A解+析 由已知条件可得a 1＝1，d ≠0，由a 23＝a 2a 6，可得(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝－2.所以S 6＝6×1＋6×5×(－2)2＝－24.2.已知在等比数列{}a n 中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( )A.1＋ 2B.1－ 2C.3＋2 2D.3－2 2答案 C解+析 ∵a 1，12a 3，2a 2成等差数列，∴12a 3×2＝a 1＋2a 2， 即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ， 又∵a 1≠0，∴q 2＝1＋2q ， 解得q ＝1＋2或q ＝1－2(舍).∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 1q 8(1＋q )a 1q 6(1＋q )＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 3.已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|等于( ) A.9 B.15 C.18 D.30答案 C解+析 由a n ＋1－a n ＝2可得数列{a n }是等差数列，公差d ＝2，又a 1＝－5， 所以a n ＝2n －7，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＋|a 6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.4.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5答案 D解+析 a n b n ＝2a n2b n ＝(2n －1)(a 1＋a 2n －1)2(2n －1)(b 1＋b 2n －1)2＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1 ＝7＋12n ＋1， 验证知，当n ＝1,2,3,5,11时a nb n为整数.5.在数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A.(2n －1)2B.2n －13C.4n－1 D.4n －13答案 D解+析 设S n 为{a n }的前n 项和，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，当n ≥2时，S n －1＝2n －1－1，a n ＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1，a 2n ＝4n －1，当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n＝1－4n 1－4＝4n －13.6.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4等于( )A.2B.73C.310 D.1或2答案 B解+析 设S 2＝k ，则S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列(易知数列{a n }的公比q ≠－1)，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列， 又S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ， ∴S 6－S 4＝4k ， ∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73，故选B. 7.(2018·唐山模拟)设{a n }是任意等差数列，它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( ) A.2X ＋Z ＝3Y B.4X ＋Z ＝4Y C.2X ＋3Z ＝7Y D.8X ＋Z ＝6Y答案 D解+析 根据等差数列的性质X ，Y －X ，S 3n －Y ，Z －S 3n 成等差数列， ∴S 3n ＝3Y －3X ，又2(S 3n －Y )＝(Y －X )＋(Z －S 3n )， ∴4Y －6X ＝Y －X ＋Z －3Y ＋3X ， ∴8X ＋Z ＝6Y .8.在数列{a n }中，a 1＝1，a n －a n －1＝1n (n －1)(n ≥2，且n ∈N *)，则a n 等于( )A.2－1nB.1－1nC.1nD.2－1n －1答案 A解+析 ∵a n －a n －1＝1n (n －1)，n ≥2，∴a 2－a 1＝11×2＝1－12，a 3－a 2＝12×3＝12－13，a 4－a 3＝13×4＝13－14，…，a n －a n －1＝1n －1－1n，∴以上各式累加得a n －a 1＝1－1n .又a 1＝1，∴a n ＝2－1n.当n ＝1时，上式也成立，故选A.9.公差不为0的等差数列{a n }的部分项1k a ，2k a ，3k a ，…构成等比数列，且k 1＝1，k 2＝2，k 3＝6，则k 4＝________. 答案 22解+析 根据题意可知，等差数列的a 1，a 2，a 6项成等比数列，设等差数列的公差为d ，则有(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋5d )，解得d ＝3a 1，故a 2＝4a 1，a 6＝16a 1，所以4k a ＝a 1＋(k 4－1)·(3a 1)＝64a 1，解得k 4＝22.10.已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1，则a 13等于________. 答案 168解+析 由a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1可知， a n ＋1＋1＝a n ＋1＋2a n ＋1＋1＝(a n ＋1＋1)2， ∴a n ＋1＋1＝a n ＋1＋1.又a 1＋1＝1，故数列{a n ＋1}是首项为1，公差为1的等差数列， ∴a n ＋1＝n ，∴a 13＋1＝13，则a 13＝168.11.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这个女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为________. 答案2031解+析 设这个女子每天分别织布a n 尺，则数列{a n }是等比数列，公比q ＝2. 则a 1(25－1)2－1＝5，解得a 1＝531.所以a 3＝531×22＝2031.12.对于正项数列{a n }，定义H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n ＝2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________. 答案 a n ＝2n ＋12n(n ∈N *)解+析 由H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 可得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n H n ＝n (n ＋2)2，①所以a 1＝32，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)(n ＋1)2(n ≥2)，②①－②得na n ＝n (n ＋2)2－(n －1)(n ＋1)2＝2n ＋12，所以a n ＝2n ＋12n，n ≥2.11 又当n ＝1时，a 1＝32也满足上式， 所以a n ＝2n ＋12n，n ∈N *.。
2019数学(文)通用版二轮精准提分练习第二篇 第20练 圆锥曲线的定义、方程与性质
第20练圆锥曲线的定义、方程与性质［小题提速练］［明晰考情]1。
命题角度：圆锥曲线的定义、方程与几何性质是高考考查的热点.2.题目难度：中等偏难.考点一圆锥曲线的定义及标准方程方法技巧（1)应用圆锥曲线的定义解题时，一定不要忽视定义中的隐含条件。
(2)凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离，一般可以利用定义进行转化.(3）求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”。
1.已知A（0，7），B（0，－7)，C（12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是(）A.y2－错误!＝1B.x2－错误!＝1C.y2－错误!＝1(y≤－1) D。
x2－错误!＝1(x≥1)答案C解析由两点间距离公式，可得|AC｜＝13,｜BC|＝15，｜AB|＝14，因为A，B都在椭圆上，所以|AF|＋｜AC｜＝|BF|＋|BC｜,|AF｜－｜BF｜＝|BC|－｜AC|＝2〈14，故F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下支。
由c＝7，a＝1，得b2＝48，所以F的轨迹方程是y2－错误!＝1（y≤－1)，故选C。
2.已知双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b>0）的焦距为2错误!，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为（)A.错误!－y 2＝1B 。
x 2－错误!＝1 C.错误!－错误!＝1D 。
错误!－错误!＝1答案 A 解析 依题意得错误!＝错误!,①又a 2＋b 2＝c 2＝5，②联立①②得a ＝2，b ＝1.∴所求双曲线的方程为错误!－y 2＝1.3.已知椭圆错误!＋错误!＝1的两个焦点是F 1,F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1｜－｜PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是________.答案 错误!解析 由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2,且｜PF 1｜＋|PF 2｜＝2a ＝4，又|PF 1｜－｜PF 2|＝2，所以|PF 1｜＝3,｜PF 2|＝1.又|F 1F 2|＝2c ＝2错误!，所以有｜PF 1｜2＝｜PF 2|2＋|F 1F 2｜2,即△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 1为直角，所以12PF F S ＝错误!｜F 1F 2|｜PF 2｜＝错误!×2错误!×1＝错误!.4.已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3）2＋（y －1)2＝1上的一个动点，N (1，0)是一个定点，则|PQ |＋｜PN |的最小值为________.答案 3解析 由抛物线方程y 2＝4x ，可得抛物线的焦点F （1，0)，又N （1,0），所以N 与F 重合。
2019届高考数学二轮复习练习：小题专练专题能力提升练一2.1.1Word版含答案
专题能力提升练一集合、复数与平面向量(45分钟80分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.若集合A={-1,2},B={0,1},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}的子集共有( )A.2个B.4个C.8个D.16个【解析】选D.当x=-1,y=0时,z=-1;当x=-1,y=1时,z=0;当x=2,y=0时,z=2;当x=2,y=1时,z=3.故z的值为-1,0,2,3,即求集合{-1,0,2,3}的子集个数,根据规律得子集共有24=16个.2.已知复数z1,z2在复平面内对应的点分别为(1,-1),(3,1),则等于 ( )A.1-2iB.1+2iC.-iD.-i【解析】选B.因为z1=1-i,z2=3+i,所以==1+2i.3.已知复数z为纯虚数,且=1,则z= ()A.±2iB.±iC.iD.i【解析】选 B.因为z是纯虚数,所以可设z=ai(a∈R),===1,可得=2,a=±,所以z=±i.4.已知集合A={x∈Z|log2k<x<2},若集合A中至少有3个元素,则实数k的取值范围为( )A.(1,2)B.(0,1)C. D.【解析】选C.因为由题意可知log2k<-1,所以解得0<k<.5.在四边形ABCD中,=,且·=0,则四边形ABCD为( )A.矩形B.菱形C.直角梯形D.等腰梯形【解析】选B.因为=即一组对边平行且相等,·=0即对角线互相垂直;所以该四边形ABCD为菱形.6.(2018·菏泽一模)已知集合A={x|x2-4x+3≥0},B={x∈N|-1≤x≤5},则A∩B=( ) A.{1,3,4,5} B.{0,1,4,5}C.{0,1,3,4,5}D.{3,4,5}【解析】选C.因为集合A={x|x2-4x+3≥0}={x|x≤1或x≥3},B={x∈N|-1≤x≤5}={0,1,2,3,4,5},所以A∩B={0,1,3,4,5}.7.已知R为实数集,A={x|y=lg(x+3)},B={x|x≥2},则R(A∪B)=( )A.{x|x>-3}B.{x|x<-3}C.{x|2≤x<3}D.{x|x≤-3}【解析】选D.因为R为实数集,A={x|y=lg(x+3)}={x|x>-3},B={x|x≥2}, 所以A∪B={x|x>-3},所以R(A∪B)={x|x≤-3}.8.图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z所表示的复数z 满足(z1-i)·z=1,则复数z1= ( )A.-+iB.+iC.-iD.--i【解析】选B.由图得z=2+i,则(z1-i)(2+i)=1,所以z1=i+=+i.9.(2018·北京高考)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.复数z=====+i,所以z的共轭复数=-i,对应的点为,位于第四象限.10.若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},则M∩N=( )A.⌀B.{-1,-4}C.{0}D.{1,4}【解析】选 A.因为M={x|(x+4)(x+1)=0}={-4,-1},N={x|(x-4)(x-1)=0}={1,4},所以M∩N=⌀.11.已知复数z= -2i (其中i为虚数单位),则|z|=)A.3B.3C.2D.2【解析】选 B.z=-2i=-2i=3-i-2i=3-3i,则|z|=3.12.(2018·天津高考)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则·的最小值为( )A. B. C. D.3【解析】选 A.由已知DB=且△BCD为等边三角形,因为=++,所以·=(++)·=,设=λ(0≤λ≤1),则·=·(-)=(-)·(--)=(-)2-(-)·=3λ2-λ+.所以,当λ=时,·有最小值.二、填空题(每小题5分,共20分)13.在△ABC中,==,则sin A∶sin B∶sin C=________.。
2019高考数学浙江精准提分练：解答题滚动练2 Word版含解析
解答题滚动练21.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A ，B 两点，x 轴正半轴与单位圆交于M ，已知S △OAM ＝55，点B 的纵坐标是210.(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．解 (1)由S △OAM ＝55和α为锐角， ∴sin α＝255，cos α＝55. 又点B 的纵坐标是210， ∴sin β＝210，cos β＝－7210. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝55⎝⎛⎭⎫－7210＋255×210＝－1010. (2)∵cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35， sin 2α＝2sin α·cos α＝2×255×55＝45， ∴2α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.∵β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴2α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. ∵sin(2α－β)＝sin 2α·cos β－cos 2α·sin β＝－22， ∴2α－β＝－π4. 2．如图，在三棱锥P －ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝PC ＝2，AC ＝4，∠PBC ＝π6，点E 在BC 上，且BE ＝12EC .(1)求证：平面P AB⊥平面PBC；(2)求AE与平面P AB所成角的正弦值．(1)证明因为PC⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC，所以PC⊥AB，PC⊥BC.又因为在△PBC中，PC＝2，∠PBC＝π6，所以BC＝23，而AB＝2，AC＝4，所以AC2＝AB2＋BC2，所以AB⊥BC.又AB⊥PC，PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，所以AB⊥平面PBC，又AB⊂平面P AB，所以平面P AB⊥平面PBC.(2)解设AE与平面P AB所成的角为θ.因为BE＝12EC，所以点E到平面P AB的距离d E＝13d C(d C表示点C到平面P AB的距离)．过C作CF⊥PB于点F，由(1)知CF⊥平面P AB，易得d C＝CF＝3，所以d E＝13d C＝3 3.又AE＝AB2＋BE2＝433，所以sin θ＝d EAE ＝1 4.。
(2021年整理)2019年高考新课标Ⅱ文科数学试题及答案(精校版-解析版-word版)
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2019年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）文 科 数 学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．（–1，+∞） B ．(–∞，2） C ．(–1，2）D ．∅2．设z =i(2+i)，则z = A ．1+2iB ．–1+2iC ．1–2iD ．–1–2i3．已知向量a =(2，3），b =（3，2），则|a –b ｜=A B ．2 C ．D ．504．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标,若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为A ．23B ．35C ．25D ．155．在“一带一路"知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高．乙:丙的成绩比我和甲的都高． 丙:我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙6．设f (x )为奇函数,且当x ≥0时，f （x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x ---D ．e 1x --+7．设α，β为两个平面,则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 8．若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω（ω>0）两个相邻的极值点,则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．129．若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点,则p = A ．2 B ．3 C ．4D ．810．曲线y =2sin x +cos x 在点（π,–1）处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=11．已知a ∈（0,π2）,2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15BCD12．设F 为双曲线C :22221x y a b -=(a >0，b >0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ ｜=｜OF ｜,则C 的离心率为ABC ．2D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y ⎧⎪⎨⎪⎩+-≥+-≤-≤，，，则z =3x –y 的最大值是___________。
2019届高考数学二轮复习练习：数列考题预测·精准猜押2.3.1Word版含答案
考题预测·精准猜押一、选择题1.在等差数列{a n}中,a1+3a3+a15=10,则a5的值为( )A.2B.3C.4D.5【解析】选A.a1+3a3+a15=5a1+20d=5a5=10,解得a5=2.2.正项等比数列{a n}中,若a2a18=16,则log2a10= ( )A.2B.4C.8D.16【解析】选 A.依题意得,a2a18==16,又a10>0,因此a10=4,log2a10=log24=2.3.已知递增的等比数列{a n}的公比为q,其前n项和S n<0,则( )A.a1<0,0<q<1B.a1<0,q>1C.a1>0,0<q<1D.a1>0,q>1【解析】选A.因为S n<0,所以a1<0,又数列{a n}为递增等比数列,所以a n+1>a n,且|a n|>|a n+1|,则-a n>-a n+1>0,则q=∈(0,1),所以a1<0,0<q<1.4.等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n等于( )A.n(n+1)B.n(n-1)C. D.【解析】选A.由a2,a4,a8成等比数列,得=a2a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),所以a1=2.所以S n=2n+×2=2n+n2-n=n(n+1).二、填空题5.若等差数列{a n}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=________时,{a n}的前n项和最大.【解析】根据题意知a7+a8+a9=3a8>0,即a8>0.又a8+a9=a7+a10<0,所以a9<0,所以当n=8时,{a n}的前n项和最大.答案:86.已知数列{a n}满足a1=0,数列{b n}为等差数列,且a n+1=a n+b n,b15+b16=15,则a31= ________.【解析】因为数列{a n}满足a1=0,数列{b n}为等差数列,且a n+1=a n+b n,b15+b16=15,所以a n+1=b1+b2+b3+…+b n,所以a31=b1+b2+b3+…+b30=(b1+b30)=15(b15+b16)=15×15=225.答案:225三、解答题7.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n}中的b3,b4,b5.(1)求数列{b n}的通项公式.(2)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列是等比数列.【解析】(1)设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d.依题意,得a-d+a+a+d=15.解得a=5.所以{b n}中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d.依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去).故{b n}的第3项为5,公比为2.由b3=b1·22,即5=b1·22,解得b1=.所以b n=b1·q n-1=·2n-1=5·2n-3,即数列{b n}的通项公式b n=5·2n-3.(2)由(1)得数列的前n项和S n==5·2n-2-,即S n+=5·2n-2.由S1+=,==2可知,数列是以为首项,2为公比的等比数列.关闭Word文档返回原板块。
2019高考数学二轮复习压轴提升练(一)文
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……压轴提升卷(一)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于－2，记顶点C 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)设直线y ＝2x ＋m (m ∈R 且m ≠0)与曲线E 相交于P ，Q 两点，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，求△MPQ 面积的取值范围．解：(1)设C (x ，y )．由题意，可得y x －1·y x ＋1＝－2(x ≠±1)， ∴曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1(x ≠±1)． (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 2＋y 22＝1，消去y ， 可得6x 2＋4mx ＋m 2－2＝0，∴Δ＝48－8m 2＞0，∴m 2＜6.∵x ≠±1，∴m ≠±2.又m ≠0，∴0＜m 2＜6且m 2≠4.∵x 1＋x 2＝－2m 3，x 1x 2＝m 2－26， ∴|PQ |＝5|x 1－x 2|＝5·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32－4×m 2－26＝103·6－m 2. 又点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1到直线y ＝2x ＋m 的距离d ＝|m |5， ∴△MPQ 的面积S △MPQ ＝12·103·6－m 2·|m |5＝26·|m |·6－m 2＝26 m 2（6－m 2）， ∴S 2△MPQ ＝118m 2(6－m 2)≤118⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋6－m 222＝12.∵0＜m 2＜6且m 2≠4，∴S 2△MPQ ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12， ∴△MPQ 面积的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22. 2．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x ex ＋x 2－x (其中e ＝2.718 28…)． (1)求f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程；(2)已知函数g (x )＝－a ln[f (x )－x 2＋x ]－1x－ln x －a ＋1，若对任意x ≥1，g (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝1－x e x ＋2x －1，f (1)＝1e， 所以f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为f ′(1)＝1，所以f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －1e＝x －1，即e x －e y －e ＋1＝0. (2)由题意知函数g (x )＝－(a ＋1)ln x ＋ax －1x－a ＋1， 所以g ′(x )＝－a ＋1x ＋a ＋1x 2＝ax 2－（a ＋1）x ＋1x 2＝（ax －1）（x －1）x 2， ①若a ≤0，当x ≥1时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[1，＋∞)上是减函数，故g (x )≤g (1)＝0； ②若0＜a ＜1，则1a ＞1，当1＜x ＜1a 时，g ′(x )＜0，当x ＞1a时，g ′(x )＞0，所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上是增函数，故当1＜x ＜1a时，g (x )＜g (1)＝0； ③若a ≥1，则0＜1a≤1，当x ≥1时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以g (x )≥g (1)＝0.综上，实数a 的取值范围为[1，＋∞)．。
2019高考数学(文)通用版二轮精准提分练：解答题通关练6 Word版含解析
6.函数与导数1.已知函数f (x )＝2x 2＋x＋ln x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求证：f (x )>0.(1)解 f (x )＝2x 2＋x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－2(2x ＋1)(x 2＋x )2＋1x ＝x 3＋2x 2－3x －2(x 2＋x )2， 所以f ′(1)＝－12，又f (1)＝1， 则切线方程为x ＋2y －3＝0.(2)证明 令h (x )＝x 3＋2x 2－3x －2，则h ′(x )＝3x 2＋4x －3，设h ′(x )＝0的两根为x 1，x 2，由于x 1x 2＝－1<0，不妨设x 1<0，x 2>0，则h (x )在(0，x 2)上是单调递减的，在(x 2，＋∞)上是单调递增的. 而h (0)<0，h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一零点x 0，且x 0∈(1,2)， 所以f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增.所以f (x )≥f (x 0)＝2x 20＋x 0＋ln x 0， 因为x 0∈(1,2)，ln x 0>0，f (x )>2x 20＋x 0>0， 所以f (x )>0.2.已知函数f (x )＝ln x, g (x )＝f (x )＋ax 2＋bx ，函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴.(1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性.解 (1)依题意得g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，x >0，则g ′(x )＝1x＋2ax ＋b ， 由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴得， g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，∴b ＝－2a －1.(2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－()2a ＋1x ＋1x＝()2ax －1()x －1x. ∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，∴当a ＝0时， g ′(x )＝－x －1x， 由g ′()x >0得0<x <1，由g ′()x <0得x >1；若0<12a <1，即a >12时， 由g ′()x >0得x >1或0<x <12a， 由g ′()x <0得12a<x <1； 若12a >1，即0<a <12时， 由g ′()x >0得x >12a或0<x <1， 由g ′()x <0得1<x <12a； 若12a ＝1，即a ＝12时，在()0，＋∞上恒有g ′()x ≥0. 综上得，当a ＝0时，函数g ()x 在(0,1)上单调递增，在()1，＋∞上单调递减；当0<a <12时，函数g ()x 在()0，1上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减；在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，函数g ()x 在()0，＋∞上单调递增；。
2019高考数学(文)通用版二轮精准提分练：解答题通关练2+Word版含解析
当3≤n≤12时，5≤an≤23，bn＝[log5an]＝1，共10项；
当13≤n≤62时，25≤an≤123，bn＝[log5an]＝2，共50项；
当63≤n≤200时，125≤an≤399，bn＝[log5an]＝3，共138项.
(1)解由条件可知数1)×2＝2n，
故an＝ (n∈N*).
(2)证明依题意可知a ＝ 2＝ · < · · ＝ ，n≥2，n∈N*.
又因为a ＝ ，
所以a ＋a ＋a ＋…＋a <
＝
< ×2＝ .
故a ＋a ＋a ＋…＋a < .
3.(2018·衡水金卷模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝5,3a5＋a9＝S6.
bn＝ ＝n－3，令cn＝3bn，则cn＝3n－3，
显然数列{cn}是等比数列，且c1＝3－2，公比q＝3，
所以数列{3bn}的前n项和Sn＝ ＝ (n∈N*).
2.(2018·巩义模拟)已知数列{an}满足a1＝ ， ＝ ＋2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：a ＋a ＋a ＋…＋a < .
(1)求b1，b14，b61；
(2)求数列{bn}的前200项和.
解(1)设等差数列{an}的公差为d，
由已知S9＝81，根据等差数列的性质可知，S9＝9a5＝9(a1＋4d)＝81，
∴a1＋4d＝9.
∵a1＝1，∴d＝2，
∴an＝2n－1，
∴b1＝[log51]＝0，b14＝[log527]＝2，b61＝[log5121]＝2.
(2)由(1)得，b1＝a6＝2×6＋3＝15.
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2019高考数学（文）通用版二轮精准提分练
第11练 数 列[小题提速练]
[明晰考情] 1.命题角度：考查等差数列、等比数列基本量的计算，考查数列的通项及求和.2.题目难度：选择题中等偏下，填空题中档难度.
考点一 等差数列与等比数列 要点重组 (1)在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .
(2)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 也是等差数列. (3)在等差数列{a n }中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等差数列.
(4)在等比数列中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q .
(5)在等比数列中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(n 为偶数且q ＝－1除外).
1.(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( )
A.－12
B.－10
C.10
D.12
答案 B
解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，
得3⎣⎡⎦
⎤3a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式， 解得d ＝－3，
故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.
故选B.
2.已知S n 是各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，a 7＝64，a 1a 5＋a 3＝20，则S 5等于( )
A.31
B.63
C.16
D.127 答案 A
解析 设公比为q (q >0)，∵a 1a 5＋a 3＝20，
∴a 23＋a 3－20＝0，即(a 3＋5)(a 3－4)＝0，
∵a 3>0，∴a 3＝4，
∵a 7＝a 3q 4＝64，∴q ＝2，a 1＝1.
∴S 5＝1－25
1－2
＝31，故选A. 3.在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n 等于( )
A.n (3n －1)
B.n (n ＋3)2
C.n (n ＋1)
D.n (3n ＋1)2 答案 C
解析 依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，
所以数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝
n (2＋2n )2＝n (n ＋1).
4.设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.
答案 －9
解析 由题意知，数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23，19,37,82}中，说明{a n }有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由于{a n }中连续四项至少有一项为负，∴q <0，又∵|q |>1，∴{a n }的连续四项为－24,36，－54,81，∴q ＝
36－24＝－32，∴6q ＝－9. 考点二 数列的通项与求和 方法技巧 (1)已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解.
(2)利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
S n ，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求通项时，要注意检验n ＝1的情况. 5.数列{a n }满足a 1＝0，11－a n －11－a n －1
＝1(n ≥2，n ∈N *)，则a 2 019等于( ) A.12 019 B.12 018 C.2 0182 019 D.2 0172 018
答案 C
解析 ∵数列{a n }满足a 1＝0，11－a n －11－a n －1
＝1(n ≥2，n ∈N *)， ∴11－a 1
＝1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 是首项为1，公差为1的等差数列，
∴11－a n
＝1＋(n －1)＝n ，。