江苏自考工程数学概率统计学必考知识点
自考本科工程数学考纲
自考本科工程数学考纲
自考工程数学是一门重要的课程，它涉及到数学的各个方面，如微积分、线性代数、概率统计等。
下面我将为大家介绍自考本科工程数学的考纲。
一、微积分部分
1. 函数及其图像的简单认识与画法；
2. 极限与连续性；
3. 导数及其应用，包括求导法则、高阶导数、隐函数求导、参数方程求导等；
4. 积分及其应用，包括不定积分、定积分、曲线长度、曲线面积等；
5. 微分方程的基本概念、解法和应用。
二、线性代数部分
1. 线性方程组及其解法，包括高斯消元法、矩阵法等；
2. 行列式及其性质，包括行列式的计算、性质及其推论；
3. 向量及其运算，包括向量的线性组合、线性相关和线性无关、内积、向量投影等；
4. 矩阵及其运算，包括矩阵的加法、减法、乘法、转置、逆矩阵等；
5. 特征值与特征向量，包括特征方程、特征值、特征向量的求法及其应用。
三、概率与统计部分
1. 随机事件及其概率，包括事件之间的关系、概率的性质及其计算；
2. 随机变量及其分布，包括离散型随机变量、连续型随机变量等；
3. 随机变量的常用分布，包括离散型分布（如二项分布、泊松分布等）和连续型分布（如正态分布、指数分布等）；
4. 多维随机变量及其分布，包括二维离散型随机变量、二维连续型随机变量等；
5. 统计参数的估计与检验，包括点估计、区间估计、假设检验等。
以上就是自考本科工程数学的考纲，希望对大家备考有所帮助。
在备考过程中，要注重理论的学习与应用能力的培养，多做题、多练习，提高数学思维和解题技巧。
祝愿大家取得优异的成绩！。
江苏自考27173工程数学复习资料.doc
第一章随机事件与随机事件的概率本章考核内容小结(一)了解随机事件的概率的概念，会用古典概型的计算公式打胞含的基本事件数)H (基本事件总数)-计算简单的古典概型的概率(不返回抽样、返回抽样)(二)知道事件的四种关系(1)包含：力匸万表示事件A发生则事件B必发生(2)相等：A= B BKB Z> A(3)互不相容：朋= 与B互不相容(4)对立：A-UB 对立o AB=(D,且A+B=Q(三)知道事件的四种运算(1)事件的和(并)A+B表示A与B屮至少有一个发生性质：(1)若卫二乃，则A+B=A (2) A+Bz>A^A+B^B(2)事件积(交)AB表示A与B都发生性质：(1)若力二万，则AB=B, A+B=A ・・・QB=B且' 丿(2)AB(3)事件的差：A・B表示A发生且B不发生,\A-B=AB f R A-B=A-AB(4)刁表示A不发牛件质Q f AA=中(四)运算关系的规律(1)A+B=B+A, AB=BA 叫交换律(2)(A+B) +OA+ (B+C) (AB) C=A (BC)叫结合律(3) A (B+C) =AB+AC (A+B) (A+C) =A+BC 叫分配律(4)N+恥屈倉叫对偶律(五)掌握概率的计算公式(1)P (A+B) =P (A) +P (B)・P (AB)特别情形①A与B互斥时：P (A+B) =P (A) +P (B)②A 与 B 独立时：P (A+B) =P (A) +P (B)・P (A) P (B)③Pg亠羽推广P (A+B+C) =P (A) +P (B) +P (C)・P (AB)・P (AC)・P (BC) +P (ABC)P㈣"(旳P(E|Z)= P(B)P[A\B),M⑵y\A)推•厂P[ABC}^ P[^P[B\A}P{C\AB)P(ABCD)= P[A)P(B\A)P(C\AB')P(D\ABC)当事件独立时，P (AB) =P (A) P (B) P (ABC) =P (A) P (B) P (C)P (ABCD) =P (A) P (B) P (C) P (D)性质若A与B独立=入与B, A与茅，刁与歹均独立(六)熟记全概率公式的条件和结论+ (举)+ P(彰)+ P (的若A”A2，A提a的划分，则有"⑷P即)+P⑷中⑷+P⑷嘶)P(B)= P[AB+AB']= P(AB)+P[AB']简单情形"⑷p帥)+屮)屮R熟记贝叶斯公式若砒4已知,则戶阳喘(七)熟记贝努利重复试验概型的计算公式F小C：b (1-日厂「讥1,2,・・*P = “第二章随机变量及其变量分布(一)知道随机变量的概念，会用分布函数求概率(1)若X是离散型随机变量，则P (a<x<b) =F (b)・F (a)(2)若X是连续型随机变量，则P (a<x<b) =F (b)・F (a)P (a<x<b) =F (b)・F (a) P (a<x<b) =F (b)・F (a) P (a<x<b) =F (b)・F (a) (二3亦道离散型随机变量的分命律X X1 ....冷P P1P2P3……Pn0,x <兀；去1，石兰X <兀2；”(兀)=£円+7/2兰X〈西；乃+去2+乃，§兰X <可；(三)掌握三种常用的离散型随机变量的分布律乂「0 1(1)x〜(0,1)=> P W P(四)知道连续型随机变量的概率密度概念和性质，概率密度和分布函数的关系及由概率密度求概率的公式。
高等教育自学考试 概率论与数理统计期末自学 复习重要知识点
概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）： 若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x p p ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k k n kn P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a bE X +=；均匀分布的方差：2()()12b a D X -= （2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩指数分布的期望：1()E X λ=；指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==，2222()()x t xx x e dtϕφ---∞=标准正态分布表的使用： （1）()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
自学考试 工程数学
高纲1674江苏省高等教育自学考试说明27391 工程数学（线性代数、复变函数）江苏理工学院编（2017年）江苏省高等教育自学考试委员会办公室线性代数部分本课程考试采用教材：《工程数学——线性代数》（附大纲），申亚男、卢刚主编，外语教学与研究出版社，2012年版。
考试的重点内容第一章行列式1.行列式的定义了解行列式的定义，掌握行列式的余子式与代数余子式，牢记上（下）三角行列式的计算公式，掌握用行列式定义计算含0非常多或结构特殊的行列式。
2.行列式的性质理解行列式的性质，会用行列式性质化简行列式。
3.行列式按一行（或一列）展开熟练掌握行列式按一行（或一列）展开的方法计算行列式。
第二章矩阵1.矩阵的概念理解矩阵的概念，掌握特殊的方阵：上（下）三角形矩阵、对角矩阵和单位矩阵、对称矩阵和反对称矩阵。
2.矩阵的运算熟练掌握矩阵的线性运算（加法及数乘）、乘法、方阵的方幂、转置等运算。
3.可逆矩阵知道方阵可逆的定义和可逆的几个充分必要条件，掌握伴随矩阵、和。
4.矩阵的初等变换与初等矩阵熟练掌握矩阵的初等变换，理解初等矩阵和初等变换的关系，会用初等行变换法求可逆矩阵的逆矩阵。
5.矩阵的秩知道矩阵的秩的定义，会用初等行变换求矩阵的秩。
第三章向量空间1.维向量空间理解维向量和维向量空间的定义，掌握维向量的线性运算。
2.向量间的线性关系会判断向量组的线性相关或线性无关，将给定的向量由向量组线性表出。
3.向量组的极大线性无关组掌握用矩阵的初等行变换求向量组的极大线性无关组。
4.向量组的秩与矩阵的秩掌握用矩阵的初等行变换求向量组的秩或矩阵的秩。
第四章线性方程组1.齐次线性方程组会判断齐次线性方程组是否有非零解，熟练掌握用初等行变换求齐次线性方程组的基础解系及其通解。
2.非齐次线性方程组会判断非齐次线性方程组解的情况（无解、有唯一解、有无穷解），熟练掌握用初等行变换求非齐次线性方程组的通解。
第五章矩阵的相似对角化1.特征值与特征向量理解特征值与特征向量的定义，掌握求特征值与特征向量的方法。
概率论与数理统计重点笔记
概率论与数理统计重点笔记
概率论与数理统计是数学中的重要分支，它涉及到随机现象的
规律性和统计规律的研究。
在学习概率论与数理统计时，重点笔记
可以包括以下内容：
1. 概率论的基本概念，包括样本空间、随机事件、事件的概率、事件的运算规律等内容。
重点理解事件的概率定义、概率的性质和
概率的运算法则。
2. 随机变量及其分布，重点掌握随机变量的定义、离散随机变
量和连续随机变量的概念，以及它们的分布律、密度函数、分布函
数等。
还要重点理解常见的离散分布（如二项分布、泊松分布）和
连续分布（如正态分布、指数分布）。
3. 大数定律和中心极限定理，重点掌握大数定律和中心极限定
理的表述和应用，理解随机变量序列的收敛性质，以及大样本时样
本均值的渐近正态性质。
4. 参数估计，包括点估计和区间估计的基本概念和方法，重点
理解最大似然估计、矩估计等常用的参数估计方法。
5. 假设检验，理解假设检验的基本思想、原理和步骤，掌握显著性水平、拒绝域、接受域等相关概念，重点理解假设检验的错误类别和势函数的概念。
6. 相关性和回归分析，重点理解相关系数、回归方程、残差分析等内容，掌握相关性和回归分析的基本原理和方法。
总之，在学习概率论与数理统计的过程中，重点笔记应该围绕着基本概念、常用分布、极限定理、参数估计、假设检验和回归分析展开，全面理解这些内容并掌握其应用是十分重要的。
希望以上内容能够帮助你更好地理解概率论与数理统计。
统计学复习资料概率论与数理统计重点知识点整理
统计学复习资料概率论与数理统计重点知识点整理概率论与数理统计是统计学的基础课程之一，也是应用最为广泛的数学工具之一。
下面将对概率论与数理统计的重点知识点进行整理，以供复习使用。
一、概率论的基本概念1. 样本空间和事件：样本空间是指随机试验的所有可能结果构成的集合，事件是样本空间的子集。
2. 古典概型和几何概型：古典概型是指样本空间中的每个结果具有相同的概率，几何概型是指采用几何方法进行分析的概率模型。
3. 概率公理和条件概率：概率公理是概率论的基本公理，条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
4. 独立事件和全概率公式：独立事件是指两个事件的发生与否互不影响，全概率公式是用于计算复杂事件的概率的公式。
5. 随机变量和概率分布函数：随机变量是对样本空间中的每个结果赋予一个数值，概率分布函数是随机变量的分布情况。
二、概率分布的基本类型1. 离散型概率分布：包括二项分布、泊松分布和几何分布等。
2. 连续型概率分布：包括正态分布、指数分布和均匀分布等。
三、多维随机变量及其分布1. 边缘分布和条件分布：边缘分布是指多维随机变量中的某一个或几个变量的分布，条件分布是指在已知某些变量取值的条件下，其他变量的分布。
2. 二维随机变量的相关系数：相关系数用于刻画两个随机变量之间的线性关系的强度和方向。
3. 多维随机变量的独立性：多维随机变量中的各个分量独立时，称为多维随机变量相互独立。
四、参数估计与假设检验1. 参数估计方法：包括点估计和区间估计，点估计是通过样本数据得到参数的估计值，区间估计是对参数进行一个范围的估计。
2. 假设检验的基本概念：假设检验是用于对统计推断的一种方法，通过与某个假设进行比较来得出结论。
3. 假设检验的步骤：包括建立原假设和备择假设、选择显著性水平、计算检验统计量和做出统计决策等步骤。
五、回归分析与方差分析1. 简单线性回归分析：简单线性回归分析是研究两个变量之间的线性关系的方法，通过建立回归方程来拟合数据。
江苏自考27173工程数学复习资料
第一章随机事件与随机事件的概率本章考核内容小结（一）了解随机事件的概率的概念，会用古典概型的计算公式M”砲含的基本車件数）2（基本事件总勲）计算简单的古典概型的概率（不返回抽样、返回抽样）（二）知道事件的四种关系（1）包含：表示事件A发生则事件B必发生（2）相等詞=E Q詞二召曰E!□■也（3）互不相容：与B互不相容（4）对立：A与B对立nAB=①，且A+B=Q（三）知道事件的四种运算（1）事件的和（并）A+B表示A与B中至少有一个发生性质：（1）若，则A+B=A（2）且丄+丑二苏（2）事件积（交）AB表示A与B都发生性质：（1）若川二万，则AB=B,A+B=A QB=B且''（2）月n独Qn朋（3）事件的差：A-B表示A发生且B不发生・•・）-&二屈，且A-B=A-AB （4）刁表示A不发生性质4+4=中（四）运算关系的规律（1）A+B=B+A，AB=BA叫交换律（2）（A+B）+C=A+（B+C）（AB）C=A（BC）叫结合律（3）A（B+C）=AB+AC（A+B）（A+C）=A+BC叫分配律⑷A+B=AB^AB=A+B叫对偶律(五)掌握概率的计算公式(1)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)特别情形①A与B互斥时：P(A+B)=P(A)+P(B)②A与B独立时：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)推广：F（朋⑷尸忙宓）推广P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)(2) (3) X 〜B (n,p )=P (x=k )= x 〜p ⑴n P (x=k )=划迅-戸y当事件独立时，P (AB )=P (A )P (B )P (ABC )=P (A )P (B )P (C )P (ABCD )=P (A )P (B )P (C )P (D )性质若A 与B 独立与B ,A 与万，力与万均独立(六) 熟记全概率公式的条件和结论=F 仏月十凡启十彰)=尸帆启)+F ■仏丘)+0帆丘)若A 1?A 2,A 3是。
概率论与数理统计笔记(重要公式)
r = A 中样本点数 / Ω 中样本点总数 n
= A 所包含的基本事件数 / 基本事件总数 条件概率:
对偶律： A B = A B , P ( AB ) 设 A, B 是两个事件， 且 P(B)>0， 称 P(A|B)= 为 贝叶斯公式: P( B) 在事件 B 发生条件下事件 A 发生的条件概率。显然， 当 P(A)>0 时，P(B|A)=
二项分布 X ~ B(n, p)： 指数分布 X ~ E(λ) 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1, …, n, 而 X 的分布律为 e x x 0 若随机变量 X 的概率密度为 f ( x) k k nk pk =P {X= xk }= Cn p q , k=0, 1, 2, …, n, x0 0
设 X 为离散型随机变量， 可能取值为 x1, x2, …, xk, … 且 P 概率密度的性质： (1) f(x)≥0 {X= xk }= pk, k=1, 2, …, 则称{pk}为 X 的分布律 表格形式: f ( x)dx =1 (2) X x1, x2, …, xk, … b P p1, p2, …, pk, … (3) P{a<X≤b}= F(b)-F(a)= f ( x)dx , a≤b a {pk}性质： (4) 设 x 为 f(x)的连续点，则 F’(x)存在，且 （1） pk≥0, k=1, 2, … F’(x)= f(x) （2） pk =1 均匀分布 X ~ U (a, b) k 1 若随机变量 X 的概率密度为 在求离散型随机变量的分布律时，首先要找出其所有可能 1 , a≤x≤b 的取值，然后再求出每个值相应的概率 ba f(x) = 在实际应用中，有时还要求“X 满足某一条件”这样事件的 概率， 求法就是把满足条件的 xk 所对应的概率 pk 相加可得 0, 其他 则称 X 服从区间[a,b]上的均匀分布，其分布函数为 其分布函数 F(x) = pk xk x 0, x≤a 0-1 分布： xa F(x) = , a<x<b 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1，且 ba P {X=1}=p, P{X=0}=q 1, x≥b 其中 0<p<1, q=1-p, 则称 X 服从 0-1 分布. X 的分布律为 设 X ~ U (a, b), a≤c<d≤b，即[a,b] [c,d]，则 X 0 1 d c P{c≤X≤d}= P q p ba
概率统计知识点归纳
概率统计知识点归纳(总4页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除概率统计知识点归纳平均数、众数和中位数平均数、众数和中位数．要描述一组数据的集中趋势，最重要也是最常见的方法就是用这“三数”来说明．一、正确理解平均数、众数和中位数的概念1．平均数 平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化．２．众数 在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有时不唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个（或几个）数据就可以了．当一组数据中有数据多次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势．３．中位数 中位数就是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数（或处在最中间的两个数的平均数）．一组数据中的中位数是唯一的．二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，但它们描述的角度和适用的范围又不尽相同．在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势，那得看数据的特点和要关注的问题．三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题由于平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以利用平均数、众数和中位数可以来解决现实生活中的问题．极差、方差、标准差极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围或波动大小的量.一、极差一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围,差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.二、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.求一组数据的方差可以简记先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数.一组数据x 1、x 2、x 3、…、x n 的平均数为x ，则该组数据方差的计算公式为： ])()()[(1222212x x x x x x nS n -++-+-= . 三、标准差在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差.即标准差=方差.四、极差、方差、标准差的关系方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比较两组数据的波动大小.两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标准差，是因为标准差的单位和原数据的单位一致，且能缓解方差过大或过小的现象.一、 随机事件的概率1、必然事件：一般地，把在条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件。
《工程数学》(概率统计)期末复习提要共12页word资料
《工程数学》（概率统计）期末复习提要工科普专的《工程数学》（概率统计）课程的内容包括《概率论与数理统计》（王明慈、沈恒范主编，高等教育出版社）教材的全部内容 . 在这里介绍一下教学要求，供同学们复习时参考 .第一部分：随机事件与概率⒈了解随机事件的概念学习随机事件的概念时，要注意它的两个特点：⑴在一次试验中可能发生，也可能不发生，即随机事件的发生具有偶然性；⑵在大量重复试验中，随机事件的发生具有统计规律性 .⒉掌握随机事件的关系和运算，掌握概率的基本性质要了解必然事件、不可能事件的概念，事件间的关系是指事件之间的包含、相等、和、积、互斥（互不相容）、对立、差等关系和运算 .在事件的运算中，要特别注意下述性质：概率的主要性质是指：①对任一事件，有③对于任意有限个或可数个事件，若它们两两互不相容，则⒊了解古典概型的条件，会求解简单的古典概型问题在古典概型中，任一事件的概率为其中是所包含的基本事件个数，是基本事件的总数 .⒋熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，理解条件概率，掌握全概公式⑴加法公式：对于任意事件，有特别地，当时有⑵条件概率：对于任意事件，若，有称为发生的条件下发生条件概率 .⑶乘法公式：对于任意事件，有（此时），或（此时） .⑷全概公式：事件两两互不相容，且，则⒌理解事件独立性概念，会进行有关计算若事件满足（当时），或（当时），则称事件与相互独立 . 与相互独立的充分必要条件是.第二部分：随机变量极其数字特征⒈理解随机变量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函数的概念，掌握有关随机变量的概率计算常见的随机变量有离散型和连续型两种类型 . 离散型随机变量用概率分布来刻画，满足：连续型随机变量用概率密度函数来刻画，满足：随机变量的分布函数定义为对于离散型随机变量有对于连续型随机变量有⒉了解期望、方差与标准差的概念，掌握求随机变量期望、方差的方法⑴期望：随机变量的期望记为，定义为（离散型随机变量，是的概率分布），（连续型随机变量，是的概率密度） .⑵方差：随机变量的方差记为，定义为（离散型随机变量），（连续型随机变量） .⑶随机变量函数的期望：随机变量是随机变量的函数，即，若存在，则在两种形式下分别表示为（离散型随机变量，是的概率分布），（连续型随机变量，是的概率密度），由此可得方差的简单计算公式⑷期望与方差的性质①若为常数，则；②若为常数，则；③若为常数，则.⒊掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差，熟练掌握正态分布的概率计算，会查正态分布表（见附表）常用分布：⑴二项分布的概率分布为特别地，当时，，叫做两点分布；⑵均匀分布的密度函数为⑶正态分布的密度函数为其图形曲线有以下特点：① ，即曲线在x 轴上方；② ，即曲线以直线为对称轴，并在处达到极大值；③在处，曲线有两个拐点；④当时，，即以轴为水平渐近线；特别地，当时，，表示是服从标准正态分布的随机变量 .将一般正态分布转化为标准正态分布的线性变换：若，令，则，且Y 的密度函数为服从标准正态分布的随机变量的概率为那么一般正态分布的随机变量的概率可以通过下列公式再查表求出常见分布的期望与方差：二项分布：；均匀分布：；正态分布：；⒋了解随机变量独立性的概念，了解两个随机变量的期望与方差及其性质对于随机变量，若对任意有则称与相互独立 .对随机变量，有若相互独立，则有第三部分：统计推断⒈理解总体、样本，统计量等概念，知道分布，分布，会查表所研究对象的一个或多个指标的全体称为总体，组成整体的基本单位称为个体，从总体中抽取出来的个体称为样品，若干个样品组成的集合称为样本 . 样本中所含的样品个数称为样本容量 .统计量就是不含未知参数的样本函数 .⒉掌握参数的最大似然估计法最大似然估计法：设是来自总体（其中未知）的样本，而为样本值，使似然函数达到最大值的称为参数的最大似然估计值 . 一般地，的最大似然估计值满足以下方程⒊了解估计量的无偏性，有效性概念参数的估计量若满足则称为参数的无偏估计量 .若都是的无偏估计，而且，则称比更有效 .⒋了解区间估计的概念，熟练掌握方差已知条件下单正态总体期望的置信区间的求法，掌握方差未知条件下单正态总体期望的置信区间的求法当置信度确定后，方差已知条件下单正态总体期望的置信区间是其中是总体标准差，是样本均值，是样本容量，由确定 .方差未知条件下单正态总体期望的置信区间是其中称为样本标准差，满足.⒌知道假设检验的基本思想，掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验方法单正态总体均值的检验方法包括检验法和检验法：⑴ 检验法：设是正态总体的一个样本，其中未知，已知 . 用检验假设（是已知数），。
概率论与数理统计考点归纳
以下是概率论与数理统计的一些常见考点归纳：
概率论：
1. 概率的基本概念：样本空间、事件、随机变量等。
2. 概率运算：并、交、差、补等运算规则。
3. 条件概率与独立性：条件概率的定义与计算、独立事件的判定与计算。
4. 随机变量：离散和连续随机变量的概念、概率质量函数（PMF）和概率密度函数（PDF）、期望、方差等。
5. 常见离散分布：伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
6. 常见连续分布：均匀分布、正态分布、指数分布等。
7. 两个随机变量的关系：协方差、相关系数等。
数理统计：
1. 抽样与抽样分布：简单随机抽样、抽样分布、中心极限定理等。
2. 参数估计：点估计和区间估计、最大似然估计、置信区间等。
3. 假设检验：假设检验的基本步骤、显著性水平、p值等。
4. 单样本参数检验：均值检验、比例检验等。
5. 两样本参数检验：两样本均值检验、两样本比例检验等。
6. 方差分析：单因素方差分析、多因素方差分析等。
7. 相关与回归分析：相关系数、简单线性回归模型等。
这只是概率论与数理统计的一些常见考点归纳，实际考试中可能还会涉及更多细分知识点。
在复习过程中，建议根据自己的学习进度和重点，深入学习和掌握这些知识点，并进行大量的练习题来加深理解和提高解题能力。
概率统计知识点总结
概率统计知识点总结概率统计知识点总结概率统计是研究自然界中随机现象统计规律的数学方法，叫做概率统计，又称数理统计方法。
本篇概率统计知识点总结由小编为需要此素材的朋友精心收集整理，仅供参考。
内容如下：一．算法，概率和统计1．算法初步（约12课时）（1）算法的含义、程序框图①通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如，二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。
②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。
在具体问题的解决过程中（如，三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。
（2）基本算法语句经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。
（3）通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
3．概率（约8课时）（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。
（2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。
（3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
（4）了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义（参见例3）。
（5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。
2．统计（约16课时）（1）随机抽样①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。
②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。
③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。
④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。
（2）用样本估计总体①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图（参见例1），体会他们各自的特点。
(完整版)自考概率论与数理统计复习资料要点总结
i《概率论与数理统计》复习提要(1) 0 P(A) 1 ( 2)P( ) 1(1) 定义：若 P(B) 0,则 P(A| B)P(AB)P(B)(2)乘法公式：P(AB) P(B)P(A| B)若B 1, B 2, B n 为完备事件组，P(B i )0，则有n(3)全概率公式： P(A) P(B i )P(A| B i )i 1(4)Bayes 公式： P(B k | A)P(Bk)P(A|B k)P(B i )P(A|BJi 17.事件的独立性：A, B 独立 P( AB) P(A)P(B)(注意独立性的应用)第二章随机变量与概率分布1 •离散随机变量：取有限或可列个值，P(X x i ) p i 满足(1) p i 0 , (2) p i =11.事件的关系 AB A B AB A B AAB2.运算规则(1)A B BA ABBA(2) (AB) CA (BC)(AB)C A(BC)(3) (AB)C (AC) (BC) (AB) C (A C)(B(4) AB ABABAB第一章随机事件与概率3•概率P(A)满足的三条公理及性质: C)(4) P() 0 (5) P(A) 1 P(A)(6) P(A B) P(A) P(AB) ，若 A B , 则P(BA) P(B) P(A) ,P(A) P(B)(7) P(A B) P(A) P(B) P(AB)(8) P(ABC) P(A) P(B) P(C)P(AB)P(AC) P(BC)P(ABC)n(3)对互不相容的事件 A l , A 2, , A n ，有P( A k )k 1k 1(n 可以取)4. 古典概型：基本事件有限且等可能5. 几何概率6. 条件概率P(A k )(3)对任意D R, P(X D) p:X i D2.连续随机变量：具有概率密度函数f (x)，满足(1) f (x) 0, f(x)dx 1 ；b(2) P(a X b) f (x)dx ； ( 3)对任意a R，P(X a) 0a4.分布函数F(x) P(X x)，具有以下性质(1)F( ) 0, F( ) 1 ; (2)单调非降；(3)右连续；(4)P(a X b) F(b) F(a)，特别P(X a) 1 F(a)；(5)对离散随机变量，F(x) P i ；i:为x(6)对连续随机变量，F(x) x'f(t)dt为连续函数，且在f (x)连续点上，F (x) f (x)5.正态分布的概率计算以(x)记标准正态分布N (0,1)的分布函数，则有(1)(0) 0.5 ; (2)(2 x x) 1 (x) ； (3)若X ~ N(,)，则F(x) ((4)以u记标准正态分布N(0,1)的上侧分位数，则P(X u ) 1 (u )6.随机变量的函数Y g(X)(1)离散时，求Y的值，将相同的概率相加；(2)X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则f Y(y) f x(g 1(y)) |(g 1(y))' |单调，先求分布函数，再求导。
概率论与数理统计复习资料知识点总结
《概率论与数理统计》第一章 随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1）BA AB A B B A =⋃=⋃（2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率 6．条件概率（1） 定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4） Bayes 公式： ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）第二章 随机变量与概率分布1． 离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续； （4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>； （5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有 （1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6． 随机变量的函数 )(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。
概率统计知识点总结
概率统计知识点总结概率统计是研究自然界中随机现象统计规律的数学方法，叫做概率统计，又称数理统计方法。
本篇概率统计知识点总结由小编为需要此素材的朋友精心收集整理，仅供参考。
内容如下：一．算法，概率和统计1．算法初步（约12课时）（1）算法的含义、程序框图①通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如，二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。
②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。
在具体问题的解决过程中（如，三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。
（2）基本算法语句经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。
（3）通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
3．概率（约8课时）（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。
（2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。
（3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
（4）了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义（参见例3）。
（5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。
2．统计（约16课时）（1）随机抽样①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。
②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。
③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。
④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。
（2）用样本估计总体①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图（参见例1），体会他们各自的特点。
概率统计知识点总结
概率统计知识点总结作者: 日期:概率统计知识点汇总1 •分类加法计数原理完成一件事有 n 类不同的方案，在第一类方案中有 m i 种不同的方法，在第二类方案中有 m 2 种不同的方法， ，在第 n 类方案中有 m n 种不同的方法，则完成这件事情，共有 N = m i + m 2+・・・+ m n 种不同的方法.2 •分步乘法计数原理完成一件事情需要分成 n 个不同的步骤，完成第一步有 m i 种不同的方法，完成第二步有 m 2 种不同的方法， ，完成第n 步有 m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N =m i x m 2X^x m n 种不同的方法. 3 •两个原理的区别分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数.它们的区 别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这 件事才算完成.4 •排列与排列数公式 (1) 排列与排列数从n 个不同元 按照一定的顺序 素中取出m m w n 个元素 排成一列(2) 排列数公式A m = n(n — 1)( n — 2)…(n — m + 1)= n — m ! (3) 排列数的性质① A n = n !; ② 0!= 1. 5 •组合与组合数公式 (1) 组合与组合数 从n 个不同元 合成一组 素中取出 ------- :m m w n 个元素 (2) 组合数公式(3) 组合数的性质 ①c o = 1；②c m =c n —m ；③c m + c m —1= c m +1.所有不同---------- ＞组合数 组合的个数c m =A m =nn — 1 n — 2 …n — m + 1m !6. 排列与组合问题的识别方法7. 二项式定理⑴定理：(a + b)n= C n a n+ C n a n 1b+…+ C n a n k b k+ …+ C n b n(n € N*).(2) 通项：第k+ 1 项为：T k+1 = c S a n_k b k.(3) 二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：c n(k= 0,1,2，…，n).&二项式系数的性质对称性一与首末等距的两个二项式系数和等，即 __________9.概率与频率(1) 在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A) = 学为事件A出现的频率.(2) 对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A).11 •理解事件中常见词语的含义：(1) A, B中至少有一个发生的事件为 A U B;(2) A, B都发生的事件为AB ;(3) A, B都不发生的事件为A B ；(4) A, B恰有一个发生的事件为AB U AB；(5) A, B至多一个发生的事件为A B U AB U A B.12.概率的几个基本性质⑴概率的取值范围：0W P(A) < 1.(2) 必然事件的概率：P(E)= 1.(3) 不可能事件的概率：P(F)= 0.⑷概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A U B) = RA) + P(B).(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A) = 1 - P(B).13 •互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件.14.基本事件的特点』(1) 任意两个基本事件是互斥的.(2) 任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 15•古典概型(1) 定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.① 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. ② 每个基本事件出现的可能性相等.A 包含的基本事件的个数(2)古典概型的概率公式：P (A 戸 基本事件的总数—.16.几何概型(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. (2)几何概型的概率公式： P 构成事件A 的区域长度面积或体积P(A)—试验的 所构成的区域长度 面积或体积*17•条件概率及其性质(1)对于任何两个事件 A 和B ,在已知事件A 发生的条件下, (2)条件概率具有的性质： ① 0< P(B|A)W 1;② 如果B 和C 是两个互斥事件，则 P(B U C|A)= P(B|A) + P(C|A).18. 相互独立事件(1)对于事件A 、B ,若A 的发生与B 的发生互不影响，则称 A B 是相互独立事件.⑵若A 与B 相互独立，则 P(B|A)= P(B), P(AB)= P(B|A)P(A)= P(A)P(B).⑶若A 与B 相互独立，则 A 与B , A 与B , A 与B 也都相互独立. ⑷若P(AB)= P(A)P(B)，则A 与B 相互独立. 19. 离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母 X , Y , E, n …表示.所有取值可以 - 列出的随机变量，称为离散型随机变量. 20. 离散型随机变量的分布列及其性质(1) 一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 X 1, X 2,…，X i ,…，X n , X 取每一个值 x i (i = 1,2,…,n)的概率 P(X = x i ) = p i ,则表事件B 发生的概率叫做条件概率,用符号P(B| A)来表示，其公式为 P(B|A) =n ABn A(2)离散型随机变量的分布列的性质：n①P i > 0(i = 1,2,…，n); ②环=1.21. 常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，则其分布列为其中p = P(X = 1)称为成功概率. (2)超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件｛X = k ｝发生的概率为(3)①独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试 验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都 是一样的. ②在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为p ,贝U P(X = k)= Cp k (1— p)n —k (k = 0,1,2，…，n),此时称随机变量 X 服从二项分布，记为 X 〜B(n , p),并称p 为成功概率.22•离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为<1>均值：称E(X)= X 1p 1+ X 2p 2+・・・+ X i p i +・・・+ x n p n 为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映 了离散型随机变量取值的平均水平.n<2>方差：称D(X) = p 1 (X i — E(X))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值E(X) 的平均偏离程度，其算术平方根 D X 为随机变量X 的标准差.<3>均值与方差的性质 1 E aX + b = _______(a , b 为常数).2 D aX + b = ______P(X = k)=k n kC M CN — M ,k = 0,1,2,…,m ,其中 m = min{ M , n},且 n < N , M < N , n , M , N €C NN *，称分布列为超几何分布列<4>两点分布与二项分布的均值、方差23. 正态曲线的特点⑴曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2) 曲线是单峰的，它关于直线x= □对称；1(3) 曲线在x =卩处达到峰值&2n ；⑷曲线与x轴之间的面积为1 ；⑸当b—定时，曲线随着卩的变化而沿x轴平移；⑹当□一定时，曲线的形状由b确定.b越小，曲线越"瘦高”，表示总体的分布越集中;(T 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(7)正态分布的三个常用数据(不需记忆)①Pg— b< X W 叶b= 0.682 6；②Pg—2 b< X W 卩+ 2 b= 0.954 4；③Pg—3b< X W 卩+ 3 b= 0.997 4.24. 简单随机抽样(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n W N), 且每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等，就称这样的抽样方法为简单随机抽样.(2)常用方法：抽签法和随机数表法.25. 系统抽样(1) 步骤：①先将总体的N个个体编号；②根据样本容量n,当N是整数时，取分段间隔k = N；n n③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号1(1 W k)；④按照一定的规则抽取样本.(2) 适用范围：适用于总体中的个体数较多时.26. 分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样. ⑵适用范围：适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时.27. 三种抽样方法的比较28(1) 求极差(即一组数据中最大值与最小值的差).(2) 决定组距与组数.(3) 将数据分组.(4) 列频率分布表.(5) 画频率分布直方图.29. 频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.⑵总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.30. 茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指__________ 的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数.31 .样本的数字特征(1) 众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.(2) 中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位数.a 1 + a2 +，■，+ a n⑶平均数：把n 称为a1, a2,…，a n这n个数的平均数.(4) 标准差与方差：设一组数据X1, X2, X3，…，x n的平均数为X，则这组数据标准差为S= " 1[ X1- X 2+ X2- x 2+・・・+ X n—X 2]方差为S2= 1[(X1—X )2+ (X2 —X )2+-+ (X n—X )2]32. 变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关.33. 两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线.A A A⑵回归方程为y = bx+ a,其中⑶通过求Q=.工(y i- bx i- a)2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本［二I数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法.(4) 相关系数：当r>0时，表明两个变量正相关;当r<0时，表明两个变量负相关.r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强. r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.34. 独立性检验假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为｛x i, X2｝和｛y i ,2｝，其样本频数列联表(称为2X 2 列联表)为：K2=2n ad - bca +b a +c b +d c+ d (其中n = a+ b + c+ d为样本容量).A —— A——,a= y—b x .11。
《工程数学》(概率统计)期末复习提要
《工程数学》（概率统计）期末复习提要工科普专的《工程数学》（概率统计）课程的内容包括《概率论与数理统计》（王明慈、沈恒范主编，高等教育出版社）教材的全部内容 . 在这里介绍一下教学要求，供同学们复习时参考 .第一部分：随机事件与概率⒈了解随机事件的概念学习随机事件的概念时，要注意它的两个特点：⑴在一次试验中可能发生，也可能不发生，即随机事件的发生具有偶然性；⑵在大量重复试验中，随机事件的发生具有统计规律性 .⒉掌握随机事件的关系和运算，掌握概率的基本性质要了解必然事件、不可能事件的概念，事件间的关系是指事件之间的包含、相等、和、积、互斥（互不相容）、对立、差等关系和运算 .在事件的运算中，要特别注意下述性质：，.概率的主要性质是指：①对任一事件，有；② ；③对于任意有限个或可数个事件，若它们两两互不相容，则.⒊了解古典概型的条件，会求解简单的古典概型问题在古典概型中，任一事件的概率为，其中是所包含的基本事件个数，是基本事件的总数 .⒋熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，理解条件概率，掌握全概公式⑴加法公式：对于任意事件，有，特别地，当时有；⑵条件概率：对于任意事件，若，有，称为发生的条件下发生条件概率 .⑶乘法公式：对于任意事件，有（此时），或（此时） .⑷全概公式：事件两两互不相容，且，则.⒌理解事件独立性概念，会进行有关计算若事件满足（当时），或（当时），则称事件与相互独立 . 与相互独立的充分必要条件是.第二部分：随机变量极其数字特征⒈理解随机变量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函数的概念，掌握有关随机变量的概率计算常见的随机变量有离散型和连续型两种类型 . 离散型随机变量用概率分布来刻画，满足：① ，② ；连续型随机变量用概率密度函数来刻画，满足：① ，② .随机变量的分布函数定义为，对于离散型随机变量有，对于连续型随机变量有.⒉了解期望、方差与标准差的概念，掌握求随机变量期望、方差的方法⑴期望：随机变量的期望记为，定义为（离散型随机变量，是的概率分布），（连续型随机变量，是的概率密度） .⑵方差：随机变量的方差记为，定义为（离散型随机变量），（连续型随机变量） .⑶随机变量函数的期望：随机变量是随机变量的函数，即，若存在，则在两种形式下分别表示为（离散型随机变量，是的概率分布），（连续型随机变量，是的概率密度），由此可得方差的简单计算公式.⑷期望与方差的性质①若为常数，则；②若为常数，则；③若为常数，则.⒊掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差，熟练掌握正态分布的概率计算，会查正态分布表（见附表）常用分布：⑴二项分布的概率分布为，特别地，当时，，叫做两点分布；⑵均匀分布的密度函数为；⑶正态分布的密度函数为.其图形曲线有以下特点：① ，即曲线在x 轴上方；② ，即曲线以直线为对称轴，并在处达到极大值；③在处，曲线有两个拐点；④当时，，即以轴为水平渐近线；特别地，当时，，表示是服从标准正态分布的随机变量 .将一般正态分布转化为标准正态分布的线性变换：若，令，则，且Y 的密度函数为；服从标准正态分布的随机变量的概率为；那么一般正态分布的随机变量的概率可以通过下列公式再查表求出.常见分布的期望与方差：二项分布：；均匀分布：；正态分布：；⒋了解随机变量独立性的概念，了解两个随机变量的期望与方差及其性质对于随机变量，若对任意有，则称与相互独立 .对随机变量，有；若相互独立，则有.第三部分：统计推断⒈理解总体、样本，统计量等概念，知道分布，分布，会查表所研究对象的一个或多个指标的全体称为总体，组成整体的基本单位称为个体，从总体中抽取出来的个体称为样品，若干个样品组成的集合称为样本 . 样本中所含的样品个数称为样本容量 .统计量就是不含未知参数的样本函数 .⒉掌握参数的最大似然估计法最大似然估计法：设是来自总体（其中未知）的样本，而为样本值，使似然函数达到最大值的称为参数的最大似然估计值 . 一般地，的最大似然估计值满足以下方程.⒊了解估计量的无偏性，有效性概念参数的估计量若满足则称为参数的无偏估计量 .若都是的无偏估计，而且，则称比更有效 .⒋了解区间估计的概念，熟练掌握方差已知条件下单正态总体期望的置信区间的求法，掌握方差未知条件下单正态总体期望的置信区间的求法当置信度确定后，方差已知条件下单正态总体期望的置信区间是，其中是总体标准差，是样本均值，是样本容量，由确定 .方差未知条件下单正态总体期望的置信区间是，其中称为样本标准差，满足.⒌知道假设检验的基本思想，掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验方法单正态总体均值的检验方法包括检验法和检验法：⑴ 检验法：设是正态总体的一个样本，其中未知，已知 . 用检验假设（是已知数），。
概率统计各章节知识点总结
n k 1
Xk
P
p
X1, X 2 ,, X n ,相互独立
E( Xk ) 同分布
1
n
n k 1
Xk
P
n
X1 , X 2 ,, X n ,相互独立
X k n 近似
同分布E( X k ) D( X k ) 2 k1 n
~ N (0,1)
X n ~ B(n, p)
Xn np
近似
~ N(0,1)
f ( x, y)dxdy D是积分区域g( x, y) z与f ( x, y)
D(z)
取值非零区域的交集
第四章
随机变量的数学期望与方差
离散型随机变量
X
E( X ) xk pk
k 1
Y g( X ) E(Y ) E[g( X )]
g连续
g( xk ) pk
k 1
连续型随机变量
E( X ) xf ( x)dx
第三章 第四节 两个随机变量的函数的分布
Z g(X ,Y ) f ( X ,Y ) fZ (z) ? f Z (z) FZ (z)
1)Z X Y
fZ (z)
f (z y, y)dy
f X (z y) fY ( y)dy
2)Z max{X ,Y } Z min{X ,Y }
np(1 p)
第六章
常用统计量及抽样分布
2分布
X i ~ N (0,1) i 1,2,, n 独立
n
2
X
2 i
~
2(n)
i 1
2 (n)
E( 2 ) n D( 2 ) 2n 2 (n) 1 2(z
X ~ N (0,1), Y ~ 2 (n), 独立
【自考】《概率论与数理统计》复习重点
第一章随机变量及其变量分布§2.1离散型随机变量（一）随机变量引例一：掷骰子。
可能结果为Ω={1,2,3,4,5,6}.我们可以引入变量X,使X=1，表示点数为1；x=2表示点数为2；…，X=6，表示点数为6。
引例二，掷硬币，可能结果为Ω={正，反}.我们可以引入变量X，使X=0，表示正面，X=1表示反面。
引例三，在灯泡使用寿命的试验中，我们引入变量X，使a<X<b，表示灯泡使用寿命在a（小时）与b（小时）之间。
例如，1000≤X≤2000表示灯泡寿命在1000小时与2000小时之间。
0<X<4000表示灯泡寿命在4000小时以内的事件。
定义1：若变量X取某些值表示随机事件。
就说变量X是随机变量。
习惯用英文大写字母X,Y,Z表示随机变量。
例如，引例一、二、三中的X都是随机变量。
（二）离散型随机变量及其分布律定义2 若随机变量X只取有限多个值或可列的无限多个（分散的）值，就说X是离散型随机变量。
例如，本节中的引例一、引例二的X是离散型随机变量。
定义3 若随机变量X可能取值为且有（k=1,2,…,n,…）或有其中，第一行表示X的取值，第二行表示X取相应值的概率。
就说公式（k=1,2,…,n,…）或表格是离散型随机变量x的（概率）分布律，记作分布律有下列性质（1）；（2）由于事件互不相容。
而且是X全部可能取值。
所以反之，若一数列具有以上两条性质，则它必可以作为某随机变量的分布律。
例1 设离散型随机变量X的分布律为求常数c。
解由分布律的性质知1=0.2+c+0.5,解得c=0.3.例2 掷一枚质地均匀的骰子，记X为出现的点数，求X的分布律。
解X的全部可能取值为1,2,3,4,5,6,且则X的分布律为在求离散型随机变量的分布律时，首先要找出其所有可能的取值，然后再求出每个值相应的概率。
例3 袋子中有5个同样大小的球，编号为1，2.，3，4，5。
从中同时取出3个球，记X为取出的球的最大编号，求X的分布率。
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概率，，只要看试卷第一章随机事件与随机事件的概率本章考核内容小结（一）了解随机事件的概率的概念，会用古典概型的计算公式计算简单的古典概型的概率（不返回抽样、返回抽样）（二）知道事件的四种关系（1）包含：表示事件A发生则事件B必发生（2）相等：（3）互不相容：与B互不相容（4）对立：A与B对立AB=Φ，且A+B=Ω（三）知道事件的四种运算（1）事件的和（并）A+B表示A与B中至少有一个发生性质：（1）若，则A+B=A（2）且（2）事件积（交）AB表示A与B都发生性质：（1）若，则AB=B，A+B=A ∴ΩB=B且（2）（3）事件的差：A-B表示A发生且B不发生∴，且A-B=A-AB（4）表示A不发生性质（四）运算关系的规律（1）A+B=B+A，AB=BA叫交换律（2）（A+B）+C=A+（B+C）（AB）C=A（BC）叫结合律（3）A（B+C）=AB+AC （A+B）（A+C）=A+BC叫分配律（4）叫对偶律（五）掌握概率的计算公式（1）P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）特别情形①A与B互斥时：P（A+B）=P（A）+P（B）②A与B独立时：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）③推广P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）（2）推广：当事件独立时，P（AB）=P（A）P（B）P（ABC）=P（A）P（B）P（C）P（ABCD）=P（A）P（B）P（C）P（D）性质若A与B独立与B，A与，与均独立（六）熟记全概率公式的条件和结论若A1，A2，A3是Ω的划分，则有简单情形熟记贝叶斯公式若已知，则（七）熟记贝努利重复试验概型的计算公式第二章随机变量及其变量分布（一）知道随机变量的概念，会用分布函数求概率（1）若X是离散型随机变量，则P（a<x≤b）=F（b）- F（a）（2）若X是连续型随机变量，则P（a<x≤b）=F（b）- F（a）P（a≤x≤b）=F（b）- F（a）P（a≤x＜b）=F（b）- F（a）P（a<x＜b）=F（b）- F（a）（二）知道离散型随机变量的分布律会求简单离散型随机变量的分布律和分布函数，且若则（三）掌握三种常用的离散型随机变量的分布律（1）X～（0,1）（2）X～B（n,p）P（x=k）=（3）X～P（λ）P（x=k）=（四）知道连续型随机变量的概率密度概念和性质，概率密度和分布函数的关系及由概率密度求概率的公式。
（1）概率密度f（x）的性质①f（x）≥0②（2）分布函数和概率密度的关系（3）分布函数的性质①F（x）右连续②F（－∞）＝0，F（+∞）＝1 ③F（x）是不减函数。
（4）概率计算公式：①P（a<x<b）=F（b）－F（a）②P（a<X<b）=（五）掌握连续型随机变量的三种分布（1）X～U（a,b）X～f（x）=X～F（x）=（2）X～E（λ）①X～f（x）=②X～F（x）=（3）X～N（0,1）①X～②X～性质：Φ（-x）=1-Φ（x）P（a<x≤b）=Φ（b）－Φ（a）（4）X～N（μ,σ2）①X～②P（a<x＜b）=（六）会用公式法求随机变量X的函数Y＝g（x）的分布函数（1）离散型若且g（x1）,g（x2）, …g（x n）不相同时，有*（2）连续型若X～f X（x）,y=g（x）单调，有反函数x=h（y）且y的取值范围为（α,β），则随机变量X的函数Y=g（x）的概率密度为当α=－∞β=+∞时，则有简单情形，若Y＝ax+b则有Y～f Y（y）=在简单情形下会用公式法求Y＝ax+b的概率密度。
（3）重要结论（i）若X～N（μ,σ2），则有Y＝ax+b时Y～N（aμ+b,a2σ2）（ii）若X～N（μ,σ2），则有Y＝叫X的标准化随机变量。
第三章多维随机变量及概率分布（一）知道二维随机变量的分布函数的概念和性质。
（1）（X，Y）～F（X,Y）=P（X≤X,Y≤Y）=P（-∞＜X≤X, -∞＜Y≤Y）（2）F（X,Y）的性质（ⅰ）F（+∞，+∞）=1（ⅱ）F（-∞，Y）=0，F（X，-∞）=0 F（-∞，-∞）=0（3）X～F X（X）=F（X,+ ∞）Y～F Y（Y）=F（+∞,Y）（二）离散型二维随机变量（1）（X，Y）的分布律性质（2）X的边缘分布证明P1·=P11+P12+…P1N，P2·=P21+P22+…P2N，… p m·=p m1+p m2+…p mn（3）Y的分布律证P·1=P11+P21+…p m1，P·2=P21+P22+…p m2，… P·N= P1N+P2N+…+p mn（4）X，Y独立的充要条件是：X，Y独立P（X=x i,Y=y j）=P（X=x i）P（Y=y j）（i=1,2,…,M；j=1,2,…,N）判断离散性随机变量X，Y是否独立。
（5）会求Z=X+Y的分布律（三）二维连续型随机变量（1）若已知f（X,Y）时，会用上式求F（X,Y）性质（2）已知F（X,Y）时，会用上式求f（X,Y）（3）会用公式求（X，Y）在区域D上取值的概率。
（4）会用公式分别求X，Y的概率密度（边缘密度）（5）会根据X，Y独立判断连续型随机变量X，Y的独立性。
（6）知道两个重要的二维连续随机变量①（X，Y）在D上服从均匀分布S是D的面积则X，Y独立（7）若X，Y独立，且第四章随机变量的数字特征本章的考核内容是（一）知道随机变量的期望的定义和计算公式，性质。
（1）离散型：（2）连续型：（3）（4）期望的性质：（1）E C=C（2）E（kX）=kEX（3）E（X±Y）=EX±EY（4）X,Y独立时，E（XY）＝（EX）（EY）（二）知道方差的概念和计算公式以及方差的性质∴X是离散型随机变量时X是连续型随机变量时（2）计算公式（3）性质①DC＝0②③D（X±Y）=DX+DY±2E[(X-EX)(Y-EY)]=DX+DY±2Cov(X,Y)∴X,Y独立X,Y不相关时D(X±Y)=DX+DYCov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]计算公式Cov(X,Y)=E(XY)－(EX)(EY)相关系数定理X，Y独立X，Y不相关（）第五章大数定律及中心极限定理（一）知道切比雪夫不等式或并且会用切比雪夫不等式估计事件|X-EX|≥ε或|X-EX|<ε的概率。
（二）知道贝努利大数定律其中n是试验次数，m是A发生次数，p是A的概率，它说明试验次数很多时，频率近似于概率。
（三）知道切比雪夫不等式大数定律它说明在大量试验中，随机变量取值稳定在期望附近。
（四）知道独立同分布中心极限定理若记Y n～F n（x），则有它说明当n很大时，独立同分布的随机变量之和近似服从正态N（nμ,nσ2）所以，无论n个独立同分布的X1,X2,…X n服从何种分布，n很大时，X1+X2+…X n却近似正态N （nμ,nσ2）.（五）知道棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理若Z n表示n次独立重复事件发生次数，即Z n～B（n,p）,则有即Z n近似正态N（np,np（1-p）2）。
并会用中心极限定理计算简单应用问题。
第六章统计量及其抽样分布本章的基本要求是（一）知道总体、样本、简单样本和统计量的概念（二）知道统计量和s2的下列性质。
E（s2）=σ2（三）若x的分布函数为F（x），分布函数为f（x），则样本（x1,x2,…x n）的联合分布函数为F（x1）F（x2）…F（x n）样本（x1,x2,…x n）的联合分布密度为f（x1）f（x2）…f （x n），样本（x1,x2,…x n）的概率函数，p（x1,x 2 ,…x n）=p（X=x1）p（X=x2）…p（X=x n）因而顺序统计量x（1），…x（n）中X（1）的分布函数为1-（1-F（x））nX（n）的分布函数为[F（x）]n（四）掌握正态总体的抽样分布若X～N（μ，σ2）则有（1）（2）（3）（五）知道样本原点矩与样本中心矩的概念第七章参数估计（一）点估计（1）知道点估计的概念（2）会用矩法求总体参数的矩估计值，主要依据是（3）会用最大似然估计法求总体参数的估计值。
基本方法是由样本x1，x2，x3，…，x n构造一个似然函数或似然函数的对数L（x 1，x2，x3，…，x n，）=P（X=x1）P（X=x2）…P（X=x n）L（x 1，x2，x3，…，x n，）=f（x1）f（x2）…f（x n）然后由ln L（x 1，x2，x3，…，x n，）取最大的值时的值为的值，即。
是L的最大值点。
（二）点估计量的评价标准（1）若，则是的无偏估计。
（2）若都是的无偏估计，且就说有效。
（3）若。
就说是的相合估计以上三条标准中主要掌握无偏估计和有效估计（三）区间估计（1）知道区间估计的概念（2）会求一个正态总体的参数的置信区间。
公式见表7-1第八章假设检验（一）理解假设检验的基本思想，知道假设检验的步骤。
（二）知道两类错误（三）掌握单个正态总体的均值和方差的检验方法，并会简单应用，这是本章主要重点。
P166 表8.3。