【真题】18年广西玉林市陆川中学高三(上)数学期中试卷含答案(理科)

2017-2018学年广西玉林市陆川中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）sin570°的值是（）A．B．﹣ C．D．﹣2．（5分）设i为虚数单位，复数（2﹣i）z=1+i，则z的共轭复数在复平面中对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）•=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．（5分）已知命题；命题q：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1=0；则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨¬q C．¬p∧q D．¬p∧¬q5．（5分）已知，且α为第二象限角，则=（）A．B．C．D．6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=17．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c8．（5分）《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A． B． C．D．9．（5分）已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且，若将函数f（x）=2sin（2x+B）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A．B．C．2sin2x D．2cos2x10．（5分）已知函数f（x）=﹣+cx+bc在x=1处有极值﹣，则b=（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1或311．（5分）一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数，若关于x的方程f2（x）﹣（a+2）f （x）+3=0恰好有六个不同的实数解，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知，若在上投影为，则m=．14．（5分）函数f（x）=为奇函数，则a+b+c=．15．（5分）已知sin（π+θ）+2sin（π﹣θ）=0，则tan（+θ）=．16．（5分）已知f（x）=|2x﹣m|（m为常数），对任意x∈R，均有f（x+3）=f （﹣x）恒成立．下列说法：①f（x）的周期为6；②若g（x）=f（x）+|2x﹣b|（b为常数）的图象关于直线x=1对称，则b=1；③若0＜2α＜β+2且f（α）=f（β+3），则必有；④已知定义在R上的函数F（x）对任意x均有x∈[0，3]成立，且当x∈[0，3]时，F（x）=f（x）；又函数h（x）=﹣x2+c（c为常数），若存在x1，x2∈[﹣1，3]使得|F（x1）﹣h（x2）|＜1成立，则c的取值范围是（﹣1，13）．其中说法正确的是（填写所有正确结论的编号）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知S n=na1+（n﹣1）a2+…+2a n﹣1+a n．（1）若{a n}是等差数列，且S1=5，S2=18，求a n；（2）若{a n}是等比数列，且S1=3，S2=15，求S n．18．（12分）某互联网理财平台为增加平台活跃度决定举行邀请好友拿奖励活动，规则是每邀请一位好友在该平台注册，并购买至少1万元的12月定期，邀请人可获得现金及红包奖励，现金奖励为被邀请人理财金额的1%，且每邀请一位最高现金奖励为300元，红包奖励为每邀请一位奖励50元．假设甲邀请到乙、丙两人，且乙、丙两人同意在该平台注册，并进行理财，乙、丙两人分别购买1万元、2万元、3万元的12月定期的概率如表：（1）求乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率；（2）若甲获得奖励为X元，求X的分布列与数学期望．19．（12分）如图所示，PA与四边形ABCD所在平面垂直，且PA=BC=CD=BD，AB=AD，PD⊥DC．（1）求证：AB⊥BC；（2）若PA=，E为PC的中点，设直线PD与平面BDE所成角为θ，求sin θ．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．21．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2﹣3x，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）求a的值；（2）求函数g（x）的极值；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明＜k＜．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，证明：|AB|=．[选修4-5：不等式选讲]23．设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）ab+bc+ac；（Ⅱ）++≥1．2017-2018学年广西玉林市陆川中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）sin570°的值是（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：原式=sin（720°﹣150°）=﹣sin150°=﹣．故选：B．2．（5分）设i为虚数单位，复数（2﹣i）z=1+i，则z的共轭复数在复平面中对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数（2﹣i）z=1+i，∴（2+i）（2﹣i）z=（2+i）（1+i），∴z=则z的共轭复数=﹣i在复平面中对应的点在第四象限．故选：D．3．（5分）已知=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）•=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：=2，=5，=﹣1﹣2=﹣3．∴=2+=4﹣3=1．故选：C．4．（5分）已知命题；命题q：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1=0；则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨¬q C．¬p∧q D．¬p∧¬q【解答】解：x=0时，显然不成立，故是假命题；对于x2﹣x﹣1=0，△=5＞0，故q：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1=0是真命题；则￢p∧q是真命题，故选：C．5．（5分）已知，且α为第二象限角，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，且α为第二象限角，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==﹣，∴tan2α==﹣，∴==﹣，故选：D．6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．7．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（x）=x c﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c ＞ba c；故B错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C正确；故选：C．8．（5分）《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A． B． C．D．【解答】解：直角三角形的斜边长为=17，设内切圆的半径为r，则8﹣r+15﹣r=17，解得r=3．∴内切圆的面积为πr2=9π，∴豆子落在内切圆外部的概率P=1﹣=1﹣．故选：D．9．（5分）已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且，若将函数f（x）=2sin（2x+B）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A．B．C．2sin2x D．2cos2x【解答】解：由，利用正弦定理得：，整理得：，利用余弦定理：=，则：，f（x）=2sin（2x+），将图象向右平移个单位长度单位，得到：g（x）=2sin（2x+）=2cos2x，故选：D．10．（5分）已知函数f（x）=﹣+cx+bc在x=1处有极值﹣，则b=（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1或3【解答】解：f′（x）=﹣x2+2bx+c，若f（x）在x=1处有极值﹣，故，解得：b=﹣1，故选：A．11．（5分）一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其直观图如下所示：由于底面△ABC是一个边长为的正三角形，故底面外接圆半径为1，内切圆半径为，棱柱的高h==2，设该几何体的外接球半径为R，则+=2，解得：R=，故选：B．12．（5分）设函数，若关于x的方程f2（x）﹣（a+2）f （x）+3=0恰好有六个不同的实数解，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：作出函数的图象如图，令f（x）=t，则方程f2（x）﹣（a+2）f（x）+3=0化为t2﹣（a+2）t+3=0，要使关于x的方程f2（x）﹣（a+2）f（x）+3=0恰好有六个不同的实数解，则方程t2﹣（a+2）t+3=0在（1，2]内有两不同实数根，∴，解得2﹣2＜a≤．∴实数a的取值范围为（2﹣2，]．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知，若在上投影为，则m=﹣1．【解答】解：根据投影的定义可得：==，解得m=﹣1．故答案为：m=﹣1．14．（5分）函数f（x）=为奇函数，则a+b+c=﹣3．【解答】解：由题意，f（0）=a+1=0，∴a=﹣1．f（﹣1）=﹣f（1），可得b﹣1+c=﹣（1+1+1），∴b+c=﹣2，∴a+b+c=﹣3．故答案为：﹣3．15．（5分）已知sin（π+θ）+2sin（π﹣θ）=0，则tan（+θ）=2．【解答】解：∵sin（π+θ）+2sin（π﹣θ）=sin（+θ）﹣2sin（﹣θ）=）=sin（+θ）﹣2cos（+θ）=0，∴sin（+θ）=2cos（+θ），∴tan（+θ）=2，故答案为：2．16．（5分）已知f（x）=|2x﹣m|（m为常数），对任意x∈R，均有f（x+3）=f （﹣x）恒成立．下列说法：①f（x）的周期为6；②若g（x）=f（x）+|2x﹣b|（b为常数）的图象关于直线x=1对称，则b=1；③若0＜2α＜β+2且f（α）=f（β+3），则必有；④已知定义在R上的函数F（x）对任意x均有x∈[0，3]成立，且当x∈[0，3]时，F（x）=f（x）；又函数h（x）=﹣x2+c（c为常数），若存在x1，x2∈[﹣1，3]使得|F（x1）﹣h（x2）|＜1成立，则c的取值范围是（﹣1，13）．其中说法正确的是②③④（填写所有正确结论的编号）【解答】解：①对任意的x∈R，f（x+3）=f（﹣x）恒成立⇔|2x+6﹣m|=|2x+m|⇔6﹣m=m，解得m=3，∴f（x）=|2x﹣3|，其图象关于直线x=对称，而关于y轴不对称，因此不是偶函数，∴f（x+3）=f（﹣x）≠f（x），故不为周期函数，①错误；②∵函数g（x）=f（x）+|2x﹣b|（b为常数）的图象关于直线x=1对称，∴g（2﹣x）=g（x），∴|2（2﹣x）﹣3|+|2（2﹣x）﹣b|=|2x﹣3|+|2x﹣b|，对于任意实数恒成立．化为|2x﹣1|+|2x﹣（4﹣b）|=|2x﹣3|+|2x﹣b|，对于任意实数恒成立，∴4﹣b=3，b=1，故②正确；③由f（α）=f（β+3）=f（﹣β），得α=﹣β或α﹣β=3，又∵0＜2α＜β+2，∴α=﹣β，且0＜α＜，3α2+β=3α2﹣α=3（α﹣）2﹣，显然α=时，取最小值﹣，α=时，3α2﹣α=，∴﹣≤3α2+β＜，故③正确；④当x∈[0，3]时，F（x）=f（x）=|2x﹣3|，可得F（x）∈[0，3]；∵定义在R上的函数F（x）对任意x均有F（x）=F（﹣x）成立，∴F（x）是偶函数．∴当x∈[﹣1，0）时，F（x）=F（﹣x）=|﹣2x﹣3|=|2x+3|，可得F（x）∈[1，3）．综上可得：x∈[﹣1，3]时，F（x）∈[0，3]．由函数h（x）=﹣x2+c，x∈[﹣1，3]，可得h（x）max=c，h（x）min=c﹣9．∵存在x1，x2∈[﹣1，3]使得|F（x1）﹣h（x2）|＜1成立，∴只要|F（x）min﹣h（x）max|=0﹣c＜1，且|F（x）max﹣h（x）min|=c﹣9﹣3＜1．解得﹣1＜c且c＜13，因此c∈（﹣1，13），故④正确．∴正确的命题是：②③④．故答案为：②③④．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知S n=na1+（n﹣1）a2+…+2a n﹣1+a n．（1）若{a n}是等差数列，且S1=5，S2=18，求a n；（2）若{a n}是等比数列，且S1=3，S2=15，求S n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，则S1=a1=5，S2=2a1+a2=10+a2=18，∴a2=8，d=a2﹣a1=3，∴a n=5+3（n﹣1）=3n+2；（2）设数列{a n}的公比为q，则S1=a1=3，S2=2a1+a2=6+a2=15，∴a2=9，，∴，∴S n=n×3+（n﹣1）×32+…+2×3n﹣1+3n，①3S n=n×32+（n﹣1）×33+…+2×3n+3n+1，②②﹣①，得===．∴S n=．18．（12分）某互联网理财平台为增加平台活跃度决定举行邀请好友拿奖励活动，规则是每邀请一位好友在该平台注册，并购买至少1万元的12月定期，邀请人可获得现金及红包奖励，现金奖励为被邀请人理财金额的1%，且每邀请一位最高现金奖励为300元，红包奖励为每邀请一位奖励50元．假设甲邀请到乙、丙两人，且乙、丙两人同意在该平台注册，并进行理财，乙、丙两人分别购买1万元、2万元、3万元的12月定期的概率如表：（1）求乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率；（2）若甲获得奖励为X元，求X的分布列与数学期望．【解答】解：（1）设乙、丙理财金额分别为ξ万元、η万元，则乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率为P（ξ+η≥5）=P（ξ=2）P（η=3）+P（ξ=3）P（η=2）+P（ξ=3）P（η=2）=×+×+×=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）X的所有可能的取值为300，400，500，600，700；P（X=300）=P（ξ=1）P（η=1）=×=，P（X=400）=P（ξ=1）P（η=2）+P（ξ=2）P（η=1）=×+×=，P（X=500）=P（ξ=1）P（η=3）+P（ξ=3）•P（η=1）+P（ξ=2）P（η=2）=×+×+×=，P（X=600）=P（ξ=2）P（η=3）+P（ξ=3）P（η=2）=×+×=，P（X=700）=P（ξ=3）P（η=3）=×=，所以X的分布列为（10分）数学期望为E（X）=300×+400×+500×+600×+700×=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）19．（12分）如图所示，PA与四边形ABCD所在平面垂直，且PA=BC=CD=BD，AB=AD，PD⊥DC．（1）求证：AB⊥BC；（2）若PA=，E为PC的中点，设直线PD与平面BDE所成角为θ，求sin θ．【解答】证明：（1）由PA⊥平面ABCD，AB=AD，可得PB=PD，又BC=CD，PC=PC，所以△PBC≌△PDC，所以∠PBC=∠PDC．因为PD⊥DC，所以PB⊥BC．（3分）因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC．又PA∩PB=P，所以BC⊥平面PAB．因为AB⊂平面PAB，所以AB⊥BC．（5分）解：（2）由BD=BC=CD，AB⊥BC，可得∠ABD=30°，又已知AB=AD，BD=PA=，所以AB=1．如图所示，分别以BC，BA所在直线为x，y轴，过B且平行于PA的直线为z轴建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），P（0，1，），C（，0，0），E（，，），D（，，0），所以=（，，﹣），=（，，），=（，，0）．设平面BDE的法向量n=（x，y，z），（8分）则即取z=﹣2，得n=（3，﹣，﹣2），（10分）所以sin θ===．（12分）20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意，，解得a=，c=1．即椭圆方程为=1（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，|AB|=，此时S=不符合题意，故舍掉；当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以|AB|=．原点到直线的AB距离d=，所以三角形的面积S=．由S=可得k2=2，∴k=±，所以直线AB：=0或AB：=0．21．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2﹣3x，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）求a的值；（2）求函数g（x）的极值；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明＜k＜．【解答】解：（1）依题意得：g（x）=lnx+ax2﹣3x，则g′（x）=+2ax﹣3，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴g′（1）=1+2a﹣3=0，∴a=1…（2分）（2）由（1）得g′（x）=+2x﹣3=∵函数g（x）的定义域为：（0，+∞），令g′（x）=0，得x=，或x=1．函数g（x）在（0，）上单调递增，在（）单调递减；在（1，+∞）上单调递增．故函数g（x）的极小值为g（1）=﹣2．…（6分）．（3）证明：依题意得⇒lnx2﹣kx2=lnx1﹣kx1，令h（x）=lnx=kx，则h′（x）=，由h′（x）=0得：x=，当x＞时，h′（x）＜0，当0＜x＜时，h′（x）＞0，h（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）单调递减，又h（x1）=h（x2），x1＜＜x2，即＜k＜…（12分）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，证明：|AB|=．【解答】解：（1）直线l过点（1，0），倾斜角为α，则：直线l的参数方程为（α为参数）．曲线C的极坐标方程是ρ=．则：曲线C的直角坐标方程为：y2=4x．证明：（2）设直线l与曲线C交于A，B两点所对应的参数为t1和t2，则：（tsinα）2=4（1+tcosα），即：sin2αt2﹣4tcosα﹣4=0，则：，而|AB|=|t1﹣t2|==．[选修4-5：不等式选讲]23．设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）ab+bc+ac；（Ⅱ）++≥1．【解答】证明：（Ⅰ）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，当且仅当a=b=c=取等号，∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca，又∵（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）=1，∴3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca ≤；（Ⅱ）∵+b≥2a ，+c≥2b ，+a≥2c，当且仅当a=b=c=取等号，∴+++（a+b+c）≥2（a+b+c），即++≥a+b+c=1．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo第21页（共21页）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。