弧度制优质课(人教A版)(课堂PPT)
合集下载
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必修第一册精品教学PPT
根据题意: 1 l R 4 ② 2
由①得 l 10 2R ,
代入②得 R2 5R4 0
R1 1, R2 4
当R=1时,l=8cm时, l 8 2 舍去
R
当R=4时,l=2cm时, l 1
R2 ∴所求扇形的中心角的弧度数为 1
2
例3:用弧度制表示 （1）终边落在45°角的终边上的所有角的集合
{ | 2k , k Z}
4
（2）第Ⅱ象限角的集合
{ | 2k 2k , k Z}
2
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 (1)【 完美课 件】
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 (1)【 完美课 件】
r
结论：若以半径长为单位度量圆周，则无论
周长如何都只能分成 2 份。
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 (1)【 完美课 件】
定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度(radian)的角，用符号rad表示，读作 弧度.
这种以弧度为单位来度量角的单位制叫做 弧度制。
问题2:平面几何中，1度的角是如何定义的？
规定把周角的 1 作为1度的角，
360
用度做单位来度量角的单位制叫做角度 制．
60°
90°
对于整个圆周无论半径如何，周长多长， 我们总能把它分成360等份，每一份的弧所对 的圆心角就是1度的角。
问题3：由C 们分析式子
C22r，得的到意义Cr。
2，请同学
探究：
请回忆角度制下的弧长公式和扇形面积公式，并 尝试推导弧度制下的弧长公式和扇形面积公式。
角度制： 弧长公式： 扇形面积公式：
由①得 l 10 2R ,
代入②得 R2 5R4 0
R1 1, R2 4
当R=1时,l=8cm时, l 8 2 舍去
R
当R=4时,l=2cm时, l 1
R2 ∴所求扇形的中心角的弧度数为 1
2
例3:用弧度制表示 （1）终边落在45°角的终边上的所有角的集合
{ | 2k , k Z}
4
（2）第Ⅱ象限角的集合
{ | 2k 2k , k Z}
2
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 (1)【 完美课 件】
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 (1)【 完美课 件】
r
结论：若以半径长为单位度量圆周，则无论
周长如何都只能分成 2 份。
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 (1)【 完美课 件】
定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度(radian)的角，用符号rad表示，读作 弧度.
这种以弧度为单位来度量角的单位制叫做 弧度制。
问题2:平面几何中，1度的角是如何定义的？
规定把周角的 1 作为1度的角，
360
用度做单位来度量角的单位制叫做角度 制．
60°
90°
对于整个圆周无论半径如何，周长多长， 我们总能把它分成360等份，每一份的弧所对 的圆心角就是1度的角。
问题3：由C 们分析式子
C22r，得的到意义Cr。
2，请同学
探究：
请回忆角度制下的弧长公式和扇形面积公式，并 尝试推导弧度制下的弧长公式和扇形面积公式。
角度制： 弧长公式： 扇形面积公式：
弧度制(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
2 故该扇形的面积的最大值为245cm2，取得最大值时圆心角为 2 rad，弧长为 5 cm.
当堂达标
1.圆的半径为 r，该圆上长为32r 的弧所对的圆心角是(
)
2 A.3 rad
B．32 rad
2π C. 3 rad
D．32π rad
3 B 解析：由弧度数公式 α＝rl，得 α＝2rr＝32，因此圆弧所对的圆心角是32 rad.
显然1π2＜1π0＜1＜71π2. 故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
显然，15°＜18°＜57.30°＜105°. 故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
经典例题
题型一 角度制与弧度制的互化
(2)－1 480°＝－1 480×1π80＝－749π＝－10π＋169π， 其中 0≤169π<2π， 因为169π是第四象限角， 所以－1 480°是第四象限角．
经典例题
题型二 用弧度制表示终边相同的角
跟踪训练2
用弧度制表示终边落在如图（右）所示阴影部分内的角 θ 的集合.
解：终边落在射线 OA 上的角为 θ＝135°＋k·360°，k∈Z， 即 θ＝34π＋2kπ，k∈Z. 终边落在射线 OB 上的角为 θ＝－30°＋k·360°，k∈Z， 即 θ＝－6π＋2kπ，k∈Z，
1.角度制：
(1)定义：用 度 作为单位来度量角的单位制．
1
(2)1 度的角：周角的 360 . 2.弧度制：
(1)定义：以 弧度 作为单位来度量角的单位制．
(2)1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
自主学习
3.弧度数
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的
弧度数是 0 . 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长为 l，那么，角 α 的弧度数的绝 l
当堂达标
1.圆的半径为 r，该圆上长为32r 的弧所对的圆心角是(
)
2 A.3 rad
B．32 rad
2π C. 3 rad
D．32π rad
3 B 解析：由弧度数公式 α＝rl，得 α＝2rr＝32，因此圆弧所对的圆心角是32 rad.
显然1π2＜1π0＜1＜71π2. 故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
显然，15°＜18°＜57.30°＜105°. 故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
经典例题
题型一 角度制与弧度制的互化
(2)－1 480°＝－1 480×1π80＝－749π＝－10π＋169π， 其中 0≤169π<2π， 因为169π是第四象限角， 所以－1 480°是第四象限角．
经典例题
题型二 用弧度制表示终边相同的角
跟踪训练2
用弧度制表示终边落在如图（右）所示阴影部分内的角 θ 的集合.
解：终边落在射线 OA 上的角为 θ＝135°＋k·360°，k∈Z， 即 θ＝34π＋2kπ，k∈Z. 终边落在射线 OB 上的角为 θ＝－30°＋k·360°，k∈Z， 即 θ＝－6π＋2kπ，k∈Z，
1.角度制：
(1)定义：用 度 作为单位来度量角的单位制．
1
(2)1 度的角：周角的 360 . 2.弧度制：
(1)定义：以 弧度 作为单位来度量角的单位制．
(2)1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
自主学习
3.弧度数
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的
弧度数是 0 . 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长为 l，那么，角 α 的弧度数的绝 l
课件弧度制人教A版高中数学必修-册PPT课件_优秀版
，
（3）
．
135 （3）角有正、负、零角之分，它的弧度数呢？
解：（1）由于67°30′＝ 解：（1）由于67°30′＝
，
（2）－240°；
2 证明：圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积长度为1的弧所对的圆心角就是1 rad（如图）；
角的 ；
（3）1 200°．
135 π 3π 类比角度制，α的正负由角α的终边的旋转方向决定． 所以67°30′＝ rad＝ rad． （1） ；
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合( 360( 1) ) º
扇形面积是 ( 1)R2
（3）
．
第五章 三角函数
解：（1）由于67°30′＝
，
所以扇形的中心角是2(π－1) rad.
（3）
．
答案：（1） ；
下面证明（2）（3）．
5.1.2 弧度制 其中R是圆的半径， α(0<α<π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．
其中R是圆的半径， α(0<α<π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积． （1）终边在 轴上的角的集合
（（（222）））－2（4；0°；；4）你能画一个知识结构图来反映本节课的研究内容与路径吗？
注意：今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad
证明：圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是
，
（3）1 200°．
（3）
．
背景 （2） ；
2．金版 P115-P116．
其中R是圆的半径， α(0<α<π)为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．
人教A版必修 第一册 2 5.1.2 弧度制 课件
栏目 导引
第五章 三角函数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1 rad 的角比 1°的角要大．( √ ) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．( × ) (3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( √ ) (4)1°的角是周角的3610，1 rad 的角是周角的21π.(√ )
问题导学 预习教材 P172－P175，并思考以下问题： 1．1 弧度的角是如何定义的？ 2．如何进行弧度与角度的换算？ 3．以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？
栏目 导引
第五章 三角函数
1．度量角的两种制度
定义
用度作为单位来度量角的单位制
角度
1度 制
1
的角 1 度的角等于周角的__3_6_0____，记作 1°
栏目 导引
第五章 三角函数
1．已知一个扇形的弧所对的圆心角为 54°，半径 r＝20 cm，则 该扇形的周长为________cm. 解析：因为 1°＝1π80rad，所以 54°＝1π80×54＝31π0，则扇形的弧 长 l＝31π0×20＝6π(cm)，故扇形的周长为(40＋6π)cm. 答案：(40＋6π)
第五章 三角函数
栏目 导引
第五章 三角函数
用弧度制表示终边相同的角 把－1 480°写成 2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中 0≤α<2π，并判 断它是第几象限角？ 【解】 －1 480°＝－1 480×1π80＝－749π＝－10π＋169π，其中 0≤169π<2π，因为169π是第四象限角， 所以－1 480°是第四象限角．
A.430π cm
B.230π cm
C.2030π cm
D.4300π cm
解析：选 A.根据弧长公式，得 l＝53π×8＝403π (cm)．
第五章 三角函数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1 rad 的角比 1°的角要大．( √ ) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．( × ) (3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( √ ) (4)1°的角是周角的3610，1 rad 的角是周角的21π.(√ )
问题导学 预习教材 P172－P175，并思考以下问题： 1．1 弧度的角是如何定义的？ 2．如何进行弧度与角度的换算？ 3．以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？
栏目 导引
第五章 三角函数
1．度量角的两种制度
定义
用度作为单位来度量角的单位制
角度
1度 制
1
的角 1 度的角等于周角的__3_6_0____，记作 1°
栏目 导引
第五章 三角函数
1．已知一个扇形的弧所对的圆心角为 54°，半径 r＝20 cm，则 该扇形的周长为________cm. 解析：因为 1°＝1π80rad，所以 54°＝1π80×54＝31π0，则扇形的弧 长 l＝31π0×20＝6π(cm)，故扇形的周长为(40＋6π)cm. 答案：(40＋6π)
第五章 三角函数
栏目 导引
第五章 三角函数
用弧度制表示终边相同的角 把－1 480°写成 2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中 0≤α<2π，并判 断它是第几象限角？ 【解】 －1 480°＝－1 480×1π80＝－749π＝－10π＋169π，其中 0≤169π<2π，因为169π是第四象限角， 所以－1 480°是第四象限角．
A.430π cm
B.230π cm
C.2030π cm
D.4300π cm
解析：选 A.根据弧长公式，得 l＝53π×8＝403π (cm)．
高中数学人教A版必修4课件：1.1.2弧度制
(2)将下列各弧度角化为角度：①－51π2 rad；②139π.
思路点拨：
解：(1)①∵1°＝1π80 rad， ∴112°30′＝1π80×112.5 rad＝58π rad. ②－315°＝－315×1π80＝－74π. (2)①∵1 rad＝1π80°， ∴－51π2 rad＝－51π2×1π80°＝－75°. ②139π＝139π×1π80°＝1 140°.
(2) 的面积．
思路点拨：(1) 设出圆心角为θ → 建方程组 → 解方程组得解 (2) 化度为弧度 → 求弧长 → 求扇形面积
解：(1)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l， 半径为 r，
依题意有
l＋2r＝10，
①
12lr＝4.
进行角度制与弧度制的互化的策略以及注意点 (1)原则：牢记 180°＝π rad，充分利用 1°＝1π80 rad 和 1 rad ＝1π80°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为 α，角度数为 n，则 α rad＝α·1π80°；n°＝n·1π80.
(3)注意点 ①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad” 可以省略不写． ②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π 的形式，如无特别要求，不必把π写成小数． ③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
3.解析弧度制下弧长公式、扇形的面积公式 在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为： l＝|α|R，S＝12lR＝12|α|R2(其中 α 为圆心角的弧度数，R 为扇 形的半径)． 要把握好上述公式，需注意以下三个方面： (1)由上述公式可知，由 α、l、R、S 中的两个量可以求出 另外的两个量，即“知二求二”．
【即时演练】
－247π 是第________象限的角． 解析：∵－247π＝－6π－34π，而－34π 是第三象限的角， ∴－247π 是第三象限的角． 答案：三
思路点拨：
解：(1)①∵1°＝1π80 rad， ∴112°30′＝1π80×112.5 rad＝58π rad. ②－315°＝－315×1π80＝－74π. (2)①∵1 rad＝1π80°， ∴－51π2 rad＝－51π2×1π80°＝－75°. ②139π＝139π×1π80°＝1 140°.
(2) 的面积．
思路点拨：(1) 设出圆心角为θ → 建方程组 → 解方程组得解 (2) 化度为弧度 → 求弧长 → 求扇形面积
解：(1)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l， 半径为 r，
依题意有
l＋2r＝10，
①
12lr＝4.
进行角度制与弧度制的互化的策略以及注意点 (1)原则：牢记 180°＝π rad，充分利用 1°＝1π80 rad 和 1 rad ＝1π80°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为 α，角度数为 n，则 α rad＝α·1π80°；n°＝n·1π80.
(3)注意点 ①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad” 可以省略不写． ②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π 的形式，如无特别要求，不必把π写成小数． ③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
3.解析弧度制下弧长公式、扇形的面积公式 在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为： l＝|α|R，S＝12lR＝12|α|R2(其中 α 为圆心角的弧度数，R 为扇 形的半径)． 要把握好上述公式，需注意以下三个方面： (1)由上述公式可知，由 α、l、R、S 中的两个量可以求出 另外的两个量，即“知二求二”．
【即时演练】
－247π 是第________象限的角． 解析：∵－247π＝－6π－34π，而－34π 是第三象限的角， ∴－247π 是第三象限的角． 答案：三
新教材人教A版5.1.2弧度制课件(36张)
(3)∵25π＝25×180°＝72°， ∴与25π终边相同的角为 θ＝72°＋k·360°(k∈Z)． 当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°. ∴在 0°～720°中与25π终边相同的角为 72°，432°.
1．进行角度与弧度的互化时，抓住关系式 π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数
[解析] (1)α1＝－171π＝－171×180°≈－282.86 °； α2＝5611π＝5611×180°＝15 330°； α3＝9＝9×1π80°≈515.66°； α4＝－855°＝－855×1π80＝－149π. (2)163π＝4π＋43π； －315°＝－360°＋45°＝－2π＋π4； －117π＝－2π＋37π.
l 的绝对值是|α|＝_____r___.这里，α 的正负由角 α 的终边的旋转方向决定．
(3)弧度制与角度制的换算公式 角度化弧度
360°＝____2_π___ rad 180°＝____π____ rad
π 1°＝_1_8_0_ rad≈0.017 45 rad
弧度化角度 2π rad＝__3_6_0_°___ π rad＝__1_8_0_°___
课时·跟踪训练
α2kπ＋π6＜α≤2kπ＋π2，k∈Z ∪
α2kπ＋π＋π6＜α≤2kπ＋π＋π2，k∈Z
＝αkπ＋π6＜α≤kπ＋π2，k∈Z
.
首先写出终边所在的角的形式，再根据旋转方向写出所在区域的角的集合，注意单位 要统一，注意虚实边．
用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(含边界)，并判 断 2 014°是不是这个集合的元素．
探究二 用弧度制表示角 [例 2] 用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
人教A版高中数学必修四《1.1.2弧度制》ppt课件.ppt
• 20、No man is happy who does not think himself so.——Publilius Syrus认为自己不幸福的人就不会幸福。2020年8月5日星期三11时1分19秒11:01:195 August 2020
• 21、The emperor treats talent as tools, using their strongpoint to his advantage. 君子用人如器，各取所长。上午11时1分19秒上午11时1分11:01:1920.8.5
3
．
1．什么叫1弧度角? 2.“角度制”与“弧度制”的联系与区别； 3．弧长公式与扇形面积公式．
把希望建筑在意欲和心愿上面的人们，二十 次中有十九次都会失望。
——大仲马
• 1、Genius only means hard-working all one's life. (Mendeleyer, Russian Chemist) 天才只意味着终身不懈的努力。20.8.58.5.202011:0311:03:10Aug-2011:03
• •
THE END 8、For man is man and master of his fate.----Tennyson人就是人，是自己命运的主人11:0311:03:108.5.2020Wednesday, August 5, 2020
9、When success comes in the door, it seems, love often goes out the window.-----Joyce Brothers成功来到门前时，爱情往往就走出了窗外。 11:038.5.202011:038.5.202011:0311:03:108.5.202011:038.5.2020
人教A版第五章5.1.2弧度制课件(31张)
B．－103π 化成角度是－600°
C．－150°化成弧度是－76π
D．1π2 化成角度是 15°
【解析】选 ABD.67°30′＝67.5×1π80 ＝38π ，故 A 正确；
－103π
＝－103π
180
×
π
°＝－600°，故 B 正确；
－150°＝－150×1π80 ＝－56π ，故 C 错误；
C．200 cm2
D．300 cm2
【解析】选 B.由题意可知，扇面的面积为21
3 ×2
×152
－12
3 ×2
×52＝150 cm2.
角度 3 最值问题 【典例】已知一扇形的周长为 40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形 的面积最大？最大面积是多少？
【解析】设扇形的圆心角为 θ，半径为 r，弧长为 l，面积为 S，则 l＋2r＝40，所以 l
B．β|β
＝56π＋k·360°，k∈Z
C．β|β
＝23π＋2kπ，k∈Z
D．β|β
＝56π＋2kπ，k∈Z
【解析】选 D.150°＝150×1π80 ＝56π ，故与 150°角终边相同的角的集合为
β|β
＝56π＋2kπ，k∈Z
.
2．(2022·沈阳高一检测)3 弧度的角的终边在( )
A．第一象限
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制 5.1.2 弧度制
素养导引 1.了解弧度制的概念.(数学抽象) 2.能进行弧度与角度的互化.(数学运算) 3.理解弧度制下弧长与扇形面积公式并能应用.(数学运算、逻辑推理)
教材认知 掌握必备知识
一、角度制与弧度制 1．度量角的两种制度
角度 制
弧度 制
人教高中数学A版必修一 (弧度制)三角函数教学课件
探究：在圆内，圆心角的大小和半径大小有关系吗？
角度为300、600的圆心角，半径r=1,2,3,4时，
①圆心（角1不）变分别，计比算值相不对变应；的弧比长值l的（大l 小n与所r）取; 的圆的半径大小无关；
180
②圆心（角2改）变分别，计比算值对改应变弧；长与比半值径的之大比小. 只与圆心角的大小有关； （1）当n=300时 （2）当n=600时，请同学们自己计算一下
360°
弧度
角的概念推广后，在弧度制下，角的集 合与实数解R之间建立起一一对应关系。
正角 零角 负角
正实数 0
负实数
三、弧长公式与扇形面积公式 例2.若用R表示圆的半径，α(0＜α＜2π)为圆心角， 是扇形弧长，S是扇 形面积，利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式简单了.在今后的学习中，我们还 将进一步看到弧度制带来的便利.
半径r
弧长l
r1=1 r2=2
r3=3
弧长与半径的 比值
思考：通过上面的计算，你发现了什么规律？
r4=4
一、弧度的概念 1.1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 用符号rad表示，读作弧度。
2.弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。
AB
（
B
r
l =r
O 1rad A
常用数集
1、全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集)，记作N；
形式为：{0，1，2，3，4......}
2、全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+；
形式为：{1，2，3，4......}
3、全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；
人教A版必修四1.1.2弧度制课件 (共17张PPT)
C
l=2r
2rad
A O
4.角的弧度数的绝对值： l
r
5.
正角 零角 负角 角的弧度数
对应角的
正实数 弧度数 零
负实数 实数集R
二、角度制与弧度制换算:
(1)将角度化为弧度：
360 2 rad 180 rad
1 rad
180
n
n0 _1_8_0__ rad
二、角度制与弧度制换算:
(2)将弧度化为角度：
2 360
180
1rad (180) 57.30 5718'
180n
n _____ 0
特殊角的弧度:
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
0
6
4
2
323
角 度
135o
150o
180o270o源自360o弧 3 度4
5
6
3 2
2
常规写法:
① 用弧度数表示角时，常常把弧度数
(1)理解弧度制的概念; (2)熟练进行角度制与弧度制的 换算; (3)能应用弧长公式与扇形面积 公式解决有关问题.
角度制:
1.定义：是用“度”作单位来度量角 的单位制叫做角度制.
2.角度制的单位：度、分 规定:周角的 1 为10 ,即周角为3600
360
一、弧度制:
1.定义：是用“弧度”作单位来度量角的 单位制叫做弧度制.
例2:在半径为R的圆中，240º的圆心角
所对的弧长为
，面积为2R2的
扇形的圆心角等于
弧度。
解:(1)240º= 4 ，根据l=αR，得 l 4 R
3
高中数学(新人教A版)必修第一册：弧度制【精品课件】
【解析】 由－1 485°＝－5×360°＋315°， 所 【答 以案 －】1 485－°1可0π以＋表74示π为－10π＋74π.
5．一个扇形的面积为 1，周长为 4，求该扇形圆心角的弧度数．
【解析】 设扇形的半径为 R，弧长为 l，圆心角为 α， 则 2R＋l＝4.① 由扇形的面积公式 S＝12 lR，得12lR＝1.②
1．正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( )
A．2kπ，2kπ＋π2 (k∈Z)
B．kπ，kπ＋π2 (k∈Z)
C．2kπ，2kπ＋π2 (k∈Z)
D．kπ，kπ＋π2 (k∈Z)
【解析】 B 中 k＝1 时为π，23π显然不正确；因为第一象限
角不含终边在坐标轴的角故 C、D 均错，只有 A 正确．
∴当 r＝5 时，扇形面积最大为 S＝25. 此时 l＝10，α＝2， 故当扇形半径 r＝5，圆心角为 2 rad 时， 扇形面积最大．
解题方法（扇形弧长和面积公式注意事项 ）
弧度制下解决扇形相关问题的步骤： (1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝12|α|r2 和 S＝12 lr.(这里 α 必须是弧度制下的角) (2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式． (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
解析： 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，
(1)θ－π6＋2kπ<θ<152π＋2kπ，k∈Z
.
(2)θ－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z
.
(3)θπ6＋kπ<θ<π2＋kπ，k∈Z
.
解题方法（表示角的集合注意事项）
[跟踪训练二] 1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的非负半轴，终
5．一个扇形的面积为 1，周长为 4，求该扇形圆心角的弧度数．
【解析】 设扇形的半径为 R，弧长为 l，圆心角为 α， 则 2R＋l＝4.① 由扇形的面积公式 S＝12 lR，得12lR＝1.②
1．正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( )
A．2kπ，2kπ＋π2 (k∈Z)
B．kπ，kπ＋π2 (k∈Z)
C．2kπ，2kπ＋π2 (k∈Z)
D．kπ，kπ＋π2 (k∈Z)
【解析】 B 中 k＝1 时为π，23π显然不正确；因为第一象限
角不含终边在坐标轴的角故 C、D 均错，只有 A 正确．
∴当 r＝5 时，扇形面积最大为 S＝25. 此时 l＝10，α＝2， 故当扇形半径 r＝5，圆心角为 2 rad 时， 扇形面积最大．
解题方法（扇形弧长和面积公式注意事项 ）
弧度制下解决扇形相关问题的步骤： (1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝12|α|r2 和 S＝12 lr.(这里 α 必须是弧度制下的角) (2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式． (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
解析： 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，
(1)θ－π6＋2kπ<θ<152π＋2kπ，k∈Z
.
(2)θ－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z
.
(3)θπ6＋kπ<θ<π2＋kπ，k∈Z
.
解题方法（表示角的集合注意事项）
[跟踪训练二] 1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的非负半轴，终
新教材人教A版必修第一册 5.1.2弧度制 课件(54张)
B．－130π rad 化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－76π rad
π D.12
rad 化成度是 15°
C [对于 A,60°＝60×1π80 rad＝π3 rad；对于 B，－130π rad＝－130 ×180°＝－600°；对于 C，－150°＝－150×1π80 rad＝－56π rad；对于 D，1π2 rad＝112×180°＝15°.故选 C.]
2r＋l＝60， (2)设扇形的弧长为 l，半径为 r，则12lr＝20，
r＝15＋ 205， r＝15－ 205，
∴l＝15＋40 205
或l＝15－40
， 205
∴扇形的圆心角的弧度数为
rl＝43－3 205或 43＋3 205.
1．(变条件)将本例(2)中的条件“60”改为“10”，“20”改为 “4”，其他条件不变，求扇形圆心角的弧度数．
①定义：用 度 作为单位来度量角的单位制．
②1度的角：周角的
1 360
.
(2)弧度制： ①定义：以 弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长 的圆弧所对的圆心角．
2．弧度数的计算
思考：比值rl与所取的圆的半径大小是否有关？ 提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确 定的，与半径大小无关．
3．角度制与弧度制的换算
4．一些特殊角与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° ___6_0_°_ 90° 120°135°150°_1_8_0_°_ 270°360°
弧 _0__
π
π
度
64
π 3
π 2π 3π 5π 2 3 46
π
3π 2
_2_π__
弧度制 课件 (共 26张PPT)人教A版(2019)必修第一册
半径为r的圆的圆心与原点重合,角α的始 边与x轴的非负半轴重合,交圆于点A,终边与圆 交于点B.请在下表格中填空.
y B
αA ox
探思考究：弧如果度一个制半的径为性r的质圆的圆心角α所对的弧长是L,
那么α的弧度数是多少?
AB的长
OB旋转的 ∠AOB的弧 ∠AOB的度
方向
度数
数
πr
逆时针方向
180
关键
1 rad
180
57.30 5718
方法总结：
度化为弧度：180
rad
度数
弧度化为度：弧度数（180）
正角的弧度数是正数 负角的弧度数是负数 零角的弧度数是零
正角
零角
在弧度制下，角
的集合与实数集R
之间建立了一一 对应关系．
负角 任意角的集合
正实 数
0
负实 数
实数集R
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
注：今后在用度制
C B
AOC的弧度数就是
表 弧示度角二的字时或r候ad，可以略去不写rl。=
2r r
= 2rad
l=r
1rad
Or
A
弧度制实质上是用弧长与其
半径的比值来反映弧所对圆
心角的大小．
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制；1弧度≠1º；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆心
360
角的大小；
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
弧度制课件(共20张PPT)高一数学(人教A版2019必修第一册)
(2)求圆心角 所在的扇形的弧长 及弧所在的弓形的面积 .
【解析】（1）半径为6的圆 中，弦 的长为6，
所以三角形 为正三角形，
π
所以弦 所对圆心角 为 3 ，
（2）由弧长公式得： = =
扇形的面积
又 △ =
1
2
扇形
=
1
2
=
×6×6×
3
2
1
2
° =
= (
)° ≈ . °
新知2：扇形的弧长和面积公式：
例6.利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
(1) = ；(2) =
1
2 ；(3)
2
=
1
.
2
其中是圆的半径，(0 < < 2)为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积.
1
2
× 10 × 10
= 25 − 50 cm 2 ；
2 + = 6
=1
=2
（2）由已知得 1 = 2 ，解得
或
，
=
4
=
2
2
∴ = 4或 = 1
典型例题
题型二：扇形的弧长及面积公式的应用
【对点训练3】已知一扇形的中心角是120°，所在圆的半径是 10cm，求：
（1）扇形的弧长；
（4） 6
（3）
= −
2π
3
11π
9
19π
6
×
=
=
×
π
6
×
2π
；
3
×
180
π
180
π
180
π
180
【解析】（1）半径为6的圆 中，弦 的长为6，
所以三角形 为正三角形，
π
所以弦 所对圆心角 为 3 ，
（2）由弧长公式得： = =
扇形的面积
又 △ =
1
2
扇形
=
1
2
=
×6×6×
3
2
1
2
° =
= (
)° ≈ . °
新知2：扇形的弧长和面积公式：
例6.利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
(1) = ；(2) =
1
2 ；(3)
2
=
1
.
2
其中是圆的半径，(0 < < 2)为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积.
1
2
× 10 × 10
= 25 − 50 cm 2 ；
2 + = 6
=1
=2
（2）由已知得 1 = 2 ，解得
或
，
=
4
=
2
2
∴ = 4或 = 1
典型例题
题型二：扇形的弧长及面积公式的应用
【对点训练3】已知一扇形的中心角是120°，所在圆的半径是 10cm，求：
（1）扇形的弧长；
（4） 6
（3）
= −
2π
3
11π
9
19π
6
×
=
=
×
π
6
×
2π
；
3
×
180
π
180
π
180
π
180
数学人教A版(2019)必修第一册5.1.2弧度制 课件(共25张ppt)
180
180 8
故答案为： 3π . 8
今天学习了什么
1.弧度制的概念 2.弧度制化角度制 3.扇形面积
结论
比值只与 的大小有关
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧 度单位用符号rad表示，读作弧度.
我们把半径为1的圆叫作单位圆，如图，在单位圆O中，
︵
AB
的长等于1，
AOB
就是1弧度的角.
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是个负数.零角的弧 度数是0.
说明
（1）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）；
角度数=弧度数
180 π
注意
（1）度数与弧度数的换算除计算器外，还可借助《中学数学用表》进 行计算； （2）今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略； （3）应该熟练记忆一些特殊角的度数与弧度数的对应值.
例题来了
例1：按照下面要求，把 67 30 化成弧度： （1）精确值；（2）精确到0.001的近似值.
180
360
n°转化为弧度，得 n ，于是， S 1 R2 ，
180
2
将
l
R
代入上式，即得
S
1 2
lR
.
课堂巩固
C 1.扇形的圆心角为
3π 8
，半径为
4，则扇形的面积为(
)
A. π
B. 2π
C. 3π
D. 4π
解析：由扇形的面积公式可得 S
1 2
r 2
1 42 2
3π 8
3π
.故选：C.
D 2.将 210°化成弧度为( )
7.已知扇形的圆心角为 120° 120°，即 2π rad ,故扇形面积 S 1 2π 32 3π ，
人教A版高中数学必修四第一章：1.1.2弧度制课件
5
(2) 112º30′=112.5× 180 = 8 .
“角化弧”时, 将α乘以 ；
180
2024/11/3
例2. 把
8
5
化成角度。
解：1rad=
(180 )
8 8 (180) 55
288
“弧化角”时，将α乘以
180；0
2024/11/3
填定下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0 30
2024/11/3
复习回顾：正角：射线按逆时针方向旋
1.任意角
转形成的角 负角：射线按顺时针方向
的概念 旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
1)把角的顶点放在原点 2.象限角 2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角
2024/11/3 S={β|β=α+k·360°,k∈Z}
2024/11/3
证明:由公式 =得rl l=αR
而圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公
式分别是 l n R , S n R2
180
360
R nR 得： n 180 n
180
180
代入面积公式，得 S 1 R2 S 1 lR
2
2
2024/11/第5题做在书上
2024/11/3
P5练习1、2、3、4、5
角度制
在平面几何中研究角的度量，当 时是用度做单位来度量角，如下图：
1°的角
O
2024/11/3
在角度制下，当把两个带着度、分、秒 各单位的角相加、相减时，由于运算进制非 十进制，总给我们带来不少困难．那么我们 能否重新选择角单位，使在该单位制下两角 的加、减运算与常规的十进制加减法一样去 做呢？
(2) 112º30′=112.5× 180 = 8 .
“角化弧”时, 将α乘以 ；
180
2024/11/3
例2. 把
8
5
化成角度。
解：1rad=
(180 )
8 8 (180) 55
288
“弧化角”时，将α乘以
180；0
2024/11/3
填定下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0 30
2024/11/3
复习回顾：正角：射线按逆时针方向旋
1.任意角
转形成的角 负角：射线按顺时针方向
的概念 旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
1)把角的顶点放在原点 2.象限角 2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角
2024/11/3 S={β|β=α+k·360°,k∈Z}
2024/11/3
证明:由公式 =得rl l=αR
而圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公
式分别是 l n R , S n R2
180
360
R nR 得： n 180 n
180
180
代入面积公式，得 S 1 R2 S 1 lR
2
2
2024/11/第5题做在书上
2024/11/3
P5练习1、2、3、4、5
角度制
在平面几何中研究角的度量，当 时是用度做单位来度量角，如下图：
1°的角
O
2024/11/3
在角度制下，当把两个带着度、分、秒 各单位的角相加、相减时，由于运算进制非 十进制，总给我们带来不少困难．那么我们 能否重新选择角单位，使在该单位制下两角 的加、减运算与常规的十进制加减法一样去 做呢？
人教A版弧度制ppt
研一研·问题探究、课堂更高效
1.1.1
问题 1 正角、负角、零角是怎样规定的？
答 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋
本 课 转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们 时 栏 称它形成了一个零角． 目 开 问题 2 根据角的定义，图中角 α＝120° ；β＝ －240°； 关
的象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
角 α 的集合
{α|k· 360° <α<k· 360° ＋90° ，k∈Z}
{α|k· 360° ＋90° <α<k· 360° ＋180° ，k∈Z}
{α|k· 360° ＋180° <α<k· 360° ＋270° ，k∈Z} {α|k· 360° －90° <α<k· 360° ，k∈Z}
角的集合
{α|α＝k· 360° ，k∈Z}
{α|α＝k· 360° ＋180° ，k∈Z} {α|α＝k· 360° ＋90° ，k∈Z} {α|α＝k· 360° ＋270° ，k∈Z}
研一研·问题探究、课堂更高效
1.1.1
问题 2 下表是终边落在各个象限的角的集合，请补充完整.
α 终边所在
本 课 时 栏 目 开 关
A．510°
B．150°
C．－150°
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.1.1
－60 度． 3．经过 10 分钟，分针转了________
∉ S,300°∉ S，－1 020°∈ S.(用符号：∈或∉填空)．
本 课 问题 2 集合 S＝{α|α＝k· 360° －30° ， k∈Z}表示与角 －30° 终边 时 栏 相同的角，其中最小的正角是 330° . 目 开 关 问题 3 已知集合 S＝{α|α＝45° ＋k· 180° ，k∈Z}，则角 α 的终
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中的角是第（ ）象限的角
A. 一 B. 二 C. 三
D. 四
弧度制
4
数学史上的巨匠——欧拉
瑞士数学家欧拉的一生，是为数学发展
而奋斗的一生。他在数学上的建树很多。他双
目失明后仍以口述别人记录的方式工作了近17 年 。1783年76岁的欧拉与世长辞。他一生发表 过530多部（篇）著作和论文 。
在数学里有很多以欧拉命名的公式和定理。在我们的数学课 本上常见的：sin,cos（三角函数符号）,f(x)（函数符号），以及 高二要用到的∑（求和符号），i(即－1的平方根）等都是他创立 并推广的。
今天我们要学习的弧度制雏形起源于印度，然而严格的弧度 概念却是由欧拉于1748年引入的。
弧度制的精髓在于把角与弧长的度量统一起来，从而大大简 化了有关公式及运算，尤其是在高等数学中，其优点格外明显。
5
请回忆：什么是角度制？
我们已学习过角的度量，规定周角
的1 360
为1度的角，这种用度作为单位来
度量角的单位制叫做角度制。
1 rad, rad, 2π rad可分别写成： 7 1 , 2, 2π
弧度制
|
|
l
l
r
r
1、l是以角 作为圆心角时所对 长弧 ，r是 的半径；
2、正角的弧度数是 正一 数个 ，负角的弧度数
一个负数，零角的 数弧 是0； 度
3、圆心角 为周角时l ，2r，则 2r 2
r
4、圆心角 为半周角时 l ， r，则 r
15
例3.利用弧度制来推导扇形的公式：
(1)l R
(1)12SR2; (2)12SlR
16
练习1已知扇形的周长为8cm，圆心角为2 rad ,
求该扇形的面积。
解：设扇形的半径为 r, 弧长为 l，
则有 2r l 8
l
l 2r
解得 r 2
l
4
r r
故扇形的面积为
1 S rl 4 (cm2)
1下面四个命题中正确的是（B）
A.第一象限角必是锐角 B.锐角必是第一象限的角 C.终边相同的角必相等 D.第二象限的角必大于第一象限角
2、给出下列四个命题 ① －７５０ 是第四象限的角
② ２２５０ 是第三象限的角 ③ ４７５０ 是第二象限的角 ④ －３１５０ 是第一象限的角
其中正确的有（ D ）个
角 度
0
30 4 5 o 60 9 0 o 1201351 5 0 o 1 8 0 o 270 3 6 0 o
弧 度
0
6
43
2
2 3
3 4
5 6
3
2
2
14
例1. 按照下列要求，把67 °30化成弧度： （1）精确值； （2）精确到0.001的近似值。
例2. 将3.14 rad换算成角度（用度数表 示，精确到0.001).
180
1rad1805.7 305718
导出关系
20
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3、下列角中与 – 1200 终边相同的角是（ ）
A. 1200 B. 2400 C. 4200 D. 600 4、若α是第四象限的角，则 1800 – α 是
第（ ）象限的角 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
5、集合
A = {x| - 3600 ·k – 900 < x < 3600 ·k ,k∈Z}
2
17
2把下列各角从度化为弧度:
(1) 252°
解: 252°
252180rad
7 rad
5
(2) 11o15'
解: 11o125 rad
180
rad
16
18
3把下列各角从弧度化为度:
(1) 3
5
解：
3
5
rad
3 180o
5
108o
(2) 3.5
解： 3.5rad
3.5 1800
200.54o
19
五、小结：
弧度制
度量单位
弧度(10进制)
把长度等于半径长 单位规定 的弧所对的圆心角
叫做1弧度的角。
角度制
度(60进 制,1=60＇,1′=60)
周角的1/360叫做1度的 角。
弧长公式
lr
3602rad
换算关系 180rad
基本关系
n r
l 180
1 ra d0.017r4a5d
用“弧度”与“度”去度量每一个角时， 除了零角以外，所得到的量数都是不同的， 但它们既然是度量同一个角的结果，二者 就可以相互换算．
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，
其弧度数是 2，而在角度制里它是 ，
360
因此 360 2ra．d
11
所以我们有：
360o=2πrad 180o=πrad
1o = 180 rad≈0.01745rad
周角等于360o 平角等于180o 直角等于90o
6
弧度制定义
我们把长度等于半径长的圆弧所对的圆心 角叫做1弧度的角．记作1 rad r
用弧度作为角的单位 来度量角的单位制称为 弧度制
若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？ 若弧是一个整圆呢？
用弧度表示角的大小时，只要不引起误解， 可以省略单位，例如：
1 rad = 180 度≈57.30o
12
量角器是常用的度量角的工具
2 3
3
7 12
2
5 12
3
1050 90o 750
4
120o
600
4
5
135o
450
6 11
150o
6
30o
12 165o
15o
12
π 180o
0o
0
请说出量角器上角度数所对应角的弧度数
13
写出一些特殊角的弧度数或角度
r
8
1、角度制与弧度制：一一对应：
正角
正实数
零角
零
负角
负实数
l r 2、求弧长： 9
练习：
①若圆的半径为2，圆心角∠AOB（正角）所 对的圆弧长为4，那么 ∠AOB的弧度数就是
②若圆的半径为2，圆 心角∠AOB（正角） 所对的圆弧长为4π， 则 ∠AOB的弧度数就是
10
角度制与弧度制的换算