新高二数学导学案
高二数学导学案
高二数学导学案课题：2.2.2 向量的减法运算及其几何意义编写：审核：时间：一、学习目标：1、了解相反向量的概念；2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.二、问题导学1、向量加法的法则：。
向量加法的运算定律：。
2、用“相反向量”定义向量的减法（1）（2）规定：零向量的相反向量仍是.-(-A B任一向量与它的相反向量的和是.a + (-a) = 0如果a、b互为相反向量，则a = -b，b = -a，a + b = 0（3）向量减法的定义：.即：求两个向量差的运算叫做向量的减法.3、用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作。
求作差向量：已知向量a、b，求作向量∵(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a作法：注意：1︒表示a -b.强调：差向量“箭头”指向2︒用“相反向量”定义法作差向量，a -b = 。
三、问题探究1．探究：１）如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是。
２）若a ∥b ， 如何作出a - b ？2、例题：例1、（P ９７ 例三）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d .例2、平行四边形ABCD 中，=a ，=b ，用a 、b 表示向量、.变式一：当a ， b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？（|a | = |b |）变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？（a ， b 互相垂直）变式三：a +b 与a -b 可能是相当向量吗？（不可能，∵四、课堂练习1.在△ABC 中， =a ， =b ，则等于( )A.a +bB.-a +(-b )C.a -bD.b -a2.O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设=a ， =b ， =c ， =d ，则A.a +b +c +d =0B.a -b +c -d =0C.a +b -c -d =0D.a -b -c +d =0３.如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空：a +b = ，b +c = ，c -d = ，a +b +c -d = .４、如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、a -b A AB B B’ O a -b a a b b O A O B a -b a -b B A O -bb、c、d的方向（用箭头表示），使a+b=，c-d=DC，并画出b-c和a+d.参考答案：1、D2、D3、f,e,f,04、略五、自主小结。
高二数学选择性必修一导学案1.2空间向量基本定理
1.2空间向量的基本定理班级： 姓名：【学习目标】1.掌握空间向量基本定理.(数学抽象)2.了解空间向量正交分解的含义.(数学抽象)3.会用空间向量基本定理解决有关问题.(逻辑推理)引入平面内的任意一个向量p 都可以用两个不共线的向量a,b 来表示，对于空间任意一个向量，有没有类似的结论？阅读反馈1．空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝ 其中{a ，b ，c }叫做空间的一个 ，a ，b ，c 都叫做基向量．思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组{x ，y ，z }是否唯一？2．空间向量的正交分解及其坐标表示讨论展示例1：基底的判断(1)设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }，③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间一个基底的向量组有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．总结：基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a ＝λb ＋μ c ，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．变式1：若{a ，b ，c }是空间的一个基底，试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为空间的一个基底．例2：用基底表示向量如图所示,四棱锥P-OABC 的底面为一矩形,PO ⊥平面OABC ,设=a ,=b ,=c ,点E ,F 分别是PC ,PB 的中点,试用a ,b ,c 表示:.例3：空间向量的坐标表示 如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN →，BA 1→，A 1B →的坐标．BACM总结：用坐标表示空间向量的步骤变式2：已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别为棱BB 1，DC 的中点，如图所示建立空间直角坐标系．(1)写出各顶点的坐标；(2)写出向量EF →，B 1F →，A 1E →的坐标．应用空间向量基本定理证明线线位置关系例3在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别是DD1,BD 的中点,点G 在棱CD 上,且CG=31CD. (1)证明:EF ⊥B 1C;(2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值.精讲总结1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量．2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．3．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示.4.反思感悟用基底表示空间向量的解题策略①.空间中,任一向量都可以用一个基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的.②.用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.③.在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.5.应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等. 首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示. (1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0; (2)若证明线线平行,只需证明两向量共线;(3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).课堂检测1．O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( )A.OA →，OB →，OC →共线 B.OA →，OB →共线C.OB →，OC →共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面2.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,若点F 是侧面CC 1D 1D 的中心,且+m-n,则m ,n 的值分别为( ) A.21,21- B.21,21--C.21,21-D.21,213.下列说法正确的是( )A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等4.已知空间四边形OABC 中,a OA =,b OB =,c OC =,点M 在OA 上,且OM=2MA ,N 为BC 中点,则等于( )A.c b a 213221+-B.c b a 212132++-C.c b a 212121-+ D.c b a 213232-+5.在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,E 为PD 中点,若=a ,=b ,=c ,则= .。
高二数学导学案-等比数列
高二数学导学案 ——等比数列§§2.4等比数列（2）【自研课导学】预习课（预时40分钟）自读自研必修5课本第48到54页的所有内容，并在 31分钟内完成自研任务： 达成目标：1.灵活应用等比数列的定义及通项公式；2. 熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法. 重点：等比数列的性质难点：灵活应用等比数列的性质【展示课导学】 一、复习引入复习1：等比数列的通项公式n a = = 公比q 满足的条件是复习2：等差数列有何性质？二、预习检测1.已知各项均为正的等比数列｛n a ｝中，()16lg 1383=a a a ，则的值为_______2.已知｛n a ｝是等比数列，且n a >0,252645342=++a a a a a a ,那么53a a +的值等于____________3.在等比数列中，若162,262==a a ，则=10a __________二、新课导学探究任务：1.在等比数列{n a }中，2537a a a =是否成立呢？2.211(1)n n n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？3.2(0)n n k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？ 新知：等比数列的性质在等比数列中，若m +n =p +q ，则m n p k a a a a =. 特别地，若q p a a a q p m =+=2,2则试试：在等比数列{}n a ，已知19105,100a a a ==，那么18a = .三、知识应用知识应用一：等比数性质的应用例1（B ）在等比数列{n a }中，已知51274-=a a ，且38124a a +=，公比为整数，求10a .变式练习：1.在等比数列{n a }中，已知5127=a a ，则=111098a a a a .2. 一个直角三角形三边成等比数列，则（ ）.A. 三边之比为3：4：5B. 三边之比为1 3C.D.3. 在7和56之间插入a 、b ，使7、a 、b 、56成等比数列，若插入c 、d ，使7、c 、d 、56成等差数列，求a ＋b ＋c ＋d 的值..知识应用二：利用等比数列的巧妙设数例2.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。
人教新课标版数学高二高二数学新人教版选修2-1导学案 椭圆的简单几何性质(一)
椭圆的简单几何性质(一)导学案【学习要求】1．理解椭圆的简单几何性质.2．利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题.【学法指导】通过几何图形观察，代数方程验证的学习过程，体会数形结合的数学思想.通过几何性质的代数研究，养成辩证统一的世界观.【知识要点】1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程范围顶点轴长短轴长＝，长轴长＝焦点(±a2－b2，0)(0，±a2－b2)焦距|F1F2|＝2a2－b2对称性对称轴：对称中心：离心率e＝ca∈准线2．离心率的作用当椭圆的离心率越，则椭圆越扁；当椭圆离心率越，则椭圆越接近于圆.【问题探究】探究点一 椭圆的简单几何性质问题1 观察椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的形状，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？问题2 如何用椭圆的标准方程(代数方法)研究你观察到的几何性质？问题3 观察不同的椭圆，椭圆的扁平程度不一样，怎样刻画椭圆的扁平程度呢？问题4 （1）b a 或c b的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？ （2）你能运用三角函数的知识解释：为什么e ＝c a 越大，椭圆越扁？e ＝c a越小，椭圆越圆吗？问题5 比较下列各组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？（1）4x 2＋9y 2＝36与x 225＋y 220＝1； （2）9x 2＋4y 2＝36与x 212＋y 216＝1.例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 跟踪训练1 已知椭圆方程为4x 2＋9y 2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.探究点二 由椭圆的几何性质求方程例2 椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程. 跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）长轴在x 轴上，长轴的长等于12，离心率等于23； （2）长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(－2，－4).探究点三 求椭圆的离心率例3 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率.跟踪训练3 如图，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为 ( )A ．－1＋52B ．5－1C ．2＋12D ．2＋1【当堂检测】1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是 ( )A ．5、3、0.8B ．10、6、0.8C ．5、3、0.6D ．10、6、0.6 2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是 ( )A ．x 2144＋y 2128＝1 B ．x 236＋y 220＝1 C ．x 232＋y 236＝1 D ．x 236＋y 232＝1 3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ( )A ．45B ．35C ．25D ．154．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为______.【课堂小结】1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式要先化成标准形式，再确定焦点的位置，找准a 、b .2．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法.3．求离心率e 时，注意方程思想的运用.【拓展提高】1．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率e ＝32，则椭圆的方程是( )A ．x 24＋y 23＝1B ．x 216＋y 24＝1C ．x 216＋y 212＝1D ．x 216＋y 23＝1 2．椭圆1145222=++a y a x 的焦点在x 轴上，则它离心率的取值范围是 3．椭圆M ：2222x y a b+=1 (a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且12PF PF ⋅ 的最大值的取值范围是[2c 2，3c2]，其中c =则椭圆M 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,33 B．[C ．D ．11[,)32 4．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别为B A 、，右焦点是F ，过F 作直线与长轴垂直，与椭圆交于Q P 、两点（1）若060=∠PBF ，求椭圆的离心率（2）求证：APB ∠一定为钝角5．在平面直角坐标系内，已知点)0,2()0,2(-B A 、，P 是平面内一动点，直线PB PA 、的斜率之积为43- （1）求动点P 的轨迹C 的方程（2）过点)0,21(作直线l 与轨迹C 交于F E 、两点，线段EF 的中点为M ，求直线MA 的斜率k 的取值范围。
高二第一学期数学选择性必修二导学案(等差数列的前n项和公式第2课时)教师版
4.2.2 等差数列的前n项和公式（第二课时）【学习目标】（1）能熟练处理与等差数列的相关量之间的关系；（2）用函数的思想解决数列的最大（小）项、和的最大（小）值问题；（3）会利用等差数列的性质灵活解决与之相关的问题.【知识复习】1、等差数列的通项公式：a n=a1+(n−1)d2、等差数列前n项和的公式：S n=n(a1+a n)2S n=na1+n(n−1)2d【例题精讲】例1(课本例8)（实际应用）某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位. 问第1排应安排多少个座位.跟踪训练11、某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天道商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元。
你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？2、虎甲虫以爬行速度闻名，下表记录了一只虎甲虫连续爬行n s（n=1,2,…,100）时爬行的距离.（1）你能建立一个数列模型，近似地表示这只虎甲虫连续爬行的距离与时间之间的关系吗？（2）利用建立的模型计算，这只虎甲虫连续爬行1 min能爬多远（精确到0.01m）？它连续爬行10m 需要多长时间（精确到0.1s ）?例2（研究等差数列前n 项和公式的性质）探究：如果数列{a n }的前n 项和为S n =pn 2+qn +r ，其中p,q,r 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，则它的首项与公差分别是什么？证：当n≥2时，a n =S n -S n-1=pn 2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r=2pn-p+q 当n=1时，a 1=S 1=p+q+r当r ≠0时，a 1不满足a n =2pn-p+q ，此时数列不是等差数列. 当且仅当r =0时，a 1满足a n =2pn-p+q ，此时该数列是等差数列.故只有当r=0时该数列才是等差数列, 其中首项a 1=p+q, 公差d=2p(p≠0).跟踪训练2-1已知数列{a n }的n 项和为S n =14n 2+23n +3 ,求数列{a n }的通项公式.解：当n ≥2时，a n =S n −S n−1=14n 2+23n +3−[14(n −1)2+23(n −1)+3]=12n +512当n =1时，a 1=S 1=14+23+3=4712，不满足上式故数列{a n }的通项公式为a n ={4712,n =112n +512,n ≥2证明：∵S n =na 1+n (n−1)2d =d 2n 2+(a 1−d2)n∴S n n =d 2n +(a 1−d2) ∴S n n −S n−1n −1=d 2n +(a 1−d 2)−[d 2(n −1)+(a 1−d 2)]=d2故{Snn }是公差为d2的等差数列.跟踪训练2-2 已知S n是等差数列{a n}的前n项和.}是等差数列；（1）证明：{S nn}的前n项和，若S4=12,S8=40，求T n.（2）设T n为数列{S nn证明：∵S m=a1+a2+⋯+a m∴S2m−S m=a m+1+a m+2+⋯+a2m=(a1+a2+⋯+a m)+m2d S3m−S2m=a2m+1+a2m+2+⋯+a3m=(a m+1+a m+2+⋯+a2m)+m2d ∴(S2m−S m)−S m=(S3m−S2m)−(S2m−S m)=m2d∴S m,S2m−S m,S3m−S2m构成等差数列，公差为m2d.跟踪训练2-31.已知等差数列{a n}的n项和为S n,且S10＝310,S20＝1220，求S30.解：∵数列{a n}为等差数列，∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，即2×(1 220－310)＝310＋S30－1 220，∴S30＝2 730.证明：a mb n=2a m 2b n=a 1+a 2m−1b 1+b 2n−1=(2m−1)(a 1+a 2m−1)212m−1(2n−1)(b 1+b 2n−1)212n−1=(2n−1)S 2m−1(2m−1)T 2n−1跟踪训练2-41.已知{a n },{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ,T n ，且S n T n=2n+2n+3，则a 5b 5＝__53__.2、设等差数列{b n }的前n 项和为T n . 若a n b n=5n+2n+3，则 S5T5=__176__；证明： S 2n =2n (a 1+a 2n )2=n (a 1+a 2n )=n (a n +a n+1)，S 偶−S 奇=(a 2−a 1)+(a 4−a 3)+⋯+(a 2n −a 2n−1)=ndS 偶S 奇=n (a 2+a 2n )2n (a 1+a 2n−1)2=a 2+a 2n a 1+a 2n−1=2a n+12a n =a n+1a n.跟踪训练2-51.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d =______.解：由条件{S 奇+S 偶=354S 偶S 奇=3227) ，解得{S 偶=192S 奇=162)∴ 由S 偶−S 奇=6d 得 d =5证明：S 2n+1=(2n+1)(a 1+a 2n+1)2=(2n+1)2a n+12=(2n +1)a n+1S 奇−S 偶=a 1+(a 3−a 2)+(a 5−a 4)+⋯+(a 2n+1−a 2n )=a 1+nd =a n+1S 偶S 奇=n (a 2+a 2n )2(n +1)(a 1+a 2n+1)2=n (a 2+a 2n )(n +1)(a 1+a 2n+1)=n n +1.跟踪训练2-61、项数为奇数的等差数列{a n }，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．解：设等差数列{a n }共有(2n ＋1)项，则奇数项有(n ＋1)项，偶数项有n 项，中间项是第(n ＋1)项，即a n ＋1，∴S 奇S 偶＝12(a 1＋a 2n ＋1)(n ＋1)12(a 2＋a 2n )n ＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n ＝4433＝43，解得n ＝3.∵S 奇＝(n ＋1)a n ＋1＝44，∴a n ＋1＝11.∴这个数列的中间项为11，共有2n ＋1＝7(项)．例3（课本例9）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=10，公差d =−2，则S n 是否存在最大值？若存在，求S n 的最大值及取得最大值时n 的值；若不存在，请说明理由.【总结】求等差数列{a n }的前n 项和S n 的最值的方法 1.前n 项和公式法利用S n =An 2+Bn 进行配方，求二次函数的最值，此时n 应取最接近−B 2A的正整数值；2.通项公式法利用等差数列的增减性及a n 的符号变化(1)当a 1>0,d <0时，数列前面有若干项为正, 此时所有正项的和为S n 的最大值. 此时由a n ≥0且a n+1≤0求n 的值；(2)当a 1<0,d >0时，数列前面有若干项为负, 此时所有负项的和为S n 的最小值. 此时由a n ≤0 且a n+1≥ 0求n 的值；注意：当数列的项中有数值为0时，n应有两解.跟踪训练31、已知等差数列-4.2，-3.7，-3.2，…的前n项和为S n，S n是否存在最大（小）值？如果存在，求出取得最值时n的值.，前n项和为S n. 求S n取得最小值时n的值.2、已知数列{a n}的通项公式为a n=n−22n−15【课后作业】（1）《把关题》第6-7页；（2）《把关题》第8-9页.【板书设计】一、选择题1.已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为( ) A.11或12 B.12 C.13D.12或13答案 D 解析 ∵a n ＝26－2n ，∴a n －a n －1＝－2， ∴数列{a n }为等差数列.又a 1＝24，d ＝－2，∴S n ＝24n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋25n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋6254.∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 最大.2.若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和最大时，n 的值为( ) A.6 B.7 C.8D.9答案 B 解析 因为a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎨⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，所以⎩⎨⎧22－3k ≥0，22－3（k ＋1）≤0，即193≤k ≤223. 因为k ∈N *，所以k ＝7.故满足条件的n 的值为7.3.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问：几日相逢？( ) A.4日 B.3日 C.5日D.6日答案 A 解析 由题意，可知良马第n 日行程记为a n ，则数列{a n }是首项为97，公差为15的等差数列，驽马第n 日行程记为b n ，则数列{b n }是首项为92，公差为－1的等差数列，则a n ＝97＋15(n －1)＝15n ＋82，b n ＝92－(n －1)＝93－n .因为数列{a n }的前n 项和为n （97＋15n ＋82）2＝n （179＋15n ）2，数列{b n }的前n 项和为n （92＋93－n ）2＝n （185－n ）2，∴n （179＋15n ）2＋n （185－n ）2＝840，整理得14n 2＋364n －1 680＝0，即n 2＋26n －120＝0，解得n ＝4(n ＝－30舍去)，即4日相逢.4.若在数列{a n }中，a n ＝43－3n ，则当S n 取最大值时，n ＝( ) A.13 B.14 C.15D.14或15答案 B 解析 ∵数列{a n }中，a n ＝43－3n ，∴a 1＝40，∴S n ＝n （40＋43－3n ）2是关于n 的二次函数，函数图象是开口向下的抛物线上的一些横坐标为正整数的点，对称轴为n ＝836，又n 为正整数，与836最接近的一个正整数为14，故S n 取得最大值时，n ＝14.故选B.5.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ，则a 1＝( ) A.35 B.32 C.23D.38答案 A 解析 由题意可知，九个儿子的年龄成公差d ＝－3的等差数列，且九项之和为207.故S 9＝9a 1＋9×82d ＝9a 1－108＝207，解得a 1＝35. 二、填空题6.在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，则公差d 的取值范围是________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78解析由题意，当且仅当n ＝8时，S n 有最大值，可知⎩⎨⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎨⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78. 7.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，数列{a n }的前n 项和最大.答案 8解析 ∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0. ∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 8>0，a 9<0. 故前8项的和最大.8.已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝40，则a 3·a 8的最大值为________. 答案 16解析 ∵正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝10（a 3＋a 8）2＝40，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3>0，a 8>0，a 3＋a 8＝40×210＝8，∴a 3·a 8＝a 3(8－a 3)＝－a 23＋8a 3＝－(a 3－4)2＋16≤16.当且仅当a 3＝4时取等号. 三、解答题9.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0. (1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大？并说明理由. 解 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d .∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎨⎧12a 1＋66d ＞0，13a 1＋78d ＜0，即⎩⎨⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0，∴－247＜d ＜－3.即d 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－247，－3.(2)∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎨⎧a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＜0，∴⎩⎨⎧a 6＋a 7＞0，a 7＜0，∴a 6＞0，又由(1)知d ＜0. ∴数列前6项为正，从第7项起为负.∴数列前6项和最大.10.流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感.据统计，11月1日该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人.到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8 670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数.解 设第n 天新患者人数最多，则从第n ＋1天起该市医疗部门采取措施，于是，前n 天流感病毒感染者总人数构成一个首项为20，公差为50的等差数列的n 项和，S n ＝20n ＋n （n －1）2×50＝25n 2－5n (1≤n ≤30，n ∈N )，而后30－n 天的流感病毒感染者总人数，构成一个首项为20＋(n －1)×50－30＝50n －60，公差为－30，项数为30－n 的等差数列.其和T n ＝(30－n )·(50n －60)＋（30－n ）（29－n ）2×(－30)＝－65n 2＋2 445n －14 850.依题设构建方程有S n ＋T n ＝8 670，即25n 2－5n ＋(－65n 2＋2 445n －14 850)＝8 670.化简，得n 2－61n ＋588＝0，解得n ＝12或n ＝49(舍去)，第12天的新患者人数为20＋(12－1)×50＝570(人).故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，这一天的新患者人数为570人.11.《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈.头节高五寸①，头圈一尺三②，逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈.爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺； ③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺) 问：此民谣提出的问题的答案是( ) A.61.395尺 B.61.905尺 C.72.705尺D.73.995尺答案 A 解析 设从地面往上，每节竹长为a 1，a 2，a 3，…，a 30，∵每节竹节间的长相差0.03尺，∴{a n }是以a 1＝0.5为首项，以d ′＝0.03为公差的等差数列.由题意知竹节上一圈比下一圈细0.013尺，设从地面往上，每圈周长为b 1，b 2，b 3，…，b 30，可得{b n }是以b 1＝1.3为首项，d ＝－0.013为公差的等差数列.∴一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程S 30＝(a 1＋a 2＋…＋a 30)＋(b 1＋b 2＋…＋b 30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫30×0.5＋30×292×0.03＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤30×1.3＋30×292×（－0.013）＝61.395，故选A. 12.已知{a n }是等差数列，首项为a 1，其公差d <0，前n 项和为S n ，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和为T n .(1)若a 1＝－4d ，则当n ＝________时，T n 有最大值；(2)若当且仅当n ＝6时，T n 有最大值，则a 1d 的取值范围是________.答案 8或9 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－52解析 易知S n n ＝d 2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2， 若a 1＝－4d ，则S n n ＝d 2n －92d ，由⎩⎪⎨⎪⎧S n n ≥0，S n ＋1n ＋1≤0，解得8≤n ≤9. 即n ＝8或9时，T n 有最大值；若当且仅当n ＝6时，T n 有最大值，则⎩⎪⎨⎪⎧S 66＝a 1＋52d >0，S 77＝a 1＋3d <0，d <0，解得－3<a 1d <－52. 13.某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50 m ，最远一根电线杆距离电站1 550 m ，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工.若该汽车往返运输总行程为17 500 m ，共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？解 由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列，记为{a n }， 则a n ＝1 550×2＝3 100，d ＝50×3×2＝300，S n ＝17 500.由等差数列的通项公式及前n 项和公式，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（n －1）×300＝3 100， ①na 1＋n （n －1）2×300＝17 500. ② 由①得a 1＝3 400－300n .代入②得n (3 400－300n )＋150n (n －1)－17 500＝0，整理得3n 2－65n ＋350＝0，解得n ＝10或n ＝353(舍去)，所以a 1＝3 400－300×10＝400.故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10＝30(根)，最近的一趟往返行程400 m ，第一根电线杆距离电站12×400－100＝100(m).所以共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100 m.14.(多选题)首项为正数，公差不为0的等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，现有下列四个命题，其中正确的命题有( )A.若S 10＝0，则S 2＋S 8＝0B.若S 4＝S 12，则使S n >0的n 的最大值为15C.若S 15>0，S 16<0，则{S n }中S 8最大D.若S 7<S 8，则S 8<S 9答案 BC 解析 对于A ，若S 10＝0，则S 10＝（a 1＋a 10）·102＝0， 则a 1＋a 10＝0，即2a 1＋9d ＝0，则S 2＋S 8＝(2a 1＋d )＋(8a 1＋28d )＝10a 1＋29d ≠0，A 不正确；对于B ，若S 4＝S 12，则S 12－S 4＝0，即a 5＋a 6＋…＋a 11＋a 12＝4(a 8＋a 9)＝0，由于a 1>0，则a 8>0，a 9<0，则有S 15＝15（a 1＋a 15）2＝15a 8>0，S 16＝16（a 1＋a 16）2＝16（a 8＋a 9）2＝0，故使S n >0的n 的最大值为15，B 正确； 对于C ，若S 15>0，S 16<0，则S 15＝15（a 1＋a 15）2＝15a 8>0， S 16＝16（a 1＋a 16）2＝8(a 8＋a 9)<0，则有a 8>0，a 9<0，故{S n }中S 8最大，故C 正确；对于D ，若S 7<S 8，即a 8＝S 8－S 7>0，而S 9－S 8＝a 9，不能确定其符号，D 错误.。
高中数学导学教案模板
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一、教学目标
1. 知识目标：学生能够掌握本节课所涉及的数学知识点。
2. 能力目标：通过练习和讨论，提高学生解决问题的能力。
3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的热情。
二、教学重点和难点
1. 重点：本节课的重点是概念的讲解和相关例题的讲解。
2. 难点：难点在于一些抽象概念的理解和应用。
三、教学内容
本节课主要讲解【填写具体内容，如一次函数的性质】。
四、教学过程
1. 导入：通过简单的问题或案例引入本节课的主题。
2. 讲解：对本节课的重点知识点进行讲解，注意引导学生理解概念和方法。
3. 练习：组织学生进行相关练习，巩固所学知识。
4. 讨论：带领学生分组进行讨论或展示，促进学生之间的交流和学习。
5. 总结：对本节课的重点进行总结，梳理所学内容。
五、教学评价
本节课主要通过学生练习和讨论的表现来进行评价，关注学生对知识的理解和运用能力。
六、教学反馈
对学生在本节课中的表现进行适时的反馈，鼓励他们在数学学习中不断进步。
同时，也可以对教学过程进行总结和反思，为下一堂课的教学做好准备。
以上是本节课的教学设计模板，希望能够为您的教学工作提供一些帮助。
祝您教学顺利！。
高二数学 双曲线的标准方程导学案导学案 文
高二数学双曲线的标准方程导学案导学案文1、理解双曲线标准方程的推导过程，掌握双曲线的定义及标准方程[重点难点]重点：双曲线的定义及双曲线的标准方程难点：用坐标法推导椭圆的标准方程[学习过程]一、预习导航1、双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的______等于常数（）的点的轨迹（或集合）叫做双曲线，这两个定点叫做______叫做______2、（1）当时，动点P的轨迹是_____________________________、（2）当时，动点P的轨迹是_____________________________、（3）当时，动点P的轨迹是_____________________________、（4）的关系是_____________________________、3、双曲线的标准方程（1）焦点在x轴上的双曲线的标准方程_______________________（2）焦点在y轴上的双曲线的标准方程_______________________二、牛刀小试1、平面内到两定点（-2，0）（2，0）的距离之差的绝对值是2 的点M的轨迹方程是( )A、B、C、D、2、平面内两定点的距离为10，则到这两个定点的距离之差的绝对值为12的点的轨迹为( )A、双曲线B、线段C、射线D、以上都不对3、双曲线焦点坐标是___________三、展示自我1、（1）已知双曲线两焦点的坐标为（-5，0）（5，0），双曲线上一点P到的距离差的绝对值为6，求双曲线的方程。
（2）已知（-4，0）（4，0），曲线上一动点P到的距离差为6，求曲线的方程。
2、点P在双曲线上，为该双曲线的两个焦点，若，求3、根据下列条件求双曲线的标准方程（1） a=3，b=4，焦点在x轴上（2） a=5，c=8（3）焦点在x轴上，经过点P（4，-2）和点Q（）（4）两焦点坐标分别为（0，-6），（0，6），且过点（-5，8）4、双曲线的焦距为6，求m的值四、小组讨论、合作学习已知定点A(3,0)和定圆C：，动圆P 和动圆C相外切，并且经过点A,求动圆圆心P的轨迹方程。
022直线的一般式方程
022 直线的一般式方程一、学习目标1．掌握直线的一般式方程，理解关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)都表示直线.2．理解并掌握含参数的直线的一般式方程，会进行直线方程的五种形式之间的转化．二、学习重难点重点：掌握直线的一般式方程难点：会进行直线方程的五种形式之间的转化三、学法指导及要求1. 认真研读课本16-18页，认真思考独立规范做答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，并做好记号；2. 把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆，区分各种方程形式的适用条件与互相转化。
四、学习过程1、复习回顾（引入）：（1）直线的点斜式方程为 ；（2）直线的斜截式方程为 ；（3）直线的两点式方程为 ；（4）直线的截距式式方程为 ；2、探究新知：问题1 平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于y x ,的二元一次方程表示吗?任意一条直线l ,在其上任取一点00(,)P x y ,当直线l 的斜率为k 时(此时直线的倾斜角090,其方程为 这是关于y x ,的二元一次方程.当直线l 的斜率不存在,即直线l 的倾斜角090时,直线的方程为上述方程可以认为是关于y x ,的二元一次方程,因为此时方程中y 的系数为0.结论：方程00()y y k x x 和00x x 都是二元一次方程,因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于y x ,的二元一次方程表示.问题2 任意一个关于y x ,的二元一次方程都表示一条直线吗?对于任意一个二元一次方程0Ax By C （A,B 不同时为0）如果能把它化为直线方程的某种形式,那么我们就可以断定它表示一条直线.1°当0B 时,方程0Ax By C 可变形为它表示过点(0,)C B,斜率为 的直线. 2°当B=0时,0A ,方程0Ax By C 可变形为它表示过点(,0)C A,且垂直于x 轴的直线. 结论：由上可知,关于,x y 的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,x y 的二元一次方程 (其中A,B 不同时为0)叫做直线的 方程,简称 (generalform).问题3 在方程0Ax By C 中,A,B,C 为何值时,方程表示的直线:(1)平行于x 轴 ;(2)平行于y 轴 ;(3)与x 轴重合 ;(4)与y 轴重合 .（5）与两条坐标轴都相交 ;3、典型例题:例1 （1）已知直线经过点A （6，-4），斜率为43，求直线的点斜式和一般式方程. （2）把直线l 的一般式方程260x y 化为斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.例2 设m 为实数，若直线l 的一般式方程为260x my m ，根据下列条件分别确定m 的值。
排列与组合习题课(1)导学案 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
排列与组合习题课（1）【学习目标】1. 通过结合具体实例，能区别排列与组合，并能利用排列组合知识解决有关排列组合的简单实际问题；2. 能够分析事件如何完成，并从不同角度解决同一个问题；3. 能正确理解“至多”、“至少”、“恰有几个”等关键词，合理利用直接法和排除法解决实际问题.【知识梳理】1、排列与组合的概念 名称定 义 排列从n 个不同元素中取出()m m n ≤个不同元素 组合2、排列数与组合数（1）从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有 的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数.（2）从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有 的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.3、排列数、组合数的公式及性质 公式 （1）A m n =；（2）C m n =()!!!n m n m =-（*,n m ∈N ，且m n ≤）.特别地0C n =. 性质（1）0!= ；A n n = ；（2）C C m n m n n -=；11C C C m m m n n n -+=+.【学习任务】例1 （1）有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同的方法种数是多少？（结果用数值表示）（2）要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同的方法种数是多少？（结果用数值表示）例2 用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数?【变式1】用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个三位数?【变式2】用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位的偶数?【变式3】由0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正奇数?【变式4】用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有_______个.(用数字作答)【变式5】用1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有多少个？例3 现有4个不同的球，和4个不同的盒子，把球全部放入盒内．（1）小球全部放入盒子中有多少种不同的放法？（2）若每个盒子都不空，有多少种不同的放法？（3）恰有一个盒子没放球，有多少种不同的放法？（4）恰有两个盒子没放球，有多少种不同的放法？（5）若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种不同的放法？【小结】1. 如何区分排列问题和组合问题？2. 如何应用计数原理解决实际问题？3. 本节课你获得了哪些解决排列组合问题的方法？4. “至多”、“至少”、“恰有几个”等关键词如何转化？。
高考数学导学案-第2课时-函数的最大(小)值--高二下数学人教A版(2019)选必二第五章
高考数学导学案第2课时函数的最大(小)值课程标准：1.理解最值的概念，了解函数的最值与极值的区别和联系.2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．教学重点：在闭区间上求函数的最值．教学难点：与函数最值有关的参数问题.1．对函数最值的两点说明(1)给定的区间必须是闭区间，y＝f(x)的图象在开区间上虽然连续不断，但不能保证有最大值或最小值．例如：函数f(x)＝1x，x∈(0,2)，y＝f(x)的图象在(0,2)上连续不断，但y＝f(x)没有最大值和最小值．(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证y＝f(x)有最大值和最小值．2．函数极值与最值的内在联系(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．(关键词：局部概念)(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个．(关键词：整个定义区间)(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．(关键词：极值与最值的区别)1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值．()(2)开区间上的单调连续函数无最值．()(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．()2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)设函数f (x )＝e 2x ＋3x (x ∈R )，则f (x )________(填“有”或“无”)最值．(2)已知函数y ＝x 3－x 2－x ，该函数在区间[0,3]上的最大值是________.(3)已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋m (x ∈[－2,2])，f (x )的最小值为1，则m ＝________.题型一求已知函数的最值例1(1)求函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值；(2)求函数f (x )＝12x ＋sin x 在区间[0,2π]上的最大值与最小值．[跟踪训练1](1)求函数f (x )＝－x 3＋3x 2－6x ＋5在[－1，1]上的最值；(2)求函数f (x )＝e x(3－x 2)在区间[2,5]上的最值．题型二由函数的最值确定参数的值例2已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．[跟踪训练2]设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b 在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－62，求函数的解析式．题型三利用函数最值证明不等式例3已知函数f (x )＝e x －ln (x ＋m )．证明：当m ≤2时，f (x )>0.[跟踪训练3]设f (x )＝x －1x－2ln x ．证明：当x ≥1时，f (x )≥0恒成立．题型四利用函数最值解决不等式恒成立问题例4已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 3＋ax 2－x ＋2.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，2f (x )≤g ′(x )＋2恒成立，求实数a 的取值范围．[跟踪训练4]已知函数f(x)＝x ln x(x>0)．(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥－x2＋mx－32恒成立，求实数m的最大值．题型五与函数图象有关的综合问题例5已知函数f(x)＝xe x，x∈R.(1)写出函数的定义域，判断函数的单调性，并求出极值；(2)作出函数的大致图象；(3)求出方程f(x)＝a(a∈R)解的个数．[跟踪训练5]若函数f(x)＝ln xx2，x∈1e，＋∞(1)写出函数的定义域，判断函数的单调性，并求出极值；(2)作出函数的大致图象；(3)求出方程f(x)＝a(a∈R)解的个数．题型六导数在解决实际问题中的应用例6如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于距河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？[跟踪训练6]用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？1．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上() A．单调递增B．单调递减C．有最大值D．有最小值2．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产()A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台3．(多选)已知ln x1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－4－2ln2＝0，记M＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2，则以下正确的为()A．M的最小值为25B．当M最小时，x2＝125C．M的最小值为45D．当M最小时，x2＝654．函数f(x)＝4xx2＋1，x∈[－2,2]的最大值是________，最小值是________.5．已知函数f(x)＝ln x－x＋1，x∈(0，＋∞)，求函数f(x)的最大值．A级：“四基”巩固训练一、选择题1．函数f(x)＝x3－12x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是() A．1，－1B．1，－17C．17,1D．9，－192．g(x 12x－log2(x＋1)在区间[0,1]上的最小值为()A．12B．－12C．1D．－13．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)<g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为()A．f(a)－g(a)B．f(b)－g(b)C．f(a)－g(b)D．f(b)－g(a)4．函数y＝x＋2cos x在0，π2上取最大值时，x的值为()A．0B．π6C．π3D．π25．(多选)已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，下列关于函数f(x)的结论正确的是()x－1045f(x)1221 A．函数f(x)的极大值点有2个B．函数f(x)在[0,2]上是减函数C．若x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，则t的最大值为4D．当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点二、填空题6．函数y＝x e－x，x∈[0,4]的最大值为________.7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元，那么当仓库建在离车站________km处时，费用之和最小，费用之和的最小值为________万元．8．若a为实数，对任意k∈[－1,1]，当x∈(0,4]时，不等式6ln x＋x2－9x＋a≤kx恒成立，则实数a的最大值是________.三、解答题9．已知函数f(x)＝e x－e x－e 2 .(1)求f(x)的最小值；(2)求证：e x－ln x>2310.(参考数据：e≈1.65)10．如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设∠EPA＝α(1)为减少对周边区域的影响，试确定E，F的位置，使△PAE与△PFB的面积之和最小；(2)为节省建设成本，求使PE＋PF的值最小时AE和BF的值．B级：“四能”提升训练1．已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．2．已知函数f(x)＝ln x＋ax的图象在点(t，f(t))处的切线方程为y＝3x－1.(1)求a的值；(2)已知k≤2，当x>1时，f(x)>x－1恒成立，求实数k的取值范围；(3)对于在(0,1)中的任意一个常数b，是否存在正数x，使得e f(x0＋1)－3x0－2＋b 2x2<1，请说明理由．第2课时函数的最大(小)值(教师独具内容)课程标准：1.理解最值的概念，了解函数的最值与极值的区别和联系.2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．教学重点：在闭区间上求函数的最值．教学难点：与函数最值有关的参数问题.1．对函数最值的两点说明(1)给定的区间必须是闭区间，y＝f(x)的图象在开区间上虽然连续不断，但不能保证有最大值或最小值．例如：函数f(x)＝1x，x∈(0,2)，y＝f(x)的图象在(0,2)上连续不断，但y＝f(x)没有最大值和最小值．(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证y＝f(x)有最大值和最小值．例如：函数f(x x|－1≤x≤1，x≠0，x＝0，作图可知f(x)无最小值．2．函数极值与最值的内在联系(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．(关键词：局部概念)(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个．(关键词：整个定义区间)(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．(关键词：极值与最值的区别)1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值．()(2)开区间上的单调连续函数无最值．()(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．()答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)设函数f (x )＝e 2x ＋3x (x ∈R )，则f (x )________(填“有”或“无”)最值．(2)已知函数y ＝x 3－x 2－x ，该函数在区间[0,3]上的最大值是________.(3)已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋m (x ∈[－2,2])，f (x )的最小值为1，则m ＝________.答案(1)无(2)15(3)1题型一求已知函数的最值例1(1)求函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值；(2)求函数f (x )＝12x ＋sin x 在区间[0,2π]上的最大值与最小值．[解](1)因为f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，所以f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，得x1＝－23，x2＝1.因为＝15727，f(1)＝72，又f(－2)＝－1，f(2)＝7，所以函数f(x)在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1.(2)f′(x)＝12＋cos x，令f′(x)＝0，解得x＝2π3或x＝4π3.因为f(0)＝0，＝π3＋32，＝2π3－32，f(2π)＝π，所以函数f(x)在[0,2π]上的最大值是π，最小值是0.求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数为零的点，无需判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值．[跟踪训练1](1)求函数f(x)＝－x3＋3x2－6x＋5在[－1，1]上的最值；(2)求函数f(x)＝e x(3－x2)在区间[2,5]上的最值．解(1)∵f′(x)＝－3x2＋6x－6＝－3(x2－2x＋2)＝－3(x－1)2－3，∴f′(x)在[－1,1]内恒小于0.∴f(x)在[－1,1]上为减函数，∴当x＝－1时，取得最大值为f(－1)＝15；当x＝1时，取得最小值为f(1)＝1.即f(x)在[－1,1]上的最小值为1，最大值为15.(2)∵f′(x)＝3e x－e x x2－2e x x，∴f′(x)＝－e x(x2＋2x－3)＝－e x(x＋3)(x－1)，∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－e x(x＋3)(x－1)<0，∴函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，∴当x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；当x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.题型二由函数的最值确定参数的值例2已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．[解]由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)当a>0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0,2)2 f′(x)＋0－f(x)－7a＋b↗b↘－16a＋b 由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝3，即b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝－29，即b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而求出参数的值，这也是方程思想的应用．[跟踪训练2]设23<a<1，函数f(x)＝x3－32ax2＋b在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－62，求函数的解析式．解f′(x)＝3x2－3ax，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0，a)a(a,1)1 f′(x)＋0－0＋f(x)－1－32a＋b↗b↘－a32＋b1－32a＋b从上表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，而f(0)>f(a)，f(1)>f(－1)，故需比较f(0)与f(1)的大小及f(－1)与f(a)的大小．因为f(0)－f(1)＝32a－1>0，所以f(x)的最大值为f(0)＝b，所以b＝1.又f(－1)－f(a)＝12(a＋1)2(a－2)<0，所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－32a＋b＝－32a，所以－32a＝－62，所以a＝6 3 .故所求函数的解析式是f(x)＝x3－62x2＋1.题型三利用函数最值证明不等式例3已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)．证明：当m≤2时，f(x)>0. [证明]当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)>0.当m＝2时，函数f′(x)＝e x－1x＋2在(－2，＋∞)上单调递增．又f′(－1)<0，f′(0)>0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x，且x∈(－1,0)．当x∈(－2，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x，＋∞)时，f′(x)>0，从而当x＝x时，f(x)取得最小值．由f′(x0)＝0得e x0＝1x＋2，ln(x＋2)＝－x，故f(x)≥f(x0)＝1x＋2＋x＝x＋12x＋2>0.综上，当m≤2时，f(x)>0.本题的证明遵循了一般解法，但要注意到两个函数分别是对数函数和指数函数，因此需要进行分离．事实上，还可以利用搭桥的方式，通过传递进行证明．应选择一个一次式或多项式，使之能够在指数和对数之间起到桥梁作用，而且不增加计算量，此时经验的作用凸显，因为e x≥1＋x，所以找到使1＋x≥ln(m＋x)成立的m是解决本题的关键．[跟踪训练3]设f(x)＝x－1x－2ln x．证明：当x≥1时，f(x)≥0恒成立．证明f(x)＝x－1x－2ln x的定义域为(0，＋∞)．∴f′(x)＝1＋1x2－2x＝x2－2x＋1x2＝x－12x2≥0，∴f(x)在[1，＋∞)上是单调增函数，∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)．∴f(x)≥f(1)＝1－1－2ln1＝0对于x∈[1，＋∞)恒成立.题型四利用函数最值解决不等式恒成立问题例4已知f(x)＝x ln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．[解](1)函数f(x)＝x ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1.令f′(x)<0，得ln x＋1<0，解得0<x<1e ，∴f(x令f′(x)>0，得ln x＋1>0，解得x>1e ，∴f(x(2)g′(x)＝3x2＋2ax－1，由题意得2x ln x≤3x2＋2ax＋1恒成立．∵x>0，∴a≥ln x－32x－12x在x∈(0，＋∞)上恒成立．设h(x)＝ln x－32x－12x(x>0)，则h′(x)＝1x－32＋12x2＝－x－13x＋12x2.令h′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－13(舍去)．当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞) h′(x)＋0－h(x)↗极大值↘∴当x＝1时，h(x)取得最大值，且h(x)max＝h(1)＝－2，∴若a≥h(x)在x∈(0，＋∞)上恒成立，则a≥h(x)max＝－2，即a≥－2，故实数a的取值范围是[－2，＋∞)．(1)涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决．若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论．(2)不等式恒成立、能成立常见的转化策略①a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max ，a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；②f(x)＞g(x)＋k恒成立⇔k＜[f(x)－g(x)]min；③f(x)＞g(x)恒成立⇔[f(x)－g(x)]min＞0；④a＞f(x)能成立⇔a＞f(x)min ，a＜f(x)能成立⇔a＜f(x)max.[跟踪训练4]已知函数f(x)＝x ln x(x>0)．(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥－x2＋mx－32恒成立，求实数m的最大值．解(1)由f(x)＝x ln x(x>0)，得f′(x)＝1＋ln x，令f′(x)>0，得x>1e ；令f′(x)<0，得0<x<1 e .∴f(x故f(x)在x＝1e处有极小值＝－1e，无极大值．(2)由f(x)≥－x2＋mx－32及f(x)＝x ln x，得m≤2x ln x＋x2＋3x恒成立，问题转化为m.令g(x)＝2x ln x＋x2＋3x(x>0)，则g′(x)＝2x＋x2－3x2，由g′(x)>0⇒x>1，由g′(x)<0⇒0<x<1.所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝4，因此m≤4，所以实数m的最大值是4.题型五与函数图象有关的综合问题例5已知函数f(x)＝xe x，x∈R.(1)写出函数的定义域，判断函数的单调性，并求出极值；(2)作出函数的大致图象；(3)求出方程f(x)＝a(a∈R)解的个数．[解](1)已知函数的定义域为R，f′(x)＝1－x e x，令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，所以f(x)的极大值为f(1)＝1e ，所以函数的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞)，极大值为1e，无极小值．(2)显然，当x→－∞时，f(x)＝xe x→－∞，又x>0时，f(x)>0，且x→＋∞时，f(x)＝xe x→0，所以作出f(x)＝xe x的图象如下．(3)由函数f(x)的图象得，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝1e，故方程f(x)＝a(a∈R)解的个数为当a≤0或a＝1e时，方程有一解；当a>1e时，方程无解；当0<a<1e时，方程有两解．画函数f(x)大致图象的步骤如下：(1)求出函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)及函数f′(x)的零点；(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值；(4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；(5)画出f(x)的大致图象．[跟踪训练5]若函数f(x)＝ln xx2，x∈1e，＋∞(1)写出函数的定义域，判断函数的单调性，并求出极值；(2)作出函数的大致图象；(3)求出方程f(x)＝a(a∈R)解的个数．解(1)已知函数的定义域为1e，＋∞f′(x)＝1x·x2－ln x·2xx4＝1－2ln xx3，令f′(x)＝0，得x＝e，当x∈(0，e)时，f′(x)>0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，所以f(x)＝ln xx2的极大值为f(e)＝ln ee2＝12e，所以函数的单调递增区间为1e，，单调递减区间为(e，＋∞)，极大值为12e，无极小值．(2)f(1)＝0，当x→＋∞时，f(x)＝ln xx2→0，＝ln1e＝－e2，所以作出f(x)＝ln xx2的图象如下．(3)由函数f(x)的图象得，当x＝e时，f(x)有最大值12e.故方程f(x)＝a(a ∈R)解的个数为当a<－e2或a>12e时，方程无解；当－e 2≤a ≤0或a ＝12e时，方程有一解；当0<a <12e时，方程有两解.题型六导数在解决实际问题中的应用例6如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于距河岸40km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？[解]设C 点距D 点x km，则BD ＝40，AC ＝50－x ，∴BC ＝CD 2＋BD 2＝x 2＋402.又设总的水管费用为y 元，依题意，得y ＝3a (50－x )＋5a x 2＋402(0<x <50)．则y ′＝－3a ＋5axx 2＋402，令y ′＝0，解得x 1＝30，x 2＝－30(舍去)．在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x ＝30km 处取得最小值，此时AC ＝50－x ＝20(km)．故供水站建在A ，D 之间距甲厂20km 处时，可使水管费用最省．(1)根据题设建立数学模型，借助图象寻找各条件间的联系，适当选定变量，构造相应的函数关系，通过求导或其他方法求出最值．(2)在实际问题中，若函数在某区间内只有一个极值点，则只要根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．[跟踪训练6]用长为90cm，宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解设容器的高为x cm，容器的容积为V(x)cm3，则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x(0<x<24)，V′(x)＝12x2－552x＋4320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)(0<x<24)．令V′(x)＝0，解得x1＝10，x2＝36(舍去)．当0<x<10时，V′(x)>0，V(x)是增函数；当10<x<24时，V′(x)<0，V(x)是减函数．因此，在定义域(0,24)内，只有当x＝10时函数V(x)取得最大值，其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19600.故当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积是19600cm3.1．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上()A．单调递增B．单调递减C．有最大值D．有最小值答案A解析因为f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．2．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产()A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台答案A解析设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x>0)，∴y′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6)．令y ′＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝6，经检验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．3．(多选)已知ln x 1－x 1－y 1＋2＝0，x 2＋2y 2－4－2ln 2＝0，记M ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，则以下正确的为()A．M 的最小值为25B．当M 最小时，x 2＝125C．M 的最小值为45D．当M 最小时，x 2＝65答案BC解析由ln x 1－x 1－y 1＋2＝0，得y 1＝ln x 1－x 1＋2，故(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值可转化为函数y ＝ln x －x ＋2图象上的点到直线x ＋2y －4－2ln 2＝0上的点的距离的最小值的平方．由y ＝ln x －x ＋2，得y ′＝1x －1，与直线x ＋2y－4－2ln 2＝0平行的直线的斜率为－12，则令1x －1＝－12，解得x ＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)，∴点(2，ln 2)到直线x ＋2y －4－2ln 2＝0的距离d ＝|2＋2ln 2－4－2ln 2|1＋4＝255，即函数y ＝ln x －x ＋2图象上的点到直线x ＋2y －4－2ln 2＝0上的点的距离的最小值为255，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为d 2＝45.过点(2，ln 2)与x ＋2y －4－2ln 2＝0垂直的直线为y －ln 2＝2(x －2)，即2x －y －4＋ln 2＝0，＋2y －4－2ln 2＝0，x －y －4＋ln 2＝0，解得x ＝125，即当M 最小时，x 2＝125.故选BC．4．函数f (x )＝4xx 2＋1，x ∈[－2,2]的最大值是________，最小值是________.答案2－2解析∵y ′＝4x 2＋1－2x ·4x x 2＋12＝－4x 2＋4x 2＋12，令y ′＝0可得x ＝1或x ＝－1.又∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(2)＝85，f(－2)＝－85，∴最大值为2，最小值为－2.5．已知函数f(x)＝ln x－x＋1，x∈(0，＋∞)，求函数f(x)的最大值．解f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－1.令f′(x)＝0，解得x＝1.当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)在(0,1)上是增函数；当x>1时，f′(x)<0，f(x)在(1，＋∞)上是减函数，故函数f(x)在x＝1处取得最大值f(1)＝0.A级：“四基”巩固训练一、选择题1．函数f(x)＝x3－12x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是() A．1，－1B．1，－17C．17,1D．9，－19答案C解析令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，f(－2)＝17，f(－3)＝10，f(0)＝1，所以最大值为17，最小值为1.故选C．2．g(x－log2(x＋1)在区间[0,1]上的最小值为()A．12B．－12C．1D．－1答案B解析因为g(x－log2(x＋1)是减函数，所以g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(1)＝－12.故选B．3．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)<g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为()A．f(a)－g(a)B．f(b)－g(b)C．f(a)－g(b)D．f(b)－g(a)答案A解析令h(x)＝f(x)－g(x)，x∈[a，b]，则h′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，∴h(x)是[a，b]上的减函数．∴h(x)max ＝[f(x)－g(x)]max＝f(a)－g(a)．故选A．4．函数y＝x＋2cos x在0，π2上取最大值时，x的值为()A．0B．π6C．π3D．π2答案B解析f′(x)＝1－2sin x，令f′(x)＝0，得x＝π6，当x∈0，f′(x)>0，f(x)为单调递增函数，当x ，π2时，f′(x)<0，f(x)为单调递减函数，所以f f(x)在0，π2上的极大值，也是最大值．故f(x)在区间0，π2上取最大值时，x的值为π6.5．(多选)已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，下列关于函数f(x)的结论正确的是()x－1045f(x)1221 A．函数f(x)的极大值点有2个B．函数f(x)在[0,2]上是减函数C．若x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，则t 的最大值为4D．当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点答案AB解析由f ′(x )的图象可知，当－1≤x <0或2<x <4时，f ′(x )>0，函数f (x )为增函数，当0<x <2或4<x ≤5时，f ′(x )<0，函数f (x )为减函数，即当x ＝0时，函数f (x )取得极大值，当x ＝4时，函数f (x )取得极大值，即函数f (x )有两个极大值点，故A 正确；函数f (x )在[0,2]上是减函数，故B 正确；作出f (x )的图象如图1，若x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，则t 满足0≤t ≤5，即t 的最大值是5，故C 错误；由y ＝f (x )－a ＝0得f (x )＝a ，若f (2)≤1，当1<a <2时，f (x )＝a 有四个根，如图2.若1<f (2)<2，当1<a <2时，f (x )＝a 不一定有四个根，有可能是两个或三个，如图3，故函数y ＝f (x )－a 不一定有4个零点，故D 错误．故选AB．二、填空题6．函数y ＝x e －x ，x ∈[0,4]的最大值为________.答案1e解析令y ＝f (x )＝x e －x ，则f ′(x )＝e －x －x e －x ＝e －x (1－x )，令f ′(x )＝0，得x ＝1.∵f (0)＝0，f (4)＝4e 4，f (1)＝e －1＝1e ，∴函数的最大值为f (1)＝1e.7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2(万元)与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10km 处建仓库，y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么当仓库建在离车站________km 处时，费用之和最小，费用之和的最小值为________万元．答案58解析依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x 是仓库到车站的距离，k 1，k 2是比例系数．由2＝k 110得k 1＝20；由8＝10k 2得k 2＝45.因此，两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5(x >0)，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝0，得x＝5或x ＝－5(舍去)．当0<x <5时，y ′<0；当x >5时，y ′>0.因此，当x ＝5时，y 取得极小值，也是最小值，故当仓库建在离车站5km 处时，费用之和最小，费用之和的最小值为205＋4×55＝8万元．8．若a 为实数，对任意k ∈[－1,1]，当x ∈(0,4]时，不等式6ln x ＋x 2－9x ＋a ≤kx 恒成立，则实数a 的最大值是________.答案7解析因为对任意k ∈[－1,1]，当x ∈(0,4]时，不等式6ln x ＋x 2－9x ＋a ≤kx恒成立，所以对任意k ∈[－1,1]，当x ∈(0,4]时，不等式6ln x ＋x 2－9x ＋ax ≤k恒成立，即6ln x ＋x 2－9x ＋a x ≤k min ⇒6ln x ＋x 2－9x ＋ax ≤－1⇒a ≤－6ln x －x 2＋8x ，所以当x ∈(0,4]时，不等式a ≤－6ln x －x 2＋8x 恒成立．令f (x )＝－6ln x －x 2＋8x ，x ∈(0,4]，则a ≤f (x )min ，f ′(x )＝－2x 2＋8x －6x＝－2x －2x －3x，当f ′(x )>02x －2x －3<0，x ≤4⇒1<x <3，当f ′(x )<02x －2x －3>0，x ≤4⇒0<x <1或3<x ≤4，所以函数f (x )在区间(0,1)和(3,4]上单调递减，在区间(1,3)上单调递增．f (1)＝0－1＋8＝7，f (4)＝－6ln 4－16＋32＝16－6ln 4，因为16－6ln 4－7＝9－6ln 4＝3×(3－ln 16)＝3ln e 316>0，所以f (x )min ＝7，所以a ≤7，a 的最大值为7.三、解答题9．已知函数f (x )＝e x －e x －e 2.(1)求f (x )的最小值；(2)求证：e x －ln x >2310.(参考数据：e≈1.65)解(1)由f (x )＝e x －e x －e2，得f ′(x )＝e x －e，则当x f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )的极小值也是最小值为(2)证明：由(1)知，f (x )＝e x －e x －e2≥0，即e x ≥e x ＋e 2，则e x －ln x ≥e x －ln x ＋e 2.令g (x )＝e x －ln x ＋e 2，则g ′(x )＝e－1x ＝e x －1x (x >0)．当x g ′(x )<0，g (x )单调递减，当x g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝1e ＋e 2＝1＋12＋e 2≈3＋1.652＝23.2510>2310.所以e x －ln x >2310.10．如图，在P 地正西方向8km 的A 处和正东方向1km 的B 处各有一条正北方向的公路AC 和BD ，现计划在AC 和BD 路边各修建一个物流中心E 和F ，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE 和PF ，设∠EPA ＝α(1)为减少对周边区域的影响，试确定E，F的位置，使△PAE与△PFB的面积之和最小；(2)为节省建设成本，求使PE＋PF的值最小时AE和BF的值．解(1)在Rt△PAE中，由题意可知∠APE＝α，AP＝8，则AE＝8tanα，所以S△PAE ＝12PA·AE＝32tanα.同理，在Rt△PBF中，∠PFB＝α，PB＝1，则BF＝1tanα，所以S△PBF ＝12PB·BF＝12tanα，故△PAE与△PFB的面积之和为32tanα＋12tanα≥232tanα·12tanα＝8，当且仅当32tanα＝12tanα，即tanα＝18时，取“＝”，故当AE＝1km，BF＝8km时，△PAE与△PFB的面积之和最小．(2)在Rt△PAE中，由题意可知∠APE＝α，则PE＝8 cosα.同理，在Rt△PBF中，∠PFB＝α，则PF＝1 sinα.令f(α)＝PE＋PF＝8cosα＋1sinα，0<α<π2，则f′(α)＝8sinαcos2α－cosαsin2α＝8sin3α－cos3αsin2αcos2α.令f′(α)＝0，得tanα＝12，记tanα＝12，0<α<π2，当α∈(0，α)时，f′(α)<0，f(α)单调递减；当α0f ′(α)>0，f (α)单调递增．所以tan α＝12时，f (α)取得最小值，此时AE ＝AP ·tan α＝8×12＝4，BF ＝BPtan α＝2.所以当AE ＝4km，BF ＝2km 时，PE ＋PF 的值最小．B 级：“四能”提升训练1．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．解(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x f ′(x )>0；当x f ′(x )<0.所以f (x (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a 取得最大值，最大值为＝ln 1a ＋a ＋a －1.因此a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，g ′(a )＝1a＋1>0，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0.因此，a 的取值范围是(0,1)．2．已知函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象在点(t ，f (t ))处的切线方程为y ＝3x －1.(1)求a的值；(2)已知k≤2，当x>1时，f(x)>x－1恒成立，求实数k的取值范围；(3)对于在(0,1)中的任意一个常数b，是否存在正数x，使得e f(x0＋1)－3x0－2＋b 2x2<1，请说明理由．解(1)函数f(x)＝ln x＋ax的导数为f′(x)＝1x＋a，因为函数f(x)的图象在点(t，f(t))处的切线方程为y＝3x－1，所以f′(t)＝1t＋a＝3，又因为函数f(x)的图象在点(t，f(t))处的切线方程为y－(ln t＋at)＝3(x －t)，即y－(ln t＋3t－1)＝3(x－t)，y＝3x＋ln t－1，a＝3，t－1＝－1，解得a＝2.(2)由(1)可得f(x)＝ln x＋2x，因为f(x)>x－1，所以ln x>x ln x＋x－k(x－3)>0.令g(x)＝x ln x＋x－k(x－3)，g′(x)＝2＋ln x－k，由x>1，k≤2，可得ln x>0,2－k≥0，即有g′(x)>0，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，可得g(x)>g(1)＝1＋2k≥0，所以－12≤k≤2，故实数k的取值范围为－12，2.(3)对于在(0,1)中的任意一个常数b，假设存在正数x，使得e f(x0＋1)－3x0－2＋b 2x2<1，则e f(x0＋1)－3x0－2＋b2x2＝e ln(x0＋1)－x0＋b2x2＝(x＋1)·e－x0＋b2x2<1.令H(x)＝(x＋1)·e－x＋b2x2－1，则H′(x)＝e－x－(x＋1)e－x＋bx＝x(b－e－x)，令H′(x)>0，解得x>－ln b，令H′(x)<0，解得0<x<－ln b，则x＝－ln b是函数H(x)的极小值点，也是最小值点．故H(x)的最小值为H(－ln b)＝(－ln b＋1)·e ln b＋b2ln2b－1＝b2ln2b－b ln b＋b－1.再令G(x)＝x2ln2x－x ln x＋x－1(0<x<1)，则G′(x)＝12(ln2x＋2ln x)－(1＋ln x)＋1＝12ln2x>0，所以G(x)在(0,1)上单调递增，所以G(x)<G(1)＝0，则H(－ln b)<0.故存在正数x0＝－ln b，使得e e f(x0＋1)－3x0－2＋b2x2<1.。
高二数学必修五全套导学案及答案人教A版
高二数学必修五全套导学案及答案（人教A版）1．1．1 正弦定理【学习目标】 1．掌握正弦定理的推导过程； 2．理解正弦定理在讨论三角形边角关系时的作用； 3．能应用正弦定理解斜三角形【重点难点】正弦定理及其应用；解三角形中知两边一对角型中解的判断。
【知识梳理】 1．正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即 = = =2R（R为△ABC外接圆半径） 2．正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角 3．中，已知及锐角，则、、满足什么关系时，三角形无解，有一解，有两解？（见图示）: ⑴若A为锐角时: ⑵若A为直角或钝角时: 【范例分析】例1．（1）已知下列三角形的两边及其一边对角，先判断三角形是否有解？有解的作出解答。
① ；② ；③ ；④ 。
（2）在中, , 若有两解, 则的取值范围为 ( ) Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、例2．（1）在△ABC中，已知，求的值；（2）在△ABC中，已知，求的值。
例3．（1）在△ABC中，已知AB=l，∠C=50°，当∠B多大时，BC的长取得最大值.？（2）△ABC的三个角满足A<B<C,且2B=A+C,最大边为最小边的2倍 ,求三内角之比。
（2）在中，，求的外接圆半径和面积。
【规律总结】 1．正弦定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决�ピ谏婕暗饺�角形的其他问题中，也常会用到正弦定理。
正余弦定理的边角互换功能① ，，② ，，③ = = ④ 2．结合正弦定理，三角形的面积公式有以下几种形式：其中分别表示的边上的高、外接圆半径。
一、选择题 1．在△ABC中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c等于（） A． B． C． D． 2．在中，若，则的值为（） A．B． C． D． 3、已知△ABC的面积为，且，则∠A 等于（） A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120° 4．△ABC中,∠A、∠B的对边分别为a,b，且∠A=60°, , 那么满足条件的△ABC（） A．有一个解 B．有两个解 C．无解 D．不能确定 5．在△ABC中，已知60°，如果△ABC两组解，则x的取值范围是( ) A． B． C． D．二、填空题 6．在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则 7．在△ABC中，，则此三角形的最大边长为，外接圆半径为，面积为。
高二数学选修2-1第2章《空间向量与立体几何》_导学案
高二数学选修2-1第2章《空间向量与立体几何》_导学案南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案.试试：1.分别用平行四边形法则和三角形法则求ab,ab..b2.点C在线段AB上，且AC5,CB2则ACAB,BCAB.反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？⑴加法交换律：A.+B.=B.+a；⑵加法结合律：(A.+b)+C.=A.+(B.+c)；⑶数乘分配律：λ(A.+b)=λA.+λb．典型例题例1已知平行六面体ABCDA'B'C'D'（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：⑴AB⑵BCABAD；AA'；⑶ABAD1CC'⑷12(ABAD2AA')．变式：在上图中，用AB,AD,AA'表示AC',BD'和DB'.小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．2南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案§2.1.2空间向量的数乘运算（一）CD3ab，求证:A,B,C三点共线.1.化简；2.3.几何中的问题．8687复习1：化简：⑴5（3a2b）+4（2b3a）；⑵6a3bcabc.复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量a,b，若b是非零向量，则a与平行的充要条件是二、新课导学学习探究探究任务一：空间向量的共线问题它们的位置关系？新知：空间向量的共线：1.如果表示空间向量的互相或平行向量.2.空间向量共线：定理：对空间任意两个向量a,b（b0），a//b要条件是存在唯一实数，使得推论：如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是试试：已知ABa5b,BC2a8b,3反思：充分理解两个向量a,b共线向量的充要条件中的b0，注意零向量与任何向量共线.典型例题例OP1已知直线AB，点O是直线AB外一点，若某OAyOB，且某+y＝1，试判断A,B,P三点是否共线？变式：已知A,B,P三点共线，点O是直线AB外一点，若OP12OAtOB，那么t＝例2已知平行六面体ABCDA'B'C'D'，点M是棱AA'设的中点，点G在对角线A'C上，且CG:GA'=2:1,CACD,=CAa，CBb,CC'c，试用向量a,b,c表示向量',CM,CG.变式1：已知长方体ABCDA'B'C'D'，M是对角线AC'中点，化简下列表达式：⑴AA'CB;⑵AB'B'C'C'D'⑶12AD112AB2A'A4南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案试试：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足111关系式OPOAOBOC,则点P与A,B,C共面236吗？5反思：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式OP某OAyOBzOC,且点P与A,B,C共面，则某yz.例典型例题①1下列等式中，使OMM,A,B,C四点共面的个数是（）OAOBOC;②OM1115OAOBOC;③MAMB3MC20;④OMOAOBOC0.A.1B.2C.3D.4变式：已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一点，若向量OP15OA73OBOCR,则P,A,B,C四点共面的条件是例2如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F,G,H,并且使OEOAOFOBOGOHOCODk,求证：E,F,G,H四点共面.6南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案§2.1.3．空间向量的数量积（1）1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2.向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．9092复习1：什么是平面向量a与b的数量积？复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC中，求AB.二、新课导学学习探究探究任务一：空间向量的数量积定义和性质问题空间线段的长度问题？新知：1)两个向量的夹角的定义：已知两非零向量空间一点O，作OAa,baO,Bb，则AOB量a与b的夹角，记作.试试：⑴范围a,:b=0时,a与a,bb;a,b=π时,a与b⑵a,bb,a成立吗？⑶a,b，则称a与b互相垂直，记作.2)向量的数量积：已知向量a,bab，则叫做a,b的数量积，，即ab规定:零向量与任意向量的数量积等于零.反思：⑴两个向量的数量积是数量还是向量？⑵0a⑶你能说出ab0还是0）的几何意义吗？73)空间向量数量积的性质：（1）设单位向量e，则ae|a|coa,e．（2）abab．（3）aa＝4)空间向量数量积运算律：（1）(a)b(ab)a(b)．（2）abba（3）a(bc（交换律）)abac．（分配律反思：⑴（ab)ca(bc)吗？举例说明.⑵若abac，则bc吗？举例说明.⑶若ab0，则a0或b0吗？为什么？典型例题例1用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.变式1：用向量方法证明：已知：m,n是平面内的两条相交直线，直线l与平面的交点为B，且lm,ln.求证：l．例2如图，在空间四边形ABCD中，AB2，BC3，BDCD3，ABD30，ABC60，求AB与CD,8南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案§2.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示1.标表示；2.掌握空间向量的坐标运算的规律；⑴a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；92-96⑵a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；复习1：平面向量基本定理：⑶λa＝(a1,a2,a3)(R)；对平面上的任意一个向量P，a,b是平面上两⑷a·b＝a1b1a2b2a3b3.向量，总是存在实数对某,y，使得向量P可以用a,b试试：a1.设，则向量的坐标为.a2ij3k示，表达式为，其中a,b(3,1,1)(1,0,2)2.若A，B，则AB＝.做.若ab，则称向量P正交分解.3.已知a＝(2,3,5)，b＝(3,1,4)，求a＋b，a－b，复习2：平面向量的坐标表示：8a，a·b平面直角坐标系中，分别取某轴和y轴上的向量i,j作为基底，对平面上任意向量a数某，y，使得a某iyj，，则称有序对某,y为向量a的，即a＝.二、新课导学学习探究向的单位向量，则存在有序实数组{某,y,z}，使得，则称有序实数组{某,y,z}为向量a的a某iyjzk坐标，记着p⑸设A(某1,y1,z1)，B(某2,y2,z2)，则AB＝.⑹向量的直角坐标运算：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则典型例题探究任务一：空间向量的正交分解从向量a,b,c问题：对空间的任意向量a例1已知向量a,b,c是空间的一个基底，中选哪一个向量，一定可以与向量pab,qab何位置关系？构成空间的另一个基底？新知：⑴空间向量的正交分解：空间的任意向量a分解为不共面的三个向量1a1、2a2、3a3a1a12a23a3.如果a1,a2,a3两两分解就是空间向量的正交分解.变式：已知O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C是否共面？(2)空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c，对空间任一向量p，存在有序实数组{某,y,z}a,b,c.把的一个基底，p某aybzc量.反思：空间任意一个向量的基底有个.⑶单位正交分解：相，长度都为，则这个基底叫做，通常用｛i,j,k｝表示.⑷空间向量的坐标表示小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的O-某yz和向量a，且设i、j、k为某轴、y轴、z方法是：这三个向量一定不共面.910南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案114.线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点A(某1,y1,z1)，B(某2,y2,z2)，则线段AB的中点坐标为.典型例题例1.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E1,F1分别是A1B1,C1D1的一个四等分点，求BE1与DF1所成的角的余弦值．变式：如上图,在正方体ABCD1A1B1C中1D，BDAB1E11F1113，求BE1与DF1所成角的余弦值．例2.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点E,F分别是BB1,D1B1的中点，求证：EFDA1.12南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-某yz和向量a，且设i、j、k为某轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{某,y,z}，使得，则称有序实数组{某,y,z}为向量a的a某iyjzk坐标，记着p10.设A(某1,y1,z1)，B(某2,y2,z2)，则AB＝.11.向量的直角坐标运算：设a＝(a,a,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则12⑴a＋b＝；⑵a－b＝；⑶λa＝；⑷a·b＝动手试试1．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝某a＋yb＋zc．其中正确命题的个数为（）A．0B.1C.2D.32．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A、是（）D1C、AC11A．有相同起点的向量B．等长向量C．共面向量D．不共面向量3．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ=（）62636465A.B.C.D.77774．若a、b均为非零向量，则ab|a||b|是a与b共线的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件5．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A．2B．3C．4D．56.a3i2jk,bij2k,则5a3b（）A．－15B．－5C．－3D．－11314南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案§2.2立体几何中的向量方法（1）1.掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;2.行、垂直、夹角等立体几何问题．102104，找出疑惑之处）复习1：可以确定一条直线；个平面的方法有哪些？复习2：如何判定空间A,B,C三点在一条直线上？复习3：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，a·b＝二、新课导学学习探究探究任务一：向量表示空间的点、直线、平面问题位置？新知：⑴点：在空间中，我们取一定点O间中任意一点P的位置就可以用向量把向量OP来表示，OP称为点P的位置向量.⑵直线：①直线的方向向量向量.②对于直线l上的任一点P,存在实数t，APtAB，此方程称为直线的向量参数方程.⑶平面：①空间中平面的位置可以由确定.对于平面上的任一点P,a,b是平面不共线向量，则存在有序实数对(某,y),OP某a使y.b②空间中平面的方向向量表示空间中平面的位置.⑷平面的法向量：如果表示向量n线垂直于平面，则称这个向量n垂直于平面,n⊥，那么向量n叫做平面的法向量.15试试：.1.如果a,b都是平面的法向量，则a,b的关系.2.向量n是平面的法向量，向量a是与平面平行或在平面内，则n与a的关系是.反思：1.一个平面的法向量是唯一的吗？2.平面的法向量可以是零向量吗？⑸向量表示平行、垂直关系：设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面,向量分别为u,的法v①l∥m，则a∥ba②l∥akb③∥uu∥au0vukv.典型例题例1已知两点A1,2,3,B2,1,3,求直线AB与坐标平面YOZ的交点.变式：已知三点A1,2,3,B2,1,2,P1,1,2,点Q在OP上运动（O为坐标原点）,求当QAQB取得最小值时,点Q的坐标.小结：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可. 16南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案§2.2立体几何中的向量方法（2）1.立体几何问题；2.中的角度的计算方法.105复习1：已知107，找出疑惑之处.ab1，a1,b2，且m2ab求m.复习2：角的范围是什么？二、新课导学学习探究探究任务一：用向量求空间线段的长度问题：如何用向量方法求空间线段的长度？新知a求出线段长度.试试：在长方体ABCD'A'B'C中'D，已AB1,BC2,'CC,求1AC'的长.反思用已知条件中的向量表示.典型例题例1如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？17变式1：上题中平行六面体的对角线BD1的长与棱长有什么关系？变式2：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗探究任务二：用向量求空间图形中的角度例2如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线l（库底与水坝的交线）的距离AC,BD分别为a,b，CD的长为c，AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值.变式：如图，60的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB,已知AB4,AC6,BD8,求CD的长.18南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案§2.2立体几何中的向量方法（3）1.进一步熟练求平面法向量的方法；2.异面直线间距离的计算方法；3.熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.,B0,1,1,C1,1,2ABC的一个法向量.复习2：离？二、新课导学学习探究探究任务一：点到平面的距离的求法问题：如图A,空间一点P到平面知平面的距离为d,的一个法向量为n,且AP与n不共线,AP与n表示d分析:过P作PO⊥于O连结d=|OAPO,则|=|PA|∵PO⊥,coAPO.n,∴PO∥n.∴co∠APO=|co∴D.=|PA||coPA,n|=|PAPA,n|||n|||coPA,n||PAn|n|=|n|新知：用向量求点到平面的距离的方法：设A,空间一点P到平面的距离为d,平面个法向量为n，则D.=|PA|n|n|19试试：在棱长为1的正方体ABCDA'B'C'D'中，求点C'到平面A'BCD'的距离.反思：当点到平面的距离不能直接求出的情况下，可以利用法向量的方法求解.典型例题例1已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.变式：如图,ABCD是矩形,PD平面ABC,DPDDCa,AD,M、N分别是AD、PB的中点,求点A到平面MNC的距离.PNCAB小结：求点到平面的距离的步骤：⑴建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵求平面的一个法向量的坐标；⑶找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷代入公式求出距离.20南康二中高二数学◆选修2-1◆导学案§第2章空间向量（复习）1.掌握空间向量的运算及其坐标运算；2.具.115－116复习1：如图，空间四边形OABC中OAa,OBb,OC且OM=2MA,为BC中点，则c.点M在OA上，MN复习2：平行六面体ABCDA'BADb,'C'D'中，ABaAA'c，点P,M,N分别是CA',CD',C'D'的中点，点Q在CA'上，且CQ:QA'4:1,a,用基底b,c表示下列向量：⑴AP;⑵AM;⑶AN;⑷AQ.主要知识点：1.空间向量的运算及其坐标运算：空间向量是平面向量的推广,有关运算方法几乎一样,只是“二维的”变成“三维的”了.2.立体几何问题的解决──向量是很好的工具①平行与垂直的判断②角与距离的计算21典型例题例1如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500kg，在它的顶点处分别受力F1、F2、F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是F60，且F12F3200kg.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？变式：上题中，若不建立坐标系，如何解决这个问题？小结：在现实生活中的问题，我们可以转化我数学中向量的问题来解决，具体方法有坐标法和直接向量运算法，对能建立坐标系的题，尽量使用坐标计算会给计算带来方便.例2如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90,CB1,CA21,点M6是CC1的中点，求证：AMBA1.变式：正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为1，棱长为2，点M是BC的中点，在直线CC1上求一点N，使MNAB.。
高二数学导学案椭圆的定义及标准方程(共2课时)
课题：椭圆的定义及标准方程（1）【学习目标】1. 掌握椭圆的定义和标准方程, 能够根据已知条件求椭圆的标准方程.2.能用标准方程判定曲线是否是椭圆.【教学重点】椭圆的标准方程【教学难点】 椭圆标准方程的推导【课前预学】1.平面内__________________________________的点的轨迹叫做椭圆，两个定点叫做椭圆的___________，两个焦点间的距离叫做椭圆的________.2. 椭圆标准方程推导的步骤：3 .椭圆的标准方程：_____________________________________________【预习检测】1、已知△ABC 中，B(-3,0),C(3,0),且AB,BC,AC 成等差数列.(1)求证：点A 在一个椭圆上运动；(2)写出这个椭圆的焦点坐标.2.化简根式:10)3()3(2222=+-+++y x y x 为_____________________【课堂研学】例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1) a=2 , b=1 , 焦点在x 轴上; (2)两焦点坐标分别是(－4, 0), (4, 0), a=5 .例2. (1)椭圆221169x y +=的焦距是_________ , 焦点坐标为__________ .(2)方程4x 2+ky 2=1的曲线是焦点在y 轴上的椭圆, 则k 的取值范围是: ___________ .例3.已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆, 它的焦距为2.4m , 外轮廓线上的点到两个焦点的和为3m , 求这个椭圆的标准方程.【课后作业】1.①命题甲: 动点P 到两定点A 、B 的距离之和|PA|+|PB|=2a (a>0常数) ;②命题乙: P 点轨迹是椭圆, 则命题甲是命题乙的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.动点P 到两定点F 1(－4 , 0) , F 2(4 , 0)的距离和为8 , 则动点P 的轨迹为 ( )A.椭圆B.线段F 1F 2C.直线F 1F 2D.不能确定3. 已知α∈(0 , 2π)方程x 2sinα+y 2cosα=1表示焦点在y 轴上的椭圆, 则α的取值范围是__________________4.椭圆2214x y m +=的焦距是2 , 则实数m 值为_______________5.椭圆标准方程为2212516x y+=, M1、M2为椭圆上的点.(1)焦点坐标为__________、___________.（2）点M1(4 , 2.4)与焦点的距离分别是__________、___________.(3)点M2到一个焦点的距离为3 , 则到另一焦点距离为___________ .6.写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(1) a=4 , b=3 , 焦点在y轴上;(2) a+c=10 , a－c=4 .7.设F1、F2为椭圆221259x y+=的焦点, P为椭圆上的点, 求△PF1F2的周长8.化简方程, 使结果不含根式10=的方程__________________________________9.动点M到两定点A(0 , －94), B(0 ,94)的距离和是252, 求动点M的轨迹方程.课题：椭圆的定义及标准方程（2）【学习目标】1.能正确运用椭圆的定义与标准方程解题;2.学会用待定系数法与定义法求椭圆方程.【教学重点】用待定系数法与定义法求曲线方程.【教学难点】方程解的全面性的考虑和轨迹的完备性的探求【课前预学】1.椭圆22120x y m +=的焦距是8 , 则实数m 的值为____________ 2.已知定圆C 1: x 2+y 2+4x=0 , 圆C 2: x 2+y 2－4x －60=0, 动圆M 和定圆C 1外切和圆C 2内切, 求动圆圆心M 的轨迹方程;【课堂研学】例1.求适合下列条件的椭圆标准方程.①两个焦点的坐标分别是(－4 , 0) , (4 , 0)椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10 ;②两焦点的坐标分别是(0 , －2) , (0 , 2)且椭圆经过点(32-, 52).变式1: 将①变成两个焦点的距离为8 , 椭圆上一点P 到两个焦点距离之和为10 ;变式2: 将②条件变为: 椭圆经过两点(32-, 52)与,例2.将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变, 纵坐标变为原来的一半, 求所得曲线的方程, 并说明它是什么曲线.例3.△ABC的两顶点A(－6 , 0), B(6 , 0) , 边AC、BC所在直线的斜率之积等于49-, 求顶点C的轨迹方程.【课后作业】1.已知B(0 , －4), C(0 , 4)且△ABC的周长等于18, 则顶点A的轨迹方程是( )A.22110084x y+=(y≠0) B.22110084y x+=(y≠0)C.221259y x+=(x≠0) D.221259x y+=(x≠0)2.已知△ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列, 且|AB|>|AC| , B(－1, 0), C(1 , 0), 则顶点A的轨迹方程是( )A.22143x y+= B.22143x y+=(x>0)C.22143x y+=(x<0) D.22143x y+=(x>0且y≠0)3.椭圆mx2+ny2+mn=0 (m<n<0)的焦点坐标为( )4.已知方程221||12x ym m+=--表示焦点在y轴上的椭圆, 则m的范围_______________.5.10=的化简结果是_____________ .6.中心在原点, 焦点在坐标轴上, 且经过两点P(13,13), Q(0 ,12-)的椭圆的标准方程是_____________________.7.在△ABC中, BC=24 , AC、AB边上的中线长之和等于39, 求△ABC的重心的轨迹方程.8.设动点P到点F(1 , 0)的距离是到直线x=9的距离的13, 求点P的轨迹方程, 并判断此轨迹是什么图形.。
高二数学 双曲线的简单性质导学案
x2 y2 1, (a 0, b 0) ，研究它的 a2 b2
几何性质。 ①范围 ：由双曲线的标准方程可得：
y2 b2
围：
从而得 x 的范 ； 和
2
即双曲线在不等式 所表示的区域内。 得 y 的范围为
x = a2
。
从而
②对称性：以 x 代 x ，方程不变，这说明
所以双曲线关于
对称。同理，以 y 代 y ，方程不变得双曲线关于
对称，以 x 代 对称。
x ，且以 y 代 y ，方程也不变，得双曲线关于
③顶点：即双曲线与对称轴的交点。在方程 得到双曲线的顶点坐标为 A1（ ） A（ 2
x2 y2 1 里，令 y=0,得 x= a2 b2
）； 我们把 B1（ ）
B2 （
）也画在 y 轴上（如图） 。线段 。
分别叫做双
曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为
④离心率：双曲线的离心率 e= ，范围为 。 思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的 什么几何特征？
5 渐近线： ○
x2 y 2 1 的渐近线方程为 a 2 b2 双曲线各支向外延伸时， 与它的渐近线 但永不相交。 探究二、双曲线的图像
陕西省延长县中学高二数学导学案：双曲线的简单性质
学习 目标 学习 重点 学习 难点 学法 指导
1、通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何 性质与双曲线的中心，实轴，虚轴，渐进线，等轴双曲线的概念，加深对 a、b、c、e 的关系及 其几何意义的理解； 2、能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题。 双曲线的简单几何性质及其应用
双曲线
, 和 无限逼近，
高二数学函数的单调性与导数导学案新人教A版
高二数学 函数的单调性与导数导学案 新人教A 版【学习目标】1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 【重点难点】重点：利用导数求单调性难点：利用导数求单调性【自主学习】阅读教材2322P P -页思考上，并回答下面问题：1．利用导数的符号来判断函数单调性:一般地，设函数()y f x =在某个区间可导，如果在这个区间内'()0f x >，则()y f x =为这个区间内的 _______； 如果在这个区间内'()0f x <，则()y f x =为这个区间内的 _____。
2、思考：（1）若f '(x )＞0是f (x )在此区间上为增函数的什么条件？回答：提示： f (x )＝x 3，在R 上是单调递增函数，它的导数恒＞０吗？（2）若f '(x ) ＝0在某个区间内恒成立，f (x )是什么函数 ？若某个区间内恒有f '(x )＝0，则f (x )为 函数．【合作释疑】 利用导数确定函数的单调性的步骤：(1) 确定函数f (x )的定义域； (2) 求出函数的导数；(3) 解不等式f '(x )＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '(x )＜0，得函数的单调递减区间．一．例题例1、设)x (f y '=是函数)x (f y =的导数, )x (f y '=的图象如图所示, 则)x (f y =的图象最有可能是( )例2．已知导函数)(x f '的下列信息：当1<x<4时, 0)(>'x f ; 当x>4时, 0)(<'x f ; 当x=1或x=4时, 0)(='x f 。
试画出函数f(x)图像的大致形状。
例3．判断下列函数的单调性，并求出单调区间（1）x x x f 3)(3+= （2）32)(2--=x x x f（3）),0(,sin )(π∈-=x x x x f （4）12432)(23+-+=x x x x f例4 判断函数f (x )＝ln x ＋x 2＋1的单调性．(*)例5 判断函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1 (a>0) 的单调性．(**)例6 判断函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1 的单调性．二．课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？三．课后练习1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）3．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )＝0D ．不能确定4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．sin xB ．x e xC ．x 3－xD ．ln x －x5．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．不确定6．函数53)(23--=x x x f 的单调递增区间是_____________．7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间是____________．8．函数x x x f ln )(=的单调递增区间是_____________；单调减区间是_______________.9．已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，则a 的取值范围为________．10．求函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调区间．(*)11．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( )A ．f (0)＋f (2)>2f (1)B ．f (0)＋f (2)＝2f (1)C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定(*)12．函数y ＝ax －ln x 在(12，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0]∪[2，＋∞) B ．(－∞，0] C ．[2，＋∞) D ．(－∞，2](*)13．使y ＝sin x ＋ax 在R 上是增函数的a 的取值范围为____________．14.(1)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，求b ，c 的值；(*) (2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．15．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(*) (2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．。
高二数学导学案二十
高二数学导学案二十§3.2立体几何中的向量方法（1）学习目标1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行问题102~ P 104，找出疑惑之处）复习1： 可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？复习2：如何判定空间A ,B ,C 三点在一条直线上？复习3：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，a ·b ＝二、新课导学※ 学习探究探究任务一： 向量表示空间的点、直线、平面问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？新知：⑴ 点：在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP 来表示，我们把向量OP 称为点P 的位置向量.⑵ 直线：① 直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.② 对于直线l 上的任一点P ,存在实数t ，使得AP t AB =，此方程称为直线的向量参数方程. ⑶ 平面：① 空间中平面α的位置可以由α内两个不共线向量确定.对于平面α上的任一点P ,,a b 是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(,)x y ,使得OP xa yb =+.② 空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置. ⑷ 平面的法向量：如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量n 垂直于平面α,记作n ⊥α，那 么向量n 叫做平面α的法向量.试试： . 1.如果,a b 都是平面α的法向量，则,a b 的关系 .2.向量n 是平面α的法向量，向量a 是与平面α平行或在平面内，则n 与a 的关系是 .反思：1. 一个平面的法向量是唯一的吗？2. 平面的法向量可以是零向量吗？⑸ 向量表示平行、垂直关系：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ 的法向量分别为,u v ，则① l ∥m ⇔a ∥b a kb ⇔=② l ∥α⇔a u ⊥0a u ⇔⋅=③ α∥β⇔u ∥v .u kv ⇔=※ 典型例题例1 已知两点()()1,2,3,2,1,3A B --,求直线AB与坐标平面YOZ 的交点.变式：已知三点()()1,2,3,2,1,2,A B ()1,1,2P ,点Q 在OP 上运动（O 为坐标原点）,求当QA QB ∙取得最小值时,点Q 的坐标.小结：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可.例 2 用向量方法证明两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.变式：在空间直角坐标系中,已知()()()3,0,0,0,4,0,0,0,2A B C ,试求平面ABC 的一个法向量.小结：平面的法向量与平面内的任意向量都垂直.※ 动手试试练1. 设,a b 分别是直线12,l l 的方向向量，判断直线12,l l 的位置关系：⑴ ()()1,2,2,2,3,2a b =-=-；⑵()()==.a b0,0,1,0,0,3练2. 设,u v分别是平面,αβ的法向量，判断平面,αβ的位置关系：⑴()()1,2,2,2,4,4=-=--；u v⑵()()u v=-=--.2,3,5,3,1,4利用空间向量证明平行问题例3.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.规律方法利用向量法解此类题的关键是建立适当的坐标系，求出平面的法向量，通过分析直线的方向向量、平面的法向量之间的关系进行证明练习1.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1、C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB.2.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1C 、B 1C 1的中点． 求证：MN ∥平面A 1BD.例4.如图。
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注：求组合体的表面积和体积时，要注意组合体的结构特征，避免重叠和交叉等。
展示交流
1、圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则圆柱的体积是。
2、如果轴截面为正方形的圆柱的来自面积为S，那么圆柱的体积等于（）
2、锥体的体积
圆锥的体积公式是 （S为底面面积，h为高），它是同底等高的圆柱的体积的 。
棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的 ，即棱锥的体积 （S为底面面积，h为高）。
棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的 。
棱锥（圆锥）的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。
3、台体的体积
２、P28，习题1.3，A组3、4，补充练习。
（学生笔记
教师复备
学法指导）
（A） （B） （C） （D）
3、三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为6，4，3，则三棱锥的体积为。
4、棱台的两个底面面积分别是245cm2和80cm2，截得这个棱台的棱锥的高为35cm，求这个棱台的体积。
5、一个圆柱形贮油桶，当它水平放置时，桶里油所在的轴弧恰好占桶的底面周长的 ，那么当油桶竖直放置时，油的高度和桶的高度的比值是。
6、将长为2πdm，宽为πdm的长方形纸片围成一个容器（不考虑底面，也不考虑粘接处），立放于桌面上，下面四种方案中，容积最大的是（）
（A）直三棱柱（B）直四棱柱（C）高为πdm的圆柱（D）高为2πdm的圆柱
点拨提升
根据课堂学生的发挥情况教师给予点拨。
达标检测
１、用一块长2米宽1米的矩形木板，在底面两直线的夹角为60的墙角处围出一个直棱柱形的谷仓，试问怎样围才能使谷仓的容积最大？求出谷仓容积的最大值。
问题：正方体、长方体、圆柱的体积公式是什么？它们之间有什么共同的特点？
， ， ；
它们的体积公式可以统一为V = Sh（S为底面面积，h为高）。
1、柱体的体积
一般柱体的体积也是V = Sh，其中S为底面面积，h为棱柱的高。
棱柱（圆柱）的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。
由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式： ，其中 ，S分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高。
圆台（棱台）的高是指两个底面之间的距离。
4、比较柱体、锥体、台体的体积公式之间存在的关系：
例：有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g/ cm3）六角螺帽共重5.8g，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（π取3.14，可用计算器）？
§1.3.1柱体、锥体、台体的体积
学习目标
1、熟记柱、锥、台的体积公式。
2、能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积。
3、感受几何体体积的求解过程，发展空间思维能力。
学法指导
通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。
课时内容
备注
自主学习