同余问题---作业2
同余问题的奥数题
同余问题的奥数题在数学中，同余是一个非常有趣且经常应用的概念。
同余问题即涉及到同余的各种问题。
在奥数（奥林匹克数学竞赛）中，同余问题经常出现且需要解决。
本文将介绍同余问题的几个典型奥数题，并提供详细的解析步骤和思考过程。
一、同余的定义和性质：1. 定义：对于整数a，b和正整数n，如果a与b除以n的余数相等，则称a与b在模n下同余，记作a≡b(mod n)。
- 同余关系是等价关系，满足自反性、对称性和传递性。
- 如果a≡b(mod n)且c≡d(mod n)，则a+c≡b+d(mod n)和ac≡bd(mod n)。
- 对于正整数m、n和a，如果m|n，则a≡b(mod m)蕴含着a≡b(mod n)。
1. 题目：求满足8n+6≡3(mod 7)的最小非负整数n。
解析：根据同余的性质得到8n≡3-6(mod 7)，即8n≡-3(mod 7)。
由于8和7互质，可以用扩展欧几里得算法求得系数使得8a+7b=1，即8×4+7×(-5)=1。
两边乘以-3，得到8×(-12)+7×15=-3。
因此，n≡-12(mod 7)。
最小非负整数n即为-12+7=（-5）+14=9。
2. 题目：若p是一个素数，求证p^2-1能被24整除。
解析：要证明p^2-1能被24整除，可以通过同余问题进行证明。
首先，我们知道24=3×2×2×2，其中，3和2是两个互质的因数。
如果p是一个素数，那么p在模3下只能是0或1或2。
如果p≡0(mod 3)，那么p^2-1≡0^2-1≡-1(mod 3)，不被3整除。
同理，如果p≡1(mod 3)，则p^2-1≡1^2-1≡0(mod 3)，被3整除。
而如果p≡2(mod 3)，则p^2-1≡2^2-1≡3(mod 3)，也被3整除。
因此，对于任意一个素数p，p^2-1都能被3整除。
又因为p是素数，所以p是奇数，即p≡±1(mod 2)。
同余问题的奥数题
同余问题的奥数题同余问题是一个数学中的问题，它涉及到整数除以某个数后的余数的性质和关系。
具体来说，给定一个整数n和一个正整数m，同余问题就是研究关于a 的同余方程a ≡b (mod m) 的性质和解的情况。
其中，a是被除数，b是余数，"≡"表示同余关系，即a除以m的余数等于b，而mod表示取模运算。
这个问题可以进一步扩展为求解满足特定条件的整数解的数量或者找到所有满足条件的整数解等。
以下是一些常见的同余问题奥数题：1. 一个数除以5的余数是4，除以6的余数是3，除以7的余数是2，求这个数是多少？解答：我们可以使用中国剩余定理来解决这个问题。
首先，我们设这个数为x，则有x ≡4 (mod 5)，x ≡3 (mod 6) 和x ≡2 (mod 7)。
根据中国剩余定理，我们有：x = 5 * k1 + 6 * k2 + 7 * k3，其中k1、k2、k3是整数。
由于5、6和7互质，所以可以分别求解得到：k1 = (4 - 2) / 5 = 0k2 = (3 - 0) / 6 = 1/2k3 = (2 - 0) / 7 = 2/7将k1、k2和k3代入x的表达式中，得到x = 5 * 0 + 6 * (1/2) + 7 * (2/7) = 19。
所以这个数是19。
2. 求方程x^2 - y^2 = 1999的所有正整数解。
解答：我们可以使用费马小定理来解决这个问题。
根据费马小定理，如果p 是一个素数且a是模p的一个原根，那么a^(p-1) ≡1 (mod p)。
在本题中，我们考虑模p=n，即要求满足x^2 - y^2 = n的正整数解的数量。
根据费马小定理，有：当n是完全平方数时，若n的质因数分解形式为p^2，且存在整数a使得a^((p-1)/2) ≡±1 (mod p)，则n有一个非平凡的正整数解；当n不是完全平方数时，不存在满足条件的正整数解。
对于本题中的n=1999，它是一个完全平方数，因为1999 = 13 * 153。
小学奥数 同余问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
同余问题
同余问题（一）在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。
如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。
很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。
1. 同余的表达式和特殊符号37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。
记作：（mod7）“”读作同余。
一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：2. 同余的性质（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。
）（2）若，那么（这称作同余的对称性）（3）若，，则（这称为同余的传递性）（4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减性）（称为同余的可乘性）（5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：如果那么（的差一定能被k整除）这是为什么呢？k也就是的公约数，所以有下面我们应用同余的这些性质解题。
【例题分析】例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？分析与解答：假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。
所以a最大是31。
例2. 除以19，余数是几？分析与解答：如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。
所以此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。
例3. 有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几？最后余数是几？分析与解答：这个数除以13，商是有规律的。
商是170940六个数循环，那么，即，我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。
余数是几呢？则所以商的个位数字应是“170940”中的第4个，商应是9，相应的余数是5。
同余定理答案版
第4讲同余定理同余定理是奥数考试中最常考的题型，同时也是数论知识中最具有代表性的知识之一。
本讲将带领大家一起领略巧妙的数论方法，相信大家一定会被同余的意想不到的魅力所吸引。
若a c ÷余数为m ，b c ÷余数为n ，则()a b c +÷的余数等于()m n c +÷的余数；()a b c -÷的余数等于()m n c -÷的余数（m n >）或()m c n c +-÷的余数（m n <）。
a b c ⨯÷的余数等于m n c ⨯÷的余数。
特别的，当m n =时，()a b -是c 的倍数。
若两个整数a 、b 被同一个非零自然数c 除，余数相同，那么称a 、b 对于m 同余，用式子表示为(mod )a b c ≡.编写说明知识要点【例1】 有三个自然数a ，b ，c ，其中a 除以c 的余数是1，b 除以c 的余数是2，a b +恰好是c 的倍数，求c 的值。
【分析】 根据同余定理，a b +除以c 的余数是3，而a b +恰好是c 的倍数，所以3c =。
【拓展】 已知：6a b c -=，其中a 、b 、c 均为正整数，且b 除以6的余数是3，则a 除以6的余数是多少?【分析】 a b -是6的倍数，所以a 和b 除以6的余数相同，a 除以6的余数是3。
【温馨提醒】这边可以帮助学生总结出和（或差）的余数等于余数的和（或差）的余数。
【例2】 135********⨯⨯⨯⨯⨯的乘积除以8的余数是多少？【分析】1，3，5，7，9，…，2007，2009除以8的余数分别为1，3，5，7，1，3，5，7，…，1，3，5，7，1，1357⨯⨯⨯除以8的余数是1，所以135********⨯⨯⨯⨯⨯除以8的余数是1。
【温馨提示】这边可以帮助学生总结出积的余数等于余数的积的余数。
【拓展】 234199077777+++++的末两位是多少？【分析】 要求末两位，可以转化为求其除以100的余数是多少，7除以100余数是7，27除以100余数是49，37343=除以100余数为43，472401=除以100余数是1，54777=⨯除以100的余数是7，依此类推，余数是以7，49，43，1循环的，199044972÷=，所以所有余数的和是(749431)49774949756+++⨯++=，49756除以100的余数是56，所以和的末两位是56。
数论中的同余关系练习题
数论中的同余关系练习题同余关系是数论中的重要概念，常用于研究整数之间的关系。
在数论的学习中，同余关系练习题可以帮助我们加深对同余关系的理解。
下面是一些数论中的同余关系练习题，供大家练习和思考。
1. 求解以下同余方程：a) 3x ≡ 1 (mod 7)b) 2x ≡ 3 (mod 11)c) 5x ≡ 4 (mod 9)2. 判断以下数是否满足给定的同余关系：a) 13 ≡ 3 (mod 5)b) 24 ≡ 1 (mod 7)c) 9 ≡ 4 (mod 3)3. 证明以下定理：若a ≡ b (mod m)，且c ≡ d (mod m)，则a + c ≡ b + d (mod m)。
4. 证明以下定理：若a ≡ b (mod m)，则ac ≡ bc (mod m)，其中c为任意整数。
5. 证明以下定理：若a ≡ b (mod m)，且c ≡ d (mod m)，则ac ≡ bd (mod m)。
6. 证明以下定理：若a ≡ b (mod m)，且m > 0，则ac ≡ bc (mod m)，其中c为任意整数。
7. 证明以下定理：若a ≡ b (mod m)，且m > 0，则a^k ≡ b^k (mod m)，其中k为任意正整数。
8. 使用欧拉定理计算以下同余方程的解：a) x^7 ≡ 1 (mod 10)b) x^9 ≡ 3 (mod 11)c) x^5 ≡ 2 (mod 12)9. 证明以下定理：若m和n互质，且a ≡ b (mod m) 和a ≡ b (mod n)，则a ≡ b (mod mn)。
10. 使用中国剩余定理求解以下同余方程组：a) x ≡ 1 (mod 3)x ≡ 2 (mod 5)x ≡ 3 (mod 7)b) x ≡ 2 (mod 4)x ≡ 3 (mod 7)x ≡ 5 (mod 9)请根据以上练习题进行思考和解答，其中涉及到的定理可以进行证明，并附上解答步骤。
小学奥数。同余问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
小学奥数。
同余问题精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)同余问题教学目标：1.掌握同余的性质。
2.利用整除性质判断余数。
知识点拨：同余定理1.定义：若两个整数a和b被自然数m除有相同的余数，那么称a和b对于模m同余，用式子表示为：a≡b(modm)，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
2.重要性质及推论：1）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除。
例如：17与11除以3的余数都是2，所以能被3整除。
(17-11=6，6可以被3整除)2）用式子表示为：如果有a≡b(modm)，那么一定有a-b=mk，k是整数，即m|(a-b)。
3.余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的。
建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余。
由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数。
⑴整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数。
⑵整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数。
⑶整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数。
⑷整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数。
⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数。
（不够减的话先适当加11的倍数再减）⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数。
例题精讲模块一、两个数的同余问题例1】有一个整数，除39、51、147所得的余数都是3，求这个数。
考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答解析】法1)39-3=36，51-3=48，147-3=144，(36,144)=12，12的约数是1、2、3、4、6、12，因为余数为3要小于除数，这个数是4、6、12.法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。
同余问题知识点总结
同余问题知识点总结一、基本概念1.1 同余关系对于给定的整数a、b和正整数m，如果m能整除a-b，即(a-b)/m为整数，则称a与b 对模m同余，记作a≡b(mod m)。
同余关系满足以下性质：自反性：a≡a(mod m)对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)传递性：若a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)1.2 同余类对于给定的正整数m，同余关系将整数集合Z划分为m个不相交的子集，这些子集称为同余类。
同余类的定义：[a]={b∈Z|a≡b(mod m)}同余类的性质：同余类是模m下的等价类，它将整数集合划分为m个不相交的等价类。
二、同余的运算规则2.1 加法和乘法的运算规则加法：若a≡b(mod m)且c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)乘法：若a≡b(mod m)且c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)2.2 幂运算规则对于正整数n，有以下同余关系成立：a≡b(mod m) => a^n≡b^n(mod m)三、同余性质3.1 最小非负剩余对于给定整数a和模m，存在唯一的最小非负整数r，满足a≡r(mod m)且0≤r<m。
r称为整数a对模m的最小非负剩余。
3.2 同余方程同余方程的一般形式为：ax≡b(mod m)同余方程的求解：若最大公约数(gcd)为1，即a与m互质，则同余方程有唯一解；若gcd不为1，即a与m不互质，则同余方程有无穷多解。
3.3 中国剩余定理中国剩余定理：若模数m1、m2、...、mk两两互质，即gcd(mi,mj)=1(i≠j)，则对于任意的整数a1、a2、...、ak和模数m1、m2、...、mk，模方程组x≡a1(mod m1)x≡a2(mod m2)...x≡ak(mod mk)有唯一模m=m1*m2*...*mk的解x。
中国剩余定理的应用：用于快速求解大整数的同余方程组，加速计算过程。
同余问题知识点讲解
千里之行，始于足下。
同余问题学问点讲解同余问题是数论中的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。
同余问题的定义是：对于给定的整数a、b和正整数m，假如a-b能够被m整除，则称a与b对于模m同余，记作a≡b(mod m)。
同余问题的本质是数的剩余，即两个数除以某个正整数得到的余数相等。
通过同余问题的争辩，可以得到一些有关数的性质和关系。
同余问题有一些基本性质：1. 若a≡b (mod m) ，则对于任意的正整数k，有 a+k*m≡b+k*m (mod m) ，即同余关系对加法成立。
2. 若a≡b (mod m) ，则对于任意的正整数k，有 a*k≡b*k (mod m) ，即同余关系对乘法成立。
3. 若a≡b (mod m) ，且b≡c (mod m) ，则 a≡c (mod m) ，即同余关系对传递成立。
4. 若a≡b (mod m) ，则 a^n ≡ b^n (mod m) ，即同余关系对幂运算成立。
基于同余性质，我们可以进行一系列的运算和推导。
首先，同余问题可以用来简化计算。
例如，对于不便利计算的大数，可以通过取模运算将其转化为较小的数进行计算，而不转变其同余关系。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
同余问题还可以用来求解方程。
例如，对于形如ax≡b (mod m) 的方程，可以通过同余性质进行变形和推导，得到方程的解。
同余问题在密码学中也有重要应用。
例如，RSA算法中的模运算就是基于同余问题的。
同余问题还可以用来进行数字签名和数据加密等操作。
同余问题还与模运算有亲密的关系。
模运算是将一个数除以另一个数得到的余数，而同余问题是比较两个数的余数是否相等。
通过同余问题，可以推导出一些模运算的性质和规章。
最终，同余问题还有一些重要的定理，如中国剩余定理、费马小定理等。
这些定理在数论和密码学中有广泛的应用。
总结起来，同余问题是数论中的一个基本概念，它争辩的是两个数取模后的余数是否相等。
通过同余问题的争辩，可以推导出一些有关数的性质和关系，用来简化计算、求解方程、进行密码学操作等。
同余方程解法例题
同余方程解法例题同余方程是数学中最著名的内容之一，它有着重要的地位。
在解决数学问题时，经常会用到同余方程来求解，从而获得客观的结果。
本文将着重介绍同余方程的概念及其解法，以及使用此解法解决实际问题的实例，旨在帮助读者更好地理解并使用同余方程的解法。
2余方程的定义所谓“同余”，即指两个数之间的比率为固定的数值，其关系用数学语言表示如下：若存在整数m，n且m≠0，则称对任意整数a，b满足以下条件： a b (mod m)若m=1，则所有数字都满足此条件，即所有数字都“同余”，故称可用以上公式描述的关系为“同余方程”。
3余方程的解法由定义可知，同余方程是一种又称为“模运算”的特殊运算。
其通用的解法可以分为以下四步：1.‘a b (mod m)’用加减乘除运算转换为‘a=mk+b’的形式，即完全平方形式；2.‘a=mk+b’形式拆解成‘a=x*m+y’，此时通常会有两种情况： 1）当m与b互质时，可以利用扩展欧几里得算法，利用反模法求出x,y的整数解；2）当m与b不互质时，可以使用中国剩余定理求出满足条件的x,y。
3.x,y得到a,b；4.查a,b是否满足同余方程。
4例分析本节将以实例来详细讨论同余方程的解法，实例详解如下：例题：（1）求104×x+103 -1 (mod 105)的解；（2）求23×x+22 5 (mod 7)的解。
（1）首先将该同余方程整理为完全平方形式：104×x+103 = 106-1；此时105与-1互质，使用扩展欧几里得算法，求解出x=-2,y=107；因此，有x=-2,y=107，从而a=-104×(-2)+103=-207， b=-1；因此，答案为：104×(-2)+103 -1 (mod 105)；（2）首先将该同余方程整理为完全平方形式：23×x+22 = 7×3+5；7与5互素，可以采用中国剩余定理求解，假设当x≡p (mod 7)时，23×x+22 5 (mod 7)有解；由此，可以得到：23p-37的倍数，也即23p 3 (mod 7)；令23p-3=7k，可得：p=3k+3；解出p=3k+3，则x=3k+3，y=3；因此，有x=3k+3，y=3，从而a=23×(3k+3)+22=69k+65， b=5；因此，答案为：23×(3k+3)+22 5 (mod 7)。
同余问题三种类型例题
同余问题三种类型例题同余问题是离散数学中的一类重要问题，涉及到整数的除法运算和求余操作。
在同余问题中，通过对一个整数进行除法运算，我们可以得到一个余数，根据这个余数和被除数之间的关系，可以得到不同类型的同余问题。
下面将介绍三种常见的同余问题类型，并且给出一些详细的例题。
1. 线性同余问题线性同余问题是指寻找一个整数x，满足以下同余关系式：ax ≡ b (mod n)其中a，b，n为已知整数，且n>0。
我们需要求解的是x的取值范围。
这个问题可以用来求解模方程的解集。
例题1：解方程2x ≡ 6 (mod 5)。
根据同余关系式，我们可以得到2x可以被5整除的余数必须等于6。
我们可以列出等价的方程组：2x = 6 + 5k，其中k为整数。
这是一个一次方程，我们可以通过分析得到x=3+5k/2，其中k为整数。
根据这个结果，我们可以得到x的取值范围为3，8，13，18……。
2. 同余方程问题同余方程问题是指寻找一个整数x，满足以下同余关系式：f(x) ≡ c (mod n)其中f(x)为一个与x相关的函数，c，n为已知整数，且n>0。
我们需要求解x的取值范围。
例题2：解方程x^2 ≡ 4 (mod 7)。
要解这个方程，我们需要找到满足x^2-4可以被7整除的x。
我们可以将x^2-4分解为(x-2)(x+2)，即(x-2)(x+2)≡0 (mod 7)。
得到x的取值可以为2，-2，9，-9……。
3. 同余定理问题同余定理问题是指通过对一个整数进行特定的除法运算，来得到该数的同余类。
同余类是将整数分成若干个互相不交、互相等价的集合。
同余问题中的同余定理有欧拉定理、费马小定理等。
例题3：使用费马小定理求解：3^41 ≡ ? (mod 7)。
费马小定理为如果a是整数，p是质数且a和p互质，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
根据给定的问题，我们可以将3^41分解为(3^7)^5 * 3^6，即(3^7)^5 * 3^6 ≡ 1^5 * 3^6 ≡ 729 ≡ 2 (mod 7)。
同余定理的经典例题
同余定理的经典例题标题：同余定理的经典例题及其拓展正文:同余定理是数学中的一个重要定理，它被广泛应用于数论、代数和图论等领域。
该定理给出了一个整数与另一个整数的余数关系，即对于任意两个整数 $a$ 和 $b$,它们除以同一个非零整数 $d$,则有:$$a equiv b pmod d$$上面的等式表示 $a$ 与 $b$ 模 $d$ 同余。
同余定理有许多经典例题，下面将对其中的一些进行介绍。
1. 求解 $x^2 + xy + y^2 = 1$ 的整数解。
这是一个著名的数论问题，它的解被称为勾股数。
根据同余定理，我们可以求出 $x$ 和 $y$ 模 $4$ 的余数:$$(x^2 + xy + y^2) equiv (x + y)^2 pmod 4$$由于 $2$ 是 $4$ 的倍数，因此 $(x+y)^2 equiv 0 pmod 4$,即 $x+y$ 模 $4$ 余 $0$ 或 $2$。
根据同余定理，我们可以得到: $$x^2 + xy + y^2 equiv x^2 + xy pmod 4$$即 $x^2 + xy$ 模 $4$ 余 $x^2 + xy$。
我们可以通过递归的方法求解 $x$ 和 $y$ 的值，最终得到 $x = frac{1+3sqrt{5}}{2}$ 和$y = frac{1-3sqrt{5}}{2}$ 是 $x^2 + xy + y^2 = 1$ 的整数解。
2. 求解 $x^3 + 3x^2 + 2x - 10 = 0$ 的整数解。
这是一个著名的代数问题，它的解被称为循环质数。
根据同余定理，我们可以求出 $x$ 模 $3$ 的余数:$$(x^3 + 3x^2 + 2x - 10) equiv (x^3 + 3x^2) pmod 3$$ 由于 $2$ 是 $3$ 的倍数，因此 $(x^3 + 3x^2) equiv 0 pmod 3$,即 $x^3 + 3x^2$ 模 $3$ 余 $0$ 或 $2$。
同余定理解法的其他情况 (2)
同余定理分三类:口诀套用，化余为一，其他“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀。
所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称作同余问题。
首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数，下面以4、5、6为例，请记住它们的最小公倍数是60。
1、差同减差:用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为:“差同减差”。
例:“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。
【60后面的“n”请见4、，下同】2、和同加和:用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为:“和同加和”。
例:“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。
3、余同取余:用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为:“余同取余”。
例:“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。
4、最小公倍加:所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍(即上面1、2、3中的60n)都满足条件，称为:“最小公倍加”，也称为:“公倍数作周期”。
余数问题中的一个重要问题就是同余问题，在同余问题解决过程中，推荐代入法和口诀法两大类。
其中口诀法是公倍数做周期，余同取余，和同加和，差同减差的应用，但是有时候会出现余不同，和不同并且差也不同的现象，这就需要我们采用剩余定理进行解决。
剩余定理的原理比较繁琐，不如直接套用解题方法进行快速解题更能解决行测中的类似问题。
下面给出一些例题，对剩余定理的解题方法加以熟练:【例1】一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是多少?题中3、4、5三个数两两互质。
六年级同余问题练习题
六年级同余问题练习题在六年级数学学习中，同余问题是一个重要的概念。
同余可以理解为两个数除以某个数得到的余数相等，即它们在模这个数下是等价的。
同余问题的练习可以帮助学生巩固对同余概念的理解和运用。
本文将为大家提供一些六年级同余问题的练习题。
1. 小明班上有45个学生，他们每次排队时，按照三个一组排队。
请问，排队后剩余几个学生不够组成一组？解：我们可以将小明班上的学生数45除以每组学生数3，得到除数为15，余数为0。
所以小明班排队后不剩余学生。
2. 有一个机器人在一个方格上移动，每次只能向右或向上移动一个格子。
如果机器人从左下角的格子开始移动，向右移动6个格子，向上移动8个格子，最后能到达的格子是哪个？解：我们可以将机器人向右移动6个格子看作是对6取余，向上移动8个格子看作是对8取余。
左下角的格子为(0,0)，那么向右移动6个格子就是(0+6,0)=(6,0)，向上移动8个格子就是(6,0+8)=(6,8)。
所以机器人最后能到达的格子是(6,8)。
3. 有一串数字：435289143764。
请问这串数字中能被3整除的数字有哪些？解：我们可以将这串数字中的每个数字相加，即4+3+5+2+8+9+1+4+3+7+6+4=56。
因为56除以3的余数为2，所以这串数字中没有能被3整除的数字。
4. 某班有32个学生，老师要将他们分成若干个小组。
要求每个小组都有7个学生，并且每个小组的学生之间不能互相交流。
请问老师最少能分成几个小组？解：我们可以将32除以7，得到商为4，余数为4。
所以老师最少能分成4个小组。
其中3个小组有7个学生，1个小组有4个学生。
5. 有一串数字：235892651971。
请问这串数字中能被9整除的数字有哪些？解：我们可以将这串数字中的每个数字相加，即2+3+5+8+9+2+6+5+1+9+7+1=58。
因为58除以9的余数为4，所以这串数字中没有能被9整除的数字。
通过以上练习题，我们可以加深对六年级同余问题的理解和应用。
同余问题.doc
小学奥数竞赛专题之同余问题[专题介绍]：同余问题生活中我会经常遇到与余数有关的问题，比如：某年级有将近400名学生。
有一次演出节目排队时出现：如果每8人站成一列则多余1人；如果改为每9人站成一列则仍多余1人；结果发现现成每10人结成一列，结果还是多余1人；聪名的你知道该年级共有学生多少名吗？假设有一名学生不参加演出，则结果一定是不管每列站8人或9人或10人都将刚好站齐。
因此此时学生人数应是8、9、10公倍数，而8、9、10的最小公倍数是360，因此可知该年级共有361人。
研究与余数有关的问题，能帮助我们解决很多较为复杂的问题。
[分析]1、两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm）2、同余的重要性质及举例。
〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类：〈1〉用2来将整数分类，分为两类：1，3，5，7，9，……（奇数）0，2，4，6，8，……（偶数）〈2〉用3来将整数分类，分为三类：0，3，6，9，12，……（被3除余数是0）1，4，7，10，13，……（被3除余数是1）2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：0（mod6）：0，6，12，18，24，……1（mod6）：1，7，13，19，25，……2（mod6）：2，8，14，20，26，……3（mod6）：3，9，15，21，27，……4（mod6）：4，10，16，22，29，……5（mod6）：5，11，17，23，29，……[经典例题]例1：求437×309×1993被7除的余数。
同余作业
同余作业姓名1、 证明：一个正整数的各位数字的和被9整除的余数等于这个数被9除的余数。
2、A ，B 两人玩一种32张扑克牌的取牌游戏，A 先取，以后轮流进行，每次只能从剩下的牌中取1张或者质数张牌，谁取到最后一张牌谁获胜。
问：谁有必胜策略？3、 在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干数之和能被11整除的数组共有多少种？练习（1）证明：对于任何整数0k ≥，616162351k k k +++++都能被7整除。
（2）求44441232004++++的末位数。
4、共1998个小朋友围坐一圈，从某人开始逆时针方向报数，从1报到64，一直报下去，直到每人报过10次为止。
（1）有没有既报过5又报过10的人？（2）有没有既报过5又报过11的人？5、求最大的正整数x ，使得对任意*y N ∈，有(7121)y x y +-。
6、试求出一切可使21n n ⋅+被3整除的正整数n 。
练习（1）设12n p p p p =⋅⋅⋅是前n 个质数的乘积，这里*n N ∈，2n ≥，证明：1p -和1p +都不是完全平方数。
（2）已知n 为正整数，十进制表示下的末三位数为888，求满足条件的最小的n 值。
7、（第20届IMO ）数1978n 与1978m 的最末三位数相等，试求正整数m 和n ，使得n m +取最小值，这里1n m >≥。
8、（第29届IMO 预选题）设a 是方程32310x x -+=的最大正根，求证：17可以整除1788[]a 与1988[]a，其中[]x 表示不超过x 的最大整数。
9、设三角形的三边长分别是整数,,l m n ，且l m n >>。
已知444333101010l m n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，其中{}[]x x x =-，而[]x 表示不超过x 的最大整数，求这种三角形周长的最小值。
练习：给出一个数198519841983…654321，它是由大到小依次写出自然数1985,1984，…，3,2,1后连接而成的。
六年级下册数学试题-同余问题(含部分答案)全国通用
1．余数的定义一般地，如果a是整数，b是整数(b≠0)，若有a÷b＝q…r，或者a＝b×q＋r，0≤r＜b；当r＝0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商。
2．余数的性质①被除数＝除数×商＋余数；除数＝(被除数－余数)÷商；商＝(被除数－余数)÷除数；②余数小于除数。
③如果a，b除以c的余数相同，就称a，b对于除数c来说是同余的，且有a与b的差能被c整除。
(a，b，c均为自然数)例如：17与11除以3的余数都是2，所以17－11能被3整除。
④a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数)。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23＋16)除以5的余数等于3＋1＝4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(23＋19)除以5的余数等于(3＋4)除以5的余数。
⑤a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23×16)除以5的余数等于3×1＝3。
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(23×19)除以5的余数等于(3×4)除以5的余数。
3．余数的四大判断法：⑴末位判断法——被4，25，8，125，16，625除的余数特征以4为例：一个数除以4的余数，等于它的末两位除以4的余数。
⑵数位和判断法——能被3，9整除的数特征以3为例：一个数除以3的余数，等于它的数位和除以3的余数。
⑶数位差判断法——能被11整除的数的特征一个数除以11的余数，等于它的奇位和减去偶位和之差(如不够减，奇位和加11后再减)除以11的余数(注意不要减反)。
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同余问题---作业
父与子数学学习---同余问题篇 1 1. 小东在计算除法时，把除数87写成78，结果得到的商是54，余数是8 正确的商是_____，余数是_____
2. b a ......12124=÷，要使余数b 最大，被除数应该等于_____
3. 一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是_____
4. 393除以一个两位数，余数为8，这样的两位数有_____个，它们是_____
5.
9876576876531453××的积，除以125的余数是_____ 6. 9876573216789765324387493××的积，除以4的余数是_____
7. 888……8 (50个8)乘以666……6(50个6)的积，除以7余数是_____
8. 如果按红 橙 黄 绿 青 蓝 的顺序，将 19921992……1992 1991个1992 只彩灯依次反复排列，
那么_____颜色的彩 灯必定要比其他颜色的彩灯少一只
9. 100个7组成的一百位数，被13除后，问：
a) 余数是多少？
b) 商数中各位数字之和是多少？。