现代信号处理功率谱估计
数字信号处理讲义-4现代功率谱估计
a3 (2302)1,/3/128。则可由AR模型参数获得功率谱Py(W)的估计值10 。
Y-W方程的L-D递推算法
➢ 一阶Y-W方程的解
Ry[0] Ry[1]
R Ryy[[1 0]]a11(1)012
解此方程得
a1 (1) Ry [1] Ry [0]
12Ry[0]Ry[1]a1(1)Ry[0]1(a1(1)2)
2 1
a2(1)Ry[0]R Ry2y[[1 0]] R Ryy2[[11]]Ry[2]a1(1)a2(2)a1(1)
2 2 202 1/3R /18y[0 ] R y[1 ]a 2 (1 ) R y[2 ]a 2 (2 )[1a2(2)2]1212
Y-W方程的L-D递推算法
➢ p阶Y-W方程的递推解
2021/3/18
11
Y-W方程的L-D递推算法
➢ 二阶Y-W方程的解
R Ryy[[10]]
Ry[1] Ry[0]
R Ryy[[12]]a21(1)022
Ry[2] Ry[1] Ry[0]a2(2) 0
a2(2)Ry[R0y2][R0y][2]Ry2[R1y]2[1]
Ry[2]a1(1)Ry[1]
4
参数模型法的基本思想
根据所研究信号的先验知识，对观测数据以外 的数据作出某种比较合理的假设。
假设信号是白噪声通过LTI系统产生的。由观测数 据估计LTI系统模型的参数。最后由LTI系统模型的参数得出 功率谱。
h[k]
h
y[k]
输入白噪声的自相关函数 Rh[n]2[n]
Py(W)H(ejW)22
2021/3/18
对于因果系统, p阶AR模型的自相关函数与R y[m n ]2[m ]m 0 ,1 , ,p
功率谱计算[解说]
![功率谱计算[解说]](https://img.taocdn.com/s3/m/3cec2a18f02d2af90242a8956bec0975f465a478.png)
功率谱计算功率谱估计在现代信号处理中是一个很重要的课题，涉及的问题很多。
在这里，结合matlab，我做一个粗略介绍。
功率谱估计可以分为经典谱估计方法与现代谱估计方法。
经典谱估计中最简单的就是周期图法，又分为直接法与间接法。
直接法先取N点数据的傅里叶变换（即频谱），然后取频谱与其共轭的乘积，就得到功率谱的估计；间接法先计算N点样本数据的自相关函数，然后取自相关函数的傅里叶变换，即得到功率谱的估计.都可以编程实现，很简单。
在matlab中，周期图法可以用函数periodogram实现。
但是周期图法估计出的功率谱不够精细，分辨率比较低。
因此需要对周期图法进行修正，可以将信号序列x(n)分为n个不相重叠的小段，分别用周期图法进行谱估计，然后将这n段数据估计的结果的平均值作为整段数据功率谱估计的结果。
还可以将信号序列x(n)重叠分段，分别计算功率谱，再计算平均值作为整段数据的功率谱估计。
这2种称为分段平均周期图法，一般后者比前者效果好。
加窗平均周期图法是对分段平均周期图法的改进，即在数据分段后，对每段数据加一个非矩形窗进行预处理，然后在按分段平均周期图法估计功率谱。
相对于分段平均周期图法，加窗平均周期图法可以减小频率泄漏，增加频峰的宽度。
welch法就是利用改进的平均周期图法估计估计随机信号的功率谱，它采用信号分段重叠，加窗，FFT等技术来计算功率谱。
与周期图法比较，welch法可以改善估计谱曲线的光滑性，大大提高谱估计的分辨率。
matlab中，welch法用函数psd实现。
调用格式如下：[Pxx,F] = PSD(X,NFFT,Fs,WINDOW,NOVERLAP)X：输入样本数据NFFT：FFT点数Fs:采样率WINDOW：窗类型NOVERLAP，重叠长度现代谱估计主要针对经典谱估计分辨率低和方差性不好提出的，可以极大的提高估计的分辨率和平滑性。
可以分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计。
参数模型谱估计有AR模型，MA模型，ARMA模型等；非参数模型谱估计有最小方差法和MUSIC法等。
谱估计在现代信号处理中是一个很重要的课题
谱估计在现代信号处理中是一个很重要的课题。
功率谱估计课分为经典谱估计方法和现代谱估计方法。
研究二阶平稳随机过程特征－功率谱密度－揭示随机过程中所隐含的周期及相邻的谱峰等有用信息。
则要用有限长的N 个样本数据去估计该平稳随机过程的功率谱密度－谱估计的方法。
此种估计是建立在时间平均的方法之上，并假定具有遍历性。
经典谱估计－线性、非参数化方法：周期图法，相关图法等。
采用经典的傅里叶变换及窗口截断。
对长序列有良好估计。
现代谱估计－非线性、参数化方法：最大似然估计，最大熵法，AR 模型法，预测滤波器法，ARMA 模型等。
对短序列的估计精度高，与经典法相互补充。
是融合经典变换理论、统计估计理论、系统辨识、信息论、时间序列分析及计算方法等理论与技术－新学科。
应用广泛，发展迅速。
1、谱密度意义 一、 能谱密度设x(t)是确定性的复连续信号，若其绝对可积或其能量有限，即：则x(t)的连续傅氏变换存在，由下式给出：错误！未找到引用源。
根据Parseval 能量定理，有：错误！未找到引用源。
由上式可见，信号能量E 等于信号频谱模值平方错误！未找到引用源。
在整个频域上的积分，故称错误！未找到引用源。
为信号的能谱密度。
当x(t)为广义平稳过程时，其能量通常是无限的，则需研究其功率的频域上的分布，即功率密度。
对于平稳随机过程，谱分析是采用自相关函数：错误！未找到引用源。
) 1 1 ( ) ( 2- - - ∞ < =⎰ ∞∞- dt t x E )2 1 ( ) 2 exp( ) ( ) ( - - - - =⎰ ∞∞- dt ft j t x f X π)3 1 ( ) ( ) ( 22- - - ==⎰ ⎰ ∞∞- ∞∞- df f X dt t x E )4 1 ( ) ( ) ( 2 - - = f X f ε [ ] )5 1 () ( * ) ( ) ( - - + = Γ τ τ τ x t x E xWiener-Kinchine 定理将自相关函数与功率谱密度联系起来：错误！未找到引用源。
第6讲功率谱估计的现代方法
第6讲：功率谱估计的现代方法§6.1 AR 模型法谱估计假设一个随机过程可以由AR(p)刻画-=)(n x ∑=+-⋅pk n v k n x k a 1)()()(它的功率谱为2222)()1(1)(fpj fj AR ep a ea f P ππσ--+++=这里]|)([|22n v E =σ给出一组观测数据)}1(),1(),0({-N x x x 得到估计的参数集}ˆ),(ˆ),2(ˆ),1(ˆ{2σp a a a，得到一个估计的功率谱密度PSD 。
2122)(ˆ1ˆ)(ˆ∑=-+=pk fkj ARe k af P πσ§6.1.1最大熵谱估计（MESE ）假设已知)}(),1(),0({p r r r ，为了确定PSD ，外推 )2(),1(++p r p r ，有无穷多外推方法，一种原则是使信号熵最大，即有最大随机性。
对于高斯过程，熵可以表示成：⎰-⋅2121)(lndf f P C xx（1）（1）是熵表达式，C 是常数，由已知p+1个自相关值构成如下约束方程：p k k r df ef P fkj xx ,1,0)()(21212==⎰-π且知：∑+∞-∞=-⋅=k fkj xx ek r f P π2)()(用Lagrangian 乘积法构成目标函数。
⎰⎰∑--=+=2121212120)()(ln df ef P df f P S fkj xx pk ixx πλ并且求：0)(=∂∂k r S ,2,1||++=p p k经计算的得：1||0)(2+≥=⎰--p k df f P exx fmj πππ这隐含着：∑-=-=ppk fkj k xx ef P πλ2)(1和k k -=λλ*以确保)(f p xx 是实的。
即求得：∑-=-=ppk fkj k xx ef P πλ21)(上式带回p+1个约束方程，经过整理, 最后求得：2122)(1)(∑=-⋅+=pk fkj xx ek a f P πσ这里2σ和)(k a 必须满足：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅)(*)2(*)1(*)()2()1(p r r r p a a a R和：∑=+⋅+=pk k r k a r 12)()()0(σ这正是Yule-Walker 方程，由此得到结论：在Gaussian 随机过程情况下，最大熵估计和AR谱估计是一致的，在非Gaussian 情况下，这一结论并不成立。
功率谱估计
功率谱估计功率谱估计就是通过信号的相关性估计出接受到信号的功率随频率的变化关系，实际用途有滤波，信号识别（分析出信号的频率），信号分离，系统辨识等。
谱估计技术是现代信号处理的一个重要部分，还包括空间谱估计，高阶谱估计等。
维纳滤波、卡尔曼滤波，可用于自适应滤波，信号波形预测等（火控系统中的飞机航迹预判）。
如果我在噪声中加入一个信号波形。
要完全滤波出我加入的信号波形，能够做到吗？如果知道一些信息，利用一个参考信号波形，可利用自适应滤波做到（信号的初始部分稍有失真）。
功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内提取被淹没在噪声中的有用信号。
下面对谱估计的发展过程做简要回顾:英国科学家牛顿最早给出了“谱”的概念。
后来，1822年，法国工程师傅立叶提出了著名的傅立叶谐波分析理论。
该理论至今依然是进行信号分析和信号处理的理论基础。
傅立叶级数提出后，首先在人们观测自然界中的周期现象时得到应用。
19世纪末，Schuster提出用傅立叶级数的幅度平方作为函数中功率的度量，并将其命名为“周期图”（periodogram）。
这是经典谱估计的最早提法，这种提法至今仍然被沿用，只不过现在是用快速傅立叶变换（FFT）来计算离散傅立叶变换（DFT），用DFT的幅度平方作为信号中功率的度量。
周期图较差的方差性能促使人们研究另外的分析方法。
1927年，Yule提出用线性回归方程来模拟一个时间序列。
Yule的工作实际上成了现代谱估计中最重要的方法——参数模型法谱估计的基础。
Walker利用Yule的分析方法研究了衰减正弦时间序列，得出Yule-Walker方程，可以说，Yule和Walker都是开拓自回归模型的先锋。
1930年，著名控制理论专家Wiener在他的著作中首次精确定义了一个随机过程的自相关函数及功率谱密度，并把谱分析建立在随机过程统计特征的基础上，即，“功率谱密度是随机过程二阶统计量自相关函数的傅立叶变换”，这就是Wiener—Khintchine定理。
现代功率谱估计
现代功率谱估计
现代功率谱估计是一种使用现代信号处理技术来计算信号功率谱的方法。
功率谱表示信号在频率域上的能量分布情况，描述了信号在不同频率上的能量或功率的分布。
在现代信号处理中，有几种方法可以用于功率谱估计：
周期图法（Periodogram Method）：这是最简单的功率谱估计方法之一。
通过对信号进行傅里叶变换，然后取幅度的平方得到功率谱估计。
但是在实际应用中，可能需要对信号进行分段并对每个段进行周期图法计算，最后取平均值来获得更准确的估计结果。
Welch方法：这是一种常用的功率谱估计方法，它通过将信号分成多个段并对每个段进行周期图法计算，最后对所有段的结果进行平均来减小估计的方差，提高估计的准确性。
改进的周期图法：包括Bartlett、Hanning、Hamming等窗口函数来改进周期图法，减小泄漏效应leakage effect，提高频谱估计的分辨率和准确性。
自回归AR模型：利用信号的自相关性建立AR模型，然后通过这个模型来计算功率谱。
这种方法在非平稳信号和具有明显谱峰或特定频率成分的信号表现上较好。
这些现代功率谱估计方法可以根据不同的信号特点和应用需求选择合适的方法，并在工程、信号处理和科学领域有着广泛的应用。
功率谱估计的方法
功率谱估计的方法
功率谱估计是信号处理中常用的一种方法，用于分析信号在频域内的特点，通常可以分为以下几种方法：
一、经典方法
1.傅里叶变换法：将时域信号通过傅里叶变换变换到频域，然后计算功率谱密度。
2.自相关法：通过自相关函数反映信号的统计平稳性，然后通过傅里叶变换计算功率谱密度。
3.周期图法：将信号分解为若干个周期波形，然后对每个周期波形进行傅里叶变换计算周期功率谱，最后汇总得到整个信号的功率谱。
二、非经典方法
1. 时-频分析法：如短时傅里叶变换（STFT）、小波变换等，将信号分解为时域和频域两个维度的分量，从而可以分析信号在时间和频率上的变化。
2. 基于协方差矩阵的特征值分解法：通过建立协方差矩阵，在张成空
间中求解特征向量，从而达到计算信号功率谱的目的。
3. 基于频率锁定法：如MUSIC法、ESPRIT法等，是一种利用特定信号空间中的特定模式进行处理的方法。
以上方法各有特点，根据实际需求选择不同的方法可以得到相应的功率谱估计结果。
第3章功率谱估计和信号频率估计方法
第3章功率谱估计和信号频率估计方法在信号处理和通信系统设计中，功率谱估计和信号频率估计是非常重要的技术。
功率谱估计可以用来研究信号的频域特性和频率分量的强度分布，信号频率估计可以用来确定信号的频率成分。
本章将介绍功率谱估计和信号频率估计的常用方法。
3.1功率谱估计功率谱是描述信号功率随频率变化的函数。
常用的功率谱估计方法有非参数法和参数法。
非参数法是一类基于信号的样本序列进行计算的方法，不依赖于对信号的概率模型的先验假设。
常见的非参数法有周期图法、半周期图法等。
周期图法是一种基于时域序列的离散傅里叶变换的方法。
它将信号分成多个时段，对每个时段进行傅里叶变换，然后求得功率谱密度。
周期图法具有快速计算和较好的频率分辨能力的特点，适用于信号周期性较强的情况。
半周期图法是周期图法的一种改进方法。
它首先将信号分成两个连续的时段，计算各自的功率谱密度，然后取两个时段的平均值作为最终的功率谱估计。
半周期图法减少了周期图法中窗函数的影响，提高了估计的准确性。
参数法是一种基于对信号进行参数建模的方法。
常见的参数法有自回归(AR)模型、线性预测(ARMA)模型等。
自回归模型是一种用于描述信号随机过程的自回归线性滤波模型。
它通过自回归系数描述信号当前样本值与过去样本值的线性关系。
自回归模型估计功率谱的方法主要有Burg方法、 Yule-Walker方法等。
自回归模型具有较好的频率分辨能力和较高的准确性，适用于信号具有较长时间相关性的情况。
线性预测模型是将信号分解成预测误差和线性组合的方式。
它通过选择适当的线性预测滤波器系数来最小化预测误差的均方差，从而得到功率谱的估计。
线性预测模型估计功率谱的方法主要有Levinson-Durbin算法和Burg算法等。
线性预测模型具有较好的频率分辨能力和较高的估计准确性，适用于信号具有较强的谱峰特性的情况。
3.2信号频率估计信号频率估计是通过对信号进行时域分析来确定信号的频率成分。
(周围)现代信号处理基础04-现代功率谱估计(上)
• ARMA模型 H (z) B(z) A( z )
参数法谱估计的理论基础
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谱分解定理的推论
任何平稳随机信号x(n)都可以看成由白噪声序列 {u(n)} 激励 一个因果和稳定的线性时不变系统H(z)产生的输出。
任何有限方差的平稳ARMA过程可以分为完全随机的部分 和确定的部分，对应的功率谱为连续的和离散的冲激信号。
FT
FT () fT (t)
IFT
fT
(t )
f
(t), T 2
t
T 2
0,
其他
• 平稳离散随机信号x(n)的自相关函数与功率谱密度之间为一 对傅立叶变换
物理意义：功率Rxx (0)
功率在ω上的分布
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如果随机信号是各态遍历的，相关函数可以由一个取样时间 序列用时间平均来取代统计平均。
AR模型法功率谱估计：
AR(p)模型的Yule - Walker方程组：
R (0) R (1)
R (1)
R (0)
R (2) R (1)
R (p) R (p-1)
R (2) R (1) R (0)
R (p-2)
R (p) 1 2
R
(p-1)
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AR谱估计的性质2：与最大熵谱估计等效
结论：
AR谱估计相当于对自相关函数以最大熵为原则进行 外推后进行傅立叶变换的结果。
AR谱估计相当于在p+1个自相关函数值确定的情况 下，以功率谱密度最平坦为准则得到的估计结果。
重庆邮电大学通信学院
(周围)现代信号处理基础04-现代功率谱估计(下)
p
-
R(m)
k 1
q-m
2
k 0
, 0mq m q1
其中：h(n)为ARMA模型系统的冲激响应。
ARMA模型谱估计：
p
-
R(m)
k 1
q-m
2
k 0
,
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, 0mq m q1
上式第二个方程写成展开形式（p个方程）：
R(q)
m-q
Sv(z)
Sx(z)
重庆邮电大学通信学院
ARMA模型法：
求A(z)参数的改进：
问题的提出：
当p+q相对于采样时间长度N较大时，求A(z)参数的方程组 中的许多自相关函数值很不准确，因此得不到A(z)参数好 的估计。
改进方法：最小二乘法
p
R(m) -
k 1
假定模型阶数p和q。 模型阶数已知时对模型两边同求某种统计特征以将随机变
量转化为确定性的量。 对各种阶数下的模型进行比较应用某种准则选出最好的模
型。
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ARMA模型法：
根据随机采样样本求ARMA(p, q)模型的参数：
求R(m)：
R(m) E{x(n)x(n m)}
C(2,
1)
C(2, 2)
C(2,
p)
C( p, 1) C( p, 2)
C( p,
p)
p
2 _____ _______
i 1
其中：
N -1
N -1
现代信号处理经典的功率谱估计
《现代信号处理》姓名：李建强学号：2专业：电子科学与技术作业内容：在MATLAB平台上对一个特定的平稳随机信号进行经典功率谱估计和现代功率谱估计的比较一、前言功率谱估计是信息学科中的研究热点,在过去的30多年里取得了飞速的发展。
在许多工程应用中，它能给出被分析对象的能量随频率的分布情况。
平滑周期图是一种计算简单的经典方法，它的主要特点是与任何模型参数无关，但估计出来的功率谱很难与信号的真是功率谱相匹配。
与周期图方法不同，现代谱估计主要是针对经典谱估计(周期图和自相关法)的分辨率低和方差性能不好的问题而提出的。
其使用参数化的模型，能够给出比周期图方法高得多的频率分辨率。
其内容极其丰富，涉及的学科和领域也相当广泛，按是否有参数大致可分为参数模型估计和非参数模型估计，前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY指数模型等;后者有最小方差方法、多分量的MUSIC方法等。
二、总体概述本次实验分别使用经典的功率谱估计（如周期图法）与AR模型法对某一特定的平稳随机信号进行其功率谱估计，由图像得到信号的频率。
利用MATLAB平台，直观形象地观察并比较二者估计效果的区别，以便于加深对功率谱估计的理解和掌握。
三、具体的实现步骤1、经典法功率谱估计周期图法又称直接法，它是从随机信号x(n)中截取N长的一段，把它视为能量有限的真实功率谱的估计的一个抽样。
1.1、实现步骤（1）、模拟系统输出参数x(n)=A*sin(2πf1*n)+B*sin(2πf2*n)，包括序列长度N（128或512或1024，加性高斯白噪声（AGWN）功率一定，设置A，B，f1，f2，n的值。
（2）、应用周期图法（不加窗）对信号的功率谱密度进行估计，使用直接法在MATLAB 平台上进行编程实现。
（3）、输出相应波形图，进行观察，记录。
1.2 MATLAB源代码实现clear all; %清除工作空间所有之前的变量close all; %关闭之前的所有的figureclc; %清除命令行之前所有的文字n=1:1:128; %设定采样点n=1-128f1=0.2; %设定f1频率的值0.2f2=0.213; %设定f2频率的值0.213A=1; %取定第一个正弦函数的振幅B=1; %取定第一个正弦函数的振幅a=0; %设定相位为0x1=A*sin(2*pi*f1*n+a)+B*sin(2*pi*f2*n+a); %定义x1函数，不添加高斯白噪声x2=awgn(x1,3); %在x1基础上添加加性高斯白噪声，信噪比为3,定义x2函数temp=0; %定义临时值，并规定初始值为0temp=fft(x2,128); %对x2做快速傅里叶变换pw1=abs(temp).^2/128; %对temp做经典功率估计k=0:length(temp)-1;w=2*pi*k/128;figure(1); %输出x1函数图像plot(w/pi/2,pw1) %输出功率谱函数pw1图像xlabel('信号频率/Hz');ylabel('PSD/傅立叶功率谱估计');title('正弦信号x(n)添加高斯白噪声后的,周期图法功率频谱分析');grid;%-------------------------------------------------------------------------pw2=temp.*conj(temp)/128; %对temp做向量的共轭乘积k=0:length(temp)-1;w=2*pi*k/128;figure(2);plot(w/pi/2,pw2); %输出功率谱函数pw2图像xlabel('信号频率/Hz');ylabel('PSD/傅立叶功率谱估计');title('正弦信号x（n）自相关法功率谱估计');grid;1.3 matlab仿真图形（1）、用直接法，功率谱图像,采样点N=128。
功率谱估计概念
功率谱估计概念
功率谱估计是对信号的功率谱密度进行估计的过程，是信号处理中的基本问题之一。
功率谱密度描述了信号中不同频率分量的功率分布，对于分析信号的频域特性、噪声抑制、信号识别等领域具有重要意义。
在许多实际应用中，我们常常需要从采集到的信号数据中估计其功率谱。
这是因为功率谱是描述信号本质特征的重要手段，能帮助我们了解信号中各个频率分量的强度和分布情况。
比如在通信、雷达、音乐、语音处理、生物医学工程等领域，都需要对信号的功率谱进行估计和分析。
传统的功率谱估计方法包括周期图法、自相关法、Burg法等。
但这些方法通常需要较长的数据样本，并且对数据的预处理和窗函数选择敏感，计算复杂度也较高。
随着现代信号处理技术的发展，新的功率谱估计方法不断涌现，如基于小波变换的方法、基于神经网络的方法等。
这些新方法能够更准确地估计信号的功率谱，并且对噪声和干扰具有较强的鲁棒性。
在估计信号的功率谱时，我们需要关注估计的精度、稳定性、计算复杂度等问题。
不同的应用场景对功率谱估计的要求也不同，需要根据实际情况选择合适的方法。
同时，功率谱估计也是信号处理领域中一个富有挑战性的研究方向，仍有许多问题需要进一步研究和探索。
总的来说，功率谱估计是信号处理中的一项重要技术，广泛应用于各个领域。
随着科技的不断发展和进步，相信未来会有更多高效、准确的功率谱估计方法出现，推动相关领域的技术进步和应用创新。
现代信号处理03-3
Levision-Durbin算法
Levision算法的推导 算法的推导
设已求得k阶Y-W方程
r (1) r (2) ⋯ r (k ) 1 σ k 2 r (0) r (1) r (0) r (1) ⋯ r (k − 1) ak ,1 0 = ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ r (k ) r (k − 1) r (k − 2) ⋯ r (0) ak ,k 0
• 具体推导
考虑 其差分方程为 从而
H ( z ) = 1 / ∑ ak z − k
k =0 p
(1)
a0 = 1
x ( n ) = − ∑ ak x ( n − k ) + u ( n)
k =1
p
rxx (m) = E { x(n) x(n + m)} = −∑ ak rxx (m − k ) + E{x(n)u(n + m)}
从上面的推导中算公式： σ = r (0) + ∑ a r (i )
k
k Dk = ∑ ak ,i r ( k + 1 − i ), i =0 γ k +1 = Dk σ k2 2 2 2 σ k +1 = (1 − γ k +1 )σ k a k +1,i = ak ,i − γ k +1ak , k +1− i ,
2
参数谱估计法步骤
为被估计的随机过程选定一个合理的模型，这 有赖于对随机过程进行的理论分析和实验 根据已知观测数据估计模型的参数，这涉及各 种算法的研究 用估计得到的模型参数计算功率谱。
3
输入为u (n) − −均值为0，方差为σ 2的白噪声序列 B( z ) = 其线性系统函数：H ( z ) = A( z ) ak z − k ∑ bk z − k ∑
现代功率谱估算法在无线电干扰信号检测中的研究与应用
现代功率谱估算法在无线电干扰信号检测中的研究与应用现代功率谱估算法在无线电干扰信号检测中的研究与应用引言随着无线通信技术的迅猛发展，无线电干扰问题日益凸显。
无线电干扰对通信系统的稳定性、可靠性和性能产生了极大的影响，因此无线电干扰信号的检测与定位成为了一项重要的研究课题。
功率谱估算是无线电信号处理的基本工具之一，研究如何准确地估计功率谱可以有效地帮助检测与定位干扰源。
因此，本文将对现代功率谱估算算法在无线电干扰信号检测中的研究与应用进行分析与探讨。
一、功率谱估算的基本原理与传统方法功率谱是一种描述信号能量分布情况的工具，计算信号在不同频率上的能量。
传统的功率谱估算方法主要有周期图法、自相关法、Fourier变换法以及半周期图法等。
它们都有各自的优缺点，如周期图法对信号有要求的周期性较强，自相关法计算量大等。
二、现代功率谱估算算法近年来，随着数学、信息理论和信号处理技术的进展，现代功率谱估算算法不断涌现。
其中，经典的算法包括Yule-Walker算法、Levinson-Durbin算法和Covariance方法。
这些算法用于对低噪声环境下的信号进行功率谱估计，具有较高的准确度和准确性。
为了应对复杂环境下的功率谱估计，提出了一系列改进的算法。
如MUSIC算法通过使用多个传感器，可以对多径传播情况下的干扰信号进行分离和定位。
ESPRIT算法通过利用图像处理技术对信号进行二维谱估计，具有较高的分辨率和抗噪能力。
另外，非参数估计方法如高斯混合模型、小波变换等也被广泛应用于功率谱估算。
三、现代功率谱估算算法在无线电干扰信号检测中的应用现代功率谱估算算法在无线电干扰信号检测中有着广泛的应用。
首先，功率谱估算算法可以用于对无线电干扰信号的检测与定位。
通过对功率谱进行分析，可以确定干扰源的频率、带宽以及信号强度等参数，从而实现对干扰源的定位。
其次，功率谱估算算法也可以用于无线电干扰信号的分类与识别。
不同类型的干扰信号在功率谱上会有明显的特征，通过对干扰信号的功率谱进行分析，可以实现对干扰类型的识别，为进一步的干扰消除措施提供依据。
第四章—功率谱估计现代方法
• 二、估计理论中的几个基本概念 • 设a是广义平稳随机信号x(n)的一个特征量（可以是均值
方也差是，一自个相随关机出变数量，or那功么率谱a ）对。aa 估是计我的们质得 量到（的近估似计程值度，）
可以从以下一个方面考虑：
• 1.估计的偏差（也叫偏倚）用B表示
定义为： BE[aˆ]a
u(n) h(n)
x(n)
设h(n)是因果的
E[x(n)u(nm)]E{[ h(l)u(nl)]u(nm)} l0
h(l)E[u(nl)u(nm)] l0
h(l)Ruu(ml) l0
l0
h(l)2(m1)
2h(m)
0 m
2h(0)
1 A(z)
A(Rp) 模型，即P阶自回归模型
2
p
2
= 1
ai z i
i1
or
2
2
Sxx(ejw)A(ejw)2
1
p
2
aiejwi
i1
三、Wold分解定理：
• 内容：任何广义平衡随机过程可分解成一个完全随机的部 分和一个确定的部分。（所谓确定随机过程是指可根据无 限个过去取样值，完全预测的随机过程。）
• 方差小意味着单次估计的结果为估计量的均值的概率大。
它与估计的偏差不同，若是无偏的，则说明单次估计取真
值的概率大，也只有小方差无偏估计的质量好。B和
V
ar
[
a
]
要同时考虑。
• 3.估计的均方误差
定义：
D[a]E[(aa)2]
不难证明 D[a]Var[a]B2，我们认为均方误差较小的估计， 质量更好些。
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现代信号处理功率谱估计
式中, p(x)是X的概率密度函数，对于离散随机序列, 概率密度函 数用联合概率密度函数代替。显然,熵代表一种不确定性， 最大 熵代表最大的不确定性， 或者说最大的随机性。下面我们研究 对于有限的自相关函数值不作任何改变，对于未知自相关函数 用最大熵原则外推，即不作任何附加条件的外推方法。 假设x(n) 是零均值正态分布的平稳随机序列，它的N维高斯概率密度函数 为 p ( x 1 ,x 2 , ,x N ) ( 2 π ) N /2 (d R x( N x e )1 /2 ) e t x 1 2 X H p ( R x( N x) 1 X )
rxx(1)
rxx(2)
rxx(0) rxx(1)
rxx(N
1)
rxx(N
2)
0
rxx(N1) rxx(N)
rxx(1)
可以看出AR模型得到的结果与按最大熵外推rxx(N+1)得到的结果 一致，这就证明了当x(n)为高斯分布时的最大熵谱估计与AR模型
法是等价的。
上式（4.6.8)是rxx(N+1)的一次函数，由此可解得rxx(N+1)。再 用类似的方法求得rxx(N+2)， rxx(N+3)，┄，然后确定功率谱估计。
式中det(Rxx(N))表示矩阵Rxx(N)的行列式，由上式表明为使熵最 大，要求det(Rxx(N)最大。
现代信号处理功率谱估计
若已知N+1个自相关函数值rxx(0),rxx(1),…,rxx(N)，下面用最 大熵方法外推rxx(N+1)。设rxx(N+1)确实是信号自相关函数的第 N+2个值，根据自相关函数的性质，由N+2个自相关函数组成 的矩阵为
rxx(2)a1rxx(1)aNrxx(N2)
0
rxx(N)a1rxx(N1)aNrxx(0) 0
及
r x(N x 1 ) a 1 r x(N x) a N r x(1 x ) 0 （4.6.8）
现代信号处理功率谱估计
利用N个参数,由齐次方程组即可解得a1,a2,…,aN值,再将得到的参数 值代入(4.6.8)式,并将它整理成行列式:
式中
X[x1,x2, ,xN]H
现代信号处理功率谱估计
rxx(0) Rxx(N) rxx(1)
rxx(1) rxx(0)
rxx(N)
rxx(N1)
rxx(N) rxx(N1) rxx(0)
按照（4.6.2）式，x(n)信号的熵为
H lo2 π g )N / e [ 2 ((d R xe (x N )t1 ) /( 2 （]) 4.6.3）
它自相关函数值，而不必假设它们为零， 这就是最大熵谱估计
的基本思想。
现代信号处理功率谱估计
2. 最大熵谱估计与AR模型谱估计的等价性
我 们 已 经 知 道 AR
Yule-Walker方程，即
rxx(m)
N
k1 N
Байду номын сангаас
ak
rxx(m
k)
m>0
k1 akrxx(mk) w2 m=0
将m≥1的情况写成矩阵形式：
0
（4.6.7）
rxx(N1) rxx(N)
rxx(1)
上 式 是 rxx(N+1) 的 一 次 函 数 ， 可 以 解 出 rxx(N+1) 。 继 续 再 将
rxx(N+1) 代 入 Rxx(N+2) 和 det(Rxx(N+2)) 中 ， 求 det(Rxx(N+2)) 对
rxx(N+2)的最大值，得到rxx(N+2); 以此类推，可推出任意多个其
功率谱估计
七、最大熵谱估计
1、利用最大熵的原则外推自相关函数 2、 最大熵谱估计与AR模型谱估计的等价性
八、最大似然谱估计
1、最小方差谱估计 2、最大熵谱与最大似然谱估计的关系
九、特征分解法谱估计
1、正弦波用退化AR模型表示 2、白噪声中正弦波组合用一特殊的ARMA模型表示 3 、特征分解法谱估计
现代信号处理功率谱估计
一、 最大熵谱估计
1. 利用最大熵的原则外推自相关函数
按照Shannon对熵的定义， 当随机变量X取离散值时，熵的
定义为
H pi lnpi (4.6.1)
i
式中pi是出现状态i的概率。当X取连续值时，熵的定义为
H p (x )lp n (x )d x E [lp (x n )]
(4.6.2)
将行列式展开，det(Rxx(N+1))是rxx(N+1)的二次函数，该二次函 数 系 数 的 符 号 是 ： (-1)1+N+2(-1)1+N+1=-1 ， 且 det(Rxx(N+1)) 对 rxx(N+1)的二次导数是-2det［Rxx(N-1)］，它是负值，负值表示
det (Rxx(N+1))对rxx(N+1)的一次导数是减函数，det(Rxx·(N+1))作
rxx(0)
rxx(1) rxx(N) rxx(N1)
Rxx(N1)
rxx(1)
rxx(0)
rxx(N1)
rxx(N)
rxx(N1) rxx(N) rxx(1)
rxx(0)
（4.6.4）
现代信号处理功率谱估计
它必须是非负定的矩阵， 即
deRxt(x[N1)]0
（4.6.5）
dR x e ( 0 x )d t,[ R x e ( 1 x ) t,d [R x e ( N x ) t ] 0 [
rxx(0)
rxx(1)
rxx(1) rxx(N)
rxx(0) rxx(N1)
rxx(N) rxx(N1) rxx(0)
a1102
aN
0
现代信号处理功率谱估计
式中ai是AR模型系数,i=1, 2, 3, …, N, 。在AR模型中,列写齐次方
程式,可得
rxx(1)a1rxx(0)aNrxx(N1) 0
功率谱估计
十、 Prony谱分析法
1、利用最大熵的原则外推自相关函数 2、 最大熵谱估计与AR模型谱估计的等价性
十一、多重信号分类MUSIC
1、最小方差谱估计 2、最大熵谱与最大似然谱估计的关系
十二、特征分解法谱估计
1、波束形成器 2、特征子空间分析 3 、MUSIC算法及其改进
现代信号处理功率谱估计
为rxx(N+1)的函数，凹口向下，那么只有一个最大值。为选择
rxx(N+1)使det(Rxx(N+1)最大， 解下列方程：
d drxx(N1)deRtx[x(N1)]0
(4.6.6)
现代信号处理功率谱估计
用数学归纳法，得到
rxx(1)
rxx(0)
rxx(2) rxx(1)
rxx(N
1)
rxx(N 2)