2016年广东自主招生数学模拟试题：参数方程与普通方程的互化
参数方程与普通方程的互化解答题(1)
1．化下列参数方程为普通方程. (1()11)121t x t t t t y t -⎧=⎪⎪+∈≠-⎨⎪=⎪+⎩R ，,； (21 π)π,π,112tan cos sin x tan k k k y θθθθθ⎧=+⎪⎪⎛⎫≠+∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=+⎪⎩Z . 答案： (1) 221649x y +=； (2) ()()22112x y x +-=≥. 解答:(1) 变形为211 221x t y t ⎧=-+⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，∴1,2x y ≠-≠,∴()11x y x +=≠-. (2) 1,? sin cos sin cos ,? sin cos x y θθθθθθ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩①②， ② 式平方结合 ① 得22 2y x x =+又1 tan tan x θθ=+,知 2x ≥,所以方程为()()22112x y x +-=≥. 2．把下列参数方程化为普通方程,并判断方程所表示的曲线的类型.(1)cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数,a,b 为常数,且0a b >>)； (2)sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数, a,b 为正常数)； (3)222x pt y pt ⎧=⎨=⎩(t 为参数,p 为正常数). 答案：(1) 22221x y a b+=,这是一个长轴长为2a,短轴长为2b,中心在原点的椭圆； (2) 22221,x y a b-=这是一条双曲线； (3) 22,y px =这是一条抛物线.解答:(1)由22cos sin 1,θθ+=得22221x y a b +=, 这是一个长轴长为2a,短轴长为2b,中心在原点的椭圆.(2)由已知sec ,tan ,x y a b ϕϕ== 由22sec 1tan ,ϕϕ=+有22221,x y a b-=这是一条双曲线. (3)由已知,2y t p =代入22x pt =得222,4y p x p⋅= 即22,y px =这是一条抛物线. 3．分别在下列两种情况下，把参数方程()()1cos 21sin 2t t t t x e e y e e θθ--⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程. ()1θ为参数，t 为常数.(2)t 为参数，θ为常数.答案： (1) ()()222211144t t t t x y e e e e --+=+-； (2) 22221cos sin x y θθ-=. 解答:(1)当0t =时,0,cos y x θ==,即1x ≤,且0y =；当0t ≠时,()()cos ,sin 1122t tt t xy e e e e θθ--==+-, 而22sin cos 1θθ+=, 即()()222211144t t t t x y e e e e --+=+-.(2)当π,k k θ=∈Z 时,()10,2t t y x e e -==±+, 即1x ≥,且0y =； 当π,2k k πθ=+∈Z 时,()10,2t t x y e e -==±-, 即0x =； 当π,2k k θ≠∈Z 时, 得2cos 2sin t t t t x e e y e e θθ--⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩即222cos sin 222cos sin t t x y e x y e θθθθ-⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 得222222cos sin cos sin t t x y x y e e θθθθ-⎛⎫⎛⎫⋅=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 即22221cos sin x y θθ-=. 4．根据所给条件,把曲线的普通方程化为参数方程.(1()()2212)135x y --+=, 1x θ=+.(θ为参数)(22)10,1x y x x t -+-==+.(t 为参数)答案：(1) 1,2,x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数)； (2) 21,31,x t y t t =+⎧⎨=++⎩(t 为参数). 解答:(1)将1x θ=+代入()()2212135x y --+=得：2y θ=+.∴1,2,x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数) 这就是所求的参数方程.(2)将1x t =+代入210x y x -+-=得：()221111y x x t t =+-=+++- 231t t =++，∴2131x t y t t =+⎧⎨=++⎩(t 为参数) 这就是所求的参数方程.5．参数方程cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)化成普通方程为. 答案： ()2211x y +-=解答：因为()2222,1x cos y sin αα=-=,所以将两式两边分别相加得()2211x y +-=. 6．化参数方程121 2a x t t b y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，(a ，b 为大于零的常数，t 为参数)为普通方程. 答案：()2222 100x y a b a b-=>>, 解答: 因为1 2a x t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以 0t >时，[)x a ∞∈+，， 0t <时，(]x a ∞∈--,. 由1 2a x t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭两边平方可得22221 24a x t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭①，由1 2b y t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭两边平方可得22221 24b y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭②， 2211a b ⨯-⨯①②并化简，得2222 1(,x y a b a b-=为大于0的常数). 所以普通方程为()2222 100x y a b a b-=>>,. 7．把下面曲线的普通方程化为参数方程.2cos x a ϕ＝，ϕ为参数.答案：()22cos (1cos x a y a ϕϕϕ⎧=⎪⎨=-⎪⎩为参数).()22cos (1cos x a y a ϕϕϕ⎧=⎪⎨=-⎪⎩为参数).解答:把2cos x a ϕ=代入普通方程=，得ϕ，所以)1cos ϕ=-， 所以()2 1cos y a ϕ=-，所以普通方程=化为参数方程为()22cos (1cos x a y a ϕϕϕ⎧=⎪⎨=-⎪⎩为参数).8．已知某曲线C 的参数方程为212x t y at=+⎧⎨=⎩(其中t 是参数，a ∈R )，点()54M ，在该曲线上. (1)求常数a .(2)求曲线C 的普通方程.答案：(1) 1a =；(2) ()214x y -=.解答: (1)由题意，知21254t at +=⎧⎨=⎩，，故21t a =⎧⎨=⎩，，所以1a =. (2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为212(.x t t y t =+⎧⎨=⎩，为参数)由12x t =+，得12x t -=，代入第二个方程得212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，即()214x y -=. 故曲线C 的普通方程为()214x y -=. 9．求方程22321x t y t ⎧=+⎨=-⎩，(t 是参数)的普通方程及与x 轴交点的直角坐标. 答案：即 350x y --=且 2x ≥， (5,0).解答：由21y t =-得2 1t y =+代入2 32x t =+，得() 312x y =++，即 350x y --=且 2x ≥.其与x 轴交点的直角坐标为(5,0). 10．在平面直角坐标系xOy 中,求过椭圆5cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)的右焦点,且与直线42,3x t y t =-⎧⎨=-⎩(t 为参数)平行的直线的普通方程. 答案：240x y --=解答：由题设知,椭圆的长半轴长5a =,短半轴长3b =,从而4c ==，所以右焦点为()40,.将已知直线的参数方程化为普通方程:220x y -+=. 故所求直线的斜率为12,因此其方程为()142y x =-,即240x y --=. 11．已知直线160:(60x cos t l t y sin t⎧=+⎨=⎩为参数), 曲线:(x cos C y sin θθθ=⎧⎨=⎩为参数). (1)分别将直线l 和曲线C 的参数方程转化为普通方程;(2)求与直线l 平行且与曲线C 相切的直线2l 的方程. 答案：(1) 221x y +=；(2) 20y -±=.解答：(1)由题意可知, l的普通方程为y C =-的普通方程为221x y +=.(2)所求直线1l0y c -+=, 圆心到直线2l 的距离为12cd ==,所以2c =±;所以直线1l20y -±=.12．在平面直角坐标系xOy 中,求过抛物线288x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)的焦点且与直线1124x l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(l 为参数)垂直的直线的普通方程. 答案：360y -+=解答：由题意知,抛物线288x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)的普通方程为x2=8y,焦点为(0,2),直线11242x l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(l 为参数)-4=0,斜率为故所求直线的方程为2y x -=,360y -+=. 13．曲线的普通方程为()()2212135x y -++=,写出它的参数方程.答案：1(2x y θθθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩为参数) 解答：cos sin ,θθ==则1(2x y θθθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩为参数).即为所求的参数方程. 14．求直线2x y +=被圆33x cos y sin αα=⎧⎨=⎩(α为参数)截得的弦长.答案：解答：将圆3cos3sin x y αα=⎧⎨=⎩化为普通方程为22 9x y +=.圆 O 心到直线的距离为d ==∴弦长 L ===.所以直线 2x y +=被圆3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩截得的弦长为。
参数方程与普通方程的互化
参数方程与普通方程的互化一、参数方程转换为普通方程对于一个平面曲线，通常可以用参数方程表示，如x=f(t)，y=g(t)。
将其转换为普通方程的方法是将参数t消去，得到y=f(x)的形式。
以直线为例，设直线的参数方程为x=x0+a*t，y=y0+b*t，其中x0和y0为直线上其中一点的坐标，a和b为向量(a,b)的分量。
我们可以通过消去参数t，得到直线的普通方程。
首先，我们可以通过两个参数方程消去参数t，得到x-x0/a=y-y0/b。
然后，通过变形化简得到b*(x-x0)=a*(y-y0)，即b*x-a*y=b*x0-a*y0。
因此，我们可以得到直线的普通方程为b*x-a*y=b*x0-a*y0。
同样的方法可以应用于其他类型的曲线，如圆形、抛物线、椭圆等。
通过将参数方程中的参数消去，我们可以得到这些曲线的普通方程。
二、普通方程转换为参数方程对于给定的普通方程f(x,y)=0，要将其转换为参数方程x=f(t)，y=g(t)，可以通过替换变量的方法实现。
以圆为例，设圆的普通方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
要将其转换为参数方程，可以设x-a=r*cos(t)，y-b=r*sin(t)。
通过替换变量，我们可以得到参数方程x=a+r*cos(t)，y=b+r*sin(t)。
类似地，对于其他类型的曲线，如椭圆、抛物线、双曲线等，也可以通过替换变量的方法得到参数方程。
根据曲线的性质和普通方程的形式，选择适当的替换变量可以简化参数方程的形式。
三、参数方程于普通方程的优缺点参数方程和普通方程各有优缺点，根据具体的应用场景选择合适的表达形式。
参数方程的优点在于可以直接描述几何图形的轨迹，可以用简洁的数学形式表示出曲线的特点。
参数方程也更适合于描述复杂的曲线，如螺旋线、双曲螺线等。
此外，参数方程也更适合于计算机图形学和动画设计等领域，可以通过改变参数值来控制图形的形态和运动。
参数方程和普通方程的互化
参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化为参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )(t 为参数)就是曲线的参数方程．(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝sin 2θ，(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段D ．射线解析：选C.x ＝cos 2θ∈[0，1]，y ＝sin 2θ∈[0，1]，所以x ＋y ＝1，(x ，y ∈[0，1])为线段．2．能化为普通方程x 2＋y －1＝0的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝cos 2tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan φy ＝1－tan 2φC.⎩⎨⎧x ＝1－t y ＝tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin 2θ 解析：选B.对A ，可化为x 2＋y ＝1(y ∈[0，1])；对B ，可化为x 2＋y －1＝0；对C ，可化为x 2＋y －1＝0(x ≥0)；对D ，可化为y 2＝4x 2－4x 4.(x ∈[－1，1])．3．(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t (t 为参数)化为普通方程为____________．(2)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝1－sin θ，(θ为参数)化为普通方程为____________．解析：(1)把t ＝12x 代入y ＝t 得y ＝12x .(2)参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝cos θ，y －1＝－sin θ，两式平方相加，得(x －1)2＋(y －1)2＝1. 答案：(1)y ＝12x (2)(x －1)2＋(y －1)2＝14．(1)若x ＝cos θ，θ为参数，则曲线x 2＋(y ＋1)2＝1的参数方程为____________． (2)若y ＝2t (t 为参数)，则抛物线y 2＝4x 的参数方程为____________． 解析：(1)把x ＝cos θ代入曲线x 2＋(y ＋1)2＝1，得cos 2θ＋(y ＋1)2＝1， 于是(y ＋1)2＝1－cos 2θ＝sin 2θ， 即y ＝－1±sin θ， 由于参数θ的任意性， 可取y ＝－1＋sin θ， 因此，曲线x2＋(y ＋1)2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝－1＋sin θ，(θ为参数)．(2)把y ＝2t 代入y 2＝4x ， 解得x ＝t 2， 所以抛物线y2＝4x 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2y ＝2t (t 为参数)．答案：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (t 为参数)参数方程化普通方程将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎨⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t，(t 为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1，(θ为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝2－12t，(t 为参数)； (4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t 2，(t 为参数)．[解] (1)由x ＝t ＋1≥1，有t ＝x －1， 代入y ＝1－2t ， 得y ＝－2x ＋3(x ≥1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5sin θ＝y ＋14， ① ②①2＋②2得x 225＋(y ＋1)216＝1.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝2－12t 得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝32t y －2＝－12t ， ① ②②÷①得y －2x －1＝－33，所以y －2＝－33(x －1)(x ≠1)， 所以3x ＋3y －6－3＝0，又当t ＝0时x ＝1，y ＝2也适合，故普通方程为3x ＋3y －6－3＝0. (4)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 1＋t 2y ＝1－t 21＋t 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4t 2(1＋t 2)2y 2＝1＋t 4－2t 2(1＋t 2)2，① ② ①＋②得x 2＋y 2＝1.(1)消参的三种方法①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后运用代入消元法或加减消元法消去参数； ②利用三角恒等式借助sin 2θ＋cos 2θ＝1等消去参数；③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法(例如借助⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4等)从整体上消去参数． (2)化参数方程为普通方程应注意的问题将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 的取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝－1＋cos 2θ，(θ为参数)化为普通方程是( )A ．2x －y ＋4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＋4＝0，x ∈[2，3]D ．2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]解析：选D.由x ＝2＋sin 2θ，则x ∈[2，3]，sin 2θ＝x －2，y ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ＝－2x ＋4，即2x ＋y －4＝0，故化为普通方程为2x ＋y －4＝0，x ∈[2，3]．2．化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t ，(a ，b 为大于0的常数，t 为参数)为普通方程．解：因为x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，当t >0时，x ∈[a ，＋∞)，当t <0时，x ∈(－∞，－a ]．由x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 两边平方可得x 2＝a 24⎝⎛⎭⎪⎫t 2＋2＋1t 2，①由y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 两边平方可得y 2＝b 24⎝⎛⎭⎪⎫t 2－2＋1t 2，②①×1a 2－②×1b 2并化简，得x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b 为大于0的常数)．所以普通方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．普通方程化参数方程根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程． (1)(x －1)23＋(y －2)25＝1，x ＝3cos θ＋1.(θ为参数)(2)x 2－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数)[解] (1)将x ＝3cos θ＋1代入(x －1)23＋(y －2)25＝1得y ＝2＋5sin θ.所以⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2.(θ为参数)这就是所求的参数方程．(2)将x ＝t ＋1代入x 2－y ＋x －1＝0得：y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1＝t 2＋3t ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1.(t 为参数)这就是所求的参数方程．化普通方程为参数方程的方法及注意事项(1)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价． (2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．根据所给条件，求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程．(1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)若令y ＝t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x ＝2t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？解：(1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2 θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，所以x ＝±2cos θ.所以4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(2)将y ＝t 代入椭圆方程4x 2＋y 2＝16，得4x 2＋t 2＝16，则x 2＝16－t24.所以x ＝±16－t 22.因此，椭圆4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16－t 22y ＝t ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16－t 22y ＝t，(t 为参数)．同理将x ＝2t 代入椭圆4x 2＋y 2＝16，得椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t y ＝41－t 2，或⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝－41－t2(t 为参数)．参数方程与普通方程互化的应用已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t，(t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θy ＝3sin θ，(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？ (2)若C 1上的点P 对应的参数t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)距离的最小值及此时Q 点的坐标．[解] (1)由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos ty ＝3＋sin t ，(t 为参数)，则⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3，由sin 2t ＋cos 2t ＝1得(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，即曲线C 1的普通方程．C 1表示的是圆心为(－4，3)，半径为1的圆．由C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，则⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x 8，sin θ＝y3，由cos 2θ＋sin 2θ＝1得x 264＋y 29＝1，即曲线C 2的普通方程．C 2表示的是中心在坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4，4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ， C 3为直线x －2y －7＝0.则点M 到直线C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|， 其中cos φ＝45，sin φ＝35，所以当cos(θ＋φ)＝1时，d 取得最小值855.此时cos θ＝45，sin θ＝－35，所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫325，－95.(1)在利用参数方程与普通方程互化的过程中，若化参数方程为普通方程，则既要掌握几种常见的消参方法，又要注明未知数的取值范围；若化普通方程为参数方程，则既要根据选取参数的条件，把变量x ，y 表示为关于参数的函数，又要注明参数及其取值范围，做到规范答题．(2)在解题过程中，当一种方程形式不利于解题时就应设法转化为另一种形式，这是解决此类问题的基本思想在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，点P 的直角坐标为(3，0)．1．参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型．由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M 的坐标x ，y 和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数．2．同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率．求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形．3．参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性．1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|，y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A ．x ＝1－y 2B ．y ＝1－x 2C ．y ＝±1－x 2D ．x 2＋y 2＝1解析：选A.由x ＝|sin θ|得0≤x ≤1；由y ＝cos θ得－1≤y ≤1.故选A. 2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝2表示的曲线是( ) A ．一条直线 B ．两条射线 C ．一条线段D ．抛物线的一部分解析：选B.因为t >0时x ≥2，t <0时x ≤－2. 所以普通方程为y ＝2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)， 它表示的图形是两条射线．3．若y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2y ＝8t 1＋t2(t 为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t1＋t 2y ＝4t 1＋t2(t 为参数)解析：选A.因为y ＝tx ，代入x 2＋y 2－4y ＝0， 得x 2＋(tx )2－4tx ＝0. 当t ＝0时，x ＝0，且y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0.当t ≠0时，x ＝4t1＋t2.而y ＝tx ，即y ＝4t21＋t 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2y ＝4t21＋t2(t 为参数)．综上知，所求圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t2y ＝4t 21＋t2(t 为参数)．4．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R)，点M (5，4)在该曲线上．(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．解：(1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t2，由第一个方程，得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求．[A 基础达标]1．与参数方程⎩⎨⎧x ＝ty ＝21－t，(t 为参数)等价的普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1B ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1)C ．x 2＋y 24＝1(0≤y ≤2)D ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1，0≤y ≤2)解析：选D.方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝21－t ，变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t y 2＝1－t ，两式平方相加，得x 2＋y 24＝1，由式子t ，21－t 有意义，得0≤t ≤1，所以0≤x ≤1，0≤y ≤2，故选D.2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上解析：选B.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)化为普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，其表示以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，其对称中心即圆心，显然(－1，2)在直线y ＝－2x 上，故选B.3．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－2－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ(θ为参数)，则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是( )A.π4，(1，0) B ．π4，(－1，0) C.3π4，(1，0) D ．3π4，(－1，0) 解析：选C.直线消去参数得直线方程为y ＝－x ，所以斜率k ＝－1即倾斜角为3π4.圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，圆心坐标为(1，0)．4．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝2t1＋t2(t 为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1去掉(0，1)点 C ．x 2＋y 2＝1去掉(1，0)点 D ．x 2＋y 2＝1去掉(－1，0)点解：选D.x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＝1，又因为x ＝－1时，1－t 2＝－(1＋t 2)不成立，故去掉点(－1，0)．5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＋sin θ2，y ＝12(1＋sin θ).(0≤θ<2π)表示的是( )A ．双曲线的一支，这支过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12B ．抛物线的一部分，这部分过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 C ．双曲线的一支，这支过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 D ．抛物线的一部分，这部分过点⎝⎛⎭⎪⎫1，－12解析：选B.因为x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4，故x ∈[0，2]，又y ＝12(1＋sin θ)，故y ∈[0，1]．因为x 2＝1＋sin θ，所以sin θ＝x 2－1， 代入y ＝12(1＋sin θ)中得y ＝12x 2，即x 2＝2y ，(0≤x ≤2，0≤y ≤1)表示抛物线的一部分， 又2×12＝1，故过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12. 6．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θ＋4cos θy ＝4sin θ－3cos θ，(θ为参数)，则此圆的半径为________．解析：两式平方相加，得x 2＋y 2＝9sin 2θ＋16cos 2θ＋24sin θcos θ＋16sin 2θ＋9cos 2θ－24sin θcos θ＝9＋16＝25.所以圆的半径r ＝5. 答案：57．过原点作倾斜角为θ的直线与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α相切，则θ＝________．解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，直线与圆相切时，易知tan θ＝±33，所以θ＝π6或5π6.答案：π6或5π68．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________．解析：曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32(舍去－32)． 答案：329．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －2＝0.又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|2＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．10．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)． 解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2)．[B 能力提升]11．已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为( )A. 2 B ．2 2 C ．3 2D ．4 2解析：选D.圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ，圆心为(3，1)，半径为3，直线普通方程为32x －12y ＝0，即3x －y ＝0，圆心C (3，1)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|(3)2－1|3＋1＝1，所以圆C 截直线所得弦长|AB |＝2r 2－d 2＝232－12＝4 2.12．在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与C 2相切，则实数a ＝________．解析：圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，其标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心为(2，2)，半径长为22，圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a |，由于圆C 1与圆C 2相切，则|C 1C 2|＝22＋|a |＝32或|C 1C 2| ＝|a |－22＝32⇒a ＝±2或a ＝±5 2.答案：±2或±5 213．化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1ty ＝t －1t (t 为参数)为普通方程，并求出该曲线上一点P ，使它到y ＝2x ＋1的距离为最小，并求此最小距离．解：化参数方程为普通方程为x 2－y 2＝4.设P (t ＋1t ，t －1t )，则点P 到直线2x －y ＋1＝0的距离d ＝|t ＋3t ＋1|5.(1)当t >0时，d ≥23＋15.(2)当t <0时，因为－t －3t≥23，所以t ＋3t＋1≤－23＋1.所以|t ＋3t ＋1|≥23－1，所以d ≥23－15.因为23＋15>23－15，所以d 的最小值为23－15，即215－55，此时点P 的坐标为(－433，－233)．14．(选做题)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t (t为参数)．(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2的公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C 1′，C 2′，写出C 1′，C 2′的参数方程．C 1′与C 2′公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．解：(1)C 1是圆，C 2是直线．C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心C 1(0，0)，半径r ＝1.C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1，所以C 1与C 2只有一个公共点．(2)压缩后的参数方程分别为C 1′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C 2′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝24t(t 为参数)，化为普通方程为C 1′：x 2＋4y 2＝1，C 2′：y ＝12x ＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0，其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的个数相同．。
参数方程与普通方程的互化解答题(2)
1．已知曲线12:1x cost C y sint =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数),24:3x cos C y sin θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)． (1)化12,C C 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线2C 的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线1C 于,A B 两点,求AB ． 答案：(1) ()()221:211,C x y ++-=圆心是()2,1-,半径是1的圆． 222: 1.169x y C +=中心是坐标原点,焦点在x 轴上,长轴长是8,短轴长是6的椭圆；解答：(1)()()222212:211,: 1.169x y C x y C ++-=+= 曲线1C 为圆心是()2,1-,半径是1的圆．曲线2C 为中心是坐标原点,焦点在x 轴上,长轴长是8,短轴长是6的椭圆．(2)曲线2C 的左顶点为()4,0-,则直线l的参数方程为4x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(s 为参数),将其代入曲线1C 整理可得,240s -+=,设,A B 对应参数分别为12,s s ,则1212 4.s s s s +== 所以12AB s s =-==2．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,(2x t t y t=+⎧⎨=⎩为参数)，曲线C 的参数方程为22tan (2x y tan θθθ⎧=⎨=⎩为参数). (1)求直线l 和曲线C 的普通方程；(2)求直线l 和曲线C 的公共点的坐标.答案：(1) 220x y --=，22y x =；(2) ()1,1,2,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 解答：(1)由直线l 的参数方程为1,(2x t t y t =+⎧⎨=⎩为参数)，得1t x =-，代入2y t =，得直线l 的普通方程为220x y --=. 由曲线C 的参数方程为22tan (2x y tan θθθ⎧=⎨=⎩为参数)，得tan 2y θ=，代入22tan x θ=，得曲线C 的普通方程22y x =.(2)由题意，得22202,x y y x --=⎧⎨=⎩解得11121x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩或2222x y =⎧⎨=⎩.故直线l 和曲线C 的公共点的坐标为()1,1,2,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 3．已知曲线1C 的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数),曲线2C 的参数方程为t t 2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),且曲线1C 与2C 相交于A,B 两点. (1)求曲线1C , 2C 的普通方程;(2)若点)F ,求FAB ∆的周长.答案： (1) 22142x y +=，y x =； (2)8.解答：(1)将曲线1C 的参数方程消去参数可得:22142x y +=. 曲线2C 的参数方程消去参数可得: y x =+(2)由(1)知点)F 是椭圆1C 的右焦点,且曲线2C 过椭圆1C的左焦点() ,则根据椭圆的定义可得FAB ∆的周长为228a ⨯=.4．已知圆1cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩(其中θ为参数)和直线2cos :tsin x t l y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩(其中t 为参数,α为直线l 的倾斜角).如果直线l 与圆C 有公共点,求α的取值范围.答案：ππ62α≤≤ 解答：圆C 的普通方程为()2211x y -+=,将直线l 的参数方程代入圆C 的普通方程,得22()30t cos t αα++= ,由题意知这个关于t 的一元二次方程有解,故2410()2cos αα∆=+-≥,即2π3()64sin α+≥,即π6()sin α+≥π6()sin α+≤ 又0απ≤<,故只能是π62()sin α+≥即ππ2π363α≤+≤,即ππ62α≤≤. 5．已知直线l的参数方程为1212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为2cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数).(1)若在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求点Q 到直线l 的距离的最小值与最大值。
高中数学参数方程与普通方程的互化练习题含答案
高中数学参数方程与普通方程的互化练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知曲线C 的参数方程为{x =3ty =2t 2+1（t 为参数），则点M 1(0, 1)，M 2(5, 4)与曲线C的位置关系是（ ） A.M 1在曲线C 上，但M 2不在 B.M 1不在曲线C 上，但M 2在 C.M 1，M 2都在曲线C 上 D.M 1，M 2都不在曲线C 上2. 参数方程{x =−3+2cos θy =1+2sin θ（θ为参数）化为普通方程是（ ）A.(x −1)2+(y +3)2=1B.(x +3)2+(y −1)2=4C.(x −2)2+(y +2)2=4D.x +y −2=03. 与普通方程x 2+y −1=0等价的参数方程为（t 为参数）（ ） A.{x =sin t y =cos 2t B.{x =tan ty =1−tan 2t C.{x =√1−t y =t D.{x =cos t y =sin 2t4. 已知点P(x, y)在曲线{x =−2+cos θy =sin θ(θ为参数，且θ∈[π, 2π)）上，则点P 到直线{x =2+t y =−1−t （t 为参数）的距离的取值范围是（ ） A.[−3√22, 3√22] B.[3√22−1, 3√22+1] C.(√2, 2√2] D.(√2, 3√22+1]5. 在曲线{x =sin 2θy =cos θ+sin θ(θ为参数)上的点是（ ）A.(12，−√2) B.(−34，12)C.(2,√3)D.(1,√3)6. 在平面直角坐标系内，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．曲线C 的极坐标方程是ρ=2cos θ，直线l 的参数方程是{x =−3+√32ty =2+√32t （t 为参数）．若M ，N 分别为曲线C 与直线l 上的动点，则|MN|的最小值为（ ） A.√2+1 B.3√2−1 C.√2−1 D.3√2−27. 方程{x =sin θy =cos θ（θ为参数）所表示的曲线上的一点的坐标是（ ）A.(2,7)B.(13,23)C.(12,12)D.(1,0)8. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =ty =4+t （t 为参数）．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4√2sin (θ+π4)，则直 线l 和曲线C 的公共点有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个9. 下列那些点既在曲线C 1:{x =√5cos θy =sin θ（0≤θ<π，θ为参数）又在曲线 C 2:{x =54t 2y =t（t ∈R ，t 为参数）上（ ） A.(1, 2√55) B.(−1, ±2√55) C.(1, 2√55) D.(1, ±2√55)10. 若直线y =x −b 与曲线{x =2+cos θy =sin θ(θ∈[0, 2π)）有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为（ ）A.(2−√2，1)B.[2−√2，2+√2]C.(−∞,2−√2)∪(2+√2,+∞)D.(2−√2，2+√2)11. 参数方程{x =3t 2+3y =t 2−1(0≤t ≤5)表示的曲线（形状）是________．12. （坐标系与参数方程）已知曲线C 的参数方程是{x =2+√2cos θy =√2sin θ（θ为参数），则该曲线的普通方程为________．13. 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为ρcos θ=2，它与抛物线{x =8t 2y =8t （t 为参数）相交于两点A 和B ，则|AB|=________．14. 已知直线{x =√32t y =1+12t （t 为参数）与抛物线x 2=y 交于A 、B 两点，则线段AB 的长是________．15. 在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 1:{x =2t +2y =1−t（t 为参数）与曲线C 2:{x =a sin θy =3cos θ．(θ为参数，且a >0)有一个公共点在x 轴上，则实数a =________．16. 设抛物线C ：，（t 为参数）的焦点为F ，曲线(s 为参数，k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝________．17. （理）在直角坐标系xOy 中，点M 为曲线C:{x =3+cos θy =sin θ（θ为参数）上一点．O 为坐标原点，则|OM|的最小值为________．18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1:{x =1−ty =2t +1（t 为参数）与曲线C 2:{x =2cos θy =b sin θ(θ为参数，b >0)有一个公共点在y 轴，则b =________．19. 曲线C 的参数方程为{x =cos θy =sin θ(θ为参数，0<θ≤π2)，直线l:2x +y +a =0和曲线C 有两个公共点，则实数a 的取值范围是________．20. 直线{x =2+2ty =−1+t （t 为参数）上对应t =0，t =1两点间的距离是________．21. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =t ，y =4−2t(t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=21+cos 2θ． (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，求|PQ| 的最小值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cos θy =4sin θ（θ为参数），直线l 的参数方程为{x =1+t cos αy =2+t sin α’（t 为参数）．求C 和l 的直角坐标方程；若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．23. 在直角坐标系xOy 中，已知点M (1,√32),C 1的参数方程为{x =12+ty =√3t（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为3ρ2=2+cos 2θ .(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设曲线 C 1 与曲线C 2相交于A ，B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．24. （本小题满分10分）选修4−4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系rOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cos θ,y =2sin θ(θ为参数）直线Ⅰ的参数方程为{x =a +2t,y =1+t （t 为参数）．(1)若a =1，直线！与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|(2)若a =−3，求曲线C 上的点到直线！的距离的最小值．25. 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相同的单位长度，已知直线I 的参数方程为{x =1+ty =1+√3t （t 为参数），圆C 的极坐标方程为ρ=2，点P 关于极点对称的点P ′的极坐标为(√2，5π4).(1)写出圆C 的直角坐标方程及点P 的极坐标；(2)设直线I 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．26. 已知曲线C ：x 24+y 29=1，直线l ：{x =2+ty =2−2t(t 为参数）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程.27. 在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为{x =−2√3+4cos θy =2+4sin θ （θ为参数），直线l的参数方程为{x =−2√3+my =√3m（m 为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立坐标系． (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，若P(−2√3,0)，求1|PM|2+1|PN|2的值．28. 已知在直角坐标系x0y 内，直线l 的参数方程为{x =2+2ty =1+4t （t 为参数）．以Ox 为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=2√2sin (θ+π4)． （1）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）判断直线l 和圆C 的位置关系．29. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3−√22t y =√5+√22t（t 为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的单位长度，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=2√5sin θ． （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于A ，B 两点，若点P 坐标为(3, √5)，求|PA|⋅|PB|的值．30. 已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程：{x =ty =1+2t （t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程：ρ=2cos θ．（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）判断直线l 和曲线C 的位置关系． 31.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cos φ，y =2sin φ（φ为参数，0≤φ≤π），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为φ=4，等边三角形ABC 的顶点都在C 2上，且点A,B,C 依逆时针次序排序，点A 的极坐标为(4,π6)．(1)求点A,B,C 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求点P 到直线BC 的距离的取值范围取值范围．32. 已知直线l 过点P(1,0)，且倾斜角为θ，在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=3cos 2θ+3sin 2θ，且直线交曲线C 于A ，B 两点．（1）将曲线C 的极坐标方程化为普通方程，当θ=π3时，求|AB|的长度；（2）当直线的倾斜角θ变化时，求|PA|⋅|PB|的取值范围．33. （1）点P 是椭圆x 29+y 216=1上的动点，求点P 到直线4x +3y =12的最大距离； 33. （2）已知圆C 的参数方程{x =1+2cos αy =2sin α（α为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ+ρsin θ=m ，且直线l 与圆C 相切，求实数m 的值．34. 已知直线l 经过点P(1, 1)，倾斜角α=π3． （1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆C:{x =2cos θy =2sin θ（θ为参数）相交于点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积|PA|⋅|PB|．35. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+√5cosφ,y =2+√5sinφ（φ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）求曲线C 1普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 3的极坐标方程为θ=α(0>α>π),ρ∈R ，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，若|AB|=√2，求α的值．36. 曲线C:{x =1ty =1t √t 2−1，直线l:ρcos θ+ρsin θ=a （1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（2）直线l 与曲线C 有公共点，求a 的取值范围．37. 在同一平面直角坐标系中，曲线C:x 2+y 2=1经过伸缩变换{x′=3x y′=2y 后，变为曲线C′．（1）求曲线C′的方程；（2）求曲线C′上的点到直线x +2y −8=0距离的最小值．38. 直角坐标系中曲线C 的参数方程为{x =4cos θy =3sin θ（θ为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）经过点M(0, 1)作直线l 交曲线C 于A ，B 两点（A 在B 上方），且满足BM =2AM ，求直线l 的方程．39. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1+t cos αy =2+t sin α（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=6sin θ （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若点P(1, 2)，设圆C 与直线l 交于点A 、B ，求1|PA|+1|PB|的最小值．40. 设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π60rad/s ，试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．参考答案与试题解析高中数学参数方程与普通方程的互化练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】A【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】把曲线C的参数方程化为普通方程，验证点M1、M2是否在曲线C上即可．【解答】解：把曲线C的参数方程{x=3ty=2t2+1（t为参数）化为普通方程，得y=2x 29+1；当x=0时，y=1，∴点M1在曲线C上；当x=5时，y=509+1≠4，∴点M2不在曲线C上．故选：A．2.【答案】B【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】直接消去参数，即可得到普通方程．【解答】解：由题意，2cosθ=x+3，2sinθ=y−1，消去参数θ得，(x+3)2+(y−1)2=4，故选B．3.【答案】B【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】A．化为普通方程为x2+y−1=0，x∈[−1,1]，y∈[0,1]B．化为普通方程为x2+y−1=0，x∈R，y∈(−∞,1]C．化为普通方程为x2+y−1=0，x∈[0,+∞)，y∈(−∞,1]D．化为普通方程为x2+y−1=0，x∈[−1,1]，y∈[0,1]而已知方程x2+y−1=0，x∈R，y∈(−∞,1]，显然与之等价的方程是B．4.【答案】 D【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】消去参数，转化为普通排除，利用点到直线的距离公式进行求解即可． 【解答】解：消去参数θ，得曲线的标准方程为(x +2)2+y 2=1，∵ θ∈[π, 2π)，∴ −1≤cos θ<1，即−3≤−2+cos θ<−1，即−3≤x <−1 其图象是圆心为(−2, 0)，半径为1的圆的一部分，消去参数t 得直线的方程为x +y −1=0，则圆心到直线的距离加上半径为所求距离的最大值， 即圆心到直线的距离d =|−2−1|√2=3√2=3√22， 则距离的最大值为3√22+1，点(−1, 0)到直线的距离最小， 此时点(−1, 0)到直线的距离d =√2=√2=√2，但取不到．故点P 到直线的距离的取值范围是(√2, 3√22+1]，故选：D5.【答案】 B【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】先找曲线的普通方程y 2=1+x ，结合选项可找出符合条件的点． 【解答】解：曲线{x =sin 2θy =cos θ+sin θ(θ为参数)的普通方程为y 2=1+xx =sin 2θ≤1结合选项可得x =−34时，y =12满足条件 故选：B 6. 【答案】B【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】将ρ=2cos θ转化为普通方程，将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，由点到直线的距离公式求出圆心(2, 0)到直线l 的距离，由直线与圆的位置关系求出|MN|的最小值． 【解答】解：由ρ=2cos θ得，ρ2=2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程x 2+y 2=2x ，即x 2+y 2−2x =0， 则曲线C 是以(1, 0)为圆心，1为半径的圆， 由{x =−3+√32t y =2+√32t 得，x −y +5=0，所以直线l 的直角坐标方程是x −y +5=0， 则圆心(1, 0)到直线l 的距离d =2=3√2>1，因为M ，N 分别为曲线C 与直线l 上的动点， 所以|MN|的最小值为3√2−1， 故选：B ． 7.【答案】 D【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】 此题暂无解析 【解答】解根据三角函数知识，容易得到普通方程为x 2+y 2=1，代入点的坐标，选D ． 8. 【答案】 B【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】首先，将给定的参数方程和极坐标方程化为普通方程，然后，利用直线与圆的位置关系进行判断． 【解答】解：∵ 直线l 的参数方程为{x =ty =4+t （t 为参数）． ∴ 它的普通方程为：x −y +4=0， ∵ 曲线C 的极坐标方程为ρ=4√2sin (θ+π4)， ∴ ρ=4√2(sin θcos π4+cos θsin π4) =4(sin θ+cos θ)， 两边同乘以ρ，得 x 2+y 2=4y +4x ，∴ 它的直角坐标方程为：(x −2)2+(y −2)2=8， 它的半径为2√2，圆心为(2, 2)， 圆心到直线的距离为d =√2=2√2，∴ 直线l 和曲线C 的公共点有1个． 故选：B ． 9.【答案】 C【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】首先，将两个曲线的参数方程化为普通方程，然后，联立方程组，求解其交点即可． 【解答】解：由曲线C 1:{x =√5cos θy =sin θ（0≤θ<π，θ为参数），得：x 25+y 2=1，(y ∈[0, 1)）由曲线 C 2:{x =54t 2y =t （t ∈R ，t 为参数），得y 2=45x ，联立方程组，{x 25+y 2=1y 2=45x，得x =1或x =−5（舍去）， ∴ y =±2√55， ∵ y ∈[0, 1)，两个曲线的交点坐标为(1, 2√55)， 故选：C ．10. 【答案】 D【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】由题意将参数方程化为普通方程，因为直线与圆有两个不同的交点，可得√2<1，从而求出b 的范围； 【解答】解：{x =2+cos θy =sin θ化为普通方程(x −2)2+y 2=1，表示圆，因为直线与圆有两个不同的交点，所以2<1解得2−√2<b <2+√2法2：利用数形结合进行分析得|AC|=2−b =√2，∴ b =2−√2同理分析，可知2−√2<b <2+√2．故选D ．二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 11.【答案】 线段 【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】参数方程化为普通方程，即可得出结论． 【解答】解：参数方程{x =3t 2+3y =t 2−1(0≤t ≤5)，化为普通方程为x −3y +6=0(0≤x ≤78)，∴ 参数方程{x =3t 2+3y =t 2−1(0≤t ≤5)表示的曲线（形状）是线段．故答案为：线段． 12.【答案】(x −2)2+y 2=2 【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】在曲线C 的参数方程中，用同角三角函数的基本关系消去θ，化为普通方程． 【解答】解：曲线C 的参数方程是{x =2+√2cos θy =√2sin θ（θ为参数），利用同角三角函数的基本关系消去θ，化为普通方程为 (x −2)2+y 2=2， 故答案为 (x −2)2+y 2=2． 13.【答案】 8【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】先把直线的极坐标方程化为普通范方程，再代入抛物线方程中，求出交点A 、B ，即得|AB|． 【解答】解：直线的极坐标方程为ρcos θ=2， 化为普通范方程是x =2，把x =2代入抛物线方程{x =8t 2y =8t （t 为参数）中，求得t =±12，∴ y =±4；∴ 交点A(2, 4)、B(2, −4)， ∴ |AB|=|−4−4|=8； 故答案为：8． 14. 【答案】2√133【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】把直线{x =√32t y =1+12t （t 为参数）代入抛物线x 2=y ，化为3t 2−2t −4=0．再利用根与系数的关系、参数的几何意义、弦长公式即可得出． 【解答】解：把直线{x =√32t y =1+12t（t 为参数）代入抛物线x 2=y ，化为3t 2−2t −4=0．∴ t 1+t 2=23，t 1t 2=−43．∴ |AB|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√(23)2−4×(−43)=2√133． 故答案为：2√133． 15.【答案】4【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】求出曲线C 1的普通方程为x +2y −4=0，曲线C 2的直角坐标方程为x 2a2+y 29=1，由曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上，得在x +2y −4=0上，y =0时，x =4，从而曲线C 2:x 2a 2+y 29=1过点(4, 0)，由此能求出结果．【解答】 解：∵ 曲线C 1:{x =2t +2y =1−t（t 为参数）∴ 曲线C 1的普通方程为x +2y −4=0， ∵ 曲线C 2:{x =a sin θy =3cos θ．(θ为参数，且a >0)，∴曲线C2的直角坐标方程为x2a2+y29=1，联立{x+2y−4=0x2a+y29=1，∵曲线C1:{x=2t+2y=1−t（t为参数）与曲线C2:{x=a sinθy=3cosθ．(θ为参数，且a>0)有一个公共点在x轴上，在x+2y−4=0上，y=0时，x=4，∴曲线C2:x2a +y29=1过点(4, 0)，∵a>0，∴a=4．故答案为：4．16.【答案】2【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】把参数方程化为普通方程，利用抛物线的简单性质求出焦点F的坐标，再求出两条曲线的交点P的坐标，根据PF⊥x轴，求得k的值．【解答】抛物线C：，（t为参数）的焦点为F，即y2＝4x，它的焦点为F(1, 0)，曲线(s为参数，k>0)，即y，它与C交于点P(,)．∵PF⊥x轴，则1，∴k＝2，17.【答案】2【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】把曲线C的坐标代入两点间的距离公式，求出|OM|的取值范围，即得最小值．【解答】解：根据题意，得|OM|=√x2+y2=√(3+cosθ)2+sin2θ=√9+6cosθ+cos2θ+sin2θ=√10+6cosθ；∵−1≤cosθ≤1，∴4≤10+6cosθ≤16；∴2≤√10+6cosθ≤4，∴|OM|的最小值为2．故答案为：2．18.【答案】 3【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】曲线C 1:{x =1−ty =2t +1（t 为参数），消去参数化为：2x +y −3=0．由曲线C 2:{x =2cos θy =b sin θ(θ为参数，b >0)，利用cos 2θ+sin 2θ=1化为直角坐标方程．直线与曲线C 2有一个公共点在y 轴，公共点为(0, 3)．代入曲线C 2方程即可得出． 【解答】解：曲线C 1:{x =1−ty =2t +1（t 为参数），消去参数化为：2x +y −3=0．曲线C 2:{x =2cos θy =b sin θ(θ为参数，b >0)，化为：x 24+y 2b 2=1．∵ 直线与曲线C 2有一个公共点在y 轴，∴ 公共点为(0, 3)．代入曲线C 2方程可得：b 2=9，b >0，解得b =3． 故答案为：3． 19. 【答案】(−√5, −2) 【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】先求出曲线C 的普通方程为x 2+y 2=1，x ∈[0, 1), y ∈(0, 1]，它的图象是以(0, 0)为圆心，以1为半径的圆在第一象限部分，作出曲线C 图象如右图，过(1, 0)，斜率为−2的直线方程是2x +y −2=0，它与曲线C 有一个交点，联立{x 2+y 2=12x +y +a =0，得5x 2+4ax +a 2−1=0，由直线l:2x +y +a =0和曲线C 有两个公共点，得−√5<a <√5，直线2x +y −√5=0与曲线C 相切，只有一个交点，作出图象，利用数形结合思想能求出实数a 的取值范围． 【解答】解：∵ 曲线C 的参数方程为{x =cos θy =sin θ(θ为参数，0<θ≤π2)，∴曲线C的普通方程为x2+y2=1，x∈[0, 1), y∈(0, 1]，曲线C是以(0, 0)为圆心，以1为半径的圆在第一象限部分，作出曲线C图象如右图，直线l:2x+y+a=0的斜率k=−2，曲线C与y轴交于(0, 1)，与x轴接近于(1, 0)，过(0, 1)，斜率为−2的直线方程是2x+y−1=0，它与曲线C有一个交点，过(1, 0)，斜率为−2的直线方程是2x+y−2=0，它与曲线C有一个交点，联立{x2+y2=12x+y+a=0，得5x2+4ax+a2−1=0，∵直线l:2x+y+a=0和曲线C有两个公共点，∴△=16a2−20a2+20>0，解得−√5<a<√5，直线2x+y−√5=0与曲线C相切，只有一个交点，作出图象，观察图象得到当直线l介于2x+y−2=0和2x+y−√5=0之间时，直线l:2x+y+a=0和曲线C有两个公共点，∴实数a的取值范围是(−√5, −2)．故答案为：(−√5, −2)．20.【答案】√5【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】首先，将t=0，t=1代人，得到两个点，然后，利用两点间的距离公式求解．【解答】解：∵直线{x=2+2ty=−1+t（t为参数），将t=0，t=1代人，得(2, −1)，(4, 0)，∴该两点之间的距离为：√(2−4)2(−1−0)2=√5，故答案为：√5．三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】解：(1)直线l的普通方程为y=4−2x，曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x2+y22=1；(2)曲线C的参数方程为{x=cosα，y=√2sinα.设点Q的坐标为(cosβ,√2sinβ)，|PQ|≥√2sinβ−4|√5≥√6√5=4√5−√305，故|PQ|的最小值为4√5−√305．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)直线l的普通方程为y=4−2x，曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x2+y22=1；(2)曲线C的参数方程为{x=cosα，y=√2sinα.设点Q的坐标为(cosβ,√2sinβ)，|PQ|≥√2sinβ−4|√5≥√6√5=4√5−√305，故|PQ|的最小值为4√5−√305．22.【答案】曲线C的直角坐标方程为x 24+y216=1．当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y=tanα⋅x+2−tanα；当cosα=0时，l的直角坐标方程为x=1．−2【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】略将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得到关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t−8=0．①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1+ t2=0．又由①得t1+t2=−4(2cosα+sinα)1+3cosα，故2cosα+sinα=0，于是直线l的斜率k=tanα=−2．23. 【答案】解：(1)由C 1的参数方程{x =12+t ，y =√3t （t 为参数）， 消去参数可得y =√3x −√32． 由曲线C 2的极坐标方程为3ρ=2+cos 2 θ，得2ρ2+ρ2cos 2 θ=3，所以C 2的直角坐标方程为3x 2+2y 2=3， 即x 2+2y 23=1．(2)因为M (1,√32)在曲线C 1上， 故可设曲线C 1的参数方程为{x =1+12t ，y =√32+√32t （t 为参数）， 代入3x 2+2y 2=3化简可得3t 2+8t +2=0．设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1+t 2=−83，t 1t 2=23， 所以1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1+t 2||t 1||t 2|=4．【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】 无 无 【解答】解：(1)由C 1的参数方程{x =12+t ，y =√3t （t 为参数），消去参数可得y =√3x −√32． 由曲线C 2的极坐标方程为3ρ2=2+cos 2 θ，得2ρ2+ρ2cos 2 θ=3，所以C 2的直角坐标方程为3x 2+2y 2=3， 即x 2+2y 23=1．(2)因为M (1,√32)在曲线C 1上，故可设曲线C 1的参数方程为{x =1+12t ，y =√32+√32t（t 为参数）， 代入3x 2+2y 2=3化简可得3t 2+8t +2=0．设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1+t 2=−83，t 1t 2=23，所以1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1+t 2||t 1||t 2|=4．24. 【答案】【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】 【解答】 25.【答案】解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ=2，直角坐标方程为x 2+y 2=4； 点P 关于极点对称的点P ′的极坐标为(√2，5π4)，则P(√2,π4)； (2)点P 化为直角坐标为P(1, 1) 将{x =1+t y =1+√3t 代入x 2+y 2=4， 得4t 2+(2+2√2)t −2=0， 则|t 1t 2|=12，所以，点P 到A 、B 两点的距离之积为12．【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法写出圆C 的直角坐标方程；利用点P 关于极点对称的点P ′的极坐标为(√2，5π4)，得到点P 的极坐标；（2）设直线I 与圆C 相交于两点A 、B ，将{x =1+t y =1+√3t 代入x 2+y 2=4，得：|t 1t 2|=12，即可求点P 到A 、B 两点的距离之积． 【解答】解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ=2，直角坐标方程为x 2+y 2=4； 点P 关于极点对称的点P ′的极坐标为(√2，5π4)，则P(√2,π4)；(2)点P 化为直角坐标为P(1, 1) 将{x =1+t y =1+√3t 代入x 2+y 2=4， 得4t 2+(2+2√2)t −2=0， 则|t 1t 2|=12，所以，点P 到A 、B 两点的距离之积为12．26. 【答案】解：由题意得，曲线C ：x 24+y 29=1，∴ 曲线C 的参数方程为{x =2cos θy =3sin θ(θ为参数)∵ 直线l ：{x =2+ty =2−2t (t 为参数)，∴ 直线l 的普通方程为2x +y −6=0. 【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意得，曲线C ：x 24+y 29=1，∴ 曲线C 的参数方程为{x =2cos θy =3sin θ(θ为参数)∵ 直线l ：{x =2+ty =2−2t (t 为参数)，∴ 直线l 的普通方程为2x +y −6=0. 27. 【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =−2√3+4cos θy =2+4sin θ（θ为参数），转换为直角坐标方程为(x +2√3)2+(y −2)2=16，整理得x 2+y 2+4√3x −4y =0 .根据 {x =ρcos θ，y =ρsin θ，ρ2=x 2+y 2，，转换为极坐标方程为ρ=4sin θ−4√3cos θ．(2)直线l 的参数方程为{x =−2√3+my =√3m，转换为直线的标准参数式为 {x =2√3+12ty =√32t（t 为参数） 代入圆的直角坐标方程为t 2−2√3t −12=0 . 所以t 1+t 2=2√3,t 1t 2=−12， 所以1|PM|2+1|PN|2=1t 12+1t 22=(t 1+t 2)2−2t 1t 2(t 1t 2)2=12+24122=14.【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =2√3+4cos θy =2+4sin θ（θ为参数），转换为直角坐标方程为(x +2√3)2+(y −2)2=16，整理得x 2+y 2+4√3x −4y =0 .根据 {x =ρcos θ，y =ρsin θ，ρ2=x 2+y 2，，转换为极坐标方程为ρ=4sin θ−4√3cos θ．(2)直线l 的参数方程为{x =−2√3+my =√3m，转换为直线的标准参数式为 {x =2√3+12ty =√32t （t 为参数） 代入圆的直角坐标方程为t 2−2√3t −12=0 . 所以t 1+t 2=2√3,t 1t 2=−12， 所以1|PM|2+1|PN|2=1t 12+1t 22=(t 1+t 2)2−2t 1t 2(t 1t 2)2=12+24122=14．28.【答案】 解：（1）消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y =2x −3； ρ=2√2(sin θ+π4)，即ρ=2(sin θ+cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2=2(ρsin θ+ρcos θ)，消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为：(x −1)2+(y −1)2=2 （2）圆心C 到直线l 的距离d =√22+12=2√55<√2，所以直线l 和⊙C 相交．【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）消去参数t得到直线l的直角坐标方程，再利用ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ= y，将圆的极坐标方程化成圆的直角坐标方程；（2）利用圆心C到直线l的距离d与半径r进行比较，即可判定直线l和⊙C的位置关系．【解答】解：（1）消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y=2x−3；ρ=2√2(sinθ+π4)，即ρ=2(sinθ+cosθ)，两边同乘以ρ得ρ2=2(ρsinθ+ρcosθ)，消去参数θ，得⊙C的直角坐标方程为：(x−1)2+(y−1)2=2（2）圆心C到直线l的距离d=22=2√55<√2，所以直线l和⊙C相交．29.【答案】（1）∵ρ=2√5sinθ，∴ρ2=2√5ρsinθ，所以，圆C的直角坐标方程为x2+y2−2√5y=0，即x2+(y−√5)2=5，（2）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(3−√22t)2+(√22t)2=5，即t2−3√2t+4=0，解得t=√2，或t=2√2代入直线l的参数方程得，{x=2y=√5+1或{x=1y=√5+2所以A，B的坐标为(2, √5+1)，(1, √5+2)，∵点P坐标为(3, √5)，∴|PA|⋅|PB|=√(3−2)2+(√5−√5−1)2⋅√(3−1)2+(√5−√5−2)2=4【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）圆C的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程，最后再利用三角函数公式化成参数方程；（2）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，求出A，B点的坐标，根据两点间的距离公式计算即可．【解答】（1）∵ρ=2√5sinθ，∴ρ2=2√5ρsinθ，所以，圆C的直角坐标方程为x2+y2−2√5y=0，即x2+(y−√5)2=5，（2）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(3−√22t)2+(√22t)2=5，即t2−3√2t+4=0，解得t=√2，或t=2√2代入直线l的参数方程得，{x=2y=√5+1或{x=1y=√5+2所以A，B的坐标为(2, √5+1)，(1, √5+2)，∵点P坐标为(3, √5)，∴|PA|⋅|PB|=√(3−2)2+(√5−√5−1)2⋅√(3−1)2+(√5−√5−2)2=4 30.【答案】解：（1）直线l的参数方程：{x=ty=1+2t（t为参数），消去参数t，可得直线为y=2x+ 1；曲线C的极坐标方程：ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+ y2，∴曲线C为：x2+y2=2x，（2）x2+y2=2x，圆C的圆心(1, 0)半径1，则圆心到直线距离d=√5>1直线l和曲线C的位置关系相离【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）消去此时t即可将直线l的参数方程化为普通方程，利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）利用（1）通过圆心到直线的距离与半径比较，即可判断直线l和曲线C的位置关系．【解答】解：（1）直线l的参数方程：{x=ty=1+2t（t为参数），消去参数t，可得直线为y=2x+ 1；曲线C的极坐标方程：ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+ y2，∴曲线C为：x2+y2=2x，（2）x2+y2=2x，圆C的圆心(1, 0)半径1，则圆心到直线距离d=√5>1直线l和曲线C的位置关系相离31.【答案】解：(1)由x=φcosθ，y=φsinθ得点A的直角坐标为A(2√3,2)．由题意得点B的极坐标为(4,5π6)，点C的极坐标为(4，32π)，所以点B的直角坐标方程为B(−2√3,2)，点C的直角坐标为C(0,−4).(2)由(1)得直线BC的方程为√3+y+4.设点P(cosφ，2sinφ)(0≤φ≤π)，则点P到直线BC的距离d=|√7sin(φ+θ)+4|2(其中cosθ=√7sinθ=√3√7).因为0≤φ≤π，所以θ≤φ+θ≤π+θ，所以√3√7≤sin(θ+φ)≤1,所以d∈[4−√32，4+√72].【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】主要考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程的应用,考查转化与化归能力、运算求解能力【解答】解：(1)由x=φcosθ，y=φsinθ得点A的直角坐标为A(2√3,2)．由题意得点B的极坐标为(4,5π6)，点C的极坐标为(4，32π)，所以点B的直角坐标方程为B(−2√3,2)，点C的直角坐标为C(0,−4).(2)由(1)得直线BC的方程为√3+y+4.设点P(cosφ，2sinφ)(0≤φ≤π)，则点P到直线BC的距离d=|√7sin(φ+θ)+4|2(其中cosθ=√7sinθ=√3√7).因为0≤φ≤π，所以θ≤φ+θ≤π+θ，所以√3√7≤sin(θ+φ)≤1,所以d∈[4−√32，4+√72].32.【答案】解：（1）曲线C的普通方程为x 23+y2=1．当θ=π3时，直线l的参数方程为{x=1+12ty=√32t，（t为参数），将l的参数方程代入x 23+y2=1中，得5t2+2t−4=0，则t1+t2=−25，t1t2=−45，所以|AB|=|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1t2=2√215．（2）把直线l的参数方程代入x 23+y2=1中，得(cos2θ+3sin2θ)t2+2cosθt−2=0，|PA|⋅|PB|=|t1∥t2|=2cos2θ+3sin2θ=21+2sin2θ，0≤sin2θ≤1，23≤|PA|⋅|PB|≤2，所以|PA|⋅|PB|的取值范围是[23,2]．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）曲线C的普通方程为x 23+y2=1．当θ=π3时，直线l的参数方程为{x=1+12ty=√32t，（t为参数），将l的参数方程代入x 23+y2=1中，得5t2+2t−4=0，则t1+t2=−25，t1t2=−45，所以|AB|=|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1t2=2√215．（2）把直线l的参数方程代入x 23+y2=1中，得(cos2θ+3sin2θ)t2+2cosθt−2=0，|PA|⋅|PB|=|t1∥t2|=2cos2θ+3sin2θ=21+2sin2θ，0≤sin2θ≤1，23≤|PA|⋅|PB|≤2，所以|PA|⋅|PB|的取值范围是[23,2]．33.【答案】解：（1）由题意，设点P的坐标为(3cosθ, 4sinθ)，则点P到直线4x+3y=12的距离是d=|4×3cosθ+3×4sinθ−12|5=|12√2sin(θ+π4)−12|5；当sin(θ+π4)=−1时，点P到直线4x+3y=12的最大距离为12√2+125；（2）圆C的标准方程是(x−1)2+y2=4，直线l的直角坐标方程为2x+y=m；∵直线l与圆C相切，∴√5=2，解得m=2±2√5；∴实数m的值为2±2√5．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）由题意，设出点P的坐标，求出P到直线4x+3y=12的距离d最大值；（2）把圆C、直线l化为直角坐标方程，由直线l与圆C相切，d=r，求出m的值．【解答】解：（1）由题意，设点P的坐标为(3cosθ, 4sinθ)，则点P 到直线4x +3y =12的距离是 d =|4×3cos θ+3×4sin θ−12|5=|12√2sin (θ+π4)−12|5；当sin (θ+π4)=−1时，点P 到直线4x +3y =12的最大距离为12√2+125； （2）圆C 的标准方程是(x −1)2+y 2=4， 直线l 的直角坐标方程为2x +y =m ； ∵ 直线l 与圆C 相切， ∴√5=2，解得m =2±2√5；∴ 实数m 的值为2±2√5． 34. 【答案】解：（1）直线l 的参数方程为{x =1+t cos π3y =1+t sin π3即{x =1+12ty =1+√32t．（2）圆C:{x =2cos θy =2sin θ的普通方程为x 2+y 2=4．把直线{x =1+12ty =1+√32t代入x 2+y 2=4，得t 2+(√3+1)t −2=0， ∴ t 1t 2=−2．即点P 到A 、B 两点的距离之积为2． 【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）由直线l 经过点P(1, 1)，倾斜角α=π3，可写出直线l 的参数方程；（2）把直线的参数方程代入曲线C 的方程和利用参数的几何意义即可得出． 【解答】解：（1）直线l 的参数方程为{x =1+t cos π3y =1+t sin π3即{x =1+12ty =1+√32t．（2）圆C:{x =2cos θy =2sin θ的普通方程为x 2+y 2=4．把直线{x =1+12ty =1+√32t代入x 2+y 2=4，得t 2+(√3+1)t −2=0， ∴ t 1t 2=−2．即点P 到A 、B 两点的距离之积为2． 35.【答案】 【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】 此题暂无解析【解答】 此题暂无解答 36.【答案】 解：（1）将曲线C 的两式平方相加可得，曲线C 的普通方程为：x 2+y 2=1(xy >0或y =0)， 由x =ρcos θ，y =ρsin θ，可得 直线l 的普通方程为：x +y =a ． （2）当直线和圆相切时， d =2=1，解得a =±√2，当直线经过点(1, 0)时，a =1， 当直线经过点(−1, 0)时，a =−1， 由直线l 与曲线C 有公共点， 则a ∈[−√2, −1]∪[1, √2]．【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）将曲线C 的两式平方相加可得，曲线C 的普通方程，注意范围；由x =ρcos θ，y =ρsin θ，可得直线l 的普通方程；（2）求得直线和圆相切的a 值，以及直线过点(−1, 0)，(1, 0)，可得a 值，结合直线和曲线有交点，即可得到a 的范围．【解答】 解：（1）将曲线C 的两式平方相加可得，曲线C 的普通方程为：x 2+y 2=1(xy >0或y =0)， 由x =ρcos θ，y =ρsin θ，可得 直线l 的普通方程为：x +y =a ． （2）当直线和圆相切时， d =√2=1，解得a =±√2，当直线经过点(1, 0)时，a =1， 当直线经过点(−1, 0)时，a =−1， 由直线l 与曲线C 有公共点， 则a ∈[−√2, −1]∪[1, √2]． 37. 【答案】解：（1）由x 2+y 2=1、{x′=3x y′=2y ，可得曲线C′的方程为：(x′3)2+(y′2)2=1，化简得：x′29+y′24=1．（2）因为椭圆的参数方程为 {x′=3cos θy =2sin θ （θ为参数），所以可设点M 的坐标为 (3cos θ, 2sin θ)．由点到直线的距离公式，得到点M 到直线的距离为d =√5=√5，由三角函数性质知，当 θ−α=0时，d 取最小值为 3√55． 【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）由条件可得曲线C′的方程为：(x′3)2+(y′2)2=1，化简可得结果．（2）根据椭圆的参数方程为 {x′=3cos θy =2sin θ，可设点M 的坐标为 (3cos θ, 2sin θ)．求得点M 到直线的距离为d =5=5，根据余弦函数的值域求得d 的最小值． 【解答】解：（1）由x 2+y 2=1、{x′=3x y′=2y ，可得曲线C′的方程为：(x′3)2+(y′2)2=1，化简得：x′29+y′24=1．（2）因为椭圆的参数方程为 {x′=3cos θy =2sin θ （θ为参数），所以可设点M 的坐标为 (3cos θ, 2sin θ)．由点到直线的距离公式，得到点M 到直线的距离为d =√5=√5，由三角函数性质知，当 θ−α=0时，d 取最小值为 3√55． 38. 【答案】解：（1）由曲线C 的参数方程为{x =4cos θy =3sin θ（θ为参数），可得：曲线C 的直角坐标方程为：x 216+y 29=1．（2）设直线l 的参数方程为：{x =t cos αy =1+t sin α（α为参数） 代入曲线C 的方程有：(7sin 2α+9)t 2+32t sin α−128=0， 设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 2=−2t 1，则t 1+t 2=−32sin α9+7sin 2α=−t 1，t 1t 2=−1289+7sin 2α=−2t 12，∴ sin 2α=1，∴ 直线l 的方程为：x =0． 【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）由曲线C 的参数方程为{x =4cos θy =3sin θ（θ为参数），利用cos 2θ+sin 2θ=1，可得曲线C 的直角坐标方程．（2）设直线l 的参数方程为：{x =t cos αy =1+t sin α（α为参数）代入曲线C 的方程有：。
参数方程与普通方程的互化
参数方程与普通方程的互化【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θy ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【解】 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ ①y ＝2tan θ ②，由y ＝2tan θ，得tan θ＝y 2，代入①得y 2＝2x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，得公共点的坐标为(2,2)，12，－1.(1)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(e t＋e －t)y ＝12(e t－e－t)(t 为参数)的普通方程是________．解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2，消参得(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.所以其对称中心为(－1,2)．显然该点在直线y ＝－2x 上．故选B.(2)由参数方程得e t ＝x ＋y ，e －t ＝x －y ， ∴(x ＋y )(x －y )＝1，即x 2－y 2＝1. 答案：(1)B (2)x 2－y 2＝1 热点二 直线的参数方程的应用【例2】 已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3. (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值．【解】 (1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|P A ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：椭圆C 的普通方程为x 2＋y24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得(1＋12t)2＋(32t )24＝1，即7t 2＋16t＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.。
参数方程和普通方程的互化
吗？
提示：同一个普通方程，选取的参数不同，所得到的参数
方程也不同，所以在写参数方程时，必须注明参数是哪一
个．
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我的疑惑 ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________
[考题印证]
(2013·湖北高考)在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π与曲线 4
x＝t＋1， y＝ t－1 2，
(t 为参数)相交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点的
直角坐标为________．
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，(其中 t 是参数，a∈
R)，点 M(3,1)在该曲线上．(1)求常数 a；(2)求曲线 C 的普通 方程．
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解：(1)由题意可知有
1＋2t＝3 at2＝1
，
故ta＝＝11，， ∴a＝1.
(2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为xy＝＝t12＋. 2t，
(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y的取值 范围 保持一致．
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[小问题·大思维]
1．将参数方程化为普通方程的实质是什么？
提示：将参数方程化为普通方程的实质是消参法的应用．
2．将普通方程化为参数方程时，所得到的参数方程是唯一的
参数方程与普通方程的互化解答题(3)
1．已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为52(12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是参数). (1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程.(2)设曲线C 与直线l 相交于P Q ，两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积. 答案：(1) 224x y x +=,50x -=；(2) 解答：(1)对于C 由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，进而得224x y x +=.对于l：由5(12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，为参数)得)5y x =-，即50x -=. (2)由(1)可知C 为圆，且圆心为(2，0)，半径为2，则弦心距32d ==， 弦长PQ ==，因此以PQ 为边的圆C 的内接矩形面积2S d PQ =⋅=2．在直角坐标系中,曲线C的参数方程为x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩,(φ为参数),直线l的参数方程为122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数). 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点P 的极坐标为π2⎫⎪⎭.(1)求点P 的直角坐标,并求曲线C 的普通方程;(2)设直线l 与曲线C 的两个交点为,A B ,求PA PB +的值. 答案：(1) (P ， 221515x y +=；(2)6. 解答：(1)由题意得:点P的横坐标π02x ==,点P的纵坐标π2x ==所以(P ;消去参数φ的曲线C 的普通方程为:221515x y +=；(2)点P 在直线l 上,将直线的参数方程代入曲线C 的普通方程得:2280t t +-=； 设其两个根为12,t t ,所以:12122,8t t t t +==-, 由参数t 的几何意义知:126PA PB t t +=-==3．已知曲线22:143x yC +=,直线112:2x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;(2)设()1,2M ,直线l 与曲线C 交点为A B 、,试求·MA MB 的值.答案：(1) 20y -+=；(2)2815. 解答：(1)C 的参数方程23x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数).())11212:2212x t t x l y t y x ⎧=+⇒=-⎪⎪⎨⎪=+⇒-=-⎪⎩,∴直线l20y -+-=.(2)221 3142122t ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,221331441244t t t ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(2153704t t +++=,∴(12124328,1515t t t t ++=-=, 1228·15MA MB t t ==. 4．已知直线l的参数方程为1122x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),曲线C 的参数方程为cos cos21x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩(φ为参数),定点()1,0P -.(1)设直线l 与曲线C 交于A,B 两点,求||AP BP ⋅的值;(2)过点P 作曲线C 的切线m (斜率不为0),以原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求切线m 的极坐标方程. 答案： (1)4；(2) 880cos sin ρθρθ++=. 解答：(1)曲线C 的普通方程为22y x =,将直线l2121()2t =-+,整理得24(40t t -++=,设点A,B 对应的参数分别为12,t t ,则124t t =,因而12·4||AP BP t t ==.(2)由题意可知,切线斜率一定存在,设过点P 作曲线C 的切线为()10x ny n =-≠, 由212x ny y x=-⎧⎨=⎩,得2210nx x --=,180n ∆=+=,因而18n =-,则切线m 的直角坐标方程为880x y ++=.将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入,得直线m 的极坐标方程为880cos sin ρθρθ++=. 5．在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为cos ,sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数),曲线2C 的参数方程为cos ,sin ,x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(0,a b ϕ>>为参数).在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线:l θα=与12,C C 各有一个交点.当0α=时,这两个交点间的距离为2,当π2α=时,这两个交点重合.(1)分别说明12,C C 是什么曲线,并求出a 与b 的值; (2)设当π4α=时,l 与12,C C 的交点分别为11,A B ,当π4α=-时,l 与12,C C 的交点分别为22,A B ,求四边形1221A A B B 的面积.答案：(1) 1C 是圆,2,3,1C a b ==； (2).解答：(1)1C 是圆,2C 是椭圆.当0α=时,射线l 与12,C C 交点的直角坐标分别为()()1,0,,0a ,因为这两点间的距离为2,所以a=3. 当π2α=时,射线l 与12,C C 交点的直角坐标分别为()()0,1,0,b ,因为这两点重合,所以b=1. (2)12,C C 的普通方程分别为221x y +=和2219xy +=.当π4α=时,射线l 与1C 交点1A 的横坐标为,与2C 交点1B的横坐标为'x = 当π4α=-时,射线l 与12,C C 的两个交点22,A B 分别与11,A B 关于x 轴对称,因此四边形1221A A B B 为梯形,故四边形1221A A B B 的面积为()()2'2'225x x x x +-=.()()2'2'225x x x x +-=6．在直角坐标系x y O 中,设倾斜角为α的直线2:(x tcos l t y tsin αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)与曲线2:(x cos C y sin θθθ=⎧⎨=⎩为参数)相交于不同两点,A B . (1)若π3α=,求线段AB 中点M 的坐标; (2)若2PA ⋅PB =OP ,其中(P ,求直线l 的斜率. 答案：(1)12,13⎛ ⎝⎭； (2). 解答：设直线l 上的点,A B 对应参数分别为12,t t .将曲线C 的参数方程化为普通方程2214xy +=.(1)当π3α=时,设点M 对应参数为0t .直线l方程为122(2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数). 代入曲线C 的普通方程2214x y +=,得21356480t t ++=,则12028213t t t +==-,所以,点M的坐标为12,13⎛⎝⎭. (2)将2x tcos y tsin αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩代入2214x y +=,得()()222cos4sin 4cos 120t t αααα++++=,因为2122212,7cos 4sin t t ααPA ⋅PB ==OP =+,所以22127cos 4sin αα=+. 得25tan 16α=.由于()32cos cos 0ααα∆=->,故tan α= 所以直线l47．倾斜角为α的直线l 过点()8,2P ,直线l 和曲线C:2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数) 交于不同的两点12,M M .(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程,并写出直线l 的参数方程;(2)求12·PM PM 的取值范围. 答案： (1) 8cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数).；(2)128(,64]9. 解答:(1)曲线C 的普通方程为221324x y +=,直线l 的参数方程为8cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数). (2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得:()()228 82 32tcos tsin αα+++=, 整理得()()222816 32 640sincos t cos sin t αααα++++=,由()()222163246480cos sin sin cos αααα∆=+-⨯+>,得cos sin αα>,故)4[π0,α∈,121226417sin αPM PM t t +⋅∴==128,649(]∈.8．在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线1C的极坐标方程为3π4ρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭,曲线2C 的参数方程为8(3x cos y sin θθθ=⎧⎨=⎩为参数). (1)将曲线1C 的极坐标方程化为直角坐标方程,将曲线2C 的参数方程化为普通方程; (2)若P 为2C 上的动点,求点P 到直线32:(2x tl t y t=+⎧⎨=-+⎩为参数)的距离的最小值.答案：(1) ()()224432x y ++-=，221649x y +=；(2)0.解答:(1)由3π4ρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭得8cos 8sin ρθθ=-+,所以28cos 8sin ρρθρθ=-+, 故曲线1C 的直角坐标方程为2288x y x y +=-+,即()()224432x y ++-=,8,3x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩.消去参数θ得2C 的普通方程为221649x y +=. (2)设()8cos ,3sin P θθ,直线l 的普通方程为270x y --=,故点P 到直线l 的距离为()7d θϕ=+-(其中43cos ,sin 55ϕϕ==), 因此min 0d =,故点P 到直线l 的距离的最小值0. 9．已知曲线1C ：43t x cost y sin =-+⎧⎨=+⎩，(t 为参数2)C ：83x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩,(θ为参数) (1)化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线. (2)若1C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线270x y --=距离的最小值.答案：(1) ()()221431,C x y ++-=：.为圆心是(-4,3),半径是1的圆.2221649x y C +=：为中心是坐标原点,焦点在x 轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆；(2). 解答:(1)()()222212431,1649x y C x y C ++-=+=：：.1C 为圆心是(-4,3),半径是1的圆.2C 为中心是坐标原点,焦点在x 轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.(2)当2t π=时,()()4,4,8cos ,3sin P Q θθ-,故324cos ,2sin .2M M θθ⎛⎫-++⎪⎝⎭到3C 的距离()43sin 13130,,tan 23d πθθϕθϕϕ⎛⎫⎛⎫=--=--∈= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 从而当()sin 1ϕθ-=时,d取得最小值5. 10．在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为:2(x tcos t y tsin αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数,其中π0)2α<<,椭圆M 的参数方程为2(x cos y sin βββ=⎧⎨=⎩为参数),圆C 的标准方程为()2211x y -+=.(1)写出椭圆M 的普通方程;(2)若直线l 为圆C 的切线,且交椭圆M 于,A B 两点,求弦AB 的长. 答案：(1) 2214x y +=；(2)7. 解答:(1)椭圆M 的普通方程为2214x y +=.(2)将直线的参数方程C得()22cos 30t t αα+++=,由直线l 为圆C 的切线可知0∆=即()22cos 430αα+-⨯=解得6πα=,所以直线l 的参数方程为:2212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,将其代入椭圆M的普通方程得27480t ++=, 设,A B 对应的参数分别为12,t t ,所以12121248,777t t t t AB t t +=-=-=-==.。
参数方程与普通方程的互化
1．将参数方程xy＝ ＝2
t， t－4
(t 为参数)化为普通方程为________．
【解析】 将 x＝ t代入 y＝2 t－4 得 y＝2x－4. 又∵x＝ t≥0，∴普通方程为 2x－y－4＝0(x≥0)．
【答案】 2x－y－4＝0(x≥0)
Hale Waihona Puke 第二十七页，共31页。2．圆锥曲线xy＝ ＝t22t， (t 为参数)的焦点坐标是________． 【导学号：98990030】
第十二页，共31页。
【自主解答】 (1)将 x＝ 3cos θ＋1 代入x－312＋y－522＝1 得：y＝2＋ 5sin
θ.
∴yx＝＝
3cos θ＋1， 5sin θ＋2
(θ 为参数)，
这就是所求的参数方程．
(2)将 x＝t＋1 代入 x2－y＋x－1＝0 得： y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1＝t2＋3t＋1，
第六页，共31页。
参数方程化为普通方程
将下列参数方程化为普通方程：
x＝tt＋ －11， (1)
y＝t3－2t 1
(t
为参数)；(2)yx＝＝45scions
θ， θ－1
(θ 为参数)．
第七页，共31页。
【自主解答】 (1)由 x＝tt＋ －11，得 t＝xx＋ －11. 代入 y＝t3－2t 1化简得 y＝x＋31x2＋x－1 12(x≠1)．
x＝－3＋32cos α2cos α＋sin α， y＝－32＋32sin α2cos α＋sin α
(0≤α<π)．
第二十一页，共31页。
∴xy＋ ＋3234＝ ＝3232csions 22αα－＋1212csoins
参数方程与普通方程的互化
x f (t ) 就是曲线的参数方程。 在参数方程 y g (t )
与普通方程的互化中，必须使 x, y 得取值范围保持一致。
【考点一】 把曲线的普通方程化为参数方程 [例 1] 根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程． （1）
( x 1) 2 ( y 2) 2 1 ，x＝ 3cos θ＋1.(θ 为参数) 3 5
x＝－2＋cos θ ， y 2．P(x，y)是曲线 (0≤θ＜π ，θ 是参数)上的动点，则 的取值范围是 x y ＝ sin θ
(
)
A.－
3 ，0 3
B.－
3 3 ， 3 3
C.0，
3 3
D.－∞，－
3 3
2
鸡西市第十九中学高二数学组 x＝cos θ ， 3．曲线 C： (θ 为参数)的普通方程为________．如果曲线 C 与直线 x＋y y＝－1＋sin θ
7．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为：
x＝1－ 2 t， x＝ 5cos θ ， π C1： (t 为参数)，它们的交点 θ 为参数，0≤θ ≤ ，C2： 2 2 y＝ 5sin θ
2
y＝－ 2 t
坐标为________． 8．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为：
＋a＝0 有公共点，那么 a 的取值范围是________．
x＝tcos θ ， x＝4＋2cos α ， 4．直线 (t 为参数，0＜θ＜π )与圆 (α 为参数)相切，则 θ＝ y＝tsin θ y＝2sin α
________． 5．指出下列参数方程表示什么曲线：
参数方程与普通方程的互化填空题(1)
1．参数方程cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)化成普通方程为________.答案：()2211x y +-=解答：因为()2222,1x cos y sin αα=-=,所以将两式两边分别相加得()2211x y +-=. 2．参数方程2x sin y cos θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程为_______.答案：212y x =-,[]1,1x ∈-解答由题意可得2212sin 1y x θ=-=- ,又因[]sin 1,1x θ=∈-,则参数方程化为普通方程为212y x =-,[]1,1x ∈-.3．在平面直角坐标系中,曲线C:2t,21t 2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)的普通方程为_______. 答案：x -y -1=0 解答：直接化简,两式相减消去参数t 得,x -y=1,整理得普通方程为x -y -1=0.4．参数方程()2t tt tx e e y e e--⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，(t 是参数)的普通方程为_______ 答案：()2212416x y x -=≥ 解答：2,,2422 2? 22tt t t tt y x e x e e y y x x y y e e x e ---⎧⎧+==+⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⇒⇒+-=⎨⎨ ⎪⎪=-⎝⎭⎝⎭⎪⎪-=⎩⎪⎩.5．曲线的参数方程是2111x t y t ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， (t 是参数,0t ≠)则它的普通方程为答案：()()()2211x x y x x -=≠-解答：111,1x t t x -==-,而2 1?y t =-,即()()()2221 11?11x x y x x x -⎛⎫=-=≠ ⎪-⎝⎭-. 6．已知抛物线C ：22(2x t y t ⎧=⎨=⎩t 为参数)设O 为坐标原点，点M 在C 上运动(点M 与O 不重合)，(),P x y 是线段OM 的中点，则点P 的轨迹普通方程为_______. 答案：()2 0y x x =≠解答：抛物线的普通方程为2 2?y x =,设点() ,?P x y ,点M 为()()111 ,0x y x ≠, 则112,2x x y y ==.∵点 M 在抛物线上,且点 M 与O 不重合,()22440y x y x x =⇒=≠ 7．参数方程sin 2sin cos x y θθθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)表示的曲线的普通方程是__________.答案：()2111y x x =+-≤≤解答：()2222sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 1,y x θθθθθθθθ=+=++=+=+又[]sin 21,1,x θ=∈-∴曲线的普通方程是()2111y x x =+-≤≤.8．将参数方程221,1 x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)化为普通方程为__________.答案：()222x y y -=≥解答：由1x t t=+得22212,x t t=++ 又221 ,y t t=+∴22x y =+. ∵2212,t t+≥∴2y ≥. 9．将参数方程1,2(12a x t t t b y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩为参数)转化成普通方程为_______________。
高考数学参数方程和普通方程的互化练习题
【参数方程和普通方程的互化】例1求曲线（为参数）与曲线（为参数）的交点．解：把代入得：两式平方相加可得∴（舍去）于是即所求二曲线的交点是（.－）．说明：在求由参数方程所确定的两曲线的交点时.最好由参数方程组求解.如果化为普通方程求交点时要注意等价性．如该例若化为普通方程求解时要注意点（－.）是增解．例2化直线的普通方程为参数方程（其中倾斜角满足且）解法一：因..故∴设。
取为参数.则得所求参数方程解法二：如图.（）为直线上的定点.为直线上的动点．因动点M与的数量一一对应（当M在的向上方向或正右方时.；当M在的下方或正左方时.；当M与重合时.）.故取为参数．过点M作y轴的平行线.过点作轴的平行线.两直线相交于点Q（如图）．则有∴即为所求的参数方程。
说明：①在解法二中.不必限定..即不必限定.．由此可知.无论中任意值时.所得方程都是经过（）.倾斜角为的直线的参数方程．可称它是直线参数方程的“点角式”或“标准式”．②要充分理解解法二所示的参数的几何意义.这对解决某些问题较为方便．③如果取为参数.则得直线参数方程一般地.直线的参数方程的一般形式是（.为参数）但只有当且仅当.且时.这个一般式才是标准式.参数才具有上述的几何意义．例3求椭圆的参数方程．分析一：把与对比.不难发现.可设.也可设解法一：设（为参数）.则∴故因此.所得参数方程是（Ⅰ）或（Ⅱ）由于曲线（Ⅱ）上的点（.）.就是曲线（Ⅰ）上的点（.）.所以曲线（Ⅱ）上的点都是曲线（Ⅰ）上的点．显然．椭圆的参数方程是分析二：借助于椭圆的辅助圆.可明确椭圆参数方程中的几何意义．解法二：以原点O为圆心.为半径作圆.如图．设以轴正半轴为始边.以动半径OA为终边的变角为.过点A作轴于N.交椭圆于M.取为参数.则点M（）的横坐标（以下同解法一）．由解法二知.参数是点M所对应的圆半径OA的转角.而不是OM的转角.因而称为椭圆的离角．（如果以O为圆心.为半径作圆.过M作.交圆于B.由可知也是半径OB的转角）．例4用圆上任一点的半径与x轴正方向的夹角为参数.把圆化为参数方程。
参数方程和普通方程的互化
＝4，11－ ＋kk222＋1＋2kk22＝1 等．
(2)把普通方程化成参数方程后，很容易改变变量的取值范围，从而 使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们在解题时一定要验证 普通方程与参数方程的等价性．
巩固练习
【反思感悟】 考查参数方程与普通方程的互化能力，考查利用参 数表示动点轨迹方程的运算能力．
当堂检测
(2010·陕西高考)参数方程xy＝ ＝1c＋ os sα in α(α 为参数) 化成普通方程为________．
解析 ∵xy＝ ＝1c＋ os sα in α，cos2α＋sin2α＝1， ∴x2＋(y－1)2＝1.
(2)C1 的普通方程为 xsin α－ycos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin2α，－cos αsin α)，
故当 α 变化时，P 点轨迹的参数方程为
x＝12sin2α，
y＝－12sin αcos
(α 为参数)．
α
P 点轨迹的普通方程为x－142＋y2＝116.
故 P 点轨迹是圆心为14，0，半径为14的圆．
三． 能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题．
02 【 核 心 扫 描 】
一． 对参数方程化为普通方程的考查是热点．
ห้องสมุดไป่ตู้二．
本课内容常与方程、三角函数结合起来命题．(难 点)
名师点睛
参数方程和普通方程的互化
参数方程化为普通方程，可通过代入消 元法和三角恒
普通方程来判断曲线的类型．
线上任一点M的坐标x，y和参数的关系， 根据实际问
圆的参数方程
逆时 针
x＝rcos y＝rsin
参数方程与普通方程的互化及应用(含答案)
参数方程与普通方程的互化及应用典题探究例1：椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩⎨⎧Φ+-=Φ+=y x （）A.(-3，5)，(-3，-3)B.(3，3)，(3，-5)C.(1，1)，(-7，1)D.(7，-1)，(-1，-1)例2：参数方程表示)20()sin 1(212sin 2cos πθθθθ<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x A.双曲线的一支，这支过点(1，21) B.抛物线的一部分，这部分过(1，21) C.双曲线的一支，这支过(-1，21)D.抛物线的一部分，这部分过(-1，21)例3:在方程⎩⎨⎧==θθcos sin y x (θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( )A.(2,-7)B.（31，32）C.(21，21) D.(1，0)例4：下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎨⎧==ty t x B.⎩⎨⎧==t y t x 2cos cos C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y tgt x 2cos 12cos 1 D .⎪⎩⎪⎨⎧+-==t t y tgtx 2cos 12cos 1演练方阵A 档（巩固专练）1．曲线的极坐标方程4sin ρθ=化成直角坐标方程为( )A.()2224x y ++= B.()2224x y +-= C.()2224x y -+= D.()2224x y ++=2.极坐标cos()4πρθ=-表示的曲线是( )A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆3.在极坐标系中，与圆4sin ρθ=相切的条直线的方程是( )A. sin 2ρθ=B. cos 2ρθ=C. cos 2ρθ=-D. cos 4ρθ=- 4．24sin52p θ=表示的曲线是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线5．极坐标方程24sin 3θ=表示曲线是( )A.两条射线B.两条相交直线C.圆 D .抛物线6．求曲线22xt yt⎧=⎨=-⎩（为参数）与曲线2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（为参数）的交点．7．化直线的普通方程00tan (x )y y x α-=-为参数方程(倾斜角满足0α≠且2πα≠）8．求椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的参数方程．9．用圆上任一点的半径与x 轴正方向的夹角为参数，把圆2220x y x +-=化为参数方程。
参数方程与普通方程的互化
x y
x0 y0
t cos t sin
（t为参数）
M0(x0,yr0) e
(cos,sin)
O
x
(1)直线l过一点M0
(1,
3),
倾斜角
5 6
，其参数方程是
____________;
(2)直线l过一点M0(1,3),斜率为-2，其参数方程是 ____________ .
1.说出下列直线的斜率和倾斜角：
根据 t 的几何意义可知|MM0|＝6( 3＋1)．
4：将下列直线的参数方程化为标准形式
（1）
x
y
1 9t 112t
(t为参数）
例1
已知直线 L 过点 M0（4，0），倾为
6
(1)求直线 L 的参数方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（1）直线 L 的参数方程是
x 4
3t
2 （t 为参数）
y
1 2
t
例2.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x2交于
3、参数方程与普通方程的互化
x r cos
x2+y2=r2
y r sin
(注x ： a1)、2 参(数y 方b程)2的特r2点是没有直xy接体ab现曲rr线scion上s点
的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的
横、纵坐标与参数之间的关系。
2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很 难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。
(2)把圆方程x2 y2 2x 4 y 1 0
化为参数方程为 xy
1 2 cos 2 2sin
例2、将下列参数方程化为普通方程：
(1)xy
2 3cos 3sin
步骤：（1）消参；
参数方程和普通方程的互化
[再练一题] 1．设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________． 【解析】 把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0得x＝1＋4tt2，y＝14＋t2t2，
∴参数方程为xy＝＝114＋ ＋4tt2tt22，
(t为参数)．
【答案】
x＝1＋4tt2 y＝14＋t2t2
(t为参数)
即yx＋ ＋21的取值范围是43，＋∞.
[探究共研型] 参数方程化为普通方程 探究1 参数方程为什么要化为普通方程？
【提示】 参数方程直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易，如果将参数 方程转化为熟悉的普通方程，就容易判断了．
探究2 将参数方程化为普通方程时，常用的方法有哪些？
【提示】 (1)代入法．先由一个方程中求出参数的表达式(用直角坐标变 量表示)，再代入另一个方程．教科书例3(1)用的就是代入法．
【解】 由于yx＝＝1co＋s sθi，n θ (θ∈[0,2π))，
∴k＝yx＋ ＋21＝13＋＋csoins
θ， θ
∴sin θ－kcos θ＝k－3，
即 1＋k2sin(θ＋φ)＝k－3(φ由tan φ＝－k确定)，
∴sin(，得
k1－＋3k2≤1，
∴
k1－＋3k22≤1，解得k≥43，
x＝cos θ， y＝1＋sin θ
(θ∈[0,2π))．
(1)3x＋4y＝3cos θ＋4sin θ＋4
＝4＋5sin(θ＋φ)，
其中tan φ＝34，且φ的终边过点(4,3)．
∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，
∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9，
∴3x＋4y的最大值为9，最小值为－1.
(2)(x－3)2＋(y＋3)2 ＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2 ＝26＋8sin θ－6cos θ ＝26＋10sin(θ＋φ)． 其中tan φ＝－34， 且φ的终边过点(4，－3)． ∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10， ∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36， 所以(x－3)2＋(y＋3)2的最大值为36，最小值为16.
参数方程和普通方程的互化
参数方程和普通方程的互化教学目标1．理解参数方程和消去参数后所得的普通方程是等价的．2．基本掌握消去参数的方法．3．培养学生观察、猜想和灵活地进行公式的恒等变形的能力．即在“互化”训练中，提高学生解决数学问题的转化能力．教学重点与难点使学生掌握参数方程与普通方程之间的互化法则，明确新旧知识之间的联系，掌握消去参数的基本方法．教学过程师：前面的课程里，我们学习了参数方程，下面请看这样一个问题：(放投影片)由圆外一点Q(a，b)向圆x2+y2=r2作割线，交圆周于A、B两点，求AB中点P 的轨迹的参数方程(如图3-5)．分析割线过点Q(a，b)，故割线PQ方程为：此斜率k可作为参数．(投影)解设过点Q的直线方程是y-b=k(x-a)，则圆心O与AB中点P的即为所求点P的轨迹的参数方程．师：你能根据点P的参数方程说出点P的轨迹吗？生：(无言以对)看不出来．(启发学生猜想，培养参与意识．)师：你通过题目中点P符合的条件，多画几个点，猜想一下它的形状．(学生在纸上画，讨论．)生：点P的轨迹(1)过坐标原点，也就是已知圆的圆心．(2)轨迹不是直线．师：参数方法是研究曲线和方程的又一种方法，是一种利用参数建立两个变量之间的间接联系的方法．也就是说，参数方程里的参数可以协调x、y的变化．基于这点理论，有时为了判定曲线的类型、研究曲线的几何性质，需要把参数方程化为普通方程．即想办法消去参数k，把参数方程转化为我们熟知的普通方程，再去研究它的几何性质就容易了．把(3)代入(2)得：x2-ax+y2-by=0．(4)方程(4)证实了我们的猜想是正确的，具体地说：点P的轨迹是一个过圆心的圆弧(在圆x2+y2=r2的内部)．师：以上事例说明，有时为了判定曲线的类型，研究曲线的几何性质，确实需要把参数方程化为我们认知的普通方程．这节课我们就来学习把参数方程化为普通方程的法则．例1 炮弹从点(0，0)以初速度v0向倾斜角为α的方向发射，问：(1)在时刻t的高度和水平距离如何？(2)炮弹描绘的(弹道)是一条什么样的曲线？(学生通过物理知识，很容易解决这个问题．)解(1)设炮弹发射后的位置在点M(x，y)(如图3-6)，因为炮弹在Ox方向是以v0cosα为速度的匀速直线运动，在Oy方向是以v0sinα为初速度的竖直上抛运动，所以按匀速直线运动的公式知：炮弹在时刻t的水平距离是x=v0cosα·t，按竖直上抛运动的位移公式知：炮弹在时即弹道曲线的参数方程上看不出来，那么怎么办呢？生：消去参数t，转化成为普通方程后，就可看出曲线的形状了．故炮弹描绘的曲线是一条抛物线．(含顶点在内的一部分．因为二次项系数是负值，所以这是开口向下的抛物线，与实际问题相吻合．)例2 把参数方程即3x+5y-11=0是所求的普通方程，它的轨迹是一条直线．师：这个同学理解了消参的基本方法——代入消参法．这正与解方程组中代入消元法相类似．他用学过的知识解决了新问题．你认为他的解题过程有问题吗？生：挺好的．我与他解的一样，没问题．师：同学们在解题时注意参数t的取值范围了吗？生：t为不等于-1的实数，即t≠-1．师：答案是否有何不妥？生：没觉得哪儿不妥，轨迹确实是一条直线．师：普通方程是相对于参数方程而言的，它反映了坐标变量x与y之间的直接关系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x与y之间的间接关系．如能消去参数(不是所有的参数方程都能化为普通方程)，参数方程就转化为普通方程，所以普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同的表达形式．为此，在化参数方程为普通方程时，必须注意变数的范围不应扩大或缩小，也就是对应曲线上的点不应增加也不应减小．这就要求参数方程和消去参数后的普通方程等价．请修正一下你的答案．生：3x+5y-11=0(x≠-3)是所求的普通方程，它的轨迹是一条直线(去掉点(-3，4))．师：观察一下方程(1)、(2)的形式与你学过的知识中哪个式子类似？(提供类比，用以理解直线的参数方程形式不只一种，它与选定的参数相关．)至此，想必学生悟到t的几何意义：动点P分P1P2所成的比，即t=解过点(2，1)，(-3，4)的直线方程是：化简，得3x+5y-11=0．师：这个事实说明，据参数的几何意义，也能达到消参的目的．师：例2表明，直线的参数方程的形式不只一种．那么对同一个参数方程来说，指定的参数不同，会带来曲线的形状不同吗？你试试看．(激发学生探索问题的兴趣)生：对同一个参数方程来讲，由于指定的参数不同，会带来曲线形状的变化．例4 化下列参数方程为普通方程．(让学生按小组讨论求解，然后在投影仪上打出答案．)略解(1)(x+1)2+y=sin2θ+cos2θ，所以 (x+1)2+y=1，(0≤y≤1)．所以x2-y2=4．师：消去参数的方法常用的有哪些？转化过程中应注意什么？(学生讨论后教师板书)消去参数的方法常用的有以下两种：(1)代入法：先求出参数的表达式，然后代入另一个方程中去(如例1)．(2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．(如例4)转化过程中应注意参数的范围不能扩大也不能缩小．也就是对应曲线上的点，不应增加也不应减少，保证参数方程和消参后的普通方程等价．师：方程组中有3个变量，其中的x和y表示曲线上点的坐标；θ是参变量．参数方程之所以能描绘出动点的轨迹，是由于当给出一个参数值时，就能唯一地求出相应的x与y的值，因而也就确定了这时点所在的位置．所以问题可转化为讨论当θ为何值时，点P到直线的距离最小问题．因为tanθ、cotθ同号，又|tanθ+2cotθ+2|≥|tanθ+2cotθ|-|2|，从例5的结论知道，参数θ不是问题的主要对象，却能牵动主要对象的根本性质．这个问题的解决再一次说明：参数方程能明确地揭示点的运动规律，对解决某些问题有不可替代的优越性．师：这节课我们学习了参数方程化为普通方程的法则．首先通过问题的提出，我们知道有时为了判定曲线的类型，研究曲线的几何性质，需要把参数方程化为普通方程．又在将参数方程化为普通方程的过程中，掌握了消去参数的常用方法，并且理解了参数方程和消去参数后所得的普通方程为什么要等价．家庭作业：一、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线．二、关于t的方程t2+(2+i)t+4xy+(2x-y)i=0(x，y∈R，i是虚数单位)有实根，求动点P(x，y)的轨迹的普通方程．下面是作业题略解．一、(1)(x-x0)2+(y-y0)2=t2，以(x0，y0)为圆心，|t|为半径的圆．(2)y-y0=tanθ(x-x0)，过点(x0，y0)，斜率是tanθ的直线．(3)2x+y-5=0(0≤x＜3)，缺一个端点的线段．(4)y2-x2=4(y≥2)，双曲线的上支．二、已知方程整理为：(t2+2t+4xy)+i(2x-y+t)=0因为x，y，t∈R，得4x2+y2+4x-2y=0为所求．设计说明参数方程与普通方程的互化，应该是两课时，这是第一课时的内容：参数方程化为普通方程．对这一问题课本仅用3／2页的篇幅介绍了互化的方法共3个例题．纵观全章《参数方程、极坐标》也只是对参数方程进行了初步研究．而事实上，参数方程也是解析几何的重要内容之一，是继续学习数学知识的基础，在生产实践中也有广泛的应用．我们知道，参数方程与带有参数的问题固然不同，但是学习参数方程对于熟练参数的运用却很有帮助．更有一类问题，看来不是参数方程，而实质上是参数方程问题．这就是所求轨迹的方程，轨迹是双曲线．这解法有些使人莫名其妙，实际上这是参数方程．本来我们应该先把对应直线的交点求出来：这就是所求轨迹的参数方程．为了求x、y的方程而消t的话，可以照这样进行：数学中的参数好像是一种活泼的元素，有它的时候可以添一些麻烦，但这麻烦却多半是有趣的现象．它能使一些问题化繁为简．故活用参数，问题，常规解法是：这一问题也可巧用参数，把它转化成求过动点(cosθ，sinθ)和定点(1，2)直线的斜率取值范围问题．动点P(cosθ，sinθ)的轨迹是以坐标原点为圆心，1为半径的圆(挖去(1，0)点)．如图3-7知：(北京市陈经纶中学纪小华)。
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2016年广东自主招生数学模拟试题:参数方程与普通方程的互化
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1：直线被圆截得的弦长为（）
A、
B、
C、
D、
2：曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线是（）
A、线段
B、双曲线的一支
C、圆
D、射线
3：直线的参数方程是（）
A、（t为参数）
B、（t为参数）
C、（t为参数）
D、（t为参数）
4：若直线的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为（）
A、
B、
C、
D、
5：在曲线上的点是（）
A、
B、
C、
D、
6：已知曲线C的参数方程是（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是 .
7：已知抛物线：，（为参数）设为坐标原点，点在上运动，点是线段的中点，则点的轨迹普通方程为
8：（参数方程与极坐标）已知在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数且），在以原点
为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线的极坐标方程为，则曲线与交点的直角坐标为__________。
9：在极坐标系中，定点A(1,),点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是.
10：圆的参数方程为，则此圆的半径为_______________。
11：已知P为半圆C：（为参数，）上的点，点A的坐标为（1,0），
O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为。
（Ⅰ）以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
（Ⅱ）求直线AM的参数方程。
12：已知动点，Q都在曲线C：（β为参数）上，对应参数分别为
与（0＜＜2π），M为PQ的中点。
（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。
13：极坐标与参数方程：已知点P是曲线上一点，O为原点。
若直线OP的倾斜角为，求点的直角坐标。
14：把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：
（1）（t 为参数）； （2）（为参数）.
15：经过点，倾斜角为的直线，与曲线：（为参数）相交于两点。
（1）写出直线的参数方程，并求当时弦的长；
（2）当恰为的中点时，求直线的方程；
（3）当时，求直线
的方程； （4）当变化时，求弦
的中点的轨迹方程。
答案部分
1、B
试题分析：直线方程可化为x-2y+3=0,代入圆的方程化简得
,由韦达定理和弦长公式可知弦长
,答案选B.
考点：1.参数方程与普通方程的互化;2.直线被圆截得的弦长
2、D
消去t 2
,可得
,由于,所以此曲线为一条射线.
3、C
解：因为直线的参数方程是，斜率为2，消去参数t,或者,满足关系式的为选项C
4、D
解：因为直线的参数方程为，消去t，得到y=2=(x-1),因此直线的斜率为，那么倾斜角为
，选D
5、C
略
6、
试题分析：曲线的参数方程为（为参数），它表示以点为圆心，以为半径的圆，则曲线的标准方程为，化为一般方程即，化为极坐标方程得
，即，两边约去得.
考点：参数方程、直角坐标方程以及极坐标方程之间的转化
7、y 2 =x
依题意有，即，消去参数，可得：y 2 =x
8、（2，2）
试题分析：由曲线的参数方程为（为参数且），消去参数得到曲线的普通方程为：
；曲线的极坐标方程为化为直角坐标方程得；由方程组：
解得，（舍去），故曲线与交点的直角坐标为（2，2）。
考点：1。
参数方程与普通方程的互化；2。
极坐方程与直角坐标方程的互化；３。
曲线的交点。
9、
略
10、
由得
11、（Ⅰ）由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，
故点M的极坐标为（，）. ……5分
（Ⅱ）M点的直角坐标为（），A（0,1），故直线AM的参数方程为
（t为参数）……10分
试题分析：（Ⅰ）由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，
故点M的极坐标为（，）. ……5分
（Ⅱ）M点的直角坐标为（），A（0,1），故直线AM的参数方程为
（t为参数）……10分
考点：本题主要考查直角坐标与极坐标的互化，直线的参数方程。
点评：简单题，参数方程的给出，使解决问题的方法和思路得到扩充，有时利用曲线的参数方程，通过换元，可使问题较方便得解。
12、（Ⅰ）,(为参数,)（Ⅱ）过坐标原点
（Ⅰ）由题意有,,,
因此,
M的轨迹的参数方程为,(为参数,).
（Ⅱ）M点到坐标原点的距离为
，
当时，，故M的轨迹过坐标原点.
本题第（Ⅰ）问，由曲线C 的参数方程,可以写出其普通方程,从而得出点P的坐标,求出答案; 第（Ⅱ）问，由互化公式可得.对第（Ⅰ）问，极坐标与普通方程之间的互化,有一部分学生不熟练而出错;对第(2)问,不理解题意而出错.
【考点定位】本小题主要考查坐标系与参数方程的基础知识,熟练这部分的基础知识是解答好本类题目的关键.
13、
试题分析：利用消去参数，得曲线C的直角坐标方程为，注意参数对范围的限制. 直线OP方程为,联立方程解得，（舍去），或故点的直角坐标
为
解：由题意得，曲线C的直角坐标方程为，（2分）
直线OP方程为，---------------（4分）
联立方程解得，（舍去），或
故点的直角坐标为（10分）
考点：参数方程
14、（1）x 2-y 2
=4,方程表示双曲线（2）
=1表示椭圆.
（1）由
∴①2
-②2
得，x 2-y 2
=4,方程表示双曲线.
（2）,得 ①2
+②2
，得=1表示椭圆.
15、(1);(2);(3)或
（4）
试题分析：(1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程；掌握常见的将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程;(2)解决直线和曲线的综合问题：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与曲线的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式
：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关
系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.（4）根据题意设点根据点到直线的距离公式.
试题解析：解：（1）的参数方程（为参数）。
1分 曲线
化为：
，将直线参数方程的
代入，得
∵恒成立， 3分
∴方程必有相异两实根，且，。
∴
∴当时，。
5分
（2）由为中点，可知，
∴，
故直线的方程为。
7分
（3）∵，得
∴,
∴或
故直线的方程为或 9分
（4）∵中点对应参数
∴（参数），消去，得
弦的中点的轨迹方程为；
轨迹是以为圆心，为半径的圆。
10分
考点：（1）求弦长问题；（2）求直线方程；（3）中点弦的轨迹方程.。