专题04 初等函数(ii)三角函数(导学案)-2018上学期期末高一数学讲练(必修1+必修4) 含解析
2018版高中数学三角恒等变换章末复习课导学案新人教A版必修4 含解析
第三章 三角恒等变换学习目标 1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明.1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2.二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3.升幂缩角公式 1＋cos 2α＝2cos 2α. 1－cos 2α＝2sin 2α. 4.降幂扩角公式sin x cos x ＝sin 2x 2，cos 2x ＝1＋cos 2x 2，sin 2x ＝1－cos 2x 2.5.和差角正切公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β). 6.辅助角公式y ＝a sin ωx ＋b cos ωx ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋θ).类型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用例1 已知α，β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值.解 ∵α是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34.∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan (α－β)1＋tan αtan (α－β)＝139.∵β是锐角，∴cos β＝91050.反思与感悟 给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫α2，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，β＝12[(α＋β)－(α－β)]等.跟踪训练1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为31010，255.(1)求tan(α－β)的值； (2)求α＋β的值. 解 (1)由题可知，cos α＝31010，cos β＝255. 由于α，β为锐角，则sin α＝1010，sin β＝55， 故tan α＝13，tan β＝12，则tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝13－121＋16＝－17.(2)因为tan(α＋β)＝13＋121－16＝1，sin α＝1010<22，sin β＝55<22， 即α＋β<π2，故α＋β＝π4.类型二 整体换元思想在三角恒等变换中的应用例2 求函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ，x ∈R 的最值及取到最值时x 的值. 解 设sin x ＋cos x ＝t ， 则t ＝sin x ＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴t ∈[－2，2]，∴sin x ·cos x ＝(sin x ＋cos x )2－12＝t 2－12.∵f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ， ∴g (t )＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1，t ∈[－2，2].当t ＝－1，即sin x ＋cos x ＝－1时，f (x )min ＝－1， 此时，由sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22，解得x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z .当t ＝2，即sin x ＋cos x ＝2时，f (x )max ＝2＋12，此时，由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1，解得x ＝2k π＋π4，k ∈Z .综上，当x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝－1；当x ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝2＋12.反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来.跟踪训练2 求函数y ＝sin x ＋sin 2x －cos x (x ∈R )的值域. 解 令sin x －cos x ＝t ，则由t ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4知，t ∈[－2，2].又sin 2x ＝1－(sin x －cos x )2＝1－t 2， ∴y ＝(sin x －cos x )＋sin 2x ＝t ＋1－t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54.当t ＝12时，y max ＝54；当t ＝－2时，y min ＝－2－1. ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－1，54.类型三 转化与化归思想在三角恒等变换中的应用例3 已知函数f (x )＝23sin(x －3π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2－1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值.解 (1)因为f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为π.又因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]，所以f (x )的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知，f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6.又因为f (x 0)＝65，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45，cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝3－4310. 反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.跟踪训练3 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，17π12<x <7π4，求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值.解 sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋2sin 2x1－sin xcos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝sin 2x (1＋tan x )1－tan x＝sin 2x ·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . ∵17π12<x <7π4，∴5π3<x ＋π4<2π， 又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－45.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－43.∴cos x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin π4 ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫35－45＝－210. ∴sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos π4－sin π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－7210， sin 2x ＝725.∴sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝－2875.类型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用 例4 已知sin x ＋2cos y ＝2，求2sin x ＋cos y 的取值范围.解 设2sin x ＋cos y ＝a .由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋2cos y ＝2，2sin x ＋cos y ＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＝2a －23，cos y ＝4－a3，从而⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2a －23≤1，－1≤4－a3≤1，解得1≤a ≤52.故2sin x ＋cos y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52. 反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决.跟踪训练4 已知关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0，2π)上有两个不相等的实数解α，β，求cos(α＋β)的值.解 设x ＝cos θ，y ＝sin θ，则有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＋a ＝0，消去y ，并整理得4x 2＋23ax ＋a 2－1＝0.①由已知得cos α，cos β是①的两个实数解， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝－32a ，cos αcos β＝a 2－14.∴sin αsin β＝(3cos α＋a )(3cos β＋a ) ＝3cos αcos β＋3(cos α＋cos β)a ＋a 2＝a 2－34.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝a 2－14－a 2－34＝12.1.若α是第三象限角，且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－513，则tan α2等于( )A.－5B.－513C.1213 D.5答案 A解析 ∵sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β) ＝sin[(α＋β)－β]＝sin α＝－513，又∵α是第三象限角，∴cos α＝－1213.∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－513＝－5.2.已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin 2θ等于( )A.223B.－223C.23D.－23答案 A解析 由59＝sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－12sin 22θ，得12sin 22θ＝49，即sin 22θ＝89. 又∵2k π＋π<θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，∴4k π＋2π<2θ<4k π＋3π(k ∈Z )， 故sin 2θ＝223.故选A.3.已知sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12，则sin(α－β)＝ .答案 －5972解析 由(sin α＋cos β)2＋(sin β－cos α)2＝1336，得2sin(α－β)＝－5936，即sin(α－β)＝－5972.4.设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为 . 答案17250解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝725， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π4 ＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝17250. 5.已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值.解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin(2x －π3). 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14，所以，函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质.课时作业一、选择题1.cos 2 017°cos 1 583°－sin 2 017°sin 1 583°等于( ) A.0 B.12 C.22 D.1答案 D解析 原式＝cos(2 017°＋1 583°)＝cos 3 600°＝1. 2.函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x (x ∈R )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22－12，22－12 答案 C解析 y ＝12sin 2x ＋1－cos 2x2＝22(22sin 2x －22cos 2x )＋12 ＝22sin(2x －π4)＋12. ∵x ∈R ，∴2x －π4∈R ，∴sin(2x －π4)∈[－1，1]，∴函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12.3.函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A.π，1 B.π，2 C.2π，1 D.2π，2答案 A解析 ∵f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴最小正周期T ＝π，振幅A ＝1.4.已知tan(α＋π4)＝－12，且π2＜α＜π，则sin 2α－2cos 2αsin (α－π4)等于( )A.255B.－255C.－355D.－31010答案 B解析 sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2cos α(sin α－cos α)22(sin α－cos α)＝22cos α.∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝－12， ∴tan α＝－3 ， ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－1010. 则sin 2α－2cos 2αsin (α－π4)＝22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝－255. 5.已知向量a ＝(sin α，1)，b ＝(2，2cos α－2)(π2<α<π)，若a ⊥b ，则sin(α－π4)等于( ) A.－32B.－12C.12D.32答案 D 解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2sin α＋2cos α－2＝22sin(α＋π4)－2＝0，∴sin(α＋π4)＝12.∵π2<α<π， ∴3π4<α＋π4<5π4， ∴cos(α＋π4)＝－32.∴sin(α－π4)＝－sin(π4－α)＝－cos(α＋π4)＝32.6.若1tan θ＝3，则cos 2θ＋12sin 2θ的值是( )A.－65B.－45C.45D.65答案 D解析 由题意知，tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin 2θ＝cos 2θ＋sin θcos θ＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θtan 2θ＋1＝65. 7.函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －3的图象的一个对称中心为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－32B.⎝⎛⎭⎪⎫5π6，－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－3答案 B解析 y ＝12sin 2x ＋32(1＋cos 2x )－ 3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－32，令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )， x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝2时，x ＝5π6，∴函数图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，－32.二、填空题8.若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝ . 答案 －2解析 由题意知，tan α＝－2，sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2cos 2α－2sin 2α ＝2sin αcos α＋2cos 2α－2sin 2αsin 2α＋cos 2α ＝2tan α＋2－2tan 2αtan 2α＋1＝－4＋2－2×45＝－2. 9.函数y ＝(a cos x ＋b sin x )cos x 有最大值2，最小值－1，则实数a ＝ ，b ＝ . 答案 1 ±2 2解析 y ＝a cos 2x ＋b sin x cos x ＝b 2sin 2x ＋a 2cos 2x ＋a2 ＝a 2＋b 22sin(2x ＋φ)＋a2，a 2＋b 22＋a2＝2，－a 2＋b 22＋a2＝－1， a ＝1，b ＝±2 2.10.若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)＝ . 答案 4解析 由已知得4(tan α－tan β)＝16(1＋tan αtan β)， 即tan α－tan β1＋tan αtan β＝4.∴tan(α－β)＝4. 三、解答题11.已知函数f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)若tan α＝2，求f (α)； (2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的取值范围.解 (1)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12，由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α ＝1－tan 2αtan 2α＋1＝－35， 所以f (α)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，5π4， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1， 从而f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22. 所以f (x )的取值范围为[0，1＋22]. 12.已知△ABC 的内角B 满足2cos 2B －8cos B ＋5＝0，若BC →＝a ，CA →＝b ，且a ，b 满足：a ·b ＝－9，|a |＝3，|b | ＝5，θ为a ，b 的夹角.求sin(B ＋θ). 解 2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0， 4cos 2B －8cos B ＋3＝0， 解得cos B ＝12，sin B ＝32，cos θ＝a·b |a ||b |＝－35，sin θ＝45，sin(B ＋θ)＝sin B cos θ＋cos B sin θ＝4－3310.13.设函数f (x )＝sin 2x ＋cos(2x ＋π3).(1)求函数f (x )的最大值及此时x 的取值集合；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，已知cos B ＝13，f (C 2)＝－14，且C 为锐角，求sin A 的值.解 (1)∵f (x )＝1－cos 2x 2＋12cos 2x －32sin 2x＝12－32sin 2x ， ∴当sin 2x ＝－1时，f (x )max ＝1＋32，此时2x ＝2k π－π2(k ∈Z )，x ＝k π－π4(k ∈Z )，∴x 的取值集合为{x |x ＝k π－π4，k ∈Z }.(2)∵f (C 2)＝12－32sin C ＝－14，∴sin C ＝32. ∵C 为锐角，∴C ＝π3.由cos B ＝13，得sin B ＝1－cos 2B ＝223，∴sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32cos B ＋12sin B＝3＋226. 四、探究与拓展14.若tan(α＋π4)＝3＋22，则1－cos 2αsin 2α＝ .答案2215.已知向量OA →＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0].向量m ＝(2，1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA →－n ).(1)求向量OA →； (2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)的值. 解 (1)∵OA →＝(cos α，sin α)， ∴OA →－n ＝(cos α，sin α＋5). ∵m ⊥(OA →－n )，∴m ·(OA →－n )＝0，∴2cos α＋sin α＋5＝0. ① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得sin α＝－55，cos α＝－255， ∴OA →＝(－255，－55).(2)∵cos(β－π)＝210，∴cos β＝－210. 又∵0<β<π，∴sin β＝1－cos 2β＝7210. 又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×(－55)×(－255)＝45，cos 2α＝2cos 2α－1 ＝2×45－1＝35，∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×(－210)＋45×7210 ＝25250＝22.。
2017_2018版高中数学第一章三角函数章末温习课学案北师大版必修4
反思与感悟 利用y＝Asin(ωx＋φ)＋k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的阻碍．
跟踪训练3 已知函数y＝asin(2x＋ )＋b在x∈[0， ]上的值域为[－5,1]，求a，b的值．
命题角度2 可化为sinx或cosx的二次函数型
2．诱导公式
六组诱导公式能够统一归纳为“k· ±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．经历口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．
3．正弦函数、余弦函数和正切函数的性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图像
定义域
R
跟踪训练6 设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)．假设f(x)在区间[ ， ]上具有单调性，且f( )＝f( )＝－f( )，那么f(x)的最小正周期为________．
1．假设一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝ ，那么a的值为( )
A．4 B．±4
因此 解得3≤a≤4.
故实数a的取值范围为[3,4]．
1．任意角三角函数的概念
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)y叫作α的________，记作________，即________；
(2)x叫作α的________，记作________，即________；
(3) 叫作α的________，记作________，即____________________．
第一章 三角函数
学习目标 1.明白得任意角的三角函数的概念.2.把握三角函数诱导公式.3.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图像.4.明白得三角函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的性质.5.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，把握函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的变换．
18版高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式(一)导学案
18版高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式（一）导学案。
内部文件，版权追溯内部文件，版权追溯1.3三角函数的诱导公式（一）学习目标1了解三角函数归纳公式的意义和功能。
2了解归纳公式的推导过程。
3能够通过使用相关的归纳公式解决一些三角函数的求值、简化和证明问题设角α的终边与单位圆的交点为p，由三角函数定义知p点坐标为(cosα，sinα).知识点一诱导公式二思考角度π+α端点的棱角，它与端点有什么关系？角π+α——圆的最终边缘与单位圆的交点p1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点p(cosα，sinα)呢？它们的三角函数之间有什么关部门答案角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，p1与p也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式二罪π＋α?＝－sinα，因为？π＋α?＝－你呢，谭？π＋α?＝tanα。
知识点2归纳公式3思考角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点p2(cos(－α)，sin(－α))与点p(cosα，sinα)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？答案角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，p2与p也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式三罪？－α?＝－sinα，cos？－α?＝cosα，tan？－α?＝－tanα。
一知识点三诱导公式四思考角度π-α，端点的棱角，它和端点有什么关系？角π-α——圆的最终边缘与单位圆的交点p3(cos(π－α)，sin(π－α))与点p(cosα，sinα)有怎样的关系？它们的三角函之间这有什么关系？答案角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，p3与p也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式四sin（π－α）＝sinα，cos（π－α）＝cosα，tan（π－α）＝tanα。
梳理公式1~4称为诱导公式，分别反映2Kπ+α（k∈z），π＋α，－α，π－α三角函数和α这四组公式的共同特点是：2kπ＋α(k∈z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”.类型一使用归纳公式计算命题角度1角度计算问题的示例1，以找到以下三角函数的值11π43π(1)cos210°；(2)sin；(3)sin(－)；(4)cos(－1920°).46溶液（1）cos210°=cos（180°+30°）=-cos30°=-3.211π3π（2）sin＝sin（2π＋）443ππ＝sin＝sin(π－)44π2＝sin＝.4243π7π（3）sin（－）＝sin（6π＋）662＝-sin7π6＝sin（π＋π6）＝sinπ16＝2.（4） cos（－1920°）＝COS120°＝cos（5×360°＋120°）＝cos120°＝cos(180°－60°)＝－cos60°＝－12.反射和感知：使用归纳公式计算任意角度的三角函数值的步骤：（1）“负到正”：使用公式1或3进行变换(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.跟踪训练1求下列各三角函数式的值.（1）sin1320°；（2）cos？？31π?－6；(3)tan(－945°).解决方案（1）方法1 sin1320°=sin（3）×360°＋240°＝sin240°＝sin（180°＋60°）＝－sin60°＝－32方法二sin1320°=sin（4）×360°－120°＝sin（－120°）＝sin（180°－60°）＝sin60°＝32.(2)方法一cos??31π?－6＝cos31π＝cos??4π＋7π?6?6??＝cos（π＋π6）＝－cosπ6＝32.方法二cos??31π?－?＝cos?－6π＋5π66.＝cosπ－π6＝－cosπ36＝2。
2018版高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质二导学案新人教A版必修4
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)学习目标 1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间.知识点一 正弦、余弦函数的定义域、值域 观察下图中的正弦曲线和余弦曲线. 正弦曲线：余弦曲线：可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ，值域都是[－1，1].对于正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 有：当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1；当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 有：当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 知识点二 正弦、余弦函数的单调性观察正弦函数y ＝sin x ，x ∈[－π2，3π2]的图象.思考1 正弦函数在[－π2，3π2]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案 观察图象可知：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是减函数，函数值由1减小到－1.观察余弦函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图象.思考2 余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？ 答案 观察图象可知：当x ∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x 的值由－1增大到1； 当x ∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得当x ∈[2k π－π，2k π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是减函数，函数值由1减小到－1. 思考3 正弦函数、余弦函数的单调区间是什么？答案 y ＝sin x 的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z .y ＝cos x 的增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，减区间为[2k π，π＋2k π]，k ∈Z .梳理类型一 求正弦、余弦函数的单调区间例1 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间. 解 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的单调递增区间，即求sin z 的单调递减区间，即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z ).∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z ).反思与感悟 用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.跟踪训练1 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为________________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3解析 由π2＋2k π≤3x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得π9＋2k π3≤x ≤4π9＋2k π3(k ∈Z ). 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3， 所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3.类型二 正、余弦函数单调性的应用命题角度1 利用正、余弦函数的单调性比较大小 例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小. (1)sin 196°与cos 156°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°. ∵0°<16°<66°<90°，且y ＝sin x 在[0°，90°]上是增函数， ∴sin 16°<sin 66°，从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos(4π＋35π)＝cos 35π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4.∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 反思与感悟 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小. 跟踪训练2 比较下列各组数的大小.(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π； (2)cos 870°与sin 980°.解 (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3.∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<sin π3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π<sin 493π. (2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°.∵0°<150°<170°<180°，且y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴cos 150°>cos 170°，即cos 870°>sin 980°. 命题角度2 已知三角函数的单调性求参数范围例3 已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上是增函数，求ω的取值范围.解 由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω， ∴f (x )的单调递增区间是[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]，k ∈Z . 根据题意，得[－π3，π4]⊆[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω](k ∈Z )，从而有⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32.故ω的取值范围是(0，32].反思与感悟 此类问题可先解出f (x )的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围.跟踪训练3 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D.(0，2]答案 A解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ， 显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C.取ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 类型三 正、余弦函数的值域或最值例4 (1)求函数y ＝2cos(2x ＋π3)，x ∈(－π6，π6)的值域；(2)求使函数y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54取得最大值和最小值的自变量x 的集合，并求出函数的最大值和最小值.解 (1)∵－π6<x <π6，∴0<2x ＋π3<2π3，∴－12<cos(2x ＋π3)<1，∴函数y ＝2cos(2x ＋π3)，x ∈(－π6，π6)的值域为(－1，2).(2)令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1， ∴y ＝－t 2＋3t ＋54＝－(t －32)2＋2.当t ＝32时，y max ＝2， 此时sin x ＝32，即x ＝2k π＋π3或x ＝2k π＋2π3(k ∈Z ). 当t ＝－1时，y min ＝14－ 3.此时sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2(k ∈Z ).综上，使函数y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54取得最大值时自变量x 的集合为{x |x ＝2k π＋π3或x＝2k π＋2π3，k ∈Z }，且最大值为2.使函数y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54取得最小值时自变量x 的集合为{x |x ＝2k π＋3π2，k ∈Z }，且最小值为14－ 3.反思与感悟 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等.三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质. 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：(1)形如y ＝sin(ωx ＋φ)的三角函数，令t ＝ωx ＋φ，根据题中x 的取值范围，求出t 的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y ＝sin t 的最值(值域)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)的三角函数，可先设sin x ＝t ，将函数y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)化为关于t 的二次函数y ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值).(3)对于形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )的函数的最值还要注意对a 的讨论.跟踪训练4 已知函数f (x )＝2a sin x ＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值.解 ∵－π3≤x ≤2π3，∴－32≤sin x ≤1.若a ＞0，则⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧ a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.若a ＜0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝－5，－3a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.1.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B.[－π，0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23π，23πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，23π答案 D解析 由π2≤x ＋π6≤32π，解得π3≤x ≤43π.故选D.2.下列不等式中成立的是( )A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10 B.sin 3>sin 2 C.sin 75π>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π D.sin 2>cos 1答案 D解析 ∵sin 2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2，且0<2－π2<1<π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2>cos 1， 即sin 2>cos 1.故选D.3.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1答案 B解析 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π，∴cos 23π≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤cos π6，∴－12≤y ≤ 32.故选B.4.求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合.解 ∵－1≤sin 12x ≤1，∴当sin 12x ＝－1，12x ＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝4k π－π，k ∈Z ，y max ＝5，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π－π，k ∈Z }；当sin 12x ＝1，12x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，y min ＝1，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }.5.求函数y ＝2sin(π6－2x )，x ∈(0，π)的单调递增区间.解 ∵函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x 的单调递增区间为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的单调递减区间.由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z .∵x ∈(0，π)，∴由k ＝0，得π3≤x ≤5π6.∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x ，x ∈(0，π)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.1.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的方法把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2 (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间.若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间.2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.3.求三角函数值域或最值的常用方法将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围.课时作业一、选择题1.函数y ＝1－2cos π2x 的最小值，最大值分别是( )A.－1，3B.－1，1C.0，3D.0，1答案 A解析 ∵cos π2x ∈[－1，1]，∴－2cos π2x ∈[－2，2]，∴y ＝1－2cos π2x ∈[－1，3]，∴y min ＝－1，y max ＝3.2.下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B.y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2D.y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2答案 A3.下列关系式中正确的是( ) A.sin 11°<cos 10°<sin 168° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<sin 168°<cos 10° D.sin 168°<cos 10°<sin 11° 答案 C解析 ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.∴由正弦函数的单调性，得sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°.4.函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( ) A.(π2，π) B.(π，2π) C.(π，3π2) D.(0，π)答案 C解析 作出函数y ＝|sin x |的图象，如图，观察图象知C 正确，故选C.5.函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈[π3，2π3]的最小值是( )A.－13B.154C.0D.－14答案 D解析 令t ＝cos x ，x ∈[π3，2π3]，∴t ∈[－12，12]， y ＝3t 2－4t ＋1＝3(t －23)2－13.∵y ＝3(t －23)2－13在t ∈[－12，12]上单调递减， ∴当t ＝12时，y min ＝3×(12)2－4×12＋1＝－14. 6.若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω的值可为( )A.32B.23C.2D.3答案 A 解析 由题意知，T 4＝π3，即T ＝4π3，4π3＝2πω， ∴ω＝32. 二、填空题7.sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________.答案 sin 3<sin 1<sin 2解析 ∵1<π2<2<3<π， sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.8.函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________. 答案 [0，2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3， ∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，∴y ∈[0，2]. 9.函数y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π 解析 y ＝－13sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， ∵x ∈[0，π]，∴－π6≤x －π6≤5π6. 要求函数的单调递增区间，则π2≤x －π6≤5π6， 即2π3≤x ≤π.∴y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π. 10.函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的最大值与最小值之和为________.答案 2π解析 由图可知，b －a 的最大值为13π6－5π6＝4π3， b －a 的最小值为3π2－5π6＝2π3. 所以最大值与最小值之和为4π3＋2π3＝2π. 三、解答题11.求下列函数的单调增区间.(1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝12log sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3. 解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x 2的单调增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z ). (2)要求函数y ＝12log sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的单调增区间，即求使y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3>0且单调递减的区间. ∴2k π＋π2≤x 2－π3<2k π＋π，k ∈Z ， 整理得4k π＋5π3≤x <4k π＋8π3，k ∈Z . ∴函数y ＝12log sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的单调增区间为 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4k π＋5π3，4k π＋8π3，k ∈Z . 12.求下列函数的最大值和最小值.(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2； (2)f (x )＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6. 解 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，由函数图象知， f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，sin π2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 所以，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12. (2)f (x )＝－2(1－sin 2x )＋2sin x ＋3＝2sin 2x ＋2sin x ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，所以12≤sin x ≤1. 当sin x ＝1时，y max ＝5；当sin x ＝12时，y min ＝52. 所以，f (x )在[π6，5π6]上的最大值和最小值分别为5，52. 13.已知函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b (a ＞0).当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为3，最小值是－2，求a 和b 的值.解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，∴f (x )max ＝a ＋b ＝3， f (x )min ＝－32a ＋b ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，－32a ＋b ＝－2，得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－2＋ 3.四、探究与拓展 14.已知奇函数f (x )在[－1，0]上单调递减，α，β为锐角三角形两内角，则( )A.f (cos α)>f (cos β)B.f (sin α)>f (sin β)C.f (sin α)>f (cos β)D.f (sin α)<f (cos β)答案 D解析 由题意，得α＋β>π2，∴π2>α>π2－β>0， ∴sin α>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，即1>sin α>cos β>0， ∴－1<－sin α<－cos β<0.∵奇函数f (x )在[－1，0]上单调递减，∴f (－sin α)>f (－cos β)，∴－f (sin α)>－f (cos β)，∴f (sin α)<f (cos β).15.已知定义在R 上的奇函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，且f (12)＝0，△ABC 的内角A 满足f (cos A )≤0，求角A 的取值范围.解 ①当0<A <π2时，cos A >0. 由f (cos A )≤0＝f (12)，f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 得0<cos A ≤12， 解得π3≤A <π2. ②当π2<A <π时，cos A <0. ∵f (x )为R 上的奇函数，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，∴由f (cos A )≤0＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，得cos A ≤－12， ∴2π3≤A <π. ③当A ＝π2时，cos A ＝0，∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，∴f (0)≤0成立.综上所述，角A 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π.。
2018版高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象导学案新人教A版必修420180424
1.4.3正切函数的性质与图象学习目标 1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法.知识点一正切函数的性质思考1正切函数的定义域是什么？π答案{x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}.2π思考2诱导公式tan(π＋x)＝tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？2答案周期性.π思考3诱导公式tan(－x)＝－tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？2答案奇偶性.π思考4从正切线上看，在(0，2)上正切函数值是增大的吗？答案是.π梳理函数y＝tan x (x ∈R且x ≠kπ＋，k ∈Z)的图象与性质见下表：2解析式y＝tan x图象1π定义域 {x |x ∈R 且 x ≠k π＋ ，k ∈Z }2值域 R 周期 π 奇偶性奇ππ单调性在开区间(k π－，k π＋ (k ∈Z )内都是增函数 2)2知识点二 正切函数的图象思考 1 利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？π π 答案 根据正切函数的定义域和周期，首先作出区间(－ ， )上的图象.作法如下：2 2 (1)作直角坐标系，并在直角坐标系 y 轴的左侧作单位圆. (2)把单位圆的右半圆分成 8等份，分别在单位圆中作出正切线. (3)描点(横坐标是一个周期的 8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度). (4)连线，得到如图①所示的图象.(5)根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数 y ＝tan x ，x ∈R π且 x ≠ ＋k π(k ∈Z )的图象，把它称为正切曲线(如图②所示).可以看出，正切曲线是被相互2 π平行的直线 x ＝ ＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.2思考 2 我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函π π数 y ＝tan x ，x ∈(－的简图吗？怎样画？， 2)22ππππ 答案 能，三个关键点：( ，1)，(0，0)，(－，－1)，两条平行线：x ＝，x ＝－ .4422梳理 (1)正切函数的图象(2)正切函数的图象特征π正切曲线是被相互平行的直线 x ＝ ＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.2类型一 正切函数的定义域 例 1 求下列函数的定义域. 1 (1)y ＝ ； 1＋tan x (2)y ＝lg( 3－tan x ).1解 (1)要使函数 y ＝ 有意义，必须且只需Error! 1＋tan x 所以函数的定义域为π π {x |x ∈R 且 x ≠k π－ ，x ≠k π＋ ，k ∈Z }. 4 2 (2)因为 3－tan x >0，所以 tan x < 3. π又因为当 tan x ＝ 3时，x ＝ ＋k π(k ∈Z )，3π π根据正切函数图象，得 k π－ ＜x ＜k π＋ (k ∈Z )， 2 3 π π所以函数的定义域是{x |k π－ ＜x ＜k π＋ ，k ∈Z }. 2 3反思与感悟 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三 角函数的图象或三角函数线.跟踪训练 1 求函数 y ＝ tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域. 解 由题意得Error!即－1≤tan x <1.π ππ π在(－内，满足上述不等式的 x 的取值范围是，又 y ＝tan x 的周期为 π，， 2)[－， 4)24ππ 所以函数的定义域是[k π－ ，k π＋ 4)(k ∈Z ).4类型二正切函数的单调性及其应用3命题角度 1 求正切函数的单调区间1 π x ＋例 2 求函数 y ＝tan (－4)的单调区间及最小正周期. 21 π 1 πx ＋解y ＝tan(－4)＝－tan (x －， 4)22π 1 π π由 k π－ < x － <k π＋ (k ∈Z )， 2 2 4 2 π 3得 2k π－ <x <2k π＋ π(k ∈Z )， 2 21 πx ＋所以函数 y ＝tan (－4)的单调递减区间是2 π3π(2k π－π)，2k π＋ ，k ∈Z ，周期 T ＝ ＝2π. 2 21|－2 |π 反思与感悟 y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的单调区间的求法是把 ωx ＋φ 看成一个整体，解－ 2π＋k π<ωx ＋φ< ＋k π，k ∈Z 即可.当 ω<0时，先用诱导公式把 ω 化为正值再求单调区间.2π跟踪训练 2 求函数 y ＝tan(2x － 3)的单调区间.ππππ π解 ∵y ＝tan x 在 x ∈(－(k ∈Z )上是增函数，∴－ ＋k π<2x － < ＋＋k π， ＋k π)2 223 2k π，k ∈Z ，π k π 5π k π即－ ＋ <x < ＋ ，k ∈Z . 12 2 12 2ππ k π 5π k π∴函数 y ＝tan (2x － 的单调递增区间是(k ∈Z ).3)(－＋ ＋，2)12 2 12命题角度 2 利用正切函数的单调性比较大小 例 3 (1)比较大小：①tan 32°________tan 215°；18π28π②tan________tan(－).5 9(2)将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为________.(用“<”连接)答案(1)①<②<(2)tan 2<tan 3<tan 1解析(1)①tan215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°，∵y＝tan x在(0°，90°)上单调递增，32°<35°，∴tan32°<tan35°＝tan 215°.18π2π2π②tan＝tan(4π－)＝tan(－)，5 5 5428πππtan(－)＝tan(－3π－)＝tan(－)，9 9 9ππ2ππ∵y＝tan x在(－，)上单调递增，且－<－，2 2 5 92ππ∴tan(－)<tan(－)，5 918π28π即tan <tan(－).5 9(2)tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，ππ∵－<2－π<3－π<1<，2 2ππ且y＝tan x在(－，)上单调递增，2 2∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1，即tan 2<tan 3<tan 1.反思与感悟运用正切函数的单调性比较大小的步骤：(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内；(2)运用单调性比较大小关系.7π9π 跟(－4 )________tan(－5 ).踪训练3比较大小：tan答案>7πππ 解析∵tan(－4 )＝－tan(2π－4)＝tan ，49πππtan(－5 )＝－tan(2π－5)＝tan .5ππππ又0＜＜＜，y＝tan x在内单调递增，5 42 (0，2)ππ∴tan＜tan ，5 47π9π∴tan(－4 )＞tan(－5 ).类型三正切函数的图象及应用例4画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性. 解由y＝|tan x|，得y＝Error!其图象如图所示.5。
2018版高中数学第一章三角函数导学案新人教A版必修4_
3.2 cm2.
2 任意角三角函数问题错解辨析
任意角三角函数是三角函数的基础，在学习这部分内容时，有的同学经常因为概念不清、考 虑不周、观察代替推理等原因而错解题目，下面就解题中容易出现的错误进行分类讲解，供 同学们参考. 一、概念不清 例 1 已知角 α 的终边在直线 y＝2x 上，求 sin α＋cos α 的值. 错解 在角 α 的终边所在直线 y＝2x 上取一点 P(1，2)， 则 r＝ 12＋22＝ 5.
(1)4sin α－9cos α＝________； (2)2sin2α－3cos2α＝________.
解析 (1)因为 cos α≠0，分子分母同除以 cos α， 2sin α－3cos α 2tan α－3 2 × 2－3
得4sin α－9cos α＝4tan α－9＝4 × 2－9＝－1. 2sin2α－3cos2α
π
π
3π
当 2kπ＋ 2 ≤2x－ 4 ≤2kπ＋ 2 (k∈Z)，
3π
7π
即 kπ＋ 8 ≤x≤kπ＋ 8 (k∈Z)时，函数单调递减，
π
π 3π
3π 3π
所以 f(x)＝ 2sin(2x－ 4 )在区间[ 8 ， 8 ]上为增函数，在区间[ 8 ， 4 ]上为减函数.
π
3π
3π
又 f( 8 )＝0，f( 8 )＝ 2，f( 4 )＝－1.
长为 l，则 l＝α·OP＝α，AT＝tan α.
因为 S△OAP＜S 扇形 OAP＜S△OAT，
1
1
1
所以 2OA·MP＜2OA·l＜2OA·AT.
所以 MP＜l＜AT，即 sin α＜α＜tan α.
三、估算能力差
高一数学上学期期末复习 专题04 初等函数(II)三角函数导学案
第四讲基本初等函数（II ）一、基础知识整合 （一）三角函数的概念 1．任意角 (1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置______到另一个位置所成的图形．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________． (2)象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的____________重合．角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．①α是第一象限角可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2kπ<α<2kπ＋π2，k∈Z ；②α是第二象限角可表示为；③α是第三象限角可表示为； ④α是第四象限角可表示为． (3)非象限角如果角的终边在____________上，就认为这个角不属于任何一个象限． ①终边在x 轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2kπ，k∈Z}； ②终边在x 轴非正半轴上的角的集合可记作 __________________________________； ③终边在y 轴非负半轴上的角的集合可记作 __________________________________； ④终边在y 轴非正半轴上的角的集合可记作 __________________________________； ⑤终边在x 轴上的角的集合可记作__________________________________；⑥终边在y 轴上的角的集合可记作_________； ⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作_____． (4)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝________________________. 2．弧度制(1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．||α＝________，l 是半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长．(2)弧度与角度的换算：360°＝________rad ，180°＝________rad ，1°＝_____rad≈0.01745rad，反过来1rad ＝____≈57.30°＝57°18′.(3)若圆心角α用弧度制表示，则弧长公式l ＝__________；扇形面积公式S 扇＝______＝_____．3．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x ，y)与原点的距离为r(r>0)，则sinα＝_____，cosα＝______， tanα＝______ (x≠0)．※cotα＝x y (y≠0)，secα＝r x (x≠0)，cscα＝ry(y≠0)．三角函数 定义域sinα ① cosα ② tanα③(3)4．三角函数线如图，角α的终边与单位圆交于点P.过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，过点A(1，0)作单位圆的切线，设它与α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T.根据三角函数的定义，有OM ＝x ＝________，MP ＝y ＝________，AT ＝＝________.像OM ，MP ，AT 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段MP ，OM ，AT ，分别叫做角α的、、，统称为三角函数线．5．特殊角的三角函数值 角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 角α的 弧度数 sinα式易求15°，75°的余弦值和余切值．（二）三角函数同角关系与诱导公式 1．同角三角函数的基本关系(1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式： ①____________________； ②．(2)同角三角函数的关系式的基本用途：①根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；②化简同角的三角函数式；③证明同角的三角恒等式． 2．三角函数的诱导公式 (1)诱导公式的内容：(2)三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称________．“符号看象限”是把α当成________时，原三角函数式中的角⎝ ⎛⎭⎪⎫如π2＋α所在________原三角函数值的符号．注意：把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin(360°＋120°)＝sin120°，sin(270°＋120°)＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数． (3)诱导公式的作用：诱导公式可以将任意角的三角函数转化为________三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是： 任意负角的三角函数――→去负（化负角为正角）任意正角的三角函数――→脱周脱去k·360°0°到360°的三角函数――→化锐（把角化为锐角 ）锐角三角函数3．sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三者之间的关系(sinα＋cosα)2＝________________；(sinα－cosα)2＝________________；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝________________；(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝________________.（三）三角函数图象和性质1．“五点法”作图(1)在确定正弦函数y＝sinx在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是，，，，．(2)在确定余弦函数y＝cosx在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是，，，，．2．周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有________________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的________________．3．三角函数的图象和性质函数性质y＝sinx y＝cosx y＝tanx定义域①________②________③_______图象值域④________⑤________R对称性对称轴：⑥________；对称中心：⑦__________对称轴：⑧________；对称中心：⑨__________无对称轴；对称中心：⑩_______最小正周期⑪__________ ⑫__________ ⑬_______单调性单调增区间⑭_________；单调减区间⑮__________单调增区间⑯_________；单调减区间⑰__________单调增区间⑱_______奇偶性⑲________ ⑳_______ ○21_______（四）三角函数图象变换1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示.xωx＋φy＝Asin(ωx＋φ)0 A 0 －A 02.图象变换(ω＞0)路径①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移________个单位长度，得到函数y ＝sin(x ＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y ＝Asin(ωx＋φ)的图象．路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的________倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sinωx 的图象；然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y ＝Asin(ωx＋φ)的图象．3．函数y ＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的物理意义简谐运动的图象所对应的函数解析式y ＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0.在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A 就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T ＝，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f ＝1T ＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx＋φ称为相位；x ＝________时的相位φ称为初相． 【答案】（一）三角函数的概念1．(1)旋转 逆时针 顺时针 零角 (2)非负半轴②⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈Z④⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2kπ＋32π<α<2kπ＋2π，k∈Z 或{α|2kπ－π2<α<2kπ，k∈Z}(3)坐标轴②{}α|α＝2kπ＋π，k ∈Z ③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2kπ＋π2，k∈Z④⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2kπ＋32π，k∈Z ⑤{α|α＝kπ，k∈Z}⑥⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝kπ＋π2，k∈Z ⑦⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝kπ2，k∈Z(4){β|β＝α＋2kπ，k∈Z}或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z} 2．(1)半径长 l r (2)2π π π180 ⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°(3)||αr12||αr2 12lr 3．(1)y r x r yx(2)①R ②R ③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α≠kπ＋π2，k∈Z4．cosα sinα yx tanα 正弦线 余弦线 正切线5.（二）三角函数同角关系与诱导公式1．(1)①sin2α＋cos2α＝1 ②sinαcosα＝tanα2．(1)(2)不变 锐角 象限 (3)锐角3．1＋2sinαcosα 1－2sinαcosα 2 4sinαcosα （三）三角函数图象和性质1．(1)(0，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 (π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1 (2π，0)(2)(0，1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 (π，－1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，0 (2π，1)2．f(x ＋T)＝f(x) 最小正周期3．①R ②R ③⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠kπ＋π2，k∈Z ④[－1，1] ⑤[－1，1] ⑥x＝kπ＋π2(k∈Z) ⑦(kπ，0)(k∈Z)⑧x＝kπ(k∈Z) ⑨⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ＋π2，0(k∈Z) ⑩⎝⎛⎭⎪⎫kπ2，0(k∈Z) ⑪2π ⑫2π ⑬π⑭⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z) ⑮⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z) ⑯[2kπ－π，2kπ](k∈Z) ⑰[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)⑱⎝⎛⎭⎪⎫kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z) ⑲奇函数 ⑳偶函数 ○21奇函数 （四）三角函数图象变换 1.2.||φ1ω A 1ω ⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω A 3.2πω ω2π0. 二、热点题型展示类型一 角的概念与扇形的弧长与面积问题例1.半径为cm π，则060圆心角所对的弧长为（ ）A. 23cm πB. 3cm πC. 23cmπ D. 223cm π【答案】A【解析】圆弧所对的圆心角为060即为3π弧度，半径为πcm弧长为233l r cmππαπ=⋅=⨯=故选：A.例2. 已知扇形的周长为6cm ，面积是22cm ，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4 【答案】C【解析】设扇形的圆心角为α，半径为Rcm ，解得=1α或=4α，故选C ．例3.若α为第一象限角，则()180k k α⋅︒+∈Z 的终边所在的象限是 （ ）A ．第一象限B ．第一、二象限C ．第一、三象限D ．第一、四象限 【答案】C【解析】当k 为偶数时，设()2k m m =∈Z ，则180360k m αα⋅︒+=⋅︒+，则其终边在第一象限； 当k 为奇数时，设()21k m m =+∈Z ，则()180360180k m αα⋅+=⋅︒+︒+o ，则其终边在第三象限.故选C 【名师点睛】1．要注意锐角与第一象限角的区别，锐角的集合仅是第一象限角的集合的一个真子集，即锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角．2．在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．如α＝2kπ＋30°(k∈Z)，β＝k·360°＋π2(k∈Z)的写法都是不规范的．3．扇形的弧长与面积问题.①直接用公式l ＝|α|R 可求弧长，利用S 弓＝S 扇－S△可求弓形面积．②关于扇形的弧长公式和面积公式有角度制与弧度制这两种形式，其中弧度制不仅形式易记，而且好用，在使用时要注意把角度都换成弧度，使度量单位一致．③弧长、面积是实际应用中经常遇到的两个量，应切实掌握好其公式并能熟练运用． 类型二 三角函数的定义与三角函数线例1.已知点33,cos 44P sin ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭落在角θ的终边上，且[)0,2θπ∈，则θ的值为( ) A. 4πB. 34πC. 54πD. 74π【答案】D【解析】由题意可得： 3cos4tan 13sin4πθπ==-，且点P 位于第四象限，据此可得θ的值为74π.选D.例2.已知角α的终边经过点()39,2αα-+，且cos 0,sin 0αα>…，则实数α的取值范围是( ) A.[)2,3- B. ()2,3- C. (]2,3- D. []2,3-【答案】C【解析】因为角α的终边经过点（3a-9，a+2），sinα＞0，cosα≤0，所以390{20a a -≤+＞，解得-2＜a≤3.选择A.例3.已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合.（1）若终边经过点(1,2)P -，求sin cos αα的值；（2）若角α的终边在直线3y x =-上，求.【答案】（1（2）0.【解析】（1）由题知：2,1=-=y x，（2）当角α的终边在第二象限时，取终边上一点()3,1-，则：3,1=-=y x，当角α的终边在第四象限时，取终边上一点()3-1，，则：3-,1==y x ，【名师点睛】1.三角函数线是任意角的三角函数的几何表示，利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小，并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律．在求三角函数的定义域、解三角不等式、证明三角不等式等方面，三角函数线具有独特的简便性． 已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．2.牢记各象限三角函数值的符号，在计算或化简三角函数关系时，要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨论．3.已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数值，若含有参数，则要注意对可能情况进行分类讨论．4.在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线，常使问题变的简单． 类型三 同角三角函数的基本关系及诱导公式例1.已知已知sin π325α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，α∈π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin(π＋α)等于__________ 【答案】4-5【解析】由题意得()3π44cos ,0,sin ,sin πsin 5255ααααα⎛⎫=∈∴=+=-=-⎪⎝⎭Q 例2.已知角α的终边在直线3y x =-上，则310sin cos αα+的值为_______；【答案】0.【解析】由题意可得tan 3α=-，对角α的终边分类讨论：当α的终边位于第二象限时，sin αα==，则310sin 0cos αα+=； 当α的终边位于第四象限时，sin αα==，则310sin 0cos αα+=；综上可得310sin 0cos αα+=.例3.若11sin cos αα+=sin cos αα=（ ）A ．13-B ．13C ．13-或1 D ．13或-1【答案】A【解析】11sin cos sin cos sin cos αααααα++==，sin cos cos αααα+=，两边平方得212sin cos 3(sin cos )αααα+=，(sin cos 1)(3sin cos 1)0αααα-+=，因为11sin cos sin 222ααα=≤，所以1sin cos 3αα=-．故选A ．例4.已知3tan =α，计算：（1）ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-；（2）ααcos sin ；（3）2)cos (sin αα+ 【答案】（1）57；（2）310；（3）85.【解析】3tan =αΘ，)1(∴75335234tan 352tan 4sin 3cos 5cos 2sin 4=⨯+-⨯=+-=+-αααααα； 1031tan tan cos sin cos sin cos sin 222=+=+=αααααααα；αααααααααααα2222222cos sin cos sin 2cos sin cos sin 2cos sin )cos (sin +++=++=+5810161tan 1tan 2tan 22==+++=ααα．例5.（I ）化简)(αf ；（Ⅱ）若α是第三象限角，且，求)(αf 的值． 【答案】（I ）ααcos )(-=f ；【解析】（I又由α是第三象限角，所以【名师点睛】1．诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取．2．已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，这类问题用同角三角函数的基本关系式求解，一般分为三种情况：(1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的，此类情况只有一组解．(2)一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出，解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置，然后分不同的情况求解．(3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，此类情况须对字母进行讨论，并注意适当选取分类标准，一般有两组解．3．计算、化简三角函数式常用技巧(1)减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及sinα，cosα的齐次分式问题，常采用分子分母同除以cosnα(n∈N*)，这样可以将被求式化为关于tanα的式子．※(2)巧用“1”进行变形，如1＝sin2α＋cos2α＝tanαcotα＝tan45°＝sec2α－tan2α等．(3)平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取．(4)熟悉sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三者之间的内在联系，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα进行和积转换，可知一求二．类型四三角函数的图象与性质例1.已知()()cosf x A xωϕ=+（0A>，0ω>，2πϕ<≤）是定义域为R的奇函数，且当3x=时，()f x取得最小值3-，当ω取最小正数时，()()()()1232017f f f f+++⋯+的值为（）A. 32B. 32-C. 1D. 1-【答案】B【解析】∵()()cos f x A x ωϕ=+（0A >， 0ω>，02πϕ<≤）是定义域为R 的奇函数，∴k π2πϕ=+， k Z ∈，∴2πϕ=.则()f x Asin x ω=-, 当3x =时， ()f x 取得最小值3-,故3A =， 31sin ω=，∴32k π2πω=+， k Z ∈，∴ω取最小正数为6π，此时：()36f x sinxπ=- ，∴函数的最小正周期为12，且，()()()()123120f f f f +++⋯+=，又2017121681=⨯+，∴()()()()()31232017168012f f f f f +++⋯+=⨯+=-。
高中数学：专题三角函数的图象与性质导学案
专题 三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )π知识拓展 1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则： (1)f (x )为偶函数的等价于是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的等价于是φ＝k π(k ∈Z )．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( )(2)由sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2π3＝sin π6知，2π3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (5)y ＝sin|x |是偶函数．( ) 题组二 教材改编2．[P35例2]函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是________． 3．[P46A 组T2]y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是________． 4．[P45T3]y ＝tan 2x 的定义域是________. 题组三 易错自纠5．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 6．函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间是______________________． 7．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________．题型一 三角函数的定义域和值域1．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π6(k ∈Z ) D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π6(k ∈Z ) 2．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．4．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为__________．思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法 ①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)的形式求值域； ③通过换元，转换成二次函数求值域．题型二 三角函数的单调性命题点1 求三角函数的单调性典例 (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)(哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是____________． 命题点2 根据单调性求参数典例 已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 引申探究本例中，若已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是____．思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 跟踪训练 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A.23B.32C ．2D ．3题型三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性命题点1 三角函数的周期性典例 (1)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③(2)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________． 命题点3 三角函数图象的对称性典例 若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为________．思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点． (2)求三角函数周期的方法 ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且∀x ∈R ，有f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心坐标是( )（期末考试变式题） A.⎝⎛⎭⎫－2π3，0 B.⎝⎛⎭⎫－π3，0 C.⎝⎛⎭⎫2π3，0 D.⎝⎛⎭⎫5π3，0 (2)若将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与原函数的图象关于x 轴对称，则ω的最小正值是________．三角函数的图象与性质考点分析 纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．典例 (1)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2π B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减 (2)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为________．(3)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．1．(2018·广州质检)下列函数中，是周期函数的为( ) A ．y ＝sin|x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝tan|x |D ．y ＝(x －1)02．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．0 3．函数y ＝sin x 2的图象是( )4．函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A ．3，－1 B ．3，－2 C ．2，－1 D ．2，－25．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (x )图象的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π3，0 B.⎝⎛⎭⎫－π6，0 C.⎝⎛⎭⎫π6，0 D.⎝⎛⎭⎫π12，0 6．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )的周期是π2B ．f (x )的值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}C ．直线x ＝5π3是函数f (x )图象的一条对称轴D ．f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z 7．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为__________．8．(2018·福州质检)函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最小值为____________． 9．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f (x )的最小正周期为________．10．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________． 11．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求f (x )的单调递增区间； (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．12.已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b .（f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b .） (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．13．若f (x )＝3sin x －4cos x （ f (x )＝5sin(x －φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝43且0＜φ＜π2 0的一条对称轴方程是x ＝a ，则a 的取值范围可以是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4 D.⎝⎛⎭⎫3π4，π 14．已知关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1－a ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上存在两个根，则实数a 的取值范围是________．15．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝f (－x )恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π8＝1，则实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－316．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， －5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值； (2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径知识拓展1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z确定其横坐标．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位长度得到的．( ) (2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( ) (4)由图象求函数解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( ) 题组二 教材改编2．为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，可以将函数y ＝2sin 2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为( )A ．2,4π，π3B ．2，14π，π3C ．2，14π，－π3D ．2,4π，－π34．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为__________________________．题组三 易错自纠5．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度6．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为____________________．.题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换典例 已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．思维升华 (1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标．(2)由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．跟踪训练 (1)(2018·石家庄调研)若把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是( ) A ．2 B.32 C.23 D.12(2)把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位长度，得到的函数图象的解析式是________．题型二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式典例 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则y ＝________________.(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为________．思维升华 y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．跟踪训练 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，得到函数g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，32对称，则m的值可能为( )A.π6B.π2C.7π6D.7π12题型三 三角函数图象性质的应用命题点1 三角函数模型典例 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10 命题点2 函数零点(方程根)问题典例 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是____________． 引申探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________． 命题点3 三角函数图象性质的综合典例 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3 (ω>0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间．思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )的解析式为__________． (2)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)满足f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且函数在⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个零点，则f (x )的最小正周期为________．三角函数图象与性质的综合问题典例 (12分)已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．（稍微滞后来处理）f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．思维点拨 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期；(2)将f (x )解析式中的x 换成x －π6，得g (x )，然后利用整体思想求最值．解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式； 第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2·⎝⎛⎭⎪⎫sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·b a 2＋b 2； 第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质； 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.1．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 22．若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.5π43．若函数y ＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝－2π3C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝－2π34．函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移的单位长度是( )A.π2B.2π3C.π3D.π45．将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象沿着x 轴向右平移a (a >0)个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则a 的最小值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π36．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位长度后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－32 B ．－12 C.12D.327．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是______________．8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，已知图象经过点A (0，1)，B ⎝⎛⎭⎫π3，－1，则f (x )＝________.9．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的取值范围是________．10．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5.(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．12．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值； (2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间．13．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值为________． 14．(2018·太原模拟)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为________．15.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为________．16．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值．。
2018版高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)导学案新人教A版必修4
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)学习目标 1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间.知识点一 正弦、余弦函数的定义域、值域 观察下图中的正弦曲线和余弦曲线. 正弦曲线：余弦曲线：可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ，值域都是[－1，1].对于正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 有：当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1；当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 有：当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 知识点二 正弦、余弦函数的单调性观察正弦函数y ＝sin x ，x ∈[－π2，3π2]的图象.思考1 正弦函数在[－π2，3π2]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案 观察图象可知：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是减函数，函数值由1减小到－1.观察余弦函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图象.思考2 余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？ 答案 观察图象可知：当x ∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x 的值由－1增大到1； 当x ∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得当x ∈[2k π－π，2k π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是减函数，函数值由1减小到－1. 思考3 正弦函数、余弦函数的单调区间是什么？答案 y ＝sin x 的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z .y ＝cos x 的增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，减区间为[2k π，π＋2k π]，k ∈Z .梳理类型一 求正弦、余弦函数的单调区间例1 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间. 解 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的单调递增区间，即求sin z 的单调递减区间，即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z ).∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z ).反思与感悟 用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.跟踪训练1 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为________________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3解析 由π2＋2k π≤3x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得π9＋2k π3≤x ≤4π9＋2k π3(k ∈Z ). 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3， 所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3.类型二 正、余弦函数单调性的应用命题角度1 利用正、余弦函数的单调性比较大小 例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小. (1)sin 196°与cos 156°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°. ∵0°<16°<66°<90°，且y ＝sin x 在[0°，90°]上是增函数， ∴sin 16°<sin 66°，从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos(4π＋35π)＝cos 35π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4.∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 反思与感悟 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小. 跟踪训练2 比较下列各组数的大小.(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π； (2)cos 870°与sin 980°.解 (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3.∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<sin π3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π<sin 493π. (2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°.∵0°<150°<170°<180°，且y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴cos 150°>cos 170°，即cos 870°>sin 980°. 命题角度2 已知三角函数的单调性求参数范围例3 已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上是增函数，求ω的取值范围.解 由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω， ∴f (x )的单调递增区间是[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]，k ∈Z . 根据题意，得[－π3，π4]⊆[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω](k ∈Z )，从而有⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32.故ω的取值范围是(0，32].反思与感悟 此类问题可先解出f (x )的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围.跟踪训练3 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D.(0，2]答案 A解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ， 显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C.取ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 类型三 正、余弦函数的值域或最值例4 (1)求函数y ＝2cos(2x ＋π3)，x ∈(－π6，π6)的值域；(2)求使函数y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54取得最大值和最小值的自变量x 的集合，并求出函数的最大值和最小值.解 (1)∵－π6<x <π6，∴0<2x ＋π3<2π3，∴－12<cos(2x ＋π3)<1，∴函数y ＝2cos(2x ＋π3)，x ∈(－π6，π6)的值域为(－1，2).(2)令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1， ∴y ＝－t 2＋3t ＋54＝－(t －32)2＋2.当t ＝32时，y max ＝2， 此时sin x ＝32，即x ＝2k π＋π3或x ＝2k π＋2π3(k ∈Z ). 当t ＝－1时，y min ＝14－ 3.此时sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2(k ∈Z ).综上，使函数y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54取得最大值时自变量x 的集合为{x |x ＝2k π＋π3或x＝2k π＋2π3，k ∈Z }，且最大值为2.使函数y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54取得最小值时自变量x 的集合为{x |x ＝2k π＋3π2，k ∈Z }，且最小值为14－ 3.反思与感悟 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等.三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质. 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：(1)形如y ＝sin(ωx ＋φ)的三角函数，令t ＝ωx ＋φ，根据题中x 的取值范围，求出t 的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y ＝sin t 的最值(值域)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)的三角函数，可先设sin x ＝t ，将函数y ＝a sin 2x ＋b sinx ＋c (a ≠0)化为关于t 的二次函数y ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值).(3)对于形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )的函数的最值还要注意对a 的讨论.跟踪训练4 已知函数f (x )＝2a sin x ＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值.解 ∵－π3≤x ≤2π3，∴－32≤sin x ≤1.若a ＞0，则⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧ a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.若a ＜0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝－5，－3a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.1.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B.[－π，0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23π，23πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，23π答案 D解析 由π2≤x ＋π6≤32π，解得π3≤x ≤43π.故选D.2.下列不等式中成立的是( )A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10 B.sin 3>sin 2 C.sin 75π>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π D.sin 2>cos 1答案 D解析 ∵sin 2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2，且0<2－π2<1<π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2>cos 1， 即sin 2>cos 1.故选D.3.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1答案 B解析 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π，∴cos 23π≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤cos π6，∴－12≤y ≤ 32.故选B.4.求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合.解 ∵－1≤sin 12x ≤1，∴当sin 12x ＝－1，12x ＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝4k π－π，k ∈Z ，y max ＝5，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π－π，k ∈Z }；当sin 12x ＝1，12x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，y min ＝1，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }.5.求函数y ＝2sin(π6－2x )，x ∈(0，π)的单调递增区间.解 ∵函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x 的单调递增区间为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的单调递减区间.由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z .∵x ∈(0，π)，∴由k ＝0，得π3≤x ≤5π6.∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x ，x ∈(0，π)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.1.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的方法把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2 (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间.若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间. 2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断. 3.求三角函数值域或最值的常用方法将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围.课时作业一、选择题1.函数y ＝1－2cos π2x 的最小值，最大值分别是( )A.－1，3B.－1，1C.0，3D.0，1答案 A解析 ∵cos π2x ∈[－1，1]，∴－2cos π2x ∈[－2，2]，∴y ＝1－2cos π2x ∈[－1，3]，∴y min ＝－1，y max ＝3.2.下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B.y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2D.y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2答案 A3.下列关系式中正确的是( ) A.sin 11°<cos 10°<sin 168° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<sin 168°<cos 10° D.sin 168°<cos 10°<sin 11° 答案 C解析 ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.∴由正弦函数的单调性，得sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°.4.函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( ) A.(π2，π) B.(π，2π) C.(π，3π2) D.(0，π)答案 C解析 作出函数y ＝|sin x |的图象，如图，观察图象知C 正确，故选C.5.函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈[π3，2π3]的最小值是( )A.－13B.154C.0D.－14答案 D解析 令t ＝cos x ，x ∈[π3，2π3]，∴t ∈[－12，12]， y ＝3t 2－4t ＋1＝3(t －23)2－13.∵y ＝3(t －23)2－13在t ∈[－12，12]上单调递减， ∴当t ＝12时，y min ＝3×(12)2－4×12＋1＝－14. 6.若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω的值可为( )A.32B.23C.2D.3答案 A 解析 由题意知，T 4＝π3，即T ＝4π3，4π3＝2πω， ∴ω＝32. 二、填空题7.sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________.答案 sin 3<sin 1<sin 2解析 ∵1<π2<2<3<π， sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.8.函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________. 答案 [0，2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3， ∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，∴y ∈[0，2]. 9.函数y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π 解析 y ＝－13sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， ∵x ∈[0，π]，∴－π6≤x －π6≤5π6. 要求函数的单调递增区间，则π2≤x －π6≤5π6， 即2π3≤x ≤π.∴y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π. 10.函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的最大值与最小值之和为________.答案 2π解析 由图可知，b －a 的最大值为13π6－5π6＝4π3， b －a 的最小值为3π2－5π6＝2π3. 所以最大值与最小值之和为4π3＋2π3＝2π. 三、解答题11.求下列函数的单调增区间.(1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝12log sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3. 解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x 2的单调增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z ). (2)要求函数y ＝12log sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的单调增区间，即求使y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3>0且单调递减的区间. ∴2k π＋π2≤x 2－π3<2k π＋π，k ∈Z ， 整理得4k π＋5π3≤x <4k π＋8π3，k ∈Z . ∴函数y ＝12log sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的单调增区间为 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4k π＋5π3，4k π＋8π3，k ∈Z . 12.求下列函数的最大值和最小值.(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2； (2)f (x )＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6. 解 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，由函数图象知， f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，sin π2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 所以，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12. (2)f (x )＝－2(1－sin 2x )＋2sin x ＋3＝2sin 2x ＋2sin x ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，所以12≤sin x ≤1. 当sin x ＝1时，y max ＝5；当sin x ＝12时，y min ＝52. 所以，f (x )在[π6，5π6]上的最大值和最小值分别为5，52. 13.已知函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b (a ＞0).当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为3，最小值是－2，求a 和b 的值.解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，∴f (x )max ＝a ＋b ＝3， f (x )min ＝－32a ＋b ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，－32a ＋b ＝－2，得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－2＋ 3.四、探究与拓展 14.已知奇函数f (x )在[－1，0]上单调递减，α，β为锐角三角形两内角，则( )A.f (cos α)>f (cos β)B.f (sin α)>f (sin β)C.f (sin α)>f (cos β)D.f (sin α)<f (cos β)答案 D解析 由题意，得α＋β>π2，∴π2>α>π2－β>0， ∴sin α>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，即1>sin α>cos β>0， ∴－1<－sin α<－cos β<0.∵奇函数f (x )在[－1，0]上单调递减，∴f (－sin α)>f (－cos β)，∴－f (sin α)>－f (cos β)，∴f (sin α)<f (cos β).15.已知定义在R 上的奇函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，且f (12)＝0，△ABC 的内角A 满足f (cos A )≤0，求角A 的取值范围.解 ①当0<A <π2时，cos A >0. 由f (cos A )≤0＝f (12)，f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 得0<cos A ≤12， 解得π3≤A <π2. ②当π2<A <π时，cos A <0. ∵f (x )为R 上的奇函数，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，∴由f (cos A )≤0＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，得cos A ≤－12，∴2π3≤A <π.③当A ＝π2时，cos A ＝0，∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，∴f (0)≤0成立.综上所述，角A 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π.。
2018版高中数学第一章三角函数章末复习课导学案新人教A版必修420180424181
第一章三角函数学习目标 1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.3.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象.4.理解三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的性质.5.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的实际意义，掌握函数y＝A sin(ωx＋φ)图象的变换.1.任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：(1)y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y；(2)x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x；y y(3) 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0).x x2.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.sin απ(2)商数关系：tan α＝.(α≠kπ＋，k ∈Z)cos α23.诱导公式π六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，函数名不改变；2当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.4.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x1图象定义域 R R Error!Error!值域[－1，1][－1，1] Rπ 对称轴：x ＝k π＋2对称轴：x ＝k π(k ∈Z )；k π对称中心：(，0)2(k ∈Z )；对称中心：(k π，(k ∈Z )，无对称轴对称中心：对称性0)(k ∈Z )π(k π＋，0)2(k ∈Z )奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 周期性最小正周期：2π最小正周期：2π最小正周期：π单调性在[－π＋2k π， 2k π](k ∈Z )上 在Error! (k ∈Z )上单调递单调递增；在 增；在Error! (k ∈Z )上单 [2k π，π＋ 调递减2k π](k ∈Z )上π 在开区间(k π－ ，k π2 π＋ )(k ∈Z )上递增 2单调递减最值π 在x ＝ ＋2k π(k ∈Z )时，2π y max ＝1；在 x ＝－ ＋2在x ＝2k π(k ∈Z ) 时，y max ＝1；在x＝π＋无最值 2k π(k ∈Z )时，2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1y min ＝－1类型一 三角函数的概念例 1 已知角 θ 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴.若 P (4，y )是角 θ 终边上一点， 2 5且 sin θ＝－ ，则 y ＝.5 答案 －82 5解析 r ＝ x 2＋y 2＝ 16＋y 2，且 sin θ＝－ ，52y y 2 5所以sin θ＝＝＝－，所以θ为第四象限角，解得y＝－8.r16＋y2 5反思与感悟(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值.y x ②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0).则sin α＝，cos α＝.已r r知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便.(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 跟踪训练1已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值.解∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t.r＝x2＋y2＝4t2＋－3t2＝5|t|.y－3t 3当t＞0时，r＝5t，sin α＝＝＝－，r5t 5x4t 4 y－3t 3cos α＝＝＝，tan α＝＝＝－；r5t 5 x4t 4y－3t 3当t＜0时，r＝－5t，sin α＝＝＝，r－5t 5x4t 4 y－3t 3cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－.r－5t 5 x4t 43 4 3综上可知，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－5 5 43 4 3或sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.5 5 4类型二同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用例2已知关于x的方程2x2－( 3＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0，2π).求：3ππcos2( －θ) sin( ＋θ)2 2(1) ＋；π1＋tanπ－θcos( －θ)＋cos－π－θ2(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值.解由根与系数的关系，得3＋1sin θ＋cos θ＝，2msin θcos θ＝.23sin2θcos θ (1)原式＝＋sin θ－cos θ1－tan θsin2θcos θ＝＋sin θ－cos θsin θ1－cos θsin2θcos2θ＝－sin θ－cos θsin θ－cos θ3＋1＝sin θ＋cos θ＝.23＋1(2)由sin θ＋cos θ＝，2两边平方可得4＋2 31＋2sin θcos θ＝，4m 31＋2×＝1＋，2 23m＝.23 3(3)由m＝可解方程2x2－( 3＋1)x＋＝0，2 21 3得两根和.2 2∴Error!或Error!∵θ∈(0，2π)，ππ∴θ＝或.6 3sin α反思与感悟(1)牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tanα，并能应用两个关cos α系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知sin α±cosα的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sinα)2＝1±2sinαcos α.π(2)诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，2符号看象限.sin2π－α·cos2π－α·tan－π＋α跟踪训练2已知f(α)＝.sin－π＋α·tan－α＋3π(1)化简f(α)；1 ππ(2)若f(α)＝，且<α< ，求cos α－sin α的值；8 4 247π(3)若α＝－，求f(α)的值.44sin2α·cosα·tanα解(1)f(α)＝＝sin α·cosα.－sin α－tan α1(2)由f(α)＝sin α·cosα＝可知，8(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cosα＋sin2α1 3＝1－2sin α·cosα＝1－2×＝.8 4ππ又∵<α< ，∴cosα<sin α，即cos α－sin α<0，4 23∴cosα－sin α＝－.247ππ(3)∵α＝－＝－6×2π＋，4 447π47π47π(－ 4 )＝cos(－ 4 )·s in(－ 4 )∴fππ ＝cos(－6 ×2π＋4)·sin(－6 ×2π＋4)ππ 2 2 1＝cos ·sin＝×＝.4 4 2 2 2类型三三角函数的图象与性质π 例3将函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，3然后向上平移1个单位长度，得到函数y＝3sin x的图象.(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，求当x∈[0，1]时，函数y＝g(x)的最小值和最大值.解(1)函数y＝3sin x的图象向下平移1个单位长度得y＝3sin x－1，再将得到的图象上3 π的点的横坐标伸长为原来的倍，得到y＝3sin x－1的图象，然后向右平移1个单位长度，π 3ππ2ππ得到y＝3sin( x－)－1的图象，∴函数y＝f(x)的最小正周期为T＝＝6.由2kπ－3 3 π 23πππ 1 5≤x－≤2kπ＋，k∈Z，得6k－≤x≤6k＋，k∈Z，∴函数y＝f(x)的单调递增区间是3 3 2 2 21 5[6k－，6k＋]，k∈Z.2 2(2)∵函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴当x∈[0，1]时，y＝g(x)的最值即为x∈[3，4]时，y＝f(x)的最值.ππ2π∵当x∈[3，4]时，x－∈[，π]，3 3 35。
高一数学 三角函数的简单应用导学案
三角函数的简单应用
【学法指导】
1.阅读探究课本的基础知识和例题（15分钟），并完成课后习题，自主高效预习，提高自己的阅读理解能力；
2.完成预习自学，然后结合课本基础知识和例题，完成预习自测题；对合作探究部分认真审题，做不好的上课时组内讨论。
3.将预习中不能解决的问题标识出来，并写到后面“我的疑惑”处，准备课上讨论质疑。
学习目标：
1. 对一些简单的周期现象，能够选择适当的三角函数模型，刻画和解决实际问题
2. 通过解决周期现象的数学应用过程，进一步掌握数学建模方法，提高数学建模能力
3. 激情投入、高效学习，通过本节学习，培养学生的数学应用意识 二、问题导学：
1. 画出函数x y sin =，x y sin =的图像并观察其性质
2.建模的过程中散点图的作用是什么？
3.解答实际应用问题的一般步骤是什么？
【我的收获】
【我的疑惑】
三、合作探究
1、如图，扇形AOB 的半径为2，扇形的圆心角为4
π
，PQRS 是扇形的内接矩形，设∠AOP=θ， （1） 试用θ表示矩形PQRS 的面积y ；
（2）利用正、余弦的和（差）与倍角公式化简矩形面积表达式y.
2、某港口水的深度y （米）是时间t ，单位：时）（24t 0≤≤，记作y=f(x),下面是某日水深的数
据，经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数b t Asin y +=ϖ的图象。
【我的收获】 （1）我对知识的总结
（2）我对数学思想及方法的总结。
2018版高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用导学案新人教A版必修4201804241
1.6 三角函数模型的简单应用学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知识点利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化.思考现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？答案三角函数模型.梳理(1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤：第一步：阅读理解，审清题意.读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题.第二步：收集、整理数据，建立数学模型.根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化.第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答.第四步：将所得结论转译成实际问题的答案.(2)三角函数模型的建立程序如图所示：1类型一三角函数模型在物理中的应用例1已知电流I与时间t的关系为I＝A sin(ωt＋φ).π(1)如图所示的是I＝A sin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|< )在一个周期内的图象，根据图中数据求I2＝A sin(ωt＋φ)的解析式；1(2)如果t在任意一段的时间内，电流I＝A sin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω150的最小正整数值是多少？1 1 解(1)由图可知A＝300，设t1＝－，t2＝，900 1801 1 1则周期T＝2(t2－t1)＝2( ＋900)＝.180 752π∴ω＝＝150π.T1 1又当t＝180时，I＝0，即sin (150π·＋φ)＝0，180ππ而|φ|< ，∴φ＝.2 6π故所求的解析式为I＝300sin(150πt＋6).1 2π 1(2)依题意知，周期T≤，即≤(ω>0)，150 ω150∴ω≥300π>942，又ω∈N*，故所求最小正整数ω＝943.反思与感悟此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径.跟踪训练1一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置2π 的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin(2πt＋).6(1)画出它的图象；(2)回答以下问题：①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少？②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？③小球来回摆动一次需要多少时间？2π解(1)周期T＝＝1(s).2π列表：t 0 165122311121π2πt＋6 π6π2π3π2π2π2π＋66sin(2πt＋π)63 6 0 －6 0 3描点画图：(2)①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置为3 cm.②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.③小球来回摆动一次需要1 s(即周期).类型二三角函数模型在生活中的应用例2某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径长是98米，匀速旋转一圈需要18分钟. 如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么：69(1)当此人第四次距离地面米时用了多少分钟？2349(2)当此人距离地面不低于(59＋3)米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有多2少分钟可以看到游乐园的全貌？2π 解(1)如图，建立平面直角坐标系，设此人登上摩天轮t分钟时距地面y米，则α＝t＝18πt.998 98 π由y＝108－－cos t2 2 9π＝－49cos t＋59(t≥0).9π69 π 1令－49cos t＋59＝，得cos t＝，9 2 9 2ππ∴t＝2kπ±，9 3故t＝18k±3，k∈Z，故t＝3，15，21，33.69 故当此人第四次距离地面米时用了33分钟.2π49(2)由题意得－49cos t＋59≥59＋3，9 2π 3即cos t≤－.9 2故不妨在第一个周期内求即可，5ππ7π15 21所以≤t≤，解得≤t≤，6 9 6 2 221 15故－＝3.2 2因此摩天轮旋转一圈中有3分钟可以看到游乐园的全貌.反思与感悟解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.跟踪训练2如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在距离地面2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)4时开始计时.(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.2ππ解(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处.这时此人所转过的角为t＝t，故在t s30 15π 时，此人相对于地面的高度为h＝10sin t＋12(t≥0).15ππ 1(2)由10sin t＋12≥17，得sin t≥，15 15 25 25则≤t≤.2 2故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.1.一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)gπ与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos ( 3)，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 t＋ls时，线长l＝________ cm.g答案4π22πg g 解析∵T＝＝1，∴＝2π，∴l＝.gl4π2lπ2.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋A cos[6x－6](x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为________℃.答案20.528－18 28＋18 π解析由题意可知A＝＝5，a＝＝23，从而y＝5cos ＋23.故10月份的2 [6x－6] 2平均气温值为πy＝5cos( ×4)＋23＝20.5.63.一个单摆的平面图如图.设小球偏离铅锤方向的角为α(rad)，并规定当小球在铅锤方向右5。
专题02函数的概念与性质(导学案)-上学期期末考试高一数学备考黄金讲练系列含解析.doc
2016-2017学年度上学期期末考试备考黄金讲练第二讲函数的概念与性质【导学案】(高一数学人教版)一、基础知识整合1.函数的概念一般地，设A, B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x, 在集合B 中都有 _______________ f(x)和它对应，那么就称f： A->B为从集合A到集合B的一个_________ ,记作y=f (x), xWA,其中，x叫做___________ , x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做__________________________________ ,其集合｛f(x) IxeA｝叫做函数的 ______ .2.函数的表示方法(1)解析法：就是用_______ 表示两个变量之间的对应关系的方法.(2)图象法：就是用_______ 表示两个变量之I'可的对应关系的方法.(3)列表法：就是______ 来表示两个变量之间的对应关系的方法.3.构成函数的三要素(1)函数的三要素是：_______ ，_______ , ________ .(2)两个函数相等：如果两个函数的 ________ 相同，并且 ________ 完全一致，则称这两个函数相等.4.分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数.5.映射的概念一般地，设A, B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的____________ 元素x,在集合B中都有_______ 元素y与之对应，那么就称对应f： A-B为从集合A到集合B的一个映射.6.映射与函数的关系(1)联系：映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的；函数是一种特殊的(2)区别：函数是从非空数集A到非空数集B的映射；对于映射而言，A和B不一定是数集.• • • • • •※了.复合函数一般地，对于两个函数y = f(u)和u = g(x),如果通过变量u, y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y = f (u)和u=g(x)的复合函数，记作y = f (g(x)),其中y = f (u)叫做复合函数y = f (g(x))的外层函数, u=g(x)叫做y=f (g(x))的内层函数.8.函数的单调性(1)增函数与减函数-般地，设函数代方的定义域为①如果对于定义域/内某个区间〃上的自变量的值e 血当山<出吋，都有那么就说函数fl x)在区I可〃上是__________ .②_______________________ 如果对于定义域/内某个区间〃上的自变量的值山，加，当时，都有fg)>f(x2),那么就说函数代方在区间〃上是•(2)单调性与单调区间如果函数y=f(0在区间〃上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的) ____________________ , 区间D叫做y=f (x)的______________ .9.奇、偶函数的概念(1)偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有___________ ,那么函数f(x)就叫做偶函数.(2)奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有___________ ,那么函数f(x)就叫做奇函数.10.奇、偶函数的图彖特征偶函数的图象关于 ______ 对称；奇函数的图象关于 ________ 对称.11.具有奇他性两数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于，即“定义域关于”是“一个函数具有奇偶性”的条件.12.周期函数的概念(1)周期、周期函数对于函数f(x),如果存在一个 _________ T,使得当x取定义域内的_________ 值时，都有 ______ ,那么函数f(x)就叫做周期函数.T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个______ 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.13.函数奇偶性与单调性Z间的关系(1)若函数f(x)为奇函数，且在a, b]上为增(减)函数，则f(x)在一b, -a]±为________________ ;(2)若函数f(x)为偶函数，且在a, b]上为增(减)函数，则f(x)在一b, -a]±为_______________.14.奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇±奇= ________ ，偶±偶=________ ，奇X奇= ________ ,偶X偶= ______ , 奇X偶= ________ .15.函数的对称性如果函数f(x), xED,满足VxED,恒有f (a+x)=f(b-x),那么函数的图象有对称轴X = 如果函2数f(x), xGD,满足VxeD,恒有f(a—x)= —f(b+x),那么函数的图象有对称中心(乞艺,。
高中数学三角函数的应用导学案(含答案)
三角函数的应用导学案学习目标【课前预习】1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义2．三角函数模型的建立程序【课中学习】知识点1 三角函数在物理中的应用【例】电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)若I ＝A sin(ωt ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)为了使I ＝A sin(ωt ＋φ)中的t 在任意一个1100 s 的时间段内电流强度I 能取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？[解] (1)由题图，可知A ＝300.∵T ＝160－⎝⎛⎭⎫－1300＝150，∴ω＝2πT ＝100π，∴I ＝300sin(100πt ＋φ)． 将⎝⎛⎭⎫－1300，0代入解析式，得－π3＋φ＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z . ∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴I ＝300sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π3. (2)由题意，知2πω≤1100，∴ω≥200π，∴正整数ω的最小值为629.反思感悟处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性； (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 变式训练已知弹簧挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h (cm)与时间t (s)的函数关系式为h ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π4.(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标． 【解】 (1)令t ＝0，得h ＝3sinπ4＝322，所以开始振动的位置为⎝⎛⎭⎫0，322. (2)由题意知，当h ＝3时，t 的最小值为π8，即所求最高点为⎝⎛⎭⎫π8，3；当h ＝－3时，t 的最小值为5π8，即所求最低点为⎝⎛⎭⎫5π8，－3. 知识点2 三角函数在实际生活中的应用【例】某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．(1)若入住客栈的游客人数y 与月份x 之间的关系可用函数y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)近似描述，求该函数解析式；(2)哪几个月份要准备不少于400人的用餐？[解] (1)因为函数为y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)， 由①，得周期T ＝2πω＝12，所以ω＝π6.由②，得f (2)最小，f (8)最大，且f (8)－f (2)＝400，故A ＝200. 由③，得f (x )在[2，8]上递增，且f (2)＝100，所以f (8)＝500，所以⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋b ＝100，A ＋b ＝500，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝200，b ＝300.因为f (2)最小，f (8)最大，所以⎩⎨⎧sin ⎝⎛⎭⎫π6×2＋φ＝－1，sin ⎝⎛⎭⎫π6×8＋φ＝1.由于0＜|φ|＜π，因此φ＝－5π6，所以入住客栈的游客人数y 与月份x 之间的关系式为 y ＝f (x )＝200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300(x ∈N *，且1≤x ≤12)． (2)由条件可知200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300≥400，化简得sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6≥12，所以2k π＋π6≤π6x －5π6≤2k π＋5π6(k ∈Z )．解得12k ＋6≤x ≤12k ＋10(k ∈Z )．因为x ∈N *，且1≤x ≤12，所以x ＝6，7，8，9，10. 即只有6，7，8，9，10五个月份要准备不少于400人的食物． 反思感悟解三角函数应用问题的基本步骤变式训练 国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωπt ＋π4＋60(单位：美元，t 为天数，A >0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t ＝150时，油价最低，则A 的值为________，ω的最小值为________．解析：由A ＋60＝80得A ＝20.因为当t ＝150时油价最低，所以150ωπ＋π4＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即ω＝k 75－1200，又ω>0，所以当k ＝1时，ω取得最小值，此时ω＝175－1200＝1120.答案：20 1120知识点3 三角函数模型拟合【例】某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y (米)随着时间t (0≤t ≤24，单位：小时)呈周期性变化，每天各时刻t 的浪高数据的平均值如表：(1)从y ＝at ＋b ，y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，y ＝A cos(ωt ＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(2)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．[解] (1)由数据知选择y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b 较合适．令A >0，ω>0，|φ|<π.可知A ＝25，b ＝1，T ＝12，所以ω＝2πT ＝π6.把t ＝0，y ＝1代入y ＝25sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋1，得φ＝0.故所求拟合模型的解析式为y ＝25sin π6t ＋1(0≤t ≤24)． (2)由y ＝25sin π6t ＋1≥0.8，得sin π6t ≥－12，则－π6＋2k π≤π6t ≤7π6＋2k π(k ∈Z )，即12k －1≤t ≤12k ＋7(k ∈Z )，注意到t ∈[0，24]，所以0≤t ≤7或11≤t ≤19或23≤t ≤24，再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当． 反思感悟根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题． 变式训练一物体相对于某一固定位置的位移y (cm)和时间t (s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y 和时间t 之间的关系的一个三角函数式为________.解析：设y ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0)，则从表中数据可以得到A ＝4，ω＝2πT ＝2π0.8＝5π2，又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－π2，故y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5π2t －π2，即y ＝－4cos 5π2t .课堂练习：1．简谐运动y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5x －π3的相位与初相是( )A ．5x －π3，π3B ．5x －π3，4C ．5x －π3，－π3D ．4，π3解析：选C 相位是5x －π3，当x ＝0时的相位为初相即－π3.2．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x －5π4＋20，x ∈[4，16]．(1)求该地区这一段时间内的最大温差；(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？解：(1)x ∈[4，16]，则π8x －5π4∈⎣⎡⎦⎤－3π4，3π4.由函数解析式易知，当π8x －5π4＝π2，即x ＝14时，函数取得最大值，最大值为30，即最高温度为30 ℃；当π8x －5π4＝－π2，即x ＝6时，函数取得最小值，最小值为10，即最低温度为10 ℃，所以最大温差为30－10＝20(℃)．(2)令10sin ⎝⎛⎭⎫π8x －5π4＋20＝15，可得sin ⎝⎛⎭⎫π8x －5π4＝－12，而x ∈[4，16]，所以x ＝263.令10sin ⎝⎛⎭⎫π8x －5π4＋20＝25，可得sin ⎝⎛⎭⎫π8x －5π4＝12，而x ∈[4，16]，所以x ＝343. 故该细菌在这段时间内能存活343－263＝83(小时)课堂小结： 1. 2. 3.【课后练习】课本249页，习题1,2,3,4。
高一数学 三角函数模型的简单应用 习题课导学案
高一数学三角函数模型的简单应用导学案班级： 姓名:知识梳理1．确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的初相φ的值的两种方法(1)代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A ，ω已知)或代入图像与x 轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)(2)五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口．“五点”的ωx ＋φ的值具体如下： “第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0； “第二点”(即图像的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2； “第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图像的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2； “第五点”为ωx ＋φ＝2π.2．三角函数图像的变换规律及注意事项 (1)平移变换①沿x 轴平移，按“左加右减”规律； ②沿y 轴平移，按“上加下减”规律． (2)伸缩变换①沿x 轴伸缩：ω>1时，横坐标缩短到原来的1ω倍，0<ω<1时，横坐标伸长到原来的1ω倍，纵坐标保持不变．②沿y 轴伸缩：当A >1时，把纵坐标伸长到原来的A 倍，当0<A <1时，纵坐标缩短到原来的A 倍，横坐标保持不变．典例例1 指出将y ＝2sin x ，x ∈R 的图像变换成y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6，x ∈R 的图像的两种方法．[跟踪训练1] 将函数y ＝f (x )的图像上的每一点的纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标伸长到原来的2倍，若把所得的图像沿x 轴向左平移π2个单位长度后得到的曲线与y ＝2sin x 的图像相同，则函数y ＝f (x )的解析式为________．例2 下列函数中，图像的一部分如图所示的是( )A ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3B ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3C ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6D ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6[跟踪训练2] 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在一个周期内的函数图像如图所示，求函数的一个解析式．例3 设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，其图像的一条对称轴为直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间； (3)作出函数y ＝f (x )在[0，π]上的图像．【跟踪训练3】 电流I 与时间t 的函数关系式为I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)若I ＝A sin(ωt ＋φ)的部分图像如图所示，求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式，并写出电流I 的振幅、周期、初相；(2)若在任意1100 s 时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值为多少？【课堂评价】三、【课堂小结】1、本节课学了哪些知识内容？2、本节课用了哪些方法思想？四、【课堂达标】1．函数f (x )＝sin(x －2π)的周期是( ) A.π2 B ．π C ．2 D ．3π2．将函数y ＝2sin 12x 的图像上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的12，得到新的函数图像，那么这个新函数的解析式是( )A ．y ＝sin 14xB ．y ＝4sin xC ．y ＝sin xD ．y ＝2sin 12x3．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像，只需把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像( )A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度 D ．向右平移π2个单位长度4.已知函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π7，则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是______，______，______.5.在函数22sin(4)3y x π=+的图像的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是 ______6.函数[]()cos(3),0,6f x x x ππ=+∈ 的零点的个数______7．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像为C ，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图像C 关于直线x ＝π12 对称； ②图像C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数；④由y ＝3sin 2x 的图像向右平移π3 个单位长度可以得到图像C ． 8.为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6，x ∈R 的图像，只需把函数y ＝sin x ，x ∈R的图像上所有的点：①向左平移π6 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13 (纵坐标不变)；②向右平移π6 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13 (纵坐标不变)；③向左平移π6 个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)；④向右平移π6 个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)．其中正确的是________．9．如图是f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π2 )的一段图像，则函数f (x )的解析式为________．10．用五点法作函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋3的图像，并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间．11.已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)．(1)若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)为偶函数，求φ的值；(2)若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)关于x ＝π8 对称，求出φ的值及f (x )的所有的对称轴方程及对称中心的坐标．。
高一人教B版数学必修四寒假导学案：板块二 三角函数定义、三角函数线与同角三角函数关系
第二讲三角函数线与同角三角函数板块二三角函数定义、三角函数线与同角三角函数关系基础知识1．任意角的三角函数的定义如图所示，以任意角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系．设P(x，y）是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点．其中，r＝OP＝错误!>0。
定义: 叫做角α的余弦，记作cos α，即；叫做角α的正弦，记作sin α，即; 叫做角α的正切,记作tan α，即.另外,角α的正割：sec α＝＝；角α的余割：csc α＝＝；角α的余切：cot α＝＝。
2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点．过点P作x轴的垂线PM,垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线（或反向延长线)于T点．单位圆中的有向线段、、分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝，cosα＝,tan α＝。
3．同角三角函数的基本关系式(1）平方关系：。
(2)商数关系：．（2）同角三角函数基本关系式的变形(1）sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝；cos2α＝；（2）tan α＝错误!的变形公式：sin α＝；cos α＝.[典型例题］例1 已知角α的终边上一点P(－15a,8a) (a∈R且a≠0），求α的六个三角函数值．变式已知角θ的终边上一点P（x,3) （x≠0），且cos θ＝错误!x，求sin θ，tan θ,cot θ.例2 求下列各角的六个三角函数值．(1）0；（2）π；(3）错误!。
变式利用任意角三角函数的定义写出下列角的六个三角函数值．（1）错误!;(2）错误!;(3）错误!;（4）错误!。
例3 判断下列各式的符号：（1）sin α·cos α（其中α是第二象限角)；（2）sin 285°cos（－105°)；(3）sin 3·cos 4·tan错误!.变式（1)若sin αcos α<0,则α是第________象限角．（2）代数式：sin 2·cos 3·tan 4的符号是_________．例4 在单位圆中画出满足sin α＝错误!的角α的终边，并求角α的取值集合变式根据下列三角函数值,作角α的终边，然后求角的取值集合：(1)cos α＝错误!;（2)tan α＝－1。
2018版高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式(二)导学案 新人教A版必修4
1.3 三角函数的诱导公式（二）学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.知识点一 诱导公式五完成下表，并由此总结角α，角π2－α的三角函数值间的关系.(1)sin π6＝12，cos π3＝12，sin π6＝cos π3；(2)sin π4＝22，cos π4＝22，sin π4＝cos π4；(3)sin π3＝32，cos π6＝32，sin π3＝cos π6.由此可得 诱导公式五知识点二 诱导公式六思考 能否利用已有公式得出π2＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？答案 以－α代替公式五中的α得到 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos(－α)， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin(－α). 由此可得 诱导公式六知识点三 诱导公式的推广与规律1.sin(32π－α)＝－cos α，cos(32π－α)＝－sin α，sin(32π＋α)＝－cos α，cos(32π＋α)＝sin α.2.诱导公式记忆规律：公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”. 公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”.六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式.记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指k ·π2±α(k ∈Z )中k 的奇偶性，当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号.类型一 利用诱导公式求值例1 (1)已知cos(π＋α)＝－12，α为第一象限角，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值.(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α的值. 解 (1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，又α为第一象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α ＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32.(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－13sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－13cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－19. 反思与感悟 对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题. 跟踪训练1 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α的值.解 ∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴π3－α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33.类型二 利用诱导公式证明三角恒等式例2 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.证明 ∵左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－cos αsin α＝－sin αcos α ＝－tan α＝右边. ∴原等式成立.反思与感悟 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简. (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同.跟踪训练2 求证：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2(π＋θ) ＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1.证明 因为左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ. 右边＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.所以左边＝右边，故原等式成立. 类型三 诱导公式在三角形中的应用 例3 在△ABC 中，sin A ＋B －C2＝sinA －B ＋C2，试判断△ABC 的形状.解 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B －C ＝π－2C ，A －B ＋C ＝π－2B . ∵sinA ＋B －C2＝sinA －B ＋C2，∴sin π－2C 2＝sin π－2B 2，∴sin(π2－C )＝sin(π2－B )，即cos C ＝cos B .又∵B ，C 为△ABC 的内角，∴C ＝B ， ∴△ABC 为等腰三角形.反思与感悟 解此类题需注意隐含的条件，如在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋B ＋C 2＝π2，结合诱导公式得到以下的一些常用等式：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，sinA ＋B2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C2. 跟踪训练3 在△ABC 中，给出下列四个式子： ①sin(A ＋B )＋sin C ； ②cos(A ＋B )＋cos C ； ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ； ④cos(2A ＋2B )＋cos 2C . 其中为常数的是( )A.①③B.②③C.①④D.②④ 答案 B解析 ①sin(A ＋B )＋sin C ＝2sin C ； ②cos(A ＋B )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0； ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2(A ＋B )]＋sin 2C ＝sin[2(π－C )]＋sin 2C ＝sin(2π－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0；④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝cos[2(A ＋B )]＋cos 2C ＝cos[2(π－C )]＋cos 2C ＝cos(2π－2C )＋cos 2C ＝cos 2C ＋cos 2C ＝2cos 2C . 故选B.类型四 诱导公式的综合应用例4 已知f (α)＝sin (π－α)cos (－α)sin (π2＋α)cos (π＋α)sin (－α).(1)化简f (α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝35，求tan A －sin A 的值.解 (1)f (α)＝sin αcos αcos α－cos α(－sin α)＝cos α.(2)因为f (A )＝cos A ＝35，又A 为△ABC 的内角，所以由平方关系，得sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A ＝sin A cos A ＝43，所以tan A －sin A ＝43－45＝815.反思与感悟 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱. 跟踪训练4 已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)的值.解 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，由α是第三象限角，得sin α＝－35，则cos α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫－α－32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin αcos α·tan 2α＝cos α(－sin α)sin αcos α·tan 2α＝－tan 2α＝－sin 2αcos 2α＝－916.1.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( ) A.－233B.233C.13D.－13答案 D解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－13.2.若cos(2π－α)＝53，则sin(3π2－α)等于( ) A.－53B.－23C.53D.±53 答案 A解析 ∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝53， ∴sin(3π2－α)＝－cos α＝－53.3.已知tan θ＝2，则sin (π2＋θ)－cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)等于( )A.2B.－2C.0D.23答案 B解析 sin (π2＋θ)－cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.4.已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2， 求sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π2－α的值.解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，∴－sin α＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α， ∴sin α＝2cos α，即tan α＝2. ∴sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π2－α＝sin 3α－cos α5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π2－α＝sin 3α－cos α5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝sin 2α·tan α－15tan α－3 ＝2sin 2α－110－3＝2sin 2α－17＝2sin 2α－(sin 2α＋cos 2α)7(sin 2α＋cos 2α) ＝sin 2α－cos 2α7(sin 2α＋cos 2α)＝tan 2α－17(tan 2α＋1) ＝4－17×(4＋1)＝335.5.求证：tan (2π－α)cos (3π2－α)cos (6π－α)sin (α＋3π2)cos (α＋3π2)＝－tan α.证明 因为左边＝tan (2π－α)cos (3π2－α)cos (6π－α)sin (α＋3π2)cos (α＋3π2)＝tan (－α)(－sin α)cos α－cos αsin α＝－tan αsin αcos αcos αsin α＝－tan α＝右边，所以原等式成立.1.诱导公式的分类及其记忆方式 (1)诱导公式分为两大类：①α＋k ·2π，－α，α＋(2k ＋1)π(k ∈Z )的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”.②α＋π2，－α＋π2的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.(2)以上两类公式可以归纳为：k ·π2＋α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.2.利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成(0，π2)内的三角函数值”这种方式求解.用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到π2之间的角的三角函数的基本步骤：课时作业一、选择题1.已知sin(5π2＋α)＝15，那么cos α等于( )A.－25B.－15C.15D.25答案 C解析 sin(5π2＋α)＝cos α，故cos α＝15，故选C.2.已知cos(3π2＋α)＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)等于( )A.45 B.－45C.±45D.35答案 B解析 ∵cos(3π2＋α)＝sin α，∴sin α＝－35.又α为第四象限角，∴cos α＝1－sin 2α＝45，∴cos(－3π＋α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－45，故选B.3.若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A.cos(A ＋B )＝cos C B.sin(A ＋B )＝－sin C C.cosA ＋C2＝sin BD.sin B ＋C2＝cos A2答案 D解析 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 项不正确； ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2，∴cosA ＋C2＝cos(π2－B 2)＝sin B2，故C 项不正确； ∵B ＋C ＝π－A ， ∴sinB ＋C2＝sin(π2－A 2)＝cos A2，故D 项正确. 4.已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则α等于( ) A.2 B.－2 C.2－π2D.π2－2答案 C 解析 cos α＝2sin 2(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝sin 2，∵α为锐角，∴α＝2－π2.5.已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( ) A.－12 B.12 C.－32 D.32答案 A解析 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.6.若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A.－2m 3 B.2m 3 C.－3m 2 D.3m2答案 C解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m2.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－3m 2.二、填空题7.若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝ . 答案265解析 ∵cos α＝15，且α是第四象限角，∴sin α＝－ 1－cos 2α＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝－265.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝265. 8.sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝ .答案892解析 原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245° ＝44＋12＝892.9.已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝ . 答案 2解析 因为tan(3π＋α)＝tan(π＋α)＝tan α＝2， 所以原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.10.在△ABC 中，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C ＝ . 答案π2解析 由题意得3cos A ＝3sin A ， ① cos A ＝3cos B ，②由①得tan A ＝33，∴A ＝π6. 由②得cos B ＝cosπ63＝12，∴B ＝π3.∴C ＝π2.三、解答题11.已知角α的终边经过点P (－4，3)，求 cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值.解 ∵角α的终边经过点P (－4，3)，∴tan α＝y x ＝－34，∴cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)＝－sin αsin α－sin αcos α＝tan α＝－34.12.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值.解 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α＝－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝－sin α，∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得(sin α－cos α)2＝49169.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0， 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0， ∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513.13.已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α；(3)tan(5π－α). 解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角.①当α为第一象限角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－223. (3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α， ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角.①当α为第一象限角时，cos α＝223，∴tan α＝24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝－24. ②当α为第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝－24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝24. 四、探究与拓展14.已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，则sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin (－α)＝ .答案 －34解析 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴－sin(π－α)＝2cos(－α)，∴sin α＝－2cos α且cos α≠0，∴原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34.15.已知α是第四象限角，且f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α).(1)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(2)若α＝－1 860°，求f (α)的值.解 f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α)＝sin αcos α－sin αsin (π＋α)cos α＝1sin α.(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＋2π＝15，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝15，∴sin α＝－15，∴f (α)＝1sin α＝－5.(2)当α＝－1 860°时，f (α)＝1sin α＝1sin (－1 860°)＝1－sin 1 860°＝1－sin (5×360°＋60°)＝1－sin 60°＝－233.。
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2017~2018学年度上学期期末考试备考黄金讲练
第四讲基本初等函数（II ）三角函数【导学案】（高一数学人教版）
一、基础知识整合
（一）三角函数的概念
1．任意角
(1)角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置______到另一个位置所成的图形．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________．
(2)象限角
使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的____________重合．角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．
①α是第一象限角可表示为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫α|2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z ； ②α是第二象限角可表示为；
③α是第三象限角可表示为；
④α是第四象限角可表示为．
(3)非象限角
如果角的终边在____________上，就认为这个角不属于任何一个象限． ①终边在x 轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2k π，k ∈Z}；
②终边在x 轴非正半轴上的角的集合可记作
__________________________________；
③终边在y轴非负半轴上的角的集合可记作
__________________________________；
④终边在y轴非正半轴上的角的集合可记作
__________________________________；
⑤终边在x轴上的角的集合可记作
__________________________________；
⑥终边在y轴上的角的集合可记作_________；
⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作_____．
(4)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝
________________________.
2．弧度制
(1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．
||α＝________，l是半径为r的圆的圆心角α所对弧的长．
(2)弧度与角度的换算：360°＝________rad，180°＝________rad，1°＝
_____rad≈0.01745rad，
反过来1rad＝____≈57.30°＝57°18′.
(3)若圆心角α用弧度制表示，则弧长公式l＝__________；扇形面积公式S扇＝______＝_____．
3．任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x ，y)与原点的距离为r(r>0)，则sin α＝_____，cos α＝______，
tan α＝______ (x ≠0)．
※cot α＝x y (y ≠0)，sec α＝r x (x ≠0)，csc α＝r y
(y ≠0)．
(3)三角函数值在各象限的符号
4．三角函数线
如图，角α的终边与单位圆交于点P.过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，过点A(1，0)作单位圆的切线，设它与α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T.根据三角函数的定义，有OM ＝x ＝
________，MP ＝y ＝________，AT ＝＝________.像OM ，MP ，AT 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段MP ，OM ，AT ，分别叫做角α的、、，统称为三角函数线．。