高中文科数学解析几何专题(教师版)
2024一模汇编解析几何(教师版)
解析几何一、双曲线1.（2024房山一模11）双曲线22122x y −=的离心率是_________.2.（2024延庆一模11）已知双曲线2222:1y x C a b−=则双曲线C 的渐近线方程为________.3.（2024东城一模3）已知双曲线221x my −=的离心率为2，则m =A.3B.13C.3−D.13−【答案】B4.（2024丰台一模3）已知双曲线222:1x C y a −=(0)a >a =A.2C.2D.12【答案】B5.（2024门头沟一模4）已知双曲线C 经过点(0,1)，离心率为2，则C 的标准方程为 A.2213y x −= B.2213x y −=C.2213x y −=D.2213y x −= 【答案】C6.（2024顺义一模5）已知双曲线222:1x C y b−=(0)b >的离心率e <，则b 的取值范围是A.(0,1)B.C.(1,)+∞D.)+∞【答案】A7.（2024海淀一模5）若双曲线2222 1 (0,0)x y a b a b−=>>上的一点到焦点(的距离比到焦点的距离大b ，则该双曲线的方程为A.2214x y −= B.2212x y −= C.2212y x −= D.2214y x −= 【答案】D8.（2024平谷一模12）已知双曲线22:1y C x m+=的左、右焦点分别为12,F F ，并且经过(M −点，则12||||MF MF −=________；双曲线C 的渐近线方程为________.【答案】2−；2y x =±9.（2024朝阳一模7）已知双曲线2222: 1 (0,0)x y C a b a b−=>>的右焦点为F ，过点F 作垂直于x 轴的直线l ，,M N 分别是l 与双曲线C 及其渐近线在第一象限内的交点. 若M 是线段FN 的中点，则C 的渐近线方程为A.y x =±B.y x =C.y x =D.y = 【答案】C10.（2024西城一模13）双曲线22:13y M x −=的渐近线方程为_________；若M 与 圆222:O x y r +=(0)r >交于,,,A B C D 四点，且这四个点恰有正方形的四个顶点， 则r =_________.二、抛物线1.（2024房山一模2）抛物线24x y =的准线方程是A.1x =B.1x =−C.1y =D.1y =−【答案】D2.（2024西城一模4）已知抛物线C 与抛物线24y x =关于直线y x =对称，则C 的准线方程是 A.1x =− B.2x =−C.1y =−D.2y =−【答案】C3.（2024延庆一模4）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上. 若M 到直线4x =−的距离为7，则||MF =A.4B.5C.6D.7【答案】B4.（2024门头沟一模12）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，若||3MF =，则M 到直线2x =−的距离为_________.【答案】45.（2024平谷一模6）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，O 是坐标原点，点M 在C 上. 若||4MF =，则||OM =A. C. D.4【答案】A6.（2024朝阳一模12）已知抛物线22x py =(0)p >的焦点为F ，准线方程为1y =−，则 p =_________；设O 为原点，点00(,)M x y 在抛物线上，若||||OM FM =，则0y =_________.7.（2024丰台一模13）已知F 是抛物线24y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点， ||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为_________.【答案】38.（2024石景山一模12）斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于,A B 两点，则||AB =_________. 【答案】89.（2024东城一模14）已知抛物线21:4C y x =的焦点为1F ，则1F 的坐标为________； 抛物线22:8C y x =的焦点为2F ，若直线y m =(0)m ≠分别与12,C C 交于,P Q 两点， 且12||||1PF QF −=，则||PQ =________. 【答案】(1,0)；2三、直线与圆1.（2024朝阳一模5）已知直线60x −+=和圆222x y r +=(0)r >相交于,A B 两点. 若||6AB =，则r =A.2B.C.4D.【答案】D2.（2024房山一模6）直线:20l x y ++=截圆222:M x y r +=(0)r >所得劣弧所对的圆心角 为π3，则r 的值为B.3C.2D.3【答案】B3.（2024海淀一模12）已知22:(1)3C x y −+=，线段AB 是过点(2,1)的弦，则||AB 的最小值为_________. 【答案】24.（2024石景山一模6）直线1y kx =+与圆22(1)16x y ++=相交于,A B 两点，则线段AB 的长度可能为A.5B.7C.9D.14【答案】B5.（2024丰台一模7）在平面直角坐标系xOy 中，直线:1l ax by +=有且仅有一点P ， 使||1OP =，则直线l 被圆22:4C x y +=截得的弦长为A.1C.2D.【答案】D6.（2024延庆一模9）在等边ABC △中，2AB =，P 为ABC △所在平面内的动点， 且1PA =，Q 为边BC 上的动点，则线段PQ 长度的最大值是1−12+D.3【答案】D7.（2024门头沟一模9）在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线 340kx y k −−+=的距离，则当,k θ变化时，d 的最大值与最小值之差为A.2B.3C.4D.6【答案】D8.（2024平谷一模10）设点(1,0)A ，动直线:210l x ay a ++−=，作AM l ⊥于点M ，则点 M 到坐标原点O 距离的最小值为A.1 1 1−【答案】C四、曲线与方程1.（2024房山一模9）在平面直角坐标系中，已知(1,0)A −，(1,0)B 两点. 若曲线C 上存在一点P ，使0PA PB ⋅<，则称曲线C 为“合作曲线”，给出下列曲线： ①2221y x −=； ②2221x y +=；③24x y +=.其中“合作曲线”是A.①②B.②③C.①D.②【答案】A2.（2024石景山一模10）对于曲线22:1C x y −−+=，给出下列三个命题： ①关于坐标原点对称；②曲线C 上任意一点到坐标原点的距离不小于2； ③曲线C 与曲线||||3x y +=有四个交点. 其中正确的命题个数是A.0B.1C.2D.3【答案】C五、大题1.（2024平谷一模19）已知椭圆2222: 1 (0)x y E a b a b +=>>过点. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过椭圆E 的右焦点F 作斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆E 于点,A B ，直线l 交直线 2x =于点P ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，直线AQ 交x 轴于C ，直线BQ 交x 轴于D ，求证：点F 为线段CD 的中点. 【答案】解得22a =，21b =.（Ⅱ）椭圆E 的右焦点F 的坐标为(1,0)， 由题意，设直线l 的方程为(1)y k x =− ()0k ≠. 设直线l 交椭圆W 于点1122(,),(,)A x y B x y ，则由直线l 的方程(1)y k x =−，令2,x =解得y k =， 所以(2,)P k ，(0,)Q k .由于11(1)y k x =−，22(1)y k x =−.所以线段CD 的中点为F .2.（2024西城一模19）已知椭圆2222: 1 (0)x y G a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A −，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）设O 为原点. 直线l 与椭圆G 交于,C D 两点（,C D 不是椭圆的顶点），l 与直线2x =交于点E . 直线,AC AD 分别与直线OE 交于点,M N . 求证：||||OM ON =. 所以||||=OM ON ．………15分已知椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b +=>>的短轴长为，离心率e =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，直线l 是圆221x y +=的一条切线，且直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，若平行四边形OMPN 的顶点P 恰好在椭圆C 上，求平行四边形OMPN 的面积. 【答案】（II ）当直线l 斜率存在时，设直线:l y kx m =+，设()()1122M x ,y ,N x ,y ，则()1212P x x ,y y ++，()2222221426026y kx mk x kmx m xy =+⎧⇒+++−=⎨+=⎩，因为O 到直线l 的距离1d =,所以()20P ,不在椭圆上,不合题意. ........15分已知椭圆2222: 1 (0)x yE a ba b+=>>的离心率为12，左焦点为1(1,0)F−，过1F的直线交椭圆E于,A B两点，点M为弦AB的中点，O是坐标原点，且M不与1,O F重合.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若P是OM延长线上一点，且OP的长度为2，求四边形OAPB面积的取值范围.已知椭圆2222: 1 (0)x y E a b a b+=>>的焦距为以椭圆E 的四个顶点的四边形的周长为16.（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）过点(0,1)S 的直线l 交椭圆E 于,P Q 两点，线段PQ 的中点为M . 是否存在定点D ， 使得||1||2DM PQ =？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】当直线l 的斜率不存在时，PQ 为直径的圆的方程为224x y +=①， 当直线l 的斜率为0时，令1y =，得3x =±， 因此PQ 为直径的圆的方程为()2219x y +−=②．联立①②得0,2,x y =⎧⎨=−⎩猜测点D 的坐标为()0,2−．设直线l 的方程为1y kx =+，设()()1122,,,P x y Q x y ，则2231k +所以()()1122,2,2DP DQ x y x y ⋅=+⋅+6.（2024顺义一模19）已知椭圆2222: 1 (0)x y E a b a b +=>>过点3(1,)2P 2b =.（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）设斜率为12的直线l 与E 交于,A B 两点（异于点P ），直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ，求||||PM PN 的值. 【答案】7.（2024门头沟一模19）已知椭圆2222: 1 (0)x y E a b a b +=>>，椭圆E 的上顶点为A ，右顶点为B ，点O 为坐标原点，AOB △的面积为2. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若过点(2,0)P 且不过点(3,1)Q 的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，直线MQ 与直线4x =交于点C ，试判断直线CN 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.8.（2024延庆一模19）已知椭圆2222: 1 (0)x y E a b a b +=>>，,A C 分别是E 的上、下顶点，||2AC =，,B D 分别是E 的左、右顶点.（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设P 为第二象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线BP 与直线CD 交于点N ，求证：MN BD ⊥. 【答案】解得2,1a b ==． …………4分（Ⅱ）方法一：因为为第二象限上的动点，设()(),20,01P m n m n −<<<<．…………6分P E所以M N x x =，即．方法二：因为M N x x =，所以． …………15分MN BD ⊥MN BD ⊥已知椭圆22:G x my m +=的离心率为，12,A A 分别是G 的左、右顶点，F 是G 的右焦点.（Ⅰ）求m 的值及点F 的坐标；（Ⅱ）设P 是椭圆G 上异于顶点的动点，点Q 在直线2x =上，且PF FQ ⊥，直线PQ 与x 轴交于点M . 比较2||MP 与12||||MA MA ⋅的大小. 【答案】解：（Ⅰ）由题意知1m >. 设2a m =，21b =，则2221c a b m =−=−.所以2m =，1c =.所以m 的值为2，点F 的坐标为(1,0)．（Ⅱ）由题意可设 00(,)P x y （000x y ≠），(2,)Q Q y ，(,0)M M x ，则0M x x ≠，220022x y +=. ①因为PF FQ ⊥,所以00(1,)(1,)0Q xy y −⋅=.2,0)(0,2)，已知椭圆2222: 1 (0)x y E a b a b +=>>，,A B 分别是E 的左、右顶点，P 是E 上异于,A B 的点，APB △的面积的最大值为（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，点N 在直线2x =上，,N P 分别在x 轴的两侧，且APB △与NBP △的 面积相等.（ⅰ）求证：直线ON 与直线AP 的斜率之积为定值；（ⅱ）是否存在点P 使得APB NBP △△≌. 若存在，求出点P 的坐标，若不存在， 说明理由. 【答案】（Ⅱ）设(2,)N t ，000()(),2y P x x ≠±，则00y t <．设直线ON 的斜率为ON k ，直线AP 的斜率为AP k ， 所以直线ON 与直线AP 的斜率之积为定值1−． （ⅱ）假设存在点P 使得P APB NB △≌△，因为||||AB AP >，||||NP NB >，||||BP BP =， 所以||||AP NB =．所以不存在点P 使得P APB NB △≌△．15分11.（2024石景山一模20）已知椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b +=>>，短轴长为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，过点3(1,)2P −−分别作直线12,l l ，直线1l 与椭圆相切于第三象限内的点G ，直线2l 交椭圆C 于,M N 两点. 若2||||||PG PM PN =⋅，判断直线2l 与直线OG 的位置关系，并说明理由.。
高三文科数学二轮复习专题5解析几何
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第15讲 圆锥曲线中的热点问题
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第13讲 直线与圆
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第14讲 椭圆、双曲线、抛
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高三文科数学解析几何专题
高三文科数学第二轮复习资料——《解析几何》专题1．已知动圆过定点()1,0；且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程； (2) 是否存在直线l ；使l 过点（0；1）；并与轨迹C 交于,P Q 两点；且满足0OP OQ ⋅=？若存在；求出直线l 的方程；若不存在；说明理由.2．如图,设1F 、2F 分别为椭圆C ：22221x y a b+= (0a b >>)的左、右焦点. (Ⅰ)设椭圆C 上的点3(1,)2A 到F 1、F 2两点距离之和等于4；写出椭圆C 的方程和离心率；(Ⅱ)设点K 是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点；求线段1F K 的中点的轨迹方程．3．已知圆C: x 2+y 2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的 直线L,使以L 被圆C 截得弦AB 为直径的圆 经过原点?若存在,写出直线的方程;若不存在；说 明理由4．已知圆C ：224x y +=.（1）直线l 过点()1,2P ；且与圆C 交于A 、B两点；若||AB =l 的方程;（2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ；设m 与y 轴的交点为N ；若向量OQ OM ON =+；求动点Q 的轨迹方程；并说明此轨迹是什么曲线.5．如图；已知圆A 的半径是2；圆外一定点N 与圆A 上的点的最短距离为6；过动点P 作A 的切线PM （M 为切点）；连结PN 使得PM ：；试建立适当的坐标系；求动点P 的轨迹6．已知三点P （5；2）、1F （－6；0）、2F （6；0）．（Ⅰ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ；求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程．7．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物资的任务；该公司有8辆载重为6吨的A 型卡车与4辆载重为10吨的B 型卡车；有10名驾驶员；每辆卡车每天往返次数为A 型卡车4次；B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费用为A 型卡车320元；B 型卡车504元；请你给该公司调配车辆；使公司所花的成本费用最低．8．曲线03622=+-++y x y x 上两点P 、Q 满足：①关于直线04=+-y kx 对称；②OQ OP ⊥.求直线PQ 的方程.9情况下的两类药片怎样搭配价格最低？参考答案1．解：（1）如图；设M 为动圆圆心； F ()1,0；过点M 作直线1x =-的垂线；垂足为N ；由题意知：MF MN =；即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等；由 抛物线的定义知；点M 的轨迹为抛物线；其中()1,0F 为焦点；1x =-为准线；∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=．（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠；由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->；11k k <->或．设),(11y x P ；),(22y x Q ；则124y y k +=；124y y k =．由0OP OQ ⋅=；即 ()11,OP x y =；()22,OQ x y =；于是12120x x y y +=； 即()()21212110k y y y y --+=；2221212(1)()0k y y k y y k +-++=；2224(1)40k k k k k +-+=；解得4k =-或0k =（舍去）；又41k =-<-； ∴ 直线l 存在；其方程为440x y +-=2．解：(Ⅰ)24a =；221914a b+=. 24a =；23b =.椭圆的方程为22143x y +=； 因为2221c a b =-=. 所以离心率12e =. (Ⅱ)设1KF 的中点为(,)M x y ；则点(21,2)K x y +.又点K 在椭圆上；则1KF 中点的轨迹方程为22(21)(2)143x y ++=.3．解:设直线L 的斜率为１；且L 的方程为y=x+b,则222440y x bx y x y =+⎧⎨+-+-=⎩消元得方程 ２x 2+（2b+2）x+b 2+4b-4=0；设此方程两根为x 1；x 2；则x 1+x 2＝－（b+1）；y 1+y 2= x 1+x 2+2b=b-1； 则ＡＢ中点为11,22b b +-⎛⎫-⎪⎝⎭；又弦长为12x -＝；由题意可列式x =221122b b +-⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝2⎪⎝⎭解得b=1或b=-9；经检验b=-9不合题意．所以所求直线方程为y=x+1．4．解（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时；则此时直线方程为1=x ；l 与圆的两个交点坐标为()3,1和()3,1-；其距离为32；满足题意②若直线l 不垂直于x 轴；设其方程为()12-=-x k y ；即02=+--k y kx 设圆心到此直线的距离为d ；则24232d -=；得1=d ∴1|2|12++-=k k ；34k =； 故所求直线方程为3450x y -+= 综上所述；所求直线为3450x y -+=或1=x （Ⅱ）设点M 的坐标为()00,y x ；Q 点坐标为()y x ,则N 点坐标是()0,0y ∵OQ OM ON =+；∴()()00,,2x y x y = 即x x =0；20yy =又∵42020=+y x ；∴4422=+y x 由已知；直线m //ox 轴；所以；0y ≠；∴Q 点的轨迹方程是221(0)164y x y +=≠；轨迹是焦点坐标为12(0,F F -；长轴为8的椭圆；并去掉(2,0)±两点．5．解：以AN 所在直线为x 轴；AN 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系如图所示； 则A(-4,0),N(4,0),设P （x ；y ）由|PM|：；|PM|2=|PA|2 –|MA|2得：4||||222-=PA PN代入坐标得：22222(4)(4)4x y x y ⎡⎤-+=++-⎣⎦整理得：2224200x y x +-+=即22(12)124x y -+= 所以动点P 的轨迹是以点(12,0)为圆心，以．6．解：（I ）由题意；可设所求椭圆的标准方程为22a x +122=by )0(>>b a ；其半焦距6=c ．||||221PF PF a +=56212112222=+++=； ∴=a 53；93645222=-=-=c a b ；故所求椭圆的标准方程为452x +192=y ； （II ）点P （5；2）、1F （－6；0）、2F （6；0）关于直线y ＝x 的对称点分别为：)5,2(P '、'1F （0；-6）、'2F （0；6）设所求双曲线的标准方程为212a x -1212=b y )0,0(11>>b a ；由题意知半焦距61=c ；|''||''|2211F P F P a -=54212112222=+-+=； ∴=1a 52；162036212121=-=-=a c b ；故所求双曲线的标准方程为202y -1162=x ． 点评：本题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力7．解：该公司调8辆A 型车；成本最低．8．解：对称，关于直线、圆上两点04=+-y kx Q P，，）（），即有，经过圆心（直线20432132104=∴=+--⋅-=+-∴k k y kx ），，（），，（，方程为设直线221121y x Q y x P t x y PQ +-= 036445036212222=+-+--⎪⎩⎪⎨⎧=+-+++-=t t x t x y y x y x t x y ）（得消，，由. ，）（，）（536454422121+-=-=+∴t t x x t x x0121212211=+-=⋅∴⊥y y x x x y x y OQ OP 即， . ，，t x y t x y +-=+-=22112121 021212121=+-+-+∴））（（t x t x x x，）（）（，）（即054421536445021452222121=+--+-⋅∴=++-t t t t t t x x t x x 化简得45230152282==∴=+-t t t t 或，054203245212321=-+=-++-=+-=∴y x y x x y x y PQ 或即或方程为直线.9．解：设A 类药x 片；B 类药y 片；由题意⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥∈≥≥+≥+≥+，且，且N y y N x x y x y x y x 00,286,7075,122 y x 、∴满足的可行域如图两类药片的最小总数y x z +=由图象可知；最小总数应在B 点附近可行域内的整点处取得.)980,914(,980,914,7075,122B y x y x y x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+ 在B 点附近可行域内的整点有C （1；10）；D （2；9）；E （3；8）；F （4；8）.∴两类药片的最小总数是11片.设在最小总数情况下的两类药片总价格510yx w +=；)3,2,1(11==+x y x 102251110510x x x y x w -=-+=+=∴；元时有最小值当10193=∴x ； 即用A 类3片B 类8片可使价格最低.。
高三文科数学解析几何专题
高三文科数学解析几何专题一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1直线1:1+=mx y l ，直线2l 的方向向量为)2,1(=a ，且21l l ⊥，则=m ( )A ．21B ．21-C ．2 D ．-22双曲线121022=-y x 离心率为( )A ．56B ．552 C ．54D ．530 3直线x 3+1=0的倾斜角是( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4抛物线22(0)y px p =>的准线经过等轴双曲线221x y -=的左焦点，则p =( )A ．22B 2C ．22D ．425已知点)0,1(M ，直线1:-=x l ，点B 是l 上的动点， 过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是 ( )（A ）抛物线 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）直线6已知倾斜角0≠α的直线l 过椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的右焦点Ｆ交椭圆于Ａ、Ｂ两点，Ｐ为右准线上任意一点，则APB ∠为 ( ) A ．钝角 B ．直角 C ．锐角D ．都有可能7经过圆:C 22(1)(2)4x y ++-=的圆心且斜率为1的直线方程为 ( )A ．30x y -+=B ．30x y --=C ．10x y +-=D ．30x y ++=8直线1:20l kx y -+=到直线2:230l x y +-=的角为45，则k =（ ）A.－3B. －2C. 2D. 39直线)=-y x 2截圓+=22x y 4所得的劣弧所对的圆心角为( )A ．π6B ．π3C ．π23D ．π5310焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是( )A ．1241222=-y xB ．1241222=-x y C．1122422=-x yD ．1122422=-y x11双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的两个焦点为1F 、2F ，若P 为其上一点，且||2||21PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．(]3,1B ．()3,1C ．()+∞,3D ．[)+∞,312过双曲线22221(0,)x y a b b a-=>>的左焦点1F 作圆222x y a +=的切线，切点为T 且与双曲线的右支交于,P M 为线段1PF 的中点，则||||()OM MT O -为坐标原点的值为（ ）A ．2aB ．a+bC ．b a -D ．2b二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13已知直线:30l x y +-=与圆22:(1)(2)2,C x y -++=则圆C 上各点到l 距离的最大值为_____________;14双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的离心率是2，则a b 312+的最小值是15．已知圆x 2+y 2－2x+4y+1=0和直线2x+y+c=0，若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则c= .16若x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧∈≤+≥N y x y x x y ,16||22，则y x z +=2的最大值为 。
解析几何大题数学教案高中
解析几何大题数学教案高中
教学内容：解析几何大题
适用年级：高中
教学目标：
1. 了解解析几何的基本概念和方法；
2. 能够熟练运用解析几何的知识解决实际问题；
3. 提高学生的逻辑推理和问题解决能力。
教学准备：
1. 讲义、习题、试卷等教学资源；
2. 教学投影仪、计算器等教学工具；
3. 学生纸笔。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
介绍解析几何的概念和意义，引导学生了解解析几何的基本原理和方法。
二、概念讲解（15分钟）
1. 解析几何的基本概念：直线方程、圆的方程等；
2. 解析几何的基本方法：坐标系、距离公式等。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 给学生提供一些解析几何的练习题，让学生在课堂上尝试解答；
2. 引导学生在小组讨论中相互解答问题，讨论解题思路。
四、巩固与拓展（15分钟）
1. 给学生布置一些解析几何的作业，巩固课堂所学内容；
2. 提供一些解析几何的拓展题目，让学生挑战更高难度的问题。
五、作业布置（5分钟）
布置作业，以检测学生对解析几何知识的掌握情况，并提醒学生认真复习课堂内容。
教学反思：
通过本节课的教学，学生能够掌握解析几何的基本概念和方法，提高逻辑推理和问题解决能力。
同时，需要注意引导学生在独立解决问题时思考和探索的能力，不断提高学生的解题能力和自主学习能力。
文科高考数学重难点04 解析几何(解析版)
重难点04 解析几何【命题趋势】解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式.即两道选择，一道填空，一道解答题.高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度诶中等.填空题目也是综合题目，难度中等.大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等.双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中.即复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主.本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用.【满分技巧】定值问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点.算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤.定值问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1，0）此类的点）.所得答案即是要求的定值.然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可.注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可.关于取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内.知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写.一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算.方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：a c（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；a c e（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：45分钟）一、单选题一、单选题1．（2020·贵州贵阳一中高三月考（文））已知圆C ：(x +3)2+(y +4)2=4上一动点B ，则点B 到直线l :3x +4y +5=0的距离的最小值为（）A ．6B ．4C ．2D．【答案】C【分析】因为圆心到直线的距离，Cl 4d ==所以最小值为，422-=故选：C ．2．（2020·河南开封市·高三一模（文））已知双曲线的离心率与椭圆221(0)x y m m -=>的离心率互为倒数，则该双曲线的渐近线方程为（ ）2213x y m m +=A ．B ．C ．D．y =y x =y x =y =【答案】B【分析】双曲线的离心率为221(0)x y m m -=>e =在椭圆中，由于，则，所以焦点在轴上2213x y m m +=0m >30m m >>y 所以椭圆的离心率为2213x y m m +=e =解得：1=2m =所以双曲线的渐近线方程为：2212x y -=y x =±故选：B3．（2020·四川成都市·高三一模（文））已知平行于轴的一条直线与双曲线x 相交于，两点，，（为坐标原()222210,0x y a b a b -=>>P Q 4PQ a=π3PQO ∠=O点），则该双曲线的离心率为（）．A BC D【答案】D【分析】如图，由题可知，是等边三角形，POQ △，，4PQ a =()2,P a ∴将点P 代入双曲线可得，可得，22224121a a a b -=224b a =离心率.∴c e a ===故选：D.4．（2020·河南周口市·高三月考（文））已知直线：与圆：l 340x y m -+=C 有公共点，则实数的取值范围为（ ）226430x y x y +-+-=m A ．B ．C ．D ．()3,37[]37,3-[]3,4[]4,4-【答案】B 【分析】因为圆的标准方程为，C ()()223216x y -++=所以，半径，()3,2C -4r =所以点到直线C :340l x y m -+=根据题意可知，解得.1745m+≤373m -≤≤故选：B5．（2020·全国福建省漳州市教师进修学校高三三模（文））已知直线:210l kx y k --+=与椭圆交于A 、B 两点，与圆交于C 、D22122:1(0)x y C a b a b +=>>222:(2)(1)1C x y -+-=两点.若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）[2,1]k ∈--AC DB =1CA ．B ．C ．D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭⎛ ⎝⎫⎪⎪⎭【答案】C【分析】直线，即为，可得直线恒过定点，:210l kx y k --+=(2)10k x y -+-=(2,1)圆的圆心为，半径为1，且，为直径的端点，222:(2)(1)1C x y -+-=(2,1)C D 由，可得的中点为，AC DB =AB (2,1)设，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 则，，2211221x y a b +=2222221x y a b +=两式相减可得，1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=由．，124x x +=122y y +=可得，由，即有，2122122y y b k x x a -==--21k -- (2)2112b a……则椭圆的离心率．(0c e a ==故选：C6．（2020·全国高三其他模拟（文））已知，为的两个顶点，点()1,0A ()3,0B ABC :C在抛物线上，且到焦点的距离为13，则的面积为（ ）24x y =ABC :A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】A【分析】解:因为点在抛物线上,设，C 24x y =()00,C x y 抛物线的准线方程为，24x y =1y =-根据抛物线的性质,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.由，得，0113y +=012y =所以.()01131121222ABC S AB y =⨯⋅=⨯-⨯=△故选:A7．（2020·四川成都市·高三一模（文））已知抛物线的焦点为，过的直线24x y =F F l 与抛物线相交于，两点，．若，则（ ）．A B 70,2P ⎛-⎫ ⎪⎝⎭PB AB ⊥AF =A ．B ．C ．D ．322523【答案】D【分析】由题意可知，，设，，()0,1F 211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，，2227,42x PB x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 222,14x BF x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 因为，且，，三点共线，则由可得，PB AB ⊥A B F 0AB PB ⋅= 0BF PB ⋅=所以，即，222222710424x x x ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭422226560x x+-=解得或（舍），所以.222x =2228x =-2x =设直线的方程为，与抛物线方程联立，AB 1y kx =+得，消去得，则，所以.214y kx x y =+⎧⎨=⎩y 2440x kx --=124x x =-1x =±则.21124x y ==所以.12213y F pA =+==+故选：D.8．（2020·四川高三一模（文））已知直线与双曲线：y kx =C ()222210,0x y a b a b -=>>相交于不同的两点，，为双曲线的左焦点，且满足，（A B F C 3AF BF=OA b=为坐标原点），则双曲线的离心率为（）O C AB C ．2D【答案】B【分析】设是右焦点，则，，即，F 'BF AF '=3AF BF=3AF AF '=又，∴，，而，∴22AF AF AF a''-==AF a'=3AF a=,OA b OF c'==，OA AF '⊥由得，AOF AOF π'∠+∠=cos cos 0AOFAOF '∠+∠=∴，整理得．222902b c a b bc c +-+===ce a 故选：B ．9．（2020·河南新乡市·高三一模（文））已知双曲线的左、()2222:10,0x y C a b a b -=>>右焦点分别为、，过原点的右支于点，若1F 2F O C A ，则双曲线的离心率为（ ）1223F AF π∠=AB 1C D【答案】D 【分析】推导出，可计算出，利用余弦定理求得112F OA F AF :::1F A =2AF =，进而可得出该双曲线的离心率为，即可得解.1212F F e AF AF =-【详解】题可知，，，123F OA π∠=121AF O F AF ∠=∠ 112F OA F AF ∠=∠112F OA F AF ∴:△△，所以，可得.11112F O F AF A F F =1F A =在中，由余弦定理可得，12F AF :22212121222cos3F F AF AF AF AF π=+-⋅即，解得.2220AF c +=2AF=双曲线的离心率为.1212F F e AF AF ===-故选：D.【点睛】10．（2020·全国高三专题练习（文））已知圆，则在轴和轴上22:(2)2C x y ++=x y 的截距相等且与圆相切的直线有几条（ ）C A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C【分析】若直线不过原点，其斜率为，设其方程为，1-y x m =-+则，解得或，d 0m =4-当时，直线过原点；0m =若过原点，把代入，()0,0()2200242++=>即原点在圆外，所以过原点有2条切线，综上，一共有3条，故选：C ．二、解答题11．（2020·四川成都市·高三一模（文））已知椭圆的离心率()2222:10x y C a b a b +=>>，且直线与圆相切．1x ya b +=222x y +=（1）求椭圆的方程；C（2）设直线与椭圆相交于不同的两点﹐，为线段的中点，为坐标原l C A B M AB O 点，射线与椭圆相交于点，且，求的面积．OM C P OP OM=ABO :【答案】（1）；（2．22163x y +=【分析】（1，∴（为半焦距）．c a=c∵直线与圆．1x ya b +=222x y +==又∵，∴，．222c b a +=26a =23b =∴椭圆的方程为．C 22163x y +=（2）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，l 设直线的方程为．l (x nn =<<∵，∴．OP OM==225n =∴．ABOS ==△（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线，l ():0l y kx m m =+≠，．()11,A x y ()22,B x y 由，消去，得．22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222214260k x kmx m +++-=∴，即．()()()2222221682138630k m k m k m ∆=-+-=-+>22630k m -+>∴，．122421kmx x k +=-+21222621m x x k -=+∴线段的中点．AB 222,2121kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭当时，∵，∴．0k =OP OM==215m =∴．ABOS =△当时，射线所在的直线方程为．0k ≠OM 12y x k =-由，消去，得，．2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 2221221P k x k =+22321Py k =+∴M POMy OPy ===∴．经检验满足成立．22521m k =+0∆>设点到直线的距离为，则．O ld d =∴212ABOS x =-===△综上，．ABO :12．（2020·云南高三其他模拟（文））已知椭圆的左右焦点分2222:1(0)x y C a b a b +=>>别为，离心率为，椭圆上的点到点的距离之和等于4.12,F F 12C 31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭12,F F （1）求椭圆的标准方程；C（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，满足()2,1P l C A B 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.2PA PB PM ⋅= l 【答案】（1）；（2）存在直线满足条件，其方程为.22143x y +=l 12y x =【分析】解：（1）由题意得，所以.2221224c a a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩21a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故椭圆的标准方程为.C 22143x y +=（2）若存在满足条件的直线，则直线的斜率存在，设其方程为.l l (2)1y k x =-+代入椭圆的方程得.C 222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=设，两点的坐标分别为，，A B ()11,x y ()22,x y 所以.所以，222[8(21)]4(34)(16168)32(63)0k k k k k k ∆=---+--=+>12k >-且，.1228(21)34k k x x k -+=+21221616834k k x x k --=+因为，即，2PA PB PM ⋅= 12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=所以.2212(2)(2)(1)54x x k PM --+==即.[]2121252()4(1)4x x x x k -+++=所以，222222161688(21)44524(1)3434344k k k k k k k k k ⎡⎤---+-⋅++==⎢⎥+++⎣⎦解得.12k =±又因为，所以.12k >-12k =所以存在直线满足条件，其方程为.l 12y x =13．（2020·广西北海市·高三一模（文））已知抛物线的准线为2:2(0)C x py p =>，焦点为F .1y =-（1）求抛物线C 的方程；（2）设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且抛物线在A ，B 两点处的切线分别交x 轴于P ，Q 两点，求的最小值.||||AP BQ ⋅【答案】（1）；（2）2.24x y =【分析】（1）因为抛物线的准线为，12py =-=-解得，2p =所以抛物线的方程为.24x y =（2）由已知可判断直线l 的斜率存在，设斜率为k ，由（1）得，则直线l 的方程为.(0,1)F 1y kx =+设，，211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭由消去y ，得，214y kx x y =+⎧⎨=⎩2440x kx --=所以，.124x x k +=124x x =-因为抛物线C 也是函数的图象，且，214y x =12y x '=所以直线PA 的方程为.()2111142x y x x x -=-令，解得，所以，0y =112x x =11,02P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭从而||AP =同理得||BQ =所以，||||AP BQ ⋅==，=，==当时，取得最小值2.0k =||||AP BQ ⋅14．（2020·广东东莞市·高三其他模拟（文））在平面直角坐标系中，已知两定点xOy，，动点满足.()2,2A -()0,2B P PAPB=（1）求动点的轨迹的方程；P C （2）轨迹上有两点，，它们关于直线：对称，且满足C E F l 40kx y +-=，求的面积.4OE OF ⋅=OEF ∆【答案】（1）动点的轨迹是圆，其方程为（2）P ()()22228x y -+-=【分析】（1）设动点的坐标为，则.P (),xyPAPB==整理得，故动点的轨迹是圆，且方程为.()()22228x y -+-=P ()()22228x y -+-=（2）由（1）知动点的轨迹是圆心为，半径的圆，圆上两点，关P ()2,2C R =E F 于直线对称，由垂径定理可得圆心在直线：上，代入并求得l ()2,2l 40kx y +-=1k =，故直线的方程为.l 40x y +-=易知垂直于直线，且.OC l OC R=设的中点为，则EF M ()()OE OF OM ME OM MF⋅=+⋅+()()OM ME OM ME=+⋅- ，又，.224OM ME =-= 22222OM OC CM R CM =+=+ 222ME R CM =-∴，，∴，.224CM = CM =ME==2FE ME == 易知，故到的距离等于，∴OC FE :O FE CM 12OEF S ∆=⨯=15．（2020·全国高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆xOy 的长轴长为6，且经过点，为左顶点，为下顶点，椭22221(0)x y a b a b +=>>3(2Q A B 圆上的点在第一象限，交轴于点，交轴于点.P PA y C PB x D （1）求椭圆的标准方程（2）若，求线段的长20OB OC +=PA （3）试问：四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由ABCD 【答案】（1）；（2；（3）是定值，6.22194x y +=【分析】（1）解：由题意得，解得.26a =3a =把点的坐标代入椭圆C 的方程，得Q 22221x y a b +=229314ab +=由于，解得3a =2b =所以所求的椭圆的标准方程为.22194x y +=（2）解：因为，则得，即，20OB OC += 1(0,1)2OC OB =-=(0,1)C 又因为，所以直线的方程为.(3,0)A -AP 1(3)3y x =+由解得(舍去)或，即得221(3)3194y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩30x y =-⎧⎨=⎩27152415x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2724,1515P ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以||AP ==即线段AP （3）由题意知，直线的斜率存在，可设直线.PB 2:23PB y kx k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭令，得，0y =2,0D k ⎛⎫⎪⎝⎭由得，解得(舍去)或222194y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2249360k x kx +-=0x =23649kx k =+所以，即2218849k y k -=+22236188,4949k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭于是直线的方程为，即AP 22218849(3)36314k k y x k k -+=⨯+++2(32)(3)3(32)k y x k -=++令，得，即，0x =2(32)32k y k -=+2(32)0,32k C k -⎛⎫ ⎪+⎝⎭所以四边形的面积等于ABDC 1||||2AD BC ⨯⨯122(32)13212326232232k k k k k k k -+⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅⋅= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭即四边形的面积为定值.ABDC 16．（2020·江西南昌市·南昌二中高三其他模拟（文））已知抛物线的()220y px p =->焦点为，轴上方的点在抛物线上，且，直线与抛物线交于，F x ()2,M m -52MF =l A 两点（点，与不重合），设直线，的斜率分别为，.B A B M MA MB 1k 2k （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当时，求证：直线恒过定点并求出该定点的坐标.122k k +=-l 【答案】（Ⅰ）；22y x =-（Ⅱ）见解析.（Ⅰ）由抛物线的定义可以，5(2)22p MF =--=,抛物线的方程为.1p ∴=22y x =-（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点的坐标为M (2,2)-当直线斜率不存在时，此时重合，舍去. l ,A B 当直线斜率存在时，设直线的方程为l l y kx b=+设，将直线与抛物线联立得：()()1122,,,A x y B x y l 2222(22)02y kx bk x kb x b y x=+⎧+++=⎨=-⎩212122222,kb b x x x x k k --+==①又，12121222222y y k k x x --+=+=-++即，()()()()()()1221122222222kx b x kx b x x x +-+++-+=-++，()()()()12121212121222248248kx x k x x b x x x x b x x x x ++++-++-=--+-，()1212(2+2)(2+2)40k x x k b x x b ++++=将①代入得，222(1)0b b k b ---+=即(1)(22)0b b k +--=得或1b =-22b k =+当时，直线为，此时直线恒过;1b =-l 1y kx =-(0,1)-当时，直线为，此时直线恒过（舍去）22b k =+l 22(2)2y kx k k x =++=++(2,2)-所以直线恒过定点.l (0,1)-。
高三文科数学秋季讲义 第11讲 解析几何选择填空突破 教师版
1．圆锥曲线定义：椭圆：121222MF MF a F F c +=>=； 双曲线：1212022MF MF a F F c <-=<=；抛物线：(),MF d M l =（(),d M l 表示点M 到直线l 的距离）． 2．圆心到切线的距离等于半径；圆心与切点的连线垂直于切线．<教师备案>这一讲是圆锥曲线的小题综合，讲解小题中圆锥曲线的综合问题．由于都是小题，所以题目本身的繁琐程度并不如圆锥曲线大题；但是对于文科学生来说，由于缺乏系统性的训练，这类问题处理起来还是比较棘手的．按照题型，将这类综合问题分成三类： ⑴ 两种圆锥曲线综合问题；⑵ 圆的切线与圆锥曲线结合问题； ⑶ 圆锥曲线和其它知识综合问题．解决这类综合问题的基本思想和方法，依然还是从圆锥曲线的基本定义和几何性质入手，适当合理的应用和转化已知条件，把问题分解成简单问题．死记硬算都是不足取的．考点：两种圆锥曲线共焦点【例1】 ⑴ 已知双曲线的渐近线方程为2y x =±，且与椭圆2214924x y +=有相同的焦点，则其焦点坐标为 ， 双曲线的方程是 ． ⑵（2011西城期末文13）已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 ． ⑶（2011海淀二模文8）若椭圆1C ：2222111x y a b +=（110a b >>）和椭圆2C ：2222221x y a b +=（220a b >>）的焦点相同且12a a >．给出如下四个结论：① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点 ② 22221212a a b b -=- ③1122a b a b > ④ 1212a a b b -<- 其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．②③④B ． ①③④C ．①②④D ． ①②③【解析】 ⑴ (50)±，，221520x y -=．⑵ (20)±，，3y x =．经典精讲知识梳理第11讲解析几何 选择填空突破⑶ C【点评】 本题属于两种圆锥曲线共焦点问题，本题考查的是共焦点的圆锥曲线方程之间的关系，题⑶尤其典型．解决这类问题，要根据定义，分别写出两种圆锥曲线a ，b ，c 之间的关系，然后分析谁变谁不变，如果题干中涉及到不等关系，则要适当结合不等式的基本性质．尖子班学案1【铺1】 如图，在ABC △中，30CAB CBA ∠=∠=︒，AC ，BC 边上的高分别为BD 、AE ，则以A 、B 为焦点，过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为________． 【解析】【例2】 ⑴ 若椭圆221x y m n+=与双曲线221x y p q -=（,,,m n p q 均为正数）有共同的焦点1F ，2F ，P 是两曲线的一个公共点，则12||||PF PF ⋅等于（ ）A ．22p m -B ．p m -C ．m p -D ．22m p -⑵ 椭圆22162x y +=和双曲线2213x y -=的公共焦点为12,F F ，P 是两曲线的一个交点，那么12cos F PF ∠的值是____________．⑶ 若点P 为共焦点的椭圆1C 和双曲线2C 的一个交点，1F 、2F 分别是它们的左右焦点．设椭圆离心率为1e ，双曲线离心率为2e ，若120PF PF ⋅=，则221211e e +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ⑴ C⑵ 13⑶ B【点评】 两种圆锥曲线共焦点问题的另外一种考查形式就是对定义的考查．解决这类问题时，要根据定义分析圆锥曲线上的点，到焦点的距离和或距离差的关系式；对于交点，由于这些关系式同时成立，因此可以解出交点到两焦点的距离．目标班学案1【拓2】 已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为()1,2．则该椭圆的离心率的取值范围是 ．【解析】 12,35⎛⎫⎪⎝⎭尖子班学案2【铺1】 以双曲线2214x y m-=的离心率为半径，右焦点为圆心的圆与该双曲线的渐近线相切，则m = ． 【解析】 43E D CBA考点：圆的切线与圆锥曲线问题【例3】 ⑴（2010宣武一模文8）设圆C 的圆心在双曲线2221(0)2x y a a -=>的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C被直线:0l x -=截得的弦长等于2，则a 的值为（ ）ABC ．2D ．3 ⑵ 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径作圆M ．若过点20a P c ⎛⎫⎪⎝⎭，作圆M 的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为 ．⑶ 如图，已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率为 .【解析】 ⑴ A⑵⑶目标班学案2【拓2】 过双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左焦点1F 作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，1PF 的中点M 在第一象限，则以下正确的是（ ）A ．b a MO MT -<-B ．b a MO MT ->-C ．b a MO MT -=-D ．b a -与MO MT -大小不定【解析】 C尖子班学案3【铺1】 （2010东城一模文7）已知圆22104x y mx ++-=与抛物线214y x =的准线相切，则m 的值等于（）A ．BCD ． 【解析】D考点：圆的切线与抛物线动态问题【例4】 ⑴（2012东城二模文7）设00(,)M x y 为抛物线2:8C y x =上一点，F 为抛物线C 的焦点，若以F 为圆心，FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0x 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．(4,)+∞ C ．(0,2) D ．(0,4)⑵（2010海淀二模文8）已知直线l ：1y =-，定点(0,1)F ，P 是直线0x y -上的动点，若经过点F ，P 的圆与l 相切，则这个圆面积的最小值为（ ）A ．π2B ．πC ．3πD ．4π ⑶ 已知圆()22:32A x y -+=，点P 是抛物线2:4C y x =上的动点，过点P 作圆A 的两条切线，则两切线夹角的最大值为 ．【解析】 ⑴ A⑵ B⑶ π3考点：圆锥曲线与几何图形【例5】 ⑴ 在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的 离心率e = ．⑵ 如图，其中多边形均为正多边形，,M N 是所在边的中点，双曲线均以1F ，2F 为焦点，则图中双曲线的离心率依次为______．⑶ 如图，OA 是椭圆的长半轴，OB 是短半轴，F 为焦点，且30BFO ∠=︒，ABF S ∆=，则椭圆的方程是 ．⑷ 如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且A B C D ∥．若双曲线1C 以,A B 为焦点，且过,C D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为__________．⑵ ⑶ ⑷【解析】 ⑴ 38⑵11⑶ 221123x y +=⑷1+考点：圆锥曲线相关综合问题【例6】 ⑴（2010海淀一模文8）1by +=与圆221x y +=相交于A ，B 两点（其中,a b 是实数），且AOB △是直角三角形（O 是坐标原点），则点(),P a b 与点()0,1之间距离的最大值为（ ） A1 B ．2 CD1⑵ 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12e =，右焦点为(,0)F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12(,)P x x （ ） A ．必在圆222x y +=内 B ．必在圆222x y +=上2F 2F 2F F FC ．必在圆222x y +=外D ．以上三种情形都有可能⑶ 若点O 和点(20)F -，分别是双曲线2221(0)x y a a-=>的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP ⋅的取值范围为 （ ）A．)3⎡-+∞⎣ B．)3⎡++∞⎣ C ．74⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， D ．74⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 【解析】 ⑴ A⑵ A ⑶ B（2010湖北文15）已知椭圆22:12x C y +=的两焦点为12F F ，，点00()P x y ，满足2200012x y <+<，则12PF PF +的取值范围为 ，直线0012x xy y +=与椭圆C 的公共点个数为 个．【解析】2⎡⎣，；0依题意知，点P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得， 当P 在线段12F F 上时，12min (||||)2PF PF +=，当P 在椭圆上时，12max (||||)PF PF +为2a =但点P不在椭圆上，只可无限接近于椭圆，故范围为2⎡⎣，． 因为00()x y ，在椭圆2212x y +=的内部，则直线0012x x y y ⋅+⋅=上的点()x y ，均在椭圆外，否则若()11,x y 在直线上且不在椭圆外，则有221112x y +≤，220012x y +<，而2222101010011242x x x x y y yy +++=+<≤，矛盾．故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个．（2010北京文13）已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 ．【解析】 (40)±，；0y +=．真题再现【演练1】已知抛物线)0(22>=p px y 的准线与圆07622=--+x y x 相切，则p 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【解析】 C【演练2】过双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的一个焦点作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为A ，B ．若120AOB ∠=︒（O 是坐标原点），则双曲线C 的离心率为 ． 【解析】 2【演练3】直线x t =过双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若原点在以AB 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 ． 【解析】(1【演练4】（2011西城一模文11）双曲线C ：2212x y -=的离心率为 ；若椭圆2221x y a+=(0)a >与双曲线C 有相同的焦点，则a = ． 【解析】2【演练5】（2011房山区高三期末文7）已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点在抛物线28y x =的准线上，则双曲线的方程为（ ） A ．2213y x -= B ．2213x y -= C ．221412x y -= D ．221124x y -= 【解析】 A【演练6】（2010福建文11）若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．6D ．8【解析】 C实战演练（2012华约自主招生6）椭圆长轴长为4，左顶点在圆()()22414x y -+-=上，左准线为y 轴（注：即椭圆中心到y 轴的距离为2a c，其中a 为椭圆的半长轴长，c 为椭圆的半焦距），则此椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 B依题意，不妨设左顶点坐标为()00,x y ，则026x ≤≤，由于24a =，从而椭圆中心坐标为()002,x y +，从而椭圆中心到左准线的距离为02x +，即202a x c =+，即042c x =+， 所以0211,242c e a x ⎡⎤==∈⎢⎥+⎣⎦．大千世界。
2011年解析几何(文科)教师版
解析几何1.课标文数17.H2，H5[2011·安徽卷] 设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0. (1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．1.课标文数17.H2，H5[2011·安徽卷] 本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识．考查推理论证能力和运算求解能力．【解答】 (1)反证法：假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0. 此与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)(方法一)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1， 解得交点P 的坐标(x ，y)为⎩⎨⎧x ＝2k 2－k1，y ＝k 2＋k1k 2－k 1，而2x 2＋y 2＝2⎝⎛⎭⎫2k 2－k 12＋⎝⎛⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1. 此即表明交点P(x ，y)在椭圆2x 2＋y 2＝1上．(方法二)交点P 的坐标(x ，y)满足⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k 1x ，y ＋1＝k 2x ，故知x≠0，从而⎩⎨⎧k 1＝y －1x，k 2＝y ＋1x.代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x＋2＝0.整理后，得2x 2＋y 2＝1，所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．2.课标文数8.B5，H2[2011·北京卷] 已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．12.课标文数8.B5，H2[2011·北京卷] A 【解析】 由已知可得|AB|＝22，要使S △ABC ＝2，则点C 到直线AB 的距离必须为2，设C(x ，x 2)，而l AB ：x ＋y －2＝0，所以有|x ＋x 2－2|2＝2，所以x 2＋x －2＝±2，当x 2＋x －2＝2时，有两个不同的C 点；当x 2＋x －2＝－2时，亦有两个不同的C 点． 因此满足条件的C 点有4个，故应选A.3.课标文数14.H4，H2[2011·湖北卷] 过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．3.课标文数14.H4，H2[2011·湖北卷] 1或177【解析】 由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＋2＝k ()x ＋1.又圆的方程为()x －12＋()y －12＝1，圆心为()1，1，半径为1，所以圆心到直线的距离d ＝||k －1＋k －21＋k 2＝1－⎝⎛⎭⎫222＝22，解得k ＝1或177.4.课标文数12.H2[2011·浙江卷] 若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________.4.课标文数12.H2[2011·浙江卷] 1【解析】 ∵直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0，∴1×2－2×m ＝0，即m ＝1.5.大纲文数11.H3[2011·全国卷] 设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( ) A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．8 25.大纲文数11.H3[2011·全国卷] C 【解析】 由题意知两圆的圆心在直线y ＝x 上，设C 1(a ，a)，C 2(b ，b)，可得(a －4)2＋(a －1)2＝a 2，(b －4)2＋(b －1)2＝b 2，即a ，b 是方程x 2－10x ＋17＝0的两根，a ＋b ＝10，ab ＝17，|C 1C 2|＝－2＝＋2－4ab]＝8，故选C.6.课标文数13.H3[2011·辽宁卷] 已知圆C 经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________．6.课标文数13.H3[2011·辽宁卷] (x －2)2＋y 2＝10 【解析】 设圆心坐标为(x,0)，则有－2＋1＝－2＋9，解得x ＝2.由两点距离得r ＝－2＋1＝10，所以圆的方程为(x －2)2＋y 2＝10.7.课标文数20.H3，H4[2011·课标全国卷] 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上． (1)求圆C 的方程； (2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．7.课标文数20.H3，H4[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)． 故可设C 的圆心为(3，t)，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋－2＝3. 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，其坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，－2＋－2＝9. 消去y ，得到方程 2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0.从而 x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以 2x 1x 2＋a(x 1＋x 2)＋a 2＝0.② 由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.8.大纲文数3.H3[2011·四川卷] 圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3) D ．(2，－3)8.大纲文数3.H3[2011·四川卷] D 【解析】 圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，选D.9.课标文数4.H4[2011·安徽卷] 若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．－39.课标文数4.H4[2011·安徽卷] B 【解析】 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线经过圆的圆心(－1,2)，所以3×(－1)＋2＋a ＝0，得a ＝1.10.课标文数18.H3，H4，H7[2011·福建卷] 如图1－4，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A. (1)求实数b 的值； (2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．10.课标文数18.H3，H4，H7[2011·福建卷] 【解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0.(*)因为直线l 与抛物线C 相切， 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0. 解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0. 解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1， 故点A(2,1)． 因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2. 所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.11.课标文数8.H4[2011·广东卷] 设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆11课标文数8.H4[2011·广东卷] A 【解析】 设圆心C 的坐标C(x ，y)，由题意知y ＞0，则圆C 的半径为y ，由于圆C 与已知圆相外切，则由两圆心距等于半径之和，得x 2＋－2＝1＋y ，整理得：x 2＝8(y －1)，所以轨迹为抛物线．12.课标文数14.H4，H2[2011·湖北卷] 过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．12.课标文数14.H4，H2[2011·湖北卷] 1或177【解析】 由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＋2＝k ()x ＋1.又圆的方程为()x －12＋()y －12＝1，圆心为()1，1，半径为1，所以圆心到直线的距离d ＝||k －1＋k －21＋k 2＝1－⎝⎛⎭⎫222＝22，解得k ＝1或177.13.课标文数15.H4，K3[2011·湖南卷] 已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25.(1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________； (2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________．13.课标文数15.H4，K3[2011·湖南卷] (1)5 (2)16【解析】 (1)圆心到直线的距离为：d ＝||－2532＋42＝5; (2)当圆C 上的点到直线l 的距离是2时有两个点为点B 与点D ，设过这两点的直线方程为4x ＋3y ＋c ＝0，同时可得到的圆心到直线4x ＋3y ＋c ＝0的距离为OC ＝3，又圆的半径为r ＝23，可得∠BOD ＝60°，由图1－2可知点A 在弧BD 上移动，弧长l BD ＝16×c ＝c 6，圆周长c ，故P(A)＝l BD c ＝16.15.大纲文数13.H4[2011·重庆卷] 过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为________．15.大纲文数13.H4[2011·重庆卷] 2x －y ＝0 【解析】 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0配方得(x －1)2＋(y －2)2＝1， ∴该圆半径为1，圆心M(1,2)．∵直线与圆相交所得弦的长为2，即为该圆的直径，∴该直线的方程的斜率k ＝2－01－0＝2，∴该直线的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0.16.课标文数11.H5，H6[2011·福建卷] 设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( ) A.12或32 B.23或2 C.12或2 D.23或3216.课标文数11.H5，H6[2011·福建卷] A 【解析】 设|F 1F 2|＝2c(c>0)，由已知|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，得|PF 1|＝83c ，|PF 2|＝43c ，且|PF 1|>|PF 2|， 若圆锥曲线Γ为椭圆，则2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4c ，离心率e ＝c a ＝12；若圆锥曲线Γ为双曲线，则2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝43c ，离心率e ＝c a ＝32，故选A.17.课标文数4.H5[2011·课标全国卷] 椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( )A.13B.12C.33D.2217.课标文数4.H5[2011·课标全国卷] D 【解析】由题意a ＝4，c 2＝8，∴c ＝22，所以离心率为e ＝c a ＝224＝22.18.课标文数17.H5[2011·陕西卷] 设椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．18.课标文数17.H5[2011·陕西卷] 【解答】 (1)将(0,4)代入椭圆C 的方程得16b 2＝1，∴b ＝4. 又e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5， ∴C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)， 设直线与C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得 x 225＋－225＝1， 即x 2－3x －8＝0.解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412， ∴AB 的中点坐标x ＝x 1＋x 22＝32，y ＝y 1＋y 22＝251＋x 2－6)＝－65即中点为⎝⎛⎭⎫32，－65.2219.课标文数3.H6[2011·安徽卷]解析双曲线方程可化为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，得a ＝2，所以2a ＝4.故实轴长为4.20.课标文数10.H6[2011·北京卷] 已知双曲线x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝________.20.课标文数10.H6[2011·北京卷] 2 【解析】 易知y ＝bx ＝2x ，故b ＝2.21.大纲文数16.H6[2011·全国卷] 已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 29－y 227＝1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为(2,0)，AM 为∠F 1AF 2的平分线，则|AF 2|＝________.21.大纲文数16.H6[2011·全国卷] 6【解析】 根据角平分线的性质，|AF 2||AF 1|＝|MF 2||MF 1|＝12.又|AF 1|－|AF 2|＝6，故|AF 2|＝6.22.课标文数6.H6[2011·湖南卷] 设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．122.课标文数6.H6[2011·湖南卷] C 【解析】 根据双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线的方程得：y ＝±3ax ，即ay±3x ＝0.又已知双曲线的渐近线的方程为3x±2＝0且a>0，故有a ＝2，故选C.23.课标文数12.H6[2011·江西卷] 若双曲线y 216－x 2m＝1的离心率e ＝2，则m ＝________.24.大纲文数14.H6[2011·四川卷] 双曲线x 264－y 236＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4，那么点P 到左准线的距离是________．24.大纲文数14.H6[2011·四川卷] 16 【解析】 本题主要考查双曲线第二定义的应用以及双曲线所体现的几何特性，根据双曲线的定义可知e ＝108＝4d ⇒d ＝165(d 为P 到右准线的距离)，所以P 到左准线的距离为2a 2c ＋d ＝12810＋165＝16.25.大纲文数9.H6[2011·重庆卷] 设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(0，2)B ．(1，2) C.⎝⎛⎭⎫22，1 D ． (2，＋∞)25.大纲文数9.H6[2011·重庆卷] B 【解析】 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则其渐近线方程为y＝±b x ， 准线方程为x ＝－a 2，代入渐近线方程得y ＝±b ·⎝⎛－a 2＝±ab ， 所以圆的半径r ＝ab .易知左焦点到圆心(准线与x 轴的交点)的距离d ＝c －a 2c . 由条件知d ＜r ，即c －a 2c ＜abc，所以c 2－a 2＜ab ，即b 2＜ab ，故b a 1， 于是离心率e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＜2，即e ∈(1，2)．故选B.26.课标文数4.H7[2011·湖北卷] 将两个顶点在抛物线y 2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( )A ．n ＝0B ．n ＝1C ．n ＝2D ．n≥326.解析：不妨设三个顶点分别为A ，B ，F(其中F 为抛物线的焦点)，由抛物线的定义，有A ，B 两点关于x 轴对称，点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0.设A ()m ，2pm ()m>0，则由抛物线的定义得||AF ＝m ＋p 2.又||AB ＝22pm ，||AF ＝||AB ，所以m ＋p 2＝22pm ，整理得m 2－7pm ＋p 24＝0，所以Δ＝()－7p 2－4×p 24＝48p 2>0，所以方程m 2－7pm ＋p 24＝0有两个不同的实根，记为m 1，m 2，则⎩⎪⎨⎪⎧m 1＋m 2＝7p>0，m 1m 2＝p24>0， 所以m 1>0，m 2>0.所以n ＝2.27.课标文数21.H7，H8[2011·湖南卷] 已知平面内一动点P 到点F(1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．27.解答：设动点P 的坐标为(x ，y)，由题意有－2＋y 2－|x|＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x|. 当x≥0时，y 2＝4x ；当x<0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x≥0)和y ＝0(x<0)．(2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ， 则l 1的方程为y ＝k(x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k. 设D(x 3，y 3)，E(x 4，y 4)，则同理可得 x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. 故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →)＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB →＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋⎝⎛⎭⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1 ＝8＋4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2k 2·1k 2＝16. 当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，AD →·EB →取最小值16.28.课标文数19.H7[2011·江西卷] 已知过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且||AB ＝9.(1)求该抛物线的方程； (2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．28.解答：(1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以：x 1＋x 2＝5p4. 由抛物线定义得：|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x.(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)． 设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.29.课标文数7.H7[2011·辽宁卷] 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B ．1 C.54 D.74AB 的中点，MN 垂直准线l 于N ，由于MN 是梯形ABCD 的中位线，所以|MN|＝|AD|＋|BC|2. 由抛物线的定义知|AD|＋|BC|＝|AF|＋|BF|＝3，所以|MN|＝32，又由于准线l 的方程为x ＝－14，所以线段AB 中点到y 轴的距离为32－14＝54，故选C.30.课标文数9.H7[2011·课标全国卷] 已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB|＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( ) A ．18 B ．24 C ．36 D ．4830.解析：设抛物线方程为y 2＝2px(p>0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，A ⎝⎛⎭⎫p 2p ，B ⎝⎛⎭⎫p 2，－p ，所以||AB ＝2p ＝12，所以p ＝6.又点P 到AB 边的距离为p ＝6，所以S △ABP ＝12×12×6＝36.31.课标文数9.H7[2011·山东卷] 设M(x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)31.解析：根据x 2＝8y ，所以F(0,2)，准线y ＝－2，所以F 到准线的距离为4，当以F 为圆心、以|FM|为半径的圆与准线相切时，|MF|＝4，即M 到准线的距离为4，此时y 0＝2，所以显然当以F 为圆心，以||FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交时，y 0∈(2，＋∞)．32.课标文数2.H7[2011·陕西卷] 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x32.解析由题意设抛物线方程为y 2＝2px(p>0)，又∵其准线方程为x ＝－p 2＝－2，∴p ＝4，所求抛物线方程为y 2＝8x.33.大纲文数11.H7[2011·四川卷] 在抛物线y ＝x 2＋ax －5(a≠0)上取横坐标为x 1＝－4，x 2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2＋5y 2＝36相切，则抛物线顶点的坐标为( ) A ．(－2，－9) B ．(0，－5) C ．(2，－9) D ．(1，－6)33.解析：根据题意可知横坐标为－4,2的两点分别为(－4,11－4a)，(2，－1＋2a)，所以该割线的斜率为a －2，由y′＝2x ＋a ＝a －2⇒x ＝－1，即有切点为(－1，－4－a)，所以切线方程为y ＋4＋a ＝(a －2)(x ＋1)⇒(a －2)x －y －6＝0，由切线与圆相切可知6－2＋1＝365⇒a ＝4或a ＝0(舍去)，所以抛物线方程为y ＝x 2＋4x －5＝(x ＋2)2－9，所以抛物线顶点坐标为(－2，－9)．选择A.34.课标文数22.H7[2011·浙江卷] 如图1－8，设P 是抛物线C 1：x 2＝y 上的动点．过点P 做圆C 2：x 2＋(y ＋3)2＝1的两条切线，交直线l ：y ＝－3于A ，B 两点． (1)求圆C 2的圆心M 到抛物线C 1准线的距离；(2)是否存在点P ，使线段AB 被抛物线C 1在点P 处的切线平分？若存在，求出点P 的坐标；若不存在请说明理由．34(1)因为抛物线C 1的准线方程为y ＝－14， 所以圆心M 到抛物线C 1准线的距离为⎪⎪⎪⎪－14－－＝114. (2)设点P 的坐标为(x 0，x 20)，抛物线C 1在点P 处的切线交直线l 于点D ，再设A ，B ，D 的横坐标分别为x A ，x B ，x D ， 过点P(x 0，x 20)的抛物线C 1的切线方程为： y －x 20＝2x 0(x －x 0)．①当x 0＝1时，过点P(1,1)与圆C 2的切线PA 为：y －1＝158(x －1)，可得x A ＝－1715，x B ＝1，x D ＝－1，x A ＋x B ≠2x D .当x 0＝－1时，过点P(－1,1)与圆C 2的切线PB 为：y －1＝－158＋1)． 可得x A ＝－1，x B ＝1715，x D＝1，x A ＋x B ≠2x D .所以x 20－1≠0. 设切线PA ，PB 的斜率为k 1，k 2，则PA ：y －x 20＝k 1(x －x 0)，② PB ：y －x 20＝k 2(x －x 0)．③将y ＝－3分别代入①，②，③得x D ＝x 20－32x 0(x 0≠0)；x A ＝x 0－x 20＋3k 1；x B ＝x 0－x 20＋3k 2(k 1，k 2≠0)． 从而x A ＋x B ＝2x 0－(x 20＋3)⎝⎛⎭⎫1k 11k 2. 又|－x 0k 1＋x 20＋3|k 21＋1＝1， 即(x 20－1)k 21－2(x 20＋3)x 0k 1＋(x 20＋3)2－1＝0.同理，(x 20－1)k 22－2(x 20＋3)x 0k 2＋(x 20＋3)2－1＝0. 所以k 1，k 2是方程(x 20－1)k 2－2(x 20＋3)x 0k ＋(x 20＋3)2－1＝0的两个不相等的根，从而k 1＋k 2＝＋x 200x 20－1，k 1·k 2＝＋x 202－1x 20－1.因为x A ＋x B ＝2x D ，所以2x 0－(3＋x 20)⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2＝x 20－3x 0， 即1k 1＋1k 2＝1x 0.从而＋x 20020＋2－1＝1x 0，进而得x 40＝8，x 0＝±48. 综上所述，存在点P 满足题意，点P 的坐标为(±48，22)．35.课标文数19.H8[2011·北京卷] 已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)． (1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．35.解答：(1)由已知得，c ＝22，c a ＝63. 解得a ＝2 3.又b 2＝a 2－c 2＝4， 所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4. y 0＝x 0＋m ＝m4.因为AB 是等腰△PAB 的底边， 所以PE ⊥AB. 所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1. 解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0. 解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2. 所以|AB|＝3 2.此时，点P(－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322， 所以△PAB 的面积S ＝12|AB|·d ＝92.36.大纲文数22.H8，H10[2011·全国卷] 已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：x 2＋y221在y 轴正半轴上的焦点，过F且斜率为－2的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足OA →＋OB →＋OP →＝0.(1)证明：点P 在C 上；(2)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．36. 解答：(1)证明：F(0,1)，l 的方程为y ＝－2x ＋1，代入x 2＋y 22＝1并化简4x 2－22x －1＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x 3，y 3)，则x 1＝2－64，x 2＝2＋64，x 1＋x 2＝22，y 1＋y 2＝－2(x 1＋x 2)＋2＝1， 由题意得x 3＝－(x 1＋x 2)＝－22，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－1. 所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－22，－1.经验证，点P 的坐标⎝⎛⎭⎫－22，－1满足方程x 2＋y22＝1，故点P 在椭圆C 上．(2)证明：由P ⎝⎛⎭⎫－22，－1和题设知Q ⎝⎛⎭⎫22，1，PQ 的垂直平分线l 1的方程为y ＝－22x.①设AB 的中点为M ，则M ⎝⎛⎭⎫24，12，AB 的垂直平分线l 2的方程为y ＝22x ＋14.② 由①、②得l 1、l 2的交点为N ⎝⎛⎭⎫－28，18.|NP|＝⎝⎛⎭⎫－22＋282＋⎝⎛⎭⎫－1－182＝3118，|AB|＝1＋－22·|x 2－x 1|＝322，|AM|＝324， |MN|＝⎝⎛⎭⎫24＋282＋⎝⎛⎭⎫12－182＝338，|NA|＝|AM|2＋|MN|2＝3118，故|NP|＝|NA|.又|NP|＝|NQ|，|NA|＝|NB|，所以|NA|＝|NP|＝|NB|＝|NQ|， 由此知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心，NA 为半径的圆上．37.课标文数21.H8[2011·辽宁卷]如图1－9，已知椭圆C 1的中点在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e.直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D.(1)设e ＝12，求|BC|与|AD|的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．x 2y 2b 2y 2x 2设直线l ：x ＝t(|t|＜a)，分别与C 1，C 2的方程联立，求得A ⎝⎛⎭⎫t ，a ba 2－t 2，B ⎝⎛⎭⎫t ，b a a 2－t 2. 当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知|BC|∶|AD|＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34.(2)t ＝0时的l 不符合题意．t≠0时，BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即 b a a 2－t 2t ＝a b a 2－t2t －a ，解得t ＝－ab 2a 2－b 2＝－1－e 2e 2·a. 因为|t|＜a ，又0＜e ＜1，所以1－e 2e 2＜1，解得22＜e ＜1. 所以当0＜e≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ； 当22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN.38.课标数学18.H8，H10[2011·江苏卷] 如图1－5，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N分别是椭圆x 24＋y22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P ，A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连结AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k. (1)若直线P A 平分线段MN ，求k 的值；(2)当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (3)对任意的k>0，求证：PA ⊥PB.38.本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．(1)由题设知，a ＝2，b ＝2，故M(－2,0)，N(0，－2)，所以线段MN 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－22.由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，所以k ＝－22－1＝22. (2)直线PA 的方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得x 24＋4x 22＝1，解得x ＝±23因此P ⎝⎛⎭⎫23，43，A ⎝⎛⎭⎫－23，－43. 于是C ⎝⎛⎭⎫23，0，直线AC 的斜率为0＋4323＋23＝1， 故直线AB 的方程为x －y －23＝0. 因此，d ＝⎪⎪⎪⎪23－43－2312＋12＝223(3)解法一：将直线PA 的方程y ＝kx 代入x 24＋y 22＝1，解得x ＝±21＋2k 2 .记μ＝21＋2k 2，则P(μ，μk)，A(－μ，－μk)，于是C(μ，0)，故直线AB 的斜率为0＋μk μ＋μ＝k 2，其方程为y ＝k2(x －μ)，代入椭圆方程得(2＋k 2)x 2－2μk 2x －μ2(3k 2＋2)＝0，解得x ＝2＋2＋k 2或x ＝－μ，因此B ⎝⎛⎭⎫2＋2＋k 2，μk 32＋k 2.于是直线PB 的斜率k 1＝μk32＋k 2－μk 2＋2＋k 2－μ＝k 3－＋k 23k 2＋2－＋k2＝－1k.因此k 1k ＝－1，所以PA ⊥PB. 解法二：设P(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＞0，x 2＞0，x 1≠x 2，A(－x 1，－y 1)，C(x 1,0)，设直线PB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2，因为C 在直线AB 上，所以k 2＝0－－y 1x 1－－x 1＝y 12x 1＝k 2，从而k 1k ＋1＝2k 1k 2＋1＝2·y 2－y 1x 2－x 1·y 2－－y 1x 2－－x 1＋1＝2y 22－2y 21x 22－x 21＋1＝22＋2y 22－21＋2y 21x 22－x 21＝4－4x 22－x 21＝0.因此k 1k ＝－1，所以PA ⊥PB.39.课标文数6.H8[2011·天津卷] 已知双曲线x 2a 2－y 2b21(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( ) A ．2 3 B ．2 5 C ．4 3 D ．4 539.解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±b a x ，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)得－p2＝－2，即p ＝4.又∵p ＋a ＝4，∴a ＝2，将(－2，－1)代入y ＝bx 得b ＝1，∴c ＝a 2＋b 2＝4＋1＝5，∴2c ＝2 5.40.课标文数18.H8[2011·天津卷] 设椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P(a ，b)满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ； (2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN|＝58|AB|，求椭圆的方程．40.解答：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c>0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以－2＋b 2＝2c ，整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＝0，得ca＝－1(舍)，或c a ＝12，所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x－c)．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3－，消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c.得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c.不妨设A ⎝⎛⎭⎫85c ，335c ，B(0，－3c)，所以|AB|＝⎝⎛⎭⎫85c 2＋⎝⎛⎭⎫335c ＋3c 2＝165c.于是|MN|＝58|AB|＝2c.圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c|2＝3|2＋c|2.因为d 2＋⎝⎛⎭⎫|MN|22＝42，所以34(2＋c)2＋c 2＝16，整理得7c 2＋12c －52＝0.得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.41.课标文数9.H8[2011·浙江卷] 已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝241.解析：由双曲线x 2－y 24＝1知渐近线方程为y ＝±2x ，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，∴椭圆方程可化为b 2x 2＋(b 2＋5)y 2＝(b 2＋5)b 2， 联立直线与椭圆方程消y 得，x 2＝2＋25b 2＋20.又∵C 1将线段AB 三等分，∴1＋22×22＋25b 2＋20＝2a 3，解之得b 2＝12.42.课标文数21.H9，H10[2011·湖北卷] 平面内与两定点A 1(－a,0)、A 2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上A 1、A 2两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线． (1)求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系； (2)当m ＝－1时，对应的曲线为C 1，对给定的m ∈(－1,0)∪(0，＋∞)，对应的曲线为C 2.设F 1、F 2是C 2的两个焦点．试问：在C 1上，是否存在点N ，使得△F 1NF 2的面积S ＝|m|a 2.若存在，求tan ∠F 1NF 2的值；若不存在，请说明理由．42.解答：(1)设动点为M ，其坐标为(x ，y)．当x≠±a 时，由条件可得kMA 1·kMA 2＝y x ＋a ·y x －a ＝y 2x 2－a 2＝m.即mx 2－y 2＝ma 2(x≠±a)， 又A 1(－a,0)、A 2(a,0)的坐标满足mx 2－y 2＝ma 2，故依题意，曲线C 的方程为mx 2－y 2＝ma 2.当m<－1时，曲线C 的方程为x 2a 2＋y 2－ma 2＝1，C 是焦点在y 轴上的椭圆；当m ＝－1时，曲线C 的方程为x 2＋y 2＝a 2，C 是圆心在原点的圆；当－1<m<0时，曲线C 的方程为x 2a 2＋y 2－ma 2＝1，C 是焦点在x 轴上的椭圆；当m>0时，曲线C 的方程为x 2a 2－y 2ma2＝1，C 是焦点在x 轴上的双曲线．(2)由(1)知，当m ＝－1时，C 1的方程为x 2＋y 2＝a 2； 当m ∈(－1,0)∪(0，＋∞)时，C 2的两个焦点分别为F 1()－a 1＋m ，0，F 2(a 1＋m ，0)． 对于给定的m ∈(－1,0)∪(0，＋∞)，C 1上存在点N(x 0，y 0)(y 0≠0)使得△F 1NF 2的面积S ＝|m|a 2的充要条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝a 2，y 0≠0， ①12·2a 1＋m|y 0|＝|m|a 2. ②可得NF 1→·NF 2→＝x 20－(1＋m)a 2＋y 20＝－ma 2. 设|NF 1→|＝r 1，|NF 2→|＝r 2，∠F 1NF 2＝θ. 则由NF 1→·NF 2→＝r 1r 2cosθ＝－ma 2，可得r 1r 2＝－ma 2cosθ， 从而S ＝12r 1r 2sinθ＝－ma 2sinθ2cosθ＝－12ma 2tanθ，于是由S ＝|m|a 2， 可得－12ma 2tanθ＝|m|a 2，即tanθ＝－2|m|m.综上可得：当m ∈⎣⎡⎭⎫1－52，0时，在C 1上，存在点N ，使得S ＝|m|a 2，且tan ∠F 1NF 2＝2； 当m ∈⎝⎛⎦⎤0，1＋52时，在C 1上，存在点N ，使得S ＝|m|a 2，且tan ∠F 1NF 2＝－2； 当m ∈⎝⎛⎭⎫－1，1－52∪⎝⎛⎭⎫1＋52，＋∞时，在C 1上，不存在满足条件的点N.43.课标文数21.H10，B9[2011·广东卷]在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－2交x 轴于点A.设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO ＝∠AOP.(1)当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；(2)已知T(1，－1)．设H 是E 上动点，求|HO|＋|HT|的最小值，并给出此时点H 的坐标；(3)过点T(1，－1)且不平行于y 轴的直线l 1与轨迹E 有且只有两个不同的交点．求直线l 1的斜率k 的取值范围． 43.∵MQ 为线段OP 的垂直平分线， ∴∠MPQ ＝∠MOQ. 又∵∠MPQ ＝∠AOP ，∴∠MOQ ＝∠AOP .因此M 在x 轴上，此时，记M 的坐标为(x,0)．为分析M(x,0)中x 的变化范围，设P(－2，a)为l 上任意点(a ∈R )．由|MO|＝|MP|，即|x|＝＋2＋a 2得，x ＝－1－14a 2≤－1.故M(x,0)的轨迹方程为y ＝0，x≤－1. ②综合①和②得，点M 轨迹E 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧＋，x≥－1，0， x<－1.(2)由(1)知，轨迹E 的方程由下面E 1和E 2两部分组成(如图1－3)：E 1：y 2＝4(x ＋1)(x≥－1)； E 2：y ＝0，x<－1.当H ∈E 1时，过T 作垂直于l 的直线，垂足为T′，交E 1于D ⎝⎛⎭⎫－34，－1.再过H 作垂直于l 的直线，交l 于H′.因此，|HO|＝|HH′|(抛物线的性质)∴|HO|＋|HT|＝|HH′|＋|HT|≥|TT′|＝3(该等号仅当H′与T′重合(或H 与D 重合)时取得)． 当H ∈E 2时，则|HO|＋|H T|>|BO|＋|BT|＝1＋5>3.综合可得，|H O|＋|HT|的最小值为3，且此时点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫－34，－1.故x ＝1k (y ＋1)＋1，代入E 1的方程得：y 2－4ky －⎝⎛⎭⎫4k ＋8＝0. 因判别式Δ＝16k 2＋4⎝⎛⎭⎫4k ＋8＝⎝⎛⎭⎫4k ＋22＋28>0， 所以l 1与E 中的E 1有且仅有两个不同的交点．又由E 2和l 1的方程可知，若l 1与E 2有交点，则此交点的坐标为⎝⎛⎭⎫k ＋1k ，0，且k ＋1k <－1.即当－12<k<0时，l 1与E 2有唯一交点⎝⎛⎭⎫k ＋1k ，0，从而l 1与E 有三个不同的交点．因此，直线l 1斜率k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪(0，＋∞)． 44.课标文数15.H10[2011·山东卷] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________________．45.课标文数22.H10[2011·山东卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1.如图1－10所示，斜率为k(k ＞0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝－3于点D(－3，m)．(1)求m 2＋k 2的最小值； (2)若|OG|2＝|OD|·|OE|.①求证：直线l 过定点；②试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时△ABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由．45.解答：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t(k ＞0)，由题意，t ＞0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.由题意Δ＞0，所以3k 2＋1＞t 2.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由韦达定理得x 1＋x 2＝－6kt 3k 2＋1. 所以y 1＋y 2＝2t 3k 2＋1.由于E 为线段AB 的中点．因此x E ＝－3kt 3k 2＋1，y E ＝t 3k 2＋1，此时k OE ＝y E x E ＝－13k. 所以OE 所在直线方程为y ＝－13k x.又由题设知D(－3，m)，令x ＝－3，得m ＝1k即mk ＝1，所以m 2＋k 2≥2mk ＝2， 当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立．此时由Δ＞0得0＜t ＜2.因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2＋k 2取最小值2.(2)①由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－13k x ，将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0，解得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋1，13k 2＋1. 又E ⎝⎛⎭⎫－3kt 3k 2＋1，t 3k 2＋1，D ⎝⎛⎭⎫－3，1k ，由距离公式及t ＞0得|OG|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋12＝9k 2＋13k 2＋1. |OD|＝－2＋⎝⎛⎭⎫1k 2＝9k 2＋1k ，|OE|＝⎝⎛⎭⎫－3kt 3k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫t 3k 2＋12＝t 9k 2＋13k 2＋1.由|OG|2＝|OD|·|OE|得t ＝k. 因此直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)．所以直线l 恒过定点(－1,0)．②由①得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋1，13k 2＋1，若B ，G 关于x 轴对称，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋1，－13k 2＋1. 代入y ＝k(x ＋1)整理得3k 2－1＝k 3k 2＋1，即6k 4－7k 2＋1＝0，解得k 2＝16(舍去)或k 2＝1，所以k ＝1.此时B ⎝⎛⎭⎫－32，－12，G ⎝⎛⎭⎫－32，12关于x 轴对称． 又由(1)得x 1＝0，y 1＝1，所以A(0,1)．由于△ABG 的外接圆的圆心在x 轴上，可设△ABG 的外接圆的圆心为(d,0)．因此d 2＋1＝⎝⎛⎭⎫d ＋322＋14，解得d ＝－12，故△ABG 的外接圆的半径为r ＝d 2＋1＝52. 所以△ABG 的外接圆方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋y 2＝54.46.课标数学14.H10[2011·江苏卷] 设集合A ＝⎩⎨⎧ ，⎪⎪⎭⎬⎫m 2－2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ， B ＝{(x ，y)|2m≤x ＋y≤2m ＋1，x ，y ∈R}, 若A∩B≠∅， 则实数m 的取值范围是________．46.解析：若m<0，则符合题意的条件是：直线x ＋y ＝2m ＋1与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，从而由|2－2m －1|2≤|m|，解之得2－22≤m≤2＋22，矛盾； 若m ＝0，则代入后可知矛盾；若m>0，则当m 2≤m 2，即m≥12时，集合A 表示一个环形区域，且大圆半径不小于12，即直径不小于1，集合B 表示一个带形区域，且两直线间距离为22， 从而当直线x ＋y ＝2m 与x ＋y ＝2m ＋1中至少有一条与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，即可符合题意，从而有|2－2m|2≤|m|或|2－2m －1|2≤|m|，解之得2－22≤m≤2＋2，所以综上所述，实数m 的取值范围是12≤m≤2＋ 2.47.大纲文数21.H10[2011·四川卷] 如图1－8，过点C(0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，椭圆与x 轴交于两点A(a,0)，B(－a,0)．过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q.(1)当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长； (2)当点P 异于点B 时，求证：OP →·OQ →为定值．47. (1)由已知得b ＝1，c a ＝32，解得a ＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.椭圆的右焦点为(3，0)，此时直线l 的方程为y ＝－33x ＋1，代入椭圆方程化简得7x 2－83x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝837，代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝－17， 所以D 点坐标为⎝⎛⎭⎫837，－17.故|CD|＝⎝⎛⎭⎫837－02＋⎝⎛⎭⎫－17－12＝167. (2)当直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1⎝⎛⎭⎫k≠0且k≠12.代入椭圆方程化简得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－8k 4k 2＋1，代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝1－4k 24k 2＋1，所以D 点坐标为⎝⎛⎭⎫－8k 4k 2＋1，1－4k 24k 2＋1. 又直线AC 的方程为x 2＋y ＝1，直线BD 的方程为y ＝1＋2k 2－4k (x ＋2)，联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k ，y ＝2k ＋1.因此Q 点坐标为(－4k,2k ＋1)．又P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1k ，0，所以OP →·OQ →＝⎝⎛⎭⎫－1k 0·(－4k,2k ＋1)＝4.故OP →·OQ →为定值．48.大纲文数21.H10[2011·重庆卷] 如图1－5，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22，一条准线的方程是x ＝2 2. (1)求该椭圆的标准方程； (2)设动点P 满足：OP →＝OM →＋2ON →，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12.问：是否存在定点F ，使得|PF|与点P 到直线l ：x ＝210的距离之比为定值？若存在，求F 的坐标；若不存在，说明理由．48.解答：(1)由e ＝c a ＝22，a 2c ＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆的标准方程为x 24＋y 221. (2)设P(x ，y)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →得(x ，y)＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)，即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.因为点M ，N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2)＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0. 所以x 2＋2y 2＝20.所以P 点是椭圆x 252＋y 2102＝1上的点，该椭圆的右焦点为F(10，0)，离心率e ＝22，直线l ：x ＝210是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点F(10，0)使得|PF|与P 点到直线l 的距离之比为定值．49.2011·重庆模拟已知直线l 过点O(0,0)和点P(2＋3cosα，3sinα)，则直线l 的斜率的最大值为( )A.12B.33C.32D. 350.2011·上海模拟直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( )A ．x －2y ＋3＝0B ．x －2y －3＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝051.[2011·临川一中诊断] 已知直线l 1和l 2的夹角平分线为y ＝x ，如果l 1的方程是ax ＋by ＋c ＝0，那么直线l 2的方程为( )A ．bx ＋ay ＋c ＝0B ．ax －by ＋c ＝0C ．bx ＋ay －c ＝0D ．bx －ay ＋c ＝052.[2011·北京海淀模拟] 已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( )A ．1 B. 3 C. 2 D. 553.[2011·张家界期末] 过点P(4,2)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 的外接圆方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5B ．(x －4)2＋(y －2)2＝20C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝2054[2011·德州一模] 若直线2x －y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则实数a 的取值范围为( ) A ．－2－5<a<－2＋ 5 B ．－2－ 5 ≤a ≤－2＋ 5 C ．－ 5 ≤a ≤ 5 D ．－5<a< 555.[2011·哈尔滨第九中学期末] 若a ，b ，c 是直角△ABC 的三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4截直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所得的弦长为__________．56.[2011·沈阳二中阶段测试] 椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在椭圆上，MF 1→·MF 2→＝0，则M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 357.[2011·南昌三中月考] 过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的左焦点作直线l ⊥x 轴，交椭圆C 于A ，B 两点，若△OAB(O 为坐标原点)是直角三角形，则椭圆C 的离心率e 为( )A.3－12B.3＋12C.5－12D.5＋1258.[2011·朝阳一模] 已知点P(3，－4)是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)渐近线上的一点，E ，F 是左、右两个焦点，若EP →·FP →＝0，则双曲线方程为( ) A. x 23－y 24＝1 B. x 24－y 23＝1 C. x 29－y 216＝1 D. x 216－y 29＝159.[2011·郑州二检] 已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2)60.[2011·湖南十二校联考设抛物线y 2＝4x 上一点P 到直线x ＝－3的距离为5，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．3 67.[2011·西安五名校一模] 已知抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为__________． 68.[2011·揭阳调研] 已知a>b>0，e 1，e 2分别为圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率，则lge 1＋lge 2的值( ) A ．大于0且小于1 B. 大于1 C. 小于0 D. 等于069.[2011·北京西城区一模] 设圆C 的圆心为双曲线x 2a 2－y 22＝1(a>0)的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C 被直线l ：x －3y ＝0截得的弦长等于2，则a 的值为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．370.温州中学月考已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，则此动圆必过定点__________．71.浙江六校不论a 为何值时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过定点P ，则过P 点的抛物线的标准方程为__________．。
高中文科数学解析几何专题(教师版)
一、考点剖析考点一 点、直线、圆的位置关系问题【内容解读】点与直线的位置关系有：点在直线上、直线外两种位置关系，点在直线外时，经常考查点到直线的距离问题；点与圆的位置关系有：点在圆外、圆上、圆外三种；直线与圆的位置关系有：直线与圆相离、相切、相交三点，经常用圆心到直线之间的距离与圆的半径比较来确定位置位置关系；圆与圆的位置关系有：两圆外离、外切、相交、内切、内含五种，一般用两点之间的距离公式求两圆之间的距离，再与两圆的半径之和或差比较。
【命题规律】本节内容一般以选择题或填空题为主，难度不大，属容易题。
例１、原点到直线052=-+y x 的距离为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．5点评：本题直接应用点到直线的公式可求解，属容易题。
例２、圆心为(11)，且与直线4x y +=相切的圆的方程是 ．点评：直线与圆的位置关系问题是经常考查的内容，对于相切问题，经常采用点到直线的距离公式求解。
例３、圆O1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是 ( )(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切点评：两圆的位置关系有五种，通常是求两圆心之间的距离，再与两圆的半径之和或之差来比较，确定位置关系．考点二 直线、圆的方程问题【内容解读】直线方程的解析式有点斜式、斜截式、两点式、.截距式、一般式五种形式，各有特点，根据具体问题，选择不同的解析式来方便求解。
圆的方程有标准式一般式两种；直线与圆的方程问题，经常与其它知识相结合，如直线与圆相切，直线与直线平行、垂直等问题。
【命题规律】直线与圆的方程问题多以选择题与填空题形式出现，属容易题。
例1、经过圆0222=++y x x 的圆心C ，且与直线x+y ＝0垂直的直线方程是（ ）A ．01=+-y x B. 01=--y x C. 01=-+y x D. 01=++y x点评：两直线垂直，斜率之积为－１，利用待定系数法求直线方程，简单、方便。
专题6-解析几何-数学(文科)-全国卷地区专用
[答案] 3x＋y－ 3＝0
[解析] 由点斜式方程得 y－0＝ － 3(x－1)，整理得 3x＋y－ 3＝0.
主干知识
⇒直线方程 关键词：点斜 式如①、一般式．Biblioteka 返回目录第14讲 直线与圆
核 心
体验高考
知 识
2．[2014·福建卷改编] 已知
聚 直线 l 过点(0，3)，且
焦 与直线x＋y＋1＝0平行② ，则 l 的
3．[2013·江西卷] 若圆 C 经过
聚 坐标原点和点(4，0)，且与直线 y＝
焦 1 相切，则 圆C的 方程③ 是______．
主干知识
⇒ 圆的方程 关键词：标准 方程如③、一般方 程．
[答案] (x－2)2＋y＋322＝245 [解析] r2＝4＋(r－1)2，得 r＝52，圆心为2，－23.故圆 C 的方程是(x－2)2＋y＋232＝245.
方程是________．
主干知识
⇒ 两直线平行 与垂直
关键词：平行 关系、垂直关系如 ②.
[答案] x＋y－3＝0
[解析] 由直线 l 与直线 x＋y＋1＝0 平行，可知直线 l 的斜率为－1，又过点(0， 3)，所以直线 l 的方程为 x＋y－3＝0.
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第14讲 直线与圆
核 心
体验高考
知 识
专题六 解析几何
第14讲 直线与圆 第15讲 椭圆、双曲线、抛物线 第16讲 圆锥曲线中的热点问题
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考 点
第14讲 直线与圆
考
向
探
究
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知 识
1．[2014·新课标全国卷Ⅱ改编]
专题 9 解析几何-2020年高考文科数学学科素养与能力突破含答案(教师版)
专题9 解析几何学科思想 分类讨论思想分类讨论思想是根据研究对象本质属性的异同，确定划分标准，进行分类，然后对每一类分别进行求解，并综合得出答案的一种数学思想．例 求经过A （m ，3），B （1，2）两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围． 【解】当m =1时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角α=90°． 当m ≠1时，由斜率公式可得32111k m m -==--，①当m >1时，k =11m -> 0，所以直线的倾斜角的取值范围是：0°<α<90°． ②当m <1时，101k m =<-， 所以直线的倾斜角的取值范围是：90°<α<180°． 【方法与技巧】m 是一参数，m 的不同取值使得斜率有不同的取值范围． 训练题组1．已知椭圆2215x y m+=的离心率e ＝105，则m 的值为（ ） A ．3 B ．3或253 C ．15 D ．15或51532．已知双曲线x 2–y 24＝1，过点A （1，1）的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．过点P （–1，0），Q （0，2）分别作两条互相平行的直线，使它们在x 轴上的截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．4．已知动点P （x ，y ）与两定点M （–1，0），N （1，0）连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）． （1）求动点P 的轨迹C 的方程； （2）讨论轨迹C 的形状． 数形结合思想数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决．例 已知实数x ，y 满足y =x 2–2x +2（–1≤x ≤1），求32y x ++ 的最大值与最小值．【解】32y x ++表示经过定点P （–2，–3）与曲线段AB 上任一点（x ，y ）的直线的斜率k ，如图，则k PA ≤k ≤k PB ，由已知，得A （1，1），B （–1，5），所以314,213PA k --==--358,2(1)PB k --==--- 所以43≤k ≤8，所以32y x ++的最大值是8，最小值是43．【方法与技巧】由题意作图，根据图求出过点P 直线与y =x 2–2x +2（–1≤x ≤1）交点，从而求出最大与最小值． 训练题组5．已知圆C ：（x –3）2＋（y –4）2＝1和两点A （–m ，0），B （m ，0）（m ＞0）．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．46．圆（x –3）2＋（y –3）2＝9上到直线3x ＋4y –11＝0的距离等于1的点有（ ） A ．1个B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．设平面点集()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛--=01),(x y x y y x A ，()(){}111),(22≤-+-=y x y x B ，则A B 所表示的平面图形的面积为（ ）A ．34π B ．35π C ．47π D ．2π8．若直线y =|x |与y =kx +1有两个交点，则k 的取值范围是________．转化归纳的思想研究问题时，将研究对象在一定条件下转化为熟悉的、简单的、基本的研究对象的思维方法称为转化的思想方法．这种思想方法是解析几何中最重要的思想方法，贯穿在解析几何教学的始终．例 已知a ，b 满足a +b =3【解】点（a ，b ）在直线x +y –3=0从而可看作求P （a ，b ）与点A （–5，2）距离的最小值问题，显然A 到直线的距离即为最小值． 因为点A 到直线x +y –3=0的距离为d =．【方法与技巧】将条件与目标函数都赋于几何意义，将问题转化为点到直线的距离． 训练题组9．已知双曲线1169:22=-y x C 的左、右焦点分别为P F F ，21,为双曲线C 的右支上一点，且212F F PF =，则21F PF ∆ 的面积等于（ ） A ．24B ．36C ．48D ．9610．已知圆（x ＋2）2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N （2，0），线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线11．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的顶点()0,5-A 和()0,5C ，顶点B 在双曲线221169x y -=上，则CA Bsin sin sin -为___________．12．已知直线5x –12y –60=0，求x 2+y 2的最小值．函数方程思想函数与方程的在解析几何中的应用就是从问题中的数量关系分析入手，运用数学语言将解析几何问题描述转化为数学模型，然后通过函数特性、图象或解方程、不等式（组）获得问题的解．例 两条平行直线分别过点P （–2，–2）、Q （1，3），它们之间的距离为d ，如果这两条直线各自绕着P 、Q 旋转并且保持互相平行． （1）求d 的变化范围；（2）当d 取最大值时，求两条直线的方程．【解析】（1）设过点P （–2，–2）的直线l 1的方程为：Ax ＋By ＋C 1＝0，过点Q （1，3）的直线l 2的方 程为Ax ＋By ＋C 2＝0，由于点P 、Q 分别在直线上l 1、l 2，得–2A –2B ＋C 1＝0，A ＋3B ＋C 2＝0，两式相减得C 1–C 2＝3A ＋5B ，两直线间的距离为d =，即：2222930250d A AB d B ---()()＋＝． ①当B ≠0时，两直线斜率存在，有229Ad B-()()–30A B ()＋2d –25＝0．由d ＞0及∆≥0得：2223049250d d ----()()()…，从而0＜d ．②当B ＝0时，两直线分别为x ＝–2，与x ＝1，它们间的距离为3，满足上述结论．综上所述，d 的取值范围是（0）．（2）当d 时，k ＝35A B -=- ，对应两条直线分别为l 1：3x ＋5y ＋16＝0，l 2：3x ＋5y –18＝0． 【方法与技巧】设两平行线的一般方程，利用两平行间距离公式得出方程2222930+250d A AB d B ---＝()()，根据方程有意义，求得d 的取值范围．d 的取值就决定了直线斜率k =–AB的值． 训练题组13．能够把圆O ：x 2＋y 2＝9的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f （x ）称为圆O 的“亲和函数”，下列函数不是圆O 的“亲和函数”的是（ ） A ．f （x ）＝4x 3＋x 2B ．f （x ）＝ln 5－x5＋xC ．f （x ）＝e x ＋e －x2D ．f （x ）＝tan x514．设椭圆)>>(=+012222b a b y a x 的离心率e=12，右焦点F （c ，0），方程a x 2+bx –c=0的两个根分别为x 1，x 2，则点P （x 1，x 2）（ ） A ．在圆x 2+y 2=2内 B ．在圆x 2+y 2=2上 C ．在圆x 2+y 2=2外 D ．以上三种情况都有可能15．已知点O 和点F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则•的最大值是 ．16．过点P （0，1）作直线l ，使它被两条已知直线l 1：2x ＋y –8＝0和l 2：x –3y ＋10＝0所截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．参考解析答案1．【答案】B【解析】若焦点在x 轴上，则有⎩⎪⎨⎪⎧5>m ，5－m 5＝105.∴m ＝3．若焦点在y轴上，则有5m >⎧=，∴m＝253． 2．【答案】A【解析】①斜率不存在时，方程为x ＝1满足题意．②当直线斜率存在时，设斜率为k ，y –1＝k （x –1），kx –y –k ＋1＝0．22441x y y kx k ⎧-=⎨=-+⎩，消去y ，整理得（4–k 2）x 2＋（2k 2–2k ）x –k 2＋2k –5＝0． 当4–k 2＝0，k ＝±2时符合；当4–k 2≠0，Δ＝0，亦有一个答案，∴共4条． 3．【解析】（1）当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x =–1，x =0， 它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，符合题意．4．【解析】（1）由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·y x －1＝λ． 整理，得x 2–y 2λ＝1（λ≠0，x ≠±1）．（2）①当λ>0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线（除去顶点）；②当–1<λ<0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆（除去长轴两个端点）； ③当λ＝–1时，轨迹C 为以原点为圆心，1为半径的圆除去点（–1，0），（1，0）； ④当λ<–1时，轨迹C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）． 5．【答案】B【解析】由图可知，圆C 上存在点P 使∠APB ＝90°，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，所以32＋42–1≤m ≤32＋42＋1，即4≤m ≤6．∴m 的最大值为6，故选B ．6．【答案】C【解析】因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．故选C ．7．【答案】D【解析】由题意可知，A B 所表示的平面图形为阴影部分所示，根据对称性可知，其面积等于圆面积的一半，即2．故选D ．8．【答案】–1<k <1【解析】利用数形结合找出直线l 的斜率k 的取值范围．y =|x |的图象是一､二象限角的平分线，直线y =kx +1过定点（0，1），由图象知：–1<k <1． 9．【答案】C【解析】由题意得5,4,3===c b a ，∴)0,5(1-F ，)0,5(2F ∵212F F PF =，∴122PF PF a =+=61016+=，作1PF 边上的高2AF ，则81=AF ，∴6810222=-=AF ，∴12PF F △的面积为4821==AF PF S ．10．【答案】B【解析】点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |，又AM 是圆的半径， ∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |， 由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆． 11．【答案】45故应填45．12所以x 2+y 2可以看成是直线上的动点到原点的距离的平方．原点到直线的距离6013d =，所以x 2+y 2最小值为3 600169．13．【答案】C【解析】若函数f （x ）是圆O 的“亲和函数”，则函数()f x 的图象经过点O 且关于点O 对称．A 中f （x ）＝4x 3＋x 2，B 中f （x ）＝ln 5－x 5＋x ，D 中f （x ）＝tan x 5的图象均过圆心O （0，0），在C 中，f （x ）＝e x ＋e －x2的图象不过圆心，不满足要求，故选C ．14．【答案】A【解析】由题意可得a=2c ，，所以方程ax 2+bx –c=0，即为2x 2–1=0，方程的两根分别为x 1，x 2，所以x 1+x 2=x 1x 2=–12，则2212x x +=（x 1+x 2）2–2x 1x 2=34+1=74<2，故点P （x 1，x 2）在圆x 2+y 2=2内．故选A ．15．【答案】6【解析】由题意，F （–1，0），设点P （x 0，y 0），则有2200143x y +=，解得22003(14x y =-）， 因为001,)FP x y =+（，00,)OP x y =（，所以22200000000(1)(1)3(1344x x OP FP x x y x x x ∙=++=++-=++），此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x =-，因为022x -≤≤，所以当02x =时， •取得最大值222364++=． 16．【解析】由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1．。
高考数学文科 解析几何解答题点拨 教师版
1．在直角坐标系xOy 中，点()11,A x y ，()22,B x y ，则1212OA OB x x y y ⋅=+．2．当,,A O B 不共线的时候，AOB ∠为直角⇔0OA OB ⋅=；AOB ∠为锐角⇔0OA OB ⋅>；AOB ∠为钝角⇔0OA OB ⋅<3．向量()11,OA x y =与()22,0OB x y =≠共线⇔存在λ∈R ，使得OA OB λ=，即1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩．4．若直线过定点()00,P x y ，我们一般设直线方程为()00y y k x x -=-，特殊地，当直线过x 轴上的定点(),0a 时，我们一般设直线方程为x ty a =+，注意此时斜率为0的直线需单独讨论； 5．直线y kx b =+被圆锥曲线所截得的弦AB 的垂直平分线方程为1212122y y x x y x k ++⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，注意垂直平分线的两种关系：垂直，过中点；6．点()00,P x y 在以AB 为直径的圆周上⇔90APB ∠=︒0PA PB ⇔⋅=，以AB 为直径的圆与直线:l y kx b =+相切⇔AB 中点到直线的距离等于AB 长的一半．<教师备案>圆锥曲线综合：这一讲是圆锥曲线的大题综合．众所周知，圆锥曲线一直是高中数学里面的重难点和易错点．圆锥曲线的难点，在于两方面： ⑴ 计算准确性；⑵ 转化的思路，尤其是关键条件的解读与核心条件的转化．相对来说，后者可能更加重要：思路是第一位的，如果解题时没有良好清晰的思路，单纯的认为圆锥曲线只是算，那么很容易陷入盲目计算的误区．下面我们就结合一些比较常见的问题类型来说明圆锥曲线问题中的关键条件解读与转化，这也是本讲的主旨．解析几何的实质，是几何问题的代数化：用代数方法来解决几何问题．那么，拿到一个解析几何题目时候，既要明白题干中的几何条件，怎么转化成代数条件，也要明白代数条件，怎么转化成几何条件．解析几何中的考查问题 平面几何中的度量 涉及到的代数运算 坐标与长度 长度 两点间距离公式；弦长公式； 知识梳理经典精讲知识结构图解析几何 解答题点拨代数运算．实际问题中的考查形式是很多变的，但是牵涉到的平面度量转化实际上非常有限，充其量就是长度、角度、距离三种；例如点P 在以AB 为直径的圆上，实际上就是说PA PB ⊥．考查形式千变万化，但只要抓住其涉及的平面度量，就能抓住问题的实质，明白如何去合理的转化．接下来，我们结合具体的例题来说明这些考查形式是如何进行典型转化的．【备注】本讲难度与计算量偏大，如果班上学生程度较好，本讲可以讲一讲半的时间，下两讲《复数、算法与推理证明》、《概率与统计》相对比较简单，可以压缩一下时间，作个均衡与调整．尖子班学案1【铺1】已知直线:l y kx =+与椭圆22:14x C y +=交于不同的两点A 和B ，O 为坐标原点，若90AOB ∠=︒，则k =________． 【解析】考点：向量处理角度问题【例1】 设A ，B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点1⎛ ⎝⎭在该椭圆上． ⑴ 求椭圆的方程；⑵ 设P 为直线4x =上不同于点(40)，的任意一点，若直线AP 与椭圆相交于异于A 的点M ，证明：MBP △为钝角三角形． 【解析】 ⑴ 椭圆方程为2214x y +=．⑵ 由⑴知：(20)A -，，(20)B ，．依题意知直线PA设直线PA 的方程为：2x ty =-(0)t ≠．则点P 坐标为64,P t ⎛⎫⎪⎝⎭．由22244x ty x y =-⎧⎨+=⎩，消去x 得22(4)40t y ty +-=．所以点M 的纵坐标244M t y t =+， 则222824M M t x ty t -=-=+．所以点M 坐标为22228444t t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，． 从而2216444t BM t t -⎛⎫= ⎪++⎝⎭，，62,BP t ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 所以222322480444BM BP t t t ⋅=-+=-<+++．又,,M B P 三点不共线，所以MBP ∠为钝角． 所以△MBP 为钝角三角形．【点评】 两直线夹角公式的知识点不再作要求以后，涉及到平面几何中的角度问题（包括立体几何也是），解析几何中只有一种工具来处理，这就是利用向量内积的定义：cosa ba bθ⋅=（余弦定理与其等价）．本题中要证明△MBP为钝角三角形，实质上就是要在平面几何中证明某两条边所夹的角为钝角，也就是在解析几何中证明这两条边构成的向量的内积为负．具体是哪两条边可以通过观察法和特殊值法先判断．考点：向量内积的坐标运算【例2】（2012海淀二模文19）已知椭圆C：22221x ya b+=（0a b>>）的右焦点为()1,F，且点1,⎛-⎝⎭在椭圆C上．⑴求椭圆C的标准方程；⑵已知点5,04Q⎛⎫⎪⎝⎭，动直线l过点F，且直线l与椭圆C交于A、B两点，证明：QA QB⋅为定值．【解析】⑴椭圆C的标准方程为2212xy+=．⑵当直线l的斜率为0时，)A，()0B．则5572,0,04416QA QB⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=-⎪ ⎪⎭⎝⎭．当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：1x ty=+，()11,A x y，()22,B x y．由22121xyx ty⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得：22(2)210t y ty++-=．显然0∆>．12222ty yt+=-+，12212y yt=-+所以112212125511,,4444QA QB x y x y ty ty y y⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=--+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()21212111416t y y t y y=+-++2221121(1)24216tt tt t=-+++++22222172(2)1616t tt--+=+=-+．综上：即716QA QB⋅=-为定值．目标班学案1【拓2】（2010崇文二模文19）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，经过点)1P且离心率2e=．过定点(10)C-，的直线与椭圆相交于A，B两点．⑴求椭圆的方程；⑵在x轴上是否存在点M，使MA MB⋅为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】⑴椭圆的方程为22142x y+=．⑵设11()A x y，，22()B x y，，(0)M m，当直线AB斜率不为0时，设直线AB的方程为1x ty=-．22221(2)230142x ty t y ty x y =-⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩， 于是12222t y y t +=+，12232y y t -=+，而11221212()()(1)(1)MA MB x m y x m y ty m ty m y y ⋅=-⋅-=----+，， 22121212(1)()(1)t y y t m y y m y y =-+++++22222232(1)3(1)222t t m m t t t -+-=-++++++ 222(25)3(1)2t m m t ---=+++ 222(25)325(1)2m m m t +-=--+++ 因为MA MB ⋅是与t 无关的常数，所以2(25)30m +-=，即74m =-．即704M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．此时，1516MA MB ⋅=-．当直线AB 斜率为0时，则点A ，B 的坐标分别为()20-，，()20，当74m =-时，亦有1516MA MB ⋅=-．综上，在x 轴上存在定点704M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，使MA MB ⋅为常数．尖子班学案2【铺1】 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个顶点，线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ，且2BF FD =，则C 的离心率为________． 【解析】考点：向量共线问题【例3】 （2012年丰台二模文19）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点1F ，2F 在x轴上，焦距为P 是椭圆上一动点，12PF F △的面积最大值为2． ⑴ 求椭圆的标准方程；⑵ 过点()1,0M 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，交y 轴于点N ，若1NA AM λ=，2NB BM λ=，求证：12λλ+为定值．【解析】 ⑴ 椭圆方程为22142x y +=．⑵ 依题意，直线l 斜率存在，若直线l 的斜率为0，则(20)(20)(00)A B N -，，，，，，于是有12223λλ=-=-，，于是1283λλ+=-．当l 斜率不为0时，设直线方程为l ：1x ty =+(0)t ≠．11(,)A x y ，22(,)B x y则点(1,0)M ，点10,N t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11(1,)AM x y =--，111,NA x y t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且1NA AM λ=，则1111111y t y ty λ+==---， 同理可得2222111y t y ty λ+==---， 所以121212121122y y ty ty ty y λλ++=---=-- 联立222401x y x ty ⎧+-=⎨=+⎩ 消x 得 22(2)230t y ty ++-=．显然0∆>，且12222t y y t -+=+，12232y y t -=+，即121223y y t y y +=．所以12128233t t λλ⎛⎫+=--⋅=- ⎪⎝⎭．综上：即12λλ+为定值83-．考点：相关直线斜率问题【例4】 （2012朝阳一模文19）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为()10F，)20F ，点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．⑴ 求椭圆C 的方程；⑵ 过点(1,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点(3,2)N ，记直线AN ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值．【解析】 ⑴ 椭圆的方程为2213x y +=．⑵ 当直线l 的斜率为0时，得(0)A，0)B ，则122k k +=当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：1x my =+．依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以1212121212212121212222222(1)()833222()4y y y y my y m y y k k x x my my m y y m y y -----++++=+=+=-----++ 把直线方程代入2213x y +=整理化简，得22(3)220m y my ++-=．则1212y y my y +=．（或12223m y y m +=-+，12223y y m -=+直接代入）即21212121222212121222(1)8282244my y m m y y m y y k k m y y m y y m y y -++-++===-+-+ 综上得12k k +为常数2．尖子班学案3【铺1】 （2011昌平二模文19）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为(10)F -，，离心率为，过点F 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点． ⑴ 求椭圆C 的方程；⑵ 设过点F 不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．【解析】 ⑴ 椭圆的方程为2212x y +=．⑵ 点G 横坐标的取值范围为102⎛⎤- ⎥⎝⎦，．考点：中垂线问题【例5】 （2012朝阳二模文19）在平面直角坐标系xOy 中，点E 到两点()110F -，，()210F ，的距离之和为E 的轨迹为曲线C ．⑴ 写出C 的方程；⑵ 设过点()210F ，的斜率为k （0k ≠）的直线l 与曲线C 交于不同的两点M ，N ，点P 在y 轴上，且PM PN =，求点P 纵坐标的取值范围．【解析】 ⑴ C 的方程为2212x y +=．⑵ 点P 纵坐标的取值范围是44⎡-⎢⎣⎦．目标班学案2【拓2】 （2012年西城一模文）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>，一个焦点为(),0F ．⑴ 求椭圆C 的方程； ⑵ 设直线l ：52y kx =-交椭圆C 于A 、B 两点，若点A 、B 都在以点()0,3M 为圆心的圆上，求k 的值．【解析】 ⑴ 椭圆方程为221124x y +=；⑵ k =．尖子班学案4【铺1】 直线1y kx =+与抛物线2y x =交于A 、B 两点，设以AB 为直径的圆为圆C ，则坐标原点O 在_______．（圆C 上，圆C 内还是圆C 外）【解析】 圆C 上考点：位置关系的判断【例6】 （2011朝阳一模文19）已知(2, 0)A -，(2, 0)B 为椭圆C 的左右顶点，(1, 0)F 为其右焦点．⑴ 求椭圆C 的标准方程及离心率；⑵ 过点A 的直线l 与椭圆C 的另一个交点为P （不同于A ，B ），与椭圆在点B 处的切线交于点D ．当直线l 绕点A 转动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．【解析】 ⑴ 椭圆C 的方程为22143x y +=，离心率为12．⑵ 以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：由题意可设直线l 的方程为2x my =-(0)m ≠，则点D 坐标为42m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，BD 中点E 的坐标为22,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭．由222143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得22(34)120m y my +-=．所以点P 的纵坐标为21234P my m =+，设直线PF 方程为1x m y '=+，则222113(34)4124p P p p my x m m m m y y m m---+-'===-=， 所以直线PF 方程为2414m x y m-=+点E 到直线PF的距离22242244m m d m m m +===+． 又因为4BD m =所以12d BD =． 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．【点评】 判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，本质即判断圆心到直线的距离与半径的大小．目标班学案3 【拓2】（2011丰台一模文18）已知椭圆E 的焦点在x 轴上，离心率为12，对称轴为坐标轴，且经过点312⎛⎫⎪⎝⎭，． ⑴ 求椭圆E 的方程；⑵ 直线2y kx =-与椭圆E 相交于A ，B 两点，在OA 上存在一点M ，OB 上存在一点N ，使得12MN AB =，若原点O 在以MN 为直径的圆上，求直线斜率k 的值．【解析】 ⑴ 椭圆的方程为22143x y +=．⑵=k ±【点评】 12MN AB =实际上是说MN 是OAB △的中位线；原点O 在以MN 为直径的圆上实际上是说OM ON ⊥，即OA OB ⊥．这时候如用斜率乘积为1-判断垂直必须讨论斜率不存在的情形，所以用内积为0来判断更加简洁．考点：相交直线过对称点问题【例7】 （2012东城一模文19）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）过点()0,1．⑴ 求椭圆C 的方程；⑵ 1A 、2A 为椭圆C 的左、右顶点，直线l：x =x 轴交于点D ，点P 是椭圆C 上异于1A 、2A 的动点，直线1A P 、2A P 分别交直线l 于E 、F 两点．证明：DE DF ⋅恒为定值．【解析】 ⑴ 椭圆方程为2214x y +=；⑵ 设点()00,P x y，()1E y，()2F y ， 1(2,0)A -，2(2,0)A ，则由点P 在椭圆上有2020144y x =-- 直线1A P ：()0022y y x x =++，2A P ：()0022yy x x =--，∴()01022y y x =+，()02022y y x =-于是20122044y DE DF y y x ⋅=-=--1=为定值．【点评】当椭圆的两条相交弦一个端点重合，另一个端点关于原点对称时，我们的处理办法一般是设交点的坐标，进而通过对称的形式去处理斜率的问题．事实上，如右图，点11(,)A x y ，11(,)B x y --在椭圆22221x y a b+=上，点00(,)P x y 为椭圆上一点（保证直线PA ，PB 斜率存在），即有2211221x y a b +=，① 2200221x y a b+=，②2201010122010101AP BPy y y y y yk kx x x x x x-+-⋅=⋅=-+-，而由②-①得2222010122x x y ya b--+=，即22AP BPbk ka⋅=-．（2010西城一模文18）椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为32，且过(2,0)点．⑴求椭圆C的方程；⑵设直线:l y x m=+与椭圆C交于,A B两点，O为坐标原点，若OAB△为直角三角形，求m的值．【解析】⑴椭圆C的方程为2214xy+=．⑵m的值为2105±和455±．【点评】直角三角形意味着有两条边垂直，具体是哪两条边垂直，一定要分情形讨论，不然会造成漏解．（2008北京文19）已知ABC△的顶点A B，在椭圆2234x y+=上，C在直线2l y x=+：上，且AB l∥．⑴当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及ABC△的面积；⑵当90ABC∠=︒，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．【解析】⑴22AB=．122ABCS AB h∆=⋅=．⑵AB所在直线的方程为1y x=-．【演练1】已知两点(10)A，，(0)B b，，若抛物线24y x=上存在点C使ABC△为等边三角形，则b=_________．【解析】5或13-【演练2】已知F是焦点在x轴上的双曲线C的右焦点，B是虚轴的一个端点，线段BF交C于点D，且3BD DF=，则C的离心率为．【解析】17真题再现实战演练【演练3】已知抛物线2:C y ax =，直线2y x =+交抛物线C 于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点，过M作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ，⑴ 证明：抛物线C 在N 点处的切线l 与AB 平行；⑵ 是否存在实数a ，使得0NA NB ⋅=．若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【解析】 ⑴ 依题意知0a >，由22y x y ax=+⎧⎨=⎩得220ax x --=，设()11A x y ，，()22B x y ， 则121x x a +=，122x x a =-，∴12122N M x x x x a+===对2y ax =求导得2y ax '=，由此知，抛物线C 在点N 处的切线l 的斜率11212k a a=⋅= 因此，抛物线C 在点N 处的切线与直线AB 平行．⑵ 假设存在实数a ，使得0NA NB ⋅=，则NA NB ⊥由M 是线段AB 的中点，∴12MN AB =；由MN x ⊥轴，1222M M y x a =+=+，214N N y ax a==，知11122244MN a a a =+-=+；又∵12AB x x =-= ∴2211182244a a a ⎛⎫⎛⎫+=⨯⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得78a =或18a =-（舍去）∴存在实数78a =，使得0NA NB ⋅=．【演练4】设1F 、2F 分别是椭圆2219x y +=的左、右焦点．⑴ M 是该椭圆上的一个动点，求12MF MF ⋅的最大值和最小值； ⑵ 过定点(02)，的直线l 与椭圆交于不同两点A 、B ，且AOB ∠为钝角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．【解析】 ⑴ 12MF MF ⋅有最小值为7-，有最大值为1．⑵ 直线l 的斜率k 的取值范围k >或k <【演练5】（2012北京房山一模文19）已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的长轴长为()2,1P 在椭圆上，平行于OP （O 为坐标原点）的直线l 交椭圆于,A B 两点，l 在y 轴上的截距为m ．⑴ 求椭圆的方程； ⑵ 求m 的取值范围；⑶ 设直线,PA PB 的斜率分别为1k ，2k ，那么1k +2k 是否为定值，若是求出该定值，若不是请说明理由．【解析】 ⑴椭圆方程为22182x y +=．⑵ m 的取值范围是()()2,00,2-．⑶ 是定值，120k k +=．（2009清华自主招生考试） 已知椭圆22221x y a b +=，过椭圆左顶点(0)A a -，的直线l 与椭圆交于Q ，与y 轴交于R ，过原点与l 平行的直线与椭圆交于P ．求证：AQ 、2OP 、AR 成等比数列．【解析】 由题可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的解析式为()y k x a =+，则R 点为(0)ka ，．联立22221()x y a b y k x a ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 可得：2222232422()20b k a x k a x k a a b +++-=， ∵A x a =-，∴232222Q ab a k x b a k-=+； ∴222222211Q A ab AQ k x x k b a k=+-=++ 联立22221x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 可得：222222P a b x b a k =+． 而21AR k a =+，21p OP k x =+，∴2222222222(1)22(1)Pa b k OP k x AQ AR b a k +=+==⋅+． 大千世界。
高中数学文科专题训练(答案)解析几何专题复习(2)
解析几何专题复习（2）参考答案1.【解析】： (1)依题意，得|MA |＝|MB |.∴动点M 的轨迹E 是以A (1，0)为焦点，直线l ：x ＝－1为准线的抛物线， ∴动点M 的轨迹E 的方程为y 2＝4x .(2)∵P (1，2)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)在抛物线y 2＝4x 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②由①－②得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，∴直线CD 的斜率为k CD ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. ③设直线PC 的斜率为k ，则PD 的斜率为－k ，则直线PC 方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝kx －k ＋2，得ky 2－4y －4k ＋8＝0.由2＋y 1＝4k ，求得y 1＝4k －2， 同理可求得y 2＝－4k －2.∴k CD ＝4y 1＋y 2＝44k －2＋－4k －2＝－1，∴直线CD 的斜率为定值－1 .2.【解析】：(1)因为点()1,0F 在()22136M x y ++=：内，所以圆N 内切于圆M ，则6NM NF FM +=>，由椭圆定义知，圆心N 的轨迹为椭圆，且26,1a c ==，则229,8a b ==，3. 【解析】： (1)∵||MN ＝()x 0－22＋()y 0－02，又∵y 20＝2px 0， ∴||MN 2＝x 20－4x 0＋4＋2px 0＝x 20－2()2－p x 0＋4＝⎣⎡⎦⎤x 0－()2－p 2＋4－()2－p 2.∵x 0≥0，∴当2－p ≤0，即p ≥2时，||MN min ＝2，不符合题意，舍去；当2－p >0，即0<p <2时，||MN min ＝4－()2－p 2＝3，∴()2－p 2＝1，∴p ＝1或p ＝3(舍去)，∴y 2＝2x .(2)由题意可知，k MA ＝y 0－a x 0，∴直线MA 的方程为y ＝y 0－a x 0x ＋a ，即()y 0－a x －x 0y ＋ax 0＝0， ∴1＝⎪⎪⎪⎪()y 0－a ＋ax 0()y 0－a 2＋x 20，∴()y 0－a 2＋x 20＝||y 0－a ＋ax 02，整理得 a 2()x 0－2＋2ay 0－x 0＝0，同理b 2()x 0－2＋2by 0－x 0＝0, ∴a ，b 为方程()x 0－2x 2＋2y 0x －x 0＝0的两根，∴a ＋b ＝－2y 0x 0－2，ab ＝－x 0x 0－2， ∴||a －b ＝()a ＋b 2－4ab ＝2||x 0||x 0－2.∵x 0>2，∴S △MAB ＝12||a －b ·||x 0＝x 20x 0－2＝x 20－4＋4x 0－2＝x 0＋2＋4x 0－2＝x 0－2＋4x 0－2＋4≥8，当且仅当x 0＝4时，取最小值8.。
专题05 解析几何【文科】(解析版)
专题05 解析几何一、单选题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，倾斜角为02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的直线l 经过抛物线的焦点F ，且与抛物线相交于M ，N 两点.若22F N M N F F →→→⋅=-，则sin 2θ=（ ）AB ．13CD【答案】D 【解析】如图所示，过点M ，N 分别作准线的垂线，垂足分别为D ，C ，直线l 与准线交于点E ，由题意可得||2||FM FN →→=， 设||FN x =，则||2FM x =，由抛物线的定义可知，||CN x =，||2MD x =， ||||1||||2CN EN MD EM ==， 所以||3EN x =,在ENC △中，||1cos cos ||3CN ENC EN θ∠===，所以sin θ=则sin 22sin cos θθθ== 故选：D.2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知直线210x y --=的倾斜角为α，则21tan 2tan2αα-=（ ）A ．14-B ．1-C ．14D ．1【答案】D【解析】根据题意，得tan2α=，所以21tan221tantan2aαα-==.故选：D.3.【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知c是双曲线2222:1x yCa b-=(0a>，0b>)的半焦距，离心率为e，则1be c+的最大值是（）ABCD．2【答案】B 【解析】因为c是双曲线2222:1x yCa b-=(0a>，0b>)的半焦距，所以c则1b a be c c++===当且仅当a b=时，等号成立.故选：B.4.【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知点F，A分别为椭圆2222:1x yCa b+=(0a>，0b>)的左焦点左顶点，过原点O的直线l交C于P，Q两点，直线QF交AP于点B，且2QA QP QB+=，若||PF的最小值为4，则椭圆C的标准方程为（）A．22198x yB．2212516x y+=C．2213632x y+=D．2214936x y+=【答案】C【解析】如图，连接OB，AQ，则OB 是PAQ △的中位线， ||||1||||2OB OF AQ FA ∴==，即12c a c =-， 3a c ∴=，又||PF 的最小值为a c -，4a c -=，6a ∴=，2c =，22232b a c =-=.故椭圆C 的标准方程为2213632x y +=.故选：C.5. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知圆22:4O x y +=与x 轴交于,M N 两点，点P 在直线:0l x y +-=上，过圆O 上的任意两点,S T 分别向l 作垂线，垂足为,S T ''，以下说法不正确的是（ ）A ．||||PM PN +的最小值为B ．PM PN ⋅为定值C ．SPT ∠的最大值为3πD ．当ST 为直径时，四边形SS T T ''面积的最大值为16 【答案】B 【解析】设(2,0),(2,0)M N -，则N 关于l 对称的点为2)N '，所以||||PM PN +的最小值为MN '=故A 正确；2()()4PM PN OM OP ON OP OP ⋅=-⋅-=-不是定值，故B 错误；当OP 最小，且当,PS PT 为圆O 的切线时，SPT ∠最大，此时3SPT π∠=，故C 正确；在四边形SS T T ''中，//SS TT ''，且8SS TT ''+=.因此，当S T ''最长，即||4S T ST ''==时面积最大，最大值为16，故D 正确故选：B6. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若过点2F 作渐近线的垂线，垂足为P ，且12F PF △的面积为2b ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．1B ．1CD 【答案】D 【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，则点2(,0)F c 到渐近线b y x a=±的距离2PF b =，在2OPF 中，122222,,||,2F PF OPF PF b OF c OP a S S ab b ======，所以ab =，离心率c e a =故选：D7. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知圆22:1C x y +=，直线:2l x =，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点（ ）A ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．(0,2)C ．(2,1)D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】因为P 为直线l 上的动点，所以可设(2,)P t ， 由题意可得圆心C 的坐标为(0,0)，以线段PC 为直径的圆N 的圆心为1,2⎛⎫⎪⎝⎭t P所以方程为2220x y x ty +--=，两圆方程作差，即得两圆公共弦AB 的方程为210x ty +-=，()210-+=x ty ，所以直线AB 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A. 二、填空题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】对于双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>来说，我们定义圆222x y a +=为它的“伴随圆”.过双曲线22241(0)9x y a a -=>的左焦点1F 作它的伴随圆的一条切线，设切点为T ，且这条切线与双曲线的右支相交于点P .若M 为1PF 的中点，M 在T 右侧，且||||MO MT -为定值12，则该双曲线的离心率为_______.【解析】如图，设2F 为双曲线的右焦点，在1Rt OFT 中，1,||OF c OT a ==，所以1||TF b =，()()21121121111112222MO MT PF MF TF PF PF TF PF PF TF ⎛⎫-=--=--=-+ ⎪⎝⎭3122b a a =-=-=，解得1a =，所以c e a ==2. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支， O 为双曲线的一支的顶点.小明经过测量得知，该双曲线的渐近线相互垂直，且AB 与OC 垂直，80cm,20cm AB OC ==，若该双曲线的焦点位于直线OC 上，则在点O 以下的焦点距点O ______cm .【答案】1) 【解析】解：设该双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>.因为渐近线相互垂直，所以a b =.由题意知，2222(20)401a a b+-=，解得30,a b c ===故该双曲线的一个焦点位于点O以下1)cm . 故答案为：1) 三、解答题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知圆22:(32M x y +=，点Q 是圆M上的一个动点，点(N .若线段QN 的垂直平分线交线段QM 于点T . （1）求动点T 的轨迹曲线C 的方程；（2）设O 是坐标原点，点(2,1)P ，点R （异于原点）是曲线C 内部且位于y 轴上的一个动点，点S 与点R 关于原点对称，直线,PR PS 分别与曲线C 交于A ，B （异于点P ）两点.判断直线AB 是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由.【答案】（1）22182x y +=；（2）过定点，(0,2)-. 【解析】（1）由题意可知，||||||||TM TN TM TQ r MN +=+==>=∣， 所以动点T 的轨迹为以M ，N 两点为焦点的椭圆.设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c，则2,a a c ==由222a b c =+，得b =所以曲线C 的方程为22182x y +=.（2）设直线AB 的方程为()()1122,,,,y kx t A x y B x y =+，由221,82,x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，整理得()222148480k x ktx t +++-=， 则()()()22222(8)4144816820kt k t k t ∆=-+-=-+>，2121222848,4141kt t x x x x k k -+=-=++. 又直线PA 的方程为1111(2)2y y x x --=--， 即1111(2)2kx t y x x +--=--，令0x =，得11(12)22k x ty x --=-.因此点R 的坐标为11(12)20,2k x t x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭，同理可得，22(12)20,2k x t S x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭. 由OS RO =，得1212(12)2(12)2022k x t k x tx x ----+=--，化简得()1212(24)(242)80k x x k t x x t ---+++=，即222488(24)(242)804141t kt k k t t k k -⎛⎫-⨯--+-+= ⎪++⎝⎭， 整理得22420kt k t t +++-=， 即(2)(21)0t k t ++-=.因为(2,1)P 不在直线y kx t =+上，故210k t +-≠，所以20,2t t +==-，此时，由0∆>，得214k >. 因此直线AB 过定点(0,2)-.2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】设抛物线E ：()220y px p =>焦点为F ，准线为l ，A 为E上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 点． （Ⅰ）若60BFD ∠=︒，BFD △p 的值及圆F 的方程； （Ⅰ）若点A 在第一象限，且A 、B 、F 三点在同一直线1l 上，直线1l 与抛物线E 的另一个交点记为C ，且CF FA λ=，求实数λ的值．【答案】（Ⅰ）2p =，圆F 为：()221613x y -+=；（Ⅰ）13λ=． 【解析】解：（Ⅰ）焦点到准线l 的距离为p ，又ⅠBF FD =，60BFD ∠=︒，ⅠBFD △为正三角形．ⅠBF =2p B ⎛- ⎝，Ⅰ21sin 602BFDS BF =︒=△2p ∴=， Ⅰ圆F 为：()221613x y -+=． （Ⅰ）若A 、F 、B 共线，则AF BF DF ==，2BDA π∴∠=Ⅰ12AD AF AB ==，6DBA π∴∠=Ⅰ直线AB 的倾斜角为3π或23π，由对称性可知，设直线l：2px =+，()11,A x y ，()22,C x y ，CF FA λ=，联立()121222221211202p y y y x y y p y y p y y px λλ⎧⎧+=-⋅=+⎪⎪⇒-=⇒⎨⎨⎪⎪⋅=-=-⋅=⎩⎩， Ⅰ()2143λλ-=，231030λλ∴-+=，3λ∴=或13λ=， 又AF BF p =>，12p x >，01λ∴<<，所以13λ=．3. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上，但不在x 轴上，当点P 在C 上运动时，12PF F △的周长为定值6，且当112PF F F ⊥时，132PF =. （1）求C 的方程.（2）若斜率为(0)k k ≠的直线l 交C 于点M ，N ，C 的左顶点为A ，且1,,AM AN k k k -成等差数列，证明：直线l 过定点.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）解：由题意知，22223,2226,,b a a c a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩所以2,1,a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）证明：由题意知，(2,0)A -.设直线:l y kx m =+，与椭圆C 方程联立，得221,43,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩ 整理得()2223484120kxkmx m +++-=.设()()1122,,,M x y N x y ，则12221228,34412,34km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ ()12121212121212432(2)2222242AM AN y y kx m kx m x x k k k m k x x x x x x x x m k +++++=+=+=+-⋅==+++++++-12k-⨯， 所以2k m =.所以:2(21)l y mx m m x =+=+，恒过点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.4. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，M 是椭圆E 上一点，M 关于x 轴的对称点为N ，且14MA NB k k ⋅=． （1）求椭圆E 的离心率；（2）若椭圆E的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，斜率为1的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，在y 轴上存在点R ，使得以线段PQ 为直径的圆经过点R ，且()0RQ RP PQ +⋅=，求直线l 的方程． 【答案】（1（2）1y x =±. 【解析】解：（1）由椭圆E 的方程可得(,0),(,0)A a B a -． 设()00,M x y ，则()00,N x y -， 所以200022000.MA NBy y y k k x a x a x a -⋅=⋅=-+--． 又点()00,M x y 在椭圆E 上，所以2200221x y a b+=，所以22220002221y x a x b a a -=-=，所以220222014MA NBy b k k x a a ⋅=-==-，所以椭圆E的离心率e ． （2）由题意知椭圆E的一个焦点为，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=．设直线l 的方程为()()1122,(0,),,,,y x m R t P x y Q x y =+，线段PQ 的中点为(),S S S x y ，联立221,4,x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2258440x mx m ++-=，则()()2226420441650m m m ∆=--=->，解得25m <，所以21212844,55m m x x x x -+=-=， 所以124,255S S S x x m mx y x m +==-=+=， 所以4,55m m S ⎛⎫-⎪⎝⎭． 由()0RQ RP PQ +⋅=，得RS PQ ⊥，所以511405m t m -⨯=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 解得35mt =-． 又因为以线段PQ 为直径的圆过点R ， 所以PR QR ⊥， 所以12121y t y tx x --⋅=-． 又1122,y x m y x m ==++，代入上式整理得()212122()()0x x m t x x m t +-++-=，即()222244880555m m m -⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1m =±．所以直线l 的方程为1y x =±．。