南昌大学第七届高等数学竞赛(数学专业类)试题答案
第七届全国大学生数学竞赛非数学类决赛试题
第七届全国大学生数学竞赛决赛试题 答案（非数学类） 2016年3月27日一填空题（5×6分=30分）1.程微分方0)(y 3'''''=-y 的通解是解：令p ='y ,则'''y p =，则dx p dp 3=，积分得到1221-c x p -=-，即 ()x c y p -±==1'21，积分得)(2y 12x c c -±=（2,1c 为常数）.2.设D:4122≤+≤y x ，则积分()()dxdy e y x I x D4y 222-+-⎰⎰+=的值是解：)52(22sin e4341420212242-===⎰⎰⎰--e du ue erdr e r d I u r ππθθπ（对称性和极坐标）.()ds s f x t⎰=03.设()t f 二阶连续可导，且()t f 0≠，若()t f y = ， 则______22=dxyd 解：()dt t f dx =，()dt t f dy'=，所以()()t f t f dx 'dy =，则得 ()()()()()()t f t f t f t f dx dt t f t f dt d dx y d 32''''22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 4.设1λ，2λ，…，n λ是n 阶方阵A 的特征值，()x f 为多项式，则矩阵()A f 的行列式的值为 解：()()()()nf f f A f λλλΛ21=5.极限[])!sin(lim e n n n π∞→的值为解：()()⎪⎭⎫⎝⎛++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=111!11!11!1!2111!!n o n a n o n n n e n n ππππΛΘ，n a 为整数，所以结果ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∞→)11(1sin lim n o n n n 。
高数竞赛练习题答案（函数、极限、连续）
高数竞赛练习题答案（函数、极限、连续）第一篇：高数竞赛练习题答案(函数、极限、连续)函数、极限、连续1.f(x),g(x)∈C[a,b]，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明：(1)∃η∈(a,b),使f(η)=g(η)(2)∃ξ∈(a,b),使f''(ξ)=g''(ξ)证明：设f(x),g(x)分别在x=c,x=d处取得最大值M，不妨设c≤d(此时a<c≤d<b)，作辅助函数F(x)=f(x)-g(x),往证∃ξ∈(a,b),使F''(ξ)=0令F(x)=f(x)-g(x),则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)二阶可导，且F(a)=F(b)=0，① 当c<d，由于F(c)=f(c)-g(c)=M-g(c)≥0F(d)=f(d)-g(d)=f(d)-M≤0由“闭.连.”零点定理，∃η∈[c,d]⊂(a,b),使f(η)=g(η)② 当c=d，由于F(c)=f(c)-g(c)=f(c)-g(d)=M-M=0即∃η∈(a,b),使f(η)=g(η) 对F(x)分别在[a,η],[η,b]上用罗尔定理，∃ξ1∈(a,η),ξ2∈(η,b)，使在[ξ1,ξ2]上对F(x)在用罗尔定理，F'(ξ1)=F'(ξ2)=0，∃ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(a,b)，使F''(ξ)=0，∃ξ∈(a,b),使f''(ξ)=g''(ξ).2.设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn,n=1,2,Λxn存在，并求该极限(1)证明limn→∞xn+1x1n(2)计算lim()n→∞xn分析：(1)确定{xn}为单调减少有下界即可1xn，用洛必达法则.(2)利用(1)确定的limn→∞解：易得0<xn≤1(n=2,3,Λ)，所以xn+1=sinxn<xn,n=(2,3,Λ)，即{xn}为xn存在，并记为limxn=a,则a∈[0,1]，单调减少有下界的数列，所以 lim n→∞n→∞对等式xn+1=sinxn<xn,两边令n→∞取极限，得a=sina,a∈[0,1]，所以a=0,即limxn=0.n→∞lim((2)n→∞xn+1sinxn)=lim()n→∞xnxn2xn2xn令t=xn=lim（t→0sint)=et→0ttlimln()tt2由于limt→0tln(sin)ttsintln[1+(sin-1)]-1-1t2sint-t洛cost-11tt2=lim=lim=lim=lim=lim=- t→0t→0t→0t→0t→03t2t2t2t33t26 xn+1xn-1所以lim()=e.n→∞xn3.已知f(x)在[0,1]连续，在(0,1)可导，且f(0)=0,f(1)=1，证明：(1)∃ξ∈(0,1),使f(ξ)=1-ξ，(2)存在两个不同点η,ζ∈(0,1),使f'(η)f'(ζ)=1证：(1)令F(x)=f(x)+x-1，则F(x)在[0,1]上连续，且F(0)=-1<0,F(1)=1>0，由“闭.连.”零点定理，∃ξ∈(0,1),使F(ξ)=0,即f(ξ)=1-ξ(2)f(x)在[0,ξ],[ξ,1]上都满足拉格朗日中值定理，所以∃η∈(0,ξ),ζ∈(ξ,1)，使f(ξ)-f(0)=f'(η)(ξ-0),f(1)-f(ξ)=f'(ζ)(1-ξ)，即f'(η)=f'(ζ)=f(ξ)ξ=1-ξξ1-f(ξ)1-(1-ξ)ξ==1-ξ1-ξ1-ξ∴f'(η)f'(ζ)=1-ξξ⋅ξ1-ξ=14.设方程xn+nx-1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一的正α实根xn，并证明当α>1时，级数∑xn收敛.n=1∞证：令f(x)=xn+nx-1,则f(x)在(0,+∞)上连续，且f(0)=-1<0,f()=()n>0nn所以由连续函数的零点定理，所给方程在(0,)内有根，又由f'(x)=n(xn-1+1)>0,即f(x)在(0,)内单调递增，所以所给方程(0,)内只有唯一的根，在(，∞)上无根，即所给方程存在唯一的正实根xn.α<由上述知，对n=1,2,Λ，有0<xn<,有0<xn∞1n1n1n1n1n1，nα此外，由α>1知，级数∑收敛，所以由正项级数比较审敛法，知αn=1n∑xα收敛.nn=1∞5.求lim(cosx)x→01ln(1+x)x→0ln(1+x)解：lim(cosx)x→01ln(1+x)=elimlncosx，其中limln(1+xx→0lncosx)=limx→0ln[1+(cosx-1)]ln(1+x)=limx→0-x22x=-(cosx)所以，limx→0ln(1+x)=e-6.f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)≠0,f'(0)≠0,若af(h)+bf(2h)-f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值.解1：（利用导数定义）0=limaf(h)+bf(2h)-f(0)af(h)-af(0)+af(0)+bf(2h)-bf(0)+bf(0)-f(0)=limh→0h→0hhaf(h)-af(0)bf(2h)-bf(0)[(a+b)-1]f(0)[(a+b)-1]f(0)=l im+lim+lim=(a+b)f'(0)+limh→0h→0h→0h→0hhhh⎧a+b=1'由f(0)≠0,f(0)≠0,得⎨,即a=2,b=-1a+2b=0⎩解2：按解1，只要假定f(x)在x=0处可导即可，但在题中“f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数”的假定下，有以下解法：由lim h→0h→0af(h)+bf(2h)-f(0)=0得 limaf(h)+bf(2h)-f(0)=0h→0h即0=limaf(h)+bf(2h)-f(0)=(a+b-1)f(0)，由f(0)≠0,得a+b=1（1）af(h)+bf(2h)-f(0)洛=limaf'(h)+2bf'(2h)=(a+2b)f'(0)且f'(0)≠0,又由0=limh→0h→0h所以 a+2b=0（2）由（1）、（2）得a=2,b=-1.⎛2+esinx⎫⎪.7.求lim 4+x→0x⎪⎝1+e⎭解：⎛2e-+e-sinx⎫⎛2+esinx⎫⎪=1⎪=lim lim+4+4++-x→0x→0 x⎪x⎪⎝1+e⎭⎝e+1⎭⎛2+esinx⎫⎛2+esinx⎫ ⎪⎪=1 lim=lim4+4---⎪x→0x⎭x→0⎝1+ex⎪⎝1+e⎭所以原式 = 18.求limx→0143+x+-x-2.2x解1：（泰勒公式）因+x+-x-2=[1+1111x-x2+o(x2)]+[1-x-x2+o(x2)]-22828(x→0)=-x2+o(x2)~-x2所以1-x2+x+-x-2=-1lim=limx→0x→0x2x24解2：（洛必达法则）-+x+-x-2洛必达lim=limx→0x→0x22x1-x-+x1⋅lim=lim x→0+x-x4x→0x1-2x1=lim.=-4x→0x(-x++x)4第二篇：高数课件-函数极限和连续一、函数极限和连续自测题1,是非题（1）无界变量不一定是无穷大量（）（2）若limf(x)=a，则f(x)在x0处必有定义（）x→x012x（3）极限lim2sinx=limx=0（）x→+∞x→+∞33x2，选择题（1）当x→0时，无穷小量1+x-1-x是x的（）A．等价无穷小B.同阶但不等价C.高阶无穷小D.低价无穷小⎧x+1-1x≠0⎪（2）设函数f(x)=⎨，则x=0是f(x)的（）x⎪0x=0⎩A.可去间断点 B.无穷间断点C 连续点D 跳跃间断点⎧exx<0（3）设函数f(x)=⎨，要使f(x)在x0处连续，则a=（）⎩a+xx≥0A.2B 1C 0D -13n2-5n+1=（）（4）lim2n→∞6n+3n-2A 151B -C -D ∞ 2321⎧xsinx<0⎪⎪x(5)设f(x)=⎨，则在x=0处f(x) （）⎪1sinx-1x>0⎪⎩xA 有定义B 有极限C 连续D左连续3(6)x=1是函数y=x-1的（）x-1A 可去间断点B 无穷间断点C 连续D跳跃间断点3.求下列极限（1）limx→∞x+sinxsin(-2x)x+2-3（2）lim（3）limx→0x→12xln(1+2x)x-1e-2x-1（4）lim（5）limn[ln(1+n)-lnn]（6）lim(sinn+1-sinn)n→∞n→∞x→0x2x+3x+2(sinx3)tanx2lim()(7)lim (8)（9）limx(x+1-x)x→∞2x+1x→01-cosx2x→∞cosx-cosaarctanxex-ex0（10）lim(11)lim（12）limx→ax→∞x→x0x-xx-ax0x2+32x2+1sin(x-1))（13）lim（14）lim(2x→∞x→1x-1x+24，求满足下列条件的a,b的值1x2+x+a=b（2）lim(3x-ax2-x+1)=（1）limx→+∞x→26x-2⎧tanaxx<0ax+b⎪=2(4)已知f(x)=⎨x（3）lim且limf(x)存在x→0x→1x-2⎪x+2x≥0⎩x<-1⎧-2⎪2（5）已知f(x)=⎨x+ax+b-1≤x≤1在(-∞,+∞)内连续⎪2x≥1⎩⎧sin2x+e2ax-1x≠0⎪(6)函数f(x)=⎨在x=0点连续x⎪ax=0⎩5．求下列函数的间断点并判断其类型⎧x-1x≤11-cosxx2-1（1）y=2（2）y=⎨（3）f(x)=sinxx-3x+2⎩3-xx>1⎧1x>0x⎪（4）f(x)=⎨ex-1（5）y=tanx⎪⎩ln(1+x)-1<x≤026.已知x→-1时，x+ax+5x+1是同阶无穷小，求a7.证明方程x-4x+2=0在区间(1,2)内至少有一个根8.当x→0时，e+ln(1-x)-1与x是同阶无穷小，求n 9.设函数f(x)=a,(a>0,a≠1)，求limxxn41ln[f(1)f(2)K f(n)]n→∞n2第三篇：高数极限和连续第二章极限和连续【字体：大中小】【打印】2.1 数列极限一、概念的引入（割圆术）“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽正六边形的面积A正十二边形的面积A2n-1正6×2形的面积AnA1，A2，A3，…，An，…→…S二、数列的定义定义:按自然数1，2，3...编号依次排列的一列数x1，x2，...，xn， (1)称为无穷数列，简称数列。
高等数学竞赛试题含答案
高等数学竞赛试题一、选择题1.设n n n y z x ≤≤，且0)(lim =-∞→n n n x y ，则n n z ∞→lim （C ）(A)存在且等于零;(B)存在但不一定等于零；(C)不一定存在；(D)一定不存在.2.设)(x f 是连续函数，)()(x f x F 是的原函数，则（A ）(A)当)(x f 为奇函数时,)(x F 必为偶函数；(B)当)(x f 为偶函数时,)(x F 必为奇函数；(C)当)(x f 为周期函数时,)(x F 必为周期函数；(D)当)(x f 为单调增函数时,)(x F 必为单调增函数.3.设0>a ，)(x f 在),(a a -内恒有2|)(|0)("x x f x f ≤>且，记⎰-=a adx x f I )(，则有（B ）(A)0=I ;(B)0>I ;(C)0<I ;(D)不确定.4.设)(x f 有连续导数，且0)0(',0)0(≠=f f ，⎰-=x dt t f t x x F 022)()()(，当0→x 时，kx x F 与)('是同阶无穷小，则=k （B ）(A)4；(B)3；(C)2；(D)1.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x yx y x f ，则),(y x f 在点)0,0(（D）(A)不连续；(B)连续但偏导数不存在；(C)可微；(D)连续且偏导数存在但不可微.6.设k j b j i a+-=+=2,，则以向量a、b为边的平行四边形的对角线的长度为（A ）(A)11,3；(B)3,11；(C)10,3；(D)11,2.7.设21L L 与是包含原点在内的两条同向闭曲线，12L L 在的内部，若已知2222L xdx ydykx y +=+⎰ （k 为常数），则有1222L xdx ydyx y ++⎰（D）(A)等于k ；(B)等于k -；(C)大于k ；(D)不一定等于k ，与L 2的形状有关.8.设∑∞=0n nn x a 在1=x 处收敛，则∑∞=-+0)1(1n n nx n a 在0=x 处（D ）二、设)(1lim)(2212N n x bxax x x f n n n ∈+++=-∞→，试确定a 、b 的值，使与)(lim 1x f x →)(lim 1x f x -→都存在.解：当||1x <时，221lim lim 0n n n n x x -→∞→∞==，故2()f x ax bx =+；当||1x >时，1()f x x=112111,1,lim ()1,lim (),1(),11,1,1,lim (),lim ()1,1x x x x x f x f x a b a b x f x ax bx x x f x a b f x a b x -+-+→-→-→→⎧<-=-=--=⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪>=+=+=⎪⎩0a =，1b =。
第七届全国大学生数学竞赛江西赛区获奖名单(数学)
2015年第七届江西师范大学数学竞赛签到表 罗文娟 李祁 邓越 缪飞虎 曹端良 林佳欢 谭海燕 周丹丹 付永宾 刘强 刘彩凤 薛文东 胡潇玲 余远添 姜雨欣 程伟 陈耀 赵刚 陈文轩 李轩 刘俊 王恩平 朱浩然 储哲 李丁 梁凯 万子文 刘常峰 唐仁英 张慧玲 女 男 女 男 男 女 女 女 男 男 女 男 女 男 女 男 男 男 男 男 男 女 男 男 女 男 男 男 女 女 江西省 江西省 江西省 江西省 江西省 江西省 江西省 江西省 江西省 江西省 江西省 江西省 江西省 江西省 江西省 江西省 江西省 江西省 江西省 江西省 江西省 江西省 江西省 江西省 江西省 江西省 江西省 江西省 江西省 江西省 赣南师范学院 华东交通大学 江西科技师范大学 江西科技师范大学 江西理工大学 江西理工大学 江西理工大学 江西理工大学 江西理工大学 江西理工大学 江西师范大学 江西师范大学 江西师范大学 江西师范大学 江西师范大学 江西师范大学科学技术学院 江西师范大学科学技术学院 井冈山大学 南昌大学 南昌大学 南昌大学 南昌大学 南昌大学 南昌大学 南昌大学 南昌大学 南昌大学 上饶师范学院 上饶师范学院 新余学院
第七届全国大学生数学竞赛真题及答案(数学类专业答案)
于L1和L2。
......(4分)
设X −X−→Y
= =
−PP→Q+−svsv∈+Lt1w和垂Y直=于Qv+和tww
∈ L2 也使得XY ，故有 −s + (v
同时垂直于L1和L2，则有 · w)t = 0 和 −s(v · w) + t
=
0
。由于(v · w)2 < 1 ，我们得到s = t = 0 , 即X = P ，Y = Q，这样的P 和Q存在且唯
由 (1) 可得
(1 + a + · · · + an−1)M.
|gn(x)|
x
|f (x)| + |h(t)| |gn−1(t)| dt
0
+∞
M+
|h(t)|(1 + a + · · · + an−1)M dt
0
= M + a(1 + a + · · · + an−1)M
= (1 + a + · · · + an−1 + an)M.
+ λ32 + λ42
+ +
λ33 λ43
+ +
λ34 λ44
= =
3 · · · · · · · · · · · · (3) 4 · · · · · · · · · · · · (4)
由（1）和（2）得
......(10分)
a2
=
λ1λ2
+
λ1λ3
+
λ1λ4
+
λ2λ3
第七届全国大学生数学竞赛决赛试题答案(非数学类)2016年3月27日
第七届全国大学生数学竞赛决赛试题 答案（非数学类） 2016年3月27日一填空题（5×6分=30分）1.程微分方0)(y 3'''''=-y 的通解是_______解：令p ='y ,则'''y p =，则dx p dp 3=，积分得到1221-c x p -=-，即 ()x c y p -±==1'21，积分得)(2y 12x c c -±=（2,1c 为常数）.2.设D:4122≤+≤y x ，则积分()()dxdy e y x I x D4y 222-+-⎰⎰+=的值是_______解：)52(22sin e4341420212242-===⎰⎰⎰--e du ue erdr e r d I u r ππθθπ（对称性和极坐标）.()ds s f x t⎰=03.设()t f 二阶连续可导，且()t f 0≠，若()t f y = ， 则______22=dxyd 解：()dt t f dx =，()dt t f dy'=，所以()()t f t f dx 'dy =，则得 ()()()()()()t f t f t f t f dx dt t f t f dt d dx y d 32''''22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 4.设1λ，2λ，…，n λ是n 阶方阵A 的特征值，()x f 为多项式，则矩阵()A f 的行列式的值为_______ 解：()()()()nf f f A f λλλ 21=5.极限[])!sin(lim e n n n π∞→的值为________解：()()⎪⎭⎫⎝⎛++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=111!11!11!1!2111!!n o n a n o n n n e n n ππππ ，n a 为整数，所以结果ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∞→)11(1sin lim n o n n n 。
高等数学竞赛试题含答案
高等数学竞赛试题一、求由方程032=-+xy y x所确定的函数()x y y =在()+∞,0内的极值，并判断是极大值还是极小值. 解：对032=-+xy y x两边求导得()2230x y y y xy ''+-+=，223y xy y x-'=- 令0y '=得2yx =，代入原方程解得11,84x y ==.()()()()()2111122,,,08484232613x y x y y y y x y x yy y yx '=====''-----''=-.故当18x =时，y 取极大值14.二、设xyyx u -+=1arctan ，求x u ∂∂, 22x u ∂∂.解：()()2211111xy yy x xy xy y x xu-++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=∂∂=211x+, 22x u ∂∂=()2212x x +-三、计算曲线积分⎰+-=Lyx ydxxdy I224，其中L 是以点（1，0）为中心，R 为半径的圆周,0>R 1≠R ,取逆时针方向.解：()224,yx yy x P +-=, ()224,y x x y x Q +=, 当()()0,0,≠y x 时,()x Qyx x y y P ∂∂=+-=∂∂2222244， 当10<<R 时()D ∉0,0,由格林公式知,0=I .当1>R 时, ()D ∈0,0,作足够小的椭圆曲线⎪⎩⎪⎨⎧==θεθεsin cos 2:y x C ,θ从0到π2.当>ε充分小时,C 取逆时针方向,使D C ⊂,于是由格林公式得0422=+-⎰-+CL yx ydxxdy ， 因此⎰+-L y x ydx xdy 224⎰+-=C yx ydxxdy 224 =θεεπd ⎰202221 =π 四、设函数()x f 在()+∞,0内具有连续的导数，且满足()()()422222t dxdy y xfy x t f D+++=⎰⎰，其中D 是由222t y x =+所围成的闭区域，求当x ∈()+∞,0时()x f 的表达式.解：()()22402tf t d r f r rdr t πθ=+⎰⎰=()3404tr f r dr t π+⎰,两边对t 求导得()()3344f t t f t t π'=+，且()00f =，这是一个一阶线性微分方程，解得()()411t f t e ππ=-五、设dx x x a n n⎰=πsin ，求级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111n n na a 的和.解：令t n x -=π, 则()dt t t n a n n ⎰-=ππ0sin=n n a dt t n -⎰ππ0sin .sin 2n nn a t dt ππ=⎰2220sin sin 22n n t dt tdt n πππππ===⎰⎰.⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+1111111n n a a n n π.1n n k S =⎛⎫=-∑=n k =111n ⎫-⎪+⎭, =S 111n n ⎫-=⎪+⎭六、设()f x 在[)+∞,0上连续且单调增加，试证：对任意正数a ，b ，恒有()()()[]⎰⎰⎰-≥ba ba dx x f a dx x fb dx x xf 0021. 解：令()()0xF x x f t dt =⎰，则()()()0xF x f t dt xf x '=+⎰,()()()ba Fb F a F x dx '-=⎰=()()0bx a f t dt xf x dx ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()ba xf x xf x dx ≤⎡+⎤⎣⎦⎰ =()2baxf x dx ⎰,于是()()()()()001122bba axf x dx F b F a b f x dx a f x dx ⎡⎤≥⎡-⎤=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰. 七、设()v u ,ϕ具有连续偏导数，由方程()bz y az x --,ϕ=0确定隐函数()y x z z ,=，求yzb x z a ∂∂+∂∂. 解：两边对x 求偏导得1210z z a b x x ϕϕ∂∂⎛⎫⎛⎫''-+-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭g g ,两边对y 求偏导得1210z z ab y y ϕϕ⎛⎫⎛⎫∂∂''-+-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭g g , 112z x a b ϕϕϕ'∂=∂''+，212z x a b ϕϕϕ'∂=∂''+, yz b x z a ∂∂+∂∂=1.八、设nn x n121112----=Λ，判别数列{}n x 的敛散性.解：定义00x =，令1k k k u x x -=-，则1nk n k u x ==∑,当2n ≥时，1n n n u x x -=-=-,()21-==+.1lim 14n n u →∞=,由1n ∞=1n n u ∞=∑收敛，从而{}n x 收敛. 九、设半径为r 的球面∑的球心在球面0∑：()22220xy z R R ++=>上，问当r 为何值时，球面∑在球面0∑内部的那部分面积最大？解：由对称性可设∑的方程为()2222xy z R r ++-=，球面∑被球面0∑所割部分的方程为zR =z x ∂=∂, z x ∂=∂,=球面∑与球面0∑的交线在xoy 平面的投影曲线方程为422224r x y r R +=-，令l =所求曲面面积为()200l DSr d πθρ==⎰⎰,=222r r r R π⎛⎫- ⎪⎝⎭.令()0S r '=得驻点43r R =,容易判断当43rR =时，球面∑在球面0∑内部的那部分面积最大. 十.计算()ds yx y x IL⎰+-+=22221，其中曲线弧L 为：x y x 222=+，0≥y . 解： 22x x y-=, (1) 221xx x y --=',ds ==， (2)将(1)、(2)代入()ds y x y x IL⎰+-+=22221得 dx x x xI 220212-=⎰ =dx x⎰-2212 =4. 十一.计算曲面积分()3322231Ix dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑是曲面221y x z --=被平面0=z 所截出部分的上侧.解：记1∑为xoy 平面上被园221x y +=所围成的部分的下侧，Ω为由∑与0∑围成的空间闭区域.由高斯公式知()()13322222316x dydz y dzdx z dxdy x y z dv ∑∑Ω+++-=++⎰⎰⎰⎰⎰Ò =()221126r d dr z r rdz πθ-+⎰⎰⎰=()()122320112112r r r r dr π⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦⎰ =2π.()221332122313x y x dydz y dzdx z dxdy dxdy ∑+≤++-=--⎰⎰⎰⎰=3π23I πππ=-=-。
南昌大学第七届高等数学竞赛医学类试题及答案
序号： 专业：
姓名： 学号：
学院: 考试日期：2010 年 10 月 10 日
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 题分 15 15 6 6 7 7 8 7 7 7 8 得分
十二 总分 7 100
累分人
签名
注: 本卷共七页, 十二个大题,考试时间为 8:30——11:30. 三、 填空题
__________________________________________________
得分 评阅人
三 、（ 本 题 满 分 6 分 ） 设 f (x) 在 点 x0 处 可 导 ， h 0, k 0 ， 求
lim
h0
f
( x0
h) f hk
( x0
k)
.
k 0
得分 评阅人
四、（本题满分 6 分）设 f (x)
1
七、（本题满分
8
分）求极限
lim
x
2x
x
1
x
.
得分 评阅人
y
八、（本题满分 7 分）求三元函数 u x z 的偏导数。
5__________________________________________________
__________________________________________________
8
7 100
签名
得分
注: 本卷共七页, 十二个大题,考试时间为 8:30——11:30. 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)
得分 评阅人
1、
lim
x0
sin x 1
1
大学数学竞赛试题及答案非数学类
大学数学竞赛试题及答案非数学类大学数学竞赛试题及答案（非数学类专业）一、选择题（每题2分，共10分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求\( f(2) \)的值。
A. -1B. 1C. 3D. 52. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π3. 以下哪个是等差数列1, 4, 7, ...的第10项？A. 27B. 28C. 29D. 304. 已知\( \sin(\theta) = \frac{3}{5} \)，求\( \cos(\theta) \)的值（假设\( \theta \)在第一象限）。
A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. 05. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，求斜边的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 8答案：1. B2. B3. A4. A5. A二、填空题（每题3分，共15分）6. 圆的周长公式是 \( C = \) ________ 。
7. 已知\( a \)和\( b \)是两个正整数，且\( a > b \)，若\( a \)和\( b \)的最大公约数是3，最小公倍数是90，则\( a \)和\( b \)的值分别是________ 和 ________ 。
8. 已知\( \log_{10}100 = 2 \)，求\( \log_{10}1000 \)的值是________ 。
9. 将\( 0.\overline{3} \)（即0.333...）转换为分数形式是________ 。
10. 一个等比数列的首项是2，公比是3，求第5项的值是________ 。
答案：6. \( 2\pi r \)7. 15, 68. 39. \( \frac{1}{3} \)10. 162三、解答题（每题10分，共20分）11. 证明：对于任意实数\( a \)和\( b \)，不等式\( a^2 + b^2\geq 2ab \)总是成立。
南昌大学第七届高等数学竞赛(数学专业类)试题答案
序号：姓名：____学院:
专业：学号：考试日期：2010年10月
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
总分
累分人签名
题分
30
9
9
9
9
9
9
8
8
100
得分
考生注意事项：1、本试卷共5页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
即
从而有 ，
则 ,由 知， ，
为了计算 ,取 为单位圆周 ，则
六、设 在 上可微，且 ，M是 的上界，则M .
由拉格朗日定理及 ，知存在c
= =
于是，M
七、设 在 上有连续偏导数，且
（1）若 求
（2）若 求 .
（1） 两端关于 求导，得
当 时， = ，又 在 上有连续偏导数，所以
=
（2）由 ，知
又由 ，得
的开覆盖及有限覆盖定理得存在有限个小开区间ydxxdy其中a是常数如图所示设c是不包含原点在内的任一分段光滑的简单闭曲线在上任意取定两点ab作围绕原点的闭曲线akbna同时得到另一绕原点的闭曲线akbma由题设条件知akbmaakbnaydxxdyydxxdybmabnaydxxdyydxxdyydxxdyydxxdyydxxdy两端关于x求导得limdx存在n使得结论对证
证明：
对 ， ， ，
，但是有
所以，函数 在 上不一致连续.
三、设函数 在 上有定义且在每一点处函数的极限存在，求证： 在 上有界.
证明：
07级高数(上)试题及答案共9页word资料
南昌大学 2019～2019学年第一学期期末考试试卷一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设sin 4,0,()9cos ,0x xx f x axe x x ⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩在0x =处连续，则常数a =。
2. 设'()f a 存在，则 0()()limx f a x f a x x→+--=。
3. 函数 23()(1)1f x x =-+ 的极小值等于 ，单调增加区间为。
4. 设()f x 是可导函数，则'(2)baf x dx =⎰。
二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 0x = 是函数 2ln ,0,(),x x f x x x >⎧=⎨≤⎩ 的( )。
(A) 可去间断点； （B ）无穷间断点； （C ）跳跃间断点； (D) 振荡间断点。
2．设函数arctan y = 则dy =（ ）. （A ）； （B ）；（C ）dx ；（D ）。
3．函数()sin f x x = 在区间 ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上 （ ）。
（A ）满足罗尔定理条件，但无法求ξ； （B ）满足罗尔定理条件，且0ξ=； （C ）不满足罗尔定理条件；（D ）不满足罗尔定理条件，但有ξ能满足此定理的结论。
4． 在积分曲线族 sin3y xdx =⎰ 中，过点,16π⎛⎫⎪⎝⎭的曲线方程是（ ）。
（A ） 1cos33y x =-； （B ） 1cos33y x =；（C ） 1cos313y x =-+； （D ） cos3y x C =+。
5． 已知10ln ()xe tf x dt t=⎰，则'()f x =（ ）。
（A ） x ； （B ） x e ； （C ） e ； （D ） ln x 。
三、计算题（共2小题，每小题 8分，共 16 分）1．已知 lim 9,xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭求常数a . 2．求极限 011lim 1x x x e →⎛⎫-⎪-⎝⎭. 四、求下列导数（共2小题，每小题 7分，共 14 分） 1． 设 arcsin(ln ),y x x = 求'y .2．求由方程 2cos 10xy ye x x -+= 所确定的隐函数()y y x = 在0x =处的导数'(0)y .五、解下列各题（共2小题，每小题 7 分，共 14 分）1． 计算由参数方程ln arctan x y t⎧⎪=⎨=⎪⎩ 所确定的函数的二阶导数22d ydx.2．求不定积分11x xe dx e -+⎰. 六、计算下列积分（共2小题，每小题 7 分，共 14 分） 1．求不定积分cos(ln )x dx ⎰.2．计算定积分()2||2||x x x e dx --+⎰. 七、解下列各题(共2小题, 第1小题7分, 第2小题5分, 共12分)1. 设2()(),xax F x f t dt x a=-⎰其中()f x 为连续函数,求lim ()x aF x →.2. 设不恒等于常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续, 在开区间(,)a b 内可导, 且()()f a f b =, 证明在(,)a b 内至少存在一点ξ, 使得'()0f ξ>.南昌大学 2019～2019学年第一学期期末考试试卷及答案一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设sin 4,0,()9cos ,0x xx f x axe x x ⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩在0x =处连续，则常数a =12。
第七届高等数学竞赛医学类试题
第 3 页 共 7页
得分
评阅人
五、 （本题满分 7 分）计算
dx ∫ 1 + sin x .
得分
评阅人
六、 （本题满分 7 分）求证方程 x + p + q cos x = 0 有且仅有一个实 根，其中常数 p , q 满足 0 < q < 1 .
第 4 页 共 7页
得分
评阅人
2 1 lim 七、 （本题满分 8 分）求极限 x →+∞ x
2 0
）
(B) 可微，但两个一阶偏导数不连续； (D) 两个一阶偏导数连续. )
∫
x
(A)
1 ； 6
(B)
1 ； 5
(1997)
(C)
2 ； 3
(D)
3 4
1997 5、 设 f ( x) = x tan x, 则 f
(0) = (
(C) 2；
) (D) 1 .
(A) 0；
(B) 1；
第 2 页 共 7页
三 四 五 六 七 八 6 6 7 7 8 7
注: 本卷共七页, 十二个大题,考试时间为 8:30——11:30. 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)
得分 评阅人
1、 lim x →0
sin x e x + 1 1 1 x2
x a
=
b
；
a b x (1) 2、设 y = ( a > 0, b > 0), 则 y = b x a x3 dx 3、 ∫ ； 2 1+ x
0
x
得分评Biblioteka 人十、 （本题满分 7 分）设 2 sin( x + 2 y 3 z )
竞赛选拔试题及参考答案
高等数学竞赛选拔试题（每题10分）班级 学号 姓名 联系电话解因为1()2limlim lim 112x x x x f x x →+∞⋅==⋅2lim ()2x x f x →+∞==， 所以lim ()0x f x →+∞=，2lim ()2x x f x →+∞=．于是，（１）[]2lim 1()n n f n →∞+[]22lim ()2lim 1()ee x xf x x x f x →+∞→+∞=+==．（２）22220000111()()()lim lim lim lim ln(1)ln(1)ln(1)x x x x f f f x x x x x x x x x x x x x ++++→→→→⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅⎢⎥-+-+-+⎢⎥⎣⎦20022(1)lim ()lim 2lim 4111t x x x x x t f t x x++→+∞→→+=⋅=⋅=-+．解 n mx→122331223311021C C ()C ()1C C ()C ()lim (1)1n n n m m m x n m mx mx mx nx nx nx x →-⎡⎤⎡⎤++++-++++⎣⎦⎣⎦=⎤+-⎥⎦L L 222202(1)(1)()22lim x n n m m m n x o x m n x mn→--⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦=-22220(1)(1)()22lim x n n m m o x m n x m n mn →--⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦=-()2mn n m m n mn-=-222m n =-．解（１）1()lim ()x f x g x →11433311(1)(35)ln[1(1)]2(1)limlim1(1)(1)x x x x x x k x k x αα→→-++--===--，所以2k =，43α=． （２）330011tan (tan sin )lim lim 1sin sin x x x x k xx x k x k x αααα→→+-⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭23330001(tan sin )tan (1cos )21limlimlim(sin )(sin )(sin )23eee e ex x x x x x x x x k x x k x x k x x k ααααααα→→→⋅⋅--+++=====．解 1ln ,01max(ln ,1)1,ln ,⎧-<<⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩x x e x x e e x x e ， 231ln ,01max(ln ,1)d ,ln ,⎧-++<<⎪⎪⎪=+≤≤⎨⎪-+>⎪⎪⎩⎰x x x C x e x x x C x e e x x x C x e 由1=x e 处连续得：121=-C C e；由=x e 处连续得：32=+C C e ，所以 11ln ,01max(ln ,1)d ,ln ,⎧-++-<<⎪⎪⎪=+≤≤⎨⎪-++>⎪⎪⎩⎰x x x C x e e x x x C x e e x x x C e x e解arcsin d arcsin d()arcsin ---=-=--⎰⎰⎰x xx x x x xx e x e e e e e x earcsin )arcsin ln(----=--=--++x x x x x x e e e e e e C或解arcsin d arcsin d()arcsin --=-=--⎰⎰x x x x xx e x e e e e x e21,ln(1)2==-t x t ，2arcsin 111d arcsin d arcsin ln 121--+=-+=-++--⎰⎰x x x x xx e t x e e t e e C e t t1arcsin 2-=-++xxe e C解 令1,=t x当0>x 时，=-=-t t1arcsin2-=--=-+t t t C1arcsin 2-=-+x C x当0<x 时，1arcsin 2-=++xC x解2cos sin cos ()()+'==-x x x xf x x x， 2tan [(2)tan 2(2)]d (2)tan d 2(2)tan d ''+=+⎰⎰⎰x f x x f x x f x x x f x x x 2(2)tan d tan d[(2)]=+⎰⎰f x x x x f x22(2)tan d (2)tan (2)sec d =+-⎰⎰f x x x f x x f x x x 22(2)(tan sec )d (2)tan =-+⎰f x x x x f x x21cos22sin 2cos2(2)d (2)tan ()tan 22(2)+=-+=-+-+⎰x x x xf x x f x x x C x x 。
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1、 =0；
2、函数 不可导点的个数是1；
3、 = ；
4、 的收敛区域为[ ， ）；
5、设 ，则 ＝ ；
6、函数 在 处的泰勒级数为 ；
7、设 ，则 = ；
8、若 （ ），则 = ；
9、交换二次积分 的次序为 ；
10、 存在的充要条件是 ， ,当 ， 时，有 。
二、证明：函数 在 上不一致连续.
南昌大学第七届高等数学竞赛（07、08级数学专业类）试卷答案
序号：姓名：____学院:
专业：学号：考试日期：2010年10月
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
总分
累分人签名
题分
30
9
9
9
9
9
9
8
8
100
得分
考生注意事项：1、本试卷共5页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
四、设 在 上可导，且 ，试证：存在 (0, ),使得
.令Leabharlann 所以 在(0, )达到最大值，故存在 (0, ),使得
即
五、已知曲线积分 ，其中 是常数， 有连续一阶导数， ， 是绕(0，0)点一周的任一分段光滑简单闭曲线.试求 及 .
如图所示，设C是不包含原点在内的任一分段光滑的简单闭曲线，在C上任意取定两点A，B,作围绕原点的闭曲线AKBNA,同时得到另一绕原点的闭曲线AKBMA，由题设条件知
证明：
对 ， ， ，
，但是有
所以，函数 在 上不一致连续.
三、设函数 在 上有定义且在每一点处函数的极限存在，求证： 在 上有界.
证明：
，设 在 处的极限为 ，则 ， ，有 ，从而 。由 为 的开覆盖及有限覆盖定理得，存在有限个小开区间 …… 也是 的开覆盖。记M为 ，……， 中的最大数，则有 ，
有 ，使得 ，于是
所以
八、设 ， 绝对收敛，则
应用积分中值公式，有
= =
=
由 在 处连续可知，任意 ，存在 ,使得
（ ）
从而 （ ）结论对证。
九、求级数 的和.
作幂级数 ，该级数在 收敛
令
即
从而有 ，
则 ,由 知， ，
为了计算 ,取 为单位圆周 ，则
六、设 在 上可微，且 ，M是 的上界，则M .
由拉格朗日定理及 ，知存在c
= =
于是，M
七、设 在 上有连续偏导数，且
（1）若 求
（2）若 求 .
（1） 两端关于 求导，得
当 时， = ，又 在 上有连续偏导数，所以
=
（2）由 ，知
又由 ，得