大学物理 下 第八章课件

第8章
相量法
本章重点
8.1 8.2 8.3 8.4 复数 正弦量 相量法的基础
电路定律的相量形式
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重点：
1. 正弦量的表示、相位差 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定理的相量形式
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8.1
1. 复数的表示形式
复数
b 代数式 o
Im F |F|
F a jb
F | F | e
j
i(t ) 100 cos( 10 t y ) t 0 50 100 cosy
3
100 50 o
i
y π 3
π y 3
3
t t1
由于最大值发生在计时起点右侧
π i (t ) 100 cos( 10 t ) 3
当 10 t1 π 3 有最大值
3
π3 t1＝ 3 ＝ 1.047 ms 10
两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算：
i1 2 I1 cos(w t y 1 ) i2 2 I 2 cos(w t y 2 )
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iu 1, i
角频率 有效值 初相位
w
I1 o
i1
i2
i w 2 I2
i1+i2 i3
w
wI t
3
i3
1
2
3
结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，
j
2 2
b |F|
F

o a Re
| F | a b a | F | cos 或 b θ arctan a b | F | sin
2. 复数运算
①加减运算 —— 采用代数式
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若 则 Im F2
F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2) F1+F2

原式 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226) 12.47 j0.569 12.48 2.61

(17 j9) (4 j6) 220 35 ? 例2 20 j5 19 . 24 27 . 9 7 . 211 56 . 3 解 原式 180.2 j126.2 20.6214.04 180.2 j126.2 6.72870.16
1
i2 (t ) 3 cos( 100 π t 30 0 )
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4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值定义
物 理 意 义
直流I
R
交流 i
R
W RI T
2
W 0 Ri (t )dt
到达最大值)；

j <0， i 超前 u j 角，或u 滞后 i j 角, ( i 比 u 先
到达最大值）。
u, i u
i
o
yu
wt yi j
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特殊相位关系
j = (180 ) ，反相
u u i o i wt
o
j ＝ 0， 同相
o
wt
u
j= /2：u 领先 i /2
i o
或
U m 2U
若交流电压有效值为 U=220V ，
注意
U=380V 其最大值为 Um311V Um537V
① 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐 压水平时应按最大值考虑。
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jw t


u (t ) u1 (t ) u2 (t ) Re( 2 U 1 e ) Re( 2 U 2 e jwt ) Re( 2 U 1 e
k 1
n
结论
对正弦电路的分析研究具有重要的理 论价值和实际意义。
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2. 正弦量的三要素
i(t)=Imcos(w t+y)
(1) 幅值 (振幅、最大值)Im 反映正弦量变化幅度的大小。 (2) 角频率ω 相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。
(3) 初相位y
w 2π f 2π T
2
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T
均方根值
I
def
1 T

T
0
i (t )dt
2
定义电压有效值：
1 T 2 U u ( t ) d t 0 T
def
正弦电流、电压的有效值 设
i(t)=Imcos(w t+ )
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1 T 2 2 I I cos ( w t Ψ ) d t m T 0 T T 1 cos 2(w t Ψ ) 2 0 cos ( w t Ψ ) dt 0 dt
单位： rad/s ，弧度/秒
反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
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注意 同一个正弦量，计时起点不同，初相
位不同。
i
y =0
一般规定：|y | 。
o
y y =/2
wt
y =－/2
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例
解
已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s，
1.写出 i(t) 表达式；2.求最大值发生的时间t1
②测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读 数一般为有效值。
③区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的 符号。
i , Im , I ,
u , Um , U
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8.3 相量法的基础
1. 问题的提出
电路方程是微分方程：
2
+
-
R
u
iL
L
uC
+
- C
d uC duC LC RC uC u (t ) dt dt
j π 2
F
Re
jF
0
π j π π π 2 , e cos( ) jsin( ) j 2 2 2
F
π , e
j π
cos( π) jsin( π) 1
注意 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
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8.2
i(t ) 2I cos(w t Ψ ) I IΨ
注意
相量的模表示正弦量的有效值

相量的幅角表示正弦量的初相位
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同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u(t ) 2U cos(w t θ ) U Uθ o i 141 . 4 cos( 314 t 30 )A 例1 已知
1. 正弦量
瞬时值表达式
正弦量
i
0
T
波形
i(t)=Imcos(w t+y)
正弦量为周期函数
周期T 和频率f
t
f(t)=f ( t+kT )
1 f T
周期T ：重复变化一次所需的时间。单位：秒s 频率f ：每秒重复变化的次数。单位：赫(兹)Hz
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正弦电流电路
激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路 （正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
是一个正弦量 有物理意义
j( w t Ψ )
结论 任意一个正弦时间函数都
有唯一与其对应的复数函数。
i 2 Icos(w t Ψ ) F (t ) 2 Ie
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F(t) 还可以写成
复常数
F (t )
2 Ie e
jy
jwt

jwt 2 Ie
F(t) 包含了三要素：I、 、w， 正弦量对 复常数包含了两个要素：I , 。 应的相量
1
模相乘 角相加
2
F1 | F1 | θ1 | F1 | e | F1 | j( θ θ ) e jθ 2 F2 | F2 | θ2 | F2 | e | F2 | |F1| θ1 θ2 |F2|
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模相除 角相减
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例1
解
547 10 25 ?
相量图
在复平面上用向量表示相量的图
IΨ i(t ) 2Icos( ω t Ψ ) I Uθ u (t ) 2Ucos(w t θ ) U
+j
U



I

+1
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4. 相量法的应用
①同频率正弦量的加减
u1 (t ) 2 U1 cos(w t Ψ 1) Re( 2 U 1 e jw t ) u2 (t ) 2 U 2 cos(w t Ψ 2) Re( 2 U 2 e )
(j 1 为虚数单位)
指数式

a 三角函数式 Re
F | F | e | F | (cos j sin ) a jb
j
F | F | e | F |
j
极坐标式
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几种表示法的关系：
Im
F a jb
F | F | e | F |
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536

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③旋转因子 复数
ej =cos +jsin =1∠