高中数学必修2立体几何专题-线面垂直专题典型例题精选精讲
高中数学立体几何线面垂直的证明
立体几何证明【知识梳理】1. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行⇒线面平行”）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行⇒线线平行”）2.．直线与平面垂直判定定理一如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直⇒线面垂直”）判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.性质1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。
（线面垂直⇒线线垂直）性质2：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.三。
平面与平面空间两个平面的位置关系：相交、平行.1. 平面与平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行⇒面面平行”）2. 两个平面垂直判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直⇒面面垂直”）性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.（面面垂直⇒线面垂直）知识点一 【例题精讲】1.在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点。
（1）求证：EF//平面11D ABC ；（2）求证： 平面B 11D C C B 1⊥ EF C B 1⊥； （3）求三棱锥EFC B -1的体积V.2.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的中点, PA ＝AD ＝AB ＝1. （1）证明: //EB PAD 平面; （2）证明: BE PDC ⊥平面; （3）求三棱锥B -PDC 的体积V .3、如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面 ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点，证明： （1）AE ⊥CD （2）PD ⊥平面ABE ．4、.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；练习1、如图，菱形ABCD与等边△PAD所在的平面相互垂直，AD=2，∠DAB=60°．（Ⅰ）证明：AD⊥PB；（Ⅱ）求三棱锥C﹣PAB的高．2.如图1-4所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC ＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．求证：EF⊥平面BCG；3.如图1-1所示，三棱柱ABC -A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.(1)证明：AC1⊥A1B；4、如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．5、三棱锥P﹣ABC中，∠BAC=90°，PA=PB=PC=BC=2AB=2，（1）求证：面PBC⊥面ABC6.已知四棱锥P-ABCD中,底面四边形为正方形,侧面PDC为正三角形,且平面PDC⊥底面ABCD,E为PC的中点.(1)求证:PA∥平面EDB;(2)求证:平面EDB⊥平面PBC;7、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP=BC，E为PC的中点．（1）求证：AP∥平面BDE；2.求证BE 垂直平面PAC8、将如图一的矩形ABMD沿CD翻折后构成一四棱锥M﹣ABCD（如图二），若在四棱锥M﹣ABCD中有MA=．（1）求证：AC⊥MD；（2）求四棱锥M ﹣ABCD的体积．作业1、如图1，菱形ABCD的边长为12，∠BAD=60°，AC交BD于点O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M，N分别是棱BC，AD 的中点，且DM=6．（Ⅰ）求证：OD⊥平面ABC；2、如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O是AC的中点，A1O⊥平面ABC，∠BCA=90°，AA1=AC=BC．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；3、如图所示，四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点，PC=．（Ⅰ）求证：PC⊥AD；4、如图，四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=12AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．5、如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB=BC=2，CD=1，SD=．（1）证明：CD⊥SD；6.如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABD是正三角形，CB=CD，SC⊥BD．（Ⅰ）求证：SB=SD；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为棱SA的中点，求证：DM∥平面SBC．7、如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，2 34A E DB A A===,现将ABE∆沿BE边折至PBE∆位置，且平面PBE⊥平面BCDE.（1）求证：平面PBE ⊥平面PEF ；8、如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60︒，2PA PD ==,PB=2,E,F 分别是BC,PC 的中点．（1） 证明：AD ⊥平面DEF;9、在如图所示的多面体ABCDEF 中，ABCD 为直角梯形，//AB CD ，90DAB ∠=︒，四边形ADEF 为等腰梯形，//EF AD ，已知AE EC ⊥，2AB AF EF ===，4AD CD ==．（Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ADEF10.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点. （Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ；AB CDEBCDEFP11.棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C、M、D1作正方体的截面，则截面的面积是。
立体几何线线垂直专题(史上最全)
P
证明：∵ PA O 所在平面， BC 是 O 的弦，∴ BC PA.
又∵ AB 是 O 的直径， ACB 是直径所对的圆周角，∴
BC AC .
∵ PA AC A, PA 平面PAC ， AC 平面 PAC .
A
∴ BC 平面 PAC ， AE 平面 PAC，∴ AE BC . ∵ PA AC ，点 E 是线段 PC 的中点. ∴ AE PC .
∵ BD⊥ AC ∴ AC 为 A
1
BD A1C 同理可证A C1 BC 1
C 在平面 AC 上的射影 A1C 平面BC1D
练习； 1、 如图在三棱锥 P— ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 的中点，PO⊥平 面 ABC，垂足 O 落在线段 AD 上.证明：AP⊥BC；
9
C1 B1
C B
2、直三棱柱
ABC 平面 。
DE AB
AC, AD BD E AB ，是
A
E
又∵CE DE E
∴ AB 平面CDE
（2）由（1）有 AB 平面 CDE
B
C
AB
ABC
又∵
平面
，
CDE 平面 ABC ∴平面
例 2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥
D
P ABCD 的底面是菱
形． PB PD E PA
A
∴ BC 平面 PAC ， AE 平面 PAC，∴ AE BC . ∵ PA AC ，点 E 是线段 PC 的中点. ∴ AE PC .
E O B 图2 C
∵ PC BC C , PC 平面
，
平面
PBC BC
PBC .
∴ AE 平面 PBC .
高中数学必修2立体几何常考题型：直线与平面、平面与平面垂直的性质(复习课)全面版
直线与平面、平面与平面垂直的性质( 复习课 )【常考题型】题型一、线面、面面垂直的综合问题【例 1】如图，已知直线a⊥ α，直线 b⊥ β，且 AB⊥ a，AB⊥ b，平面α∩β＝ c.求证： AB∥ c.[ 证明 ]如图，过点 B 作直线 a′ ∥a， a′与 b 确立的平面设为γ.由于 a′ ∥a，AB⊥a，所以 AB ⊥a′，又 AB⊥b， a′∩ b＝ B，所以 AB ⊥γ.由于 b⊥β， c? β，所以 b⊥c.①由于 a⊥α， c? α，所以 a⊥c，又 a′ ∥a，所以 a′ ⊥c.②由①②可得c⊥γ，又 AB⊥γ，所以 AB∥c.【类题通法】判断线线、线面的平行或垂直关系，一般要利用判断定理和性质定理，有时也能够放到特殊的几何体中(如正方体、长方体等)而后再判断它们的地点关系．【对点训练】1.如下图：平面α，β，直线a，且α⊥ β，α∩ β＝AB，a∥ α，a⊥ AB.求证： a⊥ β.证明：∵a∥α，过 a 作平面γ交α于 a′，则 a∥a′∵a⊥AB ，∴a′ ⊥AB.∵α⊥β，α∩β＝ AB，∴a′ ⊥β，∴a⊥β.题型二、求点到面的距离 【例2】 已知△ABC ， AC ＝BC ＝1， AB ＝2，又已知S 是△ ABC所在平面外一点，SA＝ SB ＝ 2， SC ＝5，点P 是 SC 的中点，求点P 到平面ABC的距离．[ 解] 法一： 如下图，连结 PA ， PB.易知△SAC ，△ACB 是直角三角形，所以 SA ⊥AC ，BC ⊥AC.取 AB 、 AC 的中点 E 、F ，连结 PF ， EF ，PE ，则 EF ∥BC ，PF ∥SA.所以 EF ⊥AC ， PF ⊥AC.由于 PF ∩ EF ＝F ，所以 AC ⊥平面 PEF.又 PE? 平面 PEF ，所以 PE ⊥AC.易证△SAC ≌△SBC.由于 P 是 SC 的中点，所以 PA ＝PB .而 E 是 AB 的中点，所以 PE ⊥AB .由于 AB ∩ AC ＝A ，所以 PE ⊥平面 ABC.进而 PE 的长就是点 P 到平面 ABC 的距离．151 2在 Rt △AEP 中， AP ＝2SC ＝ 2 ，AE ＝2AB ＝ 2 ，225 1 3所以 PE ＝ AP －AE ＝4－ 2＝ 2 ， 即点 P 到平面 ABC 的距离为3 2.法二： 如下图，过 A 作 AE ∥BC ，过 B 作 BF ∥AC ，交 AE 于点 D ，则四边形 ACBD 为正方形．连结 SD.由于 AC ⊥SA ， AC ⊥AD ， SA ∩ AD ＝ A ，所以 AC ⊥平面 SDA.所以 AC ⊥SD.又由题意，可知BC ⊥SB.由于 BC ⊥BD ，SB ∩ BD ＝ B ，所以 BC ⊥平面SDB ，所以 BC ⊥SD.又 BC ∩ AC ＝C ，于是 SD ⊥平面 ACBD .所以 SD 的长为点 S到平面 ABC 的距离．在 Rt△SDA 中易得 SD＝SA2－AD 2＝ 22－ 12＝ 3.由于 P 为 SC 的中点，故点P 到平面 ABC 的距离为13 2SD＝2 .【类题通法】求点到面的距离的重点是确立过点与平面垂直的线段．可经过外形进行转变，转变为易于求解的点，等体积法也是求点到平面的距离的常用方法．【对点训练】2.如下图，正四棱柱 ABCD － A1B1C1D1中，底面边长为 2 2，侧棱长为 4， E， F 分别为棱 AB ，BC 的中点， EF∩ BD ＝G.(1)求证：平面 B1EF⊥平面 BDD 1B1；(2)求点 D1到平面 B1EF 的距离．解：证明： (1)连结 AC.∵正四棱柱 ABCD － A1B1C1D1的底面是正方形，∴AC⊥BD .又 AC ⊥DD 1，且 BD ∩DD 1＝ D，故 AC⊥平面 BDD 1B1，∵E， F 分别为棱 AB， BC 的中点，故EF ∥AC，∴EF⊥平面 BDD 1B1，∴平面 B1EF ⊥平面 BDD 1B1.(2)解题流程：题型三、折叠问题【例 3】如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中点，沿 DE 将△ ADE 折起．(1)假如二面角 A－ DE －C 是直二面角，求证： AB＝AC ；(2) 假如 AB＝ AC，求证：平面ADE ⊥平面 BCDE .[证明 ] (1)过点 A 作 AM ⊥DE 于点 M，则 AM ⊥平面 BCDE ，∴AM ⊥BC.又 AD＝ AE，∴M 是 DE 的中点．取BC 中点 N，连结 MN ， AN，则 MN ⊥BC.又 AM ⊥BC，AM∩ MN＝M，∴BC⊥平面 AMN ，∴AN⊥BC.又∵N 是 BC 中点，∴AB＝ AC.(2)取 BC 的中点 N，连结 AN.∵AB＝ AC，∴AN⊥BC.取 DE 的中点 M，连结 MN ， AM，∴MN ⊥BC.又 AN∩MN＝N，∴BC⊥平面 AMN ，∴AM ⊥BC.又 M 是 DE 的中点， AD＝ AE，∴AM⊥DE .又∵DE 与 BC 是平面 BCDE 内的订交直线，∴AM ⊥平面 BCDE .∵AM ? 平面 ADE ，∴平面 ADE ⊥平面 BCDE .【类题通法】解决折叠问题的策略(1) 抓住折叠前后的变量与不变量．一般状况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“ 越过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这种问题的重点．(2) 在解题时认真审察从平面图形到立体图形的几何特点的变化状况．注意相应的点、直线、平面间的地点关系，线段的长度，角度的变化状况．【对点训练】3．如下图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AD ＝2AB＝ 2a，BD ＝ 3a， AC∩ BD＝ E，将其沿对角线 BD 折成直二面角．求证： (1) AB⊥平面 BCD ；(2) 平面 ACD ⊥平面 ABD .证明： (1) 在△ABD 中， AB＝ a，AD ＝ 2a， BD ＝3a，222∴AB ＋BD ＝AD ，∴∠ABD ＝ 90°，∴AB⊥BD.又∵平面 ABD ⊥平面 BCD ，平面 ABD ∩平面 BCD ＝BD ，AB? 平面 ABD，∴AB⊥平面 BCD .(2)∵折叠前四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB⊥BD ，∴CD ⊥BD .∵AB⊥平面 BCD ，∴AB⊥CD .又∵AB∩ BD＝B，∴CD ⊥平面 ABD.又∵CD ? 平面 ACD，∴平面 ACD ⊥平面 ABD .【练习反应】1．如下图，三棱锥P，A，B 是定点，则动点P－ABC 的底面在平面C 运动形成的图形是(α上，且)AC ⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点A．一条线段B．一条直线分析：选 D∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC?平面PAC，且平面PAC∩平面 PBC ＝∴AC⊥平面 PBC.又∵BC? 平面 PBC ，∴AC ⊥BC，∴∠ACB＝ 90°，∴动点 C 运动形成的图形是以AB 为直径的圆，除掉 A 和 B 两点，应选 D.2．在三棱锥P— ABC 中，平面 PAC⊥平面角形， PC＝ 4，M 是 AB 边上的一动点，则PM ABC，∠ PCA ＝ 90°，△ ABC 是边长为 4 的正三的最小值为 ()A．23B．27C．43D．47分析：选B连结CM ，则由题意PC⊥平面 ABC，可得PC⊥CM ，所以 PM＝PC 2＋CM 2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC 中，当CM ⊥AB 时CM有最小值，此时有CM＝4×32 ＝23，所以 PM 的最小值为 2 7.3．若组成教室墙角的三个墙面记为α，β，γ，交线记为BA，BC，BD ，教室内一点墙面α，β，γ的距离分别为 3 m， 4 m,1 m ，则 P 与墙角 B 的距离为 ________ m.P 到三分析：过点P 向各个面作垂线，组成以BP为体对角线的长方体．|BP|＝32＋ 42＋ 1＝26.答案：264．如下图，平面α⊥平面β， A∈ α， B∈ β， AA′⊥ A′ B′， BB′⊥ A′ B′，且 AA′＝ 3， BB′＝ 4，A′ B′＝ 2，则三棱锥 A— A′ BB′的体积 V＝ ________.分析：由题意 AA1⊥面A′ BB′，BB′ ⊥面A′ B′A，则三棱锥 A—A′ BB′中，AA′为高，底面△A′ BB′为 Rt△.∴V A－′BB′ ＝1△′BB′＝1×3×1× 2×4＝ 4.AA′ ·S323答案： 45．如图，已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ.α∩ γ＝ a，β∩γ＝b，且 a∥b，求证：α∥ β.证明：在平面γ内作直线c⊥a.∵α⊥γ，α∩ γ＝ a，∴c⊥α.∵a∥b，∴c⊥b.又∵β⊥γ，β∩ γ＝ b，∴c⊥β，∴α∥β.你曾落的泪，最都会成阳光，照亮脚下的路。
高中数学必修2立体几何专题_线面垂直方法总结
【证明】直棱柱ABCD－A1B1C1D1中， BB1 平面ABCD，所以BB1 AC. 又因为BAD＝ADC＝90，AB ＝2AD＝2CD＝2，
所以AC＝ 2，CAB＝45，
所以BC＝ 2，所以BC AC. 而BB1 BC＝B，BB1，BC 平面BB1C1C. 所以AC 平面BB1C1C.
2 所以 D1DO∽ OBP，所以D1OD＋POB＝90， 所以PO D1O，又D1O AC＝O，所以PO 平面D1AC.
通过计算证明线 线垂直
【例3】 如 图 ， 在 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1中，E是BB1的中点， O 是 底 面 正 方 形 ABCD 的 中 心．求证：OE⊥平面ACD1.
【证明】(1)连结AC，取其 中点O，连结NO、MO，并 延长MO交CD于R. 因为N为PC的中点， 所以NO为△PAC的中位线，所以NO∥PA. 而PA⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD，所 以NO⊥CD. 又四边形ABCD是矩形，M为AB的中点，O为 AC的中点，所以MO⊥CD. 而MO∩NO＝O， 所以CD⊥平面MNO，所 以 CD⊥MN.
2当
B1P PB
＝1时，PO
平面D1
AC.
证明：连结D1O，因为底面ABCD是菱形，
所以O是AC，BD的中点，
因为PA＝PC，OA＝OC，所以PO AC，
又因为ABC＝60，AB＝2，
所以 ABC是等边三角形，BO＝DO＝ 3，
在矩形D1DBB1中，有
D1D DO
6 3
2，OB ＝ BP
3 ＝ 2， 6
所以EF / /BC，
因为AC BC，所以EF EC，EF A1E， 又A1E CE＝E，A1E 平面A1EC，CE 平面A1EC， 所以EF 平面A1EC.
高中数学必修2立体几何专题-线面垂直专题典型例题精选精讲精编版
线面垂直的证明中的找线技巧◆通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直1 如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD ．证明：连结MO ，1A M，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，1A AAC A =，∴DB ⊥平面11A ACC ，而1AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2234MO a =．在Rt △11A C M 中，22194A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ． 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．◆利用面面垂直寻求线面垂直2 如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面PAC ．证明：在平面PAC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ．因为平面PAC ⊥平面PBC ，且两平面交于PC ，AD ⊂平面PAC ，且AD ⊥PC ， 由面面垂直的性质，得AD ⊥平面PBC ． 又∵BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC ．∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC ．∵AD ∩PA =A ，∴BC ⊥平面PAC ．（另外还可证BC 分别与相交直线AD ，AC 垂直，从而得到BC ⊥平面PAC ）．评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．3 如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．证明：∵SA ⊥平面ABCD ， ∴SA BC ⊥．∵AB BC ⊥，∴BC ⊥平面SAB ．又∵AE ⊂平面SAB ，∴BC AE ⊥．∵SC ⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SBC ．∴AE SB ⊥．同理可证AG SD ⊥．评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ．证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵ACBC =，∴CF AB ⊥．∵AD BD =，∴DF AB ⊥．又CF DF F =，∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B =， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E =，∴ AH ⊥平面BCD ．评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．5 如图３，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点， 求证：平面AEF ⊥平面PBC ．证明：∵AB 是圆Ｏ的直径，∴AC BC ⊥．∵PA ⊥平面ABC ，BC⊂平面ABC ，∴PA BC ⊥．∴BC ⊥平面APC ． ∵BC ⊂平面PBC ，∴平面APC ⊥平面PBC ．∵AE ⊥PC ，平面APC ∩平面PBC ＝PC ， ∴AE ⊥平面PBC ．∵AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PBC ．评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．6. 空间四边形ABCD 中，若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，求证：AC ⊥BDAD B O C证明：过A 作AO ⊥平面BCD 于O 。
高三数学 立体几何中的垂直问题 知识精讲 苏教版
高三数学 立体几何中的垂直问题 知识精讲 苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：立体几何中的垂直问题二. 高考要求：1. 理解直线和平面垂直的概念掌握直线和平面垂直的判定定理；2. 掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理。
3. 通过例题的讲解给学生总结归纳证明线面垂直的常见方法：（1）证直线与平面内的两条相交直线都垂直；（2）证与该线平行的直线与已知平面垂直；（3）借用面面垂直的性质定理；（4）同一法；（5）向量法。
三. 知识点归纳：1. 线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直。
其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面足。
直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α。
2. 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
3. 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
4. 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭。
5. 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
推理模式：,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 。
其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理。
⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。
6. 两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
7. 两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
高中数学立体几何专题线面垂直典型例题的判定与性质
线面垂直●知识点1.直线和平面垂直定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直.2.线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.3.三垂线定理和它的逆定理.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直.逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.●题型示例【例1】如图所示，已知点S是平面ABC外一点，∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在直线SB和SC上的射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC.【解前点津】用分析法寻找解决问题的途径，假设EF⊥SC成立，结合AF⊥SC可推证SC⊥平面AEF，这样SC⊥AE，结合AE⊥SB，可推证AE⊥平面SBC，因此证明AE⊥平面SBC是解决本题的关键环节.由题设SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，可以推证BC⊥AE，结合AE⊥SB完成AE⊥平例1题图面SBC的证明.【规范解答】【解后归纳】题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键.【例2】已知：M∩N=AB,PQ⊥M于Q，PO⊥N于O，OR⊥M于R，求证：QR⊥AB.【解前点津】由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）a∥b,a⊥c⇒b⊥c;(2)a⊥α,b⊂α⇒a ⊥b;(3)三垂线定理及其逆定理.由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行.【解后归纳】处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”.所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上.所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线.【例3】已知如图(1)所示，矩形纸片AA′A′1A1,B、C、B1、C1分别为AA′,A1A′的三等分点，将矩形纸片沿BB1,CC1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB1⊥BC1，求证:A1C⊥AB1.例3题图解(1)【解前点津】 题设主要条件是AB 1⊥BC ，而结论是AB 1⊥A 1C ，题设，题断有对答性，可在ABB 1A 1上作文章，只要取A 1B 1中点D 1，就把异面直线AB 1与BC 1垂直关系转换到ABB 1A 1同一平面内AB 1与BD 1垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理.自然想到题断AB 1与A 1C 垂直用同法（对称原理）转换到同一平面，取AB 中点D 即可，只要证得A 1D 垂直于AB 1，事实上DBD 1A 1，为平行四边形，解题路子清楚了.【解后归纳】 证线线垂直主要途径是：（1）三垂线正逆定理，（2）线面，线线垂直互相转化.利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内完成作解任务.证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法.【例4】 空间三条线段AB ,BC ,CD ,AB ⊥BC ,BC ⊥CD ,已知AB =3,BC =4,CD =6,则AD 的取值范围是 .【解前点津】 如图，在直角梯形ABCD 1中,CD 1=6,AD 1的长是AD 的最小值,其中AH ⊥CD 1,AH =BC =4,HD 1=3,∴AD 1=5;在直角△AHD 2中,CD 2=6,AD 2是AD 的最大值为974)36(22222=++=+AH HD【解后归纳】 本题出题形式新颖、灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手,其实冷静分析，找出隐藏的条件很容易得出结论.例4题图●对应训练 分阶提升一、基础夯实1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题：①M b M a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// ②b a M b M a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ ③⇒⎭⎬⎫⊥⊥b a M a b ∥M ④⇒⎭⎬⎫⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 ( )A.①②B.①②③C.②③④D.①②④2.下列命题中正确的是 ( )A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( )A.DP ⊥平面PEFB.DM ⊥平面PEFC.PM ⊥平面DEFD.PF ⊥平面DEF4.设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是 ( )A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直C.过a 一定可以作一个平面与b 垂直D.过a 一定可以作一个平面与b 平行5.如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:l =β∩γ,l ∥α,m ⊂α和m ⊥γ,那么必有 ( )A.α⊥γ且l ⊥mB.α⊥γ且m ∥βC.m ∥β且l ⊥mD.α∥β且α⊥γ6.AB 是圆的直径，C 是圆周上一点，PC 垂直于圆所在平面，若BC =1,AC =2,PC =1，则P 到AB 的距离为 ( )A.1B.2C.552D.553 7.有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直其中正确命题的个数为 ( )A.0B.1C.2D.38.d 是异面直线a 、b 的公垂线，平面α、β满足a ⊥α，b ⊥β，则下面正确的结论是 ( )第3题图A.α与β必相交且交线m ∥d 或m 与d 重合B.α与β必相交且交线m ∥d 但m 与d 不重合C.α与β必相交且交线m 与d 一定不平行D.α与β不一定相交9.设l 、m 为直线，α为平面，且l ⊥α，给出下列命题① 若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m ⊥α， 其中真命题．．．的序号是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④10.已知直线l ⊥平面α，直线m 平面β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β. 其中正确的命题是 ( )A.③与④B.①与③C.②与④D.①与②二、思维激活11.如图所示，△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A ′，B ′，C ′，如果△A ′B ′C ′是正三角形，且AA ′＝3cm ，BB ′＝5cm ，CC ′＝4cm ，则△A ′B ′C ′的面积是 .12.如图所示,在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件 时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)13.如图所示，在三棱锥V —ABC 中，当三条侧棱VA 、VB 、VC 之间满足条件 时，有VC ⊥AB .(注：填上你认为正确的一种条件即可)三、能力提高14.如图所示,三棱锥V -ABC 中,AH ⊥侧面VBC ,且H 是△VBC 的垂心，BE 是VC 边上的高.(1)求证:VC ⊥AB ;(2)若二面角E —AB —C 的大小为30°,求VC 与平面ABC所成角的大小.第11题图 第12题图第13题图 第14题图15.如图所示，P A⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面P AD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.第15题图16.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝4，AD ＝2，侧棱PB＝15，PD＝3.(1)求证：BD⊥平面P AD.(2)若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的大小.第16题图17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．18.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.(1)求证：NP⊥平面ABCD.(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.(3)求点C到平面D′MB的距离.第18题图第4课 线面垂直习题解答1.A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.2.C 由线面垂直的性质定理可知.3.A 折后DP ⊥PE ,DP ⊥PF ，PE ⊥PF .4.D 过a 上任一点作直线b ′∥b ,则a ，b ′确定的平面与直线b 平行.5.A 依题意,m ⊥γ且m ⊂α,则必有α⊥γ,又因为l =β∩γ则有l ⊂γ,而m ⊥γ则l ⊥m ,故选A.6.D 过P 作PD ⊥AB 于D ，连CD ，则CD ⊥AB ，AB =522=+BC AC ，52=⋅=AB BC AC CD ， ∴PD =55354122=+=+CD PC . 7.D 由定理及性质知三个命题均正确.8.A 显然α与β不平行.9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.10.B ∵α∥β，l ⊥α，∴l ⊥m 11.23cm 2 设正三角A ′B ′C ′的边长为a . ∴AC 2=a 2+1,BC 2=a 2+1,AB ２=a 2+4，又AC 2+BC 2=AB 2，∴a 2=2． S △A ′B ′C ′=23432=⋅a cm 2． 12.在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中当底面四边形ABCD 满足条件AC ⊥BD (或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD 是正方形，菱形等)时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形). 点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.13.VC ⊥VA ，VC ⊥AB . 由VC ⊥VA ，VC ⊥AB 知VC ⊥平面VAB .14.(1)证明:∵H 为△VBC 的垂心,∴VC ⊥BE ,又AH ⊥平面VBC ,∴BE 为斜线AB 在平面VBC 上的射影,∴AB ⊥VC .(2)解:由(1)知VC ⊥AB ,VC ⊥BE ,∴VC ⊥平面ABE ,在平面ABE 上,作ED ⊥AB ,又AB ⊥VC ,∴AB ⊥面DEC .∴AB ⊥CD ,∴∠EDC 为二面角E —AB —C 的平面角，∴∠EDC =30°,∵AB ⊥平面VCD ,∴VC 在底面ABC 上的射影为CD .∴∠VCD 为VC 与底面ABC 所成角,又VC ⊥AB ,VC ⊥BE ,∴VC ⊥面ABE ,∴VC ⊥DE ,∴∠CED =90°,故∠ECD=60°,∴VC 与面ABC 所成角为60°.15.证明：(1)如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ，EN ，则有EN ∥CD ∥AB ∥AM ，EN ＝21CD ＝21AB ＝AM ，故AMNE 为平行四边形. ∴MN ∥AE .∵AE 平面P AD ，MN 平面P AD ，∴MN ∥平面P AD .(2)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AB .又AD ⊥AB ，∴AB ⊥平面P AD .∴AB ⊥AE ，即AB ⊥MN .又CD ∥AB ，∴MN ⊥CD .(3)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD .又∠PDA ＝45°，E 为PD 的中点.∴AE ⊥PD ，即MN ⊥PD .又MN ⊥CD ，∴MN ⊥平面PCD .16.如图(1)证：由已知AB ＝4，AD ＝２，∠BAD ＝60°，故BD 2＝AD 2+AB 2-2AD ·AB cos60°＝4+16-2×2×4×21＝12.又AB 2＝AD 2+BD 2，∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD .在△PDB 中，PD ＝3，PB ＝15，BD ＝12，∴PB 2＝PD 2+BD 2，故得PD ⊥BD .又PD ∩AD ＝D ，∴BD ⊥平面P AD .(2)由BD ⊥平面P AD ，BD 平面ABCD .∴平面P AD ⊥平面ABCD .作PE ⊥AD 于E ，又PE 平面P AD ，∴PE ⊥平面ABCD ，∴∠PDE 是PD 与底面ABCD 所成的角.∴∠PDE ＝60°，∴PE ＝PD sin60°＝23233=⨯.作EF ⊥BC 于F ，连PF ，则PF ⊥BF ，∴∠PFE 是二面角P —BC —A 的平面角.又EF ＝BD ＝12，在Rt △PEF 中，tan ∠PFE ＝433223==EF PE .故二面角P —BC —A 的大小为arctan 43. 第15题图解第16题图解17.连结AC 1，∵11112263A C CC MC AC ===. ∴Rt △ACC 1∽Rt △MC 1A 1，∴∠AC 1C =∠MA 1C 1，∴∠A 1MC 1+∠AC 1C =∠A 1MC 1+∠MA 1C 1=90°.∴A 1M ⊥AC 1,又ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，∴CC 1⊥B 1C 1，又B 1C 1⊥A 1C 1，∴B 1C 1⊥平面AC 1M .由三垂线定理知AB 1⊥A 1M .点评：要证AB 1⊥A 1M ，因B 1C 1⊥平面AC 1，由三垂线定理可转化成证AC 1⊥A 1M ，而AC 1⊥A 1M 一定会成立．18.(1)证明：在正方形ABCD 中，∵△MPD ∽△CPB ，且MD ＝21BC ， ∴DP ∶PB ＝MD ∶BC ＝1∶2.又已知D ′N ∶NB ＝1∶2，由平行截割定理的逆定理得NP ∥DD ′，又DD ′⊥平面ABCD ，∴NP ⊥平面ABCD .(2)∵NP ∥DD ′∥CC ′，∴NP 、CC ′在同一平面内，CC ′为平面NPC 与平面CC ′D ′D 所成二面角的棱. 又由CC ′⊥平面ABCD ，得CC ′⊥CD ，CC ′⊥CM ，∴∠MCD 为该二面角的平面角.在Rt △MCD 中可知∠MCD ＝arctan 21，即为所求二面角的大小. (3)由已知棱长为a 可得，等腰△MBC 面积S 1＝22a ，等腰△MBD ′面积S 2＝246a ，设所求距离为h ，即为三棱锥C —D ′MB 的高.∵三棱锥D ′—BCM 体积为h S D D S 213131='⋅， ∴.3621a S a S h =⋅=。
高中数学必修II--线面垂直证明专题
线面垂直证明专题1.直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直.2.直线与平面垂直的判定:线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理1：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面。
判定定理2：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么就垂直另一个平面。
性质定理3：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
专题一线面垂直的判定应用1 下列条件中，能使直线m⊥α的是（）A m⊥b,m⊥c,b⊥α,c⊥αB m⊥b,b∥αC m b=A,b⊥αD m∥b1 如图，在平面α内有ABCD，O是它的对角线的交点，点P在α外，且PA=PC，PB=PD，求证：PO⊥α。
2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD中心，求证：B1O⊥面PAC3 如图，已知空间四边形ABDC的边BC=AC,AD=BD,引BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H，求证：AH⊥面BCD4 如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥面ABCD， PAD是等腰三角形，M,N分别是AB,PC的中点，求证：MN⊥面PCD5 如图，在正方体AC1中，M,N,E,F分别是中点。
（1）求证A1E⊥面ABMN；（2）求异面直线A1E与MF所成角的大小。
专题二线面垂直性质的应用1 已知PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的异于A，B的任意一点，过A作AE⊥PC，垂足为E，如图，求证：AE⊥面PBC2 已知，如图矩形ABCD，过A作SA⊥面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F。
（1）求证：AF⊥SC；（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG ⊥SD3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AB,A1C的中点，求证：MN⊥面A1DC4 如图，底面ABCD为正方形，SA⊥面ABCD，过A且垂直于SC的平面交SB,SC,SD分别于点E,F,G求证：AE⊥SB专题三直线与平面所成的角1 已知直线a是平面α的斜线，b⊂α，当a与b成60°角，且b与a在α内的射影成45°角时，求a与α所成角2 如图，在直三棱柱AB0-A1B1O1中OO1=4，OA=4，OB=3,AOB∠=90°，D是限度A1B1的中点，P是侧棱BB1上的一点，若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成的角3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是AA1，A1D1的中点（1）求D1B与平面AC所成的角的余弦值（2）求EF与平面A1C1所成的角的大小4 如图，l1,l2是相互垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段，点A,B 在L1上，C在l2上，AM=MB=MN。
高中数学必修2立体几何专题-线面垂直方法总结精编版38页PPT
高中数学必修2立体几何专题-线面垂 直方法总结精编版
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
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7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
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南
窗
以Leabharlann 寄傲，审
容
膝
之
易
安
。
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
高中数学必修2立体几何专题-线面、面面垂直专题总结
（4）对无棱二面角一般通过在两个面内寻找共面直 线，作出棱.
已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则
π
侧面与底面所成的二面角等于 3 .
（设O为底面ABCD的中心，E为BC边
的中点，则∠PEO即为侧面与底面所成
二面角的平面角，
∵底面对角线的长为2 6 ，
3.如何用两平面垂直的定义证明平面与平面垂直?
两平面垂直实际上是由直线与平面垂直和线线垂直来定 义的，利用这个定义可直接证明两平面垂直，其步骤为：
（1）找到两个相交平面α,β的交线a及这两个平面与第 三个平面γ相交所得到的两条交线b,c; （2）证明a⊥γ,b⊥c; （3）根据定义，得到α⊥β. 4.在二面角的学习中应注意什么问题? （1）二面角的平面角的概念应注意强调:顶点在二面角 的棱上,两条边分别在二面角的两个面内,且这两条边都 垂直于二面角的棱,这样选取的角的大小与角的位置的 选取无关.
2.怎样理解直线和平面所成的角？
直线和平面所成的角问题中主要是斜线和平面所成角 问题.斜线和平面所成角的定义中给出了求解斜线和平 面所成角的步骤：
①确定斜线和平面的交点（即斜足）；
②经过斜线上除斜足以外的任意一点作平面的垂线， 从而确定斜线的射影； ③由垂线段、斜线段及其射影构成的直角三角形， 通过解此三角形，得到斜线和平面所成的角，同 时要注意直线和平面所成角的范围. 在求解斜线和平面所成角的过程中，确定点在直线上 或平面上的射影是关键，确定点在平面上射影位置有 以下几种方法： ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面上 的射影上； ②利用垂直关系得出线面垂直，确定射影.
（3）教材中例1可以作为结论使用： 过一点和已知平面垂直的直线只有一条. （4）如果两条直线垂直于同一个平面，则这两条直 线平行，可作为两直线平行的一种判定方法. 3.（1）线面垂直的定义中的“任何一条直线”这一 词语，它与“所有直线”是同义词，即直线和平面内 的所有直线垂直. （2）线面垂直的判定定理的条件中，“平面内的两 条相交直线”是关键性词语，证明时一定要明确指出， 弄清定理的条件是掌握好定理的关键. （3）转化思想在本学案中的应用: 线线垂直 线面垂直. 在转化时要弄清相互转化的条件，根据具体问题灵活 选取恰当的证明方法.
线面、面面平行、垂直例题
第12讲 §2.2.1 直线与平面平行的剖断¤进修目的：以立体几何的界说.正义和定理为动身点,经由过程直不雅感知.操纵确认.思辨论证,熟悉和懂得空间中线面平行的剖断,控制直线与平面平行剖断定理,控制转化思惟“线线平行⇒线面平行”. ¤常识要点：1. 界说：直线和平面没有公共点,则直线和平面平行.2. 剖断定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.符号暗示为：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒. 图形如右图所示. ¤例题精讲：【例1】已知P 是平行四边形ABCD 地点平面外一点,E .F 分离为AB .PD 的中点,求证：AF ∥平面PEC【例2】在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E .F 分离为棱BC .C 1D 1的中点. 求证：EF ∥平面BB 1D 1D.【例3】如图,已知P 是平行四边形ABCD 地点平面外一点,M.N 分离是AB.PC 的中点（1）求证：MN //平面PAD ;（2）若4MN BC ==,43PA =,求异面直线PA 与MN 所成的角的大小. .第13讲 §2.2.2 平面与平面平行的剖断¤进修目的：以立体几何的界说.正义和定理为动身点,经由过程直不雅感知.操纵确认.思辨论证,熟悉和懂得空间中面面平行的剖断,控制两个平面平行的剖断定理与应用及转化的思惟.¤常识要点：面面平行剖断定理：假如一个平面内有两条订交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行．用符号暗示为：,,////,//a b a b P a b βββααα⊂⊂=⎫⇒⎬⎭.¤例题精讲：【例1】如右图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M .N .P 分离是C 1C .B 1C 1.C 1D 1的中点,求证：平面MNP ∥平面A 1BD ..【例2】已知四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为平行四边形. 点M.N.Q 分离在PA.BD.PD 上, 且PM ：MA =BN ：ND =PQ ：QD .求证：平面MNQ ∥平面PBC .第14讲 §2.2.3 直线与平面平行的性质¤进修目的：经由过程直不雅感知.操纵确认.思辨论证,熟悉和懂得空间中线面平行的性质,控制直线和平面平行的性质定理,灵巧应用线面平行的剖断定理和性质定理,控制“线线”“线面”平行的转化.¤常识要点：NMPD CQ B A线面平行的性质：假如一条直线和一个平面平行,经由这条直线的平面和这个平面订交,那么这条直线和交线平行.即：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭.¤例题精讲：【例1】经由正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面AA 1D 1D 于E 1E ,求证：E 1E ∥B 1B【例2】如右图,平行四边形EFGH 的分离在空间四边形ABCD 各边上,求证：BD //平面EFGH .第15讲 §2.2.4 平面与平面平行的性质¤进修目的：经由过程直不雅感知.操纵确认.思辨论证,熟悉和懂得空间中面面平行的性质,控制面面平行的性质定理,灵巧应用面面平行的剖断定理和性质定理,控制“线线”“线面”“面面”平行的转化. ¤常识要点：1. 面面平行的性质：假如两个平行平面同时与第三个平面订交,那么它们的交线平行. 用符号说话暗示为：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒.2. 其它性质：①//,//l l αβαβ⊂⇒; ②//,l l αβαβ⊥⇒⊥; ③夹在平行平面间的平行线段相等.¤例题精讲： 【例1】如图,设平面α∥平面β,AB .CD 是两异面直线,M .N 分离是AB .CD 的中点,且A .C ∈α,B .D ∈β. 求证：MN ∥α.【例4】如图,已知正方体1111ABCD A B C D -中,面临角线1AB ,1BC 上分离有两点E.F ,且11B E C F =. 求证：EF ∥平面ABCD .第16讲 §2.3.1 直线与平面垂直的剖断 ¤进修目的：以立体几何的界说.正义和定理为动身点,经由过程直不雅感知.操纵确认.思辨论证,熟悉和懂得空间中线面垂直的剖断,控制直线与平面垂直的界说,懂得直线与平面垂直的剖断定理,并会用界说和剖断定理证实直线与平面垂直的关系. 控制线面角的界说及求解. ¤常识要点：1. 界说：假如直线l 与平面α内的随意率性一条直线都垂直,则直线l 与平面α互相垂直,记作l α⊥. l －平面α的垂线,α－直线l 的垂面,它们的独一公共点P 叫做垂足.（线线垂直→线面垂直）2. 剖断定理：一条直线与一个平面内的两条订交直线都垂直,则这条直线与该平面垂直. 符号说话暗示为：若l ⊥m ,l ⊥n ,m ∩n ＝B,m α,n α,则l ⊥α3. 斜线和平面所成的角,简称“线面角”,它是平面的斜线和它在平面内的射影β aαbGNM FEE CD B A D1C 1B1A 1βαE NM D BC A的夹角. 求直线和平面所成的角,几何法一般先定斜足,再作垂线找射影,然后经由过程解直角三角形求解,可以简述为“作（作出线面角）→证（证所作为所求）→求（解直角三角形）”. 平日,经由过程斜线上某个特别点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线是产生线面角的症结. ¤例题精讲：【例1】四面体ABCD 中,,,AC BD E F =分离为,AD BC 的中点,且22EF AC =,90BDC ∠=,求证：BD ⊥平面ACD . 【例2】已知ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,2AB =,4PA AD ==,E 为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ;（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．【例3】三棱锥P ABC -中,PA BC PB AC ⊥⊥，,PO ⊥平面ABC ,垂足为O ,求证：O 为底面△ABC 的垂心.第17讲 §2.3.2 平面与平面垂直的剖断¤进修目的：经由过程直不雅感知.操纵确认.思辨论证,熟悉和懂得空间中面面垂直的剖断,控制二面角和两个平面垂直的界说,懂得平面与平面垂直的剖断定理并会用剖断定理证实平面与平面垂直的关系,会用所学常识求两平面所成的二面角的平面角的大小. ¤常识要点：1. 界说：从一条直线动身的两个半平面所构成的图形叫二面角（dihedral angle ）.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）2. 二面角的平面角：在二面角l αβ－－的棱l 上任取一点O ,以点O 为垂足,在半平面,αβ内分离作垂直于棱l 的射线OA 和OB ,则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 规模：0180θ︒<<︒.3. 界说：两个平面订交,假如它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 记作αβ⊥.4. 剖断：一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. （线面垂直→面面垂直）¤例题精讲：【例1】已知正方形ABCD 的边长为1,分离取边BC .CD 的中点E .F ,贯穿连接AE .EF .AF ,以AE .EF .FA 为折痕,折叠使点B .C .D 重合于一点P .（1）求证：AP ⊥EF ;（2）求证：平面APE ⊥平面APF .【例2】如图, 在空间四边形ABCDBDCAE F G中,,,AB BC CD DA ==,,E F G 分离是,,CD DA AC 的中点,求证：平面BEF ⊥平面BGD .【例3】如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是1CC 的中点,求证：1A BD BED ⊥平面平面．第18讲 §2.3.3 线面.面面垂直的性质¤进修目的：经由过程直不雅感知.操纵确认.思辨论证,熟悉和懂得空间中线面.面面垂直的有关性质,控制两共性质定理及定理的应用. ¤常识要点：1. 线面垂直性质定理：垂直于统一个平面的两条直线平行. （线面垂直→线线平行）2. 面面垂直性质定理：两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.用符号说话暗示为：若αβ⊥,l αβ=,a α⊂,a l ⊥,则a β⊥.（面面垂直→线面垂直） ¤例题精讲：【例1】如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形,正面PAD 是等边三角形,且平面PAD 垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点,求证：BG ⊥平面PAD ; （2）求证：AD PB ⊥;（3）求二面角A BC P --的大小．【例2】如图,已知空间四边形ABCD 中,,BC AC AD BD ==,E 是AB 的中点.求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC .AEDBC。
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M
⇒ EN // AM ∴ AE / / MN
又 Q CD⊥AD ⇒ CD⊥平面PAD PA⊥平面AC AE ⊂ 平面PAD
9 如图在ΔABC 中 A'BC AD⊥BC ED=2AE
CD⊥AE ⇒ CD / / AB ⇒ MN⊥AB AE / / MN
且将ΔAFG 沿 FG 折起 使∠A'∵∴=60° 求证:A'∵⊥平面
证明
A1M DB⊥平面 A1 ACC1
连结 MO
DB⊥
评注
在证明垂直关系时
有时可以利用棱长
角度大小等数据
通过计算来证明
2
利用面面垂直寻求线面垂直 如图 2 P 是△ABC 所在平面外的一点 且 PA⊥平面 ABC 平面 PAC⊥平面 PBC 证明 在平面 PAC 内作 AD⊥PC 交 PC 于 D
求证 BC⊥平面 PAC
PA ⊥ 平面 ABC BC ⊂ 平面 ABC PA ⊥ BC BC ⊥ 平面 APC BC ⊂ 平面 PBC
平面 APC⊥平面 PBC A∵⊥PC 平面 APC∩平面 PBC＝PC A∵⊥平面 PBC 平面 A∵F⊥平面 PBC AE ⊂ 平面 A∵F 评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件 出发寻找线线垂直的关系． 6. 空间四边形 ABCD 中 若 AB⊥CD BC⊥AD 求证 AC⊥BD
一般来说
线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来
析解决
其关系为
→ 线面垂直 ← → 面面 线线垂直 ←
性质 性质
判定
判定
垂直 者之间的关系非常密 可以互相转化 从前面推出后面是判定定理 当学会灵活 用 些定理证明问题 面举例说明
而从后面推出前面是性质定理
同学们
3
如图
所示 ABC∴ 为正方形
题精选精讲
线面垂直的证明中的找线技巧
通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直 1 如图 1 在正方体 ABCD −
A1 B1C1 D1 中 M
为 CC1 的中点
AC 交 BD 于点 O 求证
A1O ⊥ 平面 MBD
A1 A DB⊥AC A1 A I AC = A 而A DB⊥ A 1O ⊂ 平面 A 1 ACC1 1O 3 2 3 2 设正方体棱长为 a 则 A1O = a MO 2 = a 2 2 4 9 2 2 在 Rt△ A1C1 M 中 A1 M = a A1O 2 + MO 2 = A1M 2 4 A1O ⊥ OM OM∩DB=O A1O ⊥平面 MBD
过 E 作 FG∥BC
题精选精讲 析 解 FG∥BC AD⊥BC A'∵⊥FG A'∵⊥BC 设 A'∵=a 则 ∵∴=2a 由余弦定理得 2 2 2 2 A'∴ =A'∵ +∵∴ -2•A'∵•∵∴cos60°=3a 2 2 2 ∵∴ =A'∴ +A'∵ A'∴⊥A'∵ A'∵⊥平面 A'BC 弄清折叠前后 图形中各元素之间的数 关系和 置关系
A
D B O C
证明
过 A 作 AO⊥平面 BCD 于 O
Q AB⊥CD
∴ CD⊥BO
同理 BC⊥DO
O 为△ABC 的垂心
于是BD⊥CO ⇒ BD⊥AC
题精选精讲 7. 证明 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中 A1C⊥平面 BC1D
D1 A1 B1
C1
D A
证明 连结 AC 的射影
C B
A' G A E F
C D B
10 如图, 在空间四边形 SABC 中, SA⊥平面 ABC, ∠ABC = 90°, AN⊥SB 于 N, AM⊥SC 于 M 求证: 析:
因为平面 PAC⊥平面 PBC
且两平面交于 PC 由面面垂直的性质 得 AD⊥平面 PBC 又
AD ⊂ 平面 PAC
平面 PBC AD⊥BC
且 AD⊥PC
BC ⊂
PA⊥平面 ABC BC ⊂ 平面 ABC PA⊥BC AD∩PA=A BC⊥平面 PAC 另外 可证 BC 别 相交直线 AD AC 垂直 从而得到 BC⊥平面 PAC 评注 已知条件是线面垂直和面面垂直 要证明两条直线垂直 将两条直线中的一 条纳入一个平面中 使另一条直线 该平面垂直 即从线面垂直得到线线垂直 在空间图形中 高一级的垂直关系中蕴含着 一级的垂直关系 通过本题可以看到 面面垂直 ⇒ 线面垂直 ⇒ 线线垂直
同
题精选精讲 评注 4 如图 本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多 在 棱锥Ａ
注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．
BC∴ 中 BC＝AC A∴＝B∴ 作 B∵⊥C∴
为垂足
作 A寻⊥B∵ 于Ｈ 求证
A寻⊥平面 BC∴
Q BD⊥AC
AC 为 A1C 在平面 AC
∴ BD⊥A1C
⇒ A1C⊥平面BC1 D 同理可证A1C⊥BC1
PA⊥ 平面 ABCD
ABCD 是矩形 M N 别是 AB PC 的中点 求证
8. 如图
MN⊥AB
P N D A
.
C B
M
EN //
证 取 PD 中点 E 则
1 DC 2
P E D A B N C
评注 本题在运用判定定理证明线面垂直时， 将问题转化为证明线线垂直； 而证明线线垂直时， 又转化为证明线面垂直． 如 此反复，直到证得结论． 5 如图 AB 是圆Ｏ的直径 求证 平面 A∵F⊥平面 PBC
Ｃ是圆周 一点Байду номын сангаас
PA ⊥ 平面 ABC
若 A∵⊥PC
为垂足
是 PB
任意一点
证明
AB 是圆Ｏ的直径
AC ⊥ BC
SA ⊥平面 ABC∴
过 A 且垂直于 SC 的平面
别交 SB
SC SD 于 E F G
求证
AE ⊥ SB
AG ⊥ SD
SA ⊥ 平面 ABC∴ SA ⊥ BC AB ⊥ BC BC ⊥ AE SC ⊥ 平面 A∵FG 理可证 AG ⊥ SD
证明
BC ⊥ 平面 分AB 又 AE ⊂ 平面 分AB SC ⊥ AE AE ⊥ SB AE ⊥ 平面 分BC
证明
取 AB 的中点
连结 CF ∴F
AC = BC CF ⊥ AB AD = BD DF ⊥ AB 又 CF I DF = F AB ⊥ 平面 C∴F CD ⊂ 平面 C∴F CD ⊥ AB 又 CD ⊥ BE BE I AB = B CD ⊥ 平面 AB∵ CD ⊥ AH AH ⊥ CD AH ⊥ BE CD I BE = E AH ⊥ 平面 BC∴