新人教版八年级数学下册《十七章 勾股定理 17.1.2勾股定理应用 利用勾股定理解决平面几何问题》课件_0
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第19课时 直角三角形与勾股定理
第19课时┃直角三角形与勾股定理
考点聚焦
考点1 直角三角形的概念、性质与判定
定义 有一个角是__直__角____的三角形叫做直角三角形 (1)直角三角形的两个锐角_互__余_____
(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么 性质
它所对的直角边等于_斜__边___的__一__半____ (3)直角三角形斜边上的中线等于_斜___边__的__一__半____
考点聚焦
基础温故
考向探究
第19课时┃直角三角形与勾股定理
4．下列四组线段中，能组成直角三角形的是( D ) A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4 C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝5 5．在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝ 2，则AC＝___2___3__.
折痕为 PQ，则线段 BQ 的长度为( C )
5 A.3
5 B.2
C．4
D．5
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图 19－6
基础温故
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第19课时┃直角三角形与勾股定理
[解析] 设 BQ＝x，由折叠的性质可得 DQ＝AQ＝9－x， ∵D 是 BC 的中点， ∴BD＝3， 在 Rt△BQD 中，x2＋32＝(9－x)2，解得：x＝4. 故线段 BQ 的长为 4. 故选 C.
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△BDG 和△ADC 中，
B∠DB＝DAGD＝，∠ADC， DG＝DC，
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基础温故
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第19课时┃直角三角形与勾股定理
∴△BDG≌△ADC，
∴BG＝AC，∠BGD＝∠C，
∵∠ADB＝∠ADC＝90°，E，F分别是BG，AC的中点，
∴DE＝12BG＝EG，DF＝12AC＝AF， ∴DE＝DF，∠EDG＝∠EGD，∠FDA＝∠FAD，
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基础温故
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第19课时┃直角三角形与勾股定理 考点2 勾股定理及其逆定理
勾股 定理 勾股定理 的逆定理
勾股数
逆 定 理
用途
直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的
平方，即__a_2_＋__b_2_＝__c_2_
如果三角形的三边长a，b，c有关系：
__a_2＋ ___b_2_＝__c_2_，那么这个三角形是直角三角形
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基础温故
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第19课时┃直角三角形与勾股定理
(1)两个内角__互__余____的三角形是直角三角形 判定 (2)一边上的中线等于这边的一半的三角形是直
角三角形 (1)SRt△ABC＝12ch＝12ab，其中 a，b 为两直角边， c 为斜边，h 为斜边上的高；(2)Rt△ABC 内切 拓展 圆半径 r＝a＋2b－c，外接圆半径 R＝2c，即等于 斜边的一半
形是直角三角形的x的值是_5_或___7___．
[解析] (1)若 4 是直角边，则第三边 x 是斜边，由勾股定理， 得 32＋42＝x2，所以 x＝5；
(2)若 4 是斜边，则第三边 x 为直角边，由勾股定理， 得 32＋x2＝42，所以 x＝ 7； 所以 x＝5 或 7.
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基础温故
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[解析] 如图，连接 AC. 在 Rt△ABC 中，AC2＝AB2＋BC2＝2， ∵AC2＋CD2＝AD2， ∴△CDA 也为直角三角形， ∴S 四边形 ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝12AB×BC＋12AC×CD＝12＋ 2. 故四边形 ABCD 的面积是12＋ 2.
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基础温故
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第19课时┃直角三角形与勾股定理 |针对训练| 1．用下列各组线段为边，能构成直角三角形的是( C ) A．1 cm，2 cm，3 cm B. 2 cm， 6 cm， 3 cm C．1 cm，2 cm， 3 cm D．2 cm，3 cm，4 cm 2．如图19－2，四边形ABCD是矩形，点E在线段BC的延长
∵∠C＋∠DAC＝90°，
∴∠EDG＋∠FDA＝90°， ∴DE⊥DF； (2)∵AC＝10，
∴DE＝DF＝5，
由勾股定理得，EF＝ DE2＋DF2＝5 2.
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基础温故
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第19课时┃直角三角形与勾股定理
探究3 勾股定理及其逆定理的应用
例3 若一个三角形的三边长分别为3，4，x，则使此三角
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基础温故
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第19课时┃直角三角形与勾股定理
3．[2017·绍兴]如图 19－7，小巷左右两侧是竖直的墙，一架 梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为 0.7 米，顶端距离 地面 2.4 米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时， 顶端距离地面 2 米，则小巷的宽度为( C )
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第19课时┃直角三角形与勾股定理
考向探究
探究1 勾股定理及其逆定理
例1 如图19－1，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝1，CD＝
2，DA＝
6
__12_＋___2_. _．
，且∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积为
图19－1
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第19课时┃直角三角形与勾股定理
A．0.7 米 B．1.5 米 C．2.2 米 D．2.4 米
图 19－7
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第19课时┃直角三角形与勾股定理
[解析] 如图，在 Rt△ACB 中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7 米，AC＝2.4 米， ∴AB2＝0.72＋2.42＝6.25. 在 Rt△A′BD 中， ∵∠A′DB＝90°，A′D＝2 米，BD2＋A′D2＝A′B2， ∴BD2＋22＝6.25， ∴BD2＝2.25， ∵BD＞0，∴BD＝1.5 米， ∴CD＝BC＋BD＝0.7＋1.5＝2.2 米．
(1)判断某三角形是否为直角三角形；(2)证明两 条线段垂直；(3)解决生活中的实际问题
能构成直角三角形的三条边长的三个正整数， 称为勾股数
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第19课时┃直角三角形与勾股定理
基础温故
1．在Rt△ABC中，∠A＝30°，则另一个锐角∠B＝( C ) A．40° B．50° C．60° D．70° 2．用反证法证明“a＜b”时第一步应假设( C ) A．a＞b B．a≤b C．a≥b D．a≠b 3．直角三角形两直角边长为5和12，则此直角三角形斜边上 的中线的长是( C ) A．5 B．6 C．6.5 D．13
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第19课时┃直角三角形与勾股定理
2．[2017·齐齐哈尔]如图19－5，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD ＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的中点．
(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF； (2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．
图19－5 解：(1)证明：∵AD⊥BC，
3
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第19课时┃直角三角形与勾股定理 探究2 直角三角形斜边上的中线的性质定理
例 2 [2017·淮安]如图 19－3，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， 点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，点 F 是 AD 的中点，若 AB＝8，
则 EF＝__2______.
[解析] 因为在 Rt△ABC 中图，1∠9－AC3 B＝90°，点 D 是 AB 的中 点，所以 CD＝12AB＝12×8＝4.因为点 E、F 分别是 AC、AD 的 中点，所以 EF＝12CD＝12×4＝2.
线上，连接AE交CD于点F，∠AED＝2∠AEB，点G是AF的中 点．若CE＝1，AG＝3，则AB的长为___2___2__．
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图19－2
基础温故
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第19课时┃直角三角形与勾股定理
3．一个三角形三边长之比为5∶12∶13，且周长为60 cm，则它的面积为__1_2_0__c_m_2．
4．已知△ABC的三边长分别为2，3， 5 ，则最长边 上的高线长为___2___5__．
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第19课时┃直角三角形与勾股定理
|针对训练| 1．[2017·宿迁]如图 19－4，在△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D，E，
F 分别是 AB、BC、CA 的中点，若 CD＝2，则线段 EF 的长是___2_____．
图 19－4
[解析] 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得 AB＝4， 再根据三角形中位线定理得 EF＝12AB＝2.
第19课时┃直角三角形与∶1∶2，那么它们的
对边之比为( B ) A．1∶1∶2 B．1∶1∶ 2
C．1∶1∶4 D．1∶2∶3
2．[2016·呼伦贝尔/兴安盟]如图 19－6，Rt△ABC 中，AB＝9，
BC＝6，∠B＝90°，将△ABC 折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，
第19课时┃直角三角形与勾股定理
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考点1 直角三角形的概念、性质与判定
定义 有一个角是__直__角____的三角形叫做直角三角形 (1)直角三角形的两个锐角_互__余_____
(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么 性质
它所对的直角边等于_斜__边___的__一__半____ (3)直角三角形斜边上的中线等于_斜___边__的__一__半____
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第19课时┃直角三角形与勾股定理
4．下列四组线段中，能组成直角三角形的是( D ) A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4 C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝5 5．在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝ 2，则AC＝___2___3__.
折痕为 PQ，则线段 BQ 的长度为( C )
5 A.3
5 B.2
C．4
D．5
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图 19－6
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第19课时┃直角三角形与勾股定理
[解析] 设 BQ＝x，由折叠的性质可得 DQ＝AQ＝9－x， ∵D 是 BC 的中点， ∴BD＝3， 在 Rt△BQD 中，x2＋32＝(9－x)2，解得：x＝4. 故线段 BQ 的长为 4. 故选 C.
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△BDG 和△ADC 中，
B∠DB＝DAGD＝，∠ADC， DG＝DC，
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第19课时┃直角三角形与勾股定理
∴△BDG≌△ADC，
∴BG＝AC，∠BGD＝∠C，
∵∠ADB＝∠ADC＝90°，E，F分别是BG，AC的中点，
∴DE＝12BG＝EG，DF＝12AC＝AF， ∴DE＝DF，∠EDG＝∠EGD，∠FDA＝∠FAD，
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第19课时┃直角三角形与勾股定理 考点2 勾股定理及其逆定理
勾股 定理 勾股定理 的逆定理
勾股数
逆 定 理
用途
直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的
平方，即__a_2_＋__b_2_＝__c_2_
如果三角形的三边长a，b，c有关系：
__a_2＋ ___b_2_＝__c_2_，那么这个三角形是直角三角形
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第19课时┃直角三角形与勾股定理
(1)两个内角__互__余____的三角形是直角三角形 判定 (2)一边上的中线等于这边的一半的三角形是直
角三角形 (1)SRt△ABC＝12ch＝12ab，其中 a，b 为两直角边， c 为斜边，h 为斜边上的高；(2)Rt△ABC 内切 拓展 圆半径 r＝a＋2b－c，外接圆半径 R＝2c，即等于 斜边的一半
形是直角三角形的x的值是_5_或___7___．
[解析] (1)若 4 是直角边，则第三边 x 是斜边，由勾股定理， 得 32＋42＝x2，所以 x＝5；
(2)若 4 是斜边，则第三边 x 为直角边，由勾股定理， 得 32＋x2＝42，所以 x＝ 7； 所以 x＝5 或 7.
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[解析] 如图，连接 AC. 在 Rt△ABC 中，AC2＝AB2＋BC2＝2， ∵AC2＋CD2＝AD2， ∴△CDA 也为直角三角形， ∴S 四边形 ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝12AB×BC＋12AC×CD＝12＋ 2. 故四边形 ABCD 的面积是12＋ 2.
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第19课时┃直角三角形与勾股定理 |针对训练| 1．用下列各组线段为边，能构成直角三角形的是( C ) A．1 cm，2 cm，3 cm B. 2 cm， 6 cm， 3 cm C．1 cm，2 cm， 3 cm D．2 cm，3 cm，4 cm 2．如图19－2，四边形ABCD是矩形，点E在线段BC的延长
∵∠C＋∠DAC＝90°，
∴∠EDG＋∠FDA＝90°， ∴DE⊥DF； (2)∵AC＝10，
∴DE＝DF＝5，
由勾股定理得，EF＝ DE2＋DF2＝5 2.
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探究3 勾股定理及其逆定理的应用
例3 若一个三角形的三边长分别为3，4，x，则使此三角
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第19课时┃直角三角形与勾股定理
3．[2017·绍兴]如图 19－7，小巷左右两侧是竖直的墙，一架 梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为 0.7 米，顶端距离 地面 2.4 米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时， 顶端距离地面 2 米，则小巷的宽度为( C )
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探究1 勾股定理及其逆定理
例1 如图19－1，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝1，CD＝
2，DA＝
6
__12_＋___2_. _．
，且∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积为
图19－1
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第19课时┃直角三角形与勾股定理
A．0.7 米 B．1.5 米 C．2.2 米 D．2.4 米
图 19－7
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第19课时┃直角三角形与勾股定理
[解析] 如图，在 Rt△ACB 中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7 米，AC＝2.4 米， ∴AB2＝0.72＋2.42＝6.25. 在 Rt△A′BD 中， ∵∠A′DB＝90°，A′D＝2 米，BD2＋A′D2＝A′B2， ∴BD2＋22＝6.25， ∴BD2＝2.25， ∵BD＞0，∴BD＝1.5 米， ∴CD＝BC＋BD＝0.7＋1.5＝2.2 米．
(1)判断某三角形是否为直角三角形；(2)证明两 条线段垂直；(3)解决生活中的实际问题
能构成直角三角形的三条边长的三个正整数， 称为勾股数
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第19课时┃直角三角形与勾股定理
基础温故
1．在Rt△ABC中，∠A＝30°，则另一个锐角∠B＝( C ) A．40° B．50° C．60° D．70° 2．用反证法证明“a＜b”时第一步应假设( C ) A．a＞b B．a≤b C．a≥b D．a≠b 3．直角三角形两直角边长为5和12，则此直角三角形斜边上 的中线的长是( C ) A．5 B．6 C．6.5 D．13
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第19课时┃直角三角形与勾股定理
2．[2017·齐齐哈尔]如图19－5，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD ＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的中点．
(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF； (2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．
图19－5 解：(1)证明：∵AD⊥BC，
3
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第19课时┃直角三角形与勾股定理 探究2 直角三角形斜边上的中线的性质定理
例 2 [2017·淮安]如图 19－3，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， 点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，点 F 是 AD 的中点，若 AB＝8，
则 EF＝__2______.
[解析] 因为在 Rt△ABC 中图，1∠9－AC3 B＝90°，点 D 是 AB 的中 点，所以 CD＝12AB＝12×8＝4.因为点 E、F 分别是 AC、AD 的 中点，所以 EF＝12CD＝12×4＝2.
线上，连接AE交CD于点F，∠AED＝2∠AEB，点G是AF的中 点．若CE＝1，AG＝3，则AB的长为___2___2__．
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图19－2
基础温故
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第19课时┃直角三角形与勾股定理
3．一个三角形三边长之比为5∶12∶13，且周长为60 cm，则它的面积为__1_2_0__c_m_2．
4．已知△ABC的三边长分别为2，3， 5 ，则最长边 上的高线长为___2___5__．
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基础温故
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第19课时┃直角三角形与勾股定理
|针对训练| 1．[2017·宿迁]如图 19－4，在△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D，E，
F 分别是 AB、BC、CA 的中点，若 CD＝2，则线段 EF 的长是___2_____．
图 19－4
[解析] 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得 AB＝4， 再根据三角形中位线定理得 EF＝12AB＝2.
第19课时┃直角三角形与∶1∶2，那么它们的
对边之比为( B ) A．1∶1∶2 B．1∶1∶ 2
C．1∶1∶4 D．1∶2∶3
2．[2016·呼伦贝尔/兴安盟]如图 19－6，Rt△ABC 中，AB＝9，
BC＝6，∠B＝90°，将△ABC 折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，