专项训练：三角,数列,立体几何解答题(三)(理科)

专项训练：三角，数列，立体几何解答题（三）（理科）1．已知锐角ABC △中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，已知sin 3A =，（Ⅰ）求22tan sin 22B C A++的值； （Ⅱ）若2a =，ABC S =△，求b 的值．2．已知：ABC c b a ∆分别是锐角,,三个内角A ，B ，C 所对的边，向量，设b a A f ⋅=)(（1，求角A ； （2）在（1ABC 的面积．3．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A 、B 、C 成等差教列． (I)c 的值； (II)设sin sin t A C =，求t 的最大值．4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．己知acos C ． （I ）求C ；（II ）若sin sin()3sin 2,C B A A +-= 求△ABC 的面积.5．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,. （Ⅰ）叙述并证明正弦定理； （Ⅱ）设2a c b +=，，求sin B 的值．6．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三个内角A ，B ，C (1)求A 的大小； (2)时，求22c b +的取值范围．7．已知ABC ∆ 的内角A 、B 、C 所对的边为,,a b c ， (sin ,cos )m b A a a B =-, (2,0)n = ，且m 与n 所成角为3π.（Ⅰ）求角B 的大小（Ⅱ）求C A sin sin +的取值范围.8．）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且 （1）求cos B 的值；（2）若3a =，，求c 的值.9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，已知函数A A x x x f cos 21)cos(cos )(--⋅= ∈x (R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值； （Ⅱ）若函数)(x f 在6x π=处取得最大值，且2AB AC ⋅=，求ABC ∆的面积S ．10．已知函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=M x M x f 在一个周期上的系列对应值如下表：（1）求)(x f 的表达式；（2）若锐角ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，，求边长c 的值.11．设三角形ABC的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ,且n m ⊥.(Ⅰ)求角A 的大小;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ，且BC 边上的中线AM 的长为求ABC ∆的面积.12，函数)2()(b a a x f +⋅=. （1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）求使不等式()2f x '≥成立的x 的取值集合．13（1）求函数)(x f 的最大值，并指出取到最大值时对应的x 的值；（2，计算θ2cos 的值.14．已知函数()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈（其中x 轴的（Ⅰ）求()f x 的解析式；15．已知O 为坐标原点，3s i n c o s 1x ，()f x OA OB m =⋅+. （Ⅰ）若)(x f 的定义域为，求)(x f y =的单调递增区间；（Ⅱ）若)(x f 的定义域为，值域为[2,5]，求m 的值.16x R ∈（I ()f x 的最大值和最小值，并写出相应的x 的值；（II ）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足c =()0f C =且sin 2sin B A =，求a 、b 的值17．函数R x Z k xk x x f ∈∈-++-=,,)2214cos()2cos()(π. （1）求)(x f 的周期；（2）)(x f 在),0[π上的减区间；（3）若=)(αf 5102，)2,0(πα∈，求)42tan(πα+的值.18．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，满足35,473==S a ；n T 是数列{}n b 的前n 项和，满足：)(22*∈-=N n b T n n ． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2的前n 项和n R ．19．等差数列{}n a 中,11=a ,公差0>d ,且它的第2项,第5项,第14项分别是等比数列{}n b 的第2项,第3项,第4项. (Ⅰ)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n c 对任意自然数均有成立,求2013321...c c c c ++++的值.20．已知等差数列{}n a 满足：11(),1n n a a n N a *+>∈=，该数列的前三项分别加上l ，l ，3后顺次成为等比数列{}n b 的前三项． (I)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (II)c 的最小值．21．已知：等差数列{a n }中，a 3+a 4=15，a 2a 5=54，公差d<0. （I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）求数列的前n 项和S n 的最大值及相应的n 的值.22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知122n n n S a +=-(n∈N*)． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； 的前2n 项和为2n T ．利用（2）的结论证明：当n ∈N*且n≥2时，22In T n <.23．已知在等比数列}{n a 中，11=a ，且2a 是1a 和13-a 的等差中项． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}{n b 满足)(12*N n a n b n n ∈+-=，求}{n b 的前n 项和n S ．24．已知数列{}n a 中，13a =，132nn n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明：数列{}2nn a -是等比数列，并求数列{}na 的通项公式；（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若1r s <<且r ，*s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.25．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＝12S n ＋1（n ∈N *）； （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若2log n n b a =，c n ＝21n n b b +，且{c n }的前n 项和为T n ，求使得132424n k k T +<< 对n ∈N *都成立的所有正整数k 的值.26．已知数列{a n }，n N *∈.（1（2）是否存在互不相等的正整数m 、s 、t ，使m 、s 、t 成等差数列，且1m a -、1s a -、1t a - 成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m 、s 、t ；如果不存在，请说明理由.27．已知数列{},()n a n N ∈满足11a =，且对任意非负整数,()m n m n ≥均有：（1）求02,a a ；（2）求证：数列*1{}()m m a a m N +-∈是等差数列，并求*()n a n N ∈的通项； （3）令*31()n n c a n n N =+-∈，求证：28．设公比大于零的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，245S S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11=b ，n n b n T 2=，*∈N n ．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）满足n n b a λ>对所有的*n N ∈均成立，求实数λ的取值范围．29．已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n n S Aa Ba C =++，其中A 、B 、C 是常数.（1）若0A =，3B =，2C =-，求数列{}n a 的通项公式； （2）若1A =，，且0n a >，求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）试探究A 、B 、C 满足什么条件时，数列{}n a 是公比不为1-的等比数列.30．等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设31323log log log n n b a a a ⋯＝＋＋＋，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．31．已知等差数列}{n a 中，公差0>d ，其前n 项和为n S ，且满足：4532=⋅a a ，1441=+a a ．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2，求)(n f 的最小值.32．设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知12a =，23210a a =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是以函数24sin y x π=的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{}n n a b -的前n 项和n S .33．已知数列}{n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且n n S a ,,21成等差数列. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）数列满足)(log )(log 322122++⨯=n n n a a b ，求证：211111321<++++n b b b b34．已知数列}{n a ，}{n b 满足01=a ，20131=b ，且对任意的正整数n ，n n n b a a ,,1+和n n n b a a ,,11++均成等比数列. （1）求2a 、2b 的值；（2）证明：}{n n b a +和}2{n n b a +均成等比数列；（3）是否存在唯一正整数c ，使得n n b c a <<恒成立？证明你的结论.35．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ，且364a a +=，55S =-.(Ⅰ)求na ；(Ⅱ)若123n n T a a a a =++++ ，求5T 的值和nT 的表达式36．在数列{}n a 中，123a =，若函数3()1f x x =+，在点()1,(1)f 处切线过点()1,n n a a + (1）求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； (2）求数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式n S .37．已知数列}{n a 是等差数列，6321=++a a a ，55=a . （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； ，求数列}{n b 的前n 项和n S .38．在如图的几何体中，平面CDEF 为正方形，平面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，BC AB 2=，60ABC ︒∠=，AC FB ⊥.（1）求证：⊥AC 平面FBC ；（2）求直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值.39中，底面ABCD 是平行四边形，⊥PG 平面ABCD ，垂足为G ，G 在，GC BG ⊥，2==GC GB ，E 是BC 的中点，四面体BCG P -的体积为PE（1）求二面角P BC D --的正切值；（2）求直线DP 到平面PBG 所成角的正弦值；（3）在棱PC 上是否存在一点F ，使异面直线DF 与GC 所成的角为060，若存在，确定点F 的位置，若不存在，说明理由.40．在四棱锥P-ABCD 中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，90,1,2ADC AB AD PD CD ∠=====ADC-900,AB=AD=PD=1.CD=2.(I)求证：BC ⊥平面PBD ：(II)设E 为侧棱PC 上异于端点的一点，PE PC λ=，试确定λ的值，使得二面角E-BD-P 的大小为45．41．四棱锥P A B C -底面是平行四边形，面PAB ⊥面ABCD ,12PA PB AB AD ===,060BAD ∠=,,E F 分别为,AD PC 的中点. E FBACP（1）求证：//EF PAB 面 （2）求证：EF PBD ⊥面（3）求二面角D PA B --的余弦值.42．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1AA 1⊥面ABC ，D 、E 分别是棱A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB（I ）求证：EF∥平面BDC 1；（II ）求二面角E －BC 1－D 的余弦值43．如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为菱形，且∠ABC =60︒，AB=PC=2，．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角A-PC-D 的平面角的余弦值．PABCD44．如图,正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直,AD 丄CD,AB//CD,AB=AD=21CD=2,点M 在线段EC 上.(I)当点M 为EC 中点时，求证: //BM 面ADEF ; (II)求证:平面BDE 丄平面BEC ；(III)若平面说BDM 与平面ABF 所成二面角锐角,且该二面角的余弦值为66时，求三棱锥M-BDE 的体积.45．在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA⊥平面ABCD ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°.（1）求证：BD⊥PC；（2）设E 为PC 的中点，点F 在线段AB 上，若直线EF ∥平面PAD ，求AF 的长； （3）求二面角A ﹣PC ﹣B 的余弦值． ABCD E FM46．已知直三棱柱111C B A ABC -的三视图如图所示，且D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1ADC ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 成60︒角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．47．已知几何体A BCED -的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值； （2）求二面角A ED B --的正弦值； （3）求此几何体的体积的大小48．如图，正方形ABCD 所在平面与圆O 所在的平面相交于CD ，线段CD 为圆O 的弦，AE 垂直于圆O 所在的平面，垂足E 为圆O 上异于C 、D 的点，设正方形ABCD 的边长为a ，且（1）求证：平面⊥ABCD 平面ADE ；（2）若异面直线AB 与CE 所成的角为θ，AC 与底面CDE 所成角为α，二面角E CD A --所成角为β，求证49．如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上任一点．（Ⅰ）求证：无论E 点取在何处恒有BC DE ⊥；（Ⅱ）设SE EB =λ，当平面EDC ⊥平面SBC 时，求λ的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下求二面角A DE C --的大小．50．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ︒∠=，PA 垂直于底面ABCD ，N M BC AB AD PA ,,22====分别为PB PC ,的中点．（1）求证：DM PB ⊥；（2）求点B 到平面PAC 的距离．专项训练：三角，数列，立体几何解答题（理科）参考答案1．试题解析：（Ⅰ）因为ABC △为锐角三角形，且sin 3A =，所以31cos =A 1分 22tan sin 22B C A ++A C B C B cos 21)sin()cos(12-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-= A A A cos 21sin cos 12-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+= 4分将sin A =，31cos =A 代入得 22tan sin 22B C A ++97= 6分 （Ⅱ）由232sin 21===∆bc A bc S ABC ，得3=bc ① 8分 A bc c b a cos 2222-+=得3132422⨯⨯-+=c b ， 即622=+c b ② 10分 由①②解得3=b 12分考点：三角函数同角公式，和差倍半的三角函数，余弦定理，三角形面积公式. 2．试题解析：（1）6分（2所以1cos 2cos cos ==+A C B ，又因为所以三角形ABC 是等边三角形，由2=a 12分考点：1．向量数量积运算；2．利用三角恒等变换求角；3．正弦定理、余弦定理解三角形，求三角形的面积．3．（Ⅰ）4c =. 【解析】试题解析：成等差数列，所以2B A C =+，因为A B C ++=π，所以分，3a =，2222cos b a c ac B =+-,分分 分 4．试题解析：，因为sin 0A ≠，解得（Ⅱ）由sin sin()3sin 2C B A A +-=，得sin()sin()3sin 2B A B A A ++-=，整理，得sin cos 3sin cos B A A A =．若cos 0A =，则 ABC ∆的面积若cos 0A ≠，则sin 3sin B A =，3b a =．由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，解得1,3a b ==．ABC ∆的面积．综上，ABC ∆的面积为 考点：1.正弦定理；2.余弦定理；3.三角形面积公式.5试题解析：(Ⅰ) 证明：设ABC ∆的外接圆的半径为并延长交圆O 于点C '，如图所示：则C C '∠=∠，90BAC ︒'∠=，在ABC ' 中，sin BC C AB ''=，即2sin R C c =，则有考点：1.正弦定理；2.解三角形；3.同角三角函数间的关系；4.和差化积公式；5.二倍角公式6．、试题解析：（I ）△ABC 中，∵，由正弦定理，得：， 即 2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+，故2s in c o s s in ()s in B A A C B =+=，…（4分）∴)2cos 12cos 1(2sin 4sin 42222C B C B c b -+-=+=+ )]120(2cos 2cos 2[20B B ---=)]2240cos(2cos 2[20B B ---=)302sin(240-+=B3.倍角公式；4.三角函数的值域.7．（Ⅰ）32π=B ；（Ⅱ）C A sin sin + 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由两向量的夹角公式得3sin cos 1=-B B ，将此式变形可得：21)6sin(=+πB .这是一个特殊角的三角函数值，再根据角B 的范围便可得角B 的值.（Ⅱ）由（1）知，32π=B ，∴A+C= 3π这样换掉一个角，可将C A sin sin +用一个只含一个角的式子表示出来，从而根据该角的范围便可得这个式子的范围.试题解析：（Ⅰ） (sin ,cos )m b A a a B =- 与向量(2,0)n = 所成角为3π， ∴3sin cos 1=-B B ∴1cos sin 3=+B A ，∴21)6sin(=+πB 又 π<<B 0，∴6766πππ<+<B ∴656ππ=+B ∴32π=B 6分 （Ⅱ）由（1）知，32π=B ，∴A+C= 3π ∴C A sin sin +=)3sin(sin A A -+π=A A cos 23sin 21+=)3sin(A +π 30π<<A ，∴3233πππ<+<A所以C A sin sin +分 考点：1、三角恒等变换；2、向量的运算.8．试题解析：（1）在ABC ∆中，A B C π++=.（2）因为3a =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得2210c c -+=，解得1c =.9．试题解析：（Ⅰ）依题意，A A x x A x x f cos 21sin sin cos cos cos )(2-+= 2分 1(cos2cos sin 2sin )2x A x A =⋅+⋅)2cos(21A x -= 5分 所以函数()f x 的最小正周期是π,()f x 有最大值12． 7分 （Ⅱ）由（I ）知：由2,3A k k Z ππ-=∈，得2(0,)3A k πππ=-∈， 所以3A π=．又2AB AC ⋅= ，所以4bc =．1sin 2ABC S bc A ∆==． 14分 10．试题解析：（1，解得2=ω， ，将点)1,0(代入得，求得2=M ，（2，解得4=k ，11．分分则分所以分（2）由（1分∆中，由余弦定理得设ＡＣ＝x,，在AMC22cos2AC=⋅-+ 9分MC2AMCMCAC解得x=2 11分分考点：1.向量的垂直坐标形式的表示.2.余弦定理.3.三角恒等变换.12．试题解析：x的取值集合为14′考点：（1）向量的数量积与三角函数的单调性；（2）复合函数的导数与余弦函数的性质．13．试题解析：（1分分分分分 14．试题解析：（1）由最低点为2(,2)3M π-，得A=2．由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π，，即T π=，222T ππωπ===，由点2(,2)3M π-在图像上得242sin(2)2,)133ππϕϕ⨯+=-+=-即sin( 故42,k k Z ππϕπ+=-∈，1126k πϕπ∴=-，又i n 2x 6分12分15∴)(x f y =的增区间为：（中间若用“ ”扣2分） 7分 ∴m x f m +≤≤+4)(1，∴15421=⇒⎩⎨⎧=+=+m m m 12分 考点：1、向量的数量积；2、三角恒等变换；3、三角函数的单调性及范围.16．试题解析：（Ⅰ）1cos 21()2sin(2)12226x f x x x π+=--=-- 3分 ()1sin -=∴t t f 。