第二章变形体虚位移原理 优质课件

v,x2
1/ 2
dx

1
2u, x
(u, x
)2

v, x 2
1/ 2
dx
(x u (1 u,x )dx, y v v,x dx)
,
A (x u, y v)
A(x, y) dx
B (x dx, y)
图 2-2 微段变形示意图
(1 u,x )dx
由此可得 x u,x ，同理，不难理解 y v, y 。即
x

u x
y

v y
（2-4a）
在定义： 正交微段角度的改变量 = 切应变
则由图2-2在小变形下（小角度正切近似等于角度）可得
xy

u,x dy (1 v, y )dy

v,x dx (1 u,x )dx

u, y v,x

xy
yx

u y

v x
（2-4b）
l dy / ds y,s m dx / ds x,s
式中 l ，m 为边界外法线的方向余弦。
FSy ds
应力边界条件
t
S表面上
Fsx xl xym Fsy ym yxl
第2章 变形体虚位移原理
在结构力学中已经学过变形体的虚功原理，并利用 它推导了位移计算公式、线弹性体的互等定理等。
当变形体虚功原理的前提条件改变为：力系给定、 虚位移完全任意时，其结论也发生改变：虚功方程恒成 立是给定力系平衡的充分必要条件。由于前提、结论都 变了，因此这一变化后的原理称为变形体虚位移原理。 由变形体虚位移原理作一定的变换，可导出以能量形式 表示的平衡条件，这就是弹性体最小势能原理。用它们 可推得位移法方程、求得受力和变形的近似解（里兹 法）。
2-1 弹性力学的基本方程及其矩阵表示
为研究线弹性体的解答，首先需要建立微元体的 平衡条件、几何条件、应力-应变关系、边界应满足的 条件等，这些统称为弹性力学的基本方程。
需要强调指出的是，在弹性力学中假设所研究的变 形物体是连续、均匀和各向同性的（除专门说明外）。 从数学上说，也即体内的位移、应力、应变等都是光滑、 连续的函数
在此基础可以得到以下结论：
1、如果微元体不平衡，根据大朗贝尔原理，加上惯性力（例如x
再列（瞬时）动平衡方程，则可得
方向为
2u t 2
dA
）
x
x

xy
y

Fbx


2u t 2
yx
x

y
y

Fby



2v

t 2
（2-2）
式中 为材料密度，u 和 v 分别为坐标 x 、y 方向的位移分量。这就是二维问题
物体的边界可能有的如下情况： 仅给定应力的表面 S 仅给定位移的表面 Su
某些方向给定应力、另一些方向给定位移的混合边界条 Smin
对于以位移进行求解的问题，可以将 Smin也视作 Su 。
物理量给定的条件称为边界条件。
1、应力边界条件
从边界部分取微元体如图2-3所示，微元体边界上的应力、表面力均已用 合力表示。与建立平衡方程一样，注意：ds 、dx 、dy 间的关系为
2-1-1 平衡（运动）微分方程
某二维弹性体中取出的一个面积为 dA dxdy 的内部微元体，如下图所示
x x,ydy
B
x x,xdx x,ydy D
( y d y y )dx
( xy d y xy )dx
Fby dA
( yx dx yx)dy
(x, y dy)
AB x u (1 u,x )dx (x u)2 C
,
C
(x u u,y dy,
y v (1 v,y )dy)
,
B
y v v,x dx ( y v)2
略去高阶小量后可得
AB

(1 u,x )2
y
z
z
FbzBiblioteka 2wt 2

（2-3）
2-1-2 小变形的几何方程（位移—应变关系）
图2-2为二维弹性体中沿坐标方向所取两正交微段及位移示意。和材料力学一样可 引入如下线应变定义：
某坐标方向线应变 = 微段变形后长度 - 微段原长 微段原长
如, 2,-2中微段AB在小应变条件下变形后的 A B 的长度为：
微元体受力如图2-1b所示，有 F x 0 和 F y 0 方程，即可得到二维问题的
平衡微分方程
x
x

xy
y

Fbx

0

yx
x

y
y

Fby
0
（2-1）
再由 M 0 ，可以得到切应力互等定理结论，即 xy yx 。
dA dxdy dy
xdy dy
FbxdA ( x dx x )dy
A
dx
C
yxdy
dx
x
x x,xdx
偏导数标记法
() y
(), y
() x (), x
微分标记法
d y ()

() y
dy
(), y
dy
（）表示 某物理量
xydx
ydx
dx
()

() x
dx

(),x
dx
（a） x 位置变化示意
（b）微元体边界合力示意
图2-1 平面微元体受力示意
在图2-1a AB边上的 x 合力 Tx 有如下近似（曲线面积近似等于梯形面积）计算
Tx

1 2
( x
x

x
y
dy)dy
xdy

1 2
x
y
dy2
基于这一思想，在略去高阶小量后即可得到图2-1b所示的微元体受力图，因而此 图受力从数学上讲是精确的。
的运动微分方程。由式（2-2）可见，式（2-1）是惯性力为零时的特例。
2、对于三维问题，运动方程为
x
x

xy
y

xz
z
Fbx


2u
t 2

yx
x
y
y
yz
z
Fby

2v
t 2

zx
x
zy
上述所定义的应变为工程应变，方程（2-4）称为几何方程。对于三维问题，对应 工程应变的几何方程为
x

u x
y

v y
z

w z

xy

u y

v x

yz

v z

w y



yz

w x

u

z
（2-5）
2-1-3 边界条件（边界处平衡和协调条件）