【名师导学】2014年高中数学 第二章 2.1 2.1.2空间中直线与直线的位置关系课件 新人教A版必修2
人教版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的关系-《2.1空间中直线与直线之间的位置关系》教案(2)
空间中直线与直线之间的位置关系教学设计课题：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系教学目标：一、知识与技能1、掌握空间两条直线的位置关系，理解异面直线的概念，进一步培养学生的空间想象力。
2、理解并掌握公理4，并能运用它解决一些简单的几何问题。
二、过程与方法：讲授法、自主发现、探究实践三、情感态度与价值观：通过对空间直线间不同位置关系的理解、运用和展示，体会数学世界的美妙，培养学生的美学意识。
教学重点：异面直线的概念、公理4教学难点：异面直线的概念教具准备：1、立体几何模型2、投影机教学过程：（一）、创设情境，引入新课前面我们学习了平面的基本性质及其简单的应用——共面问题、点共线问题、线共点问题的证明，明确了这些问题证明的思路、方法和步骤，这些内容是立体几何的基础，应予以足够的重视，这一节课我们来学习空间直线的位置关系（板书课题）（二）新课1、问题探究问题1：同一平面内两条直线有几种位置关系？①相交直线——有且仅有一个公共点②平行直线——在同一平面内，没有公共点问题2：空间中的两条直线又有怎样的位置关系呢？观察教室内日光灯管所在直线与黑板的左右侧所在的直线;天安门广场上旗杆所在的直线与长安街所在的直线，南京万泉河立交桥的两条公路所在的直线，它们的共同特征是什么？共同特征是：既不相交，也不共面，即不在同一个平面内。
思考：如下图，长方体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，线段AB ′所在直线与线段CC ′所在直线的位置关系如何？通过观察思考后发现：直线AB ’与直线CC ’既不平行也不相交，还不共面。
即不在同一平面内。
2、归纳总结 ，形成概念我们把不同在任何一个平面内两条直线叫做异面直线。
空间中两条直线的位置关系有三种：共面直线相交直线： 同一平面内，有且只有 一个公共点。
平行直线： 同一平面内，没有公共点。
异面直线： 不同在任何一个平面内 ，没有公共点。
ABA ’B ’C ’D ’′C D为了表示异面直线a,b 不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托。
高中数学 必修二 2.1.2 空间中直线与直线的位置关系导学案 新人教A版必修2
2.1.2 空间中直线与直线的位置关系知识点一：空间两条直线的位置关系 [提出问题]问题1：在同一平面内，两条直线有怎样的位置关系？ 问题2：若把立交桥抽象成一条直线，它们是否在同一平面内？有何特征？问题3：观察一下，日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在直线，是否也具有类似的特征？ [导入新知] 1．异面直线（1）定义：不同在 的两条直线． （2）异面直线的画法2．空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种． （1）若从公共点的数目分，可以分为： ① 只有一个公共点—— ；② 没有公共点（2）若从平面的基本性质分，可以分为：① 在同一平面内② 不同在任何一个平面内——；思考：若βα⊂⊂b a ,，那么a 与b 一定是异面直线吗？知识点二：平行公理及等角定理 [提出问题]1．同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．问题：空间中是否有类似规律？2．观察下图中的AOB ∠与B O A '''∠问题1：这两个对应的两条边之间有什么样的位置关系？问题2：测量一下，这两个角的大小关系如何？[导入新知]1． 平行公理（公理4）（1）文字表述：平行于同一直线的两条直线 ，这一性质叫做空间 ． 符号表述：⇒⎭⎬⎫c b b a //// ． 2．等角定理：空间中如果两个角的两边分别 ， 那么这两个角 或 ． 3．异面直线所成的角（1）定义：已知两条异面直线b a ,，经过空间任意一点O 作直线b b a a //,//''，我们把a '与b '所成的（或 ）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）． （2）异面直线所成的角θ的取值范围： ． （3）当=θ 时，异面直线a 与b 垂直，记作： ． 3突破常考题型题型一：两条直线位置关系的判定[例1]如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，判断下列直线的位置关系：①直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是 ； ②直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是 ； ③直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是 ； ④直线AB 与直线B 1C 的位置关系是 ． [活学活用]如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和B1C1的中点，问：（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．题型二：平行公理及等角定理的应用[例2]在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是CD和AD的中点．（1）求证：四边形MN A1 C1是梯形；（2）求证：111CADDNM∠=∠[活学活用]已知如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．题型三：两异面直线所成的角[例3]如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求异面直线CD1，EF所成角的大小．[活学活用]已知正方体ABCD-A1B1C1D1．（1）哪些棱所在的直线与直线BA1是异面直线？（2）直线BA1和CC1的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？4应用落实体验 [随堂即时演练]1．如图，是长方体的一条棱，这个长方体中与AA 1平行和异面的棱的条数是（ ）A ．6，4B ．3，4C ．5,，8D ．8，4 2．已知如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，2321===AA AD AB ,．BC 和A 1C 1以及BC 1和AB 1所成的角分别是（ ）A ．6045, B ．4545, C ．9060, D ．6030, 3．如果B O OB A O OA ''''//,//，那么AOB ∠和B O A '''∠ ．4．已知b a ,是异面直线，直线c //直线a ，那么c 与b 的位置关系 ．5．如图所示，空间四边形ABCD 中，AB =CD ，CD AB ⊥， E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．5课时跟踪检测A 组基础达标 1．空间两个角βα,，且α与β的两边对应平行，60=α，则β为（ ）A ．60 B ．120 C ．30 D ．60或120 2．给出下列四个命题：①若b a ,是异面直线，c b ,是异面直线，则c a ,异面； ②若直线b a ,相交，c b ,相交，则c a ,相交； ③若b a //，则b a ,与c 所成的角相等； ④若c b b a ⊥⊥,，则c a //．其中真命题的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是（ ）A ．梯形B ．矩形C ．平行四边形D ．正方形 4．在空间四边形ABCD 中，AB ，BC ，CD 的中点分别是P ，Q ，R ，且352===PR QR PQ ,,，那么异面直线AC和BD 所成的角是（ ）A ．90 B ．60 C ．45 D ．305．在三棱锥A —BCD 中，E ，F ，G 分别是AB ，AC ，BD 的中点，若AD 与BC 所成的角是60，那么FEG ∠为（ ） A ．60 B ．30 C ．120 D ．60或120 6．如图，将无盖的正方体纸盒展开，直线AB ，CD ，在原正方体的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交且垂直C ．异面D ．相交成607．如图，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形是 ．8．已知b a ,为不垂直的异面直线，α是一个平面，则b a ,在α上的射影有可能的是（ ）① 两条平行的直线； ② 两条互相垂直的直线； ③ 同一条直线； ④ 一条直线及其外一点．在以上结论中，正确的是 （写出所有正确的结论的编号）9． 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别AA 1，CC 1是的中点．求证：1ED BF //且1ED BF =10．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求 （1）AA 1与B 1C 所成的角； （2）A 1B 与B 1C 所成的角．B 能力提升11．如图，在空间四边形ABCD 中，两条对边3==CD AB ，E ，F 分别是另外两条对边AD ，BC 上的点，且521===EF FC BF ED AE ,，求AB 和CD 所成的角的大小．。
高中数学人教A版必修2课件：第二章 2-1 2-1-2 空间中直线与直线之间的位置关系
⇒ a∥c .
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这
两个角 相等 或 互补 ．
4．异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直 线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的 直线a与b所成的角(或夹角)． (2)范围： 0°＜θ ≤ 90° . (3)当θ＝ 90° 时，a与b互相垂直，记作 a⊥b . (锐角 或
1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的 位置关系是 A．a∥c C．a和c相交 B．a和c异面 D．a和c平行、相交或异面 ( )
解析：如图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，令A′D′
所在直线为a，AB所在直线为b，由题意，a和b是异 面直线，b和c是异面直线． 若令B′C′所在直线为c，则a和c平行． 若令C′C所在直线为c，则a和c异面． 若令D′D所在直线为c，则a和c相交． 答案：D
1．判断两直线是平行直线的方法: (1)定义法：两直线平行须满足：①两直线在同一个平 面内；②两直线没有公共点． (2)公理法(利用公理4)：要证两条直线平行，只须找
到第三条直线与这两条直线都平行即可．即要证a∥b，只
须证a∥c，b∥c，就可得a∥b.
2．在运用“等角定理”判定两个—A1B1C1D1中，E、F分别是
AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置 关系：
(1)AB与CC1；(2)A1B1与DC；
(3)A1C与D1B；(4)DC与BD1； (5)D1E与CF.
[自主解答]
(1)∵C∈平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
又C∉AB，C1∉平面ABCD，∴AB与CC1异面． (2)∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC. (3)∵A1D1∥BC且A1D1＝BC， 则A1，B，C，D1在同一平面内， ∴A1C与D1B相交． (4)∵B∈平面ABCD，DC⊂平面ABCD，又B∉DC， D1∉平面ABCD，∴DC与BD1异面．
高中数学 第二章2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系导学案 新人教A版必修2
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系问题导学一、空间两条直线位置关系的判定活动与探究1在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：(1)AB与CC1；(2)A1B1与DC；(3)A1C与D1B；(4)DC与BD1；(5)D1E与CF．迁移与应用1．异面直线是指( )A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线2．下列结论正确的是( )A．没有公共点的两条直线是平行直线B．两条直线不相交就平行C．两条直线有既不相交又不平行的情况D．一条直线和两条相交直线中的一条平行，它也可能和另一条平行3．已知三条直线a，b，c，a与b异面，b与c异面，则a与c的位置关系是__________．(1)空间两条直线位置关系的判定方法：①判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．②判定两条直线是异面直线的方法：定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．排除法(反证法)：排除两直线共面(平行或相交)．(2)两条直线异面，是指找不到平面，使这两条直线同在这一平面内，并不是说，这两条直线不同在某一平面内．二、公理4与等角定理的应用活动与探究2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC=∠B1M1C1．迁移与应用1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，即β为( )A．60° B．120°C．30° D．60°或120°2．如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．(1)公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法．(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．三、求异面直线所成的角活动与探究3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求下列异面直线所成的角．(1)AA1与BC；(2)DD1与A1B；(3)A1B与AC．迁移与应用正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)AC和DD1所成的角是________；(2)AC和D1C1所成的角是________；(3)AC和B1D1所成的角是________．求两异面直线所成的角的一般步骤：(1)作角：根据两异面直线所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证明：证明作出的角就是要求的角即证明所作角的两边分别与两异面直线平行；(3)计算：求角的值，常在三角形中求解；(4)结论．也可用“一作”“二证”“三求解”来概括．当堂检测1．如图所示，在三棱锥P－ABC中，六条棱所在的直线是异面直线的共有( )A．2对 B．3对 C．4对 D．6对2．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( ) A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行3．若直线a∥直线b，直线a与直线c异面，则b与c( )A．一定是异面直线 B．一定是相交直线C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线4．在长方体ABCD－A1B1C1D1的所有棱中，与棱AA1平行的棱有______．5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AC成45°角的棱共有__________条．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．答案：课前预习导学【预习导引】1．(1)任何一个预习交流1提示：a，b不一定是异面直线，因为a，b也有可能平行或相交．根据异面直线的定义，若a，b是异面直线，则找不到任何一个平面，使得直线a，b 都在这个平面内．2．相交直线平行直线异面直线预习交流2提示：这两条直线平行或异面．3．(1)互相平行平行线的传递性a∥c(2)对应平行相等互补预习交流3 提示：相等4．(1)锐角直角(2)直角a⊥b预习交流4 (1)提示：0°＜θ≤90°(2)提示：∵a⊥c，∴a与c所成的角为直角．∵a∥b，∴b与c所成的角等于a与c所成的角．即b与c所成的角是直角，∴b⊥c．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：依据两直线相交、平行、异面的定义、公理或定理判断．解：(1)∵C∈平面ABCD，AB⊂平面ABCD，又C∉AB，C1∉平面ABCD，∴AB与CC1异面．(2)∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC．(3)∵A1D1∥BC，则A1，B，C，D1在同一平面内，∴A1C与D1B相交．(4)∵B∈平面ABCD，DC⊂平面ABCD，又B∉DC，D1∉平面ABCD，∴DC与BD1异面．(5)连接A1B，EF，D1C，则A1B D1C．又E，F分别是AA1，AB的中点，∴EF 12A1B．∴EF 12D1C，∴四边形CD1EF是梯形，D1E与CF是腰．∴D1E与CF相交．迁移与应用1．D 2．C3．相交、平行或异面活动与探究2 思路分析：(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证BB1与MM1平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明．证明：(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴MM1AA1．又∵AA1BB1，∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM．同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM．由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，∴∠BMC＝∠B1M1C1．迁移与应用1．D2．证明：连接BD，因为EH是△ABD的中位线，所以EH ∥BD ，且EH ＝12BD ．同理FG ∥BD ，且FG ＝12BD ．所以EH ∥FG ，且EH ＝FG ．所以四边形EFGH 是平行四边形．活动与探究3 思路分析：先根据两异面直线所成角的定义，在图中作出或找出两异面直线所成的角，然后再求其大小．解：(1)∵AD ∥BC ，AA 1⊥AD ，∴AA 1⊥BC ，即AA 1与BC 所成的角为90°．(2)∵DD 1∥AA 1，∴DD 1与A 1B 所成的角就是AA 1与A 1B 所成的角．又∠AA 1B ＝45°，∴DD 1与A 1B 所成的角为45°．(3)连接D 1C ，AD 1，则A 1B ∥D 1C ．∴D 1C 与AC 所成的角就是A 1B 与AC 所成的角． 又∵AC ＝CD 1＝D 1A ， ∴∠ACD 1＝60°．∴A 1B 与AC 所成的角为60°．迁移与应用 (1)90° (2)45° (3)90° 【当堂检测】1．B 2．D 3．C 4．BB 1，CC 1，DD 1 5．8。
【精品】人教A版高二数学必修二第二章2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 第一课时(20张ppt)
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a a
b b
关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？ A. 空间中既不平行又不相交的两条直线； B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直 线； C. 分别在不同平面内的两条直线； D. 不在同一个平面内的两条直线； E. 不同在任何一个平面内的两条直线.
CA
G
H
DB
HE
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F
E
A
G C
D
B F
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例2：如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分 别是AB，BC，CD，DA的中点.
空间两条直线的位置关系： 相交、平行、异面
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1．用舟轻快、风吹衣的飘逸来表现自 己归居 田园的 轻松愉 快，形 象而富 有情趣 ，表现 了作者 乘舟返 家途中 轻松愉 快的心 情。 2．“问征夫以前路，恨晨光之熹微”中 的“问”和“恨”表达了 作者对 前途的 迷茫之 情。
1. 空间直线的位置关系； 2. 异面直线的概念(既不平行也不相交的
两条直线)； 3. 异面直线画法及判定；
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高中数学复习课件-高中数学必修2课件 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
【做一做 1】 如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与 AA1 异面的是 ()
A.AB
B.BB1
C.DD1
D.B1C1
解析:AA1∥BB1,AA1∥DD1,AA1∩AB=A,AA1 与 B1C1 是异面直线.
答案:D
2.空间两条直线的位置关系 (1)相交直线——同一平面内,有且只有一个公共点; (2)平行直线——同一平面内,没有公共点; (3)异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点.
对定义可作如下理解:“不同在任何一个平面内的两条直线”是指不存在一 个平面同时经过这两条直线,或者说找不到一个平面同时经过这两条直线.“异 面”的含义就是“不能共面”的意思.定义中“任何”是不可缺少的关键词,不能误 解为“不同在某一平面内”.
(2)图示:如图 a,b 所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个 或两个平面来衬托.
2
2
∴∠GFE 就是 EF 与 AB 所成的角,且 EG=GF.
∵AB⊥CD,∴EG⊥GF.
∴∠EGF=90°,
∴△EFG 为等腰直角三角形.
∴∠GFE=45°,即 EF 与 AB 所成的角为 45°.
反思:(1)求两条异面直线所成的角的一般步骤: ①作:根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角; ②证:证明作出的角就是要求的角; ③计算:求角的值,常利用解三角形.因此可用“一作二证三计算”来概括. (2)平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角,要注意识别这
成立的标准是已知条件能确定在同一个平面内,在空间中就成立,否则不成立.
【做一做 4】 已知∠BAC=30°,AB∥A'B',AC∥A'C',则∠B'A'C'=( )
高一年级数学必修二2.1《空间中直线与直线之间的位置关系》优质教学设计
《空间中直线与直线之间的位置关系》教学设计《空间中直线与直线之间的位置关系》教学设计【教材分析】本节课必修二第二章第一节第一课时的内容，是在初中学习了平面内直线与直线之间的位置关系的基础上，进一步探究空间中直线与直线之间的位置关系之间的关系，需要注意到异面直线，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系.【学情分析】学生在学习平面内直线与直线之间的位置关系的基础上进行的，难点在于异面直线的引入，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系.这就需要提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力..【教学目标】知识技能目标（1）掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。
（2）会用平面衬托来画异面直线。
（3）掌握并会应用平行公理和等角定理。
（4）会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简 单异面直线所成的角。
◆ 过程方法目标（1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识◆ 情感态度目标(1)让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
(2)增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。
(3)通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力【重点】异面直线的定义；异面直线所成的角的定义。
【难点】异面直线所成角的推证与求解【教学方法】互动探究，合作交流.【教学流程】创设情境平面内两条直线的位置关系有？相交直线（有一个公共点）；平行直线（无公共点）平面内不平行的两直线必相交，在空间中还成立么？通过实例展示,十字路口----立交桥在正方体中, 两条线既不平行，又不相交（非平面问题）归纳新知异面直线的概念(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
在教室里找出几对异面直线的例子 （学生就教室中的灯管、黑板、墙棱、暖气管、课桌等等找出许多异面直线）(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．(3)判断两直线为异面直线的方法①定义法；②两直线既不平行也不相交．(4)空间两条直线的三种位置关系①从是否有公共点的角度来分：⎩⎪⎨⎪⎧ 没有公共点⎩⎨⎧ 平行异面有且仅有一个公共点——相交②从是否共面的角度来分：⎩⎪⎨⎪⎧ 在同一平面内⎩⎨⎧ 平行相交不同在任何一个平面内——异面知识点二 平行公理(公理4)思考 在平面内，直线a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c 则a ∥c .该结论在空间中是否成立？答案 成立．梳理 平行公理的内容(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(2)符号表示：⎭⎬⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 知识点三 等角定理思考 观察图，在长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，∠ADC 与∠A ′D ′C ′，∠ADC 与∠D ′A ′B ′的两边分别对应平行， 这两组角的大小关系如何？答案 从图中可以看出，∠ADC ＝∠A ′D ′C ′，∠ADC ＋∠D ′A ′B ′＝180°. 梳理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补． 知识点四 异面直线所成的角思考 在长方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，BC 1∥AD 1，则“直线BC 1与直线BC 所成的角”与“直线AD 1与直线BC 所成的角”是否相等？答案 相等．类型一 空间两直线位置关系的判定例1 如图所示，点P ，Q ，R ，S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是()考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案C解析不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断，仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择．A，B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS相交．故选C.反思与感悟(1)判断空间中两条直线位置关系的关键点①建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线．②重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．(2)判定两条直线是异面直线的方法①证明两条直线既不平行又不相交．②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，B∉l，l⊂α，则AB与l是异面直线(如图)．跟踪训练1(1)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．平行、相交或异面考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定答案D解析可借助长方体来判断．如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面．(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为()A．1 B．2 C．3 D．4考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案C解析还原的正方体如图所示．是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.类型二平行公理和等角定理的应用例2在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.考点平行公理题点判断、证明线线平行证明因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.所以四边形EBB′E′是平行四边形，所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.所以EE′∥FF′.引申探究1．在本例中，若M，N分别是A′D′，C′D′的中点，求证：四边形ACNM 是梯形．证明在正方体中，MN∥A′C′，且MN＝12A′C′，因为A′C′∥AC，且A′C′＝AC，所以MN∥AC，且MN＝12AC.又AM与CN不平行，故四边形ACNM是梯形．2．若将本例变为已知E，E′分别是正方体ABCD－A′B′C′D′的棱AD，A′D′的中点．求证：∠BEC＝∠B′E′C′.证明如图所示，连接EE′.因为E，E′分别是AD，A′D′的中点，所以AE∥A′E′，且AE＝A′E′.所以四边形AEE′A′是平行四边形．所以AA′∥EE′，且AA′＝EE′.又因为AA′∥BB′，且AA′＝BB′，所以EE′∥BB′，且EE′＝BB′，所以四边形BEE′B′是平行四边形，所以BE∥B′E′.同理可证CE∥C′E′.又∠BEC与∠B′E′C′的两边方向相同，所以∠BEC＝∠B′E′C′.反思与感悟(1)空间两直线平行的证明方法证明空间两条直线平行的方法有两个：一是利用平面几何知识(三角形、梯形的中位线，平行四边形性质，平行线分线段成比例定理等)证明；二是利用公理4，就是需要找到第三条直线c，使a∥c，b∥c，由公理4得到a∥b.(2)空间角相等的证明方法①等角定理是较常用的方法．②转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明．跟踪训练2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点．求证：△EFG∽△C1DA1.考点平行公理题点判断、证明线线平行证明如图，连接B1C.因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF∥B1C且GF＝12B1C.又ABCD—A1B1C1D1为正方体，所以CD∥AB且CD＝AB，A1B1∥AB且A1B1＝AB，由公理4知CD∥A1B1且CD＝A1B1，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D∥B1C且A1D＝B1C.又B1C∥FG，由公理4知A1D∥FG.同理可证：A1C1∥EG，DC1∥EF.又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两边分别对应平行且均为锐角，所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.所以△EFG∽△C1DA1.类型三求异面直线所成的角例3在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F 分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角解如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，则EG∥AB且EG＝12AB，GF∥CD且GF＝12CD，由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成角，∠EGF或其补角为AB与CD所成角．∵AB与CD所成角为30°，∴∠EGF＝30°或150°，由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，故EF与AB所成角的大小为15°或75°.反思与感悟求两条异面直线所成的角的一般步骤(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角．(2)计算角：求角度，常利用三角形．(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．跟踪训练3在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角解如图①，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.则OG∥B1D，EF∥A1C1.∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.课后练习1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A．共面B．平行C．异面D．平行或异面考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定答案D解析若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为() A．130° B．50°C．130°或50° D．不能确定考点平行公理题点利用等角定理求角答案C解析根据定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.3．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是() A．平行或异面B．相交或异面C．异面D．相交考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定答案B解析如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.4．对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是________．考点平行公理题点判断、证明线线平行答案矩形解析如图所示．∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点，∴MN∥AC，且MN＝12AC，PQ∥AC且PQ＝12AC，即MN∥PQ且MN＝PQ，∴四边形MNPQ是平行四边形．又∵BD∥MQ，AC⊥BD，∴MN⊥MQ，∴平行四边形MNPQ是矩形．5．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角解(1)如图所示，连接AC，AB1.由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°.(2)如图所示，连接BD.由(1)知AC∥A1C1，∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°.1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．一、选择题1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()A．一定平行B．一定垂直C．一定是异面直线D．一定相交考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定答案B解析∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定答案D解析可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾)．3．两等角的一组对应边平行，则()A．另一组对应边平行B．另一组对应边不平行C．另一组对应边不可能垂直D．以上都不对考点平行公理题点利用等角定理求角答案D解析另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是() A．相交B．异面C．平行D．垂直考点平行公理题点判断、证明线线平行答案C解析如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.5．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有()A．2对B．3对C．6对D．12对考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案C解析如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对，故选C.6．已知直线a，b，c，下列三个命题：①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.其中，正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定的应用答案A解析①不正确，如图；②不正确，有可能相交，也有可能异面；③不正确，可能平行，可能相交，也可能异面．7．已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD ＝6，则()A．1＜MN＜5 B．2＜MN＜10C．1≤MN≤5 D．2＜MN＜5考点平行公理题点判断、证明线线平行答案A解析取AD的中点H，连接MH，NH，则MH∥BD，且MH＝12BD，NH∥AC，且NH ＝12AC ，且M ，N ，H 三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH －NH <MN <MH ＋NH ，即1<MN <5.8．如图，点P ，Q 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线AD 1，BD 的中点，则异面直线PQ 和BC 1所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°考点 异面直线所成的角题点 求异面直线所成的角答案 C解析 连接AC ，D 1C .由P ，Q 分别为AD 1，BD 的中点，得PQ ∥CD 1.又BC 1∥AD 1，∴∠AD 1C 为异面直线PQ 和BC 1所成的角．∵△ACD 1为等边三角形，∴∠AD 1C ＝60°.即异面直线PQ 和BC 1所成的角为60°.二、填空题9．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________．(填序号)考点 空间中直线与直线的位置关系题点 空间中直线与直线的位置关系判定答案 ③④解析直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误；③④正确．10．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD 的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________.考点异面直线所成的角题点异面直线所成角的应用答案5解析取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝12AC＝4，PM＝12BD＝3，∴MN＝5.11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论正确的为________．(填序号)考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定的应用答案①③解析把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．三、解答题12．如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．考点平行公理题点判断、证明线线平行证明设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ∥A1D1且EQ＝A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1∥B1C1且A1D1＝B1C1，∴EQ∥B1C1且EQ＝B1C1.∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E∥C1Q且B1E＝C1Q.又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，∴QD∥C1F且QD＝C1F，∴四边形QDFC1为平行四边形．∴C1Q∥DF且C1Q＝DF，∴B1E∥DF且B1E＝DF，∴四边形B1EDF为平行四边形．13．如图，平面SAB为圆锥的轴截面，O为底面圆的圆心，M为母线SB的中点，N为底面圆周上的一点，AB＝4，SO＝6.(1)求该圆锥的侧面积；(2)若直线SO与MN所成的角为30°，求MN的长．考点异面直线所成的角题点异面直线所成角的应用解(1)由题意知SO⊥底面ABN，在Rt△SOB中，OB＝12AB＝2，SO＝6，所以SB＝22＋62＝210.所以该圆锥的侧面积S＝π·OB·SB＝410π.(2)取OB 的中点C ，连接MC ，NC ，因为M 为SB 的中点，所以MC 为△SOB 的中位线，所以MC ∥SO ，MC ＝12SO ＝3.又因为SO ⊥底面ABN ，所以MC ⊥底面ABN ，因为NC ⊂底面ABN ，所以MC ⊥NC .因为直线SO 与MN 所成的角为30°，所以∠NMC ＝30°，在Rt △MCN 中，MC MN ＝cos 30°，所以MN ＝MC cos 30°＝332＝2 3. 四、探究与拓展14．设P 是直线l 外一定点，过点P 且与l 成30°角的异面直线( )A ．有无数条B ．有两条C ．至多有两条D ．有一条考点 异面直线所成的角题点 异面直线所成角的应用答案 A解析 如图所示，过点P 作直线l ′∥l ，以l ′为轴，与l ′成30°角的圆锥面的所有母线都与l 成30°角．15．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1与AC ，AB 所成的角均为60°，∠BAC ＝90°，且AB ＝AC ＝AA 1，求异面直线A1B 与AC 1所成角的余弦值．考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角解如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC－A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性质知BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角．设AB＝a，∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA1，∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cos 30°＝3a.又∠BAC＝90°，∴在矩形ABDC中，AD＝2a，∴A1D1＝2a，∴A1D21＋A1B2＝BD21，∴∠BA1D1＝90°，∴在Rt△BA1D1中，cos∠A1BD1＝A1BBD1＝a3a＝33.课堂小结◆空间三条直线的位置关系◆平行线的传递性◆异面直线所成的角六、作业布置必修二第二章第一节课后题。
高中数学必修二导学案：第二章第一节空间中直线与直线之间的位置关系
第二章第一节空间中直线与直线之间的位置关系三维目标1.理解空间中两条直线的位置关系；2.理解异面直线的概念、会画异面直线，提升空间想象能力；3.了解公理4和等角定理，知道异面直线所成角的定义、范围及作用.________________________________________________________________________________ 目标三导学做思1问题1.通过身边诸多实物，空间两条直线有多少种位置关系？*问题2.如何用图形语言表示表示空间两条直线的位置关系？问题3. 如右图长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'与DD'平行吗？你能得出什么结论？【试试】公理4：符号表示为：作用： 问题4. 如右图∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ 【试试】等角定理： 符号表示为： 作用： 问题5.阅读教材46-47页回答：什么是异面直线所成角？如何画出两条异面直线所成的角？异面直线所成角的范围是多少？ 【学做思2】1.如图2.1-17，空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形.图2.1-172. 如图2.1-18,观察长方体ABCD-A'B'C'D' (1)有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？ (2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？(3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行？图2.1-183.如图2.1-20，已知正方体ABCD-A'B'C'D'.(1)哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？（2）直线BA'和CC'的夹角是多少？(3)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？图2.1-20 【反思】如何求异面直线所成角？达标检测α,内各取两点，这四点都不在交线上，这四点最多能确定个平面*1.平面βA 1*2.若︒=∠120AOB ,直线a OA a ,//与OB 为异面直线，则OB a 和所成的角的大小为 . 3.填空题： （1）如图1，'AA 是长方体的一条棱，长方体中与'AA 平行的棱共有 ________ 条.（2）如果OA//''A O ,OB//''B O ,'''B O A ________.图1 图2*4.如图2，在正方体1111D C B AABCD -中，F E 、分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所 成的角。
高一数学必修2同步教师用书：第2章2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系[基础·初探]教材整理1空间直线的位置关系阅读教材P44～P45“探究”以上的内容，完成下列问题．1．异面直线(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．(2)画法：(通常用平面衬托)图2-1-102．空间两条直线的位置关系共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点.平行直线：同一平面内，没有公共点.异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行．()(2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行．()(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线．()(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．()【解析】(1)错误．空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面．(2)正确．因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面．(3)错误．过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线．(4)错误．和两条异面直线都相交的两直线也可能是相交直线．【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×教材整理2公理4及等角定理阅读教材P45“探究”以下至P46倒数第7行的内容，完成下列问题．1．公理4文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．符号表述：a∥bb∥c?a∥c.2．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于()A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对【解析】因为AB∥PQ，BC∥QR，所以∠PQR与∠ABC相等或互补．因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.【答案】 B教材整理3异面直线所成的角阅读教材P46下面的两个自然段至P47“探究”以上的内容，完成下列问题．1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．2．异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ_≤90°.3．当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.如图2-1-11，正方体ABCD-A′B′C′D′中异面直线A′B′与BC所成的角为________．异面直线AD′与BC所成的角为________．图2-1-11【解析】∵A′B′∥AB，∴∠ABC为A′B′与BC所成的角，又∠ABC＝90°，∴A′B′与BC所成的角为90°.∵BC∥AD，∴∠D′AD为AD′与BC所成的角，因为∠D′AD＝45°，故AD′与BC所成的角为45°.【答案】90°45°[小组合作型]空间两直线位置关系的判定如图2-1-12，正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：图2-1-12①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________．【精彩点拨】判断两直线的位置关系，主要依据定义判断．【自主解答】根据题目条件知道直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”．同理，直线AB与直线B1C“异面”．所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．【答案】①平行②异面③相交④异面1．判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．2．判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面．[再练一题]1．(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()A．a∥c B．a、c是异面直线C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面(2)若直线a、b、c满足a∥b，a、c异面，则b与c()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线【解析】(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面．(2)若a∥b，a、c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知a ∥c.【答案】(1)D(2)C公理4、等角定理的应用如图2-1-13，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．图2-1-13(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.【精彩点拨】(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明．【自主解答】(1)∵ABCD-A1B1C1D1为正方体．∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M、M1分别为棱AD、A1D1的中点，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴M1M＝AA1且M1M∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)法一由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.法二由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1.1．空间两条直线平行的证明一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．2．求证角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．[再练一题]2．如图2-1-14，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．图2-1-14求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.【证明】(1)如图，连接AC，在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN是△ACD的中位线，∴MN∥AC，MN＝12 AC.由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝12A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1.又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.[探究共研型]求异面直线所成的角探究1已知直线a，b是两条异面直线，如图2-1-15，如何作出这两条异面直线所成的角？图2-1-15【提示】如图，在空间中任取一点O，作直线a′∥a，b′∥b，则两条相交直线a′，b′所成的锐角(或直角)角θ即两条异面直线a，b所成的角．探究2异面直线a与b所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？【提示】异面直线a与b所成角的大小只由a，b的相互位置有关，与点O的位置选择无关，一般情况下为了简便，点O常选取在两条异面直线中的一条上．如图2-1-16，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF＝3，求异面直线AD、BC所成角的大小．图2-1-16【精彩点拨】根据求异面直线所成角的方法，将异面直线AD、BC平移到同一平面上解决．【自主解答】如图，取BD的中点M，连接EM、FM.因为E、F分别是AB、CD的中点，所以EM綊12AD，FM綊12BC，则∠EMF或其补角就是异面直线AD、BC所成的角．因为AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，在等腰△MEF中，过点M作MH⊥EF于H，在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝12EF＝32，则sin∠EMH＝32，于是∠EMH＝60°，则∠EMF＝2∠EMH＝120°.所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线AD、BC所成的角为60°.求两异面直线所成的角的三个步骤1．作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角．2．证：证明作出的角就是要求的角．3．计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角θ的取值的范围是0°< θ≤90°.[再练一题]3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与B1D1所成的角．【解】如图，连接BD、A1D，∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴DD1綊BB1，∴四边形DBB1D1为平行四边形，∴BD∥B1D1.∵A1B、BD、A1D是全等的正方形的对角线，∴A1B＝BD＝A1D，△A1BD是正三角形，∴∠A1BD＝60°.∵∠A1BD是锐角，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角，∴A1B与B1D1所成的角为60°.1．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l() A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线【解析】不论l∥α，l?α还是l与α相交，α内都有直线m使得m⊥l.【答案】 C2．下列命题中，正确的结论有()①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】由公理4及等角定理知，只有②④正确．【答案】 B3．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________.【解析】由等角定理可知β＝135°.【答案】135°4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，与棱AA1垂直且异面的棱有________.【解析】如图，与棱AA1垂直且异面的棱有DC，BC，D1C1，B1C1.【答案】DC，BC，D1C1，B1C15．如图2-1-17所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．图2-1-17【解】取AC的中点G，连接EG，FG，则FG∥CD，EG∥AB，所以∠FEG即为EF与AB所成的角，且FG＝12CD，EG＝12AB，所以FG＝EG.又由AB⊥CD得FG⊥EG，所以∠FEG＝45°.故EF和AB所成的角为45°.。
人教版高中数学必修二2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》公开课教学课件共21张PPT (共21张PPT)
对?答:共有三对 AB与CD
AB与GH EF与GH
CA
G DB
HE F
A
H G(C)
D F (B)
E
3.空间中两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有三种
共面直线
平行直线 相交直线
异面直线
位置关系
相交
平行
异面
公共点个数
只有一个
没有 没有
是否共面
共面 共面 不共面
二、空间直线的平行关系
2.1.2《空间中直线与直线 之间的位置关系》
单 位 ： 蓬 莱 二 中
学习目标
知识与技能：会判断空间两直线的位置关系， 理解公理四，掌握异面直线的概念及所成的角。
过程与方法：用实例引出异面直线的概念，介绍 空间直线位置关系，进而由公理4引出异面直线 所成的角。
情
感
态
度
价新疆 王新敞 奎屯
值
观
：
培
解：（2）由 BB // CC 可
D'
C'
知与，BCBCA 等的于夹角异,面所直以线异B面A A'
B'
直线 BA与 CC 的夹角为
450 。
D
C
(3) 直线AB, BC,CD, DA, AB, A
B
BC,CD, DA 与直线 AA都垂直.
题后反思：
1、解题时常将异面直线所成的角转化为 相交直线所成的角实现了空间问题平面化
思考：a ,b ,则a 与b 是异面直线吗？
b a
M
ab
a
b
a与b是异面直线 a与b是相交直线 a与b是平行直线
高一数学必修二 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
重难点点拨
12
例如,在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB和B1C1是 异面直线.由于AB∥A1B1,则∠A1B1C1就是它们所成的角,当然∠ABC 也是它们所成的角;对于异面直线AD1和B1C来说,在图中就没有它 们所成的角,这就需要作辅助线,连接BC1交B1C于点E,则BC1∥AD1, 故∠C1EC是异面直线AD1和B1C所成的角或其补角.很明显△C1EC 是等腰直角三角形,∠C1EC=90°,即异面直线AD1和B1C所成的角为 90°.
(3)两条异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,那么
就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b,记作a⊥b.
【做一做5】 在长方体ABCD-A'B'C'D'中,与棱AA'垂直且异面的
棱有
.
答案:BC,B'C',CD,C'D'
重难点点拨
12
1.对异面直线的理解 剖析:异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.要注意
位置关系 相交 平行 异面
共面情况 在同一平面内 在同一平面内 不同在任何一个平面内
公共点个数 1 0 0
名师点拨 1.若无特别说明,本书中的两条直线均指不重合的两
条直线.
2.空间两条直线的位置关系
相交
共面
空间两条直线
平行
异面
1 2 34 5
知识梳理
【做一做2】 不平行的两条直线的位置关系是( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.相交或异面 解析:由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面,则不 平行的两条直线的位置关系是相交或异面. 答案:D
1 2 34 5
知识梳理
高一数学人教A版必修2：2-1-2 空间中直线与直线之间的位置关系
第二章 2.1 2.1.2
第二章 2.1 2.1.2
第四十二页，编辑于星期日：二十二点 二分。
∴MN∥AC，MN＝12AC.
由正方体的性质得：
AC∥A1C1，AC＝A1C1. ∴MN∥A1C1，且 MN＝12A1C1，
即 MN≠A1C1， ∴四边形 MNA1C1 是梯形．
第二章 2.1 2.1.2
第四十三页，编辑于星期日：二十二点 二分。
第二章 2.1 2.1.2
第十九页，编辑于星期日：二十二点 二分。
[规律](1)判断两直线平行、相交可用平面几何中的定义和 方法．
(2)判断异面直线的方法有如下几种
第二章 2.1 2.1.2
第二十页，编辑于星期日：二十二点 二分。
方法
内容
定义 依据定义判断两直线不可能在同一个平面内
法
定理 过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为
第二章 2.1 2.1.2
第二十三页，编辑于星期日：二十二点 二分。
如图所示，在三棱锥 S－MNP 中，E、F、G、H 分别是棱 SN、SP、MN、MP 的中点，则 EF 与 HG 的位置关系是( )
第二章 2.1 2.1.2
第二十四页，编辑于星期日：二十二点 二分。
A．平行 C．异面
[答案] A
线 a′∥a，b′∥b，我们把 a′与 b′所成的 锐角 (或直角)叫