新人教版高中数学2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义说课稿必修四
高中数学2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义说课稿新人教版必修4
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义（说课稿）一、课题介绍选自普通高中课程标准试验教科书(人民教育出版社A版)《必修4》第二章第四节的第一课时——平面向量数量积的物理背景及其含义．对于这节课，我将以“教什么、怎么教、为什么这样教”为思路，从教材分析、教法分析、学法分析、教学过程分析及板书设计分析五个方面来谈谈我对教材的理解和教学过程，敬请各位老师指正．二、教材分析(一) 本节在教材中的地位和作用平面向量数量积的物理背景及其含义,包括数量积的定义、几何意义、性质及运算律.它是继向量的加法，减法,实数与向量的积等线性运算之后又一新的运算，是前面知识的延续，又是学好后续知识的基础，起承上启下的作用.由于它在数学、物理等学科中的广泛应用,因此，我把本节内容分为两个课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的运算律.本节课为第一课时.(二) 目标分析教学中以知识技能的培养为主线,渗透情感态度与价值观,并把这两者充分体现在教学过程中.教学的主体是学生,因此目标的制定和设计必须从学生的角度出发,结合教学内容的要求及本节的地位与作用,本节课应实现如下教学目标:1、知识目标:理解平面向量数量积、投影的定义；掌握平面向量数量积的性质；了解用平面向量数量积处理有关长度、角度和垂直的问题.2、能力目标:通过对平面向量数量积性质的探究,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力,使学生的思维能力得到训练.继续培养学生的探究能力和创新的精神.3、情感目标:通过本节课的学习,激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神,体会学习的快乐.体会各学科之间是密不可分的.培养学生思考问题认真严谨的学习态度.(三) 教学的重点与难点本节课注重培养学生的创新精神和探究能力,因而确定重点、难点为:重点:平面向量数量积的定义、几何意义及其性质.难点:平面向量数量积性质的探究.三、教法分析本节课主要通过师生之间的相互探讨和交流进行教学，即以导学讲评教学方法为主，结合了探究式教学法、讲练结合法、谈话法等展开教学．在活动中，教师着眼于“导”，尽力激发学生的求知欲望，引导他们解决问题，并掌握解决问题的规律和方法；学生着眼于“探”，通过活动发现规律，解决问题，发展探索能力和创造能力．四、学法分析根据新课程标准理念，学生是学习的主体，教师只是学习的帮助者，引导者.考虑到这节课主要通过老师的引导让学生自己发现规律，在自己的发现中学到知识，提高能力，因此，我主要引导学生自己从问题中质疑、尝试、归纳，采用自主探究的方法进行学习，并使学生从中体会学习的兴趣.五、教学过程教学是一个教师的“导”，学生的“学”以及教学过程中的“悟”构成的和谐整体.如果再把教学过程中“教与学”完美的结合也就是以“问题”为核心，通过对知识的发生、发展和运用过程的演绎、解释及探究来组织和推动教学.因此，我的教学过程如下：(一) 创设情境，引入新课(二) 合作探究1、结合物理中功的定义，思考θcos S F S F W =⋅=是怎样得出来的，从而引出数量积的定义:已知两个非零向量b a 与，把数量θcos b a 叫做b a 与的数量积(或内积)，记作b a ⋅，即有θcos b a b a =⋅，然后分析定义强调应该注意的问题，得到一个特殊的规定：零向量与任意向量的数量积都为零，即00=⋅a (a 为任意向量)．再结合位移方向上的力做功引出投影的定义: ()θθcos cos b a 叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影.让学生独立思考投影及数量积的符号；引导学生说出数量积的结构得出几何意义：数量积与的长度等于a a b a ⋅b 在a 方向上的投影θcos b 的乘积.2、结合数量积的正负，提出两个向量夹角的三个特殊值来研究，当︒︒︒=901800、、θ时，(1) 0=⋅⇔⊥b a b a ; (2) b a b a b a =⋅同向时，与当;b a b a b a -=⋅反向时，与当,特别地,a a a a a a ⋅==⋅或2. (3) b a b a ≤⋅.(三) 例题讲解知识注重应用.因而，当这部分知识讲解完后，我将通过一个例题来强化学生对知识的理解.例 已知4,5==b a ，b a 与的夹角θ=120度，求b a ⋅．目的：巩固所学知识，解决情景中问题.例题注重分析，并将结果回到情景中，培养学生理论联系实际的思想.(四) 课堂练习为了培养学生独立解决问题的能力，在例题讲解后，我设计了一个练习题,通过抽个别同学上黑板演算，其余同学在草稿本上完成练习的方式来掌握学生的学习情况，从而对讲解内容作适当的补充提醒.(五) 课时小结让学生回顾本节课主要内容并小结.使学生明确本节课的重点与难点，培养学生归纳总结的能力.(1)平面向量数量积、 投影的定义以及数量积的几何意义.(2)平面向量数量积的几个重要结论.目的：通过课堂小结，使学生对本节的内容有一个完整、系统的认识，在培养概括能力的同时，也对本节课的教学效果进行反馈．(六) 作业布置目的：使学生继续加深对数量积概念的理解及应用，为后续学习打好基础.五、板书设计板书设计的好坏直接影响这节课的效果，因此它起着举足轻重的作用.为了使整个板面重点突出，层次分明，我将黑板分为四版，第一版是通过复习物理知识引入新课,第二版是新课的讲解，第三版是数量积性质的探究，第四版是例题和练习题，这样的排版使学生一目了然.总之,这节课是本着教师只是学生学习的引导者,知识是由学生自主构建的原则设计的.以上就是我对本节课的理解和设计,敬请各位老师批评指正.。
人教版高一数学必修四2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件
我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下 产生位移s（如图）
F
θ
S
思考1：如何计算这个力F所做的功？ W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
思考2 力做功的大小与哪些量有关？ 答与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.
思考3 用文字语言表达功的计算公式 W=|F| |S|cosθ 答：功是力与位移的大小及其夹角的余弦的乘积
(2)b 在 a 方向上的投影为a|a·b| ，a 在 b 方向上的投影为a|b·b| .
合作探究
2、平面向量的数量 积的运算律：
(1)a
b
b
a
(2)( a ) b
(a
b
)
a
(b
)
(3)(a b) c a c b c
其中，a、b、c是任意三个向量， R
注：
(a
b)c
a
(1)当a⊥b时，求a与b的数量积.
(2)当a∥b时，求a与b的数量积. (3)当a与b的夹角为60°时，求a与b的数量积. （4）当a·b=10时，求a与b的夹角.
反思与感 解析答案
解 (1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°， a·b＝|a|·|b|cos 0°＝4×5＝20； 若a与b反向，则θ＝180°， ∴a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0. (3)当a与b的夹角为60°时，a·b＝|a|·|b|cos 60°
学习目标
1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下 产生位移s所做的功. 2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义. 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个 向量是否垂直.
高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其定义教案人教版必修4
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及定义一、教学目标1.知识与技能：掌握平面向量的数量积的定义、运算率及其物理意义2.过程与方法：（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系（2）通过向量数量积定义的给出，体会简单归纳与严谨定义的区别（3）通过向量数量积分配率的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法3.情感、态度与价值观：通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。
二、教学重点、难点重点：平面向量数量积的定义难点：数量积的性质及运算率三、教学方法：探究性设计方法，提出问题，创设情境，引导学生参与教学过程四、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图引入以物理学中的做功为背景引入问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？力做的功：W = |F ||s|c os ，是F与s的夹角a abb 教师提出问题，学生思考由旧知识引出新内容；同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系定义形成问题：给一个精确定义问题：定义向量的一种乘积运算，使得做功公式符合这种运算一、两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b，作OA ＝a，OB＝b，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角说明：（1）当θ＝０时，a与b同向；（2）当θ＝π时，a与b反向；（3）当θ＝2时，a与b 垂直，记a⊥b；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤180C二、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|c os叫a与b的数量积，记作a b，即有a b=|a||b|c os，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0教师引导学生，注意：1.两向量必须同起点；2.的取值范围；3.数量积的定义公式形式；4.注意特殊向量零向量让学生自己体会数学的概括性、严谨性及可操作性定义深化问题：根据向量数量积的定义进行变形分析，总结性质（考虑特殊情况）结论：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量学生自己回顾、探索、根据已有知识养成学生自己动脑、动手探索总结1、e a = a e =|a |c os2、a b a b = 03、 aa = |a |2或||a a a =4、c os =||||a ba b5、|ab | ≤ |a ||b |问题：在以往接触的实数运算中，有很多运算率，结合实数乘法的运算率谈谈平面向量数量积的运算率问题：数量积满足乘法交换率、分配率、结合率、消去率吗？ 如何验证。
高中数学人教版必修4课件2-4-1平面向量数量积和物理背景及其含义2
|a||b|
预习效果
1．若|a|＝2，|b|＝1，a 与 b 的夹角为 60°，则 a·b 等于( )
A．12
B．14
C．1
D．2
• [答案] C • [解析] a·b＝|a|·|b|cos<a，b>
• ＝2×1×cos60°＝1.
2．已知△ABC 是边长为 1 的正三角形，则A→B在B→C方向上
2．向量在轴上的正射影 (1)已知向量 a 和轴 l 如图所示，作O→A＝ a，过点 O、A 分别作轴 l 的垂线，垂足分 别为 O1、A1，则向量O→1A1叫做向量 a 在轴 l 上的__正__射__影__(简称射影)． (2)a 在轴 l 上的正射影在轴 l 上的坐标，称作 a 在轴 l 上的 数量或在轴 l 的方向上的数量，记作 al，al＝__|a_|_·c_o_s_α___. (3)射影的坐标是数量，当 α 为锐角时，al 为正值；当 α 为 钝角时，al 为负值；当 α＝0 时，al＝__|a_|_____；当 α＝π 时， al＝__－__|a_|___.
⑥a 在 l 上的数量为向量； ⑦〈a，l〉＝－π2. 其中正确的是________．
• [分析] 利用射影、射影的数量以及向量夹角的定义解题．
• [解析] a在l上的射影为向量．这个向量的坐标叫做数量． • 故①②不正确，③正确，④⑥不正确，⑤正确，由向量夹角
的范围可知⑦不正确． • 故选③⑤. • [答案] ③⑤
• 4．向量数量积的性质
• (1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝___|a_|_·c_o_s_〈__a_，__e_〉.
• (2)a⊥b⇔___a_·b_＝__0_； • (3)a·a＝|a|2或|a|＝___a_·_a___； • (4)cos<a，b>＝___a_·_b____(a≠0，b≠0)；
平面向量数量积的物理背景及其含义说课稿
“平面向量数量积的物理背景及其含义”说课稿说课内容：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）《数学必修4》第二章第四节“平面向量的数量积”的第一课时---平面向量数量积的物理背景及其含义。
下面，我从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学过程设计、教学媒体设计及教学评价设计六个方面对本节课的思考进行说明。
一、背景分析1、学习任务分析平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。
本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。
本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。
其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。
同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。
2、学生情况分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。
这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。
但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。
因而本节课教学的难点数量积的概念。
二、教学目标设计《普通高中数学课程标准（实验）》对本节课的要求有以下三条：（1）通过物理中“功”等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
人教版(A版)高中数学必修四 2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学课件 (共21张PPT)
再探定义
平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的运算律
交换律 结合律
abba
(a ) b a (b ) a b
分配律
(ab)cacbc
平面向量数量积的物理背景及其含义
证明分配律：
b
向量a、b、a + b在c
a
a+b
上的射影的数量分别
例1．证明（1） (ab)2a22abb2；
22
（2） (ab)(ab)ab.
证明:（1） (a b) 2 (ab)(ab)
aaabbabb
2
2
a 2abb
（2）(ab)(ab) aa-abba-bb
22
a b
典例分析
平面向量数量积的物理背景及其含义
例2．已知 | a | 6 ，| b | 4 ，a 与 b 的夹角为 60 o ，
巩固练习
平面向量数量积的物理背景及其含义
1.在△ABC中, BA =a , BC =b ,a·b<0 ,则△ABC 是_钝__角__三角形
2.已知 |a| =4,е为单位向量,它们的夹角为
2π
3
则 a在е方向上的投影是___–_2_
3.设a、b、c是非零向量，则（a·b)·c是（ C ）
（A）数量
若a 与 b 反向，则 a b | a || b | ；
特别地，a a |
a
| 2
2
a ，|a|
aa
2
a
a b
(3)cos
|a | b | ；
(4) | a b | ≤ | a || b | .
用于计算向量的模
高中数学人教版必修4课件2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义1
(3)实数运算满足消去律：若 bc＝ca，c≠0，则有 b＝a.在向 量数量积的运算中，若 a·b＝a·c(a≠0)，则向量 c，b 在向量 a 方 向上的投影相同，因此由 a·b＝a·c(a≠0)不能得到 b＝c.
(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足 乘法结合律，即(a·b)·c 不一定等于 a·(b·c)，这是由于(a·b)·c 表示 一个与 c 共线的向量，而 a·(b·c)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线.
类题通法
向量模的常见求法 在求向量的模时，直接运用公式|a|＝ a·a，但计算两向量的和与 差的长度用|a±b|＝ a±b2＝ a2±2a·b＋b2.
活学活用
已知向量 a、b 满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|. 解：由已知，|a＋b|＝4， ∴|a＋b|2＝42，∴a2＋2a·b＋b2＝16.(*) ∵|a|＝2，|b|＝3，∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9， 代入(*)式得 4＋2a·b＋9＝16，即 2a·b＝3. 又∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10， ∴|a－b|＝ 10.
3.两个向量的夹角和垂直问题
[例 3] (1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且 |a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________．
(2)已知非零向量 a，b 满足 a＋3b 与 7a－5b 互相垂直， a－4b 与 7a－2b 互相垂直，求 a 与 b 的夹角．
2.与向量的模有关的问题
[例 2] (1)已知向量 a，b 夹角为 45°，且|a|＝1，|2a－b|＝ 10， 则|b|＝________.
(2)已知|a|＝2，|b|＝4，a，b 的夹角为π3，以 a，b 为邻边作平 行四边形，求平行四边形的两条对角线中较短一条的长度．
人教版高中数学必修四 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义【教案】
深化
练习：已知 ，当与的夹角分别是： 时，求 。
问题 请同学们分析所得的数量积的结果，你能得到哪些结论？
、 均为非零向量，是单位向量，则有下面数量的性质：
（） ；
（） ，
（） 或
（）
（）
学生回答
老师提问组织学生讨论
通过这道练习，让学生体会数量积结果跟哪些量有关，强化定义的记忆，并由此得到数量积的个重要的性质，培养学生独立分析解决问题的能力
已知和轴（如图），过点，分别作轴的垂线，垂足分别是，，则向量 叫向量在轴上的正射影（简称射影）；该射影在轴上的坐标，叫做在轴上的数量或在轴的方向上的数量。
问题 （）类比力做功问题，在轴上的正射影是什么？正射影的数量又是什么？
（）类比向量在轴上的正射影概念，向量在向量上正射影的数量是多少？
练习:已知轴:向量 ,的方向与轴的正方向所成角为 ,求在轴上的正射影的数量;
学生归纳总结老师引导共同完成
帮助学生总结知识方法，便于学生系统掌握。
布置
作业
课本页，习题（）、、
（）
学生独立完成
进一步巩固所学知识和方法。
课后思考
如图，已知边上的高上，在边上，过和直线上有任一点，如，求的值。
培养学生独立思考问题的能力，强化学生对数量积定义的理解，特别是数量积几何意义的应用
几点说明：()该课主要是围绕力做功这一学生所熟知的物理学背景来设计授课的，强调学生的知识迁移能力；（）由于新老教材的区别，该课新教材只给了一个课时，因此我把重点放在了对数量积定义理解又特别是对数量积是“数”及几何意义的应用上；（）本节教案中我较突出了对正射影的教学，因为它与数量的定义的理解特别是揭示数量积的几何意义直接相关，而且平时教学中我也发现学生对这一概念的理解和应用比较困难，但本节课的重点应是数量积的定义，因此只能把关于正射影方面的练习放在课下让学生强化；（）教材对零向量与任一向量的数量积并没有给出定义，但介于力做功时如物体没有位移则功为零的事实，我在教案中强调了零向量的特殊性。
高中数学必修四(2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义)教案新人教A版必修4
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
教学过程
导入新课
思路 1. 我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向
线段等概念 , 向量是既有大小、 又有方向的量 , 它与物理学中的力学、 运动学等有着天然的联
系, 将向量这一工具应用到物理中 , 可以使物理题解答更简捷、更清晰 , 并且向量知识不仅是
所做的功 W可由下式计算 :
W =| F||s|cos θ
其中 θ 是 F 与 s 的夹角 . 我们知道力和位移都是向量 , 而功是一个标量 ( 数量 ).
故从力所做的功出发 , 我们就顺其自然地引入向量数量积的概念 .
思路 2. 前面我们已学过 , 任意的两个向量都可以进行加减运算 , 并且两个向量的和与
活动 : 教师引导学生来总结投影的概念 , 可以结合“探究” , 让学生用平面向量的数量积 的定义 , 从数与形两个角度进行探索研究 . 教师给出图形并作结论性的总结 , 提出注意点“投 影”的概念 , 如图 4.
图4 定义 :| b|cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 . 并引导学生思考 : 1°投影也是一个数量 , 不是向量 ; 2°当 θ 为锐角时投影为正值 ; 当 θ 为钝角时投影为负值 ; 当 θ 为直角时投影为 0; 当 θ=0° 时投影为 | b |; 当 θ =180°时投影为 -| b|. 教师结合学生对“投影”的理解 , 让学生总结出向量的数量积的几何意义 :
③（a+b) · c=a· c+b· c( 分配律 ).
特别是 :(1) 当 a≠ 0 时, 由 a· b=0 不能推出 b 一定是零向量 . 这是因为任一与 a 垂直的非零向
高中数学_2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计学情分析教材分析课后反思
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计一、教学目标1、知识与技能掌握平面向量的数量积的定义、运算律及其物理意义2、过程与方法（1）通过平面向量数量积的定义，让学生体会类比归纳的思维方法；（2）通过本节学习，体会求解一些比较简单向量数量积的方法。
3、情感态度与价值观通过本节的学习，培养学生的动手操作能力、观察判断能力，体会类比归纳思想。
二、重点、难点1、教学重点：平面向量数量积的概念，用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角。
2、教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解；平面向量数量积的应用。
三、教学方法与教学手段本节课为新授课。
根据班级的实际情况，在教学中积极践行新课程理念，倡导合作学习；注重学生动手操作能力与自主探究能力；在教学活动中始终以教师为主导、学生为主体，让学生经历动手操作、合作交流、观察发现、归纳总结等一系列的学习活动。
教学方法是综合法，多媒体辅助教学。
四、教学过程3、几何意义θcosbaba=⋅例2、在三角形ABC中，设向量CB=a ,CA=b ,a·b<0 ，AD为BC边上的高，AD=2.5，a=3，b =5,求a与b的夹角学生独立解决，教师进提问、引导、评价师生互动，教师给出数量积的几何意义。
幻灯片展示题目，师生互动，从不同的角度对向量夹角进行求解。
“温故而知新”，用学生已有的知识体系，构建新的知识体系。
教材上对这一知识点仅只概念而已，因此，有必要及时检测学生对几何意义这一知识点的掌握情况，查缺补漏。
4、性质（1）ae⋅=ea⋅=θcosa（2）ba⊥⇔0=⋅ba（3）当a与b同向时，baba=⋅，当a与b反向时，baba-=⋅（4）baba⋅=θcos（5）baba≤⋅学生思考，教师引导，师生共同完成证明进一步加深对平面向量数量积及其几何意义的理解，并做到灵活应用六、指导思想与理论依据1、向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着丰富的实际背景。
必修四 2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义说课稿
（2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义）说课
（姓名）
一、教材分析
1.教材所处地位、作用
向量是近代数学中重要和基本的教学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。
本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。
2.教学目标
本节课的教学目标、教学重点和难点如下：
（1）知识目标
①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
②掌握向量a与b的数量积公式。
③掌握平面向量数量积的重要性质及运算律。
（2）技能目标：
①能根据数量积公式求两向量的数量积。
②能根据数量积的运算律化简向量的数量积。
（3）情感目标
①体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化；
②通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力；
3.重难点
教学重点：平面向量的数量积。
教学难点：平面向量数量积的几何意义。
突破难点的关键：从已有的初中物理中关于做功的知识出发，结合功的定义，引入力F和位移S不在同一直线上的情况的功的计算方法。
二、学情分析
前面已学习了向量的加法、减法和数乘运算，学生对向量已有了一定的了解。
本节课中向量的数量积是一种新的运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样有
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人教版高中数学必修四第二章第四节：平面向量数量积的物理背景及含义 说课课件
（第一课时）
总体设计
一、说教材 二、说教学目标 三、说教学重点与难点 四、说教法与学法 五、说教学过程 六、说板书设计 七、说设计理念
一、说教材
1、教材位置
本课是《普通高中课程标准实验教 科书•数学•必修四》第二章第四节第 一课时的内容。
一、说教材
2、教材地位
求
AB BC BC CA CA AB .
3.(思考) 平面向量的数量积是一种新的运算，那么类比 实数的乘法运算数量积是否满足交换律、分配率及 结合律？
a b
（三）深入探究、加深理解
（2）
a 8 ，b 3
0
45
90
150
180
b cos
a b
探究三：通过本例你发现了什么？
（三）深入探究、加深理解
（1）
夹角 的范围
0 90
90
90 180
a b 的符号
平面向量数量积的物理背景及其含 义，包括数量积的定义、 几何意义、 性质及运算律它是继向量的加、 减法， 实数与向量的积等线性运算之后又一 新的运算，是前面知识的延续，又是 学好后续知识的基础，起承上启下的 作用
一、说教材
3、课时划分
根据本节内容，结合学生的实际情 况，《§2.4平面向量的数量积的物理 背景及其含义》这节课划分为2课时， 其中第一课时为平面向量的数量积的 概念、几何意义及性质，第二课时平 面向量数量积的运算律。本课为第一 课时的相关内容。
F cos
A
在物理求功过程中表示的意义？
高一数学2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义导学案新课程新课标必修四
§2.4.1平面向量的数量积的 物理背景及含义学习目标1. 在物理中功的概念的基础上，理解向量数量积的概念及几何意义；2. 掌握数量积的运算式及变式；掌握并能熟练运用数量积的运算律；掌握模长公式.学习过程一、课前准备（预习教材P103—P105）复习：如右图，如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功W= ，其中θ是F 与s 的夹角.二、新课导学※ 探索新知探究：平面向量数量积的含义问题1：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？1、平面向量数量积的定义：已知两个______向量a b r r 与，我们把______________叫a b r r 与的数量积。
（或________）记作_________即a b ⋅r r ＝___________________其中θ是a b r r 与的夹角。
__________叫做向量a b r r 在方向上的______。
我们规定：零向量与任意向量的数量积为____。
问题2：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负？2、平面向量数量积的性质：设a b r r 与均为非零向量： ①a b ⊥⇔r r ___________ ②当a b r r 与同向时，a b ⋅r r ＝________ 当a b r r 与反向时，a b ⋅r r ＝_______ _，a 特别地，a ⋅r a r =______或a =r ___________。
③a b ⋅r r ≤___________ _④cos =θ_______ ____⑤.b a ⋅的几何意义：_____________ ________。
问题3：运算律和运算紧密相连，引进向量数量积后，自然要看一看它满足怎么样的运算律，同学们能推导向量数量积的下列运算律吗？3、向量的数量积满足下列运算律：已知向量a b c r r r ，，与实数λ。
高二数学《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》教案 新人教版必修4
云南省陇川县高二数学《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》教案新人教版必修4一、内容及其解析本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.二．教学目的1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；三、教学重点难点重点：平面向量数量积的含义与物理意义，性质与运算律及其应用。
难点：平面向量数量积的概念四:教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标。
创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义（三）合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3：那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。
（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：S①W（功）是量，②F（力）是量，③S（位移）是量，④α是。
（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为α，我们把数量︱a︱·︱b b︱cosα叫做a与b的数量积（或内积），记作：a·b，即：a·b=︱a︱·︱b︱cosα（2）定义说明：①记法“a·b”中间的“·”不可以省略，也不可以用“⨯”代替。
高中数学必修四课件2-4-1 平面向量数量积的物理背景及其含义课件
向量a在b方向上的投影
|a|cos θ
3.a·b的几何意义： 数量积a·b等于a的长度|a|与 b在a的方向上的投影|b|cos θ 的乘积.
思考 向量a在b方向上的投影是向量吗？ 答案 a在b方向上的投影是一个数量(可正，可为0，可负)，不是向量.
知识点三 平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ.
思考 若a·b＝b·c，是否可以得出结论a＝c?
答案 不可以. 已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c，但是a·b＝b·c推不出a＝c.理由如下： 如图，a·b＝|a||b|cos β＝|b||OA|， b·c＝|b||c|cos α＝|b||OA|. 所以a·b＝b·c，但是a≠c.
思考 若a·b＝b·c，是否可以得出结论a＝c?
答案 不可以. 已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c，但是a·b＝b·c推不出a＝c.理由如下： 如图，a·b＝|a||b|cos β＝|b||OA|， b·c＝|b||c|cos α＝|b||OA|. 所以a·b＝b·c，但是a≠c.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.向量a在向量b上的投影一定是正数.( × ) 2.若a·b<0，则a与b的夹角为钝角.( × ) 3.向量的数量积运算满足(a·b)·c＝a·(b·c).( × ) 4.已知a≠0，且a·c＝a·b，则b＝c.( × )
第二章 §2.4 平面向量的数量积
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功. 2.掌握平面向量数量积的定义，理解其几何意义. 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直. 4.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.
高中数学 2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义课标分析 新人教A版必修4
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义课标分析《普通高中课程标准（实验）》对本节课确立的目标有四条：（1）理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义；（2）掌握平面向量数量积的性质与运算律；（3）会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角，（4）掌握向量垂直的条件.以及用数量积判断两个平面向量的垂直关系；由此可看出，数量积的概念是本节课的重点。
为了让学生能够接受并理解重点内容，首先，让学生回忆所熟悉的物理中的做功问题，启发、引导学生将其看做两个向量的运算，从而引入平面向量的数量积的定义。
其次，数量积是一种向量间的新的运算，学习它的性质及运算律，不仅能够让学生更加深刻理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据。
第三，学习一种新的运算，不仅要理解概念，还要运用它解决数学问题。
在学习与练习过程中,体会数学学习对物理等学科的基础性的支持作用.并通过相关例题与练习,增强同学对数量积运算的理解与掌握.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
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2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义（说课稿）
一、课题介绍
选自普通高中课程标准试验教科书(人民教育出版社A版)《必修4》第二章第四节的第一课时——平面向量数量积的物理背景及其含义．
对于这节课，我将以“教什么、怎么教、为什么这样教”为思路，从教材分析、教法分析、学法分析、教学过程分析及板书设计分析五个方面来谈谈我对教材的理解和教学过程，敬请各位老师指正．
二、教材分析
(一) 本节在教材中的地位和作用
平面向量数量积的物理背景及其含义,包括数量积的定义、几何意义、性质及运算律.它是继向量的加法，减法,实数与向量的积等线性运算之后又一新的运算，是前面知识的延续，又是学好后续知识的基础，起承上启下的作用.由于它在数学、物理等学科中的广泛应用,因此，我把本节内容分为两个课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的运算律.本节课为第一课时.
(二) 目标分析
教学中以知识技能的培养为主线,渗透情感态度与价值观,并把这两者充分体现在教学过程中.教学的主体是学生,因此目标的制定和设计必须从学生的角度出发,结合教学内容的要求及本节的地位与作用,本节课应实现如下教学目标:
1、知识目标:理解平面向量数量积、投影的定义；掌握平面向量数量积的性质；了解用平面向量数量积处理有关长度、角度和垂直的问题.
2、能力目标:通过对平面向量数量积性质的探究,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力,使学生的思维能力得到训练.继续培养学生的探究能力和创新的精神.
3、情感目标:通过本节课的学习,激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神,体会学习的快乐.体会各学科之间是密不可分的.培养学生思考问题认真严谨的学习态度.
(三) 教学的重点与难点
本节课注重培养学生的创新精神和探究能力,因而确定重点、难点为:
重点:平面向量数量积的定义、几何意义及其性质.
难点:平面向量数量积性质的探究.
三、教法分析
本节课主要通过师生之间的相互探讨和交流进行教学，即以导学讲评教学方法为主，结合了探究式教学法、讲练结合法、谈话法等展开教学．在活动中，教师着眼于“导”，尽
力激发学生的求知欲望，引导他们解决问题，并掌握解决问题的规律和方法；学生着眼于“探”，通过活动发现规律，解决问题，发展探索能力和创造能力．
四、学法分析
根据新课程标准理念，学生是学习的主体，教师只是学习的帮助者，引导者.考虑到这节课主要通过老师的引导让学生自己发现规律，在自己的发现中学到知识，提高能力，因此，我主要引导学生自己从问题中质疑、尝试、归纳，采用自主探究的方法进行学习，并使学生从中体会学习的兴趣.
五、教学过程 教学是一个教师的“导”，学生的“学”以及教学过程中的“悟”构成的和谐整体.如果再把教学过程中“教与学”完美的结合也就是以“问题”为核心，通过对知识的发生、发展和运用过程的演绎、解释及探究来组织和推动教学.因此，我的教学过程如下：
(一) 创设情境，引入新课
(二) 合作探究
1、结合物理中功的定义，思考θcos S F S F W =⋅=是怎样得出来的，从而引出数
量积的定义:已知两个非零向量b a 与，把数量θcos b a 叫做b a 与的数量积(或内积)，记
作b a ⋅，即有θcos b a b a =⋅，然后分析定义强调应该注意的问题，得到一个特殊的规
定：零向量与任意向量的数量积都为零，即00=⋅a (a 为任意向量)． 再结合位移方向上的力做功引出投影的定义: ()
θθcos cos b a 叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影.
让学生独立思考投影及数量积的符号；引导学生说出数量积的结构得出几何意义：数量积与的长度等于a a b a ⋅b 在a 方向上的投影θcos b 的乘积.
2、结合数量积的正负，提出两个向量夹角的三个特殊值来研究，当︒︒︒=901800、、θ时，
(1) 0=⋅⇔⊥b a b a ; (2) b a b a b a =⋅同向时，与当;
b a b a b a -=⋅反向时，与当,。