高二(下)第一次月考数学 试卷 空间向量(理科) (1)
高二下学期月考理科(空间向量、导数)
2010-2011学年度高二下学期向量、导数月考数 学 试 题（空间向量、导数）本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题），满分150分，测试时间120分钟。
一、选择题：（每题5分，共50分） 1．对空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，能得到P 、A 、B 、C 四点共面的是( )A.OP →＝OA →＋OB →＋OC →B.OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →C.OP →＝－OA →＋12OB →＋12OC → D ．以上皆错2、设)4,4,6(),5,2,2(-=-=μ分别是平面βα、的法向量，则平面βα、的位置关系是（ ） A 、平行 B 、垂直 C 、相交但不垂直 D 、不能确定 3．已知|a → |＝2，|b → |＝3，〈a → ，b → 〉＝60°，则|2a → －3b → |等于( ) A.97 B ．97 C.61 D ．614、过点（－1，0）作抛物线12++=x x y 的切线，则其中一条切线为（ ） A 、022=++y x B 、033=+-y x C 、01=++y x D 、01=+-y x5．设M (3，－1,4)，A (4,3，－1)若OM→＝AB →，则点B 应为( )A ．(－1，－4,5)B ．(7,2,3)C ．(1,4，－5)D ．(－7，－2，－3)6．已知P 为曲线x y ln =上一点，则点P 到直线x y =距离最小值为（ ） A ．1B ．22C ．2D ．27．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，12，2)，则m 为( )A ．－4B ．－6C ．－8D ．88、已知)cos ,1,(sin ),sin ,1,(cos αααα==，则向量-+与的夹角是（ ）A 、4πB 、3πC 、2π D 、不能确定9、在 90ACD 1AC AB ,=∠==，中ABCD ，将它沿着对角线AC 折起，使CD AB 与成60°角，则BD 的长度为（ ） A 、2 B 、2或2 C 、2 D 、2223或10．曲线xxx f cos sin 2)(+=在点))0(,0(f 处的切线方程为（ ） A ．2+=x y B ．2+-=x y C ．1+=x y D ．1+-=x y二、填空题：（每题5分，共20分） 11．已知向量a → ＝(－3,2,5)，b → ＝(1，－3,0)，c → ＝(7，－2，1)，则： (1) a → ＋b → ＋c → ＝________； (2)( a → ＋b → )·c → ＝________；(3)| a → －b → ＋c → |2＝________。
高二数学月考模拟试题(空间向量在立体几何中的应用、2-3、2-2导数、推理与证明)
高二数学月考模拟试题参考公式：1.∑∑==∧---=nx xny y x xb i ii i i121)())(( x b y a ∧∧-=第Ⅰ卷 (选择题 共50分)一、选择题：1.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为32和43，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件恰好有一个一等品的概率为（ ） A.21 B. 125C.41D.61 3．在对我市高中学生某项身体素质的测试中，测试结果ξ服从正态分布2,1(σN ）)0(>σ，若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在（0，1）内取值的概率为（ ） A. 0.2B. 0.4C. 0.6D.0.33．设'()f x 是函数()f x 的导函数，将y =()f x 和y ='()f x 的图像画在同一个直角坐标系中，不可能的是（ ）4．如图，正方形的四个顶点为(0,0)(1,0)(1,1)(0,1)O A B C 、、、，曲线2y x=经过点B 。
现将一质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ） A ．12 B ．14 C ．13 D ． 255． 512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）A ．-40B ．-20C ．20D ．406．如图，四面体O ABC -中，,,,OA a OB b OC c === D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则向量OE 用向量,,a b c 表示为（ ）A ．111222OE a b c =++ B ．111244OE a b c =++ C ．111444OE a b c =++ D ． 1144OE a b c =++8．已知函数x a x x x f ln 2)(2++=，若函数)(x f 在(0,1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．4-<aB ．0≥aC ．4-≤aD ．0>a9.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是（ ）A ．假设,,a b c 都是偶数B ．假设,,a b c 都不是偶数C ．假设,,a b c 至多有一个是偶数D ．假设,,a b c 至多有两个是偶数11.12. 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛。
高二数学第一次月考模拟(基础卷)(空间向量与立体几何+直线方程)(解析版)
2024-2025学年高二上学期第一次月考模拟(基础卷)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.(23-24高二上·重庆·月考)已知A 1,2,-3 ，则点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是()A.-1,2,-3B.-1,-2,3C.-1,2,3D.1,2,3【答案】D【解析】点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是(1,2,3)，故选：D ．2.(23-24高二上·河南·月考)若直线经过A 1,0 ,B 2,3 两点，则直线AB 的倾斜角为()A.30°B.45°C.60°D.135°【答案】C【解析】由直线经过A 1,0 ,B 2,3 两点，可得直线的斜率为3-02-1=3，设直线的倾斜角为θ，有tan θ=3，又0°≤θ<180°，所以θ=60°.故选：C .3.(23-24高二上·广东湛江·月考)已知a =1,2,-y ,b =x ,1,2 ，且a +2b ∥2a -b ，则()A.x =13,y =1 B.x =2,y =14C.x =12,y =-4 D.x =1,y =-1【答案】C【解析】向量a =1,2,-y ,b =x ,1,2 ，则a +2b =1+2x ,4,4-y ,2a -b =2-x ,3,-2y -2 ，因a +2b ⎳2a -b ，于是得1+2x 2-x =43=4-y -2y -2，解得x =12,y =-4，所以x =12,y =-4.故选：C .4.(23-24高二上·福建福州·期中)两条平行直线2x -y +3=0和ax -3y +6=0间的距离为d ，则a ,d 的值分别为()A.a =6,d =63B.a =-6,d =63C.a =-6,d =55D.a =6,d =55【答案】D【解析】由已知可得，2×-3 --1 ×a =0，解得a =6.代入ax -3y +6=0化简可得，2x -y +2=0.根据两条平行线之间的距离公式可得，d =3-222+-1 2=55.故选：D .5.(23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中)如图，空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c，点M在OA 上，且OM =23OA ，点N 为BC 中点，则MN等于()A.12a +12b -12c B.-23a +12b +12cC.-23a +23b -12cD.23a +23b -12c【答案】B【解析】由题意可得，MN =ON -OM =12OB +OC -23OA =-23a +12b +12c.故选：B6.(23-24高二上·山东·月考)过点P 0,-1 作直线l ，若直线l 与连接A -2,1 ，B 23,1 两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角范围为()A.π4,π6B.π6,3π4C.0,π6∪3π4,πD.π6,π2 ∪3π4,π 【答案】B【解析】设直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，0≤θ<π，k P A =-1-10--2 =-1，k PB =1--1 23-0=33，因为直线l 经过点P 0,-1 ，且与线段AB 总有公共点，所以k ∈-∞,-1 ∪33,+∞ ，因为0≤θ<π，所以π6≤θ≤3π4.故选：B .7.(23-24高二上·天津河西·月考)以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是()A.a =1,0,0 ，b =0,2,0 ，c =12,-2,0 B.a =1,0,0 ，b =0,1,0 ，c=0,0,2C.a =1,0,1 ，b =0,1,1 ，c=2,1,2D.a =1,1,1 ，b =0,1,0 ，c=1,0,2【答案】A【解析】若空间三个向量a ，b ，c 能构成空间的基底，则向量a ，b ，c 不共面，反之亦然，对于A ，由a =1,0,0 ，b =0,2,0 ，c =12,-2,0 ，得c =12a -22b，即向量a ，b ，c共面，不能构成空间基底；对于B ，令c =xa +yb ，则(0,0,2)=(x ,y ,0)，不成立，即a ,b ,c不共面，可构成基底；对于C ，令c =xa +yb ，则(2,1,2)=(x ,y ,x +y )，即x =2y =1x +y =2 无解，即a ,b ,c不共面，可构成基底；对于D ，令c =xa +yb ，则(1,0,2)=(x ,x +y ,x )，即x =1x +y =1x =2无解，即a ,b ,c不共面，可构成基底.故选：A8.(23-24高二上·江苏南京·月考)点P (-2,-1)到直线l :(1+3λ)x +(1+λ)y -2-4λ=0(λ∈R )的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为()A.13；3x +2y -5=0B.11；3x +2y -5=0C.13；2x -3y +1=0D.11；2x -3y +1=0【答案】A【解析】将直线l :(1+3λ)x +(1+λ)y -2-4λ=0(λ∈R )变形得x +y -2+λ(3x +y -4)=0，由x +y -2=03x +y -4=0 ，解得x =1y =1 ，因此直线l 过定点A (1,1)，当AP ⊥l 时，点P (-2,-1)到直线l :(1+3λ)x +(1+λ)y -2-4λ=0(λ∈R )的距离最大，最大值为AP =(-2-1)2+(-1-1)2=13，又直线AP 的斜率k AP =-1-1-2-1=23，所以直线l 的方程为y -1=-32(x -1)，即3x +2y -5=0.故选：A二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.(23-24高二上·浙江嘉兴·月考)已知AB =(-2,1,4),AC =(4,2,0),AP =(1,-2,1),AQ=(0,4,4)，则下列说法正确的是()A.AP是平面ABC 的一个法向量B.A ,B ,C ,Q 四点共面C.PQ ∥BCD.BC =53【答案】AD【解析】AP ⋅AB =(-2)×1+1×(-2)+4×1=0,AP ⋅AC=1×4+(-2)×2+1×0=0，所以AP ⊥AB ,AP ⊥AC ,AB ∩AC =A ,AB ,AC ⊂平面ABC ，所以AP ⊥平面ABC ，所以AP是平面ABC 的一个法向量，故A 正确；设AB =λAC +μAQ，则-2=4λ1=2λ+4μ4=4μ，无解，所以A ,B ,C ,Q 四点不共面，故B 错误；PQ =AQ -AP =(-1,6,3),BC =AC -AB =(6,1,-4),-16≠61≠3-4，所以PQ 与BC 不平行，故C 错误；|BC|=62+12+(-4)2=53，故D 正确；故选：AD .10.(23-24高二上·河北保定·月考)已知直线l 1：x +a -1 y +1=0，直线l 2：ax +2y +2=0，则下列结论正确的是()A.l 1在x 轴上的截距为-1B.l 2过定点0,-1C.若l 1⎳l 2，则a =-1或a =2D.若l 1⊥l 2，则a =23【答案】ABD【解析】由l 1：x +a -1 y +1=0易知y =0⇒x =-1，故A 正确；由l 2：ax +2y +2=0⇒x =0,y =-1，故B 正确；若两直线平行，则有1×2=a a -1 且1×2≠a ×1，解得a =-1，故C 错误；若两直线垂直，则有a ×1+2×a -1 =0⇒a =23，故D 正确.故选：ABD11.(24-25高二上·湖南邵阳·开学考试)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是正方体的上底面A 1B 1C 1D 1内(不含边界)的动点，点Q 是棱BC 的中点，则以下命题正确的是()A.三棱锥Q -PCD 的体积是定值B.存在点P ，使得PQ 与AA 1所成的角为60°C.直线PQ 与平面A 1ADD 1所成角的正弦值的取值范围为0,22D.若PD 1=PQ ，则P 的轨迹的长度为354【答案】ACD【解析】对于A ，三棱锥Q -PCD 的体积等于三棱锥P -QCD 的体积，V 三棱锥P -QCD =13S △QCD ×AA 1=13×12×2×1×2=23是定值，A 正确；以A 1为坐标原点，A 1B 1,A 1D 1,AA 1分别为x ,y ,z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则Q (2,1,-2)，设P (x ,y ,0)(0<x <2,0<y <2)，则QP=(x -2,y -1,2)对于B ，AA 1=(0,0,2)，使得PQ 与AA 1所成的角α满足：cos α=QP ⋅AA 1 QP ⋅AA 1 =2×2x -2 2+y -1 2+4×2，因为0<x <2,0<y <2，故0<x -2 2+y -1 2<5，故cos α∈23,1，而cos60°=12∉23,1 ，B 错误；对于C ，平面A 1ADD 1的法向量n=(1,0,0)，所以直线PQ 与平面A 1ADD 1所成角β的正弦值为：sin β=x -2(x -2)2+(y -1)2+4，因为0<x <2,0<y <2，故-2<x -2<0故x -2 (x -2)2+5<x -2 (x -2)2+(y -1)2+4≤x -2(x -2)2+4，而x -2 (x -2)2+5=11+5(x -2)2∈0,23 ，x -2 (x -2)2+4=11+4(x -2)2∈0,22，故0<x -2(x -2)2+(y -1)2+4<22即sin β的取值范围为0,22，C 正确；对于D ，D 1(0,2,0),D 1P=(x ,y -2,0)，由PD 1=PQ ，可得x 2+(y -2)2=(x -2)2+(y -1)2+4，化简可得4x -2y -5=0，在xA 1y 平面内，令x =0，得y =32，令y =0，得x =54，则P 的轨迹的长度为2-54 2+32 2=354，D 正确；故选：ACD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.(23-24高二上·山东德州·月考)已知a =-2,1,3 ，b =-1,2,1 ，则a与b 夹角的余弦值为.【答案】216/1621【解析】∵a =-2,1,3 ，b =-1,2,1 ，∴cos <a ，b >=a ⋅b a b=2+2+314×6=216.13.(23-24高二下·江苏扬州·月考)在空间直角坐标系中，点M 0,0,1 为平面ABC 外一点，其中A 1,0,0 、B 0,2,1 ，若平面ABC 的一个法向量为1,y 0,-1 ，则点M 到平面ABC 的距离为．【答案】233/233【解析】因为A 1,0,0 、B 0,2,1 ，所以AB=-1,2,1 ,记平面ABC 的一个法向量为n=1,y 0,-1 ，则n ⋅AB=-1 ×1+2y 0+1×-1 =0，解得y 0=1，故平面ABC 的一个法向量为n=1,1,-1 .因为M 0,0,1 ，所以MA=1,0,-1 ,所以点M 到平面ABC 的距离为d =MA ⋅n n=1+0+1 1+1+1=233.14.(23-24高二上·四川达州·月考)直线l 1:x +m +1 y -2m -2=0与直线l 2:m +1 x -y -2m -2=0相交于点P ，对任意实数m ，直线l 1，l 2分别恒过定点A ，B ，则P A +PB 的最大值为【答案】4【解析】直线l 1:x +m +1 y -2m -2=0化为x +y -2+m y -2 =0，当y -2=0x +y -2=0，得x =0y =2 ，即直线l 1恒过点0,2 ，即点A 0,2 ，直线l 2:m +1 x -y -2m -2=0化为x -y -2+m x -2 =0，当x -y -2=0x -2=0，得x =2y =0 ，即直线l 2恒过点2,0 ，即点B 2,0 ，且两条直线满足1×m +1 +m +1 ×-1 =0,∴l 1⊥l 2,即P A ⊥PB ，∴P A 2+PB 2=AB 2=22+22=8,∴P A +PB ≤2P A 2+PB 2 =4,当且仅当P A =PB 时，等号成立，∴P A +PB 的最大值为4.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(23-24高二上·广东湛江·月考)已知点P -2,0,2 ，Q -1,1,2 ，R -3,0,4 ，设a =PQ ，b =PR ，c=QR ．(1)若实数k 使ka +b 与c垂直，求k 值．(2)求a 在b上的投影向量．【答案】(1)k =2；(2)15,0,-25.【解析】(1)依题意，a =(1,1,0),b =(-1,0,2),c =(-2,-1,2)，ka +b=(k ,k ,0)+(-1,0,2)=(k -1,k ,2)，由ka +b 与c 垂直，得(ka +b )⋅c =-2(k -1)-k +2×2=0，解得k =2，所以k =2.(2)由(1)知，a ⋅b =-1，|b |=5，所以a 在b 上的投影向量为a ⋅b |b |2b =-15b =15,0,-25 .16.(23-24高二上·江苏南京·月考)已知△ABC 的三个顶点为A 4,0 ,B 0,2 ,C 2,6 .(1)求AC 边上的高BD 所在直线的方程；(2)求BC 边上的中线AE 所在直线的方程.【答案】(1)x -3y +6=0；(2)4x +3y -16=0.【解析】(1)因为△ABC 的三个顶点为A 4,0 ,B 0,2 ,C 2,6 ，所以直线AC 的斜率为k AC =6-02-4=-3，所以AC 边上的高BD 所在直线的斜率为k BD =13，所以直线BD 的方程为y -2=13x ，化为一般式方程为x -3y +6=0；(2)因为B 0,2 ,C 2,6 ，所以BC 的中点为E 1,4 ，又因为A 4,0 ,E 1,4 ，所以直线AE 的斜率为k =-43，所以直线AE 的点斜式方程为y -0 =-43x -4 ，化为一般式为4x +3y -16=0.17.(23-24高二上·安徽安庆·月考)已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，底面是正方形，AD =AB =2,AA 1=1，∠A 1AB =∠DAA 1=60°,A 1C 1 =3NC 1 ,D 1B =2MB ，设AB =a ,AD =b ,AA 1 =c．(1)试用a ,b ,c表示AN ；(2)求MN 的长度．【答案】(1)AN =AA 1 +A 1N =23a +23b +c ；(2)MN =296【解析】(1)AN =AA 1 +A 1N =AA 1 +23(A 1B 1 +A 1D 1 )=c +23(a +b )=23a +23b +c.(2)AM =AB +12BD 1 =AB +12(BA +AD +DD 1 )=12a +12b +12c ，NM =AM -AN =12a +12b +12c -23a +23b +c =-16a -16b -12c ，所以|NM |=-16a -16b -12c 2=136a 2+136b 2+14c 2+118a ∙b +16a ∙c +16b ∙c=136×4+136×4+14×1+16×2×1×12+16×2×1×12=296.所以MN =296.18.(23-24高二上·湖北武汉·月考)已知直线l 过点P 4,1 且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，(1)求三角形OAB 面积取最小值时直线l 的方程；(2)求OA +OB 取最小值时直线l 的方程．【答案】(1)x +4y -8=0；；(2)x +2y -6=0.【解析】(1)由题意设A a ,0 ，B (0,b )，其中a ，b 为正数，可设直线的方程为xa +y b=1，因为直线l 过点P 4,1 ，所以4a +1b =1，由基本不等式可得1=4a +1b ≥24a ⋅1b =4ab，所以ab ≥4，ab ≥16，当且仅当4a +1b =14a=1b即a =8b =2时，ab 取得最小值16，所以△AOB 面积S =12ab ≥8，所以当a =8，b =2时，△AOB 面积最小，此时直线l 的方程为x8+y 2=1，即x +4y -8=0，(2)因为4a +1b=1，a >0,b >0 ，所以OA +OB =a +b =a +b 4a +1b =5+4b a +ab ≥5+24b a ⋅a b=5+2×2=9，当且仅当4ba =ab 4a+1b =1即a =6b =3时等号成立，所以当a =6，b =3时，OA +OB 的值最小，此时直线l 的方程为x6+y 3=1，即x +2y -6=0．19.(24-25高二上·安徽阜阳·开学考试)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，∠ADC =∠BCD =90°，BC =1，CD =3，PD =2，∠PDA =60°，∠P AD =30°，且平面P AD ⊥平面ABCD ，在平面ABCD 内过B 作BO ⊥AD ，交AD 于O ，连PO .(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；(2)求二面角A -PB -C 的正弦值；(3)在线段P A 上存在一点M ，使直线BM 与平面P AD 所成的角的正弦值为277，求PM 的长.【答案】(1)证明见解析；(2)77；(3)32.【解析】(1)因为BO ⊥AD ，因为BC ⎳AD ，∠ADC =∠BCD =90°，所以四边形BODC 为矩形，在△PDO 中，PD =2，DO =BC =1，∠PDA =60°，则PO =PD 2+OD 2-2PD ⋅OD cos60°=3，∴PO 2+DO 2=PD 2，∴PO ⊥AD ，且平面P AD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面P AD 平面P AD ∩平面ABCD =AD ，∴PO ⊥平面ABCD ；(2)以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵PO =3，∠P AD =30°，可得AO =3，则O (0,0,0)，A (3,0,0)，P 0,0,3 ，B 0,3,0 ，C -1,3,0 ，设平面APB 的法向量为m=(x ,y ,z )，P A =3,0,-3 ，PB =0,3,-3 ，由P A ⋅m=3x -3z =0PB ⋅m =3y -3z =0，取m =1,3,3 .设平面CPB 的法向量为n=(a ,b ,c )，PC =-1,3,-3 ，由n ⋅PB=3b -3c =0n ⋅PC =-a +3b -3c =0，取n =(0,1,1)，cos m ,n =m ⋅n m n=237×2=427.∵二面角A -PB -C 是钝角，∴二面角A -PB -C 的正弦值为77.(3)设AM =λAP ，则BM =BA +AM =3,-3,0 +λ-3,0,3 =3-3λ,-3,3λ ，又平面P AD 的法向量为OB=0,3,0 ，直线BM 与平面P AD 所成的角的正弦值为cos OB ,BM =33×(3-3λ)2+3+3λ2=27，解得λ=34，∴PM =14AP =14PO 2+OA 2=32.。
2022-2023学年四川省凉山州宁南中学高二年级下册学期第一次月考数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年四川省凉山州宁南中学高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．设全集，集合，，则（ ）U =R {}|24A x x =≤≤{}2|log 1B x x =>()U A B =A ．B ．C ．D ．∅{}2{}|02x x ≤≤{}|4x x ≤【答案】B【分析】首先求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得.B 【详解】因为，{}{}222[2,4],|log 1|log log 2A B x x x x ==>=>又因为是上的单调递增函数，2log y x =()0,∞+所以，则，所以，()2B =+∞，(]U 2B =-∞， (){}U 2A B = 故选：B .2．已知复数（其中为虚数单位），则复数的模为（ ）2i1i z =-i z A ．1BC ．2D ．4【答案】B【分析】先化简，然后利用模的公式进行求解即可z 【详解】因为，()()()()2121111i i ii i i i i i 1z +===+=-+--+=故选：B3．“是“直线与圆：相交”的（ ）k <≤y kx =C ()2223x y -+=A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据直线和圆相交时圆心到直线的距离和半径的关系判断“和“直线与k <≤y kx =圆：相交”的逻辑推理关系，即可判断答案.C ()2223x y -+=【详解】设圆：的圆心到直线的距离为d ，C ()2223x y -+=y kx =则，d =当直线与圆：相交时，，y kx =C ()2223x y -+=d =<解得k <<当一定成立，k<<k<≤当k <≤k <<k 故“是“直线与圆：相交”的必要不充分条件，k <≤y kx =C ()2223x y -+=故选：B4．某高中调查学生对2022年冬奥会的关注是否与性别有关，随机抽样调查150人，进行独立性检验，经计算得，临界值表如下：()()()()()22 5.879n ad bc a b c d a c b d χ-=≈++++α0.150.100.050.0250.010x α2.0722.0763.8415.0246.635则下列说法中正确的是：（ ）A ．有97.5%的把握认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”B ．有99%的把握认为“学生对2022 年冬奥会的关注与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”【答案】C【分析】根据独立性检验的方法即可求解.【详解】由题意可知，，()()()()()22 5.879 5.024n ad bc a b c d a c b d χ-=≈>++++所以在犯错误的概率不超过的前提下可认为“学生对2022 年冬奥会的关注与性别有关”.2.5%故选：C.5．设等差数列的前项和为，且，则（ ）{}n a n n S 3644a a a +=+9S =A ．18B ．24C ．48D ．36【答案】D【解析】由题意结合等差数列的性质可得，再由等差数列前项公式结合等差数列的性质可54a =n 得，即可得解.19959()92a a S a +==【详解】数列是等差数列，所以，{}n a 365444a a a a a +=+=+所以，所以..54a =19959()92a a S a +==36=故选：D .【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前n 项和公式的应用，属于基础题.6．执行如图所示的程序框图，输出的Р为（ ）A ．10B ．5C ．D ．1-8-【答案】C【分析】根据程序框图，利用模拟验算法进行求解即可．【详解】，则，17i =<112,011,20119i T P =+==+==-=，则，27i =<213,112,19217i T P =+==+==-=，则，37i =<314,213,17314i T P =+==+==-=，则，47i =<415,314,14410i T P =+==+==-=，则，57i =<516,415,1055i T P =+==+==-=，则，67i =<617,516,561i T P =+==+==-=-，所以输出的Р为.77i =≥1-故选：C.7．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:20至8:10之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．12232535【分析】根据几何概型求概率公式进行求解.【详解】7:20至8:10之间共50分钟，其中当到达车站的时刻为7:20至7:30之间，或者7:50至8:00之间时，满足等车时间不超过10分钟，共有20分钟满足要求，故他等车时间不超过10分钟的概率为.202505=故选：C 8．函数的图象大致为（ ）()cos e xx xf x =A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据给定的函数，利用奇偶性可排除两个选项，再利用当时，函数值的正负即可π(0,2x ∈判断作答.【详解】函数的定义域为R ，，即函数是()cos e x x x f x =()()()cos cos e e x xx x x xf x f x ----==-=-()f x 奇函数，排除CD ；当时，，即当时，函数的图象在x 轴的上方，显然A 不满π(0,2x ∈()cos 0e xx x f x =>π(0,)2x ∈()f x 足，B 满足.故选：B9．“不积跬步，无以至千里:不积小流，无以成江海.”，每天进步一点点，前进不止一小点.今日距离明年高考还有242天，我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，高考时是()24211%+；而把看作是每天“退步”率都是1%.高考时是.若“进步”的2421.0110.8925≈()24211%-2420.990.0896≈值是“退步”的值的100倍，大约经过（ ）天.(参考数据:)lg101 2.0043,lg 99 1.9956≈≈A ．200天B ．210天C ．220天D ．230天【分析】根据已知条件列不等式，由此求得正确答案.【详解】依题意，1.011000.99nn≥所以，1.01lg lg100,lg1.01lg 0.9920.99nn n n≥-≥，()10199lg1.01lg 0.992,lg lg 2100100n n ⎛⎫-≥-≥ ⎪⎝⎭，()()lg101lg 992, 2.0043 1.99562n n -≥-≥，20.00872,2300.0087n n ≥≥≈所以大约经过天.230故选：D10．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．15310325625【答案】D【分析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人，根据排列组合得出各自有多少种，再得出甲、乙到同一家企业实习的情况有多少种，即可计算得出答案.【详解】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有种实习方案，3353C A 60=当分为2,2,1人时，有种实习方案，22353322C C A 90A ⋅=即共有种实习方案，6090150+=其中甲、乙到同一家企业实习的情况有种，13233333C A C A 36+=故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为，36615025=故选：D.11．如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、1F 2F C 22221()00a x y a b b >-=>，1F C 右两支分别交于A ，两点．若，则双曲线的离心率为（ ）B 22345AB BF AF =∶∶∶∶A ．2BCD 【答案】C 【分析】不妨令，，，根据双曲线的定义可求得，，再3AB =24BF =25AF =1a =290ABF ∠=利用勾股定理可求得，从而可求得双曲线的离心率．2452c =【详解】，不妨令，，，22345AB BF AF = ：：：：3AB =24BF =25AF =，，22222||||AB BF AF += 290ABF ∠∴=又由双曲线的定义得：，，122BF BF a-=212AF AF a-=，11345AF AF ∴+-=-13AF ∴=．，．123342BF BF a∴-=+-=1a ∴=在中，，12Rt BF F 222221212||||6452F F BF BF =+=+=又，，2212||4F F c =2452c ∴=c ∴=双曲线的离心率．∴ce a ==故选;C12．已知定义在R 上的函数满足，且函数是偶函数，当时，()f x ()()2f x f x =--()1f x +[]1,0x ∈-，则（ ）()21f x x =-20235f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．925162534254125【答案】C【分析】由函数是偶函数，可得函数的图像关于直线对称，从而有(1)f x +()f x 1x =，再结合可得函数的周期为4，然后利用周期和()(2)f x f x -=+()2()f x f x =--()f x 将化到上即可求解.()2()f x f x =--20235[]1,0-【详解】因为函数是偶函数，所以，所以，(1)f x +(1)(1)f x f x -=+()(2)f x f x -=+因为，所以，所以，()2()f x f x =--()(2)2f x f x ++=(2)(4)2f x f x +++=所以，所以函数的周期为4，()(4)f x f x =+()f x 所以，33((101204(53525f f f =⨯+=因为，所以.233334(2()21()55525f f ⎡⎤=--=---=⎢⎥⎣⎦202334525f ⎛⎫=⎪⎝⎭故选：C.二、填空题13．设满足约束条件，则的最大值为__________.,x y 103010x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩2zx y =-【答案】6【分析】作出可行域，根据的几何意义，即可得出最大值.2z x y =-【详解】画出可行域解可得，.3010x y y +-=⎧⎨+=⎩()4,1B -由图可知，当直线经过点时，取得最大值6.:2l z x y =-()4,1B -z 故答案为：.614．已知随机变量满足，若，则__________．ξ()2,B p ξ ()314P ξ≤=p =【答案】/120.5【分析】根据，利用二项分布的概率公式列方程计算即可.()()()101P P P ξξξ≤==+=【详解】由已知得，()()()()()21231011C 14P P P p p p ξξξ≤==+==-+-=解得12p =故答案为：.1215．的展开式中含项的系数为30，则实数a 的值为___________．61(1)ax x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭3x 【答案】2【分析】写出的展开式的通项，再令的指数等于和，结合题意即可得解.61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭x 32【详解】的展开式的通项为，61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6621661C C ,0,1,2,3,4,5,6kk k k kk T x x k x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭令，则，令，则（舍去），622k -=2k =623k -=32k =所以的展开式中含项的系数为，61(1)ax x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭3x 26C 1530a a ==所以.2a =故答案为：.216．对于函数.有下列说法：①的值城为；②当且11()(sin cos )|sin cos |22f x x x x x =+--()f x [1,1]-仅当时，函数取得最大值；③函数的最小正周期是；④当且仅当π2π(Z)4x k k =+∈()f x ()f x π时，.其中正确结论是__________.π2π,2π(Z)2x k k k ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭()0f x >【答案】②④【分析】将表示为分段函数的形式并画出图像，根据三角函数的值域、最值、最小正周期、()f x 函数值等知识确定正确答案.【详解】因为，cos ,sin cos 11()(sin cos )sin cos sin ,sin cos 22x x x f x x x x x x x x ≥⎧=+--=⎨<⎩作出函数的图像，如图所示：()fx 所以，的值城为，①错误；()fx ⎡-⎢⎣函数的最小正周期是，③错误；()f x 2π当且仅当时，函数取得最大值，②正确；π2π(Z)4x k k =+∈()f x 当且仅当时，，④正确.π2π,2π(Z)2x k k k ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭()0f x >故答案为：②④三、解答题17．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，，.ABC 4a =6c =1cos 8C =(1)求及b 的值；sin A (2)求AB 边上的高.【答案】(1)sin A=5b =【分析】（1）先由，求得，再利用正弦定理即可求得，利用余弦定理即可求得1cos 8C =sin C sin A ；b （2）利用等面积法求解即可.【详解】（1）在中，因为，ABC 1cos 8C =所以，sin C ==又，4,6a c ==由正弦定理得：sin sin a CA c===由余弦定理得：，2222cos c a b ab C =+-即，2200b b --=解得或（舍去）；5b =4b =-（2）设AB 边上的高为，h 则，11sin 22ABC S bc A ch== 即，解得1156622h ⨯⨯=⨯h =即AB 18．为庆祝党的二十大的胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高校在全校开展“不负韶华，做好社会主义接班人”的宣传活动，为进一步了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为5组：，得到如图所示的频率分布[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100直方图：(1)估计这100名学生的竞赛成绩的中位数（结果保留整数）；(2)若采用分层抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取6人，再从这6人中随机[80,90)[90,100]抽取2人，这2人中在的人数设为随机变量，请求出随机变量的分布列与数学期望.[90,100]X X 【答案】(1)72(2)分布列见解析，()23E X =【分析】（1）根据中位数的求法求得中位数.（2）根据分层抽样求得和抽取的人数，然后按照超几何分布的知识求得分布列并[80,90)[90,100]求得数学期望.【详解】（1）因为，()0.0100.030100.40.5,0.40.045100.850.5+⨯=<+⨯=>所以竞赛成绩的中位数在内.[)70,80设竞赛成绩的中位数为，则，解得.m ()700.0450.40.5m -⨯+=72m ≈所以估计这100名学生的竞赛成绩的中位数为72.（2）和的频率分别为，[80,90)[90,100]0.1,0.05所以在的学生中抽取人，在的学生中抽取人，[80,90)4[90,100]2的可能取值为，X 0,1,2，()022426C C 620C 155P X ====，()112426C C 81C 15P X ===,()202426C C 12C 15P X ===所以随机变量的分布列为:X X 012P 25815115数学期望.()8121215153E X =⨯+⨯=19．如图，在四棱锥中，底面ABCD 为直角梯形，其中，P ABCD -AD BC ，，，平面ABCD ，且，点M 在棱PD 上（不包括端点），AD BA ⊥3AD =2AB BC ==PA ⊥3PA =点N 为BC 中点．(1)若，求证：直线平面PAB ；2DM MP = MN (2)求二面角的余弦值．N PC D --【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明（2）建系，利用空间向量求二面角.【详解】（1）取PA 的点Q ，满足，连接MQ ，QB ，2=AQ PQ因为，所以且，2DM MP = MQ AD 113QM AD ==又因为，且，点N 为BC 中点，即，且，BC AD 2BC =BN AD 1BN =所以且，则四边形MQBN 为平行四边形，MQ BN BN MQ =则，平面PAB ，平面PAB ，MN BQ ∥MN ⊄BQ ⊂所以直线平面PAB ．MN （2）如图所示，以点A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，以AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则，，，，()2,0,0B ()2,2,0C ()0,3,0D ()0,0,3P 又N 为BC 的中点，则，()2,1,0N 所以，，，，()0,3,3PD =- ()2,1,0CD =- ()2,1,3PN =- ()2,2,3PC =- 设平面CPD 的法向量为，()1,,n x y z = 则，令，则，1120330n CD x y n PD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 1x =()11,2,2n = 设平面CPN 的法向量为，()2,,n a b c = 则，令，则，222230230n PC a b c n PN a b c ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 3a =()23,0,2n = 所以，121212cos ,n n n n n n ⋅=== 由题意可得：二面角的平面为钝角，故其余弦值为N PC D --20．设正项数列的前n 项和为，，且满足___________.给出下列三个条件：{}n a n S 11a =①，；②；③34a =()112lg lg lg 2n n n a a a n -+=+≥()1n n S ma m =-∈R .请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题.()()12323412n n a a a n a kn k +++⋅⋅⋅++=⋅∈R (1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，是数列的前n 项和，求证：.()2111log n n b n a +=+n T {}n b 1n T <【答案】(1)12n n a -=(2)见解析【分析】（1）选①，证得数列等比数列，求出公比，再根据等比数列得通项公式即可的解；{}n a 选②，根据求得，再根据数列通项与前的和的关系即可的解；11a S =m n 选③，根据求得，再根据数列通项与前的和的关系即可的解；1122a k =⋅k n （2）利用裂项相消法求出，即可得解.n T 【详解】（1）解：选①，因为，()112lg lg lg 2n n n a a a n -+=+≥所以，()2112n n n a a a n -+=≥所以数列等比数列，{}n a 设数列得公比为{}n a ,0q q >由，得或（舍去），22314a a q q ===2q =2q =-所以；12n n a -=选②，因为，()1n n S ma m =-∈R 当时，，1n =1111S ma a =-=所以，所以，11m -=2m =即，21n n S a =-当时，2n ≥，1122n n n n n a S S a a --=-=-所以，()122n n a a n -=≥所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，{}n a 所以；12n n a -=选③，因为，()()12323412n n a a a n a kn k +++⋅⋅⋅++=⋅∈R当时，，所以，1n =11222a k =⋅=1k =即，()12323412nn a a a n a n +++⋅⋅⋅++=⋅当时，，2n ≥11231234(1)2n n a a a na n --++++=-⋅ 所以，1(1)(1)2(2)n n n a n n -+=+⋅≥即，12(2)n n a n -=≥当时，上式也成立，1n =所以；12n n a -=（2）证明：由（1）得，()()2111111log 11n n b n a n n n n +===-+++所以，11111221111131n T n n n =-+--=-<++++ 所以.1n T <21．某大学为了了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如下统计数据：20152016201720182019年份x12345报考人数y 3060100140170(1)经分析，与存在显著的线性相关性，求关于的线性回归方程并预测年y x y x ˆˆˆybx a =+2020（按计算）的报考人数；6x =(2)每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布，根据往年统计数据，，()2,N μσ385μ=，录取方案：总分在分以上的直接录取；总分在之间的进入面试环节，录取2225σ=400[]385,400其中的；低于分的不予录取，请预测年该专业录取的大约人数（最后结果四舍五入，80%3852020保留整数）．参考公式和数据：，，．()()()121ˆni ii n i i x x y y b x x ==--=-∑∑ˆˆa y bx =-()()51360i i i x x y y =--=∑若随机变量，则，，()2,X N μσ ()0.6826P X μσμσ-<<+=()220.9544P X μσμσ-<<+=．()330.9974P X μσμσ-<<+=【答案】(1)，人ˆ368yx =-208(2)人90【分析】（1）根据已知条件以及参考数据，利用公式求解即可.（2）根据已知，利用正态分布以及频数的计算公式进行求解.【详解】（1）由题可知：，，1(12345)35x =++++=1(3060100140170)1005y =++++=，，521(10i i x x =-=∑51521()()360ˆ3610()i i i ii x x y y bx x ==--===-∑∑．ˆˆ1003638a y bx =-=-⨯=-关于的线性回归方程为，y ∴x ˆ368y x =-当2020年即时，人，6x =ˆ3668208y=⨯-=即预测2020年的报考人数为208人.（2）研究生的考试成绩大致符合正态分布，，(385N 215)则，,40038515=+10.6826(400)0.15872P X ->==直接录取人数为人,2080.158733.0133⨯=≈，之间的录取人数为人，[385400]0.68262080.856.8572⨯⨯=≈预测2020年该专业录取的大约人数是人．∴335790+=22．已知椭圆过点，且焦距为2222:1(0)x y C a b a b +=>>(2,1)P --(1)求椭圆的方程；C (2)过直线（不经过点交椭圆于点，，试问直线与直线的斜率之和为，求证：l )P C A B PA PB 1-过定点.l 【答案】(1)22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.,,a b c C （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，根据化简求得定点坐标.AB 1PA PB k k +=-【详解】（1）由题意可得，解得，22222411c ab a bc ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩椭圆的方程：.∴C 22182x y +=（2）当直线的斜率不存在时，设其方程为，AB ,x t x =-<<2x ≠-则，,,A t B t ⎛⎛⎝⎝所以，212PA PB k k t +===-+解得（舍去），4t =-所以直线的斜率存在.AB 设直线的方程为，其中，AB y kx m =+21m k ≠-联立方程，消去得：，22182y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 22(4)8801k x kmx -+=+设，()()1122,,,A x y B x y 则，，122841km x x k -+=+21224841m x x k -⋅=+所以12121122PA PB m kx m k k x k x x +++++=+++1212(2)21(2)2122k x m k k x m k x x ++-+++-+=+++122121()22m k m k k k x x -+-+=+++++12112(21)()22k m k x x =+-++++12121242(21)2()4x x k m k x x x x ++=+-++++2222841842(21)482()44141k m k m km k k k m k +-+-+=+-+-+++222221684412(21)16441641k km k k m k k m kmk -++=+-+⋅+--+224212(21)(2)1k km k m k k m -+=+-+⋅--，24212121k km k k m -+-=+=--+整理得，直线的方程为，4m k =AB ()4y k x =+所以直线恒过定点.l ()4,0-【点睛】根据已知条件求解椭圆的方程，关键点在于列方程组来求得，要注意“隐藏条件”,,a b c .求解直线过定点问题，可先设出直线方程，然后根据已知条件列方程，求得直线方程中222a b c =+参数的关系，从而求得定点的坐标.。
2021-2022学年河北省邢台市卓越联盟高二下学期第一次月考数学试题(解析版)
2021-2022学年河北省邢台市卓越联盟高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，()224,,4,(1,4,1)a x x b =--=--，若//a b ，则x 的值为（ ）A ．4B ．4-C ．4或4-D ．5【答案】A【分析】由向量平行有a b λ=且R λ∈，结合已知坐标列方程组求参数即可. 【详解】由题设，a b λ=且R λ∈，则22444x x λλλ-=-⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，可得44x λ=⎧⎨=-⎩. 故选：A2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线l 交C 与A ，B 两点，若△1AF B的周长为C 的方程为（ ） A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=【答案】B【分析】由焦点三角形的周长及椭圆的定义可得a =c ，进而求得21b =，即可写出椭圆方程.【详解】由题设，2121||||||||2AF AF BF BF a +=+=，且22||||||AB AF BF =+， 所以△1AF B的周长为2121||||||||4AF AF BF BF a +++==a =又c e a ==，可得c =2221b a c =-=， 综上，C 的方程为2213x y +=.故选：B3．函数()2e xf x x=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】求导判断出函数()f x 的单调区间即可做出选择.【详解】∵()2e x f x x =，∴()()()22222222212e e e e e x xx x x x x x x f x x x x ''⋅-⋅--'===. 令()0f x '=，得12x =. 则函数()f x 在区间(),0∞-，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.选项A ：违背函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减.判断错误；选项B ：违背函数()f x 在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 判断错误；选项C ：函数()f x 在区间(),0∞-，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.判断正确；选项D ：违背函数()f x 在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 判断错误.故选：C4．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n 个月的还款金额为n a 元，则n a =（ ） A ．2192 B ．39128n -C ．39208n -D ．39288n -【答案】D【分析】计算出每月应还的本金数，再计算第n 个月已还多少本金，由此可计算出n 个月的还款金额.【详解】由题意可知：每月还本金为2000元， 设张华第n 个月的还款金额为n a 元，则()2000480000120000.4%39288n a n n ⎡⎤=+--⨯⨯=-⎣⎦， 故选：D5．如图．空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且满足2OM MA =，点N 为BC 的中点，则NM =（ ）A ．123122a b c -+B ．122132a b c -++C ．122121a b c +-D ．211322a b c --【答案】D【分析】由空间四边形各棱的位置关系，结合空间向量加减、数乘的几何意义，用,,OA OB OC 表示NM 即可得结果.【详解】由题图，1()2NM AM AB AC =-+，而AB OB OA =-，AC OC OA =-，13MA OA =，所以1211211()232332122NM OB OA OC OA OA OB OC O a b c A =---+-=--=--.故选：D6．已知函数()y f x =的图象如图所示，()'f x 是函数()f x 的导函数，则（ ）A ．(4)(2)(2)(4)2f f f f '<'-<B ．(4)(2)(4)(2)2f f f f -<<'' C ．(4)(2)(2)(4)2f f f f -<<'' D ．(4)(2)(4)(2)2f f f f ''-<< 【答案】A【分析】根据题意，结合导数的几何意义和平均变化率的定义，利用直线斜率的关系，即可求解.【详解】如图所示，根据导数的几何意义，可得(2)f '表示曲线在A 点处的切线的斜率，即直线1l 的斜率1l k ，(4)f '表示曲线在B 点处的切线的斜率，即直线2l 的斜率2l k ，又由平均变化率的定义，可得(4)(2)2f f -表示过,A B 两点的割线的斜率l k ， 结合图象，可得12l l l k k k <<，所以(4)(2)(2)(4)2f f f f '<'-<. 故选：A.7．已知数列{}n a 为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加该项的后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是41a =，51a =，62a =，73a =，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加3的后继数4，…，如此继续，则26a =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】直接列举即可求解.【详解】由题意知，1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，这次复制后数列已经有15项，下次复制会先复制这15项，再添加数5，故26111a a ==. 故选：A.8．若函数()ln f x kx x =+在区间[1,3]上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[1,)-+∞D ．(1,)+∞【答案】A【分析】根据()f x 的导函数在区间上大于等于零恒成立，分离参数，即可求得参数的取值范围.【详解】因为()ln f x kx x =+，故可得'()f x 1k x=+，根据题意，10k x +≥在[]1,3恒成立，即1k x≥-在[]1,3恒成立， 又1y x =-在[]1,3的最大值为13-，故13k ≥-.故选：A. 二、多选题9．设数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，10a >，且69S S =，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．80a = C ．56S S > D ．7S 或8S 为n S 的最大值 【答案】BD【分析】由69S S =及前n 项和公式可得17a d =-，即可判断A 、B 的正误，进而得到2152n dn dnS -=判断C ，结合二次函数的性质判断D 的正误.【详解】由69S S =，即1165986922a d a d ⨯⨯+=+，则17a d =-，又10a >， 所以0d <，8170a a d =+=，则A 错误，B 正确；且21(1)1522n n n d dn dnS na --=+=，故525S d =-<627S d =-，C 错误； 由n S 的二次函数性质：开口向下且69S S =，易知78S S =为n S 的最大值，D 正确. 故选：BD10．如图是导函数()y f x '=的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．(1,3)-为函数()y f x =的单调递增区间B ．(0,5)为函数()y f x =的单调递减区间C ．函数()y f x =在0x =处取得极大值D ．函数()y f x =在5x =处取得极小值 【答案】AD【分析】A.利用导数的正负与函数的增减的关系判断； B. 利用导数的正负与函数的增减的关系判断； C.利用极值点的定义判断； D. 利用极值点的定义判断.【详解】A. 因为()0f x '>在(1,3)-上成立，所以(1,3)-是()y f x =的单调递增区间，故正确；B.因为 03x <<时，0f x ，35x <<时，0f x ，所以()y f x =在(0,5)上不单调，故错误； C.因为10x -<<时，0f x，03x <<时，0fx ，函数()y f x =在0x =处无极值，故错误；D.因为 35x <<时，0f x ，5x >时，0f x ，所以函数()y f x =在5x =处取得极小值，故正确； 故选：AD11．下列命题正确的是（ ）A ．sin cos 44ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．若()sin(23)f x x =+，则()cos(23)f x x '=+C ．对于已知函数2()2f x x =+，则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为4D ．设函数()f x 导函数为()'f x ，且()()232ln f x x xf x '=++，则9(2)4f '=-【答案】CD【分析】A.利用导数公式求解判断；B.利用复合函数的导数求解判断；C.利用平均变化率的定义求解判断；D.利用导数运算法则求解判断.【详解】A. sin 04π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，故错误； B.若()sin(23)f x x =+，则()2cos(23)f x x '=+，故错误； C. 函数2()2f x x =+，则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为()()31431f f -=-，故正确； D.因为函数()f x 导函数为()'f x ，且()()232ln f x x xf x '=++，所以()()1232f x x f x''=++， 则()()1222322f f '=⨯++'，解得9(2)4f '=-，故正确；故选：CD12．已知()f x '为函数()f x 的导函数，若()()2ln x f x xf x x '+=，()112f =，则下列结论错误的是（ ）A ．()xf x 在()0,∞+上单调递增B ．()xf x 在()0,∞+上单调递减C ．()xf x 在()0,∞+上有极大值12D ．()xf x 在()0,∞+上有极小值12【答案】ABC【分析】将()()2ln x f x xf x x '+=变形得()()ln xxf x f x x'+=（0x >），构造函数()()g x xf x =，结合导数讨论()g x '正负，即可求出()g x 单调性和极值.【详解】由()()2ln x f x xf x x '+=，可知0x >，则()()ln x xf x f x x '+=，即()ln x xf x x'=⎡⎤⎣⎦． 设()()g x xf x =，则由()ln 0xg x x'=>得1x >，由()0g x '<得01x <<， 所以()()g x xf x =在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减， 所以当1x =时，函数()()g x xf x =取得极小值()()1112g f ==． 故选：ABC ． 三、填空题13．若函数2()()f x x x a =-在2x =处取得极小值，则a=__________． 【答案】2【分析】对函数求导，根据极值点得到2a =或6a =，讨论a 的不同取值，利用导数的方法判定函数单调性，验证极值点，即可得解.【详解】由2322()()2f x x x a x ax a x ==--+可得22()34f x x ax a '=-+， 因为函数2()()f x x x a =-在2x =处取得极小值，所以2(2)1280f a a '=-+=，解得2a =或6a =， 若2a =，则2()384(2)(32)f x x x x x '=-+=--，当2,3x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x 单调递增；当2,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增；所以函数()f x 在2x =处取得极小值，符合题意；当6a =时，2()324363(2)(6)f x x x x x '=-+=--，当(),2x ∈-∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增；当()2,6x ∈时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当()6,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增；所以函数在2x =处取得极大值，不符合题意； 综上：2a =. 故答案为：2. 【点睛】思路点睛：已知函数极值点求参数时，一般需要先对函数求导，根据极值点求出参数，再验证所求参数是否符合题意即可.14．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且13a ，312a ，22a 成等差数列，则8967a a a a +=+______． 【答案】9【分析】利用等比数列的性质及它们成等差可建立方程，从而可求q 的值，即可求得结论.【详解】解：由题意得：设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >， ∵13a ，312a ，22a 成等差数列 ∴31232a a a =+ ∴2230q q --=∴3q =或1q =-（舍去）∴7822891156671139a a a q a q q a a a q a q ++====++． 故答案为：9 15．若点P 是抛物线2y x 上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为________.【分析】易知最小值点P 为抛物线2yx 的一条切线的切点，且该切线平行于直线2y x =-，利用导数的几何意义可求得P 点坐标，利用点到直线距离公式可求得结果.【详解】当P 到直线2y x =-距离最小时，P 为抛物线2y x 的一条切线的切点，且该切线平行于直线2y x =-， 21y x '==，12x ∴=，11,24P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，∴所求最小距离d ==故答案为：8.16的椭圆为“黄金椭圆”已知椭圆22110x y n+=是“黄金椭圆”，则n =__________．【答案】5【分析】分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上，利用离心率公式求解.【详解】解：当焦点在x 轴上时，()2210,0,10a b n ==∈，则210c n =-所以2221010c n e a -⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5n =；当焦点在y 轴上时，2210,10b a n ==>， 则210c n =-，所以22210c n e a n -⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5n =；故答案为：555± 四、解答题17．（1）求曲线e x y =在0x =处切线的方程； （2）过原点作曲线e x y =的切线，求切点的坐标． 【答案】（1）1y x =+；（2）()1,e .【分析】（1）求出切点坐标和切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）设切点坐标为(),e tt ，利用导数的几何意义求出切线方程，再将原点坐标代入切线方程，求出t 的值，即可得出切点坐标.【详解】解：（1）当0x =时，0e 1y ==，即切点坐标为()0,1，e x y '=，切线斜率为0e 1k ==，故所求切线方程为1y x -=，即1y x =+；（2）设切点坐标为(),e tt ，对函数e x y =求导得e x y '=，故切线斜率为e t ，所以切线方程为()e e t ty x t -=-，将原点坐标代入切线方程可得e e t t t -=-，解得1t =，故切点坐标为()1,e .18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC CC ==．若在CD 上存在点E ，使得1A E ⊥平面11AB D ．(1)求线段CE 的长；(2)求直线1B E 与平面11AB D 所成角的正弦值． 【答案】(1)32CE = 517【分析】（1）以D 为原点，以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设DE a =，其中02a ≤≤，由已知条件可得出关于a 的等式，求出a 的值，可求得线段CE 的长；（2）利用空间向量法可求得直线1B E 与平面11AB D 所成角的正弦值.【详解】(1)解：以D 为原点，以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示：设DE a =，其中02a ≤≤，则()0,,0E a 、()1,0,0A 、()11,0,1A 、()11,2,1B 、()10,0,1D ，()10,2,1AB =，()111,2,0D B =，()11,,1A E a =--， 若1A E ⊥平面11AB D ，则11A E AB ⊥，111A E D B ⊥，则11111210210A E AB a A E D B a ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，解得12a =，则322CE CD DE a =-=-=.(2)解：由（1）可知平面11AB D 的一个法向量为()122,1,2n A E ==--，且131,,12EB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11155172cos ,173n EB n EB n EB ⋅<>==-=⋅⨯因此，直线1B E 与平面11AB D 51719．已知点F 为抛物线22(0)x py p =>的焦点，点(),4A a 在抛物线上，且5AF =． (1)求该抛物线的方程；(2)若点A 在第一象限，且抛物线在点A 处的切线交y 轴于点M ，求AOM 的面积．【答案】(1)24x y =(2)8【分析】（1）由题意结合抛物线的定义可得||452pAF =+=，求出p ，从而可求得抛物线的方程，（2）将(),4A a 的坐标代入抛物线方程可求出点A 的坐标，设切线方程为4(4)y k x -=-，代入抛物线方程中化简后，由判别式为零可求出k ，从而可得直线方程，进而可求出点M 的坐标，然后可求出AOM 的面积 【详解】(1)由抛物线的定义可知||452pAF =+=， 即2p =，抛物线的方程为24x y =， (2)24416a =⨯=，且A 在第一象限，4a ∴=，即A （4，4）， 显然切线的斜率存在，故可设其方程为4(4)y k x -=-，．由24(4)4y k x x y -=-⎧⎨=⎩，消去y 得[]24(4)4x k x =-+，即2416160x kx k -+-=， 令2164(1616)0k k ∆=--=，解得2k =，∴切线方程为24y x =-． 令x =0，得4y =-，即4(0,)M -， 11||44822AOMA SOM x ∴==⨯⨯=． 20．已知函数2()ln f x a x bx x =++在其图象上的点(1,)c 处的切线方程为620x y --=． (1)求a ，b ，c 的值；(2)求()f x 的单调区间与极值． 【答案】(1)1,3,4a b c =-==；(2)单调减区间为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，()f x 的极小值为2ln 33+，无极大值.【分析】（1）求原函数的导函数，由点在切线上求出c ，再由()()161f f c ⎧=⎪⎨='⎪⎩求出参数a 、b即可.（2）由（1）得()()()3121x x f x x-+'=()0x >，根据fx 的符号判断()f x 的单调区间，并确定极值情况.【详解】(1)由题设，()21af x bx x'=++，且624c =-=， 又()()1216114f a b f b c ⎧=++=⎪⎨=+=='⎪⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩．(2)由（1）得：()2ln 3f x x x x =-++，∴()()()3121161x x f x x x x-+'=-++=()0x >， 令0f x ，解得13x >；令0f x ，解得103x <<，∴()f x 的单调减区间为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，∴当13x =时，()f x 的极小值为2ln 33+，无极大值．21．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足121n n na a a +-=． (1)求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列；(2)若()()()211N n n n b a a n *+=--∈，求数列{}n b 前n 项和n S ．【答案】(1)证明见解析； (2)342(1)(223)n S n n n =++-+，()n *∈N . 【分析】（1）由题设可得111111+-=--n n a a ，利用等差数列的定义判断11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是否为等差数列即可. （2）由（1）有1(2)n b n n =+，应用裂项相消法求n S 即可.【详解】(1)由题设，111+--=n n n a a a ，则1111111n n n n a a a a +==+---，所以111111+-=--n n a a 为常数，又1111a =-， ∴11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列．(2)由（1）得：11=-n n a ，所以()()2111111(2)22n n n b a a n n n n +⎛⎫=--==- ⎪++⎝⎭， 所以，111111*********...12243511222123n S n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-=+-- ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭32342(1)(2)n n n +=-++，()n *∈N ． 22．2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交a 元(1013)a ≤≤的税收，预计当每件产品的售价定为x 元(1317)x ≤≤时，一年的销售量为2(18)x 万件． (1)求该商店一年的利润L （万元）与每件纪念品的售价x 的函数关系式； (2)求出L 的最大值()Q a ．【答案】(1)()()2518L x a x =---，[13,17]x ∈；(2)()()3413,1011.52712,11.513a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩.【分析】（1）由题意，利用利润与销售量、售价、成本的关系写出函数关系式，注意定义域范围.（2）对L 求导，令0L '=得2823a x +=或18x =，讨论2823a+与区间[13,17]的位置情况判断L '的符号，进而确定L 的区间单调性，即可求最大值.【详解】(1)由题意，预计当每件产品的售价为x 元()1317x ≤≤，而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交a 元（1013a ≤≤），所以商店一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：()()2518L x a x =---，[13,17]x ∈(2)()()2518L x a x =---，[13,17]x ∈，()()()282318L x a x x '∴=+--，令0L '=，解得：2823a x +=或18x =，而1013a ≤≤，则28216183a+≤≤， ①当28213173a+≤<，即1011.5a ≤≤时， 当28213,3a x +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0L x '≥，()L x 单调递增， 当282,173a x +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0L x '≤，()L x 单调递减， ()3max 282413327a L L a +⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭； ②当28217183a+≤≤，即11.513a ≤≤时，则()0L x '≥，即()L x 在[13,17]单调递增， ()max 1712L L a ∴==-，综上，()()3413,1011.52712,11.513a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩.。
高二数学第二学期理科第一次月考(含答案)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第二学期第一次月考高二数学理科试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，仅有一项符合题目要求）1. 已知集合P={x|1≤x≤3}，Q={x|(x-1)2≤4}，则P Q=（）A．[-1，3] B . [1，3] C. [1，2] D. (],3-∞2. 已知，则（）A．f（2）＞f（e）＞f（3） B．f（3）＞f（e）＞f（2）C．f（3）＞f（2）＞f（e） D．f（e）＞f（3）＞f（2）3．下列说法正确的是（）A．“sinα=”是“cos2α=”的必要不充分条件B．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题是“若xy≠0，则x≠0或y≠0”C．已知命题p：∃x∈R，使2x＞3x；命题q：∀x∈（0，+∞），都有＜，则p∧（￢q）是真命题D．从匀速传递的生产流水线上，质检员每隔5分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这是分层抽样4.已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．x ﹣1 0 2 3 4f（x） 1 2 0 2 0当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．55. 如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A． B．C． D．6.函数f（x）=sinx•ln（x2+1）的部分图象可能是（）A． B．C. D．7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．18B．16C． D．18．如果函数f （x ）为奇函数，当x<0时，f （x ）= ln(-x)+3x,则曲线在点(1,-3)处的切线方程为 ( ).32(1) .32(1) .34(1) .34(1)A y x B y x C y x D y x +=--+=-+=--=+9. 已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=1和两点A （﹣m ，0），B （m ，0）（m ＞0），若圆C 上存在点P ，使得∠APB=90°，则m 的最大值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．410.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD ，△PAB 和△PAD 都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为（ ） A ．45° B ．75° C ．60° D ．90° 11．已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x ﹣4y=0交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．（0，] B ．（0，] C ．[，1） D ．[，1）12. 设函数f （x ）在（m ，n ）上的导函数为g （x ），x ∈（m ，n ），若g （x ）的导函数小于零恒成立，则称函数f （x ）在（m ，n ）上为“凸函数”．已知当a ≤2时，3211()62f x x ax x =-+，在x ∈（﹣1，2）上为“凸函数”，则函数f （x ）在（﹣1，2）上结论正确的是（ ） A ．有极大值，没有极小值 B ．没有极大值，有极小值C ．既有极大值，也有极小值D ．既无极大值，也没有极小值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）. 13.设向量(,1)a m =,(1,2)b =,且222a b a b +=+,则m=________. 14.函数2cos 2y x =的图象可由sin 2cos 2y x x =+的图象至少向左平移_______个单位长度得到.15.若函数2()f x x x a =-（）在 2x =处取得极小值，则a =________． 16. 设函数()f x 的导函数是'()f x ,且'1()2() () ,2f x f x x R f e ⎛⎫>∈=⎪⎝⎭（e 是自然对数的底数），则不等式2()f lnx x <的解集为___________.三．解答题（本大题共6小题，共70分；说明：17-21共5小题，每题12分，第22题10分）. 17. 已知数列{a n }（n ∈N *）的前n 项的S n =n 2． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求使成立的最小正整数n 的值．18.设函数f （x ）=lnx ﹣x+1. （Ⅰ）分析f （x ）的单调性； （Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x.19.如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E 、F 分别为AC 、DC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ⊥BC ；（Ⅱ）求二面角E ﹣BF ﹣C 的正弦值．20.已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，F 是椭圆的焦点，点A （0，﹣2），直线AF 的斜率为，O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．21.已知函数2()1xe f x x mx =-+.（Ⅰ）若()2,2m ∈-，求函数()y f x =的单调区间;（Ⅱ）若10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则当[]0,1x m ∈+时，函数()y f x =的图象是否总在直线y x =上方？请写出判断过程.22.（选修4-4坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．高二第一次月考理科数学参考答案一、BDCCC DBBBD BA 二、13. -2 ； 14 . 8π； 15. 2 ； 16. ()0,e .三、 17.解：（Ⅰ）∵S n =n 2，当n ≥2时，S n ﹣1=（n ﹣1）2∴相减得a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣1又a 1=S 1=1符合上式∴数列{a n }，的通项公式a n =2n ﹣1 （II ）由（I ）知∴T n =b 1+b 2+b 3++b n ==又∵∴∴成立的最小正整数n 的值为518.解：（Ⅰ）由f （x ）=lnx ﹣x+1，有'1()(0)xf x x x-=>，则()f x 在（0，1）上递增，在（1，+∞）递减； （Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x ，即为lnx ＜x ﹣1＜xlnx ．结合（Ⅰ）知，当1x >时'()0f x <恒成立，即()f x 在（1，+∞）递减，可得f （x ）＜f （1）=0，即有lnx ＜x ﹣1；设F （x ）=xlnx ﹣x+1，x ＞1，F′（x ）=1+lnx ﹣1=lnx ，当x ＞1时，F′（x ）＞0，可得F （x ）递增，即有F （x ）＞F （1）=0， 即有xlnx ＞x ﹣1，则原不等式成立； 19.解：（Ⅰ）证明：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B （0，0，0），A （0，﹣1，），D （，﹣1，0），C （0，2，0），因而E （0，，），F （，，0），所以=（，0，﹣），=（0，2，0），因此•=0，所以EF ⊥BC ．（Ⅱ）在图中，设平面BFC 的一个法向量=（0，0，1），平面BEF 的法向量=（x ，y ，z ），又=（，，0），=（0，，），由得其中一个=（1，﹣，1），设二面角E ﹣BF ﹣C 的大小为θ，由题意知θ为锐角，则 cosθ=|cos ＜，＞|=||=，因此sinθ==，即所求二面角正弦值为．20.解：（Ⅰ） 设F （c ，0），由条件知，得又，所以a=2，b 2=a 2﹣c 2=1，故E 的方程．…．（6分）（Ⅱ）依题意当l ⊥x 轴不合题意，故设直线l ：y=kx ﹣2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2） 将y=kx ﹣2代入，得（1+4k 2）x 2﹣16kx+12=0， 当△=16（4k 2﹣3）＞0，即时，从而又点O 到直线PQ 的距离，所以△OPQ 的面积=，设，则t ＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y=x ﹣2或y=﹣x ﹣2．…（12分）21. 解：（Ⅰ）易知()2,2m ∈-时，函数的定义域为R ，()()()2'2222(1)2(1)(1)()11x xx e x mx x m e e x x m f x xmx xmx -+-----==-+-+，①若11,m +=即0m =，则'()0f x ≥，此时()f x 在R 上递增；②11,m +>即02m <<，则当(),1x ∈-∞和()1,x m ∈++∞时，'()0f x >，()f x 递增；当()1,1x m ∈+时，'()0f x <，()f x 递减；综上，当0m =时，()f x 的递增区间为(),-∞+∞；当02m <<时，()f x 的递增区间为(),1-∞和()1,m ++∞，()f x 的减区间为()1,1m +（Ⅱ）当10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（Ⅰ）知()f x 在()0,1上单调递增，在()1,1m +上单调递减.令()g x x =，①当[]0,1x ∈时min max ()(0)1,()1,f x f g x ===这时函数()f x 的图象总在直线()g x 上方. ②当[]1,1x m ∈+时,函数()f x 单调递减，所以1min()(1)2m e f x f m m +=+=+，()g x 的最大值为1m +.下面(1)f m +判断与1m +的大小，即判断xe 与(1)x x +的大小，其中311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦解法一：令()(1)xm x e x x =-+，则'()21xm x e x =--，令'()()h x m x =，则'()2xh x e =-.因为311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦所以'()20x h x e =->，所以'()m x 单调递增.又因为'(1)30m e =-<，3'23()402m e =->，所以存在031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得0'00()210.x m x e x =---所以()m x 在()01,x 上单调递减，在03,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以022200000000()()21 1.x m x m x e x x x x x x x ≥=--=+--=-++因为当031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，2000()10,m x x x =-++>所以(1)x e x x >+，即(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方.解法二：判断xe 与(1)x x +的大小可以转化为比较x 与[]ln (1)x x +的大小.令[]()ln (1)x x x x ϕ=-+，则2'21()x x x x x ϕ--=+，令2()1,u x x x =--当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，易知()u x 递增，所以31()()024u x u ≤=-<，所以当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减，所以3315()()ln0224x ϕϕ≥=->.所以[]ln (1)x x x >+，所以(1)xe x x >+，所以(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方. 22.解：（1）曲线C 1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y 2=cos 2α+sin 2α=1，即有椭圆C 1：+y 2=1； 曲线C 2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y ﹣4=0，即有C 2的直角坐标方程为直线x+y ﹣4=0； （2）由题意可得当直线x+y ﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．。
高二数学-空间向量与立体几何测试题及答案
高二数学空间向量与立体几何测试题第1卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在下列命题中：CD若a、b共线则a、b所在的直线平行；＠若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；＠若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；＠已知三向量a、b、c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=a+yb+zc,, y, z R.其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若三点共线为空间任意一点且则的值为（）A. lB.C.D.3. 设，且，则等千（）A. B. 9 C. D4. 已知a=(2, —1, 3) , b= C—1, 4, —2) , c= (7, 5, 入），若a、b、c三向量共面，则实数入等千（）A. B. C.5.如图1,空间四边形的四条边及对角线长都是，点分别是的中点则等千（）D.A.C.．．BD6. 若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7. 已知点0是LABC所在平面内一点满足• = • = • '则点0是LABC的（）A. 三个内角的角平分线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条中线的交点8. 已知a+b+c=O,al =2, bl =3,A. 30°B. 45°D.三条高的交点l e = , 则向量a与b之间的夹角为（）C. 60°D. 以上都不对9. 已知， ＇ ，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A.B.10. 给出下列命题：CD已知，则C. D.＠为空间四点若不构成空间的一个基底，那么共面；＠已知则与任何向量都不构成空间的一个基底；＠若共线则所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）C. 3A.1B.2D.4 第II卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.已知LABC的三个顶点为A(3, 3, 2) , B (4, —3, 7) , C (0, 5, 1) , 则BC边上的中线长为12. 已知三点不共线为平面外一点若由向量确定的点与共面，那么13. 已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m,n的夹角为14. 在空间四边形ABC D中，AC和B D为对角线G为L:.ABC的重心，E是B D上一点BE=3E D, 以｛， ， ｝为基底，则＝15. 在平行四边形ABCD中，AB=AC=l,乙ACD=90, 将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则B,D两点间的距离为16. 如图二面角a-t -B的棱上有A,B两点直线AC,B D分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直千AB,已知AB=4,AC=6, B D=8, C D= ,二面角Q—t—B的大小三、解答题（本大题共5小题，满分70分），17. C lo分）设试问是否存在实数，使成立？如果存在，求出；如果不存在，请写出证明．18. (12分）如图在四棱锥中，底面ABC D是正方形，侧棱底面ABC D,, 是PC的中点，作交PB千点F.(1)证明PAIi平面EDB:(2)证明PB上平面E F D:(3)求二面角的大小．、、、、、、、、.、19. (12分）如图在直三棱柱ABC—AlBlCl中，底面是等腰直角三角形，乙ACB=90°.侧棱AA1=2, D. E 分别是CCl与AlB的中点点E在平面ABO上的射影是DAB D的重心G.(1)求AlB与平面ABO所成角的大小．(2)求Al到平面ABO的距离1) 20. 12分）如图在三棱柱ABC-AlBlCl中，AB上AC,顶点Al在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.2)求棱AA1与BC所成角的大小；在棱BlCl上确定一点P,使AP=, 并求出二面角P—AB—Al的平面角的余弦值A1C1B21. (12分）如图直三棱柱ABC-AlBlCl中AB上AC,D.E分别为AAl.B lC的中点DEl_平面BCCl.C I)证明：A B=ACC II)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小c,22. (12分）P是平面ABC D外的点四边形ABC D是平行四边形，AP= (-1, 2, -1)(1)求证：PA 平面ABC D.(2)对千向量，定义一种运算：，试计算的绝对值；说明其与几何体P—ABC D的体积关系，并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义（几何体P-ABC D叫四棱锥，锥体体积公式：V= ) .一、选 1 2 择题（本大题土2上、10小题，每3 4空间向量与立体几何(2)参考答案5 6 7 8 9 10小题5/刀\.让,/、50分）题号答案D D D A B C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11. (0, ,) 12. 0 13. 1, —3 14. 90° l厮—15。
空间向量与立体几何测试卷(高二理科)
空间向量与立体几何测试卷姓名: 班别：一、选择题:1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为c z b y a x p ++=．其中正确命题的个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC 的表达中错误的一个是（ ）Ａ．11111AA A B A D ++Ｂ．111AB DD D C ++ Ｃ．111AD CC D C ++ Ｄ．11111()2AB CD AC ++ 3．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于（ ）A ．627B ．637C ．647D ．6574． 已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．5 5．若向量(12)λ=，，a 与(212)=-，，b 的夹角的余弦值为89，则λ=（ ） Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．2-或255 Ｄ．2或255- 6．已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则顶点D 的坐标（ ） Ａ．7412⎛⎫- ⎪⎝⎭，， Ｂ．(241)，， Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，，7．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若c CC b CB a CA ===1,,， 则1A B = （ ）A ．a +b －cB ．a －b +cC ．－a +b +cD ．－a +b －c8．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角><b a ,为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对9．已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为 （ ）A ．131(,,)243 B ．123(,,)234 C ．448(,,)333 D ．447(,,)33310．三棱锥S —ABC 中，SA ⊥底面ABC ，SA=4，AB=3，D 为AB 的中点∠ABC=90°，则点D 到面SBC 的距离等于（ ）A ．125B ．95C ．65D ．35二、填空题：11．已知向量)1,5,3(=a ，)3,2,2(=b ，)3,1,4(--=c ，则向量c b a 432+-的坐标为 .12．若A(m ＋1，n －1,3)，B(2m ,n ,m －2n )，C(m ＋3,n －3,9)三点共线，则m +n = ．13．已知(315)(123)==-，，，，，a b ，向量c 与z 轴垂直，且满足94==-，··c a c b ，则c = ．14．在正三棱柱ABC ——A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 ．三、解答题：15．16. 设向量()()3,5,4,2,1,832,,a b a b a b =-=-⋅，计算并确定,λμ的关系，使a b z λμ+与轴垂直16.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1＝2，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点.（1）求异面直线1AC 与1B B 所成的角的余弦值；（2）求证：11//AC B CD 面；（3）求证：11A B B CD ⊥面17.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ， E 为侧棱SC 的中点．（Ⅰ）求直线SD 与平面BDE 所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ；O S A B CDE18.正四棱锥S —ABCD 中，所有棱长都是2，P 为SA 的中点，如图.(1) 求DP 与SC 所成的角的大小；(2). 求二面角B —SC —D 的大小19.如图①，正三角形ABC 边长2，CD 为AB 边上的高，E 、F 分别为AC 、BC 中点，现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角B DC A --，如图②(1)判断翻折后直线AB 与面DEF 的位置关系，并说明理由(2)求二面角D AC B --的余弦值(3)求点C 到面DEF 的距离图 ① 图 ②。
(完整)高二数学空间向量测试题
高二数学测试题—空间向量（5）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ）A ．OC OB OA OM ++= B ．OC OB OA OM --=2C ．OC OB OA OM 3121++= D ．OC OB OA OM 313131++=2．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若====B A C CC b CB a CA 11,,,则 （ ）A ．c b a -+B ．c b a +-C ．c b a ++-D ．c b a -+-3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ）A ．n m //B ． n m ⊥C ．n m n m 也不垂直于不平行于,D ．以上三种情况都可能4．设向量},,{c b a 是空间一个基底，则一定可以与向量b a q b a p -=+=,构成空间的另一个基底的向量是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．b a 或 5．对空间任意两个向量b a o b b a //),(,≠的重要条件是（ ）A ．b a =B ．b a -=C ．a b λ=D ．b a λ= 6．已知向量b a b a 与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为 （ ） A ．0° B ．45°C ．90°D ．180°7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB 则△BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定8．已知的值分别为与则若μλμλλ,//),2,12,6(),2,0,1(b a b a -=+=（ ）A ．21,51 B ．5，2C ．21,51--D ．-5，-29．已知的数量积等于与则b a k j i b k j i a 35,2,23+-=-+= （ ）A ．-15B ．-5C ．-3D ．-110．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．52-B ．52C ．53 D ．1010 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，则m+n= . 12．已知A （0，2，3），B （-2，1，6），C （1，-1，5），若aAC a AB a a 则向量且,,,3||⊥⊥=的坐标为 .13．已知b a ,是空间二向量，若b a b a b a 与则,7||,2||,3||=-==的夹角为 .14．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若的值则λλ,OG OC OB OA =++为.三、解答题（本大题共6题，共76分）15．如图，M 、N 、E 、F 、G 、H 分别是四面体ABCD 中各棱的中点，若此四面体的对棱相等，求)()2(;)1(MG NH EF GH EF +⋅的夹角与（12分）16．如图：ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，求证：MN⊥平面PCD.(12分)17．直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC1⊥AB1，BC1⊥A1C求证：AB1=A1C（12分）18．一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是30°，求这条线段与这个二面角的棱所成的角。
高二下空间向量测试题及答案
∴ AB1 与 ED1 所成的角的余弦值为
16． 解：建立如图所示的直角坐标系， （1）不妨设正方体的棱长为 1， 则 D（0，0，0） ，A（1，0，0） ， D1 （0，0，1） ，
1 1 ） ，F（0， ，0） ， 2 2 1 则 D1 F ＝（0， ，－1） ， D A ＝（1，0，0） ， 2 1 ， 则 D1 F DA ＝0， AE ＝（0，1， ） 2
y
AP AB即AP AB
AP AD (1, 2, 1) (4, 2,0) 4 4 0 0
高二数学 第 8 页
AP AD即PA AD AD 面ABCD
18． 证：如图，建立空间直角坐标系 A－xyz，设 AB＝2a， BC＝2b，PA＝2c，则： A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)， D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c) ∵ E 为 AB 的中点，F 为 PC 的中点 z ∴ E (a, 0, 0)，F (a, b, c) P → → → (1)∵ EF ＝(0, b, c)， AP ＝(0, 0, 2c)， AD ＝(0, 2b, 0) → 1 → → F ∴ EF ＝ ( AP ＋ AD ) E 2 → → → ∴ EF 与 AP 、 AD 共面 C D 又∵ E 平面 PAD ∴ EF∥平面 PAD． G B A → (2) ∵ CD ＝(-2a, 0, 0 ) x → → ∴ CD · EF ＝(-2a, 0, 0)·(0, b, c)＝0 ∴ CD⊥EF． → (3) 若PDA＝45，则有 2b＝2c，即 b＝c， ∴ EF ＝(0, b, b)， 2b2 2 → → → AP ＝(0, 0, 2b) ∴ cos EF ， AP ＝ ＝ 2 2b· 2b → → ∴ EF ， AP ＝ 45 19．见 2005 年浙江省高考试题 20．解： （1） AP AB (2, 1, 4) (1, 2, 1) 2 (2) 4 0
高二(理科)数学《空间向量和导数》综合测试
高二（理科）数学综合测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．已知点A (2，－2，4)，B (－1，5，－1)，若AB OC 32=,则点C 的坐标为( ) (A))310,314,2(- (B))310,314,2(-- (C))310,314,2(-- (D))310,314,2(--2．三次函数y ＝a x 3－x 在(－∞，＋∞)内是减函数，则( )A ．a ≤0B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ＝133．已知α ⊥β ，平面α 与平面β 的法向量分别为m ＝(1，－2，3)，n ＝(2，3λ，4)，则λ＝( )(A )35 (B )35- (C )37 (D )37-4．若对任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数为( )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4－2C ．f (x )＝x 4＋1D ．f (x )＝x 4＋25．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )6．若直线l 与平面α 成角为3π，直线a 在平面α 内，且直线l 与直线a 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是( )(A )]3π,0( (B )]3π2,3π[ (C )]2π,3π[ (D )]2π,0(7．函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )A ．0 B.π4 C ．1 D.π28．已知函数x x x f sin 21)(2+=，则/()f x 的大致图象是A B C D9．设32:()21p f x x x mx =+++在()-∞+∞，内单调递增，4:3q m ≥，则p 是q 的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件10．已知A (0，0，0)，B (1，1，1)，C (1．2，－1)，下列四个点中在平面ABC 内的点是( )(A )(2，3，1) (B )(1，－1，2) (C )(1，2，1) (D )(1，0，3)11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1中点，平面A 1EC 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为( )(A )22 (B )23 (C )36 (D )3312．ABCD 为正方形，E 是AB 中点，将△DAE 和△CBE 折起，使得AE 与BE 重合，记A ，B 重合后的点为P ，则二面角D －PE －C 的大小为( )(A )6π (B )4π (C )3π (D )2π二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)13．已知曲线y ＝－13x 3＋2与曲线y ＝4x 2－1在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为________．14．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．15．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝2，则A 1C 与BC 1所成角的余弦值为________．16． (在三棱锥O －ABC 中，三条棱OA ，OB ，OC 两两互相垂直，且OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 的中点，则OM 与平面ABC 所成角的余弦值是________．三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分) 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1，AC⊥BC ，点D 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：AC 1∥平面CDB 1；（Ⅱ）求异面直线AC 1与B 1D 所成的角的大小．18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间．19．(本题满分12分) 正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BB 1，D 是BC 的中点，（Ⅰ）求直线BB 1与平面AC 1D 所成的角余弦值； （Ⅱ）求二面角C －AC 1－D 的大小．20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝12x2－m ln x.（Ⅰ）若函数f(x)在(12，＋∞)上是递增的，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当m＝2时，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值．.21．(本题满分12分)某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r是瓶子的半径，单位是cm，已知每出售1 mL饮料，制造商可获利0.2分，且制造商制作的瓶子的最大半径为6 cm.试求出瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大或最小．22．(本题满分14分)如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=22.（Ⅰ）求证：BD⊥平面P AC；（Ⅱ）求二面角P—CD—B的大小；（Ⅲ）求点C到平面PBD的距离.。
扬州中学2021-2022学年高二(下)第一次月考数学试卷(后附答案解析)
扬州中学2021-2022学年高二（下）第一次月考真题卷数学一、单项选择题1.点()2,1,3P -关于Oxy 平面的对称点的坐标为（）A.()2,1,3-B.()2,1,3C.()2,1,3-- D.()2,1,3--2.已知圆心为()2,1-的圆与y 轴相切，则该圆的标准方程是（）A.()()22211x y ++-= B.()()22214x y ++-=C.()()22211x y -++= D.()()22214x y -++=3.已知向量()1,1,0a =r ，()1,0,2b =-- ，且ka b + 与2a b -互相垂直，则k 的值是（）.A.1B.15C.35D.754.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()cos 2f x x xf π⎛⎫'=-⎪⎝⎭，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程是（）A.210x y --= B.210x y ++= C.220x y -+= D.210x y ++=5.小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排.若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为（）A.6B.12C.24D.486.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，若,,PA a PB b PC c === ，则BE = （）A.111222a b c -+B.131222a b c --C.131222a b c -+ D.113222a b c -+ 7.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biēnào ）.如图，在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，P ，Q 分别为MA ，MC 的中点，2MA AB BC ===，则异面直线BQ 与CP 所成角的余弦值为（）A.39B.6C.33D.08.已知 2.12.2a =， 2.22.1b =， 2.12.1c =，则（）A.a c b<< B.c b a<< C.b<c<aD.c<a<b二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中．）9.已知函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.－1是函数()f x 的极小值点B.－4是函数()f x 的极小值点C.函数()f x 在区间(,4)-∞-上单调递减D.函数()f x 在区间(4,1)--上先增后减10.已知空间三点()1,0,1A -，()1,2,2B -，()3,0,4C-，则下列说法正确的是（）A.3AB AC ⋅=B.//AB ACC.BC =D.3cos ,65AB AC =11.如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（）A.直线BD 1⊥平面A 1C 1DB.三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C.异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°，90°]D.直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为312.已知1F ，2F 为双曲线C ：x 2–24y =1的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P ，使得PF 1⊥PF 2，直线PF 2与y 轴交于点Q ，连接QF 1，△PQF 1，的内切圆圆心为I ，则下列结论正确的有（）A.F 1，F 2，P ，I 四点共圆B.△PQF 1的内切圆半径为1C.I 为线段OQ 的三等分点D.PF 1与其中一条渐近线垂直三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中．）13.已知集合{}1,2,3M ∈-，{}4,5,6,7N ∈--，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是______．14.已知向量(1,2,2),(2,1,1)a b ==-，则向量b 在向量a上的投影向量的坐标为__________．15.已知函数()321,2{3,2x x f x x x x -≥=-+<，若函数y=f （x ）-m 有2个零点，则实数m 的取值范围是________．16.已知正方体1111ABCD A B C D －的棱长为4，点P 是1AA 的中点，点M 在侧面11AA B B 内，若1D M CP ⊥，则BCM 面积的最小值为________.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中．）17.已知()33210n n f n A A =-（n N ∈，且3n ≥）．（1）求()4f 的值；（2）若()0f n =，求n 的值．18.如图，在四面体OABC 中，M 是棱OA 上靠近A 的三等分点，N 是棱BC 的中点，P 是线段MN 的中点．设OA a = ，OB b = ，OC c = ．（1）用a ，b ，c 表示向量OP；（2）若1a b c ===，且满足（从下列三个条件中任选一个，填上序号：①,,,3π=== a b b c c a ；②,,,,32ππ=== a b c a c ；③2,,,,23a b c a b c ππ=== ，则可求出OP 的值；并求出OP 的大小．19.如图，已知四边形ABCD 是正方形，PD ⊥平面,2ABCD PD AD ==．（1）求点D 到平面PAC 的距离；（2）在线段PB 上是否存在点E ，使PC ⊥平面ADE ？若存在，求PEEB的值；若不存在，说明理由．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，AB CD ∕∕，PC ⊥底面ABCD ，224AB AD CD ===，2PC a =，E 是PB 的中点．（1）若二面角P AC E --的余弦值为63，求a 的值；（2）在（1）的条件下求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．21.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且椭圆C 上的点到右焦点F 的距离最长为3.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，AB 的中垂线1l 与x 轴交于点G ，试问AB FG是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.22.已知函数121()(1)e (0)2x f x x a x ax x -=---+>.（1）讨论()f x 的单调性.（2）当2a ≤时，若()f x 无最小值，求实数a 的取值范围.扬州中学2021-2022学年高二（下）第一次月考真题卷数学答案一、单项选择题1.点()2,1,3P -关于Oxy 平面的对称点的坐标为（）A.()2,1,3-B.()2,1,3C.()2,1,3-- D.()2,1,3--【答案】B 【解析】【分析】根据点关于坐标轴，坐标平面对称时，关于谁对称谁不变可得.【详解】关于Oxy 平面对称的点的x ，y 坐标不变，只有z 坐标相反，所以点()2,1,3P -关于Oxy 平面的对称点的坐标为()2,1,3．2.已知圆心为()2,1-的圆与y 轴相切，则该圆的标准方程是（）A.()()22211x y ++-= B.()()22214x y ++-=C.()()22211x y -++= D.()()22214x y -++=【答案】B 【解析】【分析】圆的圆心为(2,1)-，半径为2，得到圆方程.【详解】根据题意知圆心为(2,1)-，半径为2，故圆方程为：22(2)(1)4x y ++-=.故选：B.3.已知向量()1,1,0a =r，()1,0,2b =-- ，且ka b + 与2a b - 互相垂直，则k 的值是（）.A.1B.15C.35D.75【答案】D 【解析】【分析】向量的垂直用坐标表示为1212120x x y y z z ++=，代入即可求出答案.【详解】=(1,1,0)(1,0,2)(1,,2)ka b k k k ++--=--，2=a b -2(1,1,0)(1,0,2)---=(3,2,2)，因为ka b + 与2a b -互相垂直，所以(1,,2)k k --⋅(3,2,2)=0，所以57=0k -，所以7=5k .故选：D.4.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()cos 2f x x xf π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程是（）A.210x y --= B.210x y ++= C.220x y -+= D.210x y ++=【答案】C 【解析】【分析】求得()f x '后，代入2x π=即可求得2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭，从而得到()(),f x f x '；利用导数的几何意义即可求得结果.【详解】()cos 2f x x xf π⎛⎫'=-⎪⎝⎭ ，()sin 2f x x f π⎛⎫''∴=-- ⎪⎝⎭，sin 12222f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''∴=--=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：122f π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()1cos 2f x x x ∴=+，()1sin 2f x x '=-+，()01f ∴=，()102f '=，()y f x ∴=在0x =处的切线方程为112y x -=，即220x y -+=.故选：C.5.小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排.若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为（）A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】B 【解析】【分析】将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个元素进行排序即可．【详解】将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个元素进行排序，则232312A A =，故所求的坐法种数为12，故选：B ．6.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，若,,PA a PB b PC c === ，则BE =（）A.111222a b c -+B.131222a b c --C.131222a b c -+ D.113222a b c -+ 【答案】C 【解析】【分析】根据向量加减法，和空间向量基本定理直接求解即可.【详解】()()()11112222BE PE PB PD PB PB BD PB BD PB BA BC PB=-=-=+-=-=+-()11312222PA PB PC PB PB PA PB PC =-+--=-+131222a b c -+= .故选：C【点睛】本题主要考查向量在几何中的应用以及向量共线定理，空间向量基本定理，属于基础题.7.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biēnào ）.如图，在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，P ，Q 分别为MA ，MC 的中点，2MA AB BC ===，则异面直线BQ 与CP 所成角的余弦值为（）A.39B.36C.33D.0【答案】A 【解析】【分析】以B 点为原点建立空间直角坐标系，用向量法可解.【详解】由题意得，ABC 为直角三角形，且90ABC ∠=︒，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()2,0,2M ，()2,0,1P ，()0,2,0C ，()1,1,1Q ，则()1,1,1BQ =，()2,2,1CP =-.设异面直线BQ 与CP 所成角为θ，则()1212113cos cos ,93441BQ CP θ⨯+⨯-+⨯==⨯++ .故选：A.8.已知 2.12.2a =， 2.22.1b =， 2.12.1c =，则（）A.a c b<< B.c b a<< C.b<c<aD.c<a<b【答案】B 【解析】【分析】利用幂函数的单调性可得出a 、c 的大小关系，利用指数函数的单调性可得出b 、c 的大小关系，构造函数()ln xf x x=，利用函数()f x 在()0,e 上的单调性可得出a 、b 的大小关系，即可得出结论.【详解】因为 2.1 2.12.2 2.1>， 2.2 2.12.1 2.1>，即a c >，b c >，构造函数()ln xf x x=，则()21ln x f x x -'=，当0e x <<时，()0f x ¢>，故函数()f x 在()0,e 上为增函数，因为0 2.1 2.2e <<<，则()()2.1 2.2f f <，即ln 2.1ln 2.22.1 2.2<，可得2.2ln 2.1 2.1ln 2.2<，即 2.2 2.1ln 2.1ln 2.2<，故 2.2 2.12.1 2.2<，因此c b a <<.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中．）9.已知函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.－1是函数()f x 的极小值点B.－4是函数()f x 的极小值点C.函数()f x 在区间(,4)-∞-上单调递减D.函数()f x 在区间(4,1)--上先增后减【答案】BC 【解析】【分析】根据导函数图象确定()f x 的单调性，由此确定正确选项.【详解】由()'fx 图象可知，()f x 在(),4-∞-上递减，在()4,-+∞上递增，所以1-不是极值点，A 选项错误；4-是极小值点，B 选项正确；C 选项正确；D 选项错误.故选：BC10.已知空间三点()1,0,1A -，()1,2,2B -，()3,0,4C-，则下列说法正确的是（）A.3AB AC ⋅=B.//AB ACC.BC =D.3cos ,65AB AC =【答案】AC 【解析】【分析】由条件可得,,AB AC BC的坐标，然后逐一判断即可.【详解】因为()1,0,1A -，()1,2,2B -，()3,0,4C-，所以()()()0,2,1,2,0,3,2,2,2AB AC BC ==-=--所以0033AB AC ⋅=++=uu u r uuu r，365cos ,65AB AC AB AC AB AC ⋅==⋅，BC ==所以,AB AC不共线.故选：AC11.如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（）A.直线BD 1⊥平面A 1C 1DB.三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C.异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°，90°]D.直线C 1P 与平面A 1C 1D所成角的正弦值的最大值为3【答案】ABD 【解析】【分析】在选项A 中，推导出111A C BD ⊥，11DC BD ⊥，从而直线1BD ⊥平面11AC D ；在选项B 中，由1//B C 平面11AC D ，得到P 到平面11AC D 的距离为定值，再由△11AC D 的面积是定值，从而三棱锥11P AC D -的体积为定值；在选项C 中，异面直线AP 与1A D 所成角转化为直线AP 与直线1B C 的夹角，可求取值范围；在选项D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可．【详解】对于选项A ，正方体中1111A C B D ⊥ ，111A C BB ⊥，1111B D BB B ⋂=，且11B D ，1BB ⊂平面11BB D ，11A C ∴⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ，111A C BD ∴⊥，同理，11DC BD ⊥，1111A C DC C ⋂= ，且11A C ，1DC ⊂平面11AC D ，∴直线1BD ⊥平面11AC D ，A 选项正确；对于选项B ，正方体中11//A D B C ，1A D ⊂平面11AC D ，1B C ⊂/平面11AC D ，1//B C ∴平面11AC D ，点P 在线段1B C 上运动，P ∴到平面11AC D 的距离为定值，又△11AC D 的面积是定值，∴三棱锥11P AC D -的体积为定值，B 选项正确；对于选项C ，11//A D B C ，∴异面直线AP 与1A D 所成角为直线AP 与直线1B C 的夹角．易知△1AB C 为等边三角形，当P 为1B C 的中点时，1AP B C ⊥；当P 与点1B 或C 重合时，直线AP 与直线1B C 的夹角为60 ．故异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是[60,90] ，C 选项错误；对于选项D ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 竖坐标为a ，01a ≤≤，则(,1,)P a a ，1(0,1,1)C ，(1,1,0)B ，1(0,0,1)D ，所以1(,0,1)C P a a =-，1(1,1,1)D B =- ．由选项A 正确：可知1(1,1,1)D B =-是平面11AC D 的一个法向量，∴直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值为：1111C P D B C P D B⋅==⋅ ∴当12a =时，直线1C P 与平面11AC D所成角的正弦值的最大值为3，D 选项正确．故选：ABD ．12.已知1F ，2F 为双曲线C ：x 2–24y =1的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P ，使得PF 1⊥PF 2，直线PF 2与y 轴交于点Q ，连接QF 1，△PQF 1，的内切圆圆心为I ，则下列结论正确的有（）A.F 1，F 2，P ，I 四点共圆B.△PQF 1的内切圆半径为1C.I 为线段OQ 的三等分点D.PF 1与其中一条渐近线垂直【答案】ABD 【解析】【分析】根据双曲线的定义可得1||4PF =，2||2PF =，由双曲线的对称性可判断A ；由双曲线的定义可判断B ；根据122Rt Rt F PF QOF ∽可判断C 、D.【详解】解析：由勾股定理及双曲线的定义可得：1||4PF =，2||2PF =对于A：易知I 在y 轴上，由对称性可得112GF I EF I IF Q ∠=∠=∠，则1290F IF ∠=︒，可知1F ，2F ，P ，I 四点共于以12F F 为直径的圆上；A 正确对于B：11||||||2PF PQ F Q r +-=1212||||||||||122PF PQ F Q PF PF a +--====，正确对于C：121222||||Rt Rt ||22||||||F P PF F PF QOF QO OI QO OF ⇒=⇒=∽△△，故I 为QO 中点，C 错误．D 显然正确．故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中．）13.已知集合{}1,2,3M ∈-，{}4,5,6,7N ∈--，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是______．【答案】6【解析】【分析】根据题意，可得所取的横坐标为负数，纵坐标为正数，结合所给集合列举分析即可得答案【详解】因为两个集合中各取一个元素作为点的坐标，且该点表示第二象限内的点，所以所取的横坐标为负数，纵坐标为正数，若横坐标为-2，则纵坐标可为5、6，即点为(2,5),(2,6)--，若横坐标为-4，则纵坐标可为1、3，即点为(4,1),(4,3)--，若横坐标为-7，则纵坐标可为1、3，即点为(7,1),(7,3)--，所以点的个数为6.故答案为：614.已知向量(1,2,2),(2,1,1)a b ==-，则向量b 在向量a 上的投影向量的坐标为__________．【答案】244,,999⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由已知求得向量b 在向量a 上的投影，设向量b 在向量a上的投影向量为m ，则(0)m a λλ=> 且2||3m = ，由向量的模列式求解λ值，即可求解．【详解】∵(1,2,2),(2,1,1)a b ==-，∴1(2)21212a b ⋅=⨯-+⨯+⨯=，∴向量b 在向量a上的投影为2||3a b a ⋅==，设向量b 在向量a 上的投影向量为m ，则(0)m a λλ=> 且2||3m =．∴(,2,2)m λλλ= ，则22222443λλλ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得29λ=．∴244,,999m ⎛⎫=⎪⎝⎭．故答案为：244,,999⎛⎫⎪⎝⎭．15.已知函数()321,2{3,2x x f x x x x -≥=-+<，若函数y=f （x ）-m 有2个零点，则实数m 的取值范围是________．【答案】m=2或m≥3【解析】【详解】【分析】分析：画出函数()f x 的图象，结合图象，求出m 的范围即可.详解：画出函数()f x的图象，如图：若函数 y=f （x ）﹣m 有 2 个零点，结合图象：m =2 或m ≥3 .故答案为m =2 或m ≥3 .点睛：对于“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数 y ＝f (x )的值域来解决，解的个数也可化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝a 交点的个数．16.已知正方体1111ABCD A B C D －的棱长为4，点P 是1AA 的中点，点M 在侧面11AA B B 内，若1D M CP ⊥，则BCM 面积的最小值为________.【答案】5【解析】【分析】取AB 的中点N ，AD 的中点\Q ，连接11,,,D Q QN B N AC ，容易证得⊥CP 平面11D QNB ，要使1⊥CP D M ，进而得1∈M B N ，进而得当1⊥BM B N 时，BM 最小，此时，BCM 的面积最小，再根据几何关系求解即可.【详解】如图，取AB 的中点N ，AD 的中点\Q ，连接11,,,.D Q QN B N AC 由于CP 在面ABCD 内的射影为AC ，QN AC ⊥，故⊥QN CP 因为CP 在面11ADD A 内的射影为DP ，1⊥D Q DP ，所以1⊥D Q CP .故由⊥QN CP ，1⊥D Q CP ，因为1D Q QN Q ⋂=，所以⊥CP 平面11D QNB .要使1⊥CP D M ，必须点M 在平面11D QNB 内，又点M 在侧面11AA B B 内，所以点M 在平面11D QNB 与平面11AA B B 的交线上，即1∈M B N .因为CB ⊥平面11ABB A ，所以CB BM ⊥，所以12BCM S CB BM ⨯⨯=当1⊥BM B N 时，BM 最小，此时，BCM 的面积最小.又14,2BB BN ==，故1B N =由1Rt B BN 的面积可得455BM ==，所以145854255BCM S =⨯⨯=.故答案为:5【点睛】本题考查空间线面垂直的证明，考查空间想象能力，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意寻求M 的轨迹，即1∈M B N ，进而根据几何关系求解.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中．）17.已知()33210n n f n A A =-（n N ∈，且3n ≥）．（1）求()4f 的值；（2）若()0f n =，求n 的值．【答案】（1）96（2）8【解析】【分析】（1）由排列数计算公式即可求解；（2）由排列数计算公式即可求解方程.【小问1详解】解：()()3384487610432564069610f A A =⨯⨯-⨯⨯⨯=-⨯=-=；【小问2详解】解：由33210n n A A =，得()()()()221221012n n n n n n --=--，又3n ≥，*n ∈N ，所以()()22152n n -=-，即8n =，∴正整数n 为8．18.如图，在四面体OABC 中，M 是棱OA 上靠近A 的三等分点，N 是棱BC 的中点，P 是线段MN 的中点．设OA a = ，OB b = ，OC c =．（1）用a ，b ，c 表示向量OP；（2）若1a b c ===，且满足（从下列三个条件中任选一个，填上序号：①,,,3π=== a b b c c a ；②,,,,32ππ=== a b c a c ；③2,,,,23a b c a b c ππ===，则可求出OP 的值；并求出OP 的大小．【答案】（1）111344OP a b c=++（2）①67||12OP ⇒=②58||12OP ⇒= ③5||12OP ⇒=【解析】【分析】（1）连接ON 由()121232⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦O OA OB P OC 可得答案；（2）选①，对111344=++a b P c O 两边平方代入已知再开方可得答案；选②，对111344=++a b P c O 两边平方代入已知再开方可得答案；③对111344=++a b P c O 两边平代入已知再开方可得答案.【小问1详解】连接ON ，因为N 是棱BC 的中点，所以()12=+OM ON OP ，因为M 是棱OA 上靠近A 的三等分点，所以()()121121111232232344⎡⎤⎡⎤=++=++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ OA OC OB a c b O a P b c .【小问2详解】选①,,,3π=== a b c a ，因为1a b c === ，111344=++ a b P c O ，所以()()22222111111111344944668⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭O a b c a b c a b a c Pc b111111116798626282144=++⨯+⨯+⨯=，所以6712= OP ；选②,,,,32ππ=== a b c a b c ，因为1a b c === ，111344=++a b P c O ，所以()()22222111111111344944668⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭O a b c a b c a b a c Pc b1111112998626272=++⨯+⨯=，所以5812= OP ；③2,,,,23ππ=== a b c a c ，因为1a b c === ，111344=++a b P c O ，所以()()22222111111111344944668⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ O a b c a b c a b a c Pc b1111259882144=+-⨯=，所以512= OP .19.如图，已知四边形ABCD 是正方形，PD ⊥平面,2ABCD PD AD ==．（1）求点D 到平面PAC 的距离；（2）在线段PB 上是否存在点E ，使PC ⊥平面ADE ？若存在，求PEEB的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）233（2）1【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量法，即可求解.(2)设PE PB λ=，根据位置关系，解出λ即可.【小问1详解】以D 为原点，DA 为x 轴,DC 为y 轴,DP 为z 轴，建立空间直角坐标系,则()()()0,0,2,2,0,00,2,0,P A C .设平面PAC 的法向量(,,)n x y z =，00n PA x z n PC y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，令1x =，得(1,1,1)n =，(2,0,0)DA =点D 到平面PAC 的距离||||3DA n d n ⋅===.【小问2详解】假设在PB 上存在E 点，使PC ⊥平面ADE ，则PE PB λ=，因为()2,2,2PB =- ,所以()2,2,2PE λλλ=-,所以()2,2,22E λλλ-,所以()22,2,22AE λλλ=-- ,若PC ⊥平面ADE ,则PC ⊥AE ,即840PC AE λ⋅=-=,故12λ=,此时E 为PB 的中点时,1PE EB =.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，AB CD ∕∕，PC ⊥底面ABCD ，224AB AD CD ===，2PC a =，E 是PB 的中点．（1）若二面角P AC E --的余弦值为63，求a 的值；（2）在（1）的条件下求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．【答案】（1）2a =（2）3【解析】【分析】（1）如图建系，求得各点坐标，根据线面垂直的判定定理，可证BC ⊥平面 PAC ，即可求得平面PAC 的法向量，再求得平面EAC 的法向量，根据二面角的向量求法，代入计算，即可得答案.（2）由（1）可得平面EAC 的法向量n ，求得PA，根据线面角的向量求法，即可求得答案.【小问1详解】以点C 为原点，作CD 的垂线为x 轴，以CD ，CP分别为y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，则()0,0,0C ，()2,2,0A ，()2,2,0B -，设()()0,0,20P a a >，则()1,1,E a -，所以()2,2,0CA = ，()0,0,2CP a = ，()1,1,CE a =- ，(2,2,0)CB =-，在直角梯形ABCD中，==AC，BC =所以222AC BC AB +=，即ACBC ⊥，又PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PC BC ⊥，所以BC ⊥平面PAC ，即CB即为平面PAC 的一个法向量，设(),,n x y z =为平面EAC 的法向量，则00n CA n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即00x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取x a =，y a =-，2z =-，则(),,2n a a =--，依题意，cos ,3CB n CB n CB n⋅<>==，解得2a =．【小问2详解】由（1）可得()2,2,2n =-- ，()2,2,4PA =-．设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则2sin cos ,3PA n PA n PA nθ⋅=<>====⋅，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为3．21.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且椭圆C 上的点到右焦点F 的距离最长为3.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，AB 的中垂线1l 与x 轴交于点G ，试问AB FG是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，定值为4.【解析】【分析】（1）由离心率，椭圆上的点到右焦点距离最大值为a c +和椭圆,,a b c 关系可构造方程组求得,a b ，进而得到椭圆标准方程；（2）当直线l 的斜率不为0时，设:1l x my =+，与椭圆联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式可求得AB ，并利用中点坐标公式求得AB 中点H 坐标，由此可表示出1l 方程，从而求得G 点坐标，得到FG ，化简可得定值；当直线l 的斜率为0时，易求得满足所求定值；综合两种情况可得结论.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意可得：222312a c c a a b c+=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得：2a =，b =，1c =，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，AB的中点为()00,H x y .联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得：()2234690m y my ++-=，由题意可知：0m ≠，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，()2212134m AB m +∴=+.H 为AB 的中点，02334my m -∴=+，0024134x my m =+=+，即2243,3434m H m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.直线1l 的方程可设为221343434m x y m m m ⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭，令0y =得：2134x m =+，则()22231113434m FG m m +=-=++，()()22221213443134m ABm FG m m ++∴==++.当直线l 的斜率为0时，24AB a ==，1FG c ==，则4AB FG=.综上所述：AB FG为定值，且定值为4.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出所求量；④化简所得式子，消元可得定值.22.已知函数121()(1)e(0)2x f x x a x ax x -=---+>.（1）讨论()f x 的单调性.（2）当2a ≤时，若()f x 无最小值，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增；当01a <<时，()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+¥上单调递增；当1a =时，()f x 在()0,+¥上单调递增；当1a >时，()f x 在()1,a 上单调递减，在(0,1),(,)a +∞上单调递增.（2）1,22e ⎛⎤- ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）对()f x 求导，然后对a 分类讨论分别得出()f x ¢所对应的x 的取值范围即为函数的单调增区间，()f x ¢所对应的x 的取值范围即为函数的单调减区间．（2）结合（1）中的单调性结论对函数的最小值进行讨论.对于第四种情况，得出关于a 的不等式后，需要构造新的函数分析求解.【详解】解：（1）因为121()(1)e(0)2x f x x a x ax x -=---+>，所以()1()(1)(0)x f x x a e x -'=-->.令()0f x ¢=，得x a =或1x =.①当0a ≤时，由()0f x ¢>，得1x >；由()0f x ¢<，得01x <<.则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增；②当01a <<时，由()0f x ¢>，得0x a <<或1x >；由()0f x ¢<，得1<<a x .则()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+¥上单调递增.③当1a =时，()0f x ¢³恒成立，则()f x 在()0,+¥上单调递增.④当1a >时，由()0f x ¢>，得01x <<或x a >；由()0f x ¢<，得1x a <<.则()f x 在()1,a 上单调递减，在(0,1)和(,)a +∞上单调递增.综上，当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增；当01a <<时，()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+¥上单调递增；当1a =时，()f x 在()0,+¥上单调递增；当1a >时，()f x 在()1,a 上单调递减，在(0,1)和(,)a +∞上单调递增.（2）①当0a ≤时，由（1）可知()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增，则()f x 有最小值()112f =-，故0a ≤不符合题意.②当01a <<时，由（1）可知()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+¥上单调递增，因为()f x 无最小值，所以()()01f f <，即11<2a e +--，解得112e a -<<；③当1a =时，由（1）可知()f x 在()0,+¥上单调递增，所以()f x 无最小值，所以1a =符合题意；④当12a <≤时，由（1）可知()f x 在()1,a 上单调递减，在()()0,1,,a +∞上单调递增.因为()f x 无最小值，所以()()0f f a <，即2111<2a a a e e -+--，即121102a a e a e-+--<.设()()1211122x x g x ex x e -+=--<≤，则()()1112x g x e x x e-'=--<≤设()()()1112x h x g x e x x e-'==--<≤，则()110x h x e -'=->在(]1,2上恒成立.故()h x 在(]1,2上单调递增，即()g x '在(]1,2上单调递增.因为()()1110,220g g e e e''=-<=-->，所以存在唯一的(]01,2x ∈，使得()00g x '=.故()g x 在()01,x 上单调递减，在(]0,2x 上单调递增.因为()()124310,22022e g g e e e e-=--=<=--<，所以()0g x <在(]1,2上恒成立，即1211<02a a ea e-+--在(]1,2恒成立，即12a <≤符合题意.综上，实数a 的取值范围为1,22e ⎛⎤-⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查分类讨论思想，首先利用函数求导公式对函数求导，然后再利用导函数大于 0 或者小于 0 讨论函数单调性，分类时一般利用 f ¢(x )有无解对参数进行分类．常见注意点如下：（1）对二次项系数的符号进行讨论；（2）导函数是否有零点进行讨论；（3）导函数中零点的大小进行讨论；（4）导函数的零点与定义域端点值的关系进行讨论等.。
高二(下)学期数学《空间向量》测试题
高二（下）学期数学《空间向量》测试题一、选择题：（本大题共10小题；每小题5分；共50分）1．已知A 、B 、C 三点不共线；对平面ABC 外的任一点O ；下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ）A ．OC OB OA OM ++= B ．OC OB OA OM --=2C ．OC OB OA OM 3121++= D ．OC OB OA OM 313131++=2．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中；若====B A C CC b CB a CA 11,,,则 （ ）A ．c b a -+B ．c b a +-C ．c b a ++-D ．c b a -+-3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ）A ．n m //B ． n m ⊥C ．n m n m 也不垂直于不平行于,D ．以上三种情况都可能4．设向量},,{c b a 是空间一个基底；则一定可以与向量b a q b a p -=+=,构成空间的另一个基底的向量是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．b a 或 5．对空间任意两个向量b a o b b a //),(,≠的重要条件是（ ）A ．b a =B ．b a -=C ．a b λ=D ．b a λ= 6．已知向量b a b a 与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为 （ ） A ．0° B ．45°C ．90°D ．180°7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点；且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB 则△BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定8．已知的值分别为与则若μλμλλ,//),2,12,6(),2,0,1(b a b a -=+= （ ）A ．21,51 B ．5；21,1--9．已知的数量积等于与则b a k j i b k j i a 35,2,23+-=-+= （ ）A ．-15B ．-5C ．-3D ．-110．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中；M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点；那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ）A ．52-B ．52C ．53 D ．1010 二、填空题（本大题共4小题；每小题6分；共24分）11．若A(m+1；n-1；3)；B(2m ；n ；m-2n)；c(m+3；n-3；9)三点共线；则m+n= . 12．已知A （0；2；3）；B （-2；1；6）；C （1；-1；5）；若a AC a AB a a 则向量且,,,3||⊥⊥=的坐标为 .13．已知b a ,是空间二向量；若b a b a b a 与则,7||,2||,3||=-==的夹角为 . 14．已知点G 是△ABC 的重心；O 是空间任一点；若的值则λλ,OG OC OB OA =++为.三、解答题（本大题共6题；共76分）15．如图；M 、N 、E 、F 、G 、H 分别是四面体ABCD 中各棱的中点；若此四面体的对棱相等；求)()2(;)1(MG NH EF GH EF +⋅的夹角与（12分）16．如图：ABCD为矩形；PA⊥平面ABCD；PA=AD；M、N分别是PC、AB中点；求证：MN⊥平面PCD.(12分)17．直三棱柱ABC—A1B1C1中；BC1⊥AB1；BC1⊥A1C求证：AB1=A1C（12分）18．一条线段夹在一个直二面角的两个面内；它和两个面所成的角都是30°；求这条线段与这个二面角的棱所成的角。
2021年高二下学期第一次月考 理科数学试题
2021年高二下学期第一次月考理科数学试题一.选择题（每个4分，共48分）1. 在下列命题中：①若向量共线，则向量所在的直线平行；②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；③若三个向量两两共面，则向量共面；④已知是空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x,y,z使得；其中正确的命题的个数是（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）32．如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（）A．（1, 0）B．（2, 0）C．（3, 0）D．（－1, 0）3.与向量（-3，-4，5）共线的单位向量是（）（A）（）和（）；（B）（）；（C）（）和（）；（D）（）；4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（）A．m B．2m C．4.5m D．9m5若A，B，当取最小值时，的值等于（）A B C D6.已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足＝0，则动点P（x，y）的轨迹方程为（）（A）（B）（C）（D）7．若点A的坐标为（3，2），为抛物线的焦点，点是抛物线上的一动点，则取得最小值时点的坐标是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（2，2）D．8．抛物线上有三点，是它的焦点，若成等差数列，则（）A ．成等差数列B ．成等差数列C ．成等差数列D ．成等差数列9．过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有 （ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条10．过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则等于 （ ） A ．2aB ．C ．4aD ．11．已知抛物线的焦点弦的两端点为,,则关系式的值一定等于（ ）A ．4pB ．－4pC ．p 2D ．－p12．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中E 、F 分别在A 1D 、AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ，则 ( )A ．EF 至多与A 1D 、AC 之一垂直B ．EF 是A 1D 、AC 的公垂线 C ．EF 与BD 1相交 D ．EF 与BD 1异面二．填空题（每空4分，共16分）13. 若空间三点A （1，5，-2），B （2，4，1），C （p,3,q+2）共线，则p=______,q=______。
2019年高二下学期第一次月考理科数学试卷
是 AC 的中点，且 AF 4 ，则线段 AB 的长为
A． 5
B．6
16
C．
3
20
D．
3
12．设 f (x) 为函数 f ( x) 的导函数，已知 x 2 f ( x)
xf ( x)
ln x, f (e)
1 , 则下列结论正确
e
的是
A ． f ( x) 在 (0, ) 上单调递增
B ． f ( x) 在 ( 0, ) 上单调递减
弦值
B 为 45 角， AD
2, CD
3, 求 PD 与平面 PCE 所成角的正 P F
A E B
D C
x2
21．已知椭圆
y2 1 的左焦点为 F , O 为坐标原点
2
（1）求过 O， F 且与 l : x 2 相切的圆的方程；
（2）设过 F 且不垂直于坐标轴的直线 l 交椭圆于 A， B 两点， AB 的垂直平分线与 x 轴交
当 a 2时，在
,0), (0,1), (1, ) f (x) 0 ， f ( x) 为
,1), (1, ) 上 的 增 函
数
……………………………………６ 分
（ 2）由（ 1）得：当 0 a 2 时， f (x) 为 (0,1) 上的增函数， f ( x) f ( 0) 1, 符合题意；
当a
2 时， f ( x) 在 ( a
CD PD ,
P D A 为 二 面 角 P CD B 的 平 面 角 ，
PDA 45
……………………………………８ 分
以 A 为 原 点 ， AB, AD , AP 为 x 轴 ， y 轴 ， z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ，
高二数学空间向量单元测试卷理科 试题
智才艺州攀枝花市创界学校高二数学空间向量单元测试卷(理科)总分150分时间是120分钟一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题后给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。
〕1．假设a,b,c 为任意向量，m ∈R ，那么以下等式不一定成立的是〔〕 A ．〔a+b 〕+c=a+(b+c)B.(a+b)·c=a ·c+b ·cC.m(a+b)=ma+mbD.(a ·b)c=a(b ·c)2．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，假设B A 1=a,11D A =b ，A A 1=C ，那么以下向量中与M B 1相等的向量是〔〕 A ．-21a+21b+cB.21a+21b+cC.21a-21b+cD.-21a-21b+c 3.a=(cos α，1,sin α),b=(sin α，1,cos α),那么向量a+b 与a-b 的夹角是〔〕 A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°4．空间直角坐标系中，O 为坐标原点，两点A 〔3，1，O 〕，B 〔-1，3，0〕，假设点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α，β R ，α+β=1，那么点C 的轨迹为〔〕 A ．平面B ．直线 C ．圆D ．线段5．A 〔1，2-1〕，OC 与OA 关于面xoy 对称，OB 与OA 关于x 轴对称，那么BC =() A ．〔-2，0，2〕B ．〔0，-4，0〕C ．〔0，4，0〕D ．〔-2，4，2〕6．假设向量MA ，MB ，MC 的起点与终点M ，A ，B ，C 互不重合且无三点一共线，且满足以下关系〔O 是空间任一点〕，那么能使向量MA ，MB ，MC 成为空间一组基基的关系是〔〕 A ．OM =31OA +31OB +31OC B ．MA ≠MB +MCC ．OM =OA +OB +OCD ．MA =MB 2-MC7．a ，b ，c 是空间三向量，那么∣a-b ∣与∣a-c ∣+∣c-b ∣的大小关系为〔〕A ．∣a-b ∣>∣a-c ∣+∣c-b ∣B.∣a-b ∣<∣a-c ∣+∣c-b ∣ C ．∣a-b ∣≥∣a-c ∣∣c-b ∣D.∣a-b ∣≤∣a-c ∣+∣c-b ∣ 8.〕2=(a-b)2成立的充分不必要条件有〔〕①a ·b=0②a=0或者b=0③a=0且b=0④a=0或者b=0或者a ⊥b A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 9．在以下各结论中，不正确的选项是〔〕A ．两上非零向量a=(x 1，y 1，z 1)和b(x 2，y 2，z 2)垂直的充要条件为x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0B.假设向量a=(x 1，y 1，z 1)和b=(x 2，y 2，z 2)那么a ·b ≤）（）（222222212121z y x z y x ++⨯++ C.a,b 是两非零向量，那么〔a,b 〕=arccos22ba b a ⋅D.a ·b=0是a=0或者b=0的充要条件10．a ·b 是夹角为60°的两单位向量，而向量c ⊥a,c ⊥b,且∣c ∣=3,x=2a-b+c,y=3b-a-c,那么〔x,y 〕=()A.π-arccos20153 B.π+arccos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-20153 C.π+arccos20153 D.arccos20153 11.在四面体OABC 中，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 的中点，假设OG =31OA +4x OB +4x OC ，那么使G 与M ，N 一共线的x 的一个值为〔〕 A ．1B.2 C.32D.3412.a=(1,2,3),b=〔3，0，-1〕，c=⎪⎭⎫ ⎝⎛--53,1,51给出以下等式：①∣a+b+c ∣=∣a-b-c ∣②(a+b)·c=a ·(b+c)③(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2④(a ·b)c=a(b ·c) 其中正确的个数是〔〕 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题〔本大题一一共4个小题，每一小题4分，一共16分，把正确答案填在题中横线上。
高二下学期月考理科(空间向量导数)
2010-2011学年度高二下学期向量、导数月考数 学 试 题（空间向量、导数）本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题），满分150分，测试时间120分钟。
一、选择题：（每题5分，共50分） 1．对空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，能得到P 、A 、B 、C 四点共面的是( )A.OP →＝OA →＋OB →＋OC →B.OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →C.OP →＝－OA →＋12OB →＋12OC → D ．以上皆错2、设)4,4,6(),5,2,2(-=-=μ分别是平面βα、的法向量，则平面βα、的位置关系是（ ） A 、平行 B 、垂直 C 、相交但不垂直 D 、不能确定 3．已知|a → |＝2，|b → |＝3，〈a → ，b → 〉＝60°，则|2a → －3b → |等于( ) A.97 B ．97 C.61 D ．614、过点（－1，0）作抛物线12++=x x y 的切线，则其中一条切线为（ ） A 、022=++y x B 、033=+-y x C 、01=++y x D 、01=+-y x5．设M (3，－1,4)，A (4,3，－1)若OM→＝AB →，则点B 应为( )A ．(－1，－4,5)B ．(7,2,3)C ．(1,4，－5)D ．(－7，－2，－3)6．已知P 为曲线x y ln =上一点，则点P 到直线x y =距离最小值为（ ） A ．1B ．22C ．2D ．27．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，12，2)，则m 为( )A ．－4B ．－6C ．－8D ．88、已知)cos ,1,(sin ),sin ,1,(cos αααα==，则向量-+与的夹角是（ ）A 、4πB 、3πC 、2π D 、不能确定9、在 90ACD 1AC AB ,=∠==，中ABCD ，将它沿着对角线AC 折起，使CD AB 与成60°角，则BD 的长度为（ ） A 、2 B 、2或2 C 、2 D 、2223或10．曲线xxx f cos sin 2)(+=在点))0(,0(f 处的切线方程为（ ） A ．2+=x y B ．2+-=x y C ．1+=x y D ．1+-=x y二、填空题：（每题5分，共20分） 11．已知向量a → ＝(－3,2,5)，b → ＝(1，－3,0)，c → ＝(7，－2，1)，则： (1) a → ＋b → ＋c → ＝________； (2)( a → ＋b → )·c → ＝________；(3)| a → －b → ＋c → |2＝________。
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高二(下)第一次月考数学试卷（理科）
（满分：150分，时间：120分钟）
一.选择题（每题5分，共60分）
1．设(,4,3)a x = 、(3,2,)b z =
，且//a b ，则xz 等于（ ）
A ．-4
B ．9
C ． -9
D ．
649
2.若直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n
,则能使//l α的是（ ）
A ．()()1,0,0,2,0,0a n ==-
B ．()()1,3,5,1,0,1a n ==
C ．()()0,2,1,1,0,1a n ==--
D ．()()1,1,3,0,3,1a n =-=
3.已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果(214)AB =-- ，
，，(420)AD =
，，，(121)AP =-- ，，．对于结论：①AP AB ⊥；②A P A D ⊥；③AP 是平面ABCD 的法向量；④AP BD
∥．
其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
4．在正方体1111ABCD A B C D -中，下列各式中运算的结果为向量1AC
的共有（ ）
①1()AB BC CC ++ ；②1()AB AD AA ++ ；③1()AB BD DC ++ ；④11111()AA A B A D ++
． A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．如图1，空间四边形ABCD 的四条边及对角线长都是a ，点E F G ，，分别是
AB AD CD ，，的中点，则2a 等于（ ）
A ．2BA AC
·
B ．2AD BD
· C ．2FG CA
· D ．2EF CB
·
6．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为
（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 7．已知A B C ，，三点不共线，对平面ABC 外一点O ，给出下列命题： ①1113
3
3
OM OA OB OC =++
；②2OM OA OB AC =++
；③2OM OA OB AC =++
．
其中，能推出M A
B C ，，，四点共面的是（ ） A ．① B ．①③ C ．②③ D ．①②
8.已知),1,2,1(),1,1,0(-=-=b a 则a 与b 的夹角等于（ ） A ．90° B ．30° C ．60° D ．150°
9.空间四边形OABC ，各边及对角线长都为1，E 、F 分别为AB 、OC 的中点，则OE ·BF =（ ） A.2
1 B.2
1 C. -1 D.1
10．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）
A ．5
2-
B ．52
C ．53
D ．1010
11．如右图，三棱锥O ABC -中，1OA OB ==，2OC OA
OB OC =，，，两两垂直，空间中存在一点D ，使BD AC ∥，DC AB ∥，D 点的坐标为（ ） A. (-1，1,2) B.(-1，1,-2) C.(-1，-1,2) D.(1，1,2)
12.正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在线段BD 1上，当∠APC 最大时，三棱锥P ABC 的体积为（ ） A.
118 B. 12 C. 1
3 D. 33
二.填空题（每题5分，共20分）
13.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知∠BAD=∠A 1AB=∠A 1AD=60︒,AD=4,AB=3,AA 1=5, 1AC
= 14.若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m+3,n-3,9)三点共线，则m+n=
15.已知向量b 与向量(2,1,2)a =- 共线，且满足18a b ⋅= ，()()ka b ka b +⊥-
，则k= 16．给出下列命题：
①过直线上一点可以作无数个向量与这条直线垂直，并且这些向量都在同一个平面内；
②四点(3
05)(230)(050)(125)，，，，，，，，，，，A B C D 共面； ③设(1
20)(101)==，，，，，a b ，则“2
1
2
333
c ⎛⎫
=-- ⎪⎝
⎭
，，”是“c a c b ⊥⊥，，且c 为单位向量”的充要条件； ④若，a b 共线，则，a b 所在直线或者平行或者重合． 其中正确命题的序号是
高二(下)第一次月考数学答卷（理科） 一.选择题：（12⨯5=60分）
二.填空题：（4⨯5=20分）
13． 14． 15． 16． 三.解答题（17、18小题各10分，19、20、21小题各12分，22题14分，共70分） 17.（10分）已知△ABC 中，A （1,1,1），AB =（1，1，1），BC =（1，0，2）， 求其余顶点和△ABC 的面积。
18.（10分）如图2，已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为棱AB 的中点． （1）求1D E 与平面1BC D 所成角的余弦值； （2）证明：平面1BC D ⊥平面AA 1C 1C ．
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 答案
班级 姓名 考号 。
装。
订。
线。
19．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PBC⊥底面ABCD，且PB＝PC＝ 5. (1)求证：AB⊥CP； (2)求点B到平面PAD的距离；
20.（12分）在棱长为1的正方体ABCD—A
1B
1
C
1
D
1
中，
（1）（左图）P、Q分别是B
1D
1
、A
1
B上的点且
111
1
3
B P B D
，BQ:BA
1
=1:3，求证PQ//平面AA
1
D
1
D；
（2）（右图）E、F分别是AB、BC的中点，试问在棱DD
1上能否找到一点H，使BH⊥平面B
1
EF？若能，
试确定点H的位置，若不能，请说明理由.
21.(12分)如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60 ,PA=AC=1 ,PB=PD=2,点E在PD上,
且PE:ED=2：1.
(1)证明：PA⊥平面ABCD；
(2)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小；
(3)棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论.
22.(14分)如图所示,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:
①
3
2
a=; ②1
a=; ③3
a=; ④2
a=; ⑤4
a=;
(1)当在BC边上存在点Q,使PQ⊥QD时,a可能取所给数据中的哪些值?请说明理由;
(2)在满足(1)的条件下,a取所给数据中的最大值时,求直线PQ与平面ADP所成角的正切值;
(3)记满足(1)的条件下的Q点为Q
n (n=1,2,…),若a取所给数据的最小值时,这样的点Q
n
有几个?
试求二面角Q
n -PA-Q
n+1
的大小;。