32【数学】2011届高三数学一轮巩固与练习：圆锥曲线方程
2011届高考数学第一轮复习精品试题：圆锥曲线
2011届高考数学第一轮复习精品试题：圆锥曲线选修1-1 第2章圆锥曲线与方程考纲总要求：①了解圆锥曲线的实际背景，了解在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质．④理解数形结合的思想．⑤了解圆锥曲线的简单应用．§2.1-2椭圆重难点：建立并掌握椭圆的标准方程，经典例题：已知A 、B 为椭圆22a x +22925a y =158a ，AB1Ac a (a>c>0)的点的轨迹是椭圆2)23,25(-，则椭圆方程是（） C ．18422=+x y D ．161022=+y xk 的取值范围为 （）C ．（1，+∞）D ．（0，1）4．设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a a a PF PF ，则点P 的轨迹是（） A ．椭圆 B ．线段C ．不存在 D ．椭圆或线段5．椭圆12222=+b y a x 和k b y a x =+2222()0>k 具有 （） A ．相同的离心率 B ．相同的焦点 C ．相同的顶点 D ．相同的长、短轴6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 （）A ．41B ．22C ．42D ．217．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离（）A ．516B ．566C ．875D ．8778．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（）A ．3B ．11C 9．在椭圆13422=+y x 内有一点P （1，－1），F A ．25B ．27 10．过点22=+y x m．21 D ．－21 )3的椭圆标准方程为___________.12(－3，２)的椭圆方程为_______________．13y x +的取值范围是________________．14．15．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，短轴长为58，求椭圆的方程．16．过椭圆4:),(148:220022=+=+y x O y x P y x C 向圆上一点引两条切线PA 、PB 、A 、B 为切点，如直线AB 与x 轴、y 轴交于M 、N 两点．（1）若0=⋅PB PA ，求P 点坐标；（2）求直线AB 的方程（用00,y x 表示）；（3）求△MON 面积的最小值．（O 为原点）17．椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点. （1）求2211b a+的值； （2）若椭圆的离心率e 满足33e 2218．一条变动的直线L 与椭圆42x +2y 2=1交于P 、Q ．若L 在变动过程中始终保持其斜率等于1选修1-1 第2§2.3重难点：建立并掌握双曲线的标准方程，经典例题：已知不论b 取何实数，直线y=kx+b k 的取．双曲线 D ．两条射线k 的取值范围是（） ．0≥k D ．1>k 或1-<k1=的焦距是 （）A ．4B ．22C ．8D ．与m 有关4．已知mx －y+n=0与nx2+my2=mn 所表示的曲线可6．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 （）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x7．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-b y a x 有 （）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ．相同的焦点8．过双曲线191622=-y x 左焦点F1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F2为右焦点）的周长是（）A ．28B ．22C ．14D ．129．已知双曲线方程为1422=-y x ，过P （1，0A ．4条B ．3条10．给出下列曲线：①4x+2y －1=0;②y=－2x －3A ．①③ B ．②④ 122=-y x12．13B A ,两点，则AB =__________________．1422=-y x 的弦所在直线方程为．15)0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．16．2，P 为双曲线上任意一点，求证：21PF PO PF 、、成等比数列（O 为坐标原点）．17．已知动点P 与双曲线x2－y2＝1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos ∠F1PF2的最小值为－.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设M(0，－1)，若斜率为k(k ≠0)的直线l 与P 点的轨迹交于不同的两点A 、B ，若要使|MA|＝|MB|，试求k 的取值范围．18．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s:相关各点均在同一平面上).选修1-1 第2章圆锥曲线与方程§2.4抛物线重难点：建立并掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单几何性质，能运用抛物线的几何性质处理一些简单的实际问题．经典例题：如图,直线y=21x 与抛物线y=81x2－4交于A 、B 两点,线段AB 的垂直平分线与直线y=－5交于Q 点.（1）求点Q 的坐标；（2）当P 为抛物线上位于线段AB 下方（含A 、B ）的动点时,求ΔOPQ 面积的最大值.当堂练习：1．抛物线22x y =A ．)0,1(B ．)0,41( C ．)81,0( D ．)41,0(2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在yA ．y x 82=B ．y x 42= 3．抛物线x y 122=截直线B ．x y 292-=或y x 342= ．x y 292-=R t ∈）上的点的最短距离为 （）C ．2D ．2 6．抛物线)3三点，F 是它的焦点，若CF BF AF ,,成等差数列，A ．321,,x x x 成等差数列B ．231,,x x x 成等差数列C ．321,,y y y 成等差数列D ．231,,y y y 成等差数列7．若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则PF PA +取得最小值时点P 的坐标是（） A ．（0，0） B ．（1，1） C ．（2，2） D ．)1,21(8．已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB 的两端点为),(11y x A ,),(22y x B ,则关系式2121x x y y 的值一定等于（）A ．4pB ．－4pC ．p2D ．－p 9．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是q p ,，则q p 11+ （）A ．a 2B ．a 21410．若AB 为抛物线y2=2px(p>0)的动弦，且（） A ．21a B ．21p C ．2111．抛物线x y =212．已知圆07622=--+x y x ，与抛物线2=y ．13．如果过两点)0,(a A 和),0(a B2，1）．______．15px y 22=上，△ABC 的重心与此抛物F 的坐标；M 的坐标；.16x+y=0对称的相异两点，求a 的取值范围. 17L 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边R 的轨迹方程.18．已知抛物线C ：2742++=x x y ，过C 上一点M ，且与M 处的切线垂直的直线称为C 在点M 的法线．（1）若C 在点M 的法线的斜率为21-，求点M 的坐标（x0，y0）；（2）设P （－2，a ）为C 对称轴上的一点，在C 上是否存在点，使得C 在该点的法线通过点P ？若有，求出这些点，以及C 在这些点的法线方程；若没有，请说明理由.选修1-1第2章圆锥曲线与方程§2.5圆锥曲线单元测试1)如果实数y x ,满足等式3)2(22=+-y x ，那么x y的最大值是（） A 、21B 、33C 、23D 、32)若直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为（） A 、1,1-B 、2,2-C 、1D 、1-3)已知椭圆125222=+y ax )5(>a 的两个焦点为1F 、2的周（A ）10（B ）20（4)椭圆13610022=+y x 上的点P（A ）15（B ）5)椭圆12522=+y x022=-+y 的最大距离是（）C ）22（D ）102的双曲线方程是（）（B ）222=-x y （D ）222=-y x 或222=-x y 8)双曲线916右支点上的一点P 到右焦点的距离为2，则P 点到左准线的距离为（）（A ）6（B ）8（C ）10（D ）129)过双曲线822=-y x 的右焦点F2有一条弦PQ ，|PQ|=7,F1是左焦点，那么△F1PQ 的周长为（） （A ）28（B ）2814-（C ）2814+（D ）2810)双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F1、F2，︒=∠12021MF F ，则双曲线的离心率为（）（A ）3（B ）26（C ）36（D ）3311)过抛物线2y ax =(a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则11p q +等于（） （A ）2a （B ）12a （C ）4a （D ）4a12)如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)（A ）02=-y x （B ）042=-+y x （13)与椭圆22143x y +=14）离心率35=e 15垂直。
高三数学一轮复习必备：圆锥曲线方程及性质
~高三数学（人教版A 版）第一轮复习资料第33讲 圆锥曲线方程及性质一．【课标要求】1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质二．【命题走向】本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。
圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法对于本讲内容来讲，预测：（1）1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；（2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。
三．【要点精讲】1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数（大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。
若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。
注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222c a b =-； ②在22221x y a b +=和22221y x a b+=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。
例如椭圆221x y m n+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆（2）椭圆的性质①范围：由标准方程22221x y a b+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。
2011届高三一轮测试(文)8圆锥曲线方程(通用版)
圆锥曲线方程【说明】 本试卷分为第i 、n 卷两部分，请将第I 卷选择题的答案填入答题格内，第n 卷可在各题后直一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的)2 21 .双曲线x6_y 9=i 的焦点坐标为( ) A .(- .7, 0)、(：7, 0) B . (0,-叼、(0, 7) C . (— 5,0)、(5,0) D . (0,- 5)、(0,5) 2 .若拋物线y 2= 2px(p > 0)的焦点到准线的距离为 4，则其焦点坐标为( ) A .(4,0) B . (2,0) C . (0,2)D . (1,0)2 23. 已知双曲线x4-12= 1的离心率为e ,拋物线x = 2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为()A . 2B . 1 1 1D.亦4. 过点M(-2,0)的直线I 与椭圆x 2 + 2y 2= 2交于P 1,P ?,线段P 1P 2的中点为P.设直线I 的斜率为 呵刚 工0)，直线OP 的斜率为k 2,贝U k 1k 2等于( )A . - 2B . 2 1 1D . -2 25. 若点P(2,0)到双曲线a 2-器=1的一条渐近线的距离为」2,则该双曲线的离心率为( )A. 2B. . 3 C . 2、；2D . 2、；322厂6. 椭圆^2+ by 2=1(a >0, b >0)的离心率为 于，若直线y = kx 与椭圆的一个交点的横坐标为 b ,贝U k 的值为■2 A -^― A2 1 C.1D .227.如图所示，设椭圆 字+器=1(a >b >0)的面积为ab n 过坐标原点 正半轴及椭圆围成两区域面积分别设为 s 、t ,则s 关于t 的函数图象大致 ( )viViVis 、 的直线I 、x 轴 形状为图中的接作答，共150分，考试时间120分钟. 第I 卷(选择题共60分)2 2）题号第I 卷第n 卷总分-二二171819202122得分二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上 ）13. ________________________ 已知点F （1,0），直线l: x =— 1,点P 为平面上的动点，过点P 作直线I 的垂线, 则动点P 的轨迹C 的方程是 __ .2 214. 以双曲线x —y =1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的拋物线方程是4 5 2 215. 椭圆x 2+ y 2= 1（a>b>0）的两个焦点是 F 1（ — c,0）、F2（C ,0） , M 是椭圆上一点，且a be 的取值范围是__________ .16. 给出如下四个命题：① 方程x 2 + y 2— 2x + 1 = 0表示的图形是圆；② 若椭圆的离心率为~22，则两个焦点与短轴的两个端点构成正方形； ③ 抛物线x = 2y 2的焦点坐标为 8，0 ；2 28. 椭圆两个正数 a , b 的等差中项是5, B. .3 D. 2¥ 2 2等比中项是4•若a>b ,则双曲线2 — f = 1的渐近线方程是y = ± ,2x10.已知椭圆16，9 形的三个顶点，则点 P 到x 轴的距离为2-=1的左、右焦点分别为 F 1、F 2,点P 在椭圆上. 若 P 、F 1、F 2是一个直角三角9 A.9 C亜C. 711.直线I 过抛物线C : y 2= 2px （p>0）的焦点F ，且交抛物线 C 于A , 物线的准线引垂线，垂足分别为 A 1, B 1，则/ A 1FB 1是B 两点，分别从A , B 两点向抛A .锐角 C •钝角B .直角D .直角或钝角2 212.已知点F 为双曲线16— £=1的右焦点，M 是双曲线右支上一动点, 定点A 的坐标是（5,1）,则4|MF|+ 5|MA|的最小值为A . 12C . 9B . 20D . 16 F 1M = 0，则离心率④双曲线盘—和=1的渐近线方程为y=49 252 2其中正确命题的序号是 __________ .三、解答题(本大题共6小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )417. (本小题满分10分)已知离心率为5的椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上•双曲线以椭圆的长轴为 实轴，短轴为虚轴，且焦距为2 34.求椭圆及双曲线的方程.1618. (本小题满分12分)若一动点M 与定直线I : x = ~5及定点A(5,0)的距离比是4： 5. (1) 求动点M 的轨迹C 的方程；(2) 设所求轨迹 C 上有点P 与两定点A 和B(- 5,0)的连线互相垂直，求|PA| |PB|的值. 19.(本小题满分12分)抛物线的顶点在原点，焦点在 x轴的正半轴上，直线 x + y - 1= 0与抛物线相 交于A 、B 两点，且|AB|=誓.11(1) 求抛物线的方程；(2) 在x 轴上是否存在一点 。
2011年高考数学冲刺 专题突破 圆锥曲线与方程测试题(附答案)
2011年高考数学冲刺 专题突破圆锥曲线与方程测试题 本试卷分为第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分满分150分．考试时间120分钟．第1卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1．在同一直角坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax+by 2=0(a>b>0)的图象大致是2．已知椭圆的焦点是F 1、F 2、P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得｜PQ ｜=｜PF 2｜，那么动点Q 的轨迹是A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线 3．若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1，0)，F 2(3，0)，则其离心率为A.34B. 23 C ．12 D ．144．双曲线22221x y b b-=的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是A ．2B ．325．已知椭圆2222135x y m n -=和2222123x y m n -=有相同的焦点，那么双曲线的渐近线方程是A.x y =B. y x =C.4x y =±D. 4y x =± 6．对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q ，点P(a ，0)都满足|PQ|≥|a|，则a 的取值范围是A ．(-∞，0)B ．(-∞，2]C ．[0，2]D ．(0，2)7．设F 1和F 2为双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2=90。
，则△F 1PF 2的面积为A ．1B ．2 D 8．已知直线l 与抛物线2y x =交于点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，若y 1 y 2=-1，点0为坐标原点，则△OAB 是A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．任意三角形9．已知F 是双曲线x 2-a 2y 2=a 2(a>0)的右焦点，P 为双曲线右支上的一点，则以PF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2的位置关系是A ．相交B ．相离C ．相切D ．不能确定10．椭圆22221x y b b += (a>b>0)的离心率为，若直线y=kx 与椭圆的一个交点的横坐标为b ，则k 的值为A ．1B ．±2 C11．已知椭圆22221x y b b += (a>b>0)M 作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1k 2的值为A ．12B ．-12C ．13D ．-1312．如图，从双曲线22221x y b b-= (a>0，b>0)的左焦点F 引圆x 2+y 2 =a 2的切线l ，切点为T ，且l 交双曲线的右支于点P ．若点M 为PF 的中点，0为坐标原点，则|OM|—|TM|的值为A ．2b a - B ．b-a C ．2a b + D ．2ba +第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上．13．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆22221x y b b+=的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为万的正三角形，则b 2的值是_______________．14．已知圆x 2+y 2-6x-7=0与抛物线y 2=2px(p>0)的准线相切，则P=___________．15．过双曲线22221x y b b-= (a>0，b>0)的右顶点A 作斜率为-1的直线l ，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C.若12AB BC =，则双曲线的离心率是_____________.16．已知椭圆：2219x y +=，过左焦点F 作倾斜角为6π的直线交椭圆于A ，B 两点，则弦AB 的长为____________．三、解答题：本大题共6小题。
河北省2011届高考数学一轮复习知识点攻破习题：圆锥曲线方程
圆锥曲线方程椭圆时间:45分钟分值:100分一、选择题（每小题5分，共30分)1．（2009·陕西高考）“m〉n〉0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆"的（) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：把椭圆方程化为错误!＋错误!＝1。
若m〉n〉0,则错误!>错误!>0.所以椭圆的焦点在y轴上．反之，若椭圆的焦点在y轴上，则错误!>错误!〉0即有m>n>0。
故选C.答案:C2．已知椭圆错误!＋错误!＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m 等于( ）A．4 B．5C．7 D．8解析：因为椭圆错误!＋错误!＝1的长轴在y轴上，所以错误!⇔6<m〈10，又焦距为4,www.k@s＠5＠ 高＃考＃资＃源#网所以m－2－10＋m＝4⇔m＝8，选择D.答案:D3．若椭圆错误!＋错误!＝1(m〉n>0）上的点到右准线的距离是到右焦点距离的3倍，则m n＝( ）A。
错误! B.错误!C.错误!D.错误!解析：由题意得该椭圆的离心率e ＝错误!＝错误!,因此1－错误!＝错误!，错误!＝错误!，m n ＝错误!，选D 。
答案：D4．(2009·江西高考)过椭圆错误!＋错误!＝1(a>b>0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为 ( )A.错误! B 。
错误!C 。
12D.错误!图1解析:∵｜PF 1|＋|PF 2｜＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°，∴｜PF 1｜＝错误!｜PF 2|,∴32｜PF 2|＝2a ⇒｜PF 2|＝错误!a ，｜PF 1|＝错误!a ， www.k@s ＠5@u 。
com 高＃考＃资＃源#网在Rt △PF 1F 2中，|PF 1|2＋｜F 1F 2｜2＝｜PF 2｜2，∴错误!2＋（2c)2＝错误!2⇒e ＝错误!＝错误!，故选B 。
2011年高考数学一轮复习第7章圆锥曲线方程：双曲线
课时作业41 双曲线时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．下列曲线中离心率为62的是( )A.x 22－y 24＝1B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 解析：双曲线离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝62，知b 2a 2＝12，只有B 选项符合，故选B .答案：B2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为 ( )A ．2 3B ．2 C. 3 D ．1解析：双曲线x 24－y 212＝1的焦点为(4,0)、(－4,0)．渐近线方程为y ＝±3x.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等．d ＝|43＋0|3＋1＝2 3.答案：A3．设a>1，则双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是 ( )A ．(2，2)B ．(2，5)C ．(2,5)D ．(2，5)解析：e ＝ca ＝b 2＋a 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋1a 2. ∵a>1，∴0<1a <1，∴1<1＋1a<2，∴2<e<5，故选B . 答案：B4．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B ．2 C. 5 D. 6解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，与抛物线方程联立得x 2±bax ＋1＝0，Δ＝⎝⎛⎭⎫±b a 2－4＝0⇒b 2＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2，∴c 2＝5a 2，e ＝ 5.故选C . 答案：C5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y ＝kx(k>0)，离心率e ＝5k ，则双曲线方程为( )A.x 2a 2－y 24a 2＝1B.x 2a 2－y 25a2＝1C.x 24b 2－y 2b 2＝1D.x 25b 2－y2b2＝1 解析：由题意知，k ＝ba ，∵e ＝5k ＝5·b a ，即c a ＝5ba，∴c ＝5b ，c 2＝5b 2，∴a 2＝c 2－b 2＝4b 2. 故选C . 答案：C6．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为 ( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：∵|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ，而双曲线右支上到右焦点距离最近的点为右顶点，∴有c －a ≤2a ，∴1<e ≤3，故选B .答案：B二、填空题(每小题5分，共20分)7．已知双曲线的右焦点为(5,0)，一条渐近线方程为2x －y ＝0，则双曲线的标准方程为__________．解析：据题意由c ＝5，b a ＝2，a 2＋b 2＝c 2⇒a 2＝5，b 2＝20，故双曲线方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y220＝18．已知P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －y ＝0.设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF 2|＝3，则|PF 1|＝________.解析：∵双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x －y ＝0，∴a ＝1，又P 是双曲线的右支上一点，|PF 2|＝3，|PF 1|－|PF 2|＝2，|PF 1|＝5.答案：59．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________．图1解析：如图1，∵c>b ，∴∠B 1F 1B 2＝60°，∠B 1F 1O ＝30°，在△B 1OF 1中，b c ＝tan 30°，∴b c ＝33，∴c 2－a 2c 2＝13，∴1－a 2c 2＝13⇒a 2c 2＝23，∴e 2＝c 2a 2＝32，∴e ＝62.答案：6210．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率的取值范围是e ∈[233，2]，则两渐近线夹角的取值范围是__________．解析：e 2∈[43，4]，∴43≤c 2a 2≤4，∴33≤b a ≤3，设夹角为α，可得π6≤α2≤π3，∵α≤π2，∴π3≤α≤π2.答案：[π3，π2]三、解答题(共50分)11．(15分)已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144. (1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且 |PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．解：(1)由16x 2－9y 2＝144得x 29－y 216＝1，∴a ＝3，b ＝4，c ＝5.焦点坐标F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x.(2)||PF 1|－|PF 2||＝6，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36＋64－10064＝0.∴∠F 1PF 2＝90°.12．(15分)设x ，y ∈R ，i 、j 为直角坐标平面内x ，y 轴正方向上的单位向量，若向量a ＝x i ＋(y ＋2)j ，b ＝x i ＋(y －2)j ，且|a |－|b |＝2 2.(1)求点M (x ，y )的轨迹C 的方程；(2)已知直线l 过点A (2，0)，斜率为k (0<k <1)时，若轨迹C 上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2，试求k 的值．解：(1)由|a |－|b |＝22以及a ＝x i ＋(y ＋2)j ，b ＝x i ＋(y －2)j 知M (x ，y )到点(0，－2)和(0,2)的距离之差为常数22，所以，M (x ，y )的轨迹为以(0，－2)和(0,2)为焦点，实轴长为22的双曲线的上支，其方程为y 22－x 22＝1(y >0)． (2)显然，直线l 的方程为y ＝k (x －2)，与直线l 平行且距离为2的直线为l ′：y ＝kx ＋d ，则由2＝d －(－2k )1＋k2可求得d ＝2k 2＋2－2k .所以，l ′的方程为y ＝kx ＋2k 2＋2－2k . 由于l ′与C 的渐近线不平行，因此，根据题设可知，直线l ′与双曲线C 相切．将直线l ′的方程代入双曲线C 的方程y 22－x 22＝1，有(kx ＋2k 2＋2－2k )2－x 2＝2，即(k 2－1)x 2＋2(2k 2＋2－2k )kx ＋(2k 2＋2－2k )2－2＝0.由⎩⎨⎧k 2－1≠0Δ＝4(2k 2＋2－2k )2k 2－4(k 2－1)[(2k 2＋2,－2k )2－2]＝0可以解得k ＝255.图213．(20分)已知M (－2,0)，N (2,0)两点，动点P 在y 轴上的射影为H ，且使PH →·PH →与PM →·PN →分别是公比为2的等比数列的第三、四项．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知过点N 的直线l 交曲线C 于x 轴下方．．．两个不同的点A 、B ，设R 为AB 的中点，若过点R 与定点Q (0，－2)的直线交x 轴于点D (x 0,0)，求x 0的取值范围．解：(1)M (－2,0)，N (2,0)，设动点P 的坐标为(x ，y )，所以H (0，y )，所以PH →＝(－x,0)，PM →＝(－2－x ，－y )，PN →＝(2－x ，y )，PH →·PH →＝x 2，PM →·PN →＝－(4－x )2＋y 2由条件得y 2－x 2＝4，又因为是等比，所以x 2≠0，所求动点的轨迹方程y 2－x 2＝4(x ≠0)．(2)设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2－x 2＝4，∴⎝⎛⎭⎫1－1k 2y 2－4ky －8＝0. ∴y 1＋y 2＝4k k 2－1，y 1·y 2＝－8k 2k 2－1.∴⎩⎨⎧4kk 2－1<0，－8k2k 2－1>0，解得：22<k <1， R ⎝⎛⎭⎫2k 2k 2－1，2k k 2－1，k RQ ＝k 2＋k －1k 2.直线RQ 的方程为y ＋2＝k 2＋k －1k 2x ，∴x 0＝2k 2k 2＋k －1＝2－⎝⎛⎭⎫1k －122＋54，∴2<x 0<2＋2 2.图3。
高三数学一轮复习章节练习 圆锥曲线与方程
高三数学章节训练题34《圆锥曲线与方程》时量：60分钟 满分：80分 班级： 姓名： 计分：个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）1．若椭圆经过原点,且焦点为12(1,0),(3,0)F F ,则其离心率为 （ ）A ．34B ．23C ．12D ．142．设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若PA BP 2=，且1=⋅AB OQ ，则P 点的轨迹方程是（ ）A ．()0,0123322>>=+y x y x B ．()0,0123322>>=-y x y x C ．()0,0132322>>=-y x y x D ．()0,0132322>>=+y x y x 3．已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ）A ．2B ．332 C ． 2 D ．4 4．与y 轴相切且和半圆224(02)x y x +=≤≤内切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ）A ．24(1)(01)y x x =--<≤B ．24(1)(01)y x x =-<≤C ．24(1)(01)y x x =+<≤D ． 22(1)(01)y x x =--<≤ 5．直线2y k =与曲线2222918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为 （ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 46．曲线221(6)106x y m m m+=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的 （ ） A ．焦距相等 B ．离心率相等 C ．焦点相同 D ．准线相同二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）7．椭圆221123x y +=的两个焦点为12,F F ,点P 在椭圆上.如果线段1PF 的中点在y 轴上,那么1||PF 是2||PF 的______________倍.8．如图把椭圆2212516x y 的长轴AB 分成8等 分,过每个分点 作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1,P 2,…,P 7七个点,F 是椭圆的焦点,则|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|= .9．已知两点(5,0),(5,0)M N -,给出下列直线方程:①530x y -=;②53520x y --=;③40x y --=.则在直线上存在点P 满足||||6MP PN =+的所有直线方程是_______.(只填序号)10.以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k PB PA =+||||，则动点P 的轨迹为椭圆； ②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1(),2OP OA OB =+则动点P 的轨迹为椭圆；③到定直线c a x 2-=和定点)0,(c F -的距离之比为)0(>>a c ca 的点的轨迹是双曲线的左半支；④方程02722=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；其中真命题的序号为 （写出所有真命题的三、解答题：（本大题共2小题，满分30分）11．（本小题满分14分）已知抛物线28y x =,是否存在过点(1,1)Q 的弦AB ,使AB 恰被Q平分.若存在,请求AB 所在直线的方程;若不存在,请说明理由.12．（本小题满分16分）设,x y R ∈,,i j 为直角坐标平面内,x y 轴正方向上的单位向量,若向量(2)a xi y j =++,(2)b xi y j =+-,且||||8a b +=.（1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程;（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于,A B 两点,设OP OA OB =+,是否存在这样的直线l ,使得四边形OAPB 是矩形?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,试说明理由.高三数学章节训练题34《圆锥曲线与方程》答案 一、 选择题1、C2、D3、C4、A5、D6、A2．D ．由PA BP 2=及,A B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上知，3(,0),2A x (0,3)B y ，3(,3)2AB x y =-，由点Q 与点P 关于y 轴对称知，(,)Q x y -，OQ =(,)x y -，则2233(,3)(,)31(0,0)22OQ AB x y x y x y x y ⋅=-⋅-=+=>> 二、填空题7．7倍.由已知椭圆的方程得123,(3,0),(3,0)a b c F F ===-.由于焦点12F F 和关于y 轴对称,所以2PF 必垂直于x 轴.所以21||222P PF PF ===,所以21||7||PF PF =. 8．35. 设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),…,P 7(x 7,y 7),所以根据对称关系x 1+x 2+…+x 7=0,于是|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|=a+ex 1+a+ex 2+…+a+ex 7=7a+e(x 1+x 2+…+x 7)= 7a=35,所以应填35.9．②③. 由||||6MP PN -=可知点P 在双曲线221916x y -=的右支上,故只要判断直线与双曲线右支的交点个数.因为双曲线的渐近线方程为43y x =±,直线①过原点且斜率5433>,所以直线①与双曲线无交点;直线②与直线①平行,且在y 轴上的截距为523-故与双曲线的右支有两个交点;直线③的斜率413<,故与双曲线的右支有一个交点. 10.④三、解答题11．假设存在这样的直线,则直线的斜率一定存在,设为k ,点1122(,),(,)A x y B x y 在抛物线上,所以21122288y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩,两式作差得,121212()()8()y y y y x x +-=-,即121212()()8y y y y x x -+=-,解得4k =,故直线方程为14(1)y x -=-,即43y x =-.经验证,直线符合条件.12．（1）由||||8a b +=,84=>,设12(0,2),(0,2)F F -则动点M 满足1212||||84||MF MF F F +=>=,所以点M 在椭圆上,且椭圆的4,2,a c b ===所以轨迹C 的方程为2211612y x +=.（2）设直线的斜率为k ,则直线方程为3y kx =+,联立方程组22311612y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y得:22(43)18210k x kx ++-=,22(18)84(43)0k k ∆=++>恒成立,设1122(,),(,)A x y B x y ,则1212221821,4343k x x x x k k+=-=++.由AP OB =,所以四边形OAPB 为平行四边形.若存在直线l ,使四边形OAPB 为矩形,则OA OB ⊥,即212121212(1)3()90OA OB x x y y k x x k x x ⋅=+=++++=,解得4k =±,所以直线l的方程为3y x =+,此时四边形OAPB 为矩形.。
2011届高三数学一轮复习 圆锥曲线方程巩固与练习
巩固1．直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆左焦点F1和一个顶点B ，则该椭圆的离心率为( )A.15B.25C.55 D.255解析：选D.在l ：x －2y ＋2＝0上， 令y ＝0得F 1(－2,0)，令x ＝0得B (0,1)，即c ＝2，b ＝1.∴a ＝5，e ＝c a ＝255.2．已知椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 是椭圆上一点，N 是MF 1的中点，若|ON |＝1，则MF 1的长等于( )A ．2B ．4C ．6D ．5解析：选C.由椭圆方程知a ＝4， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝8，∴|MF 1|＝8－|MF 2|＝8－2|ON |＝8－2＝6.3．(2009年高考江西卷)过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22 B.33 C.12 D.13 解析：选B.由题意知点P 的坐标为(－c ，b 2a )或(－c ，－b 2a)，∵∠F 1PF 2＝60°， ∴2c b 2a＝3，即2ac ＝3b 2＝3(a 2－c 2)． ∴3e 2＋2e －3＝0，∴e ＝33或e ＝－3(舍去)． 4.椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k ＝________. 解析：方程可化为x 2＋y 2－5k＝1.∵焦点(0,2)在y 轴上，∴a 2＝－5k ，b 2＝1，又∵c 2＝a 2－b 2＝4，∴a 2＝5， 解得k ＝－1.答案：－15．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：由椭圆的定义得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝10，两式相加得|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20，即|AB |＋12＝20， ∴|AB |＝8. 答案：86．中心在原点，一个焦点为F 1(0，50)的椭圆截直线y ＝3x －2所得的弦的中点的横坐标为12，求椭圆的方程．解：设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由F 1(0，50)得a 2－b 2＝50.把直线方程y ＝3x －2代入椭圆方程整理得(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋b 2(4－a 2)＝0.设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12b 2a 2＋9b 2，又AB 的中点的横坐标为12，∴x 1＋x 22＝6b 2a 2＋9b 2＝12，∴a 2＝3b 2，与方程a 2－b 2＝50联立可解出a 2＝75，b 2＝25.故椭圆的方程为y 275＋x 225＝1.练习1．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 解析：选A.∵x 2＋y 2－2x －15＝0，∴(x －1)2＋y 2＝16， ∴r ＝4＝2a ， ∴a ＝2，∵e ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝3.2．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线 解析：选A.∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， |PQ |＝|PF 2|，∴|PF 1|＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PQ |＝2a . 即|F 1Q |＝2a .∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ， 故动点Q 的轨迹是圆． 3．设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF 1→·PF 2→的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－2解析：选D.易知当P 、Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2面积最大． 这时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，P (0,1)， ∴PF 1→＝(－3，－1)，PF 2→＝(3，－1)， ∴PF 1→·PF 2→＝－2.4．(2009年高考浙江卷)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12解析：选D.如图，由于BF ⊥x 轴，故x B ＝－c ，y B＝b 2a，设P (0，t )， ∵AP →＝2PB →，∴(－a ，t )＝2(－c ，b 2a－t )．∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝12.5．(2010年长沙模拟)已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△ABF 2为钝角三角形，则椭圆C 的离心率e 的取值范围为( )A ．(0，2－1)B ．(0，3－1)C ．(2－1,1)D ．(3－1,1)解析：选A.由△ABF 2为钝角三角形，得AF 1＞F 1F 2，∴b 2a＞2c ，化简得c 2＋2ac －a 2＜0，∴e 2＋2e －1＜0，又0＜e ＜1，解得0＜e ＜2－1，选A.6.B 1、B 2是椭圆短轴的两端点，O 为椭圆中心，过左焦点F 1作长轴的垂线交椭圆于P ，若|F 1B 2|是|OF 1|和|B 1B 2|的等比中项，则|PF 1||OB 2|的值是( )A. 2B.22C.32 D.23解析：选B.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，令x ＝－c 得y 2＝b 4a 2，∴|PF 1|＝b 2a ，∴|PF 1||OB 2|＝b2a b ＝b a， 又由|F 1B 2|2＝|OF 1|·|B 1B 2|得a 2＝2bc ，∴a 4＝4b 2(a 2－b 2)．∴(a 2－2b 2)2＝0.∴a 2＝2b 2.∴b a ＝22. 7．F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 29＝1的左、右两焦点，P 为椭圆的一个顶点，若△PF 1F 2是等边三角形，则a 2＝________.解析：由题意，因为△PF 1F 2是等边三角形，故2c ＝a ，又b ＝3，所以a 2＝12.答案：128．已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________．解析：设正方形边长为1，则AB ＝2c ＝1，∴c ＝12.∵AC ＋BC ＝1＋2＝2a ，∴a ＝2＋12.∴e ＝ca ＝122＋12＝2－1.答案：2－19．(2009年高考北京卷)椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．解析：∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 2|＝6－|PF 1|＝2. 在△F 1PF 2中， cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝16＋4－282×4×2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°. 答案：2 120°10．已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5、3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．解：法一：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3(2c )2＝52－32，a ＝4，c ＝2，b 2＝12. 故所求方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.法二：设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．两个焦点分别为F 1，F 2.由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝8，∴a ＝4.在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，令x ＝±c 得|y |＝b 2a，在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中，令y ＝±c 得|x |＝b 2a ，依题意有b 2a＝3，∴b 2＝12.∴椭圆的方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. 11．已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一点，F 1、F 2是椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2，试求：(1)椭圆方程；(2)△PF 1F 2的面积．解：(1)法一：令F 1(－c,0)，F 2(c,0)， ∵PF 1⊥PF 2，∴k P F 1·k PF 2＝－1，即43＋c ·43－c＝－1，解得c ＝5， ∴椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1.∵点P (3,4)在椭圆上，∴9a 2＋16a 2－25＝1， 解得a 2＝45或a 2＝5，又a >c ，∴a 2＝5舍去， 故所求椭圆方程为x 245＋y 220＝1.法二：∵PF 1⊥PF 2，∴△PF 1F 2为直角三角形，∴|OP |＝12|F 1F 2|＝c .又|OP |＝32＋42＝5，∴c ＝5，∴椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1(以下同法一)．(2)法一：P 点纵坐标的值即为F 1F 2边上的高，∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×4＝12×10×4＝20.法二：由椭圆定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝65① 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2② ①2－②得2|PF 1|·|PF 2|＝80，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝20.12.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)上的两点，m ＝(x 1b ，y 1a )，n ＝(x 2b ，y 2a)，且满足m ·n ＝0，椭圆的离心率e ＝32，短轴长为2，O 为坐标原点． (1)求椭圆的方程；(2)若存在斜率为k 的直线AB 过椭圆的焦点F (0，c )(c 为半焦距)，求直线AB 的斜率k 的值．解：(1)2b ＝2，b ＝1，e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32⇒a ＝2，c ＝ 3.故椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.(2)设AB 的方程为y ＝kx ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3y 24＋x 2＝1⇒(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0.x 1＋x 2＝－23kk 2＋4， x 1x 2＝－1k 2＋4，由已知0＝m ·n ＝x 1x 2b 2＋y 1y 2a2 ＝x 1x 2＋14(kx 1＋3)(kx 2＋3)＝(1＋k 24)x 1x 2＋3k 4(x 1＋x 2)＋34＝k 2＋44·(－1k 2＋4)＋3k 4·－23k k 2＋4＋34， 解得k ＝± 2.。
2011届高考数学第一轮复习精品试题：圆锥曲线
2011届高考数学第一轮复习精品试题：圆锥曲线第2章 圆锥曲线与方程考纲总要求：①了解圆锥曲线的实际背景，了解在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． ②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程与简单几何性质．③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质． ④理解数形结合的思想． ⑤了解圆锥曲线的简单应用． §重难点：建立并掌握椭圆的标准方程，能根据条件求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的几何性质处理一些简单的实际问题．经典例题：A 、B 为椭圆22a x +22925a y =1上两点，F2为椭圆的右焦点，假如|AF2|+|BF2|=58a ，AB 中点到椭圆左准线的距离为23，求该椭圆方程．当堂练习：1．如下命题是真命题的是〔 〕A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B ．到定直线c a x 2=和定点F(c ，0)的距离之比为a c的点的轨迹是椭圆C ．到定点F(－c ，0)和定直线ca x 2-=的距离之比为a c(a>c>0)的点的轨迹 是左半个椭圆D ．到定直线c a x 2=和定点F(c ，0)的距离之比为ca(a>c>0)的点的轨迹是椭圆2．假如椭圆的两焦点为〔－2，0〕和〔2，0〕，且椭圆过点)23,25(-，如此椭圆方程是〔 〕A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x 3．假如方程x2+ky2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，如此实数k 的取值X 围为〔 〕A ．〔0，+∞〕B ．〔0，2〕C ．〔1，+∞〕D ．〔0，1〕4．设定点F1〔0，－3〕、F2〔0，3〕，动点P 满足条件)0(921>+=+a a a PF PF ，如此点P的轨迹是〔 〕A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 5．椭圆12222=+b y a x 和k b y a x =+2222()0>k 具有〔 〕 A ．一样的离心率 B ．一样的焦点C ．一样的顶点D ．一样的长、短轴6．假如椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，如此这个椭圆的离心率为〔 〕 A ．41B ．22C ．42D ． 217．P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，假如P 到椭圆右准线的距离是217，如此点P 到左焦点的距离〔 〕A ．516B ．566C ．875D ．8778．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是〔 〕A ．3B ．11C ．22D ．109．在椭圆13422=+y x 内有一点P 〔1，－1〕，F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，如此这一最小值是〔 〕A ．25B ．27C ．3D ．410．过点M 〔－2，0〕的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P1，P2，线段P1P2的中点为P ，设直线m 的斜率为k1〔01≠k 〕，直线OP 的斜率为k2，如此k1k2的值为〔 〕A ．2B ．－2C ．21D ．－2111．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ .12．与椭圆 4 x 2 + 9 y 2 = 36 有一样的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________．13．()y x P ,是椭圆12514422=+y x 上的点，如此y x +的取值X 围是________________ ． 14．椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，如此椭圆Ｅ的离心率等于__________________．15．椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，短轴长为58，求椭圆的方程．16．过椭圆4:),(148:220022=+=+y x O y x P y x C 向圆上一点引两条切线PA 、PB 、A 、B 为切点，如直线AB 与x 轴、y 轴交于M 、N 两点． 〔1〕假如0=⋅PB PA ，求P 点坐标； 〔2〕求直线AB 的方程〔用00,y x 表示〕；〔3〕求△MON 面积的最小值．〔O 为原点〕17．椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点.〔1〕求2211b a+的值； 〔2〕假如椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值X 围.18．一条变动的直线L 与椭圆42x +2y 2=1交于P 、Q 两点，M 是L 上的动点，满足关系|MP|·|MQ|=2．假如直线L 在变动过程中始终保持其斜率等于1．求动点M 的轨迹方程，并说明曲线的形状．第2章 圆锥曲线与方程 §重难点：建立并掌握双曲线的标准方程，能根据条件求双曲线的标准方程；掌握双曲线的简单几何性质，能运用双曲线的几何性质处理一些简单的实际问题．经典例题：不论b 取何实数，直线y=kx+b 与双曲线1222=-y x 总有公共点，试某某数k 的取值X 围．当堂练习：1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 〔 〕 A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，如此k 的取值X 围是〔 〕A ．11<<-kB ．0>kC ．0≥kD ．1>k 或1-<k 3． 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是〔 〕A ．4B ．22C ．8D ．与m 有关4．m,n 为两个不相等的非零实数，如此方程mx －y+n=0与nx2+my2=mn 所表示的曲线可A B C D 5． 双曲线的两条准线将实轴三等分，如此它的离心率为〔 〕A ．23B ．3C ．34D ． 36．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有一样的渐近线的双曲线方程是〔 〕A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x7．假如a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-b y a x 有〔 〕A ．一样的虚轴B ．一样的实轴C ．一样的渐近线D ． 一样的焦点8．过双曲线191622=-y x 左焦点F1的弦AB 长为6，如此2ABF ∆〔F2为右焦点〕的周长是〔 〕A ．28B ．22C ．14D ．129．双曲线方程为1422=-y x ，过P 〔1，0〕的直线L 与双曲线只有一个公共点，如此L 的条数共有 〔 〕A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条10．给出如下曲线：①4x+2y －1=0;②x2+y2=3;③1222=+y x ④1222=-y x ，其中与直线y=－2x －3有交点的所有曲线是〔 〕 A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④11．双曲线17922=-y x 的右焦点到右准线的距离为__________________________．12．与椭圆1251622=+y x 有一样的焦点，且两准线间的距离为310的双曲线方程为____________．13．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，如此AB =__________________．14．过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线1422=-y x 的弦所在直线方程为 ．15．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．16．双曲线()0222>=-a a y x 的两个焦点分别为21,F F ，P 为双曲线上任意一点，求证：21PF PO PF 、、成等比数列〔O 为坐标原点〕．17．动点P 与双曲线x2－y2＝1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos ∠F1PF2的最小值为－13.〔1〕求动点P 的轨迹方程；〔2〕设M(0，－1)，假如斜率为k(k ≠0)的直线l 与P 点的轨迹交于不同的两点A 、B ，假如要使|MA|＝|MB|，试求k 的取值X 围．18．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上).第2章 圆锥曲线与方程 §重难点：建立并掌握抛物线的标准方程，能根据条件求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单几何性质，能运用抛物线的几何性质处理一些简单的实际问题．经典例题：如图, 直线y=21x 与抛物线y=81x2－4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y=－5交于Q 点. 〔1〕求点Q 的坐标；〔2〕当P 为抛物线上位于线段AB 下方〔含A 、B 〕的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值.当堂练习：1．抛物线22x y =的焦点坐标是 〔 〕 A ．)0,1(B ．)0,41(C ．)81,0(D ． )41,0(2．抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，如此抛物线方程为〔 〕A ．y x 82=B ．y x 42=C ．y x 42-=D ．y x 82-=3．抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于 〔 〕A ．15B ．152C ．215D ．154．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，如此它的方程是 〔 〕A ．yx 292-=或x y 342=B ．x y 292-=或y x 342= C ．y x 342=D ．xy 292-= 5．点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t y t x 22〔其中参数R t ∈〕上的点的最短距离为〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．26．抛物线)0(22>=p px y 上有),,(),,(2211y x B y x A ),(33y x C 三点，F 是它的焦点，假如CFBF AF ,, 成等差数列，如此 〔 〕A ．321,,x x x 成等差数列B ．231,,x x x 成等差数列C ．321,,y y y 成等差数列D ．231,,y y y 成等差数列7．假如点A 的坐标为〔3，2〕，F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 是抛物线上的一动点，如此PF PA + 取得最小值时点P 的坐标是 〔 〕A ．〔0，0〕B ．〔1，1〕C ．〔2，2〕D ．)1,21(8．抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB 的两端点为),(11y x A ,),(22y x B ,如此关系式2121x x y y 的值一定等于 〔 〕A ．4pB ．－4pC ．p2D ．－p9．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，假如线段PF 与FQ 的长分别是q p ,，如此qp 11+〔 〕 A ．a 2B ．a21C ．a 4D ．a410．假如AB 为抛物线y2=2px (p>0)的动弦，且|AB|=a (a>2p)，如此AB 的中点M 到y 轴的最近距离是 〔 〕A ．21aB ．21pC ．21a ＋21pD ．21a －21p11．抛物线x y =2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________． 12．圆07622=--+x y x ，与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，如此=p ___________． 13．如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322--=x x y 没有交点，那么实数a 的取值X 围是 ．14．对于顶点在原点的抛物线，给出如下条件； 〔1〕焦点在y 轴上； 〔2〕焦点在x 轴上； 〔3〕抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；〔4〕抛物线的通径的长为5； 〔5〕由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为〔2，1〕．其中适合抛物线y2=10x 的条件是(要求填写适宜条件的序号〕 ______．15．点A 〔2，8〕，B 〔x1，y1〕，C 〔x2，y2〕在抛物线px y 22=上，△ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合〔如图〕〔1〕写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标； 〔2〕求线段BC 中点M 的坐标； 〔3〕求BC 所在直线的方程.16．抛物线y=ax2－1上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点，求a 的取值X 围.17．抛物线x2=4y 的焦点为F ，过点(0，－1)作直线L 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FARB ，试求动点R 的轨迹方程.18．抛物线C ：2742++=x x y ，过C 上一点M ，且与M 处的切线垂直的直线称为C 在点M 的法线．〔1〕假如C 在点M 的法线的斜率为21-，求点M 的坐标〔x0，y0〕；〔2〕设P 〔－2，a 〕为C 对称轴上的一点，在C 上是否存在点，使得C 在该点的法线通过点P ？假如有，求出这些点，以与C 在这些点的法线方程；假如没有，请说明理由.第2章 圆锥曲线与方程 §1)如果实数y x ,满足等式3)2(22=+-y x ，那么x y的最大值是〔 〕A 、21B 、33C 、23D 、32)假如直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，如此a 的值为〔 〕 A 、1,1- B 、2,2- C 、1 D 、1-3)椭圆125222=+y ax )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB 过点1F ，如此△2ABF 的周长为〔 〕〔A 〕10 〔B 〕20 〔C 〕241〔D 〕 4144)椭圆13610022=+y x 上的点P 到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是〔 〕〔A 〕15 〔B 〕12 〔C 〕10 〔D 〕85)椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，21PF PF⊥，如此△21PF F 的面积为〔 〕〔A 〕9 〔B 〕12 〔C 〕10 〔D 〕86)椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是〔 〕〔A 〕3〔B 〕11〔C 〕22〔D 〕107)以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是〔 〕〔A 〕222=-y x 〔B 〕222=-x y 〔C 〕422=-y x 或422=-x y 〔D 〕222=-y x 或222=-x y 8)双曲线191622=-y x 右支点上的一点P 到右焦点的距离为2，如此P 点到左准线的距离为〔 〕〔A 〕6 〔B 〕8 〔C 〕10 〔D 〕129)过双曲线822=-y x 的右焦点F2有一条弦PQ ，|PQ|=7,F1是左焦点，那么△F1PQ 的周长为〔 〕〔A 〕28 〔B 〕2814-〔C 〕2814+〔D 〕2810)双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F1、F2，︒=∠12021MF F ，如此双曲线的离心率为〔 〕〔A 〕3〔B 〕26〔C 〕36〔D 〕3311)过抛物线2y ax =(a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，假如线段PF 与FQ 的长分别为p 、q ，如此11p q +等于〔 〕〔A 〕2a 〔B 〕12a 〔C 〕4a 〔D 〕4a12) 如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，如此这条弦所在的直线方程是〔 〕〔A 〕02=-y x 〔B 〕042=-+y x 〔C 〕01232=-+y x 〔D 〕082=-+y x13)与椭圆22143x y +=具有一样的离心率且过点〔2，14〕离心率35=e ，一条准线为3=x 的椭圆的标准方程是 。
高考数学一轮复习《圆锥曲线》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《圆锥曲线》练习题（含答案）一、单选题1．双曲线2228x y -=的渐近线方程是（ ） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．2y x =±D ．22y x =±2．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左右焦点分别为()()1200F c F c -，，，，若直线2y x =与双曲线的一个交点P 的横坐标恰好为c ，则双曲线的离心率为（ ） A ．5B ．2C ．21+D ．21-3．如图，在体积为3的三棱锥P-ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，1AP =，若点M 是侧面CBP 内一动点，且满足AM BC ⊥，则点M 的轨迹长度的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．23D ．324．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ）．A ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭5．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B ，点A 在第一象限，且|AF |﹣|BF |32=，则AF BF =（ ） A ．32B ．2C ．3D ．46．已知抛物线M ：24y x =的焦点为F ，O 是坐标原点，斜率为()0k k >的直线l 交抛物线M 于A ，B 两点，且点A ，B 分别位于第一、四象限，交抛物线的准线l '于点C ．若2ACFABFSS=，2BF =，则AOBS=（ ）A ．33-B ．33+C ．2D ．231+7．若双曲线的中心为坐标原点，焦点在y 轴上，其离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．3y x =±B ．33y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±8．已知双曲线E 的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点.若点P 在E 上，2OP OQ =-，22PF OF =，1132QF OF =，则E 的离心率为A ．2B ．2C ．5D ．31+9．设1F ，2F 是离心率为5的双曲线222124x y a -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F △的面积等于A ．42B ．83C ．24D ．4810．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，直线20l :x y '-+=，动点M 在C 上运动，记点M 到直线l 与l ′的距离分别为d 1，d 2，O 为坐标原点，则当d 1+d 2最小时，cos ∠MFO ＝（ ） A ．22B ．23C ．24D ．2611．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,M N 分别是棱1,AA BC 上的动点，若2MN =，则线段MN 的中点P 的轨迹是（ ）A ．一条线段B ．一段圆弧C ．一部分球面D ．两条平行线段12．已知拋物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 为椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，且1C与2C 的公共弦经过F ，则椭圆的离心率为（ ）A 1B C D二、填空题13．已知点(3，2)在椭圆221(0,0)x y m n m n+=>>上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是__________.14．过点且渐近线与双曲线22:12x C y -=的渐近线相同的双曲线方程为______.15．焦点在y 轴上的双曲线221y mx -=，则m 的值为___________.16．已知过抛物线C ：y 2＝8x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，AB BM =，则A 点的横坐标为___．三、解答题17．求经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程．18．已知椭圆C ：22143x y +=，过椭圆右焦点的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求MN 的取值范围．19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，且椭圆C 经过点31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程.(2)不过点P 的直线:2l y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点，记直线P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:195x y C +=与()222206:136x y b C b =<<+的离心率相等．椭圆1C 的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆1C 交于A ，B 两点，射线OB 与椭圆2C 交于点C ，椭圆2C 的右顶点为D ．（1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若ABO 10，求直线AB 的方程； （3）若2AF BF =，求证：四边形AOCD 是平行四边形．21．已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>上的两点.（1）求椭圆G 的离心率；（2）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程.22．已知椭圆C 的离心率2e =()10,1B -，()20,1B . (1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q .问在x 轴上是否存在定点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点N ，若存在，求出N 点坐标；若不存在，说明理由.23．已知点P 在圆22:4O x y +=上运动，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点A 满足12AQ PQ =. （1）求点A 的轨迹E 的方程；（2）过点30,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与曲线E 交于,M N 两点，记OMN ∆的面积为S ，求S 的最大值.24．已知抛物线1C ：()220x py p =>的焦点为F ，圆2C ：()()22284x y +++=，过y 轴上点G 且与y 轴不垂直的直线l 与抛物线1C 交于A 、B 两点，B 关于y 轴的对称点为D ，O 为坐标原点，连接2GC 交x 轴于点E ，且点E 、F 分别是2GC 、OG 的中点. （1）求抛物线1C 的方程； （2）证明：直线AD 与圆2C 相交参考答案1．C2．C3．A4．C5．B6．B7．B8．D9．C10．A11．B12．A 13．点在椭圆外 14．22163x y -=15．4 16．417．设所求的等轴双曲线的方程为：()220x y λλ-=≠，将(3,1)A -代入得：()2231λ--=，即=8λ， 所以等轴双曲线的标准方程：22188x y -=18．解：由椭圆C ：22143x y +=知，2a =，b =1c =，所以椭圆C 的右焦点为()1,0F ．当直线l 的斜率不存在时，223b MN a==． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，将其代入椭圆C 的方程得()22223484120kxk x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 所以=MN ()222121333434+==+++k k k因为20k ≥，所以(]3,4MN ∈． 综上，MN 的取值范围是[]3,4． 19．(1)因为12c e a ==，所以2a c =，所以222234b a c a =-=.因为椭圆C 过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以221914a b +=，所以24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=. (2)因为直线l 不过31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且直线P A ，PB 的斜率存在，所以72k ≠且12k ≠.设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()22341640k x kx +++=， 则1221634k x x k +=-+，122434x x k =+. 由()()221616340k k ∆=-+>，得214k >且72k ≠.因为()()12121212121212121273377272222211111kx x k x x y y kx kx k k x x x x x x x x ⎛⎫++++++++ ⎪⎝⎭+=+=+=+++++++， 所以2221222271682712482134343416416713434k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-+-++++===-+-+++， 即12k k +为定值，且123k k +=.20．（1）由题意知，椭圆1C 的长轴长126a =，短轴长12b =124c ==， 椭圆2C 的长轴长2212a =，短轴长2b ，焦距22c =．因为椭圆1C 与2C 的离心相等，所以1212c c a a =，即23= 因为06b <<，所以220b =，所以椭圆2C 的标准方程为2213620x y +=．（2）因为椭圆1C 右焦点为()2,0F ，且A ，O ，B 三点不共线， 设直线AB 的方程为2x my =+，联立22195x y +=，消x 得()225920250m y my ++-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，()22(20)100590m m ∆=++>，所以1,2y ==， 即1212222025,5959m y y y y m m -+=-=++． 因为121212111||||||222ABOAOFBOFSS SOF y OFy O y y y F y =+=+=-=-==， 化简得4259m=，所以m =， 所以直线AB 的方程为2x y =+，即5100x ±-=． （3）因为2AF BF =，所以2AF FB =．因为()()1122,,,,(2,0)A x y B x y F ，所以()()11222,22,x y x y --=-，所以121262,2.x x y y =-⎧⎨=-⎩ 因为()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22195x y +=上， 所以221122221,951,95x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以()222222226241,951,95x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消2y ，得2218x =． 代入2222195x y +=，由对称性不妨设120,0y y ><，所以2y =从而得，113,4x y ==即321,,48A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭．所以OC k =，直线OC的方程为y x =， 联立2213620x y +=，得244116x =．由题知0x >，所以21,4x y ==21,4C ⎛ ⎝⎭．又(6,0)D，所以OA CD k k ==又因为,OA CD 不共线，所以//OA CD ，又AD OC k k ==，且,OC AD 不共线，所以//OC AD ． 所以四边形AOCD 是平行四边形． 21．解：（1）由已知2b =， 由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==所以2228,c a b c =-== 所以椭圆G的离心率是c e a ==； （2）当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件； 设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-），点(),C C C x y ，由22131124y kx kx y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222316(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B 和点C 的横坐标， 所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)431C k x k --=+，所以2236131C k k y k --+=+，因为以BC 为直径的圆经过点A ， 所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=，2222963961(3,1),3131k k k k AB AC k k ⎛⎫-----⋅=-⋅ ⎪++⎝⎭2236128031k k k --==+， 即(32)(31)0k k -+=， 123k ，213k =-， 当213k =-时，即直线AB ，与已知点C 不同于点A 矛盾，所以123BC k k ==， 所以直线BC 的方程为213y x =-. 22．（1）由题意可设椭圆为22221x y a b+=由题意可得c e a ==1b =，可得a =所以椭圆的方程为：2212x y +=.（2）联立2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理可得：()222124220k x kmx m +++-=， 由题意可得()()222216412220k m k m ∆=-+-=，可得2212m k =+；可得()242212P km k x m k -==-+，1P P y kx m m =+=，即21,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 联立2y kx mx =+⎧⎨=⎩，可得2Q x =，2Q y k m =+，即()2,2Q k m +，设在x 轴上存在()0,0N x .由0PN QN ⋅=，可得()0021,2,20k x x k m m m ⎛⎫+-⋅---= ⎪⎝⎭，可得200242210k k k x x m m m ⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭， 即()200022110kx x x m-++-=， 可得20002101x x x ⎧-+=⎨=⎩，可得01x =，即定点()1,0N .23．（1）设(,)A x y ，11(,)P x y ， ∵12AQ PQ =，∴A 为PQ 的中点， ∴11,2,x x y y =⎧⎨=⎩∴22(2)4x y +=，即2214x y +=.∴点A 的轨迹E 的方程2214x y +=.（2）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为32y kx =+，将直线方程代入椭圆方程中得22(14)1250k x kx +++=， ∴222251444(14)56420016k k k k ∆=-⨯+=->⇒>. 设1122(,),(,)M x y N x y ，∴12133||224OMN POM PON S S S x x ∆∆∆=-=⨯⨯-=令2914()4t k t =+>，则214k t -=，∴3344OMN S S ∆====∵914049t t >⇒<<，∴129t =时，34143OMN S ∆≤⨯=，∴S 的最大值1.24．（1）设点()0,0E x ，()00,G y ，因为圆2C ：()()22284x y +++=，所以圆心()22,8C --，因为点E 是2GC 的中点，所以00202820x y -+=⎧⎨-+=⨯⎩，解得0018x y =-⎧⎨=⎩，则点()0,8G ，因为点F 是OG 的中点， 所以()0,4F ，则42p=，解得8p =， 故抛物线的方程为216x y =.（2）因为B 关于y 轴的对称点为D ， 所以设()11,B x y ，()22,A x y ，()11,D x y -，设直线AB 的方程为8y kx -=，即80kx y -+=，联立28016kx y x y-+=⎧⎨=⎩，消去x 得()22161640y k y -++=，则1264y y =， 设直线AD 的方程为y mx n =+，联立216y mx n x y=+⎧⎨=⎩，消去x 得()2221620y m n y n -++=，则212y y n =， 故264n =，易知0n <，则8n =-，直线AD 的方程为8y mx =-，必过定点()0,8-， 而圆2C ：()()22284x y +++=正好与y 轴交于定点()0,8-， 且过点()0,8-的所有直线中，只有与y 轴重合的直线才能与圆2C ：()()22284x y +++=相切，直线AD 显然不可能是y 轴，因此，直线AD 与圆2C 相交.。
2011届高三数学一轮巩固与练习：圆锥曲线的综合
巩固1．曲线C 的方程是y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( )A ．(0,0)B ．(15，15)C ．(1,5)D ．(4,4)解析：选D.∵1≤x ≤5，∴C 、D 中点的横坐标满足，又曲线上点的纵坐标与横坐标相等，故只有D 满足．2．已知抛物线C 1：y ＝2x 2与抛物线C 2关于直线y ＝－x 对称，则C 2的准线方程为( )A ．x ＝18B ．x ＝－18 C ．x ＝12 D ．x ＝－12解析：选A.因y ＝2x 2的准线方程为y ＝－18，关于y ＝－x 对称方程为x ＝18.3．(原创题)设x 1、x 2∈R ，常数a >0，定义运算“*”：x 1*x 2=( x 1+x 2)2-( x 1-x 2)2,若x ≥0,则动点P (x,x *a )的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分 解析：选D.∵x 1* x 2＝( x 1+x 2)2-( x 1-x 2)2， ∴x *a =(x ＋a )2－(x －a )2＝2ax . 则P (x,2ax )．设P (x 1，y 1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x ，y 1＝2ax ，消去x 得y 12＝4ax 1(x 1≥0，y 1≥0)． 故点P 的轨迹为抛物线的一部分．4．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为________．解析：因为抛物线顶点在原点，焦点F (1,0)，故抛物线方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，则y 12＝4x 1，y 22＝4x 2. ∴(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)， ∴k AB ＝4y 1＋y 2＝1， ∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 答案：y ＝x5．如果过两点A (a,0)和B (0，a )的直线与抛物线y ＝x 2－2x －3没有交点，那么实数a 的取值范围是________．解析：过A 、B 两点的直线为：x ＋y ＝a 与抛物线y ＝x 2－2x －3联立得：x 2－x －a －3＝0.因为直线与抛物线没有交点，则方程无解． 即Δ＝1＋4(a ＋3)＜0，解之得a ＜－134. 答案：(－∞，－134)6．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，直线l ：y ＝x ＋2与以原点为圆心、椭圆C 1的短半轴长为半径的圆O 相切．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左焦点为F 1，右焦点为F 2，直线l 1过点F 1且垂直于椭圆的长轴，动直线l 2垂直于l 1，垂足为点P ，线段PF 2的垂直平分线交l 2于点M ，求点M 的轨迹C 2的方程．解：(1)由e ＝33，得b 2a 2＝1－e 2＝23；由直线l ：x －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切，得22＝|b |. 所以，b ＝2，a ＝ 3所以椭圆的方程是x 23＋y22＝1.(2)由条件，知|MF 2|＝|MP |，即动点M 到定点F 2(1,0)的距离等于它到直线l 1：x ＝－1的距离，由抛物线的定义得点M 的轨迹C 2的方程是y 2＝4x .练习1．下列说法正确的是( )A ．△ABC 中，已知A (1,1)，B (4,1)，C (2,3)，则AB 边上的高的方程是x ＝2B ．方程y ＝x 2(x ≥0)的曲线是抛物线C ．已知平面上两定点A 、B ，动点P 满足|P A |－|PB |＝12|AB |，则P 点的轨迹是双曲线D ．第一、三象限角平分线的方程是y ＝x解析：选 D.曲线与方程概念：(1)曲线上所有点的坐标都是这个方程的解，(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．选项A 符合(1)但不符合(2)．选项B 符合(2)但不符合(1)．选项C 符合(2)但不符合(1)．选项D 符合(1)、(2)．故选D.2．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[－12，12] B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]解析：选C.设直线方程为y ＝k (x ＋2)，与抛物线联立方程组，整理得ky 2－8y ＋16k ＝0.当k ＝0时，直线与抛物线有一个交点．当k ≠0时，由Δ＝64－64k 2≥0，解得－1≤k ≤1且k ≠0.所以－1≤k ≤1.3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4 105 D.8 105解析：选C.设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，代入x 24＋y 2＝1，消去y 得54x 2＋2tx ＋t 2－1＝0，由题意得Δ＝(2t )2－5(t 2－1)＞0，即t 2＜5.弦长|AB |＝42×5－t 25≤4 105.4．抛物线y ＝x 2到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( )A ．(32，54) B ．(1,1) C ．(32，94) D ．(2,4)解析：选B.设P (x ，y )为抛物线y ＝x 2上任一点，则P 到直线的距离d ＝|2x －y －4|5＝|x 2－2x ＋4|5＝(x －1)2＋35，∴x ＝1时，d 取最小值355，此时P (1,1)．5．(2009年高考山东卷)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54 B ．5C.52 D. 5解析：选D.不妨设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为y ＝ba x ，由方程组⎩⎨⎧y ＝b a x y ＝x 2＋1消去y ，得x 2－ba x ＋1＝0有唯一解，5，故选D.6．设P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，若＝λ，(其中λ为正常数)，则点M 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 解析：选B.设M (x ，y )，P (x 0，y 0)， 则Q (x 0,0)，由＝λ得⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝λ(x 0－x )，y －y 0＝－λy .(λ>0) ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝(λ＋1)y . 由于x 02＋y 02＝1，∴x 2＋(λ＋1)2y 2＝1. ∴M 的轨迹是椭圆．7．(2009年高考福建卷)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.解析：∵F (p 2，0)，∴设AB ：y ＝x －p2与y 2＝2px 联立，得x 2－3px ＋p 24＝0.∴x A ＋x B ＝3p .由焦半径公式x A ＋x B ＋p ＝4p ＝8，得p ＝2. 答案：28．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．答案：29．过抛物线y 2＝4x 的焦点，且倾斜角为34π的直线交抛物线于P 、Q 两点，O 为坐标原点，则△OPQ 的面积等于________．解析：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则S ＝12|OF |·|y 1－y 2|.直线为x ＋y －1＝0，即x ＝1－y 代入y 2＝4x 得：y 2＝4(1－y )，即y 2＋4y －4＝0，∴y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－4， ∴|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝16＋16＝42， ∴S ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×42＝2 2. 答案：2 210．已知直角坐标平面上一点Q (2,0)和圆C ：x 2＋y 2＝1，动点M 到圆C 的切线长等于圆C 的半径与|MQ |的和，求动点M 的轨迹方程．解：设MN 切圆C 于N ，又圆的半径为|CN |＝1， 因为|CM |2＝|MN |2＋|CN |2＝|MN |2＋1， 所以|MN |＝|CM |2－1.由已知|MN |＝|MQ |＋1，设M (x ，y )，则 x 2＋y 2－1＝(x －2)2＋y 2＋1， 两边平方得2x －3＝(x －2)2＋y 2， 即3x 2－y 2－8x ＋5＝0(x ≥32)．11.(2009年高考辽宁卷)已知，椭圆C 经过点A (1，32)，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E 、F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明：直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．解：(1)由题意，知c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b 2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)．所以椭圆的方程为x 24＋y23＝1.(2)设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4(32－k )2－12＝0.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，因为点A (1，32)在椭圆上，所以x E ＝4(32－k )2－123＋4k2，y E ＝kx E＋32－k . 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代k ，可得x F ＝4(32＋k )2－123＋4k 2，y F ＝－kx F＋32＋k .所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k (x E ＋x F )＋2k x F －x E＝12. 即直线EF 的斜率为定值，其值为12.12．已知直线x ＋ky －3＝0所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：mx ＋ny ＝1.试证明：当点P (m ，n )在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围．解：(1)由x ＋ky －3＝0得，(x －3)＋ky ＝0， 所以直线过定点(3,0)，即F 为(3,0)．设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3a ＋c ＝8a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝4，c ＝3.故所求椭圆C 的方程为x 225＋y216＝1.(2)因为点P (m ，n )在椭圆C 上运动，所以m 225＋n 216＝1. 从而圆心O 到直线l 的距离d ＝1m 2＋n2＝1m 2＋16(1－125m 2)＝ 1925m 2＋16＜1.所以直线l 与圆O 恒相交． 又直线l 被圆O 截得的弦长 L ＝2r 2－d 2＝2 1－1m 2＋n 2＝21－1925m 2＋16， 由于0≤m 2≤25，所以16≤925m 2＋16≤25，则L ∈[152，465]， 即直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围是[152，465]．。
高考数学一轮复习单元训练：圆锥曲线与方程
高考数学一轮复习单元训练：圆锥曲线与方程本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，且=2c ，若点P 在椭圆上，且满足，则该椭圆的离心率e 等于( )A ．B ．C ．D ．【答案】C2．抛物线的焦点是离心率为的双曲线：的一个焦点，正方形ABCD 的两个顶点A 、B 在拋物线E 上,C,D 两点在直线y =x - 4上，则该正方形的面积是( )A ． 18 或 25B ． 9 或 25C ． 18 或 50D ． 9 或 50【答案】C3．已知，则曲线和有( )A ． 相同的短轴B ． 相同的焦点C ． 相同的离心率D ． 相同的长轴【答案】B4．不论k 为何值，直线y=kx+1与椭圆+=1有公共点，则实数m 的范围是( )A ．(0，1)B ．C ．D ． (0，7)【答案】C5．已知椭圆C ：的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )【答案】B6．设抛物线的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ．【答案】C22221(0)x y a b a b+=>>12||F F 2212120,PF F F PF PF c ⋅=⋅=1212-12-24k <22194x y +=22194x y k k+=--72x my 2[)1,+∞[)()1,77,+∞)0(12222>>=+b a by a x 22122=-y x 28y x =l l 11[,]22-[2,2]-[1,1]-[4,4]-7．设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为( ) A ．B ．C ．D ．【答案】C8．若k 可以取任意实数，则方程x 2+ky 2=1所表示的曲线不可能是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆或双曲线D ．抛物线 【答案】D9．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B10．已知双曲线的离心率为2,有一个焦点恰好是抛物的焦点,则此双曲线的渐近线方程是( ) A ． B ． C ． D ．【答案】A11．椭圆C 的两个焦点分别为和，若该椭圆C 与直线有公共点，则其离心率的最大值为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】C12．若椭圆和双曲线的共同焦点为，是两曲线的一个交点，则·的值为( )A ．B ． 84C ． 3D ．21【答案】D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于,,____________ 【答案】014．方程，当时，表示圆；当时，12F F 2222:1(0)x y E a b a b +=>>P 32ax =12PF F ∆30E 1223344545352515)0(122>=-mn ny m x x y 42=03=±y x 03=±y x 03=±y x 03=±y x 1(1,0)F -2(1,0)F 30x y +-=61266555101162522=+y x 15422=-y x 21,F F P 1PF 2PF 221px y 22=)0(>p )0,2(p M A B =⋅)(4)3()1(222R k y k x k ∈=-+-____=k _____∈k表示椭圆；当时，表示双曲线；当时，表示两条直线. 【答案】 ， ， ，15．与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为____________．【答案】16．椭圆的焦点是，为椭圆上一点，且是与的等差中项，则椭圆的方程为____________【答案】三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．给定抛物线，是抛物线的焦点，过点的直线与相交于、两点，为坐标原点.(Ⅰ）设的斜率为1，求以为直径的圆的方程；(Ⅱ）设，求直线的方程.【答案】（Ⅰ）又直线的斜率为1，直线的方程为：，代入，得：，由根与系数的关系得：，易得中点即圆心的坐标为，又，所求的圆的方程为：.(Ⅱ）而，，直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为：，代入，得：，由根与系数的关系得：，，或，直线的方程为：.18．已知定点，，动点到定点距离与到定点._____∈k ____=k 1-)1,1()1,3(--- )3,1()3,( --∞3,1-或1101522=+y x 12(3,0),(3,0)F F -P 12F F 1PF 2PF 1273622=+y x 2:4C y x =F C F l C A B O l AB 2FA BF =l ()24,1,0,y x F =∴l ∴∴l 1y x =-24y x =2610x x -+=121261x x x x +=⎧⎨⋅=⎩AB ()3,2128,4AB x x p r =++=∴=∴()()223216x y -+-=2,2,FA BF FA BF =∴=()()11221,,1,FA x y BF x y =-=--()12121212x x y y -=-⎧∴⎨=-⎩l l k l ()1y k x =-24y x =()2222240k x k x k -++=212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪⋅=⎩()12121x x -=-∴1211x x =⎧⎨=⎩12212x x =⎧⎪⎨=⎪⎩∴k =±∴l )1y x =±-()0,0O ()3,0A P O A(Ⅰ）求动点的轨迹方程，并说明方程表示的曲线； (Ⅱ）当时，记动点的轨迹为曲线.①若是圆上任意一点，过作曲线的切线，切点是，求的取值范围；②已知，是曲线上不同的两点，对于定点，有.试问无论，两点的位置怎样，直线能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由.【答案】（Ⅰ）设动点的坐标为，得， 整理得: .，当时，则方程可化为：，故方程表示的曲线是线段的垂直平分线；当时，则方程可化为，即方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆. (Ⅱ）当时，曲线的方程是， 故曲线表示圆，圆心是，半径是. ①由，及有：两圆内含，且圆在圆内部.如图所示，由有: ,故求的取值范围就是求的取值范围.而是定点，是圆上的动点，故过作圆的直径，得，，故，P 4λ=P D M ()()22:2464E x y -+-=M D N MN F G D (3,0)Q -4QF QG ⋅=F G FG P (),x y PA =2222()(3)x y x y λ+=-+()()2211690x y x λλ-+-+-=0λ>∴1λ=230x -=OA 1λ≠22231x y λ⎛⎫++= ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦3,01λ⎛⎫- ⎪-⎝⎭1λ-4λ=D 22230x y x ++-=D ()1,0D -25DE ==5<82-D E 222MN MD DN =-224MN MD =-MN MD D M D E 853min MD =-=8513max MD =+=25165MN ≤≤MN②解法一：设点到直线的距离为，， 则由面积相等得到，且圆的半径.即于是顶点 到动直线的距离为定值， 即动直线与定圆相切.②解法二：设，两点的坐标分别为，，则由有：，结合有： ，若经过、两点的直线的斜率存在，设直线的方程为，由，消去有：，则，，所以，由此可得，也即( ※ ）.假设存在定圆，总与直线相切，则是定值，即与( ※ ）对比，有，此时，故存在定圆，当直线的斜率不存在时，，直线的方程是，显然和圆相切.故直线能恒切于一个定圆.Q BC dFQG θ∠=sin QF QG d FG θ⋅=2r =4sin 4sin 1.2sin d FG r θθθ===Q FG FG 22(3)1x y ++=F G ()11,F x y ()22,G x y 4QF QG ⋅=4=2222111222230,230x y x x y x ++-=++-=121243()80x x x x =⇒+++=F G FG y mx n =+22230y mx n x y x =+⎧⎨++-=⎩y ()()22212230m x mn x n ++++-=122221mn x x m ++=-+212211n x x m ==+221212222366183()80111n mn m x x x x m m m---++++=++=+++22861m mn n -+=22(3)1m n m -=+1=()()222x a y b r -+-=FG d =r d ,m n 1=3a b =-⎧⎨=⎩1d r ===22(3)1x y ++=FG 122x x ==-FG 2x =-FG 22(3)1x y ++=19．已知椭圆C1： (0<a<,0<b<2)与椭圆C2：有相同的焦点. 直线L：y=k(x+1)与两个椭圆的四个交点，自上而下顺次记为A、B、C、D.(I)求线段BC的长（用k和a表示）;(II)是否存在这样的直线L,使线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列.请说明详细的理由.【答案】（Ⅰ）(k2a2+b2)x2+2k2a2x2+k2a2-a2b2=0=(Ⅱ）由（I)知，线段AB、BC、CD构成一个等差数列,可得2BC=AB+CD,故3BC=AD，＝≥0即：≥0.由于a>1,故.所以，当时，存在这样的直线L,使线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列.20．已知椭圆的左右焦点分别为，短轴两个端点分别为，且四边形是边长为2的正方形．(I ）求椭圆方程；(II ）若分别是椭圆长轴的左、右两端点，动点满足，连结，交椭圆于点.求证：为定值．【答案】（I ），，椭圆方程为.(II ），设，则.直线：，即，代入椭圆, 得。
高考数学一轮单元复习练习圆锥曲线与方程含答案
高考数学一轮单元复习精品练习：圆锥曲线与方程本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知B A ,为抛物线22(0)y px p =>上不同两点，且直线AB 倾斜角为锐角，F 为抛物线焦点，若3,FA FB =-u u u r u u u r则直线AB 倾斜角为( )A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 【答案】D2．已知直线y ＝kx －2(k ＞0)与抛物线C ：x 2＝8y 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA|＝4|FB|，则k ＝( ) A ．3 B ．54C ．34D ．322【答案】B3．抛物线x 2＝16y的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成三角形面积是( )A ．163 B ．8 3 C ．4 3 D ．2 3【答案】A4．若椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则实数m 等于( ) A ．23或38 B ．23 C ．38 D ．83或32 【答案】A5．已知抛物线22(0)y px p =>过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点。
若线段AB 中点的纵坐标为2，则该抛物线准线方程为( )A ．1x =B ．1x =-C ．2x =D ．2x =-【答案】B6．已知对k R ∈，直线10y kx --=与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,5)C ．),5()5,1[+∞⋃D ．[1,5)【答案】C7．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =( )A ．B ．C ．4D ．【答案】B8．“双曲线方程为622=-y x ”是“双曲线离心率2=e”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B9．若抛物线2y x =在点（a,a 2）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为16，则a=( )A ．4B ．±4C ．8D ．±8【答案】B10．过抛物线y ＝2x 2的焦点的直线与抛物线交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1x 2＝( )A ．－2B ．－12C ．－4D ．－116【答案】D11．抛物线24y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴相交于点E ，过F 且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AB l ⊥，垂足为B ，则四边形ABEF 的面积等于( )A．B．C．D．【答案】C12．已知M=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+13|),(2322y x y x ，N={}b mx y y x +=|),(，若对于所有的R m ∈，均有,φ≠⋂N M 则b 的取值范围是( )A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，2626 B ．（26,26-） C ．[26,26-] D ．[332,332-] 【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．过椭圆左焦点F ，倾斜角为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率为 【答案】32 14．已知点（2,3）在双曲线C ：1by -a x 2222=（a ＞0，b ＞0）上，C 的焦距为4，则它的离心率为____________. 【答案】215．已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，抛物线22:2(0)C y px p =>与双曲线C 1共焦点，C 1与C 2在第一象限相交于点P ，且121||||F F PF =，则双曲线的离心率为 。
2011年高考数学一轮复习第7章圆锥曲线方程：抛物线
课时作业42 抛物线课时作业42 抛物线时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为 ( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解析：由题意知，点P 到点(2,0)的距离与P 到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线定义得点P 的轨迹是以(2,0)为焦点，以直线x ＝－2为准线的抛物线，故选D.答案：D2．AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是 ( )A ．2 B.12C.32D.52解析：|AB |＝x A ＋x B ＋1＝4，x C ＝x A ＋x B 2＝32.答案：C3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 ( )A ．2B ．3 C.115 D.3716解析：∵直线l 2：x ＝－1恰为抛物线y 2＝4x 准线，∴P 到l 2的距离d 2＝|PF |(F (1,0)为抛物线焦点)，所以P 到l 1、l 2距离之和最小值为F 到l 1距离|4×1－3×0＋6|32＋42＝2，故选A. 答案：A4．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为 ( )图1A ．4B ．8C ．16D ．32解析：如图1：y 2＝8x 的焦点 F (2,0)，准线x ＝－2，K (－2,0)．设A (x ，y )，由|AK |＝2|AF |，得：(x ＋2)2＋y 2 ＝2(x －2)2＋y 2，即：(x ＋2)2＋y 2＝2[(x －2)2＋y 2]，化简得：y 2＝－x 2＋12x －4与y 2＝8x 联立求解得：x ＝2，y ＝±4，∴S △AFK ＝12|FK |·|y A |＝12×4×4＝8.故选B.答案：B5．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝ ( )A.13B.23C.23D.223图2解析：过A 、B 作抛物线准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1(如图2)，由抛物线定义可知，|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，∵2|BF |＝|AF |，∴|AA 1|＝2|BB 1|，即B 为AM 的中点． 从而y A ＝2y B ，联立方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ⇒消去x 得：y 2－8k y ＋16＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y A ＋y B ＝8k ，y A ·y B ＝16⇒⎩⎪⎨⎪⎧3y B ＝8k ，2y 2B ＝16⇒消去y B 得k ＝223.答案：D6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为抛物线上异于原点O 的任意一点，过A 作AT 垂直y 轴于T ，OT 的中点为M ，则直线AM 一定经过△ATF 的 ( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心图3解析：如图3所示，设AT 交准线于N ，连结FN ，由NT ＝OF 可证M 为NF 中点，又由AN ＝AF ，可知AM 为∠F AT 的角平分线，∴AM 经过△ATF 的内心．答案：A二、填空题(每小题5分，共20分) 7．已知有以点(0,3)为顶点，点(0,6)为焦点的抛物线，设点P (a ，b )在该抛物线上，且点Q (a,0)满足∠FPQ ＝60°，则b ＝________.解析：由题意知，该抛物线的准线是x 轴，且|FP |＝|PQ |，∠FPQ ＝60°，∴△FPQ 是正三角形，b ＝12.答案：12 8．如果直线l 过定点M (1,2)且与抛物线y ＝2x 2有且仅有一个公共点，那么直线l 的方程为__________．解析：当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程是x ＝1时，显然该直线与抛物线y ＝2x 2只有一个公共点，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程是y －2＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －1)y ＝2x 2消去y 得2x 2－kx ＋(k －2)＝0，Δ＝k 2－8(k －2)＝0，k ＝4，直线l 的方程是y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.综上所述，直线l 的方程是x ＝1或4x －y －2＝0.答案：x ＝1或4x －y －2＝09．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点．若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为________．解析：抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，∴p2＝1，抛物线方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 21＝4x 1 ①，y 22＝4x 2 ②，①－②得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴直线l 的斜率为1，且过点(2,2)， ∴直线方程为y －2＝x －2，∴y ＝x . 答案：y ＝x10．已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 所在直线与y 轴交点坐标为(0,2)，则1y 1＋1y 2＝__________. 解析：取特例，AB 为焦点弦，则AB ：y ＝－2x ＋2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝－2x ＋2得x 2－3x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝3. ∴y 1＋y 2＝－2(x 1＋x 2)＋4＝－2 y 1y 2＝4(x 1x 2－x 1－x 2＋1)＝－4 1y 1＋1y 2＝y 1＋y 2y 1y 2＝12答案：12三、解答题(共50分)11．(15分)已知抛物线方程为标准方程，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (a ，－4)到焦点F 的距离为5，求抛物线的方程和a 的值．解：∵抛物线顶点在原点，对称轴为y 轴， ∴设抛物线方程为x 2＝2py (p ≠0)．又点M (a ，－4)在抛物线上，且与焦点F 的距离为5.∴p <0且－p2＋4＝5.∴p ＝－2，即抛物线方程为x 2＝－4y .将点M (a ，－4)代入方程，可知是a ＝±4.12．(15分)抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上． (1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解：(1)由已知可设抛物线方程为y 2＝2px . ∵点P (1,2)在抛物线上，∴p ＝2. 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ， 准线方程是x ＝－1.(2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ，则k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)．∵P A 与PB 斜率存在且倾斜角互补， ∴k P A ＝－k PB .又∵A 、B 点均在抛物线上， ∴y 21＝4x 1，y 22＝4x 2.∴x 1＝y 214，x 2＝y 224.∴y 1－2y 214－1＝－y 2－2y 224－1. ∴y 1＋2＝－(y 2＋2)． ∴y 1＋y 2＝－4.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝4－4＝－1. 13．(20分)过抛物线y 2＝2px (p >0)的对称轴上一点A (a,0)(a >0)的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N 向直线l ：x ＝－a 作垂线，垂足分别为M 1、N 1.(1)当a ＝p2时，求证：AM 1⊥AN 1；(2)记△AMM 1、△AM 1N 1、△ANN 1的面积分别为S 1、S 2、S 3.是否存在λ，使得对任意的a >0，都有S 22＝λS 1S 3成立．若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．解：依题意，可设直线MN 的方程为x ＝my ＋a ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有M 1(－a ，y 1)，N 1(－a ，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋a ，y 2＝2px ，消去x 可得y 2－2mpy －2ap ＝0. 从而有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2mp ， ①y 1y 2＝－2ap . ②于是x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2a ＝2(m 2p ＋a )．又由y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，可得x 1x 2＝(y 1y 2)24p 2＝(－2ap )24p2＝a 2.③图4(1)如图4，当a ＝p2时，点A ⎝⎛⎭⎫p 2，0 即为抛物线的焦点，l 为其准线x ＝－p 2.此时M 1⎝⎛⎭⎫－p 2，y 1，N 1⎝⎛⎭⎫－p2，y 2，并由①可得y 1y 2＝－p 2. 证法1：∵AM 1→＝(－p ，y 1)，AN 1→＝ (－p ，y 2)，∴AM 1→·AN 1→＝p 2＋y 1y 2＝p 2－p 2＝0，即AM 1⊥AN 1.(2)存在λ＝4，使得对任意的a >0，都有S 22＝4S 1S 3成立．证明如下：证法1：记直线l 与x 轴的交点为A 1，则|OA |＝|OA 1|＝a .于是有S 1＝12·|MM 1|·|A 1M 1|＝12(x 1＋a )|y 1|，S 2＝12·|M 1N 1|·|AA 1|＝a |y 1－y 2|，S 3＝12·|NN 1|·|A 1N 1|＝12(x 2＋a )|y 2|.∴S 22＝4S 1S 3⇔(a |y 1－y 2|)2＝(x 1＋a )|y 1|·(x 2＋a )|y 2|⇔a 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝[x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2]|y 1y 2|. 将①、②、③代入上式化简可得a 2(4m 2p 2＋8ap )＝2ap (2am 2p ＋4a 2)⇔4a 2p (m 2p ＋2a )＝4a 2p (m 2p ＋2a )． 上式恒成立，即对任意a >0，S 22＝4S 1S 3成立．图5证法2：如图5，连结MN 1、NM 1，则由y 1y 2＝－2ap ，y 21＝2px 1可得k OM ＝y 1x 1＝2p y 1＝2py 2y 1y 2＝2py 2－2ap ＝y 2－a ＝kON 1，所以直线MN 1经过原点O .同理可证直线NM 1也经过原点O . 又|OA |＝|OA 1|＝a ，设|M 1A 1|＝h 1，|N 1A 1|＝h 2，|MM 1|＝d 1，|NN 1|＝d 2，则S 1＝12d 1h 1，S 2＝12·2a (h 1＋h 2)＝a (h 1＋h 2)，S 3＝12d 2h 2.∵MM 1∥NN 1∥AA 1，∴△OA 1M 1∽△NN 1M 1，△OA 1N 1∽△MM 1N 1， ∴a d 2＝h 1h 1＋h 2，a d 1＝h 2h 1＋h 2， 即a (h 1＋h 2)＝h 1d 2＝h 2d 1. ④而λ＝S 22S 1S 3＝4a 2(h 1＋h 2)2d 1h 1d 2h 2＝4·a (h 1＋h 2)h 1d 2·a (h 1＋h 2)h 2d 1⑤将④代入⑤，即得λ＝4，故对任意a >0，S 22＝4S 1S 3成立．。
2011年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)§9.8圆锥曲线的综合问题--学生用
§9.8圆锥曲线的综合问题★知识梳理★1.直线与圆锥曲线C 的位置关系：将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y 或者消去x ，得到一个关于x （或y ）的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)交点个数：①当 a ＝0或a≠0，⊿＝0 时,曲线和直线只有一个交点；②当 a≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点；③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点。
(2) 弦长公式： 2.对称问题：曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿>0）③曲线上两点的中点在对称直线上。
3.求动点轨迹方程：①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法；②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法；③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法。
★重难点突破★重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法； 理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值 难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能①求弦长时用韦达定理设而不求;②弦中点问题用“点差法”设而不求.2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用问题1：已知点1F 为椭圆15922=+y x 的左焦点，点)1,1(A ，动点P 在椭圆上，则||||1PF PA +的最小值为 .★热点考点题型探析★考点1直线与圆锥曲线的位置关系题型1：交点个数问题[例1 ] 设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．[－21，21]B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]4)(1 ||1||212212122x x x x k x x k AB ⋅-+⋅+=-⋅+=【新题导练】1. （09摸底）已知将圆228x y +=上的每一点的纵坐标压缩到原来的12,对应的横坐标不变,得到曲线C ；设)1,2(M ，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0),直线l 与曲线C 交于A 、B 两个不同点.(1)求曲线C 的方程；(2)求m 的取值范围.题型2：与弦中点有关的问题[例2]（08韶关调研）已知点A 、B 的坐标分别是(1,0)-，(1,0).直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2. (Ⅰ)求动点M 的轨迹方程;(Ⅱ)若过点1(,1)2N 的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点, 且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程.2011年高考数学一轮复习精品学案（人教版A 版） 信心、专心、恒心§9.8圆锥曲线的综合问题 3 页 共 12 页 【新题导练】2.椭圆141622=+y x 的弦被点)1,2(P 所平分，求此弦所在直线的方程。
南通四校2011高考数学一轮复习：第15章圆锥曲线与方程第2节巩固
1．已知l 是双曲线x 29－y 216＝1的一条渐近线，F 为双曲线的右焦点，则F 点到直线l 的距离为________．解析：易知双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，右焦点F 的坐标为(5,0)，由对称性取其中一条渐近线4x ＋3y ＝0，因此由点到直线的距离公式得d ＝|4×5|42＋32＝4.答案：42．双曲线kx 2－y 2＝1的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则此双曲线的离心率是________．解析：由题意知k >0，因为双曲线的渐近线y ＝±kx 中有一条与直线2x ＋y ＋1＝0垂直．所以k ·(－2)＝－1，即k ＝14，因此双曲线中a＝2，c ＝5，所以离心率e ＝c a ＝52.答案：523．(2010年苏州调研)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△AOF 的面积为a 22，则两条渐近线的夹角为________．解析：据题意令⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x x ＝a 2c⇒y A ＝ab c ，故S △AOF ＝12×c ×ab c ＝a 22⇒a＝b ，故双曲线渐近线的方程为：y ＝±x ，因此其夹角为直角．答案：90°4．(2009年高考江西卷改编)设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0,2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为________．解析：|PO ||F 1O |＝tan60°，2b c＝3⇒4b 2＝3c 2⇒4(c 2－a 2)＝3c 2⇒ c 2＝4a 2⇒c 2a 2＝4⇒e ＝2. 答案：25．(2010年南通市质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝4ab ，则双曲线的离心率是________．解析：因为PF 1⊥PF 2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，|PF 1|·|PF 2|＝4ab ||PF 1|－|PF 2||＝2a .，即4c 2－4a 2＝8ab ，所以b ＝2a ，c 2＝5a 2，即e ＝ 5. 答案： 56．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点是F 2(2,0)，离心率e ＝2.(1)求双曲线C 的方程；(2)若以k (k ≠0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M 、N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求实数k 的取值范围．解：(1)由已知得c ＝2，e ＝2， ∴a ＝1，b ＝3，∴所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)．点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m①，x 2－y 23＝1②，将①式代入②式，整理得 (3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0.此方程有两个不等实根，于是3－k 2≠0， 且Δ＝(－2km )2＋4(3－k 2)(m 2＋3)>0. 整理得m 2＋3－k 2>0. ③由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标(x 0，y 0)满足 x 0＝x 1＋x 22＝km 3－k 2， y 0＝kx 0＋m ＝3m3－k2. 从而线段MN 的垂直平分线方程为y －3m 3－k 2＝－1k (x －km 3－k2)． 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为(4km 3－k 2，0)，(0，4m 3－k2)． 由题设可得12|4km 3－k 2|·|4m3－k2|＝4. 整理得m 2＝(3－k 2)22|k |，k ≠0， ④将④式代入③式得(3－k 2)22|k |＋3－k 2>0，整理得 (k 2－3)(k 2－2|k |－3)>0，k ≠0. 解得0<|k |<3或|k |>3.∴k 的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，3)∪(3，＋∞)．。
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巩固1．直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆左焦点F 1和一个顶点B ，则该椭圆的离心率为( )A.15B.25C.55D.255解析：选D.在l ：x －2y ＋2＝0上， 令y ＝0得F 1(－2,0)，令x ＝0得B (0,1)，即c ＝2，b ＝1.∴a ＝5，e ＝c a ＝255.2．已知椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 是椭圆上一点，N 是MF 1的中点，若|ON |＝1，则MF 1的长等于( )A ．2B ．4C ．6D ．5解析：选C.由椭圆方程知a ＝4， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝8，∴|MF 1|＝8－|MF 2|＝8－2|ON |＝8－2＝6.3．(2009年高考江西卷)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22B.33C.12D.13解析：选B.由题意知点P 的坐标为(－c ，b 2a )或(－c ，－b 2a )， ∵∠F 1PF 2＝60°， ∴2cb 2a＝3，即2ac ＝3b 2＝3(a 2－c 2)． ∴3e 2＋2e －3＝0，∴e ＝33或e ＝－3(舍去)．4.椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k ＝________.解析：方程可化为x 2＋y 2－5k＝1.∵焦点(0,2)在y 轴上，∴a 2＝－5k ，b 2＝1，又∵c 2＝a 2－b 2＝4，∴a 2＝5， 解得k ＝－1. 答案：－15．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：由椭圆的定义得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝10，两式相加得|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20， 即|AB |＋12＝20， ∴|AB |＝8. 答案：86．中心在原点，一个焦点为F 1(0，50)的椭圆截直线y ＝3x －2所得的弦的中点的横坐标为12，求椭圆的方程．解：设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由F 1(0，50)得a 2－b 2＝50.把直线方程y ＝3x －2代入椭圆方程整理得(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋b 2(4－a 2)＝0.设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12b 2a 2＋9b 2，又AB 的中点的横坐标为12，∴x 1＋x 22＝6b 2a 2＋9b 2＝12，∴a 2＝3b 2，与方程a 2－b 2＝50联立可解出a 2＝75，b 2＝25.故椭圆的方程为y 275＋x 225＝1.练习1．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 解析：选A.∵x 2＋y 2－2x －15＝0， ∴(x －1)2＋y 2＝16， ∴r ＝4＝2a ， ∴a ＝2，∵e ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝3.2．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线 解析：选A.∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， |PQ |＝|PF 2|，∴|PF 1|＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PQ |＝2a . 即|F 1Q |＝2a .∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ， 故动点Q 的轨迹是圆．3．设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF 1→·PF2→的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－2 解析：选D.易知当P 、Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2面积最大．这时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，P (0,1)， ∴PF1→＝(－3，－1)，PF 2→＝(3，－1)， ∴PF 1→·PF 2→＝－2.4．(2009年高考浙江卷)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP→＝2PB →，则椭圆的离心率是( ) A.32 B.22C.13D.12解析：选D.如图，由于BF ⊥x 轴，故x B ＝－c ，y B ＝b 2a ，设P (0，t )，∵AP →＝2PB →， ∴(－a ，t )＝2(－c ，b 2a －t )． ∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝12. 5．(2010年长沙模拟)已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△ABF 2为钝角三角形，则椭圆C 的离心率e 的取值范围为( )A ．(0，2－1)B ．(0，3－1)C ．(2－1,1)D ．(3－1,1)解析：选A.由△ABF 2为钝角三角形，得AF 1＞F 1F 2，∴b 2a ＞2c ，化简得c 2＋2ac －a 2＜0，∴e 2＋2e －1＜0，又0＜e ＜1，解得0＜e ＜2－1，选A.6.B 1、B 2是椭圆短轴的两端点，O 为椭圆中心，过左焦点F 1作长轴的垂线交椭圆于P ，若|F 1B 2|是|OF 1|和|B 1B 2|的等比中项，则|PF 1||OB 2|的值是( )A. 2B.22C.32D.23解析：选B.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，令x ＝－c 得y 2＝b 4a 2，∴|PF 1|＝b2a ，∴|PF 1||OB 2|＝b 2a b ＝b a ，又由|F 1B 2|2＝|OF 1|·|B 1B 2|得a 2＝2bc ， ∴a 4＝4b 2(a 2－b 2)．∴(a 2－2b 2)2＝0.∴a 2＝2b 2.∴b a ＝22.7．F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 29＝1的左、右两焦点，P 为椭圆的一个顶点，若△PF 1F 2是等边三角形，则a 2＝________.解析：由题意，因为△PF 1F 2是等边三角形， 故2c ＝a ，又b ＝3，所以a 2＝12. 答案：128．已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________．解析：设正方形边长为1，则AB ＝2c ＝1，∴c ＝12. ∵AC ＋BC ＝1＋2＝2a ，∴a ＝2＋12.∴e ＝ca ＝122＋12＝2－1.答案：2－19．(2009年高考北京卷)椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________． 解析：∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 2|＝6－|PF 1|＝2. 在△F 1PF 2中， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2| ＝16＋4－282×4×2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.答案：2 120°10．已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5、3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．解：法一：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3(2c )2＝52－32， a ＝4，c ＝2，b 2＝12.故所求方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.法二：设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．两个焦点分别为F 1，F 2.由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝8，∴a ＝4.在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，令x ＝±c 得|y |＝b 2a ，在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中，令y ＝±c 得|x |＝b 2a ，依题意有b 2a ＝3，∴b 2＝12.∴椭圆的方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.11．已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，F 1、F 2是椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2，试求：(1)椭圆方程；(2)△PF 1F 2的面积．解：(1)法一：令F 1(－c,0)，F 2(c,0)， ∵PF 1⊥PF 2，∴k PF 1·k PF 2＝－1，即43＋c ·43－c＝－1，解得c ＝5， ∴椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1.∵点P (3,4)在椭圆上， ∴9a 2＋16a 2－25＝1，解得a 2＝45或a 2＝5，又a >c ，∴a 2＝5舍去，故所求椭圆方程为x 245＋y 220＝1. 法二：∵PF 1⊥PF 2，∴△PF 1F 2为直角三角形，∴|OP |＝12|F 1F 2|＝c .又|OP |＝32＋42＝5，∴c ＝5，∴椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1(以下同法一)．(2)法一：P 点纵坐标的值即为F 1F 2边上的高，∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×4＝12×10×4＝20.法二：由椭圆定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝65① 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2② ①2－②得2|PF 1|·|PF 2|＝80，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝20.12.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)上的两点，m ＝(x 1b ，y 1a )，n ＝(x 2b ，y 2a )，且满足m ·n ＝0，椭圆的离心率e ＝32，短轴长为2，O 为坐标原点．(1)求椭圆的方程；(2)若存在斜率为k 的直线AB 过椭圆的焦点F (0，c )(c 为半焦距)，求直线AB 的斜率k 的值．解：(1)2b ＝2，b ＝1，e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32⇒a ＝2，c ＝ 3.故椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.(2)设AB 的方程为y ＝kx ＋3，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋3y 24＋x 2＝1⇒(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0.x 1＋x 2＝－23kk 2＋4，x 1x 2＝－1k 2＋4，由已知0＝m ·n ＝x 1x 2b 2＋y 1y 2a 2＝x 1x 2＋14(kx 1＋3)(kx 2＋3)＝(1＋k 24)x 1x 2＋3k 4(x 1＋x 2)＋34 ＝k 2＋44·(－1k 2＋4)＋3k 4·－23k k 2＋4＋34，解得k ＝±2.。