1-6-2 初等矩阵和初等变换求逆矩阵
矩阵求逆的方法
A
A2 埙
A
埙 埙 埙 埙 埙 埙 埙 埙 埙 埙 n 埙
-1
=
埙 -1 埙 埙 1 埙 埙 埙 埙 埙 埙 埙 埙 埙 埙A源自A2-1埙A
埙 埙 埙 埙 埙 埙 埙 埙 埙 埙 -1 埙 埙 n 埙
，
这样求矩阵的逆就转化为求子块的逆。 6、 使用技巧求逆 技巧的使用依赖于题目条件， 这需要具体问题具体分析。 在这里举 一个例子来说明。比如已知矩阵 A 的具体表达式， 求(A*)- 1。若直接来求 然后利用上述提到的第三种方法在求出 (A*)- 1， 这 的话， 需要先计算 A*， 样处理的话， 运算量较大。 若利用 A* 与 A- 1 之间的关系及逆矩阵的性质 计算就比较简单。 因为 A*= A A- 1 所以(A*)- 1=( A A- 1)- 1= 1 A。 从而这个 A 题目只需要求出 A 的行列式， 让矩阵 A 的每一个元素乘上 A 的行列式 的倒数便是所要的答案了。 总之,矩阵求逆的方法很多， 这需要大家多总结， 同时在遇到题目 时根据题目条件选择合适的方法， 这有利于知识的巩固与掌握。 参考文献 ［1］ 苏德矿， 裘哲勇.线性代数.高等教育出版社,2005,7. 望 ［J ］ .汽车技术,2007,设计 · 计算 · 研究(4):21- 24. ［2］ 董敬,庄志,常思勤编.汽车拖拉机发动机(第 3 版［ ) M］ .北京:机械 工业出版社,2000:51- 52. ［3］ 姚春德 . 甲醇在柴油机上应用的技术进展 ［J ］ . 中外能源 ,2009, (14):38- 44. ［4］ 王明扬,卢贵忠,毛明华等.柴油机混燃汽化醇类燃料的试验研究 ［J ］ .云南农业大学学报.2008,23(2):277- 280. ［5］ 陈强福 . 醇类燃料在车用发动机上的研究现状 ［J ］ . 甘肃科技纵 横,2006,35(2):19,43- 44. ［6］ 蒋德明， 黄佐华编. 内燃机替代燃料燃烧学 ［M］ . 西安:西安交通 大学出版社， 2007:3,6,10- 12. ［7］ 李冠峰 , 梁爱琴 , 李遂亮等 . 我国车用代用燃料研发与应用现状 ［J ］ .农机化研究,2007,5:197- 201. ［8］ 徐美同, 王立华. 二甲醚的生产工艺技术比较 ［J ］ . 甘肃石油和化 工,2008,1:32- 34. ［9］ 祁东辉,陈昊,刘津.柴油机燃用生物柴油的燃烧和排放特性研究 ［J ］ .汽车工程,2008,30(7):581- 584. ［10］ 谭天伟 , 王芳 , 邓立 . 生物柴 油 的 生 产 和 应 用 ［J ］ .现代化工, 2002,22(2):4- 6.
初等行变换求逆矩阵的原理
初等行变换求逆矩阵的原理一、引言矩阵是线性代数中非常重要的概念，而矩阵的逆也是一个重要的概念。
在实际问题中，我们经常需要求解矩阵方程，而求解矩阵方程往往需要使用到矩阵的逆。
初等行变换求逆矩阵就是一种有效的方法，本文将详细介绍初等行变换的原理以及如何利用初等行变换求逆矩阵。
二、初等行变换的定义初等行变换是指对矩阵进行一系列的行变换操作，可以将一个矩阵变换为其它特定形式的矩阵。
初等行变换主要包括以下三种操作：1.交换两行：将矩阵中的两行进行交换；2.乘以非零常数：将矩阵中的某一行的元素全部乘以一个非零常数；3.两行相加（或相减）：将矩阵中的某一行的元素与另一行的元素进行加法（或减法）运算。
三、初等行变换对矩阵的影响初等行变换对矩阵的影响主要体现在矩阵的行空间和列空间上。
1.交换两行对矩阵的行空间和列空间不产生影响，只是改变了矩阵的行的顺序；2.乘以非零常数会使矩阵的行空间和列空间缩放；3.两行相加（或相减）会使矩阵的行空间发生线性组合改变，但不会改变列空间。
四、初等行变换求逆矩阵的原理逆矩阵是指对于一个方阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
矩阵A存在逆矩阵的充分必要条件是A是可逆矩阵，也就是行列式不为零。
对于可逆矩阵A，我们可以通过初等行变换的方式来求解其逆矩阵。
求解可逆矩阵的逆矩阵可以遵循以下步骤：1.将原矩阵A和单位矩阵I进行横向合并，得到增广矩阵[A|I]；2.通过一系列的初等行变换将矩阵[A|I]变换为[I|B]，其中B为A的逆矩阵；3.得到矩阵B，即为矩阵A的逆矩阵。
五、初等行变换求逆矩阵的算法步骤利用初等行变换求解逆矩阵的算法步骤如下：1.初始化矩阵[A|I]，其中A为原矩阵，I为单位矩阵；2.对矩阵[A|I]进行初等行变换，直到得到[I|B]为止；3.得到矩阵B，即为矩阵A的逆矩阵。
具体的初等行变换操作可以根据具体的矩阵来决定，常用的初等行变换操作包括：1.交换两行；2.乘以非零常数；3.两行相加（或相减）。
矩阵求逆初等变换法
矩阵求逆初等变换法矩阵求逆是在线性代数中一个非常重要的概念，它可以用于解决大量的问题。
在实际的应用中，我们通常采用初等变换法来求逆矩阵，这样可以极大地简化计算并且提高效率。
本文主要介绍矩阵求逆初等变换法的基本概念和具体实现方法。
一、矩阵求逆的定义和概念矩阵求逆的本质是寻找一个矩阵A的逆矩阵B，使得A 与B的乘积等于单位矩阵I，即AB=BA=I，其中I为n阶单位矩阵。
矩阵A的逆矩阵可以表示为A^-1。
对于方阵，如果其行列式不为0，则可以求出其逆矩阵。
而对于非方阵，则不能直接求逆矩阵，需要通过一些方法先将其转化为方阵，再进行求逆操作。
二、矩阵求逆初等变换法初等变换是线性代数中的一种操作，它可以用来变换矩阵的形式，进而使得矩阵的某些性质更加明显。
初等变换包括以下三种：（1）交换矩阵的两行或两列（2）将矩阵的一行或一列乘以非零常数（3）将矩阵的一行或一列乘以非零常数加到另一行或另一列上去根据初等变换的性质，我们可以使用一组初等变换将任何一个方阵化为一个单位矩阵，进而得到其逆矩阵。
具体实现方法如下：（1）首先，将矩阵A增广为一个n*2n的矩阵（即在A的右边增加一个n* n的单位矩阵I）；（2）通过一系列初等变换将矩阵A化为一个上三角矩阵U；（3）继续通过一系列初等变换将U化为单位矩阵I；（4）此时矩阵A的右半部分就是其逆矩阵B。
下面，我们通过一个例子来具体说明这个过程：设矩阵为A=[1, 2, 3; 0, 1, 4; 5, 6, 0]（1）将A增广为一个2n* n的矩阵[A，I]=[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, 4, 0, 1, 0; 5, 6, 0, 0, 0, 1]（2）通过一系列初等变换将矩阵A化为一个上三角矩阵U[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, 4, 0, 1, 0; 5, 6, 0, 0, 0, 1]→R2-R1→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, -1, 1, -1, 1, 0; 5, 6, 0, 0, 0, 1]→R3-5R1→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, -1, 1, -1, 1, 0; 0, -4, -15, -5, 0, 1]→-R2→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, -1, 1, -1, 0; 0, -4, -15, -5, 0, 1]→R3+4R2→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, -1, 1, -1, 0; 0, 0, -11, 1, -4, 1]→-R3/11→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, -1, 1, -1, 0; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]→R2+R3→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, 0, 0, 3/11, -1/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]→-R1-2R2+3R3→[1, 0, 0, 1/11, 2/11, -1/11; 0, 1, 0, 0, 3/11, -1/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]得到上三角矩阵U为U=[1, 2, 3, 1/11, 2/11, -1/11; 0, 1, 0, 0,3/11, -1/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]（3）通过一系列初等变换将U化为单位矩阵I[1, 2, 3, 1/11, 2/11, -1/11; 0, 1, 0, 0, 3/11, -1/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]→R2-3R3→[1, 2, 3, 1/11, 2/11, -1/11; 0, 1, 0, 3/11, -1/11, 2/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]→R1-2R2-3R3→[1, 0, 0, 7/11, -2/11, -1/11; 0, 1, 0, 3/11, -1/11, 2/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]此时得到的右半部分就是矩阵A的逆矩阵B，即B=[7/11, -2/11, -1/11; 3/11, -1/11, 2/11; -1/11, 4/11, -1/11]三、总结矩阵求逆是线性代数中一个基本的操作，而初等变换法则可以很有效地简化求解的过程。
用初等变换求矩阵的逆矩阵原理
用初等变换求矩阵的逆矩阵原理用初等变换求矩阵的逆矩阵原理1. 引言在线性代数中，矩阵的逆矩阵是一个非常重要的概念。
一个矩阵的逆矩阵可以将其与原矩阵相乘得到单位矩阵。
然而，直接求一个矩阵的逆矩阵可能会非常繁琐。
初等变换提供了一种简单而有效的方法来求解矩阵的逆矩阵。
本文将详细介绍初等变换求矩阵的逆矩阵原理。
2. 初等变换初等变换是指通过一系列特定操作将矩阵变换为特定形式的操作。
一般来说，初等变换包括三种操作：•交换矩阵的两行或两列•用非零常数乘以矩阵的某一行或某一列•用一个数乘以矩阵的某一行或某一列，加到另一行或另一列上这些操作可以通过在矩阵的相应位置进行计算来实现。
3. 逆矩阵的定义一个矩阵A的逆矩阵记作A^-1，满足以下条件：A * A^-1 = A^-1 * A = I其中，I表示单位矩阵。
求解逆矩阵可以用初等变换的方法。
4. 求逆矩阵的步骤以下是使用初等变换求解逆矩阵的步骤：步骤1：矩阵扩展将待求逆的矩阵与单位矩阵进行左右拼接，得到一个扩展矩阵。
步骤2：进行初等变换通过一系列的初等变换操作，将扩展矩阵变换为形如[I|B]的形式。
其中，B为原矩阵的逆矩阵。
步骤3：提取逆矩阵从步骤2得到的扩展矩阵中提取出逆矩阵B，即为原矩阵的逆矩阵。
5. 举例说明让我们通过一个例子来说明初等变换求矩阵的逆矩阵的过程。
假设有一个2x2的矩阵A:A = [[1, 2], [3, 4]]我们可以将A与单位矩阵进行扩展：[A|I] = [[1, 2, 1, 0], [3, 4, 0, 1]]接下来，通过一系列的初等变换操作，将扩展矩阵变换为形式[I|B]:[[1, 2, 1, 0] => [1, 0, -2, 1] [3, 4, 0, 1] [0, 1, , -]] 从变换后的矩阵中提取出逆矩阵B：B = [[-2, 1], [, -]]因此，矩阵A的逆矩阵为B:A^-1 = [[-2, 1], [, -]]6. 总结初等变换提供了一种便捷的方法来求解矩阵的逆矩阵。
初等变换法求逆矩阵
1 0 0 1 3 2 r2 （ 2）
0 0
2 0
0 1
3 1
6 1
5 1
r3
（ 1）
r2
（
2） 1 A01
0 1
10 03
r3
（
1）
0
0
2 11
13
3 3
2
1
3532 .
2 11
52
说明：（1）将(A E)化为行最简形矩阵； （2）此方法中只能作初等行变换.
一、初等变换法求逆矩阵
例1
设
1 A 2
2 2
13,求 A1.
3 4 3
解
A
E
1 2
2 2
3 1
1 0
0 1
0 0
3 4 3 0 0 1
r2 2r1 1 2 3 1 0 0 r1 r2 0 2 5 2 1 0
r3
（
1）
0 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
23 ， 3
3 2 X 2 矩阵[重点 掌握]
初等行变换
(A E)
( E A1).
2.初等变换法的解矩阵方程
初等行变换
(A B)
(E
A 1 B )
初等变换法求逆矩阵
引入：公式法求逆矩阵的缺点 一、初等变换法求逆矩 二、方法推广
引入：公式法求逆矩阵的缺点
逆矩阵的计算公式 A1 1 A A
适用范围：二阶、三阶的方阵.
缺点：当矩阵的阶数比较高时，求伴随矩阵 计算量太大,不易实施.
矩阵运算 求逆
矩阵求逆是线性代数中的一个重要概念，通常指的是对于一个给定的方阵，找到一个同样大小的矩阵，使得两者相乘得到单位矩阵。
以下是几种常见的求逆矩阵的方法：
1. 高斯消元法：这是一种通过行变换将矩阵转换为行阶梯形矩阵，然后通过回代求解未知数的方法。
如果矩阵可逆，最终可以通过回代得到其逆矩阵。
2. LU分解法：这种方法将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
如果这样的分解存在，那么矩阵的逆可以表示为U的逆和L的逆的乘积。
3. SVD分解法：奇异值分解（SVD）是一种将矩阵分解为三个矩阵的乘积的方法。
如果矩阵是可逆的，那么它的逆可以通过对分解得到的矩阵进行相应的逆运算得到。
4. QR分解法：这种方法将矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积。
如果矩阵可逆，那么其逆可以表示为R的逆和Q的转置的乘积。
5. 伴随矩阵法：这是通过计算矩阵的伴随矩阵和行列式的倒数来求逆的方法。
适用于小矩阵或者行列式容易计算的情况。
6. 初等变换法：通过对矩阵进行一系列的初等行变换或列变换，将其转换为单位矩阵，同时对单位矩阵进行相同的变换，最终得到的就是原矩阵的逆。
矩阵求逆的方法
前言矩阵理论在《线性代数》课程中有着重要的地位,矩阵和数相仿可以运算,特别是乘法和数一样有逆运算,其定义为:对于 n 阶方阵 A,如果存在 n 个阶段 B 使得 AB=BA=E,则 n 个阶方阵 A 为可逆的,B 为 A 的逆矩阵。
掌握好求逆矩阵的方法对线性方程组、二次型、线性变换等问题的解决有很大帮助。
关于矩阵求逆问题,不同的《线性代数》教材介绍了不同的方法。
下面对求逆矩阵方法进行全面论述,并做一步探讨。
1矩阵求逆常见的几种方法 1.1 用伴随矩阵法求逆矩定理1.1.1：n 阶矩阵)(ij a A =可逆的充要条件0≠A ，而且当)2(≥n 阶矩阵A 有逆矩阵，*-=A AA 11，其中*A 伴随矩阵。
例1 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=412112013A 是否可逆？若可逆，求1-A 解：A A ∴≠=05可逆又511=A ，421=A ，3131=A ，1012=A ，1222=A ，332-=A ，013=A ，123=A ，133=A∴*-=A AA 11 例 2 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，*A 是A 的伴随矩阵，求()1-*A 解：1-*=A A A ，又()kB kB 11--=， 所以()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡====---*5430220011011011111A A A AA A且有规律可循。
对于三阶以上方阵用该方法逆矩阵,不仅计算量大且易出错,一般不用此种方法。
对求出逆矩阵正确与否,一般用E AA A A ==--11来检验是否正确。
1.2 用初等变换法求逆矩阵定理 1.2.1 如果n 阶方阵A 可逆，则存在有限个初等矩阵，l P P P 21,使得l P P P A 21=。
如果A 可逆，则1-A 也可逆，由上述定理， 存在初等矩阵l Q Q Q ,,,21 使得l Q Q Q A 211=-那么A A AA E 11--== 即A Q Q Q E l 21= E Q Q Q A l 211=-于是我们得到一个求逆矩阵的方法如下：如果n 阶方阵A 可逆，作一个n n 2⨯的矩阵E A ，然后对此矩阵施以初等行换，使A 化为单位矩阵E 同时化为1-A ，即：E A 1-−−−→−A E 初等行变换例1 用初等行变换求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=521310132A 的逆矩阵解：=E A →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100132310521100010001521310132 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--201010100910310521211010100600310521⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→316161100123210103461361001316161100010310100521 故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=-3161611232134613611A 同理，如果n 阶矩阵A 可逆，作一个n n ⨯2的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡E A ，然后此矩阵施以初等变换，使矩阵A 化为单位阵E ，则同时E 化为1-A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1A E E A 初等列变换。
逆矩阵的计算
逆矩阵的计算在线性代数中，逆矩阵是一个非常重要且有用的概念。
对于一个给定的方阵A，如果其存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，那么矩阵B就被称为矩阵A的逆矩阵。
逆矩阵的计算可以通过多种方法实现，下面将介绍两种常见的计算逆矩阵的方法。
方法一：伴随矩阵法伴随矩阵法是一种用于计算逆矩阵的方法。
具体步骤如下：假设A是一个n阶矩阵。
1. 首先计算A的伴随矩阵Adj(A)。
- 伴随矩阵Adj(A)是由矩阵A的代数余子式按一定规律排列得到的矩阵。
其中，第i行第j列的元素是(-1)^(i+j)乘以矩阵A的代数余子式M(ij)。
- 矩阵A的代数余子式M(ij)是矩阵A的第i行第j列元素的代数余子式，即去掉第i行和第j列后剩余元素的行列式值。
2. 计算矩阵A的行列式|A|。
- 矩阵A的行列式|A|可以通过对矩阵A的某一行（或某一列）进行按行或按列展开得到。
3. 判断矩阵A是否可逆。
- 如果矩阵A的行列式|A|不等于0，则矩阵A可逆。
- 如果矩阵A可逆，则继续进行下一步；否则，矩阵A不存在逆矩阵。
4. 计算矩阵A的逆矩阵A^(-1)。
- 逆矩阵A^(-1)等于伴随矩阵Adj(A)除以矩阵A的行列式|A|。
方法二：初等变换法初等变换法是另一种计算逆矩阵的常见方法。
具体步骤如下：假设A是一个n阶矩阵。
1. 将矩阵A与单位矩阵I拼接在一起，形成一个(2n)阶的矩阵[A|I]。
2. 利用初等变换将矩阵[A|I]化简为[I|B]的形式。
- 初等变换包括：- 互换两行或两列；- 用非零常数乘以某一行或某一列；- 用非零常数乘以某一行或某一列，并加到另一行或另一列上。
3. 如果矩阵A的左半部分变成了单位矩阵I，则矩阵B为矩阵A的逆矩阵。
否则，矩阵A不存在逆矩阵。
需要注意的是，上述两种方法并不是适用于所有情况的。
在实际计算中，我们需要综合考虑矩阵的性质和规模，选择最适合的方法来计算逆矩阵。
逆矩阵的计算在线性代数和相关领域中具有广泛的应用。
初等矩阵与逆矩阵的求法
阵。于是存在优先多个初等矩阵P1 Pr，Q1 Qt
使得 P1 Pr AQ1 Qt =E,从而
A=（ P1
Pr）-1E（Q1
Q
）-1
t
=Pr-1
P1-1 • Qt-1
Q1-1 .
推论1方阵A可逆旳充分必要条件是存在有 限个初等方阵 P1, P2 ,, Pl ,使A P1P2 Pl .
19
推论2 方阵A可逆旳充分必要条件是A可经过有限屡 次初等行变换化为单位阵E.
等 矩阵 P(i(k))
1
P(i(k))
1 k 1
第 i 行
1
6
(3)以数 k 0 乘某行(列)加到另一行(列)上去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri krj )
或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )
得到初等矩阵 P(i, j(k))
20
5、利用初等行变换求逆阵旳措施：
当 A 0时，由 A P1P2 Pl，有
Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11 P11 A , E Pl1Pl11 P11 A , Pl1Pl11 P11E E , A1
即对 n 2n 矩阵 ( A , E) 施行初等行变换 ,
P(i, j)1 P(i, j)
P(i(k ))1 P(i( 1 )) k
P(i, j(k))1 P(i, j(k))
9
初等矩阵旳应用
定理1 设 A 是一种 m n 矩阵 , 对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 旳 左边乘以相应旳 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换 , 相当于在 A 旳 右边乘以相应旳 n 阶初等矩阵.
初等行变换与初等列变换并用求逆矩阵
上 面两 式说 明 ， 当用一 系列 的初 等行 变换 与一 系列初 等 列变换 把矩 阵 Ａ化 为单 位矩 阵 Ｅ时 ， 这一 系
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ６— ０ ３— ２ ３ 作者简 介： 张喜善（ １ ９ ６ １ 一） ， 男（ 汉族 ） ， 山西临猗人 ， 山西 太 原 师 范 学 院数 学 系 副 教 授 ， 研 究方 向 ： 函 数 逼 近 论
根据上面的证明过程可以得出， 用这种方法求逆矩阵的步骤如下 ， ：
（ １ ） 做 一个 ２ ｎ×２ ａ阶矩 阵
［ ］
（ ２ ） 对该 矩阵施 以一 系列初 等行 变换 与一 系列 初 等列变换 ， 将 子块 Ａ化成单 位矩 阵 Ｅ， 这时 ２ ａ× ２ ｎ
阶矩 阵化成
２ 举例 ： 求 下 列矩 阵 的逆 矩 阵
，
ｄ
，
来， 就变成形如 ｌ … Ｅ ０ ｌ 的矩阵， 这时就可以同时施以初等行变换与初等列变换， 为求逆矩阵的又一种
方法． 这种 方法 既可 以施 以初等 行变 换 又 可 以施 以初 等 列 变换 ， 对 于对 称 矩 阵 和 反对 称 矩 阵求 逆 矩 阵 时， 计 算简 单 ， 能 较快 地求 出逆矩 阵 ．
关键 词 ： 初等矩阵 ； 初 等变 换 ； 逆 矩 阵
中图分类号 ： Ｏ １ ５ １ ． ２ １ 文献 标 识 码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ５ ． ８ ０ ３ ６ （ ２ ０ １ ６ ） ０ ３ － ０ ０ ３ ７ ０ － ４
引
言
求 一个 矩 阵 Ａ的逆矩 阵 Ａ ～， 有许 多计算 方 法． 其 中， 初 等 变换 法 是 最 为一 般 的方 法 ． 但是， 现在 的 教材只介绍初等行 （ 列） 变换法 ， 即对形如 【 Ａ 】的矩 阵施 以 一 系 列 的初 等 行 变 换 ， ｌ 是 之 化 成 形 如 【 ＥＩ Ａ 】． 可是 ， 在计 算过 程经 常遇 见这 情况 ， 如果 只施 以行 变换 时计算 比较繁琐 ， 但 如果能 同 时施 以初 等 行 变换与 初等 列变 换计算 就很 简单 ． 这 就提 出一个 问题 ， 求 逆矩 阵时 能否 同时施 以初 等行变 换与初 等 列 变换 来求 逆矩 阵 呢？ 回答 是 肯定 的． 对 形如 ［ Ａ Ｉ Ｅ 】的矩 阵 只 能 施 以 一 系列 初 等行 变 换 ， 使 之 化 为形 如 ［ Ｅ ｌ Ａ 一 ・ 】的矩 阵 ； 而对 于 形 如 ［ Ａ Ｉ Ｅｒ 的矩阵 只能施 以一 系列 初等列 变换 ， 使 之化 为形 如 ［ Ｅ Ｉ Ａ — ｔ 】 的矩阵 ． 如果把 这两 种形 式统一 起
求矩阵的逆矩阵的方法
求矩阵的逆矩阵的方法矩阵的逆矩阵是矩阵理论中非常重要的概念，它在线性代数、计算机图形学、物理学等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常会遇到需要求解矩阵的逆矩阵的情况，因此掌握求解逆矩阵的方法对于我们理解和应用矩阵具有重要意义。
首先，让我们来了解一下什么是矩阵的逆矩阵。
对于一个n阶方阵A，如果存在另一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（其中I为单位矩阵），那么B就是A的逆矩阵，记作A^-1。
需要注意的是，并非所有的矩阵都有逆矩阵，只有可逆矩阵才存在逆矩阵。
接下来，我们将介绍几种求解矩阵逆的方法。
一、初等变换法。
通过初等变换将原矩阵转化为单位矩阵，此时原矩阵经过一系列相同的初等变换得到单位矩阵，而这些初等变换也分别作用于单位矩阵上，得到的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。
二、伴随矩阵法。
对于n阶矩阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，则A的逆矩阵为1/det(A) adj(A)，其中det(A)为A的行列式。
通过求解伴随矩阵和行列式，可以得到原矩阵的逆矩阵。
三、矩阵的初等行变换法。
通过将原矩阵和单位矩阵进行横向组合，得到一个增广矩阵，然后对增广矩阵进行初等行变换，直到左侧的矩阵变为单位矩阵，此时右侧的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。
四、矩阵的分块法。
对于特定结构的矩阵，可以通过矩阵的分块运算来求解逆矩阵，这种方法在一些特殊情况下比较高效。
需要指出的是，对于大型矩阵来说，直接求解逆矩阵的方法可能会比较耗时，因此在实际应用中，我们通常会利用矩阵的性质和特殊结构，采用更加高效的方法来求解逆矩阵。
总之，求解矩阵的逆矩阵是矩阵理论中的重要问题，我们可以根据具体的矩阵结构和应用场景选择合适的方法来求解逆矩阵。
通过掌握这些方法，我们能够更好地理解和应用矩阵，在实际问题中取得更好的效果。
逆矩阵的初等变换法
逆矩阵的初等变换法矩阵是线性代数中的重要概念之一，而逆矩阵则是矩阵领域中的一个重要概念。
逆矩阵在解线性方程组、求解矩阵的行列式和矩阵的秩等问题中都有广泛的应用。
本文将介绍逆矩阵的初等变换法，帮助读者更加深入地理解逆矩阵的求解方法。
一、初等变换法的基本概念初等变换法是一种通过对矩阵进行一系列的基本行变换或列变换来求解逆矩阵的方法。
这些基本行变换或列变换包括：1. 交换矩阵的两行或两列；2. 用非零常数乘以矩阵的某一行或某一列；3. 将矩阵的某一行或某一列的倍数加到另一行或另一列。
通过对矩阵进行这些基本变换，我们可以得到一个等价的矩阵，而等价矩阵的逆矩阵也与原矩阵的逆矩阵等价。
二、逆矩阵的求解步骤下面我们将通过一个具体的例子来介绍逆矩阵的求解步骤，以便更好地理解初等变换法的应用。
假设我们有一个3x3的矩阵A，我们的目标是求解矩阵A的逆矩阵。
步骤1：将矩阵A与单位矩阵I进行横向拼接，得到一个增广矩阵[A|I]。
步骤2：对增广矩阵[A|I]进行初等变换，通过一系列的行变换将矩阵A转化为单位矩阵，即[A|I] -> [I|B]。
步骤3：此时，增广矩阵的右侧部分B就是矩阵A的逆矩阵。
三、具体例子假设我们有一个3x3的矩阵A：A = [1, 2, 3;0, 1, 4;5, 6, 0]我们的目标是求解矩阵A的逆矩阵。
步骤1：将矩阵A与单位矩阵I进行横向拼接，得到增广矩阵[A|I]：[A|I] = [1, 2, 3, 1, 0, 0;0, 1, 4, 0, 1, 0;5, 6, 0, 0, 0, 1]步骤2：对增广矩阵[A|I]进行初等变换，通过一系列的行变换将矩阵A转化为单位矩阵，即[A|I] -> [I|B]。
将第一行乘以-5，然后加到第三行上，得到：[-5, -8, -15, -5, 0, 0;0, 1, 4, 0, 1, 0;0, -4, 15, -5, 0, 1]然后，将第二行加到第三行上，得到：[-5, -8, -15, -5, 0, 0;0, 1, 4, 0, 1, 0;0, 0, 19, -5, 1, 1]接下来，将第三行除以19，得到：[-5, -8, -15, -5, 0, 0;0, 1, 4, 0, 1, 0;0, 0, 1, -5/19, 1/19, 1/19]然后，将第三行乘以15，加到第一行上，将第三行乘以4，加到第二行上，得到：[-5, -8, 0, -5/19, 15/19, 15/19;0, 1, 0, -4/19, 4/19, 4/19;0, 0, 1, -5/19, 1/19, 1/19]将第一行乘以-8，加到第二行上，得到：[-5, 0, 0, 3/19, -2/19, -2/19;0, 1, 0, -4/19, 4/19, 4/19;0, 0, 1, -5/19, 1/19, 1/19]步骤3：此时，增广矩阵的右侧部分就是矩阵A的逆矩阵，即B：B = [3/19, -2/19, -2/19;-4/19, 4/19, 4/19;-5/19, 1/19, 1/19]四、总结通过逆矩阵的初等变换法，我们可以求解矩阵的逆矩阵。
初等行列变换求逆矩阵 -回复
初等行列变换求逆矩阵-回复初等行列变换是矩阵运算中常用的一种方法，用于简化矩阵的求逆过程。
在本文中，我们将使用初等行列变换的方法来求一个矩阵的逆。
首先，我们需要明确什么是矩阵的逆。
一个n阶矩阵A，如果存在一个n 阶矩阵B，使得AB=BA=In（其中In是n阶单位矩阵），那么矩阵B就是矩阵A的逆矩阵，记作A的逆矩阵为A^(-1)。
现在，我们假设有一个n阶方阵A，我们的目标是求出它的逆矩阵A^(-1)。
我们可以通过一系列的初等行列变换来实现这个目标。
初等行列变换分为三类：对调两行（列），用一个非零数乘某一行（列），与某一行（列）相加（减）若干倍的某一行（列）。
首先，我们将A矩阵和一个n阶单位矩阵I（I的每个元素i,j等于1当i=j 时，否则等于0）进行横向合并，形成一个2n阶的矩阵[A I]。
以下是求一个3阶方阵的逆矩阵的一个例子，我们将从头开始一步一步解释求逆的过程。
\[A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{bmatrix}\]我们首先将A矩阵和一个3阶单位矩阵I进行横向合并，形成一个6阶的矩阵[A I]。
\[ \begin{bmatrix} a & b & c & 1 & 0 & 0 \\ d & e & f & 0 & 1 & 0 \\ g & h & i & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]接下来，我们进行初等行变换。
首先，我们使用第一行的第一个元素a，将第二行的第一个元素d和第三行的第一个元素g变为0。
具体操作是使用第一行乘以d/a，再用结果乘以第二行然后减去第一行。
\[\begin{bmatrix} a & b & c & 1 & 0 & 0 \\ 0 & e-\frac{db}{a} &f-\frac{cf}{a} & -\frac{cd}{a} & 1 & 0 \\ 0 & h-\frac{gb}{a} &i-\frac{hc}{a} & -\frac{gc}{a} & 0 & 1 \end{bmatrix}\]然后，我们使用第二行的第二个元素（e-\frac{db}{a}），将第一行的第二个元素b变为0。
通过初等变换求逆矩阵的方法思政
通过初等变换求逆矩阵的方法思政一、概述在矩阵理论中，矩阵的逆是一个重要的概念。
矩阵的逆是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。
求解矩阵的逆矩阵是线性代数中的常见问题，通过初等变换求逆矩阵是一种常见且有效的方法。
本文将探讨通过初等变换求逆矩阵的方法思政。
二、矩阵的逆定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E（E 为n阶单位矩阵），则称B是A的逆矩阵。
矩阵的逆矩阵是一个重要的概念，它在解线性方程组、求解矩阵方程等问题中都有着重要的应用。
三、初等变换初等变换是矩阵运算中的常用方法，主要包括对换两行或两列、某一行或列乘以一个非零常数、某一行或列加上另一行或列的若干倍。
通过这些简单的操作，可以改变矩阵的行列式、行空间等性质。
四、使用初等变换求逆矩阵的方法思政1. 确定原始矩阵我们要确定需要求逆的原始矩阵A。
假设原始矩阵A为一个n阶方阵。
2. 构造增广矩阵将原始矩阵A与n阶单位矩阵I做成一个2n阶的增广矩阵[A|I]。
3. 初等变换通过初等变换，将增广矩阵[A|I]变为[I|B]，其中B即为矩阵A的逆矩阵。
4. 检验逆矩阵我们需要通过简单的计算和检验，确定矩阵B确实是矩阵A的逆矩阵，即满足BB=I。
五、示例分析接下来，我们通过一个具体的示例来演示通过初等变换求逆矩阵的方法思政。
假设我们有一个3阶方阵A如下：A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 10]]我们首先生成3阶单位矩阵I：I = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]然后构造增广矩阵[A|I]：[A|I] = [[1, 2, 3, 1, 0, 0], [4, 5, 6, 0, 1, 0], [7, 8, 10, 0, 0, 1]]接下来，我们通过初等变换将增广矩阵[A|I]变为[I|B]。
经过一系列的初等变换操作，最终得到增广矩阵[I|B]：[I|B] = [[1, 0, 0, -1, 1, 0], [0, 1, 0, 2, -2, 1], [0, 0, 1, -1, 1, -1]]可以看到，矩阵B即为原始矩阵A的逆矩阵。
利用初等变换求逆矩阵的例(“矩阵”文档)共4张
1 1 1 1 1 此所例以说| A明|,=在0用,故初A等不变可换逆求,即逆A阵–的1不过存程在中. ,即可看出
逆阵是否存在,而不必先去判断.
0 3 3 2 1 设逆阵是否存在用,而初不等必变先换去法判求断A.–1
0 3 利用初等变换求逆矩阵的例
利用初等变换求逆矩阵的例
3
2 2
0 3 3 2 4
1
1
2
2
XA1B
5
5 2
7
2
1 1 1
1 2
1
1
2
1
4
1
2 5 4
1 1
2
1
2
0
2 9 4
5
8
6
r2 r3
0
0
1 3
1 1 4 2
0 1
1 0
r3 3r2
0 0
1 0
1 1 1 5
0 1
1 3
1 2 0 14 3 9 1 0 0 2 1 1
r13r3
0 r2r3 0 (1)r3
1 0
0 6 15
1
4
r12r2
0
1
0 6
1
4
1 3 0 0 1 5 1 3
2 1 1
A1
6
1
4
1 0 0 0
0
1
0
0 a
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
1 a 0
0 1 a
0 0
所以
1
A 1
a
0
0
1 a 0
0 1 a
0
0
1
例4.
解：
1 设
用初等变换法求A–1
利用初等变换求逆矩阵
利用初等变换求逆矩阵
设要求出nn阶矩阵AA的逆矩阵BB。
对于一个矩阵的初等行变换，有三种：
1.交换两行。
2.将某一行的所有元素乘以一个非零实数kk。
3.将某一行jj，加上某一行i(i≠ji(i≠j)乘以一个非零实数kk，即Aj=Aj+Ai∗kAj=Aj+Ai∗k。
可以发现的是，每种变换其实都可以等价于乘以某个矩阵，事实上称其为初等矩阵。
那么，当我们不停地对AA进行初等变换，并且用另外一个矩阵CC不停地乘上这种变换对应的初等矩阵，那么当AA变为I(单位矩阵)I(单位矩阵)时，CC就是AA的逆矩阵了。
怎么样将AA变为II？我们类似于高斯消元一样，一行一行一列一列地扫过去。
由于最终要保证Ai,i=1Ai,i=1，其他为00。
设当前扫到第ii行，那么对于Ai,1∗i∗1=0Ai,1∗i∗1=0。
但是对于j<i，Aj,ij<i，Aj,i可能不等于0。
但我们初等变换中可以先对第ii行除以Ai,iAi,i，即保证Ai,i=1Ai,i=1，接着用ii整行去消j<ij<i。
那么Aj,iAj,i就等于0了。
那么我们这样一行一行地消下去即可。
我们对AA中做的所有操作，顺便对CC同时做就好了。
反正都是乘上同一个矩阵。
一开始没有操作时CC就是II。
最后我们用O(N3)O(N3)的复杂度求出了逆矩阵。
总结求矩阵的逆矩阵方法
华北水利水电学院总结求矩阵的逆矩阵方法课程名称：线性代数专业班级：成员组成：联系方式：浅析求矩阵的逆矩阵方法摘要：矩阵理论在《线性代数》课程中有着重要的地位,矩阵和数相仿可以运算,特别是乘法和数一样有逆运算,其定义为:对于 n 阶方阵 A,如果存在 n 个阶段 B 使得 AB=BA=E,则 n 个阶方阵 A 为可逆的,B 为 A 的逆矩阵。
下面对求逆矩阵方法进行全面论述,并做一步探讨。
关键字 矩阵 逆矩阵 可逆1矩阵求逆常见的几种方法 1.1 用伴随矩阵法求逆矩定理1.1.1：n 阶矩阵)(ij a A =可逆的充要条件0≠A ，而且当)2(≥n 阶矩阵A 有逆矩阵，*-=A AA11，其中*A 伴随矩阵。
例1 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=412112013A 是否可逆？若可逆，求1-A 解：A A ∴≠=05可逆又511=A ，421=A ，3131=A ，1012=A ，1222=A ，332-=A ，013=A ，123=A ，133=A∴*-=A AA11例 2 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，*A 是A 的伴随矩阵，求()1-*A解：1-*=A A A ，又()kB kB 11--=，所以()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡====---*5430220011011011111A A A AA A且有规律可循。
对于三阶以上方阵用该方法逆矩阵,不仅计算量大且易出错,一般不用此种方法。
对求出逆矩阵正确与否,一般用E AA A A ==--11来检验是否正确。
1.2 用初等变换法求逆矩阵定理 1.2.1 如果n 阶方阵A 可逆，则存在有限个初等矩阵，l P P P 21,使得l P P P A 21=。
如果A 可逆，则1-A 也可逆，由上述定理， 存在初等矩阵l Q Q Q ,,,21 使得l Q Q Q A 211=-那么A A AAE 11--==即A Q Q Q E l 21= E Q Q Q Al 211=-于是我们得到一个求逆矩阵的方法如下：如果n 阶方阵A 可逆，作一个n n 2⨯的矩阵E A ，然后对此矩阵施以初等行换，使A 化为单位矩阵E 同时化为1-A ，即：E A 1-−−−→−A E 初等行变换例1 用初等行变换求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=521310132A 的逆矩阵解：=E A →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100132310521100010001521310132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--201010100910310521211010100600310521⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→316161100123210103461361001316161100010310100521 故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=-3161611232134613611A 同理，如果n 阶矩阵A 可逆，作一个n n ⨯2的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡E A ，然后此矩阵施以初等变换，使矩阵A 化为单位阵E ，则同时E 化为1-A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1A E E A 初等列变换。
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１－６－２ 初等矩阵和初等变换法求逆矩阵
一、初等矩阵的概念及性质
定义1.4 初等矩阵的定义［Ｐ６１ ２行至Ｐ６２ １８行］ 改书
Ｅ
−−−−→−作一次初等变换初等矩阵，恰有以下三类：
⎥
⎥⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡11111111 −−−→
−↔↔j
i j
i c
c r r 或⎥
⎥⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡1101111011 ＝Ｐ（ｉ，ｊ） ⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11111 −→
−≠0
k kc kr i i ⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111 k ＝Ｐ（ｉ（ｋ）
） ⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111 −−→
−++i
j j
i c kc r kr ⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111 k ＝Ｐ
（ｉ（ｋ），ｊ） 性质１：初等矩阵的行列式的值都不等于零。
),(j i P ＝－１；))((k i P ＝ｋ≠０；)),((j k i P ＝１。
性质２：初等矩阵是可逆矩阵，其逆是同类型的初等矩阵。
1
),(-j i P ＝),(j i P ；))1
(())
((1
k
i P k i P =-；1)),((-j k i P ＝)),((j k i P -。
性质３——定理1.7［Ｐ６３ 牢记］
用初等矩阵左乘Ａ，相当于对Ａ作一个初等行变换；
验证定理1.7：Ｐ６２ －４行至Ｐ６３ １６行。
二、可逆矩阵与初等矩阵的关系 定理1.8 任一可逆矩阵
−−−−→−行的初等变换Ｅ。
证明：Ｐ６４：２至１９行。
［相当于用高斯—若当消元法解有唯一解的线性方程组］
如：［复习］Ｐ７７ ３（１）求解线性方程组
),(b A A =＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--311222101321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---555022101321→⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--550022103101→
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--110022103101→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110000102001，⎪⎩⎪⎨⎧==-=102
321x x x 。
只看系数矩阵部份，即用初等行变换，将可逆矩阵化为单位矩阵Ｅ。
定理1.9 方阵Ａ可逆⇔Ａ可以表示成若干个初等矩阵的乘积。
证明：必要性：Ｐ６４ －８行至－１行；
设方阵Ａ可逆，据定理1.8和定理1.7知：存在初等矩阵Ｐ１，Ｐ２，……，Ｐｍ，
使Ｐｍ…Ｐ２Ｐ１Ａ＝Ｅ。
故Ａ＝（Ｐｍ…Ｐ２Ｐ１）
－１
＝1
1211---m P P P 。
据性质２，Ｐ１－１
，Ｐ２－１
，……，Ｐｍ－１
是初等矩阵。
充分性：Ｐ６５ １－５行。
如果存在初等矩阵Ｑ１，Ｑ２，……，Ｑｍ，使Ａ＝Ｑ１Ｑ２…Ｑｍ。
因为初等矩阵
是可逆矩阵，且可逆矩阵的乘积是可逆矩阵，故Ａ是可逆矩阵。
三、用初等变换求逆矩阵的原理及方法
原理：设Ａ是ｎ阶可逆矩阵，据定理1.8，存在初等矩阵Ｐ１，Ｐ２，…，Ｐｍ，使 Ｐｍ…Ｐ２Ｐ１Ａ＝Ｅ (1.34)
用1
-A 右乘上式，得
Ｐｍ…Ｐ２Ｐ１Ｅ＝1
-A (1.35)
方法［Ｐ６５ ９至１１行］：比较(1.34)，(1.35) ，得 （Ａ，Ｅ）
−−−−→−行的初等变换
（Ｅ，1
-A ），
据Ｐ６６思考题６，把判断Ａ可逆与求逆同时进行。
例1.27［Ｐ６５］求矩阵Ａ＝⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--121011322
的逆矩阵。
解１：Ｐ６５－６６ 相当于用高斯消元法做，不学。
解２：相当于用高斯—若当消元法做，是一般方法。
（Ａ，Ｅ）＝⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100121010011001322−−→
−↔2
1r r ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--100121001322010011
→
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--110110021340010011−−→
−↔3
2r r ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--021340110110010011 → ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---461100110110120101 →⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----461100351010341001＝（Ｅ，1
-A ） 1-A ＝⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----461351341。
四、作业：Ｐ７４： ２２（３）、（４）
Ｐ７５－７６： ２４（１）、（２）、（３）； ２８； ２９； ３２。
Ｐ７８： ３（６）。
五、思考题：［Ｐ６６］：１，２，３，４（讲，书上），５（讲），６。
５、证明：方阵Ａ可逆的充要条件是Ａ行等价于单位矩阵Ｅ。
证明：必要性：若Ａ可逆，据定理1.8，Ａ可经过行的初等变换化为Ｅ，即Ａ行等价于
单位矩阵Ｅ。
充分性：若Ａ行等价于单位矩阵Ｅ。
即Ａ可经过若干次行的初等变换化为Ｅ，
即存在初等矩阵Ｐ１，Ｐ２，…，Ｐｍ，使（Ｐｍ…Ｐ２Ｐ１）Ａ＝Ｅ，故Ａ可逆。