2019届金山区高三一模数学Word版(附解析)
2019届高三第一次模拟考试数学(文)试卷.docx
第I卷(选择题满分60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)r、Z ［、X1 •已知集合A = {x|log2(x+l)<l},B = k - >1［,则A B=( )(3丿-XA. (—1,0)B. (―oo,0)C.(0,1)D. (l,4~oo)2.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,-boo)单调递减的函数是()A. y = -x3B. y = ］n xC. y = cosxD. y = 2*cin x3•函数的图象可能是()4.设d〉0且Q工1,贝ij “函数/(兀)=ci x在R上是减函数”是“函数g(兀)=(2 —Q*在尺上递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4 2 |5.已知。
=2弓,方=45,(? = 253 ,贝9( )A. c<a<bB. a<b<cC. b<a<cD. b<c<a6.若实数d,方满足2" =3,3" =2,则函数f(x) = a x^x-b的零点所在的区间是()A. (―2,—1)B. (-l,0)C.(0,1)D. (1,2)7.已知命题p：u3x0e/?,使得xj + 2關+ l<0成立”为真命题，则实数。
满足( )A. ［-L1)B. (—00,—l)k_J(l,+oo)C. (1,+ 8)D. (―oo,—1)8.定义在/?上的奇函数/(尢)满足/(尢-4) = -/(兀)，且在区间［0,2］上递增，贝9()A. /(-25)</(ll)</(80)B. /(80)</(11)</(-25)C. /(-25) </(80) </(I 1)D. /(I 1) < /(80) < /(-25)9.已知函数y = /(x+l)是定义域为/?的偶函数，M/(x)在［l, + oo)上单调递减，则不等式10•若曲线Q:y = a^（x>0）与曲线C 2:y = e x 存在公共点，则d 的取值范围是（）11. 函 数/(x) = 2m^ - 3nx" +10(m > 0, M > 0)有 两 个 不同的 零点，则5(lgm)2 +9(lgn)2 的最小值是()12. 函数/（兀）是定义在（0,+oo ）上的可导函数，导函数记为/（X ）,当X 〉0且兀H1时，2/E + U 〉0,若曲线y = f （x ）在x = l 处的切线斜率为一纟，则/（1）=（） x-\52 3 4 A. —B. —C. —D. 1 5 5 5 第II 卷（非选择题满分90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 任意幕函数都经过定点则函数/（x ） = n4-\og a （x-m ）（6? >^1）经过定点 _____ . 14. __________________________________________________ 函数/（x ） = \nx-ax 在［l, + oo ）上递减，则d 的取值范围是 ___________________________ .w' — x — 2 兀 > 0 . '■的零点个数为. x~ +2x,x<0丫2 _1_ y 1 16. 若函数/（兀）满足：办w 7?, /（兀）+ /（-%） = 2,则函数g （兀）=—-—— + f （兀）的最大 x +\值与最小值的和为.三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17. （本小题满分10分）已知命题〃：方程x 2+ax + — = 0有两个不相等的负实数根；命题q ：关于。
上海市金山区2019届高三数学上学期(一模)期末质量监控试题含答案
金山区2019届高三上学期期末质量监控数学试卷一. 填空题。
1.已知集合，，则___【答案】对集合A和集合B取交集即可得到答案.【详解】，,则,故答案为：.本题考查集合的交集运算.2.抛物线的准线方程是______【答案】试题：开口向右，所以它的准线方程为x=-1考点：本题考查抛物线的标准方程点评：开口向右的抛物线方程为，准线方程为3.计算：______【答案】分子分母同时除以n,计算可得极限.【详解】＝＝故答案为:.本题考查型极限问题，解题的关键是合理地选取公式．4.不等式的解集为________【答案】根据绝对值的定义去绝对值符号，直接求出不等式的解集即可.【详解】由，得，解得故答案为.本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化的数学思想和计算能力.5.若复数（为虚数单位），________【答案】利用复数的乘法运算将复数化简为a+bi的形式，然后利用复数模的公式计算即可得到答案.【详解】=7+i,则，故答案为:.本题考查复数的模的概念和复数的四则运算，属于基础题.6.已知函数，则_______【答案】由反函数定义令f（x）＝5，求出x的值即可．【详解】由反函数定义，令，得＝4，则x＝24＝16，∴f﹣1（5）＝16．故答案为：16．本题考查反函数的性质与应用问题，是基础题．7. 从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 【答案】答案：：简单考察古典概型的概率计算，容易题。
8.在的二项展开式中，常数项的值是________（结果用数值表示）【答案】写出二项展开式的通项公式，令x的指数为0，计算即可求出展开式的常数项．【详解】展开式的通项为T r+1＝（﹣1）r C10r x30﹣5r，令30﹣5r＝0得r＝6，所以展开式中的常数项为C106＝210，故答案为：210．本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．9.无穷等比数列各项和的值为2，公比，则首项的取值范围是________【答案】由无穷等比数列{a n}的各项和为2且，解不等式可得a1范围．【详解】由题意可得，且，则a1＝2（1﹣q），由，可得2＜a1＜4故答案为：.本题考查无穷等比数列的各项和, 各项和是指当|q|＜1且q≠0时前n项和的极限,是基础题．10.在的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于、两点，则这两个点在球面上的距离是________【答案】设球心为O，由二面角的面与球相切的性质可得∠AOB＝60°，又半径为6，由弧长公式可求两切点在球面上的距离．【详解】设球心为O，由球的性质知，OA，OB分别垂直于二面角的两个面，又二面角的平面角为120°，故∠AOB＝60°，∵半径为6的球切两半平面于A，B两点∴两切点在球面上的距离是6×＝2π．故答案为：2π．本题考查球面距离及相关计算，解题的关键是根据二面角与球的位置关系得出过两切点的两个半径的夹角以及球面上两点距离的公式，考查空间想像能力，是中档题．11.设函数，则使成立的取值范围是_____【答案】由式知函数f（x）为偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则不等式可转为|2x|＜|3x﹣2|，解出即得答案．【详解】函数，∵f（﹣x）＝f（x），故函数为偶函数且在[0，+∞）上单调递增．∵f（2x）＜f（3x﹣2），∴|2x|＜|3x﹣2|，∴（2x）2＜（3x﹣2）2，化为：（x﹣2）（5x﹣2）＞0，解得：x＞2，或x＜．∴使得f（2x）＜f（3x﹣2）成立的x的取值范围是．故答案为：．本题考查函数奇偶性与单调性的应用以及不等式的解法，考查推理能力与计算能力．12.已知平面向量、满足条件：，，，，若向，且，则的最小值为_______【答案】由题意可设＝（cosα，0），＝（0，sinα），＝（x，y），且设，由,求出C点的轨迹方程，结合圆的性质可求最值.【详解】由题意可设＝（cosα，0），＝（0，sinα），＝（x，y），设，∵＝（λcosα，μsinα），∴，α∈（0，），∵，则，即,∴C在以D为圆心，以为半径的圆上，α∈（0，），∴mn＝|OD|﹣＝＝，故答案为:．本题主要考查了平面向量的基本定理及向量的坐标表示，平面向量的加法减法的几何意义，平面向量的数乘及几何意义及圆的方程的应用，属于综合题.二. 选择题。
上海市金山区高三一模数学试卷
上海市金山区．．．．．．2017．．．．届高三一模数学试卷．．．．．．．．．2016.12．．．．．．．一．. ．填空题（本大题共．．．．．．．．12．．题，．．1．-．6．每题．．4．分，．．7．-．12．．每题．．5．分，共．．．54．．分）．．1. ．．若集合．．．2{|20}M x x x =-<，．{|||1}N x x =>，则．．MN =2. ．．若复数．．．z 满足．．232z z i +=-，其中．．．i 为虚数单．．．．位，则．．．z =3. ．．如果．．5sin 13α=-，且．．α为第四象限角，则．．．．．．．．tan α的值是．．．4.．． 函数．．cos sin ()sin cos x x f x x x =的最小正周期是．．．．．．．5. ．．函数．．()2x f x m =+的反函数为．．．．．1()y f x -=，且．．1()y f x -=的图像过点．．．．．(5,2)Q ，那么．．．m =6. ．．点．(1,0)到双曲线．．．．2214x y -=的渐近线的距离是．．．．．．．．7. ．．如果实数．．．．x 、．y 满足．．2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则．．2x y +的最大值是．．．．．8. ．．从．5．名学生中任选．．．．．．3．人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 代表，共有．．．．． 种不同的选法（结果用数值表示）．．．．．．．．．．．．．．．9. ．．方程．．22242340x y tx ty t +--+-=（．t 为参数）所表示．．．．．．．的圆的圆心轨迹方程是．．．．．．．．．． （结果化为普通方程）．．．．．．．．．． 10. ．．．若．n a 是．(2)nx +（．*n N ∈，．2n ≥，．x R ∈）展开式中．．．．．2x 项的二项式系数，则．．．．．．．．．23111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+= 11. ．．．设数列．．．{}n a 是集合．．．{|33,s tx x s t =+<且．,}s t N ∈中所有的数从小到大排列成的数列，．．．．．．．．．．．．．．．． 即．14a =，．210a =，．312a =，．428a =，．530a =，．636a =，，将数列．．．．．{}n a 中各项按．．．． 照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15a 的值为．．．12. ．．．曲线．．C 是平面内到直线．．．．．．．1:1l x =-和直线．．．2:1l y =的距离之积等于常数．．．．．．．．．2k （．0k >）的．．点的轨迹，下列四个结论：①．．．．．．．．．．．．． 曲线．．C 过点．．(1,1)-；②．． 曲线．．C 关于点．．．(1,1)-成中心对称；．．．．．．41012283036⋅⋅⋅③． 若点．．P 在曲线．．．C 上，点．．．A 、．B 分别在直线．．．．．1l 、．2l 上，则．．．||||PA PB +不小于．．．2k ；． ④． 设．0P 为曲线．．．C 上任意一点，则点．．．．．．．．0P 关于直线．．．．1:1l x =-，点．．(1,1)-及直线．．．2:1l y =对称．．的点分别为．．．．．1P 、．2P 、．3P ，则四边形．．．．．0123P PP P 的面积为定值．．．．．．24k ；．其中，所有正确结论的序号是．．．．．．．．．．．．．二．. ．选择题（本大题共．．．．．．．．4．题，每题．．．．5．分，共．．．20．．分）．．13. ．．．给定空间中的直线．．．．．．．．l 与平面．．．α，则“直线．．．．．l 与平面．．．α垂直”是“直线．．．．．．．l 垂直于平面．．．．．α上． 无数条直线”的（．．．．．．．． ）条件．．．A. ．．充分非必要．．．．．B. ．．必要非充分．．．．．C. ．．充要．．D.．． 既不充分也不必要．．．．．．．． 14. ．．．已知．．x 、．y R ∈，且．．0x y >>，则．．（． ）． A. ．．110x y-> B. ．．11()()022x y-< C. ．．22log log 0x y +> D.．． sin sin 0x y -> 15. ．．．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ）． A. ．．283π-B. ．．83π- C. ．．82π- D.．． 23π16. ．．．已知函数．．．．2(43)30()log (1)10a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩（．0a >且．1a ≠）在．．R 上单调递减，且关．．．．．．．．于．x 的方程．．．|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则．．．．．．．．．．．．．．a 的取值范围是（．．．．．．． ）． A.．． 2(0,]3 B. ．．23[,]34 C. ．．123[,]{}334 D.．． 123[,){}334三．. ．解答题（本大题共．．．．．．．．5．题，共．．．14+14+14+16+18=76．．．．．．．．．．．．．．．．．分）．．17. ．．．如图，在四棱锥．．．．．．．P ABCD -中，底面．．．．ABCD 是矩形，．．．．PA ⊥平面．．ABCD ，．PB 、．PD 与． 平面．．ABCD 所成的角依次是．．．．．．．4π和．1arctan 2，．2AP =，．E 、．F 依次是．．．PB 、．PC 的中点；．．．． （．1．）求异面直线．．．．．．EC 与．PD 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． （．2．）求三棱锥．．．．．PAFD -的体积；．．．．18. ．．．已知△．．．ABC 中，．．1AC =，．23ABC π∠=，设．．BAC x ∠=，记．．()f x AB BC =⋅；． （．1．）求函数．．．．()f x 的解析式及定义域；．．．．．．．．．（．2．）试写出函数．．．．．．()f x 的单调递增区间，并求方程．．．．．．．．．．．．1()6f x =的解；．．．19. ．．．已知椭圆．．．．C 以原点为中心，左焦点．．．．．．．．．．F 的坐标是．．．．(1,0)-．．． 线．l 与椭圆．．．C 交于点．．．A 与．B ，且．．A 、．B 都在．．x 轴上方，满足．．．．．．180OFA OFB ︒∠+∠=；． （．1．）求椭圆．．．．C 的标准方程；．．．．．．（．2．）对于动直线．．．．．．l ，是否存在一个定点，无论．．．．．．．．．．．．OFA ∠如何变化，直线．．．．．．．l 总经过此定点？若．．．．．．．． 存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．20. ．．．已知函数．．．．2()21g x ax ax b =-++(0)a >在区间．．．[2,3]上的最大值为．．．．．．4，最小值为．．．．．1，．记．()(||)f x g x =，．x R ∈；． （．1．）求实数．．．．a 、．b 的值；．．．（．2．）若不等式．．．．．222()()log 2log 3f x g x k k +≥--对任意．．．x R ∈恒成立，求实数．．．．．．．k 的范围；．．．．（．3．）对于定义在．．．．．．[,]p q 上的函数．．．．()m x ，设．．0x p =，．n x q =，用任意．．．．i x (1,2,,1)i n =⋅⋅⋅- 将．[,]p q 划分成．．．n 个小区间，其中．．．．．．．11i i i x x x -+<<，若存在一个常数．．．．．．．．0M >，使得不等式．．．．．． 01121|()()||()()||()()|n n m x m x m x m x m x m x M --+-+⋅⋅⋅+-≤恒成立．．．，则称函数．．．．．()m x 为在．．[,]p q 上的有界变差函数，试证明函数．．．．．．．．．．．．．．()f x 是在．．[1,3]上的有界变差函数，并求出．．．．．．．．．．．．M 的最小值；．．．．．21. ．．．数列．．{}n b 的前．．n 项和为．．．n S ，且对任意正整数．．．．．．．．n ，都有．．．(1)2n n n S +=；．（．1．）试证明数列．．．．．．{}n b 是等差数列，并求其通项公式；．．．．．．．．．．．．．．（．2．）如果等比数列．．．．．．．{}n a 共有．．2017．．．．项，其首项与公比均为．．．．．．．．．．2．，在数列．．．．{}n a 的每相邻两项．．．．．．i a与．1i a +之间插入．．．．i 个．(1)i i b -*()i N ∈后，得到一个新数列．．．．．．．．．{}n c ，求数列．．．．{}n c 中所有项的和；．．．．．．． （．3．）如果存在．．．．．*n N ∈，使不等式．．．．．11820(1)()(1)n n n n n b n b b b λ++++≤+≤+成立，若存在，．．．．．．．求实数．．．λ的范围，若不存在，请说明理由；．．．．．．．．．．．．．．．参考答案．．．．一．. ．填空题．．．1. ．．(1,2)2. ．．12i -3. ．．512- 4. ．．π 5. ．．1 6. ．7. ．．4 8. ．．48 9. ．．20x y -= 10. ．．．2 11. ．．．324 12. ．．．②③④．．．二．. ．选择题．．．13. A 14. B 15. A 16. ．．．．．．．．．．．．．．．C三．. ．解答题．．． 17.．．．（．1．）．（．．2．）．43；． 18.．．．（．1．）．2211()sin sin()sin(2)33366f x x x x ππ=+=+-，．(0,)3x π∈；． （．2．）递增区间．．．．．(0,]6π，．6x π=；．19.．．．（．1．）．2212x y +=；（．．2．）．(2,0)-；．20.．．．（．1．）．0b =，．1a =；（．．2．）．1[,8]2；（．．3．）．min 4M =；． 21.．．．（．1．）．n b n =；（．．2．）．201822033134+；（．．3．）不存在；．．．．．。
上海市2019届高三高考数学系列模拟卷(3)及答案解析
上海市2019届高考数学模拟试卷3考生注意：1．每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；2．答卷前，考生务必将学校、姓名、学号等相关信息在答题纸上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题满分4分）集合{}2M x x =<，{}lg (1)N x y x ==-，则M N = 1.若知i 是虚数单位，使(1)ni +为实数的最小正整数n 为2.已3.若对于任意实数x ，不等式a x x >--+|1||2|恒成立，则实数a 的取值范围是4.在ABC ∆中，若120=∠A ，5=AB ，7=BC ，则三角形ABC 的面积=S5.若直线),(042R n m ny mx ∈=-+始终平分圆042422=---+y x y x 的周长，则mn 的取值范围是_________________6.设f n k ()=（其中n N ∈*），k 是2的小数点后第n 位数字，…74142135623.12=， 则{}f f f f …个[()]88的值等于____________7.已知矩阵sin cos 0sin cos 1ααββ+⎛⎫⎪+⎝⎭为单位向量，且,,2παβπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()sin αβ-的值 8.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为43π，半径为18 cm 的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为________9.在矩形ABCD 中，AB =1BC =，E 是CD 上一点，且1AE AB ⋅=，则AE AC ⋅的值为10.设函数f x ()是定义在R 上的奇函数，若f x ()的最小正周期为3，且f ()11>，f m m ()2231=-+，则m 的取值范围是_________________11.若π220≤≤x ，则使x x 2cos 2sin 12=-成立的x 的取值范围是 12.已知集合{1,2,,}U n =，n *∈N ．设集合A 同时满足下列三个条件：①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若U x C A ∈，则2U x C A ∉．当7n =时，满足条件的集合A 的个数为______13.对任意的120x x <<，若函数()f x a x =的大致图像为如图所示的一条折线（两侧的射线均平行于x 轴），试写出a 、b 条件是14.已知数列{}n a 满足11,2,n n n a n a a n ++⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数，设222n n n b a a +=-，则数列{}n b 的通项公式为________________二、选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题满分5分）15.“21a >” 是“方程2221x y a+=表示椭圆”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件16.设3144322314)1()1(+++=++++x b x a x a x a x a x 22)1(++x b 413)1(b x b +++定义),,,(),,,(43214321b b b b a a a a f =，则),1,2,3,4(f 等于A ．)4,3,2,1(B ．)0,4,3,0(C ．)2,2,0,1(--D ．)1,4,3,0(--17.互不相等的三个正数321,,x x x 成等比数列，且P 1(1log a x ,1log b y )，P 2(2log a x ，2log b y )，)log ,(log 333y x P b a 三点共线(其中0a >，1a ≠，0b >，1b ≠)，则1y ，2y ，3yA. 等差数列，但不等比数列；B. 等比数列而非等差数列C. 等比数列，也可能成等差数列D. 既不是等比数列，又不是等差数列 18.设函数)sin()sin()sin()(2211n n x a x a x a x f ααα+⋅+++⋅++⋅= ，其中)2,,,,2,1(*≥∈=n N n n i i α为已知实常数，R x ∈，则下列A ．若0)2()0(==πf f ，则0)(=x f 对任意实数x 恒成立；B ．若0)0(=f ，则函数)(x f 为奇函数；C ．若0)2(=πf ，则函数)(x f 为偶函数；D ．当0)2()0(22≠+πf f 时，若0)()(21==x f x f ，则)(221Z k k x x ∈=-π．74分，共5小题）19.(本题满分12分）第（1）小题6分，第（2）小题6分.在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，090=∠BAC ，且异面直线B A 1与11C B 所成的角等于060，设a AA =1.（1）求a 的值；（2）设D 是11C B 上的任意一点，求D 到平面BC A 1的距离.20.(本题满分14分）第（1）小题7分，第（2）小题7分.已知函数.3cos 33cos 3sin )(2xx x x f +=（1）将)(x f 写成)sin(φω+x A +B 的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（2）如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足ac b =2，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及此时函数)(x f 的值域。
2019年上海市金山区高考数学一模试卷(解析版)
2019年上海市金山区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．（4分）已知集合A＝{1，3，5，6，7}，B＝{2，4，5，6，8}，则A∩B＝．2．（4分）抛物线y2＝4x的准线方程是．3．（4分）计算：＝．4．（4分）不等式|3x﹣2|＜1的解集为．5．（4分）若复数z＝（3+4i）（1﹣i）（i为虚数单位），则|z|＝．6．（4分）已知函数f（x）＝1+log2x，则f﹣1（5）＝．7．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是．8．（5分）在（x3）10二项展开式中，常数项的值是．（结果用数值表示）9．（5分）无穷等比数列{a n}各项和S的值为2，公比q＜0，则首项a1的取值范围是．10．（5分）在120°的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A、B两点，则这两个点在球面上的距离是．11．（5分）设函数f（x）＝lg（1+|x|）﹣，则使得f（2x）＜f（3x﹣2）成立的x的取值范围是．12．（5分）已知平面向量、满足条件：＝0，||＝cosα，||＝sinα，α∈（0，），若向量＝（λ，μ∈R）．且（2λ﹣1）2cos2α+（2μ﹣1）2sin2α＝，则||的最小值为．二、选择题(本大题共4小题，满分20分，每小题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）已知方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．m＞2或m＜﹣1B．m＞﹣2C．﹣1＜m＜2D．m＞2或﹣2＜m＜﹣114．（5分）给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）条件．A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要15．（5分）欧拉公式e ix＝cos x+i sin x（i为虚数单位，x∈R，e为自然底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2018i表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限16．（5分）已知函数f（x）＝，则方程f（x+﹣2）＝a（a∈R）的实数根个数不可能（）A．5个B．6个C．7个D．8个三、解答题（本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，三棱锥P﹣ABC中，P A⊥底面ABC，M是BC的中点，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为．求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（﹣3，）（1）求行列式的值；（2）若函数f（x）＝cos（x+α）cosα+sin（x+α）sinα（x∈R），求函数f（﹣2x）+2f2（x）的最大值，并指出取得最大值时x的值．19．（14分）设函数f（x）＝2x﹣1的反函数为f﹣1（x），g（x）＝log4（3x+1）．（1）若f﹣1（x）≤g（x），求x的取值范围D；（2）在（1）的条件下，设H（x）＝g（x）﹣f﹣1（x），当x∈D时，函数H（x）的图象与直线y＝a有公共点，求实数a的取值范围．20．（16分）已知椭圆C以坐标原点为中心，焦点在y轴上，焦距为2，且经过点（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）设点A（a，0），点P为曲线C上任一点，求点A到点P距离的最大值d（a）；（3）在（2）的条件下，当0＜a＜1时，设△QOA的面积为S1（O是坐标原点，Q是曲线C上横坐标为a的点），以d（a）为边长的正方形的面积为S2•若正数m满足S1≤mS2，问m是否存在最小值，若存在，请求出此最小值；若不存在，请说明理由．21．（18分）在等差数列{a n}中，a1+a3+a5＝15，a6＝1l．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间（2m+1，22m+1）内的项的个数记为{b m}，记数列{b m}的前m项和S m，求使得S m＞2018的最小整数m；（3）若n∈N*，使不等式a n+≤（2n+1）λ≤a n+1+成立，求实数λ的取值范围．2019年上海市金山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．【解答】解：A∩B＝{5，6}．故答案为：{5，6}．2．【解答】解：∵2p＝4，∴p＝2，开口向右，∴准线方程是x＝﹣1．故答案为x＝﹣1．3．【解答】解：．故答案为：．4．【解答】解：∵|3x﹣2|＜1⇔﹣1＜3x﹣2＜1⇔1＜3x＜3，∴＜x＜1∴不等式|3x﹣2|＜1的解集为{x|＜x＜1}．故答案为：{x|＜x＜1}．5．【解答】解：∵z＝（3+4i）（1﹣i）＝7+i，∴|z|＝．故答案为：．6．【解答】解：根据题意，令f（x）＝1+log2x＝5，得log2x＝4，则x＝24＝16，∴f﹣1（5）＝16．故答案为：16．7．【解答】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）；则其概率为＝；故答案为：．8．【解答】解：展开式的通项为T r+1＝（﹣1）r C10r x30﹣5r，令30﹣5r＝0得r＝6，所以展开式中的常数项为C106＝210，故答案为：210．9．【解答】解：由题意可得，，﹣1＜q＜0a1＝2（1﹣q）∴2＜a1＜4故答案为：（2，4）10．【解答】解：由球的性质知，OA，OB分别垂直于二面角的两个面，又120°的二面角内，故∠AOB＝60°∵半径为10cm的球切两半平面于A，B两点∴两切点在球面上的最短距离是6×＝2π．故答案为：2π．11．【解答】解：函数f（x）＝lg（1+|x|）﹣，∴f（﹣x）＝f（x），且函数f（x）在[0，+∞）上单调递增．∵f（2x）＜f（3x﹣2），∴|2x|＜|3x﹣2|，∴（2x）2＜（3x﹣2）2，化为：（x﹣2）（5x﹣2）＞0，解得：x＞2，或x＜．∴使得f（2x）＜f（3x﹣2）成立的x的取值范围是∪（2，+∞）．故答案为：∪（2，+∞）．12．【解答】解：由题意可设＝（cosα，0），＝（0，sinα），＝（x，y），且设∵＝＝（λcosα，μsinα），∴，α∈（0，），∵（2λ﹣1）2cos2α+（2μ﹣1）2sin2α＝，则，即，∴C在以D（）为圆心，以为半径的圆上，α∈（0，），∴||mn＝|OD|﹣＝＝，故答案为：．二、选择题(本大题共4小题，满分20分，每小题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．【解答】解：椭圆的焦点在x轴上∴m2＞2+m，即m2﹣2﹣m＞0解得m＞2或m＜﹣1又∵2+m＞0∴m＞﹣2∴m的取值范围：m＞2或﹣2＜m＜﹣1故选：D．14．【解答】解：直线与平面α内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面α垂直；即“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”为假命题；但直线l与平面α垂直时，l与平面α内的每一条直线都垂直，即“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题；故“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要非充分条件故选：C．15．【解答】解：e2018i＝cos2018+i sin2018，∵2018＝642π+（2018﹣642π），2018﹣642π∈，∴cos2018＝cos（2018﹣642π）＞0．sin2018＝sin（2018﹣642π）＞0，∴e2018i表示的复数在复平面中位于第一象限．故选：A．16．【解答】解：如图所示：∵函数f（x）＝，即f（x）＝．因为当f（x）＝1时，求得x＝﹣4，或，或1，或3．则①当a＝1时，由方程f（x+﹣2）＝a（a∈R），可得x+﹣2＝﹣4，或，或1，或3．又因为x+﹣2≥0，或x+﹣2≤﹣4，所以，当x+﹣2＝﹣4时，只有一个x＝﹣2 与之对应，其它3种情况都有2个x值与之对应．故此时，原方程f（x+﹣2）＝a的实数根有7个根．②当1＜a＜2时，y＝f（x）与y＝a有4个交点，故原方程有8个根．②当a＝2时，y＝f（x）与y＝a有3个交点，故原方程有6个根．综上：不可能有5个根，故选：A．三、解答题（本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．【解答】解：（1）因为P A⊥底面ABC，PB与底面ABC所成的角为所以因为AB＝2，所以（2）连接PM，取AB的中点，记为N，连接MN，则MN∥AC所以∠PMN为异面直线PM与AC所成的角计算可得：，MN＝1，异面直线PM与AC所成的角为18．【解答】解：角α的终边经过点P（﹣3，）可得：sinα＝，cosα＝，tanα＝．（1）行列式＝sinαcosα﹣tanα＝；（2）函数f（x）＝cos（x+α）cosα+sin（x+α）sinα＝cos x那么函数y＝f（﹣2x）+2f2（x）＝cos（）+2cos2x＝cos2x+sin2x+1＝2sin（2x+）+1，当2x+＝时，即x＝kπ，函数y取得最大值为3．19．【解答】解：（1）f﹣1（x）＝log2（x+1），…（3分）由log2（x+1）≤log4（3x+1），∴…．（6分）解得0≤x≤1，∴D＝[0，1]﹣﹣﹣．（8分）（2），…..（10分）∴，…（12分）当x∈[0，1]时，单调递增，∴H（x）单调递增，…．（14分）∴因此当时满足条件．…（16分）20．【解答】解：（1）由题意得：2c＝2，b＝1，故a2＝b2+c2＝2，∴椭圆C的方程为：．（2）设P（x，y），则y2＝2﹣2x2．∴|P A|2＝（x﹣a）2+y2＝（x﹣a）2+2﹣2x2＝﹣（x+a）2+2a2+2，令f（x）＝﹣（x+a）2+2a2+2，x∈[﹣1，1]，所以，当﹣a＜﹣1，即a＞1时，f（x）在[﹣1，1]上是减函数，[f（x）]max＝f（﹣1）＝（a+1）2；当﹣1≤﹣a≤1，即﹣1≤a≤1时，f（x）在[﹣1，﹣a]上是增函数，在[﹣a，1]上是减函数，则[f（x）]max＝f（﹣a）＝2a2+2；当﹣a＞1，即a＜﹣1时，f（x）在[﹣1，1]上是增函数，[f（x）]max＝f（1）＝（a﹣1）2．所以，d（a）＝．（3）当0＜a＜1时，P（a，±），于是S1＝a，S2＝2a2+2，若正数m满足条件，则a≤m（2a2+2），即m≥，m2≥．令f（a）＝，设t＝a2+1，则t∈（1，2），则a2＝t﹣1．于是f（a）＝＝（﹣+﹣1）＝﹣（﹣）2+，∴当＝时，即t＝∈（1，2）时，[f（a）]max＝，即m2≥，m≥．所以，m存在最小值21．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，由，解得，∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1，n∈N*．（2）对任意m∈N*，若2m+1＜2n﹣1＜22m+1，则，∴b m＝22m﹣2m，m∈N*，S m＝（22+24+26+…+22m）﹣（2+22+23+…+2m）＝﹣＝．令＞2018，解得m ＞≈5.3，∴所求的最小整数m为6．（3）≤（2n+1）λ≤，，记A n ＝，B n＝1+，n∈N*，由A n+1﹣A n ＝﹣＝，知A1＝A2，且从第二项起，{A n}递增，即A1＝A2，A3＜A4＜…＜A n，∵B n＝1+递减，∴实数λ的范围为[A1，B1]，即[]．第11页（共11页）。
2019届高三3月份校级一模考试试题数学理试题Word版含答案
2019届高三3月份校级一模考试试题数学理试题Word版含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数(),2z a i a R z a =+∈=若，则的值为 A ．1 BC ．1±D ．2．己知集合{}{}2=230,2A x x x B x x A B --≤=<⋂=，则A ．(1，3)B ．(]1,3C ．[－1，2)D ．(－1，2)3．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=A ．5-B ．5C ．5-D ．5 4．已知0,1a b c >>>，则下列各式成立的是 A ．sin sin a b > B ．abcc > C ．ccab <D ．11c c b a--<5．数列{}na 是等差数列，11a=，公差d ∈[1，2]，且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为A ．72B ．5319C ．2319-D ．12- 6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是注：90后指1990年及以后出生，80后指1980—1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20％C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7．设()b<”的,1,a b∈+∞，则“a b>”是“log1aA．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件8．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、C三个不同社区进行志愿服务活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法A ．32e e + B ．22e e + C ．32e e - D ．22e e -二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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高三数学一模考试试题（含解析）一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.若(1)2z i i +=（i 是虚数单位），则||z =________．【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算性质先求出z ，再根据模的计算公式求解即可． 【详解】解：∵(1)2z i i +=，∴21iz i ==+()()()21111i i i i i -=++-，∴||z ==．【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算性质，考查复数的模，属于基础题． 2.已知4251λλ-=-，则λ=________【答案】3 【解析】 【分析】由行列式的计算公式化简求解即可． 【详解】解：4251λλ-=-()()4125λλ∴-⨯-⨯-=，解得3λ=， 故答案为：3．【点睛】本题考查二阶行列式的计算，属于基础题． 3.函数13x y -=（1x ≤）的反函数是________【答案】31log ,(0,1]y x x =+∈ 【解析】【分析】首先求出函数的值域，再利用反函数的求法，先反解x ，再对换x ，y ，求出即可． 【详解】解：13(1)x y x -=，(]0,1y ∴∈，得31log x y -=，x ，y 对换，得31log y x =+，(]0,1x ∈，故答案为：31log y x =+，(]0,1x ∈，【点睛】本题考查了反函数的求法，属于基础题．4.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有_______ 场球赛. 【答案】66 【解析】 【分析】直接利用组合数的应用求出结果．【详解】解：根据题意利用组合数得2121211662C ⨯==． 故答案为：66．【点睛】本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．5.以抛物线26y x =-的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是________【答案】22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】首先求出抛物线的焦点坐标和准线方程，进一步求出圆的方程． 【详解】解：抛物线26y x =-的焦点坐标为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线的方程为32x =， 所以焦点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．故答案为：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 6.在53(1)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为________ 【答案】9- 【解析】 【分析】利用二项展开式把5(1)x -展开，再求展开式中3x 的系数． 【详解】解：53(1)(1)x x -+()()2345315101051x x x x x x =-+-+-+()()23453234515101051510105x x x x x x x x x x x =-+-+-+-+-+-则含3x 的项有310x -与3x 两项∴展开式中3x 的系数为1109-=-．故答案为：9-．【点睛】本题考查了二项式系数的性质与应用问题，属于基础题． 7.不等式22|2|36x x x x -->--的解集是________ 【答案】(4,)-+∞ 【解析】 【分析】将不等式22|2|36x x x x -->--转换为不等式22|2|36x x x x -+>--，再根据220x x -+>恒成立，则原不等式等价于22236x x x x -+>--解得即可；【详解】解：不等式22|2|36x x x x -->--转换为不等式22|2|36x x x x -+>--， 由于函数22y x x =-+的图象在x 轴上方，所以220x x -+>恒成立，所以22236x x x x -+>--， 解得4x >-，故不等式的解集为(4,)-+∞． 故答案为：(4,)-+∞【点睛】本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.已知方程220x kx -+=（k ∈R ）的两个虚根为1x 、2x ，若12||2x x ，则k =_____【答案】2± 【解析】 【分析】由题意设1x a bi =+，2(,)x a bi a b R =-∈，利用根与系数的关系结合12||2x x 求得a 与b 的值，则k 可求． 【详解】解：方程程220x kx -+=的两个虚根为1x 、2x ，可设1x a bi =+，2(,)x a bi a b R =-∈． 122x x a k ∴+==，22122x x a b =+=，12||2x x -=，|2|2bi ∴=， 联立解得：1b =±，1a =±．2k ∴=±．故答案为：2±．【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.已知直线l 过点(1,0)-且与直线20x y -=垂直，则圆22480x y x y +-+=与直线l 相交所得的弦长为__【答案】【解析】 【分析】先求出直线l 的方程，再求出圆心C 与半径r ，计算圆心到直线l 的距离d ，由垂径定理求弦长||AB ．【详解】解：由题意可得，l 的方程为210x y ++=，22480x y x y +-+=可化为22(2)(4)20x y -++=，圆心(2,4)-，半径r =，∴圆心(2,4)-到l的距离d ==，AB ∴==故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，属于基础题．10.有一个空心钢球，质量为142g ，测得外直径为5cm ，则它的内直径是________cm （钢的密度为7.93/g cm ，精确到0.1cm ）【答案】4.5 【解析】 【分析】直接利用球的体积公式和物理学的关系式的应用求出结果． 【详解】解：设钢球的内半径为r ， 所以33457.9 3.1414232r ⎡⎤⎛⎫⨯⨯⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得 2.25r ≈． 故内直径为4.5cm ． 故答案为：4.5．【点睛】本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11.已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n c a b =⋅，若{}n c 前三项是7、9、9，则10c =_______ 【答案】47- 【解析】 【分析】{}n a 、{}n b 均是等差数列，故{}n c 为二次函数，设2n c an bn c =++，根据前3项，求出a ，b ，c 的值，即可得到10c ．【详解】解：因为{}n a 、{}n b 均是等差数列，其通项公式均为关于n 的一次式，所以n n nc a b =⋅为关于n 的二次式，故设2n n n c c b n a an b =+⋅+=，17c =，29c =，39c =则7429939a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得153a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩253n c n n ∴+-+=210110510347c ∴=-⨯+⨯+=-， 故答案为：47-．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．12.已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为________【答案】 【解析】 【分析】先根据基本不等式得到22()24b a b a b a b +-⎛⎫-=⎪⎝⎭；再利用基本不等式即可求解． 【详解】解：因0:a b >>22()24b a b a b a b +-⎛⎫∴-≤=⎪⎝⎭； 所以222166416()a a b a b a +≥+≥=-．当且仅当464a b a b ⎧=⎨=-⎩，即a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时取等号，此时(,)P a b的坐标为：(． 故答案为：(．【点睛】本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13.若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1)e ，上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ） A. 01a <<B.11a e<< C.111a e-<< D.111a e+<< 【答案】C 【解析】 【分析】函数f(x)在定义域内单调递增，由零点存在性定理可知()()10,0f f e <>，解不等式即可求得a 的取值范围.【详解】函数1()ln f x x a x=-+在区间()1,e 上为增函数， ∵(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e=-+>， 可得111a e-<< 故选：C ．【点睛】本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，对于零点存在性问题，有两种思考方向：（1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；（2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况. 14.下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 2()log (41)x f x x =+-B. ()||2cos f x x x =-C. 2210()0x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩D. |lg |()10x f x =【答案】A 【解析】 【分析】由偶函数的定义，及在[0,)+∞上单调即可求解； 【详解】解：对于2241:()log (41)log 4x xx A f x x x -+-=++=+2222log (41)log 2log (41)()x x x x x f x =+-+=+-=．且2222(2)11()log (41)log log (2)22x xxx xf x x +=+-==+， 当0x 时，函数122xx y =+单调递增，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，故A 正确； :0B x >时，()2cos f x x x =-，令()12sin 0f x x '=->，得(0x ∈，52)(266k k ππππ++⋃，*22)()k k N ππ+∈，故B 不正确；:0C x ≠时，2212x x +，当且仅当221x x =，即1x =±时，等号成立， ∴不满足在[)0,+∞上单调递增，故C 不正确；对于D ：|lg |()10x f x =定义域为()0,∞+，由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D 错；故选：A ．【点睛】考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于基础题；15.已知平面αβγ、、两两垂直，直线a b c 、、满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线a b c 、、不可能满足以下哪种关系（ ） A. 两两垂直 B. 两两平行 C. 两两相交 D. 两两异面【答案】B 【解析】 【分析】通过假设//a b ，可得,a b 平行于,αβ的交线，由此可得c 与交线相交或异面，由此不可能存在////a b c ，可得正确结果.【详解】设l αβ=，且l 与,a b 均不重合假设：////a b c ，由//a b 可得：//a β，//b α 又l αβ=，可知//a l ，//b l又////a b c ，可得：//c l因为,,αβγ两两互相垂直，可知l 与γ相交，即l 与c 相交或异面 若l 与a 或b 重合，同理可得l 与c 相交或异面 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行 本题正确选项：B【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果. 16.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：22sin cos sin()a x b xa b x，πϕπ-<<，下列判断错误的是（ ）A. 当0a >，0b >时，辅助角arctan b a ϕ=B. 当0a >，0b <时，辅助角arctan ba ϕπ=+C. 当0a <，0b >时，辅助角arctan ba ϕπ=+D. 当0a <，0b <时，辅助角arctan baϕπ=-【答案】B 【解析】 【分析】分别判断出a ，b 的值，对辅助角ϕ的影响． ①0a >，0b >，则辅助角ϕ在第一象限； ②0a >，0b <，则辅助角ϕ在第四象限； ③0a <，0b <，则辅助角ϕ在第三象限； ④0a <，0b >，则辅助角ϕ在第二象限． 【详解】解：因为cos ϕ=sin ϕ=，tan baϕ=，(,]ϕππ∈-对于A ，因为0a >，0b >，则辅助角ϕ在第一象限02πϕ∴<<，0b a>，arctan (0,)2b a π∴∈，故A 选项正确；对于B ，因为0a >，0b <，则辅助角ϕ在第四象限02πϕ∴-<<；0b a <， arctan (,)2b a πππ∴+∈，故B 选项错误； 对于C ，因为0a <，0b >，则辅助角ϕ在第二象限2πϕπ∴<<；0b a <， arctan (,)2b a πππ∴+∈，故C 选项正确； 对于D ，因为0a <，0b <，则辅助角ϕ在第三象限2ππϕ∴-<<-，0b a <， arctan (,)2b a πππ∴-∈--，故D 选项正确； 故选：B ．【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力，属于中档题． 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ︒∠=，13DD =，E 是AB 的中点.（1）求四棱锥1C EBCD -的体积；（2）求异面直线1C E 和AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 【答案】（133；（2）5arccos 8；【解析】 【分析】（1）求解三角形求出底面梯形BCDE 的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，由题意可得11//AD B C ，则11B C E ∠即为异面直线1C E 和AD 所成角，求解三角形得答案．【详解】解：（1）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中， 底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，B ∴到DC 边的距离为3，又E 是AB 的中点，1BE ∴=，则()3311232BCDE S =+⨯=梯形． 13DD =，∴11333311333C BCDE BCDE V S DD -=⨯=⨯⨯=四边形；（2）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//AD B C ，11B C E ∴∠即为异面直线1C E 和AD 所成角，连接1B E ，在11C B E ∆中，112B C =，2213110B E =+=， 222211121211()942C E EC CC =+=+-⨯⨯⨯-+=．2221124(10)5cos 8B C E +-∴∠==，∴异面直线1C E 和AD 所成角的大小为5arccos 8．【点睛】本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．18.已知函数()sin cos()cos 2f x x x x x π=+.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心； （2）若()f x a =在区间[0,]2π上有两个解1x 、2x ，求a 的取值范围及12x x +的值.【答案】（1）π，对称中心：1,,2122k k Z ππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭；（2）10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，123x x π+=【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数a 的范围和12x x +的值．【详解】解：（1）函数()sin cos cos 2f x x x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭21cos 21sin 22sin 2262x x x x x π-⎛⎫=-+=-+=+- ⎪⎝⎭． 所以函数的最小正周期为22T ππ==， 令2()6x k k Z ππ+=∈，解得()212k x k Z ππ=-∈， 所以函数的对称中心为1,()2122k k Z ππ⎛⎫--∈⎪⎝⎭． （2）由于02xπ，所以72666x πππ+，在区间[0,]2π上有两个解1x 、2x ，所以函数1sin 2126x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭时，函数的图象有两个交点， 故a 的范围为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭．由于函数的图象在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上关于6x π=对称， 故12263x x ππ+=⋅=．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.一家污水处理厂有A B 、两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.（1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A B 、两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时） 【答案】（1）7小时；（2）17小时 【解析】 【分析】（1）由题意可得A 池每小时剩余原来的90%，设A 池要用t 小时才能把污物的量减少一半，则0.90.5x =，两边取对数，计算可得所求值；（2）设A 、B 两池同时工作，经过x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池每小时剩余原来的81%，可得090.810.12x x+=，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值． 【详解】解：（1）A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，剩余原来的90%， 设A 池要用t 小时才能把污物的量减少一半， 则0.90.5x=，可得0.570.9lg x lg =≈， 则A 池要用7小时才能把污物的量减少一半；（2）设A 、B 两池同时工作，经过x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%，剩余原来的81%， 可得090.810.12x x+=，即20.90.90.20x x +-=， 可得0.9x=， 可得170.9lg x lg ⎝⎭=≈． 则A 、B 两池同时工作，经过17小时后把两池水混合便符合环保规定．【点睛】本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20.已知直线:l x t =(02)t <<与椭圆22:142x y Γ+=相交于AB 、两点，其中A 在第一象限，M 是椭圆上一点.（1）记1F 、2F 是椭圆1(,]2t ∈-∞的左右焦点，若直线AB 过2F ，当M 到1F 的距离与到直线AB 的距离相等时，求点M 的横坐标；（2）若点M A 、关于y 轴对称，当MAB △的面积最大时，求直线MB 的方程； （3）设直线MA 和MB 与x 轴分别交于P Q 、，证明：||||OP OQ ⋅为定值.【答案】（1）642-+（2）2y x =；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得焦点1F ，2F 的坐标，进而可求出A 的坐标，设M 的坐标，注意横坐标的范围[]22-,，在椭圆上，又M 到1F 的距离与到直线AB 的距离相等，可求出M 的横坐标； （2）M ，A ，3B 个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB 的方程；（3）设M ，A 的坐标，得出直线MA ，MB 的方程，进而求出两条直线与x 轴的交点坐标，用M ，A 的坐标表示，而M ，A 又在椭圆上，进而求出结果． 【详解】（1）设1(,),(2,0)M x y F -22(2)||x y x t ++=-，联立椭圆方程：22:142x y Γ+=，把22122y x =-代入得：22221222222x x x x tx t +++-=-+，(22)2x t ∴=--；又因为2t =，代入得：642M x =-+；（2）设()()11,,A t y B t y -，则()1,M t y -，则12MABSt y =⋅，又因为()1,A t y 在椭圆22:142x y Γ+=上，所以221142y t +=，11122t y ∴≥1ty ∴≤则MAB S≤，当且仅当1t =时，取等号，即t =，则(1)M B -，所以:2MB l y x =-； （3）设()()()1100,,,,,A t y B t y M x y -，则01100110:():()MA MB y y l y x t y x ty y l y x t y x t-⎧=-+⎪-⎪⎨+⎪=--⎪-⎩100101001,00,0d y t y x P y y y y t y x Q y y ⎧⎛⎫-⎪⎪-⎪⎝⎭=⎨⎛⎫+⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎩令，则22220102201||||=y t y x O Q y P O y --⋅，又因为2212200122122y t y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入得：2202222||||41122t x OP OQ t x -⋅==-，故为定值.【点睛】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．21.已知数列{}n a 满足11a =，2a e =（e 是自然对数的底数），且2n a +=令ln n nb a =（n ∈*N ）.（1）证明：2n b +> （2）证明：211{}n n n n b b b b +++--是等比数列，且{}n b 的通项公式是121[1()]32n n b -=--；（3）是否存在常数t ，对任意自然数n ∈*N 均有1n n b tb +≥成立？若存在，求t 的取值范围，否则，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，12t ≤ 【解析】 【分析】（1）由已知可得：1n a >．利用基本不等式的性质可得：112n n nlna lna lna +++，可得1n lna lna +，代入化简即可得出．（2）设1+=-n n n c b b ，由2n a +=*()n n b lna n N =∈．可得121112n n n n n n c b b c b b ++++-==--．即可证明211n n n n b b b b +++⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．（3）假设存在常数t ，对任意自然数*n N ∈均有1n n b tb +成立．由（2）可得：1211032n n b -⎡⎤⎛⎫=--≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．1n =时，10t ，解得t R ∈．2n 时，1min n n b t b +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，利用单调性即可得出．【详解】解：（1）依题意得，要证明2n b +>2ln na + 又因为2n a +=2lnn a +=，要证明2lnn a+>> 要证明>()1ln n n aa +⋅> 又因为1ln ln n n a a ++≥.（2）设1+=-n n n c b b ，因为2n a +=*ln ()n n b a n N =∈，则2112111111lnln 212ln ln n n nn n n n n n n n n n n a ac b b a a a a c b b a a +++++++++--====--所以：{}1n n b b +-是公比为12的等比数列，则()111211122n n n n b b b b --+⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()121321n n n b b b b b b b b -∴=+-+-++-2211101()()()222n -=++-+-+⋯⋯+-11111221113212n n --⎡⎤⎛⎫⋅--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭． nb 的通项公式是121132n n b -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦； （3）假设存在常数t ，对任意自然数*n N ∈均有1n n b tb +≥成立，由（2）知，1211032n n b -⎡⎤⎛⎫=--≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 1︒当1n =时，t R ∈；2︒当2n ≥时，1minn n b t b +⎛⎫≤⎪⎝⎭， 而1111(2)1(2)23321(2)2(2)2(2)2112nn n n n n n n b b +-⎛⎫-- ⎪---+-⎝⎭-===--+-+-+⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则当2n =时，m 132in12n n b b b b +⎛⎫==⎪⎝⎭，故存在这样的t ，12t ≤ 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2019届高三数学一模典题库(带参考答案)
2019届高三数学一模典题库一、填空题1.集合1. [19届宝山一模2] 集合U =R ，集合{|30}A x x =->，{|10}B x x =+>，则UBA =答案：(]1,3-2. [19届闵行一模1]已知全集U =R ，集合2{|30}A x x x =-≥，则UA =答案： (0,3)3. [19届崇明一模2]已知集合{|12}A x x =-<<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =答案：{0,1}4. [19届奉贤一模1]已知{|31}x A x =<，{|lg(1)}B x y x ==+，则A B =答案： R5. [19届虹口一模3]设全集U =R ，若{2,1,0,1,2}A =--，3{|log (1)}B x y x ==-，则()U A B =答案： {1,2}6. [19届金山一模1]已知集合{1,3,5,6,7}A =，{2,4,5,6,8}B =，则A B =答案： {5,6}7. [19届浦东一模1]已知全集U =R ，集合(,1][2,)A =-∞+∞，则UA =答案： (1,2)8. [19届青浦一模1]已知集合{1,0,1,2}A =-，(,0)B =-∞，则A B =答案： {1}-9. [19届松江一模1]设集合{|1}A x x =>，{|0}3xB x x =<-，则A B = 答案： (1,3)10. [19届徐汇一模2]已知全集U =R ，集合2{|,,0}A y y x x x -==∈≠R ，则UA =答案： (,0]-∞11. [19届杨浦一模1]设全集{1,2,3,4,5}U =，若集合{3,4,5}A =，则UA =答案：{1,2}12. [19届长嘉一模1]已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则AB =答案： {1,2,3,4,6}2.命题、不等式13. [19届虹口一模2]不等式21xx >-的解集为 答案： (1,2)14. [19届金山一模4]不等式|32|1x -<的解集为 答案： 1(,1)315. [19届青浦一模2]写出命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题 答案： 若a b <，则22am bm <16. [19届徐汇一模3]若实数x 、y 满足1xy =，则222x y +的最小值为答案：17. [19届杨浦一模5]若实数x 、y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是 答案： 11[,]22-3.函数18. [19届崇明一模11]设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上单调递减，且满足()1f π=，(2)2f π=，则不等式组121()2x f x ≤≤⎧⎨≤≤⎩的解集为答案：[2,82]ππ--19. [19届浦东一模10]已知函数()2||1f x x x a =+-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为答案： (,-∞20. [19届普陀一模1]函数2()f x x=的定义域为 答案： (,0)(0,1]-∞21. [19届普陀一模3]设11{,,1,2,3}32α∈--，若()f x x α=为偶函数，则α= 答案： 2-22. [19届奉贤一模9]函数()g x 对任意的x ∈R ，有2()()g x g x x +-=，设函数2()()2x f x g x =-，且()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，若2()(2)0f a f a +-≤，则实数a的取值范围为 答案： [2,1]-23. [19届闵行一模8]已知函数()|1|(1)f x x x =-+，[,]x a b ∈的值域为[0,8]， 则a b +的取值范围是 答案： [2,4]24. [19届松江一模12]已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x ⋅-=和(1)(1)4f x f x +⋅-=对任意的x ∈R 都成立，若当[0,1]x ∈时，()f x 的值域为[1,2]，则当[100,100]x ∈-时，函数()f x 的值域为答案： 100100[2,2]-25. [19届虹口一模6]函数8()f x x x=+，[2,8)x ∈的值域为答案：26. [19届青浦一模11]已知函数()2f x +=，当(0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间[1,1]-内()()(1)g x f x t x =-+有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是 答案： 1(0,]227. [19届徐汇一模11]已知λ∈R ，函数24()43x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是 答案： (1,3](4,)+∞28. [19届杨浦一模11]当0x a <<时，不等式22112()x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值为答案： 229. [19届长嘉一模7]已知幂函数()a f x x =的图像过点2，则()f x 的定义域为 答案： (0,)+∞30. [19届长嘉一模8]已知函数()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如图所示，则不等式()0()f xg x ≥的解集是答案： [1,2)4.指数函数、对数函数31. [19届宝山一模4]方程ln(931)0x x +-=的根为 答案：0x =32. [19届宝山一模8]函数()y f x =与ln y x =的图像关于直线y x =-对称，则()f x = 答案：()x f x e -=-33. [19届崇明一模9]若函数2()log 1x af x x -=+的反函数的图像经过点(3,7)-，则a = 答案：634. [19届奉贤一模3]设函数()2x y f x c ==+的图像经过点(2,5)，则()y f x =的反函数1()f x -=答案： 2log (1)x -，1x >35. [19届虹口一模4]设常数a ∈R ，若函数3()log ()f x x a =+的反函数的图像经过点(2,1)，则a = 答案： 836. [19届虹口一模12]若直线y kx =与曲线恰2|log (2)|2|1|x y x +=--有两个公共点，则实数k取值范围为 答案： (,0]{1}-∞37. [19届金山一模6]已知函数2()1log f x x =+，则1(5)f -=答案： 1638. [19届金山一模11]设函数21()lg(1||)1f x x x=+-+，则使(2)(32)f x f x <-成立的x 取值范围是 答案： 2(,)(2,)5-∞+∞39. [19届闵行一模4]方程110322x=-的解为 答案： 2log 5x =40. [19届浦东一模3]不等式2log 1021x >的解为答案： (4,)+∞41. [19届浦东一模5]若函数()y f x =的图像恒过点(0,1)，则函数1()3y f x -=+的图像一定经过定点 答案： (1,3)42. [19届普陀一模10]某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2010年每月的基础工资为2100元，绩效工资为2000元，从2011年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%，照此推算，此人2019年的年薪为 万元（结果精确到0.1） 答案： 10.443. [19届浦东一模12]已知函数2||2416()1()22x a x x x f x x -⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩，若对任意的1[2,)x ∈+∞，都存在唯一的2(,2)x ∈-∞，满足12()()f x f x =，则实数a 的取值范围为 答案： [2,6)-44. [19届普陀一模12]记a 为常数，记函数1()log 2a xf x a x=+-（0a >且1a ≠，0x a <<）的反函数为1()f x -，则11111232()()()()21212121af f f f a a a a ----+++⋅⋅⋅+=++++答案： 2a45. [19届青浦一模3]不等式2433(1)12()2x x x ---<的解集为 答案： (2,3)-46. [19届松江一模3]已知函数()y f x =的图像与函数x y a =(0,1)a a >≠的图像关于直线y x =对称，且点(4,2)P 在函数()y f x =的图像上，则实数a =答案： 247. [19届松江一模9]若|lg(1)|0()sin 0x x f x xx ->⎧=⎨≤⎩，则()y f x =图像上关于原点O 对称的点共有 对 答案： 448. [19届徐汇一模9]已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，()lg(1)f x x =+，令函数()()g x f x =（[1,2]x ∈），则()g x 的反函数为 答案： 1()310x g x -=-，[0,lg 2]x ∈ 49. [19届杨浦一模8]若函数1()ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆，则实数a 的取值范围为 答案： [1,0]-5. 三角函数50. [19届宝山一模1]函数()sin(2)f x x =-的最小正周期为 答案：π51. [19届宝山一模9]已知(2,3)A ，(1,4)B ，且1(sin ,cos )2AB x y =，,(,)22x y ππ∈-，则x y += 答案：6π或2π-52. [19届闵行一模10]在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 面积为S ，且224()S a b c =+-，则cos C =答案： 053. [19届杨浦一模2]已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为 答案： 6π54. [19届宝山一模11]张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b =45A ∠=︒，求边c .显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 只有一解，，那么a 的可能取值是 （只需填写一个合适的答案）答案：2a =或a ≥55. [19届奉贤一模7]在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，若222()a b c ++=，则角B 的值为 （用反正切表示）答案：56. [19届浦东一模7]在ABC △中，角A 、B 、C 对边是a 、b 、c . 若22(2a b =+⋅，b c =，则A = 答案：56π57. [19届普陀一模2]若1sin 3α=，则cos()2πα+= 答案： 13-58. [19届普陀一模8]设0a >且1a ≠，若log (sin cos )0a x x -=， 则88sin cos x x += 答案： 159. [19届青浦一模4]在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点34(,)55，则tan()πθ+的值为 答案： 43-60. [19届青浦一模8]设函数()sin f x x ω=（02ω<<），将()f x 图像向左平移23π单位后所得函数图像与原函数图像的对称轴重合，则ω= 答案：3261. [19届松江一模8]在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若22()6c a b =-+，3C π=，则△ABC 的面积=答案：62. [19届杨浦一模10]已知复数1cos 2()i z x f x =+，2cos )i z x x =++（x ∈R ，i 为虚数单位），在复平面上，设复数1z 、2z 对应的点分别为1Z 、2Z ，若1290Z OZ ︒∠=，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最小正周期为 答案： π63. [19届长嘉一模]已知(,)2a ππ∈，且tan 2a =-，则sin()a π-=答案：6. 数列64. [19届宝山一模12]如果等差数列{}n a 、{}n b 的公差都为d （0d ≠），若满足对于任意n ∈*N ，都有n n b a kd -= ，其中k 为常数，k ∈*N ，则称它们互为“同宗”数列，已知等差数列{}n a 中，首项11a =，公差2d =，数列{}n b 为数列{}n a 的“同宗”数列，若11221111lim()3n n n a b a b a b →∞++⋅⋅⋅+=，则k = 答案：3265. [19届崇明一模12]已知数列{}n a 满足：①10a =；②对任意的n ∈*N ，都有1n n a a +>成立.函数1()|sin ()|n n f x x a n=-，1[,]n n x a a +∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是 答案：(1)2n n π- 66. [19届闵行一模5]等比数列{}n a 中，121a a +=，5616a a +=，则910a a += 答案： 25667. [19届闵行一模12]若无穷数列{}n a 满足：10a ≥，当n ∈*N ，2n ≥时，1121||max{,,,}n n n a a a a a ---=⋅⋅⋅（其中121max{,,,}n a a a -⋅⋅⋅表示121,,,n a a a -⋅⋅⋅中的最大项），有以下结论：① 若数列{}n a 是常数列，则0n a =（n ∈*N ）； ② 若数列{}n a 是公差0d ≠的等差数列，则0d <； ③ 若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则1q >；④ 若存在正整数T ，对任意n ∈*N ，都有n T n a a +=，则1a 是数列{}n a 的最大项. 则其中的正确结论是 （写出所有正确结论的序号） 答案： ①②③④68. [19届浦东一模6]已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S . 若936S =，则348a a a ++=答案： 1269. [19届松江一模4]已知等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++= 答案： 1212. [19届杨浦一模12]设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前n 项和n T ，满足1(1)2n n n nT b +=-（n ∈*N ），且52d a b ==，若实数23{|}k k k m P x a x a -+∈=<<（k ∈*N ，3k ≥），则称m 具有性质k P ，若n H 是数列{}n T 的前n 项和，对任意的n ∈*N ，21n H -都具有性质k P ，则所有满足条件的k 的值为 答案： 3或470. [19届长嘉一模11]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n n a a ++=，若数列{}n S 收敛于常数A ，则首项1a 取值的集合为 答案： 1{}371. [19届长嘉一模12]已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123||||||||||||x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有 个元素 答案： 37. 向量72. [19届虹口一模11]如图，已知半圆O 的直径4AB =，OAC 是等边 三角形，若点P 是边AC （包含端点A 、C ）上的动点， 点Q 在弧BC 上，且满足OQ OP ⊥，则OP BQ ⋅的最 小值为 答案： 273. [19届金山一模12]已知平面向量a 、b 满足条件：0a b ⋅=，||cos a α=，||sin b α=，(0,)2πα∈，若向量c a b λμ=+(,)λμ∈R ，且22221(21)cos (21)sin 9λαμα-+-=，则||c 的最小值为 答案：1374. [19届闵行一模11]已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，且3παβ-=，若向量c 满足||1c a b --=，则||c 的最大值为 答案：31+75. [19届青浦一模12]已知平面向量a 、b 、c 满足||1a =，||||2b c ==，且0b c ⋅=，则当01λ≤≤时，|(1)|a b c λλ---的取值范围是答案： 1,3]76. [19届松江一模7]若向量a ，b 满足()7a b b +⋅=，且||3a =，||2b =，则向量a 与b 夹角为 答案：6π77. [19届松江一模10]已知A 、B 、C 是单位圆上三个互不相同的点，若||=||AB AC ，则AB AC ⋅的最小值是 答案： 12-78. [19届松江一模11]已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(,)x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，对于下列命题：① 线段A 、B 的中点的广义坐标为1212(,)22x x y y ++； ② A 、B 两点间的距离为1(x x -； ③ 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =； ④ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中的真命题是 （请写出所有真命题的序号） 答案： ①③79. [19届长嘉一模4]已知向量(3,)a m =，(1,2)b =-，若向量a ∥b ，则实数m = 答案： 6-8. 解析几何80. [19届崇明一模7]圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于 答案：281. [19届闵行一模7]已知两条直线1:4230l x y +-=和2:210l x y ++=，则1l 与2l 的距离为答案：82. [19届奉贤一模2]双曲线2213y x -=的一条渐近线的一个方向向量(,)d u v =，则u v=答案： 383. [19届普陀一模4]若直线l 经过抛物线2:4C y x =的焦点且其一个方向向量为(1,1)d =，则直线l 的方程为 答案： 1y x =-84. [19届普陀一模11]已知点(2,0)A -，设B 、C 是圆22:1O x y +=上的两个不同的动点，且向量(1)OB tOA t OC =+-（其中t 为实数），则AB AC ⋅= 答案： 385. [19届松江一模6]已知双曲线标准方程为2213x y -=，则其焦点到渐近线的距离为答案： 186. [19届金山一模2]抛物线24y x =的准线方程是 答案： 1x =-87. [19届奉贤一模8]椭圆2214x y t+=上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t 的取值范围为 答案： 25(3,4)(4,)488. [19届奉贤一模11]点P 19=上运动，E 是曲线第二象限上的定点，E 的纵坐标是158，(0,0)O ，(4,0)F ，若OP xOF yOE =+，则x y +的最大值是 答案：472089. [19届奉贤一模12]设11(,)A x y ，22(,)B x y 是曲线2224x y x y +=-的两点，则1221x y x y -的最大值是答案：290. [19届虹口一模8]双曲线22143x y -=的焦点到其渐近线的距离为答案：91. [19届浦东一模2]抛物线24y x =的焦点坐标为 答案： (1,0)92. [19届徐汇一模5]已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线方程是2y x =，它的一个焦点与抛物线220y x =的焦点相同，则此双曲线的方程是答案：221520x y -= 93. [19届徐汇一模6]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点，(3,1)n =是l 的一个法向量，已知数列{}n a 满足：对任意的正整数n ，点1(,)n n a a +均在l 上，若26a =，则3a 的值为 答案： 2-94. [19届徐汇一模12]已知圆22:(1)1M x y +-=，圆22:(1)1N x y ++=，直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于A 、B 两点，2l 与圆N 相交于C 、D 两点，点P 是椭圆22194x y +=上任意一点，则PA PB PC PD ⋅+⋅的最小值为 答案： 895. [19届杨浦一模3]已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为 答案：2π9. 复数96. [19届崇明一模3]若复数z 满足232i z z +=-，其中i 为虚数单位，则z = 答案：12i -97. [19届奉贤一模5]若复数(i)(34i)z a =++（i 是虚数单位）的实部与虚部相等，则复数z 的共轭复数的模等于答案：98. [19届闵行一模3]若复数z 满足(12i)43i z +=+（i 是虚数单位），则z = 答案： 2i -99. [19届虹口一模9]若复数sin i 1cos iz θθ-=（i 为虚数单位），则||z 的最大值为答案：12100. [19届松江一模2]若复数z 满足(34i)43i z -=+，则||z = 答案： 1101. [19届金山一模5]若复数(34i)(1i)z =+-（i 为虚数单位），则||z =答案：102. [19届浦东一模4]已知复数z 满足(1i)4i z +⋅=（i 为虚数单位），则z 的模为答案：103. [19届青浦一模6]如图所示，在复平面内，网格中的每个正方形的边长都为1，点A 、B 对应的复数分别是1z 、2z ，则21||z z = 答案：5104. [19届徐汇一模1]若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 答案： 210. 立体几何105. [19届宝山一模10] 将函数21y x =--的图像绕着y 轴旋转一周所得的几何容器的容积是 答案：23π106. [19届普陀一模5]若一个球的体积是其半径的43倍，则该球的表面积为 答案： 4107. [19届普陀一模9]如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为4， 记1111AC B D F =，11BC B C E =，若AE BF ⊥，则此棱柱的体积为 答案： 322108. [19届杨浦一模6]若圆锥的母线长5()l cm =，高4()h cm =，则这个圆锥的体积等于3()cm答案： 12π109. [19届浦东一模8]已知圆锥的体积为33π，母线与底面所成角为3π，则该圆锥的表面积为 答案： 3π110. [19届闵行一模9]如图，在过正方体1111ABCD A B C D -的任意两个顶点的 所有直线中，与直线1AC 异面的直线的条数为 答案： 12111. [19届崇明一模8]设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于 答案：33π112. [19届虹口一模5]若一个球的表面积为4π，则它的体积为 答案：43π113. [19届金山一模10]在120︒的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A 、B 两点，则这两个点在球面上的距离是答案： 2π114. [19届青浦一模5]已知直角三角形△ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，则△ABC 绕直线AC 旋转一周所得几何体的体积为 答案： 12π115. [19届长嘉一模9]如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD 的高度，D 为楼顶，线段AB 的长度为600m ，在A 处测得30DAB ∠=︒，在B 处测得105DBA ∠=︒，且此时看楼顶D 的仰角30DBC ∠=︒，已知楼底C 和A 、B 在同一水平面上，则此楼高度CD =m （精确到1m ）答案： 21211. 排列组合、概率、二项式定理116. [19届宝山一模5]从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每一个班级至少有一名代表，则各班的代表数有 种不同的选法（用数字作答） 答案：20117. [19届崇明一模4]281()x x-的展开式中含7x 项的系数为 （用数字作答） 答案：56-118. [19届闵行一模6]5(12)x -的展开式中3x 项的系数为 （用数字作答） 答案： 80-119. [19届长嘉一模3]在61()x x+的二项展开式中，常数项为 （结果用数值表示）答案：20120. [19届长嘉一模10]若甲、乙两位同学随机地从6门课程中选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的概率为 答案：920121. [19届金山一模7]从1、2、3、4这四个数中一次随机地抽取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 （结果用数值表示） 答案：13122. [19届普陀一模6]在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为 （结果用最简分数表示） 答案：712123. [19届普陀一模7]设523601236(1)(1=x x a a x a x a x a x -+++++⋅⋅⋅+），则3a = （结果用数值表示） 答案： 0124. [19届金山一模8]在31021()x x-的二项展开式中，常数项的值是 （结果用数值表示）答案： 210125. [19届崇明一模10]2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有 种 答案：1518126. [19届奉贤一模4]在52()x x-的展开式中，x 的系数为答案： 40127. [19届奉贤一模6]有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率是 答案：15128. [19届奉贤一模10]天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支. 十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为 年 答案： 戊戌129. [19届虹口一模7]二项式62)x的展开式的常数项为答案： 60130. [19届虹口一模10]已知7个实数1、2-、4、a 、b 、c 、d 依次构成等比数列，若成这7个数中任取2个，则它们的和为正数的概率为 答案：47131. [19届浦东一模9]已知二项式n 的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为 答案：358x 132. [19届青浦一模9]2018首届进博会在上海召开，现要从5男4女共9名志愿者中选派3名志愿者服务轨交2号线徐泾东站的一个出入口，其中至少要求一名男性，则不同的选派方案共有 种 答案： 80133. [19届徐汇一模7]已知21(2)n x x-（n ∈*N ）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含1x项的系数是 （结果用数值表示） 答案： 84-134. [19届徐汇一模8]上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如下表所示：上海某高中2018届高三（1）班选考物理学业水平等级考的学生中，有5人取得A +成绩， 其他人的成绩至少是B 级及以上，平均分是64分，这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为 人 答案： 15135. [19届杨浦一模4]若()n a b +展开式的二项式系数之和为8，则n =答案： 312. 行列式、矩阵、程序框图136. [19届宝山一模6]关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵为123015-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += 答案：8-137. [19届闵行一模4]方程110322x =-的解为答案： 2log 5x =138. [19届松江一模5]若增广矩阵为1112m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭的线性方程组无解，则实数m 的值为答案： 1-139. [19届徐汇一模4]若数列{}n a 的通项公式为2111n na n n=+（n ∈*N ），则lim n n a →∞= 答案： 1-140. [19届长嘉一模2]已知1312x -=，则x =答案： 1141. [19届杨浦一模9]在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则1()y f x =+的零点是答案： 1x =-13. 数学归纳法、极限142. [19届虹口一模1]计算：153lim 54n nn nn +→∞-=+答案： 5143. [19届浦东一模11]已知数列{}n a 满足：211007(1)2018(1)n n n na n a n a ++=-++()n ∈*N ，11a =，22a =，若1limn n na A a +→∞=，则A =答案： 1009144. [19届宝山一模7] 如果无穷等比数列{}n a 所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q =答案：23-145. [19届闵行一模2] 2221lim 331n n n n →∞-=++答案：23146. [19届崇明一模1]计算：20lim 31n n n →∞+=+答案：13147. [19届金山一模3]计算：21lim32n n n →∞-=+答案：23148. [19届金山一模9]无穷等比数列{}n a 各项和S 的值为2，公比0q <，则首项1a 的取值范围是 答案： (2,4)149. [19届青浦一模10]设等差数列{}n a 满足11a =，0n a >，其前n 项和为n S，若数列也为等差数列，则102limn n nS a +→∞=答案：14150. [19届杨浦一模7]在无穷等比数列{}n a 中，121lim()2n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=，则1a 的取值范围是 答案： 11(0,)(,1)2214. 参数方程、线性规划二、选择题1.命题、不等式151. [19届崇明一模13]若0a b <<，则下列不等式恒成立的是（ ）A.11a b> B. a b -> C. 22a b > D. 33a b < 答案：D152. [19届虹口一模13]已知x ∈R ，则“12||33x -<”是“1x <”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 答案： A153. [19届闵行一模13]若a 、b 为实数，则“1a <-”是“11a>-”的（ ） A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 答案： B154. [19届松江一模14]若0a >，0b >，则x y a b x y a b +>+⎧⎨⋅>⋅⎩是x ay b >⎧⎨>⎩的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要 答案： B155. [19届长嘉一模13]已知x ∈R ，则“0x ≥”是“3x >”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 答案： B2.函数156. [19届宝山一模15]关于函数23()2f x x =-的下列判断，其中正确的是（ ） A. 函数的图像是轴对称图形 B. 函数的图像是中心对称图形 C. 函数有最大值 D. 当0x >时，()y f x =是减函数 答案： A157. [19届虹口一模15]已知函数2()1f x ax x =-+，1,1(),111,1x g x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若函数()()y f x g x =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A. (0,)+∞B. (,0)(0,1)-∞C. 1(,)(1,)2-∞-+∞ D. (,0)(0,2)-∞答案： B158. [19届青浦一模16]记号[]x 表示不超过实数x 的最大整数，若2()[]30x f x =+，则(1)(2)(3)(29)(30)f f f f f +++⋅⋅⋅++的值为（ ）A. 899B. 900C. 901D. 902 答案： D159. [19届徐汇一模15]对于函数()y f x =，如果其图像上的任意一点都在平面区域{(,)|()()0}x y y x y x +-≤内，则称函数()f x 为“蝶型函数”，已知函数：①sin y x =；②y =；下列结论正确的是（ ）A. ①、②均不是“蝶型函数”B. ①、②均是“蝶型函数”C. ①是“蝶型函数”，②不是“蝶型函数”D. ①不是“蝶型函数”，②是“蝶型函数” 答案： B160. [19届杨浦一模15]已知sin ()log f x x θ=，(0,)2πθ∈，设sin cos ()2a f θθ+=，b f =，sin 2()sin cos c f θθθ=+，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. a c b ≤≤B. b c a ≤≤C. c b a ≤≤D. a b c ≤≤答案： D161. [19届杨浦一模16]已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ） A. [0,4) B. [1,4)- C. [3,5]- D. [0,7) 答案： A162. [19届长嘉一模16]某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题： 已知函数()y f x =的定义域为D ，12,x x D ∈，① 若当12()()0f x f x +=时，都有120x x +=，则函数()y f x =是D 上的奇函数； ② 若当12()()f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的增函数. 下列判断正确的是（ ）A. ①和②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①和②都是假命题D. ①是假命题，②是真命题 答案： C3.指数函数、对数函数163. [19届金山一模16]已知函数52|log (1)|1()(2)21x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程1(2)f x a x +-=（a ∈R ）的实数根个数不可能为（ ）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个 答案： A164. [19届普陀一模16]设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且2sin 201()2log 14x x f x x x π≤≤⎧=⎨<<⎩，记()()g x f x a =-，若102a <<，则函数()g x 在区间[4,5]-上零点的个数是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8 答案： D4. 三角函数165. [19届宝山一模14] “[,]22x ππ∈-”是“sin(arcsin )x x =”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 答案： B166. [19届奉贤一模13]下列以行列式表达的结果中，与sin()αβ-相等的是（ ） A.sin sin cos cos αβαβ- B.cos sin sin cos βαβα C. sin sin cos cos αβαβ D. cos sin sin cos ααββ-答案： C167. [19届普陀一模14]函数2cos(2)4y x π=+的图像（ ） A. 关于原点对称 B. 关于点3(,0)8π-C. 关于y 轴对称D. 关于直线4x π=轴对称答案： B168. [19届松江一模15]将函数()2sin(3)4f x x π=+的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若12()()9g x g x ⋅=，其中12,[0,4]x x π∈，则12x x 的最大值为（ ） A. 9 B.375C. 3D. 1答案： A169. [19届徐汇一模13]设θ∈R ，则“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 答案： A170. [19届杨浦一模13]下列函数中既是奇函数，又在区间[1,1]-上单调递减的是（ ） A. ()arcsin f x x = B. ()lg ||f x x = C. ()f x x =- D. ()cos f x x = 答案： C5. 数列171. [19届崇明一模16]函数()f x x =，2()2g x x x =-+，若存在129,,,[0,]2n x x x ⋅⋅⋅∈，使得121121()()()()()()()()n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++，则n 的最大值是（ ）A. 11B. 13C. 14D. 18 答案：B172. [19届徐汇一模16]已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，前n 项和为n S ，若对任意的n ∈*N ，都有3n S S ≥，则65a a 的值不可能为（ ） A. 2 B. 53 C. 32D. 43 答案： D173. [19届奉贤一模15]各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim 3n n n n nS a S a →∞-<+，则q 的取值范围是（ ）A. (0,1)B. (2,)+∞C. (0,1](2,)+∞D. (0,2)答案： B6. 向量174. [19届崇明一模15]已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且222a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ）A. a b ⋅B. b c ⋅C. a c ⋅D. 不能确定的答案：B175. [19届浦东一模16]已知点(1,2)A -，(2,0)B ，P 为曲线y =上任意一点，则AP AB ⋅的取值范围为（ ）A. [1,7]B. [1,7]-C. [1,3+D. [1,3-+ 答案： A176. [19届闵行一模16]在平面直角坐标系中，已知向量(1,2)a =，O 是坐标原点，M 是曲线||2||2x y +=上的动点，则a OM ⋅的取值范围为（ ）A. [2,2]-B. [C. [D. [ 答案： A177. [19届长嘉一模15]已知向量a 和b 夹角为3π，且||2a =，||3b =，则(2)(2)a b a b -⋅+=（ ）A. 10-B. 7-C. 4-D. 1- 答案： D7. 解析几何178. [19届宝山一模16]设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则12|2|MF MF MN +-的最小值为（ ）A. B. 4 C. D. 以上都不对 答案： B179. [19届普陀一模13]下列关于双曲线22:163x y Γ-=的判断，正确的是（ ） A. 渐近线方程为20x y ±= B. 焦点坐标为(3,0)± C. 实轴长为12 D. 顶点坐标为(6,0)± 答案： B180. [19届虹口一模16]已知点E 是抛物线2:2C y px =(0)p >的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线C 上，在EFP 中，若sin sin EFP FEP μ∠=⋅，则μ的最大值为（ ）A.B. C.D. 答案： C181. [19届金山一模13]已知方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A. 2m >或1m <-B. 2m >-C. 12m -<<D. 2m >或21m -<<- 答案： D182. [19届闵行一模15]已知函数y =（x a ≥，0a >，0b >）与其反函数有交点，则下列结论正确的是（ ）A. a b =B. a b <C. a b >D. a 与b 的大小关系不确定 答案： B183. [19届青浦一模14]长轴长为8，以抛物线212y x =的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为（ ）A.2216455x y += B. 2216428x y += C. 2212516x y += D. 221167x y += 答案： D184. [19届松江一模13]过点(0,1)且与直线210x y -+=垂直的直线方程是（ ） A. 210x y +-= B. 210x y ++= C. 220x y -+= D. 210x y --= 答案： A185. [19届松江一模16]对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C ，若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集{|(,)1}D P d P C =≤所表示的图形的面积为（ ）A. 36B. 36-C. 36π+D. 36π- 答案： D8. 复数186. [19届崇明一模14] “2p <”是“关于x 的实系数方程210x px ++=有虚根”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 答案：B187. [19届金山一模15]欧拉公式i e cos isin xx x =+（i 为虚数单位，x ∈R ，e 为自然底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2018ie表示的复数在复平面中位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 答案： A188. [19届浦东一模13] “14a <”是“一元二次方程20x x a -+=有实数解”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 答案： A9. 立体几何189. [19届奉贤一模14]若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件 答案： A190. [19届浦东一模14]下列命题正确的是（ ）A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行C. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行D. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 答案： D191. [19届徐汇一模14]魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4π，若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（ ）A. 16B.C.163 D. 1283答案： C192. [19届普陀一模15]若a 、b 、c 表示直线，α、β表示平面，则“a ∥b ”成立的一个充分非必要条件是（ ）A. a b ⊥，b c ⊥B. a ∥α，b ∥αC. a β⊥，b β⊥D. a ∥c ，b c ⊥ 答案： C193. [19届青浦一模15]对于两条不同的直线m 、n 和两个不同的平面α、β，以下结论正确的是（ ）A. 若m α，n ∥β，m 、n 是异面直线，则α、β相交B. 若m α⊥，m β⊥，n ∥α，则n ∥βC. m α，n ∥α，m 、n 共面于β，则m ∥nD. 若m α⊥，n β⊥，α、β不平行，则m 、n 为异面直线 答案： C194. [19届闵行一模14]已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，a αβ=，a ∥b ，则下列结论不可能成立的是（ ）A. b β，且b ∥αB. b α，且b ∥βC. b ∥α，且b ∥βD. b 与α、β都相交 答案： D195. [19届虹口一模14]关于三个不同平面α、β、γ与直线l ，下来命题中的假命题是（ ） A. 若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于β B. 若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β C. 若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥D. 若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β答案： D196. [19届金山一模14]给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 答案： B10. 排列组合、概率、二项式定理197. [19届宝山一模13]若等式232301231(1)(1)(1)x x x a a x a x a x +++=+-+-+-对一切x ∈R 都成立，其中0a 、1a 、2a 、3a 为实常数，则0123a a a a +++=（ ）A. 2B. 1-C. 4D. 1 答案： D198. [19届青浦一模13] “4n =”是“1()n x x+的二项展开式存在常数项”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案： A199. [19届杨浦一模14]某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（ ） A.310 B. 35 C. 25 D. 23答案： B200. [19届浦东一模15] 将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（ ）种A. 72B. 36C. 64D. 81 答案： B201. [19届奉贤一模16]若三个非零且互不相等的实数1x 、2x 、3x 成等差数列且满足123112x x x +=，则称1x 、2x 、3x 成“β等差数列”，已知集合{|||100,}M x x x =≤∈Z ，则由M 中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为（ ） A. 25 B. 50 C. 51 D. 100 答案： B11. 行列式、矩阵12. 其它202. [19届长嘉一模14]有一批种子，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，下表是不同发芽天数的种子数的记录：。
2019上海高三数学金山一模
上海市金山区2019届高三一模数学试卷2018.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,3,5,6,7}A =，{2,4,5,6,8}B =，则A B =2. 抛物线24y x =的准线方程是3. 计算：21lim32n n n →∞-=+4. 不等式|32|1x -<的解集为5. 若复数(34i)(1i)z =+-（i 为虚数单位），则||z =6. 已知函数2()1log f x x =+，则1(5)f -=7. 从1、2、3、4这四个数中一次随机地抽取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概 率是 （结果用数值表示） 8. 在31021()x x -的二项展开式中，常数项的值是 （结果用数值表示） 9. 无穷等比数列{}n a 各项和S 的值为2，公比0q <，则首项1a 的取值范围是 10. 在120︒的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A 、B 两 点，则这两个点在球面上的距离是 11. 设函数21()lg(1||)1f x x x=+-+，则使(2)(32)f x f x <-成立的x 取值范围是 12. 已知平面向量a 、b 满足条件：0a b ⋅=，||cos a α=，||sin b α=，(0,)2πα∈，若向量c a b λμ=+(,)λμ∈R ，且22221(21)cos (21)sin 9λαμα-+-=，则||c 的最小值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A. 2m >或1m <- B. 2m >- C. 12m -<< D. 2m >或21m -<<-14. 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件15. 欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位，x ∈R ，e 为自然底数）是由瑞士著名数 学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2018i e 表示的复数在复平面中位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限16. 已知函数52|log (1)|1()(2)21x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程1(2)f x a x +-=（a ∈R ）的实数根个 数不可能为（ ）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，M 是 BC 的中点，若底面ABC 是边长为 2的正三角形，且PB 与底面ABC 所成的角为3π. 求： （1）三棱锥P ABC -的体积；（2）异面直线PM 与AC 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）18. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(3,3)P -. （1）求行列式sin 1tan cos ααα的值；（2）若函数()cos()cos sin()sin f x x x αααα=+++()x ∈R ，求函数23(2)2()2y f x f x π=-+的最大值，并指出取得最大值时x 的值.19. 设函数()21x f x =-的反函数为1()f x -，4()log (31)g x x =+. （1）若1()()f x g x -≤，求x 的取值范围D ； （2）在（1）的条件下，设11()()()2H x g x f x -=-，当x D ∈时，函数()H x 的图像与直线 y a =有公共点，求实数a 的取值范围.20. 已知椭圆C 以坐标原点为中心，焦点在y 轴上，焦距为2，且经过点(1,0). （1）求椭圆C 的方程；（2）设点(,0)A a ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值()d a ； （3）在（2）的条件下，当01a <<时，设QOA 的面积为1S （O 是坐标原点，Q 是曲线C 上横坐标为a 的点），以()d a 为边长的正方形的面积为2S ，若正数m 满足12S mS ≤，问m 是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由.21. 在等差数列{}n a 中，13515a a a ++=，611a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意m ∈*N ，将数列{}n a 中落入区间121(2,2)m m ++内的项的个数记为{}m b ，记数列{}m b 的前m 项和为m S ，求使得2018m S >的最小整数m ；（3）若n ∈*N ，使不等式1111(21)n n n n a n a a a λ+++≤+≤+成立，求实数λ的取值范围.参考答案一. 填空题1. {5,6}2. 1x =-3. 234. 1(,1)35. 6. 16 7.13 8. 210 9. (2,4) 10. 2π 11. 2(,)(2,)5-∞+∞ 12. 13二. 选择题13. D 14. B 15. A 16. A三. 解答题。
2019学年金山区高三一模数学试卷
2019金山区高三数学一模试卷一、填空题（本题满分54分，本大题共有12题，6~1每题4分，12~7每题5分) 1.已知集合{}{}8,6,5,4,2,7,6,5,3,1==B A ，则=B A . 2.抛物线x y 42=的准线方程是 . 3.计算：_________2312lim =+-∞→n n n4.不等式123<-x 的解集是 .5.若复数()()i i z -+=143(i 为虚数单位)，则=z .6.已知函数()x x f 2log 1+=，则()=-51f _______.7.从4321，，，这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________(结果用数值表示)8.在10231⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 二项展开式中，常数项的值是_______.(结果用数值表示)9.无穷等比数列{}n a 各项和S 的值为2，公比0<q ，则首项1a 的取值范围是_______.10.在120的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于B A 、两点，则这两个点在球面上的距离是_________.11.设函数()()2111lg xx x f +-+=，则使得()()232-<x f x f 成立的x 的取值范围是_________.12.已知平面向量,满足条件：⎪⎭⎫⎝⎛∈===⋅2,0,sin cos 0πααα.若向量μλ+=(R ∈μλ,),且()()91sin 12cos 122222=-+-αμαλ的最小值为_________.二、选择题（本题满分20分）13.已知方程12222=++m y m x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( ).A 2>m 或1-<m .B 2->m .C 21<<-m .D 2>m 或12-<<-m14.给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的( ).A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件15.欧拉公式x i x e ixsin cos +=(i 为虚数单位,e R x ,∈为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，ie 2018表示的复数在复平面中位于( ).A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限16.已知函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥+--<-=1,221,1log 25x x x x x f ，则函数a x x f =⎪⎭⎫⎝⎛-+21()R a ∈的实数根个数不可能为( ).A 5个 .B 6个 .C 7个 .D 8个三、解答题（本题满分76分）17.如图，三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，M 是BC 的中点，若底面ABC 是边长为2的正三角形，且PB 与底面ABC 所成的角为3π，求： (1)三棱锥ABC P -的体积；(2)异面直线PM 与AC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示).18.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()3,3-.(1)(2)若函数()()()()R x x x x f ∈+++=ααααsin sin cos cos ，求函数()x f x f y 22223+⎪⎭⎫⎝⎛-=π的最大值，并指出取得最大值时x 的值.19.设函数()12-=xx f 的反函数为()()()13log ,41+=-x x g x f.（1）若()()x g x f≤-1，求x 的取值范围D ；（2）在(1)的条件下，设()()()x f x g x H 121--=，当D x ∈时，函数()x H 的图像与直线a y =有公共点，求实数a 的取值范围.20.已知椭圆C 以坐标原点为中心，焦点在y 轴上，焦距为2，且经过点()0,1. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点()0,a A ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值()a d ；(3)在(2)的条件下，当10<<a 时，设QOA ∆的面积为1S (O 是坐标原点，Q 是曲线C 上横坐标为a 的点)，以()a d 为边长的正方形的面积为2S ，若正数m 满足21mS S ≤，问m 是否存在最小值，若存在，求出此最小值；若不存在，请说明理由.21.在等差数列{}n a 中，11,156531==++a a a a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意*∈N m ，将数列{}n a 中落入区间()1212,2++m m 内的项的个数记为{}m b ，记数列{}m b 的前m 项和m S ，求使得2018>m S 的最小整数m ； （3）若*∈N n ，使不等式()111121+++≤+≤+n n n n a a n a a λ成立，求实数λ的取值范围.参考答案：1.{}6,5；2.1-=x ；3.32；4.⎪⎭⎫⎝⎛1,31；5.25；6.16；7.31；8.210；9.()4,2；10.π2；11.()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,252, ；12.31；13.D ；14.B ；15.A ；16.A ；17.(1)2；(2)1015arccos； 18.(1)123；(2)当()Z k k x ∈+=6ππ时，3=MAX y ；19.(1)[]1,0；(2)⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0a ；20.(1)1222=+x y ；(2)()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤≤-+-<-=1,111,221,12a a a a a a a d ；(3)81； 21.(1)*∈-=N n n a n ,12；(2)6；(3)⎥⎦⎤⎢⎣⎡910,32.。
上海市金山区2019届高三上学期(一模)期末质量监控数学试题+Word版含解析
试题分析：
பைடு நூலகம்
开口向右，所以它的准线方程为 x=-1
考点：本题考查抛物线的标准方程
点评：开口向右的抛物线方程为
，准线方程为
3. 计算：
______
【答案】 【解析】 【分析】 分子分母同时除以 n, 计算可得极限 .
【详解】
＝
＝
故答案为 : .
【点睛】本题考查 型极限问题，解题的关键是合理地选取公式．
金山区 2019 届高三上学期期末质量监控 数学试卷 2018.12
一 . 填空题。
1. 已知集合
，
，则
___
【答案】
【解析】
【分析】
对集合 A 和集合 B 取交集即可得到答案 .
【详解】
，
,
则
,
故答案为：
.
【点睛】本题考查集合的交集运算 .
2. 抛物线 【答案】 【解析】
的准线方程是 ______
【答案】
【解析】
【分析】
写出二项展开式的通项公式，令 x 的指数为 0，计算即可求出展开式的常数项．
【详解】展开式的通项为
Tr +1＝（﹣
C x 1） ， r r 30﹣5r 10
令 30﹣ 5r ＝ 0 得 r ＝6，
所以展开式中的常数项为
C6 10
＝
210，
故答案为： 210．
【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
9. 无穷等比数列
各项和 的值为 2，公比
，则首项 的取值范围是 ________
【答案】 【解析】 【分析】 由无穷等比数列 { an} 的各项和为 2 且
，解不等式可得 a1 范围．
2019年上海市金山中学高考数学选择题专项训练(一模)
2019年上海市金山中学高考数学选择题专项训练（一模）抽选各地名校试卷，经典试题，有针对性的应对高考数学考点中的难点、重点和常规考点进行强化训练。
第 1 题：来源：山东省新泰二中2018_2019学年高二数学上学期第三次阶段性测试试题等比数列中，是方程的两个实数根，则的值为A.2B.或C.D.【答案】B第 2 题：来源：安徽省肥东县高级中学2019届高三数学10月调研考试试题理在中，，，，点是内一点（含边界），若，则的取值范围为（）A. B. C.D.【答案】D第 3 题：来源：宁夏银川市2017_2018学年高二数学上学期期末考试试题理试卷及答案已知函数f(x)=x2(ax+b)(a,b∈R)在x=2时有极值，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线3x+y=0平行，则函数f(x)的单调减区间为A．（－∞，0） B．（0，2） C．（2，+∞） D．（－∞，+∞）【答案】B第 4 题：来源： 2016_2017学年湖北省孝感市七校高一数学下学期期中试题试卷及答案理.在等差数列中，，则该数列公差d等于（ )A． B．或 C．- D．或- 【答案】D第 5 题：来源：广东省天河区普通高中2017_2018学年高二数学11月月考试题02 试卷及答案函数的图像向右平移个单位后所得的图像关于点中心对称．则不可能是( )A．B．C．D．【答案】 A第 6 题：来源：湖南省双峰县2017_2018学年高二数学上学期第一次月考试题已知是第二象限角,,函数的图像关于直线对称,则( )A． B. C.D.【答案】C第 7 题：来源：高中数学第一章常用逻辑用语单元检测新人教B版选修1设p，q是两个命题，则命题“p∨q”为真的充要条件是( )A．p，q中至少有一个为真B．p，q中至少有一个为假C．q，p中有且只有一个为真D．p为真，q为假【答案】A第 8 题：来源：福建省莆田市第二十四中学2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题试卷及答案理如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，则第三小组的频率为（）A．0.125 B．0.25 C．0.375D．0.500【答案】C第 9 题：来源：江西省南昌市两校联考2017届高三数学下学期期中试卷文（含解析）．已知各项均不为零的数列{an}，定义向量．下列命题中真命题是（）A．若∀n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等比数列B．若∀n∈N*总有cn∥bn成立成立，则数列{an}是等比数列C．若∀n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等差数列D．若∀n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等差数列【答案】C【考点】8H：数列递推式．【分析】根据题意，分析平面向量平行、垂直的坐标表示，判断数列{an}是否为等差或等比数列．【解答】解：若cn∥bn成立，则﹣2nan=（2n+2）an+1，即﹣nan=（n+1）an+1，即=﹣，∴an=•…•a1=（﹣）•（﹣）•…•（﹣）•a1=（﹣1）n﹣1a1，∴数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列，∴B，D错误，若∀n∈N*总有cn⊥bn成立，则（2n+2）an﹣2nan+1=0，nan=（n+1）an+1，即=，∴an=•…•a1=••…•2•a1=na1，∴数列{an}是等差数列，∴A错误，C正确，故选：C第 10 题：来源：山东省临沂市第十九中学2019届高三数学第三次质量调研考试试题理由直线，，曲线及轴所围成的封闭图形的面积是（）A． B． C． D．【答案】A第 11 题：来源： 2017年3月湖北省七市（州）高三联合考试数学试卷（理科）含答案集合,，则等于A．B．C．D．【答案】B第 12 题：来源：江西省吉安市新干县2016_2017学年高二数学下学期第一次段考试题（3、4班）试卷及答案一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体可以是（）图 1A．棱柱 B．棱台C．圆柱D．圆台【答案】. D第 13 题：来源：山东省济南市2018届高三数学上学期12月考试试题理试卷及答案已知定义在上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（）A． B． C．D．【答案】C第 14 题：来源：重庆市忠县三汇中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题设,向量且∥，则|+|=（）A． B． C．2 D．10【答案】B第 15 题：来源：江西省上饶市玉山县第一中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题理（10_19班）已知复数，则的共轭复数为（）A . B. C.D.【答案】B第 16 题：来源：江西省吉安市新干县2016_2017学年高二数学下学期第一次段考试题（3、4班）试卷及答案空间中四点可确定的平面有（）A．1个B．3个 C．4个 D．1个或4个或无数个【答案】 D第 17 题：来源：安徽省巢湖市2017_2018学年高一数学上学期期中试题试卷及答案下列函数中，是减函数且定义域为（0，+∞）的是（）A. y=log2xB. y=C. y=D. y=【答案】 D第 18 题：来源：甘肃省静宁县2018届高三数学上学期第一次月考试题理试卷及答案已知函数的导函数为，且满足，则（）A. B. C. D.【答案】A第 19 题：来源：河南省洛阳市2016_2017学年高二数学下学期期末试卷理试卷及答案设x＞0，由不等式x+≥2，x+≥3，x+≥4，…，推广到x+≥n+1，则a=（）A．2n B．2n C．n2 D．nn【答案】D．第 20 题：来源：广东省天河区普通高中2017_2018学年高一数学10月月考试题试卷及答案08 下列函数为偶函数的是( )A． B．C． D．【答案】D第 21 题：来源：西藏拉萨市2016_2017学年高二数学下学期第六次月考（期中）试卷理（含解析）计算定积分（2x﹣）dx的值是（）A．0 B． C． D．【答案】B【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：（2x﹣）dx=（x2+）|=（9+）﹣（1+1）=，故选：B．第 22 题：来源：河北省衡水中学2018届高三数学上学期一轮复习周测试题理试卷及答案对于任意两个正整数，定义某种运算“*”，法则如下：当都是正奇数时，；当不全为正奇数时，，则在此定义下，集合的真子集的个数是（）A． B． C. D．【答案】C第 23 题：来源： 2019高中数学第四章框图测评（含解析）新人教A版选修1_2把两条直线的位置关系依次填入下图中的M,N,E,F中,顺序较为恰当的是( )①直线在平面内;②直线与平面平行;③直线在平面外;④直线与平面相交.A.①②③④B.①④②③C.①③②④D.②①④③【答案】C第 24 题：来源：福建省永春县第一中学2017_2018学年高一数学下学期6月考试试题（含解析）阅读如左下图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【详解】根据框图，当，，，，，周期为4，所以，故选A.第 25 题：来源：四川省广安市邻水县2017_2018学年高一数学上学期第一次月考试题试卷及答案直角梯形OABC，被直线x=t截得的左边图形的面积S=f(t)的大致图象是( )【答案】C.由图象知，所以选C.第 26 题：来源：黑龙江省双鸭山市第一中学2019届高三数学上学期第一次月考试题理（含解析）用数学归纳法证明：（）能被整除．从假设成立到成立时，被整除式应为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】由于当n=k+1 时，x2n-1+y2n-1 =x2k+1 +y2k+1，第 27 题：来源：河北省邢台市2018届高三数学上学期第一次月考（开学考试）试题理已知中，，则的最大值是( )A. B. C. D.【答案】A第 28 题：来源：辽宁省大石桥市2017_2018学年高二数学上学期期初考试试题某计算程序如右图所示，其中①填入的是（）A. 5050B. 2525C. 2601D. 2500【答案】D第 29 题：来源：安徽省合肥市2018届高三数学上学期第一次月考试题试卷及答案理集合，，则（）A. B. C.D.【答案】B第 30 题：来源：安徽省定远重点中学2019届高三数学上学期第二次月考试题理函数的部分图像大致为A B CD【答案】C第 31 题：来源：甘肃省民勤县第一中学2017_2018学年高二数学上学期期末考试试题理过点作斜率为 (≠0)的直线与双曲线交于两点，线段的中点为，为坐标原点，的斜率为，则等于A. B. C.D.【答案】B第 32 题：来源：安徽省滁州市定远县育才学校2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题（实验班）若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是( )A． (－，＋∞) B． [－，1] C． (1，＋∞) D． (－∞，－) 【答案】A第 33 题：来源：课时跟踪检测试卷两角和与差的正弦试卷及答案已知sin α＝且α为第二象限角，则tan＝( )A．－B ．－C．－D．－【答案】D第 34 题：来源：江西省南昌市2018届高三数学上学期第五次月考试题理试卷及答案已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A第 35 题：来源：陕西省黄陵县2017_2018学年高二数学上学期开学考试试题（重点班，含解析）已知为锐角，，，则的值为( )A. B. C. － D.【答案】A【解析】因为α，β为锐角，且cosα＝，所以sinα＝，所以tanα＝.又tan(α－β)＝＝＝－，所以tanβ＝，即＝，因为β为锐角，所以13cosβ＝9，整理得cosβ＝.本题选择A选项.第 36 题：来源：四川省成都外国语学校2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题试卷及答案右图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图像，只要将的图象上所有的点 ( )A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变【答案】D第 37 题：来源：陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三数学3月联考试卷理（含解析）抛物线x2＝ y在第一象限内图象上的一点（ai，2ai2）处的切线与x轴交点的横坐标记为ai+1，其中i ∈N+，若a2＝32，则a2+a4+a6等于（）A. 64B. 42C.32 D. 21【答案】B【解析】试题分析：，∴，∴过点的切线方程为，令，得，可得，又，所以．考点：1．导数的几何性质；2．等比数列．第 38 题：来源：山东省桓台县2018届高三数学9月月考试题理设，则“”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【答案】B第 39 题：来源：宁夏石嘴山市2018届高三数学上学期期中试题理若为不等式组表示的平面区域，当从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域的面积为（）A. B. C.D.【答案】A第 40 题：来源：山西省吕梁市泰化中学2018_2019学年高二数学上学期第一次月考试题在中，，，，如图所示,若将绕旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）A. B. C. D.【答案】D。
上海市金山区2019年高三第一学期期末(一模)学科质量检测数学试题及答案(word版)
金山区2018-2019学年第一学期高三年级质量调研考试 数学试卷 2018.12考生注意：1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,3,5,6,7}A =，{2,4,5,6,8}B =，则A B =2. 抛物线24y x =的准线方程是3. 计算：21lim32n n n →∞-=+4. 不等式|32|1x -<的解集为5. 若复数(34i)(1i)z =+-（i 为虚数单位），则||z =6. 已知函数2()1log f x x =+，则1(5)f -=7. 从1、2、3、4这四个数中一次随机地抽取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概 率是 （结果用数值表示）8. 在31021()x x -的二项展开式中，常数项的值是 （结果用数值表示） 9. 无穷等比数列{}n a 各项和S 的值为2，公比0q <，则首项1a 的取值范围是 10. 在120︒的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A 、B 两 点，则这两个点在球面上的距离是11. 设函数21()lg(1||)1f x x x =+-+，则使(2)(32)f x f x <-成立的x 取值范围是 12. 已知平面向量a 、b 满足条件：0a b ⋅=，||cos a α=，||sin b α=，(0,)2πα∈，若向量c a b λμ=+(,)λμ∈R ，且22221(21)cos (21)sin 9λαμα-+-=，则||c 的最小值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A. 2m >或1m <-B. 2m >-C. 12m -<<D. 2m >或21m -<<-14. 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件15. 欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位，x ∈R ，e 为自然底数）是由瑞士著名数 学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2018i e 表示的复数在复平面中位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限16. 已知函数52|log (1)|1()(2)21x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程1(2)f x a x +-=（a ∈R ）的实数根个 数不可能为（ ）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，M 是 BC 的中点，若底面ABC 是边长为 2的正三角形，且PB 与底面ABC 所成的角为3π. 求：（1）三棱锥P ABC -的体积； （2）异面直线PM 与AC 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）18. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(3,3)P -. （1）求行列式sin 1tan cos ααα的值； （2）若函数()cos()cos sin()sin f x x x αααα=+++()x ∈R ，求函数23(2)2()2y f x f x π=-+的最大值，并指出取得最大值时x 的值.19. 设函数()21x f x =-的反函数为1()f x -，4()log (31)g x x =+. （1）若1()()f x g x -≤，求x 的取值范围D ； （2）在（1）的条件下，设11()()()2H x g x f x -=-，当x D ∈时，函数()H x 的图像与直线 y a =有公共点，求实数a 的取值范围.20. 已知椭圆C 以坐标原点为中心，焦点在y 轴上，焦距为2，且经过点(1,0). （1）求椭圆C 的方程；（2）设点(,0)A a ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值()d a ； （3）在（2）的条件下，当01a <<时，设QOA 的面积为1S （O 是坐标原点，Q 是曲线C 上横坐标为a 的点），以()d a 为边长的正方形的面积为2S ，若正数m 满足12S mS ≤，问m 是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由.21. 在等差数列{}n a 中，13515a a a ++=，611a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意m ∈*N ，将数列{}n a 中落入区间121(2,2)m m ++内的项的个数记为{}m b ，记数列{}m b 的前m 项和为m S ，求使得2018m S >的最小整数m ；（3）若n ∈*N ，使不等式1111(21)n n n n a n a a a λ+++≤+≤+成立，求实数λ的取值范围.金山区2018-2019学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案一. 填空题1. {5,6}2. 1x =-3. 234. 1(,1)35. 526. 167. 13 8. 2109. (2,4) 10. 2π 11. 2(,)(2,)5-∞+∞ 12. 13二. 选择题13. D 14. B 15. A 16. A 三. 解答题。
2019年第一学期期末考试高三数学试题(正式)
金山区2019年第一学期期末考试高三数学试题考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚．2．本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若集合A ={x | 1<|x –1|<3，x ∈Z }，用列举法表示A = ．2．已知sin θ=135，θ是第二象限的角，则tan θ= ． 3．函数y=log 2 x 的反函数是 ． 4．计算：sin(arctan33)= ． 5．若cos ϕ= –53，ϕ∈(2π, π)，则sin(ϕ+6π)= ． 6．在边长为2的正方形ABCD 中，若E 是CD 的中点，则⋅= ．7．若矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110，矩阵B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21，则矩阵A 和B 的乘积AB = ． 8．行列式6cos 6sin 6sin6cos ππππ的值是 ． 9．在(xx 1-)12的二项展开式中，常数项的值为 ． 10．已知向量=(k 2+k –3)+(1–k )j ，= –3+(k –1)j ，若向量与平行，则k = ．11．若有下列命题：① |x |2+|x |–2=0有四个实数解；② 设a 、b 、c 是实数，若二次方程ax 2+bx+c =0无实根，则ac ≥0；③ 若x 2–3x +2≠0，则x ≠2，④ 若x ∈R ，则函数y=42+x +412+x 的最小值为2．上述命题中是假命题的有 (写出所有假命题的序号)．12．“渐升数”是指在一个数中，每一位数字比其左边的一位数字大(除首位数字)，如：24579就是一个五位“渐升数”．那么在二位“渐升数”中，任取一个二位渐升数，则该数比45大的概率是 ．13．函数y=|x 2–1|和函数y=x+k 的图像恰有三个交点，则k 的值是 ．14．如图，把正三角形AB C 分成有限个全等的小正三角形，且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数，使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等．设点A 为第一行，…，BC为第n 行，记点A 上的数为a 11=1，…，第i 行中第j个数为a ij (1≤j ≤i )．若a 21=21，a 22=41，则a 31+a 32+a 33= ．二、选择题 (本大题共有4题，考生应在答题纸相应编号的位置内填涂，每小题5分，共20分)15．“x =2k π+4π(k ∈Z )”是“tan x =1”成立的 ( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件16．下列给出的赋值语句中正确的是 ( )(A)3=A (B)M=M+1 (C) B+A –2=0 (D)x+y=017．设S k =11+k +21+k +31+k +…+k 21，则S k +1为 ( ) (A)S k +)1(21+k (B)S k +121+k +)1(21+k (C)S k +121+k –)1(21+k (D)S k +)1(21+k –121+k 18．定义：k n k a 1=∏=a 1a 2a 3…a n ，则∞→n lim )11(22k n k -∏=的值为 ( ) (A) 0 (B) 31 (C) 21 (D)1三、解答题(把解题的主要步骤写在相应序号的方框内，如果写错位置，该题不予评分，责任自负．本大题有5个小题，共74分)19．(本题12分)已知a 、b 、c 是∆ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是∆ABC 的面积，若a=4，b=5，S =53，求c 的长度．20．(本题14分)已知向量=(sin x , cos x )，向量=(cos x , sin x )，x ∈R ，函数f (x )= (+)．(1)求函数f (x )的最大值、最小值与最小正周期；(2)求使不等式f (x )≥23成立的x 的取值范围．21．(本题14分)阅读：设Z 点的坐标(a , b )，r =|OZ |，θ是以x 轴的非负半轴为始边、以OZ 所在的射线为终边的角，复数z=a+b i 还可以表示为z=r (cos θ+isin θ)，这个表达式叫做复数z 的三角形式，其中，r 叫做复数z 的模，当r ≠0时，θ叫做复数z 的幅角，复数0的幅角是任意的，当0≤θ<2π时，θ叫做复数z 的幅角主值，记作arg z ．根据上面所给出的概念，请解决以下问题：(1)设z=a+b i =r (cos θ+isin θ) (a 、b ∈R ，r ≥0)，请写出复数的三角形式与代数形式相互之间的转换关系式；(2)设z 1=r 1(cos θ1+isin θ1)，z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，探索三角形式下的复数乘法、除法的运算法则，请写出三角形式下的复数乘法、除法的运算法则．(结论不需要证明)22．(本题16分)数列{a n }是等差数列，数列{b n }满足b n =a n a n +1a n +2 (n ∈N*)，数列{b n }的前n 项和为S n ．(1)若数列{a n }的公差d 等于首项a 1，试用数学归纳法证明：对于任意n ∈N*，都有S n =da b n n 43+； (2)若数列{a n }满足：3a 5=8a 12>0，试问n 为何值时，S n 取得最大值？并说明理由．23．(本题18分)在R +上的递减函数f (x )同时满足：(1)当且仅当x ∈MR +时，函数值f (x )的集合为[0, 2]；(2)f (21)=1；(3)对M 中的任意x 1、x 2都有f (x 1•x 2)= f (x 1)+ f (x 2)；(4)y=f (x )在M 上的反函数为y=f –1(x )．(1)求证：41∈M ，但81∉M ； (2)求证：f –1(x 1)• f –1(x 2)= f –1(x 1+x 2)； (3)解不等式：f –1(x 2–x )• f –1(x –1)≤21．。
金山区高三数学一模解析
⎨n = cos θ , 1 , 2金山区高三一模数学解析一.填空题〔本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分〕 1.假设函数 y = sin ⎛2x + π ⎫, 那么它的最小正周期T =4 ⎪ ⎝ ⎭ 【考点】三角函数周期 【解析】T =2π = π22.假设复数z =2 + i(i 为虚数单位), 那么 z 的模| z |= 1- 2i 【考点】复数模运算【解析】|z | =|2 + i | = 5=1 |1 - 2i | 5⎛ sin θ 3.假设矩阵 A = m ⎫, B = ⎛ m sin θ ⎫, 且 A = B , 那么m 2 + n 2= n cos θ ⎪ cos θ n ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭【考点】矩阵相等及三角比运算【解析】 A = B ，∴ ⎧m = s in θ，∴ m 2 +n 2 = sin 2 θ + cos 2 θ = 1⎩4.假设函数 y = log 2 (x - m ) +1 的反函数的图像经过点(1,3), 那么实数m =【考点】反函数【解析】因为反函数的图像经过点(1,3), 所以原函数图像经过点(3,1), ∴1 = log 2 (3 - m ) +1，m = 2 5.集合M = {y ∣y = 3sin x , x ∈ R }, N = {x ‖x ∣< a }, 假设 M ⊆ N , 那么实数a 的取值范围是【考点】子集关系【解析】M = {y ∣y = 3sin x , x ∈ R } = {y | -3 ≤ y ≤ 3},∴ a > 3M ⊆ N , ∴ N = {x ∣- a < x < a }(a > 0),x 2 y 2 6. F 1 , F 2 是椭圆 + = 1的两个焦点 AB 是过点 F 的弦 那么∆ABF 的周长是25 16【考点】椭圆定义2a 2 + 2b 2 a 2 + b 2 22 1 3+ = = = 2 【解析】C ∆ABF =| AF 1 | + | AF 2 | + | BF 1 | + | BF 2 |= 4a = 20 7.在五个数字 1，2，3，4，5 中，假设随机取出三个数字，那么剩下两个数字都是奇数的概率是 〔结果用数值表示〕 【考点】概率【解析】由题知取出的是两个偶数和一个奇数，所以概率为 C 2C 3 P 3 = 331058.在直角三角形 ABC 中, AB = 5, AC = 12, BC = 13, 点M 是∆ABC 外接圆上的任意一点，那么 AB ⋅ AM 的最大值是 【考点】向量数量积【解析】 BC 2= AB 2+AC 2，∴ BC 是∆ABC 外接圆的直径，利用向量数量 积的几何意义，如图，过圆心O 作平行于 AB 的直线交圆于M ,作 MQ ⊥ AB 于Q ,13 5 ( ) 45 2 29.实数a 、b 、c 成等差数列，那么点 P (-1,0) 到直线ax + by + c = 0 的最大距离是【考点】等差数列及点到直线距离【解析】 a 、b 、c 成等差数列，∴ a + c = 2b ，那么点 P (-1,0) 到直线ax + by + c = 0 的距离d = | -a + c | | 2b - 2a | ≤ 2 =2当且仅当a = -b 时等号成立a 2 +b 2 a 2 + b 2 10.球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 1, 以这 3 个点为顶点构成的三角形的周长为618,那么此球的半径为 【考点】球面距离【解析】设球的半径为 R ，因为任意两点的球面距离都等于大圆周长的 1, 所以任意两点的球心角都相等，设6 为θ ，∴ R θ 1 π R ,∴θ = π.∴三个顶点构成三角形的三边长都是 R ，∴ R =6= 2 6 311.关于 x 的方程 x 2+ ax + b - 3 = 0(a ,b ∈ R ) 在[1,2]上有实根，那么a 2 + (b - 4)2 的最小值为【考点】根本不等式AB ⋅ AM max = |AB ||AQ |=5⨯ a 2 + b 2 - 2ab a 2 + b 22 P那x ∈[1, 2]【解析】x 2 + ax + b - 3 = 0 ⇒ b = -x 2 - ax + 3⇒ a 2 + (b - 4)2 = a 2 + (-x 2 - ax -1)2 = a 2 + (x 2 +1)2 + 2ax (x 2 +1) + a 2 x 2 =(x 2 +1)(x + a )2 + x 2 + 1 ∴ a 2 + (b - 4)2 ≥ x 2 +1 ≥ 2当 x = 1, a = -1,b = 3 时，等号成立，所以a 2 + (b - 4)2的最小值为212. f (x ) =| x +1 | + | x + 2 | + 且 f (a 2 - 3a + 2)= f (a -1), 那么满足条件的所有整数a 的和是【考点】数列与函数，以及二项式定理展开 【解析】x +1 + x + 2 + ... + x + 2021 + x -1 + x - 2 + ... + x - 2021 ∴ f (-x ) = -x +1 + -x + 2 + ... + -x + 2021 + -x -1 + -x - 2 + ... + -x - 2021 = x +1 + x + 2 + ... + x + 2021 + x -1 + x - 2 + ... + x - 2021 = f (x ) ∴ f (x ) 为偶函数f (a 2 - 3a + 2) = f (a -1)∴ a 2 - 3a + 2 = a -1ora 2 - 3a + 2 = -(a -1) ∴ a = 1 or a = 3 f (1) = f (-1) ∴ a = 2 也满足要求故所有满足条件的整数a 的和为1+ 2 + 3 = 6二.选择题〔本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分〕 13.在(1+ 2x )4的二项展开式中，二项式系数的和为( ) . A.8 B.16 C.27D.81+ | x + 2021 | + | x -1 | + | x - 2 | + + | x - 2021 |, x ∈ R , f (x ) = f (0) =【考点】二项式定理【解析】24 = 16 ，选B .14." |x -1 |< 2 成立"是x(x - 3) < 0 成立〞的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【考点】命题与不等式【解析】| x -1 |< 2 解集是{x | -1 <x < 3}，x(x - 3) < 0 的解集是{x | 0 <x < 3}，由集合的推导关系“小推大〞可知此题答案是必要非充分故答案选B .15.定义在R 上的函数f(x)是奇函数，且满足f (x + 3) =f (x), f (1) =-3, 数列{a n}满足S n = 2a n +n (其中Sn为{a n}的前n 项和),那么f (a5 )+f (a6 )= ( ).A. -3B. -2C.3D. 2【考点】函数与数列【解析】由Sn = 2an+n 可知 n = 1, S1= 2a1+1 得a1=-1 ， n ≥ 2, Sn-1= 2an-1+n -1,a =S -S= 2a - 2a+1 得 a = 2a -1,(n ≥ 2) 得a =-2n +1, n∈N *可知a =-31, a=-63 ，n n n-1n n-1n n-1 n 5 6f (a5)+f (a6)=f (-31)+f (-63)，函数f(x)是奇函数，且满足f (x + 3) =f (x), f (1) =-3, 可知函数的是周期为3 的奇函数f (-31)+f (-63)= f (-1)+f (0)=-f (1) +f (0) = 3 + 0 = 3 故答案选择C16.∆ABC 的外接圆圆心为O,∠A = 120︒, 假设AO =x AB +y AC(x, y ∈R), 那么x +y 的最小值为( ) .A.12C.32【考点】向量B.23 D. 2【解析】由图像可知同弧长所对圆心角是圆周角的两倍可知∠BOC = 120︒,，且OA 与线段BC 有交点那么x +y ≥1〔三点共线系数和OA =OB =OC为 1〕 AO = x AB + y AC = x (OB - OA )+ y (OC - OA )可以转化为(x + y -1)OA = xOB + yOC 平方之后可得(x + y -1)2OA 2 = x 2 OB 2 + y 2 OC 2+ 2xyOB OC -2x - 2 y + 2xy +1 = -xy 可得3xy +1 = 2(x + y ) ≤ 3(x + y ) 2 +14化简得0 ≤3(x + y )2-2(x + y ) +1可知 x + y ≤ 2〔舍〕或 x + y ≥ 2 故答案选择 D43三.解答题〔本大题共 5 题，总分值76 分〕17.(此题总分值 14 分，第 1 小题总分值 7 分，第 2 小题总分值 7 分) a 、b 、c 是∆ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边, a = 4 3,(1)求c ;(2)求cos 2B 的值. 【考点】余弦定理 【解析】(1)在∆ABC 由余弦定理得a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos Ab = 6, cos A = - 1. 3即48 = 36 + c 2 - 2 ⨯ c ⨯ 6⨯ (- 1〕整理，得c 2 + 4c -12 = 0 ，解得c = 23a 2 + c 2 -b 2(2)在 ABC 中，由余弦定理得， cos B =，得cos B =2ac3cos 2B = 2 cos 2 B -1 = - 1318.(此题总分值 14 分，第 1 小题总分值 7 分，第 2 小题总分值 7 分)如图，在三棱锥 P - ABC 中, PA ⊥ 底面 ABC , ∆ABC 是边长为 2 的正三角形，侧棱 PB 与底面所成的角为π.4 (1)求三棱锥 P - ABC 的体积V ;(2)假设 D 为 PB 的中点，求异面直线 PA 与CD 所成角的大小. 【考点】立体几何 【解析】(1) PA ⊥ 底面 ABC ，∴∠PBA 为侧棱∠PBA 与底面所成角，33 2 333 3 = > 01- 2即∠PBA =π, PA = AB = 2 又 S = 1 ⨯ 2 ⨯ 2 ⨯ sinπ= ，4 2 3故 V = 1 Sh = 1 ⨯ 3 ⨯ 2 = 2 33 3 3即三棱锥 P - ABC 的体积为 ,(2)取 AB 中点 E ，连结 DE , CE , DE ∴∠CDE 就是异面直线 PA 与CD 所成的角〔或其补角〕， CE = , DE = 1PA = 1 ,因为 PA ⊥ 底面 ABC ,2 ∴ DE ⊥ 底面 ABC ，在直角三角形CDE 中, tan ∠CDE =CE= ,所以∠CDE = π, DE 3所以异面直线 PA 与CD 所成角的大小为π.319.(此题总分值 14 分，第 1 小题总分值 6 分，第 2 小题总分值 8 分)定义域为 R 的函数 1- 2xf (x ) = . 1+ 2x1- 2x(1)试判断函数 f (x ) = 1+ 2x在 R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明;(2)假设对于任意t ∈ R , 不等式 f (t 2 - 2t )+ f (t 2 - k )< 0 恒成立，求实数k 的取值范围. 【考点】函数单调性 【解析】(1)任取 x , x ∈ R , 且 x < x 那么2x1 < 2x2 ,1+ 2x1 > 0,1+ 2x2 > 012于是 f (x 1 )- f (x 2 ) = 12 1- 2x 11+ 2x 1- 1- 2x 21+ 2x 22(2x 2 - 2x 1)(1+ 2x 1 )(1+ 2x 2 )x即 f (x 1 ) > f (x 2 ), 故函数 f (x ) = 1+ 2x在R 上单调递减.BA2 (1- 3)2 + 228 -2 ⎨ 1- 2- x 2x -1 1- 2x(2)任取 x ∈ R , 那么 f (-x ) = 1+ 2- x = 2x +1 = - f (x ) ,故 f (x ) = 1+ 2x为奇函数,从而 f (t 2 - 2t )< - f (t 2 - k )= f (k - t 2)由(1)知，函数 f (x ) 在R 上单调递减,故t 2 - 2t > k - t 2 , 即2t 2 - 2t - k > 0 对于任意t ∈ R 恒成立, 由∆ = 4 + 8k < 0, 得 k <- 1, 即实数k 的取值范围是k ∈ ⎛-∞, -1 ⎫22 ⎪ ⎝⎭20.(此题总分值 16 分，第 1 小题总分值 4 分，第 2 小题总分值 5 分，第 3 小题总分值 7 分)点 P 在抛物线C : y 2= 4x 上,过点 P 作圆M : (x - 3)2 + y 2 = r 2 (0 < r ≤ 于 A 、 B 两点，切线 PA 、 PB 与圆M 分别相切于点 E 、F .2) 的两条切线,与抛物线C 分别交(1)假设点 P 到圆心 M 的距离与它到抛物线C 的准线的距离相等，求点 P 的坐标;(2)假设点 P 的坐标为(1, 2), 且 r = 时 , 求 PE ⋅ PF 的 值 ; (3)假设点 P 的坐标为(1, 2), 设线段 AB 中点的纵坐标为t ,求t 的取值范围. 【考点】圆锥曲线 【解析】(1) 设 P 的坐标为(x , y ) ,⎧⎪ y 2 = 4x 那么⎨ , 解得⎧⎪x = 2 ⎧⎪x = 2 ⎨⎪⎩ (x - 3)2 + y 2=| x +1|⎪⎩ y = 2 ⎪⎩ y = -2即点 P 的坐标为(2, 2 2) 或(2, -2 2);(2)当点 P 的坐标为(1, 2), 且r = 2 时, | PM |= = 2 在直角三角形 PME 中| PE |= = 6, 且∠MPE = 30︒ , 同理, | PF |= 6, 且∠MPF = 30︒ ,从而 PE ⋅ PF =| PE | ⋅ | PF | cos ∠EPF = 6 ⨯ 6 ⨯ cos 60︒ = 3; (3)由题意知切线 PA , PB 的斜率均存在且不为零, 设切线方程为 y - 2 = k (x -1),2 2 2或 ,k 2 +1 11 12 1 214 a | 2k + 2 |= r , 得(4 - r 2 )k 2 + 8k + 4 - r 2 = 0⎧k + k = 8 , 记切线 PB 的斜率分别为k , k 那么⎪ 1 2r 2 - 41 2⎨ ⎪⎩k 1k 2 = 1由于切线 PA , PB 的方程分别为 y - 2 = k 1 (x -1), y - 2 = k 2 (x -1) ,⎧ y 2 = 4x联立⎨ ⎩ y - 2 = k 1 (x -1), 消去 x 得k y 2- 4 y + 8 - 4k = 0 ,设 A (x , y ), B (x , y), 那么 2 + y =4, 故 y = 4- 2 ,11221 k 1同 理 , y 2 = k - 22于 是 t =y 1 + y 2 = 2 + 2 - 2 = 2(k 1 + k 2 ) - 2 = 16 - 2 ∈[-10, -6)2 k k k k r 2 - 4 即t 的取值范围是[-10, -6).21.(此题总分值 18 分，第 1 小题总分值 4 分，第 2 小题总分值 7 分，第 3 小题总分值 7 分)假设数列{a }满足 1 ≤ an +1 ≤ λ(λ > 1, 且λ 为实常数) ， n ∈ N * ，那么称数列{a }为 B (λ) 数列.λa n〔1〕假设数列{a n }的前三项依次为a 1 = 2, a 2 = x , a 3 = 9. 且{a n }为 B (3) 数列，求实数 x 的取值范围； 〔2〕{a n }是公比为 q (q ≠ 1) 的等比数列，且a 1 > 0,记 T =| a - a | + | a - a| +...+ | a - a | . 假设存在数列{a }为 B (4) 数列，使得lim T n +1 - tT n≤ 0 成立，求实数t n 2 1 3 2 n +1 n nn →∞ T n的取值范围；〔3〕记无穷等差数列{a }的首项为 a , 公差为d ，证明：“ 0 ≤ d≤ λ -1〞是“{a }为 B (λ) 数列〞的充要条件.n 1 n1【考点】数列综合 【解析】nn 1kλ > 1,∴ 1 λ⎨1 9 ⇒ ⎪ ⇒ 3 ≤ x ≤ 6 ；3 1 1 ⎧1 ≤ x≤ 3 〔1〕 ⎪3 2 ⎪ ≤ ≤ 3 ⎧ 2≤ x ≤ 6 ⎨⎪⎩3 ≤ x ≤ 27⎪⎩3 x〔2〕由数列{a }为 B (4) 数列可得 1 ≤ a n +1 ≤ 4, q ∈[ 1,1) (1, 4] .4 a n 4①当 q ∈ (1, 4] 时， a n +1 > a n ，故T n =| a 2 - a 1 | + | a 3 - a 2 | +...+ | a n +1 - a n | =a n +1 - a 1 ，T - tT a -1 a q n +1-1由 lim n +1 n ≤ 0 可得lim n +2 - -t ≤ 0, lim1- t ≤ 0, ∴t ≥ q ；n →∞ T n n →∞ a n +1 -1n →∞ a q n -1②当 q ∈ 1时， a < a ，故T =| a - a | + | a - a | +...+ | a - a | =a - a ，[ ,1) 4 T - tTn +1 n n 1 - a 2 1 3 2 1- a q n +1n +1 n 1 n +1由 lim n +1 n ≤ 0 可得lim n +2 - -t ≤ 0, lim 1 - t ≤ 0, ∴t ≥ 1x →∞ T n 〔3〕 n →∞ 1 - a n +1n →∞ 1 - a q n ①必要性：{a } 为 B (λ) 数 列 ，∴ 1≤ a n +1 ≤ λ ，∴ 1 ≤ a 2 ≤ λ, 1 ≤ a 1 + d ≤ λ ，∴ 1 ≤ 1+ d ≤ λnλ a λ a λ a λ a∴ 1 -1 ≤ d≤ λ -1 ，n -1 < 0 ，∴0 ≤ d1 1 1 ≤ λ -1 ；λ a 1 a 1d②充分性： 0 ≤d ≤ λ -1 ，∴ a n +1 = a n + d = 1+ d= 1 + a 1a 1 a n a n a 1 + (n -1)d 1 + (n -1) d a 1令t = d ,t ∈[0,λ -1] ，那么∴ a n +1 = 1+ ta 1 a n 1 + (n -1)t当t = 0 时，a n +1 = 1∈[ 1 , λ]a nλ当t = d ,t ∈ (0,λ -1] 时，∴ f (t ) = 1+ a 111 + (n -1) t(n ≥ 1, n ∈ N *) > 1 > 1，且 f (t ) 是递增函数， λ∴ f (t ) ≤ 1+1 λ -1 1+ (n -1) ≤ 1 1 1 λ -1= λ 即 an +1 ≤ λa nn综上an+1 ∈[1,λ] ，∴{a }为B(λ) 数列.anλn。
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上海市金山区2019届高三一模数学试卷
2018.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 已知集合{1,3,5,6,7}A =，{2,4,5,6,8}B =，则A
B = 2. 抛物线24y x =的准线方程是
3. 计算：21lim 32
n n n →∞-=+ 4. 不等式|32|1x -<的解集为
5. 若复数(34i)(1i)z =+-（i 为虚数单位），则||z =
6. 已知函数2()1log f x x =+，则1(5)f -=
7. 从1、2、3、4这四个数中一次随机地抽取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概 率是 （结果用数值表示）
8. 在3102
1()x x -的二项展开式中，常数项的值是 （结果用数值表示） 9. 无穷等比数列{}n a 各项和S 的值为2，公比0q <，则首项1a 的取值范围是
10. 在120︒的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A 、B 两 点，则这两个点在球面上的距离是
11. 设函数21()lg(1||)1f x x x
=+-+，则使(2)(32)f x f x <-成立的x 取值范围是 12. 已知平面向量a 、b 满足条件：0a b ⋅=，||cos a α=，||sin b α=，(0,)2
π
α∈，若向量c a b λμ=+(,)λμ∈R ，且22221(21)cos (21)sin 9
λαμα-+-=
，则||c 的最小值为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知方程22
212
x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A. 2m >或1m <- B. 2m >-
C. 12m -<<
D. 2m >或21m -<<-
14. 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
15. 欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位，x ∈R ，e 为自然底数）是由瑞士著名数 学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2018i e 表示的复数在复平面中位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
16. 已知函数52|log (1)|1()(2)21
x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程1(2)f x a x +-=（a ∈R ）的实数根个 数不可能为（ ）
A. 5个
B. 6个
C. 7个
D. 8个
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，M 是 BC 的中点，若底面ABC 是边长为 2的正三角形，且PB 与底面ABC 所成的角为
3π. 求： （1）三棱锥P ABC -的体积；
（2）异面直线PM 与AC 所成角的大小.
（结果用反三角函数值表示）
18. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(3,3)P -.
（1）求行列式sin 1tan cos ααα
的值； （2）若函数()cos()cos sin()sin f x x x αααα=+++()x ∈R ，求函数
23(2)2()2
y f x f x π
=-+的最大值，并指出取得最大值时x 的值.
19. 设函数()21x f x =-的反函数为1()f x -，4()log (31)g x x =+.
（1）若1()()f x g x -≤，求x 的取值范围D ；
（2）在（1）的条件下，设11()()()2
H x g x f x -=-，当x D ∈时，函数()H x 的图像与直线 y a =有公共点，求实数a 的取值范围.
20. 已知椭圆C 以坐标原点为中心，焦点在y 轴上，焦距为2，且经过点(1,0).
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设点(,0)A a ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值()d a ；
（3）在（2）的条件下，当01a <<时，设QOA 的面积为1S （O 是坐标原点，Q 是曲线C 上横坐标为a 的点），以()d a 为边长的正方形的面积为2S ，若正数m 满足12S mS ≤，问m 是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由.
21. 在等差数列{}n a 中，13515a a a ++=，611a =.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）对任意m ∈*N ，将数列{}n a 中落入区间121(2,2)m m ++内的项的个数记为{}m b ，记数列 {}m b 的前m 项和为m S ，求使得2018m S >的最小整数m ；
（3）若n ∈*N ，使不等式11
11(21)n n n n a n a a a λ+++
≤+≤+成立，求实数λ的取值范围.
参考答案
一. 填空题
1. {5,6}
2. 1x =-
3. 23
4. 1(,1)3
5. 52
6. 16
7. 13
8. 210 9. (2,4) 10. 2π 11. 2(,)(2,)5-∞+∞ 12. 13
二. 选择题
13. D 14. B 15. A 16. A
三. 解答题。