九.勾股定理
勾股定理的内容
勾股定理的内容勾股定理，又称勾股定理，是古代数学中的一个重要定理。
在直角三角形中，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
其数学表达形式为：a^2 + b^2 = c^2其中a、b、c分别代表直角三角形的两条直角边和斜边。
起源与发展勾股定理虽然现在被称为勾股定理，但最早是在《周髀算经》中发现的，成为世界上最早的几何著作之一。
据传，勾股定理是周公提出的，故得名“周公定理”。
后来被《算经》作者张丘建列入《增衍之术》中，并首次用文字表达了这一定理。
在中国古代，勾股定理的应用非常广泛，不仅用于地测和农业，还被运用在建筑和军事领域。
随着数学的发展，勾股定理也在世界各地广泛传播，并成为数学中的重要定理之一。
数学证明勾股定理的证明有多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯的证明。
毕达哥拉斯定理利用几何形状和平行移动来证明直角三角形的两个边的平方和等于斜边的平方。
这一证明方法被后人发扬光大，成为数学学科中的一个经典证明。
应用场景勾股定理在现代生活中的应用也非常广泛。
例如，在建筑领域中，利用勾股定理可以计算建筑物的结构稳定性；在工程设计中，可以测量距离和角度；在电子领域中，可以应用于信号传输和数据处理等方面。
总的来说，勾股定理是数学中的一个重要定理，不仅对几何学有重要意义，还在现代科学技术中有着广泛的应用。
结语通过对勾股定理的介绍，我们可以看到它在数学史上的重要地位和广泛应用。
了解勾股定理不仅有助于我们理解数学知识的深层含义，还可以帮助我们应用数学知识解决现实生活中的问题。
在学习数学的过程中，我们应该对勾股定理有更多的了解和探索，进一步探索数学世界的奥秘。
勾股定理——精选推荐
勾股定理勾股定理勾股定理是数学⼏何中的⼀个定理，⼀般的表述为：直⾓三⾓形两直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅。
勾股定理是余弦定理的⼀个特例，约有400种证明⽅法。
古埃及⼈在4500年前建造⾦字塔和测量尼罗河泛滥后的⼟地时，就⼴泛地使⽤勾股定理。
古巴⽐伦（公元前1800到1600年）的数学家也提出许多勾股数组。
数学史上普遍认为最先证明这个定理的是毕达哥拉斯，所以很多数学书上把此定理称为毕达哥拉斯定理。
中国古代称直⾓三⾓形的直⾓边为勾和股，斜边为弦，故此定理称为勾股定理。
中⽂名勾股定理外⽂名Pythagoras theorem别称毕达哥拉斯定理表达式a2+b2=c2提出者商⾼毕达哥拉斯提出时间公元前约1000年应⽤学科数学⼏何适⽤领域范围数学适⽤领域范围物理等理⼯学科记载著作《⼏何原本》《九章算术》⽬录1公式2验证推导3定理推⼴逆定理推⼴定理4发展简史5定理意义1公式如果直⾓三⾓形的两条直⾓边长分别为，，斜边长为，那么。
2验证推导标准验证：该证明对切即为加菲尔德的梯形证明法如右图所⽰：⼤正⽅形的⾯积等于中间正⽅形的⾯积加上四个三⾓形∴∴∴图⽰3定理推⼴逆定理勾股定理的逆定理是判断三⾓形为钝⾓、锐⾓或直⾓的⼀个简单的⽅法，其中C为最长边：如果，则△ABC是直⾓三⾓形。
如果，则△ABC是锐⾓三⾓形。
（若⽆先前条件C为最长边，则仅满⾜∠C是锐⾓）如果，则△ABC是钝⾓三⾓形。
推⼴定理欧⼏⾥得在他的《⼏何原本》中给出了勾股定理的推⼴定理：“直⾓三⾓形斜边上的⼀个直边形，其⾯积为两直⾓边上两个与之相似的直边形⾯积之和”。
4发展简史编辑⼏个⽂明古国都先后研究过这条定理，远在公元前约三千年的古巴⽐伦⼈就知道和应⽤勾股定理，他们还知道许多勾股数组。
古埃及⼈在建筑宏伟的⾦字塔和尼罗河泛滥后测量⼟地时，也应⽤过勾股定理。
我国也是最早了解勾股定理的国家之⼀。
三千多年前，周朝数学家就提出“勾三、股四、弦五”，它被记载于《周髀算经》中。
苏科版九年级下册勾股定理及其逆定理课件(共18张PTT)
A
D
E
B
F
C
变式训练3
2. 如图1，有一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，将矩形纸片先沿对角线
BD对折，点C落在点C'的位置，BC'交AD于点G． (1)求证：AG＝C'G；
(2)如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长．
5或 7
3.一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为________.
5
4.等腰三角形ABC的面积为12，底上的高AD为4，则它的腰长为__________.
48
5.等腰三角形的周长是36 cm，底边上的高是6 cm，则它的面积为_______.
考点2：勾股定理与求解三角形
例2：如图，已知△ABC中，AB＝13， AC＝15，AD⊥BC，且AD=12，求BC的长.
例1. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，
所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分
10
别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是___________.
变式训练1
1. 如图，阴影部分是以直角三角形的三边为直径的半圆，两
100
个小半圆的面积和为100,则大的半圆面积是__________.
绿化整理．
（1）求需要绿化的空地ABCD的面积；
（2）为方便师生出入，设计了过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长．
考点4：利用勾股定理逆定理求角度
例5.如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将
△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，
勾股定理及锐角三角函数值
中考数学20大专题—勾股定理及锐角三角函数值勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么 a 2+ b 2= c 2。
公式的变形：a 2= c 2- b 2， b 2= c 2-a 2。
如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2+ b 2= c 2，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： ① 已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方. ③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. ④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
满足a 2+ b 2= c 2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数有：（3，4，5 ）(5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7，24，25 ) ( 8，15，17 )(9，12，15 ) 4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
【例1】如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．【例2】在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、=_____________。
【例3】已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、242c mB 、36 2c mC 、482c mD 、602c m【例4】已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）A 、5B 、25C 、7D 、15【例5】如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．【例6】若△ABC 的三边长a,b,c 满足222a b c 20012a 16b 20c +++=++，试判断△ABC 的形状。
勾股定理十种证明
勾股定理十种证明欧几里德是古典数学的代表人物，他提出的勾股定理被认为是数学史上最重要的定理之一。
勾股定理，即给定直角三角形的两条直角边a，b，其斜边的平方等于两边的平方和，即：a2+b2=c2。
今天，我们将为读者介绍十种证明勾股定理的方法。
第一种是利用重心法证明。
当定义等腰三角形ABC时，在线段AB上定义重心G。
将线段AG视为一直角三角形，AG和BG就构成直角三角形。
易知三角形AGC也是直角三角形，三角形ABC也就是一个等腰直角三角形，AG和BC就是一组等腰三角形。
易得：a2+b2=AC2+BC2，即：a2+b2=c2。
第二种是利用反证法证明。
假设勾股定理不成立，即a2+b2≠c2，那么，就会得到一条不等式：a2+b2>c2或a2+b2<c2。
因为a、b都是非负的，再加上c也是非负的，所以，有：a2>0、b2>0、c2>0，从而：a2+b2>0，由此可以得出矛盾：a2+b2>c2，但是c2>0。
这与原假设矛盾，则勾股定理成立。
第三是利用余弦定理证明。
设等腰三角形ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，则有：a2=b2+c2-2bc cosA，b2=a2+c2-2ac cosB，c2=a2+b2-2ab cosC，将三式相加，可得到：2a2+2b2=2c2，从而证明勾股定理。
第四是利用边缘法证明。
由边缘定理可知，在等腰三角形ABC 中：a2=b2=c2=2S2，其中S为ABC的面积。
令α、β、γ分别为三角形ABC的内角，及对应的外接圆的半径，令ΔO为三角形ABC的外切圆，则有：α+β+γ=180°，易知：a2+b2+c2=2(α2+β2+γ2)=2R2=c2，可以证明出勾股定理。
第五种是利用角和弧法证明。
在等腰三角形ABC中，用圆弧a 表示两边a和b的连接的圆弧，一条弧的长度是直径乘以圆心角的度数，即可推得：c2=a2+2aR-b2，将c2的左边加上b2，右边减去b2，即可得到：c2=a2+b2，从而证明出勾股定理。
九年级勾股定理知识点
九年级勾股定理知识点勾股定理是数学中的一条重要定理，也是初中数学中必学的知识点之一。
它是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的，并被称为“毕氏定理”。
九年级学生需要在学习勾股定理方面掌握以下几个知识点：1. 勾股定理的表述在直角三角形中，直角边的平方等于斜边两个边长的平方和。
即：若在△ABC中，有∠C=90°，AB是直角边，AC和BC是斜边，则有AB² = AC² + BC²。
2. 勾股定理的逆定理勾股定理逆定理也被称为“逆勾股定理”或“余弦定理”。
它是在给定一个三角形的三边长的情况下，用来求解该三角形的某个角度的定理。
逆勾股定理的表述如下：在△ABC中，有∠C=a，AB=c，AC=b，BC=a，那么有cos(a) = (b²+c²-a²) / 2bc。
3. 勾股定理的应用勾股定理是三角学中最常用的定理之一，它在解决各种几何问题中有着重要的应用。
其中一些常见的应用包括：- 判定三角形是否为直角三角形：可以利用勾股定理来检验一个三角形是否为直角三角形。
只需要将三角形的三条边代入勾股定理中进行计算，如果等式成立，则该三角形是直角三角形。
- 求解三角形边长和角度：可以利用勾股定理来求解三角形中未知边长或角度的值。
通过已知边长或角度的数值，可以代入勾股定理或逆勾股定理中进行计算，从而求得未知数的值。
- 解决航海和导航问题：勾股定理可以帮助测量航海和导航过程中的距离和角度。
船舶或飞机可以利用角度和边长的关系，通过测量边长和角度来确定目的地的位置。
4. 勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方式，包括几何证明、代数证明和物理证明等。
其中一种常见的几何证明方式是通过构造一个正方形来证明。
该证明方式的具体步骤如下：首先，以斜边为一条边构造一个正方形ABCD；然后，连接AC和BD，将正方形划分为两个等腰直角三角形△ACB和△ADB；根据正方形性质可得AB=BC，且AD=BD，再根据△ACB和△ADB为等腰直角三角形的性质可得∠ACB = 90°，∠ADB = 90°；由此可得∠ABC和∠ABD为直角，即证明了勾股定理。
九章算术第九章勾股问题12题
九章算术第九章勾股问题12题九章算术是中国古代数学著作之一，其中第九章是关于勾股定理的问题。
根据你的要求，我将为你解答九章算术第九章勾股问题的前12题。
1. 第一题，已知直角三角形的直角边长分别为3和4，求斜边的长度。
根据勾股定理，斜边的长度可以通过勾股定理公式计算，斜边的长度= √(直角边1的平方 + 直角边2的平方)。
代入数值，可得斜边的长度为5。
2. 第二题，已知直角三角形的斜边长为5，直角边之一为3，求另一个直角边的长度。
同样使用勾股定理，直角边的长度可以通过勾股定理公式计算，直角边的长度= √(斜边的平方另一直角边的平方)。
代入数值，可得另一个直角边的长度为4。
3. 第三题，已知直角三角形的直角边长分别为5和12，求斜边的长度。
应用勾股定理，斜边的长度= √(直角边1的平方 + 直角边2的平方)。
代入数值，可得斜边的长度为13。
4. 第四题，已知直角三角形的斜边长为13，直角边之一为5，求另一个直角边的长度。
根据勾股定理，直角边的长度= √(斜边的平方另一直角边的平方)。
代入数值，可得另一个直角边的长度为12。
5. 第五题，已知直角三角形的直角边长分别为8和15，求斜边的长度。
根据勾股定理，斜边的长度= √(直角边1的平方 + 直角边2的平方)。
代入数值，可得斜边的长度为17。
6. 第六题，已知直角三角形的斜边长为17，直角边之一为8，求另一个直角边的长度。
应用勾股定理，直角边的长度= √(斜边的平方另一直角边的平方)。
代入数值，可得另一个直角边的长度为15。
7. 第七题，已知直角三角形的直角边长分别为7和24，求斜边的长度。
根据勾股定理，斜边的长度= √(直角边1的平方 + 直角边2的平方)。
代入数值，可得斜边的长度为25。
8. 第八题，已知直角三角形的斜边长为25，直角边之一为7，求另一个直角边的长度。
应用勾股定理，直角边的长度= √(斜边的平方另一直角边的平方)。
代入数值，可得另一个直角边的长度为24。
勾股定理 全章
证明十
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2 由此得，面积 I + 面积 II = 面积 III 因此，a2 + b2 = c2 。
国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，周 国家之一。早在三千多年前， 朝数学家商高就提出，将一根直 国家之一。早在三千多年前， 尺折成一个直角，如果勾等于三， 国家之一。早在三千多年前， 股等于四，那么弦就等于五，即 国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记 国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作 国家之一。早在三千多年前 《周髀算经》中。
在从“面积到乘法公式” 一章的学习中，我们把几个图形拼 成一个新的图形，通过图形面积的 计算得到了许多有用的式子。这节 课同样地我们用多种方法拼图验证 了勾股定理，你有什么感受？
例题分析
例 .在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=6，ｂ=8，求c； (2) 已知：a=40，c=41，求b； (3) 已知：c=13，b=5，求a；
证 明 一
1 ab 2
(3)
(a-b)2
(4)
=
C2－4×
a2+b2－2ab = c2－2ab
可得：a2 + b2 = c2
勾股定理知识点及例题讲解
第九讲勾股定理知识概要1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么222a b c+=．(注：应用勾股定理的关键在于构造直角三角形)2、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足222+=，那么这个三角形是直角三角形，其a b c中c为斜边。
3、勾股定理的作用|（1）已知直角三角形的两边求第三边.（2）已知在特殊直角三角形中，直角三角形的一边，求另两边的关系.（3）用于证明平方关系的问题.4、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c）.（2）验证2c与2a+2b是否具有相等关系.若2c=2a+2b，则△ABC是以∠C=90°的直角三角形；:若2c≠2a+2b，则△ABC不是直角三角形.【注意】当2c≠2a+2b时有两种情况.（1）当2a+2b<2c时，此三角形为钝角三角形；（2）当2a+2b>2c时，此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边.5、常用勾股数组：(3, 4 ,5); (5, 12 ,13); (6, 8, 10); (7, 24, 25); (8, 15, 17) ; (9, 40 ,41)；（20,21,29）……6、一组勾股数中各数的相同的正整数倍得到的一组新数还是勾股数。
7、一组勾股数中各数的相同的正数倍得到的一组新数为边，仍构成直角三角形。
8、（9、直角三角形的性质：（1）直角三角形中斜边最大；（2）直角三角形中有勾股定理；（3）直角三角形中，30度角所对应直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；（5）等积原理（ab=ch ）10、双垂图中的射影定理例题精讲~【例1】如图，证明勾股定理．【例2】填空题:》在△ABC 中,∠C 为直角.(1)若BC =2, AC=3则AB = ； 若BC =5, AB=13.则AC = ；若AB=61, AC=11.则BC = .(2)若BC ∶AB =3∶5且AB =20则AC= .(3)若∠A=60°且AC=2cm 则AB= cm ，BC= cm.【巩固练习】1、2、Rt △ABC 中，C ∠是直角，3、（1）已知6BC =，8AC =，求AB 之长；4、（2）已知25AB =，14BC =，求AC 之长；（3）板块一 勾股定理aaa ab b] b@（3）已知13AC =，19AB =，求BC 之长．2、已知等边三角形的边长为a ，求等边三角形一边上的高和这等边三角形的面积．￥【例 3】已知60A ∠=︒，90B D ∠=∠=︒，2AB =，1CD =，求BC 和AD 的长．>【巩固练习】已知：如图所示，在四边形ABCD 中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形ABCD 的周长为32，求BC 和CD 的长.《【例 4】如图，已知AB ＝13，BC ＝14，AC ＝15,BC AD ⊥于D ，求AD 的长.'ABCD【 BA DCB AD【例 5】如图，已知：︒=∠90C ，CM AM =，AB MP ⊥于P ．求证：222BC AP BP += ．"【例 6】如图，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于 ．$【巩固练习】 1、如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等．`P M B C A ; A B S 12、图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是A．13 B．26 C．47 D．94^3、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则1S+2S+3S+4S=____$"1S2S3S4231【例7】在△ABC 中，如果a ∶b ∶c =1∶3∶2, 那么∠A= °,∠B= °∠C= °如果a ∶b ∶c =1∶1∶2, 那么∠A= °,∠B= °∠C= °`【例 8】判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形：（1）15a =，8b =，17c =；（2）13a =，14b =，15c =；（3）7a =，24b =，25c =．【例 9】已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ， 《试判断△ABC 的形状《【例 10】如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．，板块二 勾股定理逆定理A【例 11】已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点即3CE ＝EB求证：AF ⊥FE ．(》【例 12】如图，已知四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积.|【巩固练习】1.若一个三角形的周长为123cm,一边长为33cm,其他两边之差为3cm,则这个三角形是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形2.如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°>3.有一块土地形状如图所示,∠B=∠D=90°,AB=20米,BC=15米,CD=7米,请计算这块地的面积.~ 4.如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠ABC=90°，试求∠A 的度数。
勾股定理全章知识点总结大全
勾股定理全章知识点总结大全一．基础知识点：1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC∆中，90∠=︒，则c=，Cb，a）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C 为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC 为锐角三角形）。
（定理中a，b，c及222+=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如a b c若三角形三边长a，b，c满足222+=，那么以a，b，c为三边的三角形是直a c b角三角形，但是b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：，4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD 2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 6：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；9,12,15；8,15,17；9,40,41；12,16,20等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）二、规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
勾股定理
勾股定理编辑[gōu gǔ dìng lǐ]勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a2+b2=c2的正整数组(a,b,c)。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2。
中文名勾股定理、勾股弦定理外文名Pythagorean theorem1基本定理编辑勾三股四弦五文字表述：在任何一个的直角三角形中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方（也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等）。
数学表达：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
[1]推广定理：勾股定理的逆定理。
如果 (a,b,c) 是勾股数，它们的正整数倍数，也是勾股数，即∀n∈Z*，(na,nb,nc) 也是勾股数。
若a,b,c三者互质（它们的最大公约数是 1），它们就称为素勾股数。
2历史编辑毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。
在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。
埃及称为埃及三角形。
早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且古巴比伦、古埃及、古中国、古印度等的发现都有真凭实据，有案可查。
相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的。
可以说真伪难辨。
这个现象的确不太公平，之所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上。
初中数学九年级勾股定理
勾股定理一、学习目标1.勾股定理和勾股数；2.勾股定理的应用。
二、知识点讲解1.勾股定理和勾股数勾股定理定义在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。
如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：。
勾股定理是余弦定理中的一个特例。
勾股定理的证明①加菲尔德证法在直角梯形ABDE中，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC≌△CDBAE=CD=b, CE=BD=a, AC=BC=cS△AED=S△CDB=S△ACB=S AEDB=∵S△AEC+S△CDB+S△ACB=S AEDB∴++=∴ab+=ab++∴②欧几里得证法设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。
从A点画一直线至对边，使其垂直于对边。
延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。
在这个定理的证明中，我们需要如下辅助定理：①如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。
（SAS）②三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。
③任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。
任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。
证明的思路为：从A点画一直线至对边，使其垂直于对边。
延长此线把对边上的正方形一分为二，把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。
设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。
其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。
分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。
∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。
因为AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。
因为A与K和L在同一直线上，所以四边形BDLK=2△ABD。
九年级有勾股定理吗知识点
九年级有勾股定理吗知识点勾股定理是数学中的基础知识，它是解决直角三角形相关问题的重要工具。
在九年级数学中，学生们将深入学习勾股定理以及其应用。
本文将从基本概念、勾股定理的形式和证明、相关注意事项和应用等方面来介绍九年级有关勾股定理的知识点。
一、基本概念在开始讨论勾股定理之前，我们先来回顾一下直角三角形的基本概念。
直角三角形是一种三边中恰有一个是直角边的三角形。
直角边是指与直角相对的边，而其他两条边分别称为斜边和相邻边。
勾股定理是对直角三角形中三条边的关系进行描述的公式。
二、勾股定理的形式和证明1. 勾股定理的形式勾股定理可以表达为：在直角三角形中，直角边的平方等于两条直角边的平方和。
如果我们将直角边的长度分别表示为a和b，斜边的长度表示为c，则可以用数学公式表示为a² + b² = c²。
2. 勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，其中一种比较简单的方法是使用几何图形进行推导。
我们可以先构造一个边长为a、b和c的正方形，然后再将它分成若干个特定的三角形和正方形，通过几何推导可以得出勾股定理成立的结论。
三、注意事项在使用勾股定理解决问题时，有一些值得注意的事项需要我们留意。
具体如下：1. 只有直角三角形才可以使用勾股定理，其他类型的三角形不适用。
2. 在应用勾股定理时，需要明确哪些边为直角边，哪些边为斜边，以及它们的长度对应关系。
3. 确保使用的长度单位一致，避免产生计算错误。
四、勾股定理的应用勾股定理是解决直角三角形相关问题的基础，它在几何学、物理学和工程学等领域都有广泛应用。
以下是勾股定理的一些常见应用场景：1. 求解直角三角形的边长：已知两条边的长度，通过勾股定理可以求解第三条边的长度。
2. 判断三条边是否构成直角三角形：通过勾股定理可以判断给定的三条边是否满足直角三角形的条件。
3. 计算三角形的面积：根据勾股定理，我们可以求解直角三角形的面积。
总结：在九年级数学中，学生们将深入学习勾股定理及其应用。
勾股定理必背10个公式
勾股定理必背10个公式勾股定理是数学学科中最熟悉、最重要的定理之一，大多数学校都会给学生们讲解勾股定理。
它是几何学中解决三角形问题的最重要工具。
勾股定理指出，若三角形的三边分别是a，b，c，那么它们之间具有特定的关系：a＋b＝c。
尽管勾股定理有着悠久的历史，但今天仍然被经常使用。
有很多变种的勾股定理值得记住，它们中最值得注意的有十个。
首先，是勾股定理的一般形式：a＋b＝c。
其次是关于锐角三角形的定理：cosα＝b/c，sinα＝a/c，tanα＝a/b。
第三是关于直角三角形的定理：cosα＝a/c，sinα＝b/c，tanα＝a/b。
第四是关于等腰三角形的定理：2a＝b＋c。
第五是关于30°-60°-90°三角形的定理：a＝b/2，c＝b√3/2，tan30°＝1/√3，cos60°＝1/2，sin60°＝√3/2。
第六是关于45°-45°-90°三角形的定理：a＝b，c＝b√2，tan45°＝1，cos45°＝1/√2，sin45°＝1/√2。
第七是关于等边三角形的定理：a＝b＝c，cosα＝cosβ＝cosγ＝-1/3。
第八是关于半径R圆心角形的定理：tanα/2＝b/2R，cosα/2＝c/2R，sinα/2＝a/2R。
第九是关于梯形的定理：a＋(b＋c)＝2(a＋b＋c)。
第十是关于双曲线的定理：a－b＝c。
勾股定理是中学数学学习中必不可少的一部分，而上面提到的十个公式更是数学课堂上最基本的知识。
它们不仅在几何学中有着广泛的用途，而且也在统计学、概率论等方面都有着重要的应用。
尽管勾股定理的用途多种多样，但有一点是十分重要的：它们能够帮助我们快速有效地解决三角形问题。
若要求解三角形的边长、角度和面积，就可以针对相关的勾股定理，从中去确定相关参数。
总之，勾股定理是几何学中最重要的定理之一，被广泛应用于几何学、概率论等领域。
专题九：勾股定理判定
勾股定理逆定理● 应知 基础知识1、勾股定理逆定理的内容：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足 ，那么这个三角形是 ，且最长边所对的角为 。
总结：到目前为止判定直角三角形的方法有多少种了？2、理解：（1）勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
（2）如何用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形：首先确定最大边（如：C ，但不要认为最大边一定是C ）其次验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2=a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为锐角三角形。
3．勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为 ．显然，一组勾股数必须满足两个条件：①满足 ；②都是 。
若(a ，b ，c)为一组基本勾股数，则(ka ，kb ，kc)也为勾股数，其中k 为正整数。
即将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数仍是一组勾股数。
【例1】若三角形三边长分别为1,2,3m m m +++，当m = 时，此三角形为直角三角形。
【例2】①7,24,25；②8,15,19；③0.6,0.8,1.0；④3,4,5(1n n n n >，且为自然数）。
上面各组数中，勾股数有 （填序号）。
● 应会 基本方法1、利用非负数的性质判断三角形的形状【例3】已知2212(13)10250x y z z -+-+-+=，试判断以,,x y z 为三边长的三角形的形状。
【练习】如果一个三角形的三边长,,a b c 满足222200121620a b c a b c +++=++，试说明这个三角形是直角三角形。
【例4】请阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b+2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，A∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2），B∴c2=a2+b2，C∴△ABC为直角三角形．D问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：；（2）错误的原因是：；（3）本题正确的结论是：．2、勾股定理及勾股定理逆定理的综合应用勾股定理及勾股定理逆定理的综合应用主要体现在下面几个方面：（1）利用勾股定理及勾股定理逆定理解决生活中的实际问题；（2）计算图形中的线段、角度以及面积的大小；（3）证明线段垂直或成平方和关系。
人教版九年级数学课件-勾股定理
过点 A 和点 C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为( A )
A．4 2 dm
B．2 2 dm C．2 5 dm
D．4 5 dm
13．(2015·枣庄)如图，△ABC 中，CD⊥AB 于 D，E 是 AC 的中点．若 AD
人教＝6版，D九E＝年5，级则（CD上的）长等于___8_____．
＝5，BC＝8，则 AD＝_____3___.
9．在直角三角形 ABC 中，已知其两边长分别为 3，5，试求第三边的边长．
人教版 九年级（上） 解：①若 5 是斜边长，设另一直角边长为 x，则 32＋x2＝52，即 x2＝16，故 x＝4；②若 5 是
直角边长，则第三边为斜边，设斜边长为 x，则 32＋52＝x2，即 x2＝34，故 x＝ 34，所以第
人教版 九年级（上第）2章 特殊三角形
第二2.7 十探索一畢氏章定理 一元二次方程
第1課時 畢氏定理 21．2 解一元二次方程 21．2.1 配方法
第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
畢氏定理及其應用
人教版1．已九知年△级AB（C 的上三）边分别是 a，b，c，若∠B＝90°，则有关系式( B )
大正方形 E 的面积是( C )
第二十一章 一元二次方程 A．13
B．26
C．47
D．94
21．2 解一元二次方程
21．2.1 配方法
6．一架 4.1 米长的梯子斜靠在一第竖1直课的时墙上用，直这接时梯开子平底方端法距墙解角一0元.9 二米，次方程
那么梯子顶端与地面的距离是____4____米．
7．某楼梯的侧面俯视图如图所示，其中 AC＝5 米，
3．如图，有两棵树，一棵高 10 米，另一棵树高 4 米，两树相距 8 米．一只
周髀算经勾股定理
周髀算经勾股定理
1 介绍周髀算经
《周髀算经》是中国古代数学家周髀所著的一部数学著作，共有
九篇，涉及量数、方程、几何等数学领域。
其中，关于勾股定理的探
讨是最为著名的，也是最具影响力的。
2 勾股定理的发现
在《周髀算经·方程》中，周髀给出了一道勾股问题：一张高为三、底为四的直角三角形斜边长是多少？他通过正方形的面积计算，
发现斜边长恰好是五。
周髀并没有给出证明，而是将其作为已知条件，继续探讨勾股定
理的应用。
3 勾股定理的表述
勾股定理的表述为：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于
斜边平方。
即：设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。
4 勾股定理的应用
勾股定理广泛应用于几何、物理等领域中。
利用勾股定理可以求
解直角三角形的各种问题，例如：求三角形的面积、周长、内切圆和
外接圆半径等。
同时，勾股定理还可以被推广到高维空间中，称为“勾股定理的推广”。
5 总结
周髀算经中的勾股定理不仅是古代数学的杰出成果，也是人类智慧的结晶。
它的发现和应用，不仅在固体力学、流体力学、天体力学等方面有重要应用，还激发了人们对数学、几何的研究热情，极大地推动了数学的发展。
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课时课题：（3）勾股定理授课教师：枣庄市第三十七中学 范金伟 课 型： 复习课授课时间： 2013 年 5月2日 星期四 第一节教学目标：1、掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题．2、经历反思本单元知识结构的过程，理解和领会勾股定理和逆定理．3、熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发爱国主义思想，培养良好的学习态度．教学重点、难点、关键：重点：掌握勾股定理以及逆定理的应用． 难点：应用勾股定理以及逆定理．关键：在应用勾股定理以及逆定理中，应首先确定出一个三角形．教法与学法：1．知识线索：23．学习方式：采用回顾交流、师生互动、研训结合的方式．教学准备：教师准备：制作多媒体课件． 学生准备：做一份本专题的归纳小结．教学过程：一、回顾交流，合作学习 【活动方略】活动设计：教师先将学生分成四人小组，交流各自的小结，并结合教师的小结进行反思，教师巡视，并且不断引导学生进入复习轨道．然后进行小组汇报，汇报时可借助投影仪，要求学生上台汇报，最后教师归纳． 二【知识点回顾】（多媒体展示）重点 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2）勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（1）已知直角三角形的一边与另两边的关系。
求直角三角形的另两边 （2）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： 难点、考点：如何判定一个三角形是直角三角形（1） 先确定最大边（如c ）（2） 验证2c 与22b a +是否具有相等关系（3） 若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠22b a + 则△ABC 不是直角三角形。
（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三 边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 勾股定理解题技巧：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进行割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=勾股数 满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 【问题探究1】（多媒体展示）飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小明头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小明头顶5000米，问：飞机飞行了多少千米？思路点拨：根据题意，可以先画出符合题意的图形，如右图，图中△ABC•中的∠C=90°，AC=4000米，AB=5000米，•要求出飞机这时飞行多少千米，•就要知道飞机在20秒时间里飞行的路程，也就是图中的BC 长，在这个问题中，•斜边和一直角边是已知的，这样，我们可以根据勾股定理来计算出BC 的长．（3000千米）【活动方略】教师活动：操作多媒体，引导学生解决问题，请两位学生上台演示，然后讲评．学生活动：独立完成“问题探究1”，然后踊跃举手，上台演示或与同伴交流．【问题探究2】（多媒体展示）一个零件的形状如右图，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，•工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，DB=5，DC=12，BC=13，请你判断这个零件符合要求吗？•为什么？思路点拨：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB和△DBA是否为直角三角形，这样可以通过勾股定理的逆定理予以解决：CDB=90°，因此，这个零件符合要求．【活动方略】教师活动：操作投影仪，关注学生的思维，请两位学生上讲台演示之后再评讲．学生活动：思考后，完成“问题探究2”，小结方法．解：在△ABC中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，∴△ABD为直角三角形，∠A=90°．在△BDC中，BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2．∴△BDC是直角三角形，∠CDB=90°因此这个零件符合要求．【问题探究3】甲、乙两位探险者在沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6•千米／时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米／时的速度向北行进，上午10：00，•甲、乙两人相距多远？思路点拨：要求甲、乙两人的距离，就要确定甲、乙两人在平面的位置关系，由于甲往东、乙往北，所以甲所走的路线与乙所走的路线互相垂直，然后求出甲、乙走的路程，利用勾股定理，即可求出甲、乙两人的距离．（13千米）【活动方略】教师活动：操作投影仪，巡视、关注学生训练，并请两位学生上讲台“板演”．学生活动：课堂练习，与同伴交流或举手争取上台演示．解：甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，走了12千米，乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时，走了5千米，那么10：00甲、乙两人相距为：122+52=169=132．答：这时甲、乙两人相距13千米．【设计意图】采用“研训一体”的训练方法，达到反思概念，以及应用所学的目的．三、随堂练习，巩固深化1、在△ABC中，BC=m2-n2，AC=2mn，AB=m2+n2（m>n>0），求证：△ABC为直角三角形．2、已知三边长分别为a，b，c的三角形是直角三角形，那么，三边长分别为a+1，b+1，c+1的三角形会不会是直角三角形呢？请说明理由．提示：（1）BC2+AC2=（m2+n2）2，而AB2=（m2+n2），∴AB2=AC2+BC2，（2）由题设知a2+b2-c2=0，∴（a+1）2+（b+c）2-（c+1）2=2（a+b-c）+1，而a+b>c，∴（a2+1）2+（b+1）2≠（c+1）2，故这样的三角形不会是直角三角形．四、诱导反思、归纳总结【生】（学生总结反思自己的所学所得，畅谈收获，拾遗补缺．）我懂得了…我收获了…【设计意图】复习课是学生自主探究、交流、提高的过程，教师只做点拨。
因此，小结的过程不妨大胆交给学生，听听学生的感悟、体会，以便教师更好的了解学生学习经验的获得情况。
五、课堂检测，达成目标【师】同学们总结发言都挺积极的，是否达到了本课的复习目标呢？请在10分钟内完成！．13cm D．13cm的长方形水池一角M•游到水池另一边中批改，然后更正；教师要收集学生答题信息并作出分析，为下一步教学提供依据。
【设计意图】要求学生在10分钟内完成，规定时间和内容，一方面可以了解学生对本节课所复习内容的掌握情况，同时也可以培养学生快速准确解决问题的能力。
从学生的完成情况来看，效果很好，都能在规定的时间内完成，且准确率较高。
【参考答案】1．6 2．480 3．D 4．A 5．294cm26．因为AC2+BC2=52+122=169=132=AB2，•∴∠C=90°，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，C的对称点为E，则CD=DE，AC=AE，BE=AB-•AE=8，设CD=x，则x2+82=（12-x）2，x=103，∴CD=103．7．10m 8．10km处五、布置作业：【内容】《新课程初中复习指导丛书》【处理方式】学生课下完成后交小组长检查，上交办公室由老师批阅。
成功之处：1. 设计的题目既考察了对基本知识的掌握情况，又注重了综合课的特点，注重对所学知识的综合利用。
2. 设计的问题尽量与实际问题有联系，体现了数学来源于实际，又应用于生活实际，这一点符合新课标的要求。
不足之处：1. 设计题目多，不够精，时间紧，没能按时完成。
2．教师在课堂灵活处理上还是有许多不足之处，需要在日常教学中进一步加以完善。