郑州市2015年高中毕业年级第二次质量预测理科数学
河南省2015届普通高中毕业班适应性测试数学(理)试题(扫描版)
2015年河南省普通高中毕业班高考适应性测试理科数学试题参考答案及评分标准（13） 40 （14）3- （15）( （16）①②③ 三、解答题(17) 解：（Ⅰ）由2142n n n a a a +=++,得21211244(2)n n n n a a a a ++++=++=+. 因为0n a >12n a +=+.因为12122log (2)1log (2)2n n n n n b a b a +++===+，又121log (2)2b a =+=， 所以数列{}n b 是首项为2，公比为12的等比数列.……………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，112()2n n b -=⋅，则112()2n n c n -=. 012111112()4()2(1)()2()2222n n n S n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+,① 121111112()4()2(1)()2()22222n n n S n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+.② ①-②得：01211111112()2()2()2()2()222222n n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⋅ 12[1()]122()1212n n n -=-⋅-14(42)()2n n =-+. 所以218(2)()2n n S n -=-+.……………………………………………………………………………12分(18) 解：（Ⅰ）设“该射手通过测试”为事件A ，“向甲靶射击两次都命中”为事件B ，“向甲靶射击两次中只命中一次，则再向乙靶射击一次，命中”为事件C .事件B ，C 互斥，且A B C =+.所以该射手通过测试的概率212333213()()()()(1).444316P A P B P C C =+=+⋅-⋅= ………………5分（Ⅱ）由题意，0,1,2X =. ……………………………………………………………………………6分212313321(0)(1);(1)(1)(1);4164438P X P X C ==-===⋅-⋅-=13(2)().16P X P A === ……9分 所以该射手在这次测试中命中的次数X 的分布列为该射手在这次测试中命中的次数的数学期望为11137()012.168164E X =⨯+⨯+⨯=……………12分 (19)解：（Ⅰ）在图1中，6,3,90,60.AC BC ABC ACB ==∠=︒∴∠=︒因为CD 为ACB ∠的平分线，所以30,BCD ACD CD ∠=∠=︒∴=…………………………2分4,30, 2.CE DCE DE =∠=︒∴=则222CD DE EC +=，所以90,.CDE DE DC ∠=︒⊥………………………………………………4分在图2中，又因为平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD 平面ACD CD =，DE ⊂平面ACD ，所以DE ⊥平面B C D . ……………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）在图2中，作BH CD ⊥于H ，因为平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD 平面ACD CD =，BH ⊂平面BCD ，所以BH ⊥平面ACD ……………7分以点H 为坐标原点，HC 为y 轴，HB 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -.则3(0,0,0),(0,(0,0,),(3,2H D B A33(0,,),(3,2DB AD ∴==-…………………8分 设平面ABD 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则19题图1 19题图2 xyz0,0,DB AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以3(,,))0,2(,,)(0.x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⎪⋅-=⎩即30,230.y z x +=⎪-=⎩取1x =,得1)=-n .……9分 又平面ADE 的一个法向量为(0,0,1)=m , ………10分设二面角B AD E --的大小为θ，则cos ||||θ⋅==m n m n 所以二面角B AD E--的余弦值为…………………………………………………………12分 (20) 解：（Ⅰ）由椭圆定义知，48a =，即2a =.……………………………………………………1分又设00(,)M x y ，则00003.4y y x a x a ⋅=-+- 把2200221x y a b+=代入得220222220(1)3,4x b b a x a a -=-=--所以23b =. ……………………………………4分 故椭圆方程为22143x y +=.……………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，故设其方程为(3)y k x =+，又设11223344(,),(,),(,),(,),A x y B x y C x y D x y 由22(3),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 2222(34)2436120.k x k x k +++-= 222223(24)4(34)(3612)00.5k k k k ∆=-⨯+->⇒<< 由韦达定理得212224.34k x x k +=-+ …………………………………………………………………7分 因为2(1,0)F ，由22AF F Cλ=得, 111133331(1,)(1,),1,x y x y x y x y λλλ---=-∴=+=-. 代入椭圆方程得22111(1)()143x y λλ-+-+=，与2211143x y +=联立消去1y 得1532x λ-=. 同理可得2532x μ-=，所以12103()3.22x x λμ-++==- 所以2122243342k x x k +=-=-+，解之得213(0,)45k =∈，所以1.2k =± 所求直线方程为1(3)2y x =±+，即230x y ++=或230.x y -+= …………………………12分（21） 解：（Ⅰ）因为2(),ln x f x x =其定义域为(0,1)(1,).+∞………………………………………1分2(2ln 1)(),(ln )x x f x x -'=由()0f x '>得()f x 的单调递增区间为)+∞， ……………………3分由()0f x '<得()f x 的单调递减区间为 ……………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1x >时，()f x 的最小值为2f e ==； ……………………7分 令22()(3),(1,)xg x x x e x =-+∈+∞，则222111()(3)(2)(3)222x x g x x x e x x e '=--+=--+， 由()0g x '>得函数()g x 在区间(1,2)上单调递增；由()0g x '<得函数()g x 在区间(2,)+∞上单调递减.所以22()(3)(2)2.xg x x x e g e =-+=≤ …………………………………………………………………11分所以当1x >时，222()()(3)ln x x f x g x x x e x =>=-+，整理即得2(3)ln 0.xx x e x +-> …………12分（22） 证明：（Ⅰ）连接CF ,OF ,因为AC 为直径，则CF AB ⊥，因为,O D 分别为,AC BC 的中点，所以OD ∥AB ，所以CF OD ⊥.因为OF OC =,则EOF EOC ∠=∠,且OD OD =，则OCD OFD ∆≅∆，所以90OCD OFD ∠=∠=，所以,,,O C D F 四点共圆. ………………………5分（Ⅱ）设圆的半径为r ，因为OF FD ⊥,所以FD 是圆的切线.所以2(2)DF DE DE r =⋅+()DE DO r =⋅+ 1122DE DO DE r DE AB DE AC =⋅+⋅=⋅+⋅ 故22DF DE AB DE AC =⋅+⋅………………………10分（23）解：（Ⅰ）由直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=-+⎧⎨=⎩，消去参数t 得tan (1)y x α=+.曲线C 的极坐标方程为)4πρθ=+，展开得2cos 2sin ρθθ=+，化为直角坐标方程得22220x y x y +--=，即22(1)(1)2x y -+-=.……………………………………………………5分（Ⅱ）因为圆C 的直角坐标方程22(1)(1)2x y -+-=，圆心为(1,1)，所以圆心到直线tan (1)y x α=+的距离d =， 化简得27tan 8tan 10αα-+=，解之得tan 1α=或1tan .7α= ………………………………10分 （24）解：（Ⅰ）14114()(11)11411a b a b a b+=++++++++1144(5)411b a a b ++=++++19(5.44+=≥ 等号成立条件为14411b a a b ++=++，而2a b +=，∴15,.33a b == ………………………………5分 （Ⅱ）由均值不等式得22222222222,2,2a b a a b a b b b a a b ab +++≥≥≥. 三式相加得2222222222222(1),a b a b a b ab ab ab a b ++++++≥= 所以2222(1).a b a b a b a b ++++≥……………………………………………………………10分。
河南省高三理数第二次质量检测试卷解析版
高三理数第二次质量检测试卷一、单项选择题.集合M =+ +.F =o] , N = {(Kp)|F = ln(x + 2)},那么()A. {-1,0}B. {(-1,0)}C. MD. N.假设复数吗，那么同=()1 — 1A.3拒B.6C. VlOD. 103.假设等差数列{，”}和等比数列{2}满足6=4=7 , a ="=8,贝1]鲁=()A.-4B.-1C. 1-rk /A \.1 mi _ 5sinacosa /.aw(。
,兀，，.s//7a-co.su =—,贝i 」〃〃72a +；—=(4 cos'a-si 汇 a 36 A. 一B. 12C. -1275 .函数/(xb-7J ，假设/侑(/%10))=。
，那么/体(3))=()e +eA. c"-1B, 3〃一1C. c l-3u D ・ 1-4.“中国天眼”射电望远镜的反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆 面为底，垂直于圆面的直径被截得的局部为高，球冠面积5 = 2n/?力，其中R 为球的半径，力为球冠的高），设球冠底的半径为r,周长为C,球冠的面积为S,那么当。
=2&5兀，5 = 14兀时，（=D. 4)hOi ——R-hr _ 2M于是R 一 7 - 7 o 2故答案为：B.【分析】根据题意结合球冠的周长公式得出r 的值，再利用球冠的面积公式得出Rh 的值，由勾股定理可得出h,R 的值，进而得出 三的值。
R【解析】【解答】解：由题意得X 的可能取值为1, 2, 3,那么丝川专小?《 = 2）=霍S3）号22 19所以 E(X) = lx- + 2x- + 3x ： =一, 939 9I -19. 2 口 19、2 x — + (2) x — + (3) 9939y 的可能取值为o, 1, 2, 22I 8(y )= 0x —+lx —+ 2x —=一 ,939 95 y ）=（0 ］）2冬° .新亭（2 1）飞得 E (x )^£(r ), D(X) = D(Y).故答案为：D.【分析】由古典概型概率计算公式计算X, Y,取每一个值对应概率，得到其分布列，再由期望, 方差计算公式得出结果，即可判断。
2015郑州中考二模
河南省郑州市2015年中考数学二模试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．2015的倒数是（）A．﹣2015 B．C．D．20152．PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．2.5×10﹣7 B．2.5×10﹣6 C．25×10﹣7 D．0.25×10﹣53．如图，从左面观察这个立体图形，能得到的平面图形是（）A．B．C．D．4．如图，直线l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1=25°，则∠2的度数为（）A．35° B．25° C．30° D．45°5．如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速（单位：千米/时）情况．则这些车的车速的众数、中位数分别是（）A．8，6 B．8，5 C．52，53 D．52，526．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6，8，AE⊥BC，垂足为点E，则AE的长是（）A．B．2C．D．7．如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，使点B旋转到B′点，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（）A．25π B．π C．π D．π8．如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向向点D移动，已知△PAD的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间t（单位：s）的函数如图②所示，则点P从开始移动到停止共用时（）A．8秒B．（4+）秒C．（4+3）秒D．（4+）秒二、填空题（每小题3分，共21分）9．计算：=．10．如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠B=77°，则∠D=°．11．若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有实数根，则a的取值范围是．12．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=6cm，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D，E，则圆O的半径为cm．13．在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，一人从中随机摸出一球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球记下标号，则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是．14．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处．若AD=5，BC=9，则EF=．15．如图，在一张长为8cm，宽为6cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上）．则剪下的等腰三角形的面积为cm2．三、解答题（本题共8道小题，共75分）16．先化简，再从﹣2＜x＜3中选一个合适的整数代入求值．17．我市民营经济持续发展，2013年城镇民营企业就业人数突破20万．为了解城镇民营企业员工每月的收入状况，统计局对全市城镇民营企业员工2013年月平均收入随机抽样调查，将抽样的数据按“2000元以内”、“2000元～4000元”、“4000元～6000元”和“6000元以上”分为四组，进行整理，分别用A，B，C，D表示，得到下列两幅不完整的统计图．由图中所给出的信息解答下列问题：（1）本次抽样调查的员工有人，在扇形统计图中x的值为，表示“月平均收入在2000元以内”的部分所对应扇形的圆心角的度数是；将不完整的条形图补充完整，并估计我市2013年城镇民营企业20万员工中，每月的收入在“2000元～4000元”的约多少人？（3）统计局根据抽样数据计算得到，2013年我市城镇民营企业员工月平均收入为4872元，请你结合上述统计的数据，谈一谈用平均数反映月收入情况是否合理？18．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE，已知∠BAC=30°，BC=1，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．（1）线段EF是多少？答：，请写出求解过程；请判断四边形ADFE的形状，并说明理由．19．大河网报道“郑州东风渠再添4座新桥”，如图，某座桥的两端位于A，B两点，小华为了测量A、B之间的河宽，在垂直于桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=24米．求AB的长（精确到1米）．（参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．）20．如图，一次函数y=kx+b的图象l与坐标轴分别交于点E、F，与双曲线y=﹣（x＜0）交于点P（﹣1，n），且F是PE的中点．（1）求直线l的解析式；若直线x=a与l交于点A，与双曲线交于点B（不同于A），问a为何值时，PA=PB？21．我市正大力倡导”垃圾分类“，第一季度某企业按A类垃圾处理费25元/吨、B类垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付垃圾处理费520元．从4月起，收费标准上调为：A类垃圾处理费100元/吨，B类垃圾处理费30元/吨．若该企业第二季度需要处理的A类，B类垃圾的数量与第一季度相同，就要多支付垃圾处理费880元．（1）该企业第一季度处理的两类垃圾各多少吨？该企业计划第二季度将上述两种垃圾处理总量减少到24吨，且B类垃圾处理量不超过A类垃圾处理量的3倍，该企业第二季度最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？22．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；通过观察、测量、猜想：=，并结合图2证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求的值．（用含α的式子表示）23．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线y=x2﹣4x﹣2经过A，B两点．（1）求A点坐标及线段AB的长；若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿A﹣O﹣C﹣B的方向向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒．①当PQ⊥AC时，求t的值；②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，当点H的纵坐标满足条件时，∠HOQ ＜∠POQ．（直接写出答案）河南省郑州市2015年中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．2015的倒数是（）A．﹣2015 B．C．D．2015考点：倒数．分析：根据倒数的定义可得2015的倒数是．解答：解：2015的倒数是．故选：C．点评：主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．2.5×10﹣7 B．2.5×10﹣6 C．25×10﹣7 D．0.25×10﹣5考点：科学记数法—表示较小的数．专题：常规题型．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.0000025=2.5×10﹣6，故选：B．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．如图，从左面观察这个立体图形，能得到的平面图形是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．解答：解；从左面看下面一个正方形，上面一个正方形，故选：A．点评：本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图．4．如图，直线l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1=25°，则∠2的度数为（）A．35° B．25° C．30° D．45°考点：平行线的性质．分析：过C作CM∥直线l，根据等边三角形性质求出∠ACB=60°，根据平行线的性质求出∠1=∠MCB，∠2=∠ACM，即可求出答案．解答：解：过C作CM∥直线l，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，过C作CM∥直线l，∵直线l∥直线m，∴直线l∥直线m∥CM，∵∠ACB=60°，∠1=25°，∴∠1=∠MCB=25°，∴∠2=∠ACM=∠ACB﹣∠MCB=60°﹣25°=35°．故选A．点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．5．如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速（单位：千米/时）情况．则这些车的车速的众数、中位数分别是（）A．8，6 B．8，5 C．52，53 D．52，52考点：频数（率）分布直方图；中位数；众数．专题：计算题．分析：找出出现次数最多的速度即为众数，将车速按照从小到大顺序排列，求出中位数即可．解答：解：根据题意得：这些车的车速的众数52千米/时，车速分别为50，50，51，51，51，51，51，52，52，52，52，52，52，52，52，53，53，53，53，53，53，54，54，54，54，55，55，中间的为52，即中位数为52千米/时，则这些车的车速的众数、中位数分别是52，52．故选：D．点评：此题考查了频数（率）分布直方图，中位数，以及众数，弄清题意是解本题的关键．6．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6，8，AE⊥BC，垂足为点E，则AE的长是（）A．B．2C．D．考点：菱形的性质．分析：根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．解答：解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3，BO=BD=4，AO⊥BO，∴BC==5cm，∴S菱形ABCD==×6×8=24，∵S菱形ABCD=BC×AE，∴BC×AE=24，∴AE==，故选D．点评：此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．7．如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，使点B旋转到B′点，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（）A．25π B．π C．π D．π考点：弧长的计算；矩形的性质；旋转的性质．分析：连接BD，B′D，首先根据勾股定理计算出BD长，再根据弧长计算公式计算出，的长，然后再求和计算出点B在两次旋转过程中经过的路径的长即可．解答：解：连接BD，B′D，∵AB=5，AD=12，∴BD==13，∴的长：=，∵的长：=6π，∴点B在两次旋转过程中经过的路径的长是：+6π=，故选：C．点评：此题主要考查了弧长计算，以及勾股定理的应用，关键是掌握弧长计算公式l=．8．如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向向点D移动，已知△PAD的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间t（单位：s）的函数如图②所示，则点P从开始移动到停止共用时（）A．8秒B．（4+）秒C．（4+3）秒D．（4+）秒考点：动点问题的函数图象．分析：根据图②判断出AB、BC的长度，过点B作BE⊥AD于点E，然后求出梯形ABCD的高BE，再根据t=2时△PAD的面积求出AD的长度，过点C作CF⊥AD于点F，然后求出DF的长度，利用勾股定理列式求出CD的长度，然后求出AB、BC、CD的和，再根据时间=路程÷速度计算即可得解．解答：解：由图②可知，t在2到4秒时，△PAD的面积不发生变化，∴在AB上运动的时间是2秒，在BC上运动的时间是4﹣2=2秒，∵动点P的运动速度是1cm/s，∴AB=2cm，BC=2cm，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，则四边形BCFE是矩形，∴BE=CF，BC=EF=2cm，∵∠A=60°，∴BE=ABsin60°=2×=，AE=ABcos60°=2×=1，∴×AD×BE=3，即×AD×=3，解得AD=6cm，∴DF=AD﹣AE﹣EF=6﹣1﹣2=3，在Rt△CDF中，CD===2，所以，动点P运动的总路程为AB+BC+CD=2+2+2=4+2，∵动点P的运动速度是1cm/s，∴点P从开始移动到停止移动一共用了（4+2）÷1=4+2（秒）．答：点P从开始移动到停止移动一共用了（4+2）秒．故选：B．点评：本题考查了动点问题的函数图象，根据图②的三角形的面积的变化情况判断出AB、BC的长度是解题的关键，根据梯形的问题中，经常作过梯形的上底边的两个顶点的高线作出辅助线也很关键．二、填空题（每小题3分，共21分）9．计算：=0．考点：实数的运算．专题：计算题．分析：原式第一项利用立方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，即可得到结果．解答：解：原式=﹣2+2=0．故答案为：0．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠B=77°，则∠D=103°．考点：圆内接四边形的性质．分析：根据圆内接四边形对角互补，直接求出即可．解答：解：∵圆内接四边形ABCD中，∠B=77°，∴∠D=180°﹣77°=103°．故答案为：103°．点评：此题主要考查了圆内接四边形的性质，灵活应用圆内接四边形的性质是解决问题的关键．11．若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有实数根，则a的取值范围是a≤1．考点：根的判别式．分析：在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；在有实数根下必须满足△=b2﹣4ac≥0．解答：解：因为关于x的一元二次方程有实根，所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0，解之得a≤1．故答案为a≤1．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．12．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=6cm，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D，E，则圆O的半径为2cm．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．分析：连接OD、OE，根据已知条件证明四边形CDOE为正方形，得到OD=CD，证明OD∥BC，得到=，求出OD的长，得到答案．解答：解：连接OD、OE，∵∠ACB=90°，AC=3cm，BC=6cm，∴AB=3，∵AC、CB为⊙O的切线，∴OD⊥AC，OE⊥BC，又∠ACB=90°，∴四边形CDOE为矩形，CD=CE，∴四边形CDOE为正方形，∴OD=CD，∵OD⊥AC，∠ACB=90°，∴OD∥BC，∴=，=OD=2，故答案为：2．点评：本题考查的是切线的性质，掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键，注意：平行线分线段成比例定理的正确运用．13．在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，一人从中随机摸出一球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球记下标号，则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是．考点：列表法与树状图法．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于4的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于4的有10种情况，∴两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是：=．点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处．若AD=5，BC=9，则EF=3．考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理．分析：如图，首先运用翻折变换的性质求出CF、DF的长度，证明∠DEC=90°；运用射影定理求出EF的长度，即可解决问题．解答：解：如图，由翻折变换的性质得：CF=CB=9，DF=DA=5，∠EFC=∠B=90°；∠AED=∠FED，∠BEC=∠FEC，∴∠DEC=180°=90°，即EF⊥CD，∴由射影定理得：EF2=CF•DF，∴EF=3，故答案为3．点评：该题主要考查了翻折变换的性质、射影定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、射影定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．15．如图，在一张长为8cm，宽为6cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上）．则剪下的等腰三角形的面积为或5或10cm2．考点：作图—应用与设计作图．专题：计算题；压轴题．分析：因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分（1）腰长在矩形相邻的两边上，一腰在矩形的宽上，（3）一腰在矩形的长上，三种情况讨论．（1）△AEF为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再代入面积公式求解；（3）先求出AE边上的高DF，再代入面积公式求解．解答：解：分三种情况计算：（1）当AE=AF=5厘米时，∴S△AEF=AE•AF=×5×5=厘米2，当AE=EF=5厘米时，如图BF===2厘米，∴S△AEF=•AE•BF=×5×2=5厘米2，（3）当AE=EF=5厘米时，如图DF===4厘米，∴S△AEF=AE•DF=×5×4=10厘米2．故答案为：，5，10．点评：本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论．三、解答题（本题共8道小题，共75分）16．先化简，再从﹣2＜x＜3中选一个合适的整数代入求值．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=•=，当x=2时，原式==．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．17．我市民营经济持续发展，2013年城镇民营企业就业人数突破20万．为了解城镇民营企业员工每月的收入状况，统计局对全市城镇民营企业员工2013年月平均收入随机抽样调查，将抽样的数据按“2000元以内”、“2000元～4000元”、“4000元～6000元”和“6000元以上”分为四组，进行整理，分别用A，B，C，D表示，得到下列两幅不完整的统计图．由图中所给出的信息解答下列问题：（1）本次抽样调查的员工有500人，在扇形统计图中x的值为14，表示“月平均收入在2000元以内”的部分所对应扇形的圆心角的度数是21.6°；将不完整的条形图补充完整，并估计我市2013年城镇民营企业20万员工中，每月的收入在“2000元～4000元”的约多少人？（3）统计局根据抽样数据计算得到，2013年我市城镇民营企业员工月平均收入为4872元，请你结合上述统计的数据，谈一谈用平均数反映月收入情况是否合理？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；加权平均数．专题：图表型．分析：（1）用B的人数除以所占的百分比，计算即可求出被调查的员工总人数，求出B所占的百分比得到x的值，再求出A所占的百分比，然后乘以360°计算即可得解；求出C的人数，然后补全统计图即可，再用总人数乘以B所占的百分比计算即可得解；（3）根据众数为2000元～4000元判断不合理．解答：解：（1）本次抽样调查的员工人数是：=500（人），D所占的百分比是：×100%=14%，则在扇形统计图中x的值为14；“月平均收入在2000元以内”的部分所对应扇形的圆心角的度数是360°×=21.6°；故答案为：500，14，21.6°；C的人数为：500×20%=100，补全统计图如图所示，“2000元～4000元”的约为：20万×60%=12万；（3）用平均数反映月收入情况不合理．由数据可以看出500名被调查者中有330人的月收入不超过4000元，月收入的平均数受高收入者和低收入者收入变化的影响较大，月收入的中位数几乎不受高低两端收入变化的影响，因此，用月收入的中位数反映月收入水平更合理．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．18．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE，已知∠BAC=30°，BC=1，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．（1）线段EF是多少？答：，请写出求解过程；请判断四边形ADFE的形状，并说明理由．考点：平行四边形的判定；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．分析：（1）利用直角三角形中30°所对边与斜边的关系结合勾股定理得出答案；利用等边三角形的性质结合平行四边形的判定方法得出答案．解答：解：（1）∵∠BAC=30°，BC=1，∴AB=AE=BE=2，AC=，∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AF=BF=1，∴EF=；故答案为：．四边形ADFE是平行四边形，理由：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=BD=AB=2，AE=CE=AC=，∠ADB=∠BAD=∠DBA=∠CAE=∠AEC=∠ACE=60°，∴∠DAB=∠EFA=90°，EF=AD=，∴DA∥EF，∴四边形ADFE是平行四边形．点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定等知识，得出AC，EF的长是解题关键．19．大河网报道“郑州东风渠再添4座新桥”，如图，某座桥的两端位于A，B两点，小华为了测量A、B之间的河宽，在垂直于桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=24米．求AB的长（精确到1米）．（参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．）考点：解直角三角形的应用．分析：设AD=x米，则AC=（x+24）米．在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB=2.5（x+24），在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB=4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．解答：解：设AD=x米，则AC=（x+24）米．在Rt△ABC中，tan∠BCA=，∴AB=AC•tan∠BCA=2.5（x+24）．在Rt△ABD中，tan∠BDA=，∴AB=AD•tan∠BDA=4x．∴2.5（x+24）=4x，解得x=40．∴AB=4x=4×40=160．答：AB的长约为160米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．20．如图，一次函数y=kx+b的图象l与坐标轴分别交于点E、F，与双曲线y=﹣（x＜0）交于点P（﹣1，n），且F是PE的中点．（1）求直线l的解析式；若直线x=a与l交于点A，与双曲线交于点B（不同于A），问a为何值时，PA=PB？考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）先由y=﹣（x＜0），求出点P的坐标，再根据F为PE中点，求出F的坐标，把P，F的坐标代入求出直线l的解析式；过P作PD⊥AB，垂足为点D，由A点的纵坐标为﹣a+1，B点的纵坐标为﹣，D点的纵坐标为2，列出方程求解即可．解答：解：（1）∵双曲线y=﹣（x＜0）经过点P（﹣1，n），∴n=﹣=2，∴P（﹣1，2），∵F是PE的中点，∴OF=×2=1，∴F（0，1），设直线l的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线l的解析式为y=﹣x+1；如图，过P作PD⊥AB，垂足为点D，∵PA=PB，∴点D为AB的中点，又由题意知A点的纵坐标为﹣a+1，B点的纵坐标为﹣，D点的纵坐标为2，∴得方程﹣a+1﹣=2×2，解得a1=﹣2，a2=﹣1（舍去）．∴当a=﹣2时，PA=PB．点评：本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的重点是求出直线l的解析式．21．我市正大力倡导”垃圾分类“，第一季度某企业按A类垃圾处理费25元/吨、B类垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付垃圾处理费520元．从4月起，收费标准上调为：A类垃圾处理费100元/吨，B类垃圾处理费30元/吨．若该企业第二季度需要处理的A类，B类垃圾的数量与第一季度相同，就要多支付垃圾处理费880元．（1）该企业第一季度处理的两类垃圾各多少吨？该企业计划第二季度将上述两种垃圾处理总量减少到24吨，且B类垃圾处理量不超过A类垃圾处理量的3倍，该企业第二季度最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．分析：（1）该企业第一季度处理的A类垃圾x吨，B类垃圾y吨，根据等量关系式：A垃圾处理费25元/吨×A垃圾吨数+B处理费16元/吨×B垃圾吨数=总费用，列方程．设该企业处理的A类垃圾a吨，根据B类垃圾处理量不超过A类垃圾处理量的3倍，列不等式求解．解答：解：（1）该企业第一季度处理的A类垃圾x吨，B类垃圾y吨，根由题意得，，解得：，答：该企业第一季度处理的A类垃圾8吨，B类垃圾20吨；设该企业处理的A类垃圾a吨，由题意得，24﹣a≤3a，解得：a≥6，则总费用为：100a+30=720+70a，当a为6时，有最小值：1140（元）．答：企业第二季度最少需要支付这两种垃圾处理费共1140元．点评：本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．22．在正方形AB CD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；通过观察、测量、猜想：=，并结合图2证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求的值．（用含α的式子表示）考点：相似形综合题．专题：压轴题．分析：（1）由四边形ABCD是正方形，P与C重合，易证得OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，由同角的余角相等，证得∠GBO=∠EPO，则可利用ASA证得：△BOG≌△POE；首先过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，易证得△BMN≌△PEN（ASA），△BPF≌△MPF（ASA），即可得BM=PE，BF=BM．则可求得的值；（3）首先过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，由同理可得：BF=BM，∠MBN=∠EPN，继而可证得：△BMN∽△PEN，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，∵PF⊥BG，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°﹣∠BGO，∠EPO=90°﹣∠BGO，∴∠GBO=∠EPO，在△BOG和△POE中，∵，∴△BOG≌△POE（ASA）；解：猜想．证明：如图2，过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB．∵∠OBC=∠OCB=45°，∴∠NBP=∠NPB．∴NB=NP．∵∠MBN=90°﹣∠BMN，∠NPE=90°﹣∠BMN，∴∠MBN=∠NPE，在△BMN和△PEN中，∵，∴△BMN≌△PEN（ASA），∴BM=PE．∵∠BPE=∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF．∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=90°．在△BPF和△MPF中，，∴△BPF≌△MPF（ASA）．∴BF=MF．即BF=BM．∴BF=PE．即；（3）解法一：如图3，过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90°，由同理可得：BF=BM，∠MBN=∠EPN，∵∠BNM=∠PNE=90°，∴△BMN∽△PEN．∴．在Rt△BNP中，tanα=，∴=tanα．即=tanα．∴=tanα．解法二：如图3，过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，∴BO⊥PM，∠BPN=∠ACB=α，∵∠BPE=∠ACB=α，PF⊥BM，∴∠EPN=α．∠MBN=∠EPN=∠BPE=α．设BF=x，PE=y，EF=m，在Rt△PFB中，tan=，∵PF=PE+EF=y+m，∴x=（y+m）tan，在Rt△BFE中，tan==，∴m=x•tan，∴x=（y+xtan）•tan，∴x=y•tan+x•tan2，∴（1﹣tan2）x=y•tan，∴．即．解法三：如图3，过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，∴∠BNP=∠BOC=90°．∴∠EPN+∠NEP=90°．又∵BF⊥PE，∴∠FBE+∠BEF=90°．∵∠BEF=∠NEP，∴∠FBE=∠EPN，∵PN∥AC，∴∠BPN=∠BCA=α．又∵∠BPE=∠ACB=α，∴∠NPE=∠BPE=α．∴∠FBE=∠BPE=∠EPN=α．∵sin∠FPB=，∴BP=，）∵cos∠EPN=，∴PN=PE•cos，∵cos∠NPB=，∴PN=BP•cosα，∴EP•cos=BP•cosα，∴EP•cos=•cosα，∴．点评：此题考查了正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的定义等知识．此题综合性很强，难度较大，注意准确作出辅助线是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．23．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线y=x2﹣4x﹣2经过A，B两点．（1）求A点坐标及线段AB的长；若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿A﹣O﹣C﹣B的方向向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒．①当PQ⊥AC时，求t的值；②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，当点H的纵坐标满足条件﹣2＜y H＜时，∠HOQ＜∠POQ．（直接写出答案）考点：二次函数综合题．分析：（1）已知抛物线的解析式，将x=0代入即可得A点坐标；由于四边形OABC是矩形，那么A、B纵坐标相同，代入该纵坐标可求出B点坐标，则AB长可求．①Q点的位置可分：在OA上、在OC上、在CB上三段来分析，若PQ⊥AC时，很显然前两种情况符合要求，首先确定这三段上t的取值范围，然后通过相似三角形（或构建相似三角形），利用比例线段来求出t的值，然后由t的取值范围将不合题意的值舍去；②当PQ∥AC时，△BPQ∽△BAC，通过比例线段求出t的值以及P、Q点的坐标，可判定P点在抛物线的对称轴上，若P、H1重合，此时有∠H1OQ=∠POQ，显然若做点H1关于OQ的对称点H2，那么亦可得到∠H2OQ=∠POQ，而题干要求的是∠HOQ＜∠POQ，那么H1点以上、H2点以下的H 点都是符合要求的．解答：解：（1）由抛物线y=x2﹣4x﹣2知：当x=0时，y=﹣2，∴A（0，﹣2）．由于四边形OABC是矩形，所以AB∥x轴，即A、B的纵坐标相同；当y=﹣2时，﹣2=x2﹣4x﹣2，解得x1=0，x2=4，∴B（4，﹣2），∴AB=4．①由题意知：A点移动路程为AP=t，Q点移动路程为7（t﹣1）=7t﹣7．当Q点在OA上时，即0≤7t﹣7＜2，1≤t＜时，如图1，。
2015届高三质检二数学(理)试卷及答案剖析
石家庄市2015届高三复习教学质量检测(二)高三数学（理科）(时间120分钟，满分150分)第I 卷 (选择题，60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数iiz 42+=(i 为虚数单位)对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是A ．11a b-<- B ．2ab b < C ．2ab a -<- D ．b a < 3．某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算069.7=k ，则认为“学生性别与支持活动有关系”的犯错误的概率不超过 A ．0.1% B ．1% C ．99% D ．99.9% 附：4．已知实数,x y 满足条件11y x xy x ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为A ．3B ．2C ．32D ．05．运行如图所示的程序框图，如果输出的(2,2]t ∈-，则输入x 的范围是A ．[-B ．(-C ．[D ．( 6．已知等差数列{}n a 中，100720144,2014a S ==，则2015S =A ．2015-B ．2015C ．4030-D ．40307．一排有6个座位，三个同学随机就坐，任何两人不相邻的坐法种数为 A ．120 B ．36 C ．24 D ．728．若圆222)1()5(r y x =-+-上有且仅有两点到直线0234=++y x 的距离等于1，则r 的取值范围为A ．[4,6]B ．(4,6)C ．[5,7]D ．(5,7)10．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 B ．4+ C ．2+ D ．4+11.已知函数()f x 的定义域为2(43,32)a a --，且(23)y f x =-是偶函数． 又321()24x g x x ax =+++，存在0x 1(,),2k k k Z ∈+∈，使得00)(x x g =，则满足条件的k 的个数为A ．3B ．2C ．4D ．112．已知定义在R 上的函数()f x 满足：21)()()1(2+-=+x f x f x f ，数列{}n a 满足 *2),()(N n n f n f a n ∈-=，若其前n 项和为1635-，则n 的值为 A ．16 B ．17 C ．18 D ．19第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．双曲线2241x y -=的渐近线方程为_____. 14．已知212(1)4k dx ≤+≤⎰，则实数k 的取值范围是_____.16．三棱锥中有四条棱长为4，两条棱长为a ，则a 的取值范围为_____.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边长，且222cos ()a bc A b c -=+.（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1,2B C b +==，试求ABC ∆的面积． 18.（本小题满分12分）我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别见下表：我们把某天的空气污染指数在0-100时称作A 类天，101--200时称作B 类天，大于200时称作C类天．右图是某市2014年全年监测数据中随机抽取的18天数据作为样本，其茎叶图如下：（百位为茎，十、个位为叶） （Ⅰ）从这18天中任取3天，求至少含2个A 类天的概率；（Ⅱ）从这18天中任取3天，记X 是达到A 类或B 类天的天数，求X 的分布列及数学期望． 19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A AB =，90ABC ∠=︒，侧面11A ABB ⊥底面ABC ． （I ）求证：1AB ⊥平面1A BC ；（II ）若5AC =，3BC =，160A AB ∠=︒，求二面角11B AC C --的余弦值．20.（本小题满分12分）已知椭圆22122:1(0)4x y C b b b+=>，抛物线22:4()C x y b =-．过点(01)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线2C 在第一象限的交点为G ，且该抛物线在点G 处的切线经过坐标原点O ． （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设直线:l y kx =与椭圆1C 相交于两点C 、D 两点，其中点C 在第一象限，点A 为椭圆1C 的右顶点，求四边形ACFD 面积的最大值及此时l 的方程． 21.（本小题满分12分） 已知21()ln ,2f x x x mx x m R =--∈． (Ⅰ)当2m =-时，求函数()f x 的所有零点； (Ⅱ)若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：212x x e >(e 为自然对数的底数). 请考生在22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.几何证明选讲（本小题满分10分） 如图：已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B C 、，APC ∠的平分线分别交AB AC 、于点D E 、，.点G 是线段ED 的中点,AG 的延长线与CP 相交于点F ．（Ⅰ）证明：AF ED ⊥； （Ⅱ）当F 恰为PC 的中点时，求PCPB的值. 23．坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为24(4x t y t⎧=⎨=⎩其中t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线2C 的极坐标方程为cos()42πρθ+=． (Ⅰ)把曲线1C 的方程化为普通方程，2C 的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线1C ，2C 相交于B A ,两点，AB 的中点为P ，过点P 做曲线2C 的垂线交曲线1C 于F E ,两点，求PE PF ⋅.24.不等式选讲（本小题满分10分） 已知1()33f x x x a a=++-.(Ⅰ)若1a =，求8)(≥x f 的解集；（Ⅱ）对任意()+∞∈,0a ，任意R x ∈，()m x f ≥恒成立，求实数m 的最大值.80907873635267934738386730121290683243210B 1C 1C2014-2015学年度高三数学质检二答案（理科）一、 选择题1-5 DABAD 6-10 CCBCB 11-12 AB 二、填空13. 20x y ±= 14. ［1，3］ 15 -1016. ()2262,0+注意：此题如果写成(也可以 三、解答题（解答题如果和标准答案不一样，可依据本标准酌情给分） 17．解：（Ⅰ）∵222cos ()a bc A b c -=+，又根据余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，∴22222cos 2cos 2b c bc A bc A b bc c +--=++，…………………………2分 化简得4cos 2bc A bc -=，可得1cos 2A =-， ……………………………………………………………………4分 ∵0A π<<，∴23A π=.……………………………………………………………………5分（Ⅱ）∵1sin sin =+C B ， ∴1)3sin(sin =-+B B π，∴1sin 3cos cos 3sin sin =-+B B B ππ， ∴1sin 3cos cos 3sin =+B B ππ，∴1)3sin(=+πB ， ……………………………………………………………………8分又∵B 为三角形内角， 故6B C π==,所以2==c b ， ……………………………………………………………………………10分 所以3sin 21==∆A bc S ABC . …………………………………………………………12分 18. 解：（Ⅰ） 从这18天中任取3天，取法种数有 318816C =，3天中至少有2个A 类天的取法种数213315346C C C += ， ..... ....2分所以这3天至少有2个A 类天的概率为23408； .............................. ..4分 （Ⅱ）X 的一切可能的取值是3,2,1,0. ……………… 5分当X=3时，1027)3(31838===C C X P …………………… 6分当X=2时，10235)2(31811028===C C C X P …………………… 7分 当X=1时，341510245)1(31821018====C C C X P ……………… 8分 当X=0时，34510215)0(318310====C C X P …………… 9分数学期望为34102136102457021==++ ． ……………12分 19.解：（Ⅰ）证明：在侧面A 1ABB 1中，因为A 1A=AB ，所以四边形A 1ABB 1为菱形，所以对角线AB 1⊥A 1B ，…………………………………2分 因为侧面A 1ABB 1⊥底面ABC ，∠ABC=900，所以CB ⊥侧面A 1ABB 1， 因为AB 1⊂平面A 1ABB 1内，所以CB ⊥AB 1，…………………………4分 又因为A 1B ∩BC=B ，所以AB 1⊥平面A 1BC ． …………………………………6分（Ⅱ）在Rt △ABC 中, AC=5, BC=3, 所以AB=4,又菱形A 1ABB 1中,因为∠A 1AB=600，所以△A 1AB 为正三角形,如图，以菱形A 1ABB 1的对角线交点O 为坐标原点OA 1方向为x 轴，OA 方向为y 轴，过O 且与BC 平行的方向为z 轴建立如图空间直角坐标系，则1(2,0,0)A ，(2,0,0)B -，(2,0,3)C -，1(0,B -，1(0,C -，所以1(2,0)C C =-，113)C A =-，设(,,)n x y z =为平面11ACC的法向量，则11100n C C n C A ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以20230x x z ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，令3x =，得(3,3,4)n =为平面11ACC 的一个法向量，…………………………………9分又1(0,OB =-为平面1A BC 的一个法向量，111cos ,2723n OB n OB n OB <>===，……………………………11分所以二面角B —A 1C —C 1的余弦值为．…………………………………12分 法2：在平面BC A 1中过点O 作OH ⊥C A 1于H ，连接AH ，则C A 1⊥平面AOH ，所以∠AHO 即为二面角B —A 1C —A 的平面角，……………………………………………………8分在△BC A 1中5611=⋅=C A BC O A OH ， 又Rt △AOH 中32=AO ，所以521422=+=OH AO AH ， 所以1421cos =∠AHO ，………………………………………………………………11分 因为二面角B —A 1C —C 1与二面角B —A 1C —A 互补，所以二面角B —A 1C —C 1的余弦值为二面角B —A 1C —A 的余弦值的相反数，则二面角B —A 1C —C 1的余弦值为1421-．………………………………12分 20.解：（Ⅰ）由24()x y b =-得214y x b =+，当1y b =+得2x =±， ∴ G 点的坐标为(2,1)b +，则1'2y x =，2'|1x y ==，过点G 的切线方程为(1)2y b x -+=-即1y x b =+-，………………………2分 令0y =得10x b =-=，∴ 1b =。
2015年郑州市高中毕业年级第二次质量预测数学理科
2015年高中毕业年级第二次质量预测理科数学 参考答案一、选择题BCDC BDDC ADCA 二、填空题 13.2； 14. )161,0(±；15. 1-； 16. (2) (3) (4). 三、解答题17.解：(Ⅰ)设等差数列公差为d ，由题意知0>d ，因为1143,25,a a a +成等比数列，所以11324)25(a a a =+，)101)(21()327(2d d d ++=+∴，即,04536442=+-d d所以),2215(23舍去-==d d ……… 4分 所以213-=n a n . ……… 6分（Ⅱ）)231131(34)23)(13(411+--=+-==+n n n n a a b n n n ， ……… 8分所以41111112().32558313232n nT n n n =-+-++-=-++. ……… 12分 18. （1）证明：取AC 中点O ，连接O A 1， 因为平面⊥ABC 平面C C AA 11，AC O A ⊥1， 所以⊥O A 1平面ABC 所以⊥O A 1BC . 又AC BC ⊥，所以⊥BC 平面C C AA 11，所以BC AC ⊥1 .……… 4分 在菱形C C AA 11中，C A AC 11⊥. 所以⊥AC 平面BC A 1，所以11AC B A ⊥.……… 6分（2）以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系-O xyz ，则)0,1,0(-A ，)0,1,2(B ，)0,1,0(C ，)3,2,0(1C ，)0,2,2(=，(11BB CC ==，设),,(z y x m =是面11A ABB 的一个法向量， 则0,01=⋅=⋅BB m AB m ， 即220,0,x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩取1-=z 可得(3,1).m =-- ……… 10分 又)0,0,1(E ,所以)3,2,1(1-=EC ，所以直线1EC 与平面11A ABB 所成的角的正弦值|||||cos |sin 11m EC m EC EC ⋅=><=θ=1442. ……… 12分19.解：（1）恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是A,则1142268().15C C P A C ==……… 3分（2）设销售A 商品获得的利润为ξ（单位：元）, 依题意, 视频率为概率，为追求更多的利润，则商店每天购进的A 商品的件数取值可能为4件，5件，6件. 当购进A 商品4件时，1504600,E ξ=⨯=当购进A 商品5件时，(150450)0.315050.7690.E ξ=⨯-⨯+⨯⨯=当购进A 商品6件时，100706150100)505150(3.0)5024150(x x E -⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-⨯=ξ =x 2780- ……… 9分 由题意6902780≤-x ，解得45x ≥，又知1003070x ≤-=，所以x 的取值范围为[]45,70，x ∈*N . ……… 12分20.解:（1）因为椭圆)0,0(1:2222>>=+b a by a x C ,由题意得B1A B CO A 1B 1C 1422121=⨯⨯=∆b c S F BF , 22==a c e ，222c b a +=， 所以解得所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆C 的方程为22184x y += ……… 4分 （2）假设存在圆心在原点的圆222r y x =+，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点N M ,,因为-=+，所以有0=⋅ON OM ,设),(),,(2211y x N y x M ，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为y kx m =+，解方程组22184x y y kx m+==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>)21(2)82)(21(4164222222,1k m k m k km x +-+-±-=;2182,2142221221k m x x k km x x +-=+-=+∴ ……… 6分22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k--=++=+++=-+=+++ 要使0=⋅ON OM ,需12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k --+=++, 所以223880m k --=,所以223808m k -=≥又22840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩, 所以283m ≥,即m ≥m ≤,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r =,222228381318m m r m k ===-++,r =所求的圆为2283x y +=, ……… 10分 此时圆的切线y kx m =+都满足m ≥m ≤,而当切线的斜率不存在时切线为x =22184x y +=的两个交点为或(满足0=⋅, 综上, 存在圆心在原点的圆2283x y +=满足条件. . ……… 12分 21.解：（1）由已知得函数()f x 的定义域为}1|{>x x11)('-+=x a x f =11-+-x a ax当0≥a 时，0)('>x f 在定义域内恒成立，)(x f 的单调增区间为),1(+∞，当0<a 时，由0)('=x f 得111>-=ax当)11,1(a x -∈时，0)('>x f ；当),11(+∞-∈ax 时，0)('<x f()f x 的单调增区间为)11,1(a -，减区间为),11(+∞-a .……… 5分（2）由（1）知当ea -=11时，()f x 的单调增区间为),1(e ，减区间为),(+∞e .所以0)1ln(1)()(max <-+-==e e ee f x f 所以)1ln(1)(|)(|---=-≥e e ee f x f 恒成立，当e x =时取等号. 令)(x g =x bxx 2ln 2+，则2ln 1)('xx x g -= ……… 7分 当e x <<1时，/()0g x >；当x e >时，/()0g x < 从而()g x 在),1(e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减所以，21)()(max be e g x g +== ……… 10分所以，存在x 使得不等式11|)(|--e x f ≤x bxx 2ln 2+成立只需)1ln(1---e e e 1--e e 21b e +≤ 即：22ln(1).b e e≥--- ……… 12分22．（10分）选修4－1：几何证明选讲解：（1）证明：连结BE ，由题意知ABE ∆为直角三角形. 因为90ABE ADC ∠=∠=0，AEB ACB ∠=∠，ABE ∆∽ADC ∆，所以AB AEAD AC=，即AB AC AD AE ⋅=⋅. 又AB BC =，所以AC BC AD AE ⋅=⋅. ……… 5分 （2）因为FC 是圆O 的切线，所以2FC FA FB =⋅， 又22,2==CF AF ，所以2,4=-==AF BF AB BF ，因为ACF FBC ∠=∠，又CFB AFC ∠=∠，所以AFC ∆∽CFB ∆. 所以AF AC FC BC =，得2=⋅=CFBCAF AC ,sin 414sin ,42cos AEB ACD ACD ∠==∠∴=∠ 7144sin =∠=∴AEB AB AE ……… 10分 23．（10分）选修4－4：坐标系与参数方程 解（1）由ααsin cos 3+=x得1cos sin 32cos 2)sin cos 3(222++=+=αααααx ，所以曲线M 可化为21y x =-，]2,2[-∈x ，由sin()42πρθ+=得sin cos 222ρθρθ+=， 所以sin cos t ρθρθ+=，所以曲线N 可化为x y t +=. ……… 5分（2）若曲线M ，N 有公共点，则当直线N 过点)3,2(时满足要求，此时5=t ，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立21x y t y x +=⎧⎨=-⎩，得210x x t +--=， 14(1)0t ∆=++=，解得54t =-，综上可求得t 的取值范围是545≤≤-t . ……… 10分24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲解：（I ）不等式14)(--<x x f ，即4123<-++x x ，当32-<x 时，即,4123<+---x x 解得,3245-<<-x 当132≤≤-x 时，即,4123<+-+x x 解得,2132<≤-x当1>x 时，即,4123<-++x x 无解，综上所述)21,45(-∈x .……… 5分（Ⅱ）411))(11(11≥+++=++=+nmm n n m n m n m ， 令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>---≤≤-++--<++=+--=--=a x a x a x a x x a x x a x x f a x x g ,22,32,24,32,2223)()(32-=∴x 时，a x g +=32)(max ，要使不等式恒成立，只需432)(max ≤+=a x g 即3100≤<a . ……… 10分。
2015年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)
2015年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设i是虚数单位，复数z=，则|z|=（）A.1B.C.D.2【答案】B【解析】解：∵z===i（1-i）=i+1，则|z|=．故选：B．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．2.集合U={0，1，2，3，4}，A={1，2}，B={x∈Z|x2-5x+4＜0}，则∁U（A∪B）=（）A.{0，1，3，4}B.{1，2，3}C.{0，4}D.{0}【答案】C【解析】解：集合B中的不等式x2-5x+4＜0，变形得：（x-1）（x-4）＜0，解得：1＜x＜4，∴B={2，3}，∵A={1，2}，∴A∪B={1，2，3}，∵集合U={0，1，2，3，4}，∴∁∪（A∪B）={0，4}．故选：C．求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．3.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值=（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】解：根据茎叶图，得；乙的中位数是33，∴甲的中位数也是33，即m=3；甲的平均数是甲=（27+39+33）=33，乙的平均数是乙=（20+n+32+34+38）=33，∴n=8；∴=．故选：D．根据茎叶图，利用中位数相等，求出m的值，再利用平均数相等，求出n的值即可．本题考查了中位数与平均数的计算问题，是基础题目．4.某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A.3种B.6种C.9种D.18种【答案】C【解析】解：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C21C32种不同的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C22C31种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C21C32+C22C31=6+3=9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．故选：C两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A 类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．5.如图，y=f（x）是可导函数，直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，令g（x）=xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）=（）A.-1B.0C.2D.4【答案】B【解析】解：∵直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，∴f（3）=1，又点（3，1）在直线L上，∴3k+2=1，从而k=，∴f′（3）=k=，∵g（x）=xf（x），∴g′（x）=f（x）+xf′（x）则g′（3）=f（3）+3f′（3）=1+3×（）=0，先从图中求出切线过的点，再求出直线L的方程，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率，最后结合导数的概念求出g′（3）的值．本题考查导数的几何意义，曲线在切点处的导数值为曲线的切线的斜率．6.有四个关于三角函数的命题：p1：sinx=siny⇒x+y=π或x=y；p2：∀x∈R，sin2+cos2=1；p3：x，y∈R，cos（x-y）=cosx-cosy；p4：∀x∈[0，]，=cosx．其中真命题是（）A.p1，p2B.p2，p3C.p1，p4D.p2，p4【答案】D【解析】解：p1：若sinx=siny⇒x+y=π+2kπ或x=y+2kπ，k∈Z，故错误；p2：根据同角三角函数基本关系的平方关系，可得：∀x∈R，sin2+cos2=1，故正确；p3：x，y∈R，cos（x-y）=cosxcosy+sinxsiny，与cosx-cosy不一定相等，故错误；p4：∀x∈[0，]，==|cosx|=cosx，故正确．故选：D．根据三角函数的定义及周期性，可判断p1；根据同角三角函数基本关系的平方关系，可判断p2；根据两角差的余弦公式，可判断p3；根据二倍解的余弦公式，及根式的运算性质，可判断p4．本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，全（特）称命题，三角函数，属于基础题．7.若实数x、y满足且z=2x+y的最小值为4，则实数b的值为（）A.1B.2C.D.3【答案】D【解析】解：作出不等式组对于的平面区域如图：∵z=2x+y的最小值为4，即2x+y=4，且y=-2x+z，则直线y=-2x+z的截距最小时，z也取得最小值，则不等式组对应的平面区域在直线y=-2x+z的上方，由；，解得，即A（1，2），此时A也在直线y=-x+b上，即2=-1+b，故选：D作出不等式组对于的平面区域，根据z=2x+y的最小值为4，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．8.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A.8πB.16πC.32πD.64π【答案】C【解析】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面外接圆的半径为：r=2，由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为：R==2，故外接球的表面积S=4πR2=32π，故选：C由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9.已知函数f（x）=，＞，函数g（x）=f（x）-2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A.[-1，3）B.[-3，-1]C.[-3，3）D.[-1，1）【答案】A【解析】解：∵f（x）=，＞，，∴g（x）=f（x）-2x=，＞，，而方程-x+3=0的解为3，方程x2+4x+3=0的解为-1，-3；若函数g（x）=f（x）-2x恰有三个不同的零点，则＞，解得，-1≤a＜3实数a的取值范围是[-1，3）．故选：A．化简g（x）=f（x）-2x=，＞，，而方程-x+3=0的解为3，方程x2+4x+3=0的解为-1，-3；从而可得＞，从而解得．本题考查了分段函数的化简与函数零点的判断，属于基础题．10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin（B+A）+sin（B-A）=2sin2A，且c=，C=，则△ABC的面积是（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】解：∵在△ABC中，C=，∴B=-A，B-A=-2A，∵sin（B+A）+sin（B-A）=2sin2A∴sin C+sin（-2A）=2sin2A，即sin C+cos2A+sin2A=2sin2A，整理得：sin（2A-）=sin C=，∴sin（2A-）=，又A∈（0，），∴2A-=，解得A=，当A=时，B=，tan C===，解得a=，∴S△ABC=acsin B=××=；故选：B依题意，可求得B-A=-2A，利用两角差的正弦可求得sin（2A-）=，又A∈（0，），可求得A=，即可求得△ABC的面积本题主要考查正弦定理、两角和差的正弦、余弦公式，二倍角公式的应用，属于中档题11.如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A.|BM|是定值B.点M在某个球面上运动C.存在某个位置，使DE⊥A1CD.存在某个位置，使MB∥平面A1DE【答案】C【解析】解：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正确由∠A1DE=∠MFB，MF=A1D=定值，FB=DE=定值，由余弦定理可得MB2=MF2+FB2-2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，故A正确．∵B是定点，∴M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，故B正确，∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确．故选：C．取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A1DE，可得D正确；由余弦定理可得MB2=MF2+FB2-2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，可得A，B正确．A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得C 不正确．掌握线面、面面平行与垂直的判定和性质定理及线面角、二面角的定义及求法是解题的关键．12.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】设P到右准线的距离为d；过P作PP1⊥l，QQ1⊥l，分别交l于P1，Q1；∵，3|PF2|=2|QF2|；∴，；过P作PM⊥QQ1，垂直为M，交x轴于N，则：；∴解得d=；∵根据双曲线的定义，|PF1|-|PF2|=2a，∴|PF2|=2c-2a；∴根据双曲线的第二定义，；整理成：；∴解得，或（舍去）；即该双曲线的离心率为．故选A．先作出图形，并作出双曲线的右准线l，设P到l的距离为d，根据双曲线的第二定义即可求出Q到l的距离为．过Q作l的垂线QQ1，而过P作QQ1的垂线PM，交x轴于N，在△PMQ中有，这样即可求得d=，根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF2|=2c-2a，所以根据双曲线的第二定义即可得到，进一步可整理成，这样解关于的方程即可．考查双曲线的第二定义，双曲线的准线方程，双曲线的焦距、焦点的概念，以及对双曲线的定义的运用，双曲线的离心率的概念，相似三角形的比例关系．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知点A（-1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量在方向上的投影为______ ．【答案】2【解析】解：由已知得到=（1，2），=（4，3），所以向量在方向上的投影为==2；故答案为：2．首先分别求出，的坐标，然后利用向量的数量积公式求投影．本题考查了有向线段的坐标表示以及利用向量的数量积求向量的投影；属于基础题．14.已知实数m是2和8的等比中项，则抛物线y=mx2的焦点坐标为______ ．【答案】（0，±）【解析】解：∵实数m是2和8的等比中项，∴m2=16，m=±4，由y=mx2，得，若m=4，则，即2p=，，焦点坐标为（0，）；若m=-4，则，即2p=，，焦点坐标为（0，-）．∴抛物线y=mx2的焦点坐标为：（0，±）．故答案为：（0，±）．由等比中项概念求得m的值，代入抛物线方程，分m=4和m=-4求得抛物线的焦点坐标．本题考查了等比中项的概念，考查了抛物线的简单几何性质，属中档题．15.执行如图所示的程序框图，输出的S值是______ ．【答案】-1-【解析】解：模拟程序框图的运行过程，如下；n=1，s=0，s=0+cos=；n=2，n≥2015？，否，s=+cos=；n=3，n≥2015？，否，s=+cos=0；n=4，n≥2015？，否，s=0+cosπ=-1；n=5，n≥2015？，否，s=-1+cos=-1-；n=6，n≥2015？，否，s=-1-+cos=-1-；n=7，n≥2015？，否，s=-1-+cos=-1；n=8，n≥2015？，否，s=-1+cos2π=0；n=9，n≥2015？，否，s=0+cos=；…；s的值是随n的变化而改变的，且周期为8，又2015=251×8+7，此时终止循环，∴输出的s值与n=6时相同，为s=-1-．故答案为：-1-．模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是s=cos+cos+cos+cos+cos+…+cos的值，由此求出结果即可．本题考查了程序框图的应用问题，也考查了余弦函数求值的应用问题，是基础题目．16.已知偶函数y=f（x）对于任意的x∈[0，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式中成立的有______ ．（1）f（-）＜f（）（2）f（-）＞f（-）（3）f（0）＜f（-）（4）f（）＜f（）【答案】（2）（3）（4）【解析】解：∵偶函数y=f（x）对于任意的x∈[0，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0∴g（x）=，g′（x）=′＞0，∴x∈[0，），g（x）=是单调递增，且是偶函数，∴g（-）=g（），g（-）=g（），∵g（）＜g（），∴，即f（＞f（），（1）化简得出f（-）=f（）＞f（），所以（1）不正确．（2）化简f（-）＞f（-），得出f（）＞f（），所以（2）正确．又根据g（x）单调性可知：g（）＞g（0），∴＞，∴f（0）＜f（），∵偶函数y=f（x）∴即f（0）＜f（-），所以（3）正确．∵根据g（x）单调性可知g（）＞g（），∴，f（）＞f（）．所以（4）正确．故答案为：（2）（3）（4）运用g′（x）=′＞0，构造函数g（x）=是单调递增，且是偶函数，根据奇偶性，单调性比较大小．运用得出f（＞f（），可以分析（1），（2），根据单调性得出g（）＞g（0），g（）＞g（），判断（3）（4）．本题考查了运用导数判断函数的单调性，结合三角函数，偶函数性质，判断函数值的大小比较，关键根据式子确定是哪个函数值，属于中档题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1=1，且a3，a4+，a11成等比数列．（Ⅰ）求a n的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：（Ⅰ）设等差数列公差为d，由题意知d＞0，∵a3，，a11成等比数列，∴（）2=a3a11，∴，即44d2-36d-45=0，解得或（舍去），所以；（Ⅱ）因为b n===，所以数列{b n}的前n项和T n==．【解析】（Ⅰ）由题意知（）2=a3a11，从而可得公差，所以；（Ⅱ）将b n=列项为，求和即得T n的值．本题考查数列的通项公式及求前n项和，解题时要认真审题，仔细解答，采用裂项相消法是解题的关键，属中档题．18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC=60°，∠BCA=90°．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）已知点E是AB的中点，BC=AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连接A1O，由于平面ABC⊥平面AA1C1C，A1O⊥AC，所以：A1O⊥平面ABC，所以：A1O⊥BC，又BC⊥AC，所以：BC⊥平面A1AC，又AC1⊥A1C，A1C为A1B的射影，所以：A1B⊥AC1．（Ⅱ）以O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，A（0，-1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，），则：，，，，，，设=（x，y，z）是平面ABB1A1的法向量，所以：，求得：，，，由E（1，0，0）求得：，，，直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值sinθ=cos＜，＞=．【解析】（Ⅰ）首先利用面面垂直转化成线面垂直，进一步得出线线垂直．（Ⅱ）根据两两垂直的关系，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进一步利用向量的夹角余弦公式求出线面的夹角的正弦值．本题考查的知识要点：线面垂直与面面垂直与线线垂直之间的转化，空间直角坐标系，法向量的应用，线面的夹角的应用，主要考查学生的空间想象能力．19.某商场每天（开始营业时）以每件150元的价格购入A商品若干件（A商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商店对没卖出的A商品以每件100元的价格低价处理完毕（根据经验，4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完后，当天不再购进A商品）．该商场统计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）．（其中x+y=70）不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是多少？（Ⅱ）若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值范围．【答案】解：（1）恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是A，则P（A）==；（2）设销售A商品获得利润为X，（单位，元），以题意，视频率为概率，为追求更多的利润，则商店每天购进的A商品的件数取值可能为4件，5件，6件，当购进A商品4件时，EX=150×4=600，当购进A商品5件时，EX=（150×4-50）×0.3+150×5×0.7=690，当购进A商品6件时，EX=（150×4-2×50）×0.3+（150×5-50）×+150×6×=780-2x，由题意780-2x≤690，解得x≥45，又知x≤100-30=70，所以x的取值范围为[45，70]．x∈N*．【解析】（1）根据排列组合，可以求出总的事件的个数和满足条件的基本事件的个数，根据概率公式计算即可；（2）设销售A商品获得利润为X，则商店每天购进的A商品的件数取值可能为4件，5件，6件，分别求出其利润，根据题意列出不等式解得即可．本题考查了古典概型概率问题，以及数学期望的问题，属于中档题．20.设椭圆C：+=1（a＞b＞0），F1、F2为左右焦点，B为短轴端点，且S=4，离心率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，且满足|+|=|-|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0），由题意可得，=•2c•b=4，e==，且a2=b2+c2；联立解得，；故椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆x2+y2=r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，∵|+|=|-|，∴•=0；设M（x1，y1），N（x2，y2），当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y=kx+m，解方程组得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，则△=（4km）2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）＞0；即8k2-m2+4＞0；∴x1+x2=-，x1x2=；y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=；要使•=0，故x1x2+y1y2=0；即+=0；所以3m2-8k2-8=0，所以3m2-8≥0且8k2-m2+4＞0；解得m≥或m≤-；因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r=，r2===；故r=；即所求圆的方程为x2+y2=；此时圆的切线y=kx+m都满足m≥或m≤-；而当切线的斜率不存在时切线为x=±与椭圆+=1的两个交点为（，±），（-，±）；满足•=0，综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2=满足条件．【解析】（Ⅰ）由题意可得方程=•2c•b=4，e==，且a2=b2+c2；从而联立解出椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆x2+y2=r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，则可得•=0；再设M（x1，y1），N（x2，y2），当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y=kx+m，联立方程组可得x1+x2=-，x1x2=；y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=；从而再由x1x2+y1y2=0可得3m2-8k2-8=0，从而可解得m≥或m≤-；从而解出所求圆的方程为x2+y2=；再验证当切线的斜率不存在时也成立即可．本题考查了圆锥曲线的应用，化简很复杂，应用到了根与系数的关系以简化运算，属于难题．21.已知函数f（x）=ax+ln（x-1），其中a为常数．（Ⅰ）试讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=时，存在x使得不等式|f（x）|-≤成立，求b的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）由已知易得函数f（x）的定义域为：{x|x＞1}，f′（x）=a+=，当a≥0时，f′（x）＞0在定义域内恒成立，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），当a＜0时，由f′（x）=0得x=1-＞，当x∈（1，1-）时，f′（x）＞0，当x∈（1-，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）的单调递增区间为（1，1-），递减区间为（1-，+∞）；（Ⅱ）由（I）知当a=时，f（x）=x+ln（x-1），且f（x）的单调增区间为（1，e），单调减区间为（e，+∞），所以f（x）max=f（e）=+ln（e-1）＜0，所以|f（x）|≥-f（e）=恒成立，（当x=e时取等号）令，则′，当1＜x＜e时，g（x）＞0；当x＞e时，g（x）＜0，从而g（x）在区间（1，e）上单调递增，在区间（e，+∞）上单调递减，所以g（x）max=g（e）=，所以，存在x使得不等式|f（x）|-≤成立，只需-≤，即：b≥-2ln（e-1）．【解析】（Ⅰ）先求函数f（x）的定义域及f′（x）=，再分a≥0时、a＜0时两种情况考虑即可；（Ⅱ）由（I）可得f（x）max=+ln（e-1）＜0，令，求出g（x）的单调区间，从而可得g（x）max=g（e）=，所以原不等式成立只需-≤，解之即可．本题主要考查函数的单调性及与不等式的综合，比较复杂的函数的单调性，一般用导数来研究，将其转化为函数方程不等式综合问题解决，研究不等式时一定要先确定函数的单调性才能求解．22.如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．【答案】证明：（I）如图所示，连接BE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E=∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC=90°．∴△ABE∽△ADC，∴AB：AD=AE：AC，∴AB•AC=AD•AE．又AB=BC，∴BC•AC=AD•AE．解：（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF2=AF•BF，∵AF=2，CF=2，∴（2）2=2BF，解得BF=4．∴AB=BF-AF=2．∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC=AC：BC，∴AC==．∴cos∠ACD=，∴sin∠ACD==sin∠AEB，=∴AE=∠【解析】（I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E与∠ACB 都是所对的圆周角，可得∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．（II）利用切割线定理可得CF2=AF•BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得AF：FC=AC：BC，进而根据sin∠ACD=sin∠AEB，AE=，即可得出答案．∠本题考查了圆的性质、三角形相似、切割线定理，属于中档题．23.在直角坐标系x O y中，曲线M的参数方程为（α为参数），若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为ρsin（θ+）=t（t为参数）．（Ⅰ）求曲线M和N的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．【答案】解：（1）由x=，得x2=2cos2α，所以曲线M可化为y=x2-1，x∈[-2，2]，由ρsin（）=t，得ρsinθρcosθ=t，所以ρsinθ+ρcosθ=t，所以N可化为x+y=t，（2）若曲线N与曲线M有公共点，则当直线N过点（2，3）时，满足要求，此时t=5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，联立得x2+x-1-t=0，△=1+4（1+t）=0，解得t=，综上可得t的取值范围≤t≤5．【解析】（1）平方得x2=2cos2α，代入第二个式子化简得出ρsinθ+ρcosθ=t，根据y=ρsinθ，x=ρcosθ，化简得出x+y=t．（2）t=5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，联立利用判别式问题求解．本题考查了参数方程的与普通方程的转化问题，曲线的公共点问题，利用方程有解问题，转化为判别式求解，思路简单，属于中档题．24.已知函数f（x）=|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4-|x-1|；（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），若|x-a|-f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜4-|x-1|，即|3x+2|+|x-1|＜4，∴＜＜①，或＜＜②，或＜③．解①求得-＜x＜-，解②求得-≤x＜，解③求得x∈∅．综上可得，不等式的解集为（-，）．（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），∴+=（m+n）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当m=n=时，取等号．再根据|x-a|-f（x）≤+（a＞0）恒成立，可得|x-a|-f（x）≤4，即|x-a|-|3x+2|≤4．设g（x）=|x-a|-|3x+2|=，＜，，＞，故函数g（x）的最大值为g（-）=+a，再由+a≤4，求得0＜a≤．【解析】（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得+≥4，结合题意可得|x-a|-|3x+2|≤4恒成立．令g（x）=|x-a|-|3x+2|，利用单调性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于4，求得a的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2015市二模理科数学
理科数学试题（二）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）CBDA A BCBAD CC. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．23π. 14. 23n n a =. 15.14. 16. 2016 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）11sincos 2222ααα-=，11c o s 22αα-=，所以1sin()62πα-=，又因为α为锐角，所以3πα=. ………………6分（Ⅱ）2()cos 22sin 2sin 2sin 1f x x x x x =+=-++,令sin t x =，则2221(11)y t t t =-++-≤≤，由二次函数的图像知：当12t =时，max 32y =；当1t =-时，min 3y =-， 所以函数()f x 的值域为3[3,]2-. ………………12分18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）证明：PD ⊥平面ABCD ，BC Ü平面ABCD ，BC PD ∴⊥,又,BC CD CD PD D ⊥=,BC PCD ∴⊥面,又PC PCD 面Ü,∴BC PC ⊥. …………6分（Ⅱ）因为,//BC CD AD BC ⊥,所以AD DC ⊥，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，不妨设1AD =,则(1,0,0)A ,(0,0,2)P ,(0,2,0)C ,(2,2,0)B ,设平面PBC 的一个法向量为(,,)m x y z =，又(2,0,0)BC =-,(0,2,2)PC =-,由00m BC m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20220x y z -=⎧⎨-=⎩，不妨取1y =，则(0,1,1)m =，(1,0,2)PA =-,∴PA 与平面PBC 所成角θ的正弦值sin cos ,52PA m PA m PA mθ⋅=<>===⋅. ……………12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由图知，m 名学生中星期日运动时间少于60分钟的频率为：111()30750300020+⨯=，所以1520m ⨯=，所以100m =；设星期日运动时间在[)90,120内的频率为x ，则1111111()3013000750300100200300600x ++++++⨯+=，所以14x =.所以星期日运动时间在[)90,120内的频率为14. ……………6分 （Ⅱ）由图知，第一组有1人、第二组有4人、第七组有10人，第八组有5人，四组共20人，其中星期日运动时间少于60分钟的有5人.所以ξ可能取值为0,1,2,3，且3515320()(0,1,2,3)i i C C P i i C ξ-⋅===.所以ξ的分布列为所以ξ的期望=0+1+2+3==2282282282282284E ξ⨯⨯⨯⨯. …………12分20.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由c a =,及222a b c =+,设2,,(0)a k c b k k ===>,则由四个顶点构成的四边形面积为4得12242a b ⋅⋅=,即14242k k ⋅⋅=,解得1k =, ∴椭圆22:14x C y +=. ……………5分 （Ⅱ）设直线:l x ty m =+,即0x ty m --=,1m ≥,则由直线l 与圆221x y +=相切得1=,即221t m =-, 由222244()44x y ty m y x ty m⎧+=⇒++=⎨=+⎩,即222(4)240t y tmy m +++-=,易知0∆>恒成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理知：12221222444tm y y t m y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，∴由弦长公式得12AB y =-21212)4]y y y y =+-⋅==,∵1m ≥,∴23AB m m ==≤=+,当且仅当3m m =,即m =时等号成立,所以max 2AB =，所以OAB ∆的面积最大值为12112⨯⨯=. ……………12分21.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知得，221ln ln ()=ex xf x x x--'=.由()0f x '>得01x <<；由()0f x '<得1x >.所以函数()y f x =的单调增区间为：(0,1)，单调减区间为(1,)+∞.……………5分（Ⅱ）不等式()()f x g x ≥恒成立⇔不等式1+ln 1x kx x ≥+恒成立 ⇔不等式(1)(1+ln )x x k x+≤恒成立,令(1)(1+ln )1()1(1+ln )(1)x x h x x x x x +⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，则min ()k h x ≤.因为2ln ()x x h x x-'=，令()l n (1)x x xx ϕ=-≥，则()h x '与()x ϕ同号，因为1()0x x x ϕ-'=≥（当且仅当1x =时取等号），所以()x ϕ在[1,)+∞上递增，所以()(1)10x ϕϕ≥=>，所以()0h x '>，所以()h x 在[1,)+∞上递增，所以min ()(1)2h x h ==，所以 2.k ≤ ……………12分22.证明：（Ⅰ）因为A C B D =,所以ABC BCD ∠=∠.又因为EC 与圆相切于点C ，故ACE ABC∠=∠,所以ACE BCD ∠=∠. ………………5分 （Ⅱ）因为ECB CDB ∠=∠，EBC BCD ∠=∠，所以BDCECB ∆∆，故B C C DB E B C=.即2BC BE CD =⋅.又82BE ,CD ,==所以=4BC . ………………10分23.解：（Ⅰ）曲线1:2cos C ρθ=化为普通方程为：22(1)1x y -+=；直线2C的参数方程x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩ (t 为参数).0y -=.所以曲线1C 是以1C ()1,0为圆心，1r =为半径的圆.所以圆心1C ()1,00y -=的距离为：d ==.所以1AB ==.………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆10分 24.解: 1,1()1223,121,2x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩（Ⅰ）不等式()2f x x >,即112x x ≤⎧⎨->⎩或12232x x x <<⎧⎨->⎩或212x x≥⎧⎨>⎩,解得12x <-,所以不等式()2f x x >的解集为12x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭. ……………5分（Ⅱ）存在x R ∈，使得2()1f x t t >-+,即2max ()1f x t t >-+∵max ()1f x =, ∴只要22110(0,1)t t t t t >-+⇔-<⇔∈即(0,1)t ∈ ……………10分。
河南省郑州市高中毕业年级第二次质量预测.docx
河南省郑州市2016年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}4-==x y x A ，{}0121≤-≤-=x x B ，则=B A C U （ ）A ．),4(+∞B ．]21,0[C ．]4,21( D ．]4,1( 【知识点】集合的运算【试题解析】所以。
【答案】B2.命题“00≤∃x ，使得020≥x ”的否定是（ ）A ．0,02<≤∀x xB ．0,02≥≤∀x xC ．00>∃x ，020>xD ．00<∃x ，020≤x【知识点】全称量词与存在性量词【试题解析】因为特称命题的否定为全称命题， 所以命题“，使得”的否定是：。
【答案】A3.定义运算bc ad dc b a -=,,，则符合条件02,1,=-+ii i z 的复数z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【知识点】复数乘除和乘方 【试题解析】由题知：所以所以所以对应点为（），位于第二象限。
【答案】B4.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A ．2014B ．2015C ．2016D ．2017【知识点】算法和程序框图【试题解析】i=2015,s=2016,是，i=2014,s=2017;是，i=2013,s=2016;是，i=2012,s=2017; 是，i=2011,s=2016;是，…………根据规律可知：i 为偶数时，s=2017,i 为奇数时，s=2016． 由题知，i=0时输出，所以输出的s 值为2017． 【答案】D5.曲线3)(3+-=x x x f 在点P 处的切线平行于直线12-=x y ，则P 点的坐标为（ ） A ．)3,1( B ．)3,1(- C ．)3,1(和)3,1(- D ．)3,1(- 【知识点】导数的概念和几何意义 【试题解析】代入原函数知：点的坐标为和。
2015-2016学年河南省八市重点高中高三(下)2月质检数学试卷(理科)(解析版)资料
2015-2016学年河南省八市重点高中高三（下）2月质检数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设i是虚数但单位，则复数的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．2．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x﹣3≥0}，Q={x|1＜x＜4}，则P∩Q=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|3≤x＜4}C．{x|x≥4或x＜﹣3}D．{x|x＜﹣1或x＞3}3．（5分）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则的值（）A．B．﹣C．D．﹣4．（5分）如图为教育部门对辖区内某学校的50名儿童的体重（kg）作为样本进行分析而得到的频率分布直方图，则这50名儿童的体重的平均数为（）A．27.5 B．26.5 C．25.6 D．25.75．（5分）已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）△ABC中，，则△ABC的形状一定为（）A．等腰直角神经性B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形7．（5分）某人驾车遇到险情而紧急制动并以速度v（t）=120﹣60t（t为事件单位s）形式至停止，则从开始制动到汽车完全停止所形式的距离（单位：m）为（）A．100 B．150 C．120 D．1608．（5分）某饮用水器具的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．6πB．8πC．7πD．11π9．（5分）若实数x，y满足，则的最小值为（）A．B．2 C．D．10．（5分）已知（1﹣x）（1+2x）5，x∈R，则x2的系数为（）A．50 B．20 C．30 D．4011．（5分）已知椭圆，左右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率不为0的直线l交椭圆于A，B两点，则|BF2||AF2|的最大值为（）A．3 B．6 C．4 D．12．（5分）若函数f（x）在去年[n，m]上恒有成立，则称区间[n，m]为函数f（x）的“k度约束区间”，若区间为函数f（x）=x2﹣tx+t2的“2度约束区间”，则实数k的取值范围是（）A．（1，2]B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．（5分）已知平面向量与的夹角为，则=．14．（5分）如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S=．15．（5分）按照国家的相关税法规定，作者的稿酬应该缴纳个人所得税，具体规定为：个人每次取得的稿酬收入，定额或定率减去规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，首先减去每次稿酬所得费用800元；每次收入在4000元以上的，首先减除20%的费用并且以上两种情况均使用20%的比例税率，且按规定应纳税额征30%，已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为．16．（5分）已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，G是△ABC的三条边上中线的交点，若=，且≥cos2x﹣msinx（x∈R）恒成立，则实数m的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知首项为3的数列{a n}满足：=3，且b n=．（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）求数列{2n•b n}的前n项和T n．18．（12分）某革命老区为带动当地经济的发展，实现经济效益与社会效益双赢，精心准备了三个独立的方案；方案一：红色文化体验专营经济带，案二：农家乐休闲区专营经济带，方案三：爱国主义教育基础，通过委托民调机构对这三个方案的调查，结果显示它们能被民众选中的概率分别为，，．（1）求三个方案至少有两个被选中的概率；（2）记三个方案被选中的个数为ɛ，试求ɛ的期望．19．（12分）如图为AB上一点，且3OB=3OC=2AB，又PO⊥平面ABC，2DA=2AO=PO，且DA∥PO．（1）求证：平面PBD⊥平面COD；（2）求PD与平面BDC所成的角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C的方程为x2=4y，M（2，1）为抛物线C上一点，F为抛物线的焦点．（1）求|MF|；（2）设直线l2：y=kx+m与抛物线C有唯一的公共点，且与直线l1：y=﹣1相交于点Q，试问，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的函数有且只有一个零点，求a的值（e为自然对数的底数）请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1几何证明选讲]22．（10分）如图，半径为的△ABC的外接圆圆O的直径为AB，直线CE为圆O的切线且相切于点C，AD⊥CE于点D，AD=1．（1）求证：△ABC相似于△ACD；（2）求AC的长．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知直线与圆O：ρ=4．（1）分别求出直线l与圆O对应的直角坐标系中的方程；（2）求直线l被圆O所截得的弦长．[选修4-5不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，且a+b=1．（1）若ab≤m恒成立，求m的取值范围；（2）若恒成立，求x的取值范围．2015-2016学年河南省八市重点高中高三（下）2月质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2016•重庆校级一模）设i是虚数但单位，则复数的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出复数z的共轭复数，则答案可求．【解答】解：∵==，∴复数的共轭复数为．则复数的共轭复数的虚部为：．故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的求法，是基础题．2．（5分）（2016•重庆校级一模）已知集合P={x|x2﹣2x﹣3≥0}，Q={x|1＜x＜4}，则P∩Q=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|3≤x＜4}C．{x|x≥4或x＜﹣3}D．{x|x＜﹣1或x＞3}【分析】求出P中不等式的解集确定出P，找出P与Q并集即可．【解答】解：由P中不等式变形得：（x+1）（x﹣3）＞0，解得：x＜﹣1或x＞3，即P={x|x＜﹣1或x＞3}，∵Q={x|1＜x＜4}，∴P∪Q={x|3≤x＜4}，故选：B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）（2016•重庆校级一模）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则的值（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，两角和的正弦公式，求得的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣3，4），则sinα=，cosα=，∴=sinαcos+cosαsin=﹣×=，故选：C．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正弦公式，属于基础题．4．（5分）（2016•重庆校级一模）如图为教育部门对辖区内某学校的50名儿童的体重（kg）作为样本进行分析而得到的频率分布直方图，则这50名儿童的体重的平均数为（）A．27.5 B．26.5 C．25.6 D．25.7【分析】根据频率分布直方图，利用频率和为1求出a的值，再利用平均数的定义求出体重的平均数．【解答】解：根据频率分布直方图，得；（0.03+0.032+a+0.01+0.008）×10=1，解得a=0.02，所以这50名儿童的体重的平均数为=0.1×5+0.2×15+0.32×25+0.3×35+0.08×45=25.6．故选：C．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了平均数的计算问题，是基础题目．5．（5分）（2011•深圳二模）已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】因为焦点在x轴上的双曲线方程的渐近线方程为y=±，由双曲线的一条渐近线方程为y=，就可得到含a，b的齐次式，再把b用a，c表示，根据双曲线的离心率e=，就可求出离心率的值．【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴渐近线方程为y=±，又∵渐近线方程为y=，∴∴∵b2=c2﹣a2，∴化简得，即e2=，e=故选A【点评】本题考查双曲线的性质及其方程．根据双曲线的渐近线方程求离心率，关键是找到含a，c的等式．6．（5分）（2016春•河南月考）△ABC中，，则△ABC的形状一定为（）A．等腰直角神经性B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形【分析】由已知利用正弦定理可求sinC，进而可得C=或，分类讨论，分别求出A的值即可判断得解．【解答】解：△ABC中，因为，由正弦定理，可得sinC=，故C=或，当C=时，A=，△ABC为直角三角形；当C=时，A=，△ABC为等腰三角形；综上，△ABC的形状一定为等腰三角形或直角三角形．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了运算能力，分类讨论思想，逻辑推理能力，属于基础题．7．（5分）（2016春•河南月考）某人驾车遇到险情而紧急制动并以速度v（t）=120﹣60t（t为事件单位s）形式至停止，则从开始制动到汽车完全停止所形式的距离（单位：m）为（）A．100 B．150 C．120 D．160【分析】令v（t）=120﹣60t=0，解得t=2，即汽车在2s后停止，根据定积分的物理意义可知：汽车刹车距离为S：S=（120﹣60t）dt，根据定积分的计算，即可求得S．【解答】解：令v（t）=120﹣60t=0，解得：t=2，汽车刹车距离为S：S=（120﹣60t）dt=（120t﹣30t2）=120，故答案选：C．【点评】本题考查定积分的计算，定积分的物理意义，考查计算能力，属于基础题．8．（5分）（2016•重庆校级一模）某饮用水器具的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．6πB．8πC．7πD．11π【分析】由三视图知该几何体底面半径为1、高为4的圆柱的上半部分被截去一部分后得到的几何体，由条件和圆柱的表面积公式求出该几何体的表面积．【解答】解根据三视图可知几何体是：底面半径为1、高为4的圆柱的上半部分被截去一部分后得到的几何体，∴该几何体的表面积S==7π，故选：C．【点评】本题考查由三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．9．（5分）（2016•重庆校级一模）若实数x，y满足，则的最小值为（）A．B．2 C．D．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，从而求出z的最小值．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：A（3，0），C（2，1），z==1+∈[，2]，故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，转化与划归思想以及运算能力．10．（5分）（2016•重庆校级一模）已知（1﹣x）（1+2x）5，x∈R，则x2的系数为（）A．50 B．20 C．30 D．40【分析】根据题意，（1﹣x）（1+2x）5展开式中x2的系数为（1+2x）5的展开式中x2的系数与x的系数之差，求出即可．【解答】解：因为（1﹣x）（1+2x）5=（1+2x）5﹣x（1+2x）5，（1+2x）5的通项公式为T r+1=•2r•x r，所以x2的系数为：•22﹣•2=40﹣10=30．故选：C．【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了基本的运算能力，是基础题目．11．（5分）（2016春•河南月考）已知椭圆，左右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率不为0的直线l交椭圆于A，B两点，则|BF2||AF2|的最大值为（）A．3 B．6 C．4 D．【分析】由椭圆的性质可得：当且仅当AB⊥x轴时，|AB|取得最小值．由椭圆的定义可知：|BF2|+|AF2|+|AB|=4a，再利用基本不等式的性质即可得出．|【解答】解：由椭圆，可得a=2，b2=3，c==1．∴左右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．当且仅当AB⊥x轴时，|AB|取得最小值为2×=3．由椭圆的定义可知：|BF2|+|AF2|+|AB|=4a=8，则|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|≤8﹣3=5，∴5≥，可得|BF 2||AF2|≤，当且仅当|BF2|=|AF2|=时取等号．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的定义及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（2016春•河南月考）若函数f（x）在去年[n，m]上恒有成立，则称区间[n，m]为函数f（x）的“k度约束区间”，若区间为函数f（x）=x2﹣tx+t2的“2度约束区间”，则实数k的取值范围是（）A．（1，2]B．C．D．【分析】由x∈[，t]，（t＞0），得：t＞，由f（t）=t2﹣t•t+t2=t2≤2t得：t≤2，结合二次函数的性质求出t的范围即可．【解答】解：由题意得：≤x2﹣tx+t2≤2t对任意的x∈[，t]，（t＞0）都成立，由t＞得：t＞1，f（）=﹣1+t2＞2﹣1=1＞，由f（t）=t2﹣t•t+t2=t2≤2t得：t≤2，∵t＞1，∴f（）=﹣1+t2＜1﹣1+t2=t2，又f（x）=x2﹣tx+t2的对称轴是x=，由f（）=≥，得：t≥，由于＜1，∴t的范围是（1，2]，故选：A．【点评】本题考查新定义问题，考查学生的创新能力，解决问题的能力，是一道中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．（5分）（2016•重庆校级一模）已知平面向量与的夹角为，则=．【分析】利用向量的数量积以及向量的模的求法运算法则化简求解即可．【解答】解：向量与的夹角为，可得=||||cos=2×1×=，则==．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，向量的模的求法，考查计算能力．14．（5分）（2015•南开区一模）如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S=2500；．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=1+3+5+7+…+99==2500．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0S=1，i=3不满足条件i＞99，S=4，i=5不满足条件i＞99，S=9，i=7不满足条件i＞99，S=16，i=9…不满足条件i＞99，S=1+3+5+7+…+99，i=101满足条件i＞99，退出循环，输出S=1+3+5+7+…+99==2500．故答案为：2500．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了等差数列的求和，属于基本知识的考查．15．（5分）（2016春•河南月考）按照国家的相关税法规定，作者的稿酬应该缴纳个人所得税，具体规定为：个人每次取得的稿酬收入，定额或定率减去规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，首先减去每次稿酬所得费用800元；每次收入在4000元以上的，首先减除20%的费用并且以上两种情况均使用20%的比例税率，且按规定应纳税额征30%，已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为2800元．【分析】由题意，设这个人应得稿费（扣税前）为x元，则280=（x﹣800）×20%×（1﹣30%），即可得出结论．【解答】解：由题意，设这个人应得稿费（扣税前）为x元，则280=（x﹣800）×20%×（1﹣30%）所以x=2800，故答案为：2800元．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，正确选择函数模型是关键．16．（5分）（2016春•河南月考）已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，G是△ABC的三条边上中线的交点，若=，且≥cos2x﹣msinx（x∈R）恒成立，则实数m的取值范围为[﹣4﹣2，4+2] ．【分析】由题意知G是△ABC的重心，++=，代入+（a+b）+2c=求出a、b、c的关系；由+≥cos2x﹣msinx恒成立，得出≥（cos2x﹣msinx）max，利用基本不等式求出+的最小值，构造函数g（x）=cos2x﹣msinx（x∈R），用换元法和分类讨论思想求出g（x）的最小值，再列出不等式求出m的取值范围．【解答】解：由题意知，G是△ABC的重心，则++=，即=﹣（+），代入+（a+b）+2c=，得：（1﹣2c）+（a+b﹣2c）=，则，解得；又+≥cos2x﹣msinx恒成立，即≥（cos2x﹣msinx）max，且+=（+）•1=（+）•（a+b）=3+（+）≥3+2=3+2，当且仅当时“=”成立；令g（x）=cos2x﹣msinx（x∈R），则g（x）=﹣2sin2x﹣msinx+1，设t=sinx，t∈[﹣1，1]；则g（t）=﹣2t2﹣mt+1，对称轴是t=﹣；①若﹣＜﹣1，即m＞4，则g（t）max=g（﹣1）=﹣1+m，令3+2≥﹣1+m，解得m≤4+2，即4＜m≤4+2；②若﹣＞1，即m＜﹣4，则g（t）max=g（1）=﹣1﹣m，令3+2≥﹣1﹣m，解得﹣4﹣2≤m＜﹣4；③若﹣1≤﹣≤1，即﹣4≤m≤4，则g（t）max=g（﹣）=1+，由3+2≥1+解得﹣4≤m≤4，故﹣4≤m≤4；综上，实数m的取值范围是[﹣4﹣2，4+2]．故答案为：[﹣4﹣2，4+2]．【点评】本题考查了三角函数、平面向量以及函数的综合应用问题，也考查了综合处理数学问题的能力．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2016春•河南月考）已知首项为3的数列{a n}满足：=3，且b n=．（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）求数列{2n•b n}的前n项和T n．【分析】（1）计算b n+1﹣b n==；（2）求出b n的通项公式，得出T n，使用错位相减法求和．【解答】解：（1）∵=3，∴=，∴b n+1﹣b n=﹣==．∴数列{b n}是等差数列．（2）b1==，∴b n=+（n﹣1）=n+．∴T n=2•+22•+23•+24•+…+2n•，①①×2得：2T n=22•+23•+24•+25•+…+2n+1•，②①﹣②得：﹣T n=1++++…+•2n﹣2n+1•=1﹣2n+1•+•=1﹣2n+1•+•（2n+1﹣4）=﹣﹣•2n+1．∴T n=+•2n+1．【点评】本题考查了数列等差关系的判断，数列求和，属于中档题．18．（12分）（2016•重庆校级一模）某革命老区为带动当地经济的发展，实现经济效益与社会效益双赢，精心准备了三个独立的方案；方案一：红色文化体验专营经济带，案二：农家乐休闲区专营经济带，方案三：爱国主义教育基础，通过委托民调机构对这三个方案的调查，结果显示它们能被民众选中的概率分别为，，．（1）求三个方案至少有两个被选中的概率；（2）记三个方案被选中的个数为ɛ，试求ɛ的期望．【分析】记三个方案记为甲、乙、丙，被选中的事件分别为A，B，C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=（1）“只有两个方案被选中”可分为三种情形：①甲未被选中，乙、丙被选中，②乙未被选中，甲、丙被选中，③丙未被选中，甲、乙被选中，3个方案被选中，概率为××=从而求概率；（2）由题意可知ɛ的可能取值为0，1，2，3．求其概率从而求数学期望．【解答】解：记三个方案记为甲、乙、丙，被选中的事件分别为A，B，C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=．（1）“只有两个方案被选中”可分为三种情形：①甲未被选中，乙、丙被选中，概率为P1=××=．②乙未被选中，甲、丙被选中，概率为P2=××=．③丙未被选中，甲、乙被选中，概率为P3=××=．以上三种情况是互斥的．因此只有两个方案被选中的概率为P=．3个方案被选中，概率为××=，∴三个方案至少有两个被选中的概率为+=；（2）由题意可知ɛ的可能取值为0，1，2，3．P（ɛ=0）=××=；P（ɛ=1）=××+××+××=；由（1）知P（ɛ=2）=；P（ɛ=3）=××=．故Eɛ=0×+1×+2×+3×=．【点评】本题考查了数学期望的求法，考查概率的计算，属于中档题．19．（12分）（2016春•河南月考）如图为AB上一点，且3OB=3OC=2AB，又PO⊥平面ABC，2DA=2AO=PO，且DA∥PO．（1）求证：平面PBD⊥平面COD；（2）求PD与平面BDC所成的角的正弦值．【分析】（1）设OA=1，利用勾股定理得出PD⊥OD，由OC⊥平面ABPD得出OC⊥PD，于是PD⊥平面COD，从而有平面PBD⊥平面COD；（2）以O为原点建立坐标系，求出和平面BCD的法向量，则PD与平面BDC所成的角的正弦值为|cos＜，＞|．【解答】证明：（1）设OA=AD=1，则OB=OC=OP=2，∵AD∥PO，PO⊥平面ABC，∴AD⊥平面ABC，∴AD⊥AO．∴OD=，PD=．又PO=2，∴PD2+OD2=PO2，∴PD⊥OD．∵OB=OC，，∴OC⊥AB．∵PO⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，∴PO⊥AB，又AB⊂平面ABPD，OP⊂平面ABPD，AB∩OP=O，∴OC⊥平面ABPD，∵PD⊂平面ABPD，∴OC⊥PD，又OC⊂平面COD，DO⊂平面COD，OC∩OD=O，∴PD⊥平面COD，∵PD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面COD．（2）以O为原点，以OC，OB，OP为坐标轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，0，2），B（0，2，0），C（2，0，0），D（0，﹣1，1）．∴=（0，﹣1，﹣1），=（2，﹣2，0），=（0，﹣3，1）．设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，∴，令x=1得=（1，1，3），∴cos＜＞===﹣．∴PD与平面BDC所成的角的正弦值为．【点评】本题考查了面面垂直的判定，空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．20．（12分）（2016春•河南月考）已知抛物线C的方程为x2=4y，M（2，1）为抛物线C上一点，F为抛物线的焦点．（1）求|MF|；（2）设直线l2：y=kx+m与抛物线C有唯一的公共点，且与直线l1：y=﹣1相交于点Q，试问，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，根据抛物线的定义，即可得到所求|MF|；（2）假设存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，由直线l2：y=kx+m与抛物线C有唯一公共点P知，直线l2与抛物线C相切，利用导数求出直线l2的方程，进而求出Q点坐标，根据直径所对的圆周角为直角，利用•=0，求出N点坐标．【解答】解：（1）抛物线C的方程为x2=4y的焦点坐标为F（0，1），准线方程为y=﹣1，由抛物线的定义可得|MF|=1+1=2；（2）由抛物线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，则点N必在y轴上，设N（0，n），又设点P（x0，），由直线l2：y=kx+m与抛物线C有唯一公共点P知，直线l与抛物线C相切，由y=x2得y′=x，可得直线l2的斜率为x0，可得直线l的方程为y﹣=x0（x﹣x0），令y=﹣1得x=﹣，可得Q点的坐标为（﹣，﹣1），即有=（x0，﹣n），=（﹣，﹣1﹣n），由点N在以PQ为直径的圆上，可得•=﹣（1+n）（﹣n）=（1﹣n）•+n2+n﹣2=0，（*）要使方程（*）对x0恒成立，必须有，解得n=1，则在坐标平面内存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，其坐标为（0，1）．【点评】本题考查了抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，这类题目考查比较灵活，解决问题时注意几何关系向代数关系（即坐标关系）的转化．21．（12分）（2016•重庆校级一模）已知函数（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的函数有且只有一个零点，求a的值（e为自然对数的底数）【分析】（1）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）把方程化为=x2﹣2ex+a，求得h（x）=的最大值为h（e）=，再求得m（x）=x2﹣2ex+a 的最小值m（e）=a﹣e2，根据a﹣e2=求出a的值．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，①△=1+4a≤0即a≤﹣时，x2+x﹣a≥0，则f′（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）递增，②①△=1+4a＞0即a＞﹣时，令f′（x）=0，解得：x1=＜0，x2=，若﹣＜a≤0，则x2≤0，∴f（x）在（0，+∞）递增，若a＞0，x∈（0，）时，f′（x）＜0，x∈（，+∞），f′（x）＞0，∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（2）关于x的方程g（x）=﹣f（x）+lnx+2e，可化为=x2﹣2ex+a，令h（x）=，令h′（x）=0，得x=e，故h（x）的最大值为h（e）=．令m（x）=x2﹣2ex+a，可得：x=e时，m（x）的最小值m（e）=a﹣e2 ，由a﹣e2=可得a=e2+．【点评】本题主要考查导数的运算法则的应用，利用导数求函数的单调区间、最值问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1几何证明选讲]22．（10分）（2016•重庆校级一模）如图，半径为的△ABC的外接圆圆O的直径为AB，直线CE为圆O的切线且相切于点C，AD⊥CE于点D，AD=1．（1）求证：△ABC相似于△ACD；（2）求AC的长．【分析】（1）利用已知可得△ABC，△ACD为直角三角形，利用圆周角定理可得∠ABC=∠ACD，从而可证△ABC∽△ACD．（2）由（1）可得△ABC∽△ACD，利用相似三角形的性质可得=，进而即可解得AC的值．【解答】解：（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，∴△ABC直角三角形，∴△ACD为直角三角形，∵直线CE与圆O相切于点C，∴∠ABC=∠ACD，∴△ABC∽△ACD，得证．（2）∵由（1）可得△ABC∽△ACD．∴=，∴AC2=AB•AD，∵AB=9，AD=1，∴AC2=9，解得AC=3．【点评】本题主要考查了相似三角形，直线，圆等初等几何知识，考查了逻辑思维能力，运算能力，属于中档题．[选修4-4坐标系与参数方程]23．（2016•重庆校级一模）在极坐标系中，已知直线与圆O：ρ=4．（1）分别求出直线l与圆O对应的直角坐标系中的方程；（2）求直线l被圆O所截得的弦长．【分析】（1）先利用三角函数的和角公式展开直线的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标方程，（2）利用直角坐标中直线与圆的关系求出截得的弦长即可．【解答】解：（1）∵ρsin（θ+）=2，∴ρsinθ+ρcosθ=2，∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴化成直角坐标方程为：x+y﹣2=0，圆ρ=4化成直角坐标方程为x2+y2=16，（2）圆心到直线的距离为：d==2，∴截得的弦长为：2=4．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．[选修4-5不等式选讲]24．（2016•重庆校级一模）已知a＞0，b＞0，且a+b=1．（1）若ab≤m恒成立，求m的取值范围；（2）若恒成立，求x的取值范围．【分析】（1）由基本不等式可得；（2）问题转化为|2x﹣1|﹣|x+1|≤4，去绝对值化为不等式组，解不等式组可得．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+b=1，∴ab=，当且仅当a=b=时“=”成立，由ab≤m恒成立，故m≥；（2）∵a，b∈（0，+∞），a+b=1，∴+=（+）（a+b）=2++≥4，当且仅当a=b=时“=”成立，若恒成立，则只需|2x﹣1|﹣|x+1|≤4即可，只需或或，解得：﹣2≤x≤6．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，分段函数知识，考查运算能力，转化思想以及分类讨论思想，是一道中档题．2016年11月5日。
【解析版】2015年河南省高考预测数学(理)押题试卷
2015年河南省高考预测数学（理）押题试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中．只有一个符合题目要求．1．（5分）（2015•郑州二模）复数的共轭复数在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题；高考数学专题．分析：根据复数除法法则，算出z=的值，结合共轭复数的定义找到的值，再根据复数的几何意义，不难找到在复平面内的对应点所在的象限．解答：解：∵z1=3+i，z2=1﹣i∴复数z===（3+3i+i+i2）=1+2i因此z的共轭复数=1﹣2i，对应复平面内的点P（1，﹣2），为第四象限内的点故选D点评：本题给出两个复数，求它们的商的复数对应点所在的象限，着重考查了复数的除法运算、共轭复数和复数的几何意义等知识，属于基础题．2．（5分）（2015•郑州二模）若，，则角θ的终边一定落在直线（）上．A．7x+24y=0 B．7x﹣24y=0 C．24x+7y=0 D．24x﹣7y=0考点：终边相同的角；半角的三角函数．专题：计算题．分析：由题意确定的范围，然后求出角θ的终边的值，求出直线的斜率，即可得到选项．解答：解：，，所以在第四象限，，θ是第三象限角，tan=﹣，所以tanθ==；所以角θ的终边一定落在直线24x﹣7y=0上．故选D点评：本题是基础题，考查终边相同的角，直线的斜率，三角函数的化简求值，考查计算能力，常考题型．3．（5分）（2015•郑州二模）在数列{an}中，an+1=can（c为非零常数），前n项和为Sn=3n+k，则实数k为（）A．0B．1C．﹣1 D．2考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：由an+1=can，知{an}是等比数列，由Sn=3n+k，分别求出a1，a2，a3，再由a1，a2，a3成等比数列，求出k的值．．解答：解：∵an+1=can，∴{an}是等比数列，∵a1=S1=3+k，a2=S2﹣S1=（9+k）﹣（3+k）=6，a3=S3﹣S2=（27+k）﹣（9+k）=18，∵a1，a2，a3成等比数列，∴62=18（3+k），∴k=﹣1．故选C．点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意等比数列通项公式的合理运用．4．（5分）（2015•郑州二模）设α、β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：直线与平面垂直的性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．根据题意由判断定理得l⊥β⇒α⊥β．若α⊥β，直线l⊂α则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l 与平面β相交，或直线l在平面β内．由α⊥β，直线l⊂α得不到l⊥β，所以所以“l ⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．解答：解：面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．因为直线l⊂α，且l⊥β所以由判断定理得α⊥β．所以直线l⊂α，且l⊥β⇒α⊥β若α⊥β，直线l⊂α则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l与平面β相交，或直线l在平面β内．所以“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．故答案为充分不必要．点评：解决此类问题的关键是判断充要条件可以先判断命题的真假，最好用⇒来表示，再转换为是什么样的命题，最后转化是什么样的条件．5．（5分）（2015•郑州二模）若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=，c=elnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c考点：有理数指数幂的化简求值；对数值大小的比较．专题：计算题．分析：依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得a＜0，b＞1，＜c＜1，从而可得答案．解答：解：∵x∈（e﹣1，1），a=lnx∴a∈（﹣1，0），即a＜0；又y=为减函数，∴b=＞==1，即b＞1；又c=elnx=x∈（e﹣1，1），∴b＞c＞a．故选B．点评：本题考查有理数指数幂的化简求值，考查对数值大小的比较，掌握对数函数与指数函数的性质是关键，属于中档题．6．（5分）（2015•郑州二模）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）=2xf'（e）+lnx，则f'（e）=（）A．1B．﹣1 C．﹣e﹣1 D．﹣e考点：导数的运算．专题：计算题．分析：利用求导法则求出f（x）的导函数，把x=e代入导函数中得到关于f′（e）的方程，求出方程的解即可得到f′（e）的值．解答：解：求导得：f′（x）=2f'（e）+，把x=e代入得：f′（e）=e﹣1+2f′（e），解得：f′（e）=﹣e﹣1．故选C．点评：本题要求学生掌握求导法则．学生在求f（x）的导函数时注意f′（e）是一个常数，这是本题的易错点．7．（5分）（2015•怀化三模）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：作图题．分析：由三视图的作法规则，长对正，宽相等，对四个选项进行比对，找出错误选项．解答：解：本题中给出了正视图与左视图，故可以根据正视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项A中的视图满足三视图的作法规则；B中的视图满足三视图的作法规则；C中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等，故其为错误选项；D中的视图满足三视图的作法规则；故选C点评：本题考查三视图的作法，解题的关键是掌握住三视图的作法规则即长对正，宽相等，高平齐，利用这些规则即可选出正确选项．8．（5分）（2015•郑州二模）在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为（）A．B．C．D．考点：二项式定理；等差数列的性质；等可能事件的概率．专题：计算题．分析：求出二项展开式的通项，求出前三项的系数，列出方程求出n；求出展开式的项数；令通项中x的指数为整数，求出展开式的有理项；利用排列求出将9项排起来所有的排法；利用插空的方法求出有理项不相邻的排法；利用古典概型的概率公式求出概率．解答：解：展开式的通项为∴展开式的前三项系数分别为∵前三项的系数成等差数列∴解得n=8所以展开式共有9项，所以展开式的通项为=当x的指数为整数时，为有理项所以当r=0，4，8时x的指数为整数即第1，5，9项为有理项共有3个有理项所以有理项不相邻的概率P=．故选D点评：解决排列、组合问题中的不相邻问题时，先将没有限制条件的元素排起来；再将不相邻的元素进行插空．9．（5分）（2015•郑州二模）如图所示，F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A，B，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．+1 B．+1C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：连接AF1，可得∠AF2F1=30°，∠F1AF2=90°，F2F1=2c，AF1=c，AF2=，由双曲线的定义可知：AF2﹣AF1=﹣c=2a，变形可得离心率的值．解答：解：连接AF1，可得∠AF2F1=30°，∠F1AF2=90°，由焦距的意义可知F2F1=2c，AF1=c，由勾股定理可知AF2=，由双曲线的定义可知：AF2﹣AF1=2a，即﹣c=2a，变形可得双曲线的离心率==故选B点评：本题考查双曲线的性质，涉及直角三角形的性质，属中档题．10．（5分）（2011•安徽）函数f（x）=axn（1﹣x）2在区间（0.1）上的图象如图所示，则n可能是（）A．1B．2C．3D．4考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：先从图象上得出原函数的最值（极值）点小于0.5，再把答案分别代入验证法看哪个选项符合要求来找答案即可．解答：解：由于本题是选择题，可以用代入法来作，由图得，原函数的最值（极值）点小于0.5．当n=1时，f（x）=ax（1﹣x）2=a（x3﹣2x2+x），所以f'（x）=a（3x﹣1）（x﹣1），令f'（x）=0⇒x=，x=1，即函数在x=处有最值，故A对；当n=2时，f（x）=ax2（1﹣x）2=a（x4﹣2x3+x2），有f'（x）=a（4x3﹣6x2+2x）=2ax（2x﹣1）（x﹣1），令f'（x）=0⇒x=0，x=，x=1，即函数在x=处有最值，故B错；当n=3时，f（x）=ax3（1﹣x）2，有f'（x）=ax2（x﹣1）（5x﹣3），令f'（x）=0，⇒x=0，x=1，x=，即函数在x=处有最值，故C错．当n=4时，f（x）=ax4（1﹣x）2，有f'（x）=2x3（3x﹣2）（x﹣1），令f'（x）=0，⇒x=0，x=1，x=，即函数在x=处有最值，故D错故选A．点评：本题主要考查函数的最值（极值）点与导函数之间的关系．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．本本题考查利用极值求对应变量的值．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．11．（5分）（2015•郑州二模）设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f （1﹣x）+f（1+x）=0恒成立．如果实数m、n满足不等式组，那么m2+n2的取值范围是（）A．（3，7）B．（9，25）C．（13，49）D．（9，49）考点：简单线性规划的应用．专题：综合题．分析：根据对于任意的x都有f（1﹣x）+f（1+x）=0恒成立，不等式可化为f（m2﹣6m+23）＜f（2﹣n2+8n），利用f（x）是定义在R上的增函数，可得∴（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4，确定（m﹣3）2+（n﹣4）2=4（m＞3）内的点到原点距离的取值范围，即可求得m2+n2 的取值范围．解答：解：∵对于任意的x都有f（1﹣x）+f（1+x）=0恒成立∴f（1﹣x）=﹣f（1+x）∵f（m2﹣6m+23）+f（n2﹣8n）＜0，∴f（m2﹣6m+23）＜﹣f[（1+（n2﹣8n﹣1）]，∴f（m2﹣6m+23）＜f[（1﹣（n2﹣8n﹣1）]=f（2﹣n2+8n）∵f（x）是定义在R上的增函数，∴m2﹣6m+23＜2﹣n2+8n∴（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4∵（m﹣3）2+（n﹣4）2=4的圆心坐标为：（3，4），半径为2∴（m﹣3）2+（n﹣4）2=4（m＞3）内的点到原点距离的取值范围为（，5+2），即（，7）∵m2+n2 表示（m﹣3）2+（n﹣4）2=4内的点到原点距离的平方∴m2+n2 的取值范围是（13，49）．故选C．点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式的含义，解题的关键是确定半圆内的点到原点距离的取值范围．12．（5分）（2015•郑州二模）已知函数f（x）=x﹣cosx，则方程f（x）=所有根的和为（）A．0B．C．D．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：问题转化为y=cosx，与y=的图象交点的横坐标，作出图象可得结论．解答：解：由题意可得方程f（x）=的根等价于cosx=的根，即为函数y=cosx，与y=的图象交点的横坐标，在同一个坐标系中作出它们的图象如图：可知图象有唯一的交点x=，故方程f（x）=有唯一的根x=，故选C点评：本题考查根的存在性及个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．二、填空题：本大题共4小题．每小题5分．13．（5分）（2015•郑州二模）等差数列{an}的前7项和等于前2项和，若a1=1，ak+a4=0，则k=6．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的公差，由前7项和等于前2项和列式求出公差，然后利用ak+a4=0列式求得k的值．解答：解：设等差数列的公差为d，设其前n项和为Sn．由S7=S2，得，即7×1+21d=2+d，解得d=．再由．解得：k=6．故答案为6．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了学生的计算能力，是基础的运算题．14．（5分）（2015•郑州二模）已知O为坐标原点，点M（3，2），若N（x，y）满足不等式组，则的最大值为12．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先根据约束条件画出可行域，由于=（3，2）•（x，y）=3x+2y，设z=3x+2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=3x+2y过可行域内的点A时，z最大即可．解答：解：先根据约束条件画出可行域，则=（3，2）•（x，y）=3x+2y，设z=3x+2y，将最大值转化为y轴上的截距最大，当直线z=3x+2y经过交点A（4，0）时，z最大，最大为：12．故答案为：12．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．15．（5分）（2015•郑州二模）已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．考点：不等式的综合．专题：常规题型．分析：本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题．在解答时，首先可以游离参数将问题转化为：对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，然后解答此恒成立问题即可获得问题的解答．解答：解：由题意可知：不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，即：，对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，令，则1≤t≤3，∴a≥t﹣2t2在[1，3]上恒成立，∵∴ymax=﹣1，∴a≥﹣1故答案为：[﹣1，+∞）．点评：本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了游离参数的办法、恒成立的思想以及整体代换的技巧．值得同学们体会与反思．16．（5分）（2015•郑州二模）过点M（2，﹣2p）作抛物线x2=2py（p＞0）的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点纵坐标为6，则p的值是1或2．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设过点M的抛物线的切线方程与抛物线的方程联立，利用方程的判别式等于0，再利用韦达定理，结合线段AB中点的纵坐标为6，可求p的值．解答：解：设过点M的抛物线的切线方程为：y+2p=k（x﹣2）与抛物线的方程x2=2py联立消y得：x2﹣2pkx+4pk+4p2=0 ①．根据题意可得，此方程的判别式等于0，∴pk2﹣4k﹣4p2=0．设切线的斜率分别为k1，k2，则k1+k2=，此时，方程①有唯一解为x==pk，∴y===2（k+p）．设A（x1，y1），B（x2，y2），则12=y1+y2=2（k1+k2）+4p=+4p，∴p2﹣3p+2=0，解得p=1或p=2，故答案为1或2．点评：本题考查抛物线的切线，考查韦达定理的运用，考查中点坐标公式，属于中档题．三、解答题：解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2015•郑州二模）如图所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶（图中的箭头方向为汽车行驶方向），汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5公里，距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：作MI垂直公路所在直线于点I，则MI=3，OM=5，可得OI=4，且，设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，由余弦定理可得，求得，再利用二次函数的性质求得v的最小值，以及此时他行驶的距离vt的值．解答：解：作MI垂直公路所在直线于点I，则MI=3，∵OM=5，∴．﹣﹣﹣﹣（2分）设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，追上汽车的时间为t小时，由余弦定理：﹣﹣﹣﹣（6分），求得，﹣﹣﹣﹣（8分）∴当时，v的最小值为30，∴其行驶距离为公里．﹣﹣﹣﹣（11分）故骑摩托车的人至少以30公里/时的速度行驶才能实现他的愿望，他驾驶摩托车行驶了公里．﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题主要考查二次函数的性质，余弦定理的应用，属于中档题．18．（12分）（2015•郑州二模）每年的三月十二日，是中国的植树节，林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两批树苗中各抽测了10株树苗的高度，规定高于128厘米的为“良种树苗”，测得高度如下（单位：厘米）甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146（Ⅰ）根据抽测结果，完成答题卷中的茎叶图，并根据你填写的茎叶图，对甲、乙两批树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度的统计结论；（Ⅱ）设抽测的10株甲种树苗高度平均值为，将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算，（如图）问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义；（Ⅲ）若小王在甲批树苗中随机领取了5株进行种植，用样本的频率分布估计总体分布，求小王领取到的“良种树苗”株数X的分布列．考点：离散型随机变量及其分布列；茎叶图；程序框图．专题：概率与统计．分析：（I）将数据填入茎叶图，然后计算两组数据的平均数进行比较，计算中位数从而可得甲、乙两种树苗高度的统计结论；（II）根据流程图的含义可知S表示10株甲树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量，根据方差公式解之可得S．（III）X取取值0，1，2，3，4，5．对于分布列的列出，可先由给定数据算出相应的概率，再列表得出分布列即可．解答：解：（Ⅰ）茎叶图略．﹣﹣﹣（2分）统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；③甲种树苗的中位数为127，乙种树苗的中位数为128.5；④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，乙种树苗的高度分布较为分散．﹣﹣﹣（4分）（每写出一个统计结论得1分）（Ⅱ）．﹣﹣﹣﹣（6分）S表示10株甲树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量．S值越小，表示长得越整齐，S值越大，表示长得越参差不齐．﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）由题意，领取一株甲种树苗得到“良种树苗”的概率为，则﹣﹣﹣（10分）所以随机变量X的分布列为X 0 1 2 3 4 5p﹣﹣﹣﹣（12分）点评：根据新高考服务于新教材的原则，作为新教材的新增内容﹣﹣“茎叶”图是新高考的重要考点，数学期望的计算也是高考的热点．对于“茎叶图”学习的关键是学会画图、看图和用图，对于概率要多练习使用列举法表示满足条件的基本事件个数．对于数学期望的计算则要熟练掌握运算方法和步骤．19．（12分）（2015•郑州二模）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，=λ．（λ∈R）（Ⅰ）当λ=时，求证AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）当二面角A﹣A1D﹣B的大小为时，求实数λ的值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（Ⅰ）由三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，取BC边的中点O，连结AO，可证AO 垂直于底面，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，由已知求出各点的坐标，得到向量的坐标，由向量的数量积等于0可证AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）把D点的坐标用含有λ的代数式表示，求出二面角A﹣A1D﹣B的两个面的法向量，利用法向量所成的角为即可得到λ的值．解答：（Ⅰ）证明：取BC的中点为O，连结AO在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，面ABC⊥面CB1，△ABC为正三角形，所以AO⊥BC，故AO⊥平面CB1．以O为坐标原点建立如图空间直角坐标系O﹣xyz．则，B1（1，2，0），D（﹣1，1，0），，B （1，0，0）．所以，，，因为，所以AB1⊥DA1，AB1⊥DB，又DA1∩DB=D，所以AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）解：由（1）得D（﹣1，2λ，0），所以，，，设平面A1BD的法向量，平面AA1D的法向量，由，得，取y=1，得x=λ，．所以平面A1BD的一个法向量为，由，得，取u=﹣1，得x=，y=0．所以平面AA1D的一个法向量，由，得=．解得，为所求．点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角．训练了利用平面法向量求二面角的大小，是中档题．20．（12分）（2015•郑州二模）已知椭圆C：的右焦点为F，左顶点为A，点P为曲线D上的动点，以PF为直径的圆恒与y轴相切．（Ⅰ）求曲线D的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的△APM？①点M在椭圆C上；②点O为APM的重心．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（若三角形ABC 的三点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则其重心G的坐标为（，））考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）设P（x，y），由椭圆C的方程可得F（1，0），由题意可得以PF为直径的圆的圆心，利用两点间的距离公式得到，化简即可；（II）不存在．可用反证法证明．若这样的三角形存在，由题可设，由条件知点M在椭圆上可得，由三角形的重心定理可得，及点A（﹣2，0），代入化简即可得到x2，判断即可．解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），由题知F（1，0），所以以PF为直径的圆的圆心，则，整理得y2=4x，为所求．（Ⅱ）不存在，理由如下：若这样的三角形存在，由题可设，由条件①知，由条件②得，又因为点A（﹣2，0），所以即，故，解之得x2=2或（舍），当x2=2时，解得P（0，0）不合题意，所以同时满足两个条件的三角形不存在．点评：本题考查了椭圆及抛物线的定义、标准方程及其性质、反证法、重心定理、向量的运算性质等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．21．（12分）（2015•郑州二模）已知函数f（x）=lnx与g（x）=kx+b（k，b∈R）的图象交于P，Q两点，曲线y=f（x）在P，Q两点处的切线交于点A．（Ⅰ）当k=e，b=﹣3时，求f（x）﹣g（x）的最大值；（e为自然常数）（Ⅱ）若A（，），求实数k，b的值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）构建新函数，求导函数，利用导数确定函数的单调性，从而可求函数的最大值；（Ⅱ）先求出切线方程，代入A的坐标，进而求出P，Q的坐标，即可求实数k，b 的值．解答：解：（Ⅰ）设h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣ex+3（x＞0），则，﹣﹣﹣﹣（1分）当时，h′（x）＞0，此时函数h（x）为增函数；当时，h′（x）＜0，此时函数h（x）为减函数．所以函数h（x）的增区间为，减区间为．∴时，f（x）﹣g（x）的最大值为；﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）设过点A的直线l与函数f（x）=lnx切于点（x0，lnx0），则其斜率，故切线，将点代入直线l方程得：，即，﹣﹣﹣﹣（7分）设，则，当时，v′（x）＜0，函数v（x）为增函数；当时，v′（x）＞0，函数v（x）为减函数．故方程v（x）=0至多有两个实根，﹣﹣﹣﹣（10分）又v（1）=v（e）=0，所以方程v（x）=0的两个实根为1和e，故P（1，0），Q（e，1），所以为所求．﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，解题的关键是构建函数，正确运用导数知识．22．（4分）（2015•郑州二模）如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．（1）求证：AG•EF=CE•GD；（2）求证：．考点：圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段．专题：证明题；压轴题．分析：（1）要证明AG•EF=CE•GD我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题．（2）由（1）的推理过程，我们易得∠DAG=∠GDF，又由公共角∠G，故△DFG∽△AGD，易得DG2=AG•GF，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论．解答：证明：（1）连接AB，AC，∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD=90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF=∠AGD，∵∠DFG=∠CFE，∴∠ECF=∠GDF，∵G为弧BD中点，∴∠DAG=∠GDF，∵∠ECB=∠BAG，∴∠DAG=∠ECF，∴△CEF∽△AGD，∴，∴AG•EF=CE•GD（2）由（1）知∠DAG=∠GDF，∠G=∠G，∴△DFG∽△AGD，∴DG2=AG•GF，由（1）知，∴．点评：证明三角形相似有三个判定定理：（1）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（2）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似（3）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似．我们要根据已知条件进行合理的选择，以简化证明过程．23．（3分）（2010•宁夏）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．考点：简单曲线的极坐标方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用；直线的参数方程；圆的参数方程．专题：综合题；压轴题．分析：（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．解答：解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0．A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．点评：本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．24．（3分）（2015•郑州二模）已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（1）不等式f（x）≤3就是|x﹣a|≤3，求出它的解集，与{x|﹣1≤x≤5}相同，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，根据f（x）+f（x+5）的最小值≥m，可求实数m的取值范围．解答：解：（1）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3，解得a﹣3≤x≤a+3．又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，所以解得a=2．（6分）（2）当a=2时，f（x）=|x﹣2|．设g（x）=f（x）+f（x+5），于是所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；当x＞2时，g（x）＞5．综上可得，g（x）的最小值为5．从而，若f（x）+f（x+5）≥m即g（x）≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为（﹣∞，5]．（12分）点评：本题考查函数恒成立问题，绝对值不等式的解法，考查转化思想，是中档题，。
2015年高考(567)河南省郑州市2015届高三第二次质量预测
2015年高考(567)河南省郑州市2015届高三第二次质量预测河南省郑州市2015届高三第二次质量预测语文试题本试卷分第I卷（阅读题）和第II卷（表达题）两部分。
考试时间150分钟，满分150分。
考生作答时，将答案写在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。
交卷时只交答题卡。
【试卷综析】本次高三语文试题总分为150分，其中写作60分，阅读部分现代文，古代诗歌及文言文部分，和高考卷相同。
写作总分和高考分值相同。
总题量为23题，其中语言基础知识、阅读22题，写作1题，从试题难度梯度上看，试题的梯度呈现由浅入深的排列，两题文言文前一题的得分较低，作文只限定学生写供材料作文。
本次试卷涉及高中初中背诵内容。
侧重于学生古代汉语的理解、分析、综合运用，如解释文言实词和虚词，将文言文译成现代汉语，分析，理解文中人物形象，揣摩人物言语的真实用意，这些试题的设置强化了学生的基本技能的训练。
总体来说，这份高三质量预测语文试卷，试题题量适中，试题形式灵活，侧重基础。
【题文】第I卷阅读题甲必考题【题文】一、现代文阅读（9分，每小题3分）【题文】M0阅读下面的文字，完成1－3题。
秦汉、唐宋、明清中国建筑艺术基本保持和延续着相当一致的美学风格，即实践理性精神。
世界各民族的主要建筑多半是供养神的庙堂，如希腊神殿、哥特式教堂等。
而中国的大都是宫殿建筑，供世上活着的君主们居住。
中国祭拜神灵在与现实生活紧紧相的世间居住的中心，而不在脱离世俗生活的特别场所。
中国建筑不重在给人强烈的刺激或认识，而重在生活情调的感染熏陶，它不是一礼拜才去一次的灵魂洗涤之处，而是能够居住或经常瞻仰的生活场所。
在这里，平面铺开的建筑的有机体，实体已把空间意识化为时间进程，就是说，不是像哥特式教堂那样，人们一下子被扔进一个巨大幽闭的空间中，感到渺小恐惧而祈求上帝的保护。
相反，中国建筑的平面纵深空间，使人慢慢游历在复杂多样的亭台楼阁间，在这个不断的进程中，感受到生活的安适与环境的和谐。
2015年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2015年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．1．（5分）设i是虚数单位，复数z＝，则|z|＝（）A．1B．C．D．22．（5分）集合U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）＝（）A．{0，1，3，4}B．{1，2，3}C．{0，4}D．{0}3．（5分）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值＝（）A．1B．C．D．4．（5分）某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A．3种B．6种C．9种D．18种5．（5分）如图，y＝f（x）是可导函数，直线L：y＝kx+2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）＝（）A．﹣1B．0C．2D．46．（5分）有四个关于三角函数的命题：p1：sin x＝sin y⇒x+y＝π或x＝y；p2：∀x∈R，sin2+cos2＝1；p3：x，y∈R，cos（x﹣y）＝cos x﹣cos y；p4：∀x∈[0，]，＝cos x．其中真命题是（）A．p1，p2B．p2，p3C．p1，p4D．p2，p47．（5分）若实数x、y满足且z＝2x+y的最小值为4，则实数b的值为（）A．1B．2C．D．38．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π9．（5分）已知函数f（x）＝函数g（x）＝f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，3）B．[﹣3，﹣1]C．[﹣3，3）D．[﹣1，1）10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin（B+A）+sin（B ﹣A）＝2sin2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．或11．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A．|BM|是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE12．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|＝|F1F2|，且3|PF2|＝2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知点A（﹣1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量在方向上的投影为．14．（5分）已知实数m是2和8的等比中项，则抛物线y＝mx2的焦点坐标为．15．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．16．（5分）已知偶函数y＝f（x）对于任意的x∈[0，）满足f′（x）cos x+f（x）sin x＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式中成立的有．（1）f（﹣）＜f（）（2）f（﹣）＞f（﹣）（3）f（0）＜f（﹣）（4）f（）＜f（）三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1＝1，且a3，a4+，a11成等比数列．（Ⅰ）求a n的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC＝60°，∠BCA＝90°．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）已知点E是AB的中点，BC＝AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．19．（12分）某商场每天（开始营业时）以每件150元的价格购入A商品若干件（A商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商店对没卖出的A商品以每件100元的价格低价处理完毕（根据经验，4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完后，当天不再购进A商品）．该商场统计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）．（其中x+y＝70）（Ⅰ）若某该商场共购入6件该商品，在前6个小时中售出4件．若这些产品被6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是多少？（Ⅱ）若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值范围．20．（12分）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0），F 1、F2为左右焦点，B为短轴端点，且＝4，离心率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，且满足|+|＝|﹣|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝ax+ln（x﹣1），其中a为常数．（Ⅰ）试讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＝时，存在x使得不等式|f（x）|﹣≤成立，求b的取值范围．22．（10分）如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB＝BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC＝AD•AE；（Ⅱ）若AF＝2，CF＝2，求AE的长．23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（α为参数），若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）＝t（t为参数）．（Ⅰ）求曲线M和N的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．24．已知函数f（x）＝|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）已知m+n＝1（m，n＞0），若|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．2015年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．1．（5分）设i是虚数单位，复数z＝，则|z|＝（）A．1B．C．D．2【解答】解：∵z＝＝＝i（1﹣i）＝i+1，则|z|＝．故选：B．2．（5分）集合U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）＝（）A．{0，1，3，4}B．{1，2，3}C．{0，4}D．{0}【解答】解：集合B中的不等式x2﹣5x+4＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，解得：1＜x＜4，∴B＝{2，3}，∵A＝{1，2}，∴A∪B＝{1，2，3}，∵集合U＝{0，1，2，3，4}，∴∁∪（A∪B）＝{0，4}．故选：C．3．（5分）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值＝（）A．1B．C．D．【解答】解：根据茎叶图，得；乙的中位数是33，∴甲的中位数也是33，即m＝3；甲的平均数是＝（27+39+33）＝33，乙的平均数是＝（20+n+32+34+38）＝33，∴n＝8；∴＝．故选：D．4．（5分）某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A．3种B．6种C．9种D．18种【解答】解：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C21C32种不同的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C22C31种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C21C32+C22C31＝6+3＝9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．故选：C．5．（5分）如图，y＝f（x）是可导函数，直线L：y＝kx+2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）＝（）A．﹣1B．0C．2D．4【解答】解：∵直线L：y＝kx+2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，∴f（3）＝1，又点（3，1）在直线L上，∴3k+2＝1，从而k＝，∴f′（3）＝k＝，∵g（x）＝xf（x），∴g′（x）＝f（x）+xf′（x）则g′（3）＝f（3）+3f′（3）＝1+3×（）＝0，故选：B．6．（5分）有四个关于三角函数的命题：p1：sin x＝sin y⇒x+y＝π或x＝y；p2：∀x∈R，sin2+cos2＝1；p3：x，y∈R，cos（x﹣y）＝cos x﹣cos y；p4：∀x∈[0，]，＝cos x．其中真命题是（）A．p1，p2B．p2，p3C．p1，p4D．p2，p4【解答】解：p1：若sin x＝sin y⇒x+y＝π+2kπ或x＝y+2kπ，k∈Z，故错误；p2：根据同角三角函数基本关系的平方关系，可得：∀x∈R，sin2+cos2＝1，故正确；p3：x，y∈R，cos（x﹣y）＝cos x cos y+sin x sin y，与cos x﹣cos y不一定相等，故错误；p4：∀x∈[0，]，＝＝|cos x|＝cos x，故正确．故选：D．7．（5分）若实数x、y满足且z＝2x+y的最小值为4，则实数b的值为（）A．1B．2C．D．3【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：∵z＝2x+y的最小值为4，即2x+y＝4，且y＝﹣2x+z，则直线y＝﹣2x+z的截距最小时，z也取得最小值，则不等式组对应的平面区域在直线y＝﹣2x+z的上方，由；，解得，即A（1，2），此时A也在直线y＝﹣x+b上，即2＝﹣1+b，解得b＝3，故选：D．8．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面外接圆的半径为：r＝2，由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为：R＝＝2，故外接球的表面积S＝4πR2＝32π，故选：C．9．（5分）已知函数f（x）＝函数g（x）＝f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，3）B．[﹣3，﹣1]C．[﹣3，3）D．[﹣1，1）【解答】解：∵f（x）＝，∴g（x）＝f（x）﹣2x＝，而方程﹣x+3＝0的解为3，方程x2+4x+3＝0的解为﹣1，﹣3；若函数g（x）＝f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则，解得，﹣1≤a＜3实数a的取值范围是[﹣1，3）．故选：A．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin（B+A）+sin（B ﹣A）＝2sin2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．或【解答】解：∵在△ABC中，C＝，∴B＝﹣A，B﹣A＝﹣2A，∵sin（B+A）+sin（B﹣A）＝2sin2A∴sin C+sin（﹣2A）＝2sin2A，即sin C+cos2A+sin2A＝2sin2A，整理得：sin（2A﹣）＝sin C＝，∴sin（2A﹣）＝，又A∈（0，），∴2A﹣＝，解得A＝，当A＝时，B＝，tan C＝＝＝，解得a＝，∴S△ABC＝ac sin B＝××＝；故选：B．11．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A．|BM|是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE【解答】解：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正确由∠A1DE＝∠MFB，MF＝A1D＝定值，FB＝DE＝定值，由余弦定理可得MB2＝MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，所以MB是定值，故A正确．∵B是定点，∴M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，故B正确，∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确．故选：C．12．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|＝|F1F2|，且3|PF2|＝2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：如图，l为该双曲线的右准线，设P到右准线的距离为d；过P作PP1⊥l，QQ1⊥l，分别交l于P1，Q1；∵，3|PF2|＝2|QF2|；∴，；过P作PM⊥QQ1，垂直为M，交x轴于N，则：；∴解得d＝；∵根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2c﹣2a；∴根据双曲线的第二定义，；整理成：；∴解得（舍去）；即该双曲线的离心率为．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知点A（﹣1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量在方向上的投影为2．【解答】解：由已知得到＝（1，2），＝（4，3），所以向量在方向上的投影为＝＝2；故答案为：2．14．（5分）已知实数m是2和8的等比中项，则抛物线y＝mx2的焦点坐标为（0，±）．【解答】解：∵实数m是2和8的等比中项，∴m2＝16，m＝±4，由y＝mx2，得，若m＝4，则，即2p＝，，焦点坐标为（0，）；若m＝﹣4，则，即2p＝，，焦点坐标为（0，﹣）．∴抛物线y＝mx2的焦点坐标为：（0，±）．故答案为：（0，±）．15．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S＝﹣12+22﹣32+42的值∵S＝﹣12+22﹣32+42＝10故答案为：1016．（5分）已知偶函数y＝f（x）对于任意的x∈[0，）满足f′（x）cos x+f（x）sin x＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式中成立的有（2）（3）（4）．（1）f（﹣）＜f（）（2）f（﹣）＞f（﹣）（3）f（0）＜f（﹣）（4）f（）＜f（）【解答】解：∵偶函数y＝f（x）对于任意的x∈[0，）满足f′（x）cos x+f（x）sin x＞0∴g（x）＝，g′（x）＝＞0，∴x∈[0，），g（x）＝是单调递增，且是偶函数，∴g（﹣）＝g（），g（﹣）＝g（），∵g（）＜g（），∴，即f（＞f（），（1）化简得出f（﹣）＝f（）＞f（），所以（1）不正确．（2）化简f（﹣）＞f（﹣），得出f（）＞f（），所以（2）正确．又根据g（x）单调性可知：g（）＞g（0），∴＞，∴f（0）＜f（），∵偶函数y＝f（x）∴即f（0）＜f（﹣），所以（3）正确．∵根据g（x）单调性可知g（）＞g（），∴，f（）＞f（）．所以（4）正确．故答案为：（2）（3）（4）三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1＝1，且a3，a4+，a11成等比数列．（Ⅰ）求a n的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列公差为d，由题意知d＞0，∵a3，，a11成等比数列，∴（）2＝a3a11，∴，即44d2﹣36d﹣45＝0，解得或（舍去），所以；（Ⅱ）因为b n＝＝＝，所以数列{b n}的前n项和T n＝＝．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC＝60°，∠BCA＝90°．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）已知点E是AB的中点，BC＝AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连接A1O，由于平面ABC⊥平面AA1C1C，A1O⊥AC，所以：A1O⊥平面ABC，所以：A1O⊥BC，又BC⊥AC，所以：BC⊥平面A1AC，又AC1⊥A1C，A1C为A1B的射影，所以：A1B⊥AC1．（Ⅱ）以O为坐标原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，A（0，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，），则：，，设＝（x，y，z）是平面ABB1A1的法向量，所以：，求得：，由E（1，0，0）求得：，直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值sinθ＝cos＝．19．（12分）某商场每天（开始营业时）以每件150元的价格购入A商品若干件（A商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商店对没卖出的A商品以每件100元的价格低价处理完毕（根据经验，4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完后，当天不再购进A商品）．该商场统计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）．（其中x+y＝70）（Ⅰ）若某该商场共购入6件该商品，在前6个小时中售出4件．若这些产品被6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是多少？（Ⅱ）若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值范围．【解答】解：（1）恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是A，则P（A）＝＝；（2）设销售A商品获得利润为X，（单位，元），以题意，视频率为概率，为追求更多的利润，则商店每天购进的A商品的件数取值可能为4件，5件，6件，当购进A商品4件时，EX＝150×4＝600，当购进A商品5件时，EX＝（150×4﹣50）×0.3+150×5×0.7＝690，当购进A商品6件时，EX＝（150×4﹣2×50）×0.3+（150×5﹣50）×+150×6×＝780﹣2x，由题意780﹣2x≤690，解得x≥45，又知x≤100﹣30＝70，所以x的取值范围为[45，70]．x∈N*．20．（12分）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0），F 1、F2为左右焦点，B为短轴端点，且＝4，离心率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，且满足|+|＝|﹣|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0），由题意可得，＝•2c•b＝4，e＝＝，且a2＝b2+c2；联立解得，；故椭圆C的方程为+＝1；（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆x2+y2＝r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，∵|+|＝|﹣|，∴•＝0；设M（x1，y1），N（x2，y2），当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y＝kx+m，解方程组得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，则△＝（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）＝8（8k2﹣m2+4）＞0；即8k2﹣m2+4＞0；∴x1+x2＝﹣，x1x2＝；y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝；要使•＝0，故x1x2+y1y2＝0；即+＝0；所以3m2﹣8k2﹣8＝0，所以3m2﹣8≥0且8k2﹣m2+4＞0；解得m≥或m≤﹣；因为直线y＝kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r＝，r2＝＝＝；故r＝；即所求圆的方程为x2+y2＝；此时圆的切线y＝kx+m都满足m≥或m≤﹣；而当切线的斜率不存在时切线为x＝±与椭圆+＝1的两个交点为（，±），（﹣，±）；满足•＝0，综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2＝满足条件．21．（12分）已知函数f（x）＝ax+ln（x﹣1），其中a为常数．（Ⅰ）试讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＝时，存在x使得不等式|f（x）|﹣≤成立，求b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知易得函数f（x）的定义域为：{x|x＞1}，f′（x）＝a+＝，当a≥0时，f′（x）＞0在定义域内恒成立，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），当a＜0时，由f′（x）＝0得x＝1﹣，当x∈（1，1﹣）时，f′（x）＞0，当x∈（1﹣，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）的单调递增区间为（1，1﹣），递减区间为（1﹣，+∞）；（Ⅱ）由（I）知当a＝时，f（x）＝x+ln（x﹣1），且f（x）的单调增区间为（1，e），单调减区间为（e，+∞），所以f（x）max＝f（e）＝+ln（e﹣1）＜0，所以|f（x）|≥﹣f（e）＝恒成立，（当x＝e时取等号）令，则，当1＜x＜e时，g（x）＞0；当x＞e时，g（x）＜0，从而g（x）在区间（1，e）上单调递增，在区间（e，+∞）上单调递减，所以g（x）max＝g（e）＝，所以，存在x使得不等式|f（x）|﹣≤成立，只需﹣≤，即：b≥﹣2ln（e﹣1）．22．（10分）如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB＝BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC＝AD•AE；（Ⅱ）若AF＝2，CF＝2，求AE的长．【解答】证明：（I）如图所示，连接BE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°．又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E＝∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC＝90°．∴△ABE∽△ADC，∴AB：AD＝AE：AC，∴AB•AC＝AD•AE．又AB＝BC，∴BC•AC＝AD•AE．解：（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF2＝AF•BF，∵AF＝2，CF＝2，∴（2）2＝2BF，解得BF＝4．∴AB＝BF﹣AF＝2．∵∠ACF＝∠FBC，∠CFB＝∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC＝AC：BC，∴AC＝＝．∴cos∠ACD＝，∴sin∠ACD＝＝sin∠AEB，∴AE＝＝23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（α为参数），若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）＝t（t为参数）．（Ⅰ）求曲线M和N的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．【解答】解：（1）由x＝，得x2＝2cos2α，所以曲线M可化为y＝x2﹣1，x∈[﹣2，2]，由ρsin（）＝t，得ρsinθρcosθ＝t，所以ρsinθ+ρcosθ＝t，所以N可化为x+y＝t，（2）若曲线N与曲线M有公共点，则当直线N过点（2，3）时，满足要求，此时t＝5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，联立得x2+x﹣1﹣t＝0，△＝1+4（1+t）＝0，解得t＝，综上可得t的取值范围≤t≤5．24．已知函数f（x）＝|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）已知m+n＝1（m，n＞0），若|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|，即|3x+2|+|x﹣1|＜4，∴①，或②，或③．解①求得﹣＜x＜﹣，解②求得﹣≤x＜，解③求得x∈∅．综上可得，不等式的解集为（﹣，）．（Ⅱ）已知m+n＝1（m，n＞0），∴+＝（m+n）（+）＝2++≥2+2＝4，当且仅当m＝n＝时，取等号．再根据|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，可得|x﹣a|﹣f（x）≤4，即|x﹣a|﹣|3x+2|≤4．设g（x）＝|x﹣a|﹣|3x+2|＝，故函数g（x）的最大值为g（﹣）＝+a，再由+a≤4，求得0＜a≤．。
河南省郑州市2015年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷(含详细解答)
河南省郑州市2015年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷本试卷分第I卷（选择题）和第11卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第I卷一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．1、设i是虚数单位，复数21izi=+，则｜z｜＝A.1B. 2C.3D. 22.集合U=｛0，1，2，3，4｝，A=｛1，2｝，B＝｛x∈Z｝x2一5x+4<0｝，则C u(AUB)＝A. { 0，1，3，4}B.｛1，2，3｝C.｛0，4｝D. { 0｝3.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n的比值mn＝A.1B.13C.29D.384．某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有A. 3种B. 6种C. 9种D.18种5.如图y= f (x)是可导函数，直线l: y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，令g(x)=xf(x),g'(x）是g(x)的导函数，则g'（3）＝A. －1B. 0C. 2D. 46.有四个关于三角函数的命题：p1：sinx=siny =>x+y=π或x=y，其中真命题是A. p 1，p 3B. p 2，p 3C.p 1，p 4D. p 2，p 47.若实数x 、y 满足，且x=2x+y 的最小值为4，则实数b 的值为A.1B. 2C.52D. 3 8.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为A. 8πB. 16πC. 32πD. 64π 9.已知函数f （x ）＝，函数g(x) = f (x ）一2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是A.［一1，3)B.〔-3，一1〕C.［-3，3）D.［一1，1)10.在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin （B 十A ）＋sin （B －A ）＝ 3sin2A ，且7,3c C π==，则△ABC 的面积是11.如图，矩形ABCD 中,AB=2AD,E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成 △A 1DE.若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是A.｜BM ｜是定值 B ．点M 在某个球面上运动C.存在某个位置，使DE ⊥A 1 CD.存在某个位置，使MB //平面A 1DE12.已知双曲线()22221x y a b a b-=>0,>0的左、右焦点分别是F l ，F 2，过F 2的直线交双曲线的右支于P,Q 两点，若｜PF 1｜＝｜F 1F 2｜，且3｜PF 2｜=2 ｜QF 2｜，则该双曲线的离心率为A 、75 B 、43 C 、2 D 、103第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第 22-24题为选考题．考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知点A(－1，1）、B(0,3）、C(3，4），则向量AB u u u r 在AC u u ur 方向上的投影为 ．14.已知实数m 是2和8的等比中项，则抛物线y=mx 2的焦点坐标为15.执行如图所示的程序框图，输出的S 值是 ．16.已知偶函数y= f (x)对于任意的x [0,)2π∈满足f '(x)cosx ＋f(x)sinx>0(其中f ' (x)是函数f (x)的导函数），则下列不等式中成立的有三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、或演算步骤17.（本小题满分12分）已知等差数列｛n a ｝的各项均为正数，1a =1，且34115,,2a a a +成等比数列． （I ）求n a 的通项公式， （II ）设11n n n b a a +=，求数列｛n b ｝的前n 项和T n .18.（本小题满分12分） 如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，四边形AA 1C 1C 是边长为2的菱形，平面ABC ⊥平面AA 1 C 1C, ∠A 1AC=600, ∠BCA=900.（I ）求证:A 1B ⊥AC 1（II ）已知点E 是AB 的中点，BC=AC ，求直线EC 1与平面平ABB 1A 1所成的角的正弦值。
河南省郑州市高中毕业年级第二次质量预测.docx
河南省郑州市2016年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}4-==x y x A ，{}0121≤-≤-=x x B ，则=B A C U I （ ）A ．),4(+∞B ．]21,0[C ．]4,21( D ．]4,1( 【知识点】集合的运算 【试题解析】所以。
【答案】B2.命题“00≤∃x ，使得020≥x ”的否定是（ ）A ．0,02<≤∀x xB ．0,02≥≤∀x xC ．00>∃x ，020>xD ．00<∃x ，020≤x【知识点】全称量词与存在性量词【试题解析】因为特称命题的否定为全称命题， 所以命题“，使得”的否定是：。
【答案】A 3.定义运算bc ad dc b a -=,,，则符合条件02,1,=-+ii i z 的复数z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【知识点】复数乘除和乘方 【试题解析】由题知：所以所以所以对应点为（），位于第二象限。
【答案】B4.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A ．2014B ．2015C ．2016D ．2017【知识点】算法和程序框图【试题解析】i=2015,s=2016,是，i=2014,s=2017;是，i=2013,s=2016;是，i=2012,s=2017; 是，i=2011,s=2016;是，…………根据规律可知：i 为偶数时，s=2017,i 为奇数时，s=2016． 由题知，i=0时输出，所以输出的s 值为2017． 【答案】D5.曲线3)(3+-=x x x f 在点P 处的切线平行于直线12-=x y ，则P 点的坐标为（ ） A ．)3,1( B ．)3,1(- C ．)3,1(和)3,1(- D ．)3,1(- 【知识点】导数的概念和几何意义 【试题解析】代入原函数知：点的坐标为和。
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2015年高中毕业年级第二次质量预测理科数学 参考答案一、选择题 BCDCB \ DDCAD \ CA 二、填空题 13.2； 14. )161,0(±；15. 12--； 16. (2) (3) (4). 三、解答题17.解：(Ⅰ)设等差数列公差为d ，由题意知0>d ，因为1143,25,a a a +成等比数列，所以11324)25(a a a =+，)101)(21()327(2d d d ++=+∴，即,04536442=+-d d所以),2215(23舍去-==d d ……… 4分 所以213-=n a n . ……… 6分（Ⅱ）)231131(34)23)(13(411+--=+-==+n n n n a a b n n n ， ……… 8分所以41111112().32558313232n nT n n n =-+-++-=-++. ……… 12分 18. （1）证明：取AC 中点O ，连接O A 1， 因为平面⊥ABC 平面C C AA 11，AC O A ⊥1， 所以⊥O A 1平面ABC 所以⊥O A 1BC .又AC BC ⊥， 所以⊥BC 平面C C AA 11， 所以BC AC ⊥1 .……… 4分在菱形C C AA 11中，C A AC 11⊥.所以⊥AC 平面BC A 1， 所以11AC B A ⊥.……… 6分 （2）以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系-O xyz ， 则)0,1,0(-A ，)0,1,2(B ，)0,1,0(C ，)3,2,0(1C ，)0,2,2(=AB ，(11BB CC ==，设),,(z y x m =是面11A ABB 的一个法向量，则0,01=⋅=⋅BB m AB m ，即220,0,x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩取1-=z 可得(3,1).m =--……… 10分 又)0,0,1(E ,所以)3,2,1(1-=EC ，所以直线1EC 与平面11A ABB 所成的角的正弦值|||||,cos |sin 11m EC m EC m EC ⋅=><=θ=1442. ……… 12分19.解：（1）恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是A,则1142268().15C C P A C ==……… 3分（2）设销售A 商品获得的利润为（单位：元）, 依题意, 视频率为概率，为追求更多的利润， 则商店每天购进的A 商品的件数取值可能为4件，5件，6件. 当购进A 商品4件时，1504600,E ξ=⨯=当购进A 商品5件时，(150450)0.315050.7690.E ξ=⨯-⨯+⨯⨯=ξ 1ABCO A 1 B 1C 1当购进A 商品6件时，100706150100)505150(3.0)5024150(x x E -⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-⨯=ξ =x 2780- ……… 9分 由题意6902780≤-x ，解得，又知，所以x 的取值范围为，… 12分20.解:（1）因为椭圆)0,0(1:2222>>=+b a by a x C ,由题意得422121=⨯⨯=∆b c S F BF , 22==a c e ，222c b a +=， 所以解得所以椭圆C 的方程为 …… 4分 （2）假设存在圆心在原点的圆222r y x =+，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点N M ,,因为=+，所以有0=⋅,设),(),,(2211y x N y x M ，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为，解方程组得,即,则△=,即 )21(2)82)(21(4164222222,1k m k m k km x +-+-±-=;2182,2142221221k m x x k km x x +-=+-=+∴ ……… 6分要使0=⋅,需,即, 所以,所以又,所以,所以,即,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,……… 10分 此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足0=⋅, 综上, 存在圆心在原点的圆满足条件. ……… 12分21.解：（1）由已知得函数的定义域为}1|{>x x 11)('-+=x a x f =11-+-x a ax当0≥a时，0)('>x f 在定义域内恒成立，)(x f 的单调增区间为),1(+∞，当0<a 时，由0)('=x f 得111>-=a x 当)11,1(a x -∈时，0)('>xf ；当),11(+∞-∈ax 时，0)('<x f的单调增区间为)11,1(a -，减区间为),11(+∞-a……… 5分45x ≥1003070x ≤-=[]45,70x ∈*N 2284a b ⎧=⎨=⎩22184x y +=y kx m =+22184x y y kx m +==+⎧⎪⎨⎪⎩222()8x kx m ++=222(12)4280k x kmx m +++-=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>22840k m -+>22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k--=++=+++=-+=+++12120x x y y +=2222228801212m m k k k--+=++223880m k --=223808m k -=≥22840k m -+>22238m m ⎧>⎨≥⎩283m ≥m ≥m ≤y kx m =+r =222228381318m m r m k ===-++r =2283x y +=y kx m =+3m ≥3m ≤-3x =±22184x y +=(33±(2283x y +=()f x ()f x（2）由（1）知当ea -=11时，的单调增区间为),1(e ，减区间为. 所以0)1ln(1)()(max <-+-==e e e e f x f 所以)1ln(1)(|)(|---=-≥e e e e f x f 恒成立， 当e x =时取等号. 令)(x g =x bxx 2ln 2+，则2ln 1)('x x x g -= ……… 7分当e x <<1时，；当时，从而在),1(e 上单调递增，在上单调递减 所以，21)()(max be e g x g +== ……… 10分所以，存在x 使得不等式11|)(|--e x f ≤x bxx 2ln 2+成立只需)1ln(1---e e e 1--e e 21b e +≤ 即：22ln(1).b e e≥--- …… 12分 22．（10分）选修4－1：几何证明选讲解：（1）证明：连结BE ，由题意知ABE ∆为直角三角形.因为90ABE ADC ∠=∠=0，AEB ACB ∠=∠，ABE ∆∽ADC ∆， 所以AB AEAD AC=，即AB AC AD AE ⋅=⋅. 又AB BC =， 所以AC BC AD AE ⋅=⋅. ……… 5分（2）因为FC 是圆O 的切线，所以2FC FA FB =⋅，又22,2==CF AF ，所以2,4=-==AF BF AB BF ，因为ACF FBC ∠=∠，又CFB AFC ∠=∠，所以AFC ∆∽CFB ∆. 所以AF AC FC BC =，得2=⋅=CF BC AF AC ,sin 414sin ,42cos AEB ACD ACD ∠==∠∴=∠ 7144sin =∠=∴AEB AB AE ……… 10分 23．（10分）选修4－4：坐标系与参数方程解（1）由ααsin cos 3+=x 得1cos sin 32cos 2)sin cos 3(222++=+=αααααx ， 所以曲线M 可化为21y x =-，]2,2[-∈x ，由sin()4πρθ+=sin cos ρθθ+=， 所以sin cos t ρθρθ+=，所以曲线N 可化为x y t +=. ……… 5分（2）若曲线M ，N 有公共点，则当直线N 过点)3,2(时满足要求，此时5=t ，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立21x y t y x +=⎧⎨=-⎩，得210x x t +--=， 14(1)0t ∆=++=，解得54t =-，综上可求得t 的取值范围是545≤≤-t . ……… 10分24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲解：（I ）不等式14)(--<x x f ，即4123<-++x x ，()f x ),(+∞e /()0g x >x e >/()0g x <()g x (,)e +∞当32-<x 时，即,4123<+---x x 解得,3245-<<-x 当132≤≤-x 时，即,4123<+-+x x 解得,2132<≤-x当1>x 时，即,4123<-++x x 无解， 综上所述)21,45(-∈x ……… 5分（Ⅱ）411))(11(11≥+++=++=+nmm n n m n m n m ，令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>---≤≤-++--<++=+--=--=a x a x a x a x x a x x a x x f a x x g ,22,32,24,32,2223)()(32-=∴x 时，a x g +=32)(max ，要使不等式恒成立，只需432)(max ≤+=a x g 即3100≤<a . ……… 10分.。