高中全程复习方略数学课件：第六章 不等式、推理与证明 6.4

入12(x2＋x)万元作为技改费用，投入4x万元作为宣传费用．试问：技 术革新后生产的该商品销售量总投入之和？
解析：(1)设商品的销售价格提高 a 元， 则(10－a)(5＋a)≥50，解得 0≤a≤5. 所以商品的价格最多可以提高 5 元． (2)由题意知，技术革新后的销售收入为 mx 万元， 若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需
(2)对任意 x∈N*，f(x)≥3，即x2＋xa＋x＋1 11≥3 恒成立，即 a≥－
x＋8x＋3.设 g(x)＝x＋8x，x∈N*，则 g(x)＝x＋8x≥4 2，当 x＝2 2时 等号成立，又 g(2)＝6，g(3)＝137.
∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝137.∴－x＋8x＋3≤－83， ∴a≥－83，故 a 的取值范围是－83，＋∞.
3．设 0<x<32，则函数 y＝4x(3－2x)的最大值为________．
解析：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋32－2x2＝92， 当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝34时，等号成立． 又∵34∈0，23， ∴函数 y＝4x(3－2x)0<x<32的最大值为92. 答案：92
2．(2017·山东卷)若直线ax＋by＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则 2a＋b 的最小值为________．
解析：∵直线ax＋by＝1(a>0，b＞0)过点(1,2)， ∴1a＋2b＝1，
∴2a＋b＝(2a＋b)1a＋2b＝4＋4ba＋ba≥4＋2 4ba·ba＝8， 当且仅当ba＝4ba，即 a＝2，b＝4 时，等号成立． 故 2a＋b 的最小值为 8. 答案：8
二、听思路。

思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
解析：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为yx＝12x
＋80 x000－200≥2
1 80 2x·
x000－200＝200，
当且仅当12x＝80 x000，即 x＝400 时等号成立，
故该单位月处理量为 400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最
低，最低成本为 200 元．
(2)不获利．设该公司每月获利为 S 元，则 S＝100x－y＝100x
(－∞，0]∪[4，＋∞)，则 a 的值是( )
1 A.2
3 B.2
C．1
D．2
解析：由题意可得 a>0，①当 x>0 时，f(x)＝x＋ax＋2≥2 a＋2， 当且仅当 x＝ a时取等号；②当 x<0 时，f(x)＝x＋ax＋2≤－2 a＋2，
当且仅当 x＝－ a时取等号．所以22－a2＋a2＝ ＝04， ， 解得 a＝1，故选
(2)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)． (3)a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)．
(4)ba＋ab≥2(a·b＞0)．
(5)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a＞0，b＞0)．
3．利用基本不等式求最值问题 已知 x＞0，y＞0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值 是 2 p(简记：“积定和最小”)． (2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值 是s42(简记：“和定积最大”)．
[知识重温]
一、必记 3●个知识点 1．基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号． (3)两个平均数：a＋2 b称为正数 a，b 的算术平均数， ab称为正 数 a，b 的几何平均数．
2．几个重要不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
满足 mx＝12(x2＋x)＋4x＋50(x>5)即可，
此时 m＝12x＋34＋5x0≥2 2x·5x0＋34＝443， 当且仅当12x＝5x0，即 x＝10 时，取“＝”． 故销售量至少应达到443万件，才能使技术革新后的销售收入等 于原销售收入与总投入之和．
考向三 利用基本不等式求参数
[互动讲练型]
悟·技法 利用基本不等式求解含参数的不等式的策略 (1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得 参数的值或取值范围． (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看 作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化.
[变式练]——(着眼于举一反三)
2．(2018·福建四地六校联考)已知函数 f(x)＝x＋ax＋2 的值域为
解析：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A 错误． 对于 B、C，当 a<0，b<0 时，明显错误．
对于 D，∵ab>0，∴ba＋ab≥2 ab·ab＝2. 答案：D
5．已知 a，b，∈(0，＋∞)，若 ab＝1，则 a＋b 的最小值为 ________；若 a＋b＝1，则 ab 的最大值为________．
考向一 利用基本不等式求最值
[自主练透型]
1．(2018·常州调研)若实数 x 满足 x>－4，则函数 f(x)＝x＋x＋9 4 的最小值为________．
解析：∵x>－4，∴x＋4>0， ∴f(x)＝x＋x＋9 4＝x＋4＋x＋9 4－4≥2 x＋4·x＋9 4－4＝2， 当且仅当 x＋4＝x＋9 4，即 x＝－1 时取等号． 答案：2
解析：(1)y＝x－4＋x＋9 1＝x＋1＋x＋9 1－5，因为 x>－1，所以
x
＋
1>0
，
9 x＋1
>0.
所
以
由
基
本
不
等
式
，
得
y
＝
x
＋
1
＋
9 x＋1
－
5≥2 x＋1·x＋9 1－5＝1，当且仅当 x＋1＝x＋9 1，即(x＋1)2＝9，
即 x＋1＝3，x＝2 时取等号，所以 a＝2，b＝1，a＋b＝3.
答案：B
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。

一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
四、听方法。

在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
解析：由基本不等式得 a＋b≥2 ab＝2，当且仅当 a＝b＝1 时
取到等号；ab≤a＋2 b2＝14，当且仅当 a＝b＝12时取到等号．
答案：2
1 4
6．若 x>1，则 x＋x－4 1的最小值为________．
解析：∵x＋x－4 1＝x－1＋x－4 1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当 x－1＝x－4 1，即 x＝3 时等号成立． 答案：5
注意 (1)在应用基本不等式求最值时，要把握三个方面，即 “一正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三相等——等 号能取得”，这三个方面缺一不可．
(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等 号成立，并且要注意取等号的条件是否一致.
考向二 基本不等式的实际应用
[互动讲练型] [例 1] “节能减排，绿色生态”是当今世界各国所倡导，某 公司在科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧 化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该公司每月的处理量最少 为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间 的函数关系可近似地表示为：y＝12x2－200x＋80 000，且每处理一 吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元． (1)该公司每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本 最低？ (2)该公司每月能否获利？
悟·技法 求最值时常见以下几种情形： (1)若直接满足基本不等式条件，即满足求最值的三个前提条件 “一正、二定、三相等”，则直接应用基本不等式．
(2)若不能直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子 进行恒等变形，如构造“1”的代换，对不等式进行分拆、组合、 添加系数等方法使之能变成可用基本不等式的形式，创造使不等式 中等号成立的条件．
1
1
A.3
B.2
3
2
C.4
D.3
解析：由 x(3－3x)＝13×3x(3－3x)≤13×94＝34，当且仅当 3x＝3 －3x，即 x＝12时等号成立．
答案：B
4．若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 ab
C.1a＋1b>
2 ab
D.ba＋ab≥2
[例 2] (1)已知函数 y＝x－4＋x＋9 1(x>－1)，当 x＝a 时，y 取
得最小值 b，则 a＋b 等于( C )
A．－3 B．2
C．3
D．8
(2)已知函数 f(x)＝x2＋xa＋x＋1 11(a∈R)，若对于任意的 x∈N*， f(x)≥3 恒成立，则 a 的取值范围是_－__83_，__＋__∞．