专题17 几何最值之胡不归巩固练习(基础)-冲刺2021年中考几何专项复习(解析版)
九年级培优专题：经典几何模型——“胡不归”
经典几何模型——“阿氏圆”与“胡不归”一．“胡不归”模型典故从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A →B （如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
二.“胡不归”模型建立如图所示，已知sin ∠MBN =k ，点 P 为角∠MBN 其中一边 BM 上的一个动点，点A 在射线BM 、BN 的同侧，连接AP ，则当“PA +k ·PB ”最小时，P 点的位置如何确定? 分析：本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，过点P 作 PQ ⊥BN 垂足为Q ，则 k ·PB =PB ·sin ∠MBN =PQ , “PA +k ·PB ”的最小值转化为求“PA +PQ ”的最小值，即A 、P 、Q 三点共线时最小。
三.“胡不归”模型破解策略“胡不归”构造某角正弦值等于系数k （k 小于1）当k 值大于1时，则提取k ，构造某角正弦值等于系数k1 起点构造所需角（k =sin ∠CAE ）→过终点作所构角边的垂线→利用垂线段最短解决四.“胡不归”典型例题讲解1.四边形ABCD 是菱形，AB =6，且∠ABC =60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点,则 AM +21BM 的最小值为 . 变式思考：(1)本题如要求“2AM +BM ”的最小值你会求吗？(2)本题如要求“AM +BM +CM ”的最小值你会求吗？A DBC 沙 砾 地 带2.如图，等腰△ABC 中，AB =AC =3，BC =2，BC 边上的高为AO ，点D为射线AO 上一点，一动点P 从点A 出发，沿AD -DC 运动，动点P 在AD 上运动速度3个单位每秒，动点P 在CD 上运动的速度为1个单位每秒，则当AD = 时，运动时间最短为 秒.3.如图，在菱形ABCD 中，AB =6，且∠ABC =150°，点P 是对角线AC 上的一个动点，则P A +2PB 的最小值为 .用费马点思想做下试试4.如图，在△ACE 中，CA =CE ，∠CAE =30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上。
专题14 几何最值之胡不归巩固练习(提优)-冲刺2020年中考几何专项复习(原卷版)
几何最值之胡不归巩固练习（提优）1．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA＝，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E 点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．2．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）证明：CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．3.抛物线与轴交于点A、B（A在B的左边），与轴交于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一点，PF⊥轴于点F，PF与线段AC交于点E，将线段OB沿轴左右平移，线段OB的对应线段是，当周长的最小值，并求出对应的点的坐标.4．如图，已知抛物线y＝x＋2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝－x＋b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？5．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD＋PC的最小值和PD﹣的最大值；（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD PC的最小值为，PD﹣PC的最大值为．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为，PD的最大值为．6．如图1，抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM ⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A＋E′B的最小值．。
专题17 等腰三角形存在性巩固练习(基础)-冲刺2020年中考几何专项复习(原卷版)
等腰三角形存在性问题巩固练习（基础）1．平面直角坐标系中，已知A（1，2）、B（3，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5B．6C．7D．82．在△ABC中，与∠A相邻的外角是130°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数是（）A．50°B．65°C．50°或65°D．50°或65°或80°3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在y轴上找一点P，使△P AB 是等腰三角形，则符合条件的P点共有个．4．如图，在xOy中，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的C点有个．5．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，沿C→A→B→C的路径运动一周，且速度为每秒2cm，设运动时间为t秒，当t＝时，点P与△ABC的某两个顶点构成等腰三角形．6．如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，且点A坐标为（4，4），P是y轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，求P点的坐标．7．如图：已知在△ABC中，AD⊥BC于D，E是AB的中点，（1）求证：E点一定在AD的垂直平分线上；（2）如果CD＝9cm，AC＝15cm，F点在AC边上从A点向C点运动速度是3cm/s，求当运动几秒钟时．△ADF是等腰三角形？8．已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC．试说明△ABC是等腰三角形．9．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，连接AD．（1）解答下列问题：①若∠BAC＝40°，则∠BDC＝．②求出∠BDC与∠BAC之间的关系式．（2）求证：△ABD为等腰三角形．（3）当∠EBA的大小满足什么条件时，以A、B、F为顶点的三角形为等腰三角形？。
中考数学-胡不归练习
胡不归专题例题例1：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）判断△ABC形状，并说明理由．（2）在抛物线第四象限上有一点，它关于x轴的对称点记为点P，点M是直线BC上的一动点，当△PBC的面积最大时，求PM+MC的最小值；（3）如图2，点K为抛物线的顶点，点D在抛物线对称轴上且纵坐标为，对称轴右侧的抛物线上有一动点E，过点E作EH∥CK，交对称轴于点H，延长HE至点F，使得EF=，在平面内找一点Q，使得以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在的直线是对称轴，请问是否存在这样的点Q，若存在请直接写出点E的横坐标，若不存在，请说明理由．第1页（共6页）例2: 如图1，已知一条直线与抛物线y=相交于A，B两点，其中点A，B的横坐标分别是﹣2、8．（1）求这条直线的函数表达式；（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，设直线AB分别与x轴、y轴交于点D、E，F为OD的中点，将线段顺时针旋转得到OF'，旋转角α（0°＜α＜90°），连接DF'，EF'，求DF'+EF'的例3: 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c（b为常数）与x轴交于A、C两点，与y 轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=x+．（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB 和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；①探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；②试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值．第3页（共6页）例4:如图，抛物线y=x2+bx+c经过B（﹣1，0），D（﹣2，5）两点，与x轴另一交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ⊥x轴，分别交直线AD、抛物线于点Q，P．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使∠APB=90°，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，说明理由；（3）连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿线段QD以每秒个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时t最少？例5: 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM 它的最小值．第5页（共6页）例6: 如图1，抛物线y=﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，过点A作AD∥BC交抛物线的对称轴于点D．（1）求点D的坐标；（2）如图2，点P是抛物线在第一象限内的一点，作PQ⊥BC于Q，当PQ的长度最大时，在线段BC上找一点M（不与点B、点C重合），使PM+BM的值最小，求点M的坐标及PM+BM的最小值；（3）抛物线的顶点为点E，平移抛物线，使抛物线的顶点E在直线AE上移动，点A，E平移后的对应点分别为点A′、E′．在平面内有一动点F，当以点A′、E′、B、F为顶点的四边形为菱形时，求出点A′的坐标．。
中考最值专题--“胡不归模型”
中考最值专题--“胡不归模型”【模型识别】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？【模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．【问题分析】【问题解决】构造射线AD使得sin∠DAN=k，即CH/AC=K，CH=kAC．将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【模型总结】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．【掌握重难点】1．“胡不归”之情景再现，模型识别2．本质：“两定一动”型——系数不为1的最值问题处理3．三步处理：①作角；②作垂线；③计算胡不归最值模型典例讲解胡不归模型 巩固训练1．如图，ABC △在平面直角坐标系中，AB =AC ，A （0，22），C （1，0），D 为射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为A →D →C ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个过程运动时间最少，则点D 的坐标应为（ ）A .），（20B . ），（220C . ），（320D . ），（422．如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC =6，∠ABC =150°，则P A +PB +PD 的最小值为__________．3. 如图，在ACE △中，CA =CE ， CAE =30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上． （1）试说明CE 是⊙O 的切线；（2）若ACE △中AE 边上的高为h ，试用含 h 的代数式表示⊙O 的直径AB ； （3）设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当21CD +OD 的最小值为6时，求⊙O 的AB 的长．4. 如图，已知抛物线(2)(4)8ky x x =+−（k 为常数，k >0）与x 轴从左至右依次交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线b x y +−=33与抛物线的另一个交点为D ． （1）若点D 的横坐标为－5，求抛物线的函数关系式；（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标为多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？5. 如图，抛物线n mx x y ++=221与直线321+−=x y 交于A 、B 两点，交x 轴于D 、C 两点，连接AC 、BC ，已知A （0，3），C （3，0）．（1）抛物线的函数关系式为____________________，tan ∠BAC =__________；（2）设E 为线段AC 上一点（不含端点），连接DE ，一动点M 从点D 出发，沿线段DE 以每秒一个单位的速度运动到E 点，再沿线段EA 以每秒2个单位的速度运动到点A 后停止，当点E 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（－1，0），B（0，－3），C（2，0），其中对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；1的最小值为__________．（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PDPB+27. 已知抛物线）)(1)(3(≠−+=axxay，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴交于点C，经过点A 的直线bxy+−=3与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为____________________；（2）在（1）的条件下，设点E是线段AD上一点（不含端点），连接BE，一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒332个单位运动到点D停止，问当点E的坐标为多少时，点Q运动的时间最少？。
中考数学经典几何模型之胡不归最值模型(解析版)
中考数学经典几何模型之胡不归最值模型(解析版)在数学中，经典几何模型是考试中经常出现的题型之一。
其中，胡不归最值模型是一种常见的最值问题。
这类问题通常涉及到形如“PA+kP”的式子，可以分为两类问题：胡不归问题和阿氏圆问题。
胡不归问题的故事源于一个少年外出求学，得知父亲病危后，他立即赶回家。
虽然他所在的位置到家的路上有一片砂石地，但他仍然义无反顾地走了这条路。
当他到家时，父亲已经去世了，他深感悔恨并痛哭流涕。
邻居告诉他，父亲在临终前一直念叨着“胡不归？胡不归？……”（“胡”同“何”）。
这个故事启发我们思考如何求解“PA+kP”型问题中的最值。
以胡不归问题为例，我们需要求解一个动点P在直线MN 外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使得AC+BC的值最小，即求BC+kAC的最小值。
为了解决这个问题，我们可以构造射线AD使得sin∠DAN=k，即CH=kAC。
这样，我们可以将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小。
在解决“PA+kP”型问题时，关键是构造与kP相等的线段，将“PA+kP”型问题转化为“PA+PC”型。
而这里的P必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kP的等线段。
举个例子，如图所示，在△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值为5.这个问题的关键在于处理“CD+BD”的式子，考虑tanA=2，△ABE三边之比为1:2:5，sin ABE⊥AB交AB于H点，则DH=BD/5.通过构造HD，我们可以将问题转化为求CD+CH的最小值，其中CH=kAC，k=sin∠DAN=BD/5.过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即CD+BD的最小值为5.综上所述，胡不归最值模型是一类常见的最值问题。
几何最值之胡不归知识精讲-冲刺2020年中考几何专项复习
几何最值之胡不归知识精讲
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家。
由于着急只考虑到了"两点之间线段最短"，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着"胡不归？胡不归？"
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则，
由可得，提取一个得，
若想总的时间最少，就要使得最小，
如图，过定点A在驿道下方作射线AE，夹角为，且，
作DG⊥AE于点G，则，
将转化为DG＋DB，
再过点B作BH⊥AE于点H DG＋DB的最小值
为BH，
，
综上，所需时间的最小值为，
B路线回家，或许还能见到父亲的最后一面.
解决此类问题的一般方法：
第一步：将所求的线段和改写成的形式；
第二步：构造一个角，使得；
第三步：过目的地作所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长度就是所求的最小值；
第四步：计算.
例1：如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，求AP＋BP＋CP的最小值.
【解析】连接AC，作∠DBE＝∠30º，交AC于点E，过点A作AF⊥BF，垂足为F，如图所示：。
中考压轴题突破：几何最值问题大全(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)
中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形例 1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。
（二）动点路径待确定例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B 重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。
（三）动线（定点）位置需变换线段变换的方法：（1）等值变换：翻折、平移；（2）比例变换：三角、相似。
中考数学复习《几何最值---胡不归》例题复习讲义PPT课件
，记 k
V1 V2
，
即求 BC+kAC 的最小值． 构造射线 AD 使得 sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．
将问题转化为求 BC+CH 最小值，过 B 点作 BH⊥AD 交 MN 于点 C，交 AD 于 H 点，此时 BC+CH 取到最小值，即 BC+kAC 最小．
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与 kPB 相等的线段，将“PA+kPB”型 问题转化为“PA+PC”型．
中考数学复习《几何最值---胡不归》例 题复习讲义PPT课件
胡不归模型问题解题步骤如下；
1、将所求线段和改写为“PA+ b PB”的形式（ b <1），若 b >1，提取系数，转化为小于 1
a
a
a
的形式解决。
2、在 PB 的一侧，PA 的异侧，构造一个角度α，使得 sinα= b a
3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题
1.如图，△ABC 中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则
CD 5 BD 的最小值是(
)
5
【答案】B
【详解】 如图，作 DH⊥AB 于 H，CM⊥A
∵tanA= BE =2，设 AE=a，BE=2a， AE
∴DH= 5 BD， 5
∴CD+ 5 BD=CD+DH， 5
∴CD+DH≥CM，
∴CD+ 5 BD≥4 5 ，
5
∴CD+ 5 BD 的最小值为 4 5 ．
5 故选 B．
• 本课结束
【模型展示】 如图，一动点 P 在直线 MN 外的运动速度为 V1，在直线 MN 上运动的速度为 V2，且 V1<V2，A、 B 为定点，点 C 在直线 MN 上，确定点 C 的位置使 AC BC 的值最小．
中考压轴题突破几何最值问题大全将军饮马造桥选址胡不归阿波罗尼斯圆等
中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）一、基本图形最值问题在几何图形中分两大类：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；由此派生：③[ ]：平行线之间，垂线段最短；[④定线到定线：点圆之间，点心线截距最短（长）；]⑤[定点到定圆：线圆之间，心垂线截距最短；⑥[定线到定圆] ⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
举例证明：：点圆之间，点心线截距最短（长）。
定点到定圆][ APO上一点，求的最大值和最小值。
Pr已知⊙O半径为，AO=d，是⊙AP，得，证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+POAO≤AP+POd-r≤处。
即过圆心和定点的直线P在C处，最大时点在最小时点，≤d+rAPPB可用“三角形两边之和大于第三AB截得的线段、分别最小、最大值。
AC( 边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
11/ 1上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
）动点路径待确定；类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2 ）动线（定点）位置需变换。
（3（一）直接包含基本图形的最小是⊙O的切线，则CD在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC例1.。
值是上的动点，即AC D°知弧AD一定，所以是定点，C是直线简析：由∠B=30。
CD ⊥AC时最短为3到定线为求定点D AC的最短路径，求得当（二）动点路径待确定边上的动点，P AB是中，∠例2.，如图，在△ABCACB=90°，AB=5，BC=3′B，CP所在的直线翻折，得到△B′CP连接BCP B（不与点重合），将△沿。
胡不归模型(基础)——冲刺2024年中考几何专项复习(全国通用)(解析版)
胡不归模型巩固练习（基础）一．选择题1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝60°，AB ＝4，若D 是BC 边上的动点，则2AD +DC 的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【分析】过点C 作射线CE ，使∠BCE ＝30°，再过动点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，连接AD ，在Rt △DFC 中，∠DCF =30°，DF =12DC ，2AD +DC =2(AD +12DC)=2(AD +DF)当A ，D ，F 在同一直线上，即AF ⊥CE 时，AD +DF 的值最小，最小值等于垂线段AF 的长．【解答】解：过点C 作射线CE ，使∠BCE ＝30°，再过动点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，连接AD ，如图所示：在Rt △DFC 中，∠DCF ＝30°，∴DF =12DC ，∵2AD +DC =2(AD +12DC)＝2（AD +DF ），∴当A ，D ，F 在同一直线上，即AF ⊥CE 时，AD +DF 的值最小，最小值等于垂线段AF 的长， 此时，∠B ＝∠ADB ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AD ＝BD ＝AB ＝4，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝60°，AB ＝4，∴BC ＝8，∴DC ＝BC ﹣BD ＝4，∴2AD +DC ＝2×4+4＝12，∴2AD+DC的最小值为12，故选：D．【点评】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．2．如图，已知AE∥CD，AB＝2，∠CBE＝2∠A＝60°，P是线段AC上的任意一点，则BP+12CP的最小值为（）A．√3B．2 C．√32+1D．√3+1【分析】由已知可得∠A＝30°，∠ACB＝30°，∠CBE＝∠DCB＝60°，过点B作BQ⊥CD交AC于点P，BP+12CB＝BQ，此时BP+12CP的值最小．【解答】解：∵∠CBE＝2∠A＝60°，∴∠A＝30°，∠ACB＝30°，∴AB＝BC＝2，∵AE∥CD，∴∠CBE＝∠DCB＝60°，过点B作BQ⊥CD交AC于点P，∵∠DCA＝30°，∴PQ=12 PC，∴BP+12CB＝BQ，此时BP+12CP的值最小；∴BQ＝BC•sin60°=√3，故选：A．【点评】本题考查最短距离、平行线的性质；由胡不归原理求线段的最短距离，利用平行线和直角三角形的知识求解是关键．3．如图，△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC ，AB ＝2，点E 为BD 上动点，连接AE ，则AE +12BE 的最小值为（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．2【分析】过E 作EM ⊥BC 于M ，过H 作AH ⊥BC 于H ，交BD 于E '，由△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC ，可得EM =12BE ，当AE +12BE 最小时，AE +EM 最小，此时E 与E '重合，M 与H 重合，AE +12BE的最小值为AH 的长度，在Rt △ABH 中，有AH ＝AB •sin ∠ABH ＝2×sin 60°=√3，故AE +12BE 最小值为√3．【解答】解：过E 作EM ⊥BC 于M ，过H 作AH ⊥BC 于H ，交BD 于E '，如图：∵△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC ，∴∠EBM ＝30°，∴EM =12BE ，∴AE +12BE ＝AE +EM ，当AE +12BE 最小时，AE +EM 最小，此时E 与E '重合，M 与H 重合，AE +12BE 的最小值为AH 的长度， 在Rt △ABH 中，AH ＝AB •sin ∠ABH ＝2×sin 60°=√3，∴AE +12BE 最小值为√3， 故选：C ．【点评】本题考查等边三角形的性质，涉及胡不归问题，解题的关键是转化思想的应用．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =−49x 2+83x 与x 轴的正半轴交于点A ，B 点为抛物线的顶点，C点为该抛物线对称轴上一点，则3BC +5AC 的最小值为（ ）A ．24B ．25C ．30D ．36【分析】连接OB ，过C 点作CM ⊥OB 于M 点，过A 点作AN ⊥OB 于N 点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，继而得出BD 、OA 、OD ，再证明△OBD ∽△CBM ，△OBD ∽△OAN ，进而可得3BC +5AC ＝5MC +5AC ＝5（AC +CM ），当A 、C 、M 三点共线，且三点连线垂直OB 时，AC +CM 最小，根据AN OA =BD OB 求出AN ，AC +CM 最小值即为AN ，则问题得解．【解答】解：连接OB ，过C 点作CM ⊥OB 于M 点，过A 点作AN ⊥OB 于N 点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，如图，令y ＝0，得方程−49x 2+83x =0，解得：x 1＝0，x 2＝6，∴A 点坐标为（6，0），即OA ＝6，将y =−49x 2+83x 配成顶点式得：y =−49(x −3)2+4，∴B 点坐标为（3，4），∴BD ＝4，OD ＝3，∵CM ⊥OB ，AN ⊥OB ，∴∠BMC ＝∠ANO ＝90°，根据抛物线对称轴的性质可知BD ⊥OA ，∴∠BDO ＝90°，在Rt △BDO 中，利用勾股定理得OB =√OD 2+BD 2=√32+42=5，∵∠OBD ＝∠CBM ，∠BDO ＝∠BMC ＝90°，∴△OBD ∽△CBM ，同理可证得△OBD ∽△OAN ，∴BC MC =BO OD ，AN OA =BD OB ， ∴BC MC =BO OD =53，即3BC ＝5MC ， ∴3BC +5AC ＝5MC +5AC ＝5（AC +CM ），∵当A 、C 、M 三点共线，且三点连线垂直OB 时，AC +CM 最小，∴AC +CM 最小值为AN ，如图所示，∵AN OA =BD OB ，∴AN =BD OB ×OA =45×6=245，∴AC +CM 最小值245， ∴即3BC +5AC ＝5（AC +CM ）＝24．故选：A ．【点评】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点和抛物线顶点的坐标、相似三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，利用三角形相似得出3BC ＝5MC ，进而得出3BC +5AC ＝5（AC +CM ）是解答本题的关键．二．填空题5．如图，▱ABCD 中∠A ＝60°，AB ＝6，AD ＝2，P 为边CD 上一点，则√3PD +2PB 最小值为 ．【分析】由直角三角形的性质可得DH =12DP ，HP =√3DH =√32DP ，则当点H ，点P ，点H 三点共线时，HP +PB 有最小值，即√3PD +2PB 有最小值，即可求解．【解答】解：如图，过点P 作PH ⊥AD ，交AD 的延长线于H ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A ＝∠CDH ＝60°，∵HP ⊥AD ，∴∠DPH ＝30°，∴DH =12DP ，HP =√3DH =√32DP ，∵√3PD +2PB ＝2（√32PD +PB ）＝2（HP +PB ）， ∴当点H ，点P ，点B 三点共线时，HP +PB 有最小值，即√3PD +2PB 有最小值，此时：BH ⊥AH ，∠A ＝60°，∴∠ABP ＝30°，∴AH =12AB ＝3，BH =√3AH ＝3√3，则√3PD +2PB 最小值为6√3，故答案为：6√3．【点评】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，构造直角三角形是解题的关键．6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =√33x −√3分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，若C 为x 轴上的一动点，则2BC +AC 的最小值为 ．【分析】先求出点A ，点B 坐标，由勾股定理可求AB 的长，作点B 关于OA 的对称点B '，可证△ABB '是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH =12AC ，则2BC +AC ＝2（B 'C +CH ），即当点B '，点C ，点H 三点共线时，B 'C +CH 有最小值，即2BC +AC 有最小值，由直角三角形的性质可求解．【解答】解：∵一次函数y =√33x −√3分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，∴点A （3，0），点B （0，−√3），∴AO ＝3，BO =√3，∴AB =√AO⬚2+OB⬚2=√9+3=2√3，如图，作点B 关于OA 的对称点B '，连接 AB '，B 'C ，过点C 作CH ⊥AB 于H ，∴OB ＝OB '=√3，又∵AO ⊥BB '，∴BB '＝2√3，AB ＝AB '＝2√3，BC ＝B 'C ，∴AB ＝BB '＝B 'A ，∴△ABB '是等边三角形，∵AO ⊥BB '，∴∠BAO ＝30°，∵CH ⊥AB ，∴CH =12AC ，∴2BC +AC ＝2（BC +12AC ）＝2（B 'C +CH ）， ∴当点B '，点C ，点H 三点共线时，B 'C +CH 有最小值，即2BC +AC 有最小值，此时，B 'H ⊥AB ，△ABB '是等边三角形，∴BH ＝AH =√3，∠BB 'H ＝30°，∴B 'H =√3BH ＝3，∴2BC +AC 的最小值为6，故答案为：6．【点评】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C 的位置是解题的关键．7．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝20，tanA ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +√55BD的最小值是 ．【分析】过D 点作DF ⊥AB 于F ，CH ⊥AB 于H ，如图，利用等角的余角相等得到∠ABE ＝∠ACH ，在Rt △ABE 中根据正切的定义得到tanA =CH AH =2，则可设AH ＝x ，CH ＝2x ，所以AC =√5x ＝20，解方程得到AH ＝4√5，CH ＝8√5，则sin ∠ACH ＝tanABE =√55，在Rt △BDF 中利用正弦的定义得到DF =√55BD ，从而得到CD +√55BD ＝CD +DF ，然后根据垂线段最短解决问题．【解答】解：过D 点作DF ⊥AB 于F ，CH ⊥AB 于H ，如图，∵BE ⊥AC ，DF ⊥AB ，CH ⊥AB ，∴∠∠BFD ＝∠AEB ＝∠AHC ＝90°，∵∠A +∠ABE ＝90°，∠A +∠ACH ＝90°，∴∠ABE ＝∠ACH ，在Rt △ABE 中，∵tanA =CH AH =2，∴设AH ＝x ，CH ＝2x ，∴AC =√x 2+(2x)2=√5x ，即√5x ＝20，解得x ＝4√5，∴AH ＝4√5，CH ＝8√5，∴sin ∠ACH =AH AC =4√520=√55， ∴tanABE =√55，在Rt △BDF 中，∵sin ∠FBD =DF BD =√55，∴DF =√55BD ，∴CD +√55BD ＝CD +DF ，∵CD +DF ≥CH （当且仅当C 、D 、F 共线时取等号），∴CD +√55BD 的最小值是8√5．故答案为：8√5．【点评】本题考查了胡不归问题：用垂线段DF 表示√55BD 和运用垂线段最短是解决问题的关键．也考查了解直角三角形．8．如图，矩形OABC 两边与坐标轴正半轴重合，Q 是AB 边上的一个动点，P 是经过A ，C 两点的直线y =−√3x +2√3上的一个动点，则4PQ +2CP 的最小值是 ．【分析】4PQ +2CP ＝4（PQ +12CP ），再考虑胡不归．【解答】解：过P作PM⊥OC，垂足为M，过Q作QN⊥OC，垂足为N，当x＝0时，y=−√3x+2√3=2√3，∴OC＝2√3，令y=−√3x+2√3=0得x＝2，∴OA＝2，∴tan∠OCA=OAOC=22√3=√33，∴∠OCA＝30°，∴PM＝PC•sin∠OCA＝PC•sin30°=12 PC，∴4PQ+2CP＝4（PQ+12CP）＝4（PQ+PM）≥4QN＝4×2＝8，故答案为：8．【点评】本题考查了胡不归模型，关键是将4PQ+2CP提取系数4．三．解答题9．（1）如图，锐角△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠BAC＝60°．在△ABC的外部找一点D，使得点D在∠BAC的平分线上，且∠BDC+∠BAC＝180°，请用尺规作图的方法确定点D的位置（保留作图痕迹，不需写出作法）；求出线段AD的长；（2）如图2，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．点P是线段AC上的动点，当AP+√5PB最短时，请你在图2所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P的位置（保留画图痕迹），并简要说明画图的方法（不要求证明）【分析】（1）作∠BAC 的平分线与△ABC 的外接圆相交于点D ，点D 即为所求；过点D 作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 交AC 的延长线于N ．利用全等三角形的性质证明AM ＝AN ＝5，可求解；（2）取格点M ，连接CM ，取CM 的中点J ，连接AJ ，取格线的中点K ，连接BK （BK ⊥AJ ），交AC 于P ，交AJ 于I ，点P 即为所求作．【解答】解：（1）如图，点D 即为所求作．如图，过点D 作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 交AC 的延长线于N ．在△ADM 和△ADN 中，{∠DAM =∠DAN∠AMD =∠AND =90°AD =AD，∴△ADM ≌△ADN （AAS ），∴DM ＝DN ，AM ＝AN ，∵∠DAB ＝∠DAC ，∴DB̂=DC ̂， ∴DB ＝DC ，∵∠DMB ＝∠N ＝90°，∴BM＝CN，∵AB+AC＝AM+BM+AN﹣CN＝2AN＝10，∴AN＝5，∴AD=ANcos30°=53210√33；（2）如图2，点P为所求，步骤：取格点M，连接CM，取CM的中点J，连接AJ，取格线的中点K，连接BK（BK⊥AJ），交AC于P，交AJ于I，点P即为所求．【点评】本题考查了胡不归问题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．10．如图，四边形ABCD是边长为√2的正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并求出这个最小值．【分析】（1）根据旋转的性质得BM＝BN，∠MBN＝60°，则可判断△ABE是等边三角形，得到BA＝BE，∠ABE＝60°，易得∠ABM＝∠EBN，然后根据“SAS”可判断△AMB≌△ENB；②由△BMN为等边三角形得BM＝MN，由△AMB≌△ENB得EN＝AM，根据两点之间线段最短，当点E、N、M、C共线时，AM+BM+CM的值最小，如图2，作EH⊥BC于H，先计算出∠EBH＝30°，在Rt△EBH中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到EH=12BE=√22，BH=√3EH=√62，然后在Rt△EHC中，根据勾股定理可计算出CE=√3+1．【解答】（1）证明：∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴BM＝BN，∠MBN＝60°，∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°，∵∠ABM+∠ABN＝60°，∠EBN+∠ABN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN，在△AMB和△ENB中，{AB=EB∠ABM=∠EBN BM=BN，∴△AMB≌△ENB（SAS）；（2）解：①连接AC，AC与BD相交于点O，如图1，∵四边形ABCD是边长为√2的正方形，∴AC=√2×√2=2，点O为BD的中点，∵AM+CM≥AC（当M点在AC上时取等号），∴当M点在BD的中点时，AM+CM的值最小，最小值为2；②∵△BMN为等边三角形，∴BM＝MN，∵△AMB≌△ENB，∴EN＝AM，作EH ⊥BC 于H ，∵∠ABE ＝60°，∠ABC ＝90°，∴∠EBH ＝30°，在Rt △EBH 中，EH =12BE =√22，BH =√3EH =√62，在Rt △EHC 中，CH ＝BH +BC =√62+√2，∴CE 2＝CH 2+EH 2＝（√62+√2）2+（√22）2＝4+2√3=（√3+1）2， ∴CE =√3+1， ∴当M 点在CE 上时，AM +BM +CM 的值最小，这个最小值为√3+1．【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和旋转的性质；会利用含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理进行计算；会运用两点之间线段最短解决有关线段的和的最小值问题．11．如图，二次函数y 1＝k （x +2）﹣4）的图象与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．经过点B 的直线y 2＝﹣x +b 与二次函数图象的另一交点为D ，交y 轴于E ．（1）求b 的值；（2）连接OD ，若△OBE 与△OED 的面积之比为4：5，求二次函数的表达式；（3）在（2）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒√2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中所用时间最少？【分析】（1）由题意可求点A，点B坐标，将点B坐标代入一次函数解析式可求b的值；（2）设点D（m，n），由△OBE与△OED的面积之比为4：5，可求m的值，代入一次函数解析式可求点D坐标，将点D坐标代入二次函数解析式可k的值，即可求二次函数的表达式；（3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF1DF√2=AF+FH；再由垂线段最短，得到垂线段AG与直线BD的交点，即为所求的F点．【解答】解：（1）∵二次函数y1＝k（x+2）（x﹣4）的图象与x轴从左至右依次交于A，B两点，∴k（x+2）（x﹣4）＝0∴x1＝﹣2，x2＝4∴A（﹣2，0），点B（4，0）∵直线y2＝﹣x+b经过点B∴0＝﹣4+b∴b＝4（2）设点D（m，n）∵直线y2＝﹣x+4经过点E∴E（0，4）∵△OBE与△OED的面积之比为4：5，∴（12×4×4）：[12×4×（﹣m）]＝4：5∴m＝﹣5∵点D在直线直线y2＝﹣x+4上，∴n＝5+4＝9∴点D（﹣5，9）∵点D在二次函数y1＝k（x+2）（x﹣4）上∴9＝k×（﹣3）×（﹣9）∴k=1 3∴二次函数解析式为：y1=13（x+2）（x﹣4）=13x2−23x−83，（3）如图，过点D作DP∥x轴，过点A作AG⊥DP于点G，过点F作FH⊥DP于点H，∵点E（0，4），点B（4，0）∴OE＝OB＝4∴∠OBE＝45°∵DP∥x轴，∴∠HDF＝∠OBE＝45°∵FH⊥DP∴∠HFD＝∠HDF＝45°∴DH＝HF∴DF=√2HF由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF1FD√2=AF+HF，即运动的时间值等于折线AF+的长度值．由垂线段最短可知，折线AF+FH的长度的最小值为DP与x轴之间的垂线段AG的长．∴AG与BD的交点为点F∴点F的横坐标为﹣2，∴y＝2+4＝6∴点F坐标为（﹣2，6）．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，函数极值的确定方法，解（1）的关键是求出点B的坐标，解（2）的关键是用三角形的面积公式求出点D坐标，解（3）的关键是作出辅助线，是一道难度比较大的中考常考题．12．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为BC上任意一点（可与点B或点C重合），分别过B，C，D，作射线AP的垂线，垂足分别是B'，C'，D'，求BB'+CC'+DD'的最大值和最小值．【分析】找到S四边形BCDA＝S△ABP+S△ADP+S△DPC的等量关系，并且根据本等量关系计算得BB′+CC′+DD′=2AP，根据AP的取值范围计算BB′+CC′+DD′的最小值和最大值【解答】解：连接AC和DP，∵S△DPC＝S△APC=12 AP•CC′，∴S四边形BCDA＝S△ABP+S△ADP+S△DPC=12AP（BB′+DD′+CC′）＝1，∴BB′+CC′+DD′=2 AP．又∵AB≤AP≤AC，即1≤AP≤√2，故√2≤BB′+CC′+DD′≤2，∴BB′+CC′+DD′的最小值为√2，最大值为2．故最大值为2，最小值为√2．【点评】本题涉及垂线可考虑用面积法来求．故找到S四边形BCDA＝S△ABP+S△ADP+S△DPC的等量关系，本题13．（1）如图①，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝60°，AB ＝2，若D 是BC 边上的动点，求2AD +DC 的最小值．（2）如图②，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，D ，E 分别是BC ，AC 上的两个动点，且DE ＝4，P 是DE 的中点，连接P A ，PB ，求P A +14PB 的最小值． 【分析】（1）过点C 作射线CE ，使∠BCE ＝30°，再过动点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，连接AD ，在Rt △DFC 中，∠DCF ＝30°，DF =12DC ，2AD +DC ＝2（AD +12DC ）＝2（AD +DF ），当A ，D ，F 在同一直线上，即AF ⊥CE 时，AD +DF 的值最小，最小值等于垂线段AF 的长．（2）如图，在CB 上取一点F ，使得CF =12，连接PF ，AF ．利用相似三角形的性质证明PF =14PB ，根据PF +P A ≥AF ，利用勾股定理求出AF 即可解决问题．【解答】解：（1）过点C 作射线CE ，使∠BCE ＝30°，再过动点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，连接AD ，如图①，在Rt △DFC 中，∠DCF ＝30°，∴DF =12DC ，∵2AD +DC ＝2（AD +12DC ）＝2（AD +DF ），∴AD ＝BD ＝AB ＝2，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝60°，AB ＝2，∴BC ＝4，∴DC ＝BC ﹣BD ＝4﹣2＝2，∴2AD +DC ＝2×2+2＝6，∴2AD +DC 的最小值为6．（2）如图，在CB 上取一点F ，使得CF =12，连接PF ，AF ．∵∠DCE ＝90°，DE ＝4，DP ＝PE ，∴PC =12DE ＝2，∵CF CP =14，CP CB =14， ∴CF CP =CP CB ，∵∠PCF ＝∠BCP ，∴△PCF ∽△BCP ，∴PF PB =CF CP =14， ∴PF =14PB ，∴P A +14PB ＝P A +PF ，∵P A +PF ≥AF ，AF =√CF 2+AC 2=√(12)2+62=√1452，∴P A +14PB ≥√1452，∴P A +14PB 的最小值为√145．14．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴相交于点A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为y 轴上一个动点，连接BP ，求√10CP +10BP 的最小值；（3）连接AC ，在x 轴上是否存在一点P ，使得∠PCO +∠ACO ＝45°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）待定系数法求抛物线的解析式；（2）对条件√10CP +10BP 提取系数10，再利用胡不归模型；（3）构造和∠ACO 相等的角，利用相似或三角函数值建立方程解决．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴相交于点A （﹣1，0），B （3，0），∴{a −b +3=09a +3b +3=0， 解得{a =−1b =2， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）过点P 作PM ⊥AC ，垂足为M ，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N ，在y ＝﹣x 2+2x +3中，令x ＝0，则y ＝3，∴C （0，3），在△AOC 中，OA ＝1，OC ＝3，AC =√10，∴sin ∠ACO =OA AC =√1010， 在△CMP 中，sin ∠ACO =MP CP =√1010， ∴MP =√1010CP ， ∵S △ABC =12×AB ×OC =12×4×3=12×AC ×BN =12×√10×BN ，∴√10CP +10BP ＝10（√1010CP +BP ）＝10（MP +BP ）≥10BN ＝10×6√105=12√10， ∴√10CP +10BP 的最小值为12√10．（3）如图，∠PCO +∠ACO ＝45°，∴∠ACP ＝45°，∵OA ＝OB ＝3，∴△COB 是等腰直角三角形，∴∠OCB ＝45°，∴∠ACO ＝∠PCB ，过点B 作PQ ⊥BC ，垂足为Q ，∴tan ∠PCB =PQ CQ =tan ∠ACO =OA OC =13，∴CQ ＝3PQ ，设OP ＝x ，则PB ＝3﹣x ，BQ ＝PQ =√22（3﹣x ），又CQ +PQ ＝BC =3√2，∴3×√22×（3﹣x ）+√22（3﹣x ）＝3√2， ∴x =32，∴P （32，0）．由对称性得，P'（−32，0）也满足题意，∴P（32，0）或（−32，0）．【点评】本题考查了二次函数用待定系数法求表达式，胡不归模型等．第（3）问关键是构造和∠ACO相等的角，利用相似或三角函数值建立方程解决．。
中考专题训练——胡不归问题
中考专题训练——线段的和最小问题（胡不归问题） 姓名____________两条线段和的最值常见类型有如下：一、PA+PB 型1、两定一动——将军饮马问题（运用对称）2、两定两动——过河造桥问题（运用平移+对称）2、一定两动（垂线段最短）二、PA+kPB 型1、胡不归问题2、阿氏圆问题今天我们将学习“胡不归问题”。
问题提出：如图，A 地在公路BC 旁的沙漠里，A 到BC 的距离32=AH ，192=AB ，在公路BC 上行进的速度是在沙漠里行驶速度的2倍。
某人在B 地工作，A 地家中父亲病危，他急着沿直线BA 赶路，谁知最终没能见到父亲最后一面，其父离世之时思念儿子，连连问：“胡不归，胡不归……！”（怎么还不回来），这真是一个悲伤的故事，也是因为不懂数学而导致的。
那么，从B 至A 怎样行进才能最快到达？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
问题解决：BP 段行驶速度是AP 段的2倍，要求时间最短即求AB BP +2最小， 从而考虑BP/2如何转化，可以构造含30°角利用三角函数关系把2BP 转化为另一条线段。
如下图，作∠CBD=30°，PQ ⊥BD ，得BP PQ 21=， 由“垂线段最短”知当A 、P 、Q 共线时AP+PQ ＝AQ'最小。
例题：如图，抛物线322--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，过点B 的直线交抛物线于点E ，且54sin =∠EBA ，有一只蚂蚁从A 出发，先以1单位/秒的速度爬到线段BE 上的点D 处，再以1.25单位/秒的速度沿着DE 爬到E 点处觅食，求蚂蚁从A 到E 的最短时间。
解：由题意可知从A 到E 的时间为DE AD DE AD 5425.11+=+ 过点E 作x 轴的平行线EF ，过点D 作EF DH ⊥，垂足为HEBA BEH ∠=∠，所以54sin sin =∠=∠EBA DEH DE DEH DE DH 54sin =∠⋅= ∴ DH AD DE AD +=+54 作EF AG ⊥，当D 、H 与AG 共线时DH AD +的值最小54sin =∠EBA ，B 的坐标为（3，0）， 易得BE 的解析式为：434+-=x y ，联立方程可得点E 的坐标为（964,37-） 蚂蚁从A 到E 的最短时间为64秒。
中考与直升班考试压轴题突破：几何最值问题大全(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)
中考与直升班压轴题突破思维：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）中考关乎了大家的未来，因此我总结了许多直升班，中考难题以及压轴题中的几何最值问题，望大家中考大捷，考上自己理想的高中，不负青春，也不负自己。
一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP ≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。
简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。
（二）动点路径待确定例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。
最值问题之“胡不归”训练(三)
二次函数最值问题之“胡不归”（三）
1.如图1，在平面直角坐标系中将y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，直线l1与x 轴交于点C；直线l2：y＝x+2与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线l1交于点D．
（1）填空：点A的坐标为，点B的坐标为；
（2）直线l1的表达式为；
（3）在直线l1上是否存在点E，使S△AOE＝2S△ABO？若存在，则求出点E的坐标；若不存在，说明理由．
（4）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点H从C出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段PD以每秒个单位的速度运动到点D后停止，求点H在整个运动过程中所用时间最少时点P的坐标．
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2.如图，△ABC是等边三角形．
（1）如图1，AH⊥BC于H，点P从A点出发，沿高线AH向下移动，以CP为边在CP 的下方作等边三角形CPQ，连接BQ．求∠CBQ的度数；
（2）如图2，若点D为△ABC内任意一点，连接DA，DB，DC．证明：以DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形；
（3）在（1）的条件下，在P点的移动过程中，设x＝AP+2PC，点Q的运动路径长度为y，当x取最小值时，写出x，y的关系，并说明理由．
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2023年几何最值之胡不归巩固练习(基础)中考数学几何专项复习(含答案含解析)
几何最值之胡不归稳固练习(根底)1．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，C(1，0)，D为射线AO上一点，一动点P 从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为( )A．(0，) B．(0，) C．(0，) D．(0)（解答）D（解析）假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，设D坐标为(0，y)，则，，∴设，，则t的最小值时考虑y的取值即可，∴，，∴t的最小值为，∴点D的坐标为(0，)，应选D．解法二：假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，总时间t最小，就要CD最小，因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，易证△ADH∽△ACO，所以，因为△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要最小，就是要DH＋BD最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以，即，所以点D的坐标应为2．如图，一条笔直的公路穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是10B着火，消防员受命欲前往救火．假设消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过 小时可到达居民点B．(友谊提示：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．)（解答）（解析）如下图，公路上行驶的路线是AD，草地上行驶的路线是DB，设AD的路程为x千米，由已知条件AB＝10BC＝5千米，BC⊥AC，知AC＝＝15千米．则CD＝AC﹣AD＝(15﹣x)千米，，设走的行驶时间为y．整理为关于x的一元二次方程得3x2＋(160y﹣120)x﹣6400y2＋1200＝0．因为x必定存在，所以△≥0．即(160y﹣120)2﹣4×3×(1200﹣6400y2)≥0．化简得102400y2﹣38400y≥0．解得y≥，即消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B．3. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是.（解析）如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2＋4a2，∴a2＝20，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴∴CD＋DH≥CM，.3. 如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP＝∠DAB＝60°，∴当点B、P、Q有最小值，.5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c C(2，0)，其对称轴与x轴交于点D(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；(2)假设P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB＋PD的最小值为 ；(3)M(x，t)为抛物线对称轴上一动点①假设平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 个；②连接MA，MB，假设∠AMB不小于60°，求t的取值范围．（解答）(1)，；(3)①5个，②t的取值范围≤t≤（解析）(1)由题意解得，∴抛物线解析式为，∵，(2)如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB＋PD最小．理由：∵OA＝1，OB＝，∴tan∠ABO＝，∴∠ABO＝30°，∴PH＝，∴PB＋PD＝PH＋PD＝DH，PB＋PD最短(垂线段最短)．在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，∴sin60°＝，∴DH∴PB＋PD的最小值为(3)①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点，线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个，②如图，Rt△AOB中，∵tan∠ABO＝，∴∠ABO＝30°，作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB＝120°，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则∠AFB＝∠AGB＝60°，从而线段FG上的点满足题意，∵∴OE＝OB﹣EB，EF2＝EB2，，解得，∴t的取值范围≤t.。
几何最值之胡不归巩固练3
几何最值之胡不归巩固练习（提优）1．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA＝，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．2．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）证明：CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．3. 抛物线与轴交于点A、B（A在B的左边），与轴交于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一点，PF⊥轴于点F，PF与线段AC交于点E，将线段OB沿轴左右平移，线段OB的对应线段是，当的值最大时，求四边形周长的最小值，并求出对应的点的坐标.4．如图，已知抛物线y＝（x＋2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝－x＋b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A 出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？5．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD＋PC的最小值和PD﹣PC的最大值；（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋PC的最小值为，PD﹣PC的最大值为．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋PC的最小值为，PD﹣PC的最大值为．6．如图1，抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A＋E′B的最小值．。
专题17 几何最值之胡不归巩固练习(提优)-冲刺2021年中考几何专项复习(解析版)
几何最值之胡不归巩固练习1．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA＝，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E 点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．【解答】【解析】过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，∵EH∥AB，∴∠HEB＝∠ABE，∴tan∠HED＝tan∠EBA＝，设DH＝4m，EH＝3m，则DE＝5m，∴蚂蚁从D爬到E点的时间＝4（s）若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间＝＝4（s），∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E 点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，作AG⊥EH于G，则AD＋DH≥AH≥AG，∴AD＋DH的最小值为AQ的长，当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），直线BE交y轴于C点，如图，在Rt△OBC中，∵tan∠CBO＝，∴OC＝4，则C（0，4），设直线BE的解析式为y＝kx＋b，把B（3，0），C（0，4）代入得，解得，∴直线BE的解析式为，解方程组得或，则E∴，∴蚂蚁从A爬到G点的时间＝s），即蚂蚁从A到E的最短时间为．2．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）证明：CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．【解答】（1）见解析；（2）（3）AB＝8【解析】（1）连接OC，如图，∵CA＝CE，∠CAE＝30°，∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图，由题可得CH＝h．在Rt△OHC中，CH＝OC•sin∠COH，∴h＝OC•sin60°＝，∴OC＝h，∴AB＝2OC＝h；（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图，则∠AOF＝∠COF＝∠AOC＝（180°﹣60°）＝60°．∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝，∴CD＋OD＝DH＋FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH＋FD（即CD＋OD）最小，此时FH＝OF•sin∠FOH＝＝6，则OF＝4，AB＝2OF＝8．∴当CD＋OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为．3.抛物线与轴交于点A、B（A在B的左边），与轴交于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一点，PF⊥轴于点F，PF与线段AC交于点E，将线段OB沿轴左右平移，线段OB的对应线段是，当求四边形周长的最小值，并求出对应的点的坐标.【解析】在抛物线中，令，即，解得，，令，解得，设直线AC的解析式为，将A、C两个点坐标代入得，解得，∴直线AC的解析式为，设，∵PF⊥轴，且点E在直线AC上，点P在直线AB上方的抛物线上，，，CAO＝30º，过点E作EH∥AB交y轴于点H，则EH⊥y轴且∠CEH＝∠CAO＝30º，∵PF⊥x轴，FO⊥OH，EH⊥y轴，∴四边形EFOH为矩形，，∴当PC∥轴，∵PF⊥轴，CO⊥轴，，∴四边形PFOC为矩形，，作C关于轴的对称点D，连接DB1，则B1C=B1D，过O1作OQ∥B1D且O1Q=B1D，连接DQ、PQ,PQ交轴于点G.则四边形O1B1DQ为平行四边形.当的周长最小，而，∴当点与G重合时，的值最小为PQ的长，∵点C、D关于轴对称，且，的最小值为，即四边形的周长的最小值为，设直线PQ的解析式为，将P、Q坐标代入得，解得，，令，解得.4．如图，已知抛物线y＝x＋2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝－x＋b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【解答】（1）；（2）；（3）当点F坐标为（﹣2）时，点M在整个运动过程中用时最少.【解析】（1）抛物线y（x＋2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直线经过点B（4，0），∴×4＋b＝0，解得b＝，∴直线BD解析式为：．当x＝﹣5时，y＝∴D（﹣5）．∵点D（﹣5）在抛物线y（x＋2）（x﹣4）上，∴（﹣5＋2）（﹣5﹣4）＝∴．∴抛物线的函数表达式为：（x＋2）（x﹣4）．即．（2）由抛物线解析式，令x＝0，得y＝﹣k，∴C（0，﹣k），OC＝k．因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠PAB，如答图2﹣1所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∠BAC＝tan∠PAB，即：，∴．∴P（x，x＋k），代入抛物线解析式y＝x＋2）（x﹣4），得（x＋2）（x﹣4）＝＋k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，解得：x＝8或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴，解得：．②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC＝∠PAB，如答图2﹣2所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∠ABC＝tan∠PAB，即：，∴．∴P（x，x），代入抛物线解析式y＝（x＋2）（x﹣4），得（x＋2）（x﹣4）＝＋，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，解得：x＝6或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（6，2k）．∵△ABC∽△PAB，，∴，，∵k＞0，∴，综上所述，或．（3）方法一：如答图3，由（1）知：D（﹣5），如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN，ON＝5，BN＝4＋5＝9，∴tan∠DBA＝，∴∠DBA＝30°．过点D作DK∥x轴，则∠KDF＝∠DBA＝30°．过点F作FG⊥DK于点G，则FG＝DF．由题意，动点M运动的路径为折线AF＋DF，运动时间：t＝AF＋，∴t＝AF＋FG，即运动的时间值等于折线AF＋FG的长度值．由垂线段最短可知，折线AF＋FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．＝AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．过点A作AH⊥DK于点H，则t最小∵A点横坐标为﹣2，直线BD，∴，∴F（﹣2）．综上所述，当点F坐标为（﹣2）时，点M在整个运动过程中用时最少．方法二：作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，∵∠DBA＝30°，∴∠BDH＝30°，∴FH＝DF×sin30°，∴当且仅当AH⊥DK时，AF＋FH最小，点M在整个运动中用时为：，∵lBD，∴F X＝A X＝﹣2，∴F（﹣2）．5．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD＋的最小值和PD PC的最大值；（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋的最小值为，PD﹣PC的最大值为．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋PC的最小值为，PD﹣PC的最大值为．【解答】（1）5，5；（2），；（3，【解析】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．∵，∴，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG PC，∴PD PC＝DP＋PG，∵DP＋PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD＋．∵PD PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝5．（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．∵，∴，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴∴PD＝DP＋PG，∵DP＋PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD＋∵PD PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣．（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝4，作DF⊥BC于F．∵，∴，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG∴PD DP＋PG，∵DP＋PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD＋DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD•sin60°CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝，∵PD PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣2中），最大值为DG＝．6．如图1，抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A＋E′B的最小值．【解答】（1）a＝﹣（2）m＝2；（3）【解析】（1）令y＝0，则ax2＋（a＋3）x＋3＝0，∴（x＋1）（ax＋3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a＝﹣∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx＋b，则，解得，∴直线AB．（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴，∵NE∥OB，∴，∴AN＝（4﹣m），∵抛物线解析式为，，∴m＝2．（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，∴OE′2＝OM′•OB，∴，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴，∴M′E′＝BE′，∴AE′＋′＝AE′＋E′M′＝AM′，此时AE′＋BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝．。
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2．如图，一条笔直的公路 穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5 千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是10 千米．一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火．若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B．（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．）
设D坐标为（0，y），则 ， ，
∴设 ，
等式变形为： ，则t的最小值时考虑y的取值即可，
∴ ，
∴ ，
，
∴t的最小值为 ，∴ ，
∴点D的坐标为（0， ），
故选D．
解法二：假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，
总时间 ，要使t最小，就要 ＋CD最小，
因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，易证△ADH∽△ACO，所以 ，所以 ，因为△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要 最小，就是要DH＋BD最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以 ，即 ，所以 ，
【解答】
【解析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．
∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，
设AE＝a，BE＝2a，
则有：100＝a2AC，CM⊥AB，
∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，
∴
∴CD＋DH≥CM，
.
3.如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则 的最小值等于________．
几何最值之胡不归巩固练习
1．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC， ，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（ ）
A．（0， ）B．（0， ）C．（0， ）D．（0， ）
【解答】D
【解析】假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则 PB＋PD的最小值为；
（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；
②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．
【解答】（1） ， ；（2） ；（3）①5个，②t的取值范围 ≤t≤
解得 或 ，
故 ，G ，
∴t的取值范围 ≤t≤ .
因为x必定存在，所以△≥0．即
（160y﹣120）2﹣4×3×（1200﹣6400y2）≥0．
化简得102400y2﹣38400y≥0．
解得y≥ ，
即消防车在出发后最快经过 小时可到达居民点B．
3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则 的最小值是.
【解析】（1）由题意 解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
∵ ，
∴顶点坐标 ．
（2）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时 PB＋PD最小．
理由：∵OA＝1，OB＝ ，
∴tan∠ABO＝ ，
∴∠ABO＝30°，
∴PH＝ PB，
∴ PB＋PD＝PH＋PD＝DH，
∴此时 PB＋PD最短（垂线段最短）．
【解答】
【解析】如图所示，公路上行驶的路线是AD，草地上行驶的路线是DB，设AD的路程为x千米，
由已知条件AB＝10 千米，BC＝5 千米，BC⊥AC，知
AC＝ ＝15千米．
则CD＝AC﹣AD＝（15﹣x）千米，
，
设走的行驶时间为y，则 ．
整理为关于x的一元二次方程得
3x2＋（160y﹣120）x﹣6400y2＋1200＝0．
②如图，Rt△AOB中，∵tan∠ABO＝ ，∴∠ABO＝30°，
作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB＝120°，
以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．
则∠AFB＝∠AGB＝60°，从而线段FG上的点满足题意，
∵ ，
∴OE＝OB﹣EB＝ ，
∵ ，EF2＝EB2，
∴ ，
在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝ ，∠HAD＝60°，
∴sin60°＝ ，
∴DH＝ ，
∴ PB＋PD的最小值为 ；
（3）①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，
以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点，
线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，
所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个，
【解答】
过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，
∴∠QDP＝∠DAB＝60°，
∴当点B、P、Q三点共线时， 有最小值，
的最小值为 .
5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点 ，C（2，0），其对称轴与x轴交于点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；