求解留数的另一种方法
5.2留数
记为 1 ( ) , 相应地， f ( z ) f
因此， 函数 f ( z )在无穷远点 z 的性态可由 函数 ( ) 在原点 0 的性态来刻画。
四、函数在无穷远点的留数
1. 函数在无穷远点的性态
P112 例5.13
记为 1 1 ( ) , 解 令 z , 则 f (z) f 1 sin
2
1 1 ( 2 ) , 2! z 1
Res [ f ( z ) , 1 ] 1 .
三、留数定理
定理 设 f ( z ) 在区域 D 内除有限个孤立奇点 z1 , z2 , , zn 外
P114 定理 5.7
处处解析，在边界 C 上连续， 则
C
f ( z ) d z 2π i Res [ f ( z ) , zk ] .
事实上，此时 z0 为f ( z ) 的简单极点， 故有
P( z) Res[ f ( z ) , z0 ] lim ( z z0 ) z z0 Q( z )
lim
z 0
P ( z0 ) P(z) . Q( z ) Q( z0 ) Q( z0 ) z z0
解 (1) z 0 是 f1 ( z ) 的可去奇点，
d m 1 m [ ( z z ) f ( z )] ( m 1)! a1 ( z z0 ) ( z ) , 0 m 1 dz
二、留数的计算方法
3. 极点
方法 若 z 0 为 f ( z ) 的 m 阶极点，
(法则 ) P116 法则Ⅲ
特别 (1) 若 z 0 为 f ( z ) 的简单极点，则
P115 法则Ⅰ
Res[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z ) .
留数在微积分计算中的应用
留数在微积分计算中的应用微积分是数学中的基础分支之一，主要研究变化率、曲线和曲面的性质等。
留数是在复变函数理论中引入的一个重要概念，它在微积分计算中扮演着重要的角色。
本文将详细介绍留数在微积分计算中的应用。
留数是指复变函数在某个点的极限值与实数域的函数值的商。
更具体地，对于一个复变函数f(z)，如果在某个点a处有极点，那么留数就是f(z)在a点的极限值除以(z-a)的导数在a点的值。
留数在复数域中具有一定的分布规律，例如在简单奇点处的留数为零，而在阶乘奇点处的留数则与阶乘有关。
留数与积分的关系可以从以下几个方面来理解：留数的定义与积分密切相关。
利用留数可以计算某些复杂函数的积分。
例如，利用留数定理可以求解柯西积分公式。
留数在求解某些数学物理问题中也起着关键作用，例如在求解狄利克雷边界值问题时需要用到留数的性质。
留数定理是微积分中的一个重要定理，它把复数域中的函数与实数域中的函数建立了。
具体来说，如果f(z)是一个复变函数，它在实数域上的某个区间[a, b]上有定义，那么f(z)在[a, b]上的积分可以表示为：∫f(z)dz = ∫f(x)dx + ∑(Res(f(z), z0)) * 2πi其中，Res(f(z), z0)表示f(z)在z=z0处的留数。
利用留数定理，我们可以计算一些在实数域上难以求解的积分。
柯西积分公式是复变函数理论中的基本公式之一，它表示一个复变函数可以表示为某个积分的形式。
利用留数的性质，我们可以推导出柯西积分公式的多种形式，例如单极点柯西积分公式和双极点柯西积分公式等。
这些公式在求解一些复杂函数的积分时非常有用。
狄利克雷判别法是一种判断级数是否收敛的方法，它是利用留数的性质进行判断的。
具体来说，如果一个级数的每一项的函数在某个点处具有相同的极点，那么这个级数的和可以通过求这些极点的留数来进行估计。
这种判断方法为我们提供了一种新的思路来解决级数的收敛问题。
留数在微积分计算中有着广泛的应用，它不仅可以帮助我们解决一些难以用传统方法求解的问题，而且还具有计算精度高、适用范围广等优点。
留数的计算方法
留数的计算方法摘 要：本文介绍了常见的几类的留数的计算方法.并通过实例加以阐析. 关键词：留数;极点;零点The Calculation of the ResidueAbstract: This paper presents several commonly solving methods of residue. Based on examples, these solving methods are stated and analyzed. Key W ords: Residue; Poles; Zero-point引言由留数定理得知，计算函数)(z f 沿C 的积分，可归结为计算围线C 内各孤立奇点处的留数之和．而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数，因此我们只关心该奇点处罗朗级数中的负一次幂系数，也就是说，不必完全求出罗朗级数就可以完全确定该点的留数.下面介绍求留数的几种常用方法，使用时要根据具体条件，选择一个较方便的方法来进行.1. 有限远点留数的计算方法留数定理把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数1-C .在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的. 1.1 若0z 为)(z f 的可去奇点则)(z f 在R z z <-<00内的罗朗展开式中不含负幂项，从而01=-a ，故当0z 为)(z f 的可去奇点时，0Re ()0.s f z = (1.1)1.2 若0z 为)(z f 的一阶极点(1)第一种情形：若0z 为)(z f 的一阶极点，则)(z f 在R z z <-<00内的罗朗展开式为110010()()()f z a z z a a z z --=-++-+显然)()lim (01z f z z a -=-，故当0z 为)(z f 的一阶极点时，00Res ()lim()()z z f z z z f z →=- （1.2）(2)第二种情形： 若0z 为)()()(z Q z P z f =的一阶极点，且0)(0'≠z Q ，则 000()Res ()()P z f z Q z ='. (1.3)1. 3 若0z 为)(z f 的m 阶极点则010011d Res ()lim [()()](1)!d m m m z z f z z z f z m z --→=--. （1.4）一般来讲,公式(1.4)适合计算级数较低的函数的极点的留数.如果极点的级数较高时,计算可能比较复杂,此时可根据具体情况改用其他方法计算留数. 1.4 当0z 为)(z f 的本性奇点时几乎没有什么简捷方法，因此对于本性奇点处的留数，就只能利用罗朗展开式的方法或计算积分的方法来求． 1.5 有限远点留数计算典型实例例 1.5.1 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,1Re 2z ze s z ． 解 容易知道1=z 是函数12-z ze z的一阶极点，所以211Res[(),1]lim(1)lim 112z z z z ze ze ef z z z z →→=-==-+.本题也可用上述方法 设)()()(z Q z P z f =，取z ze z P =)(，1)(2-=z z Q ，显然)(z P ，)(z Q 满足方法1.2中(2)的条件，所以2(1)Res ,11(1)2z ze P e z Q ⎡⎤==⎢⎥'-⎣⎦.例 1.5.2 求函数 2)1)(1()(+-=z z zz f 在1=z 处的留数. 解 由于1=z 是分母的一级零点,且分子在1=z 时不为零,因此, 1=z 是)(z f 的一级极点.由公式(1.2)可以得到=)1),((Re z f s 41))1)(1(1(lim 21=+--→z z z z z . 由于1-=z 是分母的二级零点,且分子在1=z 时不为零,因此, 1-=z 是)(z f 的二级极点.由公式(1.4)得=-)1),((Re z f s ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-→221)1)(1()1(lim z z z z dz d z =41)1(1lim 21-=---→z z .例 1.5.3 求函数)(z f 1sin 4-=z z在1=z 处的留数. 解 因为14-z 以1-=z 为一级零点,而01sin ≠,因此)(z f 以1=z 为一级极点.由公式(1.3)得=)1),((Re z f s 1sin 414sin )1(sin 131'4==-==z z z z z z . 例1.5.4 求函数)(z f zz e 1+=在0=z 处的留数.解 0=z 是)(z f 的本性奇点,因为)(z f zz e1+==⋅=zze e 1))!1(!21(12 +-++++-n z z z n , )0(∞<<z 所以相乘后级数z1的系数1-C 为 1-C +-++++=!)!1(1!3!21!211n n 于是)0),((Re z f s +-++++=!)!1(1!3!21!211n n 2. 无限远点处的留数计算方法2.1 无穷远点留数定义或留数和定理定义 2.1.1[3] 设∞点为函数)(z f 的一个孤立奇点,即)(z f 在+∞<<z R 内解析,则称积分⎰-1)(21C dz z f i π值为)(z f 在∞点的留数,记作 ⎰-=∞1)(21)),((Re C dz z f i z f s π. 其中,C 为圆周R r z >=,1-C 的方向是顺时针的. 设)(z f 在+∞<<z R 内的洛朗展式为)(z f +++++++=--n n mmz C z C C z C zC 10111 上式两端同乘iπ21,沿1-C 逐项积分,并根据定义1，有 ⎰-=∞1)(21)),((Re C dz z f i z f s π121-+∞-∞=-=-=⎰∑C dz z C i Cnn n π. (2.1) 即)(z f 在∞点的留数等于它在∞领域的洛朗展式中负一次幂的系数的相反数.这里需要指出的是,当0z 为)(z f 的有限可去奇点时,必然有0)),((Re 0=z z f s ;但是,如果∞是)(z f 的可去奇点时,则不一定有0)),((Re =∞z f s . 如 )(z f z11+=,∞=z 在是)(z f 的可去奇点;但01)),((Re ≠-=∞z f s . 例 2.1.1 求函数1)(2-=z e z f z在z =∞点处的留数.解 函数1)(2-=z e z f z以1z =及1z =-为一阶极点，而z =∞为本性奇点 又11Res (1),Res (1)22e f f e -=-=-所以1Res ()2e ef --∞=． 关于函数在有限孤立奇点和无穷远点留数之间的关系,有如下定理. 定理2.1.1 若 0)(lim =∞→z f z ，则Res ()lim[()]z f z f z →∞∞=-⋅. (2.2)证明 由条件，故可设)(z f 在z =∞的去心邻域的洛朗级数1()000nnc c f z z z--=+++++++因此1Res ()lim[()]z f c z f z -→∞∞=-=-⋅．公式(2.2)在计算留数时是非常有用的.如果已知函数在所有有限孤立奇点的留数之和,由式(2.2)即可知道函数在无穷远点留数;反之如果知道了函数在无穷远点的留数,则函数在所有有限孤立奇点的留数之和便可以求出.当函数的有限孤立奇点较多时,其留数之和计算比较复杂时,通过求函数在无穷远点的留数来求其在所有有限孤立奇点的历史之和是非常方便的.另外,我们还可以先计算出比较容易计算的函数的部分孤立奇点的留数,然后用公式(2.2)求出比较难计算的另一部分孤立奇点的留数之和.结束语留数定理的应用为一部分积分的计算提供了便利，特别是对某些复杂的积分，它大大缩短求解过程.因此，利用留数计算定积分对理解留数理论和掌握一些特殊积分的计算有很大帮助，在平时的学习生活中留数理论或许能成为求积分与实际应用的有利工具.参考文献[1] 钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2004.[2] 白艳萍等.复变函数与积分变换[M]. 北京：国防工业出版社，2004. [3] 高宗胜等.复变函数与积分变换[M]. 北京：北京航空航天大学出版社, 2006.。
第二节留数的计算方法
证 因为 Q(z0 ) 0, Q(z0 ) 0
所以z0为 Q(z) 的一级零点, 1
z0 为 Q(z) 的一级极点.
10
因此 1 1 (z),
Q(z) z z0
其中 (z)在 z0 解析且 (z0 ) 0,
f (z) 1 P(z) (z) . z z0 在 z0 解析且 P(z0 ) (z0 ) 0.
第二节 留 数
一、留数的引入 二、利用留数求积分 三、在无穷远点的留数 四、典型例题 五、小结与思考
一、留数的引入
设 z0 为 f (z)的一个孤立奇点;
C .z0
z0的某去心邻域 0 z z0 R C:邻域内包含z0 的任一条正向简单闭曲线
f (z) 在 0 z z0 R 内的洛朗级数: f (z) cn(z z0 )n c1(z z0 )1 c0
C
C1
C2
Cn
C
.zn
两边同时除以 2i 且
z1 . .z2
D
1 2i
C1
f
( z )dz
1 2i
C2
f
( z )dz
1 2i
Cn
f
( z )dz
Res[ f (z), z1] Res[ f (z), z2] Res[ f (z), zn]
n
Res[ f (z), zk ] 即可得.
Res[
f
(z),
z0
]limzz0(zz0
)
f
(z).
7
•规则2 如果 z0为 f (z)的 m 级极点, 那末
一级极点的留数定理
一级极点的留数定理（原创版）目录1.一级极点的定义与性质2.留数定理的定义与性质3.一级极点的留数计算方法4.留数在级数解析中的应用正文一、一级极点的定义与性质在复分析中，我们研究复函数在复平面上的行为。
当函数在某一点取到极值时，这个点被称为极点。
其中，一级极点是指函数在该点处取到一级导数为零的点。
换句话说，一级极点是函数在该点处取得局部极值的点。
一级极点具有一些重要的性质，比如它们是函数的驻点，即函数在该点处取得极值的必要条件。
二、留数定理的定义与性质留数定理是复分析中的一个重要定理，它给出了函数在孤立奇点处的留数与函数在该点处的极限之间的关系。
留数定理可以简单地表述为：函数在孤立奇点处的留数等于函数在该点处的极限。
更具体地说，如果函数f(z) 在孤立奇点 z0 处有留数，那么留数等于 f(z0) 的极限。
留数定理为我们研究函数在孤立奇点处的行为提供了一个重要的工具。
三、一级极点的留数计算方法对于一级极点，我们可以利用留数定理来计算其留数。
具体来说，我们先找到函数的局部极值点，即一级极点。
然后，我们计算函数在该点处的极限，这个极限就是一级极点的留数。
在计算过程中，我们需要注意函数在极点处的泰勒级数展开，以及级数的收敛性等问题。
四、留数在级数解析中的应用留数在级数解析中有广泛的应用。
首先，留数可以用来求解级数的和。
具体来说，如果一个级数在某一点处收敛，那么我们可以利用留数定理来求解级数的和。
此外，留数还可以用来研究函数的解析性质，比如函数的解析延拓问题。
通过研究函数的留数，我们可以更好地理解函数的解析结构，从而更好地研究函数的性质。
总之，一级极点的留数定理是复分析中的一个重要定理，它对于研究函数在孤立奇点处的行为具有重要意义。
在实际应用中，我们可以利用留数定理来计算一级极点的留数，从而更好地理解函数的性质。
复变函数留数和留数定理
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理论支撑
复变函数留数和留数定理是数学领域 中非常重要的概念，它们在复分析、 积分方程、特殊函数等领域有着广泛 的应用。留数定理是解决复积分问题 的重要工具，它可以用来计算复平面 上的曲线积分，解决物理和工程领域 中的许多问题。
留数的计算方法包括直接法、参数法 和级数展开法等。其中，直接法是最 常用的方法，通过将函数在奇点附近 进行泰勒展开，然后利用展开式计算 留数。参数法和级数展开法则适用于 某些特殊情况，如函数具有特定的对 称性或周期性等。
2πi f(z0)，其中z0是该开域内的点。
应用范围
02 柯西积分公式适用于解析函数，即在其定义域内可微
的函数。
特殊情况
03
当z0是奇点时，柯西积分公式不适用。
积分定理和路径的选取
积分定理
如果f(z)在包含z0的开
域内解析，则对于该开
域内的任何两个点z1和
z2，有∫f(z)dz
=
∫f(z)dz + f(z2)(z1-
留数定理是复分析中的核心定理之一 ，它建立了奇点、积分和留数之间的 联系。通过留数定理，我们可以将复 杂的积分问题转化为相对简单的留数 计算问题，从而简化计算过程。此外 ，留数定理还可以用来研究函数的奇 点性质和函数在无穷远点的行为等。
对未来研究和应用的展望
深入研究留数定理
应用领域的拓展
尽管我们已经对留数定理有了较为深 入的了解，但仍有许多未解决的问题 和需要进一步研究的方向。例如，对 于具有更复杂奇点的函数，如何更准 确地计算留数？如何利用留数定理解 决更广泛的积分问题？这些都是值得 探讨的问题。
02
复变函数基础知识
复数及其运算
复数
复分析中的留数定理与积分公式
复分析中的留数定理与积分公式复分析是数学中的一个重要分支，它将实数域扩展到复数域，研究复变函数的性质与行为。
复分析中的留数定理与积分公式是该领域中的两个重要概念，本文将详细介绍这两个概念的定义、性质和应用。
一、留数定理留数定理是复分析中的重要成果，用于计算复数域中的积分。
现在，我们首先来介绍留数定理的定义。
定义：设 f(z) 是一个在复平面上除有限个孤立奇点外解析的函数，z_0 是其中一个孤立奇点。
如果 f(z) 在 z_0 处有洛朗展开式：f(z) = ∑(n=-∞)^(∞) a_n(z-z_0)^n那么 f(z) 在 z_0 处的留数(residue) 定义为 a_{-1}，即：res(f,z_0) = a_{-1}留数定理主要有洛朗展开定理和留数定理两种形式。
其中，洛朗展开定理表示当函数 f(z) 在复平面上只有一部分是解析函数时的情况，而留数定理则适用于函数 f(z) 在整个复平面上都是解析的情况。
留数定理的一个重要应用是计算复积分。
具体而言，留数定理告诉我们如果一个函数在复平面上只有有限个孤立奇点，那么它的围道积分可以通过这些孤立奇点的留数来计算。
二、积分公式在复分析中，积分公式是留数定理的重要应用之一。
下面，我们将介绍两个常见的积分公式——柯西定理和柯西积分公式。
1. 柯西定理柯西定理是复分析中的基本定理之一，它描述了闭曲线内解析函数的积分值为零的性质。
定理：设 D 是一个在复平面上有界的闭区域，它的边界为 C，f(z) 是 D 内连续且在 C 上解析的函数。
那么有：∮(C) f(z) dz = 0其中∮(C) 表示沿着曲线 C 的围道积分。
柯西定理的重要性在于它揭示了解析函数的积分值在闭曲线内总是为零的特性。
2. 柯西积分公式柯西积分公式是柯西定理的一个推论，它将解析函数与其在边界上的值联系起来。
定理：设 D 是一个包围在闭曲线 C 内的连通开集，f(z) 是 D 内的解析函数，z_0 是 D 内的点。
第一节留数定理
后,两端沿l逐项积分, 右端各项积分除留下 a -1 (z-z0 ) 的一项等于 2 ia-1 外, 其余各项积分都等于零, 所以
-1
f ( z) d z 2 π ia
l
-1
.
其中a-1就称为f(z)在z0的留数, 记作Resf(z0), 即 1
Res f ( z0 )
f ( z) d z 2i
P(z),Q(z) 在 z 0 点是解析的，
P ( z 0 )≠ 0
Q( z 0 )=0, Q ' ( z 0 ) ≠ 0,
罗毕达法则
则有： P( z 0 ) P ( z0 ) = ( z - z 0 ) f ( z ) = lim ( z - z0 ) Re sf ( z0 ) zlim z0 z z0 Q( z 0 ) Q ' ( z0 )
6
如果f(z)只有有限个奇点,则所有有限远奇点必在某个圆的内部
z R, 在环域 R z
l
内任取一个回路l,则由留数定理得
f ( z )dz 2i f z 在所有有限远点的留数
(1)+(2)可得
之和 (2)
0 2if z 在所有各点的留数之和
即函数在全平面上所有各点的留数之和为零,这里所有的点
13
1 d2 3 1 d2 1 Re sf (0) lim 2 z f ( z ) lim 2 z 0 2! dz z 0 2! dz z - 2i 1 1 i lim 3 z 0 z - 2i 8 8i dz • (0 1) 例4 计算沿单位圆|z|=1的回路积分 z 2 2 z • | z| 1 1 的分母为零,可以得到 解 令被积函数 f ( z ) 2 z 2 z 2 1 1 二次代数方程 z 2 2 z 0 其两根为 z
留数计算规则
故
由留数定理得：
tanzdz 2i
k 1 n 2
z n
Re s(tanz ) 2i(
2n
) 4ni
如
(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留 数，不要死套规则。
P ( z ) z sinz f (z) Q( z ) z6
由 于p(0) 0
2
(cotz )' z k 1 csc2 z 0 1 zk 2 2 1 z k 为一级极点 ,由 法 则 III得 2 1 sinz 1 Re s[tanz , k ] ( k 0,1,) 2 (cosz )' z k
c0 c1 ( z z0 ) , (c m 0)
以( z z0 )m 乘上式两边 ,得
( z z 0 ) f ( z ) c m c m 1 ( z z 0 ) c 1 ( z z 0 )
m m 1
c0 ( z z 0 ) m
cos z dz 例3 计 算 3 z 1 z cos z 解 f (z) 3 有 一 个 z 0的 三 级 奇 点 z 由规则
1 d2 3 Re s[ f ( z ),0] l i m [ z f ( z )] 2 z 0 ( 3 1)! dz 1 1 lim (cosz )'' 2 z 0 2
1 d5 1 1 ( z sinz ) lim( cos z ) 5 5! dz 5! z 0 5!
两边求 m 1阶 导 数 得 d m 1 m {( z z ) f ( z )} ( m 1)!c1 m! ( z z0 ) 0 m 1 dz m 1 d lim m 1 {( z z0 )m f ( z )} ( m 1)!c1 , 移 项 得 (5)式. z z dz
数学物理方法留数定理例题
数学物理方法留数定理例题一、留数定理简介留数定理是数学物理方法中的一个重要定理，起源于复分析领域。
它指出，在一定条件下，一个函数在某个区域的边界上的取值与在该区域内部某一点的取值相同。
这个定理由德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（Carl Wiener）于1880年首次提出，后来被法国数学家让·卡当（Jean Coulomb）命名为“留数”。
留数定理在复分析、实分析、偏微分方程等领域具有广泛的应用。
二、留数定理的应用1.解析延拓留数定理可以用于解析延拓问题。
当一个函数在某个区域内具有奇偶性时，可以通过留数定理将该函数在边界上的取值延拓到内部点。
这种方法在解决复杂区域的积分问题时非常有用。
2.计算积分利用留数定理可以计算复杂区域的积分。
通过将积分区域分解为简单区域，并在每个简单区域内部选择一个代表点，计算代表点处的函数值，最后将各个代表点处的函数值相加，即可得到积分结果。
这种方法称为“分部积分法”。
3.求解微分方程留数定理还可以应用于求解微分方程。
通过在边界上设置适当的边界条件，可以将微分方程转化为一个或多个积分方程。
利用留数定理计算积分，可以得到微分方程的解。
三、留数定理的推广留数定理在复分析领域有多种推广形式。
例如，在多元函数中，留数定理可以推广为多重留数定理；在无穷级数中，留数定理可以用来计算级数的和；在偏微分方程中，留数定理可以用于求解边界值问题。
四、留数定理与其他数学物理方法的联系与区别留数定理与其他数学物理方法，如解析延拓、residue 计算、积分方程方法等有密切联系。
它们都用于解决复分析和实分析中的问题，但具体应用场景和解决问题的手段不同。
留数定理侧重于研究函数在边界与内部点之间的关系，而其他方法则关注如何利用这种关系求解问题。
五、留数定理在实际问题中的应用案例留数定理在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在电路分析中，留数定理可以用于计算复杂电路中的电流、电压等物理量；在经济学中，留数定理可以用于研究货币供应量、利率等经济变量之间的关系；在生物学中，留数定理可以用于研究生物种群的数量动态等。
留数定理的计算及应用
留数及其应用摘 要 留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用．关键词 留数定理；留数计算；应用引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法．一. 预备知识 孤立奇点1．设()f z 在点a 的某去心邻域内解析，但在点a 不解析，则称a 为f 的孤立奇点.例如sin zz，1z e 以0=z 为孤立奇点.z 以0=z 为奇点，但不是孤立奇点，是支点.11sinz 以0=z 为奇点（又由1sin0=z ，得1(1, 2...,)π==±±z k k 故0=z 不是孤立奇点） 2．设a 为()f z 的孤立奇点，则()f z 在a 的某去心邻域内，有1()()()，∞∞-===+-∑∑-nnnnn n f z c z a c z a 称()n=1∞-∑-nnc z a 为()f z 在点a 的主要部分，称()∞=-∑nnn z a c 为()f z 在点a 的正则部分，当主要部分为0时，称a 为()f z 的可去奇点；当主要部分为有限项时，设为(1)11(0)()()------+++≠---m mm m m c c c c z a z a z a称a 为()f z 的m 级极点；当主要部分为无限项时，称a 为本性奇点.二. 留数的概念及留数定理 1. 留数的定义设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <⋅<内解析，则积分()()1:,02f z dz z a R i ρρπΓΓ⋅=<<⎰为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z as f z =．2. 留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设D 是由复周线012C C C C --=+++…nC -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 内解析，在_D D C =+上连续，则()0Cf z dz =⎰．定理1[]1（留数定理） 设()f z 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除12,,a a …,n a 外解析，在闭域_D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大范围”积分） ()()12Re k nz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰． （1）证明 以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ⋅=（1,2,k =…,n ）使这些圆周及内部均含于D ，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得()()1knk Cf z dz f z dz =Γ=∑⎰⎰，由留数的定义，有()()2Re kkz a f z dz i s f z π=Γ=⎰．特别地，由定义得 ()2Re kkz a f z dz i s π=Γ=⎰，代入（1）式得 ()()12Re knz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰．定理2 设a 为()f z 的n 阶极点，()()()nz f z z a ϕ=-，其中()z ϕ在点a 解析，()0a ϕ≠，则()()()()11!n z aa Res f z n ϕ-==-．这里符号()()0a ϕ代表()a ϕ，且有()()()()11lim n n z aa z ϕϕ--→=． 推论3 设a 为()f z 的一阶极点，()()()z z a f z ϕ=-， 则 ()()z aRes f z a ϕ==．推论4 设a 为()f z 的二阶极点，()()()2z z a f z ϕ=-， 则 ()()'z aRes f z a ϕ==．3. 留数的引理引理1 设()f z 沿圆弧:i R S z Re θ= (12θθθ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim R zf z λ→+∞=于R S 上一致成立(即与12θθθ≤≤中的θ无关)，则()()21limRS R f z dz i θθλ→+∞=-⎰．引理2(若尔当引理) 设函数()g z 沿半圆周:i R z Re θΓ= (0θπ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim 0R g z →+∞=在R Γ上一致成立，则()()lim00Rimz R g z e dz m Γ→+∞=>⎰．引理3 (1)设a 为()f z 的n 阶零点，则a 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且 ()()'z a f z Res n f z =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； (2)设b 为()f z 的m 阶极点，则b 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且()()'z bf z Res m f z =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．三. 留数的计算1. 函数在极点的留数法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则)()(lim ]),([Re 000z f z z z z f s z z -=-法则2：设)()()(z Q z P z f =，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(≠z P ，0z 为)(z Q 的一阶零点，则0z 为)(z f 的一阶极点，且)()(]),([Re 0z Q z P z z f s '=. 法则3：如果0z 为)(z f 的m 阶极点，则)]()[(lim !11]),([Re 01100z f z z dzd m z z f s m m m z z --=---）（. 2. 函数在无穷远点的留数定理 1 如果)(z f 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内）为∞,,,21n z z z ，则)(z f 在各点的留数总和为零.关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.法则 4： 211Re [,]Re [(),0]s f z s f z z∞=-⋅（）. 例 1 求函数2()1ize f z z=+在奇点处的留数． 解 ()f z 有两个一阶极点z i =±，于是根据（6.5）得2()Re (,)()22i P i e is f i Q i i e===-'2()Re (,)()22i P i e is f i e Q i i ---==='--例 2 求函数3cos ()zf z z=在奇点处的留数． 解 ()f z 有一个三阶极点0z =，故由（6.7）得33001cos 11Re (,0)lim()lim(cos )222z z z s f z z z →→''=⋅=-=-四. 留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分．1. 形如()20cos ,sin f x x dx π⎰型的积分这里()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，并且在[]0,2π上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0经历变到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。
求留数的另一方法
求留数的另一方法
孟祥发
（天津理工学院 职业技术学院，天津 ’ ） " " ’ ( "
摘要：介绍一个求留数的简便方法：当! 为函数" （ 的 # 级极点时， 可取大于 # 的正整数 !） " （ 在! 点的留数： $ ，用如下公式计算函数" !） "
西安交通大学数学教研室编的《复变函数》
［ ］ ! 中提出了求留数的 # 个规则 ，其中规则 % 说：
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5.期刊论文 戴振祥.徐园芬.DAI Zhen-xiang.XU Yuan-fen 对数留数定理的推广 -宁波教育学院学报 2008,10(3)
推广了留数理论中的对数留数定理,给出了一般性的结论,从而解决了一类函数的留数计算问题.
6.学位论文 肖志广 S-矩阵幺正性在强子散射与微扰弦论中的应用 2005
$& ! ! / $（ ） ［ （ ， ］ ｛ （ ） ｝ ) * + !） ! , . 0 " " % " "! $& ! ! &! （$ &! ） ！ !!! ! "/ 关键词：留数；极点；洛朗级数
复变函数中的留数定理及其推导
复变函数中的留数定理及其推导复变函数中的留数定理是一种非常重要的数学工具，它可以帮助我们求解一些非常复杂的积分问题。
在本文中，我们将深入探讨留数定理的本质及其具体推导方法。
一、留数定理的基本概念留数定理是由法国数学家留数（Cauchy）于19世纪初发现的。
它是一种重要的数学工具用于计算复平面上的奇异积分。
在这里，我们先来了解一下什么是“奇异点”。
奇异点是指函数在该点没有定义或不连续的点，如可以取无穷大的点、极点和孤立奇点等。
我们以一个简单的例子来说明：$I=\int_{C}\frac{1}{z-1}dz$其中，C为包围点z=1的任意一条简单闭合曲线。
当C逆时针绕点z=1一周时，积分的值趋近于无穷大，而当C顺时针绕点z=1一周时，积分的值趋近于负无穷大。
由此可见，积分$I$的值与曲线C的方向有关，这意味着函数$\frac{1}{z-1}$在点z=1处存在奇异性。
点z=1称为函数$\frac{1}{z-1}$的极点。
对于复系数函数$f(z)$，其在点z0处的留数（Residue）可表示为：$Res[f(z),z0]=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(z)}{z-z0}dz$其中，C为包围点z0的任意一条简单闭合曲线，而留数的定义正是以上积分的结果。
二、留数定理的述现在我们来到了本文的重点：留数定理。
若$\Omega$是以平面上一条简单闭曲线为界的区域，则对于任意在$\Omega$上除点z1,z2，... ,zk外解析的函数$f(z)$，有：$\int_{C}f(z)dz=2\pi i\sum_{k=1}^{n}Res[f(z),zk]$其中，C是一条位于$\Omega$内的任意简单闭曲线，zk是$\Omega$内的孤立奇点（即除极点、可去奇点外的奇异点）。
这就是留数定理的本质。
简单来说，留数定理告诉我们：如果一个复变函数在某些点处存在奇异性，则通过沿着包围这些点的任意简单闭曲线进行积分，积分结果正比于这些奇点处的留数之和。
柯西积分定理和留数定理的应用
柯西积分定理和留数定理的应用柯西积分定理和留数定理是数学中非常重要的概念，它们的应用领域非常广泛，如电动力学、量子力学等等。
在本文中，作者将探讨柯西积分定理和留数定理的应用，并介绍两种定理的定义、性质和推导过程。
一、柯西积分定理柯西积分定理是基于复数理论的一个定理，它描述了一个在某个有界区域内解析的复函数的积分在这个区域的任何路径上都相等。
这个定理在复变函数论中起着非常重要的作用，可以用来计算函数在一个复平面内的积分值，其一般形式如下：设f(z)是在闭合区域D内解析的复函数，而C是D内的一条简单封闭曲线，则有：∮Cf(z)dz=0其中∮C表示C上的积分，它表示为沿C逆时针方向运动时，复函数f(z)在路径上的点z的导数沿路径方向的积分。
柯西积分定理的证明可以用Green定理来完成，即将f(z)表示为实部u(x,y)和虚部v(x,y)的和，将C分为无限小的短线段连接起来，然后套用Green定理将曲线积分转化为面积积分，进而将面积积分转化为两个正交方向上的一阶导数的积分，最后通过偏导数的相等性得证。
柯西积分定理的应用非常广泛，例如它可以用于计算复定积分、判断曲线的正向和逆向等等。
一个经典的例子是计算沿着单位圆逆时针方向运动的积分：∮C(1+z^2)dz这个积分可以使用柯西积分定理来计算，因为f(z)=1+z^2在整个复平面都是解析的。
由柯西积分定理可知，在内部是没有奇点的，因此围绕整个圆形的积分是0。
二、留数定理留数定理是复变函数论中另一个非常重要的定理，它被用来计算复函数在奇点处的积分值。
留数定理也是在解析函数f(z)的基础上得出的，其一般形式如下：设f(z)是在含有奇点z0的开集合U内解析的，那么对于U内的任何简单闭曲线C，都有：∮Cf(z)dz=2πiRes(z0)其中Res(z0)表示f(z)在奇点z0处的留数，它是由f(z)在z0处的误差项决定的。
留数定理的证明可以通过柯西积分定理和对残积的定义进行推导。
求留数的另一方法
求留数的另一方法
《求留数的另一方法》
求留数是数学中的一种基本运算，它可以帮助我们简化复杂的数学运算。
对于求留数，传统的方法是使用除法法则，但是现在有一种更简单的方法，即使用乘法法则来求留数。
使用乘法法则求留数的方法是将被除数乘以除数的倒数，然后将积向下取整，即可得到留数。
例如，计算17÷5的留数，可以将17乘以5的倒数，即1/5，得到积0.85，向下取整，即留数为0。
使用乘法法则求留数的优势在于它比传统的除法法则更简单，计算速度也更快。
它还可以帮助我们解决复杂的数学问题，比如计算两个数的最大公约数和最小公倍数。
使用乘法法则求留数是一种更简单、更快速的方法，它可以帮助我们解决复杂的数学问题，值得推荐。
留数
chz 0 e e
z
z
z k i(k 0,1,2,...) 2 仅z i在 | z | 2内 2
Re s[ f ( z ),
2
0, e 2 z 1
2
shz i]
z i 2
1
(chz )
z i 2
例5
z 计算 dz | z| 2 sin z
(1)
C为在z0解析的去心邻域内绕0的正向简单闭曲线 z
e 例求 在0点的留数. z
z z n1 e z 1 z n z n1 1 1 z n0 n! n0 n! z 2! n! z
Res [f (z), 0]=1
z
2. 留数定理
定理
设f ( z )在区域D内除有限个孤立奇点 1 , z2 ,, zn外处处解析 z , C是D内包围诸奇点的一条正 向简单闭曲线 则有 ,
z z0
规则II
若z0是f ( z )的m级极点
1 d m1 m Re s[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z ) z z0 dzm 1 (m 1)!
注：
当m=1时，规则（I)即为规则(II).
P( z ) P( z ), Q( z )在z0处解析, 规则III 设f ( z ) Q( z ) P( z0 ) 0, Q( z0 ) 0, Q' ( z0 ) 0 P( z0 ) z0是f ( z )的一级极点, 且 Re s[ f ( z ), z0 ] Q' ( z0 ) 证明： Q( z 0 ) 0及Q' ( z 0 ) 0
复变函数第五章留数学习方法指导
第五章留数留数(Residue )理论是复积分理论和复级数理论相结合的产物,它既是复积分问题的延续,又是复级数应用的一种表达, 它对复变函数论本身以及实际应用都有着重要的作用. 例如,它能给复积分的计算提供一种有效的方法, 能为解析函数的零点和极点的分布状况的研究提供一种有效的工具.另外,它还能为数学分析中一些复杂实积分的计算提供有效地帮助.本章,我们首先引进孤立奇点处留数的定义,利用洛朗展式建立留数计算的一般方法——洛朗展式法,以及各类孤立奇点处留数计算的更细致的方法.在此根底上,再建立反映复变函数沿封闭曲线积分与留数之间密切关系的留数定理, 从而有效地解决“大范围〞积分计算的问题.其次,介绍留数定理的两个方面的应用. 一方面建立利用留数定理计算数学分析中某些定积分和反常积分的计算方法, 另一方面建立讨论区域内解析函数的零点和极点分布状况的有效方法,即幅角原理与儒歇定理.一.学习的根本要求1 .掌握函数在其孤立奇点处的留数的概念以及函数在孤立奇点处的留数计算的一般方法,即洛朗展式法.注意函数在有限孤立奇点处的留数和孤立奇点处的留数在定义方面的差异以及罗郎展式法方面的差异.并能熟练地运用洛朗展式法求函数在其孤立奇点处的留数.2 .熟练掌握函数在各类有限孤立奇点处的留数的具体计算方法以及孤立奇点处留数的的两种具体计算方法：｛洛朗展式法：Resf(z) 1,其中i为f(z)在处的洛朗展式中1/z的系数. 化为有限点处的留数：Res f (z) Res-2 f (~) •3 . 了解有限可去奇点处的留数与可去奇点处的留数的差异,理解为什么函数在可去奇点处的留数一般不一定为零？4 .掌握留数定理以及含的留数定理(即留数定理的推广),并能熟练地运用它们计算函数沿封闭曲线的积分.能用留数定理导出第 3章中的柯西定理和柯西积分公式,从而正确地熟悉为什么留数定理可以看成柯西定理和柯西公式的统一. 5 . 了解利用留数计算实积分的根本思想或根本原理： 通过适当方法将实积分转化为适当复 变函数沿封闭曲线的积分熟悉将实积分转化为适当复变函数沿适当封闭曲线的积分的两种途径:途径一：通过适当变量替换. 途径二：作适当补充路径.6 .熟悉补充积分路径计算积分时,常用的如下三个引理:引理0设函数f(z)在角形闭区域 上连续,且 limz f(z) A,记 R {z z zz Dimz .f (z)e dz 0 .R［提示］利用积分的估值性,并注意到R,z D},R 的方向是逆时针,那么以及Rimf(z)dz i(R［提示］利用积分的估值性, 并注意到lim(zz z DZ o )f (z)A,1 . v 、------ dz i( 2 i ) R z z .f(z)dz i( 2 i )(z 4)f(z) Rz zAdz(z Rz o )f(z) A11dz .引理1 设函数f(z)在闭区域D: 0 i arg(z .)2z z o上连续,记R {z ||z z 0R,zR 的方向是逆时针,假设ljm f(z) 0 ,z DRlim引理2 设函数f(z)在圆环形闭区域D: 0 i arg(z Z 0)22 , 0 z z 0 r 0上连续,记 r {z z Z 0r,z D}, r 的方向是逆时针,且lim( z z 0)f (z)A,z z . z D那么lim f (z)dz i( 21) A .r 0 r「 .. .... ........... .. ,1［提示］利用积分的估值性,并注意到 ------------ dz i( 21),以及rz z 0. ../ (z z 0)f(z) A I(z z 0)f (z) A ,f(z)dz i( 21)A --------- ------ ---------- dz --------- ------------------ 11dz .rr z z 0 r r7.熟练掌握以下几种类型的实积分利用留数来计算的方法2①形如 o R(cos ,sin )d 或 R(cos ,sin )d 的积分,其中 R(cos ,sin ) 是三角有理函数,且分母函数在［0,2 ］或［,］上恒不为零.特别,当R(cos ,sin )是偶函数时,还可考虑积分 ° R(cos ,sin1 21-(1 cos2 )或$巾 -(1 cos2 )降次,再计算.•当被积函数是R(cos ,sin ) cosm 或 R(cos ,sin ) sin m时,可利用欧拉公式将积分先化为 再计算.R(x)dx 的反常积分,其中 R(x )为实有理函数.其中用到了约当不等式：当 0—时,- sin2)d注意：•当被积函数是cos 2或sin 2的有理函数时,可先用公式2cos②形如特别,当R(x)是偶函数时,还可考虑积分° R(x)dx.注意：此类型的积分的柯西主值( PV.值)用留数来计算时,可分两种情况补充积分路径•当R(x )的分母在？上恒不为零时,可用以原点为心半径充分大的上半圆周作为补充路径.•当R(x )的分母在？上仅有一阶零点时,可用以原点为心充分大的正数R为半径的上半圆周和以R(x)在？上的一阶零点为心充分小的正数为半径的上半圆周作为补充路径.③ 形如R(x) e mx dx 或R(x) cosmxdx 或R(x) sin mxdx 的反常积分,其中R(x )为实有理函数, m 0.特另L当R(x)是偶函数时,还可考虑积分° R(x) cosmxdx ;当R(x)是奇函数时, 也可考虑积分° R(x) sin mxdx .注意：此类型的积分的柯西主值( PV.值)用留数来计算时,可分两种情况补充积分路径•当R(x )的分母在？上恒不为零时,可用以原点为心半径充分大的上半圆周作为补充路径.•当R(x )的分母在？上仅有一阶零点时,可用以原点为心充分大的正数R为半径的上半圆周和以R(x)在？上的一阶零点为心充分小的正数为半径的上半圆周作为补充路径.④ 被积函数含有因子ln x , x , n/P(x)和1R(x)的实积分注意：此类型的积分的柯西主值( P.V.值)用留数来计算时,常选择相应多值函数的支割线的两沿以及单独围绕各支点的适当圆周作为补充积分路径.8.理解对数留数—f^dz的几何意义,掌握对数留数的计算公式. 并掌握下面的一2 i C f(z)个结论：假设Z0是函数f(z)的m阶零点或m阶极点,那么Z0必为工^)的一阶极点,且f(z)当z0是函数f⑵的m阶零点时,Res f⑶ m ；zz0 f(z)当z0是函数f⑵的m阶极点时,Res f (z) m . z z o f (z)9 .正确理解幅角原理与儒歇定理的条件和结论,并能熟练地运用幅角原理和儒歇定理来讨论区域内函数的零点和极点的分布情况或者方程根的分布情况.10 .附：孤立奇点处留数的常用计算方法；合理使用留数定理计算复积分的技巧；补充积分路径利用留数计算实积分的根本思路；用儒歇定理讨论解析函数在有界区域内零点的个数的思路.•孤立奇点处留数的常用计算方法我们仅对函数的孤立奇点才定义留数, 对有限孤立奇点处的留数的计算归纳起来,主要有下面的三种常用方法,①洛朗展式法,即假设f(z)在其孤立奇点a的去心邻域0 |z a| R内的罗郎展式为1…一,,.那么Resf(z) c1,其中c i是罗郎展式中——这一项的系数.这种方法是留数计算的一般z a z a 方法.②孤立奇点的类型法,即根据孤立奇点的具体类型来计算留数的方法,其具体方法如下：对可去奇点处的留数假设a为函数f(z)的可去奇点,那么Resf(z) 0 .z a对极点处的留数假设点a为函数f (z)的m阶极点,那么Resf(z) 1 lim[(z a)m f(z)](m1).z a (m 1)!z a特另1J,假设点a为函数f(z)的1阶极点,那么Res f (z) lim(z a) f(z).假设点a 为函数f(z)的1阶极点,且f(z) -(■旦,其中 (z)(a) 0, (a) 0,(a) 0(即 a 为(z)的 1 阶零点),Res f(z) lim( z a) f (z) ―(—)zaz a(a)假设点a 为函数f (z)的2阶极点,那么_ _ 2 一 Res f (z) lim[( z a) f (z)].,其中(z)在点a 解析,那么1m (m 1)(7F!网(z a) f(z)](这个公式说明：只要点 a 是f(z)的至多m 阶极点,我们仍可用 m 阶极点留数的计算公 式计算Resf(z))z a对本性奇点处的留数本性奇点处的留数的计算一般直接用洛朗展式法计算. ③ 留数定理法,即假设函数f (z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点 Z I , z2, L , zn,.那么f (Z)在扩充复平面上的所有奇点(包括 )处的留数之和等于 0 .即nRes f(z) Res f (z i ) 0 .zi 1z z注意：方法③会涉及到 处的留数.对孤立奇点 处的留数的计算有下面的三种常用方法： ① 洛朗展式法,即假设 f (z)在其孤立奇点 的去心邻域0 R z 内的罗郎展式为那么 Res f (z) c 1.注意此公式与有限孤立奇点处留数计算公式的区别.Res f(z) Res ［f (1) -12］ - z z0 z z③ 留数定理法,即假设函数 f (z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点4, z 2, L , z n,Res f (z) z a (z)和(z)都在点a 解析,(m1)(a)(m 1)!.那么nRes f (z) Res f (z i).z i 1 z %注意：关于函数在孤立奇点处的留数,我们不能根据孤立奇点的类型来计算,例如,1 ... ..............为函数f(z)的可去奇点,并不一定保证Resf(z) 0 (如f(z)-,显然为它的可z z去奇点,但Res f(z) 1 0).z•使用留数定理计算复积分的技巧留数定理和留数定理的推广提供了计算围线积分的一种方法, 它是对第三章复积分计算的一种补充.通常在计算复积分f(z)dz (其中C是围线)时,如果f (z)在围线C内部C的孤立奇点不太多,可考虑用留数定理,将此积分的计算化为函数 f (z)在C内部各孤立奇点处的留数来计算；如果f(z)在围线C内部的孤立奇点比拟多, 而在C外部的孤立奇点(包括 )不太多,可考虑用留数定理的推广,将此积分的计算化为函数 f (z)在C外部各孤立奇点(包括 )处的留数来计算.•补充积分路径利用留数计算实积分的根本思路 b 对于一个实函数f (x)沿x轴上一条有限线段［a,b］的积分f (x)dx ,我们在平面上a补充一条或几条适当的辅助曲线,使线段［a,b］和一起构成一条围线,并围成一个区域D (如下列图).如果存在除D内有限个点外解析,在D D C上也除这有限个点外连续的辅助函数g(z),使得在［a,b］上g(z)或g(z)的实部或虚部中的一个等于f(x),那么由留数定理就有其中汇是g(z)在D内的奇点处的留数总和.b假设上式中的第二个积分能够计算出来,那么 a f(X)dX的计算问题就解决了.b如果a或b不是有限数,那么积分f(x)dx为反常积分,此时,可由上式两端取极限, a如能求得g(z)dz的极限,就能至少得到所求反常积分的柯西主值 (注意,当反常积分收敛时,柯西主值就是反常积分的值； 通常情况下,所考虑的问题,只要求得到柯西主值即可). •用儒歇定理讨论解析函数在有界区域内零点的个数的思路儒歇定理是讨论解析函数在区域内零点分布或方程在区域内根的个数的一种强有力的 工具. 用儒歇定理讨论解析函数F(z)在有界区域 D 内零点的个数或者方程 F(z) 0在D内根的个数时,其关键是寻找满足定理要求的f (z ),而(z)可通过F (z) f (z)来得到,其中f (z)可按下面的两个原那么来寻找：一方面 f (z)在D 的零点个数比拟容易得到,另一 方面在区域D 的边界上,f (z) (z) F(z) f (z).二.问题研究问题1：探讨下面几类实积分的留数计算的一般公式：公式1 ：假设实有理函数 R(x) P(^)满足：P(x)和Q(x)互质,分母Q(x) 0 (x ?), Q(x) 且Q P 2,那么R(x)dx 2 i ResR(z), z 4 Imz k 0其中z k 是R(z)在上半平面内的孤立奇点,ResR(z)表示对R(z)在上半平面内的所 Im z k0 z z k有孤立奇点的留数求和.公式2 ：假设实有理函数 R(x) P3 满足：P(x)和Q(x)互质,分母Q(x) 0 (x ?), Q(x) 且 Q P 1 , m 0,那么imx imzR(x)e dx 2 I Res R(z)e ,Im Z k 0zzk其中z k 是R(z)在上半平面内的孤立奇点,ResR(z)e imz 表示对R(z)e i mz 在上半平面z z k Im z k 0内的所有孤立奇点的留数求和.P(x)公式3 :假设实有理函数 R(x) 满足：P(x)和Q(x)互质,分母Q(x)在？上仅有Q(x)一阶零点,且 Q P 1 , m 0,那么R(x)e imx dx 2 i(ResR(z)e imz - ResR(z)e imz ),Imz k 0zzk2 Im z j0 z zj其中z k 是R(z)在上半平面内的孤立奇点,z j 是R(z)在？上的一阶极点.P(x)公式4 ：假设实有理函数 R(x) 满足：P(x)和Q(x)互质,Q(x)在R [0,)Q(x)上恒不为零,且 Q P 1 , 01 ,那么皿dx 上七ResR^, 0x 1 ez k £\[0, ) zz k z其中z 为£\[0,)上满足z z 1± 1的解析分支(即主值支),z k 为_R3 在£\[0,)z内的孤立奇点,即 Q(z)在£ \[0,)内的零点.公式5 ：假设实有理函数 R(x) P® 满足：P(x)和Q(x)互质,Q(x)在R [0,) Q(x) 上恒不为零,且 Q P 2,那么其中lnz 为£\[0,)上满足1nz z 1上 0的解析分支(即主值支),z k 为解析分支2R(z)ln z 在£\[0,)内的孤立奇点,即 Q(z)在£\[0,)内的零点.公式6 ：设实有理函数 R(x) 巴的■满足：P(x)和Q(x)互质,分母 Q(x)在[0,1]上Q(x)恒不为零,那么(2)证实:(1)n1 2 n 1 n其中n/z k (1 z)n k 为£\［0,1］上满足在割线［0,1］的上沿取正数的解析分支(即主值支),Z k 为解析分支R(z)n/z k (1 z)n k 在£\［0,1］内的孤立奇点,即 Q(z)在£\［0,1］内的零点.(2)其中n/z k (1 z)n k 为£\［0,1］上满足在割线［0,1］的上沿取正数的解析分支 (即主值支),z k为解析分支R (z)在 £\［0,1］内的孤立奇点,即 Q(z)在£\［0,1］内的零点.nz k (1 z)n k问题2 :按下面的步骤探讨数项级数的和： 第一步：设C N 表示曲线… 1、一 … 1、 (N —)和 y (N —)围成的正方形区域的边界, 其中N 为正整数,C N 的方向为逆时针.(1)证实：对任意复数iy C ,总有sin z sin x 和 sinz sinh y其中 sinhy 1(e y e y ).(2 )利用(1 )证实：在正方形区域的竖边界上有sin z 1 ;而在正方形区域的竖边界上有sin z sinh —.从而存在与 N 无关的正常数 A ,2使得对任意z C N ,都有sin z A.(3 )证实:一一dz2C Nz sin z一-一,从而推出(2N 1)ANlimCN1 . c - -------- dz 0. z sin z第二步:(1 )利用留数定理证实:C N11 二 dz2 i[-z sin z631 22•n问题3 :按下面的步骤探究儒歇定理的另一种证法.设D是有界区域, C为其边界,f(z)和g(z)都在D D C上解析,且在C上, f(z) g(z),对任意t [0,1],(1)证实：对每一个固定的t [0,1],函数f(z) tg(z)在D内解析,在D续,且在C上f(z) tg(z) 0.(2)在[0,1]上定义函数如下：1 f (z) tg (z) - ((t)——一U2dz, 0 t 1.2 i C f(z) tg(z)证实：⑴表示函数f(z) tg(z)在区域D零点的个数;c)对任意t,t0 [0,1],存在常数A 0,使得(3)证实：(t)为[0,1]上连续的函数,且为常函数.从而(0) (1),即f(z^f(z) g(z)在D内有相同的零点个数.参考文献:[1]方企勤.复变函数教程.北京：北京大学出版社, 1996 : 148 ~189.[2]余家荣.复变函数(第三版).北京：高等教育出版社,[3]郑建华.复变函数.北京：清华大学出版社, 2005 : 74 ~94 .[4]范宜传,彭清泉.复变函数习题集.北京：高等教育出版社, D C上连a)对每一个固定的t [0,1],对任意t,t0[0,1],f g f g(f tg)(f t°g)f g f g(IfRgl)2其中A If g f g(IfRgl)22000: 88~108.1980 : 136 ~155 .[5]James Ward Brown and Ruel V．Churchill ．Complex Variables and Applications(Seventh Edition) ．McGraw-Hill Higher Education , Burr Ridge , IL , 2004．。
第二讲 留数的计算
注：由连续变形原理，留数与C的选取无关。 由留数定义 C f ( z )dz 2i Re s[ f ( z ), z0 ]
其中C 为简单正向闭曲线，且f ( z ) 在 C 及 C 内只有 z0
一个奇点。 上页 返回 结束
第二讲 数及留数的计算规则
1、留数的定义
2、留数的计算法则 3、留数定理 4、思考与练习
返回
1. 留数的定义
定义： 设 f ( z ) 以有限点z0 为孤立奇点， 即在点 z0 的某去 心邻域 0 | z z0 | r 内解析，则称积分
1 C f ( z )dz 2i 为 f ( z ) 在点 z0 的留数，记作Re s[ f ( z ), z0 ] 。其中C 为去
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由规则 II，得
ze z ze z e Re s[ f ( z ),1] lim ( z 1) 2 lim z 1 z 1 z 1 z 1 2
ze z ze z e 1 Re s[ f ( z ),1] lim ( z 1) 2 lim z 1 z 1 z 1 z 1 2 ze z e e 1 因此 C 2 dz 2i ( ) 2ich1 2 2 z 1
c1 ( z z0 )1 c0 c1 ( z z0 ) ,
( z z0 )m f ( z ) c m c m 1 ( z z0 ) c1 ( z z0 )m 1 c0 ( z z0 )m ,
两边求 m 1阶导数，得
由洛朗展式
sin z 1 z3 z2 f (z) ( z ) 1 z z 3! 3! 知 Re s[ f ( z ),0] c1 0 1 2) f ( z ) 2 在0 | z | 1内解析 z (1 z )
复变函数的洛必达法则与留数定理
复变函数的洛必达法则与留数定理复变函数是数学中的重要概念，它包括实部和虚部，具有一系列独特的性质和定理。
洛必达法则和留数定理是研究复变函数的两个重要工具，它们在计算极限和解析函数的留数时起到了关键的作用。
一、洛必达法则在求解极限问题时，洛必达法则是一种常用的方法。
它适用于形如“0/0”或“∞/∞”的不定型极限。
具体地，假设有两个函数f(x)和g(x)，在一定条件下，若f(x)和g(x)的导数也存在极限，且g'(x)不为0，则有以下公式：lim(x→a) [f(x)/g(x)] = lim(x→a) [f'(x)/g'(x)]这个法则简化了计算复杂极限的过程，使得我们能够更加便捷地求解极限问题。
二、留数定理留数定理是复变函数中解析函数留数的重要工具。
它的基本思想是将解析函数在某一点的泰勒级数展开，然后通过求解级数的某一项系数来求解留数。
具体地，在解析函数f(z)中，设有一个孤立奇点z0，那么f(z)的留数Res[f(z), z=z0]可以通过以下公式计算得到：Res[f(z), z=z0] = c₋₁ / (z - z0) + c₀ + c₁(z - z0) + c₂(z - z0)² + ...其中，c₋₁表示f(z)在z0处的倒数第一项系数。
通过留数定理，我们可以计算解析函数在奇点处的留数，并进一步应用留数定理来求解曲线积分、求解一些不定积分和计算复杂积分问题。
综上所述，洛必达法则和留数定理是处理复变函数问题的有力工具。
它们能够在计算极限和求解解析函数留数时提供帮助，简化计算过程，提高求解效率。
熟练掌握这两个定理，对于深入理解和应用复变函数具有重要意义。
因此，在研究和应用复变函数时，我们需要充分了解洛必达法则和留数定理，善于运用它们来解决实际问题，提升数学思维和分析能力。
最后，复变函数的洛必达法则和留数定理为我们揭示了复变函数的奥妙和特殊性质，为复杂的数学问题提供了解决的途径和思路。
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Ｃ］梁昆淼－数学物理方法［ ・北京 ： ｚ Ｍ］ 高等教育出版
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大 学 生 园地 ・
求 解 留数 的另一 种 方 法
刘 治 国 ，王庆 美
（ 山东 科 技 大 学 理 学 院 ，山东 青 岛 ２ ６ １ ） ６ ５０
摘
要 ： 洛 朗级 数 在 环 形 区域 上展 开推 广 到 复 连通 域 内展 开 ， 到 求 解 留数 的 另一 种 方 法 ， 把 找
一
为 了 避 免 涉 及 在 圆 周 上 函 数 的解 析 性 及 级 数 的
收敛性 的考 虑 问题 ， 现将 外 圆稍稍缩 小 为 Ｃ 肋， 圆稍 内
其 中
一
肋
出．
稍 扩大为 Ｃ 、 ， Ｃ 应用 复
通 域上 的柯西公 式如下 ：
： ＋ ＋
对 于沿 Ｃ 的线积 分 ， 以 圆心 为 ｚ 的某个 。 在 。 环 域上展 开 ，
ｋ＝ Ｏ 一－１
一
∑ 口
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ｚ
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其
一
出
为内 圆
…
志 一 ｃ 卜Ｗ 、 Ｚ 一 Ｚｏ
＜
ｋ Ｏ ＝
包含
且 与其同心 的圆 。
有理 分式反 演 ， 如果像 函数是 有理 分式 ， 只要
ｉ３÷ １３ｃ ｌ一 ＝ ｔ － ￣＋ｓ ｉ Ｉ Ｉ ， ￣ ＝ 。 ：１ 一 － 。ｓ 。 ｎ ｅ＋。 号ｉ￡ ｃ３ ｓ３ ｓ一 ｎ ．
１
一
把有 理分 式分解 成 分项 分 式 ， 然后 据 各 奇 点 的 留
并 分析 了该 求 解 留数 的 方 法在 拉 普 拉 斯 变换 反 演 中的 应 用 。 关 键 词 ： 朗 级 数 ；留数 ； 普拉 斯 变换 反 演 洛 拉 中 图 分 类号 ： ７． Ｏ１ ４ ５ 文 献 标识 码 ： Ａ 文 章编 号 ：０ ６ ７５ （０ ００ —０ ９ —０ １ ０ — ３ ３２ １） １ ０ ４ ３
Ｖｏ． ３ Ｎｏ １ Ｉ２ ．
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１ 代替 ｋ 走＋ ） 作为 求 和指标 ， 分 积
路 径 改为 Ｃ 的逆 时 针方 向 ， 。 则
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则
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逆 时针方 向包 围圆 Ｃ 的任 意一 闭合 回路 。 Ｒ
； ＇ 为 区域 内沿 ＣＲ ２
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逆 时针方 向包 围圆 Ｃ 的任 一闭合 回路 。
证 明
（ Ｚ－ ： ｏ ∑ － ２
一０
Ｌ ＲＯ ＼Ｃ
０，
一
数之 和 ， 即是把 厂 分 成几个 至 多 只含 一个 奇点 （） 的分式 后 ， 在各 自奇点 处展 开 ， 有含 负一 次幂项 所
的系数 之 和 。
社 ， ９ ８： ４６ ． １ ９ ５ —０
参 考 文 献
［ Ｊ梁昆淼．数 学 物理 方 法［ ．北京 ： １ ＭＪ 高等 教 育出 版
第２ ３卷第 １ 期
２１ ０ ０年 ２月
高等 函授 学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｇ ｅ ｒ ｅ ｐ ｎ ｅ ｃ ｕ ａ ｉｎ Ｎａｕ ａ ｉｎ ｅ ） ｏ ｒ ａ ｆＨｉｈ ｒＣｏ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｅＥｄ ｃ ｔ （ ｔ ｒ ｌ ｅ ｃ ｓ ｏ Ｓｃ
Ｖｏ ． ３ Ｎｏ １ １２ ．
９ ４
第２ ３卷第 １期
２１ ０ ０年 ２月
高 等 函授学报 （ 自然科 学 版）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨｉｈ ｒＣｏ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｅ Ｅｄ ｃ ｔ ｎ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｓ ｏ ｒ ａ ｇ ｅ ｒ ｅ ｐ ｎ ｅ ｃ ｕ ａ ｉ （ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ ） ｏ ｏ
假设 Ｆ ｚ （ ）在 图示 区域 内单值 解 析 ， 则 在 区域 内一点 可 以展开为幂 级 数如下 ：
下面将÷ ｆ
—
ｚ
展开成幂级数 。 对于沿 Ｃ 的积
分 ， 圆心 临域 内展 开 ， 在
厂） （ ＝∑ｎ ２ ｏ ＋∑ｂｚ ）＋ 一Ｚ （ ） — （
（ － ￣ ）ｌ Ｚ ｎＪ ，
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ｚ 古 一墓（ ２、 ＜‘ 茎以得 ～ — ）’一 ・ 即可 到 ： 一 。 。 一 州 、 氅
令 一一 （： １ 代替 ｋ 作 为求 和 指标 ， 是＋ ） 。 积
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对 于沿 Ｃ 的积 分 ， 以圆心为 ｚ 的某 个环 。 在 ： 域 内展 开 ， 理可 得 同
故 ： 奇点 的留数之 和 即是把 ，（ ） 各 分成 几个 至 多只含 一个奇点 的分 式后 ， 在各 自奇点 处展 开 ， 所有含 负一 次幂项 的系数 之 和 。
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收 稿 日期 ： ０ ９ １ — １ ． ２０— ０ ９
作 者 简介 ：刘 治 国 （９ ９ ） 男 ， １ ８ ～ ， 山东 滕 州 人 ，０ ７ 应 用 物 理 专 业 在 校 生 ２０ 级 王庆美（９７， ， １８ ） 男 山东 聊 城 人 ，０ ７级应 用物 理 学 专 在 校 生 ． ２０
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别 紧 紧包 围着 ｚ ， … ， ． 。ｚ ，
９５
第２ ３卷第 １ 期
２ｌ ０ ０年 ２月
高等 函授学 报（ 自然科学 版）
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据 推 广的约 当引理 可得 拉普拉 斯 变换 的反演
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此结 论可 以拓展 到有 Ｎ 个 极点 的 区域 。 对 于沿 Ｃ 的积 分 ， 在圆心 乙 临域 内展 开 ，