(优选)2019年高中数学第一章坐标系三简单曲线的极坐标方程优化练习新人教A版选修4-4

三 简单曲线的极坐标方程
[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．极坐标方程cos θ＝2
2
(ρ≥0)表示的曲线是( ) A ．余弦曲线 B ．两条相交直线 C ．一条射线 D ．两条射线
解析：∵cos θ＝
22，∴θ＝±π
4
＋2k π(k ∈Z)． 又∵ρ≥0，∴cos θ＝2
2
表示两条射线． 答案：D
2．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是( ) A ．2 B. 2 C ．1
D.22
解析：将极坐标方程化为直角坐标方程为：
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋y 2＝14， x 2＋⎝
⎛⎭
⎪⎫
y －12
2＝14
，
所以两圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12， 故两圆的圆心距为22
. 答案：D
3．在极坐标系中，点F (1,0)到直线θ＝π
6(ρ∈R)的距离是( )
A.12
B.22
C ．1
D. 2
解析：因为直线θ＝π6(ρ∈R)的直角坐标方程为y ＝3
3
x ，即x －3y ＝0，
所以点F (1,0)到直线x －3y ＝0的距离为1
2.
答案：A
4．直线θ＝π
4
(ρ∈R)与圆ρ＝2cos θ的一个公共点的极坐标为( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫1，π4
B.⎝
⎛⎭⎪⎫1，π2
C.⎝
⎛⎭⎪⎫2，π4 D.⎝
⎛⎭⎪⎫2，－π4
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧
θ＝π4，
ρ＝2cos θ得⎩⎪⎨⎪⎧
θ＝π4，
ρ＝2，
故选C.
答案：C
5．在极坐标系中，过点A (6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为( ) A ．2 B ．6 C ．2 3
D ．215
解析：如图，切线长为42
－22
＝2 3.
答案：C
6．圆ρ＝4(cos θ－sin θ)的圆心的极坐标是________． 解析：将极坐标方程化为直角坐标方程，得(x －2)2
＋(y ＋2)2
＝8， 故圆心坐标为(2，－2)，其极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4.
答案：⎝
⎛⎭⎪⎫22，7π4
7．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝
________.
解析：由圆的极坐标方程ρ＝4cos θ，得直角坐标方程为： (x －2)2
＋y 2
＝4，
由P 极坐标⎝
⎛⎭⎪⎫4，π3得直角坐标P (2,23)，
又C (2,0)，所以|CP |＝
－
2
＋3－
2
＝2 3.
答案：2 3
8．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．
解析：由公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线2ρcos θ＝1的直角坐标方程为2x ＝1， 圆ρ＝2cos θ⇒ρ2
＝2ρcos θ的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－2x ＝0⇒(x －1)2
＋y 2
＝1， 由于圆心(1,0)到直线的距离为1－12＝1
2，所以弦长为2
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
＝ 3. 答案： 3
9．进行直角坐标方程与极坐标方程的互化： (1)y 2
＝4x ；(2)x 2
＋y 2－2x －1＝0.
解析：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2
＝4x ， 得(ρsin θ)2
＝4ρcos θ. 化简，得ρsin 2θ＝4cos θ.
(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2
＋x 2
－2x －1＝0， 得(ρsin θ)2
＋(ρcos θ)2
－2ρcos θ－1＝0， 化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.
10．在极坐标系中，直线l 的方程是ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1，求点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6到直线l 的距离． 解析：点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6的直角坐标为(3，－1)．
直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1可化为 ρsin θ·cos π6－ρcos θ·sin π
6＝1，
即直线l 的直角坐标方程为x －3y ＋2＝0. ∴点P (3，－1)到直线x －3y ＋2＝0的距离为
d ＝
|3＋3＋2|1＋－3
2
＝3＋1.
故点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6到直线ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离为3＋1. [B 组 能力提升]
1．极坐标方程4ρsin 2
θ
2
＝5表示的曲线是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线
D ．抛物线
解析：∵sin
2
θ2＝1
2
(1－cos θ)， 原方程化为2ρ(1－cos θ)＝5， ∴2ρ－2ρcos θ＝5，
即2x 2
＋y 2
－2x ＝5，平方化简，得
y 2＝5x ＋254
，它表示的曲线是抛物线，故选D.
答案：D
2．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为( ) A ．x 2
＋(y ＋2)2
＝4 B ．x 2＋(y －2)2
＝4 C ．(x －2)2
＋y 2
＝4
D ．(x ＋2)2
＋y 2
＝4
解析：将ρ＝4sin θ两边乘以ρ，得ρ2
＝ρ·4sin θ，再把ρ2
＝x 2
＋y 2
，ρ·sin θ＝y ，代入得x 2
＋y 2
－4y ＝0，即x 2
＋(y －2)2
＝4.故选B.
答案：B
3．在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，点Q 是圆ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3上的动点，则|PQ |的最
小值是________．
解析：已知圆的圆心为C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，53π，半径为1，将点P 、C 的极坐标化为直角坐标为P (－1，
3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2
，－32.
由圆的几何性质知，|PQ |的最小值应是|PC |减去圆的半径， 即|PQ |min ＝|PC |－1 ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－122＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫3＋322－1 ＝3－1＝2. 答案：2
4．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，则实数a ＝________.
解析：由ρ＝2cos θ得ρ2
＝2ρcos θ, ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ρ2
＝x 2
＋y 2
.
∴圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0的直角坐标方程分别为x 2
＋y 2
＝2x,3x ＋4y ＋a ＝0.
将圆的方程配方得(x －1)2＋y 2
＝1， 依题意得，圆心C (1,0)到直线的距离为1， 即|3＋a |32
＋4
2
＝1，
整理，得|3＋a |＝5，解得a ＝2或a ＝－8. 答案：2或－8
5．从极点作圆ρ＝2a cos θ(a ≠0)的弦，求各弦中点的轨迹方程． 解析：设所求轨迹上的动点M 的极坐标为(ρ，θ)，圆ρ＝2a cos θ(a ≠0)
上相应的弦为端点(非极点)的极坐标为(ρ1，θ1)，如图所示为a ＞0的情形，
由题意，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
θ1＝θ，ρ1＝2ρ.
∵ρ1＝2a cos θ1，∴2ρ＝2a cos θ， ∴ρ＝a cos θ即为各弦中点的轨迹方程， 当a ＜0时，所求结果相同．
6．在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ＝2sin θ与C 2：ρcos θ＝－1(0≤θ<2π)，求： (1)两曲线(含直线)的公共点P 的极坐标；
(2)过点P ，被曲线C 1截得的弦长为2的直线的极坐标方程．
解析：(1)由⎩
⎪⎨
⎪⎧ x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ得曲线C 1：ρ＝2sin θ与C 2：ρcos θ＝－1(0≤θ<2π)
的直角坐标方程分别为x 2
＋y 2
＝2y ，x ＝－1.
联立方程组，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1，
y ＝1.
由⎩
⎪⎨⎪
⎧
ρ2＝x 2＋y 2
，tan θ＝y x x ，
得点P (－1,1)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4.
(2)
方法一 由上述可知，曲线C 1：ρ＝2sin θ即圆x 2
＋(y －1)2
＝1，如图所示，过P (－1,1)，
被曲线C 1截得的弦长为2的直线有两条：一条过原点O ，倾斜角为3π
4
，直线的直角坐标方程为
y ＝－x ，
极坐标方程为θ＝3π
4
(ρ∈R)；
另一条过点A (0,2)，倾斜角为π
4，直线的直角坐标方程为y ＝x ＋2，极坐标方程为ρ(sin θ
－cos θ)＝2，
即ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2. 方法二 由上述可知，曲线C 1：ρ＝2sin θ即圆x 2＋(y －1)2
＝1，过点P ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2，
3π4，被曲线C 1截得的弦长为2的直线有两条：一条过原点O ，倾斜角为3π4，极坐标方程为θ＝3π
4(ρ∈
R)；另一条倾斜角为π4，极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4
－π4，
即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.。