北师大版高中数学必修一指数函数的概念同步练习(1)
最新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()()2log 2xf x m =+，则满足函数()f x 的定义域和值域都是实数集R 的实数m 构成的集合为 （ ） A ．{}|0m m =B ．{}0|m m ≤C ．{}|0m m ≥D ．{}|1m m =2．已知函数2()log x f x =，在[116，m ]上的值域为[0，4]，2m f ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围是（ ） A ．[1,2]B ．[0,2]C ．[1,3]D ．[0,3]3．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，页常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数()22xy xx R =-∈的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．函数()()221lg 21xxx f x -=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数3()22x f x =+，则111357(1)432234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．212 B ．214C ．7D ．1526．已知235log log log 0x y z ==<，则2x 、3y 、5z的大小排序为 A ．235x y z<< B ．325y x z << C ．523z x y<< D ．532z y x<< 7．函数2y 34x x =--+ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 8．已知函数()2,01,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若()()10f a f +=，则实数a 的值等于（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．39．设()lg (21)fx x a =-+是奇函数，则使f(x)<0的x 的取值范围是( )．A ．(－1,0)B ．(0, 1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)10．函数()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()1+∞， B ．()01，C ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．()3+∞， 11．函数2ln 8x y x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．计算log 916·log 881的值为（ ） A ．18B ．118C ．83D ．38二、填空题13．已知21()1,()log 2xf xg x x m ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，若()()1212[1,3],[1,3],x x f x g x ∀∈∃∈≥，则实数m 的取值范围是_______.14．已知函数2223,1,()log (6),1x mx x f x x m x ⎧---≤=⎨+>⎩在(,)-∞+∞上是单调函数，则m 的取值范围是__.15．函数()()()212log 24f x ax x a R =-+∈，若()f x 的值域为(],1-∞，则a 的值为______.16．已知函数1(2)1,2(),2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩，在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是_______．17．已知1a b >>，若10log log 3a b b a +=，b a a b =，则ab =___________.18．32a b-=________（其中0a >，0b >）19．设实数x 满足01x <<，且2log 4log 1x x -=，则x =______.20．设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是_______________.三、解答题21．已知()11,04ln 1,?4x f x a x x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩（1）若函数()f x 在21,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为2，求a 的值；（2）若25a =，求不等式()1f x <的解集. 22．已知函数()2221log 2m x f x x -=-（0m >且1m ≠）（1）求()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（3）若关于x 的方程()1log m f x x =+有解，求m 的取值范围. 23．设函数()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠． （1）求函数()f x 的定义域（2）若(1)2f =，求函数()f x 在区间3[0,]2上的最大值． （3）解不等式：log (1)log (3)a a x x +>-． 24．已知函数21()log 1x f x x +=-. （1）求函数()f x 的定义域并证明该函数是奇函数；（2）若当(1,)x ∈+∞时，2()()log (1)g x f x x =+-，求函数()g x 的值域.25．已知函数()1,02,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩（Ⅰ）求()()()1ff f -的值；（Ⅱ）画出函数()f x 的图象，根据图象写出函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，求x 的取值范围．26．已知函数214()log (238)f x mx x m =-+. （Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 在1[,2]2上的值域；（Ⅱ）若函数()f x 在(4,)+∞上单调递减，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】若定义域为实数集R ，则20x m +>对于x ∈R 恒成立，可得0m ≥，若值域为实数集R ，令2x t m =+，则2log y t = 此时需满足2x t m =+的值域包括()0,∞+，可得0m ≤，再求交集即可. 【详解】若()()2log 2xf x m =+定义域为实数集R ，则20x m +>对于x ∈R 恒成立，即2x m >-对于x ∈R 恒成立， 因为20x >，所以20x -<，所以0m ≥， 令2x t m =+，则2log y t =若()()2log 2xf x m =+值域为实数集R ，则2x t m =+的值域包括()0,∞+， 因为t m >，所以0m ≤， 所以0m =， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是要找到定义域为R 的等价条件即20x m +>对于x ∈R 恒成立，分离参数m 求其范围，值域为R 的等价条件即2x t m =+可以取遍所有大于0的数，由t m >，所以0m ≤，再求交集.2．D解析：D 【分析】由对数函数的单调性可得[]1,16m ∈，再结合对数函数的性质即可得解. 【详解】由题意，函数2()log x f x =在(]0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增， 且()116416f f ⎛⎫==⎪⎝⎭，()10f =， 结合该函数在1,16m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,4]可得[]1,16m ∈， 所以1,822m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]2lo 2g 0,32m m f ⎛⎫= ⎪⎝∈⎭.故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由对数函数的图象变换及单调性确定[]1,16m ∈，即可得解.3．A解析：A 【分析】分析函数()()22xf x xx R =-∈的奇偶性，结合()01f =可得出合适的选项.【详解】令()22=-xf x x ，该函数的定义域为R ，()()()2222xxf x x x f x --=--=-=，函数()22=-xf x x 为偶函数，排除B 、D 选项；又()010f =>，排除C 选项. 故选：A. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．B解析：B 【分析】求出函数()f x 的定义域，分析函数()f x 的奇偶性及其在区间()0,1上的函数值符号，进而可得出合适的选项. 【详解】 函数()()221lg 21xxx f x -=+的定义域为{}0x x ≠，()()()()()()()22221lg 221lg 12lg 2112221xx x xx xxxx x x f x f x ---------====-+++，函数()f x 为奇函数，当01x <<时，201x <<，则2lg 0x <，210x ->，210x +>，()0f x ∴<.因此，函数()f x 的图象如B 选项中的图象. 故选：B. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）从函数的特征点，排除不合要求的图象.5．B解析：B 【分析】先利用解析式计算3()(2)2f x f x +-=，再计算和式即可得到结果. 【详解】 因为3()22x f x =+，所以2332(2)22224xx x f x -⋅-==+⋅+，()3323()(2)222222x x x f x f x ⋅+-=+=++. 故1113573321(1)34322342224f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=⨯+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题解题关键是通过指数式运算计算3()(2)2f x f x +-=，再配对求和即解决问题. 6．A解析：A 【解析】x y z ，， 为正实数，且235log log log 0x y z ==<，111235235k k k x y z ---∴===，，，可得：1112352131,51k kk x y z ---=>=>=>，． 即10k -> 因为函数1kf x x -=（） 单调递增，∴235x y z<<.故选A.7．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<<故选C8．A解析：A 【分析】先求得()1f 的值，然后根据()f a 的值，求得a 的值. 【详解】由于()1212f =⨯=，所以()()20,2f a f a +==-，22a =-在()0,∞+上无解，由12a +=-解得3a =-，故选A.【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查已知分段函数值求自变量，属于基础题.9．A解析：A 【解析】 试题分析：由()lg (21)fxx a =-+为奇函数，则()()f xf x-=-，可得1a =-，即()lg 11f x x x =+-，又()0f x<，即lg110xx+-<，可变为0111x x <+-<，解得10x -<<．考点：函数的奇偶性，对数函数性质，分式不等式．10．D解析：D 【分析】由题意可得可得1a >，且30a ->，由此求得a 的范围． 【详解】 解：函数()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，而函数()3t x ax =-在[]13，上单调递增，根据复合函数的单调性可得1a >，且30a ->，解得3a >，即()3a ∈+∞，故选：D ． 【点睛】本题主要考查对数函数的定义域、单调性，复合函数的单调性，属于基础题．11．D解析：D 【分析】先根据偶函数性质排除B ，再考虑当0x >且0x →时，y →+∞，排除A.再用特殊值法排除C ，即可得答案. 【详解】解：令()2ln 8x f x y x ==-，则函数定义域为{}0x x ≠ ，且满足()()f x f x -=，故函数()f x f (x )为偶函数，排除选项B ； 当0x >且0x →时，y →+∞，排除选项A ；取特殊值x =1ln 1ln 0y e =-<-=，排除选项C. 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数解析式选函数图象问题，考查函数的基本性质，是中档题.12．C解析：C 【分析】根据对数的运算性质，换底公式以及其推论即可求出．【详解】原式＝23443232448log 2log 3log 2log 3233⋅=⋅=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查对数的运算性质，换底公式以及其推论的应用，属于基础题．二、填空题13．【分析】求出函数在上的最值最后根据题意列出不等式进行求解即可【详解】当时因此；当时因此因为所以有即故答案为：【点睛】本题考查了求指数型函数和对数型函数的最小值考查了存在性和任意性的概念的理解考查了数解析：9,8⎛⎤-∞⎥⎝⎦【分析】求出函数(),()f x g x 在[1,3]x ∈上的最值，最后根据题意列出不等式进行求解即可. 【详解】当[1,3]x ∈时，11[,1]28x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此9()[,2]8f x ∈；当[1,3]x ∈时，22(log )[0,log 3]x ∈，因此2()[,log 3]g x m m ∈+， 因为()()1212[1,3],[1,3],x x f x g x ∀∈∃∈≥，所以有min min ()()f x g x ≥， 即9988m m ≥⇒≤. 故答案为：9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查了求指数型函数和对数型函数的最小值，考查了存在性和任意性的概念的理解，考查了数学运算能力.14．【分析】根据对数部分函数为单调递增所以整个函数为递增函数两段函数各自递增且左段的右端点小于等于右段的左端点即可求得的取值范围【详解】函数在上是单调函数因为当时为增函数所以整个函数在上是单调递增函数因 解析：[5,4]--【分析】根据对数部分函数为单调递增,所以整个函数为递增函数.两段函数各自递增,且左段的右端点小于等于右段的左端点,即可求得m 的取值范围. 【详解】函数2223,1,()log (6),1x mx x f x x m x ⎧---≤=⎨+>⎩在(,)-∞+∞上是单调函数因为当1x >时, 2()log (6)f x x m =+为增函数,所以整个函数在(,)-∞+∞上是单调递增函数因而满足60x m +>对1x >恒成立,则6m ≥-. 当1x ≤时,2()23f x x mx =---为增函数,则14m -≥ 即2614(1)log (6)m mf m ≥-⎧⎪⎪-≥⎨⎪≤+⎪⎩,即2645log (6)0m m m m ≥-⎧⎪≤-⎨⎪+++≥⎩因为2()5log (6)g x x x =+++在(6,)-+∞为增函数,且(5)0g -=, 所以5m ≥-.综上可知54m -≤≤-,即[5,4]m ∈-- 故答案为:[5,4]-- 【点睛】本题考查了分段函数的单调性判断,根据函数单调性求参数的取值范围,属于中档题.15．【分析】根据对数的性质可知且最小值为即可求得的值【详解】因为的值域为所以函数的最小值为即解得故答案为：【点睛】本题考查对数函数的值域考查对数的性质合理转化是解题的关键考查了运算能力属于中档题 解析：27【分析】根据对数的性质可知2240y ax x =-+>，且最小值为1，即可求得a 的值.【详解】因为()()()212log 24f x ax x a R =-+∈的值域为(],1-∞，所以2240ax x -+>， 函数224y ax x =-+的最小值为12，即()20442142a a a >⎧⎪⎨⨯--=⎪⎩，解得27a =，故答案为：27【点睛】本题考查对数函数的值域，考查对数的性质，合理转化是解题的关键，考查了运算能力，属于中档题.16．【分析】根据分段函数单调性列出各段为增函数的条件并注意两段分界处的关系即可求解【详解】函数在R 上单调递增则需满足（1）当时函数单调递增；则（2）当时函数单调递增；则(3)函数在两段分界处满足即所以满 解析：23a <≤【分析】根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解. 【详解】函数1(2)1,2(),2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩，在R 上单调递增则需满足（1）当2x <时，函数()f x 单调递增；则2a > （2）当2x ≥时，函数()f x 单调递增；则1a >(3)函数()f x 在两段分界处2x =，满足()21221a a --⨯+≤，即3a ≤所以满足条件的实数a 的范围是23a <≤ 故答案为：23a <≤ 【点睛】关键点睛：本题考查由函数的单调性求参数范围，解答本题的关键是分段函数在上单调递增，从图象上分析可得从左到右函数图象呈上升趋势，即函数()f x 在[)2+∞，上的最小值大于等于函数在(),2-∞上的最大值.则()21221a a --⨯+≤，这是容易忽略的地方，属于中档题.17．9【分析】由对数的运算性质解并整理得由可求出的值【详解】解：整理得解得或因为所以则即因为所以所以解得或因为所以所以所以故答案为：9【点睛】关键点睛：本题主要考查对数运算和指数运算解题的关键是由得出再解析：9 【分析】由对数的运算性质解10log log 3a b b a +=并整理得3a b =，由b a a b =可求出,a b 的值. 【详解】解：110log log log log 3a b b b b a a a +=+=，整理得()23log 10log 30b b a a -+=， 解得log 3b a =或13，因为1a b >>，所以log 1b a >，则log 3b a =，即3a b =，因为b a a b =，所以33b b b b =，所以33b b =，解得b =0，因为1b >，所以b =所以3a ==，所以9ab ==. 故答案为：9. 【点睛】关键点睛：本题主要考查对数运算和指数运算，解题的关键是由10log log 3a b b a +=得出3a b =，再根据指数运算求解.18．【分析】根据指数幂的运算法则即可求解【详解】根据指数幂的运算法则可得故答案为：【点睛】指数幂运算的一般原则：（1）由括号的先算括号里的无括号的弦做指数运算；（2）弦乘除后加减负指数幂化为正指数幂的倒 解析：a【分析】根据指数幂的运算法则，即可求解. 【详解】212132()33113322a b aa a ba b----⨯===.故答案为：a . 【点睛】指数幂运算的一般原则：（1）由括号的先算括号里的，无括号的弦做指数运算； （2）弦乘除后加减，负指数幂化为正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来求解.19．【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为解方程求得或进而结合的范围求得结果【详解】即解得：或或故答案为：【点睛】本题考查对数方程的求解问题涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应解析：14【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为222log 1log x x-=，解方程求得2log 2x =-或2log 1x =，进而结合x 的范围求得结果.【详解】22log 42log 2log x x x ==2222log 4log log 1log x x x x∴-=-= 即()222log log 20x x +-=，解得：2log 2x =-或2log 1x = 14x ∴=或2x = 01x << 14x ∴=故答案为：14【点睛】本题考查对数方程的求解问题，涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应用能力.20．【分析】根据分段函数分段解不等式最后求并集【详解】当时因为解得：∴当时解得：所以综上原不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式涉及指数与对数运算属于基础题 解析：[0,)+∞【分析】根据分段函数，分段解不等式，最后求并集. 【详解】当1x ≤时，1()2xf x -=，因为11x -≤，解得：0x ≥，∴01x ≤≤ ，当1x >时，2()1log 2f x x =-≤，2log 1x ≥-，解得：12x ≥，所以1x >， 综上，原不等式的解集为[)0,+∞. 故答案为：[)0,+∞. 【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式，涉及指数与对数运算，属于基础题.三、解答题21．（1）49a =；（2）()220,4,3e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）由函数ln 1y x =-在(24,e ⎤⎦上是增函数且max 1y =，故根据题意得函数111,42y x a x =-<≤的最大值为2，再根据函数单调性即可得1124a -=，解得49a =. （2）根据题意得()51,042ln 1,?4x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩，进而分045112x x<≤⎧⎪⎨-<⎪⎩或ln 114x x -<⎧⎨>⎩两种情况求解即可得答案. 【详解】解：（1）因为函数ln 1y x =-在(24,e ⎤⎦上是增函数， 所以2max ln 11y e =-=，因为函数()f x 在21,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为2，所以函数111,42y x a x =-<≤的最大值为2， 由于函数111,42y x a x =-<≤是增函数， 所以1124a -=，解得：49a =. （2）当25a =时，()51,042ln 1,?4x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩，所以045112x x <≤⎧⎪⎨-<⎪⎩或ln 114x x -<⎧⎨>⎩，解得203x <<或24x e <<.故若25a =，求不等式()1f x <的解集为()220,4,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查分段函数与对数函数的性质，考查分类讨论思想与运算求解能力，是中档题.本题第一问解题的关键在于注意到函数ln 1y x =-在(24,e ⎤⎦上是增函数且max 1y =，进而将问题转化为函数111,42y x a x =-<≤的最大值为2求解，第二问的解题核心是分类讨论. 22．（1）()1log 1m x f x x+=-；（2）()f x 为奇函数，理由见解析；（3）3m ≥+. 【分析】（1）令21t x =-，采用换元法求解函数解析式；（2）先确定函数的定义域，再由函数奇偶性的定义判断即可； （3）由条件可转化为()11x m x x +=-在()0,1x ∈上有解问题即可.【详解】（1）令21t x =-，则21x t =+，则()()11log log 211m mt t f t t t++==-+-， 所以()1log 1m x f x x+=-； （2）由101xx+>-得11x -<<， 又()()()11log log 11mm x xf x f x x x---===---+，所以()f x 为定义域上的奇函数；（3）由110x x -<<⎧⎨>⎩得01x <<，又1log 1log log 1mm m x x mx x +=+=-，11x mx x+=-在()0,1x ∈上有解， ()11x m x x +=-，令()11,2u x =+∈，2132323t m u u u u ==≥=+-+-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，当且仅当u =,所以3m ≥+.【点睛】 易错点睛：（1）判断函数的奇偶性一定不要忘记先判断定义域是否关于原点对称； （2）利用基本不等式求解范围，一定要注意满足“一正二定三相等”的条件. 23．（1）(1,3)-；（2）2；（3）答案见解析. 【分析】（1）由1030x x +>⎧⎨->⎩得解定义域（2）由(1)2f =求得2a =．化简 22()log (1)4f x x ⎡⎤=--+⎣⎦，求得函数单调性得解（3）分类1a >和01a <<讨论得解 【详解】（1）由1030x x +>⎧⎨->⎩得13x ，所以函数()f x 的定义域为(1,3)-．（2）因为(1)2f =，所以log 42(0,1)a a a =>≠，所以2a =．22222()log (1)log (3)log [(1)(3)]log (1)4f x x x x x x ⎡⎤=++-=+-=--+⎣⎦，所以当(1,1]x ∈-时，()f x 是增函数；当(1,3)x ∈时，()f x 是减函数， 故函数()f x 在(1,3)-上的最大值是2(1)log 42f ==． （3）当1a >时1330x x x +>-⎧⎨->⎩解得13x x >⎧⎨<⎩不等式解集为：{|13}x x <<当01a <<时1310x xx +<-⎧⎨+>⎩解得11x x <⎧⎨>-⎩不等式解集为：{|11}x x -<<【点睛】简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数a 的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按1a >和01a <<进行分类讨论．24．（1）{1x x <-或}1x >，证明见解析；（2）()1,+∞. 【分析】（1）本题首先可通过求解101xx +>-得出函数()f x 的定义域，然后通过()()f x f x -=-证得函数()f x 是奇函数；（2）本题可根据题意将函数转化为2()log (1)g x x =+，然后通过当1x >时2log (1)1x +>即可求出函数()g x 的值域.【详解】（1）因为函数21()log 1x f x x +=-， 所以101xx +>-，解得1x <-或1x >， 则函数的定义域为{1x x <-或}1x >，且定义域关于原点对称， 因为222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+-===-=---+-， 所以函数()f x 为奇函数.（2）22221l ()()log (1)log (1)log (1)og 1g x x x f x x x x +=+-==-+-+， 当1x >时，22log (1)log 21x +>=，函数2()log (1)g x x =+是增函数， 故当(1,)x ∈+∞时，()1g x >，函数()g x 的值域为()1,+∞. 【点睛】方法点睛：判断或证明函数奇偶性，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称，然后通过()()f x f x -=-判断函数是奇函数或者通过()()f x f x -=判断函数是偶函数. 25．（Ⅰ）2；（Ⅱ）图象见解析，单调递增区间为(),-∞+∞；（Ⅲ）14x >-． 【分析】（Ⅰ）依次求出()1f -，()()1ff -，()()()1f f f -即可（Ⅱ）根据函数解析式即可画出图象，根据图象即可得出单调区间； （Ⅲ）分段讨论可解出不等式. 【详解】解：（Ⅰ）()1110f -=-+=，所以()()1011ff -=+=， 所以()()()1122f f f -==；（Ⅱ）函数图象如下：由图可知，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间； （Ⅲ）①当0x ≤时，102x -≤， 所以()1f x x =+，1111222f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()132122f x f x x ⎛⎫+-=+> ⎪⎝⎭，解得14x >-， 所以014x -<≤； ②当102x <≤时，102x -<， 所以()2xf x =，1111222f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()112122xf x f x x ⎛⎫+-=++> ⎪⎝⎭显然成立， 所以102x <≤符合题意； ③当12x >时，102x ->， 所以()2xf x =，12122x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()1212212x xf x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+-=+> ⎪⎝⎭显然成立，所以12x >符合题意， 综上所述：x 的取值范围为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点睛：本题考查函数不等式的求解，解题的关键是分段讨论x 的取值范围，根据不同范围函数的解析式求解. 26．（Ⅰ）114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）3,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（Ⅰ）把1m =代入，可得()122()log 238f x x x =-+，令2238y x x =-+，求出其在1[,2]2上的值域，利用对数函数的单调性即可求解. （Ⅱ）根据对数函数的单调性可得2()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增，再利用二次函数的图像与性质可得0,34,4(4)0,m m g >⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩解不等式组即可求解. 【详解】（Ⅰ）当1m =时，()122()log 238f x x x =-+， 此时函数()f x 的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.因为函数2238y x x =-+的最小值为242835588⨯⨯-=. 最大值为22232810⨯-⨯+=，故函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）因为函数14log y x =在(0,)+∞上单调递减，故2()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增，则0,34,4(4)0,m m g >⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩ 解得310m ≥，综上所述，实数m 的取值范围3,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性求值域、利用对数型函数的单调区间求参数的取值范围以及二次函数的图像与性质，属于中档题.。
北师大版高中数学必修1指数函数 同步练习
指数函数 同步练习1.函数f (x )=(1+a x )2a -x (a ＞0且a ≠1)是( )A.是奇函数但不是偶函数B.是偶函数但不是奇函数C.既不是奇函数又不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数2.函数)3)(1()12(x x y -+-=的单调递增区间是( )A.(1，+∞)B.(-∞，1)C.(1，3)D.(-1，1)3.若-1＜x ＜0，则下列不等式中成立的是( )A.5-x ＜5x ＜0.5xB.5x ＜0.5x ＜5-xC.5-x ＜5-x ＜0.5xD.0.5x ＜5x ＜5x4.下列函数中的指数函数为(填序号) .①y =x 2②y =8x ③y =(2a -1)x (a ＞21且a ≠1)④y =(-4)x ⑤y =πx ⑥1225+=x y ⑦y =x x ⑧y =-10x .5.比较大小①341.0-6.函数63223+-=x x y 的递减区间是 .强化训练1.下列关系式正确的是( ) A.313232)21()51()21( B. 323231)51()21()21( C. 323132)21()21()51(D. 313232)21()21()51( 2.若a 、b 满足0＜a ＜b ＜1，则下列不等式中成立的一个是( )A.a a ＜a bB.b A ＜ b bC.a a ＜b aD.b v ＜a b3.根据下列条件确定正数a 的取值范围，①a -0.3＜a 0.2 ②a 7.5＜a 3.9 ③17 a ④a a 32 .4.若x a a a x f x x 当且)10()(652≠=+- ∈ ，f (x )为减函数.5.函数xy -=1)21(的单调性为 .6.函数12225.0+-=x x y 的值域是 . 7.比较2122255++x x 与的大小.8.已知1)21(22+=+--x x y ，求其单调区间并说明在每一单调区间上是增函数还是减函数.9.已知函数3)21121()(x x f x +-=,(1)求f (x )的定义域；(2)讨论f (x )的奇偶性；(3)证明f(x)＞0.参考答案：1.B2.A3.B4.②③⑤5.＞，＜6.（-∞,43）强化训练1.D2.C3.①a ＞1,②0＜a ＜1,③0＜a ＜1,④a ＞14.当ａ＞1时：ｘ∈（－∞,25），或当０＜ａ＜１时，ｘ∈［25，＋∞］.5.增函数 6.（0，2）7.x ＞1或x ＜-1时，有2122255++x x -1＜x ＜1时,有2122255++x x 当x =±1时， 2122255++=x x 8.1)21(22+=+--x x y 在[-2,-]21上是减函数，在［]21-，1］上是增函数. 9.(1)(-∞，0)∪(0，+∞). (2)偶函数.(3)证明略。
新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试(包含答案解析)(1)
一、选择题1．定义：若函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ，且,A B 两点关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”，点对(),A B 与(),B A 看作同一对“镜像点对”，已知函数()23,02,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，则该函数的“镜像点对”有（ ）对.A ．1B ．2C ．3D ．42．若实数a ，b ，c 满足232log log ab c k ===，其中()1,2k ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．b c a b >B ．log log a b b c >C ．log b a c >D ．b a c b >3．已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R ．则实数a 的取值范围是（ ） A ．5[1,]3B ．5(1,]3C ．(]5,1(,)3-∞-⋃+∞D ．()5,1[1,)3-∞-4．已知函数||()2x f x =，记131(())4a f =，37(log )2b f =，13(log 5)c f =，则a ，b，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c a b >>5．若13log 2a =，131()2b =，2log 3c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．b a c << B ．b c a << C ．a b c << D ．c b a <<6．函数1()1x f x a +=-恒过定点（ ）A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,0)-D ．(1,1)--7．设函数()21xf x =-，c b a <<，且()()()f c f a f b >>，则22a c +与2的大小关系是（ ） A ．222a c +> B ．222a c +≥ C ．222a c +≤D ．222a c +<8．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当(],1-∞时，函数()f x 单调递减，设()41331=log ,log 3,92a f b f c f log ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<9．函数()log (2)a f x ax =-（0a >且1a ≠）在[]0,3上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)3,+∞ 10．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，131(())4a f =，37(log )2b f =，13(log 5)c f =，则a ，b，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>11．函数213()log 4f x x =-的单调减区间是（ ）A ．(]()2,02,-+∞B ．(]2,0-和(2,)+∞ C ．(),20,2[)-∞-D ．(,2)-∞-和[0,2)12．如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知a b c 、、是不为1的正数，且0lga lgb lgc ++=，则 111111lgb lgclgc lgalga lgbabc+++⨯⨯的值为_____14．已知函数f (x )＝3x ＋x ，g(x )＝log 3x ＋2，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是________.15．已知函数22()log ()f x ax x a =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是_________ 16．若函数()()20.2log 1f x kx kx =-+的定义域是R ，则实数k 的取值范围是______.17．已知2312a b ==，则21a b+=_______． 18．已知2336m n ==，则11m n+=______． 19．关于下列命题：①若函数2x y =的定义域是{}|0x x ≤，则它的值域是{}|1y y ≤②若函数1y x =的定义域是{}|2x x >，则它的值域是12y y ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ ③若函数2yx 的值域是{}|04y y ≤≤，则它的定义域可能是{}|22x x -≤≤④若函数2log y x =的值域是{}|3y y ≤，则它的定义域是{}|8x x ≤其中不正确的命题的序号是________.（注：把你认为不正确的命题的序号都填上）20．函数22()log (2)f x x x =--的单调递增区间是_____________．三、解答题21．已知函数()log (31)a f x x =+，()log (13)a g x x =-(0a >且1)a ≠． （1）求()()()F x f x g x =-的定义域； （2）判断函数()F x 的奇偶性；（3）若()()0f x g x ->，求x 的取值范围．22．已知函数()x x f x a k a -=-⋅（0a >且1a ≠）是定义域为R 的奇．函数，且3(1)2f =. （1）求k 的值，并判断()f x 的单调性（不要求证明）； （2）是否存在实数()2,3mm m >≠，使函数()()22(2)log 1x xm g x a a mf x --⎡⎤=+-+⎣⎦在[]1,2上的最大值为0？如果存在，求出实数m 所有的值；如果不存在，请说明理由. 23．已知函数()421()x x f x a a R =-+⋅-∈. （1）当1a =时，求()f x 的值域； （2）若()f x 在区间[]1,0-的最大值为14-，求实数a 的值. 24．已知函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，且(4)(2)1f f -=. （1）求函数()f x 的表达式；（2）判断函数()(2)(2)g x f x f x =++-的奇偶性，并说明理由. 25．分别计算下列数值：（1）1lg3lg94lg81lg 27+--； （2）已知()1401x xx -+=<<，求221122x x x x---+.26．若函数()()()331xf x k a b a =++->是指数函数 （1）求k ，b 的值；（2）求解不等式()()2743f x f x ->-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由新定义可知探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数即得结果. 【详解】由题意可知，函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ，且,A B 两点关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”，因为()23,02,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，由y 轴左侧部分()3,0xy x =-<图像关于原点中心对称的图像3x y --=-，即3xy -=，()0x >，作函数3xy -=，()0x >和()22,0y x x x =-≥的图象如下：由图像可知两图象有三个公共点，即该函数有3对“镜像点对”. 故选：C. 【点睛】本题解题关键是理解新定义，寻找对称点对，探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数，通过数形结合，即突破难点.2．D解析：D 【分析】首先确定a ，b ，c 的取值范围，再根据指对互化得到2k b =，3k c =，再代入选项，比较大小. 【详解】由题意可知a ∈(0，1)，b ∈(2，4)，c ∈(3，9)，且23k k b c ==，，对于A 选项，01b a <<，1c b >可得到b c a b <，故选项A 错误；对于B 选项，log log 2log 20k a a a b k ==<，log log 3log 30k b b b c k ==>，所以log log a b b c <，故B 选项错误；对于C 选项，22log log 3log 31k kb c a ==>>，故C 选项错误；对于D 选项，1a b b b <=，1b c c c >=，而c >b ，所以b a c b >，故D 选项正确. 故选：D . 【点睛】关键点点睛：本题考查指对数比较大小，本题的关键是首先确定,,a b c 的大小，并结合指对数运算化简选项中的对数式，再和中间值0或1比较大小，本题属于中档题型.3．A解析：A 【分析】当函数的值域为R 时，命题等价于函数()()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞，得解 【详解】22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R令()()22111y a x a x =-+++，则()()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞，当210a -=时，则1a =± 当1a =时，21y x =+符合题意； 当1a =-时，1y =不符合题意；当1a ≠±时，()()222101410a a a ⎧->⎪⎨∆=+--≥⎪⎩，解得513a <≤ 513a ∴≤≤，即实数a 的取值范围是5[1,]3故选：A 【点睛】转化命题的等价命题是解题关键.4．A解析：A 【分析】首先判断函数()f x 的性质，再比较133317,log ,log 542⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系，从而利用单调性比较a ，b ，c 的大小关系. 【详解】()2xf x =是偶函数，并且当0x >时，2x y =是增函数，()133log 5log 5c f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为1310()14<<，3371log log 52<<，即1333170log log 542⎛⎫<<< ⎪⎝⎭ 又因为()y f x =在()0,∞+是增函数，所以a b c <<. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，本题的关键是判断函数()2xf x =的性质，后面的问题迎刃而解.5．C解析：C 【分析】由题容易看出，0a <， 01b <<，2log 31c =>，便得出,,a b c 的大小关系. 【详解】1133log 2log 10a =<=，310110122b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 3log 21c =>=，因此a b c <<. 故选：C. 【点睛】本题考查指数函数和对数函数的比较大小，常与中间值0-1,1，来比较，再结合函数的单调性即可求解，属于中档题.6．C解析：C 【分析】根据指数函数性质求定点. 【详解】因为01a =,所以()011f a -=-=0,因此过定点()1,0-,选C.【点睛】本题考查指数函数性质以及定点问题，考查基本分析求解能力，属于基础题.7．D解析：D 【分析】运用分段函数的形式写出()f x 的解析式，作出()21xf x =-的图象，由数形结合可得0c <且0a >，21c <且21a >，且()()0f c f a ->，去掉绝对值，化简即可得到结论．【详解】()21,02112,0x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩， 作出()21xf x =-的图象如图所示，由图可知，要使c b a <<且()()()f c f a f b >>成立， 则有0c <且0a >， 故必有21c <且21a >，又()()0f c f a ->，即为()12210c a--->，∴222a c +<． 故选：D ． 【点睛】本题考查指数函数单调性的应用，考查用指数函数单调性确定参数的范围，本题借助函数图象来辅助研究，由图象辅助研究函数性质是函数图象的重要作用，以形助数的解题技巧必须掌握，是中档题．8．B解析：B 【分析】由()()11f x f x -=+可得函数()f x 关于直线1x =对称，根据对数的运算法则，结合函数的对称性，变形41log 2、13log 3、39log 到区间[)1,+∞内，由函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，即可得结果. 【详解】根据题意，函数()f x 满足()()11f x f x -=+， 则函数()f x 关于直线1x =对称，又由当(],1-∞时，函数()f x 单调递减，则函数在[)1,+∞上单调递增， 又由()44115log log 2222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()13log 313b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()()3log 92c f f ==，则有c a b <<，故选B.在比较()1f x ，()2f x ，，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性（对称性）与周期性将()1f x ，()2f x ，，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．9．C解析：C 【分析】根据对数函数性质与复合函数的单调性求解． 【详解】因为0a >且1a ≠，令2t ax =-，所以函数2t ax =-在[]0,3上为减函数， 所以函数log a y t =应是减函数，()f x 才可能是增函数， ∴01a <<，因为函数()f x 在[]0,3上为增函数， 由对数函数性质知230a ->，即23<a ， 综上023a <<． 故选：C ． 【点睛】本题考查复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题．10．C解析：C 【分析】偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增,化简1333(log 5)(log 5)(log 5)f f f =-=，利用中间量比较大小得解. 【详解】∵偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增1333(log 5)(log 5)(log 5)c f f f ∴==-=，∵1333170()1log log 542<<<<，133317(()(log )(log 5)42)f f f << ∴a b c <<. 故选：C本题考查函数奇偶性、单调性及对数式大小比较，属于基础题.11．B解析：B 【分析】先分析函数的定义域，然后根据定义域以及复合函数的单调性判断方法确定出()f x 的单调递减区间. 【详解】因为240x ->，所以定义域为()()(),22,22,-∞--+∞，令()24u x x =-，13log y u =在()0,∞+上单调递减， 当(),2x ∈-∞-时，()u x 单调递减，所以()f x 单调递增； 当(]2,0x ∈-时，()u x 单调递增，所以()f x 单调递减； 当()0,2x ∈时，()u x 单调递减，所以()f x 单调递增； 当()2,x ∈+∞时，()u x 单调递增，所以()f x 单调递减； 综上可知：()f x 的单调递减区间为(]2,0-和()2,+∞. 故选：B. 【点睛】本题考查对数型复合函数的单调区间的求解，难度一般.分析复合函数的单调性，注意利用判断的口诀“同增异减”，当内外层函数单调性相同时，整个函数为增函数，当内外层函数单调性相反时，整个函数为减函数.12．C解析：C 【分析】由题意求得1a >，再结合对数函数的图象与性质，合理排除，即可求解. 【详解】因为函数(0,1)xy a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数xy a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ； 又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及指数函数与对数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】根据对数运算公式可以将转化得到的等量关系将此等量关系代入所求式子即可解决【详解】由可得故答案为：【点睛】本题考查对数的运算对数恒等式属于基础题 解析：11000【分析】根据对数运算公式，可以将0lga lgb lgc ++=转化，得到a ，b ，c 的等量关系，将此等量关系代入所求式子即可解决． 【详解】由0lga lgb lgc ++=， 可得1bc a =，1ab c=，1ac b =，111111111()()()lgb lgclgc lgalga lgblgb lgalgcabcac bc ab +++∴⨯⨯=．11110101011111010101000bac log log log bac ==⨯⨯=故答案为：11000【点睛】本题考查对数的运算，对数恒等式，属于基础题．14．【解析】画出函数的图象如图所示：观察图象可知函数的零点依次是点的横坐标由图像可知故答案为点睛：函数的零点与方程根的分布问题解题时常用数形结合思想对于方程的根可分别画出与的图象则两个函数图象的交点的横解析：a b c << 【解析】画出函数3xy =，3log y x =，y x =-，2y =-的图象，如图所示：观察图象可知，函数()3xf x x =+，3()log 2g x x =+，3()logh x x x =+的零点依次是点A ，B ，C 的横坐标，由图像可知a b c <<. 故答案为a b c <<点睛：函数的零点与方程根的分布问题，解题时常用数形结合思想，对于方程()()0f x g x -=的根，可分别画出()f x 与()g x 的图象，则两个函数图象的交点的横坐标即为方程()()0f x g x -=的根.15．【分析】设值域为根据题意对分类讨论结合根的判别式即可求解【详解】设值域为函数的值域为当时值域为满足题意；当时须解得综上实数a 的取值范围是故答案为:【点睛】本题考查对数函数的性质复合函数的性质二次函数 解析：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】设2()u x ax x a =++值域为A ，根据题意(0,)A +∞⊆，对a 分类讨论，结合根的判别式，即可求解.【详解】设2()u x ax x a =++值域为A ，函数22()log ()f x ax x a =++的值域为,(0,)R A +∞⊆， 当0a =时，2()log f x x =值域为R ，满足题意；当0a ≠时，须20140a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得102a <≤， 综上，实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为:10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查对数函数的性质，复合函数的性质，二次函数的取值和根的判别式的关系，属于中档题.16．【分析】由题可知恒成立再分情况讨论即可【详解】由题可知恒成立当时成立当时当时不等式不恒成立故实数k 的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题属于中等题型解析：[)0,4【分析】由题可知210kx kx -+>恒成立.再分情况讨论即可.【详解】由题可知210kx kx -+>恒成立.当0k =时成立.当0k >时,24004k k k ∆=-<⇒<<. 当k 0<时，不等式不恒成立.故实数k 的取值范围是[)0,4.故答案为：[)0,4【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题.属于中等题型.17．【分析】根据指对互化先计算出的结果然后计算的结果由此即可计算出的结果【详解】因为所以所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用指对互化将化为对数形式然后根据对数运算法则完成计算 解析：1【分析】根据指对互化先计算出,a b 的结果，然后计算11,a b 的结果，由此即可计算出21a b +的结果. 【详解】因为2312a b ==，所以23log 12,log 12a b ==，所以121211log 2,log 3a b ==， 所以1212121212212log 2log 3log 4log 3log 121a b+=+=+==， 故答案为：1.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用指对互化将2312a b ==化为对数形式，然后根据对数运算法则完成计算.18．【分析】根据对数的定义和运算法则即可求解【详解】由可得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查对数的运算法则的应用考查了学生的计算能力属于中档题 解析：12【分析】根据对数的定义和运算法则即可求解．【详解】由2336m n ==可得23log 36,log 36m n == 所以361log 2m =，361log 3n =， 所以363636111log 2log 3log 62m n +=+==， 故答案为：12【点睛】 本题主要考查对数的运算法则的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题． 19．①②④【分析】根据①②③④各个函数的定义域求出各个函数的值域判断正误即可【详解】①中函数的定义域值域;故①不正确;②中函数的定义域是值域;故②不正确;③中函数的值域是则它的定义域可能是故③是正确的; 解析：①②④【分析】根据①、②、③、④各个函数的定义域,求出各个函数的值域,判断正误即可.【详解】①中函数2x y =的定义域{}|0x x ≤,值域2(0,1]x y =∈;故①不正确;②中函数1y x =的定义域是{|2}x x >,值域110,2y x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭;故②不正确; ③中函数2y x 的值域是{|04}y y ≤≤,则它的定义域可能是{}|22x x -≤≤,故③是正确的;④中函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤,∵2log 3,08y x x =≤∴<≤,,故④不正确; 故答案为:①②④.【点睛】本题考查函数的定义域及其求法,函数的值域,指数函数的定义域和值域,对数函数的值域与最值,考查计算能力,属于基础题. 20．【分析】首先求出函数的定义域再根据复合函数同增异减求其单调减区间即可【详解】函数的定义域为：解得：或令为增函数当为增函数为增函数当为减函数为减函数所以增区间为故答案为：【点睛】本题主要考查复合函数的 解析：()2,+∞【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数同增异减求其单调减区间即可.【详解】函数()f x 的定义域为：220x x -->，解得：2x >或1x <-.令22t x x =--，2log y t =为增函数.当2x >，t 为增函数，22()log (2)f x x x =--为增函数，当1x <-，t 为减函数，22()log (2)f x x x =--为减函数.所以增区间为(2,)+∞.故答案为：(2,)+∞【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，同增异减为解题的关键，属于中档题.三、解答题21．（1）11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）奇函数；（3）分类讨论，答案见解析．【分析】（1）根据对数的真数大于零列不等式组，解不等式组求得()F x 的定义域.（2）通过()()F x F x -=-证得()F x 是奇函数.（3）对a 进行分类讨论，结合对数型函数的单调性求得x 的取值范围.【详解】（1）()log (31)log (13)a a F x x x =+--，310130x x +>⎧⎨->⎩，解得：1133x -<<， 所以()F x 的定义域为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）由（1）可知()F x 的定义域关于原点对称，又()log (13)log (31)()a a F x x x F x -=--+=-，所以()F x 是奇函数，.（3）()()0f x g x ->，即log (31)log (13)a a x x +>-， 当1a >时，3101303113x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得：103x <<， 当01a <<时，3101303113x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩，解得：103x -<<. 【点睛】判断函数的奇偶性，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称性.22．（1）1k =；()f x 为R 上的增函数；（2）存在，176m =. 【分析】（1）根据奇函数的性质和()312f =，代入求函数的解析式，并判断单调性；（2）由（1）可知()()2(2)2log 22221x x x x m g x m ---=+--+⎡⎤⎣⎦，并通过换元22x x t -=-，转化为()()()22log 3m g t t mt -=-+，讨论底数21m ->，和021m <-<两种情况，并讨论内层函数的对称轴和定义域的关系，结合外层函数的单调性，确定内层函数的最值，最后确定函数的最大值求m .【详解】（1）∵函数()x x f x a k a -=-⋅（0a >且1a ≠）是定义域为R 的奇函数，0R ∈，∴(0)0f =，10k -=，∴1k =. 因为3(1)2f =，∴132a a -=，22320a a --=，2a =或12a =-， ∵0a >，∴2a =，()22x x f x -=-，因为2x 为增函数，2x -为减函数，所以()f x 为R 上的增函数.（Ⅱ）()()22(2)log 1x x m g x a a mf x --⎡⎤=+-+⎣⎦()22(2)log 22221x x x x m m ---=+--+⎡⎤⎣⎦()()2(2)log 22223x x x x m m ---⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦， 设22x x t -=-，则()()22222233x x x x m t mt -----+=-+，∵[]1,2x ∈，∴315,24⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，记()23h t t mt =-+， （1）当021m <-<，即23m <<时，要使()g x 最大值为0，则要min ()1h t =， ∵22()()(3)24m m h t t =-+-，312m <<，315,24⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，∴()h t 在315,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴min 3213()()242h t h m ==-，由min ()1h t =，得176m =，因17(2,3)6∈，所以176m =满足题意. （2）当21m ->，即3m >时，要使()g x 最大值为0，则要max ()1h t =，且min ()0h t >. ∵322m >， ①若321228m <≤ ，则max 1522515()()314164h t h m ==-+=，25760m =，又2min()()3024m m h t h ==->，∴3m <<25760>∴25760m =不合题意.②若2128m > ，即214m >，则max 32132132121()()02424248h t h m ==-<-⨯=-<，max ()1h t ≠， 综上所述，只存在176m =满足题意. 【点睛】关键点点睛：本题考查对数型复合函数根据最值，求参数的取值范围，属于中档题型，本题的第一个关键点是换元化简函数，设22x x t -=-，则()()22222233x x x x m t mt -----+=-+，第二个关键点是需分析外层函数的单调性，并讨论内层函数的对称轴和定义域的关系.23．（1）3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；（2）a =【分析】（1）令()20,xt =∈+∞，可得21y t t =-+-，利用二次函数的性质可求出； （2）令12,12x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，可得21y t at =-+-，讨论对称轴2at =的取值范围结合二次函数的性质即可求出.【详解】（1）()2()421221x x x x f x a a =-+⋅-=-+⋅-.令()20,xt =∈+∞，21y t at =-+-， 1a =时，2213124y t t t ⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ∴当12t =时，max 34y =-，∴3,4y ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦， 所以()f x 的值域为3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. （2）令12,12x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，22211124a y t at t a ⎛⎫=-+-=---+ ⎪⎝⎭， 其图象的对称轴为2a t =. ①当122a ≤，即1a ≤时，函数y 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 当12t =时，max 1111424y a =-+-=-，解得2a =，与1a ≤矛盾； ②当12a ≥，即2a ≥时，函数y 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 当1t =时，max 1114y a =-+-=-，解得74a =，与2a ≥矛盾， ③当1122a <<，即12a <<时，函数y 在1,22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.当2a t =时，2max 11144y a =-=-，解得a =，舍去a =综上，a =【点睛】思路点睛：求二次函数在闭区间[],a b 的最值的思路；（1）二次函数开口向上时，求函数的最大值，讨论对称轴和2a b +的大小求解； （2）二次函数开口向上时，求函数的最小值，讨论对称轴在(]()[),,,,,a a b b -∞+∞三个区间的范围求解.24．（1）2()log f x x =（2）偶函数.见解析【分析】（1）根据(4)(2)1f f -=，代入到函数的解析式中可求得2a =，可求得函数()f x 的解析式; （2）由函数()f x 的解析式，求得函数()g x 的解析式，先求得函数()g x 的定义域，再由函数的奇偶性的判断方法证得函数的奇偶性.【详解】（1）因为()log (0,1)a f x x a a =>≠，且(4)(2)1f f -=，所以log 4log 21a a -=，即log 21a =.，解得2a =，所以2()log f x x =;（2）因为()log a f x x =，所以22()log (2)log (2)g x x x =++-,由2020x x +>⎧⎨->⎩,得22x -<<,所以()g x 的定义域为()22-，， 又因为22()log (2)log (2)()g x x x g x -=-++=，所以22()log (2)log (2)g x x x =++-为偶函数.【点睛】本题考查对数函数的函数解析式的求解，函数的奇偶性的证明，属于基础题.25．（1）32；（2）-. 【分析】（1）利用对数的运算性质化简可求得所求代数式的值；（2）由已知条件可求得1x x --的值，可求得22x x -+，并求得1122x x -+的值，代入计算可求得所求代数式的值.【详解】 （1）原式11lg3lg3lg3111lg3322lg5lg 2lg1081222lg32lg 27+-=++=+=； （2）因为()()()221114x xx x x x x x -----=+-=-， 所以()()2211412x x x x ---=+-=， 因为01x <<，则1x x -<，所以1x x --=-22x x --=-， 又因为21112226x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，所以1122x x -+=所以221122x x x x ---=-+【点睛】本题考查指数式与对数式的计算，考查了平方关系以及对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.26．（1）2,3k b =-=；（2）{}2x x <-.【分析】（1）根据指数函数的定义列出方程，求解即可；（2）根据指数函数的单调性解不等式即可；【详解】解：（1）∵函数()()()331xf x k a b a =++->是指数函数 ∴31,30k b +=-=∴2,3k b =-=（2）由（1）得()()1x f x a a =>，则函数()f x 在R 上单调递增()()2743f x f x ->-2743x x ∴->-，解得2x <- 即不等式解集为{}2x x <-；【点睛】本题主要考查了根据函数为指数函数求参数的值以及根据指数函数的单调性解不等式，属于中档题.。
数学北师大版高中必修1指数函数与对数函数 单元同步测试(北师大版必修1)
第三章指数函数与对数函数单元同步测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知x，y为正实数，则()A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg yC．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y解析取特殊值即可．如取x＝10，y＝1,2lg x＋lg y＝2,2lg(xy)＝2,2lg x ＋2lg y＝3,2lg(x＋y)＝2lg11,2lg x·lg y＝1.答案 D2．若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a>0，a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝()A.12x B．2x－2C．log12x D．log2x解析由题意知f(x)＝log a x，∵f(2)＝1，∴log a2＝1，∴a＝2，∴f(x)＝log2x.答案 D3．已知f(x)＝log3x，则函数y＝f(x＋1)在区间[2,8]上的最大值与最小值分别为()A．2与1 B．3与1C．9与3 D．8与3解析由f(x)＝log3x，知f(x＋1)＝log3(x＋1)，又2≤x ≤8，∴3≤x ＋1≤9. 故1≤log 3(x ＋1)≤2. 答案 A4．下列说法正确的是( ) A ．log 0.56>log 0.54B ．90.9>270.48C ．2.50<⎝ ⎛⎭⎪⎫122.5D．0.60.5>log 0.60.5解析 ∵90.9＝32.7,270.48＝31.44，又y ＝3x 在(－∞，＋∞)上单调递增，∴32.7>31.44.答案 B5．设函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)．若f (x 1x 2…x 2014)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22014)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．2log a 8解析 f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22014) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22014＝log a (x 1x 2…x 2014)2＝2log a (x 1x 2…x 2014)＝2×8＝16. 答案 C6．(log 43＋log 83)(log 32＋log 98)等于( ) A.56 B.2512C.94D ．以上都不对解析 (log 43＋log 83)(log 32＋log 98) ＝⎝⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23⎝⎛⎭⎪⎫log 32＋32log 32＝2512. 答案 B7．若f (x )＝log 2x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 B ．[1,2]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2 解析 由－1≤log 2x ≤1，得12≤x ≤2. 答案 C8．函数f (x )的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x ＋1D ．e －x －1解析 与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，函数y ＝e －x的图像向左平移一个单位长度即可得到函数f (x )的图像，即f (x )＝e －(x＋1)＝e －x －1.答案 D9．若f (x )＝2x ＋2－x lg a 是奇函数，则实数a ＝( ) A.13 B.14 C.12D.110解析 ∵f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (0)＝0，∴20＋20·lg a ＝0， ∴lg a ＝－1，∴a ＝110. 答案 D10．某地区植被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4 万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y 公顷关于年数x 的函数关系较为近似的是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x ) C ．y ＝2x10 D ．y ＝0.2＋log 16x解析 逐个检验． 答案 C二、填空题(本大题共5小题，每题5分，共25分．将答案填在题中横线上．)11．函数y ＝a x －2＋1(a >0，且a ≠1)的图像必经过点________． 答案 (2,2)12．函数y ＝lg (4－x )x －3的定义域是________．解析由⎩⎨⎧4－x >0，x －3≠0，得⎩⎨⎧x <4，x ≠3，∴定义域为{x |x <3或3<x <4}． 答案 {x |x <3或3<x <4}13．函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋12 (x <0)，e x －1 (x ≥0)，若f (1)＋f (a )＝2，则a ＝________.答案 1或－2214．y ＝log 0.3(x 2－2x )的单调减区间为________． 解析 写单调区间注意函数的定义域． 答案 (2，＋∞)15．若函数f (x )＝⎩⎨⎧a x ，(x >1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，(x ≤1)为R 上的增函数，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2，得4≤a <8.答案 [4,8)三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16．(12分)计算下列各式 (1)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027 13－2π0；(3)(lg5)2＋lg2lg5＋lg20－4(－4)2·6125＋2⎝⎛⎭⎪⎫1＋ 12log 25.解 (1)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25 ＝(lg2)2＋lg2(lg2＋2lg5)＋2lg5 ＝2(lg2)2＋2lg2lg5＋2lg5 ＝2lg2(lg2＋lg5)＋2lg5＝2. (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427 13 －2＝53＋43－2＝3－2＝1.(3)原式＝lg5(lg5＋lg2)＋lg20－25＋2 5 ＝lg5＋lg2＋1＝2.17．(12分)已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，其中a >0，a ≠1，设h (x )＝f (x )－g (x )．(1)判断h (x )的奇偶性，并说明理由； (2)若f (3)＝2，求使h (x )>0成立的x 的集合． 解(1)依题意，得⎩⎨⎧1＋x >0，1－x >0，解得－1<x <1.∴函数h (x )的定义域为(－1,1)． ∵对任意的x ∈(－1,1)，－x ∈(－1,1)，h (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (1－x )－log a (1＋x )＝g (x )－f (x )＝－h (x )，∴h (x )是奇函数．(2)由f (3)＝2，得a ＝2.此时h (x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )， 由h (x )>0，即log 2(1＋x )－log 2(1－x )>0， 得log 2(1＋x )>log 2(1－x )． 则1＋x >1－x >0，解得0<x <1.故使h (x )>0成立的x 的集合是{x |0<x <1}．18．(12分)已知0<a <1，函数f (x )＝log a (6ax 2－2x ＋3)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2上单调递增，求a 的取值范围．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16a ≥2，6a ×22－2×2＋3>0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤112，a >124，得124<a ≤112，故a 的取值范围是124<a ≤112.19．(12分)已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 14x x 2－log 14x ＋5，A ＝{x |2x 2－6x＋8≤1}，当x ∈A 时，求f (x )的最值．解 由2x 2－6x ＋8≤1由二次函数y ＝x 2－6x ＋8的图像可知2≤x ≤4. 设log 14x ＝t ，∵2≤x ≤4，∴－1≤log 14 x ≤－12，即－1≤t ≤－12.∴f (x )＝t 2－t ＋5对称轴为t ＝12，∴f (x )＝t 2－t ＋5在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12单调递减， 故f (x )max ＝1＋1＋5＝7，f (x )min ＝⎝⎛⎭⎪⎫－122＋12＋5＝234.综上得f (x )的最小值为234，最大值为7.20．(13分)已知函数f (x )＝a x ＋k (a ＞0，且a ≠1)的图像过(－1,1)点，其反函数f －1(x )的图像过点(8,2)．(1)求a ，k 的值；(2)若将其反函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，就得到函数y ＝g (x )的图像，写出y ＝g (x )的解析式；(3)若g (x )≥3m －1在[2，＋∞)恒成立，求实数m 的取值范围． 解(1)由题意得⎩⎨⎧a －1＋k ＝1，a 2＋k＝8.解得⎩⎨⎧a ＝2，k ＝1.(2)由(1)知f (x )＝2x ＋1，得f －1(x )＝log 2x －1，将f －1(x )的图像向左平移2个单位，得到y ＝log 2(x ＋2)－1，再向上平移到1个单位，得到y ＝g (x )＝log 2(x ＋2)．(3)由g (x )≥3m －1在[2，＋∞)恒成立， 只需g (x )min ≥3m －1即可．而g (x )min ＝log 2(2＋2)＝2， 即2≥3m －1，得m ≤1.21．(14分)有时可用函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1＋15lnaa －x(x ≤6)，x －4.4x －4(x >6).)描述学习某科知识的掌握程度．其中x 表示某学科知识的学习次数(x ∈N ＋)，f (x )表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．(1)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(100,106]，(106,112]，(112,123]，当学习某学科知识4次时，掌握程度为70%，请确定相应的学科；(2)证明：当x ≥7时，掌握程度的增大量f (x ＋1)－f (x )总是下降．(参考数据e 0.04＝1.04)解 (1)由题意可知0.1＋15ln a a －4＝0.70，整理得a a －4＝e 0.04，得a ＝104∈(100,106]，由此可知，该学科是甲学科．(2)证明：当x ≥7时，f (x ＋1)－f (x )＝0.4(x －3)(x －4)，而当x ≥7时，函数y ＝(x －3)(x －4)单调递增； 且(x －3)(x －4)>0. 故f (x ＋1)－f (x )单调递减，∴当x≥7时，掌握程度的增大量f(x＋1)－f(x)总是下降．。
2020年高中数学必修第一册：指数函数的概念+指数函数的图象和性质 练习(北师大版)(解析版)
3.3.1指数函数的概念3.3.2指数函数的图象和性质（1）同步练习一、选择题1. 给出下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是指数函数的个数是（）A. B. C. 3 D.答案：A解析：指数函数是形如的函数，故只有是指数函数，②、④、⑤都称为指数型函数，所以正确选项为A。
2.函数的图象恒过定点，则定点的坐标为（）A. B. C. D.答案：B解析：∵，，故函数恒过点，所以正确选项为B。
3.如果关于的方程没有实数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：方程即为，由指数函数的性质，故当时方程无解，所以正确选项为D。
4.若，则的大小关系是（）A. B. C. D.答案：D解析：由指数函数的图象，当时，则，又，，即，所以正确选项为D。
5.如图，是指数函数①、②③、④的图象，则（）A. B.C. D.答案：B解析：此类题目宜采用特殊值法，当时，对应的函数值依次为①、②③、④，由图知，当时，对应函数值由下到上依次是②①④③，得，所以正确选项为B。
6.若函数是上的单调函数，则正实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：不符合条件，是正实数，当时，单调递增，当时，，函数在上单调递增，得，解得，所以正确选项为A。
二、填空题7. 若指数函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是；答案：解析：函数是上的单调增函数，得，即，所以答案为。
8. 函数在区间上的最大值比最小值大，则的值为；答案：或解析：当时，函数单增，故，解得（舍去）；当时，函数单减，故，解得（舍去）。
所以答案为或。
9. 不等式的解集为；答案：解析：不等式，即为，得，解得，所以答案为。
10.已知函数是定义在上的偶函数，且当时函数单增，若实数满足，则实数的取值范围是.答案：解析：函数是偶函数，函数图象关于轴对称，则在上单调递减，又，即，得即，得，解得。
所以答案为。
三、解答题11.解下列关于的不等式：(1)；(2).解：(1)不等式，即为故，解得，∴不等式的解集为；(2)当时,，解得当时,，解得或所以，当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为或.12.已知定义在上的奇函数.(1)求实数的值；(2)用定义证明函数在上单调递减；(3)若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围. 解：(1)函数为上的奇函数，则，∴又，即，得所以，，；(2)，设且∵，,∴，即，函数在上单调递减；(3)由(2)，函数单减，即即任意，不等式恒成立得恒成立，所以的取值范围为.以下为“如何撰写一份出色的教案”教案是备课内容简要而有序的记录,是支持教师上课的范本,简单说,教案是教师备课的备忘录。
新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试(答案解析)(1)
一、选择题1．若()()22ln 1f x x x e =+≤≤(e 为自然对数的底数)，则函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的最大值为（ ） A ．6 B ．13C ．22D ．332．若x ，y ，z 是正实数，满足2x =3y =5z ，试比较3x ，4y ，6z 大小（ ）A ．3x >4y >6zB ．3x >6z >4yC ．4y >6z >3xD ．6z >4y >3x 3．设()|lg |f x x =，且0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，则（ ）A ．(1)(1)0a c -->B ．1ac >C ．1ac =D ．01ac <<4．已知函数)()lnf x x =，则120212020a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20201log 2021b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2021log 2020c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>5．一种放射性元素最初的质量为500g ，按每年10%衰减．则这种放射性元素的半衰期为（ ）年.（注：剩余质量为最初质量的一半，所需的时间叫做半衰期），（结果精确到0.1，已知lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．5.2B ．6.6C ．7.1D ．8.36．设函数()ln |31|ln |31|f x x x =+--，则()f x （ ） A ．是偶函数，且在11(,)33-单调递增 B ．是偶函数，且在1(,)3-∞-单调递增 C ．是奇函数，且在11(,)33-单调递减 D ．是奇函数，且在1(,)3-∞-单调递减7．5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内所传信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.按照香农公式，在不改变W 的情况下，将信噪比SN从1999提升至λ，使得C 大约增加了20%，则λ的值约为（参考数据：lg 20.3≈， 3.96109120≈）（ ） A ．7596B ．9119C ．11584D ．144698．若函数y ＝x a a - (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．49．如图是指数函数①y =x a ；②y =x b ；③y =c x ；④y =d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是（ ）A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c10．在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔（Napier ，1550-1617年）．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子： 1 2 3 45678…1415…27 28 29 2 4 8 16 32 64 128 256 … 16384 32768 …134217728268435356536870912这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现． 比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字:64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384,按照这样的方法计算：16384×32768=（ ） A ．134217728 B ．268435356C ．536870912D ．51376580211．函数()22x xxf x -=+的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．12．实数,a b 满足2510a b ==，则下列关系正确的是（ ） A ．212a b+= B ．111a b+= C ．122a b+= D ．1212a b += 二、填空题13．下列命题中所有正确的序号是_____________.①函数1()3x f x a -=+(0a >且1)a ≠的图像一定过定点(1,4)P ； ②函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)； ③若1log 12a>，则a 的取值范围是112⎛⎫⎪⎝⎭，； ④若22ln ln()x y x y -->-- (0x >,0y <)，则0x y +<.14．已知函数()1122,121,1x xx f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则关于x 的不等式()()10f x f x -+≤的解集为___________________．15．函数()()12log 13y x x =-+的递增区间为______．16．已知函数()4sin 22xx f x π=++，则122019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.17．已知函数22()log ()f x ax x a =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是_________ 18．对于函数()f x 定义域中任意的1x 、()212x x x ≠，有如下结论： ①()()()1212f x x f x f x +=⋅；②()()()1212f x x f x f x ⋅=+； ③()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦；④()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭． 当()2xf x =时；上述结论正确的是__________．（写出所有正确的序号）19．给出下列四个命题：①函数f （x ）＝log a （2x ﹣1）﹣1的图象过定点（1，0）；②已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f （x ）＝x （x +1），则f （x ）的解析式为f （x ）＝x 2﹣|x |；③若log a12＜1，则a 的取值范围是（0，12）∪（2，+∞）；④若2﹣x ﹣2y ＞ln x ﹣ln （﹣y ）（x ＞0，y ＜0），则x +y ＜0.其中所有正确命题的序号是_____.20．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数1,0(),0x x e x f x e m x -⎧->=⎨+<⎩是奇函数，则实数m 的值为______． 三、解答题21．已知2()log (1)f x x =-.（1）若00(1)(1)0f x f x ++-=，求0x 的值； （2）记()()(6)g x f x f x =+-，①求()g x 的定义域D ，并求()g x 的最大值m ；②已知322224log 2log 2b aba ab b++=++-，试比较b 与ma 的大小并说明理由. 22．已知二次函数()f x 满足(0)(2)1f f ==-且(1)4f =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()(0xy f a a =>且1)a ≠在[]1,1x ∈-上的最大值为8，求实数a 的值.23．已知函数()442xx f x =+；（1）若01a <<，求()()1f a f a +-的值； （2）求12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值． 24．已知函数()12,012,0m x x x f x x n x x ⎧⎛⎫+-> ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪++< ⎪⎪⎝⎭⎩是奇函数.（1）求实数m ，n 的值；（2）若对任意实数x ，都有()()420xxf f λ+≥成立.求实数λ的取值范围.25．已知命题:p 关于x 的不等式()10,1xa a a >>≠的解集是{}0x x <，命题:q函数()2lg 1y ax =+的定义域为R ，如果“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题.求实数a的取值范围.26．已知函数214()log (238)f x mx x m =-+. （Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 在1[,2]2上的值域；（Ⅱ）若函数()f x 在(4,)+∞上单调递减，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先依题意求函数定义域，再化简函数，进行换元后求二次函数在区间上的最大值即可. 【详解】由21x e ≤≤及()2f x知221x e ≤≤，故定义域为[]1,e ，又()()()()()222222ln 2ln ln 6ln 61y f x f x x x x x x e =+=+++=++≤≤⎡⎤⎣⎦令[]ln 0,1t x =∈，则266y t t =++，易见y 在[]0,1t ∈上单调递增， 故当1t =时，即x e =时，max 16613y =++=. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用换元法求函数最值时，要注意函数的定义域，否则求得的易出错.2．B解析：B 【分析】令235x y z t ===，则1t >，lg lg 2t x =，lg lg 3t y =，lg lg 5tz =，利用作差法能求出结果. 【详解】∵x 、y 、z 均为正数，且235x y z ==， 令235x y z t ===，则1t >， 故2lg log lg 2t x t ==，3lg log lg 3t y t ==，5lg log lg 5tz t ==， ∴()3lg lg5lg 4lg 2lg 3630lg 2lg5lg 2lg5t t t x z -⎛⎫-=-=>⎪⋅⎝⎭，即36x z >； ()2lg lg 27lg 253lg 2lg 6420lg5lg3lg3lg5t t t z y -⎛⎫-=-=> ⎪⋅⎝⎭，即64z y >， 即364x z y >>成立，故选：B. 【点睛】 关键点点睛：（1）将指数式转化为对数式； （2）利用作差法比较大小.3．D解析：D 【分析】作出()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】∵函数()|lg |f x x =，作出()f x 的图象如图所示，∵0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，∴0＜a ＜1，c ＞1，即f （a ）＝|lga |＝﹣lga ，f （c ）＝|lgc |＝lgc ，∵f （a ）＞f （c ）， ∴﹣lga ＞lgc ，则lga +lgc ＝lgac ＜0，则01ac <<. 故选：D ．【点睛】关键点点睛：利用对数函数的图象和性质，根据条件确定a ，c 的取值范围.4．D解析：D 【分析】先判断出()f x 在R 上单调递减，再利用指数对数函数的单调性求出120212020，20201log 2021， 2021log 2020的范围，即可根据单调性比较大小.【详解】210x x +->恒成立，()f x ∴定义域为R ，))222()ln1ln11f x x x x x x x=+==-+++，其中21y x x +单调递增，则()f x 单调递减，102021202020120>=，202020201log log 102021<=，2021202120210log 1log 2020log 20211=<<=，b c a ∴>>. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是判断出)()ln f x x =在R 上单调递减，进而可利用单调性比较.5．B解析：B 【分析】先根据题意列出关于时间的方程，然后利用指对互化以及对数换底公式并结合所给数据可计算出半衰期. 【详解】设放射性元素的半衰期为x 年，所以()500110%250x-=， 所以()1110%2x-=，所以0.91log 2x =，所以109log 2x =， 所以lg 2lg10lg9x =-，所以lg 212lg 3x =-，所以0.3010120.4771x =-⨯，所以 6.6x ≈，故选：B. 【点睛】思路点睛：求解和对数有关的实际问题的思路： （1）根据题设条件列出符合的关于待求量的等式；（2）利用指对互化、对数运算法则以及对数运算性质、对数换底公式求解出待求量的值.6．D解析：D 【分析】根据奇偶性定义判断奇偶性，然后判断单调性，排除错误选项得正确结论． 【详解】函数定义域是1{|}3x x ≠±，()ln 31ln 31ln 31ln 31()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，()f x 是奇函数，排除AB ，312()lnln 13131x f x x x +==+--，11,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2310x -<-<，2231x <--，即21031x +<-，而131u x =-是减函数，∴2131v x =+-是增函数，∴()f x 在11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，排除C ．只有D 可选． 故选：D ． 【点睛】结论点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性，判断函数的奇偶性与单调性后用排除法确定正确选项，掌握复合函数的单调性是解题关键．()y f x =与()y f x =-的单调性相反， 在()f x 恒为正或恒为负时，()y f x =与1()y f x =的单调性相反，若()0f x <，则()y f x =与()y f x =的单调性相反．0a >时，()y af x =与()y f x =的单调性相同．7．B解析：B 【分析】根据题设条件列出方程，计算即可. 【详解】由题可知 ()()()22log 119991+20%log 1W W λ+⨯=+，即()221.2log 2000log 1λ⨯=+，所以()lg 1lg 20001.2lg 2lg 2λ+⨯=，即()()lg 1 1.2lg2000 1.23lg2 3.96λ+=⨯=⨯+≈，所以 3.961109120λ+≈≈，所以9119λ≈. 故选：B 【点睛】本题主要考查对属于对数函数，考查学生的运算能力.8．C解析：C 【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0， 所以a ＝2， 所log a 56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9．B解析：B根据指数函数的图象与性质可求解. 【详解】根据函数图象可知函数①y =x a ；②y =x b 为减函数，且1x =时，②y =1b <①y =1a ， 所以1b a <<，根据函数图象可知函数③y =c x ；④y =d x 为增函数，且1x =时，③y =c 1>④y =d 1， 所以1c d >> 故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，指数函数的图象，数形结合的思想，属于中档题.10．C解析：C 【分析】先找到16384与32768在第一行中的对应数字，进行相加运算，再找和对应第二行中的数字即可. 【详解】由已知可知，要计算16384×32768，先查第一行的对应数字: 16384对应14，32768对应15，然后再把第一行中的对应数字加起来：14＋15＝29，对应第二行中的536870912， 所以有：16384×32768＝536870912, 故选C. 【点睛】本题考查了指数运算的另外一种算法，关键是认真审题，理解题意，属于简单题.11．B解析：B 【分析】根据函数为奇函数排除C ，取特殊值排除AD 得到答案. 【详解】当()22x xx f x -=+，()()22x x xf x f x ---==-+，函数为奇函数，排除C ； 2221(2)22242f -=<=+，排除A ；3324(3)22536f -==+，4464(4)224257f -==+，故()()34f f >，排除D. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，意在考查学生的计算能力和识图能力，取特殊值排除是解题的关键.12．B解析：B根据指数式与对数的互化公式，求得11lg2,lg5a b==，再结合对数的运算公式，即可求解. 【详解】因为2510a b ==，可得25log 10,log 10a b ==，所以11lg2,lg5a b==， 则11lg 2lg5lg101a b +=+==. 故选：B. 【点睛】本题主要考查指数式与对数的互化，以及对数的运算公式的化简、求值，其中解答中熟记指数式与对数的互化公式，以及对数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.二、填空题13．①③④【分析】由指数函数的图象函数的定义域对数函数的性质判断各命题①令代入判断②利用函数的定义求出的定义域判断③由对数函数的单调性判断④引入新函数由它的单调性判断【详解】①令则即图象过点①正确；②则解析：①③④ 【分析】由指数函数的图象，函数的定义域，对数函数的性质判断各命题．①，令1x =代入判断，②利用函数的定义求出()f x 的定义域判断，③由对数函数的单调性判断，④引入新函数1()ln 2ln 2xxg x x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由它的单调性判断．【详解】①令1x =，则(1)4f =，即()f x 图象过点(1,4)，①正确； ②13x <<，则012x <-<，∴()f x 的定义域是(0,2)，②错；③1log 1log 2a a a ，∴0112a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩，∴112a <<．③正确；④由22ln ln()x y x y -->-- (0x >,0y <)，得ln 2ln()2x y x y --<--，又1()ln 2ln 2xxg x x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭是(0,)+∞上的增函数， ∴由ln 2ln()2x y x y --<--，得x y <-，即0x y +<，④正确．故答案为：①③④【点睛】关键点点睛：本题考查指数函数的图象，对数函数的单调性，函数的定义域问题，定点问题：（1）指数函数(0x y a a =>且1)a ≠的图象恒过定点(0,1)； （2）对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠的图象恒过定点(1,0)， 解题时注意整体思想的应用．14．【分析】对自变量分情况讨论即然后对各种情况分别解不等式最后取并集；【详解】当时所以由此时不等式恒成立；当时则由则此时不等式恒成立；当时符合题意；当时解得∴综上可得不等式的解集为故答案为：【点睛】关键解析：7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】对自变量分情况讨论，即1x ≤，12x <≤，23x <<，3x ≥，然后对各种情况分别解不等式，最后取并集； 【详解】当1x ≤时，10x -≤，121x -≤，121x -≥，所以()11220x x f x --=-≤由2122x -≤，222x -≥，()221220x xf x ---=-<， 此时不等式()()10f x f x +-≤恒成立；当12x <≤时，()212110f x x x x =--=--=-<，011x <-≤，则()22122x xf x ---=-，由221x -≤，221x -≥，则()10f x -≤此时不等式()()10f x f x +-≤恒成立；当23x <<时，()()12131f x f x x x +-=--+--213110x x =--+--=-<， 符合题意；当3x ≥时，()()12131270f x f x x x x +-=--+--=-≤，解得72x ≤， ∴732x ≤<． 综上可得，不等式()()10f x f x +-<的解集为7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 故答案为：7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】关键点睛：本题考查分别函数解不等式的问题，涉及分类讨论思想的应用，解答本题的关键是对自变量x 的范围进行分类，即1x ≤，12x <≤，23x <<，3x ≥，从而得出()f x 和()1f x -的表达式，从而求解不等式，属于中档题.15．【分析】首先求出函数的定义域再根据复合函数的单调性计算可得【详解】解：则解得即函数的定义域为令则因为在上单调递增在上单调递减；在定义域上单调递减根据复合函数的单调性同增异减可知函数在上单调递增故答案 解析：()1,1-【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】 解：()()12log 13y x x =-+则()()130x x -+>解得31x -<<即函数的定义域为()3,1- 令()()()()21314t x x x x =-+=-++，()3,1x ∈-，则12logy t =因为()t x 在()3,1--上单调递增，在()1,1-上单调递减；12log y t =在定义域上单调递减根据复合函数的单调性“同增异减”可知函数()()12log 13y x x =-+在()1,1-上单调递增故答案为：()1,1- 【点睛】本题考查复合函数的单调区间的计算，属于基础题.16．2019【分析】观察的特点探究得再利用倒序相加法求解【详解】因为所以故答案为：2019【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法还考查了抽象概括的能力属于中档题解析：2019 【分析】观察122019101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 的特点，探究得()(2)2+-=f x f x ，再利用倒序相加法求解.【详解】因为()()()2442sin sin 222222x xf x f x x x πππ-+-=+++-=++ 所以1220192[]101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f12019120191010101010101010f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22019=⨯1220192019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：2019.【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法，还考查了抽象概括的能力，属于中档题.17．【分析】设值域为根据题意对分类讨论结合根的判别式即可求解【详解】设值域为函数的值域为当时值域为满足题意；当时须解得综上实数a 的取值范围是故答案为:【点睛】本题考查对数函数的性质复合函数的性质二次函数 解析：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】设2()u x ax x a =++值域为A ，根据题意(0,)A +∞⊆，对a 分类讨论，结合根的判别式，即可求解. 【详解】设2()u x ax x a =++值域为A ，函数22()log ()f x ax x a =++的值域为,(0,)R A +∞⊆，当0a =时，2()log f x x =值域为R ，满足题意；当0a ≠时，须20140a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得102a <≤， 综上，实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为:10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查对数函数的性质，复合函数的性质，二次函数的取值和根的判别式的关系，属于中档题.18．①④【分析】根据指数幂的运算法则判断①；采用举例子的方法判断②；根据指数函数的单调性判断③；利用指数幂的运算并采用作差法判断④【详解】对于①：因为所以故①正确；对于②：取所以所以不恒成立故②错误；对解析：①④ 【分析】根据指数幂的运算法则判断①；采用举例子的方法判断②；根据指数函数的单调性判断③；利用指数幂的运算并采用作差法判断④. 【详解】对于①：因为()()()12121212122,222x x x x x x f x x f x f x +++=⋅=⋅=，所以()()()1212f x x f x f x +=⋅，故①正确；对于②：取121,2x x ==，所以()()()()121224,246f x x f f x f x ⋅==+=+=，所以()()()1212f x x f x f x ⋅=+不恒成立，故②错误；对于③：因为()2xf x =是R 上的增函数，所以()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦，故③错误；对于④：因为()()121212122222,=222x x x x f x f x x x f ++++⎛⎫= ⎪⎝⎭，且121212*********22222222422220242x x x x x x x x x x x x ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅-⋅--==> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，故④正确， 所以正确的有：①④， 故答案为：①④. 【点睛】结论点睛：可直接判断函数单调性的几种变形形式： （1）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->或()()12120f x f x x x ->- 成立，则()f x 为单调递增函数；（2）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x --<或()()12120f x f x x x -<- 成立，则()f x 为单调递增函数. 19．②④【分析】根据对数函数的图像与性质以及函数的单调性和奇偶性逐个分析判断即可得解【详解】对于①由2x ﹣1＝1得x ＝1∴函数f （x ）＝loga （2x ﹣1）﹣1的图象过定点（1﹣1）故①错误；对于②函数解析：②④ 【分析】根据对数函数的图像与性质，以及函数的单调性和奇偶性，逐个分析判断即可得解. 【详解】对于①，由2x ﹣1＝1，得x ＝1，∴函数f （x ）＝log a （2x ﹣1）﹣1的图象过定点（1，﹣1），故①错误；对于②，函数f （x ）是定义在R 上的偶函数， 当x ≤0时，f （x ）＝x （x +1），设x ＞0，则﹣x ＜0， ∴f （x ）＝f （﹣x ）＝﹣x （﹣x +1）＝x （x ﹣1）， 则f （x ）的解析式为f （x ）＝x 2﹣|x |，故②正确； 对于③，由log a12＜1，得log a 12＜log a a ，当a ＞1时，不等式成立， 当0＜a ＜1时，解得012a <<.则a 的取值范围是（0，12）∪（1，+∞），故③错误； 对于④，由2﹣x ﹣2y ＞ln x ﹣ln （﹣y ）（x ＞0，y ＜0）， 得2﹣x ﹣lnx ＞2y ﹣ln （﹣y ），∵函数f （x ）＝2﹣x ﹣ln x 为定义域内的减函数， ∴x ＜﹣y ，即x +y ＜0，故④正确. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查了对数函数的运算以及对数函数的性质，考查了函数奇偶性和单调性的应用，考查了转化思想，属于中档题.本题涉及的方法有一下几个： （1）根据奇偶性求解析式，注意范围的设定； （2）构造函数，利用函数的单调性，确定大小关系.20．【分析】由奇函数定义求解【详解】设则∴此时时为奇函数故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性对于分段函数一般需要分类求解象这种由奇函数求参数可设求得参数值然后再验证这个参数值对也适用即可本题解析：1-． 【分析】由奇函数定义求解． 【详解】设0x >，则()1xf x e -=-，()xf x em --=+，∴10x x e m e --++-=，1m =-．此时，0x <时，()1,x f x e =-()1()xf x e f x -=-=-，()f x 为奇函数．故答案为：1-． 【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性，对于分段函数，一般需要分类求解．象这种由奇函数求参数，可设0x >，求得参数值，然后再验证这个参数值对0x <也适用即可．本题也可以由特殊值如(1)(1)f f -=-求出参数，然后检验即可．三、解答题21．（1）12）①(1,5)，2m =；②b ma >，理由见解析. 【分析】（1）根据对数的运算性质解得01x = （2）将322224log 2log 2b aba ab b++=++-化为2222log (2)2a a a +-2222322log log 32log 2b b b b b b =+-+-<+-，利用22()2log x h x x x=+-为增函数可得(2)()h a h b <，2a b <，即ma b <.【详解】（1）由已知得，2020log log (2)0x x +-=，[]200log (2)0x x -=，∴00(2)1x x -=，200210x x --=，∴01x =02x >，∴01x = （2）①22()log (1)log (5)g x x x =-+-，由1050x x ->⎧⎨->⎩，得15x <<，∴()g x 的定义域(1,5)D =.由于[]222()log (1)(5)log [(3)4]g x x x x =--=--+， ∴当3x =时，max 2()log 42m g x ===， ②由223224log 2log 2abba a a b++=++-，得2222214log 2log log 322a b a b a b +-=+--+， 即22222212log (2)2log log 3122ab a b a b +-=+--++22232log log 32b b b =+-+-，因为32222223log 3log 2log 3log log 02-=-=<，所以2222222322log (2)2log log 32log 22ab b a b b a b b+-=+-+-<+-， 考虑函数22()2log xh x x x=+-，所以(2)()h a h b <， 因2x ，2log x ，2x-都是增函数，所以()h x 为增函数，∴2a b <，∵2m =， 故始终有b ma >成立. 【点睛】关键点点睛：令22()2log xh x x x=+-，转化为(2)()h a h b <，利用单调性求解是解题关键.22．（1）2()361f x x x =--；（2）3a =或13a = 【分析】（1）由(0)(2)f f =，可知()f x 关于1x =对称，结合(1)4f =-、(0)1f =-，可求出函数()f x 的解析式；（2）分1a >和01a <<两种情况，分别讨论函数()xy f a =的最大值，令最大值等于8，可求出实数a 的值. 【详解】（1）∵(0)(2)1f f ==-，∴函数()f x 关于1x =对称，又(1)4f =-，故设2()(1)4f x b x =--，0b ≠，而(0)1f =-，41b ∴-=-，解得3b =，2()3(1)4f x x ∴=--，即2()361f x x x =--.（2）①当1a >时，101a <<，由11x -≤≤，则1x a a a≤≤， 由二次函数的性质可知，()xf a 的最大值为1(),()f f a a中的较大者，若211()3(1)48f a a=--=，解得13a =或1a =-，都不符合题意，舍去； 若()23(1)48f a a =--=，解得3a =或1a =-，只有3a =符合题意. ②当01a <<时，11a >，由11x -≤≤，则1x a a a≤≤， 由二次函数的性质可知，()xf a 的最大值为1(),()f f a a中的较大者，若211()3(1)48f a a=--=，解得13a =或1a =-，只有13a =符合题意； 若()23(1)48f a a =--=，解得3a =或1a =-，都不符合题意. 综上所述，实数a 的值为3a =或13a =. 【点睛】易错点睛：本题主要考查二次函数相关知识，属于中档题.解决该问题应该注意的事项： （1）要注意二次函数的开口方向、对称轴、顶点；（2）开口向上的二次函数，图象上的点离对称轴越远，函数值越大；离对称轴越近，函数值越小；（3）开口向下的二次函数，图象上的点离对称轴越远，函数值越小；离对称轴越近，函数值越大.23．（1）1；（2）1010． 【分析】（1）根据4()42xx f x =+的表达式，求出()(),1f a f a -的表达式，再进行分式通分运算，可得()()11f a f a +-=． （2）设12320202021202120212021S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再把S 的表达式运用加法交换律改写成20201202120212021202321S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，把两式相加利用()(1)1f x f x +-=求出S 的值． 【详解】（1）4()42xxf x =+，x ∈R ． ∴()()1f a f a +-1144444442424224aaaa a a a a--=+=+++++4214224a a a=+=++，（2）设12320202021202120212021S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则 20201202120212021202321S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 两式相加得：12[][][]92022020220120201202120212022120211021S f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由（1）得：20202201109211,1,,221202120212021202120220101f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴220201010S S =⇒=.【点睛】本题考查指数幂运算，分式运算，利用函数的性质进行式子求值，考查运算求解能力. 24．（1）22m n =⎧⎨=⎩；（2）1λ≥-. 【分析】（1）根据()f x 是奇函数，即()()f x f x -=-即可求解实数m ，n 的值；（2）利用换元法，转化为二次函数的问题讨论最值恒成立即可求解实数λ的取值范围. 【详解】（1）当0x >时，()()()12f x x n x ⎡⎤-=-++⎢⎥-⎣⎦，因为()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，()()()1122f x x n m x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫∴-=-++=-+-⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即()()1220m x n x ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭总成立. 2020m n -=⎧∴⎨-=⎩，22m n =⎧∴⎨=⎩， 又当0x <时，同理可得22m n =⎧⎨=⎩，综上：22m n =⎧∴⎨=⎩. （2）40x >，20x >，原不等式化为11242222042xx xxλλ⎛⎫⎛⎫+-++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令122xx t =+，则2t ≥， 原不等式进一步化为230t t λλ+--≥在2t ≥上恒成立. 记()23g t t t λλ=+--，[)2,t ∈+∞①当22λ-≤时，即4λ≥-时，()()min 210g t g λ==+≥，1λ∴≥-合理；②当22λ->时，即4<-λ时，()n2mi 3024g t g λλλ⎛⎫-=---≥ ⎪⎝⎭=，显然不成立.综上实数λ的取值范围为：1λ≥-. 【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，指数函数的单调性，奇函数的性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档.25．[)10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦【分析】先根据命题p 、q 为真命题时求出对应的实数a 的取值范围，再由题中复合命题的真假判断出p 、q 中一真一假，然后分“p 真q 假”和“p 假q 真”两种情况讨论，进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】由题知:p 关于x 的不等式1x a >（0a >且1a ≠）的解集是{}0x x <，所以：01a <<.:q函数()2lg 1y ax =+的定义域为R ，等价于x R ∀∈，210ax +>.（i ）当0a =时，不等式10+>在R 上不恒成立； （ii ）当0a ≠时，0240a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得12a >.即1:2q a >. 如果p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p 真q 假，或p 假q 真，若p 真q 假，则0112a a <<⎧⎪⎨≤⎪⎩，可得102a <≤；若p 假q 真，则0112a a a ≤≥⎧⎪⎨>⎪⎩或，可得1a ≥. 解得102a <≤或1a ≥. 所以，实数a 的取值范围是[)10,1,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查根据复合命题的真假求参数，考查指数函数的单调性以及对数型复合函数的定义域问题，考查运算求解能力，属于中等题. 26．（Ⅰ）114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）3,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（Ⅰ）把1m =代入，可得()122()log 238f x x x =-+，令2238y x x =-+，求出其在1[,2]2上的值域，利用对数函数的单调性即可求解. （Ⅱ）根据对数函数的单调性可得2()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增，再利用二次函数的图像与性质可得0,34,4(4)0,m m g >⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩解不等式组即可求解. 【详解】（Ⅰ）当1m =时，()122()log 238f x x x =-+，此时函数()f x 的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 因为函数2238y x x =-+的最小值为242835588⨯⨯-=. 最大值为22232810⨯-⨯+=，故函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）因为函数14log y x =在(0,)+∞上单调递减，故2()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增，则0,34,4(4)0,m m g >⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩ 解得310m ≥，综上所述，实数m 的取值范围3,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性求值域、利用对数型函数的单调区间求参数的取值范围以及二次函数的图像与性质，属于中档题.。
北师大版高中数学必修一指数函数的概念同步练习(1)
指数与指数函数同步练习一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（ ）A 、11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭B 、113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 、13212-- D 、1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭2、44等于（ ）A 、16aB 、8aC 、4aD 、2a3、若1,0a b ><,且b b a a -+=则b b a a --的值等于（ ） A 、6B 、2±C 、2-D 、24、函数()2()1xf x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A 、1>a B 、2<a C、a <、1a <5、下列函数式中，满足1(1)()2f x f x +=的是( ) A 、 1(1)2x + B 、14x + C 、2x D 、2x -6、下列2()(1)x x f x a a -=+是（ ）A 、奇函数B 、偶函数C 、非奇非偶函数D 、既奇且偶函数7、已知,0a b ab >≠，下列不等式（1）22a b >；(2)22a b>；(3)ba 11<；(4)1133a b >；(5)1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中恒成立的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个8、函数2121x x y -=+是（ ）A 、奇函数B 、偶函数C 、既奇又偶函数D 、非奇非偶函数9、函数121x y =-的值域是（ ）A 、(),1-∞B 、()(),00,-∞+∞ C 、()1,-+∞ D 、()(,1)0,-∞-+∞10、已知01,1a b <<<-,则函数x y a b =+的图像必定不经过（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限11、2()1()(0)21x F x f x x ⎛⎫=+⋅≠ ⎪-⎝⎭是偶函数，且()f x 不恒等于零，则()f x ( )A 、是奇函数B 、可能是奇函数，也可能是偶函数C 、是偶函数D 、不是奇函数，也不是偶函数12、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（ ）A 、(1%)na b -B 、(1%)a nb -C 、[1(%)]n a b -D 、(1%)n a b - 二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上） 13、若103,104x y ==，则10x y -= 。
北师大版高中数学必修一指数函数的概念同步练习
高一数学指数与指数函数（必修1）周练试题一．选择题（每题5分，共40分） 1. 下列各式成立的是（ ） A ．()622-=()312- B.31324= C.()32322b a b a +=+ D. 5155b a a b =⎪⎭⎫⎝⎛2. 若0≠xy ,则可以使xy y x 2422-=成立的条件是（ ）A. 0,0>>y xB. 0,0<>y xC. 0,0≥<y xD. 0,0<<y x 3.()()()=-+-+-3322111a a a （ ）A. a -1B. 1-aC. 33-aD. a 33-4. 化简：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----2141811613212121212121，结果是（ ）A. 13212121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- B.121321-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+- C. 32121-- D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-3212121 5. 若函数)10(1≠>-+=a a b a y x且的图像经过第二、三、四象限，则一定有（ ） A. 010><<b a 且 B. 01>>b a 且 C. 010<<<b a 且 D. 01<>b a 且6. 函数1212+-=x x y 是（ ）A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数 7. 当0>x 时，函数()xa y 12-=的值总大于1，则实数a 的取值范围是（ ） A. 21<<a B. 1<a C. 1>a D. 2>a8. 要得到函数xy 212-=的图像，只需将指数函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛=41的图像（ ）A. 向左平移1各单位长度B. 向右平移1各单位长度C. 向左平移21各单位长度 D. 向右平移21各单位长度 请把选择题的答案写在表格内：班级_______________ 姓名________________ 座号__________ 得分_____________ 二．填空题（每题4分，共16分）9. 化简：()()()=-+--+⎪⎭⎫⎝⎛----12132322510002.0833_________.10. 不等式x x 283312--<⎪⎭⎫ ⎝⎛的解集是__________________________.11. 已知,122+=xa求xx xx a a a a --++33=___________.12. 定义运算：⎩⎨⎧>≤=⊗)()(b a b b a a b a ，则函数()xx x f -⊗=22的值域为_________________三．简答题（共34分）13. （1）求函数13191312122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=---x x x y 的定义域；（10分）（2）求函数,3241+-=+x xy (]1,∞-∈x 的值域：（12分）14. 已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<≤+<<+=-11201)(2x c c x cx x f c x 满足()892=cf ， （1）求常数c 的值；（2）解不等式()182+>x f ; （6+6=12分）高一数学指数与指数函数（2）（必修1）周练试题一、选择题：1．化简［32)5(-］43的结果为（ ）A ．5B ．5C ．－5D ．－5 2．化简46394369)()(a a ⋅的结果为（ ）A ．a 16B ．a 8C ．a 4D ．a 23．设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-（ ）A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．),0()2,(+∞⋃--∞D ．),1()1,(+∞⋃--∞4．设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则（ ）A ．y 3＞y 1＞y 2B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 1＞y 3＞y 2 5．当x ∈［－2，2)时，y =3－x －1的值域是（ ）A ．［－98，8］ B ．［－98，8］ C ．(91，9) D ．［91，9］ 6．在下列图象中，二次函数y =ax 2＋bx ＋c 与函数y =(ab)x 的图象可能是 （ ）7．已知函数f (x )的定义域是(0，1)，那么f (2x)的定义域是（ ）A ．(0，1)B ．(21，1) C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞) 8．若集合}1|{},2|{-====x y y P y y M x ，则M ∩P=（ ）A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y题号 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 答案班级_______________ 姓名________________ 座号__________ 得分_____________ 二、填空题：9．计算：210319)41()2(4)21(----+-⋅- ＝ ．10．函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值的和为3，则=a ．11．不等式1622<-+x x 的解集是 ．12．下列说法中，正确的是________________________.①任取x ∈R 都有3x ＞2x ②当a ＞1时，任取x ∈R 都有a x ＞a －x ③y =(3)－x是增函数④y =2|x |的最小值为1 ⑤在同一坐标系中，y =2x 与y =2－x 的图象对称于y 轴 三、解答题： 18．已知,32121=+-x x 求3212323++++--x x x x 的值．19．求函数y =3322++-x x 的定义域、值域和单调区间．21．设0≤x ≤2，求函数y =1224221++⋅--a a xx 的最大值和最小值．高一数学指数与指数函数（必修1）周练试题答案一、选择题：二、填空题：9. 6; 10. 2; 11. }12|{<<-x x ; 12. ④⑤ 三、简答题：18.解析：由,9)(22121=+-xx 可得x ＋x －1=7∴2323-+xx =……=18， 故原式=219.解析：(1)定义域显然为(－∞，＋∞)．(2)uy x x x x f u 3.4)1(423)(22=∴≤--=-+==Θ是u 的增函数， 当x =1时，y max =f (1)=81，而y =3223++-x x ＞0．∴]81,0(,3304即值域为≤<u．(3) 当x ≤1 时，u =f (x )为增函数， uy 3=是u 的增函数， 由x ↑→u ↑→y ↑∴即原函数单调增区间为(－∞，1］；当x ＞1时，u =f (x )为减函数，u y 3=是u 的增函数， 由x ↑→u ↓→y ↓∴即原函数单调减区间为［1，＋∞).21.解析：设2x =t ，∵０≤x ≤2，∴1≤t ≤4原式化为：y =21(t －a )2＋1 当a ≤1时，y min =942,2322max 2+-=+-a a y a a ； 当1＜a ≤25时，y mi n =1，y max =2322+-a a ； 当a ≥4时，y min =232,9422max 2+-=+-a a y a a ．。
北师大版高中数学必修一同步练习检测指数函数
3-3 指数函数 基 础 巩 固一、选择题1．若函数y ＝(1－a )x在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(－∞，1) D ．(－1,1) [答案] B[解析] ∵函数y ＝(1－a )x 在(－∞，＋∞)上是减函数， ∴0<1－a <1，∴0<a <1.2．函数y ＝2－x的图像是下图中的( )[答案] B[解析] ∵y ＝2－x ＝(12)x ，∴函数y ＝(12)x 是减函数，且过点(0,1)，故选B.3．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－2x的单调递增区间是( )A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞) [答案] C[解析] 令u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，当x ≤1时，u ＝x 2－2x 是减函数；当x ≥1时，u ＝x 2－2x 是增函数，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23u为减函数，故当x ≤1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－2x为增函数．4．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<2x ＋1<4，x ∈Z，则M ∩N 等于( ) A ．{－1,1} B ．{－1}C ．{0}D ．{－1,0}[答案] B[解析] 解法一：(排除法)M ∩N ⊆M ，故排除C 、D ；x ＝1时，2x ＋1＝4则1∉N ，排除A.故选B.解法二：∵12<2x ＋1<4，∴－2<x <1.又∵x ∈Z ，∴x ＝－1,0.∴N ＝{－1,0}，∴M ∩N ＝{－1}．故选B.5．(2011·湖北文)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x －e －x B.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x )D.12(e x －e －x ) [答案] D[解析] 本题考查了函数的奇偶性，用－x 代x ，联立求g (x )．由f (x )＋g (x )＝e x知f (－x )＋g (－x )＝e －x ，而f (x )，g (x )分别为偶函数，奇函数， 则f (x )＝f (－x )，g (x )＝－g (－x )，所以有⎩⎨⎧f x ＋g x ＝e xf x －g x ＝e－x解得g (x )＝12(e x －e －x )．6．函数y ＝a x 在[0,1]上最大值与最小值的和为3，则a 等于( ) A.12 B ．2 C ．4 D.14 [答案] B[解析] 当0<a <1时，显然不合题意，故由已知得a >1，当x ＝0时，y min ＝a 0＝1， 当x ＝1时，y max ＝a 1＝a ，又∵1＋a ＝3，∴a ＝2.故正确答案为B. 二、填空题 7．函数f (x )＝a x 2＋2x －3＋m (a >1)恒过点(1,10)，则m ＝________.[答案] 9[解析] ∵函数f (x )＝a x 2＋2x －3＋m (a >1)恒过点(1,10)， ∴10＝a 0＋m ，∴m ＝9.8．函数y ＝的定义域是__________，值域为__________．[答案] [－1,2] [24，1] [解析] 由－x 2＋x ＋2≥0得－1≤x ≤2， 此时－x 2＋x ＋2∈[0，94]∴u ＝－x 2＋x ＋2∈[0，32]，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u ∈[24，1]．三、解答题9．求下列函数的值域和单调区间． (1)y ＝(12)－x 2＋2x；(2)y ＝4x －2x ＋1＋3，x ∈(－∞，1]．[分析] 这两个小题均以指数函数形式出现但都是由两个函数复合而成． (1)中y ＝(12)u ，u ＝－x 2＋2x ；(2)中y ＝t 2－2t ＋3，t ＝2x .先考虑其定义域，再求其值域．求单调区间可由复合函数的单调性来确定． [解析] (1)设u ＝－x 2＋2x .∵y ＝(12)u ，u ＝－x 2＋2x 的定义域都是R ，∴y ＝(12)－x 2＋2x的定义域为R ，∵u ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，∴(12)u ≥(12)1， ∴函数的值域为[12，＋∞)．u ＝－(x －1)2＋1在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减． 又∵y ＝(12)u 是减函数，∴y ＝(12)－x 2＋2x的单调递减区间为(－∞，1]，单调递增区间为[1，＋∞)． (2)y ＝22x －2·2x ＋3，令t ＝2x ，x ∈(－∞，1]，∴t ∈(0,2]， ∴y ＝t 2－2t ＋3＝(t －1)2＋2. 当t ＝1时，y min ＝2；当t ＝2时，y max ＝22－2×2＋3＝3. ∴函数值域为[2,3]．当1≤t ≤2时，1≤2x ≤2,0≤x ≤1， 当0<t <1时，0<2x<1，x <0，∵y ＝(t －1)2＋2在[1,2]上递增，t ＝2x在[0,1]上递增， ∴y ＝22x －2·2x ＋3的单调递增区间为[0,1]；∵y ＝(t －1)2＋2在(0,1)上递减，t ＝2x 在(－∞，0)上递增， ∴y ＝22x－2·2x＋3的单调递减区间为(－∞，0).能 力 提 升一、选择题1．(2011·福建文)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 [答案] A[解析] 本题考查分段函数求值．∵f (1)＝21＝2，∴由f (a )＋f (1)＝0知 f (a )＝－2. 当a >0时 2a ＝－2不成立．当a <0时a ＋1＝－2，a ＝－3.2．(2012·武穴高一检测)定义运算a *b ＝⎩⎨⎧a a ≤b b b <a，如1]( )A ．(0,1)B ．(0，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(0,1] [答案] D[解析] 由题意知函数f (x )的图像如图，∴函数的值域为(0,1]，故选D. 二、填空题 3．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．[答案] m <n [解析] ∵a ＝5－12，∴0<a <1， 函数f (x )＝a x在x ∈R 上是单调递减的且f (m )>f (n )，∴m <n .4．若函数y ＝m ·3x －1－1m ·3x －1＋1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．[答案] [0，＋∞)[解析] 要使函数y ＝m ·3x －1－1m ·3x －1＋1的定义域为R ，则对于任意实数x ，都有m ·3x －1＋1≠0，即m ≠－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1.而⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1>0，∴m ≥0. 故所求m 的取值范围是m ≥0，即m ∈[0，＋∞)． 三、解答题5．设f (x )＝4x4x ＋2，若0<a <1，试求：(1)f (a )＋f (1－a )的值；(2)f (11001)＋f (21001)＋f (31001)＋…＋f (10001001)的值． [解析] (1)f (a )＋f (1－a ) ＝4a 4a ＋2＋41－a 41－a ＋2＝4a4a ＋2＋44a44a ＋2 ＝4a 4a ＋2＋44＋2·4a ＝4a 4a＋2＋22＋4a ＝4a ＋24a ＋2＝1. (2)f (11001)＋f (21001)＋f (31001)＋…＋f (10001001) ＝[f (11001)＋f (10001001)]＋[f (21001)＋f (9991001)]＋…＋[f (5001001)＋f (5011001)]＝500×1＝500.6．是否存在实数m ，使得函数f (x )＝x 2·3x －m3x ＋m为奇函数？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．[分析] 先假设存在使条件成立的m 的值，根据题目要求列方程求解，再检验． [解析] 因为g (x )＝x 2为R 上的偶函数，所以要使f (x )为奇函数，只需h (x )＝3x－m3x ＋m 为奇函数即可．假设存在实数m 使h (x )为奇函数，由h (x )＋h (－x )＝0，即3x－m 3x ＋m ＋3－x－m 3－x ＋m ＝0，3x －m 3x ＋m ＋1－m ·3x1＋m ·3x ＝0.去分母，得 (3x －m )(1＋m ·3x )＋(3x ＋m )(1－m ·3x )＝0. 整理，得2·3x ·(1－m 2)＝0，解得m ＝±1. 经检验，当m ＝±1时，f (x )为奇函数． 故存在m ＝±1，使函数f (x )为奇函数． 7．已知f (x )＝10x －10－x 10x ＋10－x .(1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)证明f (x )是定义域内的增函数； (3)求f (x )的值域．[分析] 本题是一道综合题，需利用函数的有关性质，如单调性、奇偶性等知识解决．[解析] (1)∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝10－x －10x10－x ＋10x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)证法1：f (x )＝10x －10－x 10x ＋10－x ＝102x －1102x ＋1＝1－2102x＋1. 令x 2>x 1，则Δx ＝x 2－x 1>0，。
北师大版高中数学必修一3.3《指数函数》周练1(必修1).doc
数学：3.3《指数函数》周练1（北师大版必修1）一．选择题（每题5分，共40分） 1. 下列各式成立的是（ ） A ．()622-=()312- B.31324= C.()32322b a b a +=+ D. 5155b a a b =⎪⎭⎫⎝⎛2. 若0≠xy ,则可以使xy y x 2422-=成立的条件是（ ）A. 0,0>>y xB. 0,0<>y xC. 0,0≥<y xD. 0,0<<y x 3.()()()=-+-+-3322111a a a （ ）A. a -1B. 1-aC. 33-aD. a 33-4. 化简：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----2141811613212121212121，结果是（ ）A. 13212121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- B. 121321-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+- C. 32121-- D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-32121215. 若函数)10(1≠>-+=a a b a y x且的图像经过第二、三、四象限，则一定有（ ） A. 010><<b a 且 B. 01>>b a 且 C. 010<<<b a 且 D. 01<>b a 且6. 函数1212+-=x x y 是（ ）A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数 7. 当0>x 时，函数()xa y 12-=的值总大于1，则实数a 的取值范围是（ ）A. 21<<aB. 1<aC. 1>aD. 2>a8. 要得到函数xy 212-=的图像，只需将指数函数xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=41的图像（ ）A. 向左平移1各单位长度B. 向右平移1各单位长度C. 向左平移21各单位长度 D. 向右平移21各单位长度 二．填空题（每题4分，共16分）9. 化简：()()()=-+--+⎪⎭⎫⎝⎛----012132322510002.0833_________.10. 不等式x x 283312--<⎪⎭⎫ ⎝⎛的解集是__________________________.11. 已知,122+=xa求xx xx a a a a --++33=___________.12. 定义运算：⎩⎨⎧>≤=⊗)()(b a b b a a b a ，则函数()xx x f -⊗=22的值域为_________________三．简答题（共34分） 13. （1）求函数13191312122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=---x x x y 的定义域；（10分）（2）求函数,3241+-=+x xy (]1,∞-∈x 的值域：（12分）14. 已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<≤+<<+=-11201)(2x c c x cx x f c x 满足()892=cf ，（1）求常数c 的值；（2）解不等式()182+>x f ; （6+6=12分）参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B A C A D D。
高中数学 3.1 正整数指数函数同步课时训练 北师大版必
【世纪金榜】（教师用书）2014高中数学 3.1 正整数指数函数同步课时训练北师大版必修1(30分钟 50分)一、选择题（每小题4分，共16分）1.已知正整数指数函数f（x）=（a-2）a x，则f（2）=( )(A)2 (B)3 (C)9 (D)162.（2012·广州高一检测）当x∈N+时，函数y=（a-1）x的值总大于1，则实数a的取值范围是( )(A)1＜a＜2 (B)a＜1(C)a＞1 (D)a＞23.某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是( )(A)增加7.84% (B)减少7.84%(C)减少9.5% (D)不增不减4.由于生产电脑的成本不断降低，若每年电脑价格降低13，设现在的电脑价格为8 100元，则3年后的价格可降为( )(A)2 400元 (B)2 700元(C)3 000元 (D)3 600元二、填空题（每小题4分，共8分）5.正整数指数函数f(x)=(a-2)(2a)x(x∈N+)在定义域N+上是__________的.(填“增加”或“减少”)6.已知0＜a＜1，则函数y=a x-1（x∈N+）的图像在第___________象限.三、解答题（每小题8分，共16分）7.在正整数指数函数y=a x(a＞0且a≠1,x∈N+)中，分别求满足下列条件的a的取值范围.（1）若y=a x在x∈N+上是减少的,求a的取值范围.（2）若a x≥a,x∈N+,求a的取值范围.8.（易错题）某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经过调查，现有森林面积为10 000 m2，每年增长10%，经过x年，森林面积为y m2.(1)写出x，y之间的函数关系式；（2）求出经过10年后森林的面积(可借助计算器).【挑战能力】（10分）一个人喝了少量酒后血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少.为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液中酒精含量不得超过0.08 mg/mL.问喝了少量酒的驾驶员，至少过几小时才能驾驶?(精确到1小时)答案解析1.【解析】选C.由于a21,a0a1,-=⎧⎨≠⎩＞且则a=3，∴f（x）=3x（x∈N+）,∴f(2)=32=9,故选C.2.【解题指南】根据函数在N+上的值总大于1确定a-1的范围. 【解析】选D.在y=（a-1）x中，当x=0时，y=1.而x∈N+时，y＞1，则必有a-1＞1，∴a＞2，故选D.3. 【解析】选B.设商品原价为a，两年后价格为a（1+20%）2，四年后价格为a（1+20%）2（1-20%）2=a（1-0.04）2=0.921 6a，∴a0.921 6aa-×100%=7.84%，故选B.4.【解析】选A.1年后价格为8 100×(1-13)=5 400（元）,2年后价格为5 400×（1-13）=3 600（元）,3年后价格为3 600×（1-13）=2 400（元）.5.【解析】∵f(x)=(a-2)(2a)x是正整数指数函数, ∴a-2=1,且2a＞0，2a≠1,∴a=3,∴f(x)=6x,x∈N+.∵6>1,∴f(x)在N+上是增加的.答案：增加6.【解析】y=a x的图像在第一象限中x轴上方、直线y=1下方的一个区域内，而y=a x-1的图像是将y=a x 图像向下平移1个单位，因此，图像在第四象限.答案：四7.【解析】（1）由于y=a x（a＞0且a≠1，x∈N+）在x∈N+上是减少的，所以由正整数指数函数的性质知0＜a＜1.（2）∵a x≥a1,x∈N+,可知y=a x（x∈N+）在N+上是增加的,∴a＞1.【方法技巧】函数单调性概念的应用技巧本题的考点是函数的单调性应用问题，如在（1）中可直接利用指数函数单调减少的概念确定字母a的取值范围.如在（2）中把不等式问题转化为函数的单调性问题来研究，利用指数函数单调增加的概念确定a的取值范围.函数的单调性还经常应用于求最值、比较大小等问题.8.【解题指南】（1）归纳出函数关系式；（2）转化为当x=10时对应的函数值.【解析】(1)当x=1时，y=10 000+10 000×10%=10 000（1+10%）;当x=2时，y=10 000（1+10%）+10 000（1+10%）×10%=10 000（1+10%）2；当x=3时，y=10 000（1+10%）2+10 000（1+10%）2×10%=10 000（1+10%）3；…∴x，y之间的函数关系式是y=10 000（1+10%）x（x∈N+）.(2)当x=10时，y=10 000×（1+10%）10≈25 937.42.即经过10年后，森林面积约为25 937.42 m2.【挑战能力】【解析】1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3（1-50%） mg/mL，x小时后其酒精含量为0.3（1-50%）x mg/mL.由题意知：0.3（1-50%）x≤0.08，（12）x≤415.采用估算法，x=1时，（12）1=12＞415；x=2时，（12）2=14=416＜415.由于y=（12）x是减函数，所以满足要求的x的最小整数为2，故至少过2小时驾驶员才能驾驶.。
北师大版高中数学必修一学指数函数课后训练
2013-2014学年高中数学 3.3指数函数课后训练北师大版必修1"基础巩固1．设集合S＝{y|y＝3x，x∈R}，T＝{y|y＝x2－1，x∈R}，则S∩T是()．A．∅B．T C．S D．有限集2．函数f(x)12x-的定义域为()．A．(－∞，0) B．[0，＋∞)C．(－∞，0] D．(－∞，＋∞)3．定义运算a*b＝,,,,a a bb a b≤⎧⎨>⎩例如1*2＝1，则函数y＝1*2x的值域为( )A．(0，1) B．(－∞，1) C．[1，＋∞) D．(0,1]4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝13x⎛⎫⎪⎝⎭，那么12f⎛⎫⎪⎝⎭的值是()．A 3B3C．3-D．95．函数y＝a x在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a＝()．A．12B．2 C．4 D．146．函数y＝a x＋2(a＞0，且a≠1)的图像经过的定点坐标是()．A．(0,1) B．(2,1) C．(－2,0) D．(－2,1) 7．函数y1＝0.13x和y2＝0.31x的大致图像是()．8．已知1335a-⎛⎫= ⎪⎝⎭，1235b-⎛⎫= ⎪⎝⎭，1243c-⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a，b，c三个数的大小关系是()．A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c 能力提升9．若函数y＝a x＋b－1(a＞0，a≠1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有()．A．0＜a＜1且b＞0 B．a＞1且b＞0C．0＜a＜1且b＜0 D．a＞1且b＜010．已知函数f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中，一定成立的是()．A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b≥0，c＞0C．2－a＜2c D．2a＋2c＜211．函数f(x)＝33,0,,0xx a xa x-+-<⎧⎨≥⎩(a＞0且a≠1)是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是________．12．已知函数f(x)＝22333xx+，则12100101101101f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L＝________.13．已知函数f(x)＝a x－1(x≥0)的图像经过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，其中a＞0且a≠1.(1)求a的值；(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．14．已知函数f(x)＝221xa-+(a∈R)．(1)用定义证明函数f(x)在R上是增函数．(2)探索是否存在实数a，使得函数f(x)为奇函数？若存在，求出a值；若不存在，请说明理由．15．对于函数261712x xy-+⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)求函数的定义域和值域；(2)确定函数的单调区间．16．已知方程9x－2×3x＋(3k－1)＝0有两个实根，求实根k的取值范围．参考答案1．C点拨：集合S是指数函数y＝3x，x∈R的值域，另知S＝{y|y＞0}；集合T是二次函数y＝x2－1，x∈R的值域，易知T＝{y|y≥－1}.由交集的运算性质可知S∩T＝{y|y＞0}＝S，这是一个无限集.2．C点拨：要使函数f(x)1－2x≥0，即2x≤20.∵指数函数y＝2x在R上是增函数，∴x≤0.故函数f(x)(－∞，0].3．D点拨：由函数f(x)＝2x的图像可知，y＝1*2x＝20 10. x xx⎧≤⎨>⎩，，，又∵当x≤0时，0＜2x≤1，∴函数y＝1*2x的值域为(]0,14．C点拨：12111223f f-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.5．B点拨：y＝a x在[0,1]上的最大值与最小值的和a0＋a1＝3⇒a＝2.6．D点拨：当x＋2＝0，即x＝－2时，无论a取何值，必有a x＋2＝1，即y＝1.所以函数y＝a x＋2(a＞0，且a≠1)的图像经过的定点坐标是(－2,1)．7．C点拨：因为函数y＝0.13x和y＝0.31x在R上都是减函数，所以可排除选项A和D；又根据底数对指数函数图像的影响规律知，“在第一象限内，指数函数的底数从下向上依次增大”，故选C.8．A点拨：∵指数函数35xy⎛⎫= ⎪⎝⎭在R上是减函数，1132->-，∴113233155--⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b＞a＞1.又由指数函数43xy⎛⎫= ⎪⎝⎭的性质可知，12413-⎛⎫<⎪⎝⎭，即c＜1.∴c＜a＜b.9．C点拨：因为函数y＝a x＋b－1(a＞0且a≠1)的图像可以看作由y＝a x(a＞0且a≠1)的图像向上或向下平移|b－1|个单位长度得到的，所以若它的图像经过第二、三、四象限，则其图像如图所示，故0＜a＜1，且b－1＜－1，所以b＜0.10．D点拨：作出函数f(x)＝|2x－1|的图像如下图中实线所示，又a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f (b )，结合图像知f (a )＜1，a ＜0，c ＞0.∴0＜2a ＜1，∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a .∴f (c )＜1，∴0＜c ＜1.∴1＜2c ＜2，f (c )＝|2c －1|＝2c －1.又f (a )＞f (c )，即1－2a ＞2c －1.∴2a ＋2c ＜2.11．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦点拨：当x ＜0时，函数f (x )＝－x ＋3－3a 是减函数，当x ≥0时，若函数f (x )＝a x 是减函数，则0＜a ＜1.要使函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，需满足0＋3－3a ≥a 0，解得23a ≤，所以a 的取值范围是01,2,3a a <<⎧⎪⎨≤⎪⎩即0＜a ≤23. 12．50 点拨：∵f (x )＋f (1－x )＝11999993919393939399339xxxx x x x x x x x--+=+=+=++++++，∴原式＝11002995051101101101101101101f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ＝5011+1++1=50L 14243个相加. 13．解：(1)∵函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图像经过点122⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∴f (2)＝12，即a 2－1＝12，∴a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝112x -⎛⎫⎪⎝⎭(x ≥0)，此函数是减函数，其图像可由12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭(x ≥－1)的图像向右平移1个单位长度得到(如图所示)．故函数112x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭(x ≥0)的值域为(0,2]．14．解：(1)任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1212212122222(22)21212121(21)(21)x x x x x x x x a a -⎛⎫⎛⎫---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭. ∵指数函数y ＝2x 在R 上是增函数，且x 1＜x 2，∴122<2x x，故12220x x -<.又由2x ＞0得12+1>0x ,22+1>0x ，∴f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，∴函数f (x )在R 上是增函数． (2)(方法1)若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )， 即222121x xa a -⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭. ∴222222(21)2=22121212121x x x x x x x a -⨯+=+=+=+++++，故a ＝1.∴当a ＝1时，f (x )为奇函数．(方法2)∵函数f (x )在x ＝0处有意义， ∴若f (x )为奇函数，则f (0)＝0， 即02021a -=+，解得a ＝1. ∴当a ＝1时，f (x )为奇函数．15．解：设u ＝x 2－6x ＋17，则12uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)定义域为R .∵u ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，12u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，∴811122256u y ⎛⎫⎛⎫=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故原函数的值域为10,256⎛⎤ ⎥⎝⎦. (2)函数u ＝x 2－6x ＋17在[3，＋∞)上是增函数，即对任意的x 1，x 2∈[3，＋∞)，且x 1＜x 2，都有u 1＜u 2，从而121122u u⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即y 1＞y 2.∴函数261712x x y -+⎛⎫=⎪⎝⎭在[3，＋∞)上为减函数．同理可知，261712x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在(－∞，3]上为增函数．16．解：令3x ＝t ＞0，则方程化为 t 2－2t ＋(3k －1)＝0.①要使原方程有两个实根，方程①必须有两个正根，设两个根为t 1，t 2，则2121224(31)0,310,20,k t t k t t ⎧∆=--≥⎪⋅=->⎨⎪+=>⎩ 解得1233k <≤. 故实数k 的取值范围是12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦.。
【基础练习】《指数函数的概念》(数学北师大必修一).doc
《指数函数的概念》基础练习1.下列各项对正整数指数函数的理解正确的有（）①底数此0；②指数XWN+；③底数不为0；④y=/（d>o,狞1, XWN+）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2.函数y=（2）\ x^N+的值域是（）A. RB. [0, +oo)C. N r 」 1 1D. q 尹3.下列函数：①y=3,（兀GN+）；②）=5$EN+）；③y=3"+l(xWN+)；④y=3・2"(xWN+)・其中是正整数指数函数的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4.函数丿=（新，xEN+是（）A.奇函数B.偶函数C.增函数D.减函数5.函数y=7\ xWN+的单调递增区间是（)A. R B ・N + C. [0, +oo)D.不存在6.满足3以一|=*的x 的值的集合为（ )A. {1}B. (-1,1)C. 0D. {0}7.下列各项对正整数指数函数的理解正确的有（）①底数心0；②指数xWN+；③底数不为0； @y=a x （a>0, a+\, xWN+）.A. 0个B. 1个C. 2个 D ・3个8. 若集合 A = [y\y=2\ 圧N+}, B={y\y=jC,圧N+},则( ) X. A B B. A B C. A = BD. AB M9. 若G >0,小加为正整数，则下列各式屮正确的是() mnA. a m ^a n =aB. a n -a m =a m,tC. (aT=a n+nD. a m a~n =a m 'n10. 已知Ovxl, b<0,则函数y=a'+如:丘N+)的图像经过()11. 一批价值G 万元的设备由于使用时磨损，每年比上一年的价值降低b%,则77年后, 这批设备的价值为（）A. n 6f （l —/?%）7J 元B. Q （1—必％）万元C. a[l —（b%）n ]万元D. d （l —b%）"万元12. 某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次由一个分裂成两个，这种细菌由一个繁殖成4096个需要经过的小时数为（）A. 12小时B. 4小时C. 3小时D. 2小时13. 某商人将彩电先按原价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了 270元，那么每台彩电原价是 _________ 元.14. 已知函数人兀）=（加一1）・4%V GN+）是正整数指数函数，则实数加= ___ • 15. 由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低则现在价格为8100元的计算机经过15年价格应降为 _________答案和解析A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】1. D2- D 3. B 4. D 5. D 6. C7. D8. D9. D10. D 11. D 12. C13. 225014. 2 15.2400 元【解析】1.由正整数指数函数定义知①错误，②③④正确故选D.2.・・5WN+,・•・把〃=1,2,3, ...代入可知选D.3.由正整数指数函数的定义知，①③④不是正整数指数函数，②是，故选B.4.VO<|<1,当xWN+且由小变大时，函数值由大变小，故选D.5.由于函数y=7\兀WN+的定义域是N+,而N+不是区间，则该函数不存在单调区间.6.3宀=3巴・・./一1 = 一2,即”=一1,无解.7.由正整数指数函数定义知①错误，②③④正确故选D.8.VA= {2,4,8,16,32, .......... },B={ 1,4,9,16,25, ......},・・・2丘人，且2GB； 9丘〃且9$4,故选D.9.由指数幕的运算法则有正确.故选D.10.y=a+b的图像，可看成y=a(0<a<\, %eN+)的图像向下移|切个单位得到，而y =a\0<a<\)过第一象限，・・・〉=/+b的图像一定过第四象限.11.每经过一年磨损，价值变为上一年价值的(1一b%)倍，故经过n年，价值变为。
北师版高中数学必修第一册课后习题 第3章 指数运算与指数函数 第1课时 指数函数的概念、图象和性质
03 §3 指数函数3.1 指数函数的概念 3.2 指数函数的图象和性质第1课时 指数函数的概念、图象和性质A 级必备知识基础练1.[探究点一]如果函数f(x)=2a·3x 和g(x)=2x-(b+3)都是指数函数,则a b =( ) A.18B.1C.9D.82.[探究点二]函数y=a x -a(a>0,且a≠1)的图象可能是( )3.[探究点三]已知a=30.2,b=0.2-3,c=3-0.2,则a,b,c 的大小关系为( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>bD.b>c>a4.[探究点三]设函数f(x)={2-x ,x ≤0,1,x >0,则满足f(x+1)<f(2x)的x 的取值范围是( )A.(-∞,1)B.(0,+∞)C.(1,+∞)D.(-∞,0)5.[探究点二]函数f(x)=a x-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的序号是.①a>1,b<0 ②a>1,b>0③0<a<1,b>0 ④0<a<1,b<06.[探究点二·上海青浦高一期末]已知a>0且a≠1,函数y=a3-x+1的图象恒过一个定点,此定点的坐标为.x.7.[探究点二、三·北京海淀高一月考]设f(x)=3x,g(x)=13(1)在同一平面直角坐标系中作出f(x),g()与g(-m)的值,从中你能得到什么结论?B 级关键能力提升练8.函数f(x)=3a x-2+5(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,点P 又在幂函数g(x)的图象上,则g(-2)的值为( ) A.-8B.-9C.-18D.-199.[江西宜春高一期末]已知偶函数f(x)={3x +a ,x ≥0,g (x ),x <0,则满足f(x-1)<f(2)的实数x 的取值范围是( ) A.(-∞,3) B.(3,+∞) C.(-1,3)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)C 级学科素养创新练10.(多选题)已知函数f(x)是定义在[-4,0)∪(0,4]上的奇函数,当x ∈(0,4]时,f(x)的图象如图所示,那么满足不等式f(x)≥3x -1的x 的可能取值是( )A.-3B.-1C.1D.3参考答案 §3 指数函数 3.1 指数函数的概念 3.2 指数函数的图象和性质 第1课时 指数函数的概念、图象和性质1.D 根据题意可得2a=1⇒a=12,-(b+3)=0⇒b=-3,则a b =12-3=8.故选D.2.C 当a>1时,y=a x 是增函数,-a<-1,则函数y=a x -a 的图象与y 轴的交点在x 轴的下方,故选项A 不正确;y=a x -a 的图象与x 轴的交点是(1,0),故选项B 不正确;当0<a<1时,y=a x 是减函数,y=a x -a 的图象与x 轴的交点是(1,0),又-1<-a<0,y=a x -a 的图象与y 轴的交点在x 轴上方,故选项D 不正确,选项C 正确.3.B ∵3>1,0<0.2<1,∴a=30.2∈(1,3).∵b=0.2-3=(15)-3=53=125,c=3-0.2=1315<13=1,∴b>a>c.4.D 函数f(x)的图象如图所示,因为f(x+1)<f(2x),所以{2x<0,2x<x+1,解得x<0.故选D.5.④从曲线的变化趋势,可以得到函数f(x)为减函数,从而有0<a<1;从曲线位置看,是由函数y=a x(0<a<1)的图象向左平移|-b|个单位长度得到,所以-b>0,即b<0.6.(3,2) 当x=3时,f(3)=a0+1=2,∴y=a3-x+1的图象一定经过定点(3,2).7.解(1)函数f(x),g(x)的图象如图所示.(2)f(1)=31=3,g(-1)=13-1=3;f(π)=3π,g(-π)=13-π=3π;f(m)=3m,g(-m)=13-m=3m.从以上计算的结果看,两个函数当自变量取值互为相反数时,其函数值相等,即当指数函数的底数互为倒数时,它们的图象关于y轴对称.8.A ∵f(x)=3a x-2+5,令x-2=0,得x=2,∴f(2)=3a0+5=8,即f(x)的图象恒过点P(2,8).设g(x)=xα,把P(2,8)代入得2α=8,解得α=3,即g(x)=x3,故g(-2)=(-2)3=-8.故选A.9.C 当x≥0时,f(x)=3x +a 单调递增,因为函数f(x)为偶函数,所以当x<0时,f(x)单调递减.若f(x-1)<f(2),则|x-1|<2,解得-1<x<3.故选C. 10.AC 因为函数f(x)是定义在[-4,0)∪(0,4]上的奇函数,由题意,画出函数f(x)在[-4,0)∪(0,4]的图象如图所示,在同一坐标系内画出y=3x -1的图象,因为f(2)=89,所以f(-2)=-f(2)=-89=3-2-1.又f(1)=2=31-1,即f(x)与y=3x -1交于-2,-89和(1,2)两点.由图象可得f(x)≥3x -1的解集为[-4,-2]∪(0,1].故选AC.。
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指数与指数函数同步练习
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、化简11111321684
21212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（ ）
A 、1
1
32
1122--⎛⎫- ⎪
⎝⎭
B 、1
132
12--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 、1
3212-- D 、1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭
2
、4
4
等于（ ）
A 、16a
B 、8
a
C 、4a
D 、2a
3、若1,0a b ><,
且b b a a -+=则b b a a --的值等于（ ） A 、6
B 、2±
C 、2-
D 、2
4、函数()2()1x
f x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A 、1>a B 、2<a C
、a <
、1a <5、下列函数式中，满足1
(1)()2
f x f x +=
的是( ) A 、 1(1)2x + B 、1
4x + C 、2x D 、2x -
6、下列2()(1)x x f x a a -=+是（ ）
A 、奇函数
B 、偶函数
C 、非奇非偶函数
D 、既奇且偶函数
7、已知,0a b ab >≠，下列不等式（1）2
2
a b >；(2)22a b
>；(3)b
a 1
1<；(4)11
33a b >；
(5)1133a b
⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
中恒成立的有（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
8、函数21
21
x x y -=+是（ ）
A 、奇函数
B 、偶函数
C 、既奇又偶函数
D 、非奇非偶函数
9、函数1
21x y =-的值域是（ ）
A 、(),1-∞
B 、()
(),00,-∞+∞ C 、()1,-+∞ D 、()(,1)0,-∞-+∞
10、已知01,1a b <<<-,则函数x y a b =+的图像必定不经过（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限
11、2()1()(0)21x F x f x x ⎛
⎫=+⋅≠ ⎪-⎝⎭
是偶函数，且()f x 不恒等于零，则()f x ( )
A 、是奇函数
B 、可能是奇函数，也可能是偶函数
C 、是偶函数
D 、不是奇函数，也不是偶函数
12、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（ ）
A 、(1%)na b -
B 、(1%)a nb -
C 、[1(%)]n a b -
D 、(1%)n a b - 二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上） 13、若103,104x y ==，则10x y -= 。
14、函数2281
1(31)3x x y x --+⎛⎫=- ⎪
⎝⎭≤≤的值域是 。
15、函数2
233
x y -=的单调递减区间是 。
16、若21(5)2x f x -=-，则(125)f = 。
指数与指数函数同步练习答题卷
班级 姓名 学号 成绩
13、 14、 15、 16、 三、解答题：（本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤.）
17、设01a <<，解关于x 的不等式2
2
232
223
x x x
x a a -++->。
18、已知[]3,2x ∈-，求11
()142x x
f x =-+的最小值与最大值。
19、设a R ∈，22
()()21
x x
a a f x x R ⋅+-=∈+，试确定a 的值，使()f x 为奇函数。
20、已知函数225
13x x y ++⎛⎫
= ⎪
⎝⎭，求其单调区间及值域。
21、若函数4323x x y =-+的值域为[]1,7，试确定x 的取值范围。
22、已知函数1
()(1)1
x x
a f x a a -=>+, (1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域；
(3)证明()f x 是R 上的增函数。
指数与指数函数同步练习参考答案
13、4
3
14、991,33⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
令222812(2)9U x x x =--+=-++，∵ 31,99x U -∴-≤≤≤≤,又∵13U y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，∴9
9133y ⎛⎫
⎪⎝⎭
≤≤。
15、()0,+∞，令23,23U y U x ==-， ∵3U y =为增函数，∴2
233x y -=的单调递减
区间为()0,+∞。
16、 0，3221(125)(5)(5)220f f f ⨯-===-= 三、解答题
17、∵01a <<,∴ x y a =在(),-∞+∞上为减函数，∵ 2
2
232
223
x
x x
x a a -++->, ∴
222322231x x x x x -+<+-⇒>
18、2
21113()142122124224x x x x x x x f x -----⎛
⎫=-+=-+=-+=-+ ⎪⎝
⎭,
∵[]3,2x ∈-, ∴1
284
x -≤≤.
则当122x -=,即1x =时,()f x 有最小值4
3
；当28x -=,即3x =-时，()f x 有最大
值57。
19、要使()f x 为奇函数，∵ x R ∈,∴需()()0f x f x +-=,
∴1222(),()212121x x x x f x a f x a a +-=--=-=-+++,由1
2202121x x
x a a +-+-=++,得2(21)
2021
x x a +-=+,1a ∴=。
20、令13U
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭,225U x x =++，则y 是关于U 的减函数，而U 是(),1-∞-上的
减函数，()1,-+∞上的增函数，∴225
13x x y ++⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
在(),1-∞-上是增函数，而在
()1,-+∞上是减函数，又∵2225(1)44U x x x =++=++≥, ∴225
13x x y ++⎛⎫
=
⎪⎝⎭
的值
域为410,3⎛⎤⎛⎫ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦。
21、243232323x x x x y =-⋅+=-⋅+，依题意有
22(2)3237(2)3231x x x x ⎧-⋅+⎪⎨-⋅+⎪⎩≤≥即1242221
x x x
⎧-⎪⎨⎪⎩或≤≤≥≤，∴ 224021,x x
<或≤≤≤ 由函数2x y =的单调性可得(,0][1,2]x ∈-∞。
22、（1）∵定义域为x R ∈,且11()(),()11x x
x
x a a f x f x f x a a -----===-∴++是奇函数； （2）1222()1,11,02,111
x x
x x x
a f x a a a a +-==-+>∴<<+++∵即()f x 的值域为()1,1-；
（3）设12,x x R ∈,且12x x <，
1212
1212
121122()()011(1)(1)
x x x x x x x x a a a a f x f x a a a a ----=-=<++++(∵分母大于零，且12x x a a <) ∴()f x 是R 上的增函数。