2021年高考数学一轮复习讲练测：专题3.5 指数与指数函数(练习)原卷版

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2021年新高考数学一轮专题复习第08讲-指数与指数函数(讲义版)

2021年新高考数学一轮专题复习第08讲-指数与指数函数一、考情分析1.通过对有理数指数幂a mn (a >0，且a ≠1；m ，n 为整数，且n >0)、实数指数幂a x (a >0，且a ≠1；x ∈R )含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质； 2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.二、知识梳理1.根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(na )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，na n＝a ，当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1na m(a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 3.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图象与性质a >10<a <1图象[微点提醒]1.画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a . 2.在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象越高，底数越大.三、经典例题考点一指数幂的运算【例1-1】化简下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5； (2)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b13(a >0，b >0). 【解析】 (1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝a b . 【例1-2】化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0； (2)56a 13·b －2·(－3a －12b －1) ÷(4a 23·b －3)12. 解 (1)原式＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫641 00015－5223－⎝⎛⎭⎫27813－1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫410315×⎝ ⎛⎭⎪⎫－52×23－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫32313－1 ＝52－32－1＝0.(2)原式＝－52a －16b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a －16b －3÷(a 13b －23)＝－54a －12·b －23＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 考点二指数函数的图象及应用【例2-1】若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________. 解析 (1)y ＝(a －1)2x －a 2＝a ⎝⎛⎭⎫2x －12－2x ，令2x －12＝0，得x ＝－1，故函数y ＝(a －1)2x －a2恒过定点⎝⎛⎭⎫－1，－12. (2)在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示.∴当01，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0【例2-3】若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________.解析 (1)由f (x )＝a x －b的图象可以观察出，函数f (x )＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x－b的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.(2)画出曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示.由图象得|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1].考点三指数函数的性质及应用【例3－1】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73 B.0.6－1>0.62 C.0.8－0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________.【解析】(1)A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3， ∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，正确； C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；D 中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，错误.(2)当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫12a－7<1，则2－a <8，解之得a >－3，所以－3<a <0. 当a ≥0时，则a <1，0≤a <1. 综上知，实数a 的取值范围是(－3，1). 答案 (1)B (2)(－3，1)【例3－2】 (1)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增加的，则m 的取值范围是______.(2)若函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2＋2x ＋3的值域是⎝⎛⎦⎤0，19，则f (x )的单调递增区间是________. 【解析】 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上是增加的，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m2上是减少的.而y ＝2t 在R 上是增加的，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上是增加的，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]. (2)令g (x )＝ax 2＋2x ＋3，由于f (x )的值域是⎝⎛⎦⎤0，19，所以g (x )的值域是[2，＋∞). 因此有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －44a ＝2，解得a ＝1，这时g (x )＝x 2＋2x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2＋2x ＋3.由于g (x )的单调递减区间是(－∞，－1]，所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－1].【例3－3】如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为________. 【解析】令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去).当0<a <1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上单调递增，则y max ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13(负值舍去).综上，a ＝3或a ＝13. 答案 3或13规律方法 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.2.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.易错警示在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论. [方法技巧]1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较.3.指数函数的单调性取决于底数a 的大小，当底数a 与1的大小关系不确定时应分0<a <1和a >1两种情况分类讨论.4.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.5.对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.四、课时作业1．（2020·榆林市第二中学高三零模（文））设0.30.6a =，0.60.3b =，0.30.3c =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．b a c ＜＜B ．a c b ＜＜C ．b c a <<D ．c b a ＜＜2．（2020·四川省成都七中高一月考）设0a >且1,a ≠则函数x y a b =+与y b ax =-在同一坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．3．（2020·九台市第四中学高一期末）若()333a π=-()442b π=-+a b 的值为（）A ．1B ．5C ．1-D ．25π-4．（2020·天水市第一中学高二月考（文））已知函数()f x 是定义在R 的周期为2的函数，当01x <<时，()4x f x =，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．4C ．2D ．325．（2020·广西壮族自治区平桂高中高一期末）函数()23x f x a -=+恒过定点P （）A ．()0,1B ．()2,1C ．()2,3D ．()2,46．（2020·陕西省西安一中高二期中（文））若指数函数()xf x a =在区间[]0,2上的最大值和最小值之和为10，则a 的值为（） A ．13B ．3C ．3±D ．13±7．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试（理））下列函数中，值域为R 且在区间(0,)+∞上单调递增的是 ( ) A ．22y x x =+ B ．12x y += C ．31y x =+D ．(1)||y x x =-8．（2020·湖南省高三一模（理））已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>9．（2019·河南省高一月考）设函数()21,25,2xx f x x x ⎧-⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是（）A ．()16,32B ．()18,34C ．()17,35D ．()6,710．（2020·江西省上高二中高一期末）设函数()1xx a f x a =+，(0a >且1a ≠)，[]m 表示不超过实数m 的最大正数，则函数11()()22f x f x ⎡⎤⎡⎤-+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域是（）A ．{}0,1,2B ．{}10-，C ．{}1,0,1-D ．{}0,111．（2020·四川省高三二模（理））函数()112122xx f x +-=++，若() 1.2f t -=，则()f t =__________.12．（2020·全国高三月考（理））定义在D 上的函数()f x ，如果满足对x D ∀∈,∃常数0M >，都有()f x M≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 成为函数()f x 的上界.若已知函数()22t tS t e me =++在(],0-∞上是以4M =为上界的有界函数，则实数m 的取值范围为_________.13．（2020·福建省高一期末）已知函数()1515xxf x -=+．（1）写出()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性；（3）已知()f x 在定义域内为单调减函数，若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．14．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））已知()221g x x ax =-+在区间[]13，上的值域为[]0,4。

2021届高考数学一轮复习第二章函数的概念及基本初等函数I第五节指数与指数函数学案理含解析.doc

第五节指数与指数函数[最新考纲][考情分析][核心素养]1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型.指数函数中比较大小、与其他知识结合考查指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用仍是2021年高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，分值为5分.1.逻辑推理2.数学抽象3.数学运算‖知识梳理‖1．根式的性质(1)(na)n＝1a(a使na有意义)．(2)当n是奇数时，na n＝2a；当n是偶数时，na n＝3|a|＝⎩⎨⎧a，a≥0，4－a，a<0.2．分数指数幂的意义(1)amn＝5na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(2)a－mn＝61amn＝71na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．3．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝8a r＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(a r)s＝9a rs(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝10a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．4．指数函数的图象和性质函数y＝a x(a>0且a≠1)图象a>10<a<1(1)画指数函数图象时应抓住图象上的三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a >1时，指数函数的图象“上升”；当0<a <1时，指数函数的图象“下降”．(3)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．(4)指数函数的图象向左(或向右)平移不会与x 轴有交点，向上(或向下)平移a 个单位长度后，图象都在直线y ＝a (或y ＝－a )的上方．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)4（π－4）4＝π－4.( )(2)n a n 与(na )n 都等于a (n ∈N *)．( ) (3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (4)函数y ＝3·2x 与y ＝2x＋1都不是指数函数. ( )(5)若a m >a n ，则m >n .( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× 二、走进教材2．(必修1P 56例6改编)若函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)的图象经过⎝⎛⎭⎫2，13，则f (－1)＝( ) A ．1 B ．2 C ． 3 D ．3答案：C3．(必修1P 59A 6改编)某种产品的产量原来是a 件，在今后m 年内，计划使每年的产量比上一年增加p %，则该产品的产量y 随年数x 变化的函数解析式为( )A ．y ＝a (1＋p %)x (0<x <m )B ．y ＝a (1＋p %)x (0<x ≤m ，x ∈N )C ．y ＝a (1＋xp %)(0<x <m )D ．y ＝a (1＋xp %)(0<x ≤m ，x ∈N ) 答案：B 三、易错自纠4．计算[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9解析：选B 原式＝26×12－1＝23－1＝7.故选B ．5．当a >0且a ≠1时，函数f (x )＝a x －2－3的图象必过定点________．解析：令x －2＝0，则x ＝2，此时f (x )＝1－3＝－2，故函数f (x )＝a x －2－3的图象必过定点(2，－2)．答案：(2，－2)6．若指数函数f (x )＝(a －2)x 为减函数，则实数a 的取值范围为________．解析：∵f (x )＝(a －2)x 为减函数， ∴0<a －2<1，即2<a <3. 答案：(2，3)考点指数幂的运算|题组突破|1．求值：⎝⎛⎭⎫2350＋2－2×⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5.解：原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615. 2．化简：56a 13×b －2×(－3a －12b －1)÷(4a 23·b －3)12.解：原式＝－52a －16b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a －16b －3÷(a 13b －32)＝－54a －12b －32＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.3．化简：a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0)．解：原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a32+16－1+13b1+13－2－13＝ab －1＝a b.►名师点津考点一指数函数图象及应用【例1】 (1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )(2)已知f (x )＝|2x －1|，当a f (c )>f (b )，则必有( ) A ．a <0，b <0，c <0 B ．a <0，b >0，c >0 C ．2－a <2cD ．1<2a ＋2c <2[解析] (1)由f (x )＝1－e |x |是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、D ；又当x ＝0时，f (x )＝0，排除C ．(2)作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图所示，因为a f (c )>f (b )，所以必有a <0，0<c <1，且|2a －1|>|2c －1|，所以1－2a >2c －1，则2a ＋2c <2，且2a ＋2c >1.故选D ．[答案] (1)A (2)D ►名师点津有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．|跟踪训练|1．函数y ＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )解析：选D 函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得到的，所以A项错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0<a <1时，1a >1，平移距离大于1，所以C 项错误，D 项正确．故选D ．2．(2019届唐山模拟)当x ∈[1，2]时，函数y ＝12x 2与y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象有交点，则a 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤12，2B ．⎣⎡⎭⎫12，1∪(1，2] C ．⎣⎡⎦⎤14，2D ．⎣⎡⎦⎤14，2解析：选B 当a >1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足12×22≥a 2，即1<a ≤2；当0<a <1时，如图②所示，需满足12×12≤a 1，即12≤a <1，综上可知，a ∈⎣⎡⎭⎫12，1∪(1，2]．故选B ．考点二指数函数的性质及应用——多维探究高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题．常见的命题角度有：(1)比较指数式的大小；(2)与指数函数有关的函数值域问题；(3)探究指数型函数的性质．●命题角度一比较指数式的大小【例2】 (2019届大连模拟)设y 1＝0.90.2，y 2＝0.90.4，y 3＝1.20.1，则( ) A ．y 2>y 1>y 3 B ．y 3>y 1>y 2 C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2[解析] 对于y 1＝0.90.2，y 2＝0.90.4，y 3＝1.20.1，∵y ＝0.9x 在R 上是减函数，故有1>y 1>y 2. ∵y ＝1.2x 在R 上是增函数，y 3＝1.20.1>1.20＝1， ∴y 3>y 1>y 2，故选B ． [答案] B ►名师点津比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．●命题角度二与指数函数有关的函数值域问题【例3】已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．[解析] 令t ＝2x ，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4，又y ＝22x －1－3·2x ＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，∵1≤t ≤4，∴当t ＝1时，y max ＝52.[答案] 52►名师点津形如y ＝a 2x ＋b ·a x ＋c (a >0且a ≠1)型函数的最值问题多用换元法求解，即令t ＝a x 转化为y＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围．●命题角度三探究指数型函数的性质【例4】 (1)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2](2)已知函数f (x )＝2|2x－m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．[解析] (1)由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B ．(2)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m2上单调递减，而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．[答案] (1)B (2)(－∞，4] ►名师点津与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．|跟踪训练|3．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a 1，所以b <a <c .故选C ．4．(2019届福州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，2x －2－x，x >0，则满足f (x 2－2)>f (x )的x 的取值范围是______________．解析：由题意知，当x >0时，f (x )单调递增，故f (x )>f (0)＝0，而x ≤0时，x ＝0，故由f (x 2－2)>f (x )，则x 2－2>x ，且x 2－2>0，解得x >2或x <－ 2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)考点指数函数性质的创新应用【例】设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤K ，K ，f （x ）>K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1[解析] 根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．令2x ＝t ，则t ∈(0，2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，∴K ≥1，故选D ．[答案] D ►名师点津根据题目信息条件，将问题转化为指数函数最值问题求解．|跟踪训练|(2019届吉林长春外国语学校模拟)若直角坐标平面内A ，B 两点满足：①点A ，B 都在函数f (x )的图象上；②点A ，B 关于坐标原点对称，则(A ，B )是函数f (x )的一个“姊妹点对”，(A ，B )与(B ，A )可看作同一个“姊妹点对”．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，2e x ，x ≥0，则f (x )的“姊妹点对”有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C 依题意知，“姊妹点对”(A ，B )满足：点A ，B 都在函数f (x )的图象上，且点A ，B 关于坐标原点对称．作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)的图象关于原点对称的图象(图略)，看它与函数y ＝2e x (x ≥0)的图象的交点个数即可．当x ＝1时，0<2e x <1，观察图象可得它们有2个交点，即f (x )的“姊妹点对”有2个，故选C ．。

2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第2章第6节指数与指数函数 Word版含答案

第六节指数与指数函数[最新考纲] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式(1)n 次方根的概念①若x n＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．②a的n次方根的表示x n＝a⇒(2)根式的性质①(na)n＝a(n∈N*，n＞1)．②na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a，n为奇数，|a|＝⎩⎨⎧a，a≥0，－a，a＜0，n为偶数.2．有理数指数幂(1)幂的有关概念③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理数指数幂的运算性质①a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质y＝a xa＞10＜a＜11．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a . 2．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改编1．函数f(x)＝21－x的大致图象为()A B C DA [f (x )＝21－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -1，又f (0)＝2，f (1)＝1，故排除B ，C ，D ，故选A.] 2．若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则f (－1)＝________.2 [由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22-1＝ 2.]3．化简416x 8y 4(x ＜0，y ＜0)＝________. [答案] －2x 2y4．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35-13，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35-14，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32-34，则a ，b ，c 的大小关系是________．c ＜b ＜a [∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫35-13＞⎝ ⎛⎭⎪⎫35-14＞⎝ ⎛⎭⎪⎫350，则a ＞b ＞1，又c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32-34＜⎝ ⎛⎭⎪⎫320＝1，∴c＜b＜a.]考点1指数幂的运算指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．考点2指数函数的图象及应用(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．(1)函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0(2)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是________．(1)D(2)(0,1)[(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b＜0.故选D.(2)曲线y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，它的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个公共点，则m的取值范围是(0,1)．][母题探究]1．(变条件)若本例(2)条件变为：方程3|x|－1＝m有两个不同实根，则实数m 的取值范围是________．(0，＋∞)[作出函数y＝3|x|－1与y＝m的图象如图所示，数形结合可得m 的取值范围是(0，＋∞)．]2．(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．(－∞，－1][作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示．由图象知m ≤－1，即m ∈(－∞，－1]．]应用指数函数图象的技巧(1)画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a . (2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．1.函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()A BC DA [f (x )＝1－e |x |是偶函数，图象关于y 轴对称，又e |x |≥1，∴f (x )≤0，符合条件的图象只有A.]2．函数y ＝a x －b (a ＞0，且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围是________．(0,1) [因为函数y ＝a x －b 的图象经过第二、三、四象限，所以函数y ＝a x －b 单调递减且其图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上．令x ＝0，则y ＝a 0－b ＝1－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜1，1－b ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，b ＞1，故a b ∈(0,1)．]3．已知实数a ，b 满足等式2 019a ＝2 020b ，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________(填序号)．③④ [作出y ＝2 019x 及y ＝2 020x 的图象如图所示，由图可知a ＞b ＞0，a ＝b ＝0或a ＜b ＜0时，有2 019a ＝2 020b ，故③④不可能成立．]考点3指数函数的性质及应用指数函数性质的应用主要是利用单调性解决相关问题，而指数函数的单调性是由底数a决定的，因此解题时通常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．比较指数式的大小(1)已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a(2)设函数f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a ＞1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0.1的大小关系是( )A ．M ＝NB ．M ≤NC ．M ＜ND ．M ＞N(1)A (2)D [(1)由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b ＞c .因为a ＝20.2＞1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b .综上，a ＞b ＞c .(2)因为f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a ＞1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a ＞2，所以M ＝(a －1)0.2＞1，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0.1＜1，所以M ＞N .故选D.]指数式的大小比较，依据的就是指数函数的单调性，原则上化为同底的指数式，并要注意底数范围是(0,1)还是(1，＋∞)，若不能化为同底，则可化为同指数，或利用中间变量比较，如本例(1)．解简单的指数方程或不等式(1)已知函数f (x )＝a ＋14x ＋1的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－310，若－16≤f (x )≤0，则实数x 的取值范围是________．(2)方程4x ＋|1－2x |＝11的解为________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 (2)x ＝log 23 [(1)∵f (x )＝a ＋14x ＋1的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－310， ∴a ＋15＝－310，即a ＝－12. ∴f (x )＝－12＋14x ＋1.∵－16≤f (x )≤0， ∴－16≤14x ＋1－12≤0，∴13≤14x ＋1≤12，∴2≤4x ＋1≤3，即1≤4x ≤2， ∴0≤x ≤12.(2)当x ≥0时，原方程化为4x ＋2x －12＝0，即(2x )2＋2x －12＝0. ∴(2x －3)(2x ＋4)＝0，∴2x＝3，即x＝log23.当x＜0时，原方程化为4x－2x－10＝0.令t＝2x，则t2－t－10＝0(0＜t＜1)．由求根公式得t＝1±1＋402均不符合题意，故x＜0时，方程无解．](1)a f(x)＝a g(x)⇔f(x)＝g(x)．(2)a f(x)＞a g(x)，当a＞1时，等价于f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，等价于f(x)＜g(x)．(3)有些含参指数不等式，需要分离变量，转化为求有关函数的最值问题．与指数函数有关的复合函数的单调性(1)函数f (x )＝的单调减区间为________．(2)函数f (x )＝4x －2x＋1的单调增区间是________．(1)(－∞，1] (2)[0，＋∞) [(1)设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u在R 上为减函数，所以函数f (x )＝的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]，所以f (x )的减区间为(－∞，1]．(2)设t ＝2x (t ＞0)，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)，令2x ≥1，得x ≥0，又y ＝2x 在R 上单调递增，所以函数f (x )＝4x －2x ＋1的单调增区间是[0，＋∞)．][逆向问题] 已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________．(－∞，4] [令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，m 2上单调递减．而y ＝2t 在R 上单调递增，所以要使函数f (x )＝2|2x－m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．]求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．指数函数性质的综合应用(1)函数f (x )＝a ＋b e x ＋1(a ，b ∈R )是奇函数，且图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 3，12，则函数f (x )的值域为( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－3,3)D ．(－4,4)(2)若不等式1＋2x ＋4x ·a ＞0在x ∈(－∞，1]时恒成立，则实数a 的取值范围是________．(1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞ [(1)函数f (x )为奇函数，定义域是R ，则f (0)＝a ＋b 2＝0①，函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 3，12，则f (ln 3)＝a ＋b 4＝12②.结合①②可得a ＝1，b ＝－2，则f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＞0，所以e x ＋1＞1，所以0＜2e x ＋1＜2，所以－1＜1－2e x ＋1＜1，即函数f (x )的值域为(－1,1)． (2)从已知不等式中分离出实数a ，得a ＞－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上都是减函数，所以当x ∈(－∞，1]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ≥14，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥14＋12＝34，从而得－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤－34.故实数a 的取值范围为a ＞－34.]指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值问题，应在有关性质的基础上，结合指数函数的性质进行解决，而指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转化．1.函数y ＝的值域是( )A ．(－∞，4)B ．(0，＋∞)C ．(0,4]D ．[4，＋∞)C [设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t . 因为0＜12＜1，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 为关于t 的减函数．因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2，所以0＜y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12-2＝4，故所求函数的值域为(0,4]．]2．已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎨⎧ 4x ，x ≥0，2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．12 [当a ＜1时，41－a ＝21，所以a ＝12；当a ＞1时，代入可知不成立，所以a 的值为12.]3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是________．(－3,1) [当a ＜0时，不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12-3， ∴a ＞－3.又a ＜0，∴－3＜a ＜0.当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a ＜1.∴0≤a ＜1，综上，a 的取值范围为(－3,1)．]。

2021年高考数学一轮复习《指数及指数函数》精选练习(含答案)

2021年高考数学一轮复习《指数及指数函数》精选练习一、选择题1.当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果为( )A.2x －5B.－2x －1C.－1D.5－2x2.计算（2n ＋1）2×（12）2n ＋14n ×8－2(n ∈N *)的结果是( )A.164B.22n ＋5C.2n 2－2n ＋6 D.(12)2n －73.已知x 2＋x －2=22，且x>1，则x 2－x －2的值为( )A.2或－2B.－2C. 6D.24.下列各式中错误的是（） A.21153151(1)a a a a --⋅⋅=>B.()269463(,0)a b a b a b ---⋅=⋅> C.12211133342423424(,0)x y x y x y y x y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D.113324115324153(,,0)525a b cac a b c a b c ---=->5.若2<a<3，化简442)3()2(a a -+-的结果是( )A.5-2aB.2a-5C.1D.-16.当x -2有意义时，化简964422+--+-x x x x 的结果是( )A.2x-5B.-2x-1C.-1D.5-2x7.将322-化简成不含根号的式子是( ) A.212- B.512- C.312- D.322-8.设m a a =--2121，则a a 12+等于( )A.m 2－2B.2－m 2C.m 2＋2D.m 29.若f(x)=－x 2＋2ax 与g(x)=(a ＋1)1－x 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是() A.(0.5,1] B.(0,0.5] C.[0，1] D.(0，1]10.函数y=16－4x 的值域是( )A.[0，＋∞)B.[0，4]C.[0，4)D.(0，4)11.函数y=2x －8的定义域为( )A.(－∞，3)B.(－∞，3]C.(3，＋∞)D.[3，＋∞)12.若函数f(x)=2x＋12x －a 是奇函数，则使f(x)＞3成立的x 的取值范围为( )A.(－∞，－1)B.(－1,0)C.(0,1)D.(1，＋∞)13.已知a=30.2，b=0.2－3，c=(－3)0.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＞b ＞cB.b ＞a ＞cC.c ＞a ＞bD.b ＞c ＞a14.函数y=|2x －1|的大致图象是( )15.已知f(x)=a －x (x>0且a ≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a 的取值范围是( )A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.(－∞，1)D.(0,1)16.函数f(x)=a x －3＋1(a>0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则定点P 的坐标为() A.(3,3) B.(3,2) C.(3,6) D.(3,7)17.已知函数f(x)=5|x|，g(x)=ax 2－x(a ∈R)，若f[g(1)]=1，则a=( )A.1B.2C.3D.－118.函数y=2x2x ＋1的值域是( )A.(0，1)B.(0，1]C.(0，＋∞)D.[0，＋∞)19.函数f(x)=3－x －1的定义域、值域分别是( )A.定义域是R ，值域是RB.定义域是R ，值域是(0，＋∞)C.定义域是R ，值域是(－1，＋∞)D.以上都不对20.函数y=xax|x|(0<a<1)的图象的大致形状是( )二、填空题21.函数y=a x(－2≤x ≤3)的最大值为2，则a=________.22.已知函数f(x)满足f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧f （x ＋2），x<0，2x ，x ≥0，则f(－7.5)的值为________. 23.已知集合A={x|1≤2x<16}，B={x|0≤x<3，x ∈N}，则A ∩B=________.24.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f(x)=1－2－x ，则不等式f(x)＜－12的解集是______. 25.函数f(x)=a 2x －3a x ＋2(a>0，且a ≠1)的最小值为________.26.若函数f(x)=a x (a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g(x)=(1－4m)x 2在[0，＋∞)上是增函数，则a=________.27.若函数y=a 2x ＋2a x －1(a ＞0且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为14，则a 的值为________.28.已知函数f(x)=22x ＋1＋ax ，则f(2 022)＋f(－2 022)=________. 29.若函数f(x)=⎩⎪⎨⎪2－x （x ≥2），则f(－3)的值为________. 30.当x ∈[－1，1]时，函数f(x)=3x －2的值域为________.31.若f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ a x ，x>1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为________． 32.已知f(x)=x 2，g(x)=(0.5)x －m.若对任意x 1∈[－1,3]，总存在x 2∈[0,2]，使得f(x 1)≥g(x 2)成立，则实数m 的取值范围是____________________.33.若函数f(x)= 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围是________.34.函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1a x ，x>1在R 上单调递增，则实数a 取值范围为________.35.函数f(x)=错误!未找到引用源。

2023年新高考数学一轮复习3-5 指数与指数函数(真题测试)含详解

专题3.5 指数与指数函数（真题测试）一、单选题1．（2007·山东·高考真题（理））已知集合{}1,1M =-，11|24,Z 2x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，则MN =A ．{}1,1-B ．{}1-C ．{}0D ．{}1,0-2．（2022·北京·高考真题）己知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（） A ．()()0f x f x B ．()()0f x f x --= C ．()()1f x f x -+=D ．1()()3f x f x --=3．（2012·四川·高考真题（文））函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是 ( )A ．B ．C ．D ．4．（2014·江西·高考真题（文））已知函数f (x )=2,0,2,0x xa x x -⎧⋅≥⎨<⎩(a ∈R )，若((1))1f f -=，则a =（） A ．14B ．12C ．1D ．25.（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．6．（2013·全国·高考真题（文））若存在正数x 使2x （x -a ）＜1成立，则a 的取值范围是 A ．（-∞，+∞）B ．(-2, +∞)C ．(0, +∞)D ．（-1，+∞）7．（2015·山东·高考真题（文））设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是 A ．a b c ＜＜B ．a cb ＜＜ C ．b ac ＜＜D ．b c a ＜＜8．（2014·陕西·高考真题（文））下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是A ．()3f x x =B ．()3xf x =C ．()23f x x = D ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭二、多选题9．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）已知a b >，0ab ≠，则（） A ．a b >B ．1133a b -->C ．33a b >D ．11a b< 10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．11．（2022·山东潍坊·高三期末）已知函数x x x xe ef xe e，则下列结论中正确的是（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 是奇函数C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 无最小值，无最大值12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2,0(),2,0x xa x f x a R a x -⎧-+<=∈⎨->⎩，下列结论正确的是（） A ．()f x 为奇函数B ．若()f x 在定义域上是增函数，则1a ≤C ．若()f x 的值域为R ，则1a <D ．当1a ≤时，若()(34)0f x f x ++>，则(1,0)(0,)x ∈-+∞ 三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x =的定义域为______.14．（2012·山东·高考真题（文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-[0,)+∞上是增函数，则a ＝______.15．（2015·山东·高考真题（理））已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=_____________.16．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______．四、解答题17．（2021·新疆·伊宁市第一中学高三期中（理））若(1)()42(1)2x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围.18．（2021·福建龙岩·高三期中）已知()2221x m f x -=++是奇函数. (1)求m 的值；(2)求()f x 的值域.19．（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）已知指数函数()(0xf x a a =>且1)a ≠的图象过点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，．(1)求函数()xf x a =的解析式；(2)已知()()1f x f >，求x 的取值范围；20．（2021·安徽省六安中学高三阶段练习（文））已知函数()()33xf x k a b ⋅=++-(0a >，且1a ≠)是指数函数.(1)求k ，b 的值；(2)求解不等式()()2743f x f x ->-.21．（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）设()e e x x f x -=-()R x ∈．(1)判断并证明函数()y f x =的奇偶性；(2)解不等式()()22f x f x -≤．22．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．专题3.5 指数与指数函数（真题测试）一、单选题1．（2007·山东·高考真题（理））已知集合{}1,1M =-，11|24,Z 2x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，则MN =A ．{}1,1-B ．{}1-C ．{}0D ．{}1,0-【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数的单调性化简集合N ，然后利用交集的定义运算即得. 【详解】函数2x y =是增函数，则不等式11242x +<<，即112222x -+<< ∴112,x -<+<即21x -<<，所以{}{}|21,Z 1,0N x x x =-<<∈=-，又{}1,1M =-， ∴{}1.M N ⋂=- 故选：B.2．（2022·北京·高考真题）己知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（） A ．()()0f x f x B ．()()0f x f x --= C ．()()1f x f x -+= D ．1()()3f x f x --=【答案】C 【解析】【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．【详解】()()1121112121212x x x x xf x f x --+=+=+=++++，故A 错误，C 正确；()()11212121121212122121x x x x x x x xf x f x ----=-=-==-++++++，不是常数，故BD 错误；故选：C ．3．（2012·四川·高考真题（文））函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是 ( )A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】对a 进行分类讨论，结合指数函数的单调性以及函数图像平移变换，即可得出答案. 【详解】①当1a >时，函数(0,1)x y a a a a =->≠可以看做函数x y a =的图象向下平移a 个单位，由于1a >，则A 错误；又1x =时，0y a a =-=，则函数(0,1)x y a a a a =->≠过点(1,0)，故B 错误；②当01a <<时，函数(0,1)x y a a a a =->≠可以看做函数x y a =的图象向下平移a 个单位，由于01a <<，则D 错误；又1x =时，0y a a =-=，则函数(0,1)x y a a a a =->≠过点(1,0)，故C 正确；故选：C4．（2014·江西·高考真题（文））已知函数f (x )=2,0,2,0x xa x x -⎧⋅≥⎨<⎩(a ∈R )，若((1))1f f -=，则a =（） A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】A 【解析】【分析】先求出(1)f -的值，再求((1))f f -的值，然后列方程可求得答案【详解】解：由题意得(1)(1)22f ---==，所以2((1))(2)241f f f a a -==⋅==，解得a =14.故选：A5.（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>，所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．6．（2013·全国·高考真题（文））若存在正数x 使2x （x -a ）＜1成立，则a 的取值范围是 A ．（-∞，+∞） B ．(-2, +∞)C ．(0, +∞)D ．（-1，+∞）【答案】D 【解析】由题意知，存在正数x ，使12xa x >-，所以，而函数12xy x =-在(0,)+∞上是增函数，所以(0)1y y >=-，所以1a >-，故选D.7．（2015·山东·高考真题（文））设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是 A ．a b c ＜＜ B ． a c b ＜＜ C ．b a c ＜＜ D ．b c a ＜＜【答案】C 【解析】【详解】由0.6x y =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.50.600.60.61<<<，又0.61.51>，故选C . 8．（2014·陕西·高考真题（文））下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是A ．()3f x x =B ．()3xf x =C ．()23f x x = D ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【详解】试题分析：A 选项：由()()3f x y x y +=+，()()333()f x f y x y xy =⋅=，得()()()f x y f x f y +≠，所以A 错误；B 选项：由()3x y f x y ++=，()()333x y x y f x f y +=⋅=，得()()()f x y f x f y +=；又函数()3xf x =是定义在R 上增函数，所以B 正确；C 选项：由()()23f x y x y +=+，()()f x f y 2233x y =⋅23()xy =，得()()()f x y f x f y +≠，所以C 错误；D 选项：函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是定义在R 上减函数，所以D 错误；故选B.二、多选题9．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）已知a b >，0ab ≠，则（） A ．a b >B ．1133a b -->C ．33a b >D ．11a b< 【答案】BC 【解析】对A ，D 可取反例；对B ，C 可利用函数的单调性判断；【详解】对A ，取1,2a b ==-，则||||a b >不成立，故A 错误；对B ，11a b a b >⇒->-，∴1133a b -->，故B 成立；对C ，33a b a b >⇒>，故C 成立；对D ，取1,1a b ==-，11a b<不成立；故选：BC10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】【分析】依题意可得a 、b 两个数一个大于1，一个大于0且小于1，再分类讨论，结合指数函数的性质判断即可；【详解】解：令()()()0f x x a x b =--=，解得1x a =、2x b =，根据二次函数图形可知，a 、b 两个数一个大于1，一个大于0且小于1，①当1a >，01b <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递增，且()001g a b b =-=-，即()001g <<，所以满足条件的函数图形为C ；②当1b >，01a <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递减，且()0010g a b b =-=-<，所以满足条件的函数图形为A ；故选：AC11．（2022·山东潍坊·高三期末）已知函数x x x xe ef x e e，则下列结论中正确的是（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 是奇函数C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 无最小值，无最大值【答案】BD 【解析】【分析】求解0x x e e --≠，可判断A ；利用函数奇偶性的定义可判断B ；比较(1),(1)f f -可判断C ；分离常数得到2211x f x e ，分析单调性及函数值域可判断D【详解】选项A ，0x x e e --≠，解得0x ≠，故()f x 的定义域为{|0}x x ≠，选项A 错误；选项B ，函数定义域关于原点对称，且()()x x x x e ef x f x e e --+-==--，故()f x 是奇函数，选项B 正确；选项C ，()121212121110,(1)011e e e e e ef f e e e e e e ----++++-==<==>----，故(1)(1)f f -<，即()f x 在定义域上不是减函数，选项C 不正确；选项D ，()22212111x x x x x x x e e e f x e e e e --++===+---，令20x t e =>，211y t =+-，由于2x t e =在R 上单调递增，211y t =+-在(0,1),(1,)+∞分别单调递减，故函数()f x 在(,0),(0,)-∞+∞分别单调递减，且x →-∞时，()1f x →-，0x -→时，()f x →-∞，0x +→时，()f x →+∞，x →+∞时，()1f x →，故函数()f x 的值域为(,1)(1,-∞-⋃+∞），无最小值，无最大值，选项D 正确故选：BD12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2,0(),2,0x xa x f x a R a x -⎧-+<=∈⎨->⎩，下列结论正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．若()f x 在定义域上是增函数，则1a ≤C ．若()f x 的值域为R ，则1a <D ．当1a ≤时，若()(34)0f x f x ++>，则(1,0)(0,)x ∈-+∞ 【答案】ABD 【解析】【分析】分段函数奇偶性判断需要分段判断，分段函数的单调性需要列两段分别单调，衔接处单调即可. 【详解】当0x <时，0x ->，()2,()2(2)()x x x f x a f x a a f x ---=-+-=-=--+=-；当0x >时，0x -<，()2,()2()x x f x a f x a f x =--=-+=-．则函数()f x 为奇函数，故A 正确；若()f x 在定义域上是增函数，则0022a a --+≤-，即1a ≤，故B 正确；当0x <时，()2xf x a -=-+在区间(,0)-∞上单调递增，此时值域为(,1)a -∞-；当0x >时，()2x f x a =-在区间()0,∞+上单调递增，此时值域为(1,)a -+∞．要使得()f x 的值域为R ，则11a a ->-，即1a >，故C 错误；当1a ≤时，由于0022a a --+≤-，则函数()f x 在定义域上是增函数，由()(34)0f x f x ++>，得()(34)f x f x >--，则034034x x x x ≠⎧⎪--≠⎨⎪>--⎩解得(1,0)(0,)x ∈-+∞，故D 正确．故选：ABD. 三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x =的定义域为______.【答案】[)()0,11,+∞【解析】【分析】结合分式型，二次根号型函数的定义即可求解. 【详解】由题知，021********x xx x x x x ⎧⎧≥-≥≥⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨≠-≠-≠≠⎪⎪⎩⎩⎩且，所以()f x 的定义域为[)()0,11,+∞，故答案为：[)()0,11,+∞.14．（2012·山东·高考真题（文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-[0,)+∞上是增函数，则a ＝______.【答案】14【解析】【详解】当1a >时，有214,a a m -==，此时12,2a m ==，此时()g x = 不合题意.若01a <<，则124,a a m -==，故11,416a m ==，检验知符合题意15．（2015·山东·高考真题（理））已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=_____________. 【答案】32-【解析】【详解】若1a > ，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+= ，此方程组无解；若01a << ，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=- ，解得1{22a b ==- ，所以32a b +=-. 16．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______．【答案】[1,2]【解析】【分析】由1x >，求得()f x 的范围，再求得||()2x a f x -=的单调性，讨论1a <，1a 时函数()f x 在1x 的最大值，即可得到所求范围．【详解】解：因为()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，当1x >时()112f x x =-+函数单调递减且()12f x <，当1x ≤时()122x ax af x ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，可得在x a >时函数单调递减，在x a <单调递增，若1a <，1x ，则()f x 在x a =处取得最大值，不符题意；若1a ，1x ，则()f x 在1x =处取得最大值，且11122a -⎛⎫≥⎪⎝⎭，解得12a ，综上可得a 的范围是[]1,2．故答案为：[]1,2 四、解答题17．（2021·新疆·伊宁市第一中学高三期中（理））若(1)()42(1)2x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围. 【答案】[4,8). 【解析】【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数(1)()42(1)2xa x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则满足114024122a a a a⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫-⨯+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得48a ≤<，所以实数a 的取值范围[4,8).18．（2021·福建龙岩·高三期中）已知()2221x m f x -=++是奇函数. (1)求m 的值； (2)求()f x 的值域. 【答案】(1)-2 (2)11-（，）【解析】【分析】（1）因为()f x 为奇函数，且在0x =处有意义，所以()00f =，便可求出m 的值；（2）在（1）的前提下，对于复合函数分解成若干基本初等函数，然后逐个求其值域，从而求出()f x 的值域. (1)因为()f x 为奇函数，所以()00f =，即2022m +=，解得2m =-. 经检验：当2m =-时，()f x 为奇函数； (2)由（1）知()2121xf x -=-+，因为211x -+∈+∞（，），所以20221x -∈+（，），于是()11f x ∈-（，），因此()f x 的值域为11-（，）. 19．（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）已知指数函数()(0xf x a a =>且1)a ≠的图象过点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，．(1)求函数()xf x a =的解析式；(2)已知()()1f x f >，求x 的取值范围；【答案】(1)()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)()1,1- 【解析】【分析】（1）将点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入()(0xf x a a =>且1)a ≠，解之即可得出答案；（2）根据指数函数的单调性即可得出答案. (1)解：将点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入()(0xf x a a =>且1)a ≠，得：219a =，解得13a =，所以()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(2)因为1013<<，所以函数()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，由()()1f x f >，得1x <，解得11x -<<，所以()()1f x f >的解为()1,1-.20．（2021·安徽省六安中学高三阶段练习（文））已知函数()()33xf x k a b ⋅=++-(0a >，且1a ≠)是指数函数.(1)求k ，b 的值；(2)求解不等式()()2743f x f x ->-. 【答案】(1)2k =-，3b = (2)答案见解析【解析】【分析】（1）根据指数函数的定义列出方程，即可得解；（2）分1a >和01a <<两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解. (1)解：因为()()33x f x k a b =++-(0a >，且1a ≠)是指数函数，所以31k +=，30b -=，所以2k =-，3b =； (2)解：由（1）得()xf x a =(0a >，且1a ≠)，①当1a >时，()xf x a =在R 上单调递增，则由()()2743f x f x ->-，可得2743x x ->-，解得2x <-；②当01a <<时，()xf x a =在R 上单调递减，则由()()2743f x f x ->-，可得2743x x -<-，解得2x >-，综上可知，当1a >时，原不等式的解集为(),2-∞-；当01a <<时，原不等式的解集为()2,-+∞.21．（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）设()e e x xf x -=-()R x ∈．(1)判断并证明函数()y f x =的奇偶性；(2)解不等式()()22f x f x -≤．【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)[]1,2- 【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断证明即可；（2）根据指数函数单调性以及函数单调性的性质判断()y f x =的单调性，再由单调性去掉f 转化为解一元二次不等式即可求解. (1)()e e x x f x -=-是R 上的奇函数，证明如下：()e e x x f x -=-的定义域为R 关于原点对称，()()()e e e e x x x x f x f x ---=-=--=-，所以()e e x xf x -=-是R 上的奇函数.(2)因为e x y =为R 上的增函数，1ee xxy -==为R 上的减函数，所以()e e x xf x -=-为R 上的增函数，若()()22f x f x -≤，则22x x -≤即220x x --≤，可得()()210x x -+≤，解得：12x -≤≤，所以不等式()()22f x f x -≤的解集为：[]1,2-.22．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)[]4,4- 【解析】【分析】（1）利用单调性的定义，取值、作差、整理、定号、得结论，即可得证.（2）令33x x t -=-，根据x 的范围，可得t 的范围，原式等价为()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，只需()min 4h t ≥-即可，分别讨论823m -≤-、88323m -<-<和823m -≥三种情况，根据二次函数的性质，计算求值，分析即可得答案. (1)由已知可得()f x 的定义域为R ，任取12,x x ∈R ，且12x x <，则()()12f x f x -()()1122121121333331313x x x x x x x x x ---+⎛⎫=---=-+ ⎪⎝⎭，因为130x >，121103x x ++>，21130x x --<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上是单调递增函数． (2)()()()()223333x x x xf x mf x m --⎡⎤+=-+-⎣⎦，令33x x t -=-，则当[]1,1x ∈-时，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()22f x mf x t mt ⎡⎤+=+⎣⎦．令()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则只需()min 4h t ≥-．当823m -≤-，即163m ≥时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()min 86484393h t h m ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≤，与163m ≥矛盾，舍去；当88323m -<-<，即161633m -<<时，()h t 在8,32m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,23m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()2min424m m h t h ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得44m -≤≤；当823m -≥即163m ≤-时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()min 86484393h t h m ⎛⎫==+≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≥-，与163m ≤-矛盾，舍去．综上，实数m 的取值范围是[]4,4-．。

2021版高考数学一轮复习《练案 (9)指数与指数函数》

( ACD )
A．4B．3ຫໍສະໝຸດ C．2D．1[解析] 由指数函数的定义知 a2－4a＋4＝1 且 a≠1，解得 a＝3，故选 A、C、D.
7．函数 f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的图象不可能是( ABC ) a
[解析] 通解：当 a>1 时，将 y＝ax 的图象向下平移1个单位长度得 f(x)＝ax－1的图象，
(B)
A．(－∞，2]
B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞)
D．(－∞，－2]
[解析] 由 f(1)＝1得 a2＝1.又 a>0，所以 a＝1，因此 f(x)＝(1)|2x－4|.因为 y＝|2x－4|在[2，
9
9
3
3
＋∞)上单调递增，所以 f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．故选 B.
二、多选题
6．(2020·河北保定调研改编)函数 y＝(a2－4a＋4)ax 是指数函数，则 a 的值不可以是
图象过点 A(0,1)，B(3,8)．
(1)求实数 k，a 的值；
(2)若函数 g(x)＝fx－1，试判断函数 g(x)的奇偶性，并说明理由． fx＋1
k＝1
k·a0＝1，
[解析] (1)由已知得 k·a－3＝8
解得 a＝1 2
.
1x－1 (2)g(x)＝ 2 ，因此
1x＋1 2
1－x－1 [1－x－1]1x 1－1x
g(－x)＝ 2
＝2
2 ＝ 2 ＝－g(x)，
1－x＋1 [1－x＋1]1x 1＋1x
2
2
2
2
1x－1 所以 g(x)＝ 2 为奇函数．
1x＋1 2
B 组能力提升
1．(2020·吉林省实验中学期中)设函数 f(x)＝(1)|x|，则使得 f(－3)<f(2x－1)成立的 x 的取 2

2021高考一轮复习第八讲指数与指数函数

2021高考一轮复习第八讲指数与指数函数一、单选题（共9题；共18分）1.设a=log 32，b=log 53，c= 23 ，则（）A. a<c<bB. a<b<cC. b<c<aD. c<a<b【答案】 A【考点】指数函数单调性的应用，对数的运算性质，对数函数的单调性与特殊点2.已知55<84 ， 134<85 ．设a=log 53，b=log 85，c=log 138，则（）A. a<b<cB. b<a<cC. b<c<aD. c<a<b【答案】 A【考点】指数函数单调性的应用，对数的运算性质，对数函数的单调性与特殊点3.下列函数中，值域为 (0,+∞) 的是（）A. y =2xB. y =x 12C. y =lnxD. y =cosx 【答案】 A【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域，对数函数的值域与最值，幂函数的概念、解析式、定义域、值域4.已知函数 f(x)={|x +2|−1,x ≤0log 2x ,x >0 ，若 f(a)≤1 ，则实数 a 的取值范围是（） A. (−∞−4]∪[2,+∞) B. [−1,2] C. [−4,0)∪(0,2] D. [−4,2]【答案】 D【考点】指数函数的单调性与特殊点，绝对值不等式的解法5.已知 a >0 ，则 √a 13√a 12√a 化为（） A. a 712 B. a 512 C. a 56 D. a 13【答案】 B【考点】方根与根式及根式的化简运算6.已知函数 f(x) 为 R 上的奇函数，且图象关于点 (3,0) 对称，且当 x ∈(0,3) 时， f(x)=(12)x −1 ，则函数 f(x) 在区间 [2013,2018] 上的（）A. 最小值为 −34B. 最小值为 −78C. 最大值为0D. 最大值为 78【答案】 A【考点】奇偶性与单调性的综合，指数函数的图象与性质7.函数 f(x)=e (x−n)2m (其中 e 为自然对数的底数)的图象如图所示，则（）A. m>0，0<n<1B. m>0，−1<n<0C. m<0，0<n<1D. m<0，−1<n<0【答案】C【考点】指数函数单调性的应用8.函数f(x)=a x−1(a>0,a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是（）A. y=√1−xB. y=|x−2|C. y=2x−1D. y=log2(2x)【答案】A【考点】指数函数的图象与性质9.函数f(x)=(x2−2x)e x的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【考点】指数函数的图象与性质二、填空题（共8题；共10分）10.定义符号函数g(x)={1,(x>0) 0,(x=0)−1,(x<0)，若函数f(x)=g(x)⋅e|x|，则满足不等式f(a2+3a)<f(a+3)的实数a的取值范围是________．【答案】(-3,1)【考点】指数函数单调性的应用，分段函数的应用11.己知正实数x,y满足2x⋅4y=(2x)y，则x+y的最小值为________.【答案】 3+2√2【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算，基本不等式在最值问题中的应用12.已知函数 f(x)={2x ,x ≤a x 2,x >a，若 a =1 ，则不等式 f(x)≤2 的解集为________，若存在实数 b ，使函数 g(x)=f(x)−b 有两个零点，则 a 的取值范围是________．【答案】 (−∞,√2]；(−∞,2)∪(4,+∞)【考点】指数函数的单调性与特殊点，一元二次不等式的解法，函数零点的判定定理13.不等式 23x−1<(12)1−2x 的解集是________；不等式 log 2(3x −1)<log 124 的解集是________. 【答案】 {x|x <0}；{x|13<x <512}【考点】指数函数单调性的应用，对数函数的单调性与特殊点14.lg1+ 20 - √(−2)2+(12)−1 的值为________。

21新高考数学B人教A一轮复习课时规范练指数与指数函数含解析

1课时规范练11 指数与指数函数基础巩固组1.设集合A={x |2x >12},B={x |x+1x -2≤0},则A ∩B= ( )A.(-1,2)B.[-1,2)C.(-1,2]D.[-1,2]2.化简√64x 12y 66(x>0,y>0)得( ) A.2x 2y B.2xy C.4x 2yD.-2x 2y3.(多选)(2019江苏南京期中)若指数函数y=a x 在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为52,则a 的值可能是( )A.2B.12C.3D.134.(2019河北承德一中期中)设2x =8y+1,9y =3x-9,则x+y 的值为( ) A.18 B.21 C.24D.275.函数f (x )=a |2x-4|(a>0,a ≠1),满足f (1)=19,则f (x )的单调递减区间是( ) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]6.设a=log 37,b=21.1,c=0.81.1,则( ) A.b<a<cB.c<a<b2C.c<b<aD.a<c<b7.下列函数中,与函数y=2x -2-x 的定义域、单调性、奇偶性均一致的是( ) A.y=sin xB.y=x 3C.y=(12)xD.y=log 2x8.若偶函数f (x )满足f (x )=2x -4(x ≥0),则{x|f (x-3)>0}=( ) A.{x|x<-3或x>5} B.{x|x<1或x>5} C.{x|x<1或x>7}D.{x|x<-3或x>3}9.(2019广东韶关一中期末)设x>0,且1<b x <a x ,则 ( )A.0<b<a<1B.0<a<b<1C.1<b<aD.1<a<b10.(2019浙江嘉兴期中)若函数f (x )=(2a-1)x-3-2,则y=f (x )的图象恒过定点 ,又f (x )在R 上是减函数,则实数a 的取值范围是 .11.函数y=xa x|x |(0<a<1)图象的大致形状是( )综合提升组12.(多选)设函数f (x )=2x ,对于任意的x 1,x 2(x 1≠x 2),下列命题中正确的是( ) A.f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2) B.f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2)C.f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>3D.f (x 1+x 22)<f (x 1)+f (x 2)213.(2019湖北龙泉中学六月模拟,9)已知a>b>0,x=a+b e b ,y=b+a e a ,z=b+a e b ,则( ) A.x<z<y B.z<x<y C.z<y<xD.y<z<x14.若存在正数x 使2x (x-a )<1成立,则a 的取值范围是 ( )A.(-∞,+∞) B .(-2,+∞) C.(0,+∞)D .(-1,+∞)15.(2019福建泉州五中模拟)设a>0,且a ≠1,函数y=a 2x +2a x -1在[-1,1]上的最大值是14,则实数a 的值为 .创新应用组16.(2019湖南衡阳八中模拟)在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%,专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍,则函数y=f (x )的图象大致为( )17.已知定义域为R 的函数f (x )=-2x +n2x+1+m是奇函数.(1)求实数m ,n 的值;(2)若对于任意的t ∈[-1,1],不等式f (t 2-2)+f (2a-at )≥0恒成立,求实数a 的取值范围.4参考答案课时规范练11 指数与指数函数1.A ∵集合A={x |2x >12},解得x>-1,B={x |x+1x -2≤0}={x|-1≤x<2},∴A ∩B={x|-1<x<2},故选A . 2.A原式=(26x 12y 6)16=2x 2|y|=2x 2y.3.AB 指数函数y=a x 在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为52,当a>1时,可得y min =1a ,y max =a , 那么1a +a=52,解得a=2.当0<a<1时,可得y max =1a,y min =a ,那么1a+a=52,解得a=12.故a 的值可能是12或2.故选AB .4.D 因为2x =8y+1=23(y+1),所以x=3y+3,因为9y =32y =3x-9,所以x-9=2y ,解得x=21,y=6,所以x+y=27.55.B 由f (1)=19,得a 2=19.又a>0,∴a=13,即f (x )=13|2x-4|. ∵y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增, ∴f (x )在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减,故选B . 6.B ∵1<a=log 37<2,b=21.1>2,c=0.81.1<1,∴b>a>c.故选B .7.B y=2x -2-x 是定义域为R 的单调递增函数,且是奇函数.而y=sin x 不是单调递增函数;y=(1)x是非奇非偶函数;y=log 2x 的定义域是(0,+∞);只有y=x 3是定义域为R 的单调递增函数,且是奇函数,符合题意. 8.B ∵f (2)=0,∴f (x-3)>0等价于f (|x-3|)>0=f (2).∵f (x )=2x -4在[0,+∞)内为增函数,∴|x-3|>2,解得x<1或x>5. 9.C 因为x>0时,11.因为x>0时,b x<a x,所以x>0时,(a x )x>1.所以ab >1,所以a>b ,所以1<b<a. 10.(3,-1) (12,1) 对于函数f (x )=(2a-1)x-3-2,令x-3=0,求得x=3,f (x )=-1,可得y=f (x )的图象恒过定点(3,-1).再根据函数f (x )=(2a-1)x-3-2在R 上是减函数,故有0<2a-1<1,求得12<a<1.611.D 函数定义域为{x|x ∈R ,x ≠0},且y=xa x |x |={a x ,x >0,-a x ,x <0.当x>0时,函数是一个指数函数,∵0<a<1,∴函数在(0,+∞)上是减函数;当x<0时,函数图象与指数函数y=a x (x<0,0<a<1)的图象关于x 轴对称,在(-∞,0)上是增函数,故选D . 12.ACD 2x 1·2x 2=2x 1+x 2,故A 正确,2x 1·2x 2≠2x 1·x 2,故B 不正确;函数f (x )=2x ,在R 上是单调递增函数,若x 1>x 2,则f (x 1)>f (x 2),则f (x 1)-f (x 2)x 12>0, 若x 1<x 2,则f (x 1)<f (x 2),则f (x 1)-f (x 2)x 12>0,故C 正确;f (x 1+x2)<f (x 1)+f (x 2)说明函数是凹函数,而函数f (x )=2x 是凹函数,故D 正确.故选ACD .13.A ∵x=a+b e b ,y=b+a e a ,z=b+a e b ,∴y-z=a (e a -e b ).又a>b>0,e >1,∴e a >e b ,∴y>z.z-x=(b-a )+(a-b )e b =(a-b )(e b -1).又a>b>0,e b >1,∴z>x. 综上,x<z<y ,故选A . 14.D 不等式2x(x-a )<1可变形为x-a<(12)x,如图,作出直线y=x-a 与y=(12)x的图象.由题意,在(0,+∞)上,直线有一部分在曲线的下方.观察可知,有-a<1,所以a>-1.15.13或3令t=a x(a>0,且a≠1),则原函数化为y=f(t)=(t+1)2-2(t>0).①当0<a<1,x∈[-1,1]时,t=a x∈[a,1a ],此时f(t)在[a,1a]上为增函数.所以f(t)max=f(1a)=(1 a +1)2-2=14,解得a=-15(舍去)或a=13.②当a>1时,x∈[-1,1],t=a x∈[1a,a],此时f(t)在[1a,a]上是增函数.所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5(舍去).综上,a=13或3.16.D设原有荒漠化土地面积为b,经过x年后荒漠化面积为z,所以z=b(1+10.4%)x,故y=zx=(1+10.4%)x(x≥0),是底数大于1的指数函数.因此y=f(x)的图象为选项D.17.解(1)∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=n-12+m =0,∴n=1,∴f(x)=-2x+12x+1+m.又f(1)=-f(-1),∴1-2 m+4=-1-12m+1,解得m=2,∴f(x)=1-2x2x+1+2.经验证可得函数f(x)为奇函数, ∴n=1,m=2.(2)由(1)知f(x)=1-2x2x+1+2=-12+12x+1,∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.∵f(t2-2)+f(2a-at)≥0,∴f(t2-2)≥-f(2a-at),7又f(x)是奇函数,∴f(t2-2)≥f(at-2a),又f(x)为减函数,∴t2-2≤at-2a对任意的t∈[-1,1]恒成立.∴t2-at+2a-2≤0对任意的t∈[-1,1]恒成立.令g(t)=t2-at+2a-2,则{g(-1)=1+a+2a-2=3a-1≤0, g(1)=1-a+2a-2=a-1≤0,解得a≤1.∴实数a的取值范围为(-∞,13].8。

2021年高考数学一轮复习 3-5指数与指数函数检测试题(1)文

1．[xx·郑州质检]给出下列结论：①当a<0时，(a2) 32＝a3；②na n＝|a|(n>1，n∈N*，n为偶数)；③函数f(x)＝(x－2) 12－(3x－7)0的定义域是{x|x≥2且x≠73}；④若2x＝16,3y＝127，则x＋y＝7.其中正确的是( )A．①②B．②③C．③④D．②④解析：(a2) 32>0，a3<0，故①错，∵2x＝16，∴x＝4，∵3y＝127，∴y＝－3.∴x＋y＝4＋(－3)＝1，故④错．答案：B2．[xx·临沂月考]已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图像经过点(2,1)，则f(x)的值域( )A．[9,81] B．[3,9]C. [1,9] D．[1，＋∞)解析：由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，可知C 正确．答案：C3．[xx·山东泰安]设函数f (x )＝a －|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( )A. f (－2)>f (－1)B. f (－1)>f (－2)C. f (1)>f (2)D. f (－2)<f (2)解析：∵f (2)＝4，∴a －|2|＝4，a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|x |＝2|x |，则函数f (x )为偶函数，x ≥0时，递增，x <0时，递减，故选A 项．答案：A4．[xx·沈阳模拟]函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为( ) A. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B. ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 C. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D. (0,2]解析：令t ＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ≥12， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，故选A 项．答案：A5．[xx·漳州月考]函数y ＝a1－x (a >0，a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn >0)上，则1m ＋1n的最小值为__________．解析：由题易知，定点为(1,1)，所以m ＋n ＝1，1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝n m ＋m n＋2≥2＋2＝4(当且仅当m ＝n ＝12时等号成立)．答案：437895 9407 鐇27795 6C93 沓27348 6AD4 櫔Q28965 7125 焥<31644 7B9C 箜28688 7010 瀐^Z30389 76B5 皵39596 9AAC 骬*29134 71CE 燎。

2021年高考数学一轮复习 3-5指数与指数函数检测试题(2)文

2021年高考数学一轮复习 3-5指数与指数函数检测试题（2）文一、选择题1．若点(a,9)在函数y＝3x的图像上，则tan aπ6的值为( )A．0 B.33C．1 D.3解析：由题意有3a＝9，则a＝2，所以tan aπ6＝tanπ3＝3，故选D.答案：D2．函数f(x)＝2|x－1|的图像是( )ABCD解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ＜1.故选B.答案：B 3．若函数f (x )＝12x＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是( ) A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值解析：设y ＝f (x )，t ＝2x ＋1，则y ＝1t，t ＝2x ＋1，x ∈(－∞，＋∞)，t ＝2x＋1在(－∞，＋∞)上递增，值域为(1，＋∞)．因此y ＝1t在(1，＋∞)上递减，值域为(0,1)．答案：A4．下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1 D ．y ＝1－2x解析：∵1－x ∈R ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的值域是正实数集，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－x的值域是正实数集．答案：B5．已知f (x )＝2x ＋2－x，若f (a )＝3，则f (2a )等于( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11解析：由f (a )＝3得2a＋2－a＝3，两边平方得22a＋2－2a＋2＝9，即22a＋2－2a＝7，故f (2a )＝7.答案：B6．设函数f (x )＝2|x |，则下列结论中正确的是( ) A ．f (－1)＜f (2)＜f (－2) B ．f (－2)＜f (－1)＜f (2) C ．f (2)＜f (－2)＜f (－1) D ．f (－1)＜f (－2)＜f (2) 解析：由题意，f (x )＝2|x |＝2|－x |＝f (－x )，即f (x )为偶函数．故⎩⎨⎧f －1＝f 1，f －2＝f 2，f－2＝f2.显然x ≥0时，f (x )＝2x单调递增，所以f (－1)＝f (1)＜f (－2)＝f (2)＜f (－2)＝f (2)．答案：D7．已知a ＞0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )＜12，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1∪(1,4] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪[4，＋∞) 解析：如果函数f (x )的定义域为[－1,1]，则0＜a ＜1时f (x )在x ＝1处取得最大值，所以f (1)≤12，解得12≤a ＜1；a ＞1时，f (x )在x ＝－1处取得最大值，所以f (－1)≤12，解得1＜a ≤2，故选C.答案：C 8．函数f (x )＝a|x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定解析：由题意知a >1，又f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3>a 2，∴f (－4)>f (1)．答案：A9．若x ∈[－1,1]时，22x －1＜ax ＋1恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(5，＋∞)解析：由22x －1＜ax ＋1⇒(2x －1)lg2＜(x ＋1)lg a ⇒x ·lg 4a－lg(2a )＜0.设f (x )＝x ·lg 4a －lg(2a )，由x ∈[－1,1]时，f (x )＜0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧f1＜0，f －1＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧lg 4a －lg 2a ＜0，－lg 4a －lg 2a ＜0⇒a ＞2为所求的范围.答案：A10．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：画出函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 和y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图像，如图所示．由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b结合图像，可得a ＜b ＜0，或a ＞b ＞0，或a ＝b ＝0. 答案：B 二、填空题11．若x＞0，则(2x 14＋332)(2x14－332)－4x－12(x－x12)＝__________.解析：原式＝(2x 14)2－(332)2－4x－12x＋4x－12·x12＝4x 12－33－4x－12＋1＋4x－12＋12＝4x 12－27－4x12＋4x0＝－27＋4＝－23.答案：－2312．函数y＝a x＋2 012＋2 012(a＞0，a≠1)的图像恒过定点__________．解析：令x＋2 012＝0，则x＝－2 012，此时y＝a0＋2 012＝1＋2 012＝2 013.∴恒过定点(－2 012,2 013).答案：(－2 012,2 013)13．已知a＝5－12，函数f(x)＝a x，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系为__________．解析：∵a＝5－12＜1，∴f(x)＝a x是递减函数．由f(m)＞f(n)，得m＜n.答案：m＜n14．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)且f(1)＝9.则f(x)的单调递减区间是__________．解析：由f(1)＝9得a2＝9，∴a＝3.因此f(x)＝3|2x－4|，又∵g(x)＝|2x－4|的递减区间为(－∞，2]，∴f(x)的单调递减区间是(－∞，2]．答案：(－∞，2]三、解答题15．已知函数f(x)＝2x，g(x)＝12|x|＋2.(1)求函数g(x)的值域；(2)求满足方程f(x)－g(x)＝0的x的值．解析：(1)g (x )＝12|x |＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＋2， ∵|x |≥0，所以0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |≤1，即2＜g (x )≤3.∴g (x )的值域是(2,3]． (2)由f (x )－g (x )＝0，得2x－12|x |－2＝0. 当x ≤0时，显然不满足方程．即只有x ＞0时，满足2x－12x －2＝0.整理，得(2x )2－2·2x－1＝0，(2x－1)2＝2，故2x＝1± 2.∵2x＞0，∴2x＝1＋2，即x ＝log 2(1＋2)．答案：(1)(2,3]；(2)log 2(1＋2)．16．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量，且a ＞0，a ≠1)的图像经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)求f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围.解析：(1)把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3，结合a ＞0，且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.∴f (x )＝3·2x.(2)要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≥m 在(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上为减函数，∴当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x有最小值56.∴只需m ≤56即可．答案：(1)f (x )＝3·2x；(2)m ≤56.创新试题教师备选教学积累资源共享1．[xx·济南质检]定义运算a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≤b ，b a ＞b ，则函数f (x )＝1⊗2x的图像大致为( )A B C D解析：由a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≤b ，b a ＞b ，得f (x )＝1⊗2x＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ≤0，1x ＞0.答案：A2．设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a >c >bB. c >a >bC. a >b >cD. b >a >c解析：因为a ＝22.5>1，b ＝2.50＝1，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2.5<1，所以a >b >c .答案：C3．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x，则f (2 011)＋f (2 013)＝( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：由已知，得f (2 011)＋f (2 013)＝f (670×3＋1)＋f (671×3)＝f (1)＋f (0)＝－f (－1)＝1.答案：A4．已知函数f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)在区间[－2,2]上的最大值不大于2，则函数g (a )＝log 2a 的值域是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：①当a ＞1时，a 2≤2⇒1＜a ≤2；②当0＜a ＜1时，a －2≤2⇒22≤a ＜1，则g (a )＝log 2a的值域为g (a )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，故选B. 答案：B5．已知函数f (x )＝|2x－1|，a f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是__________．①a <0，b <0，c <0；②a <0，b ≥0，c >0；③2－a<2c ；④2a ＋2c<2. 解析：画出函数f (x )＝|2x－1|的图像(如图)，由图像可知，a <0，b 的符号不确定，c >0.故①②错； ∵f (a )＝|2a－1|，f (c )＝|2c－1|， ∴|2a－1|>|2c －1|，即1－2a>2c－1，故2a＋2c <2，④成立；又2a＋2c>22a ＋c，∴2a ＋c<1，∴a ＋c <0，∴－a >c ，∴2－a>2c，③不成立．答案：④6．设函数f (x )＝ka x －a －x(a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)若f (1)>0，求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x－4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．解析：∵f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (0)＝0，∴k －1＝0，即k ＝1. (1)∵f (1)>0，∴a －1a>0，又a >0且a ≠1，∴a >1，f (x )＝a x －a －x， ∵f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x)ln a >0， ∴f (x )在R 上为增函数．原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )，∴x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0， ∴x >1或x <－4，∴不等式的解集为{x |x >1，或x <－4}． (2)∵f (1)＝32，∴a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－12(舍去)，∴g (x )＝22x＋2－2x－4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x)＋2.令t (x )＝2x －2－x(x ≥1)，则t (x )在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t (x )≥t (1)＝32，∴原函数变为w (t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2， ∴当t ＝2时，w (t )min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2)．即g (x )在x ＝log 2(1＋2)时取得最小值－2.答案：(1){x |x ＞1或x ≤－4}；(2)－2.32550 7F26 缦 435506 8AB2 課~21387 538B 压22727 58C7 壇LHq20941 51CD 凍e{+u。

2021届高考数学(文通用版)大一轮温习配套精品试题指数与指数函数(含2021模拟试题答案解析)]

精品题库试题文数1.(河北省衡水中学2021届高三下学期二调)已知都是概念在R上的函数，，，且，且，．假设数列的前n 项和大于62，那么n的最小值为（）[解析] 1.因为，因此为增函数，即，因为，因此，解得，，，，得，最小值为6.2.(吉林省实验中学2021届高三年级第一次模拟考试) 已知函数，那么使函数有零点的实数的取值范围是（）A.B.C.D.[解析] 2.当时，由，得，因此，当时，由，得，而为增函数，因此，综上得或．3.(吉林省长春市2021届高中毕业班第二次调研测试) 已知命题：函数的图象恒过定点；命题：假设函数为偶函数，那么函数的图像关于直线对称，那么以下命题为真命题的是A．B．C．D．[解析] 3.的图象恒过，那么为假命题；假设函数为偶函数，即的图象关于轴对称，的图象即图象整体向左平移一个单位取得，因此的图象关于直线对称，那么为假命题；参考四个选项可知，选.4.(山东省潍坊市2021届高三3月模拟考试) 函数与(且) 在同一直角坐标系下的图象可能是[解析] 4.为偶函数，排除A项，当时，的周期，排除C项，当时，的周期，排除B项.5.（成都市2021届高中毕业班第一次诊断性检测）计算1og5＋所得的结果为(A) (B) 2(C) (D) 1[解析] 5.原式6.（天津七校联考高三数学（文）学科试卷）已知集合，，那么（）A. B. C. D.[解析] 6. 由，得，因此，7.(2021天津市滨海新区五所重点学校高三联考，5,5分) 设，，，那么的大小关系是()[解析] 7. ，，，因此.8.(2021年湖北七市高三4月联合考试，8,5分) 概念：函数的概念域为D, 若是关于任意的，存在唯一的，使得(其中c为常数）成立，那么称函数在D上的几何均值为c，那么以下函数在其概念域上的“几何均值” 能够为2的是()A. B.C. (e为自然对数的底）D.[解析] 8.A中，，那么，当时，，因此A不是；B中，，那么，当时，，因此现在不存在，因此B不是；C中，，那么，因此，因此，因此关于任意的，存在唯一的，因此C是；D中，，那么，当时，，因此0=2，因此现在不存在，因此D不是.9.(2021北京海淀区5月模拟卷，2,5分) 已知，，，那么的大小关系为()A. B. C. D.[解析] 9.，由于，因此，因此，因此.10.(2021年辽宁五校协作体高三第二次模拟，2,5分) 函数的图象必然过点（）A.（1,1）B.（1,2）C.（2,0）D.（2, -1）[解析] 10.令，得，因此当时，，因此函数的图象必然过点（1,2）.11.(2021年天津市高三第六次联考，5,5分) 设，，，那么()A. B. C. D.[解析] 11. ，，由于，因此，因此，因此.12.(2021山东，5,5分). 函数f(x) =+的概念域为()A. (-3,0]B. (-3,1]C. (-∞, -3) ∪(-3,0]D. (-∞, -3) ∪(-3,1][解析] 12.由题意知解得-3< x≤0, 因此函数f(x) 的概念域为(-3,0]. 应选A.13.(重庆市杨家坪中学2021届高三下学期第一次月考) 方程的实数解为______.[解析] 13.因为，因此或（舍），得，即.14.(江西省红色六校2021届高三第二次联考) 概念在R上的奇函数知足：当时，，那么在R上，函数零点的个数为.[解析] 14.因为为上的奇函数，因此，当时，令，得，同一坐标系下作出与的图像，由图象可知两函数只有一个交点，即当时，为增函数，因此只有一个零点，依照对称性函数在时只有一个零点，因此一共３个零点．15.（重庆南开中学高2021级高三1月月考)实数知足，那么的最大值是。

2021年高考数学一轮复习第二章第五节指数与指数函数演练知能检测文

2021年高考数学一轮复习第二章第五节指数与指数函数演练知能检测文1．化简a 23·b －1－f(12·a －12·b 13,6a ·b 5)(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2b D.1a解析：选D 原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a .2．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )A B C D解析：选C 当x ＝1时，y ＝a 1－a ＝0，所以函数y ＝a x－a 的图象过定点(1,0)，结合选项可知选C.3．设函数f (x )＝x 2－4x ＋3，g (x )＝3x－2，集合M ＝{x ∈R |f (g (x ))>0}，N ＝{x ∈R |g (x )<2}，则M ∩N 为 ( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．(－∞，1) 解析：选D ∵f (g (x ))>0， ∴g 2(x )－4g (x )＋3＞0，∴g (x )＞3或g (x )＜1，∴M ∩N ＝{x |g (x )<1}． ∴3x－2＜1,3x＜3，即x <1.4．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a解析：选A 构造指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x(x ∈R )，由该函数在定义域内单调递减可得b ＜c ；又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x (x ∈R )与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x (x ∈R )之间有如下结论：当x ＞0时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3525＞⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，即a ＞c ，故a ＞c ＞b . 5．(xx·杭州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －8x ＜0，x 2＋x －1x ≥0，若f (a )＞1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) 解析：选B 由f (a )＞1知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13a－8＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a 2＋a －1＞1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a ＜－2 或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ＜－2或a ＞1，即a ＜－2或a ＞1.6．(xx·荆州模拟)设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x－1，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 解析：选B 由题设知，当x ≥1时，f (x )＝3x－1单调递增，因其图象关于直线x ＝1对称，∴当x ≤1时，f (x )单调递减．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13.7．若x ＞0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝________.解析：原式＝(2x 14)2－(332)2－4x 1－12＋4x －12＋12＝4x 12－33－4x 12＋4＝－23.答案：－238．已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x＋5的最大值为________．解析：令t ＝2x，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4，又y ＝22x －1－3·2x＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12.∵1≤t ≤4，∴当t ＝1时，y max ＝52.答案：529．(xx·金华模拟)已知过点O 的直线与函数y ＝3x的图象交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图象于C 点，当BC 平行于x 轴时，点A 的横坐标是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可得，C (x 1，y 2)，所以有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝3x 1，y 2＝3x 2，y 2＝9x 1.又A ，O ，B 三点共线，所以k AO ＝k BO ，即y 1x 1＝y 2x 2，代入可得3x 13x 2＝x 1x 2＝12，即3x 132x 1＝12，所以x 1＝log 32.答案：log 32 10．函数f (x )＝2＋x x －1的定义域为集合A ，关于x 的不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＞2－a －x (a ∈R )的解集为B ，求使A ∩B ＝B 的实数a 的取值范围．解：由2＋xx －1≥0，解得x ≤－2或x ＞1，于是A ＝(－∞，－2]∪(1，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＞2－a －x ⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋x ⇔2x ＜a ＋x ⇔x ＜a ，所以B ＝(－∞，a )．因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，所以a ≤－2，即a 的取值范围是(－∞，－2]．11．已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x(e ＝2.718 28…)． (1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值；(2)若f (x )f (y )＝4，g (x )g (y )＝8，求g x ＋yg x －y的值．解：(1)[f (x )]2－[g (x )]2＝(e x －e －x )2－(e x＋e －x )2＝(e 2x－2＋e －2x)－(e 2x ＋2＋e－2x)＝－4.(2)f (x )f (y )＝(e x －e －x )(e y －e －y )＝ex ＋y＋e－x －y－ex －y－e－x ＋y＝[ex ＋y＋e－(x ＋y )]－[ex －y＋e－(x －y )]＝g (x ＋y )－g (x －y )，即g (x ＋y )－g (x －y )＝4.①同理，由g (x )g (y )＝8，可得g (x ＋y )＋g (x －y )＝8.② 由①②解得g (x ＋y )＝6，g (x －y )＝2，故g x ＋yg x －y＝3.12．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3.结合a >0且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.∴f (x )＝3·2x.(2)要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≥m 在(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上为减函数，∴当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 有最小值56.∴只需m ≤56即可．∴m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56.[冲击名校]1．若存在负实数使得方程2x－a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(0,2) D ．(0,1)解析：选C 在同一坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x－a 的图象，则由图知，当a ∈(0,2)时符合要求．2．对于函数f(x)，如果存在函数g(x)＝ax＋b(a，b为常数)，使得对于区间D上的一切实数x都有f(x)≤g(x)成立，则称函数g(x)为函数f(x)在区间D上的一个“覆盖函数”，设f(x)＝2x，g(x)＝2x，若函数g(x)为函数f(x)在区间[m，n]上的一个“覆盖函数”，则|m－n|的最大值为________．解析：因为函数f(x)＝2x与g(x)＝2x的图象相交于点A(1，2)，B(2,4)，由图可知，[m，n]⊆[1,2]，故|m－n|max＝2－1＝1.答案：1[高频滚动]1．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，且当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是( ) A．(－1,0) B．(2，＋∞)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)解析：选C 由题意f(1－x)＝f(1＋x)，得f(x)图象的对称轴为x＝1，则a＝2.易知f(x)在(－∞，1)上单调递增，当x∈[－1,1]时，f(x)＞0，故只需f(－1)＝b2－b－2＞0，解得b＞2或b＜－1.2．已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若存在实数a，b，使得f(a)＝g(b)，则b的取值范围为( )A．[2－2，2＋2] B．(2－2，2＋2)C．[1,3] D．(1,3)解析：选B 由题易知，函数f(x)的值域是(－1，＋∞)，要使得f(a)＝g(b)，必须使得－x2＋4x－3＞－1，即x2－4x＋2＜0，解得2－2＜x＜2＋ 2.32226 7DE2 緢-20617 5089 傉• 40178 9CF2 鳲ql35267 89C3 觃 6O34012 84DC 蓜。

2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§3.4 指数与指数函数(试题部分)

§3.4 指数与指数函数基础篇固本夯基【基础集训】考点指数与指数函数1.设a>0,将a 2a ·√a 2表示成分数指数幂的形式,其结果是( )A.a 12B.a 56C.a 76D.a 32答案 C 2.函数y=(12)x 2-2x 的值域为()A.[12,+∞) B.(-∞,12] C.(0,12] D.(0,2] 答案 D3.设函数f(x)=x 2-a 与g(x)=a x (a>1且a ≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=(1a)0.1的大小关系是( )A.M=NB.M ≤NC.M<ND.M>N 答案 D4.[(0.06415)-2.5]23-√3383-π0= . 答案 05.若“m>a ”是“函数f(x)=(13)x +m-13的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a 能取的最大整数为 . 答案 -1综合篇知能转换【综合集训】考法一指数式的大小比较1.(2018黑龙江七台河月考,5)已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则( ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a 答案 A2.(2018浙江杭州第二中学高三仿真考)已知0<a<b<1,则( ) A.(1-a )1b >(1-a)b B.(1-a)b >(1-a )b2 C.(1+a)a >(1+b)b D.(1-a)a >(1-b)b 答案 D3.(2018福建厦门一模,5)已知a=(12)0.3,b=lo g 120.3,c=a b ,则a,b,c 的大小关系是( )A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a 答案 B考法二指数(型)函数的图象和性质4.(2018湖南永州第三次模拟,4)下列函数中,与函数y=2x -2-x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( ) A.y=sin x B.y=x 3 C.y=(12)x D.y=log 2x 答案 B5.(2019山东潍坊模拟,7)已知函数f(x)=x-4+9x+1,x ∈(0,4),当x=a 时, f(x)取得最小值b,则函数g(x)=a |x+b|的图象为( )答案 A6.已知函数f(x)=|2x -1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是 ( ) A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b ≥0,c>0 C.2-a <2c D.2a +2c <2 答案 D7.(2019届黑龙江哈尔滨三中第一次调研,6)函数f(x)=2√4x -x 2的单调增区间是( ) A.(-∞,2] B.[0,2] C.[2,4] D.[2,+∞)8.已知函数f(x)=2x-12|x|.(1)若f(x)=2,求x的值;(2)若2t f(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.解析(1)当x≤0时,f(x)=0,当x>0时,f(x)=2x-12x,由题意可得,2x-12x=2,即22x-2×2x-1=0,解得2x=1±√2,∵2x>0,∴2x=1+√2,∴x=log2(1+√2).(2)当t∈[1,2]时,2t(22t-122t )+m(2t-12t)≥0,即m(22t-1)≥-(24t-1).∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1).∵t∈[1,2],∴-(1+22t)∈[-17,-5],故m的取值范围是[-5,+∞).【五年高考】考点指数与指数函数1.(2019课标Ⅰ,3,5分)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a答案B2.(2017课标Ⅰ,11,5分)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则( )A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z答案D3.(2016课标Ⅲ,6,5分)已知a=243,b=425,c=2513,则( )A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b答案A4.(2015天津,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a答案C5.(2019课标Ⅱ,14,5分)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-e ax.若f(ln2)=8,则a= .6.(2018上海,11,5分)已知常数a>0,函数f(x)=2x2x +ax的图象经过点P (p,65)、Q (q,-15).若2p+q =36pq,则a= .答案 67.(2015山东,14,5分)已知函数f(x)=a x +b(a>0,a ≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= . 答案 -32教师专用题组考点指数与指数函数(2015江苏,7,5分)不等式2x 2-x<4的解集为 .答案 {x|-1<x<2}【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共45分)1.(2020届河南南阳一中第一次月考,1)已知集合A={x ∈N |-2<x<4},B={x |12≤2x ≤4},则A ∩B=( ) A.{x|-1≤x ≤2} B.{-1,0,1,2} C.{1,2} D.{0,1,2} 答案 D2.(2019届四川绵阳高中高三第一次诊断性考试,10)若a=43e 35,b=32e 23,c=5e -2,则( ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c 答案 D3.(2020届广东揭阳三中第一次月考,6)函数f(x)=(13)x 2-6x+5的单调递减区间为()A.(-∞,+∞)B.[-3,3]C.(-∞,3]D.[3,+∞) 答案 D4.(2020届陕西咸阳三原南郊中学第一次月考,10)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x ∈R ,且[x]表示不超过x 的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如: [-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函数f(x)=2x+11+2x -13,则函数y=[f(x)]的值域是( )A.{0,1}B.{-1,1}C.{-1,0}D.{-1,0,1}答案D5.(2019届湖北、山东部分重点中学高三第一次联考,7)已知函数y=4x-3·2x+3,若其值域为[1,7],则x可能的取值范围是( )A.[2,4]B.(-∞,0]C.(0,1]∪[2,4]D.(-∞,0]∪[1,2]答案D6.(2020届黑龙江大庆第一中学第一次月考,11)设函数f(x)={|2x-1|,x≤2,-x+5,x>2,若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是( )A.(16,32)B.(18,34)C.(17,35)D.(6,7)答案B7.(2018安徽合肥第二次教学质量检测,6)已知函数f(x)=a-2xa+2x是奇函数,则f(a)的值等于( )A.-13B.3 C.-13或3 D.13或3答案C8.(2020届陕西咸阳三原南郊中学第一次月考,8)函数y=a x-b(a>0,且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则a b的取值范围是( )A.(1,+∞)B.(0,+∞)C.(0,1)D.无法确定答案C9.(2019届安徽定远重点中学上学期第一次月考,10)已知函数y=f(x)与y=F(x)的图象关于y轴对称,当函数y=f(x)和y=F(x)在区间[a,b]同时递增或同时递减时,把区间[a,b]叫做函数y=f(x)的“不动区间”.若区间[1,2]为函数f(x)=|2x-t|的“不动区间”,则实数t的取值范围是( )A.(0,2]B.[12,+∞)C.[12,2] D.[12,2]∪[4,+∞)答案C二、多项选择题(共5分)10.(改编题)函数f(x)=a x-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论不正确的是( )A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0 答案 ABC三、填空题(共5分)11.(2018湖南益阳4月调研,13)已知函数f(x)=2x 1+a ·2x (a ∈R )的图象关于点(0,12)对称,则a= .答案 1四、解答题(共25分)12.(2020届河南南阳一中第一次月考,20)函数f(x)=3x ,x ∈[-1,1],g(x)=[f(x)]2-2af(x)+3. (1)当a=0时,求函数g(x)的值域;(2)若函数g(x)的最小值为h(a),求h(a)的表达式;(3)是否存在实数m,n 同时满足下列条件:①m>n>3;②当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n 2,m 2]?若存在,求出m,n 的值;若不存在,请说明理由.解析 (1)因为f(x)=3x ,x ∈[-1,1],所以g(x)=32x -2a ·3x +3, f(x)∈[13,3].设t=3x ,t ∈[13,3],则φ(t)=t 2-2at+3=(t-a)2+3-a 2,其图象的对称轴为直线x=a.当a=0时,φ(t)=t 2+3,t ∈[13,3],所以φ(t)∈[289,12]. (2)因为函数φ(t)的图象的对称轴为直线x=a, 当a<13时,h(a)=φ(13)=289-2a 3; 当13≤a ≤3时,h(a)=φ(a)=3-a 2; 当a>3时,h(a)=φ(3)=12-6a. 故h(a)={ 289-2a 3(a <13),3-a 2(13≤a ≤3),12-6a(a >3).(3)假设存在满足题意的m,n.因为m>n>3,所以h(a)=12-6a,所以函数h(a)在(3,+∞)上是减函数, 又因为h(a)的定义域为[n,m],值域为[n 2,m 2], 所以{12-6m =n 2,12-6n =m 2,两式相减得6(m-n)=(m-n)·(m+n),又因为m>n>3,所以m-n ≠0,所以m+n=6,与m>n>3矛盾,所以满足题意的m,n 不存在. 13.(2019届山西太原高三阶段性考试,19)已知函数f(x)=x (1a x +1-12),其中a>0,且a ≠1.(1)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(2)若关于x 的不等式f(x)≤16|x|在[-1,1]上恒成立,求实数a 的取值范围.解析 (1)函数f(x)是偶函数.证明如下:易知f(x)的定义域为R ,关于原点对称.f(-x)=-x (1a -x +1-12)=x (12-a xa x +1),∴f(x)-f(-x)=x (1a x +1-12)-x (12-a xa x +1) =x (1+a xa x +1-1)=0,∴f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数.(2)由(1)知f(x)是R 上的偶函数,则不等式f(x)≤16|x|在[-1,1]上恒成立,等价于f(x)≤16x 在[0,1]上恒成立, 显然,当x=0时,上述不等式恒成立; 当x ≠0时,上述不等式可转化为1a x +1-12≤16, ∴a x ≥12在[0,1]上恒成立,∴12≤a<1或a>1, ∴实数a 的取值范围是[12,1)∪(1,+∞).。

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『高考一轮复习·讲练测』『分项解析·逐一击破』
专题3.5 指数与指数函数
一、选择题
1．（2020·上海高一课时练习）若指数函数x
y a =是减函数，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．1a >
B ．0.2a <
C ．(1)0a a -<
D ．(1)0a a ->
2．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知在同一坐标系下，指数函数x
y a =和x
y b =的图象如图，则下列关系中正确的是（）
A ．1a b <>
D ．1b a >>
3.（2020·四川省高一期末）设.1084y =，0.7
28y =，3
43
4y =，则（）
A ．312y y y >>
B ．213y y y >>
C ．132y y y >>
D ．123y y y >>
4．（2020·上海高一课时练习）若函数2x
y m =+的图像不经过第二象限，则m 的取值范围是( ) A ．m 1≥
B ．1m <
C ．1m >-
D ．1m ≤-
5．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）若函数6
(3)3,7
(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩
单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．9
,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．()1,3
D ．()2,3
二、多选题
6．（2019·广东省佛山一中高一月考）下列运算结果中，一定正确的是（）
A ．347a a a ⋅=
B ．()
3
2
6a a -=
C ．88a a =
D ．()5
5ππ-=-
7．（2020·山东省高一期末）如图，某湖泊的蓝藻的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系满足t
y a =，则下列说法正确的是（）
A ．蓝藻面积每个月的增长率为100 %
B ．蓝藻每个月增加的面积都相等
C ．第6个月时，蓝藻面积就会超过260m
D ．若蓝藻面积蔓延到222
2,3,6m m m 所经过的时间分别是123, , t t t ，则一定有123t t t +=
8．（2020·湖南省宁乡一中高一开学考试）定义运算()()
a a
b a b b a b ⎧≥⎪⊕=⎨
<⎪⎩，设函数()12x
f x -=⊕，则下列命题正确的有（） A ．()f x 的值域为 [
)1,+∞ B ．()f x 的值域为 (]0,1
C ．不等式()()+12f x f x <成立的范围是(),0-∞
D ．不等式()()+12f x f x <成立的范围是()0,+∞ 三、填空题
9．（2020·上海高三专题练习）函数2
233x y -=的单调递减区间是_________. 10．（2020·上海高一课时练习）已知函数2
2()2,[0,3]x x
f x x -+=∈，则该函数的最大值为__________，最
小值为_________.
1．（2020·上海高三专题练习）函数()12x f x =-的定义域是（）
A ．(],0-∞
B ．[)0,+∞
C ．(),0-∞
D ．(),-∞+∞
2．（2020·湖北省高三其他（文））已知()12|12|x
x
f x =+--，则()f x 的值域是（） A ．(],2-∞
B ．(]0,2
C ．(]03,
D ．[]1,2
3．（2020·萍乡市上栗中学高三二模（文））已知01a b <<<，则下列结论正确的是（） A ．a b b b 1，b <0
B ．a >1，b >0
C ．0 <a <1，b >0
D ．0 <a <1，b <0
5．（2020·福建省高三其他（文））已知 1.22a =， 1.10.5b -=，0.44c =，则（） A ．c b a <<
B ．b a c <<
C ．b c a <<
D ．a b c <<
6．（2020·湖北省高三其他（文））若0＜a ＜b ＜1，x ＝a b ，y ＝b a ，z ＝b b ，则x 、y 、z 的大小关系为（ A ．x ＜z ＜y
B ．y ＜x ＜z
C ．y ＜z ＜x
D ．z ＜y ＜x
7．（2020·上海高三专题练习）已知01,1a b <<<-,则函数x
y a b =+的图像必定不经过（） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
8．（2020·上海高三专题练习）若函数1
()21
x
f x =+, 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( ) A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值
D ．单调递增有最大值
9．（安徽省江淮十校2019届5月）已知函数22,0
()21,0x x f x x x x ⎧>=⎨--+≤⎩，若(())4f f a =，则a =________．
10．（2020·上海高三专题练习）设函数，则满足31,1
()2,1
x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩的()(())2f a f f a =的a 取值范围是
__________.
1.(2017课标1，理1)已知集合A={x|x<1}，B={x|31x <}，则（） A ．{|0}A B x x =
D ．A
B =∅
2．（2020·北京高考真题）已知函数()21x
f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）．
A ．(1,1)-
B ．(,1)(1,)-∞-+∞
C ．(0,1)
D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞
3．（2015·山东高考真题（文））设则
的大小关系是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
4.(2017北京文理)已知函数1()3()3
x x
f x =-，则()f x （）
（A ）是偶函数，且在R 上是增函数（B ）是奇函数，且在R 上是增函数（C ）是偶函数，且在R 上是减函数（D ）是奇函数，且在R 上是增函数
5.（2016年浙江文）已知函数()f x 满足：()f x x ≥且
()2,x
f x x ≥∈R . A ．若()f a b ≤，则a b ≤ B ．若()2b
f a ≤，则a b ≤ C ．若()f a b ≥，则a b ≥ D ．若()2b
f a ≥，则a b ≥
6. （2017·山东高考真题（文））已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x
，则f (919)＝________.。