华师版二次根式的乘除法2
2022年华东师大版数学九上《二次根式的乘除2》精品课件
学习目标
1.利用菱形特有性质〔对角线互相垂直〕来判定平 行四边形是否为菱形；〔重点〕
2.菱形的性质与判定的综合运用.〔难点〕
导入新课
复习引入 问题：上一课我们学习的菱形的判定方法有哪些？
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.定理：四边相等的四边形是菱形. 菱形的特有性质：对角线互相垂直平分
1 26 5=____54 ___； 3 46 9=____76 ___．
归纳
一般地，二次根式的除法法那么
思考：等式中 的a和b有没有 条件的限制？
a= a bb
〔a≥0，b＞0〕
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开 方数.
典例精析
例1 计算：
1 40; 2 4 1.
5
3 12
解： (1)
∴ AB=AD=5 .
5.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交
AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四
边形ADCE是菱形.
A
证明：∵MN是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，
∠AOD=∠EOC=90°. ∵CE∥AB， ∴∠DAO=∠ECO， ∴△ADO≌△CEO〔ASA〕．
2.理解和记忆商的算术平方根要注意的问题：
注意:(1) 这里的被开方数是一个整式〔可以是多项式，也
可以是单项式〕.
(2) 注意被开方数的取值范围.
例2
化简：（1）
1 2
(要求分母不带根号)
（2） 1 (要求分母不带根号) 2+1
解：（1）
1 2
=
1• 2•
2 2
=
2 2
华师版九年级数学上册第21章2 二次根式的乘除
知3－练
(1) 48； 3
解：方法一： 48＝ 3
438＝ 16＝4；
方法二：
48＝ 3
16× 3＝ 3
16＝4.
(2)－－21255； －－21255＝ 21255＝12 1255＝12 25＝12×5＝52.
(3)－ 2 13÷ 16；
知3－练
解：－
1 23÷
16＝－
73÷16＝－
73×6＝－ 14.
C.
(
1 4
)2－(
1 5
)2＝210
D. 94x＝23xx
知4－练
例 7 去掉下列各式分母中的根号：
知4－练
(1) 3 ；(2) 3
12；(3) 32
2 ； (4) 2ab
3＋ 3－
2. 2
解题秘方：紧扣“去掉分母中的根号的方法”进
行变形 .
解：(1)
3＝ 3
3× 3×
3 3
＝333＝
3.
知4－练
知1－讲
(2)几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变， 即： a · b · c＝ abc(a ≥ 0，b ≥ 0，c ≥ 0).
(3)几个二次根式相乘，可利用乘法交换律、结合律简 化运算 .
特别提醒
知1－讲
1. 法则中被开方数a，b既可以是数，也可以是式子，但都
必须是非负的 .
2. 二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数或因
说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积 的算术平方根 .
知1－讲
2. 二次根式的乘法法则的推广 (1)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单 项式的法则进行运算，即根号外因数(式)之积作为积 的根号外因数(式)，被开方数之积作为积的被开方数， 即：a b ·c d＝ac bd(b ≥ 0，d ≥ 0).
21.2二次根式的乘除法(2)-华东师大版九年级数学上册课件
3
4
【解】 （1）、（4）、（5）的被开方数含有分母，所以，
它们不是最简二次根式。
（3）、（7）的被开方数含有开得尽方的因数，所以，不 是最简二次根式。
（8）的根指数是3，不是二次根式，所以不是最简二次根式。
（2）、（6）是最简二次根式。
例5 化简： (1) 3 ;(2) x3 ;(3) 363;(4) 2x3 x2 .
例2
计算：(1)
4
3 11
1 11
2
2 3
;
(2)
15
3 5
20
1 3
6
【解】
（1）原式= 411
44 9 88
3 3 11 8
（2）原式=
3 5
3
9 50
15 20 1 6
5
44 9 1 4 22
9 25 2 5
44 3 22 2 222
9 2
223 1 22 22
【解】 (1) 1 5 5 5 ( 5)2 5
(3) 1 . 5 3
你能说出它 们的有理化 因式吗？
( 5)
(2) 3 5 3 5 3 5 3 3 15 15 ( 3)
12 2 3 2( 3)2 23
1
5 3
5 3 5 3
(3)
5 3 ( 5)2 ( 3)2 5 3
2
( 5 3)
（课本P9）2、计算：
（1）1 ；（2） 2；（3） 8 .
3
5
20
【解】（1）1 = 3
3
2
3
=
3 3
（2） 2 = 5
25 52
=
10 5
（3） 8 = 20
华东师大版九年级上册数学21.2二次根式的乘法和除法(二)
1.在括号中填写适当的数或式子使等式成立。
（1） 8 （ 2 ）＝ 4
（2）2 5 （ 5 ）＝ 10
（3） a－1 （
a－1）＝
a－1 （4）3
2 3
＝
6
2.化简下列二次根式，使得分母中不含有根号：
（1）－8 3 （2）3 2
8
27
（3） 5a 10a
（4） 2y 2 4xy
a 0,b 0
a a （a ≥ 0,b＞0 ） bb
灿若寒星
例3 计算
（1） 15
3
（2） 24
6
灿若寒星
例4 计算
化简： 1 ，使分母中不含二次根式，并且被开
2
方数中不含分母。 思考： 你能用哪些方法去掉分母中的根号？
灿若寒星
由此你能的得到一般结论吗?
当a≥0,b>0时,怎样化去 a中的分母? b
bb
（2）把除法先写成分式的形式，再化简为最简二次根式. 3. 在进行分母有理化之前，可以先把能化简的二次根式化 简，再考虑如何化去分母中的根号.
灿若寒星
灿若寒星
3.计算：
（1）－ 19 95
29 1 （－ 3 2 1）
48
24
灿若寒星
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=30 ° ，AC=2cm，求斜边AB的长.
B
A
C
灿若寒星
1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式. 2. 二次根式的除法有两种常用方法： （1）利用公式： a a (a ≥0，b 0) ；
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
灿若寒星
21.2 二次根式的乘除法（二）
灿若寒星
华师版数学九年级上册 21.2 二次根式的乘除
(2) 6 15 10 = 6 15 10 = 233552 = (2 3 5)2 = 302 = 30
2.计算：
30 3 2 2 2 2 1
23
2
解 : 原式 = 3 2 30 8 5
1 2
(要求分母不带根号)
(2)
1 2 1
(要求分母不带根这号种)方法有的地方称之为
(1) 1 = 1 2 = 2 ； 2 22 2
分母有理化，即把分母中 的根号化去的过程.
(2) 1 =
2 1 = 2 1.
2+1 2+1 2 1
提示：（1）要进行根式化简，关键是要搞清楚分式的
分子和分母都乘什么，有时还要对分母进行化简；
a2 a (a≥0) 把这个因式(或因数)开出来，将二次 根式化简.
想一想？
(-4) (-9) = (-4) (-9)
成立吗？为什么？ ab＝ a b （a≥0，b≥0）
∴ (-4) (-9)
非
= 36 = 6
负
数
1.计算： (1)5 12 4 27 (2) 6 15 10
解： (1)5 12 4 27
3.二次根式乘法运算规律公式
a • b a • b （a≥0，b≥0)
如何化简二次根式 关键：将被开方数因式分解或因数分解，使被开 方数出现“完全平方数”或“偶次方因式”.
二次根式的除法法则及运算
我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算，
那么，两个二次根式能否进行除法运算呢？
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
（2）有理化因式确定方法.如 有理化因式是
华师版二次根式的乘除法2
1 2 3 4 5 6
4 16 36 256 30000 13 12
2 2 2 2
7 18 8 5 2 3 18 9 45 48 10
1 1 ab a b 1 x
a (b c) b a a b
1 11 2 xy 3
4 9 49 100 25 64
4 9 49 100 25 64
a a 一般地, 有 ________, (a 0, b 0) b b
二次根式除法法则:
两个二次根式相除，将它们的被开 方数相除的商，作为商的被开方数；
a a a 0, b 0 这个公式反过来写,得到:____________( ) b b
3.化简二次根式的方法.
注意点 : (1)当二次根式的被开方数中含有字母时,
应充分注意式子中所含字母的取值范围.
(2)进行二次根式的乘除运算或化简,最终结果定要尽可能化简.
课堂练习
• 练习：P9第1、2、3
/ 上海写字楼出租
王爷の住处。门口没什么见到秦顺儿候着，水清心中有点儿担心：秦公公别在，那就说明爷也应该别在，唉，时间赶得真是别巧，要别要回去呢？别过，那是在行宫，荒僻之地，爷 能有啥啊事情，又会去咯哪儿呢？正在她犹豫是否就此回去之际，只见黑暗の院子中，秦顺儿别晓得从啥啊地方斜刺里杀咯出来，突然出现在水清主仆の面前：“给侧福晋请安，侧 福晋吉祥！”那声音又高亢又嘹亮，完全别似平日里又谦卑又小心の样子，由于是突然遇到秦顺儿，又是黑夜里那么大の嗓门，把水清吓咯壹跳，心想那各秦顺儿今天是怎么咯？就 算是爷别在，也别至于那么没什么规矩吧。哎，别对呀，秦顺儿那奴才别在爷跟前服侍，大夜里の，在院子里晃悠啥啊？狐疑之下，水清随口说道：“噢，秦公公，我是来给爷请安， 爷别在吗？那我先回去咯，麻烦您跟……”“秦顺儿，让侧福晋进来吧。”王爷就在屋里！他也被秦顺儿那咋咋唬唬の声音吓咯壹跳，也奇怪那奴才今天怎么那么反常，别过他也来 别及捉摸秦顺儿，就听见咯水清の声音，晓得她是前来请安，于是就赶快发话让她进来。那两天王爷壹直是骑马，并没什么坐马车，壹连两天の长途跋涉，令他备感疲惫，于是就让 吉尔为他捶腿解乏。于是当水清主仆两人进屋之后见到の景象就是王爷靠在矮榻上，手中拿着壹本书，吉尔侧跪在他の脚边小心翼翼地捶着腿。第壹卷 第555章 人 情那是最为普通、 最为平常の壹各奴才伺候主子の场景，没什么任何可以值得大书特书の事情，但是，水清の眼睛还是从中还是看出咯壹些端倪。别の奴才伺候主子，那是应付差事，心烦意乱，恨别 得赶快办完咯差事赶快躲得清闲。而吉尔却是壹脸の虔诚，满眼の崇敬，连她那各侧福晋都已经进门来咯，都没能将吉尔の目光从王爷の身上挪开，向她那各主子投来请安の眼神。 看来月影の猜测确实别是空穴来风。想到那里，水清赶快规规矩矩地向王爷行咯请安礼：“给爷请安。”“好，起来吧。用过膳咯？”“回爷，已经用过咯。”“今天那壹路您也辛 苦咯，爷那里也没啥啊事情，您赶快回去好好歇着吧。”“多谢爷。要别吉尔就留在您那里伺候吧，省得来回跑咯。”“爷那两天有些乏咯，也就是让她捶捶腿，别の也没什么啥啊 事情，而且还有秦顺儿呢，壹会儿就让她回去咯。”“回爷，有吉尔在身边，总归也是用着顺手壹些，另外，妾身那些日子壹直睡别好，昨天吉尔她们回去后将妾身吵醒，几乎壹夜 都没什么再睡着，今天壹天里头都昏昏沉沉の。”“噢？那行吧。月影，您精心伺候着您家主子。”“是の，爷。”月影都要被水清气死咯！月影原本就对吉尔有成见，现在连水清 都能看出来吉尔の异样，月影更是明察秋毫！王爷本来已经让吉尔回去咯，怎么仆役居然硬是要将吉尔留下？难道仆役就没什么听明白自己早上说の那番话吗？水清壹见爷同意咯， 赶快说道：“假设没什么其它事情，妾身就退下咯。”“好，您也赶快歇息去吧。”壹进咯水清の房间，月影急急地关上房门，转过身来气得浑身直哆嗦：“仆役，您为啥啊要把吉 尔留下？”“好月影，我晓得您是为咯我好。可是您想想，秦公公都躲到咯壹边，壹见咱们来咯，赶快大着嗓门请安，那说明啥啊？我刚才那么做，只是给爷送咯壹各顺水人情而已。 吉尔是早早晚晚の事情，将来人家也是要叫我壹声‘姐姐’，别是您我能阻拦得下来の事情，况且您家仆役我也别需要阻拦啥啊，有人能服侍爷，爷也就没什么时间和精力来寻咱们 の别是，何乐而别为呢？”“可是仆役，奴婢怎么觉得，爷可是都有壹年多没什么寻过咱们の别是呢。而且上壹次您去十三爷府上帮着十三福晋，爷可是抱着您回来の呢。”月影真 是哪壶别开提哪壶！水清最烦の就是那件事情，假设别是她壹开始就假装昏迷企图离他远远の，假设别是她因为累到极点最后真の死死地睡咯过去，他怎么可能壹路将她抱进怡然 居？那各让她很没什么面子，很是窝火の壹件事情，都过去半年多咯，却是三天两头地被月影拿出来当作“典型案例”，别停地提醒着水清，敲打着水清，要她时刻牢记王爷对她有 多么の好，多么の体贴。第壹卷 第556章 安居现在又是那各样子，上演咯别
华东师大版九年级上册21.2.1二次根式的乘除法(共18张PPT)
※拓展应用
(2)将根号外的因式移到根号内： (x 1) 1 x 1
如：2 3 4 3 43 12
a a a2 a a3
3 2 9 2 18
(x 1) 1 x 1来自解：由 1 0及x 1 0得x 1 0 x 1
(x1) 1 (x1)2 1
x 1
x 1
(x 1)2 ( 1 ) x 1
3、根据上面的结果，直接用“＞、＜ 或＝”填空：
(1) 4 9 = 4 9 ； (2) 16 25 = 16 25；
(3) 100 36 = 100 36 ； (4) 2 3 = 6 ； (5) 2 5 = 10 ； (6) 5 6 = 30 .
4、归纳：
当a≥0，b≥0时， a b = ab
4、下面的解题方法、过程对吗？
112 92 112 92 119 2.
112 92 (11 9)(119) 40 4 10 2 10
5、比较下列各组数的大小：
(1)2 5与3 3 ； (2) 2 13与 3 6.
解：【(1【)法法二一】】 (22 55)2 222 2 (5 5)222 4 55 2200,， 3(3 33)2 332 2 (3 3)232 9 3 3 227,， 而而2200＜ 2277，， 22 55＜3 33. 3
华东师大版九年级上学期 第21章 《二次根式》
2.1二次根式的乘除法
(课时一)
学而不疑则怠，疑而不探则空
知识回顾
1、二次根式 a(a≥0)是非负数，
a
2
a
.当a≥0时， a2
=
a
；
当a＜0时， a2 = -a .
2、单项式与单项式相乘，将它们的
系数、相同字母的幂分别相乘，对于
华师大版数学九上21.2《二次根式的乘除法》ppt课件2
a b ab 反过来，就可
利用它可以对二次根式进行化简.
例题讲解
化简:
(1) 12
(2) 27 15
(3) 4a
3
化简二次根式，就要把被开方数中的平 方数（或平方式）从根号里开出来。
解:
(1) 12 4 3 2 3 2 3
x为任何实数.
一个长方形的长为 6cm，宽为 3cm， 这个长方形的面积是多 少？
解 : 长方形的面积为： 6 3
这个结果能否化简？如何化简？
讨论
计算:
(1) 4 25 10 1 3 (3) 9 4 2
(2) 4 25 10
3 1 (4) 9 4 2
你发现了什么？用你发现的规律填空：
1 1 (4) 27 27 9 3 3 3
分析
二次根式的乘法：根式和根式按公式相乘。
m a n b mn ab （a≥0，b≥0）
根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数。
练习
计算：
(1)5 12 4 27 360
(2) 6 15 10
30
探究
21 10 ＝ 5 7
＝ 6
如果根号前 有系数，就 把系数相除， 仍旧作为二 次根号前的 系数。
2 1 1 2 3 (4)原式 ＝ 1 ＝ 6 5 2 6 5 2 6 ＝ 5
探究
把
a a 反过来，就可以得到: b b
a b a b
（a≥0，b＞0）
利用它可以对二次根式进行化简.
3 25 y 3 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 1 2 化简: 100 9x 16
九年级数学上册21.2二次根式的乘除法(第2课时)教案华东师大版
二次根式的乘除法第二课时教学内容a b =ab（a≥0,b〉0），反过来ab=ab（a≥0，b>0)及利用它们进行计算和化简．教学目标理解ab =ab（a≥0,b〉0）和ab=ab（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键1．重点：理解ab =ab(a≥0，b〉0）,ab=ab（a≥0，b〉0)及利用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律,归纳出二次根式的除法规定．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探—-解疑合探自探1.(学生活动）请同学们完成下列各题:1．填空（1）916=____，916=_____； (2）1636=_____，1636=_____；（3）416=_____，416=_____；（4)3681=________,3681=________．规律：916____916；1636____1636;416____416；3681___3681．2．利用计算器计算填空:（1）34=_____，（2)23=_____，(3）25=____，（4）78=_____．规律:34___34；23____23;25___25；78__78。
每组推荐一名学生上台阐述运算结果．(老师点评）刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确,根据大家的练习和回答,我们进行合探：二次根式的除法规定： 一般地，对二次根式的除法规定：a b=a b （a ≥0，b 〉0)，反过来，a b =a b（a ≥0,b>0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目． 合探1．计算：(1）123 （2）3128÷ （3)11416÷(4)648分析：上面4小题利用ab=a b （a ≥0，b 〉0）便可直接得出答案．合探2．化简：(1）364（2）22649b a （3)2964xy (4)25169x y分析：直接利用a b =ab（a ≥0，b>0)就可以达到化简之目的． 三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展 已知9966xx x x --=--，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值．分析：式子a b =a b，只有a ≥0，b>0时才能成立． 因此得到9-x ≥0且x-6>0,即6<x ≤9，又因为x 为偶数，所以x=8． 五、归纳小结（师生共同归纳）本节课要掌握a b=a b（a ≥0，b 〉0）和a b=a b（a ≥0,b 〉0）及其运用．六、作业设计 一、选择题 1．计算112121335÷÷的结果是（ ）．A ．275 B ．27C ．2D ．272．阅读下列运算过程：1333333==⨯,225255555==⨯数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化"，那么,化简26的结果是（ )． A ．2 B ．6 C ．136 D ．6 二、填空题 1．分母有理化:(1) 132=_________;(2）112=________;（3)1025=______.2．已知x=3，y=4，z=5，那么yz xy ÷的最后结果是_______．3. 自由落体的公式为h=12gt 2（g 为重力加速度,它的值为10m/s 2），若物体下落的高度为720m ，则下落的时间是_________．三、综合提高题 4。
21.2二次根式的乘除课件华东师大版数学九年级上册
举例
将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方.
, .
化去根号下的分母.
若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数.
.
化去根号下的分母.
若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数.
</m> .
被开方数是多项式的要先进行因式分解.
</m> .
典例6 化简:
典例7 化简:
本节知识归纳
中考常考考点
难度
常考题型
考点1：最简二次根式,主要考查最简二次根式的识别或二次根式的化简.
★★
选择题、填空题
考点2：二次根式的乘除运算,主要考查利用二次根式的乘除运算法则进行计算.
★★★
选择题、填空题
考点1 最简二次根式
A
链接教材 本题取材于教材第8页例4.中考真题和教材例题都考查了将二次根式化成最简二次根式.解题时需熟练掌握最简二次根式的定义.
考点2 二次根式的乘除运算
3
链接教材 第2题，考查了二次根式的乘除运算.求解此类问题时，结果都要化为最简二次根式或整式.
第21章 二次根式
二次根式的乘除
学习目标
1.掌握二次根式的乘除运算法则，会进行简单的二次根式的乘除运算.2.掌握积的算术平方根的性质 及商的算术平方根的性质 ，并会用来化简二次根式.3.了解最简二次根式的概念，会识别最简二次根式，能将一个二次根式化为最简二次根式.
知识点1 二次根式的乘法法则 重点
2.验证
典例1 计算:
知识点2 积的算术平方根 重点
典例2 化简:
知识点3 二次根式的除法法则 重点
2.验证
典例3 计算:
知识点4 商的算术平方根 重点
二次根式的乘除法(2)_课件
bb
（2）把除法先写成分式的形式，再化简为最简二次 根式.
3. 在进行分母有理化之前，可以先把能化简的二次根式 化简，再考虑如何化去分母中的根号.
思考： 如何将下列各式进行分母有理化？
2 ab
a b 乘以什么式子才能不含有根号呢？ （ a b）（ a b） （ a）2 （ b）2 a b
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
练习：把下列各式化简(分母有理化)：
(1)－ 3 6
(4) 2 y2 4xy
(2) 3 40
(5) 5 3 4 12
(3) 5a 10a
(6) 2 3 40
(7) 0.2 0.5
(8) 1 a2
课堂知识反馈
1.在括号中填写适当的数式子使等式成立。
（1） 8 （ 2 ）＝ 4 （2）2 5 （ 5 ）＝ 10
3x
例1.计算或化简: (1) 15
3
(2) 24 3
探究活动把这3分个母过ba程中叫的做根ba分号母化a 有去0理,,使b化分。0母 变ba成有理数ba,
例6：计算 1 3 2 3 2 3 8
5
27
2a
解：
1 解法1..
3
3
55
35 55
15 25
15 25
15 5
解法2..
3
3
5
15
5 5 5 5
（ a b）的有理化因式是（ a b）
分母有理化的过程即是分子分母同时乘 以分母的有理化因式
例：把下列各式分母有理化
（1） a a1
《21.2二次根式的乘除-3.二次根式的除法》(华东师大版).docx
《3二次根式的除法》I ♦教材分析]本节课是义务教育课程标准试验华东师大版教科书数学九年级上册，笫22章《二次根式》第二节《二次根式的乘除》第二课时。
本节是在上节学习的二次根式的定义和性质和二次根式的乘法的基础上，进一步学习二次根式的除法。
在化简二次根式的同时，引导学生概括•出二次根式的乘除法法则，为进一步学习二次根式的加减法提供基础。
【知识与能力目标】1、使学生掌握二次根式的除法法则；2、会应用二次根式的除法法则进行简单的二次根式的除法运算；3、能正确地进行简单的二次根式的乘除法混合运算；【过程与方法目标】经历从现实世界屮抽象出数学知识的过程，通过丰富的生活实例，进一步认识二次根式的特征和性质.【情感态度价值观目标】在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，并敢于表现自己，丰富学习数学的成功体验，激发对数学学习的好奇心.♦教学重难点【教学重点】应用二次根式的除法法则进行简单的二次根式的除法运算.【教学难点】正确地进行简单的二次根式的乘除法混合运算.♦课前准备教师准备：课件、多媒体;学生准备：课件，练习本;♦教学过程一、导入新课1、分别用式子表示二次根式积的算术平方根的性质及二次根式的乘法法则。
二者的关系是什么？答：二次根式积的算术平方根，等于积屮各因式的算术平方根的积。
即= y!~a • 4b(a > 0,Z? > 0)二次根式的乘法法则是：•乔=应(ci > 0,Z? > 0)这两个式子是互逆的关系。
2、二次根式商的算术平方根的性质是什么？并用式子表示。
答：二次根式商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以式的算术平方根，即(cz>0,/?>0)o二、新课学习@»0力>0)反过来，得到(6Z>0,/?>0)这是二次根式的除法法则。
运用这个法则可以进行二次根式的除法运算。
例1解(2)由学生口述，并说明各步运算依据)3 3 / 2 3 厂p ryz -J — =-7nrrr =_pm 5-Jm 4n 3 5 V m n 5 5 指出：在进行二次根式的除法运算时，有时要把除法法则与商的算术平方根的性质结 合应用，如上面例2的第（1）题。
华师大版-数学-九年级上册--22.2二次根式的乘除法(2)二次根式的除法
二次根式的除法运算法则以及用它进行简单的二次根式的除法运算。
难点
探求二次根式除法运算法则。
教学准备
利用多媒体辅助教学
教 学 过 程
一、情景导入
上一节课，我们采取什么方法来研究二次根式的乘法法则？
两个二次根式相除，怎样进行呢？
二、探索新知
请同学们参考二次根式的乘法法则的研究，分组讨论两个二次根式相除，会有什么结论，并提出你的见解。归纳为： 。反之也成立
三、巩固练习
1、计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；
（5） ；( 6) ；( 7) 。
4、分母有理化：( 1 ) ；( 2 ) ；( 3 )
5、计算：( 1 ) × ÷ ；( 2 ) ÷
6、已知m,n满足n= ，求 的值。
课堂小结
1、二次根式的除法法则
2、最简二次根式的条件。
布置作业
见课件
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ例4：
对于（1）可由教师解答示范，对于（2）可由学生自己计算。
例5：
说明：二次根式的化简要求满足以下两条：
（1）被开方数的因式是整数，因式是整式，也就是说“被开方数不含分母”。（2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式，也就是说“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”。
板书设计
； 。
教学后记
二次根式的除法是建立在二次根式的基础上的，所以在学习中侧重于引导学生利用与乘法相类似的方法去学习，从而进一步降低学习的难度，提高学习的效率，但在教与学中，可以明显感受到学生对分母有理化概念在运用中的不灵活性，这也是应在今后的复习中给予加强的。
科目
数学
年级
《二次根式的乘除法》PPT课件 (公开课获奖)2022年华师大版 (2)
问：你能画出符合条件的直线吗？
A
E
相似三角形的判定方法
E
D
B
C
1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成
的三角形与原三角形相似
2、有两角对应相等的两个三角形相似
如图，每个小正方形边长均为1，则下 列图中的三角形（阴影部分）与左图 中△ABC相似的是（ B ）
A
B
C
A．
B．
C．
D．
相似三角形的判定方法
2
2
积的算术平方根）
算术平方根的积等于各个被开方数积的算 术平方根. 思考：该公式的作用是什么？化简二次根式
明辨是非
( 4)( 9)( 4)( 9) 成立吗？为什么？ (4)(9) 366 积的算术平方根成立的条件
ab a b（a≥0，b≥0）
例:能使x(2x) x 2x成立
的x的取值范 __围 0__是 x__2_____.____
DG GE
A
BH HC
D B
E G
H
C
如图：在⊿ABC中， ∠C= 90°,BC=8,AC=6.点P 从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点 Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。 如果P、Q分别从B、C同时出发，问：
经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰 好与⊿ABC相似？ A
(2) 14 112 (3) 200 a 5b4c 3
(4 )22 0 12( 6 5 )4 m 3 n 2 8 m 2 n 3
课堂小结
a b a b (a≥0,b≥0)
ab a b（a≥0，b≥0）
当堂检测：
1 . 3 2 2 3 的值是（ A ）
华师大九年级数学上册《二次根式的乘除(2)》课件
（1）当a 0 , b 0 ,
（2） 254 10 （3） 25x4 5 x 2
ab a b 成立。
这是积的算术 平方根的性质。
二、探讨
（1）
9 16
32 （ ）=
4
3 4
（2）
9 16
3 4
（1）、（2）题结果相同。
观察1、2小题 的结果，它们 有什么特点？
你能列出怎样的 等式呢？
25
1 4
（ D）
（ A） 5 （ B） 2（ 5C ） 51 （ D ） 1 101 2 2 22
② 如果 X0,y0,则X2可化简（为B ） Y2
A XB XC X(D )X
Y
Y Y 2
Y 2
分析 :这道题直接术 运平 用方 商根 的性 算 x y2 2 质x y2 2可得
x0, x2 x
y 0, y2 ?
综合练习
已x、 知 y都是实 x9 数 2， y2且 50,求x的值
y
分析：要求 x 的值 关键是求X、Y，
y
X92和 y25是一个什么数
两个非负数相加和为0。
也就是说它们要分别为0。
解 x ： 9 2 0 ， y 2 5 0
又 x 9 2y 2 5 0
解得：
x9 0
y 25 0选择：化1简 过程正确的（是C ） 4
A 1 （ B ） 11 （ C ） 11
4
4 2
42
总结：商的算术平方根性质的运用一定要注意 被开方数的取值范围。
（二）填空
（ 1）
81 25
1
4 5
（2） 64 8 49 9 21
（3） X 2 25 Y 4
x 5y2
华师大版-数学-九年级上册- 整理推荐 22.2 二次根式的乘除法(二)
22.2二次根式的乘除法(二)1．计算：＝；＝．2．计算：＝；＝ (x、y均大于0)．3．化简：＝；＝ (bc＞0)．4．某精密仪器的一个零件上有一个矩形的孔，其面积是cm2，cm，则这个孔的宽为 cm．5．下列计算中正确的是 ( )A16 B1= C= D=6= ( ) A．x≥－1 B．x＞2 C．x≥2 D．一1≤x＜27．下列计算中错误的是 ( )A45= B= C= D．=8．若a＞0，b＞0( )A．BD9化为最简二次根式，结果等于 ( )A．2xx+B．2x+C．13D10．化简：；．11．化简：＞0)；＞0，b＞0)；＞0)；＋y＞0)．12．试按下面两种方法完成计算，并比较哪一种方法简便：1≈≈ (精确到0．01)，1.414122 1.414==≈≈ (精确到0．01)22(2)在下列各题的横线上填上最简单的二次根式，使它们的积不含根号．·；②·；·；·；·；·． (3)根据以上问题解答过程所得到的启发求下列各式的值．(精确到0．01)；；13．化简：．14=x 为偶数，求(1x +15．已知m ＋n ＝5，mn ＝3第3课时 二次根式的乘除法(二)1． (2)62．3．(1)1455 (2)24a b c45．C 6．B 7．C 8．B 9．B10． (2)53 (3)-11．(1)238x y (2)5a b12．(1)0．71 0．71 (2) (3)①3．46 ②2．83 ③1．06 ④1．2213．(1)214．615．73。
华师大版-数学-九年级上册-21.2二次根式的乘除法(2)教案
教学内容21.2二次根式的乘除法（2）序号教学时间教具知识技能：理解ab=ab（a≥0，b>0）和ab=ab（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．过程方法：学生自主学习，小组合作，交流，探究，教师指导情感态度：培养学生概括总结的能力和逆向思维的能力。
重点难点重点：理解ab=ab（a≥0，b>0），ab=ab（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．难点：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学流程教学内容教法学法设计复检导入预习1．填空：（1）916=________，916=_________；（2）1636=________，1636=________；规律：916______916；1636______1636；根据练习我们发现一些规律，这个规律就是我们这节要学习的知识——二次根式的除法。
一般地，对二次根式的除法规定：ab=ab（a≥0，b>0），反过来，ab=ab（a≥0，b>0）学生回答教师指导。
教师直接引入，引起学生注意学生自主预习小组讨论教师指导、并做点教学目标内容要求拨。
教学流程教学内容教法学法设计展示巩固总结例1．计算：（1）123（2）3128÷（3）11416÷（4）648例2．化简：（1）364（2）22649ba学生展示预习问题。
练习：（1）416=________，（2）3681=________，（3）2964xy（4）25169xy本节课要掌握ab=ab（a≥0，b>0）和ab=ab（a≥0，b>0）及其运用．教材第9页习题2题4——6小题完成习题册内容小组长展示，其他组长补充。
教师指导。
教师结合例题引导学生进行总结。
并让学生反馈作业进行表述。
学生独立完成教师巡视指导，小组长评价。
教学反思。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 11 2 xy 3
4 9 49 100 25 64
4 9 49 100 25 64
a a 一般地, 有 ________, (a 0, b 0) b b
二次根式除法法则:
两个二次根式相除，将它们的被开 方数相除的商，作为商的被开方数；
a a a 0, b 0 这个公式反过来写,得到:____________( ) b b
2 2 1 1 （3） 4 2 （ 2 2
×
5 2 ）（4） 2 9 9 5（
× ）
4 4 √ 5 5 （5） 4 4 （ ）（6）5 5 （ √） 15 15 24 24
观察、猜想训练
验证下列各式，猜想下一个式子是什 么？你能找到反映上述各式的规律吗？
1 2 3
2 2 2 3 3 3 3 8 4 4 4 15 2 3 3 8 4 15
化简：
1 2 3 4 5 6
4 16 36 256 30000 13 12
2 2 2 2
7 18 8 5 2 3 18 9 45 48 10
1 1 ab a b 1 x
a (b c) b a a b
n
n n 1
2
n
n n 1
2
n 2
5 5 4 5 5 24 24
1.二次根式的乘法 : 二次根式的除法 :
a b a b
ab , ( a 0, b 0)
a , ( a 0, b 0) b
2.反过来, 分别有 a a ab a b , (a 0, b 0); , (a 0, b 0) b b
寻找分母的有 理化因式，应 找最简单的有 理化因式，也 可灵活运用我 们学过的性质 和法则，简化、 优化解答过程。
1 2 3
1 1 2
6 2
1 5x y x
5x 5x
xy x
4 4
a 2
2 2a
辨析训练
判断下列各等式是否成立。
√） （1） 16 9 4 3 （× ）（2） 3 3 （
练习:
1 2
72 6 1 1 1 2 6
3 4
40 45 m n 5 m n
5 4 4 3
化简:15
12 2 45
15 2 3 5 3 15 12 2 45 15 23 5 5
2.把下列各式分母有理化：
5 3 1 4 12
5 8
45 3 2 4 2 20 a2 (a 2) a 1 3 2a 2 2 a 1
例1.计算或化简: (1)
15 3
24 (2) 3
1 (3) 5
2 (4) 1 3
8 (5) 20
二次根式化简后,被开方数不含 分母,并且被开方数中所有因式的幂 的指数小于2,像这样的二次根式称 为最简二次根式.
下列哪些是最简二次根 式： 2 5、 36、 12、 27
二次根式的化简要求满足以下两条: (1)被开方数的因数是整数,因式是整式,也就是说 “被开方数不含分母”. (2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式,也就是 说“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于 2”.
3.化简二次根式的方法.
注意点 : (1)当二次根式的被开方数中含有字母时,
应充分注意式子中所含字母的取值范围.
(2)进行二次根式的乘除运算或化简,最终结果定要尽可能化简.
课堂练习
• 练习：P9第1、2、3
p:// 少儿英语
们老人家现在可好？""父王和母妃他们好着呢."罗成冷笑回复壹句,转身将身后壹人拽着衣角引咯出来说道:"表哥,上次您来北平王府,我哥恰好随阿骨打出兵否在,今日来给您引荐壹下,那位就是我の亲哥哥,罗延庆."罗成向着秦琼介绍完之后,又朝罗延庆说道:"哥,那位便是母妃姐姐の儿子,我 们の表哥,秦琼."秦琼放眼望去,只见罗延庆身高八尺,几乎与秦琼壹样,却是穿着与罗成截然否同の壹身红衣,面色微微发红.壹旁の东舌,突然看见罗成与罗延庆来到,眼中否由得感到诧异,那罗延庆居然和罗成变为亲兄弟咯."操作界面,帮本宿主检测壹下罗成和罗延庆のの详细信息."东舌否断 考量着罗成和罗延庆,脑江中向操作界面发送咯信息."正在检测中叮咚,罗成当前四维如下,武力:97,智力:73,统率:84,政治:63.四维尚未达到巅峰,请宿主注意查看.""正在检测中……叮咚,罗延庆四维如下,武力:95,智力:61,统率:71,政治:59.请宿主注意查看."罗延庆打量咯壹下秦琼,开口礼 貌地说道:"表哥""嗯,两位表弟为兄为您们引见壹下."秦琼望咯壹眼罗延庆点咯点头,伸手指向在座之人."那位便是大名鼎鼎の赤发灵官,七省绿林会の总把手,单雄信单二哥,那些都是绿林好汉.""单二哥,那两位便是秦某の表弟,罗延庆和罗成."秦琼向着单雄信等人介绍咯罗成与罗延庆.单雄信 客气地起身抱拳壹礼说:"原来是冷面寒枪俏罗成和大漠枪霸罗延庆,两位兄弟,幸会."罗成听到单雄信の名号,冷哼壹声,玉面扬起壹丝否屑说"哼,壹群贼匪而已."罗成冷冷壹句,让单雄信等人脸色突然难堪起来."您说什么呢您/王爷儿子咯否起？"许褚见罗成态度如此那般,壹拍桌子怒目圆睁地 站咯起来."许褚,坐下/"曹操朝许褚呵斥壹声,转而拱手朝罗成道歉道:"罗兄弟切勿放在心上."罗成与罗延庆却丝毫否将曹操の道歉放在眼中,两人都是北平王之子,自古官贼分两道,更何况罗成,罗延庆都是军旅出生,如何能与绿林之人混在壹起.秦琼见罗成与单雄信等人和否进去,便拉着罗成与 罗延庆再走到东舌面前伸手介绍道:"殿下,那两位便是我の表弟,罗成,罗延庆,两位表弟,那位便是当今の钱塘王."东舌起身朝罗成抱拳说道:"在下便是钱塘王,见过两位罗少保.""什么,江南の反王,他居然是钱塘王,表哥您糊涂啊,与绿林中人来往也就算咯,私通反贼那可是诛九族の大罪啊/"罗 成听到东舌の名号,满脸骇然地朝秦琼说到.秦琼无奈苦笑壹声说:"否瞒两位表弟,我已经投靠咯钱塘王罢咯罢咯,今日否谈公事,两位表弟随我进门,我带您们先见过我娘.""好吧,罗丛,罗串,您们把那些贺礼抬进去."罗成与罗延庆各自轻咬下唇,斜眼冷视咯东舌等人几眼,点咯点头命令身后仆人 将其余贺礼壹起抬进去,与秦琼壹起走进门去."他奶奶の,那罗少保架子也摆の太高咯吧,北平王之子咯否起啊,我史大奈可否吃那套,单二哥等壹下等两个小子出来,我们好好教训壹顿怎么样."罗成与罗延庆刚刚进门,左边宴桌上壹人就拍桌而起,爆咯壹句口粗,其余等人也纷纷起身对罗成与罗延 庆の态度感到否爽,叫嚣个否停.单雄信捋咯捋下颚の短须,双掌往下壹按,示意众人稍安勿躁,"众位兄弟听单某壹言,明日是秦伯母の寿辰,我等众兄弟还是以和为贵.""对,单二哥此言有理,咱们绿林中人讲の是道义,否和他们官府壹套壹套の,所以否必再计较什么."王伯当也跟着单雄信与众人说 到.门内秦琼带着罗成与罗延庆壹起拜见咯秦母,秦母对罗成与罗延庆の到来感到异常欣喜,与两人叨念咯半天の往事方才走出门来.门外の异动已经随着单雄信等人の劝说平定咯下来,罗成与罗延庆却否愿意与东舌与绿林中人坐在壹起进餐,因而中途有差点激起来.在曹操与东舌の壹再劝说下, 两方才相互罢休,罗氏两人才与秦琼坐在壹起.筷往杯来,曹操起身执杯望向罗成两人说:"来来来,两位罗兄弟,曹某敬您们二位壹杯."罗成与罗延庆刚开始否作搭理,否过又想起曹操方才也算礼貌,便执起酒杯,话也否说壹饮而尽.东舌明白咯曹操是有意博取罗成の好感,却否知那么做是有何用意, 便也学着起身执杯道:"两位罗兄弟,我敬您们壹杯,听闻罗少保白马银枪,可是威风凛凛."白马银枪那一些字点起咯罗成の注意,罗成眼神壹变,起身回咯壹杯,将目光抛到东舌身边の赵雨身上.俊秀の面容上浮现壹丝冷笑,"听闻钱塘王手下亦有壹员猛将,白马银枪视千军万马如草芥,否知是否是那 位."赵雨与罗成相似,否仅长得是俊秀出群,就连穿着也是壹袭白衣,立即勾起咯罗成の注意.赵雨点咯点头却否答语,淡然壹笑起身对视罗成,罗成如剑锋般の眼神亦是凝视着赵雨,宛如两股激流否断在半空交错壹般.罗成嘴角抹起壹丝凛冽の战意,开口问道:"听闻您枪法超绝,可否与我切磋壹 番？"O(∩_∩)O)壹百叁十二部分龙魂VS寒枪午后の阳光,放肆の挑衅着飞舞の尘沙.只是回旋,随之湮灭.酒席之上,罗成冷冷地质问着赵雨,眉宇间燃烧着世家与生俱来の傲气."赵兄弟,上吧,难否成害怕那个否知天高地厚の执挎子弟吗？"许褚在壹旁否断开始叫嚣起来,显然对罗成の轻蔑已经忍 无可忍.赵雨冷峻の面容上掠过壹瞬愠色,却又没什么答应应战,反而将目光抛向咯东舌,表示看东舌来如何决定.东舌心中感慨道:"那罗成果然和演义中那般心高气傲,而否是和电视剧上那么风流儒雅,也罢,既然主动求虐,那就成全您吧."沉吟片刻之后,东舌扬起壹抹讽意:"既然罗兄弟那么看得 起您,子龙您就陪罗兄弟切磋切磋,但还请罗兄弟手下留情.""好,痛快/半响后您我二人便约在那院内比武壹场,待我先去取来武器.""罗成壹声冷笑,转身壹挥白袖带走几缕阳光,神情否屑傲然,走出门外取来兵器.赵雨眼神如冷绝似冰の寒光,凝视咯壹眼罗成の背影,前去取来自己の武器.半响过 后,众人收拾咯两桌宴席,空出壹块地,被阳光照得金光灿灿,壹览无遗.罗成线条分明绝美の面容,配上壹袭白衣白靴,黑色碎发被系起,手中壹把五钩神飞亮银枪,壹时间被光线反射得居然有些耀眼.赵雨轮廓有度俊秀の冷面,亦是壹袭白衣白靴,黑色直发顺带着白衣如江水壹般劈下,手中壹把龙胆 亮银枪,夺人心魄."还等什么,出手吧/"罗成朝赵雨吼道,脸上满是自信,手中五钩神飞亮银枪紧紧握住,瞳孔否断锁定着赵雨の壹举壹动,好似虽是准备扑上去壹般."好,今日便让我来会会您/"响起壹声冷酷の喝声,赵雨化身壹道白色の旋风朝罗成狂冲而去,手中亮银枪否断席卷起地上の尘沙,左 右摆开,只给人眼中留下几道残影."嘶,好快の速度,倒是我小觑咯赵雨."望着赵雨如疾风壹般袭来,罗成心神微微动荡时,催动着手中の五钩亮银枪挺起,旋即亦是化作壹道白色の闪电,瞬间朝赵雨杀去.白色の旋风从地面上扫过,从地面上空扫过,竟是掀起咯飞沙走石,漫空の狂尘.白色の闪电从 空中否断穿梭,枪尖耀眼,否断撕裂空气,发出滋滋の摩擦声.铿.白色の旋风与闪电猛地擦边而过,只见得壹抹覆盖咯阳光の火花,充满咯众人の眼神.赵雨与罗成擦边而过,眼神相互对视の壹瞬间,赵雨只觉罗成枪锋又快又猛,再加上五钩,更是游刃有余,若是刚刚那壹击自己没什么注意の话,怕是 已经中咯壹枪咯.罗成也是感觉赵雨枪法又狠又准,竟然扰乱咯他の枪峰,让他只能擦边而过,那是需要何等の功底才能做到の程度,壹时间收咯全部の警惕之心,重新注视着眼前の赵雨."好快の枪法,单某那辈子还真未见过如此壹般准狠与神速の枪法."单雄信等人在壹旁注视着那壹场决斗,仅仅 是壹招之间,便忍否住夸赞起来."检测到罗成进入奋战状态,武力+2,基础武力97,当前武力上升至99,请宿主注意查看."罗成感慨片刻,手中五钩亮银枪如闪电般再次递出,狂澜巨浪般の劲气迅の凝聚,让人看否清如何出招,便已向赵雨袭去.赵雨也否再废