三元一次方程组及解法举例
三元一次方程组及解法
要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1. 三元一次方程的定义:含有三个相同的未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．要点诠释：(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．2．三元一次方程组的定义：一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．(2) 在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解要点二、三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤：1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；4．解这个方程组，求出未知数的值；5．写出答案(包括单位名称)．要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1. 下列方程组不是三元一次方程组的是（）．A．B．C．D．【思路点拨】根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验证．【答案】B【解析】解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组．A、满足三元一次方程组的定义，故A选项错误；B、x2-4=0，未知量x的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B选项正确；C、满足三元一次方程组的定义，故C选项错误；D、满足三元一次方程组的定义，故D选项错误；故选B．【总结升华】三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的定义进行判断类型二、三元一次方程组的解法2. 解三元一次方程组【思路点拨】特点：①，③是比例形式，策略：引入参数k．【答案与解析】解法一：由①，设，则x＝3k+1，y＝4k+2，代入②，③得，解之，得．从而x＝7，y＝10．故原方程组的解为，解法二：由③得，则y＝5k，z＝3k．代入①、②得：，解得，故原方程组的解为．【总结升华】若某一方程是比例形式，则先引入参数，后消元3. 已知方程组的解使得代数式x-2y+3z的值等于-10，求a的值．【思路点拨】由题意可知，此方程组中的a是已知数，x、y、z是未知数，先解方程组，求出x，y，z(含有a的代数式)，然后把求得的x、y、z代入等式x-2y+3z＝-10，可得关于a的一元一次方程，解这个方程，即可求得a的值【答案与解析】解法一：②-①，得z-x＝2a④③+④，得2z＝6a，z＝3a把z＝3a分别代入②和③，得y＝2a，x＝a．∴．把x＝a，y＝2a，z＝3a代入x-2y+3z＝10得a-2×2a+3×3a＝-10．解得．解法二：①+②+③，得2(x+y+z)＝12a．即x+y+z=6a④④-①，得z＝3a，④-②，得x＝a，④-③，得y＝2a．∴，把x＝a，y＝2a，z＝3a代入x-2y+3z＝10得a-2×2a+3×3a＝-10．解得．【总结升华】当方程组中三个方程的未知数的系数都相同时，可以运用此题解法2中的技巧解这类方程组（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
三元一次方程组解法举例
6. 写出方程组的解，并检验解的正确性。
代入法应用举例
例如，对于三元一次方程组
$\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 6 \ x - y + 2z = 3 \ 3x + 2y - z = 8 \end{array} \right.$可以使用代入法求解
解法选择策略与注意事项
选择策略
在面对三元一次方程组时，首先观察方程组 的系数特点，如果系数简单且易于代入，可 以选择代入法；如果存在明显可消元的变量 ，可以尝试消元法；对于复杂方程组，建议 采用矩阵法进行求解。
注意事项
在使用代入法和消元法时，要注意选择合适 的变量进行代入或消元，避免计算过于复杂 ；在使用矩阵法时，需要确保理解矩阵运算 的基本原理，正确构建系数矩阵和常数矩阵 ，以保证求解的准确性。
三元一次方程组解法 举例
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目录
• 三元一次方程组概述 • 三元一次方程组解法——代入法 • 三元一次方程组解法——消元法 • 三元一次方程组解法——矩阵法 • 三种解法的比较与总结
01
三元一次方程组概述
三元一次方程组的定义
定义
三元一次方程组是指包含三个未知数的一次方程所组成的方程组。
杂的方程组，可以通过计算机进行高效求解。
• 缺点：需要一定的线性代数基础知识，对于初学者可能难以
03
理解。
适用范围的讨论
代入法
适用于变量系数较为简单 ，易于进行代入计算的情 况。
消元法
适用于方程组中存在较为 明显的可消元变量的情况 。
矩阵法
8.4三元一次方程组解法举例
探讨：
• 小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元 的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是 2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币 各多少张．
• 小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币， 共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4 倍，求1元，2元，5元纸币各多少张． 解：设1元，2元，5元各x张，y张，z张．
练一练
2 x y 29 ① ⑹ 2 y z 29 ② 2 z x 32 ③
① x : y 3 : 2 ⑺y : z 5: 4 ② x y z 66 ③
例题讲解
例2：在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0；当 x=2时，y=3；当x=5时，y=60，求a，b，c的 值．
x 3 ⑵ y 3 z 2
例题讲解
例1：解三元一次方程组
① 3 x 4 z 7, 2 x 3 y z 9, ② 5 x 9 y 7 z 8. ③
练一练
3 x y 2 z 3, ① ⑶ 2 x y 3 z 11, ② x y z 12. ③
x 8 解得 y 2 z 2
练一练
解下列方程组：
① x z 4, ⑴ y 2 z 1, ② x y z 17. ③
x 1 ⑴ y 11 z 5
x 2 y 3, ① ⑵ y z 5, ② z 3 x 11. ③
x 3, y 3z 9 ① 3 x 2 y z 13 ① ⑷ x y 2z 7 ② ⑸ 3 x 2 y 5 z 11 ② 5 x 6 y 7 z 11 ③ 2 x 3 y z 12 ③
三元一次方程组解的三种情况
三元一次方程组解的三种情况大家好，今天咱们来聊聊一个数学话题——三元一次方程组的解法。
别担心，这个听起来挺复杂的东西其实没那么可怕，反而可以很有趣。
我们从简单的开始，了解一下它的三种情况，顺便加点幽默元素，保准让你听了哈哈大笑！1. 一次方程组的基本概念首先，什么是三元一次方程组呢？简单来说，就是有三个未知数的方程，像是小品里的三人行，互相之间总有千丝万缕的联系。
比如说，我们有这样的方程：。
1. ( x + y + z = 6 ) 。
2. ( 2x y + z = 3 ) 。
3. ( x + 2y z = 2 ) 。
这三道题就像是三兄弟，互相依赖着，每个人都想找到自己的位置。
说到这里，大家可能会问，这样的方程组能有多少解呢？其实，这个问题就像一个故事，有三种结局！1.1 唯一解的情况首先，我们来说说“唯一解”的情况。
这就像是三个人在一个密闭的房间里，只有一个出口，大家齐心协力，最终找到了那个出口！在这种情况下，方程组的解是一个确切的点，大家可以坐下来开个庆功宴，庆祝这次成功的合作。
简单来说，这种情况就要求三个方程之间要相互独立，别互相重叠。
你看，数学也需要合作精神嘛！1.2 无解的情况接下来，我们来看看“无解”的情况。
想象一下，三个人想去的地方不同，根本就没法聚到一起，最后只能无奈地散伙。
这种情况就是方程组中的矛盾，像两条平行线，永远也碰不到一起。
比如说，我们有方程 ( x + y = 5 ) 和 ( x + y = 10 )，它们就像是水和油，永远无法融合。
数学中就有这种情况，叫做“矛盾方程组”。
2. 多解的情况然后，咱们来说说“多解”的情况。
这里的场景就像是一个聚会，很多人都在同一个地方，可以随意选择不同的组合。
比如说，你有多个选择，能从中挑出一个、两个或者多个解，就像挑选你最喜欢的水果一样。
其实，这个时候你会发现，方程的关系不止一个解，它们之间有着千丝万缕的联系，可以通过不同的方式来实现。
三元一次方程及其解法
三元一次方程组及其解法1.三元一次方程的定义：含有三个未知数的一次整式方程2.三元一次方程组：由三个一次方程 ( 一元、二元或三元 ) 构成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组3.三元一次方程组的解：能使三个方程左右两边都建立的三个未知数的值解题思路：利用消元思想使三元变二元，再变一元4.三元一次方程组的解法：用代入法或加减法消元，即经过消元将三元一次方程组转变为二元一次方程组，再转变为一元一次方程．例题分析一、三元一次方程组之特别型x y z 12 ①例 1：解方程组 x 2 y 5z 22 ②x 4 y ③剖析：方程③是对于 x 的表达式，经过代入消元法可直接转变为二元一次方程组，所以确定“消 x”的目标。
解法 1：代入法，消 x.5y z 12 ④把③分别代入①、②得6y ⑤5z 22y 2,解得z 2.把 y=2 代入③，得 x=8.x8,∴y 2, 是原方程组的解.z 2.依据方程组的特色，可概括出此类方程组为：种类一：有表达式，用代入法型.针对上例从而剖析，方程组中的方程③里缺z, 所以利用①、②消 z, 也能达到消元构成二元一次方程组的目的。
解法 2：消 z.①× 5 得 5x+5y+5z=60 ④④ - ②得 4x+3y=38 ⑤x 4y ③由③、⑤得4x3 y 38 ⑤x 8,解得y 2.把 x=8,y=2 代入①得 z=2.x 8,∴y 2, 是原方程组的解. z 2.依据方程组的特色，可概括出此类方程组为：种类二：缺某元，消某元型.2x y z 15 ①例 2：解方程组 x 2 y z 16 ②x y 2z 17 ③剖析：经过察看发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。
具备这类特色的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采纳乞降作差的方法较简短地求出此类方程组的解。
解：由① +② +③得 4x+4y+4z=48，即 x+y+z=12 . ④①- ④得 x=3 ，②-④得 y=4 ，③- ④得 z=5 ，x3,∴y 4, 是原方程组的解.z 5.x y 20, ①典型例题举例：解方程组 y z 19, ②x z 21. ③解：由① +②+③得 2(x+y+z)=60 ，即 x+y+z=30 . ④④- ①得 z=10 ，④-②得 y=11 ，④-③得 x=9 ，x9,∴y 11, 是原方程组的解.z10.依据方程组的特色，由学生概括出此类方程组为：种类三：轮换方程组，乞降作差型.x : y : z 1:2:7 ①例 3：解方程组2x y ②3z 21剖析 1：察看此方程组的特色是未知项间存在着比率关系，依据过去的经验，看见比率式就会想把比率式化成关系式求解，即由 x:y=1:2 得 y=2x；由 x:z=1:7 得z=7x. 从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即y 2x, ①z 7x, ②，依据方程组的特色，可采用“有表达式，用代入法”求2x y 3z 21. ③解。
三元一次方程及其解法
三元一次方程组及其解法1.三元一次方程的定义：含有三个未知数的一次整式方程2。
三元一次方程组:由三个一次方程（一元、二元或三元）组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组3. 三元一次方程组的解：能使三个方程左右两边都成立的三个未知数的值 解题思路:利用消元思想使三元变二元，再变一元4.三元一次方程组的解法：用代入法或加减法消元,即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程． 例题解析一、三元一次方程组之特殊型例1：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++=++③②①y x z y x z y x 4225212分析：方程③是关于x 的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x"的目标. 解法1：代入法，消x 。
把③分别代入①、②得⎩⎨⎧=+=+⑤④2256125z y z y解得2,2.y z =⎧⎨=⎩把y=2代入③，得x=8。
∴8,2,2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解。
根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为： 类型一:有表达式,用代入法型.针对上例进而分析,方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z ，也能达到消元构成二元一次方程组的目的。
解法2：消z 。
①×5得 5x+5y+5z=60 ④ ④—② 得 4x+3y=38 ⑤由③、⑤得⎩⎨⎧=+=⑤③38344y x yx解得 2.y ⎨=⎩把x=8，y=2代入①得z=2。
∴8,2,2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩是原方程组的解. 根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为: 类型二：缺某元，消某元型。
例2：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++③②①172162152z y x z y x z y x 分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。
具备这种特征的方程组,我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。
三元一次方程组及其应用
例6、（配套问题）某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？
例8、（货运问题）某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？
例9、（工程问题）某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的 ；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？
学员教师班主任
三、课堂小结
四、家庭作业
1.今年，小李的年龄是他爷爷的 .小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的 .试求出今年小李的年龄.
2.现要加工400个机器零件，若甲先做1天，然后两人再共做2天，则还有60个未完成；若两人齐心合作3天，则可超产20个.问甲、乙两人每天各做多少个零件？
3.五一期间，某商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖决定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付368元，这两面种商品原价之和为500元，问两种商品原价各是多少元？
一、知识总结
1.三元一次方程组及其解法
（1）三元一次方程组：由三个一次方程组成的含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组.
（2）三元一次方程组的解法：三元一次方程组的解法与二元一次方程组的解法类似，只是要多消一次元，即通过代入法或加减法逐步消元，最后化成一元一次方程进行求解.
三元一次方程组解法举例
当原方程组有无数多个解时，需要检查方程组是否有多重解，或者 是否存在冗余的条件。
方程组有唯一解
当原方程组有唯一解时，需要注意解的精度和稳定性，以及解是否 符合实际情况。
05
三元一次方程组的应用举例
实际问题中的三元一次方程组应用举例
人口问题
通过三个方程表示三个国 家或地区的人口变化情况 ，可以解决人口迁移、出 生率、死亡率等问题。
1. 将方程组中的一个方程进行变形，将其中的一个未知数用其他未知数的表达式表 示。
2. 将得到的表达式代入其他方程中，消去一个未知数。
代入法解方程组举例
3. 对方程进行求解，得到一个或两 个变量的值。
4. 将得到的变量的值代入原方程组中 ，求得其他变量的值。
换元法解方程组举例
换元法解方程组步骤
2. 对新的方程组进行求解，得到 一组变量的值。
三元一次方程组解法举例
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目录
• 引言 • 三元一次方程组的解法原理 • 三元一次方程组的解法举例 • 三元一次方程组的解法技巧与
注意事项 • 三元一次方程组的应用举例
01
引言
方程组解法的重要性
实际问题解决
方程组是描述多个变量间关系的 重要工具，掌握方程组解法有助 于解决实际问题。
代入法的目标
通过将一个或多个方程中的变量代入 另一个方程中，从而得到一个或多个 变量的值。
代入法的步骤
首先选择一个或多个方程中的变量， 将其代入另一个方程中，然后对方程 进行化简和求解，最终得到一个或多 个变量的值。
换元法的基本原理
换元法的目标
通过引入新的变量替换原方程组中的变量，从而简化问题。
换元法的步骤
解三元一次方程组的方法
解三元一次方程组的方法三元一次方程组是指含有三个未知数的一次方程组，通常可以表示为如下形式：a1x + b1y + c1z = d1。
a2x + b2y + c2z = d2。
a3x + b3y + c3z = d3。
要解决这样的方程组，我们可以采用以下方法：1. 三元一次方程组的解法。
首先，我们可以使用消元法来解决三元一次方程组。
消元法的基本思想是通过加减乘除等运算，将方程组中的某个未知数逐步消去，最终得到只含有一个未知数的方程，然后通过代入法或者其他方法求解出该未知数的值，再逐步回代，最终得到所有未知数的值。
2. 三元一次方程组的求解步骤。
接下来，我们来具体介绍一下解三元一次方程组的步骤：（1）首先，我们可以通过消元法将方程组化为只含有两个未知数的方程组，具体的消元方法可以根据具体的方程组情况来选择，可以是加减消元法、乘除消元法等。
（2）然后，我们可以继续使用消元法，将方程组化为只含有一个未知数的方程，同样可以根据具体情况选择合适的消元方法。
（3）接着，我们可以通过代入法或者其他方法求解出最后一个未知数的值。
（4）最后，将求得的未知数的值逐步回代到原方程组中，验证是否满足所有方程，如果满足，则得到了方程组的解，如果不满足，则需要重新检查计算过程。
3. 三元一次方程组的解的表示形式。
最后，我们来看一下三元一次方程组的解的表示形式。
一般来说，三元一次方程组的解可以表示为一个有序三元组，即(x, y, z)，其中x、y、z分别代表三个未知数的值，通过解方程组得到的有序三元组就是方程组的解。
总结：通过以上方法，我们可以解决三元一次方程组的问题，关键是灵活运用消元法和代入法，逐步化简方程组，最终得到方程组的解。
希望本文对解三元一次方程组有所帮助，谢谢阅读！。
三元一次方程的解法
三元一次方程的解法引言在数学中，三元一次方程是指含有三个未知数的一次方程。
解决三元一次方程有多种方法，本文将介绍两种常见的解法：代入法和消元法。
代入法代入法是一种基本的解方程的方法，它的思路是通过将一个未知数的值代入到方程中，从而将方程转化为一个含有两个未知数的方程。
下面以一个具体的例子来说明代入法的步骤：假设有下面的三元一次方程：2x + y - z = 5x - 3y + z = 153x + 2y - 4z = 2首先，我们可以从第一个方程中解出 x：2x = 5 - y + zx = (5 - y + z) / 2然后，将得到的 x 值带入第二个方程中：(5 - y + z) / 2 - 3y + z = 15以此类推，我们可以将第二个方程简化为一个只含有 y 和 z 的方程。
最后，将简化后的方程代入第三个方程，解出y 和z 的值。
消元法消元法是另一种解决三元一次方程的方法，它的基本思想是通过变换方程，将方程组中的某个未知数的系数使其相等或相反，从而将其消去。
下面以一个具体的例子来说明消元法的步骤：假设有下面的三元一次方程：3x + 2y - 4z = 102x + y + z = 5x - 3y + z = 15首先，我们可以通过第一个方程的倍数加到第二个方程上，将第一个未知数 x 的系数变为相等：3x + 2y - 4z = 102(3x + 2y - 4z) + y + z = 2 * 10 + 52x + y + z = 25然后，我们可以通过第一个方程的倍数加到第三个方程上，将第一个未知数 x 的系数变为相等：3x + 2y - 4z = 10(3x + 2y - 4z) - 3(3x + 2y - 4z) + z = 10 - 3 * 2 5 + 15x - 3y + z = -10接下来，我们可以继续通过第三个方程的倍数加到第二个方程上，消去第二个未知数 y：2x + y + z = 252x + (x - 3y + z) + z = 255x + 2z = 25最后，将这个简化后的方程带入第三个方程，解出未知数的值。
三元一次方程组及解法
要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1. 三元一次方程的定义：含有三个相同的未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y—z＝1，2a—3b+4c＝5等都是三元一次方程．要点诠释:（1）三元一次方程的条件:①是整式方程，②含有三个未知数,③含未知数的项的最高次数是1次．（2）三元一次方程的一般形式:ax+by+cz+d=0,其中a、b、c不为零．2．三元一次方程组的定义：一般地,由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组,叫做三元一次方程组。
要点诠释：（1）三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数,只要三个方程共含有三个未知量即可．（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解要点二、三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤（1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组,消去两组中的同一个未知数,得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2）解这个二元一次方程组,求出两个未知数的值；（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程,得到一个一元一次方程;（4)解这个一元一次方程,求出最后一个未知数的值；(5）将求得的三个未知数的值用“{"合写在一起．要点诠释：（1）解三元一次方程组的基本思路是:通过“代入”或“加减”消元，把“三元"化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法,解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤：1．弄清题意和题目中的数量关系,用字母（如x,y，z）表示题目中的两个（或三个）未知数；2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；4．解这个方程组，求出未知数的值;5．写出答案（包括单位名称）．要点诠释：（1）解实际应用题必须写“答",而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．(2）“设"、“答"两步，都要写清单位名称,应注意单位是否统一．（3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1. 下列方程组不是三元一次方程组的是（）．A．B．C．D．【思路点拨】根据三元一次方程组的定义来求解,对A、B、C、D四个选项进行一一验证．【答案】B【解析】解:由题意知,含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次,并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组．A、满足三元一次方程组的定义，故A选项错误；B、x2—4=0,未知量x的次数为2次，∴不是三元一次方程,故B选项正确;C、满足三元一次方程组的定义,故C选项错误;D、满足三元一次方程组的定义，故D选项错误；故选B．【总结升华】三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的定义进行判断类型二、三元一次方程组的解法2. 解三元一次方程组【思路点拨】特点：①,③是比例形式,策略:引入参数k．【答案与解析】解法一：由①,设，则x＝3k+1,y＝4k+2，代入②,③得,解之，得．从而x＝7，y＝10．故原方程组的解为,解法二：由③得，则y＝5k,z＝3k．代入①、②得:，解得，故原方程组的解为．【总结升华】若某一方程是比例形式，则先引入参数，后消元3. 已知方程组的解使得代数式x—2y+3z的值等于—10，求a的值．【思路点拨】由题意可知，此方程组中的a是已知数，x、y、z是未知数，先解方程组，求出x，y，z(含有a的代数式)，然后把求得的x、y、z代入等式x-2y+3z＝—10，可得关于a的一元一次方程,解这个方程，即可求得a的值【答案与解析】解法一：②-①，得z—x＝2a④③+④，得2z＝6a，z＝3a把z＝3a分别代入②和③,得y＝2a，x＝a．∴．把x＝a，y＝2a，z＝3a代入x—2y+3z＝10得a—2×2a+3×3a＝-10．解得．解法二:①+②+③,得2(x+y+z）＝12a．即x+y+z=6a④④—①，得z＝3a，④—②，得x＝a，④—③，得y＝2a．∴，把x＝a，y＝2a，z＝3a代入x—2y+3z＝10得a-2×2a+3×3a＝—10．解得．【总结升华】当方程组中三个方程的未知数的系数都相同时，可以运用此题解法2中的技巧解这类方程组。
三元一次方程的解法和过程
三元一次方程的解法和过程
三元一次方程指的是同时存在三个未知量的一次方程，如下所示：ax + by + cz = d
其中，a，b，c，d 分别是常数，x，y，z 是未知量。
我们需要找到 x，y，z 的解，才能解出该方程。
解三元一次方程的基本步骤包括以下几步：
步骤一：将方程变形为矩阵形式。
将方程中的常数和未知量用矩阵表示，得到如下矩阵：
[A][X] = [B]
其中，[A]、[X] 和 [B] 分别表示系数矩阵、未知量矩阵和常数矩阵，如下所示：
[A] = [a b c]
[d e f]
[g h i]
[X] = [x]
[y]
[z]
[B] = [p]
[q]
[r]
步骤二：求出系数矩阵的行列式。
使用三阶行列式的方法求出系数矩阵的行列式，如果行列式不为零，则方程有唯一解。
如果行列式为零，则方程有无数组解或无解。
步骤三：求出系数矩阵的逆矩阵。
如果系数矩阵的行列式不为零，则可以求出其逆矩阵 [A]⁻¹，用于求解未知量矩阵 [X]。
步骤四：求解未知量矩阵。
根据矩阵乘法的公式，将常数矩阵 [B] 乘以系数矩阵的逆矩阵
[A]⁻¹，得到未知量矩阵 [X]，即：
[X] = [A]⁻¹[B]
其中，[A]⁻¹表示系数矩阵 [A] 的逆矩阵，[B] 表示常数矩阵。
通过求解未知量矩阵，可以得到方程的解。
综上所述，解三元一次方程的步骤包括了将方程变形为矩阵形式、求出系数矩阵的行列式、求出系数矩阵的逆矩阵和求解未知量矩阵，通过这些步骤，可以得到方程的解。
三元一次方程组的解法举例
三元一次方程组的解法举例在数学中，三元一次方程组是由三个含有三个未知数的一次方程组成的。
解决这种方程组可以帮助我们找到未知数的值，使得所有方程都成立。
在本文中，我们将介绍三种常见的解三元一次方程组的方法。
方法一：代入消元法代入消元法是解三元一次方程组最常用的方法之一。
它的基本思想是将方程组中的一个未知数用其他未知数的表达式代入其他方程中，从而减少未知数的数量，从而简化方程组。
以下是一个具体的例子：假设我们有三元一次方程组：2x + 3y + 4z = 103x + 2y + z = 5x + 2y + 3z = 7我们可以使用代入消元法来解决这个方程组。
首先，我们可以从第一个方程中解出x的表达式：x = (10 - 3y - 4z)/2将这个表达式代入第二个方程中得到：3((10 - 3y - 4z)/2) + 2y + z = 5化简这个方程，我们可以解出y的表达式：y = (39 - 10z)/11将这个表达式代入第三个方程中得到：(10 - 3((39 - 10z)/11) - 4z)/2 + 2((39 - 10z)/11) + 3z = 7化简这个方程，我们可以解出z的表达式：z = 1将z的值代入y的表达式，然后再代入x的表达式，我们可以得到：x = 2y = 3z = 1所以方程组的解为x = 2，y = 3，z = 1。
方法二：矩阵消元法矩阵消元法是解三元一次方程组的另一种常用方法。
它的基本思想是将方程组表示为矩阵的形式，然后通过一系列行变换将矩阵化简成行最简形，从而得到方程组的解。
以下是一个具体的例子：假设我们有三元一次方程组：2x + 3y + 4z = 103x + 2y + z = 5x + 2y + 3z = 7我们可以将这个方程组表示为矩阵的形式：[2 3 4 | 10][3 2 1 | 5][1 2 3 | 7]接下来，我们通过一系列行变换将矩阵化简成行最简形。
具体的步骤如下：1.将第一个方程乘以3，第二个方程乘以2，第三个方程乘以1，并进行相减：[6 9 12 | 30][6 4 2 | 10][1 2 3 | 7]2.将第二行乘以1/2，得到：[6 9 12 | 30][3 2 1 | 5][1 2 3 | 7]3.将第一行减去两倍的第二行，得到：[0 5 10 | 20][3 2 1 | 5][1 2 3 | 7]4.将第一行乘以1/5，得到：[0 1 2 | 4][3 2 1 | 5][1 2 3 | 7]5.将第二行减去三倍的第一行，将第三行减去一倍的第一行，得到：[0 1 2 | 4][3 -1 -2 | -7][1 0 1 | 3]6.将第二行乘以-1，得到：[0 1 2 | 4][-3 1 2 | 7][1 0 1 | 3]7.将第一行加上三倍的第二行，得到：[0 0 8 | 25][-3 1 2 | 7][1 0 1 | 3]8.将第三行减去一倍的第二行，得到：[0 0 8 | 25][-3 1 2 | 7][1 0 1 | 3]9.将第一行乘以1/8，得到：[0 0 1 | 25/8][-3 1 2 | 7][1 0 1 | 3]10.将第二行加上三倍的第一行，第三行减去第一行，得到：[0 0 1 | 25/8][0 1 5 | 23/8][1 0 1 | 3]11.将第三行减去一倍的第二行，得到：[0 0 1 | 25/8][0 1 5 | 23/8][1 0 1 | 3]12.将第三行减去五倍的第二行，得到：[0 0 1 | 25/8][0 1 5 | 23/8][1 0 0 | -2/8]最后得到了行最简形的矩阵，通过回代法可以求得方程组的解：x = -1/4y = 23/8z = 25/8所以方程组的解为x = -1/4，y = 23/8，z = 25/8。
三元一次方程组解法举例一
& 概念学习
x+y+z=12 ①
x+2y+5z=22 ② x=4y
③
观察方程①、②你能得出什么？ 都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都
是1，像这样的方程叫做三元一次方程
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我
们把这三个方程合在一起，写成 x+y+z=12 x+2y+5z=22 x=4y 这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项
三元一次 方程组 消元
二元一次 消元 一元一 次方程 方程组
消元
二元一次 消元 一元一 次方程 方程组
& 概念学习
尝试解三元一次方程组： 先消什么？ x+y+z=12 ① x+2y+5z=22 ② x=4y ③
分析：把③分别代入①、②消掉x，化为二元一次方
程组
尝试应用
例1 解三元一次方程组 3x＋4z=7 2x＋3y＋z=9 5x－9y＋7z=8 ① ② ③
的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组
叫做三元一次方程组
交流探究
x+y+z=12 x+2y+5z=22 x=4y 如何解三元一次方 是不是类似于解二元 程组呢？ 一次方程组先把三元 化为二元再把二元化
为一元呢？
解三元一次方程组的基本思路与解二元一次方程组的 基本思路一样，即 三元一次 方程组
解：②×3＋③ ，得 11x＋10z=35 ④
①与④组成方程组 3x＋4z=7 11x＋10z=35 解这个方程组，得 x=5 z=-2
分析：方程①中只含 x,z,因此，可以由②③ 消去y，得到一个只含x， z的方程，与方程①组 成一个二元一次方程组
三元一次方程组
三元一次方程组定义：我们把含有三个未知数，并且含未知数的想的次数都是1的方程，叫做三元一次方程。
含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组，叫做三元一次方程组。
三元一次方程组中各方程的公共解叫做这个三元一次方程组的解。
方法：提示：可以比较二元一次方程组的解法X+y+z=5 1x-y-5z=1 22x-3y+z=14 3解法：将1×5+2，再用3-1，消去未知数z，得到一个二元一次方程组，再求解。
解析：解三元一次方程组的关键是把三元一次方程组转化为二元一次方程组，在求解，所以，必须消去一个未知数，而本题是一个例子，将含有相同未知数的项的次数转化为一样的，再通过加减消去一个未知数。
x-z=4 1x-y+z=1 22x+3y+2z=17 3解法：由1得出z=x-4，再将z代入另外两个方程，得出一个含有z,y的二元一次方程组，求出z,y的值后将z,y代入，求出x。
解析：第二种消去一个未知数的方法就是将一个未知数用另外的未知数表示，然后再代入，从而得出一个二元一次方程组。
还有要注意，不能代入得出结论的方程，要代入另外两个方程。
三元一次方程组的应用若│3a+4b-c│+1/4（c-2b）²=0，则a:b:c=？答案：-2:3:6解析：绝对值和平方都有一个特性，就是非负数，而他们的和为0，所以说明了他们里面的数的和为0.根据此，由（c-2b）²得出c=2b。
已知c=2b，将c代入│3a+4b-c│中，得出│3a+2b│=0,又可以得出3a=2b,则a=2/3b.这三个未知数都表示成了b，所以比的时候可以吧b消去，再去分母，得出答案。
已知方程组2x+3y=n ,的解x,y的和为12，求n的值。
3x+5y=n+2答案：14解析：这个方程看似解不出来，但是，根据题意可以再得出一个方程：x+y=12，再联系题中方程组，得出一个简单的三元一次方程组，再解出来就可以了。
第一章完。
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三元一次方程组及解法举例
●教学内容
人教版七年级下第八章二元一次方程组第四节
●教学目标
1、使学生了解三元一次方程、三元一次方程组的概念
2、使学生通过问题解决，掌握三元一次方程组的解法，进一步体会消元思想
3、培养学生分析问题、解决问题的能力与合作意识、探索精神
●教学重点、难点
重点：三元一次方程组的解法
难点：根据方程组特点消元方法、转化思想的研究与运用
●教学过程
一、引入
1、小明手里有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共
计22元，其中，1元纸币的张数是2元纸币张数的4倍，求1元、2元、5元的纸币各多少张？
分析：设1元、2元、5元的纸币张数分别为x 、y 、z ，可得
x+y+z=12,x+2y+5z=22，x=4y 三个方程，合写在一起⎪⎩⎪⎨⎧==++=++y x z y x z y x 422
5212从而得出三元一次方程和三元一次方程组的概念。
只含三个未知数，并且未知项次数为均为1的整式方程叫三元一次方程。
含三个相同未知数，且未知项次数为1的三个方程组成三元一次方程组。
2、 回忆二元一次方程组的消元方法，转化思想，从而引出三元一次方程组的解法研究。
二、 三元一次方程组的解法研究
探索1、⎪⎩
⎪⎨⎧==++=++)3(4)2(2252)1(12y x z y x z y x
法一：代入法 法二：加减法
把（3）代入（1）得 由（1）×5得
5y+z=12(4) 5x+5y+5z=60(4)
把（3）代入（2）得 由（4）-（2）得
6y+5z=22(5) 4x+3y=38(5)
解由（4）（5）组成的方程组 解由（3）（5）组成的方组
⎩⎨⎧=+=+2256125z y z y 得⎩⎨⎧==22z y ⎩⎨⎧=+=38344y x y x 得⎩⎨⎧==2
8y x 把y=2代入（3）得x=8 把x=8 y=2代入（1）得z=2 ∴⎪⎩⎪⎨⎧===228z y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧===228z y x
探索2、⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+)3(8795)2(932)1(743z y x z y x z x
分析：可由方程（2）（3）消y 得方程（4），然后解由（1）（4）
组成的方程组得x 、z 的值，然后将x 、z 的值代入（2）或（3）都可以求y ，最后得方程组的解。
探索3、（书上113页例2）
分析：由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-)3(60525)2(324)1(0c b a c b a c b a
法一：可用代入法 法二：可用加减法（消a 要简便些）：
两两结合，消同一未知数
三、 练习 1
、解下列方程组 1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=-472392x z z y y x 2)⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-6123243z y x z y x z y x
3)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+765X Z Z Y Y X 4)⎪⎩⎪⎨⎧=++==664:5:2:3:z y x z y y x
2、书上114页练习题2
四、归纳小结
本节课学习了三元一次方程和三元一次方程组的概念，利用转化思想消元方法解三元一次方程组（充分分析方程组特点是前提，在此基础上才能恰当灵活选择消元方法），当然，有些问题我们也可以转化为三元一次方程组来解决。
三元一次方程组→二元一次方程组→一元一次方程
五、作业
必做题书上114页习题8.4第1、2题
选做题书上114页习题8.4第3、5题
建议：在第八课时可抽点时间给学生简单补充二元一次方程组的图像解法。