2021学年高二数学人教B版选修1-2寒假预习线上测试 3.2.2 复数的乘法和除法
人教版数学高二选修1-2作业3.2复数的运算
(限时：10分钟)1．若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝( )A ．4＋2iB ．2＋iC ．2＋2iD ．3＋i解析：z 1·z 2＝(1＋i)·(3－i)＝1×3－i×i＋(3－1)i ＝4＋2i ，故选A.答案：A2．已知i 2＝－1，则i(1－3i)＝( )A.3－iB.3＋i C ．－3－i D ．－3＋i解析：i(1－3i)＝i －3i 2＝3＋i.答案：B3．复数i 1－2i(i 为虚数单位)的虚部是( ) A.15i B ．－15 C ．－15i D.15解析：i 1－2i＝i 1＋2i 1－2i 1＋2i ＝1＋2i 25＝－25＋15i ，其虚部为15，故选D. 答案：D4．已知a ＝－3－i 1＋2i，那么a 4＝__________. 解析：∵a ＝－3－i 1＋2i＝－3－i 1－2i 5＝－1＋i ， ∴a 4＝2＝(－2i)2＝－4.答案：－45．设复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)·z 是纯虚数，求z .解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．由|z |＝1，得a 2＋b 2＝1.由题意，得(3＋4i)·z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝3a －4b ＋(4a ＋3b )i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝0，4a ＋3b ≠0.由⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝1，3a －4b ＝0，4a ＋3b ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝45，b ＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－45，b ＝－35.∴z ＝45＋35i 或z ＝－45－35i.∴z ＝45－35i 或z ＝－45＋35i.(限时：30分钟)1.⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝( ) A ．2 2 B ．2 C. 2 D ．1解析：21＋i ＝21－i 1－i 1＋i ＝21－i 2＝1－i ， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝|1－i|＝2，选C . 答案：C 2．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( )A ．6－4iB ．－6－4iC ．6＋4iD ．－6＋4i解析：(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.答案：D3．在复平面内，复数5i 2－i的对应点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：5i 2－i ＝5i 2＋i 2－i 2＋i ＝5i 2＋i5＝－1＋2i ，对应的点的坐标为(－1,2)，所以在第二象限．答案：B4．设a 是实数，且1＋a i 1＋i∈R ，则实数a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2解析：因为1＋a i 1＋i ∈R ，所以不妨设1＋a i 1＋i＝x ，x ∈R ，则1＋a i ＝(1＋i)x ＝x ＋x i ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，a ＝x ，所以a ＝1.答案：B5．若复数z ＝2i ＋21＋i，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为( )A.22B. 2C. 3 D ．2 解析：由题意，得z ＝2i ＋21＋i＝2i ＋21－i 1＋i 1－i ＝1＋i ，复数z 的模|z |＝12＋12＝ 2.答案：B6．i 是虚数单位，i ＋i 2＋i 3＋i 4＋…＋i2 013＝__________. 解析：因为i4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＝0(n ∈Z )， 所以i ＋i 2＋…＋i2 013＝i.答案：i 7．已知复数2－a i i＝1－b i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝__________. 解析：由2－a i i＝1－b i ，得2－a i ＝i(1－b i)＝i －b i 2＝b ＋i ，所以b ＝2，－a ＝1，即a ＝－1，b ＝2，所以|a ＋b i|＝|－1＋2i|＝ 5.答案： 58．投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)2为纯虚数的概率为__________．解析：设掷两颗骰子共有36种结果．因为(m ＋n i)2＝m 2－n 2＋2mn i ，所以要使复数(m ＋n i)2为纯虚数，则有m 2－n 2＝0，即m ＝n ，共有6种结果，所以复数(m ＋n i)2为纯虚数的概率为636＝16. 答案：169．计算：i －2i －11＋i i －1＋i ＋－3－2i 2－3i . 解析：因为i －2i －11＋i i －1＋i ＝i －2i －1i 2－1＋i ＝i －2i －1－2＋i＝i －1， －3－2i 2－3i ＝－3－2i 2＋3i 2－3i2＋3i ＝－13i 13＝－i ， 所以i －2i －11＋i i －1＋i ＋－3－2i 2－3i＝i －1＋(－i)＝－1. 10．已知复数z ＝3＋b i(b ∈R )，且(1＋3i)·z 为纯虚数．(1)求复数z .(2)若w ＝z 2＋i，求复数w 的模|w |. 解析：(1)(1＋3i)·(3＋b i)＝(3－3b )＋(9＋b )i.因为(1＋3i)·z 为纯虚数，所以3－3b ＝0，且9＋b ≠0，所以b ＝1，所以z ＝3＋i.(2)w ＝3＋i 2＋i ＝3＋i ·2－i 2＋i ·2－i ＝7－i 5＝75－15i ， 所以|w |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫752＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝ 2. 11．设i 为虚数单位，复数z 和ω满足zω＋2i z －2i w ＋1＝0.(1)若z 和ω满足ω－z ＝2i ，求z 和ω的值．(2)求证：如果|z |＝3，那么|ω－4i|的值是一个常数．并求这个常数． 解析：(1)因为ω－z ＝2i ，所以z ＝ω－2i.代入zω＋2i z －2i ω＋1＝0，得(ω－2i)(ω＋2i)－2i ω＋1＝0，所以ωω－4i ω＋2i ω＋5＝0.设ω＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则上式可变为(x ＋y i)(x －y i)－4i(x ＋y i)＋2i(x －y i)＋5＝0.所以x 2＋y 2＋6y ＋5－2x i ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋6y ＋5＝0，2x ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－5.所以ω＝－i ，z ＝－i 或ω＝－5i ，z ＝3i.(2)由zω＋2i z －2i ω＋1＝0，得z (ω＋2i)＝2i ω－1，所以|z ||ω＋2i|＝|2i ω－1|.①设ω＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|ω＋2i|＝|x ＋(y ＋2)i|＝x 2＋y ＋22＝x 2＋y 2＋4y ＋4.|2i ω－1|＝|－(2y ＋1)＋2x i|＝[－2y ＋1]2＋4x 2 ＝4x 2＋4y 2＋4y ＋1.又|z |＝3， 所以①可化为3(x 2＋y 2＋4y ＋4)＝4x 2＋4y 2＋4y ＋1.所以x 2＋y 2－8y ＝11.所以|ω－4i|＝|x ＋(y －4)i|＝x 2＋y －42。
高二数学人教选修1-2同步练习：3.2.1复数的加法和减法Word版含解析
→ AC
对应的复数为－
1＋ 2i－ 1＝－ 2＋ 2i.
→
→
(2) ∵ |AB|＝ 2， |BC|＝ 10，
→ |AC|＝ 8＝ 2 2，
∴|A→B|2＋ |A→C|2＝ |B→C |2，
∴△ ABC 为直角三角形．
1 (3) S△ABC＝ 2× 2×2 2＝ 2.
B． 2＋ i
C．3
D．－ 2－ i
5．若复数 z满足 z＋ i－ 3＝ 3－ i ，则 z 等于
()
A ．0
B． 2i
C．6
D． 6－ 2i
6．计算： (1－ 2i) ＋ (－ 2＋3i) ＋ (3－ 4i)＋ (－ 4＋5i) ＋…＋ (－ 2 008＋ 2 009i) ＋ (2 009 － 2 010i) ＋ (－ 2 010＋ 2 011i) ．
12．已知 ABCD 是复平面内的平行四边形，且 ＋ i，求点 D 对应的复数．
A，B，C 三点对应的复数分别是 1＋3i ，－ i,2
三、探究与拓展
13．在复平面内 A， B， C 三点对应的复数分别为 (1)求 A→B ，B→C， A→C对应的复数；
1,2＋ i，－ 1＋ 2i.
(2)判断△ ABC 的形状； (3)求△ ABC 的面积．
∴AC 中点为
32，2 ， BD 中点为
x2，
y－1 2
.
∵平行四边形对角线互相平分，
32＝2x ∴
y－1 2＝ 2
x＝ 3
，∴
.
y＝ 5
即点 D 对应的复数为 3＋ 5i.
方法二 设 D 点对应的复数为 x＋ yi ( x， y∈ R)． 则A→D 对应的复数为 (x＋ yi) －(1＋ 3i) ＝ (x－1) ＋(y－3)i ，又 B→C对应的复数为 (2＋ i)－ (－ i) ＝2＋
2021学年高二数学人教B版选修1-2寒假预习线上测试 1.1 独立性检验
2021学年高二数学人教B版选修1-2寒假预习线上测试1.1独立性检验1.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是()A.若的观测值为，我们有的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B.从独立性检验可知有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有的可能患有肺病C.若从统计量中求出有的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有的可能性使得推断出现错误D.以上三种说法都不正确2.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为,乙、丙去北京旅游的概率分别为.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有人去北京旅游的概率为()A. B. C. D.3.在一项中学生近视情况的调查中,某校男生150名中有80名近视,女生140名中有70名近视,在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力()A.平均数与方差B.回归分析C.独立性检验D.概率4.为考察某种药物预防疾病的效果,对100只某种动物进行试验,得到如下的列联表:患病未患病合计服用药104050没服用药203050合计3070100经计算,统计量的观测值.已知独立性检验中统计量的临界值参考表为:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828则认为药物有效,犯错误的概率不超过()A. B. C. D.5.通过随机询问名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:由算得，附表：参照附表，得到的正确结论是()A.在犯错误的概率不超过的前提下,认为"爱好该项运动与性别有关"B.在犯错误的概率不超过的前提下,认为"爱好该项运动与性别无关"C.有以上的把握认为"爱好该项运动与性别有关"D.有以上的把握认为"爱好该项运动与性别无关"6.某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查,数据如下表:认为作业量大认为作业量不大总计男生18927女生81523总计262450则学生的性别与认为作业量的大小有关系的把握大约为()A.99%B.95%C.90%D.无充分根据7.下表是关于喜欢抢红包与性别是否有关的列联表,依据表中的数据,得到的观测值k为_____________(结果保留到小数点后三位).喜欢抢红包不喜欢抢红包总计女402868男51217总计4540858.统计推断,当___________时,有的把握说事件A与B有关;当___________时,认为没有充分的证据显示事件A与B是有关的.9.某高校共有学生15000人,其中男生10500人,女生4500人.为调査该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时).(1)应收集多少位女生的样本数据?(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为:.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率;(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时,清完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.答案以及解析1.答案：C解析：若的观测值为,我们有的把握认为吸烟与患肺病有关系，而不是在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故A不正确;从独立性检验可知有的把握认为吸烟与患肺病有关系时,并不是吸烟的人就有的可能患有肺病，故B不正确；若从统计量中求出有的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有的可能性使得推断出现错误,C 正确.故选C.2.答案：B解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为,,.他们不去北京旅游的概率分别为,,,至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人取北京旅游,至少有1人去北京旅游的概率为.所以B选项是正确的.3.答案：C解析：在确定两个问题是否相关时，需进行独立性检验，故利用独立性检验的方法最有说服力.故选C.4.答案：B解析：由题意算得,,参照附表,可得在犯错误的概率不超过的前提下,认为药物有效.5.答案：C解析：由及可知,在犯错误的概率不超过的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”,也就是有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”,故选6.答案：B解析：,所以有关系的把握大约为.7.答案：4.772解析：的观测值.8.答案：;解析：结合的临界值表可知,当时有的把握说事件A与B有关;当时认为没有充分的证明显示事件A与B是有关的.9.答案：(1),所以应收集位女生的样本数据.(2)由频率分布直方图得,所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为.(3)由2知,位学生中有人的每周平均体育运动时间超过4小时,人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有份是关于男生的,份是关于女生的.所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下:男生女生总计每周平均体育运动453075时间不超过4小时每周平均体育运动16560225时间超过4小时总计21090300结合列联表可算得.所以,有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.。
2021学年高二数学人教B版选修1-2寒假预习线上测试 3.2.1 复数的加法和减法
2021学年高二数学人教B版选修1-2寒假预习线上测试3.2.1复数的加法和减法1.如果一个复数与它的模的和为,那么这个复数是()A. B.C. D.2.复数,,如果,则实数的取值范围是()A. B.C. D.或3.复数与点对应，为两个给定的复数，，则决定的的轨迹是（）A.过的直线B.线段的中垂线C.双曲线的一支D.以为端点的圆4.已知,是虚数单位,则在复平面中复数对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.若复数满足,则在复平面内对应的点的坐标是()A. B. C. D.6.实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.计算________.8.已知,且在复平面内对应的点在直线上,则__________.9.在复平面内,已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为.求:(1)向量对应的复数;(2)向量对应的复数;(3)点B对应的复数.答案以及解析1.答案：C解析：设这个复数为,则.由题意知,即.∴解得∴所求复数为,故选C.2.答案：A解析：,,,可得.3.答案：B解析：由复数的几何意义可知点到点的距离为，点到点的距离为，因此点到点的距离等于点到点的距离，点在线段的中垂线上，答案选B. 4.答案：A解析：因为函数,所以,化简得,所以.根据复数的几何意义知,所对应的点的坐标为,所以其对应的点在第一象限.故应选A.5.答案：C解析：由,得,∴对应的点的坐标为.故选C.6.答案：B解析：实部为-2,虚部为1的复数在复平面内对应的点的坐标为,位于第二象限.7.答案：解析：原式8.答案：4解析：,其在复平面内对应的点为,则,解得.9.答案：(1)因为复平面内平行四边形的三个顶点对应的复数分别为,所以对应的复数为对应的复数为.因为,所以向量对应的复数为.(2)因为,所以向量对应的复数为.(3)因为,所以向量对应的复数为,所以点B对应的复数为.。
高二数学选修1-2第三章复数测试题教学文案
高二数学选修1-2第三章复数测试题高二数学同步测试选修1-2（第三章）复数说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．方程2z +|z |=2+6i 的解的情况是（ ）A ．没有解B ．只有一解C ．有两解D ．多于两解2．已知z =x ＋yi (x ，y ∈R )，且 222log 8(1log )x y i x y i ++-=-，则z= （ ）A ．2＋iB ．1＋2iC ．2＋i 或1＋2iD ．无解 3．下列命题中正确的是（ ）A ．任意两复数均不能比较大小；B ．复数z 是实数的充要条件是z =z ；C ．复数z 是纯虚数的充要条件是z +z =0；D ．i +1的共轭复数是i －1；4．设)()11()11()(N n ii i i n f nn ∈+-+-+=，则集合{})(n f x x =中元素的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无穷多个5．使不等式m 2－(m 2－3m )i ＜(m 2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m（ ）A ．1B ．0C ．3D ．复数无法比较大小6．设复数(),z x yi x y R =+∈，则满足等式20z x ++=的复数z 对应的点的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线7．若非零复数,x y 满足220x xy y ++=,则20052005()()x y x y x y+++的值是 （ ） A ．1B ．1-C ．20042D ．20042-8．如图所示，复平面内有Rt ΔA BC ，其中∠B A C=90°，点A 、B 、C 分别对应复数32z z z 、、，且z =2，则z =（ ）A ．i ±-3B ．i ±3C ．i 31±-D ．i 31±9．复数z 1＝a ＋2ｉ，z 2＝－2＋ｉ，如果|z 1|< |z 2|，则实数a 的取值范围是（ ）A ．－1<a <1B ．a >1C ．a >0D ．a <－1或a >110．如果复数z 满足|z ＋ｉ|＋|z －ｉ|＝2，那么|z ＋ｉ＋1|的最小值为______．A ．1B ．2C ．2D ．5二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．已知关于x 的实系数方程x 2－2a x+a 2－4a +4=0的两虚根为x 1、x 2，且|x 1|+|x 2|=3，则a的值为 ．12．已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x , y ∈R ，求x= ， y= ． 13．i ＋i 2＋i 3+……+i 2005= ．14．已知x 、y 、t ∈R ，t ≠－1且 t ≠0，求满足x ＋yi =1()1t ti t t+++时，点(x , y )的轨迹方程 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．15．（12分）设|z 1|＝5，|z 2|＝2, |z 1－z 2|＝13，求z z 12的值．16．（12分）当m 为何实数时，复数z ＝2223225m m m ---+(m 2+3m －10)i ；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．17．（12分）求同时满足下列条件的所有复数z :(1)z z 10+是实数，且6101≤+<zz ．(2)z 的实部和虚部都是整数．18．（12分）设复数|z －i |=1, 且z ≠0, z ≠2i . 又复数w 使ziz i w w 22-⋅-为实数，问复数w 在复平面上所对应的点Z 的集合是什么图形，并说明理由．19．（14分）设虚数z 1,z 2，满足221z z =.（1）若z 1,z 2又是一个实系数一元二次方程的两根，求z 1, z 2．（2）若z 1=1+m i (i 为虚数单位，m ∈R), 2||1≤z ,复数w=z 2+3,求|w|的取值范围．20．（14分）已知：A 、B 是∆A BC 的两个内角，j B A i B A m 2sin 252cos→++→-=→其中→i 、→j 为相互垂直的单位矢量．若 | →m | =423，试求t a n A ·t a nB 的值．参考答案一、1．B ；2．C ；解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法． ∵ 222log 8(1log )x yi x y i ++-=-，∴22280log 1log x y x y+⎧-=⎨=-⎩，∴32x y xy +=⎧⎨=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩或12x y =⎧⎨=⎩, ∴ z ＝2＋i 或z ＝1＋2i ．诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程） 3．B ；4．C ；解析：∵ n n i i n f )()(-+=∴ 0)3(,2)2(,0)1(=-==f f f ，Λ,2)4(=f ，∴ 集合{})(n f x x =中的元素为2,0,2-，选C ．；5．C ；解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法． ∵ m 2－(m 2－3m )i ＜(m 2－4m ＋3)i ＋10, 且虚数不能比较大小，∴2221030430m m m m m ⎧<⎪-=⎨⎪-+=⎩，解得||100或33或1m m m m m <⎧⎪==⎨⎪==⎩，∴ m =3.当m ＝3时，原不等式成立．诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件． 6．D ；7．A ；8．C ；9．A ；利用复数模的定义得a 222+<5，选A ；； 10．A ；由复数模几何意义利用数形结合法求解，选A ； 二、11．21；12．x =25, y =4； 13．i ；解：此题主要考查i n 的周期性．i ＋i 2＋i 3+……+i 2005=(i +i 2+i 3+i 4)+……+(i 2001+i 2002+ i 2003＋i 2004)＋i 2005 =(i －1－i +1)+ (i －1－i +1)+……+(i －1－i +1)+i ＝0＋0＋……＋0+i ＝i . 或者可利用等比数列的求和公式来求解（略）诠释：本题应抓住i n 的周期及合理分组．14．xy =1；解：此题主要考查复数相等的充要条件，轨迹方程的求法．∵ x ＋yi =1()1t t i t t +++，∴ 11t x tt y t ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪⎩， ∴xy =1,∴ 点(x ，y )的轨迹方程为xy ＝1，它是以x 轴、y 轴为对称轴，中心在(0，0)的等轴双曲线．三、15．【分析】利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解．【解】如图，设z1＝、z2＝后，则z1＝、z2＝如图所示．由图可知，|zz12|＝52，∠A OD＝∠BOC，由余弦定理得：cos∠A OD＝5213252222+-()××＝45∴zz12＝52(45±35ｉ)＝2±32ｉ【另解】设z1＝、z2＝OD如图所示．则|zz12|＝52，且cos∠A OD＝5213252222+-()××＝45，s i n∠A OD＝±35，所以zz12＝52(45±35ｉ)＝2±32ｉ，即zz12＝2±32ｉ．【注】本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼．一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，16．解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．（1）z为实数，则虚部m2+3m－10=0，即223100250m mm⎧+-=⎨-≠⎩，解得m=2，∴m=2时，z为实数．（2）z 为虚数，则虚部m 2+3m －10≠0，即223100250m m m ⎧+-≠⎨-≠⎩， 解得m ≠2且m ≠±5. 当m ≠2且m ≠±5时，z 为虚数．22223203100250m m m m m ⎧--=⎪+-≠⎨⎪-≠⎩，解得m =－21, ∴当m =－21时，z 为纯虚数． 诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求．17．分析与解答：设z =a +b i (a ,b ∈R,且a 2+b 2≠0).则22)(101010ba bi a bi a bi a bi a z z +-++=+++=+i b a b b a a )101()101(2222+-+++= 由(1)知z z 10+是实数，且6101≤+<z z ,∴ 0)101(22=+-ba b 即b=0或a 2+b 2=10. 又6)101(122≤++<ba a * 当b=0时，*化为6101≤+<aa 无解．当a 2+b 2=10时，*化为1<2a ≤6, ∴321≤<a .由(2)知 a =1,2,3.∴ 相应的b=±3, ±6(舍)，±1， 因此，复数z 为：1±3i 或3±i .此题不仅考查了复数的概念、运算等，同时也考查到了方程、不等式的解法．18．分析与解答：设 z =a +b i , w=x+y i (a ,b, x,y ∈R). 由题z ≠0, z ≠2i 且|z －i |=1, ∴ a ≠0, b ≠0且a 2+b 2－2b=0.222222222222222)2(2)2(2)2()2(2)2(2222b a ai y x xi y y x b a ai b b a y x xi y y x bia i bi a i yi x yi x z iz i w w u +-⋅-++-+=+--+⋅-++-+=+-+⋅-++=-⋅-=记已知u 为实数，∴ 02)2(2222222=+-⋅-+-+ba ay x y y x ， ∵a ≠0, ∴ x 2+y 2－2y=0 即 x 2+(y －1)2=1.∴w 在复平面上所对应的点Z 的集合是以(0, 1)为圆心，1为半径的圆． 又∵ w －2i ≠0, ∴除去(0, 2)点．此题中的量比较多，由于是求w 对应点的集合，所以不妨设w 为x+y i (x,y ∈R), z =a +b i (a ,b ∈R).关于z 和w 还有一些限制条件，这些都对解题起着很重要的作用，千万不可大意．19．分析与解答：(1)∵z 1, z 2是一个实系数一元二次方程的两个虚根，因此必共轭， 可设z 1=a +b i (a ,b ∈R 且b ≠0),则z 2=a －b i , 由221z z = 得(a +b i )2=a －b i 即： a 2－b 2+2a b i =a －b i根据复数相等，⎩⎨⎧-==-bab ab a 222∵b ≠0 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2321b a 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2321b a ，∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=i z i z 2321232121 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=i z i z 2321232121． (2)由于 221z z =，z 1=1+m i , w=z 2+3,∴w=(1+m i )2+3=4－m 2+2m i . ∴ 12)2(4)4(||22222+-=+-=m m m w ,由于2|z |1≤且m ≠0, 可解得0<m 2≤1,令m 2=u, 12)2(||2+-=u w ,在u ∈(0,1)上，(u －2)2+12是减函数，∴)4,13[||∈w .复数这一章中去掉了三角形式,降低了难度，但在复数的基本概念、运算、复数与方程、复数与几何这些部分仍然有许多可考查的内容，并且还可以与其它的数学知识相结合．20．讲解：从化简变形| →m |入手． |→m|2=(→m)2=(→→++-j B A i B A 2sin 252cos )2=225cossin 242A B A B-++⋅ =2)cos(1452)cos(1B A B A +-⋅+-+ ， ∴2)cos(1452)cos(1B A B A +-⋅+-+=89， ∴cos(A －B)=45cos(A +B)．4 cos A ·cosB+4s i n A ·s i nB=5cos A ·cosB –5s i n A ·s i nB ， ∴9s i n A ·s i nB= cos A ·cosB ． 又ΘA 、B 是∆A BC 的内角，∴ cos A ·cosB 0≠， ∴t a n A ·t a nB=91．说明：本题将复数、三角、向量溶为一体，综合性较强．。
高二数学人教选修1-2第3单元3-1-2复数的几何意义课后练习及解析
高二数学人教选修1-2课后练习第3章数系的扩充与复数3.1.2 复数的几何意义一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016²青岛高二检测)在复平面内,复数z=sin2+icos2对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为<2<π,所以sin2>0,cos2<0,所以复数z=sin2+icos2对应的点位于第四象限.2.(2016²黄山高二检测)设i是虚数单位,若z=cosθ+isinθ对应的点位于复平面的第二象限,则θ位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.因为z=cosθ+isinθ对应的点坐标为(cosθ,sinθ),且点(cosθ,sinθ)位于复平面的第二象限,所以所以θ为第二象限角.【补偿训练】复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于( )A.实轴对称B.虚轴对称C.一、三象限平分线对称D.二、四象限平分线对称【解析】选A.由实部相等,虚部互为相反数得复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于实轴对称.3.设O为原点,向量,对应的复数分别为2+3i,-3-2i,那么向量对应的复数为( )A.-1+iB.1-iC.-5-5iD.5+5i【解析】选D.因为由已知=(2,3),=(-3,-2),所以=-=(2,3)-(-3,-2)=(5,5),所以对应的复数为5+5i.4.(2016²烟台高二检测)过原点和-i对应点的直线的倾斜角是( )A. B.- C. D.【解析】选D.因为-i在复平面上的对应点是(,-1),所以tanα==-(0≤α<π),所以α=π.5.(2016²西安高二检测)复数1+cosα+isinα(π<α<2π)的模为( )A.2cosB.-2cosC.2sinD.-2sin 【解析】选B.所求复数的模为==，因为π<α<2π，所以<<π，所以cos<0，所以=-2cos.【误区警示】本题容易忽视cos<0而错选A.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2016²潍坊高二检测)若复数z=(a-1)+3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于________.【解析】复数z=(a-1)+3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y=x+2上，可得3=a-1+2，解得a=2.答案：27.(2016²武汉高二检测)i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=________.【解题指南】从复数与复平面上的点的对应角度处理.【解析】因为z1=2-3i对应的点的坐标为(2,-3),且复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,所以z2在复平面内对应点的坐标为(-2,3),对应的复数为z2=-2+3i.答案:-2+3i8.已知△ABC中,,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为________. 【解析】因为,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2), =(-2,-3).又=-=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),所以对应的复数为-1-5i.答案:-1-5i三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016²郑州高二检测)在复平面内,复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O 是原点,求向量+,对应的复数及A,B两点之间的距离.【解析】因为复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O是原点,所以=(-3,-1),=(5,1),所以+=(-3,-1)+(5,1)=(2,0),所以向量+对应的复数是2,又=-=(-3,-1)-(5,1)=(-8,-2),所以对应的复数是-8-2i,A,B两点之间的距离为||==2.10.实数m分别取什么数值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i是:(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.(4)对应点在x轴上方.(5)对应点在直线x+y+5=0上.【解析】(1)由m2-2m-15=0,得m=5或m=-3.故当m=5或m=-3时,z为实数.(2)由m2-2m-15≠0,得m≠5且m≠-3.故当m≠5且m≠-3时,z为虚数.(3)由得m=-2.故当m=-2时,z为纯虚数.(4)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5.故当m<-3或m>5时,z的对应点在x轴上方.(5)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+5=0,得m=或m=.故当m=或m=时,z的对应点在直线x+y+5=0上.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016²太原高二检测)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,若C为线段AB 的中点,则点C对应的复数是( )A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i【解题指南】先求出复数在复平面上对应点的坐标,再利用中点坐标公式求出C点,再把点的坐标还原为复数.【解析】选C.因为复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,所以A(6,5),B(-2,3),又C为线段AB的中点,所以C(2,4),所以点C对应的复数是2+4i.【补偿训练】已知复数z1=-2+3i的对应点为Z1,Z2与Z1关于x轴对称,Z3与Z2关于直线y=-x 对称,则点Z3对应的复数为z=________.【解析】Z1(-2,3),Z2(-2,-3),Z3(3,2),所以z=3+2i.答案:3+2i2.(2016²福州高二检测)已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为( )A.1B.2C.D.3【解题指南】根据复数的几何意义,知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点,半径为2的圆,|z-i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离,其最大值为圆上点(0,-2)到点(0,1)的距离.【解析】选D.因为|z|=2,则复数z对应的轨迹是圆心在原点,半径为2的圆,而|z-i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离,所以其最大值为圆上点(0,-2)到点(0,1)的距离,最大的距离为3.【补偿训练】已知f(z)=|1+z|-z且f(-z)=10+3i,则复数z为________.【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则f(-z)=|1-x-yi|+(x+yi)=10+3i,所以所以所以z=5+3i.答案:5+3i二、填空题(每小题5分,共10分)3.复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=--i,z4=-i,z1,z2,z3,z4在复平面内的对应点分别是A,B,C,D,则∠ABC+∠ADC=________.【解析】|z1|=|z2|=|z3|=|z4|=,所以点A,B,C,D应在以原点为圆心,为半径的圆上,由于圆内接四边形ABCD对角互补,所以∠ABC+∠ADC=180°.答案:180°【误区警示】注意|z|=a(a>0)z=±a.4.(2016²南宁高二检测)复数z=(a-2)+(a+1)i,a∈R对应的点位于第二象限,则|z|的取值范围是________.【解析】复数z=(a-2)+(a+1)i对应的点的坐标为(a-2,a+1),因为该点位于第二象限,所以解得-1<a<2.由条件得|z|====,因为-1<a<2,所以|z|∈.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016²广州高二检测)实数m取什么值时,复平面内表示复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i 的点(1)位于第四象限.(2)位于第一、三象限.【解析】(1)⇒⇒-2<m<3或5<m<7.(2)(m2-8m+15)(m2-5m-14)>0⇒(m-3)(m-5)(m+2)(m-7)>0,得m<-2或3<m<5或m>7.【延伸探究】若结论改为复数z对应的点位于直线x-2y+16=0上,则结果如何?【解析】由复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i对应的点在直线x-2y+16=0上可得m2-8m+15-2(m2-5m-14)+16=0⇒m=1±2.【补偿训练】已知z1=x2+i,z2=(x2+a)i对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立,试求实数a的取值范围.【解析】因为|z1|=,|z2|=|x2+a|,且|z1|>|z2|,所以>|x2+a|对x∈R恒成立,等价于(1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立.不等式等价于①:解得a=,所以a=时,0²x2+>0恒成立.或②:解得-1<a<.所以a∈.综上,可得实数a的取值范围是.6.(2016²合肥高二检测)已知O为坐标原点,对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i(a∈R).若与共线,求a的值.【解题指南】先利用向量与复数的对应求出向量与的坐标,再利用向量共线的条件求出a的值.【解析】因为对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i,所以=(-3,4),=(2a,1).因为与共线,所以存在实数k使=k,即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),所以所以即a的值为-.【补偿训练】已知虚数(x-2)+yi(x,y∈R)的模为,求的取值范围.【解题指南】由模的定义得到关于x与y的等式,即动点(x,y)的轨迹;再由=的几何意义表示动点(x,y)与(0,0)所在直线的斜率,作出草图,求出范围.【解析】由(x-2)+yi是虚数,得y≠0,又由|(x-2)+yi|=,得(x-2)2+y2=3.这是以(2,0)为圆心,为半径的圆(除去(2±,0)).过O点作圆的切线OP,OQ,则斜率的最大值为=tan∠AOP=,=tan∠AOQ=-.所以的取值范围是.【方法技巧】常见复数模的几何意义复数的模在复平面内对应的常见图形为:(1)以z0为圆心,r为半径的圆:|z-z0|=r.(2)线段z1z2的中垂线|z-z1|=|z-z2|.一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016²青岛高二检测)在复平面内,复数z=sin2+icos2对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为<2<π,所以sin2>0,cos2<0,所以复数z=sin2+icos2对应的点位于第四象限.2.(2016²黄山高二检测)设i是虚数单位,若z=cosθ+isinθ对应的点位于复平面的第二象限,则θ位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.因为z=cosθ+isinθ对应的点坐标为(cosθ,sinθ),且点(cosθ,sinθ)位于复平面的第二象限,所以所以θ为第二象限角.【补偿训练】复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于( )A.实轴对称B.虚轴对称C.一、三象限平分线对称D.二、四象限平分线对称【解析】选A.由实部相等,虚部互为相反数得复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于实轴对称.3.设O为原点,向量,对应的复数分别为2+3i,-3-2i,那么向量对应的复数为( )A.-1+iB.1-iC.-5-5iD.5+5i【解析】选D.因为由已知=(2,3),=(-3,-2),所以=-=(2,3)-(-3,-2)=(5,5),所以对应的复数为5+5i.4.(2016²烟台高二检测)过原点和-i对应点的直线的倾斜角是( )A. B.- C. D.【解析】选D.因为-i在复平面上的对应点是(,-1),所以tanα==-(0≤α<π),所以α=π.5.(2016²西安高二检测)复数1+cosα+isinα(π<α<2π)的模为( )A.2cosB.-2cosC.2sinD.-2sin【解析】选B.所求复数的模为==，因为π<α<2π，所以<<π，所以cos<0，所以=-2cos.【误区警示】本题容易忽视cos<0而错选A.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2016²潍坊高二检测)若复数z=(a-1)+3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于________.【解析】复数z=(a-1)+3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y=x+2上，可得3=a-1+2，解得a=2.答案：27.(2016²武汉高二检测)i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=________.【解题指南】从复数与复平面上的点的对应角度处理.【解析】因为z1=2-3i对应的点的坐标为(2,-3),且复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,所以z2在复平面内对应点的坐标为(-2,3),对应的复数为z2=-2+3i.答案:-2+3i8.已知△ABC中,,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为________. 【解析】因为,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2), =(-2,-3).又=-=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),所以对应的复数为-1-5i.答案:-1-5i三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016²郑州高二检测)在复平面内,复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O 是原点,求向量+,对应的复数及A,B两点之间的距离.【解析】因为复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O是原点,所以=(-3,-1),=(5,1),所以+=(-3,-1)+(5,1)=(2,0),所以向量+对应的复数是2,又=-=(-3,-1)-(5,1)=(-8,-2),所以对应的复数是-8-2i,A,B两点之间的距离为||==2.10.实数m分别取什么数值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i是:(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.(4)对应点在x轴上方.(5)对应点在直线x+y+5=0上.【解析】(1)由m2-2m-15=0,得m=5或m=-3.故当m=5或m=-3时,z为实数.(2)由m2-2m-15≠0,得m≠5且m≠-3.故当m≠5且m≠-3时,z为虚数.(3)由得m=-2.故当m=-2时,z为纯虚数.(4)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5.故当m<-3或m>5时,z的对应点在x轴上方.(5)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+5=0,得m=或m=.故当m=或m=时,z的对应点在直线x+y+5=0上.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016²太原高二检测)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,若C为线段AB 的中点,则点C对应的复数是( )A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i【解题指南】先求出复数在复平面上对应点的坐标,再利用中点坐标公式求出C点,再把点的坐标还原为复数.【解析】选C.因为复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,所以A(6,5),B(-2,3),又C为线段AB的中点,所以C(2,4),所以点C对应的复数是2+4i.【补偿训练】已知复数z1=-2+3i的对应点为Z1,Z2与Z1关于x轴对称,Z3与Z2关于直线y=-x 对称,则点Z3对应的复数为z=________.【解析】Z1(-2,3),Z2(-2,-3),Z3(3,2),所以z=3+2i.答案:3+2i2.(2016²福州高二检测)已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为( )A.1B.2C.D.3【解题指南】根据复数的几何意义,知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点,半径为2的圆,|z-i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离,其最大值为圆上点(0,-2)到点(0,1)的距离.【解析】选D.因为|z|=2,则复数z对应的轨迹是圆心在原点,半径为2的圆,而|z-i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离,所以其最大值为圆上点(0,-2)到点(0,1)的距离,最大的距离为3.【补偿训练】已知f(z)=|1+z|-z且f(-z)=10+3i,则复数z为________.【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则f(-z)=|1-x-yi|+(x+yi)=10+3i,所以所以所以z=5+3i.答案:5+3i二、填空题(每小题5分,共10分)3.复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=--i,z4=-i,z1,z2,z3,z4在复平面内的对应点分别是A,B,C,D,则∠ABC+∠ADC=________.【解析】|z1|=|z2|=|z3|=|z4|=,所以点A,B,C,D应在以原点为圆心,为半径的圆上,由于圆内接四边形ABCD对角互补,所以∠ABC+∠ADC=180°.答案:180°【误区警示】注意|z|=a(a>0)z=±a.4.(2016²南宁高二检测)复数z=(a-2)+(a+1)i,a∈R对应的点位于第二象限,则|z|的取值范围是________.【解析】复数z=(a-2)+(a+1)i对应的点的坐标为(a-2,a+1),因为该点位于第二象限,所以解得-1<a<2.由条件得|z|====,因为-1<a<2,所以|z|∈.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016²广州高二检测)实数m取什么值时,复平面内表示复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i 的点(1)位于第四象限.(2)位于第一、三象限.【解析】(1)⇒⇒-2<m<3或5<m<7.(2)(m2-8m+15)(m2-5m-14)>0⇒(m-3)(m-5)(m+2)(m-7)>0,得m<-2或3<m<5或m>7.【延伸探究】若结论改为复数z对应的点位于直线x-2y+16=0上,则结果如何?【解析】由复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i对应的点在直线x-2y+16=0上可得m2-8m+15-2(m2-5m-14)+16=0⇒m=1±2.【补偿训练】已知z1=x2+i,z2=(x2+a)i对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立,试求实数a的取值范围.【解析】因为|z1|=,|z2|=|x2+a|,且|z1|>|z2|,所以>|x2+a|对x∈R恒成立,等价于(1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立.不等式等价于①:解得a=,所以a=时,0²x2+>0恒成立.或②:解得-1<a<.所以a∈.综上,可得实数a的取值范围是.6.(2016²合肥高二检测)已知O为坐标原点,对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i(a∈R).若与共线,求a的值.【解题指南】先利用向量与复数的对应求出向量与的坐标,再利用向量共线的条件求出a的值.【解析】因为对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i,所以=(-3,4),=(2a,1).因为与共线,所以存在实数k使=k,即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),所以所以即a的值为-.【补偿训练】已知虚数(x-2)+yi(x,y∈R)的模为,求的取值范围.【解题指南】由模的定义得到关于x与y的等式,即动点(x,y)的轨迹;再由=的几何意义表示动点(x,y)与(0,0)所在直线的斜率,作出草图,求出范围.【解析】由(x-2)+yi是虚数,得y≠0,又由|(x-2)+yi|=,得(x-2)2+y2=3.这是以(2,0)为圆心,为半径的圆(除去(2±,0)).过O点作圆的切线OP,OQ,则斜率的最大值为=tan∠AOP=,=tan∠AOQ=-.所以的取值范围是.【方法技巧】常见复数模的几何意义复数的模在复平面内对应的常见图形为:(1)以z0为圆心,r为半径的圆:|z-z0|=r.(2)线段z1z2的中垂线|z-z1|=|z-z2|.(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2014²重庆高考)实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解题指南】根据复数的几何意义直接写出复数对应复平面内点的坐标进行判断.【解析】选B.实部为-2，虚部为1的复数所对应的复平面内的点为(-2，1)，位于第二象限，故选B.【补偿训练】(2015²郑州高二检测)已知a∈R,且0<a<1,i为虚数单位,则复数z=a+(a-1)i 在复平面内所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为0<a<1,所以a>0且a-1<0,故复数z=a+(a-1)i在复平面内所对应的点(a,a-1)位于第四象限.故选D.2.(2015²大连高二检测)若复数z=(a2-3a+2)+(a2-4)i对应的点在虚轴上(不包含原点),则实数a的值等于( )A.1B.2C.1或2D.±2【解析】选A.复数z对应的点的坐标是(a2-3a+2,a2-4),依题意应有解得a=1,即实数a的值等于1.3.已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,则实数x的取值范围是( )A.-<x<2B.x<2C.x>-D.x<-或x>2【解析】选A.依题意应有<,即5x2-6x+2<10,解得-<x<2,故选A. 【补偿训练】1.使|lo x-4i|≥|3+4i|成立的x的取值范围是( )A. B.(0，1]∪[8，+∞)C.∪[8，+∞)D.(0，1)∪(8，+∞)【解析】选C.因为|lo x-4i|≥|3+4i|==5，所以(lo x)2+42≥25，所以≥9，所以lo x≥3或lo x≤-3，所以0<x≤或x≥8.2.已知i为虚数单位，z1=a+i，z2=2-i，且|z1|=|z2|，求实数a的值.【解析】因为a为实数，所以|z1|=，|z2|==，因为|z1|=|z2|，所以=.所以a2=4，所以a=〒24.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是( )A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i【解析】选C.复数6+5i对应A点坐标为(6,5),-2+3i对应B点坐标为(-2,3).由中点坐标公式知C点坐标为(2,4),所以点C对应的复数为2+4i.故选C.5.在复平面内,O为原点,若向量对应的复数z的实部为3,且||=3,如果点A关于原点的对称点为点B,则向量对应的复数为( )A.-3B.3C.3iD.-3i【解析】选 A.根据题意设复数z=3+bi,由复数与复平面内的点、向量的对应关系得=(3,b),已知||=3,即=3,解得b=0,故z=3,点A的坐标为(3,0).因此,点A关于原点的对称点为B(-3,0),所以向量对应的复数为z'=-3.二、填空题(每小题5分，共15分)6.复数z=-5-12i在复平面内对应的点到原点的距离为.【解析】由题意知||=|z|==13.答案:13【补偿训练】(2015²武汉高二检测)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=2-3i，则z2= .【解析】z1在复平面上的对应点为(2，-3)，关于原点的对称点为(-2，3)，故z2=-2+3i.答案：-2+3i7.设z为纯虚数，且|z-1|=|-1+i|，则复数z= .【解题指南】设z=ai(a∈R，且a≠0)，利用模长公式来求解.【解析】因为z为纯虚数，所以设z=ai(a∈R，且a≠0)，则|z-1|=|ai-1|=.又因为|-1+i|=，所以=，即a2=1，所以a=〒1，即z=〒i.答案：〒i8.已知复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内的对应点在第三象限,则实数x的取值范围是.【解析】由已知,得解得1<x<2.答案:(1,2)【补偿训练】i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2= .【解题指南】利用复数的几何意义求解.【解析】根据复数的几何意义,z1=2-3i与z2=-2+3i关于原点对称.答案:-2+3i三、解答题(每小题10分，共20分)9.设z∈C,满足下列条件的点Z的集合是什么图形?(1)|z|=2.(2)|z|≤3.【解题指南】利用复数模的计算公式转化为实际x,y满足的条件来求解.【解析】(1)|z|=2,表明向量的模(长度)等于2,即点Z到原点的距离等于2,因此满足|z|=2的点Z的集合是以原点O为圆心,以2为半径的圆.(2)满足条件|z|≤3的点Z的集合是以原点为圆心,以3为半径的圆及其内部.【一题多解】本题还可用下面的解法设z=x+yi(x,y∈R)(1)由|z|=2,得=2,所以x2+y2=4,所以点Z的集合是以原点为圆心,以2为半径的圆.(2)由|z|≤3,得≤3,所以x2+y2≤9,所以点Z的集合是以原点为圆心,以3为半径的圆及其内部.【补偿训练】已知z1=x2+i，z2=(x2+a)i对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立，求实数a的取值范围.【解题指南】根据复数的代数形式求模后，转化为含参数的二次不等式来求解.【解析】因为|z1|=，|z2|=|x2+a|，且|z1|>|z2|，所以>|x2+a|⇔(1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立.不等式等价于①：1-2a=0⇒a=，即a=时，0·x2+>0恒成立.或②：⇒-1<a<.所以a∈.因此实数a的取值范围是.10.实数m分别取什么数时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.(1)对应的点在第三象限?(2)对应的点在直线x+y+4=0?【解析】z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.因为m∈R,所以z的实部为m2+5m+6,虚部为m2-2m-15.(1)要使z对应的点在第三象限,必有⇒所以-3<m<-2.(2)要使z对应的点在直线x+y+4=0上,必有点(m2+5m+6,m2-2m-15)满足方程x+y+4=0,所以(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+4=0,解得m=-或m=1.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.设z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,则以下结论中正确的是( )A.z对应的点在第一象限B.z一定不是纯虚数C.z对应的点在实轴上方D.z一定是实数【解析】选C.因为2t2+5t-3=(t+3)(2t-1)的值可正、可负、可为0,t2+2t+2=(t+1)2+1≥1,所以排除A,B,D.故选C.2.下列命题中的假命题是( )A.复数的模是非负实数B.复数等于零的充要条件是它的模等于零C.两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D.复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|【解析】选D.①任意复数z=a+bi(a，b∈R)的模|z|=≥0总成立.所以A为真；②由复数相等的条件z=0⇔⇔|z|=0，故B为真；③若z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈R).若z1=z2，则有a1=a2，b1=b2，所以|z1|=|z2|，反之由|z1|=|z2|，推不出z1=z2，如z1=1+3i，z2=1-3i时|z1|=|z2|，故C为真；④不全为实数的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，所以D为假命题.故选D.二、填空题(每小题5分，共10分)3.复数z=sin40°+isin230°的模等于.【解析】|z|====1.答案:14.若复数z1=3-5i,z2=1-i,z3=-2+ai在复平面内所对应的点在同一条直线上,则实数a= .【解题指南】根据三个复数对应的点共线,可得到任两点连线的斜率相等,建立方程可求a 的值.【解析】设复数z1,z2,z3分别对应点P1(3,-5),P2(1,-1),P3(-2,a),由已知可得=,从而可得a=5.答案:5三、解答题(每小题10分，共20分)5.实数k为何值时,复数z=k2-3k-4+(k2-5k-6)i对应的点位于:(1)x轴正半轴上?(2)y轴负半轴上?(3)第四象限的角平分线上?【解题指南】先确定复数的实部与虚部,并求出复数z的对应点,再进行计算.【解析】因为k为实数,所以k2-3k-4,k2-5k-6都为实数,所以复数z=k2-3k-4+(k2-5k-6)i的对应点Z的坐标为(k2-3k-4,k2-5k-6).(1)若对应点位于x轴正半轴上,则解得k=6.(2)若对应点位于y轴负半轴上,则解得k=4.(3)若对应点位于第四象限的角平分线上,又第四象限的角平分线的方程为y=-x(x>0),所以解得k=5.【补偿训练】已知复数z=(a2-1)+(2a-1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围).(1)在实轴上.(2)在第三象限.(3)在抛物线y2=4x上.【解析】复数z=(a2-1)+(2a-1)i在复平面内对应的点是(a2-1，2a-1).(1)若z对应的点在实轴上，则有2a-1=0，解得a=.(2)若z对应的点在第三象限，则有解得-1<a<.(3)若z对应的点在抛物线y2=4x上，则有(2a-1)2=4(a2-1)，即4a2-4a+1=4a2-4，解得a=.6.复数i，1，4+2i分别对应平面上A，B，C三点，另取一点D作平行四边形ABCD，求BD 的长.【解析】由题意得向量对应的复数为1-i，设D对应的复数为x+yi(x，y∈R)，则=(4-x，2-y)，由=，得解得所以D对应的复数为3+3i，所以=(2，3)，则||=，即BD的长为.。
高中数学人教B版选修1-2阶段质量检测(3) 数系的扩充与复数的引入
阶段质量检测(三) 数系的扩充与复数的引入(时间90分钟,满分120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．若复数z ＝(1＋i)(x ＋i)(x ∈R)为纯虚数,则|z|等于( )A ．2B. 5C. 2 D ．1 2．(四川高考)如图,在复平面内,点A 表示复数z,则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D3．已知a ＋2i i＝b ＋i(a,b ∈R),其中i 为虚数单位,则a ＋b ＝( ) A ．－1B ．1C ．2D ．3 4．复数2－i 31－2i等于( ) A ．iB ．－iC ．22－iD ．－22＋i5．(山东高考)已知a,b ∈R,i 是虚数单位,若a －i 与2＋bi 互为共轭复数,则(a ＋bi)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i6．复平面上平行四边形ABCD 的四个顶点中,A,B,C 所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i,－2－3i,则D 点对应的复数是( )A ．－2＋3iB ．－3－2iC ．2－3iD ．3－2i 7．集合{z|z ＝i n ＋i －n ,n ∈Z},用列举法表示该集合,这个集合是( )A ．{0,2,－2}B ．{0,2}C ．{0,2,－2,2i}D ．{0,2,－2,2i,－2i}8．设复数z 满足1－z 1＋z＝i,则|1＋z|的值为( ) A ．0 B ．1 C. 2 D ．29．(陕西高考)设z 1,z 2是复数,则下列命题中的假命题是( )A ．若|z 1－z 2|＝0,则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2,则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|,则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|,则z 21＝z 2210．已知复数z 1＝－1＋2i,z 2＝1－i,z 3＝3－4i,它们在复平面上所对应的点分别为A,B,C,若OC ＝λOA ＋μOB (λ,μ∈R),则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在题中的横线上)11．已知a,b ∈R,且a －1＋2ai ＝4＋bi,则b ＝________.12．若z 1＝a ＋2i,z 2＝3－4i,且z 1z 2为纯虚数,则实数a 的值为________． 13．(湖北高考)若3＋bi 1－i＝a ＋bi(a,b 为实数,i 为虚数单位),则a ＋b ＝________. 14．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i 所对应的点在第三象限,则实数k 的取值范围是________．三、解答题(本大题共4小题,满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)m 为何实数时,复数z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？16．(本小题满分12分)已知复数z 1＝2－3i,z 2＝15－5i 2＋i2.求： (1)z 1z 2；(2)z 1z 2.17．(本小题满分12分)已知z ∈C,z 表示z 的共轭复数,若z·z ＋i·z＝103＋i ,求复数z.18．(本小题满分14分)已知z 是复数,z ＋2i,z 2＋i均为实数(i 为虚数单位),且复数(z ＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a 的取值范围．答 案1．选A ∵z ＝x －1＋(x ＋1)i 为纯虚数且x ∈R,∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0，x ＋1≠0，得x ＝1,z ＝2i,|z|＝2.2．选B 因为x ＋yi 的共轭复数是x －yi,故选B.3．选B 由a ＋2i i ＝b ＋i 得a ＋2i ＝bi －1, 由复数相等知,a ＝－1,b ＝2,所以a ＋b ＝1.4．选A 2－i 31－2i ＝2＋i 1－2i ＝2＋i 1＋2i 1－2i 1＋2i＝2＋2i ＋i －23＝i. 5．选D 根据已知得a ＝2,b ＝1,所以(a ＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.6．选B 设D(x,y),由平行四边形对角线互相平分得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋－22＝3＋x 2，3＋－32＝2＋y 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝－2.∴D(－3,－2)．∴对应复数为－3－2i.7．选A 根据i n 的周期性计算即可．8．选C 由1－z 1＋z ＝i,得z ＝1－i 1＋i＝－i, ∴|1＋z|＝|1－i|＝ 2.9．选D 依据复数概念和运算,逐一进行推理判断．对于A,|z 1－z 2|＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2,是真命题；对于B,C 易判断是真命题；对于D,若z 1＝2,z 2＝1＋ 3 i,则|z 1|＝|z 2|,但z 21＝4,z 22＝－2＋23i,是假命题．10．选A 3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i , ∴⎩⎪⎨⎪⎧ μ－λ＝3，2λ－μ＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝1.11．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，2a ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝10.答案：1012．解析：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝a ＋2i 3＋4i 3－4i 3＋4i ＝3a ＋4ai ＋6i －825＝3a －825＋4a ＋625i, ∵z 1z 2为纯虚数,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －825＝0，4a ＋625≠0，∴a ＝83.答案：83 13．解析：由3＋bi 1－i ＝3＋bi 1＋i 1－i 1＋i ＝3－b ＋3＋b i 2＝a ＋bi, 得a ＝3－b 2,b ＝3＋b 2,解得b ＝3,a ＝0,所以a ＋b ＝3. 答案：314．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ －6＋k 2<0，k 2－4>0，∴4<k 2<6, ∴k ∈(－6,－2)∪(2,6)．答案：(－6,－2)∪(2,6)15．解：∵z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i) ＝2m 2＋m 2i －3mi －3m －2＋2i＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i,∴(1)由m 2－3m ＋2＝0得m ＝1或m ＝2,即m ＝1或2时,z 为实数．(2)由m 2－3m ＋2≠0得m≠1且m≠2,即m≠1且m≠2时,z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，得m ＝－12, 即m ＝－12时,z 为纯虚数． 16．解：因为z 2＝15－5i 2＋i 2＝15－5i 3＋4i ＝15－5i 3－4i 3＋4i 3－4i ＝25－75i 25＝1－3i,所以 (1)z 1z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝2－3i 1＋3i 1－3i 1＋3i ＝11＋3i 10＝1110＋310i. 17．解：设z ＝a ＋bi(a,b ∈R),则z ＝a －bi, z·z ＋i·z＝(a ＋bi)(a －bi)＋i(a ＋bi)＝a 2＋b 2＋ai －b ＝(a 2＋b 2－b)＋ai,又∵z·z ＋i·z＝103＋i , ∴(a 2＋b 2－b)＋ai ＝103＋i ＝3－i,根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－b ＝3，a ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝2，所以z ＝－1－i 或z ＝－1＋2i.18．解：设z ＝x ＋yi(x,y ∈R),则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i, 由z ＋2i 为实数,得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i, 由z 2－i为实数,得x ＝4. ∴z ＝4－2i.∵(z ＋ai)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i,根据条件,可知⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋4a －a 2>0，8a －2>0.解得2<a<6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．。
2021学年高二数学人教B版选修1-2寒假预习线上测试 2.2.2 反证法
2021学年高二数学人教B版选修1-2寒假预习线上测试2.2.2 反证法1.用反证法证明命题“设,为实数,则方程至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程没有实根B.方程至多有一个实根C.方程至多有两个实根D.方程恰好有两个实根2.用反证法证明命题“若,则全为”其反设正确的是( )A. 至少有一个不为B. 至少有一个为C. 全不为D. 中只有一个为3.用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数，用反证法证明时，下列假设正确的是（）A.假设都是偶数B.假设都不是偶数C.假设至多有一个偶数D.假设至多有两个偶数4.用反证法证明命题:“若能被5整除,则中至少有一个能被5整除”,那么假设的内容是( )A.都能被5整除B.都不能被5整除C.有一个能被5整除D.有一个不能被5整除5.用反证法证明“中至少有一个大于”,下列假设正确的是( )A.假设都小于B.假设都大于C.假设中至多有一个大于D.假设中都不大于6.反证法是( )A.从结论的反面出发,推出矛盾的证法B.对其否命题的证明C.对其逆命题的证明D.分析法的证明方法7.设是两个实数,给出下列条件:①;②;③;④;⑤.其中能推出:"中至少有一个实数大于”的条件是__________.8.命题“是实数,若,则且”,用反证法证明时,应先假设.9.已知，，，，试证明至少有一个不小于1答案以及解析1.答案：A解析：“方程至少有一个实根”等价于“方程有一个实根或两个实根”所以该命题的否定是“方程没有实根”.故选A.2.答案：A解析：“全为”的否定是“不全为”.3.答案：B解析：：“至少有一个”的否定为“都不是”,故选B4.答案：B解析：反证法中,假设的应该是原结论的对立面,故应该为都不能被5整除.5.答案：D解析：用反证法证明“中至少有一个大于”,应先假设要证命题的否定成立.而要证命题的否定为:“假设中都不大于”,故选D.6.答案：A解析：根据反证法的定义容易知选A.7.答案：③解析：若,,则,但,故①推不出;若,则,故②推不出;若,则,故④推不出;若,则,故⑤推不出;对于③,即,则中至少有一个大于,反证法:假设且,则与矛盾,因此假设不成立,故中至少有一个大于.8.答案：或解析：因为“且”的否定为“非或非”,所以“且”的否定为“或”9.答案：证明：假设都小于1，即，则有而两者矛盾，所以假设不成立，故至少有一个不小于1。
2021学年高二数学人教B版选修1-2寒假预习线上测试 1.2 回归分析
2021学年高二数学人教B版选修1-2寒假预习线上测试1.2回归分析1.设某大学的女生体重(单位:)与身高(单位:)具有线性相关关系,根据一组样本数据,用最小二乘法建立的回归方程为,则下列结论中不正确的是()A.与具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心C.若该大学某女生身高增加,则其体重约增加D.若该大学某女生身高为,则可断定其体重必为2.已知变量与正相关,且由观测数据算得样本平均数,,则由该观测数据算得的线性回归方程可能为()A. B. C. D.3.某单位为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念,打算制定节能减排的目标.他们调查了用电量y(单位:千瓦·时)与气温x(单位)之间的关系,随机选取了4天的用电量与当天气温,并制作了以下对照表:x(单位:)171410-1y(单位:千瓦·时)24343864由表中数据得线性回归方程,则由此估计,当某天气温为时,当天用电量约为（）A.56千瓦·时B.62千瓦·时C.64千瓦·时D.68千瓦·时4.为研究变量和的线性相关性,甲、乙二人分别作了研究,利用线性回归方法得到回归直线方程和,两人计算知相同,也相同,下列正确的是()A.与重合B.与一定平行C.与相交于点D.无法判断和是否相交5.登山族为了了解某山高与气温之间的关系,随机统计了4次山高与相应的气温,并制作了对照表如下:气温()181310-1山高()24343864由表中数据得到线性回归方程,由此估计山高为处气温的度数是()A.-10B.-8C.-6D.-46.已知变量x和y满足关系,变量y与z正相关。
下列结论中正确的是()A.x与y负相关,x与z负相关B.x与y正相关,x与z正相关C.x与y正相关,x与z负相关D.x与y负相关,x与z正相关7.某数学老师身高,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是,和.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为__________.8.若回归直线方程的斜率的估计值是1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程是_____________.9.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:(1)求回归直线方程,其中,;(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从题(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)答案以及解析1.答案：D解析：由线性回归方程知,所以与具有正的线性相关关系的,故选项A正确;由回归直线方程恒过样本点的中心知,选项B正确;若该大学某女生身高增加,则由知其体重约增加,因此C选项正确;若该大学某女生身高为,则可预测或估计其体重为,并不一定为,因此选项D不正确.故答案为D.2.答案：A解析：变量与正相关,可以排除C,D;样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程.∵变量与正相关,∴可以排除C,D;样本平均数,,代入A符合,B不符合.3.答案：A解析：根据表中数据计算得,,代入回归直线方程,求得,所以回归直线方程为,所以当温度为时,代入求得(千瓦·时).4.答案：C解析：命题人考査线性回归方程恒过样本中心点.因为两人计算得与均相同,故知选.5.答案：C解析：由题意得,,代入线性回归方程,可得,∴.由,可得.6.答案：A解析：由回归直线方程定义知,x与y负相关。
高中数学人教B版选修1-2练习课件3.2.2 复数的乘法和除法精选ppt课件
＝－32＋(12＋2 3)i，对应点在第二象限．
答案：B
知识点二
共轭复数
3.[2013·福建高考]已知复数z的共轭复数＝ 1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于 ()
A． 第一象限 B． 第二象限
C． 第三象限 D． 第四象限
解析：由条件知：z＝1－2i，其在复平面内 对应的点为(1，－2)，在第四象限，选D.
答案：B
知识点三
虚数单位i的幂的周期性
5.计算：i＋i2＋i3＋…＋i2014.
解：解法一：原式＝i1－ 1－i2i014＝i[1－1－i2i1007] ＝i·11－＋i1＝2i12＋i＝－1＋i. 解法二：∵i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0， ∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)． ∴原式＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2009＋ i2010＋i2011＋i2012)＋i2013＋i2014 ＝0＋i－1＝－1＋i.
课后提升训练
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再见
选修1-2 章 数系的扩3.充2 与复复数数的的运引算入
课时作业41 复数的乘法和除法
[目标导航] 1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算法 则． 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法 对加法的分配律．
1 课堂对点训练 2 课后提升训练
课堂对点训练
知识点一
复数的乘除运算
1．[2013·浙江高考]已知i是虚数单位，则 (－1＋i)(2－i)＝( )
答案：D
为共轭4复．数[2，01则4·|陕z1西|＝高|z考2|]”原，命关题于为其“逆若命z1，题z，2互否 命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的 是( )
2021年人教B版数学选修1-2练习：3.2.1 复数的加法和减法 Word版含解析
3.2复数的运算3.2.1复数的加法和减法课时过关·能力提升1.|z| =3,且z +3i是纯虚数,那么z等于()A. -3iB.3i答案:B2.以下命题:(1)z∈R⇔z2⇔3 +i>1 +i.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D. 3解析:(1)设z =x +y i(x,y∈R),那么z y≠0时,z,而当y =0时, z,所以(1)错误.(2)当z2,z1 +z2 =z1z1 +z2∈R,反之,假设z1 +z2∈R,那么z1,z2两复数的虚部互为相反数,但它们的实部不一定相同,因此z2不一定等(2)错误.(3)虽然(3 +i) -(1 +i) =2>0,但由于3 +i,1 +i均为虚数,而两复数假设不全是实数,那么不能比拟大小,所以(3)错误.故(1)(2)(3)都不正确.答案:A3.设f(z)A. -2 +3iB. -2 -3i- +3i解析:z1 -z2 =(1 +5i) - ( -3 +2i) =(1 +3) +(5 -2)i =4 +3i,∴f答案:D★4.复数z =x +y i(x,y∈R)满足|z -4i| =|z +2|,那么2x +4y的最|小值为()A.2B.4C.解析:∵|x +y i -4i| =|x +y i +2|,∴x2 +(y -4)2 =(x +2)2 +y2.∴x = -2y +3.∴2x +4y =2 -2y +3 +4y =8答案:C5.假设P,A,B,C四点分别对应复数z,z1,z2,z3,且|z -z1| =|z -z2| =|z -z3|,那么点P为△ABC的()A.内心B.外心解析:由|z -z0|的几何意义可知,点P到三角形三顶点的距离相等,故点P为△ABC的外接圆的圆心.答案:B6.假设z1=2-i,z2 =解析:z1 -z2答案:7.z1 =m2-3m +m2i,z2 =4 +(5m +6)i,其中m为实数,假设z1 -z2 =0,那么m =.解析:z1 -z2 =(m2-3m +m2i) -[4 +(5m +6)i] =(m2-3m -4) +(m2-5m -6)i.∵z1 -z2 =0,∴m = -1.答案: -18.假设复数z满足|z -3|≤解析:由|z -3|≤,z对应的点Z在以A(3,0)为圆,|z -(1 +4i)|表示动点Z到定点B(1,4)的距离,连接A,B两点,那么|AB| =|z -(1+4i)|max =答案:★9.关于x的方程x2 -(tan θ +i)x -(2 +i) =0(θ∈R).(1)假设方程有实数根,求锐角θ的值;(2)求证:对于任意θ≠kπ∈Z),方程无纯虚数根.分析(1)先设出方程的实数根为α,将其代入方程,再根据复数相等的充要条件,列出方程组求解.(2)根据反证法先假设有纯虚数根βi(β∈R,β≠0),将其代入方程,再根据复数相等的充要条件,列方程组求解,得出矛盾,从而原结论得证.(1)解:设方程的实数根为α,那么α2 -(tan θ +i)α -(2 +i) =0,整理,得α2 -tan θ·α -2 -(α +1)i =0.因为α·tan θ∈R,所又因为0<θ(2)证明假设方程有纯虚数根βi(β∈R,β≠0),那么(βi)2 -(tan θ +i)·βi -(2 +i) =0,整理,得-β2 +β -2 -(tan θ·β +1)i =0.所由②,得β = -cot θ.将其代入①,得cot2θ +cot θ +2 =0,这个关于cot θ的方程中Δ =1 -8<0,故此方程无实数根.所以cot θ为虚数,这与cot θ∈R矛盾.所以假设不成立,故原题成立.故对于任意θ≠kπ∈Z),方程无纯虚数根.10.复数z1 =1 -2i和z2 =4 +3i分别对应复平面内的A,B两点.求:(1)A,B两点间的距离;(2)线段AB的中垂线的方程.解:(1)|AB| =|z2 -z1| =|(4 +3i) -(1 -2i)|=|3 +5i|(2)线段AB的中垂线上任一点Z到A,B两点间的距离相等.设点Z对应的复数为z.由复数模的几何意义,知|z -(1 -2i)| =|z -(4 +3i)|.设z =x +y i(x,y∈R),代入上式,知|(x -1) +(y +2)i| =|(x -4) +(y -3)i|,即(x -1)2 +(y +2)2 =(x -4)2 +(y -3)2.整理上式可得线段AB的中垂线方程为3x +5y -10 =0.。
人教新课标B版高中数学高二选修1-2课时作业 复数代数形式的乘除运算
3.2.2 复数代数形式的乘除运算一、选择题1．复数－i ＋1i等于( ) A ．－2i B.12i C ．0 D ．2i 2．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z 等于( )A ．－3B ．3C ．－3iD ．3i3．设复数z ＝1－i(i 是虚数单位)，则2z＋z 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．2i D ．－2i4．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 等于( ) A ．6B ．－6C ．0 D.165．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i＋i·z 等于( ) A ．－2 B ．－2i C ．2 D ．2i6．已知复数z ＝4＋b i 1－i(b ∈R )的实部为－1，则复数z －b 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i二、填空题8．若复数z 满足(3－4i)z ＝4＋3i ，|z |＝________.9．复数a －2i 1＋2i(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为________． 10．如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1z 2对应的点位于第________象限．三、解答题11．已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i. (1)求z 的共轭复数z ；(2)若az ＋b ＝1－i ，求实数a 与b 的值．12．已知i 是虚数单位，且复数z 满足(z －3)(2－i)＝5.(1)求z 及|z －2＋3i|；(2)若z ·(a ＋i)是纯虚数，求实数a 的值．13．已知z 是复数，z ＋2i 与z 1－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．四、探究与拓展14．已知复数z 满足2z ＋mz －3＝i ，且z 的实部与虚部之和为0，则实数m 等于() A ．－3 B ．－1C ．1D ．315．已知复数z ＝(a ＋2i)(1－b i)，其中i 是虚数单位．(1)若z ＝5－i ，求a ，b 的值；(2)若z 的实部为2，且a >0，b >0，求证：2a ＋1b ≥4.答案精析1．A 2.A 3.A 4.A 5.C 6.C 7.B 8.1 9.4 10.二11．解 (1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i＝1＋i. ∴z ＝1－i.(2)a (1＋i)＋b ＝1－i ，即a ＋b ＋a i ＝1－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＝－1，解得a ＝－1，b ＝2. 12．解 (1)∵(z －3)(2－i)＝5，∴z ＝52－i ＋3＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋3 ＝(2＋i)＋3＝5＋i.∴|z －2＋3i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5. (2)由(1)可知，z ＝5＋i ，∴z ·(a ＋i)＝(5＋i)(a ＋i)＝(5a －1)＋(a ＋5)i.又z ·(a ＋i)是纯虚数，∴5a －1＝0且a ＋5≠0，解得a ＝15. 13．解 z 是复数，z ＋2i 与z 1－i 均为实数， 可设z ＝x －2i ，x －2i 1－i＝(x －2i )(1＋i )2＝2＋x ＋(x －2)i 2， 可得x ＝2.因为复数(z ＋a i)2＝(2－2i ＋a i)2＝－a 2＋4a ＋4(a －2)i ，因为复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＋4a >0，4(a －2)>0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <4，a >2， 即2<a <4.所以实数a 的取值范围为(2,4)．14．B [由2z ＋m z －3＝i ， 得z ＝m ＋3i －2＋i ＝(m ＋3i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i )＝－2m ＋3－(6＋m )i 5＝－2m ＋35－6＋m 5i ， 又z 的实部与虚部之和为0，则－2m ＋35－6＋m 5＝0，解得m ＝－1.] 15．(1)解 由复数z ＝(a ＋2i)(1－b i)，又z ＝5－i ， 得(a ＋2i)(1－b i)＝(a ＋2b )＋(2－ab )i ＝5－i ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝5，2－ab ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝32. (2)证明 若z 的实部为2，即a ＋2b ＝2.∵a >0，b >0且a ＋2b ＝2，∴12(a ＋2b )＝1， ∴2a ＋1b ＝12(2a ＋1b )(a ＋2b )＝12(4＋4b a ＋a b) ≥12(4＋2 4b a ·a b)＝4. 当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝1，b ＝12时取等号， ∴2a ＋1b≥4.。
人教新课标版数学高二-数学B版选修1-2练习复数的乘法和除法
3.2.2 复数的乘法和除法一、基础过关 1．复数－i ＋1i 等于( )A ．－2iB.12iC ．0D ．2i 2．i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( )A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i 3．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－14．在复平面内，复数i1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34B.43C ．－43D ．－346．若z ＝1＋2ii ，则复数z 等于( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i二、能力提升7．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________． 8．复数2i－1＋3i的虚部是________．9．已知z 是纯虚数，z ＋21－i 是实数，那么z ＝________.10．计算：(1)2＋2i (1－i )2＋(21＋i )2 010； (2)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．11．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.12．已知复数z的共轭复数为z，且z·z－3i z＝101－3i，求z.三、探究与拓展13．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b、c为实数)．(1)求b，c的值；(2)试说明1－i也是方程的根吗？答案1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 6．D 7．1 8．－129．－2i10．解 (1)2＋2i(1－i )2＋(21＋i )2 010＝2＋2i －2i ＋(22i ) 1 005＝i(1＋i)＋(1i )1 005＝－1＋i ＋(－i)1 005＝－1＋i －i ＝－1. (2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i) ＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i. 11．解 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1z 2＝(2－i)·(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ， ∵z 1z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i.12．解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i. 又z ·z －3i z ＝101－3i，∴a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝10(1＋3i )10，∴a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3. ∴z ＝－1，或z ＝－1－3i.13．解 (1)∵1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2. ∴b 、c 的值为b ＝－2，c ＝2. (2)方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i 也是方程的一个根．。
高中人教B版数学选修1-2练习：3.1.2 复数的几何意义 Word版含解析
第2课时复数的几何意义课时过关·能力提升1.对于下列四个命题:①任何复数的模都是非负数;②如果复数z1③|cos θ+isin θ|的最大值其中正确的有()A.0个B. 1个C.2个D.3个解析:①正确,因为若z∈R,则|z|≥0,若z=a+b i(b≠0,a,b∈R),则|z|②正确,因为|z1|;③错误,因为|cos θ+isin θ|.答案:C2.与x轴正方向同方向的单位向量e1和与y轴正方向同方向的单位向量e2,它们对应的复数分别是()A.e1对应实数1,e2对应虚数iB.e1对应虚数i,e2对应虚数iC.e1对应实数1,e2对应虚数-iD.e1对应实数1或-1,e2对应虚数i或-i答案:A3.若a,b∈R,z=a+b i,我们称复数-a-b i为z的相反复数,则()A.复平面上表示z和它的相反复数的点关于虚轴对称B.复平面上表示z的共轭复C.z的共轭复答案:B4.在复平面内,复数z=sin 2+icos 2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:2>0,cos 2<0.∴复数z对应的点(sin 2,cos 2)位于第四象限,故选D.答案:D5.设复数z=x+y i(x,y∈R)在复平面内的对应点为Z,则满足条件-2≤y≤1的点Z的几何图形是()A.一个圆环区域B.两条平行线C.一条线段(包括两个端点)D.两条平行线间的区域(包括这两条平行线)答案:D6.复数z=-5-12i在复平面内对应的点到原点的距离为.解析:z在复平面内对应的点为(-5,-12),该点到原点的距离答案:137.设z=(sin θ-1)+(sin θ-cos θ)i(θ∈R)在复平面内对应的点在直线x+y+1=0上,则tan θ的值为.解析:由已知,z=(sin θ-1)+(sin θ-cos θ)i在复平面内对应的点(sin θ-1,sin θ-cos θ)在直线x+y+1=0上,即sin θ-1+sin θ-cos θ+1=0,故tan θ答案:8.已知x,y∈R,若x2+2x+(2y+x)i和3x-(y+1)i互为共轭复数,求复数z=x+y i分析根据共轭复数的定义求出x,y的值,从而求出复数z解:若两个复数a+b i与c+d i(a,b,c,d∈R)是共轭复数,则a=c,且b=-d,由此可得到关于x,y的方程所以z=i或z=1.当z=i z=1★9.在复平面内画出复数z1=1,z2=分析.由复数的模的计算公式|z|=|a+b i|∈R)求模.解:向.所以|z1|=1.所以|z2|=1.所以|z3|=1.。
高中数学人教版选修1-2课时自测 当堂达标：3.1.2 复数的几何意义 Word版含答案
课时自测·当堂达标1.复数z=-1-2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.z=-1-2i 在复平面内对应的点为(-1,-2),它位于第三象限.2.若=(0,-3),则对应的复数为 ( )→O Z →O Z A.0 B.-3 C.-3i D.3 【解析】选C.由复数的几何意义可知对应的复数为-3i.→O Z 3.复数z=(a 2-2a)+(a 2-a-2)i 对应的点在虚轴上,则 ( )A.a ≠2或a ≠1B. a ≠2或a ≠-1C.a=2或a=0D.a=0 【解析】选C.由题意知a 2-2a=0,解得a=0或2.4.已知3-4i=x+yi(x,y ∈R),则|1-5i|,|x-yi|,|y+2i|的大小关系为________.【解析】由3-4i=x+yi(x,y ∈R),得x=3,y=-4,而|1-5i|==,1+(‒5)226|x-yi|=|3+4i|==5,32+42|y+2i|=|-4+2i|==. (-4)2+2220因为<5<,2026所以|y+2i|<|x-yi|<|1-5i|.答案:|y+2i|<|x-yi|<|1-5i|5.在复平面内指出与复数z 1=-1+i,z 2=2-i,z 3=-i,z 4=+3i 对应的点Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,然后23在复平面内画出这4个复数对应的向量.【解析】由题意知Z 1(-1,),Z 2 (2,-1),Z 3(0,-1),Z 4(,3).23如图所示,在复平面内,复数z 1,z 2, z 3,z 4对应的向量分别为,,,.→O Z 1→O Z 2→O Z 3→O Z 4。
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2021学年高二数学人教B版选修1-2寒假预习线上测试
3.2.2 复数的乘法和除法
1.复数,,如果,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D. 或
2.设i是虚数单位,则复数( )
A.
B.
C.
D.
3.设，则( )
A.B． C.D．2
4.若复数满足,则在复平面内对应的点的坐标是( )
A. B. C. D.
5.复数与点对应，为两个给定的复数，，则决定的的轨迹是（）
A.过的直线
B.线段的中垂线
C.双曲线的一支
D.以为端点的圆
6.设i是虚数单位,复数( )
A. B.i C. D.1
7.已知是的共轭复数,且满足(其中是虚数单位),则________.
8.已知复数的实部为0,其中为虚数单位,为实数,则________．
9.已知复数,(其中i为虚数单位).
(1)求复数;
(2)若复数所对应的点在第四象限,求实数m的取值范围.
答案以及解析
1.答案：A
解析：,,,可得.
2.答案：C
解析：因为,故选C.
3.答案：B
解析：,因此,故选B.
4.答案：C
解析：由,得,∴对应的点的坐标为.故选C.
5.答案：B
解析：由复数的几何意义可知点到点的距离为，点到点的距离为，因此点到点的距离等于点到点的距离，点在线段的中垂线上，答案选B. 6.答案：D
解析：∵,
,
∴.
7.答案：
解析：,故,所以.故答案为：.
8.答案：
解析：的实部为0，
，即，则，
.
故答案为：.
9.答案：(1)∵,∴.
(2). ∵所对应的点在第四象限,
∴解得,
∴m的取值范围是.。