24.1.2_垂直于弦的直径(2)_市级课件比赛一等奖
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24.1.2 垂直于弦的直径(2)课件
②⑤ ③④
③⑤ ④⑤
①③④ ①②⑤
①②④ ①②③
思考
⌒ 你能确定AB的圆心吗？
C
作法： 1． 连接AB． 2． 作AB的垂直 A ⌒ 平分线 ，交AB 于点C． 3． 作AC的垂直 平分线． 4． 两条垂直平分 线交于一点O．
B
⌒ 点O就是AB的圆心．
O
你 能 破 镜 重
m
n
A
C
圆
吗？
B O
作法： 作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，交 于O点；以O为圆心，OA为半径作圆． 依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧．
这五条拿出任意两条作为题设， 其余三条作为结论，会出现多 少个命题？ 这些命题都是真命 题吗？
探究
C
命题1 垂径定理的推论1
① 直径 ③ 平分弦
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB
E
A
O B
求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
B
2 5cm .
2.过⊙O内一点M的最长弦长为4厘米，最短弦长为
O
P E C
D
O
M
A
O B N
D
探究
命题2 垂径定理的推论2 ① 直径 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
⌒
⌒ ⌒ ⌒
C
② 垂直于弦 ③ 平分弦 O B
已知：AB、CD是弦，CD⊥AB，CD平分AB 求证：CD是直径，AD＝BD，AC＝BC
E A
D
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的 两条弧．
பைடு நூலகம்
24.1.2 垂直于弦的直径 公开课获奖课件
解：(1)连接 AC，∵CD 为⊙O 的直径，CD ⊥AB，∴AF＝BF，∴AC＝BC.又 AO⊥BC， ∴BE＝CE，∴AC＝AB，∴AB＝BC＝2 3 (2)由(1)知 AB＝BC＝AC，∴△ABC 为等边 三角形，∴∠OAF＝30°，在 Rt△OAF 中， AF＝ 3，可求 OA＝2，即⊙O 的半径为 2
2．(1)垂径定理：垂直于弦的直径__平__分___弦，并且__平__分___弦 所对的两条弧； (2)推论：平分弦(非直径)的直径_垂__直___于弦并且__平__分___弦所 对的两条弧．
练习2：(2016·黄石)如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长 度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON的长为( A ) A．5 B．7 C．9 D．11
9．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一点， 则线段OM的长可能是( ) C A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5
10．如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD ＝30°，且BE＝2，则CD＝_4__3_．
11．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐 标为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为__(_6_，__0_)__．
•
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
2．(1)垂径定理：垂直于弦的直径__平__分___弦，并且__平__分___弦 所对的两条弧； (2)推论：平分弦(非直径)的直径_垂__直___于弦并且__平__分___弦所 对的两条弧．
练习2：(2016·黄石)如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长 度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON的长为( A ) A．5 B．7 C．9 D．11
9．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一点， 则线段OM的长可能是( ) C A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5
10．如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD ＝30°，且BE＝2，则CD＝_4__3_．
11．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐 标为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为__(_6_，__0_)__．
•
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
《24.1.2 垂直于弦的直径》优质课件(三套)
能，请举出反例.
C
➢特别说明： 圆的两条直径是互相平分的.
A
·O
B
D
一三 垂径定理及其推论的计算
典例精析
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB= 16 cm.
解析：连接OA，∵ OE⊥AB， A
E
B
∴ AE OA2 OE2
O·
102 62 8 cm.
∴ AB=2AE=16cm.
rd
d+h=r
r2
d2
a 2
2
O
当堂练习
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为 3cm，则此圆的半径为 5cm . 2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦 AC= 10 3 cm .
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,
且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离 为 14cm或2cm .
例3：已知：⊙O中弦AB∥CD,
M
求证：A⌒C＝B⌒D.
C
D
A
B
证明：作直径MN⊥AB.
.O
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） N
A⌒M－C⌒M＝B⌒M－D⌒M
∴A⌒C＝B⌒D
归纳总结
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E
.O
AC
DB
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心 距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为 应用垂径定理创造条件.
即右图中的OE叫弦心距.
全国优质课一等奖人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》公开课课件
例题讲解
解： 用 AB表示主桥拱，设 AB 所在圆的圆心为O，半径为R． 经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，
根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 AB 的中点，CD 就是拱高．
AB=37.4，CD=7.2，
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
2
2
OD=OC－CD=R－7.2
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦CD⊥AB，垂足为E． 求证：AE＝BE，A⌒C＝B⌒C，A⌒D＝B⌒D．
C
O AE
D
证明：连结OA、OB，则OA＝OB． ∵ 垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三 角形OAB的对称轴又是⊙ O的对称轴． ∴ 当把圆沿着直径CD折叠时， CD两侧的两个半
圆重合，A点和B点重合，
O
几次，你发
现了什么？
结论：圆是轴 对称图形。有 无数条对称轴
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
新知讲解
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足
为E．
你能发线现段图：中A有E那=些B相E 等的线段和弧？为什么？
C
弧： AC=BC AD=BD
试一试证明 你的发现！
·O
E
A
B
D
新知讲解
新知讲解
归 垂径定理的几个基本图形：
纳
C
：
O
A O
A
EB
A
DB
D
E
DB O
A C
O CB
新知讲解
归 垂径定理三角形 纳 ：
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距 离），弓形高h的计算题 时，常常通过连半径或作
24.1.2_垂直于弦的直径(2)_市级课件比赛一等奖
D
A
O ┌ E
A
600
B
O ø 650
D
D
600
B
C
C
M
E A
.O
小结: 小结:
B
A C
. E
O
D B
C A
D B
.O
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线， 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或 过圆心作弦的垂线 作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定 作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线， 等辅助线 理创造条件。 理创造条件。
（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米， 如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米 10 桥拱的跨度AB=16 AB=16米 桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 4 米。
C
A
·
D
O
B
船能过拱桥吗? 船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水 3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米 如图 7.2 2.4米 现有一艘宽3 船舱顶部为长方形并高出水面2 面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的 货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？ 货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
.
D
命题二：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 命题二：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， A 并且平分弦所对的另一条弧。 并且平分弦所对的另一条弧。
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 已知： 是直径 是直径， 是弦 并且AD＝ 是弦， 已知：CD是直径，AB是弦，并且 ＝BD （AC＝BC）。 ＝ ）。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证： 平分 平分AB， ＝ （ ＝ ） 求证：CD平分 ，AC＝BC（AD＝BD）CD ⊥AB
24.1.2垂直于弦的直径 原创课件
24.1.2 垂直于弦的直径
问题:你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的 石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是 圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,你能求出赵州 桥拱的半径吗?
探究 用纸剪一个圆,沿着圆的任意一条直径对折,重复做
几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?(课件:探 究圆的性质)
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。因 为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既 是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙ O 的对称轴。所以，当把圆沿着直径CD 折点AA⌒DE叠和＝分时B⌒B别点，E和重，CB合AD⌒ ⌒CC两，、＝侧A⌒BB⌒E的CD和两，重B⌒个A合ED重半。＝合圆因B，重D此A合⌒C，、A
练习：
1.如图2,在⊙O中,直径MN⊥ AB于C,则下列结论错误的
是( C ) A.AC=BC
B.A⌒N=B⌒N
C.OC=CN
⌒⌒ D.AM=BM
2.如图3,在⊙O中,弦AB的长为8CM,圆心O到AB的距 离OD=3CM,则⊙O的半径为 CM 5
M
A
B
O
C
A
B
N
O <3>
讲解
问题:你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的 石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是 圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,你能求出赵州 桥拱的半径吗?
在RT⊿OAD中,由勾股定理A,得
OA2=AD2+OD2
B
D
即
R2=18.72+(R-7.2)2
Байду номын сангаас
解得 R≈27.9(M)
O
因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.9M
`.. 垂直于弦的直径(人教版九年级上) 优秀课特等奖 课件
A C O D B
变式4：______AC=BD. OA=OB
OC=OD 变式5：______AC=BD.
A C O
D B
跟踪训练
如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5， 求⊙O的半径. 【解析】提示作OM 垂直于 PB ，连接OA. 答案： 17
B M O A P
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一 条非常重要的辅助线.
24.1.2
垂直于弦的直径
1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用 垂径定理进行计算和证明； 2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力； 3.通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生
对数学的热爱．
问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的
石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱
C O E D
B
定理辨析 判断下列图形，能否使用垂径定理？
B O C A D C
A O D C B
O E D C
B O A D
【解析】定理中两个条件（直径垂直于弦）缺一不可，故 前三个图均不能，仅第四个图可以！
例
题
A E B
例1：如图，已知在圆O中，弦AB的 长为8㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝， 求圆O的半径。
是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4 m，拱高 （弧的中点到弦的距离）为7.2 m，你能求出赵州桥主桥 拱的半径吗？
想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有
什么关系？
【解析】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都 是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.
观察右图，有什么等量关系？
O
变式4：______AC=BD. OA=OB
OC=OD 变式5：______AC=BD.
A C O
D B
跟踪训练
如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5， 求⊙O的半径. 【解析】提示作OM 垂直于 PB ，连接OA. 答案： 17
B M O A P
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一 条非常重要的辅助线.
24.1.2
垂直于弦的直径
1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用 垂径定理进行计算和证明； 2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力； 3.通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生
对数学的热爱．
问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的
石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱
C O E D
B
定理辨析 判断下列图形，能否使用垂径定理？
B O C A D C
A O D C B
O E D C
B O A D
【解析】定理中两个条件（直径垂直于弦）缺一不可，故 前三个图均不能，仅第四个图可以！
例
题
A E B
例1：如图，已知在圆O中，弦AB的 长为8㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝， 求圆O的半径。
是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4 m，拱高 （弧的中点到弦的距离）为7.2 m，你能求出赵州桥主桥 拱的半径吗？
想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有
什么关系？
【解析】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都 是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.
观察右图，有什么等量关系？
O
(名师整理)数学九年级上册第24章第1节第2课时《垂直于弦的直径》省优质课获奖课件
AD于点F，若CF⊥AD,AB=2，求CD的长.
A
证明：连接AC
∵直径AB垂直弦CD ∴ AB平分弦CD ∵A在线段CD的垂直平分线上
1 F
O
∴AC=AD 同理AC=CD
C
E
D
∴ AC=CD=AD ∴等边△ACD中∠D=600
由勾股定理得
B
∴ ∠1= 900－∠D=300 又∵ CF⊥AD,AB=2 ∴在Rt △AOF中
∴AE＝DE，BE＝CE AE 1 AD 1 6 3
∴AE－BE＝DE－CE 即AB＝CD
2
2
同理BE 1 BC 1 4 2
2
2
⑵解:连接AO、BO,
S圆环=πOA2－πOB2
∵ OE⊥AD
=π(OA2－OB2)
∴由勾股定理得
=π(AE2－BE2 )
OA2=AE2+OE2,OB2=BE2+OE2
C
E
M
O
N
H
G B
F
D
A
练习3:1、如图，CD为圆O的直径，D 弦AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=12㎝，CE=4㎝，求弦AB的长。
M
E C
O
B
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD, AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E, 交弦CD于点F. 图中相等的线段有 :
.
图中相等的劣弧有: .
AF AO2 OF 2 12 (1 )2 3 22
CF AD, CF过圆心
OF 1 AO 1 AB 1 2 1 2 2 2 22 2
AD 2AF 2 3 3 2
CD AD 3
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垂径定理
定理
C
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
A
M└
●
B
O
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AM=BM,
⌒ ⌒ AC =BC,
⌒ AD=BD.
⌒
D
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。
课堂讨论
根据已知条件进行推导：
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧 ① ③ ① ⑤
⌒
.
D
O E B
命题三：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分 弦所对的两条弧。
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证：CD是直径， AD＝BD，AC＝BC
注意要点
根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直 线来说，如果具备： ① ② ③ ④ ⑤ 经过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧
① ②
③ ④ ⑤
① ④
② ④ ⑤
③ ② ④ ③ ② （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。 （3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
③ ② ⑤ ① ④ ⑤
三个命题
命题一：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧。
那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他 三个结论。
1. 平分已知弧 AB . 你会四等分弧AB吗?
A B
问 题 ？
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对 的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距 离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
A
B O
问 题 ？
例1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对 的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
A
O ┌ E
D
D
600
B
C
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽 AB = 600mm，求油的最大深度.
D
A
O ┌ E
A
600
B
O ø650
D
D
600
B
C
C
M
E A
.O
小结:
B
A
. E
C
O
D
B
C A
D B
.O
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或 作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定 理创造条件。
R 2 300 2 R 90 . D 解这个方程, 得R 545. 这段弯路的半径约为545m.
2
C
E F
●
O
(1)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为 30 °,求弦 AB 的长.
O 6 O A
30°EB源自M ABC (2)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分, 交点为 M , 求 弦 AB 的长.
（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米， 桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 4 米。
C
A
·
O
D
B
船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水 面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的 货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
船能过拱桥吗
OA2 AD2 OD2 , 即R2 3.62 ( R 2.4)2 .
2 2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON HN , 即OH 3.9 1.5 3.6. DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
C
A r
D
B O
• 例2 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是 弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为 F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
设弯路的半径为Rm, 则OF ( R 90)m. OE CD, 1 1 CF CD 600 300(m). 2 2 OC 2 CF 2 OF 2 ,即 根据勾股定理, 得
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 1
AB 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5. 2 1 1 AD AB 7.2 3.6, 2 2 OD OC DC R 2.4.
B M A
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
N,且OM=2,0N=3,则AB= 6 AC= 4 ,OA= 13 ,
O N
C
练习：5.在⊙Ｏ中，ＡＢ、AC为互相垂直且相等的两条弦， ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＣ于Ｅ．
求证：四边形ＡＤＯＥ是正方形．
Ｃ Ｅ Ａ Ｏ Ｄ Ｂ
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.
2 2
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那 么C到AB的距离等于 1㎝或9㎝ 3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝, 那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB。 C
⌒ ⌒ ⌒ 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC 命题二：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， A 并且平分弦所对的另一条弧。
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 已知：CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD （AC＝BC）。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证：CD平分AB，AC＝BC（AD＝BD）CD ⊥AB
定理
C
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
A
M└
●
B
O
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AM=BM,
⌒ ⌒ AC =BC,
⌒ AD=BD.
⌒
D
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。
课堂讨论
根据已知条件进行推导：
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧 ① ③ ① ⑤
⌒
.
D
O E B
命题三：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分 弦所对的两条弧。
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证：CD是直径， AD＝BD，AC＝BC
注意要点
根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直 线来说，如果具备： ① ② ③ ④ ⑤ 经过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧
① ②
③ ④ ⑤
① ④
② ④ ⑤
③ ② ④ ③ ② （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。 （3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
③ ② ⑤ ① ④ ⑤
三个命题
命题一：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧。
那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他 三个结论。
1. 平分已知弧 AB . 你会四等分弧AB吗?
A B
问 题 ？
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对 的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距 离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
A
B O
问 题 ？
例1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对 的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
A
O ┌ E
D
D
600
B
C
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽 AB = 600mm，求油的最大深度.
D
A
O ┌ E
A
600
B
O ø650
D
D
600
B
C
C
M
E A
.O
小结:
B
A
. E
C
O
D
B
C A
D B
.O
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或 作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定 理创造条件。
R 2 300 2 R 90 . D 解这个方程, 得R 545. 这段弯路的半径约为545m.
2
C
E F
●
O
(1)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为 30 °,求弦 AB 的长.
O 6 O A
30°EB源自M ABC (2)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分, 交点为 M , 求 弦 AB 的长.
（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米， 桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 4 米。
C
A
·
O
D
B
船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水 面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的 货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
船能过拱桥吗
OA2 AD2 OD2 , 即R2 3.62 ( R 2.4)2 .
2 2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON HN , 即OH 3.9 1.5 3.6. DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
C
A r
D
B O
• 例2 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是 弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为 F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
设弯路的半径为Rm, 则OF ( R 90)m. OE CD, 1 1 CF CD 600 300(m). 2 2 OC 2 CF 2 OF 2 ,即 根据勾股定理, 得
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 1
AB 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5. 2 1 1 AD AB 7.2 3.6, 2 2 OD OC DC R 2.4.
B M A
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
N,且OM=2,0N=3,则AB= 6 AC= 4 ,OA= 13 ,
O N
C
练习：5.在⊙Ｏ中，ＡＢ、AC为互相垂直且相等的两条弦， ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＣ于Ｅ．
求证：四边形ＡＤＯＥ是正方形．
Ｃ Ｅ Ａ Ｏ Ｄ Ｂ
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.
2 2
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那 么C到AB的距离等于 1㎝或9㎝ 3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝, 那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB。 C
⌒ ⌒ ⌒ 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC 命题二：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， A 并且平分弦所对的另一条弧。
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 已知：CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD （AC＝BC）。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证：CD平分AB，AC＝BC（AD＝BD）CD ⊥AB